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Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 1 PERTCPM 1 Introdução As técnicas denominadas PERT e CPM foram independentemente desenvolvidas para o Planejamento e Controle de Projetos em torno de 1950 porém a grande semelhança entre estas fez com que o termo PERTCPM seja utilizado corriqueiramente como apenas uma técnica Os termos PERT e CPM são acrônimos de Program Evaluation and Review Technique PERT e Critical Path Method CPM Exemplos de Projetos que podem utilizar PERTCPM 1 Construção de uma planta 2 Pesquisa e desenvolvimento de um produto 3 Produção de filmes 4 Construção de navios 5 Instalação de um sistema de informações 6 Condução de campanhas publicitárias entre outras PERT e CPM utilizam principalmente os conceitos de Redes grafos para planejar e visualizar a coordenação das atividades do projeto Um exemplo clássico de aplicação de PERTCPM é o planejamento e gerenciamento da construção civil Exemplo HillerLieberman pg 468 Suponha que uma empreiteira ganhou uma concorrência de 54 milhões para construir uma planta industrial O contrato inclui Uma penalidade de 30000000 se a empreiteira não completar a construção em 47 semanas Um bônus de 15000000 se a empreiteira completar a construção em 40 semanas De acordo com a experiência da empreiteira a seguinte lista foi elaborada para este projeto Tabela 1 Atividades Atividades Precedentes e Duração Estimada Atividade Descrição Atividades Precedentes Duração Estimada semanas A Escavação 2 B Fundação A 4 C Paredes B 10 Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 2 D Telhado C 6 E Encanamento Exterior C 4 F Encanamento Interior E 5 G Muros D 7 H Pintura Exterior EG 9 I Instalação Elétrica C 7 J Divisórias FI 8 K Piso J 4 L Pintura Interior J 5 M Acabamento Exterior H 2 N Acabamento Interior KL 6 A duração para a execução da obra é 79 semanas se cada atividade for realizada uma por vez No entanto existem atividades que podem ser realizadas simultaneamente com outras atividades podendo com isso reduzir a duração da execução da obra 2 Construção da Rede A rede pode ser construída utilizando os arcos para representar as atividades e os nós para separar as atividades de suas atividades precedentes porém utilizar os nós para representar as atividades e os arcos para representar as relações de precedência parece ser mais intuitivo A figura abaixo ilustra a rede para o exemplo dado Fig 1 Rede para o exemplo dado Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 3 A partir da lista de atividades e das relações de precedência a rede pode ser facilmente construída Para isto dado uma atividade nó basta procurar na lista quais atividades são suas atividades precedentes Por exemplo na rede da figura 1 a atividade J possui as atividades F e I como precedentes as quais devem ser conectadas através de arcos orientados setas indicando assim a precedência Através da análise da rede várias informações podem ser obtidas entre elas as respostas para duas perguntas cruciais para o planejamento do projeto 1 Qual o tempo total requerido para completar o projeto se nenhum atraso ocorrer 2 Quais as atividades que não podem sofrer atrasos para que o projeto seja executado sem atraso Atividades Gargalos 21 Caminho Crítico Um caminho através de uma rede é uma rota seguindo os arcos a partir do nó INÍCIO até o nó FIM O comprimento de um caminho é a soma das durações das atividades sobre o caminho Na rede da figura 1 existem 6 caminhos que são dados na tabela abaixo juntamente com seus respectivos comprimentos Tabela 2 Caminhos e seus respectivos Comprimentos Caminho Comprimento semanas InicioABCDGHMFim 2 4 10 6 7 9 2 40 InicioABCEHMFim 2 4 10 4 9 2 31 InicioABCEFJKNFim 2 4 10 4 5 8 4 6 43 InicioABCEFJLNFim 2 4 10 4 5 8 5 6 44 InicioABCIJKNFim 2 4 10 7 8 4 6 41 InicioABCIJLNFim 2 4 10 7 8 5 6 42 O Caminho com maior Comprimento é o Caminho Crítico uma vez que todos os demais Caminhos deverão alcançar o nó FIM antes do Caminho Crítico Isto responde a questão 1 dada acima ou seja o tempo total requerido é 44 semanas para completar o projeto As atividades sobre este Caminho são as Atividades Críticas Atividades Gargalos ou seja qualquer atraso em uma dessas atividades irá atrasar a duração de todo o projeto Já as demais atividades se sofrerem algum atraso poderão ou não atrasar a duração de todo o projeto A figura 2 mostra o Caminho Crítico Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 4 Fig 2 Caminho Crítico 22 Programação de Atividades Scheduling A Programação das Atividades na técnica PERTCPM consiste em determinar em que tempo por exemplo em que dia em qual semana uma atividade deve começar e terminar A princípio o tempo inicial de uma atividade deveria ser igual ao tempo final da atividade precedente No entanto atividades que possuem 2 ou mais atividades precedentes necessitam que todas as atividades precedentes estejam completadas para então dar início a atividade em questão Já para Atividades Não Críticas o tempo inicial não precisa ser necessariamente igual ao tempo final da sua atividade precedente uma vez que esta atividade possui folga não pertence ao Caminho Crítico da Rede A fim de formalizar este raciocínio a técnica PERTCPM utiliza 4 variáveis que são ES Tempo Inicial Mais Cedo Earliest Start EF Tempo Final Mais Cedo Earliest Finish LS Tempo Inicial Mais Tarde Last Start LF Tempo Final Mais Tarde Last Finish De posse dessas variáveis as seguintes regras podem ser definidas Regra do Tempo Inicial Mais Cedo O tempo Inicial Mais Cedo ESi de uma atividade i é igual ao maior Tempo Final Mais Cedo EFj das atividades precedentes j i j j i j maxEF ES π 1 Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 5 onde πi é conjunto das atividades precedentes à atividade i Regra do Tempo Final Mais Cedo EFi ESi Di 2 onde Di é a duração da atividade i Regra do Tempo Inicial Mais Tarde LSi LFi Di 3 onde LFi como definido abaixo Regra do Tempo Final Mais Tarde O tempo Final Mais Tarde LFi de uma atividade i é igual ao menor Tempo Inical Mais Tarde LSk das atividades sucessoras k i k k i k min LS LF ψ 4 onde ψi é conjunto das atividades sucessoras à atividade i Exemplo Cálculo de ES EF LS e LF para a Atividade J divisórias da Rede da figura 1 25 max2523 maxEF EF ES I F J 5 33 8 25 D ES EF J J J 6 33 min3433 LS minLS LF L K J 7 25 8 33 D LF LS J J J 8 Como podese perceber o cálculo do Tempo Inicial Mais Cedo ES é função dos Tempos Finais Mais Cedos EF precedentes portanto a sua obtenção é realizada calculando os ESs e EFs no sentido do nó Inicio para o nó Fim forward pass Já o cálculo do Tempo Final Mais Tarde LF é função dos Tempos Iniciais Mais Tardes LS sucessores portanto a sua obtenção é realizada calculando os LSs e LFs no sentido do nó Fim para o nó Início backward pass Outra conclusão importante sobre este exemplo é que o Tempo Inicial Mais Cedo ESJ é igual ao Tempo Inicial Mais Tarde LSJ no caso 25 Isto nos diz que não há Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 6 folga para iniciar a Atividade J Dá mesma forma o Tempo Final Mais Cedo EFJ é igual ao Tempo Final Mais Tarde LFJ no caso 33 Isto nos diz que não há folga para terminar a Atividade J Estas duas conclusões estão coerentes uma vez que a Atividade J pertence ao Caminho Crítico da Rede Podese concluir ainda que LF EF LS ES e que estas diferenças são iguais à folga que existe na atividade em questão Assim a folga Si Slack para a atividade i é dada por Si LFi EFi LSi ESi 9 O valor da Folga Si corresponde ao atraso que a atividade i pode sofrer sem comprometer a duração total determinada pelo comprimento do Caminho Crítico A figura abaixo mostra a Rede com todos os seus Tempos Iniciais e Finais Mais Cedos e Mais Tardes e Folgas obs a verificação dos cálculos deve ser realizada pelo leitor Fig 3 Rede ESs EFs LSs LFs e Ss Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 7 3 Incertezas nas Durações das Atividades Metodologia PERT A duração de cada atividade na prática pode ser diferente daquela prevista na elaboração do projeto Existem muitos fatores praticamente impossíveis de serem previstos que podem adiantar ou atrasar a duração de uma atividade como por exemplo escassez ou abundância de recursos devido a variações abruptas de indicadores econômicos intempéries climáticas entre tantos outros A fim de se obter um planejamento mais confiável fazse necessário considerar no modelo incertezas sobre a duração de cada atividade Na metodologia PERT a duração de cada atividade é tratada como uma variável randômica com alguma distribuição de probabilidade A versão original da metodologia PERT utiliza 3 diferentes tipos de estimativas da duração de uma atividade para determinar os parâmetros da distribuição de probabilidade m estimativa mais provável da duração de uma atividade most likely estimate o estimativa otimista da duração de uma atividade optimistic estimate p estimativa pessimista da duração de uma atividade pessimistic estimate A metodologia PERT também assume que a forma da distribuição de probabilidade da variável randômica em questão é a da distribuição Beta A figura abaixo mostra a localização das estimativas m o e p na distribuição Beta para os parâmetros a e b da distribuição igual a 15 e 4 respectivamente Atenção a forma da distribuição pode ser bastante diferente da forma representada na figura 4 de acordo com os seus parâmetros Fig 4 Distribuição Beta Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 8 Considerando que a distribuição está efetivamente contida no intervalo µ σ 3 e µ σ 3 onde µ e σ são a média e o desviopadrão respectivamente podese definir um boa aproximação para a média como 6 p 4m o µ 10 2 2 6 o p σ 11 A tabela 3 mostra as 3 estimativas da metodologia PERT bem como a média e a variância para cada atividade da tabela 1 Tabela 3 Estimativas PERT Atividade o m p Média Variância A 1 2 3 2 19 B 2 35 8 4 1 C 6 9 18 10 4 D 4 55 10 6 1 E 1 45 5 4 49 F 4 4 10 5 1 G 5 65 11 7 1 H 5 8 17 9 4 I 3 75 9 7 1 J 3 9 9 8 1 K 4 4 4 4 0 L 1 55 7 5 1 M 1 2 3 2 19 N 5 55 9 6 49 Com os valores da tabela 3 podese por exemplo construir o cenário de pior caso ou seja determinar o Caminho Crítico utilizando as durações pessimistas A tabela 4 mostra estes cálculos elaborados de maneira análoga aos da tabela 2 Tabela 4 Caminhos e seus respectivos Comprimentos para o Cenário Pior Caso Caminho Comprimento semanas InicioABCDGHMFim 3 8 18 10 11 17 3 70 InicioABCEHMFim 3 8 18 5 17 3 54 InicioABCEFJKNFim 3 8 18 5 10 9 4 9 66 InicioABCEFJLNFim 3 8 18 5 10 9 7 9 69 InicioABCIJKNFim 3 8 18 9 9 4 9 60 InicioABCIJLNFim 3 8 18 9 9 7 9 63 Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 9 De acordo com a tabela 4 percebese que o Caminho Crítico para o Cenário Pior Caso é 70 semanas o que provavelmente inviabilizaria o projeto Porém qual a probabilidade que este Cenário ocorra Considerando que o Caminho Crítico Médio é o Caminho através da Rede que deveria ser o Caminho Crítico se a duração de cada atividade fosse a sua duração média e ainda que as atividades sobre o Caminho Crítico Médio são estatisticamente independentes podese calcular a média da distribuição de probabilidade da duração total do projeto como µ µ n i 1 i p 12 onde µi é a duração média da atividade i sobre o Caminho Crítico Médio e a variância da distribuição de probabilidade da duração total do projeto como σ σ n 1 i 2 i 2 p 13 onde σ2 i é a variância da atividade i sobre o Caminho Crítico Médio No exemplo o Caminho Crítico Médio é InicioABCDGHMFim com µp 44 e σ2 p 9 Assumindo ainda que a forma da distribuição de probabilidade para a duração total do projeto é igual à de uma distribuição normal podese calcular a probabilidade de completar o projeto em d unidades de tempo Considerando T como a duração do projeto que possui distribuição normal com média µp e σ2 p o número de desviospadrão pelo que d excede µp é p p d k σ µ α 14 Portanto utilizando uma tabela dos valores da distribuição normal padrão média 0 e variância 1 a probabilidade de completar o projeto em d unidades de tempo é α α k P Z 1 k P Z d P T 15 Exemplo A probabilidade de completar o projeto em d 47 semanas é Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 10 1 3 44 47 d k p p σ µ α 16 e 0 84 0 1587 1 k P Z 1 k P Z d P T α α 17 Assim a probabilidade de terminar o projeto em 47 semanas é de 084 a área da figura 5 é aproximadamente 084 Fig 5 47 P T Se d 40 kα 43 e 0 0918 d P T conforme a tabela da distribuição normal padrão ver figura 6 Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 11 Fig 6 40 P T Se d 44 kα 0 e 50 d P T conforme a tabela da distribuição normal padrão 4 Balanceando TempoCusto Tradeoffs De acordo com o contrato do projeto existe um bônus de 15000000 se o projeto for concluído em até 40 semanas Conforme o gráfico da figura 6 a probabilidade de terminar o projeto em até 40 semanas é em torno de 009 o que pode ser considerado pouco provável No entanto uma ou mais atividades podem ser intensificadas Crashed a fim de diminuir a duração da execução do projeto Fazse necessário então analisar quais atividades devem ser intensificadas para diminuir a duração da execução do projeto e também qual o custo que tal intensificação ocasionará Obviamente se o custo da intensificação for menor que 15000000 valor do bônus do exemplo esta deverá ser implementada A figura 7 mostra um gráfico onde a Relação TempoCusto é aproximada por função linear Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 12 Duração da Atividade Custo da Atividade Custo Intensificado Custo Normal Tempo Intensificado Tempo Normal Normal Intensificado Fig 7 Gráfico típico da Relação TempoCusto Uma vez que uma função linear é totalmente definida por dois pontos no caso Normal e Intensificado como na figura 7 podese então determinar facilmente pontos intermediários Tempos e Custos parcialmente Intensificados apenas como função dos pontos extremos Normal e Intensificado Cabe ressaltar que uma função linear é apenas um modelo possível de ser utilizado o que não necessariamente condiz com a realidade Por exemplo a atividade J divisórias possui um Custo Normal de 43000000 para ser executada em 8 semanas No entanto o responsável por essa atividade prevê que com trabalhadores adicionais e horasextras pode reduzir a duração desta atividade para 6 semanas que é o mínimo possível Então temse para a atividade J Condições Normais duração 8 semanas e custo 43000000 Condições Intensificadas duração 6 semanas e custo 49000000 Redução Máxima em Tempo 2 semanas Custo Intensificado por semana reduzida 3000000 2 43000000 49000000 A fim de decidir qual atividade deve ser intensificada fazse necessário a priori obter as Condições Normais e Intensificadas de todas as atividades A tabela 5 traz estas informações Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 13 Tabela 5 Tempos e Custos Normais e Intensificados Tempo semanas Custo Atividade Normal Intensificada Normal Intensificada Redução Máxima em Tempo Custo Intensificado por semana reduzida A 2 1 18000000 28000000 1 10000000 B 4 2 32000000 42000000 2 5000000 C 10 7 62000000 86000000 3 8000000 D 6 4 26000000 34000000 2 4000000 E 4 3 41000000 57000000 1 16000000 F 5 3 18000000 26000000 2 4000000 G 7 4 90000000 102000000 3 4000000 H 9 6 20000000 38000000 3 6000000 I 7 5 21000000 27000000 2 3000000 J 8 6 43000000 49000000 2 3000000 K 4 3 16000000 20000000 1 4000000 L 5 3 25000000 35000000 2 5000000 M 2 1 10000000 20000000 1 10000000 N 6 3 33000000 51000000 3 6000000 A soma dos Custos Normais totaliza 455000000 e a soma dos Custos Intensificados totaliza 615000000 Uma vez que a empreiteira irá ganhar 540000000 pela execução do projeto intensificar totalmente todas as atividades é inviável Para a empreiteira somente será interessante intensificar uma ou mais atividades se o custo desta intensificação for menor que 15000000 que é o bônus referente a entregar a obra em 40 semanas Da mesma forma para a empreiteira a duração intensificada precisa ser igual ou menor que 40 semanas para ganhar o bônus no entanto se a empreiteira concluir a obra em menos que 40 semanas não resultará em mais nenhum ganho extra Portanto o objetivo desse estudo é determinar se o custo para terminar o projeto em 40 semanas é menor que 15000000 Uma maneira de resolver este problema é através de Análise de Custo Marginal que utiliza a última coluna da tabela 6 para determinar o Caminho mais barato para reduzir a duração do projeto em 1 semana Inicialmente a única maneira de reduzir a duração do projeto em 1 semana é reduzir a duração de alguma Atividade Crítica uma vez que estas atividades não possuem folgas No entanto reduzindo a duração de alguma Atividade Crítica pode resultar no surgimento de outro Caminho Crítico pois alguma Atividade Não Crítica pode passar a ser Crítica Assim podese concluir que a redução de alguma atividade por uma unidade de tempo deve sempre ser realizada sobre as Atividades Críticas No exemplo dado para reduzir a duração do projeto de 44 semanas para 43 semanas devese reduzir a duração de alguma Atividade Crítica por 1 semana Obviamente a Atividade Crítica a ser reduzida sua duração deve ser aquela que possui menor Custo Intensificado por semana As atividades Críticas são ABCEFJLN Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 14 Dentre estas atividades a que possui menor Custo Intensificado 3000000 é a atividade J Reduzindo a duração da atividade J o Caminho ABCEFJLN passa a ter 43 semanas de comprimento Esta redução aumentou o custo do projeto em 3000000 passando de 455000000 Custo Normal para 458000000 A tabela 6 mostra as atividades a serem intensificadas onde cada linha representa reduzir a duração do projeto em uma semana A primeira linha da tabela sem Atividade Intensificada e Custo Intensificado mostra os Comprimentos dos Caminhos para as Condições Normais como a tabela 2 A segunda linha portanto mostra que foi realizada uma redução de uma semana na atividade J Esta redução obviamente afeta todos os Caminhos que contém a atividade J e não somente o Caminho Crítico Para as demais linhas o raciocínio é análogo Tabela 6 Análise de Custo Marginal Comprimento do Caminho semanas Atividade Intensificada Custo Intensificado ABCDGHM ABCEHM ABCEFJKN ABCEFJLN ABCIJKN ABCIJLN 40 31 43 44 41 42 J 3000000 40 31 42 43 40 41 J 3000000 40 31 41 42 39 40 F 4000000 40 31 40 41 39 40 F 4000000 40 31 39 40 39 40 Após a elaboração da tabela 6 observase que a redução da duração do projeto de 44 semanas para 40 semanas irá aumentar o custo do mesmo em 14000000 3000000 3000000 4000000 4000000 Sendo o bônus de 15000000 e o Custo Intensificado de 14000000 concluise que a Intensificação é viável porém um sobrelucro de 1000000 não é algo muito significativo quando comparado ao lucro 540000000 455000000 85000000 que a empreiteira irá obter executando o projeto nas Condições Normais apenas Além deste fato um pequeno atraso em uma atividade devido às incertezas existentes nas estimativas dos Tempos e dos Custos Normais e Intensificados pode resultar em uma duração maior de que 40 semanas e com isso perdendo o bônus 5 Gráficos Típicos Os gráficos abaixo foram gerados utilizando o MicroSoft Project Fig 8 Diagrama de Gantt Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 15 Fig 9 Diagrama da Rede vermelho representa Atividades Críticas Fig 10 Detalhe ampliado do Diagrama da Rede da figura 9 Fig 11 Diagrama PERT vermelho representa Atividades Críticas Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 16 Fig 12 Detalhe ampliado do Diagrama da Rede da figura 11 Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 17 Apêndice Tabela A1 Áreas sob a curva Normal Padrão a partir de Kα a Kαααα 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 00 050000 049601 049202 048803 048405 048006 047608 047210 046812 046414 01 046017 045620 045224 044828 044433 044038 043644 043251 042858 042465 02 042074 041683 041294 040905 040517 040129 039743 039358 038974 038591 03 038209 037828 037448 037070 036693 036317 035942 035569 035197 034827 04 034458 034090 033724 033360 032997 032636 032276 031918 031561 031207 05 030854 030503 030153 029806 029460 029116 028774 028434 028096 027760 06 027425 027093 026763 026435 026109 025785 025463 025143 024825 024510 07 024196 023885 023576 023270 022965 022663 022363 022065 021770 021476 08 021186 020897 020611 020327 020045 019766 019489 019215 018943 018673 09 018406 018141 017879 017619 017361 017106 016853 016602 016354 016109 10 015866 015625 015386 015151 014917 014686 014457 014231 014007 013786 11 013567 013350 013136 012924 012714 012507 012302 012100 011900 011702 12 011507 011314 011123 010935 010749 010565 010383 010204 010027 009853 13 009680 009510 009342 009176 009012 008851 008692 008534 008379 008226 14 008076 007927 007780 007636 007493 007353 007215 007078 006944 006811 15 006681 006552 006426 006301 006178 006057 005938 005821 005705 005592 16 005480 005370 005262 005155 005050 004947 004846 004746 004648 004551 17 004457 004363 004272 004182 004093 004006 003920 003836 003754 003673 18 003593 003515 003438 003362 003288 003216 003144 003074 003005 002938 19 002872 002807 002743 002680 002619 002559 002500 002442 002385 002330 2 002275 002222 002169 002118 002068 002018 001970 001923 001876 001831 21 001786 001743 001700 001659 001618 001578 001539 001500 001463 001426 22 001390 001355 001321 001287 001255 001222 001191 001160 001130 001101 23 001072 001044 001017 000990 000964 000939 000914 000889 000866 000842 24 000820 000798 000776 000755 000734 000714 000695 000676 000657 000639 25 000621 000604 000587 000570 000554 000539 000523 000508 000494 000480 26 000466 000453 000440 000427 000415 000402 000391 000379 000368 000357 27 000347 000336 000326 000317 000307 000298 000289 000280 000272 000264 28 000256 000248 000240 000233 000226 000219 000212 000205 000199 000193 29 000187 000181 000175 000169 000164 000159 000154 000149 000144 000139 30 000135 000131 000126 000122 000118 000114 000111 000107 000104 000100 40 317E 05 304E 05 291E 05 279E 05 267E 05 256E 05 245E 05 235E 05 225E 05 216E 05 50 287E 07 273E 07 259E 07 246E 07 233E 07 221E 07 21E07 199E 07 189E 07 179E 07 60 99E10 931E 10 875E 10 823E 10 773E 10 727E 10 683E 10 642E 10 603E 10 567E 10 FONTE Hiller Lieberman CAP 10 Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 18 Exercícios PERTCPM 1 Uma companhia está pronta para começar a desenvolver um projeto O prazo para entrega do projeto é de 100 semanas O projeto envolve 10 atividades com as seguintes relações de precedência e previsões de duração em semanas Atividade Precedência Duração Otimista Duração Mais Provável Duração Pessimista Start 0 0 0 A Start 28 32 36 B Start 22 28 32 C A 26 36 46 D B 14 16 18 E B 32 32 32 F B 40 52 74 G D 12 16 24 H EG 16 20 26 I GE 26 34 42 J CF 12 16 30 FINISH HIJ 0 0 0 a Encontre a estimativa de média e variância da duração de cada atividade b Encontre o Caminho Crítico Médio c Encontre a probabilidade aproximada que o projeto irá terminar em até 100 semanas d Encontre a probabilidade aproximada que o projeto irá terminar em até 80 semanas e Encontre a probabilidade aproximada que o projeto irá terminar em até 120 semanas f Calcule o Tempo Inicial Mais Cedo Tempo Inicial Mais Tarde Tempo Final Mais Cedo e Tempo Final Mais Tarde considerando a estimativa de média da duração de cada atividade g Qual a duração total do projeto para o pior caso pior cenário 2 Uma companhia está pronta para começar um projeto que precisa ser completado em 12 meses No entanto para conseguir terminar a execução do projeto em até 12 meses algumas atividades devem ser intensificadas Determine a maneira mais econômica de concluir o projeto em até 12 meses de acordo com os dados abaixo Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 19 Atividade Precedência Tempo Normal Tempo Intensificado Custo Normal Custo Intensificado Start 0 0 0 0 A Start 8 5 2500000 4000000 B Start 9 7 2000000 3000000 C A 6 4 1600000 2400000 D B 7 4 2700000 4500000 Finish CD 0 0 0 0 Respostas 1a Atividade média variância Start 000 000 A 3200 178 B 2767 278 C 3600 1111 D 1600 044 E 3200 000 F 5367 3211 G 1667 400 H 2033 278 I 3400 711 J 1767 900 FINISH 000 000 1b Start B F J Finish µp 99 e 4389 2 σp σp 6 62 1c 0 1511 6 62 99 100 K α A probabilidade de terminar o projeto em 100 semanas é de aproximadamente 056 1d 2 870 6 62 99 80 K α A probabilidade de terminar o projeto em 80 semanas é de aproximadamente 0002 1e 3 1722 6 62 99 120 K α A probabilidade de terminar o projeto em 120 semanas é de aproximadamente 10 Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 20 1f atividade duração média ES EF LS LF folga Start 000 0 0 0 0 0 A 3200 0 3200 1334 4534 1334 B 2767 0 2767 0 2767 0 C 3600 3200 6800 4534 8134 1334 D 1600 2767 4367 3234 4834 467 E 3200 2767 5967 3301 6501 534 F 5367 2767 8134 2767 8134 0 G 1667 4367 6034 4834 6501 467 H 2033 6034 8067 7868 9901 1834 I 3400 6034 9434 6501 9901 467 J 1767 8134 9901 8134 9901 0 FINISH 000 9901 9901 9901 9901 0 1g A duração é 136 2 Tempo meses Custo Atividade Normal Intensificada Normal Intensificada Redução Máxima em Tempo Custo Intensificado por semana reduzida A 8 5 2500000 4000000 3 500000 B 9 7 2000000 3000000 2 500000 C 6 4 1600000 2400000 2 400000 D 7 4 2700000 4500000 3 600000 Caminho Crítico StartBDFinish 16 meses Atividade Intensificada Custo Intensificado StartACFinish StartBDFinish B 500000 14 15 B 500000 14 14 C 400000 13 14 D 600000 13 13 C 400000 12 13 D 600000 12 12 TOTAL 3000000 Plano Ótimo Reduzir 2 meses a atividade B reduzir 2 meses a atividade C e reduzir 2 meses a atividade D
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Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 1 PERTCPM 1 Introdução As técnicas denominadas PERT e CPM foram independentemente desenvolvidas para o Planejamento e Controle de Projetos em torno de 1950 porém a grande semelhança entre estas fez com que o termo PERTCPM seja utilizado corriqueiramente como apenas uma técnica Os termos PERT e CPM são acrônimos de Program Evaluation and Review Technique PERT e Critical Path Method CPM Exemplos de Projetos que podem utilizar PERTCPM 1 Construção de uma planta 2 Pesquisa e desenvolvimento de um produto 3 Produção de filmes 4 Construção de navios 5 Instalação de um sistema de informações 6 Condução de campanhas publicitárias entre outras PERT e CPM utilizam principalmente os conceitos de Redes grafos para planejar e visualizar a coordenação das atividades do projeto Um exemplo clássico de aplicação de PERTCPM é o planejamento e gerenciamento da construção civil Exemplo HillerLieberman pg 468 Suponha que uma empreiteira ganhou uma concorrência de 54 milhões para construir uma planta industrial O contrato inclui Uma penalidade de 30000000 se a empreiteira não completar a construção em 47 semanas Um bônus de 15000000 se a empreiteira completar a construção em 40 semanas De acordo com a experiência da empreiteira a seguinte lista foi elaborada para este projeto Tabela 1 Atividades Atividades Precedentes e Duração Estimada Atividade Descrição Atividades Precedentes Duração Estimada semanas A Escavação 2 B Fundação A 4 C Paredes B 10 Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 2 D Telhado C 6 E Encanamento Exterior C 4 F Encanamento Interior E 5 G Muros D 7 H Pintura Exterior EG 9 I Instalação Elétrica C 7 J Divisórias FI 8 K Piso J 4 L Pintura Interior J 5 M Acabamento Exterior H 2 N Acabamento Interior KL 6 A duração para a execução da obra é 79 semanas se cada atividade for realizada uma por vez No entanto existem atividades que podem ser realizadas simultaneamente com outras atividades podendo com isso reduzir a duração da execução da obra 2 Construção da Rede A rede pode ser construída utilizando os arcos para representar as atividades e os nós para separar as atividades de suas atividades precedentes porém utilizar os nós para representar as atividades e os arcos para representar as relações de precedência parece ser mais intuitivo A figura abaixo ilustra a rede para o exemplo dado Fig 1 Rede para o exemplo dado Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 3 A partir da lista de atividades e das relações de precedência a rede pode ser facilmente construída Para isto dado uma atividade nó basta procurar na lista quais atividades são suas atividades precedentes Por exemplo na rede da figura 1 a atividade J possui as atividades F e I como precedentes as quais devem ser conectadas através de arcos orientados setas indicando assim a precedência Através da análise da rede várias informações podem ser obtidas entre elas as respostas para duas perguntas cruciais para o planejamento do projeto 1 Qual o tempo total requerido para completar o projeto se nenhum atraso ocorrer 2 Quais as atividades que não podem sofrer atrasos para que o projeto seja executado sem atraso Atividades Gargalos 21 Caminho Crítico Um caminho através de uma rede é uma rota seguindo os arcos a partir do nó INÍCIO até o nó FIM O comprimento de um caminho é a soma das durações das atividades sobre o caminho Na rede da figura 1 existem 6 caminhos que são dados na tabela abaixo juntamente com seus respectivos comprimentos Tabela 2 Caminhos e seus respectivos Comprimentos Caminho Comprimento semanas InicioABCDGHMFim 2 4 10 6 7 9 2 40 InicioABCEHMFim 2 4 10 4 9 2 31 InicioABCEFJKNFim 2 4 10 4 5 8 4 6 43 InicioABCEFJLNFim 2 4 10 4 5 8 5 6 44 InicioABCIJKNFim 2 4 10 7 8 4 6 41 InicioABCIJLNFim 2 4 10 7 8 5 6 42 O Caminho com maior Comprimento é o Caminho Crítico uma vez que todos os demais Caminhos deverão alcançar o nó FIM antes do Caminho Crítico Isto responde a questão 1 dada acima ou seja o tempo total requerido é 44 semanas para completar o projeto As atividades sobre este Caminho são as Atividades Críticas Atividades Gargalos ou seja qualquer atraso em uma dessas atividades irá atrasar a duração de todo o projeto Já as demais atividades se sofrerem algum atraso poderão ou não atrasar a duração de todo o projeto A figura 2 mostra o Caminho Crítico Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 4 Fig 2 Caminho Crítico 22 Programação de Atividades Scheduling A Programação das Atividades na técnica PERTCPM consiste em determinar em que tempo por exemplo em que dia em qual semana uma atividade deve começar e terminar A princípio o tempo inicial de uma atividade deveria ser igual ao tempo final da atividade precedente No entanto atividades que possuem 2 ou mais atividades precedentes necessitam que todas as atividades precedentes estejam completadas para então dar início a atividade em questão Já para Atividades Não Críticas o tempo inicial não precisa ser necessariamente igual ao tempo final da sua atividade precedente uma vez que esta atividade possui folga não pertence ao Caminho Crítico da Rede A fim de formalizar este raciocínio a técnica PERTCPM utiliza 4 variáveis que são ES Tempo Inicial Mais Cedo Earliest Start EF Tempo Final Mais Cedo Earliest Finish LS Tempo Inicial Mais Tarde Last Start LF Tempo Final Mais Tarde Last Finish De posse dessas variáveis as seguintes regras podem ser definidas Regra do Tempo Inicial Mais Cedo O tempo Inicial Mais Cedo ESi de uma atividade i é igual ao maior Tempo Final Mais Cedo EFj das atividades precedentes j i j j i j maxEF ES π 1 Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 5 onde πi é conjunto das atividades precedentes à atividade i Regra do Tempo Final Mais Cedo EFi ESi Di 2 onde Di é a duração da atividade i Regra do Tempo Inicial Mais Tarde LSi LFi Di 3 onde LFi como definido abaixo Regra do Tempo Final Mais Tarde O tempo Final Mais Tarde LFi de uma atividade i é igual ao menor Tempo Inical Mais Tarde LSk das atividades sucessoras k i k k i k min LS LF ψ 4 onde ψi é conjunto das atividades sucessoras à atividade i Exemplo Cálculo de ES EF LS e LF para a Atividade J divisórias da Rede da figura 1 25 max2523 maxEF EF ES I F J 5 33 8 25 D ES EF J J J 6 33 min3433 LS minLS LF L K J 7 25 8 33 D LF LS J J J 8 Como podese perceber o cálculo do Tempo Inicial Mais Cedo ES é função dos Tempos Finais Mais Cedos EF precedentes portanto a sua obtenção é realizada calculando os ESs e EFs no sentido do nó Inicio para o nó Fim forward pass Já o cálculo do Tempo Final Mais Tarde LF é função dos Tempos Iniciais Mais Tardes LS sucessores portanto a sua obtenção é realizada calculando os LSs e LFs no sentido do nó Fim para o nó Início backward pass Outra conclusão importante sobre este exemplo é que o Tempo Inicial Mais Cedo ESJ é igual ao Tempo Inicial Mais Tarde LSJ no caso 25 Isto nos diz que não há Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 6 folga para iniciar a Atividade J Dá mesma forma o Tempo Final Mais Cedo EFJ é igual ao Tempo Final Mais Tarde LFJ no caso 33 Isto nos diz que não há folga para terminar a Atividade J Estas duas conclusões estão coerentes uma vez que a Atividade J pertence ao Caminho Crítico da Rede Podese concluir ainda que LF EF LS ES e que estas diferenças são iguais à folga que existe na atividade em questão Assim a folga Si Slack para a atividade i é dada por Si LFi EFi LSi ESi 9 O valor da Folga Si corresponde ao atraso que a atividade i pode sofrer sem comprometer a duração total determinada pelo comprimento do Caminho Crítico A figura abaixo mostra a Rede com todos os seus Tempos Iniciais e Finais Mais Cedos e Mais Tardes e Folgas obs a verificação dos cálculos deve ser realizada pelo leitor Fig 3 Rede ESs EFs LSs LFs e Ss Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 7 3 Incertezas nas Durações das Atividades Metodologia PERT A duração de cada atividade na prática pode ser diferente daquela prevista na elaboração do projeto Existem muitos fatores praticamente impossíveis de serem previstos que podem adiantar ou atrasar a duração de uma atividade como por exemplo escassez ou abundância de recursos devido a variações abruptas de indicadores econômicos intempéries climáticas entre tantos outros A fim de se obter um planejamento mais confiável fazse necessário considerar no modelo incertezas sobre a duração de cada atividade Na metodologia PERT a duração de cada atividade é tratada como uma variável randômica com alguma distribuição de probabilidade A versão original da metodologia PERT utiliza 3 diferentes tipos de estimativas da duração de uma atividade para determinar os parâmetros da distribuição de probabilidade m estimativa mais provável da duração de uma atividade most likely estimate o estimativa otimista da duração de uma atividade optimistic estimate p estimativa pessimista da duração de uma atividade pessimistic estimate A metodologia PERT também assume que a forma da distribuição de probabilidade da variável randômica em questão é a da distribuição Beta A figura abaixo mostra a localização das estimativas m o e p na distribuição Beta para os parâmetros a e b da distribuição igual a 15 e 4 respectivamente Atenção a forma da distribuição pode ser bastante diferente da forma representada na figura 4 de acordo com os seus parâmetros Fig 4 Distribuição Beta Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 8 Considerando que a distribuição está efetivamente contida no intervalo µ σ 3 e µ σ 3 onde µ e σ são a média e o desviopadrão respectivamente podese definir um boa aproximação para a média como 6 p 4m o µ 10 2 2 6 o p σ 11 A tabela 3 mostra as 3 estimativas da metodologia PERT bem como a média e a variância para cada atividade da tabela 1 Tabela 3 Estimativas PERT Atividade o m p Média Variância A 1 2 3 2 19 B 2 35 8 4 1 C 6 9 18 10 4 D 4 55 10 6 1 E 1 45 5 4 49 F 4 4 10 5 1 G 5 65 11 7 1 H 5 8 17 9 4 I 3 75 9 7 1 J 3 9 9 8 1 K 4 4 4 4 0 L 1 55 7 5 1 M 1 2 3 2 19 N 5 55 9 6 49 Com os valores da tabela 3 podese por exemplo construir o cenário de pior caso ou seja determinar o Caminho Crítico utilizando as durações pessimistas A tabela 4 mostra estes cálculos elaborados de maneira análoga aos da tabela 2 Tabela 4 Caminhos e seus respectivos Comprimentos para o Cenário Pior Caso Caminho Comprimento semanas InicioABCDGHMFim 3 8 18 10 11 17 3 70 InicioABCEHMFim 3 8 18 5 17 3 54 InicioABCEFJKNFim 3 8 18 5 10 9 4 9 66 InicioABCEFJLNFim 3 8 18 5 10 9 7 9 69 InicioABCIJKNFim 3 8 18 9 9 4 9 60 InicioABCIJLNFim 3 8 18 9 9 7 9 63 Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 9 De acordo com a tabela 4 percebese que o Caminho Crítico para o Cenário Pior Caso é 70 semanas o que provavelmente inviabilizaria o projeto Porém qual a probabilidade que este Cenário ocorra Considerando que o Caminho Crítico Médio é o Caminho através da Rede que deveria ser o Caminho Crítico se a duração de cada atividade fosse a sua duração média e ainda que as atividades sobre o Caminho Crítico Médio são estatisticamente independentes podese calcular a média da distribuição de probabilidade da duração total do projeto como µ µ n i 1 i p 12 onde µi é a duração média da atividade i sobre o Caminho Crítico Médio e a variância da distribuição de probabilidade da duração total do projeto como σ σ n 1 i 2 i 2 p 13 onde σ2 i é a variância da atividade i sobre o Caminho Crítico Médio No exemplo o Caminho Crítico Médio é InicioABCDGHMFim com µp 44 e σ2 p 9 Assumindo ainda que a forma da distribuição de probabilidade para a duração total do projeto é igual à de uma distribuição normal podese calcular a probabilidade de completar o projeto em d unidades de tempo Considerando T como a duração do projeto que possui distribuição normal com média µp e σ2 p o número de desviospadrão pelo que d excede µp é p p d k σ µ α 14 Portanto utilizando uma tabela dos valores da distribuição normal padrão média 0 e variância 1 a probabilidade de completar o projeto em d unidades de tempo é α α k P Z 1 k P Z d P T 15 Exemplo A probabilidade de completar o projeto em d 47 semanas é Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 10 1 3 44 47 d k p p σ µ α 16 e 0 84 0 1587 1 k P Z 1 k P Z d P T α α 17 Assim a probabilidade de terminar o projeto em 47 semanas é de 084 a área da figura 5 é aproximadamente 084 Fig 5 47 P T Se d 40 kα 43 e 0 0918 d P T conforme a tabela da distribuição normal padrão ver figura 6 Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 11 Fig 6 40 P T Se d 44 kα 0 e 50 d P T conforme a tabela da distribuição normal padrão 4 Balanceando TempoCusto Tradeoffs De acordo com o contrato do projeto existe um bônus de 15000000 se o projeto for concluído em até 40 semanas Conforme o gráfico da figura 6 a probabilidade de terminar o projeto em até 40 semanas é em torno de 009 o que pode ser considerado pouco provável No entanto uma ou mais atividades podem ser intensificadas Crashed a fim de diminuir a duração da execução do projeto Fazse necessário então analisar quais atividades devem ser intensificadas para diminuir a duração da execução do projeto e também qual o custo que tal intensificação ocasionará Obviamente se o custo da intensificação for menor que 15000000 valor do bônus do exemplo esta deverá ser implementada A figura 7 mostra um gráfico onde a Relação TempoCusto é aproximada por função linear Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 12 Duração da Atividade Custo da Atividade Custo Intensificado Custo Normal Tempo Intensificado Tempo Normal Normal Intensificado Fig 7 Gráfico típico da Relação TempoCusto Uma vez que uma função linear é totalmente definida por dois pontos no caso Normal e Intensificado como na figura 7 podese então determinar facilmente pontos intermediários Tempos e Custos parcialmente Intensificados apenas como função dos pontos extremos Normal e Intensificado Cabe ressaltar que uma função linear é apenas um modelo possível de ser utilizado o que não necessariamente condiz com a realidade Por exemplo a atividade J divisórias possui um Custo Normal de 43000000 para ser executada em 8 semanas No entanto o responsável por essa atividade prevê que com trabalhadores adicionais e horasextras pode reduzir a duração desta atividade para 6 semanas que é o mínimo possível Então temse para a atividade J Condições Normais duração 8 semanas e custo 43000000 Condições Intensificadas duração 6 semanas e custo 49000000 Redução Máxima em Tempo 2 semanas Custo Intensificado por semana reduzida 3000000 2 43000000 49000000 A fim de decidir qual atividade deve ser intensificada fazse necessário a priori obter as Condições Normais e Intensificadas de todas as atividades A tabela 5 traz estas informações Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 13 Tabela 5 Tempos e Custos Normais e Intensificados Tempo semanas Custo Atividade Normal Intensificada Normal Intensificada Redução Máxima em Tempo Custo Intensificado por semana reduzida A 2 1 18000000 28000000 1 10000000 B 4 2 32000000 42000000 2 5000000 C 10 7 62000000 86000000 3 8000000 D 6 4 26000000 34000000 2 4000000 E 4 3 41000000 57000000 1 16000000 F 5 3 18000000 26000000 2 4000000 G 7 4 90000000 102000000 3 4000000 H 9 6 20000000 38000000 3 6000000 I 7 5 21000000 27000000 2 3000000 J 8 6 43000000 49000000 2 3000000 K 4 3 16000000 20000000 1 4000000 L 5 3 25000000 35000000 2 5000000 M 2 1 10000000 20000000 1 10000000 N 6 3 33000000 51000000 3 6000000 A soma dos Custos Normais totaliza 455000000 e a soma dos Custos Intensificados totaliza 615000000 Uma vez que a empreiteira irá ganhar 540000000 pela execução do projeto intensificar totalmente todas as atividades é inviável Para a empreiteira somente será interessante intensificar uma ou mais atividades se o custo desta intensificação for menor que 15000000 que é o bônus referente a entregar a obra em 40 semanas Da mesma forma para a empreiteira a duração intensificada precisa ser igual ou menor que 40 semanas para ganhar o bônus no entanto se a empreiteira concluir a obra em menos que 40 semanas não resultará em mais nenhum ganho extra Portanto o objetivo desse estudo é determinar se o custo para terminar o projeto em 40 semanas é menor que 15000000 Uma maneira de resolver este problema é através de Análise de Custo Marginal que utiliza a última coluna da tabela 6 para determinar o Caminho mais barato para reduzir a duração do projeto em 1 semana Inicialmente a única maneira de reduzir a duração do projeto em 1 semana é reduzir a duração de alguma Atividade Crítica uma vez que estas atividades não possuem folgas No entanto reduzindo a duração de alguma Atividade Crítica pode resultar no surgimento de outro Caminho Crítico pois alguma Atividade Não Crítica pode passar a ser Crítica Assim podese concluir que a redução de alguma atividade por uma unidade de tempo deve sempre ser realizada sobre as Atividades Críticas No exemplo dado para reduzir a duração do projeto de 44 semanas para 43 semanas devese reduzir a duração de alguma Atividade Crítica por 1 semana Obviamente a Atividade Crítica a ser reduzida sua duração deve ser aquela que possui menor Custo Intensificado por semana As atividades Críticas são ABCEFJLN Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 14 Dentre estas atividades a que possui menor Custo Intensificado 3000000 é a atividade J Reduzindo a duração da atividade J o Caminho ABCEFJLN passa a ter 43 semanas de comprimento Esta redução aumentou o custo do projeto em 3000000 passando de 455000000 Custo Normal para 458000000 A tabela 6 mostra as atividades a serem intensificadas onde cada linha representa reduzir a duração do projeto em uma semana A primeira linha da tabela sem Atividade Intensificada e Custo Intensificado mostra os Comprimentos dos Caminhos para as Condições Normais como a tabela 2 A segunda linha portanto mostra que foi realizada uma redução de uma semana na atividade J Esta redução obviamente afeta todos os Caminhos que contém a atividade J e não somente o Caminho Crítico Para as demais linhas o raciocínio é análogo Tabela 6 Análise de Custo Marginal Comprimento do Caminho semanas Atividade Intensificada Custo Intensificado ABCDGHM ABCEHM ABCEFJKN ABCEFJLN ABCIJKN ABCIJLN 40 31 43 44 41 42 J 3000000 40 31 42 43 40 41 J 3000000 40 31 41 42 39 40 F 4000000 40 31 40 41 39 40 F 4000000 40 31 39 40 39 40 Após a elaboração da tabela 6 observase que a redução da duração do projeto de 44 semanas para 40 semanas irá aumentar o custo do mesmo em 14000000 3000000 3000000 4000000 4000000 Sendo o bônus de 15000000 e o Custo Intensificado de 14000000 concluise que a Intensificação é viável porém um sobrelucro de 1000000 não é algo muito significativo quando comparado ao lucro 540000000 455000000 85000000 que a empreiteira irá obter executando o projeto nas Condições Normais apenas Além deste fato um pequeno atraso em uma atividade devido às incertezas existentes nas estimativas dos Tempos e dos Custos Normais e Intensificados pode resultar em uma duração maior de que 40 semanas e com isso perdendo o bônus 5 Gráficos Típicos Os gráficos abaixo foram gerados utilizando o MicroSoft Project Fig 8 Diagrama de Gantt Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 15 Fig 9 Diagrama da Rede vermelho representa Atividades Críticas Fig 10 Detalhe ampliado do Diagrama da Rede da figura 9 Fig 11 Diagrama PERT vermelho representa Atividades Críticas Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 16 Fig 12 Detalhe ampliado do Diagrama da Rede da figura 11 Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 17 Apêndice Tabela A1 Áreas sob a curva Normal Padrão a partir de Kα a Kαααα 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 00 050000 049601 049202 048803 048405 048006 047608 047210 046812 046414 01 046017 045620 045224 044828 044433 044038 043644 043251 042858 042465 02 042074 041683 041294 040905 040517 040129 039743 039358 038974 038591 03 038209 037828 037448 037070 036693 036317 035942 035569 035197 034827 04 034458 034090 033724 033360 032997 032636 032276 031918 031561 031207 05 030854 030503 030153 029806 029460 029116 028774 028434 028096 027760 06 027425 027093 026763 026435 026109 025785 025463 025143 024825 024510 07 024196 023885 023576 023270 022965 022663 022363 022065 021770 021476 08 021186 020897 020611 020327 020045 019766 019489 019215 018943 018673 09 018406 018141 017879 017619 017361 017106 016853 016602 016354 016109 10 015866 015625 015386 015151 014917 014686 014457 014231 014007 013786 11 013567 013350 013136 012924 012714 012507 012302 012100 011900 011702 12 011507 011314 011123 010935 010749 010565 010383 010204 010027 009853 13 009680 009510 009342 009176 009012 008851 008692 008534 008379 008226 14 008076 007927 007780 007636 007493 007353 007215 007078 006944 006811 15 006681 006552 006426 006301 006178 006057 005938 005821 005705 005592 16 005480 005370 005262 005155 005050 004947 004846 004746 004648 004551 17 004457 004363 004272 004182 004093 004006 003920 003836 003754 003673 18 003593 003515 003438 003362 003288 003216 003144 003074 003005 002938 19 002872 002807 002743 002680 002619 002559 002500 002442 002385 002330 2 002275 002222 002169 002118 002068 002018 001970 001923 001876 001831 21 001786 001743 001700 001659 001618 001578 001539 001500 001463 001426 22 001390 001355 001321 001287 001255 001222 001191 001160 001130 001101 23 001072 001044 001017 000990 000964 000939 000914 000889 000866 000842 24 000820 000798 000776 000755 000734 000714 000695 000676 000657 000639 25 000621 000604 000587 000570 000554 000539 000523 000508 000494 000480 26 000466 000453 000440 000427 000415 000402 000391 000379 000368 000357 27 000347 000336 000326 000317 000307 000298 000289 000280 000272 000264 28 000256 000248 000240 000233 000226 000219 000212 000205 000199 000193 29 000187 000181 000175 000169 000164 000159 000154 000149 000144 000139 30 000135 000131 000126 000122 000118 000114 000111 000107 000104 000100 40 317E 05 304E 05 291E 05 279E 05 267E 05 256E 05 245E 05 235E 05 225E 05 216E 05 50 287E 07 273E 07 259E 07 246E 07 233E 07 221E 07 21E07 199E 07 189E 07 179E 07 60 99E10 931E 10 875E 10 823E 10 773E 10 727E 10 683E 10 642E 10 603E 10 567E 10 FONTE Hiller Lieberman CAP 10 Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 18 Exercícios PERTCPM 1 Uma companhia está pronta para começar a desenvolver um projeto O prazo para entrega do projeto é de 100 semanas O projeto envolve 10 atividades com as seguintes relações de precedência e previsões de duração em semanas Atividade Precedência Duração Otimista Duração Mais Provável Duração Pessimista Start 0 0 0 A Start 28 32 36 B Start 22 28 32 C A 26 36 46 D B 14 16 18 E B 32 32 32 F B 40 52 74 G D 12 16 24 H EG 16 20 26 I GE 26 34 42 J CF 12 16 30 FINISH HIJ 0 0 0 a Encontre a estimativa de média e variância da duração de cada atividade b Encontre o Caminho Crítico Médio c Encontre a probabilidade aproximada que o projeto irá terminar em até 100 semanas d Encontre a probabilidade aproximada que o projeto irá terminar em até 80 semanas e Encontre a probabilidade aproximada que o projeto irá terminar em até 120 semanas f Calcule o Tempo Inicial Mais Cedo Tempo Inicial Mais Tarde Tempo Final Mais Cedo e Tempo Final Mais Tarde considerando a estimativa de média da duração de cada atividade g Qual a duração total do projeto para o pior caso pior cenário 2 Uma companhia está pronta para começar um projeto que precisa ser completado em 12 meses No entanto para conseguir terminar a execução do projeto em até 12 meses algumas atividades devem ser intensificadas Determine a maneira mais econômica de concluir o projeto em até 12 meses de acordo com os dados abaixo Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 19 Atividade Precedência Tempo Normal Tempo Intensificado Custo Normal Custo Intensificado Start 0 0 0 0 A Start 8 5 2500000 4000000 B Start 9 7 2000000 3000000 C A 6 4 1600000 2400000 D B 7 4 2700000 4500000 Finish CD 0 0 0 0 Respostas 1a Atividade média variância Start 000 000 A 3200 178 B 2767 278 C 3600 1111 D 1600 044 E 3200 000 F 5367 3211 G 1667 400 H 2033 278 I 3400 711 J 1767 900 FINISH 000 000 1b Start B F J Finish µp 99 e 4389 2 σp σp 6 62 1c 0 1511 6 62 99 100 K α A probabilidade de terminar o projeto em 100 semanas é de aproximadamente 056 1d 2 870 6 62 99 80 K α A probabilidade de terminar o projeto em 80 semanas é de aproximadamente 0002 1e 3 1722 6 62 99 120 K α A probabilidade de terminar o projeto em 120 semanas é de aproximadamente 10 Pesquisa Operacional PERTCPM Notas de Aula Fernando Nogueira 20 1f atividade duração média ES EF LS LF folga Start 000 0 0 0 0 0 A 3200 0 3200 1334 4534 1334 B 2767 0 2767 0 2767 0 C 3600 3200 6800 4534 8134 1334 D 1600 2767 4367 3234 4834 467 E 3200 2767 5967 3301 6501 534 F 5367 2767 8134 2767 8134 0 G 1667 4367 6034 4834 6501 467 H 2033 6034 8067 7868 9901 1834 I 3400 6034 9434 6501 9901 467 J 1767 8134 9901 8134 9901 0 FINISH 000 9901 9901 9901 9901 0 1g A duração é 136 2 Tempo meses Custo Atividade Normal Intensificada Normal Intensificada Redução Máxima em Tempo Custo Intensificado por semana reduzida A 8 5 2500000 4000000 3 500000 B 9 7 2000000 3000000 2 500000 C 6 4 1600000 2400000 2 400000 D 7 4 2700000 4500000 3 600000 Caminho Crítico StartBDFinish 16 meses Atividade Intensificada Custo Intensificado StartACFinish StartBDFinish B 500000 14 15 B 500000 14 14 C 400000 13 14 D 600000 13 13 C 400000 12 13 D 600000 12 12 TOTAL 3000000 Plano Ótimo Reduzir 2 meses a atividade B reduzir 2 meses a atividade C e reduzir 2 meses a atividade D