·
Engenharia Mecânica ·
Mecânica Clássica
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A localização do centro de gravidade medido a partir do eixo y é determinada igualandose o momento de W em relação ao eixo y à soma dos momentos dos pesos das partículas em relação a esse mesmo eixo Portanto MRy Sigma Mj quad xW int barx dW quad x fracint barx dWint dW De modo semelhante se o corpo representa uma placa então seria necessário um equilíbrio de momentos em relação aos eixos x e y para determinar a localização barx bary do ponto G Finalmente podemos generalizar essa ideia para um corpo tridimensional e realizar um equilíbrio de momentos em relação a todos os três eixos para localizar G para qualquer posição girada dos eixos Isso resulta nas seguintes equações barx fracint barx dWint dW quad bary fracint bary dWint dW quad barz fracint barz dWint dW onde barx bary barz são as coordenadas do centro de gravidade G barx bary barz são as coordenadas de qualquer partícula arbitrária no corpo Centro de massa de um corpo Para o estudo da resposta dinâmica ou movimento acelerado de um corpo é importante localizar o seu centro de massa Cm Essa localização pode ser determinada substituindose dW g dm nas equações 91 Se g é constante c é cancelado e portanto barx fracint barx dmint dm quad bary fracint bary dmint dm quad barz fracint barz dmint dm Centroide de um volume Se o corpo na Figura 93 é feito de um material homogêneo então sua densidade rho será constante Portanto um elemento diferencial de volume dV tem massa dm rho dV Substituindo essa massa nas equações 92 e cancelando rho obtemos as fórmulas que localizam o centroide C ou centro geométrico do corpo a saber barx fracint barx dVint dV quad bary fracint bary dVint dV quad barz fracint barz dVint dV CAPÍTULO 9 Centro de gravidade e centroide Ao se projetar um tanque de qualquer formato é importante poder determinar seu centro de gravidade calcular seu volume e sua área da superfície e determinar as forças dos líquidos que ele contém Esses assuntos serão abordados neste capítulo 91 Centro de gravidade centro de massa e centroide de um corpo É importante conhecer a resultante ou o peso total de um corpo e sua localização quando é considerado o efeito que essa força produz sobre o corpo O ponto de localização é denominado centro de gravidade e nesta seção mostramos como localizálo para um corpo de formato irregular Depois estenderemos esse método para mostrar como localizar o centro de massa do corpo e seu centro geométrico ou centroide Centro de gravidade Um corpo é composto de uma série infinita de partículas de tamanho infinitesimal e assim seu corpo estiver localizado dentro de um campo gravitacional cada uma das partículas terá um peso dW Esses pesos formarão um sistema de forças paralelas e a resultante desse sistema é o peso total do corpo que passa por um único ponto chamado centro de gravidade G Para determinar a localização do centro de gravidade considere o elemento da Figura 91a na qual o segmento com o peso dW está na posição arbitrária R Usando os métodos esboçados na Seção 48 o peso total do elemento W int dW 406 ESTÁTICA Capítulo 9 Centro de gravidade e centroide 407 408 ESTÁTICA Localize o centroide do segmento de arame circular mostrado na Figura 99 Localize o centroide para a área de um quarto de círculo mostrado na Figura 911 Localize o centroide da área mostrada na Figura 912a Exemplo 96 Localize o centroide da área semicilíndrica mostrada na Figura 913a SOLUÇÃO I Elemento diferencial Vamos considerar o elemento diferencial retangular paralelo ao eixo y que aparece sombreado na Figura 913a Esse elemento tem espessura dx e altura y Área e braços de momentos Assim a área dA y dx e seu centroide está localizado em x x e y y2 Integração Como a área é simétrica relação ao eixo y x 0 Aplicando a segunda das equações 94 com y 1 x²4 temos y 1 A 2 m to 2 m y dA 2 2 2 m to 2 m y dx 43 π 0424 m Resposta SOLUÇÃO II Elemento diferencial Vamos considerar o elemento diferencial retangular sombreado de espessura dy e largura 2x paralelo ao eixo x Figura 913b Área e braços de momentos A área é dA 2x dy e seu centroide está em x 0 e y y Integração Aplicando a segunda das equações 94 com x 21 y² temos y 1 A 1 m to 0 y2x dy 1 A 1 m to 0 y² 4 dy 43 π m 0424 Resposta Exemplo 97 Localize o centroide y para o parabolóide de revolução mostrado na Figura 914 SOLUÇÃO Elemento diferencial Um elemento com a forma de um disco fino é escolhido Esse elemento tem espessura dy intercepta a curva de geração no ponto arbitrário 0 y z e portanto seu raio é r z Volume e braço de momento O volume do elemento é dV πx² dy e seu centroide está localizado em y y Integração Aplicando a segunda das equações 93 e integrando com relação a y temos y 1 V 100 mm to 0 yπx² dy 100π 100 mm to 0 πx² dy 667 mm Resposta Exemplo 98 Determine a localização do centro de massa do cilindro mostrado na Figura 915 se sua densidade varia diretamente com a distância a partir de sua base ou seja ρ 200z kgm³ SOLUÇÃO Devido à distribuição radial simétrica do material x y 0 Resposta F91 Determine o centroide barx bary da área sombread 91 Determine o centro de massa do elemento homogêneo encurvado na forma de um arco circular 97 Localize o centroide barx da área sombread Resolve o problema calculando as integrais por meio da regra de Simpson 930 A placa de aço tem 03 m de espessura e densidade de 7850 kgm³ Determine a localização de seu centro de massa Além disso determine as reações no pino e no apoio de rolete 936 Localize o centroide y da área sombreada 941 Localize o centroide z do tronco do cone circular reto 944 Localize o centroide do quarto de cone 945 Localize o centroide do elipsoide de revolução Sugestão use um elemento de placa diferencial retangular com espessura dz e área 2x2y CAPÍTULO 10 Momento de inércia 101 Definição de momentos de inércia para áreas Sempre que uma carga distribuída atua perpendicularmente a uma área e sua intensidade varia linearmente o cálculo do momento de inércia da distribuição de carga em relação a um eixo envolverá uma integral na forma y² dA Essa relação entre Jo e Ix Iy é possível porque r²x²y² Figura 102 Para essas formulações vemos que Ix Iy e Jo sempre serão positivos pois envolvem o produto entre distância ao quadrado e área A primeira integral representa o momento de inércia da área em relação ao eixo centroidal Ix A segunda integral é zero pois o eixo x passa pelo centroid C da área ou seja y dA y dA 0 pois y 0 Como a terceira integral representa a área total A o resultado final é portanto Ix Iv A dc 103 Uma expressão semelhante pode ser escrita para Iy ou seja Iy Iy A dc 104 E finalmente para o momento de inércia polar como JC Ix Iy e d2 dx2 dy2 temos JO JC A d2 105 O formato de cada uma dessas três equações indica que o momento de inércia de uma área em relação a um eixo é igual ao seu momento de inércia em relação a um eixo paralelo passando pelo centroid da área mais o produto entre a área e o quadrado da distância perpendicular entre os eixos 103 Raio de giruação de uma área O raio de giração de uma área em relação a um eixo tem unidades de comprimento e k é uma quantidade normalmente usada para projetos de colunas na mecânica estrutural Se as áreas e os momentos de inércia forem conhecidos os raios de giração serão determinados pelas fórmulas kx IxA ky IyA kO JOA 106 O formato dessas equações é facilmente lembrado pois é semelhante ao usado para encontrar o momento de inércia de uma área diferencial em relação a um eixo Por exemplo Ix k2A ao passo que para uma área diferencial dA y2 dA Na maior parte dos casos o momento de inércia pode ser determinado usando uma única integração O procedimento a seguir mostra duas maneiras de como isso pode ser feito Se a curva definido o limite da área for expressa como y fx selecione um elemento diferencial retangular de modo que tenha um comprimento finito e largura diferencial O elemento deverá ser localizado de modo que cruze a curva em um ponto arbitrário x y Caso 1 Oriente o elemento de modo que seu comprimento seja paralelo ao eixo em relação ao qual o momento de inércia é calculado Essa situação ocorre quando o elemento retângulo mostrado na Figura 104a é usado para determinar Ix para a área Aqui todo o elemento está a uma distância y do eixo x pois tem espessura dy Assim Ix y2 dA Para achar Iy o elemento é orientado como mostra a Figura 104b Esse elemento se encontra à mesma distância y do eixo y de modo que Iy x2 dA Caso 2 O comprimento do elemento pode ser orientado perpendicularmente ao eixo em relação ao qual o momento de inércia é calculado porém a Equação 101 não se aplica pois todos os pontos no elemento não terão o mesmo comprimento de braço de momento a partir do eixo Por exemplo se o elemento retangular na Figura 104a for usado para encontrar Iy primeiramente será necessário calcular o momento de inércia do elemento em relação a um eixo paralelo ao eixo x que passe pelo centroid do elemento e depois determinar o momento de inércia do elemento em relação ao eixo y usando o teorema dos eixos paralelos A integração desse resultado gerará Iy Ver exemplos 102 e 103 EXEMPLO 101 Determine o momento de inércia da área retangular mostrada na Figura 105 em relação a a o eixo centroidal x b o eixo xb passando pela base do retângulo e c o polo ou eixo z perpendicular ao plano xy e passando pelo centroid C SOLUÇÃO CASO 1 O elemento diferencial mostrado na Figura 105 é escolhido para integração Em razão de seu posicionamento c de sua orientação todo o elemento está a uma distância y do eixo x Aqui integrase de y h2 a y h2 Como dA b dy então Ix y2 dA h2 h2 y2b dy b h2 h2 y2 dy 112 bh3 Resposta Ix 112 bh3 Parte b O momento de inércia em relação a um eixo passando pela base do retângulo pode ser obtido usando o resultado da parte a e aplicando o teorema dos eixos paralelos Equação 103 Ix Iy A df 112 bh3 bh h2 2 13 bh3 Resposta Parte c Para calcular o momento de inércia polar em relação ao ponto C primeiramente temos de obter Iy que pode ser encontrado trocando entre si as dimensões b e h no resultado da parte a ou seja Iy 112 hb3 Usando a Equação 102 o momento de inércia polar em relação a C é portanto JC Ix Iy 112 bhh2 b2 Resposta EXEMPLO 102 Determine o momento de inércia da área sombreada mostrada na Figura 106a em relação ao eixo x SOLUÇÃO CASO 1 Um elemento diferencial de área que é paralelo ao eixo x como mostra a Figura 106a é escolhido para integração Como esse elemento tem espessura dy e cruza a curva no ponto arbitrário x y sua área é dA c100 x dy Além disso o elemento está à mesma distância y do cixo x Logo a integração em relação a y de y 0 a y 200 mm produz Ix y2 dA 0 200 mm y2y2100 x dy 0 200 mm 100 y2 y4400 dy 107106 mm4 Resposta SOLUÇÃO CASO 2 Um elemento diferencial paralelo ao cixo y como mostra a Figura 106b é escolhido para integração Ele cruza a curva no ponto arbitrário x y Nesse caso todos os pontos do elemento não se encontrarão à mesma distância do eixo x e portanto o teorema dos eixos paralelos precisa ser usado para determinar o momento de inércia em relação a esse eixo Para um retângulo de base b e altura h o momento de inércia em torno de seu eixo centroidal foi determinado na parte a do Exemplo 101 Lá descobriuse que Iy 112 bh3 Para o elemento diferencial mostrado na Figura 106b dIy Ix dy3 e assim dIy 112 dx3 y3 Como o centroide do elemento dista y2 a partir do eixo x o momento de inércia do elemento em relação a esse cixo é dIx dIy dA y2 112 dx y3 dy dx y2 2 13 y3 dx Esse resultado também pode ser obtido a partir da parte b do Exemplo 101 A integração em relação a x de x 0 a x 100 mm produz NOTA por comparação a Solução I requer muito menos cálculo Portanto se uma integral que usa determinado elemento parece difícil de resolver tente usar um elemento orientado de outra direção 101 Determine o momento de inércia da área sombreadas em relação ao eixo x 1013 Determine o momento de inércia da área sombreadA em relação ao eixo x 1022 Determine o momento de inércia da área sombreadA em relação ao eixo y 104 Momentos de inércia para áreas compostas SOLUÇÃO Partes componentes A seção transversal pode ser subdividida em três áreas retangulares A B e D mostradas na Figura 109b Para o cálculo o centroide de cada um desses retângulos está localizado na figura Teorema dos eixos paralelos A partir dos apêndices ou pelo Exemplo 101 o momento de inércia do retângulo em relação a seu eixo centroidal é I 112 bh³ Logo usando o teorema dos eixos paralelos para os retângulos A e D os cálculos são os seguintes Retângulos A e D Ix Ix A d² 112 100300³ 100300200² 142510⁹ mm⁴ Iy Iy A d² 112 300100³ 100300250² 19010⁹ mm⁴ Retângulo B Ix 112 600100³ 00510⁹ mm⁴ Iy 112 100600³ 18010⁹ mm⁴ Somatório Os momentos de inércia de toda a seção transversal são portanto Ix 2142510⁹ 00510⁹ 29010⁹ mm⁴ Iy 219010⁹ 18010⁹ 56010⁹ mm⁴ Problemas fundamentais F105 Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação aos eixos centoidais x e y F106 Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação aos eixos centoidais x e y F107 Determine o momento de inércia da área da seção transversal do perfil em relação ao eixo y F108 Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga T em relação ao eixo x passando pelo centroide da seção transversal 1025 O momento de inércia polar em relação ao eixo z passando pelo centroide C da área é JC 64210⁵ mm⁴ O momento de inércia em relação ao eixo y é 26410⁶ mm⁴ e o momento de inércia em relação ao eixo x é 93810⁶ mm⁴ Determine a área A 1028 Determine o momento de inércia em relação ao eixo x 1029 Determine o momento de inércia em relação ao eixo y 1030 Determine ĥ que localiza o eixo centroidal x da área da seção transversal da viga T e depois determine os momentos de inércia Ix e Iy 1034 Determine o momento de inércia Ix da área sombreadas em relação ao eixo x 1035 Determine o momento de inércia Ix da área sombreadas em relação ao eixo y 1031 Determine a localização y do centroide da área da seção transversal do canal e depois calcule o momento de inércia da área em relação a esse eixo 1032 Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo x 1033 Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo y 1036 Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo x 1037 Determine y que localiza o eixo centroidal x da área da seção transversal da viga T e depois calcule o momento de inércia em relação ao eixo x Capítulo 10 Momentos de inércia 471 1039 Determine o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo y 1040 Determine o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo x 1041 Localize o centroide x da área da seção transversal da viga depois determine o momento de inércia dessa área em relação ao eixo centroidal y 1042 Determine o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo x 1043 Determine o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo y 1046 Determine o momento de inércia da área sombreadas em relação ao eixo x 1047 Determine o momento de inércia da área sombreadas em relação ao eixo y 1048 Determine o momento de inércia do paralelogramo em relação ao eixo x que passa pelo centroid C da área 1049 Determine o momento de inércia do paralelogramo em relação ao eixo y que passa pelo centroide C da área 1050 Determine o centroide y da seção transversal e determine o momento de inércia da seção em relação ao eixo x 1051 Determine o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo x passando pelo seu centroide C 1052 Determine a distância x até o centroide da área da seção transversal da viga depois determine o momento de inércia em relação ao eixo y 1053 Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo x 105 Produto de inércia de uma área Capítulo 10 Momentos de inércia 473 Se o elemento de área escolhido tem uma dimensão diferencial nas duas direções como mostra a Figura 1010 uma dupla integração precisa ser realizada para avaliar Ixy Normalmente porém é mais fácil escolher um elemento tendo uma dimensão diferencial ou espessura em apenas uma direção caso em que a avaliação requer apenas uma única integração Assim como o momento de inércia o produto de inércia tem unidades de comprimento elevadas a quarta potência por exemplo m⁴ ou mm⁴ Porém como x ou y podem ser negativos o produto de inércia pode ser positivo negativo ou zero dependendo da posição e da orientação dos eixos de coordenadas Por exemplo o produto de inércia Ixy de uma área será zero se o eixo x ou y for um eixo de simetria da área como na Figura 1011 Aqui cada elemento dA localizado em um ponto x y tem um elemento correspondente dA localizado em x y são zero pois os momentos da área são considerados em relação aos eixos centroidais Constatandose que a quarta integral representa a área completa A o teorema dos eixos paralelos para o produto de inércia tornase Ixy Ixy Adcdy É importante que os sinais algébricos para dc e dy sejam mantidos ao se aplicar essa equação EXEMPLO 106 Determine o produto de inércia Ixy do triângulo mostrado na Figura 1014a SOLUÇÃO I Um elemento diferencial que tem espessura dx como mostra a Figura 1014b tem área dA y dx O produto de inércia desse elemento em relação aos eixos x e y é determinado usando o teorema dos eixos paralelos dIxy dIxy dA x y onde x e y localizam o centroide do elemento ou a origem dos eixos x y Ver Figura 1013 Como dIxy 0 em razão da simetria x x yy2 então dIxy 0 y dx y2 hb x dx h2b x A integração em relação a x de x 0 até x b produz Ixy h²2b² ₀ᵇ x³ dx b³h²8 Resposta SOLUÇÃO II O elemento diferencial que tem espessura dy como mostra a Figura 1014c também pode ser usado Sua área dA bx dy O centroide está localizado no ponto x x bx2 bx2 y y de modo que o produto de inércia do elemento tornase dIxy dIxy dA x y 0 b x dy b x2 y b bhy2b hx2 12y² b² b²h²² dy A integração em relação a y de y 0 até y h gera Ixy 12 ₀ʰ b² b²h²x² dy b²h²8 Resposta FIGURA 1014 EXEMPLO 107 Determine o produto de inércia da seção transversal do membro mostrado na Figura 1015a em relação aos eixos centroidais x e y SOLUÇÃO Como no Exemplo 105 a seção transversal pode ser subdividida em três áreas retangulares compostas A B e D Figura 1015b As coordenadas dos centroides de cada um desses retângulos aparecem na figura Por causa da simetria o produto de inércia de cada retângulo é zero em relação a um conjunto de eixos x y que passa pelo centroide de cada retângulo Usando o teorema dos eixos paralelos temos Retângulo A Ixy Ixy Adcdy 0 300100250200 15010⁹ mm⁴ Retângulo B Ixy Ixy Adcdy 0 0 0 Retângulo D Ixy Ixy Adcdy 0 300100250200 15010⁹ mm⁴ O produto de inércia de toda a seção transversal é portanto Ixy 15010⁹ 0 15010⁹ 30010⁹ mm⁴ Resposta NOTA esse resultado negativo devese ao fato de que os retângulos A e D têm centroides com coordenações x negativa e y negativa respectivamente 106 Momentos de inércia de uma área em relação a eixos inclinados Em projeto estrutural e mecânico às vezes é necessário calcular os momentos e o produto de inércia Iuu Iv e Iwe de uma área em relação a um conjunto de eixos inclinados u e v quando os valores para θ Ix Iy e Ixy são conhecidos Para fazer isso usaremos equações de transformação relacionadas com os pares de coordenadas x y e u v Da Figura 1016 essas equações são u x cos θ y sen θ v y cos θ x sen θ Com essas equações os momentos o produto de inércia dA em relação aos eixos u e v tornamse
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A localização do centro de gravidade medido a partir do eixo y é determinada igualandose o momento de W em relação ao eixo y à soma dos momentos dos pesos das partículas em relação a esse mesmo eixo Portanto MRy Sigma Mj quad xW int barx dW quad x fracint barx dWint dW De modo semelhante se o corpo representa uma placa então seria necessário um equilíbrio de momentos em relação aos eixos x e y para determinar a localização barx bary do ponto G Finalmente podemos generalizar essa ideia para um corpo tridimensional e realizar um equilíbrio de momentos em relação a todos os três eixos para localizar G para qualquer posição girada dos eixos Isso resulta nas seguintes equações barx fracint barx dWint dW quad bary fracint bary dWint dW quad barz fracint barz dWint dW onde barx bary barz são as coordenadas do centro de gravidade G barx bary barz são as coordenadas de qualquer partícula arbitrária no corpo Centro de massa de um corpo Para o estudo da resposta dinâmica ou movimento acelerado de um corpo é importante localizar o seu centro de massa Cm Essa localização pode ser determinada substituindose dW g dm nas equações 91 Se g é constante c é cancelado e portanto barx fracint barx dmint dm quad bary fracint bary dmint dm quad barz fracint barz dmint dm Centroide de um volume Se o corpo na Figura 93 é feito de um material homogêneo então sua densidade rho será constante Portanto um elemento diferencial de volume dV tem massa dm rho dV Substituindo essa massa nas equações 92 e cancelando rho obtemos as fórmulas que localizam o centroide C ou centro geométrico do corpo a saber barx fracint barx dVint dV quad bary fracint bary dVint dV quad barz fracint barz dVint dV CAPÍTULO 9 Centro de gravidade e centroide Ao se projetar um tanque de qualquer formato é importante poder determinar seu centro de gravidade calcular seu volume e sua área da superfície e determinar as forças dos líquidos que ele contém Esses assuntos serão abordados neste capítulo 91 Centro de gravidade centro de massa e centroide de um corpo É importante conhecer a resultante ou o peso total de um corpo e sua localização quando é considerado o efeito que essa força produz sobre o corpo O ponto de localização é denominado centro de gravidade e nesta seção mostramos como localizálo para um corpo de formato irregular Depois estenderemos esse método para mostrar como localizar o centro de massa do corpo e seu centro geométrico ou centroide Centro de gravidade Um corpo é composto de uma série infinita de partículas de tamanho infinitesimal e assim seu corpo estiver localizado dentro de um campo gravitacional cada uma das partículas terá um peso dW Esses pesos formarão um sistema de forças paralelas e a resultante desse sistema é o peso total do corpo que passa por um único ponto chamado centro de gravidade G Para determinar a localização do centro de gravidade considere o elemento da Figura 91a na qual o segmento com o peso dW está na posição arbitrária R Usando os métodos esboçados na Seção 48 o peso total do elemento W int dW 406 ESTÁTICA Capítulo 9 Centro de gravidade e centroide 407 408 ESTÁTICA Localize o centroide do segmento de arame circular mostrado na Figura 99 Localize o centroide para a área de um quarto de círculo mostrado na Figura 911 Localize o centroide da área mostrada na Figura 912a Exemplo 96 Localize o centroide da área semicilíndrica mostrada na Figura 913a SOLUÇÃO I Elemento diferencial Vamos considerar o elemento diferencial retangular paralelo ao eixo y que aparece sombreado na Figura 913a Esse elemento tem espessura dx e altura y Área e braços de momentos Assim a área dA y dx e seu centroide está localizado em x x e y y2 Integração Como a área é simétrica relação ao eixo y x 0 Aplicando a segunda das equações 94 com y 1 x²4 temos y 1 A 2 m to 2 m y dA 2 2 2 m to 2 m y dx 43 π 0424 m Resposta SOLUÇÃO II Elemento diferencial Vamos considerar o elemento diferencial retangular sombreado de espessura dy e largura 2x paralelo ao eixo x Figura 913b Área e braços de momentos A área é dA 2x dy e seu centroide está em x 0 e y y Integração Aplicando a segunda das equações 94 com x 21 y² temos y 1 A 1 m to 0 y2x dy 1 A 1 m to 0 y² 4 dy 43 π m 0424 Resposta Exemplo 97 Localize o centroide y para o parabolóide de revolução mostrado na Figura 914 SOLUÇÃO Elemento diferencial Um elemento com a forma de um disco fino é escolhido Esse elemento tem espessura dy intercepta a curva de geração no ponto arbitrário 0 y z e portanto seu raio é r z Volume e braço de momento O volume do elemento é dV πx² dy e seu centroide está localizado em y y Integração Aplicando a segunda das equações 93 e integrando com relação a y temos y 1 V 100 mm to 0 yπx² dy 100π 100 mm to 0 πx² dy 667 mm Resposta Exemplo 98 Determine a localização do centro de massa do cilindro mostrado na Figura 915 se sua densidade varia diretamente com a distância a partir de sua base ou seja ρ 200z kgm³ SOLUÇÃO Devido à distribuição radial simétrica do material x y 0 Resposta F91 Determine o centroide barx bary da área sombread 91 Determine o centro de massa do elemento homogêneo encurvado na forma de um arco circular 97 Localize o centroide barx da área sombread Resolve o problema calculando as integrais por meio da regra de Simpson 930 A placa de aço tem 03 m de espessura e densidade de 7850 kgm³ Determine a localização de seu centro de massa Além disso determine as reações no pino e no apoio de rolete 936 Localize o centroide y da área sombreada 941 Localize o centroide z do tronco do cone circular reto 944 Localize o centroide do quarto de cone 945 Localize o centroide do elipsoide de revolução Sugestão use um elemento de placa diferencial retangular com espessura dz e área 2x2y CAPÍTULO 10 Momento de inércia 101 Definição de momentos de inércia para áreas Sempre que uma carga distribuída atua perpendicularmente a uma área e sua intensidade varia linearmente o cálculo do momento de inércia da distribuição de carga em relação a um eixo envolverá uma integral na forma y² dA Essa relação entre Jo e Ix Iy é possível porque r²x²y² Figura 102 Para essas formulações vemos que Ix Iy e Jo sempre serão positivos pois envolvem o produto entre distância ao quadrado e área A primeira integral representa o momento de inércia da área em relação ao eixo centroidal Ix A segunda integral é zero pois o eixo x passa pelo centroid C da área ou seja y dA y dA 0 pois y 0 Como a terceira integral representa a área total A o resultado final é portanto Ix Iv A dc 103 Uma expressão semelhante pode ser escrita para Iy ou seja Iy Iy A dc 104 E finalmente para o momento de inércia polar como JC Ix Iy e d2 dx2 dy2 temos JO JC A d2 105 O formato de cada uma dessas três equações indica que o momento de inércia de uma área em relação a um eixo é igual ao seu momento de inércia em relação a um eixo paralelo passando pelo centroid da área mais o produto entre a área e o quadrado da distância perpendicular entre os eixos 103 Raio de giruação de uma área O raio de giração de uma área em relação a um eixo tem unidades de comprimento e k é uma quantidade normalmente usada para projetos de colunas na mecânica estrutural Se as áreas e os momentos de inércia forem conhecidos os raios de giração serão determinados pelas fórmulas kx IxA ky IyA kO JOA 106 O formato dessas equações é facilmente lembrado pois é semelhante ao usado para encontrar o momento de inércia de uma área diferencial em relação a um eixo Por exemplo Ix k2A ao passo que para uma área diferencial dA y2 dA Na maior parte dos casos o momento de inércia pode ser determinado usando uma única integração O procedimento a seguir mostra duas maneiras de como isso pode ser feito Se a curva definido o limite da área for expressa como y fx selecione um elemento diferencial retangular de modo que tenha um comprimento finito e largura diferencial O elemento deverá ser localizado de modo que cruze a curva em um ponto arbitrário x y Caso 1 Oriente o elemento de modo que seu comprimento seja paralelo ao eixo em relação ao qual o momento de inércia é calculado Essa situação ocorre quando o elemento retângulo mostrado na Figura 104a é usado para determinar Ix para a área Aqui todo o elemento está a uma distância y do eixo x pois tem espessura dy Assim Ix y2 dA Para achar Iy o elemento é orientado como mostra a Figura 104b Esse elemento se encontra à mesma distância y do eixo y de modo que Iy x2 dA Caso 2 O comprimento do elemento pode ser orientado perpendicularmente ao eixo em relação ao qual o momento de inércia é calculado porém a Equação 101 não se aplica pois todos os pontos no elemento não terão o mesmo comprimento de braço de momento a partir do eixo Por exemplo se o elemento retangular na Figura 104a for usado para encontrar Iy primeiramente será necessário calcular o momento de inércia do elemento em relação a um eixo paralelo ao eixo x que passe pelo centroid do elemento e depois determinar o momento de inércia do elemento em relação ao eixo y usando o teorema dos eixos paralelos A integração desse resultado gerará Iy Ver exemplos 102 e 103 EXEMPLO 101 Determine o momento de inércia da área retangular mostrada na Figura 105 em relação a a o eixo centroidal x b o eixo xb passando pela base do retângulo e c o polo ou eixo z perpendicular ao plano xy e passando pelo centroid C SOLUÇÃO CASO 1 O elemento diferencial mostrado na Figura 105 é escolhido para integração Em razão de seu posicionamento c de sua orientação todo o elemento está a uma distância y do eixo x Aqui integrase de y h2 a y h2 Como dA b dy então Ix y2 dA h2 h2 y2b dy b h2 h2 y2 dy 112 bh3 Resposta Ix 112 bh3 Parte b O momento de inércia em relação a um eixo passando pela base do retângulo pode ser obtido usando o resultado da parte a e aplicando o teorema dos eixos paralelos Equação 103 Ix Iy A df 112 bh3 bh h2 2 13 bh3 Resposta Parte c Para calcular o momento de inércia polar em relação ao ponto C primeiramente temos de obter Iy que pode ser encontrado trocando entre si as dimensões b e h no resultado da parte a ou seja Iy 112 hb3 Usando a Equação 102 o momento de inércia polar em relação a C é portanto JC Ix Iy 112 bhh2 b2 Resposta EXEMPLO 102 Determine o momento de inércia da área sombreada mostrada na Figura 106a em relação ao eixo x SOLUÇÃO CASO 1 Um elemento diferencial de área que é paralelo ao eixo x como mostra a Figura 106a é escolhido para integração Como esse elemento tem espessura dy e cruza a curva no ponto arbitrário x y sua área é dA c100 x dy Além disso o elemento está à mesma distância y do cixo x Logo a integração em relação a y de y 0 a y 200 mm produz Ix y2 dA 0 200 mm y2y2100 x dy 0 200 mm 100 y2 y4400 dy 107106 mm4 Resposta SOLUÇÃO CASO 2 Um elemento diferencial paralelo ao cixo y como mostra a Figura 106b é escolhido para integração Ele cruza a curva no ponto arbitrário x y Nesse caso todos os pontos do elemento não se encontrarão à mesma distância do eixo x e portanto o teorema dos eixos paralelos precisa ser usado para determinar o momento de inércia em relação a esse eixo Para um retângulo de base b e altura h o momento de inércia em torno de seu eixo centroidal foi determinado na parte a do Exemplo 101 Lá descobriuse que Iy 112 bh3 Para o elemento diferencial mostrado na Figura 106b dIy Ix dy3 e assim dIy 112 dx3 y3 Como o centroide do elemento dista y2 a partir do eixo x o momento de inércia do elemento em relação a esse cixo é dIx dIy dA y2 112 dx y3 dy dx y2 2 13 y3 dx Esse resultado também pode ser obtido a partir da parte b do Exemplo 101 A integração em relação a x de x 0 a x 100 mm produz NOTA por comparação a Solução I requer muito menos cálculo Portanto se uma integral que usa determinado elemento parece difícil de resolver tente usar um elemento orientado de outra direção 101 Determine o momento de inércia da área sombreadas em relação ao eixo x 1013 Determine o momento de inércia da área sombreadA em relação ao eixo x 1022 Determine o momento de inércia da área sombreadA em relação ao eixo y 104 Momentos de inércia para áreas compostas SOLUÇÃO Partes componentes A seção transversal pode ser subdividida em três áreas retangulares A B e D mostradas na Figura 109b Para o cálculo o centroide de cada um desses retângulos está localizado na figura Teorema dos eixos paralelos A partir dos apêndices ou pelo Exemplo 101 o momento de inércia do retângulo em relação a seu eixo centroidal é I 112 bh³ Logo usando o teorema dos eixos paralelos para os retângulos A e D os cálculos são os seguintes Retângulos A e D Ix Ix A d² 112 100300³ 100300200² 142510⁹ mm⁴ Iy Iy A d² 112 300100³ 100300250² 19010⁹ mm⁴ Retângulo B Ix 112 600100³ 00510⁹ mm⁴ Iy 112 100600³ 18010⁹ mm⁴ Somatório Os momentos de inércia de toda a seção transversal são portanto Ix 2142510⁹ 00510⁹ 29010⁹ mm⁴ Iy 219010⁹ 18010⁹ 56010⁹ mm⁴ Problemas fundamentais F105 Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação aos eixos centoidais x e y F106 Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação aos eixos centoidais x e y F107 Determine o momento de inércia da área da seção transversal do perfil em relação ao eixo y F108 Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga T em relação ao eixo x passando pelo centroide da seção transversal 1025 O momento de inércia polar em relação ao eixo z passando pelo centroide C da área é JC 64210⁵ mm⁴ O momento de inércia em relação ao eixo y é 26410⁶ mm⁴ e o momento de inércia em relação ao eixo x é 93810⁶ mm⁴ Determine a área A 1028 Determine o momento de inércia em relação ao eixo x 1029 Determine o momento de inércia em relação ao eixo y 1030 Determine ĥ que localiza o eixo centroidal x da área da seção transversal da viga T e depois determine os momentos de inércia Ix e Iy 1034 Determine o momento de inércia Ix da área sombreadas em relação ao eixo x 1035 Determine o momento de inércia Ix da área sombreadas em relação ao eixo y 1031 Determine a localização y do centroide da área da seção transversal do canal e depois calcule o momento de inércia da área em relação a esse eixo 1032 Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo x 1033 Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo y 1036 Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo x 1037 Determine y que localiza o eixo centroidal x da área da seção transversal da viga T e depois calcule o momento de inércia em relação ao eixo x Capítulo 10 Momentos de inércia 471 1039 Determine o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo y 1040 Determine o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo x 1041 Localize o centroide x da área da seção transversal da viga depois determine o momento de inércia dessa área em relação ao eixo centroidal y 1042 Determine o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo x 1043 Determine o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo y 1046 Determine o momento de inércia da área sombreadas em relação ao eixo x 1047 Determine o momento de inércia da área sombreadas em relação ao eixo y 1048 Determine o momento de inércia do paralelogramo em relação ao eixo x que passa pelo centroid C da área 1049 Determine o momento de inércia do paralelogramo em relação ao eixo y que passa pelo centroide C da área 1050 Determine o centroide y da seção transversal e determine o momento de inércia da seção em relação ao eixo x 1051 Determine o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo x passando pelo seu centroide C 1052 Determine a distância x até o centroide da área da seção transversal da viga depois determine o momento de inércia em relação ao eixo y 1053 Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo x 105 Produto de inércia de uma área Capítulo 10 Momentos de inércia 473 Se o elemento de área escolhido tem uma dimensão diferencial nas duas direções como mostra a Figura 1010 uma dupla integração precisa ser realizada para avaliar Ixy Normalmente porém é mais fácil escolher um elemento tendo uma dimensão diferencial ou espessura em apenas uma direção caso em que a avaliação requer apenas uma única integração Assim como o momento de inércia o produto de inércia tem unidades de comprimento elevadas a quarta potência por exemplo m⁴ ou mm⁴ Porém como x ou y podem ser negativos o produto de inércia pode ser positivo negativo ou zero dependendo da posição e da orientação dos eixos de coordenadas Por exemplo o produto de inércia Ixy de uma área será zero se o eixo x ou y for um eixo de simetria da área como na Figura 1011 Aqui cada elemento dA localizado em um ponto x y tem um elemento correspondente dA localizado em x y são zero pois os momentos da área são considerados em relação aos eixos centroidais Constatandose que a quarta integral representa a área completa A o teorema dos eixos paralelos para o produto de inércia tornase Ixy Ixy Adcdy É importante que os sinais algébricos para dc e dy sejam mantidos ao se aplicar essa equação EXEMPLO 106 Determine o produto de inércia Ixy do triângulo mostrado na Figura 1014a SOLUÇÃO I Um elemento diferencial que tem espessura dx como mostra a Figura 1014b tem área dA y dx O produto de inércia desse elemento em relação aos eixos x e y é determinado usando o teorema dos eixos paralelos dIxy dIxy dA x y onde x e y localizam o centroide do elemento ou a origem dos eixos x y Ver Figura 1013 Como dIxy 0 em razão da simetria x x yy2 então dIxy 0 y dx y2 hb x dx h2b x A integração em relação a x de x 0 até x b produz Ixy h²2b² ₀ᵇ x³ dx b³h²8 Resposta SOLUÇÃO II O elemento diferencial que tem espessura dy como mostra a Figura 1014c também pode ser usado Sua área dA bx dy O centroide está localizado no ponto x x bx2 bx2 y y de modo que o produto de inércia do elemento tornase dIxy dIxy dA x y 0 b x dy b x2 y b bhy2b hx2 12y² b² b²h²² dy A integração em relação a y de y 0 até y h gera Ixy 12 ₀ʰ b² b²h²x² dy b²h²8 Resposta FIGURA 1014 EXEMPLO 107 Determine o produto de inércia da seção transversal do membro mostrado na Figura 1015a em relação aos eixos centroidais x e y SOLUÇÃO Como no Exemplo 105 a seção transversal pode ser subdividida em três áreas retangulares compostas A B e D Figura 1015b As coordenadas dos centroides de cada um desses retângulos aparecem na figura Por causa da simetria o produto de inércia de cada retângulo é zero em relação a um conjunto de eixos x y que passa pelo centroide de cada retângulo Usando o teorema dos eixos paralelos temos Retângulo A Ixy Ixy Adcdy 0 300100250200 15010⁹ mm⁴ Retângulo B Ixy Ixy Adcdy 0 0 0 Retângulo D Ixy Ixy Adcdy 0 300100250200 15010⁹ mm⁴ O produto de inércia de toda a seção transversal é portanto Ixy 15010⁹ 0 15010⁹ 30010⁹ mm⁴ Resposta NOTA esse resultado negativo devese ao fato de que os retângulos A e D têm centroides com coordenações x negativa e y negativa respectivamente 106 Momentos de inércia de uma área em relação a eixos inclinados Em projeto estrutural e mecânico às vezes é necessário calcular os momentos e o produto de inércia Iuu Iv e Iwe de uma área em relação a um conjunto de eixos inclinados u e v quando os valores para θ Ix Iy e Ixy são conhecidos Para fazer isso usaremos equações de transformação relacionadas com os pares de coordenadas x y e u v Da Figura 1016 essas equações são u x cos θ y sen θ v y cos θ x sen θ Com essas equações os momentos o produto de inércia dA em relação aos eixos u e v tornamse