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Engenharia Civil ·
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENGENHARIAS Prof Sandro Kakuda AULA 11 SUMÁRIO ESTADO PLANO DE TENSÕES Transformação de Tensão no Plano Convenção de Sinal Equações Gerais de Transformação de Tensão no Plano Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máximo no Plano Exercícios ESTADO PLANO DE TENSOES 0 Transformacao de Tensao no Plano O estado geral de tensdo em um ponto é LAP Lg caracterizado por seiS componentes da tensao normal e cisalhamento que agem nas faces de um 5 oy elemento de material localizado no ponto Esse estado de tensdo nao comum na pratica da engenharia Frequentemente fazem aproximacoes 7 ou simplificagdes das cargas sobre um corpo de modo que a tensao produzida em um elemento estrutural ou mecanico possa ser analisada em um a ey unico plano oO O estado geral de tensao no plano em um ponto é é representado por uma combinacao de duas A componentes de tensao normal oe oy e uma componente de tensao de cisalhamento oy que agem nas quatro faces do elemento ESTADO PLANO DE TENSÕES Transformação de Tensão no Plano Em outras palavras o estado plano de tensões em um ponto é representado exclusivamente por três componentes que agem sobre um elemento que tenha uma orientação específica neste ponto ESTADO PLANO DE TENSÕES Convenção de Sinal Antes de deduzir as equações de transformação devemos definir uma convenção de sinal para as componentes de tensão Definimos que a tensão normal positiva age para fora de todas as faces e a tensão de cisalhamento positiva age para cima na face direita do elemento A orientação do plano inclinado no qual as componentes de tensão e de cisalhamento devem ser determinados serão definidas usando o ângulo O ângulo é medido do eixo positivo positivo para o eixo positivo Ele é positivo desde que siga a curvatura dos dedos da mão direita isto é no sentido antihorário ESTADO PLANO DE TENSOES Equacoes Gerais de Transformacao de Tensao no Plano O método para transformar as componentes de tensdo normal e de cisalhamento dos eixos coordenados x y para os eixos x y de um modo geral é expresso como um conjunto de equacoes O o Oy O Ox cos 20 Tyysen 20 O Oo O O Oy cos 20 Tyysen 26 Ox Oy Tx1y1 5 sen 20 Tyy Cos 26 Exercicio 1 O estado plano de tensdo em um ponto é representado pelo elemento da figura Determine o estado de tensao no ponto em outro elemento orientado a 30 no sentido horario em relacao a posicao original 4 25 MPa Oy 2585 MPa oy 415 MPa Txry 688 MPa ESTADO PLANO DE TENSOES Tensoes Principais e Tensao de Cisalhamento Maximo no Plano Na pratica da engenharia muitas vezes é importante determinar a orientacao dos planos que fazem com que a tensdo normal seja maxima e minima e a orientacao dos planos que fazem com que a tensao de cisalhamento seja maxima Plano da Tensado Normal Maxima e Minima Uxy P Track So tg 20 i E p 0 Oy2 ee ae a WES ws 4 ine Ox Oy Ox Oy 3 on eed nan Fe EGY os ps Compressao Oy Oo ESTADO PLANO DE TENSOES Tensoes Principais e Tensao de Cisalhamento Maximo no Plano Plano da Tensdo de Cisalhamento Maximo no Plano 002 1g 20 or ol Txy Oy Ov2 Tmax Txy O55 90 O54 Exercício 2 O estado de tensão em um ponto é mostrado Determine a as tensões principais e b a tensão de cisalhamento máximo no plano e a tensão média no ponto Especifique a orientação do elemento em cada caso 𝝈𝟏 𝟑𝟏𝟎 𝑴𝑷𝒂 𝝈𝟐 𝟐𝟔𝟎 𝑴𝑷𝒂 𝜽𝒔𝟏 𝟐𝟔 𝟎𝟔 𝝉𝒎𝒂𝒙 𝟐𝟖𝟓 𝑴𝑷𝒂 𝝈𝒎𝒆𝒅 𝟐𝟓 𝑴𝑷𝒂 𝜽𝒑𝟏 𝟏𝟖 𝟗 Exercicio 3 Quatro forgas sdo aplicadas a um perfil de aco laminado W200x313 kgm conforme mostra a figura Determine as tensdes principais a tensao de cisalhamento maxima e média no ponto b e mostre a representacao no plano 100kN W200x313 8kN Z 100 mm 8 kN Ss tp i as al 500 mm 50 1 ff i Dados do perfil A402 cm at h 210mm L 3168 cm L 410 cm o 1143 MPa Omed 1244 MPa by 134mm o 3631 MPa Tmax 2387 MPa te 102 mm to 64mm 61 293 61 1569 Exercício 4 As cargas internas em uma seção da viga são mostradas na figura Determine as tensões principais no ponto C Calcule também a tensão de cisalhamento máxima no plano nesse ponto e represente a orientação do elemento em cada caso 𝜽𝒔𝟏 𝟐 𝟒𝟓 𝜽𝒑𝟏 𝟒𝟐 𝟓𝟓 𝝈𝟏 𝟒𝟓 𝟕𝟐 𝑴𝑷𝒂 𝝈𝟐 𝟓𝟒 𝟒𝟔 𝑴𝑷𝒂 𝝈𝒎𝒆𝒅 𝟒 𝟐𝟖 𝑴𝑷𝒂 𝝉𝒎𝒂𝒙 𝟓𝟎 𝟏𝟖 𝑴𝑷𝒂
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENGENHARIAS Prof Sandro Kakuda AULA 11 SUMÁRIO ESTADO PLANO DE TENSÕES Transformação de Tensão no Plano Convenção de Sinal Equações Gerais de Transformação de Tensão no Plano Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máximo no Plano Exercícios ESTADO PLANO DE TENSOES 0 Transformacao de Tensao no Plano O estado geral de tensdo em um ponto é LAP Lg caracterizado por seiS componentes da tensao normal e cisalhamento que agem nas faces de um 5 oy elemento de material localizado no ponto Esse estado de tensdo nao comum na pratica da engenharia Frequentemente fazem aproximacoes 7 ou simplificagdes das cargas sobre um corpo de modo que a tensao produzida em um elemento estrutural ou mecanico possa ser analisada em um a ey unico plano oO O estado geral de tensao no plano em um ponto é é representado por uma combinacao de duas A componentes de tensao normal oe oy e uma componente de tensao de cisalhamento oy que agem nas quatro faces do elemento ESTADO PLANO DE TENSÕES Transformação de Tensão no Plano Em outras palavras o estado plano de tensões em um ponto é representado exclusivamente por três componentes que agem sobre um elemento que tenha uma orientação específica neste ponto ESTADO PLANO DE TENSÕES Convenção de Sinal Antes de deduzir as equações de transformação devemos definir uma convenção de sinal para as componentes de tensão Definimos que a tensão normal positiva age para fora de todas as faces e a tensão de cisalhamento positiva age para cima na face direita do elemento A orientação do plano inclinado no qual as componentes de tensão e de cisalhamento devem ser determinados serão definidas usando o ângulo O ângulo é medido do eixo positivo positivo para o eixo positivo Ele é positivo desde que siga a curvatura dos dedos da mão direita isto é no sentido antihorário ESTADO PLANO DE TENSOES Equacoes Gerais de Transformacao de Tensao no Plano O método para transformar as componentes de tensdo normal e de cisalhamento dos eixos coordenados x y para os eixos x y de um modo geral é expresso como um conjunto de equacoes O o Oy O Ox cos 20 Tyysen 20 O Oo O O Oy cos 20 Tyysen 26 Ox Oy Tx1y1 5 sen 20 Tyy Cos 26 Exercicio 1 O estado plano de tensdo em um ponto é representado pelo elemento da figura Determine o estado de tensao no ponto em outro elemento orientado a 30 no sentido horario em relacao a posicao original 4 25 MPa Oy 2585 MPa oy 415 MPa Txry 688 MPa ESTADO PLANO DE TENSOES Tensoes Principais e Tensao de Cisalhamento Maximo no Plano Na pratica da engenharia muitas vezes é importante determinar a orientacao dos planos que fazem com que a tensdo normal seja maxima e minima e a orientacao dos planos que fazem com que a tensao de cisalhamento seja maxima Plano da Tensado Normal Maxima e Minima Uxy P Track So tg 20 i E p 0 Oy2 ee ae a WES ws 4 ine Ox Oy Ox Oy 3 on eed nan Fe EGY os ps Compressao Oy Oo ESTADO PLANO DE TENSOES Tensoes Principais e Tensao de Cisalhamento Maximo no Plano Plano da Tensdo de Cisalhamento Maximo no Plano 002 1g 20 or ol Txy Oy Ov2 Tmax Txy O55 90 O54 Exercício 2 O estado de tensão em um ponto é mostrado Determine a as tensões principais e b a tensão de cisalhamento máximo no plano e a tensão média no ponto Especifique a orientação do elemento em cada caso 𝝈𝟏 𝟑𝟏𝟎 𝑴𝑷𝒂 𝝈𝟐 𝟐𝟔𝟎 𝑴𝑷𝒂 𝜽𝒔𝟏 𝟐𝟔 𝟎𝟔 𝝉𝒎𝒂𝒙 𝟐𝟖𝟓 𝑴𝑷𝒂 𝝈𝒎𝒆𝒅 𝟐𝟓 𝑴𝑷𝒂 𝜽𝒑𝟏 𝟏𝟖 𝟗 Exercicio 3 Quatro forgas sdo aplicadas a um perfil de aco laminado W200x313 kgm conforme mostra a figura Determine as tensdes principais a tensao de cisalhamento maxima e média no ponto b e mostre a representacao no plano 100kN W200x313 8kN Z 100 mm 8 kN Ss tp i as al 500 mm 50 1 ff i Dados do perfil A402 cm at h 210mm L 3168 cm L 410 cm o 1143 MPa Omed 1244 MPa by 134mm o 3631 MPa Tmax 2387 MPa te 102 mm to 64mm 61 293 61 1569 Exercício 4 As cargas internas em uma seção da viga são mostradas na figura Determine as tensões principais no ponto C Calcule também a tensão de cisalhamento máxima no plano nesse ponto e represente a orientação do elemento em cada caso 𝜽𝒔𝟏 𝟐 𝟒𝟓 𝜽𝒑𝟏 𝟒𝟐 𝟓𝟓 𝝈𝟏 𝟒𝟓 𝟕𝟐 𝑴𝑷𝒂 𝝈𝟐 𝟓𝟒 𝟒𝟔 𝑴𝑷𝒂 𝝈𝒎𝒆𝒅 𝟒 𝟐𝟖 𝑴𝑷𝒂 𝝉𝒎𝒂𝒙 𝟓𝟎 𝟏𝟖 𝑴𝑷𝒂