Teoria das Estruturas I - Caderno Pedagógico

ENSINO A DISTÂNCIA TEORIA DAS ESTRUTURAS I Copyright 2021 by Editora Faculdade Avantis Direitos de publicação reservados à Editora Faculdade Avantis e ao Centro Universitário Avantis UNIAVAN Av Marginal Leste 3600 Bloco 1 88339125 Balneário Camboriú SC editoraavantisedubr Depósito legal na Biblioteca Nacional conforme Lei nº 10994 de 14 de dezembro de 2010 Nenhuma parte pode ser reproduzida transmitida ou duplicada sem o consentimento da Editora por escrito O Código Penal brasileiro determina no art 184 dos crimes contra a propriedade intelectual Projeto gráfico e diagramação Ana Lúcia Dal Pizzol Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca do Centro Universitário Avantis UNIAVAN Maria Helena Mafioletti Sampaio CRB 14 276 CDD 21ª ed 62417 Estruturas Engenharia civil Souza Juliano V de S729t Teoria das estruturas I EAD Caderno pedagógico Juliano V de Souza Balneário Camboriú Faculdade Avantis 2021 203 p il Inclui Índice ISBN 9786559011421 ISBNe 9786559011414 1 Estruturas Engenharia civil 2 Estruturas Morfologia 3 Análise estrutural 4 Deformações estruturais 5 Engenharia civil Ensino a Distância I Centro Universitário Avantis UNIAVAN II Título PLANO DE ESTUDOS OBJETIVOS DA DISCIPLINA Tornar o aluno apto a classificar as estruturas quanto a sua morfologia identificando elementos de apoio e discretizandoo em elementos simples de barra Analisar estruturas do tipo vigas isostáticas quando submetidas à carregamentos verticais Tornando o aluno apto a construir gráficos de esforços internos e interpretar os resultados da estrutura Análise de treliças isostáticas no plano de duas dimensões e no plano em três dimensões Discutindo resultados e carregamentos Analisar estruturas do tipo pórticos isostáticos quando submetidas à carregamentos horizontais e verticais Tornando o aluno apto a construir e interpretar os esforços internos da estrutura Analisar estruturas do tipo arcos cabos e grelhas isostáticas quando submetidas a carregamentos horizontais e verticais Construir gráficos de esforços internos e interpretar os resultados da estrutura Determinar os deslocamentos de estruturas utilizando métodos analíticos e métodos energéticos O PAPEL DA DISCIPLINA NA FORMAÇÃO DO ACADÊMICO O estudo de estrutura começa pela modelagem estrutural todo engenheiro estrutural deve saber interpretar os esforços da estrutura Com a análise dos esforços podese identificar erros estruturais erros computacionais otimização nas estruturas flexibilização de estruturas entre outros A modelagem estrutural é o cerne da engenharia estrutural Atualmente o emprego de ferramentas computacionais faz com que facilite muito a modelagem estrutural no entanto facilita que muitos erros de concepção e modelagem não sejam devidamente identificados A disciplina de teoria das estruturas é fundamental para que o engenheiro saiba identificar e interpretar os resultados estruturais provenientes de ferramentas computacionais de cálculo e análise estrutural APRESENTAÇÃO DO AUTOR JULIANO V DE SOUZA Mestre em Engenharia Civil pela Universidade Federal de Santa Catarina UFSC 2016 Bacharel em Engenharia Civil pela Universidade Federal de Santa Catarina UFSC 2013 Área de pesquisa voltada para Análise de estruturas altas submetidas à ação dinâmica do vento com otimização de mecanismos de controle do tipo TMD Possui experiência na área de desenvolvimento de software atuando como desenvolvedor do programa Eberick 20122018 programa de cálculo estrutural Atuou como professor na área de estruturas na instituição de ensino Estácio de Sá Unisociesc e Uniavan atuou como professor convidado no curso de pósgraduação na instituição de Ensino Superior Brasileiro 2018 2019 nas áreas de fundações profundas e concreto protendido Atualmente é sócio proprietário e atua como Engenheiro projetista na 2B projetos desenvolvendo projetos de fundações estruturas de concreto armado estruturas metálicas entre outros Atuou como professor convidado no curso de pósgraduação na Unisociesc 2019 e professor na área de estruturas nas instituições de ensino IESFASC Lattes httplattescnpqbr1338670090644155 PROFESSOR SUMÁRIO UNIDADE 1 MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS E TIPOS DE CARREGAMENTOS 11 INTRODUÇÃO À UNIDADE 12 11 TIPOS DE ESTRUTURAS E CARGAS 13 12 TIPOS DE ESTRUTURAS 14 121Vigas 15 122 Colunas 17 123 Tirantes e Escoras 19 124 Lajes e Placas 20 13 MODELO DE CÁLCULO DAS ESTRUTURAS 22 131 Modelo de Barras e Vinculações23 132 Modelo de Viga 34 133 Modelo de Treliça 38 134 Modelo de Pórtico 42 135 Modelo de Arcos e Cabos 43 136 Modelo de Grelha 46 14 MODELAGEM DOS CARREGAMENTOS 47 141Cargas Permanentes 48 142 Cargas Acidentais 51 145 Área de Influência 56 CONSIDERAÇÕES FINAIS 63 EXERCÍCIO FINAL 64 REFERÊNCIAS 66 UNIDADE 2 ANÁLISE ESTRUTURAL DE TRELIÇAS E VIGAS 67 INTRODUÇÃO À UNIDADE 68 21 ANÁLISE DE VIGAS 68 22 ANÁLISE DE ESTRUTURAS ESTATICAMENTE DETERMINADAS 69 221 Condições de Equilíbrio e Determinação da Estabilidade 75 222 Princípio da Superposição79 23 ANÁLISE DE TRELIÇAS ESTATICAMENTE DETERMINADAS 85 231 Método dos Nós 86 232 Método das Seções 87 24 CARGAS INTERNAS DESENVOLVIDAS EM MEMBROS ESTRUTURAIS 90 241 Carga Interna em um Ponto Específico 90 242 Funções Cortante e Momento 93 243 Análise de vigas 98 245 Vigas Gerber 103 246 Vigas Inclinadas 113 CONSIDERAÇÕES FINAIS 117 EXERCÍCIO FINAL 118 REFERÊNCIAS 122 UNIDADE 3 ANÁLISE ESTRUTURAL DE PÓRTICOS 123 INTRODUÇÃO À UNIDADE 124 31 ANÁLISE ESTRUTURAL DE PÓRTICOS 124 32 PÓRTICOS 125 321 Análise de Pórticos Planos 126 322 Pórtico Articulado 153 33 QUADROS 155 34 ARCOS 156 35 CABOS 160 36 GRELHAS162 CONSIDERAÇÕES FINAIS 165 EXERCÍCIO FINAL 166 REFERÊNCIAS 169 UNIDADE 4 DEFORMAÇÕES NAS ESTRUTURAS 171 INTRODUÇÃO À UNIDADE 172 21 DEFORMAÇÕES ESTRUTURAIS 172 211 Teoria da Viga Elástica 173 22 MÉTODOS ENERGÉTICOS 181 221 Energia de deformação 181 222 Princípio dos Trabalhos Virtuais 183 223 Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais em Treliças 187 224 Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais em Pórticos e Vigas 190 CONSIDERAÇÕES FINAIS 200 EXERCÍCIO FINAL 201 REFERÊNCIAS 203 1 UNIDADE MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS E TIPOS DE CARREGAMENTOS 12 TEORIA DAS ESTRUTURAS I INTRODUÇÃO À UNIDADE Quando se fala em engenharia de estruturas as grandes construções vistas pelo mundo nos brilham aos olhos e uma dúvida recorrente entre muitos estudantes de engenharia é como uma estrutura tão grandiosa pode ser calculada Para que uma estrutura seja construída com segurança seus elementos estruturais precisam ser devidamente dimensionados a estrutura precisa possuir estabilidade e as fundações precisam dissipar com segurança as cargas pelo solo Por trás de todos estes segmentos da engenharia de estruturas está a análise estrutural A análise estrutural é responsável por transformar toda uma estrutura complexa em modelos matemáticos mais simples analisar as ações do vento chuva ou explosões e transformálas em valores de carregamento Só então após uma série de cálculos matemáticos podese determinar a força desenvolvida por elementos que compõem a estrutura lajes vigas e pilares Assim a análise estrutural está nos alicerces da engenharia de estrutura O estudo sobre o comportamento de corpos rígidos diante de forças externas tem início com Sir Isaac Newton na obra Principal Mathematica 1687 Com o passar dos anos a física e matemática formaram a base para o entendimento sobre o comportamento das estruturas diante esforços externos e o advento das ferramentas computacionais possibilitam hoje em dia análises aprofundadas abrangentes e simulações mais amplas fazendo com que tenhamos uma confiabilidade maior nos valores obtidos Um dia toda a análise da estrutura era executada manualmente com auxílio de ábacos tabelas e relações trigonométricas Hoje os computadores tornaramse parceiro fundamental na análise estrutural as rotinas de cálculo e os softwares auxiliam o engenheiro dando mais agilidade e precisão nos cálculos Contudo é necessário conhecer as técnicas básicas e os fundamentos sobre o comportamento das estruturas a fim de poder alimentar os programas computacionais e poder questionar os valores obtidos Concluímos que sempre será o engenheiro o responsável pelos dados de saída de qualquer programa computacional sendo ainda o principal protagonista no desenvolvimento de qualquer projeto Esta apostila tem como finalidade aproximar o acadêmico dos conceitos fundamentais sobre análise estrutural possibilitando o desenvolvimento de modelos matemáticos de estruturas análise de estruturas de vigas pórticos e treliças possibilitando a modelagem de cargas e ações sobre uma edificação por fim obter os esforços internos dos elementos que compõe a estrutura 13 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Nesta Unidade 1 serão abordados os tipos de estruturas existentes para cada tipo de estrutura será apresentado um modelo mecânico também serão abordados os tipos de ligações entre elementos estruturais e o estudo sobre os principais carregamentos estáticos encontrados na engenharia de estruturas Para que se tenha um aproveitamento mais sólido dos conceitos abordados aqui é interessante que você possua o conhecimento de Cálculo Física Mecânica geral Estática Ao final desta Unidade você será capaz de Construir um modelo mecânico de uma estrutura real Calcular as cargas de peso próprio Calcular cargas que atuam sobre uma estrutura 11 TIPOS DE ESTRUTURAS E CARGAS A estrutura é o esqueleto da edificação constituída por um conjunto de elementos ligados entre si destinados a resistir às forças externas provenientes da ação da natureza eou ação humana Na engenharia podemos citar alguns tipos de estruturas Coberturas treliçadas de postos de gasolina torres de alta tensão pontes rodoviárias edifícios residenciais e comerciais barragens tanques e silos entre outros HIBBELLER 2013 A estrutura projetada deve garantir a segurança dos seus usuários devendo estar de acordo com padrões estéticos préestabelecidos e limitações financeiras Um projeto estrutural pode ser dividido em três grandes áreas prédimensionamento e concepção estrutural modelagem e análise estrutural dimensionamento e detalhamento Dentro dessas áreas podese dizer que a análise estrutural é a área mais importante como destaca Kimura 2007 Tratase com toda a certeza da etapa mais importante de todo o processo de elaboração de um projeto estrutural pois são com seus 14 TEORIA DAS ESTRUTURAS I resultados que o dimensionamento e detalhamento dos elementos são realizados bem como o comportamento em serviço do edifício avaliado KIMURA 2007 p 111 Atualmente os recursos computacionais possibilitam processar uma infinidade de dados ao mesmo tempo deixando o processamento e cálculo da estrutura uma tarefa mais prática podendo ser deixada de lado por engenheiros mais inexperientes ou menos cuidadosos No entanto é pela análise estrutural que se enxerga realmente como o edifício está se comportando KIMURA 2007 p 112 A seguir você vai adentrar ao mundo da análise estrutural mais precisamente no que tange os conceitos da Teoria das Estruturas Esta Unidade lhe colocará diante dos mais diversos tipos de estruturas encontradas na construção civil logo serão apresentados modelos mecânicos modelos idealizados de estruturas reais no campo numérico por fim serão apresentados diversos tipos de carregamentos classificação das cargas e análise de carregamento de uma estrutura 12 TIPOS DE ESTRUTURAS Antes de tudo é importante que o engenheiro conheça quais elementos estruturais existem para que sejam corretamente empregados Somente com um conhecimento mais abrangente dos diversos tipos de elementos estruturais podese ter a melhor alternativa para solucionar um problema de engenharia Dentre os diversos tipos de elementos estruturais existentes na engenharia podemos citar vigas pilares tirantes lajes e placas A seguir serão apresentados mais precisamente cada tipo de elemento 15 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 121Vigas Vigas são elementos estruturais dispostos na vertical em sua maioria majoritariamente submetidos a cargas verticais como mostrado na Figura1 Figura 1 Parede sobre viga Fonte O autor 2021 Na Figura 1 observase uma viga recebendo as cargas da parede de alvenaria O peso da parede faz força para baixo no sentido da gravidade a viga tem a finalidade de absorver esses esforços e transmitilos aos pilares Com isso a viga precisa possuir resistência necessária para suportar toda a carga que lhe é aplicada O engenheiro tem a finalidade de determinar as dimensões e o material da viga garantindo assim a segurança da mesma As vigas podem ser constituídas de concreto armado viga metálica ou vigas de madeira As vigas de concreto armado são elementos robustos geralmente com grande dimensão transversal na ordem de 20cm por 40cm Vigas de concreto convencional podem possuir um comprimento na ordem de 4 a 8m valores maiores que estes resultam em elementos estruturais demasiadamente altos O concreto protendido é uma técnica que permite construir peças de concreto com grande comprimento e seções reduzidas geralmente empregado em vigas de ponte 16 TEORIA DAS ESTRUTURAS I As vigas também podem ser constituídas de aço onde se difere do concreto armado principalmente quanto à seção transversal Por possuírem elevada resistência os elementos estruturais são mais delgados a ponto de tornaremse sensíveis à flambagem localizada SAIBA MAIS Gostou do assunto sobre flambagem Quer conhecer um pouco mais sobre Flambagem em perfis de aço Leia o artigo Flambagem lateral com distorção de vigas mistas de aço e concreto contínuas Disponível em httpswwwscielobrpdfriemv11n4pt19834195riem110400719pdf As vigas de madeira são elementos que possuem grande maleabilidade baixa carga de peso próprio e elevada resistência entretanto as intempéries e fatores ambientais dificultam seu uso Na Figura 2 pode ser visto 3 vigas distintas Figura 2 Viga de Concreto em Formato T Viga de Aço no Formato I e Viga de Madeira Retangular Fonte Shutterstock 2021 17 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Quando falamos em resistência das vigas o fator dominante é sua altura pois o aumento da altura aumenta o Momento de Inércia à Flexão da estrutura Para revisar os conceitos sobre momento de inércia à flexão você pode acessar o link httprepositorioeescuspbrbitstreamhandleRIEESC6226Barbato RobertoFelxaoSimplesNormalTensoespdfsequence1 ou o capítulo 10 do livro Estática HIBBELER 2011 Além de garantir que a estrutura não colapse também devese cuidar com as deformações excessivas Após carregadas as vigas se deformam verticalmente produzindo uma flecha como ilustrado na Figura 3 Figura 3 Viga Desenvolvendo Deslocamentos Verticais após Carregada Fonte O autor 2021 O engenheiro projetista deve cuidar para que as deformações das vigas não sejam demasiadas quando excedem seu limite causam desconforto para os usuários Mesmo que a viga apresenta resistência necessária diante os carregamentos externos pode apresentar deformações excessivas nesses casos a mesma necessita ser redimensionada ou deve ser aplicada medidas prévias como contra flecha 122 Colunas Colunas são elementos estruturais dispostos na vertical geralmente solicitados por cargas axiais de compressão As colunas também chamadas de pilares estes elementos 18 TEORIA DAS ESTRUTURAS I estruturais possuem a finalidade de ligar dois pavimentos dessa forma são responsáveis por transmitir os carregamentos da superestrutura até as fundações como ilustrado na Figura 4 Figura 4 Pilares Fonte Shutterstock 2021 Quando as colunas possuem uma seção transversal muito estreita e um comprimento elevado tornamse sensíveis a flambagem nesses casos são chamados de pilares esbeltos A flambagem é um fenômeno muito importante no dimensionamento de pilares devese cuidar para que as seções transversais sejam robustas o suficiente a ponto de controlar estes efeitos Pilares que sofrem efeito combinado de compressão e flexão denominada flexocompressão 19 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 123 Tirantes e Escoras Tirantes são elementos estruturais submetidos unicamente a cargas axiais Possuem elevada resistência axial de tração no entanto resistência à compressão nula por possuir uma seção delgada Os tirantes são usados comumente em contraventamento com finalidade de aumentar a rigidez lateral da estrutura A Figura 5 contém a aplicação de tirante na engenharia de estrutura Figura 5 Estrutura Contraventada com Tirante Fonte O autor 2021 Na Figura 5 observase um telhado de galpão a inclinação do telhado faz com que o carregamento afaste os pilares a fim de impedir que os pilares se afastem e façam o telhado cair utilizase um tirante no topo dos dois pilares Os tirantes podem ser formados por cordoalhas ou barras muito finas são utilizados também para apoiar tabuleiros de pontes e telhados Contrário aos tirantes as escoras são elementos projetados para resistir às cargas axiais de compressão unicamente Como exemplos têm as escoras das formas de concreto 20 TEORIA DAS ESTRUTURAS I armado estruturas provisórias Na Figura 6 podese observar um conjunto de escoras utilizadas para suportar as formas da concretagem Figura 6 Escoras Metálicas feitas para Suportar Provisoriamente a Laje de Concreto Armado Fonte O autor 2021 A fim de facilitar a remoção as escoras não estão rigidamente conectadas à estrutura assim que a estrutura de concreto armado possuir resistência mínima as escoras serão removidas As treliças são barras delgadas submetidas à tração e compressão os membros tracionados da treliça são membros atirantados enquanto os membros comprimidos são denominados escoras Os conceitos sobre treliças serão abordados no item posterior 124 Lajes e Placas Placas são elementos estruturais planos que possuem duas dimensões muito maior que a terceira dimensão por exemplo paredes rampas lajes de pavimento laje de radier entre outros Na Figura 7 podese observar a relação entre as dimensões de uma placa 21 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Figura 7 Laje e a Relação entre Dimensões Fonte O autor 2021 Veja que a placa ilustrada na Figura 7 possui caracterizando uma laje onde a terceira dimensão h é muito menor que as outras duas dimensões Elementos estruturais como paredes muros ou radier também são classificados como placas finas a diferença está na forma com que as cargas atuam sobre cada tipo de placa As lajes têm a finalidade de receber os carregamentos de utilização do pavimento também conhecidas como cargas vivas As cargas vivas são oriundas da utilização da edificação pessoas sobre as lajes móveis veículos entre outros Quando as lajes são carregadas apresentam momento fletor nas direções Lx e Ly concomitantemente salvo em lajes projetadas em apenas uma direção Chegamos ao final dessa primeira etapa da Unidade 1 até aqui você pode conhecer diversos tipos de elementos estruturais A seguir você verá como funcionam os modelos estruturais e como são concebidos para cada elemento estrutural apresentado até aqui será apresentado um modelo mecânico Além disso será apresentado um conjunto de estruturas compostas por mais de um elemento como por exemplo os pórticos compostos por vigas e pilares 22 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 13 MODELO DE CÁLCULO DAS ESTRUTURAS O modelo estrutural nada mais é do que uma simulação da estrutura uma forma de realizála antes de construíla Com o auxílio de recursos matemáticos é possível determinar as forças internas que a estrutura estará submetida tensões e transferências de cargas KIMURA 2007 Na Figura 8 podese observar um modelo estrutural e uma estrutura real lado a lado Figura 8 Modelo estrutural de uma edificação de múltiplos pavimentos Fonte Kimura 2007 Notase que as vigas e pilares foram transformadas em barras finas sendo uma possibilidade de cálculo para a estrutura real porém o modelo de barra fina não é o único capaz de simular o comportamento da edificação Existem inúmeros modelos possíveis para analisar o comportamento de uma estrutura uns mais complexos outros mais simples alguns bem específicos outros mais genéricos O responsável por escolher o modelo estrutural que melhor simula o comportamento real da estrutura ou que melhor se adequa à análise do problema é o engenheiro calculista KIMURA 2007 Nesta seção iremos abordar alguns sistemas estruturais e seus modelos mecânicos ou modelos estruturais de cálculo Entretanto antes precisaremos conhecer um pouco mais sobre o modelo de barra e como as barras do modelo se conectam entre si 23 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 131 Modelo de Barras e Vinculações O modelo de barra é um método simples e intuitivo de se analisar uma estrutura reticulada tais como vigas e pilares As vigas e pilares possuem duas dimensões muito menores que seu comprimento ao suprimir as dimensões da seção transversal transforma se a estrutura em uma barra simples O comprimento total da barra é definido por dois pontos definidos por um nó inicial e um nó final como pode ser observado na Figura 9 Figura 9 Modelo de barra simples Fonte O autor 2021 Localizada no centro geométrico da seção transversal da viga a barra é capaz de simular o comportamento real da mesma possibilitando calcular os esforços internos e suas deformações Quando as cargas sobre a viga estão projetadas no plano resultam em esforços também no plano denominada estrutura plana Na Figura 10 é apresentado um modelo de barra e as forças atuantes na extremidade no plano 24 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Figura 10 Modelo de barra simples no plano Fonte O autor 2021 Conforme representado na Figura 10 as forças atuantes no plano são Fx Fy e M força em x força em y e momento fletor respectivamente Se expandirmos o problema para três dimensões obtémse o modelo apresentado na Figura 11 Figura 11 Modelo de Barra Simples em Três Dimensões Fonte O autor 2021 A análise tridimensional é muito mais complexa do que o modelo em duas dimensões apresentado na Figura 10 dessa forma o foco deste caderno se dará apenas no estudo de estruturas reticuladas projetadas no plano No decorrer do nosso estudo será apresentado um conteúdo extra mostrando como se comporta uma estrutura em três dimensões As forças atuantes na edificação devem ser transferidas com segurança até o solo De modo geral as cargas se projetam sobre as lajes que se apoiam em vigas As vigas 25 TEORIA DAS ESTRUTURAS I recebem as cargas das lajes e transferem para os pilares que por sua vez tem a função de transferir as cargas para a fundação A fundação fica encarregada de transferir as cargas de toda a estrutura com segurança para o solo Como representado na Figura 12 Figura 12 Transferência de carga sobre a estrutura Fonte O autor 2021 Com base na Figura 12 podemos arguir que o solo serviu de apoio para os pilares os pilares serviram de apoio para as vigas e as vigas serviram de apoio para as lajes Perceba que no modelo o solo não se fez presente o solo está representado no modelo apenas como um elemento de apoio O modelo ilustrado anteriormente tem a finalidade de analisar a estrutura não sendo capaz de analisar o comportamento do solo dessa forma se o objetivo do engenheiro for analisar o comportamento e resistência do solo o modelo exposto não será suficiente Para entender melhor o conceito dos apoios podemos isolar o problema da viga Sabemos que as vigas se apoiam nos pilares se pensarmos que no modelo anterior suprimimos o solo transformandoos apenas em apoios podemos construir um modelo de viga suprimindo seus apoios Como as vigas apoiamse em pilares podemos analisar apenas a viga isoladamente suprimindo os pilares e tratandoos como apoios Na Figura 13 podemos analisar dois apoios de uma viga prémoldada 26 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Figura 13 Viga prémoldada sobre apoio simples Fonte O autor 2021 A viga prémoldada está apoiada sobre dois roletes este faz parte do conjunto pilar e consolo prémoldado Note que no modelo de cálculo os pilares foram suprimidos e transformados apenas em apoios simples Os roletes da Figura 13 impedem que a viga se desloque para baixo quando submetida a ação da gravidade Dessa forma podemos construir o argumento de que os apoios servem para impedir o deslocamento da estrutura No Quadro 1 podese observar diversos tipos de apoios 27 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Quadro 1 Tipos de apoios em modelos de estruturas planas Apoios Símbolos Restrições em deslocamen tos e rotações Reações Simples de primeiro gêne ro horizontal Simples de primeiro gêne ro vertical Simples de segundo gênero Engaste de terceiro gênero Engaste deslizante Fonte Adaptado de Martha 2010 Com os tipos de modelos de apoios descritos no Quadro 1 podemos modelar diversos tipos de estruturas no plano No Quadro 2 é apresentado um conjunto de estruturas reais com seus possíveis modelos de cálculo 28 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Quadro 2 Tipos de apoio e modelo Situação Real Desenho localizado Modelo Apoio de Neoprene do qual impede o desloca mento vertical permitindo pequenos deslocamentos horizontais Viga metálica ligada por pa rafuso em um pilar metálico Viga de concreto armado engastada no pilar Fonte O autor 2021 Para o modelo de viga os pilares são apenas apoios externos a Figura 14 exemplifica a modelagem de uma viga real apoiada em pilares 29 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Figura 14 Viga metálica apoiada e engastada Fonte O autor 2021 A viga ilustrada na Figura 14 possui ligação parafusada junto ao pilar esquerdo e uma ligação soldada junto ao pilar direito dessa forma o modelo que melhor representa o comportamento da viga seria uma barra com apoio de segundo gênero representando a ligação parafusada e um apoio engastado representando a ligação soldada Perceba que o apoio a é responsável por impedir que a viga se desloque verticalmente deslocamento y e horizontalmente deslocamento x para impedir estes deslocamentos surgem as reações Fay e Fax estas forças são desenvolvidas pelo pilar de apoio Na outra extremidade da viga o apoio engastado impede os deslocamentos verticais e horizontais além de impedir a rotação da estrutura fazendo com que a ligação se mantenha à 90º após deformada A reação que impede a deformação à rotação é o momento fletor Mb nesse caso este momento deve ser absorvido pelo pilar de apoio Perceba que o modelo apresentado na Figura 14 serve para analisar o comportamento da viga o pilar foi suprimido da modelagem estrutural servindo apenas de apoio externo para o modelo O modelo de viga apoiada e engastada não é a única forma de modelar a estrutura em análise podese modelar a viga em conjunto com os pilares denominado modelo de pórtico A Figura 15 representa o modelo de pórtico para a estrutura apresentada 30 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Figura 15 Modelo estrutural de pórtico Fonte O autor 2021 Perceba que o modelo estrutural de pórtico contém as barras da viga em conjunto com as barras dos pilares Por sua vez os apoios do modelo são definidos com base nas ligações existentes entre os pilares e a fundação A ligação do pilar esquerdo é mais rígida formando um engaste entre o pilar e o bloco de fundação no pilar à direita a ligação é mais flexível formando um apoio de segundo gênero As ligações entre a viga e os pilares de apoio também precisam ser modeladas o comportamento da ligação da viga com o pilar da direita soldada é diferente do comportamento da ligação da viga com o pilar da esquerda parafusada Tendo em vista que a ligação entre a viga e o pilar da esquerda é do tipo parafusada a transferência de momento fletor é nula formando uma rótula na conexão Já a ligação soldada entre a viga e o pilar da direita formam uma conexão mais rígida possibilitando a transferência de momento fletor entre as barras Dessa forma as barras ligadas entre si também precisam ser devidamente modeladas O Quadro 3 apresenta possíveis modelos de ligações entre barras 31 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Quadro 3 Ligações entre barras Símbolo Tipo de ligação Efeito em termos de esforços Libera continuidade de desloca mento axial de uma barra Libera continuidade de desloca mento transversal de uma barra Libera continuidade de rotação entre barras rótula Libera continuidade de desloca mentos axial e transversal e de rotação separa ção total Fonte Adaptado pelo autor 2021 a partir de Martha 2010 As ligações entre barras são modeladas a fim de simular a transferência de esforços internos entre as mesmas Os modelos de ligações entre barras apresentados nos Quadros 3 e 1 são modelos hipotéticos dos quais tentam simular o comportamento real da estrutura Enquanto o modelo rotulado não há transferência de momento fletor entre as barras o modelo engastado transfere integralmente a flexão O engaste e a rótula são modelos extremos aplicados em alguns casos o comportamento real de muitas estruturas seria um comportamento intermediário podendo ser mais próximo de um engaste ou mais próximo de uma rótula A fim de simular um comportamento intermediário criouse ligação semirrígida e apoio elástico Na Figura 16 é apresentado o comportamento elástico de um apoio Figura 16 Apoio elástico e relação dos esforços do apoio e deslocamentos Fonte Martha 2010 32 TEORIA DAS ESTRUTURAS I O apoio elástico é explicado pela teoria da mola temos como exemplo o comportamento elástico do solo do qual serve como apoio para a sapata de fundação mas permite que se desloque proporcionalmente a força aplicada e inversamente proporcional a sua rigidez Situação similar ocorre em bloco sobre estaca quando o bloco tenta rotacionar o solo reage ao momento fletor impedindo parcialmente a rotação Na Figura 17 pode ser visto exemplos de apoio elástico Figura 17 Tipos de apoios elásticos e semirrígido Fonte Martha 2010 Os tipos de fundações ilustrados na Figura 17 são modelados de três formas diferentes no bloco sobre oito estacas onde modelo mais próximo do comportamento real é um engaste No caso de bloco com duas estacas o modelo mais próximo do comportamento real é um modelo de apoio elástico dissipando parte da energia de rotação No caso da sapata de fundação o modelo mais próximo do comportamento real é um apoio elástico as deformações e livre a rotação Como mencionado anteriormente entre barras podese adotar ligação semirrígida Na Figura 15 a conexão da extremidade esquerda da viga possui apenas dois parafusos caracterizando uma ligação pouco rígida onde o modelo que melhor representa o comportamento real é uma rótula Se desejarmos que a viga transfira parte do momento fletor para o pilar podese adicionar mais parafusos e aumentando a rigidez da conexão 33 TEORIA DAS ESTRUTURAS I fazendo com que se comporte como uma ligação semirrígida Na Figura 18 é apresentado um exemplo de ligação semirrígida entre barras Figura 18 Ligação semirrígida entre viga e pilar Fonte O autor 2021 Na Figura 18 o momento fletor na extremidade da viga é transferido parcialmente para o pilar permitindo que exista uma rotação relativa entre a viga e o pilar O Quadro 4 representa algumas possibilidades de ligações semirrígidas e apoios flexíveis Quadro 4 Ligações semirrígidas e apoios elásticos Modelo Condição da ligação ou apoio Efeito em termos de esforços Relações constitutivas Liberação parcial da continuida de de rotação ligação semirrígida rotacional Apoios elásticos translacionais horizontal e vertical Apoio elástico rotacional Fonte Adaptado pelo autor 2021 a partir de Martha 2010 34 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Como apresentado no Quadro 4 os apoios elásticos lineares seguem as relações descritas nas equações 1 2 e 3 1 2 3 Os sinais das Equações 1 2 e 3 são negativos em virtude de que as reações possuem sentido oposto aos deslocamentos MARTHA 2010 Até este momento você está apto para modelar as estruturas a sua volta e questionar os tipos de ligações entre os elementos estruturais Observe as estruturas que o circundam e tente modelálas mentalmente idealizando as ligações e imaginando como seriam seus deslocamentos A seguir serão apresentados alguns sistemas estruturais e seus modelos de cálculo como por exemplo vigas treliças pórticos cabos e grelhas 132 Modelo de Viga O modelo de viga é um dos modelos mais simples na engenharia de estruturas o modelo se limita em isolar a viga dos demais elementos considerando os pilares apenas como apoios externos Na Figura 19 é apresentado o modelo de viga simples Figura 19 Modelo de viga biapoiada Fonte O autor 2021 35 TEORIA DAS ESTRUTURAS I A viga biapoiada é uma estrutura de viga isostática os conceitos da estática serão revisados na Unidade 2 a viga prémoldada é o exemplo mais comum de viga isostática Em muitos casos de estruturas civis os esforços horizontais são nulos ou muito pequenos fazendo com que possamos ignorálos Fax futuramente veremos que esta simplificação facilitará a solução de muitos problemas Em estruturas de concreto moldado in loco podese utilizar o modelo de viga engastada este tipo de estrutura possibilita que sejam construídos balanços como por exemplo marquises e sacadas como apresentado na Figura 20 Figura 20 Modelo de viga engastada Fonte O autor 2021 A viga engastada é um elemento em que todas as forças aplicadas sobre a viga devem ser resistidas por um único apoio do tipo engate no caso apresentado o pilar deve absorver os esforços Fay Fax e o momento fletor Ma As estruturas em balanço devem ser calculadas com muito cuidado tendo em vista que é uma das principais causas de acidentes estruturais em estruturas residenciais e comerciais REBELLO 2000 Outro tipo de modelo comum em estruturas moldadas in loco são as vigas contínuas um modelo estrutural em que uma viga possui mais de dois apoios como exemplificado na Figura 21 onde é apresentada uma viga contínua e seus três apoios 36 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Figura 21 Modelo de viga contínua Fonte O autor 2021 A viga contínua é um modelo que analisa os vãos em conjunto a estrutura se comporta em conjunto a solicitação demasiada em um vão pode fazer com que outro vão seja levantado O modelo de viga contínua é um problema hiperestático não sendo tema deste caderno Em longarinas de pontes prémoldadas é comum o uso de vigas Gerber Estas vigas são formadas a partir das juntas de dilatação ao longo de um trecho Nas juntas de dilatação as vigas formam apoios simples umas sobre as outras como exemplificado na Figura 22 Figura 22 Modelo de viga Gerber Fonte O autor 2021 Na Figura 22 a viga V1 se apoia no pilar A e na viga V2 a viga V2 se apoia no pilar B e na viga V3 da qual possui estabilidade se apoiando apenas nos pilares C e D Outro sistema estrutural capaz de vencer grandes vãos é a viga do tipo Vierendeel 37 TEORIA DAS ESTRUTURAS I As vigas Vierendeel são geralmente altas a fim de reduzir o consumo de material e aliviar seu carregamento de peso próprio são formadas com vazios ao longo do trecho Na Figura 23 é apresentada uma viga do tipo Vierendeel e seu modelo de cálculo REBELLO 2000 Figura 23 Modelo de cálculo de viga Vierendeel Fonte O autor 2021 A viga Vierendeel é formada por retângulos estes retângulos formam modelos de quadros fechados quando carregados tendem a se deformar na forma de losangos tracionando as barras inferiores e comprimindo as barras superiores Existem outros tipos de vigas Vierendeel formadas com aberturas circulares O problema de quadros fechados é um problema hiperestático internamente não sendo escopo deste caderno SAIBA MAIS Para saber mais sobre vigas Vierendeel e seu comportamento e influência na engenharia de estruturas veja o trabalho A INFLUÊNCIA DA VIGA VIERENDEEL NA MINIMIZAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS VERTICAIS EM VIGAS DE TRANSIÇÃO Disponível em http riavantisedubrobraview300 38 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 133 Modelo de Treliça Treliças são estruturas compostas de barras finas ligadas entre si a fim de transmitirem apenas esforços axiais As treliças podem ser constituídas de barras no formato de cantoneira barras circulares vazadas circulares de seção cheia retangulares entre outros formatos Geralmente utilizase estruturas metálicas ou madeiras Em virtude de formar ligações rígidas e possuir seções mais espessas o concreto armado não é tão interessante para este sistema estrutural O sistema estrutural de treliça é geralmente constituído de barras finas com isso o peso próprio da estrutura é reduzido obtendo estruturas mais econômicas capazes de vencer grandes vãos HIBBELLER 2013 Um tipo simples de treliçadas são as tesouras de telhado como ilustra a Figura 24 Figura 24 Treliça de Tesoura de Madeira Fonte Shutterstock 2021 As tesouras devem ser dimensionadas considerando inclinação adequada para resistir às ações do vento e do próprio peso Como são estruturas leves as ações de sucção do vento devem ser devidamente consideradas para que o telhado não seja arrancado 39 TEORIA DAS ESTRUTURAS I da edificação As tesouras de madeira possuem eficiência muito boa para pequenos vãos no entanto quando há a necessidade de vencer grandes vãos as tesouras resultam coberturas muito altas dessa forma treliças mais complexas são adotadas como exemplo a cobertura ilustrada na Figura 25 Figura 25 Treliça de Cobertura de Posto de Gasolina Fonte Shutterstock 2021 Os postos de gasolina possuem grandes vãos muito maiores que os vãos de um telhado residencial dessa forma necessitam uma alternativa mais ousada do que uma tesoura Algumas estruturas treliçadas possuem formatos peculiares dos quais tornam se parte da arquitetura alguns exemplos são apresentados na Figura 26 40 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Figura 26 Coberturas Treliçadas Incorporadas à Arquitetura Fonte Shutterstock 2021 Em muitas ocasiões as pontes são desafiadas a vencer grandes vãos dessa forma a treliça tornase uma alternativa leve para solucionar o problema A Figura 27 ilustra uma ponte composta por um arco treliçado 41 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Figura 27 Ponte Comporta por Treliça Fonte Shutterstock 2021 Veja que as treliças laterais tem a finalidade de suportar o tabuleiro central As duas treliças laterais são ligadas entre si a fim de contraventar a estrutura aumentando a rigidez lateral da mesma e suportar as cargas provenientes da ação do vento Como mencionado anteriormente as treliças possuem barras delgadas submetidas a forças axiais de tração e compressão A Figura 28 apresenta o comportamento do modelo estrutural Figura 28 Modelo estrutural da treliça Fonte O autor 2021 Ao ser carregada transversalmente a treliça se deforma comprimindo as barras superiores e tracionando as barras inferiores Como as barras estão articuladas entre si não há flexão nas mesmas 42 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 134 Modelo de Pórtico Pórtico é um sistema estrutural onde as vigas são analisadas em conjunto dos pilares sendo um bom sistema para suportar os carregamentos laterais oriundos da ação do vento Dessa forma é um dos principais modelos empregados em estruturas de múltiplos pavimentos Na Figura 29 é apresentado um pórtico plano formado por barras de viga e pilares Figura 29 Pórtico do MASP Fonte Shutterstock 2021 A Figura 29 ilustra o MASP em São Paulo a estrutura é sustentada por um par de pórticos planos estrutura em vermelho contida na imagem O pórtico é uma estrutura que agrega a rigidez das vigas em conjunto da rigidez dos pilares a Figura 30 representa o modelo estrutural do pórtico plano 43 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Figura 30 Modelo de pórtico plano Fonte O autor 2021 Após carregado por cargas verticais e horizontais o pórtico se deforma em conjunto Os pórticos também podem atuar em três dimensões os pórticos em três dimensões são vastamente utilizados pelos principais programas de engenharia estrutural SAIBA MAIS Para saber mais os diferentes tipos de sistemas estruturais e seus comporta mentos assista o vídeo promovido pela Ycon Formação Continuada Disponível em httpswwwyoutubecomwatchv5ZzYQ5WdD80 135 Modelo de Arcos e Cabos Os cabos são utilizados em construção civil associados a outros elementos a fim de vencer grandes vãos são estruturas que possuem elevada resistência à tração e resistência 44 TEORIA DAS ESTRUTURAS I a compressão nula em virtude de serem elementos flexíveis Os cabos são vastamente utilizados em pontes penseis e estaiadas além de coberturas que contenham grandes vãos LEET et al 2007 A Figura 31 apresenta uma estrutura de cabos carregados Figura 31 Deformações dos cabos diante carregamento Fonte Martha 2010 Como os cabos são flexíveis a forma com que as cargas incidem sobre os mesmos fazem com que o comportamento do elemento mude Quando os carregamentos são projetados uniformemente distribuídos no vão o cabo se deforma como uma parábola de segundo grau quando o carregamento se dá ao longo do cabo o mesmo se deforma em catenária Os carregamentos externos desenvolvem esforços puramente axiais de tração sendo nula a flexão e compressão em virtude da flexibilidade do mesmo SÜSSEKIND 1977 A Figura 32 representa os esforços de tração desenvolvidos internamente pelos cabos Figura 32 Modelo de cálculo e solicitações de tração nos cabos Fonte Martha 2010 O dimensionamento de estruturas com cabos devese analisar dois fatores importantes Deformações excessivas Ancoragem dos cabos Como a transmissão dos esforços dos cabos se dá apenas por tração quando empregados em grandes vãos devese tomar cuidado com as deflexões e vibrações excessivas Ao longo da história muitas pontes sofreram com deflexões e vibrações excessivas o caso mais famoso é o colapso de Tacoma Narrows em 7 de novembro de 1940 45 TEORIA DAS ESTRUTURAS I causado pela indução do vento As vibrações atingiram amplitudes de até 853m LEET et al 2007 Na Figura 33 é ilustrada a imagem de Tacoma Narrows Figura 33 Tacoma Narrows antes do Colapso Fonte Shutterstock 2021 Diferente dos cabos o arco funicular tem a função de resistir às cargas externas desenvolvendo esforços internos de compressão em todos os membros ao longo do arco LEET et al 2007 A Figura 34 representa o comportamento do arco quando solicitado Figura 34 Modelo de arco desenvolvendo tensões de compressão internamente Fonte Martha 2010 Nos arcos funiculares a carga de compressão é o principal efeito dessa forma a estrutura precisa ser suficientemente robusta para resistir a este efeito resultando demasiada carga de peso próprio LEET et al 2007 Na Figura 35 é apresentado um exemplo de ponte suportada por arco inferior este tipo de estrutura é comumente utilizado para vencer grandes vãos as cargas do tabuleiro são transferidas para o arco e resistidos na forma de compressão 46 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Figura 35 Modelo de ponte com arco inferior Fonte Martha 2010 Quando se dimensiona um arco devese tomar cuidado adicional nos efeitos horizontais nas cabeceiras dos arcos O esforço de compressão tende a chegar aos apoios afastandoos estes esforços devem ser devidamente tratados nos elementos de apoio 136 Modelo de Grelha O modelo de grelha é um modelo em três dimensões formado por barras ligadas perpendicularmente entre si Se analisarmos o comportamento de todas as vigas de um pavimento analisando o modelo em três dimensões o mesmo vai se comportar como uma grelha No entanto o modelo de grelha é vastamente utilizado na análise de lajes análise por analogia de grelha As barras são dispostas no pavimento formando uma malha submetida a cargas verticais KIMURA 2007 A Figura 36 representa o modelo de uma laje plana analisada por analogia de grelha 47 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Figura 36 Modelo de laje por analogia de grelha Fonte Kimura 2007 A laje é subdividida em um conjunto de barras alinhadas espaçadas constantemente Algumas regiões onde há concentração de esforços a discretização da laje necessita ser aumentada diminuindo o espaçamento entre as barras KIMURA 2007 Ao final do Item 12 vimos os mais diversos tipos de sistemas estruturais e seus modelos de cálculo vigas contínuas pórticos treliças quadros de vigas Vierendeel vigas Gerber estruturas de arcos e cabos além de grelhas Com os modelos estudados neste item você é capaz de construir e idealizar diversos tipos de modelos simulando o comportamento de estruturas reais Aproveite que todos os conceitos estão frescos na sua memória para analisar as estruturas que rodeiam seu cotidiano e tente idealizar modelos para estas estruturas 14 MODELAGEM DOS CARREGAMENTOS Após definir o modelo da estrutura há a necessidade de conhecer as cargas atuantes Os carregamentos podem ter as mais diversas origens podem ser oriundas da ação da natureza como cargas de vento terremoto ou maremoto podem ser oriundas da própria utilização da estrutura carregamentos de pessoas cargas dos móveis ou peso de veículos As cargas provenientes da ação da natureza ou as cargas de utilização da estrutura são cargas variáveis que incidem na estrutura com certa variabilidade ao longo de toda a vida útil Estas cargas que variam em intensidade são denominadas cargas acidentais 48 TEORIA DAS ESTRUTURAS I ou cargas vivas Além das cargas acidentais a estrutura recebe seu próprio peso como carregamento o peso da estrutura possui pouca ou nenhuma variabilidade ao longo de sua vida útil sendo denominada como carga permanente Existem outros tipos de cargas permanentes na estrutura como por exemplo carga de parede revestimento esquadrias e camada de nivelamento LEET et al 2007 No projeto de estruturas devese identificar quais as principais ações atuantes estas cargas devem ser as primeiras cargas analisadas num projeto de estruturas Posteriormente analisamse os carregamentos em conjunto Como mencionado anteriormente as cargas sobre a laje são transferidas para as vigas que transferem os carregamentos para os pilares e por fim as cargas chegam às fundações Dessa forma o dimensionamento começa pela análise das lajes em seguida são calculadas as vigas em seguida os pilares e por último as fundações HIBBELLER 2013 As cargas estruturais são normalizadas por grupos de engenheiros em manuais que auxiliam o desenvolvimento de projetos estas normas são chamadas de códigos No Brasil o código que abrange a determinação das cargas atuantes na estrutura é a NBR 6120 onde se encontra os mais diversos tipos de carregamentos Cabe salientar que cada país possui seus códigos e seus critérios de cálculo KIMURA 2007 A seguir serão apresentados os dois tipos de carregamentos típicos encontrados na engenharia de estruturas 141Cargas Permanentes Como mencionado anteriormente as cargas permanentes são forças que atuam ao longo da vida útil da estrutura com força constante Podemos citar as cargas de peso próprio da estrutura cargas de parede vidraças revestimentos telhado entre outros As cargas permanentes são oriundas em sua maioria de materiais dessa forma estas cargas dependem do volume e do peso específico aparente do material No Quadro 5 é apresentado alguns valores de pesos específicos de alguns materiais empregados na engenharia de estruturas 49 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Quadro 5 Peso específico de materiais Material Peso específico aparente kNm³ γap Rochas naturais Ardósia 280 Basalto 290 Mármore 280 Granito 285 Blocos artificiais Blocos de concreto vazado 140 Blocos cerâmicos vazados 120 Lajota cerâmica 180 Porcelanato 230 Argamassas e concreto Concreto armado 250 Metais Aço 778 Madeiras Cedro 50 Imbuia 65 Fonte Adaptado pelo autor 2021 a partir de NBR 6120 2019 A carga total proveniente do peso dos elementos empregados é determinada através da Equação 4 4 A Equação 4 representa a integral de volume multiplicada pelo peso aparente do material dessa forma a Equação 4 pode ser reduzida de acordo com a Equação 5 5 Onde V é o volume do material utilizado Além do peso específico aparente a NBR 6120 apresenta outros tipos de carregamentos como por exemplo carregamentos lineares de parede carga de revestimentos cargas de telhados entre outros No Quadro 6 é apresentado alguns tipos de cargas permanentes empregadas em estruturas 50 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Quadro 6 Cargas Permanentes Adicionais Material Espessura Peso aplicado Parede de bloco cerâmico vazado 14 cm 19 cm 19 kNm² 23 kNm² Revestimentos de pisos residen ciais 5 cm 7 cm 10 kNm² 14 kNm² Telhado de cerâmica em geral c inclinação 40 07 kNm² Fonte Adaptado pelo autor 2021 a partir de NBR 6120 2019 As cargas de revestimento e cargas de telhado são ações projetadas sobre a laje a carga de parede pode ser modelada como uma carga linear assim como as cargas de peso próprio A Figura 37 apresenta uma viga de concreto armado suportando uma parede de alvenaria Figura 37 Modelo de viga com cargas atuantes Fonte O autor 2021 A viga prémoldada apresentada na Figura 37 está submetida a carga de 835 kNm esta carga é proveniente do peso próprio da viga prémoldada e do peso da parede de 2m de altura 51 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 142 Cargas Acidentais As cargas acidentais também são conhecidas como cargas vivas ou cargas de utilização são ações que atuam na estrutura com certa variabilidade ao longo de sua vida útil Alguns exemplos de cargas de utilização ou cargas acidentais são carga de pessoas cargas de veículos e cargas de vento Repare que todas as cargas mencionadas são ações que atuam sobre a estrutura de forma não permanente o vento atua incide sobre a estrutura com intensidades diferentes ao longo do dia as pessoas que habitam uma residência não permanecem o tempo todo sobre o mesmo local HIBBELLER 2013 No Brasil a norma NBR 6120 determina as condições mínimas de cargas de utilização para cada tipo de estrutura ou seja as cargas de utilização são determinadas de acordo com a utilização que a estrutura está destinada No Quadro 7 podemos observar um conjunto de cargas típicas de utilização Quadro 7 Cargas Acidentais de Utilização Local Carga uniformemente distribuída kNm³ Salas de edifícios comerciais 25 Salas de escolas 30 Depósitos de 25m de altura 75 Ginásio de esporte 50 Dormitório salas e cozinhas residenciais 15 Passarela e corredores 30 Fonte Adaptado pelo autor 2021 a partir de NBR 6120 2019 As cargas de utilização descritas na NBR 6120 são cargas mínimas a serem aplicadas na estrutura a responsabilidade de adequar as cargas e escolher o valor que melhor representa o comportamento real da estrutura é do engenheiro Além das cargas distribuídas o engenheiro deve tomar cuidado com cargas de curta duração como cargas de impacto ou cargas construtivas estas cargas são muito importantes para alguns tipos de estruturas como por exemplo as cargas de impacto de pontes e ferrovias ou cargas construtivas muito comuns em estruturas de concreto prémoldado HIBBELLER 2013 52 TEORIA DAS ESTRUTURAS I As ações naturais podem variar em intensidade e direção temos como exemplo as forças das marés forças de terremoto e ações do vento Este último incide em todos os tipos de estruturas principalmente estruturas altas No Brasil o código responsável por mapear e estipular as cargas de vento é a NBR 6123 da qual se escora na mecânica dos fluídos para determinar a pressão aerodinâmica do vento Por mais que a velocidade do vento seja diferente ao longo de um período podemos analisar ela com valores médios usar métodos estatísticos para calcular o valor da velocidade que seja representativo e factível ao longo de um período A Figura 38 ilustra o mapa das isopletas vigente no Brasil e a velocidade média de cada região Figura 38 Mapa das isopletas de vento Fonte Adaptado pelo autor 2021 a partir de NBR 6120 2019 O mapa das isopletas contém a velocidade básica do vento também determinada Vo essa velocidade é determinada com base em modelos estatísticos A velocidade Vo é a velocidade média medida sobre 3s que pode ser excedida em média uma vez em 50 anos a 10 metros sobre o nível do terreno em lugar aberto e plano NBR 2023 1988 53 TEORIA DAS ESTRUTURAS I O mapa das isopletas apresentado na Figura 38 é baseado em estudos da década de 70 dos quais utilizam dados da velocidade do vento captados de aeroportos Da década de 70 até os anos de 2020 a quantidade de aeroportos privados e públicos tem aumentado significativamente possibilitando formular mapas de isopletas mais precisos Na Figura 39 apresenta um modelo de mapa de isopletas proposto para atualização da NBR 6123 Figura 39 Mapa das isopletas com dados de 2019 Fonte Vallis 2019 O mapa das isopletas apresentado na Figura 39 é uma proposta para ser homologado na NBR 6123 o mesmo deve ser analisado e aprovado por um comitê de engenharia A velocidade apresentada nos mapas de isopletas é uma velocidade média a mesma deve ser corrigida de acordo com o tipo de terreno e altura neste caderno não serão atribuídas correções a respeito destes fatores serão estudados futuramente em cadernos específicos A velocidade média do vento é a velocidade com que a massa de ar se desloca e incide na estrutura ao atingir a estrutura o vento escoa ao longo da edificação contornando a mesma e gerando uma pressão nas paredes Através da Equação 6 podese calcular a pressão aerodinâmica do vento 54 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 6 A pressão proveniente da força do vento produz esforços em todas as faces da estrutura paredes laterais e cobertura a Figura 40 ilustra a pressão do vento nas paredes e coberturas das edificações Figura 40 Pressão Aaerodinâmica do Vento Fonte Leet et al 2007 Podese observar na Figura 40 a que o telhado pode sofrer uma sucção estes esforços dependem da inclinação do telhado sua ação é muito importante para o dimensionamento das tesouras a fim de inibir que o telhado seja arrancado Na Figura 40 b as paredes de barlavento são empurradas enquanto as paredes de sotavento e fachadas laterais sofrem sucção em estruturas longilíneas como galpões estes esforços devem ser totalmente resistidos ao logo dos pilares LEET et al 2007 55 TEORIA DAS ESTRUTURAS I SAIBA MAIS Gostou do tema Quer conhecer um pouco mais sobre a ação do vento em estruturas Assista ao vídeo sobre túnel do vento aplicado em estruturas disponível pela IPT Instituto de Pesquisa e Tecnologia Disponível em httpswwwyoutubecomwatchva9cT77hsOpU A velocidade do vento também sofre influência com a altura e com a rugosidade do terreno a rugosidade do terreno faz com que o ar seja frenado junto a superfície de acordo com a Lei de Reynolds este efeito influência também camadas mais altas O ponto do qual não há efeito do terreno e o vento escoa de forma estável é chamada de camada limite atmosférica Na Figura 41 podemos observar o efeito da rugosidade do terreno e a camada limite atmosférica BLESSMANN 1995 Figura 41 Pressão aerodinâmica do vento Fonte Adaptado pelo autor 2021 a partir de Blessmann 1995 Em áreas abertas os obstáculos são pequenos e a velocidade do vento é maior junto à superfície em áreas de grandes cidades as construções impedem o fluxo livre do ar fazendo com que a velocidade do vento tenha menor intensidade e a camada limite atmosférica seja mais elevada 56 TEORIA DAS ESTRUTURAS I FÓRUM Agora é a sua vez é o momento de participar do Fórum de Discussão Você irá interagir com seus colegas e com o seu tutor assim ampliará o seu conhecimen to De acordo com o mapa das isopletas qual a velocidade básica do vento na cidade onde você nasceu 145 Área de Influência Algumas ações incidem perpendicularmente à uma área como é o caso das cargas de utilização cargas de peso próprio das lajes ou cargas de vento Dessa forma precisam ser trasladadas para os elementos de apoio como vigas e pilares As cargas permanentes das lajes e cargas vivas de utilização devem ser transmitidas para vigas para isso podese utilizar o método das áreas de influência das vigas Uma laje que se apoie sobre vigas terá suas cargas transferidas proporcionalmente a sua área de influência na laje como exemplificado na Figura 42 Figura 42 Projeção das Cargas na área de Influência Fonte LEET et al 2007 57 TEORIA DAS ESTRUTURAS I A figura em planta exemplifica uma laje de dimensões L onde está apoiada sobre vigas em todas as bordas Se analisarmos o segmento de viga AB podese traçar uma linha à 45º a fim de limitar a área de influência do segmento AB as cargas contidas dentro do trecho hachurado da laje serão transferidas para a viga de segmento AB da qual receberá a carga no formato triangular Na Figura 43 é apresentado um conjunto de lajes apoiadas sobre um conjunto de vigas Figura 43 Transferência das Cargas da Laje para a Viga Fonte LEET et al 2007 Na representação da Figura 43 a repare que a via B2 se apoia na viga B1 dessa forma ao definir os carregamentos da viga B2 e determinarse as reações de apoio modelo construído na Figura 43 b estas reações são projetadas na viga B1 modelo construído na Figura 43 c assim como as cargas sobre a área de influência das lajes adjacentes 58 TEORIA DAS ESTRUTURAS I ESTUDO DE CASO A Figura abaixo é uma planta de forma de uma edificação de concreto armado Desejase calcular e desenhar o modelo estrutural da viga V13 A estrutura é composta por concreto armado com peso específico de 25kNm³ além a edifi cação será destinada para uso residencial Para o modelo estrutural considere apenas a viga V13 simplesmente apoiada sobre os pilares P7 e P1 Com base nas cargas mencionadas cargas de peso próprio da laje e carga de utilização calcule o valor e o formato desses carregamentos sobre a viga 59 TEORIA DAS ESTRUTURAS I RESOLUÇÃO Para calcular quanto de carregamento da laje vai para a viga V13 temos que calcular a área de influência da viga V13 sobre a laje L3 Sabendo que a área de influência forma um ângulo de 45º nas extremidades a área de influ ência da viga V13 sobre a laje L3 é Como a área de influência é triangular o formato da carga sobre a viga será também trian gular Os valores da carga no topo serão calculados com base no peso próprio da laje e na carga de utilização Para a carga de utilização será tomada com base na Tabela 7 carga distribuída de 15kNm² Carga de utilização 60 TEORIA DAS ESTRUTURAS I RESOLUÇÃO O valor calculado referese à carga total esta carga atua de forma triangular sobre a viga Carga do peso da laje Como a laje é constituída de concreto armado onde o peso específico é 25kNm³ a carga total resultante na área de influência será Como a carga sobre a viga é triangular resulta em Os dois carregamentos atuam sobre a viga simultaneamente somando 43226 692 kNm 61 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Semelhante às vigas os pilares também receberão as cargas provenientes da laje dessa forma cada pilar do projeto terá uma área de influência projetada conforme ilustrado na Figura 44 Figura 44 Áreas de influência das lajes para os pilares Fonte LEET et al 2007 Na Figura 44 podemos notar a área de influência de cada pilar será a mediatriz entre dois pilares formando a área de influência Cada pilar receberá um carregamento axial correspondente às cargas sobre sua área de influência As cargas horizontais do vento incidem sobre a estrutura e a intensidade da força aumenta com a altura como exemplificado na Figura 45 62 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Figura 45 Áreas de influência para as cargas do vento Fonte LEET et al 2007 As forças do vento incidem sobre as paredes da edificação dos quais transmitem os esforços para a estrutura Como as lajes possuem uma rigidez axial muito elevada considerase que seja um diafragma rígido Tendo em vista a rigidez elevada das lajes as forças do vento concentramse nesses pontos assim a força do vento que incide nas paredes da edificação deve ser concentrada na altura do diafragma rígido Como o diafragma rígido está entre dois pavimentos a força a ser aplicada será proporcional à área de influência compreendida entre a metade dos dois pavimentos adjacentes Por fim as forças aplicadas no diafragma rígido são resistidas pelos pilares 63 TEORIA DAS ESTRUTURAS I CONSIDERAÇÕES FINAIS Caros Alunos chegamos ao final da Unidade 1 estudamos diversos assuntos interessantes a respeito da teoria das estruturas vimos que a estrutura é um conjunto formado pelas partes resistentes que garantem a estabilidade de uma edificação e deve garantir a segurança dos seus usuários Abordamos os tipos de ligações entre elementos estruturais e o estudo sobre os principais carregamentos estáticos encontrados na engenharia de estruturas Vimos sobre os tipos de estruturas e sobre o modelo mecânico de uma estrutura real Além disso estudamos sobre o estudo dos principais carregamentos estáticos encontrados na engenharia de estruturas Na próxima Unidade vamos abordar sobre a análise estrutural e sobre calcular os esforços internos dentro de cada elemento que compõem a estrutura 64 TEORIA DAS ESTRUTURAS I EXERCÍCIO FINAL 1 Os elementos de barra placa tirantes e escoras servem para modelar estruturas a fim de calculálas Com base nos seus conhecimentos sobre elementos estruturais julgue as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta I Vigas e pilares são estruturas que podem ser modeladas como elementos de barras tendo em vista que possuem duas dimensões muito menor que a terceira II Os cabos são elementos estruturais delgados modelados como tirantes os esforços de compressão nos cabos devem ser cuidadosamente considerados para que o elemento não sofra flambagem III O modelo de analogia de grelha é composta por barras onde uma dimensão é muito maior que as outras duas mas a formação da grelha permite modelar elementos planos como lajes a Apenas I b Apenas II c Apenas III d Apenas I e II e Apenas II e III 2 Existem diversos tipos de sistemas estruturais como por exemplo treliças vigas contínuas vigas gerber pórticos entre outros O pórtico é um sistema estrutural vastamente utilizado na engenharia de estruturas dentre as alternativas abaixo qual a principal contribuição no uso de pórtico na análise de estruturas I Pórtico é constituído de vigas e lajes tornandose um bom sistema para absorver os deslocamentos horizontais da estrutura II Pórticos são elementos estruturais onde os esforços são transferidos apenas por compressão e tração tendo em vista que suas ligações são rotuladas III As cargas que chegam nos pórticos são projetadas nas vias transferidas para os pilares e dissipadas pelos apoios os esforços horizontais fazem com que um 65 TEORIA DAS ESTRUTURAS I dos pilares seja aliviado e outro seja sobrecarregado a Apenas I b Apenas II c Apenas III d Apenas I e III e Apenas II e III 3 Com base na figura abaixo calcule a carga de peso próprio da viga Sabendo que o peso específico da viga é de 25kNm³ a 138200 kNm b 910525 kNm c 48465 kNm d 159600 kNm e 116900 kNm 66 TEORIA DAS ESTRUTURAS I REFERÊNCIAS AMARAL T V OLIVEIRA J P S CALENZANI A F G TEIXEIRA F B Flambagem lateral com distorção de vigas mistas de aço e concreto contínuas Revista Ibracon de Estruturas e Materiais v11 n 4 p 719 756 2018 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR 6120 Ações para o cálculo de estruturas de edificações Referências Rio de Janeiro 2019 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR 6123 Forças devido ao vento em edificações Referências Rio de Janeiro 1988 BARBATO Roberto L A Resistência dos Materiais IV Editora São Carlos 1995 BLESSMANN Joaquim O Vento na Engenharia Estrutural Editora Universitária do Rio Grande do Sul 1995 HIBBELER R C Análise das Estruturas 8ª edição Pearson 2013 HIBBELER R C Estática 12ª edição Pearson 2011 JUNIOR Ignacio Azzolini A INFLUÊNCIA DA VIGA VIERENDEEL NA MINIMIZAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS VERTICAIS EM VIGAS DE TRANSIÇÃO Uniavan 2019 KIMURA Alio Informática Aplicada em Estruturas de Concreto Armado Editora Pini 2007 LEET Kenneth M Leet UANG ChiaMing GILBERT Anne M Fundamentos da Análise Estrutural 3ª edição AMGH Editora Ltda 2010 MARTHA Luiz Fernando Análise de Estruturas Elsevier 2010 REBELLO Yopanan C Pereira A Concepção Estrutural e a Arquitetura Zigurate 2000 VALLIS Matthew Bruce BRAZILIAN EXTREME WIND CLIMATE Dissertação Dissertação em Engenharia Civil URGSPPGEC Rio Grande do Sul 2019 UNIDADE2 ANÁLISE ESTRUTURAL DE TRELIÇAS E VIGAS 68 TEORIA DAS ESTRUTURAS I INTRODUÇÃO À UNIDADE No fim da Unidade I você foi apresentado ao mundo das estruturas diversos tipos de elementos estruturais foram apresentados vigas pilares treliças quadros cabos e arcos Foi apresentado um mundo sobre os diversos tipos de carregamentos cargas permanentes cargas vivas e ações da natureza Nesta nova Unidade serão abordados temas mais aprofundados sobre estruturas a Análise Estrutural se dedica em calcular os esforços internos dentro de cada elemento que compõem a estrutura Somente através destes esforços é que poderemos saber se o elemento estrutural escolhido irá resistir às cargas externas sem que entre em ruína Ao final desta Unidade você será capaz de calcular qualquer tipo de estrutura isostática com cargas reais Possibilitando analisar os esforços na viga de sua casa saber quais cargas chegam às fundações da sua residência analisar a influência da carga do vento nas vigas e pilares do prédio onde você trabalha 21 ANÁLISE DE VIGAS Na engenharia Civil a maior parte das estruturas é projetada para que permaneçam estáveis estruturas projetadas para se moverem são raras exceções Uma estrutura estável é capaz de suportar as cargas impostas peso próprio sobrecargas e ações variáveis sem desenvolver grandes deslocamentos ou deformar excessivamente Dessa forma a análise de estruturas estáveis tem como objetivo determinar as forças externas e suas reações forças internas e deformações da estrutura As forças externas são importantes para que seja garantido o equilíbrio estrutural as forças internas servirão para que se assegure integridade dos elementos estruturais e as deformações da estrutura devem ser limitadas para que não ocasione nenhum desconforto LEET et al 2007 A fim de alcançar os objetivos supracitados a análise utilizase dos fundamentos da mecânica o ramo da mecânica que estuda as forças sobre um corpo rígido em repouso 69 TEORIA DAS ESTRUTURAS I é denominada Estática Para mais conhecimento sobre o tema revise os conceitos de estática no link httpswwwtodoestudocombrfisicaestatica caso opte por um livro recomendo que procure pelo título Estática Mecânica Para Engenharia HIBELLER 2011 LEET et al 2007 22 ANÁLISE DE ESTRUTURAS ESTATICAMENTE DETERMINADAS Iniciaremos o Capítulo com uma breve revisão sobre os conceitos da Estática iniciando com as grandezas fundamentais força e momento A força é uma grandeza muito intuitiva reconhecemos facilmente a força quando aplicadas sobre outro corpo como por exemplo a força que uma locomotiva faz para puxar seus vagões a força que um halterofilista faz para erguer peso há também a força sem contato como força magnética SÜSSEKIND 1977 Mas além disso o olhar de engenheiro nos permite dizer que a força tem magnitude e direção podendo ser representada na forma vetorial como representado na Figura 46 a LEET et al 2007 Figura 46 Vetores de força e momento a vetor força no plano b binário de vetores de força c momento fletor Fonte LEET et al 2007 A Figura 46 a apresenta um vetor de força decomposto no plano cartesiano do qual sua resultante é expressa conforme Equação 01 01 70 TEORIA DAS ESTRUTURAS I A magnitude de é expressa conforme Equação 02 02 Também é possível construir a relação trigonométrica com o triângulo abc de acordo com Equação 03 03 Na Figura 46 b podese observar um par de vetores atuando na mesma direção em sentidos opostos e a uma distância O conjunto de força atuando a uma distância produz o momento fletor proveniente do produto vetorial entre a força e o deslocamento o momento fletor pode ser intuitivamente deduzido como o produto entre a força e a distância perpendicular à aplicação dessa força O momento fletor é um vetor simbolizado conforme Figura c mas é comumente representado no plano como uma flecha curva representando um giro No sistema internacional a unidade de força é N Newton no entanto em engenharia Civil a ordem de grandeza faz com que usualmente se trabalhe com a unidade kN quilonewton O prefixo k quilo é a representação de 10³ neste caso 1kN equivale a 1000N Em aplicações de estruturas mais robustas como dimensionamento de pontes podese utilizar o prefixo M mega 1MN meganewton equivalem a 10³kN e 106N Como o momento fletor é o produto da força e a distância a unidade de momento fletor no sistema internacional é Nm Newton metro utilizando o prefixo kquilo usual em engenharia civil temos a unidade kNm quilonewton metro para o momento fletor Em bibliografias mais antigas ou bibliografias de estudos direcionados como bibliografia de concreto armado é comum utilizarse a unidade kgf quilograma força ou tf tonelada força É um sistema de unidade mais intuitivo 1kgf é a força que a terra atrai 1kg quilogramapadrão A equivalência de 1kgf é 9807N 1N é equivalente a 0102kgf e 1kN é equivalente a 101972kgf Analogamente o momento fletor pode ser expresso em kgfm tendo as mesmas proporcionalidades citadas 71 TEORIA DAS ESTRUTURAS I CURIOSIDADE Uma das obras mais influentes da história é Princípios e Matemáticos da Filosofia Natural de Isaac Newton publicado em 1687 Esta obra descreve a lei da gravitação universal e três leis Newtonianas A unidade de medida de força no sistema interna cional é N Newton em reconhecimento ao seu trabalho sobre mecânica clássica Popularizouse que a lei gravitacional de Newton foi idealizada a partir da queda de uma maçã em sua cabeça Caso seja esquecida a relação de grandeza entre N e kgf basta nos recor darmos desse episódio Se Newton idealizou a lei gravitacional a partir de uma maçã se esti marmos que uma maçã pesa aproximadamente 100g 101972g ou 0102kg podemos dizer que 1N é equivalente ao peso de uma maçã 0102kgf Um conjunto de forças aplicadas sobre um corpo rígido pode ser sintetizada por sua resultante ou seja o efeito de um conjunto de cargas sobre um corpo rígido é equivalente à sua resultante Como exemplo podese observar o exemplo no estudo de caso abaixo 72 TEORIA DAS ESTRUTURAS I ESTUDO DE CASO Determine a magnitude e localização da resultante R das três cargas da roda mostrada na abaixo SOLUÇÃO Como nenhuma das forças atua na direção horizontal nem tem componentes na direção horizontal O somatório de forças na direção y resulta em Como devese ter equilíbrio entre as forças e o momento fletor se multiplicarmos todas as forças aplicadas até o ponto A temos que caso você fique com dúvidas sobre os conceitos de equilíbrio relembre os conceitos no Capítulo 211 Fonte LEET et al 2007 73 TEORIA DAS ESTRUTURAS I A resultante das forças é uma forma mais simples de se analisar um conjunto de carregamentos que formam uma carga distribuída Se analisarmos a Figura 47 podemos ver um conjunto de cargas formando uma carga linear sobre a viga Figura 47 Força resultante de uma parede Fonte O autor 2021 A carga distribuída possui resultante sobre o centro de gravidade dos carregamentos podendo ser analisada em função do centro geométrico da sua representação Dessa forma a força resultante tem efeito equivalente a força distribuída na viga Se a força distribuída for w 30kNm e o vão da viga for L5m a força resultante será resultado da multiplicação da força w com o vão L resultando em 150kN A força resultante estará projetada sobre o centro geométrico da figura Como a representação da carga distribuída constantemente é um retângulo a aplicação da força resultante estará no meio do vão a 25m do apoio A e do apoio B 74 TEORIA DAS ESTRUTURAS I ESTUDO DE CASO Calcule a magnitude e a localização da resultante da carga parabólica mostra da abaixo Solução Calcule R integrando a área sob a parábola Localize a posição do centroide Somando os momentos sobre a origem o temos Substituindo e resolvendo a equação temos Fonte Leet et al 2007 75 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 221 Condições de Equilíbrio e Determinação da Estabilidade De modo geral uma estrutura estará em equilíbrio se todas as forças aplicadas forem resistidas por seus apoios Matematicamente podemos expressar conforme as Equações 04 e 05 04 Se o somatório das forças atuantes for igual a zero a estrutura permanecerá estável em relação a translação Para impedir que a estrutura gire devese garantir que o somatório dos momentos fletores atuantes seja igual a zero conforme Equação 05 05 De acordo com Süssekind 1977 Para um corpo submetido a um sistema de forças estar em equilíbrio é necessário que elas não provoquem nenhuma tendência de translação nem rotação a este corpo Mesmo que uma estrutura tenha seu equilíbrio garantido podese ter uma estrutura na iminência de se deslocar saindo do equilíbrio Podemos citar como exemplo o caso de uma bola sobre uma superfície convexa representada na Figura 48 a Figura 48 Equilíbrio instável e estável Fonte O autor 2021 76 TEORIA DAS ESTRUTURAS I A bola sobre a superfície convexa está na iminência de se desequilibrar qualquer força tende a desequilibrar a bola movimentandoa Na Figura 48 b a bola está sobre uma superfície côncava as forças projetadas sobre a bola serão resistidas Podese então construir o conceito geral se o equilíbrio for estável a estrutura possui apoios suficientes para impedir todos os movimentos O Quadro 08 representa os tipos de apoios e as direções que cada apoio impede Este quadro e os tipos de apoio foram elucidados na Unidade 1 caso ainda tenha alguma dúvida sobre o tema retorne ao Capítulo 121 Quadro 08 Tipos de apoios em modelos de estruturas planas Apoios Símbolos Restrições em deslocamentos e rotações Reações Simples de primeiro gêne ro horizontal Simples de primeiro gêne ro vertical Simples de segundo gênero Engaste de terceiro gênero Engaste deslizante Fonte Adaptado de Martha 2010 Uma estrutura em equilíbrio deve possuir apoios que impeçam o movimento em todos os sentidos além de impedir também o giro Equilíbrio estático pode ser conferido através da Equação 06 SÜSSEKIND 1977 77 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 06 Onde é o número de incógnitas do sistema e é o número de equações da estática no caso particular de análise de estruturas no plano o número de equações é 3 conforme Equação 07 07 Se tomamos como incógnitas o número de reações de apoio podemos classificar as estruturas como isostáticas hiperestáticas e hipostáticas As estruturas isostáticas possuem o número de reações de apoio igual ao número de equações do grau de estaticidade é zero As estruturas hiperestáticas possuem o número de reações maior que o número de equações o grau de estaticidade é maior que zero As estruturas hipostáticas possuem o número de reações de apoio menor que o número de equações do grau de estaticidade é menor que zero No Quadro 09 podese ver o resumo das condições de estaticidade das estruturas SÜSSEKIND 1976 Quadro 09 Condição de equilíbrio e grau de estaticidade Condição de equilíbrio Estrutura Grau de estaticidade Estável Isostática Estável Hiperestática Instável Hipostática Fonte O autor 2021 As estruturas Isostáticas são chamadas estruturas estaticamente determinadas possíveis de serem calculadas através das equações da estática As estruturas hiperestáticas são estruturas estaticamente indeterminadas as equações da estática não são suficientes para solucionar a estrutura Este caderno destinase a estudar apenas estruturas estaticamente determinadas estruturas hiperestáticas serão temas de cadernos futuros Para sedimentar melhor os conceitos vamos analisar a Figura 49 onde há uma viga biapoiada 78 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Figura 49 Viga biapoiada e suas reações Fonte O autor 2021 A viga está com seu modelo representado no plano de acordo com a Equação 07 dispomos 3 equações A estrutura possui as reações de apoio Fax Fay e Fby totalizando 3 reações de apoio Dessa forma o grau de estaticidade da estrutura conforme Equação 06 resulta em 0 resultando em uma estrutura isostática No Quadro 10 é apresentado um conjunto de estruturas e seus graus de estaticidade Quadro 10 Grau de Estaticidade de Estruturas Estrutura Grau de estaticidade Classificação Isostática Hiperestática Hiperestática 79 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Hipostática Fonte O autor 2021 A viga representada na última linha do Quadro é uma viga hipostática os apoios existentes não são suficientes para impedir o deslocamento proveniente de uma possível força horizontal A estrutura também pode possuir ligações rotuladas entre os membros as rótulas internas da estrutura alteram seu grau de estaticidade esse tipo de estrutura será estudado posteriormente Além do grau de estaticidade externo visto até então uma estrutura pode ser classificada externamente como estrutura isostática e ser uma estrutura internamente hiperestática tornando a determinação dos esforços internos impossível com as equações da estática 222 Princípio da Superposição O princípio da superposição de efeitos é a base para análise de estruturas mais complexas Pode ser entendido conforme afirma Hibbeler 2013 O deslocamento total ou cargas internas tensão em um ponto em uma estrutura sujeita a várias cargas externas podem ser determinadas somando os deslocamentos ou cargas internas tensão calculados por cada uma das cargas externas atuando separadamente HIBBELER 2013 Dessa forma podese analisar uma estrutura submetida a diversos carregamentos simultâneos analisando o efeito destes carregamentos calculandoos individualmente e somandoos Este recurso é muito utilizado em engenharia civil onde as cargas atuantes em uma edificação podem possuir intensidades natureza e frequência de incidência 80 TEORIA DAS ESTRUTURAS I diferente Quando a estrutura é analisada calculase a probabilidade de ocorrência de cargas simultâneas por exemplo a probabilidade de ocorrer o pior vento dos últimos 50 anos e ao mesmo tempo a edificação possuir lotação máxima é relativamente pequena a não ser no caso de hospitais Este tema será melhor abordado no caderno que abordará os princípios do dimensionamento de estruturas de concreto aço ou madeiras Para que o efeito da superposição seja aplicado devese garantir duas hipóteses A primeira consiste em analisar a estrutura no regime elástico linear onde vigora a lei de Hooke as cargas são proporcionais aos deslocamentos Em estruturas que estejam em regime plástico a superposição de efeitos não será válida A segunda consiste em analisar a estrutura submetida a pequenos deslocamentos deslocamentos que não alterem a posição dos carregamentos gerando efeitos de segunda ordem Resumidamente podemos simplificar o entendimento desta seção exemplificando o estudo de caso a seguir ESTUDO DE CASO A estrutura abaixo está submetida a três cargas diferentes carga distribuída de 15kNm peso próprio de 20kNm e carga concentrada na extremidade de 60kN Desejase calcular as reações no apoio da viga e as forças internas a uma distância de 2m do apoio Sabendo que a viga possui 4m de comprimento total 81 TEORIA DAS ESTRUTURAS I O modelo estrutural com a carga de peso próprio incluída é apresentado abaixo RESOLUÇÃO O problema será resolvido utilizando sobreposição de efeitos primeiramente será calculado o efeito da carga concentrada posteriormente será calculado o efeito das cargas distribuídas Por fim serão somados os efeitos calculados Resolvendo o problema com a carga concentrada a viga fica da seguinte forma A reação de apoio será calculada utilizando as três equações da estática Equação 07 82 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Solicitações internas a 2m do apoio Para melhor compreensão leia o Capítulo 221 Utilizase as mesmas equações de equilíbrio anteriormente utilizadas Agora será solucionada a estrutura para as duas cargas distribuídas As cargas distribuídas são 15kNm e 20kNm somando 35kNm exemplificado na figura a seguir 83 TEORIA DAS ESTRUTURAS I A força resultante será Fazendo o equilíbrio da estrutura temos o valor do momento fletor e força em y Para calcular os esforços internos a 2m organizase a estrutura conforme figura abaixo O equilíbrio da seção cortada e a força resultante da carga distribuída serão CONCLUSÕES 84 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Dessa forma podemos organizar as reações de apoio total e os momentos atuantes totais no apoio da viga e no ponto a 2m do apoio conforme figura abaixo O apoio da viga está sendo solicitado por uma força total de 200kN e um momento total de 520kNm Dessa forma o dimensionamento do elemento estrutural que servirá de apoio para esta viga deve resistir a estes esforços Caso o apoio dessa viga seja um pilar este pilar deve resistir com segurança a 200kN e 520kNm A 2m do apoio temos a força interna atuante total de 200kN de esforço cortante e momento fletor interno de 260kNm A viga deve resistir a estes dois esforços internos com segurança ou seja a viga deve ser dimensionada para que resista à 200kN e esforço cortante e 260kNm de momento fletor Os critérios de dimensionamento de pilares e vigas serão abordados em cadernos posterio res cadernos específicos de dimensionamento de estruturas de concreto armado estruturas de aço ou estruturas de madeira Fonte Autoria própria 2020 85 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 23 ANÁLISE DE TRELIÇAS ESTATICAMENTE DETERMINADAS Conforme foi visto na nossa Unidade 1 as estruturas treliçadas são estruturas leves com ligações rotuladas cargas externas posicionadas majoritariamente resistidas por barras anguladas de modo que as mesmas estejam solicitadas à compressão e tração unicamente A Figura 50 exemplifica o comportamento das treliças Figura 50 Modelo estrutural da treliça Fonte O autor 2021 A ação das forças externas faz com que a treliça rotacione comprimindo as barras superiores e tracionando as barras inferiores A análise estrutural tem como objetivo determinar as forças internas em cada barra que compõem a estrutura treliçada Para tal temos dois métodos consagrados na metodologia método dos nós e método das seções HIBELLER 2013 86 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 231 Método dos Nós O método dos nós consiste em analisar o diagrama de corpo livre de nós analisando as cargas que chegam nos nós e as forças desenvolvidas pelas barras que se ligam ao nó Por fim basta realizar o equilíbrio do nó para determinar a força interna de cada membro da treliça LEET et al 2007 Se observarmos a Figura 51 veremos um bom exemplo para entender melhor o método Figura 51 Análise de treliça isostática a Treliça carregada b Diagrama de corpo livre do nó B Fonte Adaptado de Leet et al 2007 Na Figura 51 a podese observar uma treliça isostática composta pelas barras e O nó B recebe o carregamento externo de 30kN logo essa força deve ser resistida pelas barras e Conforme exemplificado na Figura 06 b estas barras desenvolvem as forças internas e a força interna pode ser decomposta conforme os eixos cartesianos em e Como a estrutura deve estar em equilíbrio 87 TEORIA DAS ESTRUTURAS I estático o nó B também deve estar em equilíbrio deve atender a Equação 07 No caso particular do equilíbrio do nó B temos as Equações 08 08 Perceba que todos os esforços atuantes sobre o nó B estão projetados na mesma linha do nó não produzindo momento fletor como é pressuposto em treliças isostáticas LEET et al 2007 232 Método das Seções O método das seções consiste em analisar apenas uma parte isolada da estrutura com o auxílio de uma seção imaginária dividese a treliça em duas partes Tendo em vista que as forças externas devem estar em equilíbrio com as forças internas podese aplicar as equações de equilíbrio expressa na Equação 7 e determinar as forças dos membros da treliça HIBELLER 2013 A Figura 07 apresenta uma treliça plana seccionada e os esforços internos após a secção 88 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Figura 52 Treliça com aplicação do método das seções Fonte Adaptado pelo autor 2021 a partir de Hibeller 2013 SAIBA MAIS Para aumentar seus conhecimentos e aplicação veja a aplicação prática do uso de treliças com programa LISAFEM Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvNsSpKJymkXg A seção idealizada faz com que a treliça seja dividida em duas partes cada seção deve possuir equilíbrio entre as ações externas e as solicitações internas O equilíbrio das duas seções deve ser garantido através da Equação 07 A solução para o exemplo é apresentada na Equação 09 para a estrutura à esquerda 89 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 09 Para a estrutura à direita a solução é apresentada conforme Equação 10 10 Utilizando as duas equações de equilíbrio podese determinar o valor do esforço interno das barras e O método das seções é bastante eficaz quando desejase determinar a força interna de algumas barras específicas no projeto sem haver a necessidade de determinar as forças internas de todos os membros da estrutura SAIBA MAIS As estruturas treliçadas podem estar dispostas em três dimensões chamadas treliças espaciais fato muito comum em coberturas de galpões ou postos de gasolina Para aumentar seus conhecimentos leia o artigo sobre ANÁLISE NUMÉRICA VIA MEF DE LIGAÇÕES EM TRELIÇAS METÁLICAS ESPACIAIS Disponível em wwwseteescuspbrcadernosnovaversaopdfcee3829pdf 90 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 24 CARGAS INTERNAS DESENVOLVIDAS EM MEMBROS ESTRUTURAIS Além de se estabelecer o equilíbrio de uma estrutura devese também determinar as forças internas atuantes ou forças em um determinado ponto específico Com a determinação da força em um determinado ponto da estrutura é possível calcular a tensão a que a mesma está submetida com isso verificar se o membro estrutural possui resistência suficiente No decorrer deste capítulo serão abordadas uma série de hipóteses e considerações para calcularse a força interna de um membro estrutural 241 Carga Interna em um Ponto Específico Quando uma estrutura é carregada externamente os membros estruturais recebem as cargas e transferem para os apoios estas cargas caminham pelos membros estruturais desenvolvendo esforços internos como exemplificado na Figura 53 Figura 53 Esforços internos em um ponto Fonte O autor 2021 91 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Conforme apresentado na Figura 53 a carga Q é aplicada no membro estrutural horizontal do qual transfere os esforços para a barra inclinada até chegar ao apoio Na barra inclinada no exato ponto onde há o corte existirão as cargas internas N V e M esforço normal esforço cortante e momento fletor respectivamente No caderno de resistência dos materiais foram estudadas as tensões internas existentes em barras carregadas Sabendo que a tensão é expressa em função da força sobre a área a tensão desenvolvida pelas forças internas N V e M devem ser menores que a resistência do material que compõe o membro da estrutura Conforme Timoshenko e Gere 1982 os esforços internos seguem a convenção conforme Figura 54 Figura 54 Convenção dos esforços internos Fonte O autor 2021 Conforme convenção os esforços normais são positivos quando tracionam o elemento os momentos fletores são positivos quando desenvolvem tração na face inferior e compressão na parte superior os esforços cortantes são positivos quando produzem um giro no sentido horário Com o intuito de determinar o valor dos esforços internos utilizase as equações de equilíbrio expressas na Equação 07 Partindo da Figura 10 após determinar as reações de apoio desejase determinar os esforços internos em um ponto da estrutura detalhado pela seção 92 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Figura 55 Equilíbrio das seções Fonte O autor 2021 Quando as duas seções estão conectadas conforme Figura 55 as forças internas se anulam logo devem possuir o mesmo valor em módulo Como a estrutura está em equilíbrio ao seccionar a estrutura cada trecho também deve estar em equilíbrio Dessa forma o equilíbrio da seção esquerda é garantido conforme Equação 11 Isolando as variáveis N V e M temse os esforços internos na seção distante Ba do apoio à esquerda Até o presente momento é possível determinarse os esforços internos a uma distância específica em uma estrutura Reveja o estudo de caso apresentado no Capítulo 211 93 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 242 Funções Cortante e Momento Conforme apresentado por Timoshenko e Gere 1982 os esforços internos e externos se equilibram Analisando a viga onde vemos uma viga engastada sendo solicitada por uma carga externa inclinada podemos calcular os esforços internos a partir do equilíbrio descrito na Equação 08 Figura 56 Viga engastada solicitada por carga P inclinada Fonte O autor 2021 Analisando a seção esquerda da seção da viga temos o equilíbrio dos esforços internos com a carga P conforme Equação 12 Repare que os esforços normais e os esforços cortantes permanecem constantes independente da distância que a seção esteja No entanto o momento fletor interno 94 TEORIA DAS ESTRUTURAS I é dependente da distância da seção está da carga P o momento fletor à medida que aumenta a distância x da carga P quando a distância x for igual ao comprimento da viga o momento fletor terá solicitação máxima O objetivo da análise estrutural é obterse uma representação gráfica do comportamento dos esforços internos ao longo da estrutura Podemos representar os esforços da viga presente na Figura 56 A Figura 57 apresenta o gráfico dos esforços internos conforme descrito anteriormente Figura 57 Diagrama de esforços solicitantes na viga engastada Fonte O autor 2021 Repare que os diagramas de esforços normais e diagrama de esforços cortantes mantêmse constantes ao longo da viga Enquanto o momento fletor aumenta à medida que se afasta do início da viga até que atinge momento fletor máximo quando x percorre o comprimento L da viga Importante notar também que o diagrama de momentos fletores possui sentido positivo abaixo da viga conforme convenção representada O diagrama de esforços internos serve para avaliar os esforços ao longo de toda a viga no caso da viga engastada e livre a mesma deve ter resistência constante aos 95 TEORIA DAS ESTRUTURAS I esforços normais e esforços cortantes ao longo da viga No entanto o momento fletor possui valor mínimo no início da viga e aumenta até seu valor máximo de na extremidade direita Dessa forma a viga deve possuir resistência a flexão suficiente para suportar o momento fletor máximo de na extremidade direita podendo ter resistência a flexão reduzida na extremidade esquerda No seu caderno de resistência dos materiais foi apresentado as vigas com maior momento de inércia I possuem maior resistência ao momento fletor Dessa forma a viga analisada na Figura 57 poderia ser dimensionada com seção variável conforme ilustrado na Figura 58 Figura 58 Seção inclinada para resistir aos esforços de flexão Fonte O autor 2021 No caso analisado anteriormente a viga possui apenas uma carga pontual na Figura 59 é apresentada uma viga carregada com solicitação linear ao longo da viga 96 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Figura 59 Viga engastada carregada linearmente Fonte O autor 2021 Analisando a seção esquerda da viga temse o equilíbrio conforme Equação 12 Repare que os esforços normais constantes e iguais a zero ao longo da viga fato pode ser previamente analisado tendo em vista que não há esforços externos horizontais na viga Diferente da análise anterior os esforços cortantes variam ao longo da viga com uma variação linear e negativa Os momentos fletores possuem variação quadrática os esforços variam na ordem 2 ao longo da viga Para que seja possível dimensionar a viga em análise devese representar as equações de esforços internos com gráficos conforme o exemplo anterior A Figura 60 representa os esforços internos da viga em análise 97 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Figura 60 Diagramas de esforços solicitantes para vigas engastadas Fonte O autor 2021 Repare que os esforços cortantes possuem variação linear e os momentos fletores possuem variação geométrica quadrática de acordo com Timoshenko e Gere 1982 estes esforços se relacionam conforme Equação 12 12 A primeira derivada dos esforços cortantes se iguala à solicitação externa distribuída com sentido negativo enquanto a derivada dos momentos fletores se iguala aos esforços corantes Integrando as duas partes obtémse a Equação 13 13 A integral dos esforços externos obtémse os esforços cortantes mais uma constante integração A integral dos esforços cortantes resulta nos momentos fletores mais outra constante de integração Repare que a análise de vigas é tema comum entre as áreas de Análise estrutural 98 TEORIA DAS ESTRUTURAS I e Resistência dos materiais Na sequência a Resistência dos materiais foca em avaliar como as tensões internas atuam na viga submetida à flexão esforços cortantes e esforços normais Já a Análise estrutural estudará os diversos tipos de estruturas a fim de determinar qual a seção mais solicitada ao longo da estrutura 243 Análise de vigas A análise de vigas segue a base construída no Capítulo 222 Nesse capítulo serão estudados alguns tipos de vigas Basicamente existem 2 tipos de vigas viga engastada e a viga biapoiada O modelo de viga engastada foi estudado no capítulo anterior a seguir é apresentada uma viga biapoiada submetida a carga distribuída constantemente Figura 61 Viga biapoiada com carga distribuída Fonte O autor 2021 99 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Como não há esforços horizontais concluise que os esforços normais são nulos e o somatório de forças em x pode ser desprezado Para calcular as reações de apoio têmse as equações de somatório de forças em y e somatório dos momentos fletores no entanto como a estrutura é simétrica e os carregamentos também podese concluir que cada apoio resiste metade da carga distribuída Para calcular os esforços internos fazse o equilíbrio da seção esquerda ou equilíbrio da seção direita resultando na Equação 14 Com as Equações é possível construir os diagramas de esforços internos solicitados conforme Figura 17 Figura 62 Diagrama de esforços internos para viga biapoiada carregada linearmente Fonte O autor 2021 Os momentos fletores são iguais a zero em x 0 e em x L2 tendo momento máximo em x L2 com valor descrito na Equação 15 100 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 15 Este valor do momento máximo é vastamente utilizado na engenharia utilizado como base para cálculos mais complexos O momento máximo calculado em uma viga biapoiada pode ser calculado utilizando os prin cípios de cálculo Em uma função fx quaisquer o ponto de momento máximo ou mínio desta função pode ser determinado derivando fx e igualando a zero O ponto onde fx 0 é um ponto de inflexão da função podendo ser um ponto de máximo ou mínimo Tomando como base a viga biapoiada abaixo temse a equação dos momentos fletores através do equilíbrio da seção mn A equação dos momentos fletores será dada por Para determinarse o momento máximo devese derivar a função Mx e igualala a zero 101 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Isolando o valor de x temse o ponto de inflexão ou distância onde o momento será máximo Exatamente em L2 é o ponto onde o momento será máximo para determinar o valor do momento máximo basta aplicar o valor de x na equação do momento fletor Utilizandose de matemática básica temse As vigas analisadas anteriormente possuíam equação contínua ao longo da viga no entanto pode haver pontos de descontinuidades na viga por exemplo mudança no carregamento apoio rótula entre outros No caso de vigas isostáticas serão abordados apenas esses tipos de descontinuidades ao longo da viga No entanto cabe salientar que o processo é o mesmo independente do número de descontinuidades que a viga pode ter como veremos a seguir A viga representada na Figura 18 possui quadro descontinuidades Figura 63 Viga com carregamento descontínuo Fonte O autor 2021 O primeiro trecho é definido dá o apoio a até a descontinuidade proveniente do início do carregamento distribuído O segundo trecho é definido do início da carga 102 TEORIA DAS ESTRUTURAS I distribuída até a descontinuidade proveniente da aplicação do momento fletor O terceiro trecho se estende até o apoio b do qual produz uma descontinuidade na viga O quarto trecho se estende até o fim da viga caso a carga P estivesse posicionada antes do final da viga seria produzido outra descontinuidade Com base nas descontinuidades da viga e em seus carregamentos constroemse cortes em cada trecho Na Figura 64 é apresentado o equilíbrio da seção em cada trecho com seus esforços internos Figura 64 Viga contínua com descontinuidade nos carregamentos Fonte O autor 2021 103 TEORIA DAS ESTRUTURAS I É importante destacar que todos os conceitos estudados anteriormente como a superposição de efeitos continuam válidos Nesse caso é bem comum solucionar a estrutura para cada um dos efeitos isoladamente e depois somar os efeitos em cada seção 245 Vigas Gerber Os conceitos básicos sobre a funcionalidade de vigas do tipo Gerber foram apresentados no Capítulo 122 da Unidade 1 No conceito da estática é uma barra de viga que está ligada a outra barra de viga por uma rótula na engenharia essa ligação pode ser a análise entre uma ligação metálica ou a ligação de um trecho de viga prémoldada A Figura 65 exemplifica uma situação prática de utilização de viga prémoldada com dente Gerber Figura 65 Ponte sobre rio com solução prémoldada Fonte Adaptado pelo autor 2021 a partir de Sussekind 1976 Na Figura 20 é apresentada uma ponte cuja finalidade é atravessar um rio muito profundo ou com uma velocidade do curso dágua muito grande Nesses casos pode ser mais seguro construir uma viga Gerber do que fazer um tabuleiro monolítico Para a análise estrutural esse tipo de ligação é uma rótula De acordo com Süssekind 1976 podese dizer que vigas Gerber 104 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Consta então uma viga Gerber de uma associação de vigas com estabilidade própria com outras apoiadas sobre as primeiras que dão a estabilidade ao conjunto Para resolvela basta fazer sua decomposição nas vigas que a constituem resolvendo inicialmente aquelas sem estabilidade própria e após as dotadas de estabilidade própria para as cargas que lhe estão diretamente aplicadas acrescidas para estas últimas das forças transmitidas pelas rótulas SÜSSEKIND 1976 Para a estrutura apresentada na Figura 20 podese construir o modelo da Figura 66 a O modelo é construído com rótulas simulando o efeito do dente Gerber perceba que a viga entre as duas rótulas está apoiada na viga à esquerda e na viga à direita a ligação entre as vigas é similar a uma dobradiça permitindo que exista uma rotação e impedindo que a viga se desloque verticalmente caia Dessa forma podese afirmar que a rótula existente entre as vigas permite que seja transferido esforços cortantes e esforços axiais no entanto os esforços de flexão não serão transmitidos Figura 66 Modelo de cálculo para viga prémoldada com dente Gerber Fonte Adaptado pelo autor 2021 a partir de Sussekind 1976 Para solução do modelo podemos separar os trechos de viga conforme ilustrado na Figura 66 b Veja que a continuidade da viga à esquerda possui estabilidade própria 105 TEORIA DAS ESTRUTURAS I assim como a viga da extremidade direita Entre as rótulas a viga não possui estabilidade própria Conforme mencionado anteriormente podese afirmar que a viga central se apoia nas demais vigas com estabilidade própria Para fins de cálculo podese solucionar o modelo da viga sem estabilidade própria anteriormente às demais considerando que a viga central se apoia nas duas vigas laterais e é montado um modelo biapoiado As reações de apoio da viga central serão transferidas para as vigas adjacentes como cargas externas conforme apresentado na Figura 66 c Para melhor entendimento acompanhe o estudo de caso abaixo ESTUDO DE CASO A ponte apresentada na figura abaixo possui o seguinte modelo estrutural A viga principal é composta de concreto armado com carga específica de 25kNm A carga do vão central vale 98kN as cargas das vigas laterais são 7kNm Considerando apenas o carregamento vertical proveniente do peso próprio desejase calcu lar as reações de apoio desenhar diagramas de momentos fletores e esforços cortantes Primeiramente iremos calcular as reações de apoio começando pela viga entre rótulas A viga entre as rótulas está se apoiando na viga à esquerda e na viga à direita dessa forma pode se modelar a estrutura como uma viga biapoiada 106 TEORIA DAS ESTRUTURAS I A reação Fr1y representa a reação que a viga da esquerda faz ao servir de apoio para a viga entre rótulas analogamente a força Fr2y representa a força da viga à direita Utilizando o valor da carga calculada na expressão conhecida para cálculo da reação de apoio para viga biapoiada temos Como a estrutura é simétrica temos que Essa força é a força que a parte sobre rótulas faz sobre as vigas adjacentes Dessa forma ao analisar a viga à esquerda a reação de apoio Fr1y será uma carga concentrada na mesma conforme podemos ver na imagem Modelando a estrutura com seus carregamentos 107 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Para calcular as reações de apoio será utilizado equilíbrio de momentos sobre o apoio A Com somatório de forças em y temse a reação de apoio Fay Dessa forma podese construir o diagrama de corpo livre Com o diagrama de corpo livre constroise o diagrama de esforços cortantes e diagrama de momentos fletores a partir das equações de equilíbrio da seção 108 TEORIA DAS ESTRUTURAS I ENTRE OS APOIOS TEMOS QUE NA ÚLTIMA SEÇÃO TEMOS 109 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Aplicando as primeiras equações entre o intervalo de 0x3 segundas equações entre o in tervalo 3x9 as duas últimas equações entre os intervalos 9x11 constroise a tabela a seguir Com base nos valores e no conhecimento sobre a representação de uma equação de primei ro e segundo grau podese construir o diagrama conforme Para deteminar a posição do momento máximo podese derivar a função entre os dois apoios igualala a zero determinar qual a posição x e calcular o momento máximo 110 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Sabendo que a derivada do momento fletor é igual a função dos esforços cortantes temos iremos igualar a zero e determinar o valor de x Ao aplicar o valor de x na equação dos momentos fletores é possível determinar o momento máximo no vão Outra opção é fazer semelhança de triangulo entre os triângulos destacados abaixo Dessa forma desejase determinar o ponto zero Por semelhança de triângulo temos 111 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Sabendo que a é o comprimento do triângulo esquerdo e b é a base do triânculo direito Então concluise que a b 6 Isolando uma variável onde desejase achar o valor de a temos que Jogando na outra equação Aplicando na equação dos momentos fletores temse Para a viga biapoiada podese utilizar os conceitos arguidos anteriormente e construir o diagrama de esforços cortantes e momento fletor Podese observar que a estrutura é simétrica tomando proveito da simetria os diagramas encontrados à esquerdas serão espelhados para a direita para forma o diagrama completo da estrutura 112 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 113 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 246 Vigas Inclinadas Por fim uma viga pode ter a função de ligar dois pavimentos adjacentes Uma escada pode estar apoiada em uma viga inclinada ou o modelo da escada pode ser de uma viga inclinada A Figura 67 ilustra uma escada modelada como viga inclinada Figura 67 Escada longitudinal Fonte Araújo 2014 Para efeito de cálculo o comportamento da viga inclinada se assemelha com o comportamento da viga biapoiada conforme Süssekind 1976 uma viga biapoiada inclinada se comporta para fins de diagrama de momento fletor como se fosse uma viga biapoiada de vão igual à projeção de seu comprimento sobre uma reta perpendicular ao carregamento atuante SÜSSEKIND 1976 O diagrama da estrutura de viga inclinada é ilustrado na Figura 68 Os esforços externos sobre a viga desenvolvem esforços axiais cisalhamento e flexão na viga conforme os diagramas 114 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Figura 68 Diagramas da viga inclinada Fonte Adaptado pelo autor 2021 a partir de Sussekind 1976 115 TEORIA DAS ESTRUTURAS I SAIBA MAIS 1 Caso tenha ficado muitas dúvidas revise os conteúdos anteriores assistindo o vídeo abaixo Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvy5rt7NX8v4 2 Para aumentar seus conhecimentos leia o artigo Estudo sobre a influência das ligações semirrígidas no consumo de aço em estruturas de concreto armado Disponível em httpsdrivegooglecomfiled108sbbVJDxZEsjPeWbJNTyzdxo1fXSbmviewuspsha ring 3 Para maior aprofundamento leia o artigo RIGIDEZ E ROTAÇÃO PLÁSTICA DE PEÇAS FLETI DAS Disponível em httpswwwgooglecomurlsatrctjqesrcssourcewebc dved2ahUKEwjNhdLIiInwAhWlA9QKHcWYCEAQFjAGegQIAhADurlhttp3A2F 2Fwwwuelbr2Fctu2Fdtru2FDISCIPLINAS2F6tru0182FRig2520e2520Ro t2520Plast2520Pecas2520FletidaspdfusgAOvVaw2RzMhbpX6KUIwWdohCm5WE Os valores dos esforços cortantes máximos e mínimos esforços normais máximos e mínimos e momento fletor máximo do caso particular apresentado na Figura 68 é expresso na Equação 16 16 A equação é formulada a partir da decomposição de forças conforme inclinação da viga Podese dizer que quanto mais inclinada a viga for maior será o esforço normal desenvolvido e menor será o esforço cortante 116 TEORIA DAS ESTRUTURAS I FÓRUM Agora é sua vez é o momento de participar do Fórum de Discussão Você irá interagir com seus colegas e com o seu tutor discutindo sobre a ligação entre uma viga e pilar de concreto armado na sua opinião a ligação entre estes elementos seria uma rótula ou um engaste 117 TEORIA DAS ESTRUTURAS I CONSIDERAÇÕES FINAIS Nesta unidade vimos que uma estrutura estável é capaz de suportar as cargas impostas sem desenvolver grandes deslocamentos ou deformar excessivamente Aprendemos que a análise de estruturas estáveis tem como objetivo determinar as forças externas forças internas e deformações da estrutura Conhecemos sobre técnicas de modelagem estrutural e de carregamentos Aprendemos sobre a análise de estruturas estaticamente determinadas e a respeito das condições de equilíbrio e determinação da estabilidade Compreendemos que além de estabelecer o equilíbrio de uma estrutura devese também determinar as forças internas atuantes Estudamos sobre o princípio da superposição de efeitos e vimos que ele é a base para análise de estruturas mais complexas 118 TEORIA DAS ESTRUTURAS I EXERCÍCIO FINAL 1 A estrutura apresentada na figura abaixo representa uma viga de um pergolado de madeira onde você como engenheiro foi designado a avaliar os esforços existentes nessa estrutura Parte 1 Com base no esquema apresentado foi montado o modelo estrutural dos caibros 119 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Sabendo que os dados do caibro são Peso específico de Angelin Pedra Úmida 1200 kNm³ Seção transversal do caibro b 10cm h 15cm Com base nas informações superiores responda as perguntas a seguir Com base no enunciado assinale a alterna que determina o valor da reação de apoio em Fay e Fby a 18 kN b 18 kN c 018 kN d 009 kN e 09 kN Com base no enunciado assinale a alterna que determina o valor do momento máximo atuante no caibro a 18 kNm 120 TEORIA DAS ESTRUTURAS I b 18 kNm c 018 kNm d 009 kNm e 09 kNm Parte 2 Os caibros precisam se apoiar sobre a viga logo as vigas devem resistir aos esforços que os caibros fazem sobre ela Com base nessas informações modelou se a viga com as cargas do caibro Sabendo que os caibros possuem espaçamentos de 1m a viga os seguintes parâmetros Peso específico de Angelin Pedra Úmida 1200 kNm³ Seção transversal da viga b 15cm h 25cm 121 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 2 Com base no enunciado assinale a alterna que determina o valor do momento máximo atuante na viga a 28 kNm b 028 kNm c 280 kNm d 90 kNm e 900 kNm 3 Com base no enunciado assinale a alterna que determina o valor da reação no apoio a e b a 18 kN b 18 kN c 018 kN d 20 kN e 200 kN 122 TEORIA DAS ESTRUTURAS I REFERÊNCIAS AGUIAR Elizabeth Oshima BARBATO Roberto Luiz de Arruda Análise da Estrutura de Cabos da Cobertura do Pavilhão da Feira Internacional de Indústria e Comércio Rio de Janeiro Cadernos de Engenharia de Estruturas São Carlos São Carlos n 20 p 127148 2002 ARAÚJO José Milton Curso de Concreto Armado Editora Dunas 2014 CARVALHO Hermes RODRIGUES Francisco Carlos Projeto de recuperação da Ponte Hercílio LuzSC IX Congresso Brasileiro de Pontes e Estruturas Rio de Janeiro 2016 HIBBELER R C Análise das Estruturas 8ª edição Pearson 2013 HIBBELER R C Estática 12ª edição Pearson 2011 LEET Kenneth M Leet UANG ChiaMing GILBERT Anne M Fundamentos da Análise Estrutural 3ª edição AMGH Editora Ltda 2010 SAMPAIO Taís Santos GONÇALVES Roberto Martins ANÁLISE NUMÉRICA VIA MEF DE LIGAÇÕES EM TRELIÇAS METÁLICAS ESPACIAIS Cadernos de Engenharia de Estruturas São Carlos v 9 n 38 p 2961 2007 SÜSSEKIND José Carlos Curso de Análise Estrutural Editora Globo 1977 TIMOSHENKO Stephen P GERE James E Mecânica dos Sólidos Livros Técnicos e Científicos Editora 1982 UNIDADE3 ANÁLISE ESTRUTURAL DE PÓRTICOS 124 TEORIA DAS ESTRUTURAS I INTRODUÇÃO À UNIDADE Até o presente momento creio que muitos conceitos novos mudam sua percepção sobre a engenharia de estruturas Neste instante você não consegue mais olhar para uma viga e você não imagina os diagramas de esforços cortantes e momentos fletores Na Unidade III nos aprofundaremos na análise de pórticos cabos arcos e grelhas Além dos esforços cortantes e os momentos fletores serão analisados os esforços axiais e momentos torçores nos elementos estruturais Ao final desta unidade você será capaz de calcular estruturas aporticadas elementos de cabos e arcos além de poder analisar grelhas 31 ANÁLISE ESTRUTURAL DE PÓRTICOS A Unidade 2 destinouse a analisar os esforços internos em vigas vigas do tipo biapoiada engastada e em balanço vigas articuladas e vigas inclinadas As vigas estão entre os principais tipos de estruturas da engenharia no entanto existem outros modelos de estruturas que devem ser analisadas Na Unidade I foi apresentado elementos de pórticos grelhas quadros arcos e cabos Dentre os tipos citados a estrutura de pórtico é um modelo muito importante e um dos mais utilizados na engenharia de estruturas este modelo tem a capacidade de analisar o efeito das ações horizontais em seus membros Estrutura de arcos e cabos são elementos comuns em obras de arte especiais como pontes Grelhas são formadas por barras ligadas entre si saindo do plano em duas dimensões este modelo é comum na análise de pavimentos A seguir cada um desses modelos estruturais serão analisados e calculados apresentados com estudos de casos e formas de análise 125 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 32 PÓRTICOS Conforme vimos na Unidade 1 os pórticos são modelos estruturais compostos por vigas e pilares possibilitando a modelagem de múltiplos pavimentos Os pórticos podem ser modelados em 3 dimensões ou pórticos em duas dimensões chamados pórticos planos LEET et al 2007 A análise de pórticos segue as mesmas premissas da análise de vigas primeiramente calculando as reações de apoio posteriormente analisando as seções em cada ponto de não linearidade HIBBELER 2013 O sistema estrutural de pórtico é uma alternativa muito eficiente para controlar o efeito das ações horizontais como a ação do vento A Figura 69 apresenta um pórtico plano onde a ação Hv pode ser a síntese da ação do vento na estrutura Figura 69 Modelo de Pórtico Plano Fonte O autor 2021 A carga Hv é aplicada na estrutura da qual suporta o carregamento dividindo em um binário de compressão e tração nos pilares Em estruturas em que os pilares estejam muito próprios as cargas de vento podem fazer com que os esforços axiais de tração no pilar sejam demasiadamente altos a ponto de serem maiores do que a carga vertical de peso próprio e utilização Nesses casos é prudente aumentar a distância entre pilares a fim de aumentar o braço de alavanca e diminuir a tração nos pilares A seguir iremos analisar pórticos planos diante de carregamentos verticais e carregamentos horizontais 126 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 321 Análise de Pórticos Planos Como mencionado anteriormente a determinação das reações de apoio se dá com o equilíbrio da estrutura conforme a Equação XX A equação dos esforços internos é calculada com auxílio dos cortes mn op qr e st Na Figura 70 pode ser analisada as seções e aplicar as Equações XX de equilíbrio Figura 70 Corte mn e diagrama de esforços do pilar Fonte O autor 2021 Com a seção mn é possível determinar os esforços internos do pilar esquerdo esforços normais esforços cortantes e momentos fletores Importante destacar que o eixo cartesiano foi rotacionado para facilitar a solução das equações Com auxílio do corte op podese determinas as equações da viga entre os dois pilares Na Figura 71 é possível visualizar o equilíbrio da seção op 127 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Figura 71 Corte op e Diagrama de Esforços da Viga Apoiada Fonte O autor 2021 A viga em balanço é calculada conforme equilíbrio da seção qr repare que o equilíbrio pode ser calculado da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita A Figura 72 representa o corte da seção qr 128 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Figura 72 Corte qr e diagrama de esforços da viga em balanço Fonte O autor 2021 Por fim o diagrama do pilar a direita é definido através do equilíbrio da seção st conforme apresentado na Figura 73 Figura 73 Corte st e diagrama de esforços do pilar a direita Fonte O autor 2021 Note que o diagrama de momentos fletores é positivo quando traciona as fibras internas do pórtico enquanto os esforços cortantes seguem o diagrama de flexão Alguns 129 TEORIA DAS ESTRUTURAS I programas de análise estrutural podem apresentar os diagramas de esforços cortantes com referência aos eixos cartesianos globais é apenas uma forma diferente de apresentar os mesmos gráficos Por fim é possível construir o gráfico de toda a estrutura unindo os gráficos construídos isoladamente A Figura 74 apresenta o diagrama de esforços internos do pórtico em análise Figura 74 Diagrama de esforços internos do pórtico Fonte O autor 2021 130 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Note que a carga distribuída é distribuída para os dois apoios produzindo compressão nos pilares na viga a carga distribuída acarreta flexão e esforços cortantes A carga na seção em balanço comprime o pilar à direita e traciona o pilar à esquerda na viga em balanço é produzida uma flexão negativa tracionando as fibras superiores na ligação A carga horizontal da qual simula a ação do vento é resistida inteiramente pelo apoio à direita na forma de esforço cortante tendo em vista que o apoio à esquerda é livre para se deslocar horizontalmente A carga horizontal produz compressão na viga no pilar à direita é desenvolvido uma parcela de esforços cortantes e momento fletor No pilar à esquerda a carga horizontal não gera flexão nem esforço cortante tendo em vista que toda a ação horizontal é resistida pelo apoio à direita SAIBA MAIS Antes de seguir o estudo de caso revise o conteúdo anterior sobre construção de gráficos Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvZ6QMaEk2748listPLJeRbR4CfAbIMFyL5ET2JCixN Cc8Wncindex3 ESTUDO DE CASO A estrutura abaixo é um pórtico utilizado como garagem 131 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Na extremidade direita possui uma marquise em pontilhado tem um modelo estrutural pos sível para essa estrutura Tendo em vista que a estrutura estará submetida à carga de vento de 30kN e a estrutura será composta de concreto armado com peso próprio de 25kNm³ A seção transversal dos elemen tos são Vigas 15x30cm Pilares 15x25cm O peso das sapatas não será avaliado no modelo As cotas dos elementos são La 5m Lb 2m Lc 4m Com base nas informações acima serão calculados os esforços internos nos elementos de vigas e pilares para cada solicitação independentemente Ao final os efeitos serão somados Primeiramente serão analisadas a ação de peso próprio apenas das vigas em seguida será analisada a ação do peso próprio dos pilares por fim serão analisados os esforços do vento Ao final serão analisados os efeitos combinados Análise das ações de peso próprio das vigas A carga de peso próprio da viga será 132 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Com base nas 3 equações de equilíbrio determinase as reações de apoio Ray Rby e Rbx Equilíbrio das forças em x Equilíbrio da estrutura a rotação em torno do apoio B Somatório de forças em y igualando a zero 133 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Após determinar a magnitude e sentido das reações de apoio serão calculados os esforços internos dos elementos Análise do pilar à esquerda Com o uso das 3 equações de equilíbrio podese determinar as equações de esforços internos Notase que para os esforços cortantes e momento fletor estão zerados A carga axial é constante Veja que o sinal negativo indica uma compressão no pilar Com os valores dos esforços inter nos podese construir o diagrama do membro 134 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Após analisar os esforços internos do pilar à esquerda desejase calcular os esforços inter nos do pilar à direita Fazendo uso das mesmas equações vistas anteriormente calculase os esforços internos Logo constróise o diagrama de esforços normais 135 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Por fim devese analisar os esforços internos na viga entre os pilares e na extremidade em balanço Para tal fazse o corte na seção entre os pilares e um corte no balanço Primeiramente serão analisados os esforços na viga entre os apoios Assim como nas seções anteriores iremos analisar os esforços internos com auxílio das equações de equilíbrio 136 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Equilíbrio das forças em x Equilíbrio da estrutura em y Equilíbrio da estrutura a rotação em torno da seção op Aplicando as equações entre o vão dos pilares 0x5 temos Deixaremos para aplicar no diagrama após fazer a mesma análise para o balanço 137 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Por fim serão analisados os esforços no balanço A seção qr Equilíbrio das forças em x Equilíbrio da estrutura em y Equilíbrio da estrutura a rotação em torno da seção op 138 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Aplicando as equações entre o vão dos pilares 5x7 temos Com os valores de esforços e sabendo que a equação dos esforços cortantes varia de forma linear enquanto as equações dos momentos fletores varia conforme equação de segundo grau constróise os seguintes diagramas de esforços cortantes e momentos fletores para a viga do pórtico respectivamente Por fim podese montar os diagramas do pórtico Diagrama de esforços axiais kN 139 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Diagrama de esforços cortantes kN Diagrama de momentos fletores kNm 140 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Logo será analisada a influência dos esforços de peso próprio sobre os pilares Para tal constróise o seguinte modelo de cálculo Carga dos pilares Para analisar a estrutura serão utilizados os mesmos cortes efetuados anteriormente Atra vés do equilíbrio da estrutura podese determinar as reações de apoio da estrutura 141 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Os esforços nas vigas serão zerados para conferir esta afirmativa efetue o equilíbrio das se ções Para determinar o efeito da ação no pilar serão analisados as seções mn dos dois pilares Equilíbrio das forças em x Equilíbrio da estrutura em y Equilíbrio da estrutura a rotação em torno da seção mn 142 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Com base nas equações podese aplicar em 0x4 Assim podese construir o diagrama de esforços normais kN Note que a carga de peso próprio cresce de forma linear aumentando o esforço interno no membro Com o princípio da sobreposição de esforços podese construir os diagramas de esforços internos relativo aos esforços de peso próprio das vigas e dos pilares 143 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Diagrama de esforços normais kN Diagrama de esforços cortantes kN 144 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Diagrama de momentos fletores kNm Veja que ao combinar o carregamento de peso próprio da viga somase o efeito destes esforços Por fim temse como objetivo calcular o efeito do carregamento horizontal para isso cons tróise o modelo de cálculos 145 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Primeiramente calculase a reação de apoio da estrutura utilizando as três equações de equilíbrio Equilíbrio das forças em x Equilíbrio da estrutura a rotação em torno do apoio B O sinal negativo indica que a direção para cima da flecha que ilustra o carregamento deve ter sua orientação alterada para baixo Somatório de forças em y igualando a zero Em seguida as seções analisadas anteriormente serão analisadas novamente contudo com a nova configuração de forças Análise do pilar à esquerda 146 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Equilíbrio das forças em x Equilíbrio da estrutura em y Equilíbrio da estrutura a rotação em torno da seção mn Análise das forças no pilar à direita Análise das forças no pilar à direita 147 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Equilíbrio das forças em x Equilíbrio da estrutura em y Equilíbrio da estrutura a rotação em torno da seção mn Analisando a viga entre pilares Equilíbrio das forças em x 148 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Equilíbrio da estrutura em y Equilíbrio da estrutura a rotação em torno da seção op Analisando a viga em balanço Equilíbrio das forças em x 149 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Equilíbrio da estrutura em y Equilíbrio da estrutura a rotação em torno da seção qr Com base nas equações aplicase as mesmas em cada intervalor válido Com base nos valores obtidos constróise os diagramas de esforços normais esforços cor tantes e momentos fletores 150 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Diagrama de esforços normais kN Diagrama de esforços cortantes kN Diagrama de momento fletor kNm 151 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Os diagramas apresentados são os esforços referentes aos esforços da carga horizontal da qual representa a ação do vento na estrutura A fim de analisar os esforços simultaneamente na estrutura carga de vento e ação do peso próprio somase os efeitos sobre a estrutura Os diagramas serão construído somandose os resultados obtidos anteriormente Diagrama de esforços normais kN 152 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Diagrama de esforços cortantes kN Diagrama de momento fletor kNm O estudo de caso apresentou um esforço negativo presente no pilar tendo em vista que a ação do vento está demasiadamente forte Dessa forma o pilar devese ser calculado como um tirante porém a ação do vento pode atuar na estrutura e em outro momento ao longo da viga útil da mesma pode não atuar Dessa forma o pilar deve resistir à compressão 5719kN e 834kN de compressão quando não atuar vento na estrutura e deve resistir ao esforço de 1788kN de tração e 3326kN de compressão quando atuar a ação do vento na estrutura A fim de minimizar a carga de tração podese aumentar a distância entre os pilares Caso o vão seja de 14m o pilar estaria submetido apenas a compressão independente da ação do vento 153 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Optouse em solucionar a estrutura analisando os carregamentos de forma independente Essa necessidade foi julgada importante para que se entenda a influência de cada carregamen to isoladamente na estrutura ao final somouse os efeitos e podese analisar a influência dos carregamentos combinados A análise da estrutura pode ser realizada com todos os esforços ao mesmo tempo obtendo apenas um resultado No entanto a sensibilidade de entender os carregamentos isolados e seus efeitos se perderia Realize 322 Pórtico Articulado Uma variação dos pórticos é o estudo de pórticos articulados onde há uma rótula interna ligando dois quadros de pórticos A Figura 75 ilustra um pórtico rotulado Figura 75 Pórtico articulado Fonte O autor 2021 154 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Repare que o pórtico a direita do nó C não possui estabilidade própria enquanto o pórtico a esquerda possui estabilidade dessa forma podese afirmar que o pórtico a direita da rótula C se apoia no pórtico a esquerda através da rótula A rótula não transfere esforços de flexão entre os pórticos porém transfere esforços cortantes e esforços normais conforme ilustra Figura 76 Figura 76 Divisão do pórtico articulado Fonte O autor 2021 Conforme apresentado na Figura 76 os esforços da reação hipotética do pórtico a direita são transferidos como cargas externas para o pórtico a esquerda Para analisar o pórtico basta isolar a parte isostática da parte hipostática calcular a parte hipostática e aplicar as reações do apoio hipotético como cargas externas na parte isostática da mesma forma como executado na viga Para que seus conhecimentos sejam melhor sedimentados busque um livro de Análise estrutural e solucione alguns exercícios de pórticos Busque discutir com seu professor em sala de aula e seus amigos solucione exercícios em conjunto e debata para tentar achar o melhor caminho para solucionar uma estrutura Por fim solicite 155 TEORIA DAS ESTRUTURAS I ao professor da disciplina que trabalhe em sala com uma estrutura real modelando as cargas os pilares e vigas distribuindo as cargas para as vigas e determinando a carga que chega nas fundações 33 QUADROS Quadros fechados e articulados com tirantes são formados com membros funcionando como tirantes ou escoras Como exemplo podese observar a Figura 77 Figura 77 Quadro rotulado Fonte O autor 2021 Como pode ser observado a barra está rotulada em suas extremidades estando submetida apenas à esforços axiais Atuando como tirante quando tracionado atuando como escora quando comprimido Para analisar a estrutura devese calcular as reações de apoio conferindo o equilíbrio externo do quadro Em seguida analisase os membros internos e determinase os esforços para analisar a barra devese assumir que esforços cortantes e momentos 156 TEORIA DAS ESTRUTURAS I fletores serão nulos em virtude das rótulas Por fim seccionase a barra substituindo por um par de esforços normais N conforme Figura SÜSSEKIND 1976 Figura 78 Quadro com membro interno seccionado Fonte O autor 2021 Temse um total de quadro incógnitas na estrutura no entanto a quarta equação parte do pressuposto que na rótula o momento é igual a zero Com isso determinase o valor do esforço N reações de apoio podese construir o diagrama de esforços internos conforme anteriormente 34 ARCOS Os arcos são estruturas muito utilizadas para resistir esforços verticais transferindo estes esforços na forma de compressão Conforme pode ser observado na Figura 79 as cargas verticais são transferidas para os apoios como cargas axiais nos membros 157 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Figura 79 Arco biapoiado Fonte O autor 2021 Sabendo que os esforços de apoio serão conforme Equação 01 01 Os esforços atuantes no membro em arco para a solução particular são apresentados na Equação 02 02 Os diagramas serão representados conforme Figura 80 81 e 82 158 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Figura 80 Diagrama de esforços axiais Fonte Adaptado pelo autor 2021 a partir de Sussekind 1976 Figura 81 Diagrama de cortantes Fonte Adaptado pelo autor 2021 a partir de Sussekind 1976 Figura 82 Diagrama de momentos fletores Fonte Adaptado pelo autor 2021 a partir de Sussekind 1976 159 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Notase que os carregamentos são simétricos tendo em vista que a reação em x é igual a zero consequentemente o diagrama de momento fletores será simétrico assim como o diagrama de esforços normais no entanto o diagrama de esforços cortantes será antissimétrico SÜSSEKIND 1976 SAIBA MAIS Existem outros tipos de arcos como por exemplo os arcos triarticulados É comum analisar o modelo de arcos triarticulados com vigas de substituição Para aumentar seus conhecimentos leia o artigo INFLUÊNCIA DA DISTRIBUIÇÃO DE CARR EGAMENTOS USUAIS PARA A LINHA DE PRESSÕES E ESFORÇOS NORMAIS EM ARCOS TRIARTICULADOS COM O AUXÍLIO DE UMA FERRAMENTA COMPUTACIONAL Disponível em httpswwwrevistafeneccombrwpcontentuploads20201240INFLUENCIADADISTRI BUICAODECARREGAMENTOSpdf 160 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 35 CABOS Em pontes com vãos muito grandes é comum utilizarse cabos para suportar as cargas sobre as vigas Os cabos são dispostos sobre as vigas ligandose às vigas através de tirantes como ilustrado na Figura 83 Figura 83 Cabos com carga distribuída Fonte O autor 2021 Podese analisar a estrutura em um segmento do cabo de comprimento submetida à um carregamento distribuído Na Figura 84 podese observar o segmento do cabo Figura 84 Seção de cabo submetido à carga distribuída Fonte Adaptado pelo autor 2021 a partir de Hibbeller 2011 161 TEORIA DAS ESTRUTURAS I O equilíbrio é calculado através da Equação 03 03 Após dividir as equações por e tomando o limite de consequentemente após sucessivas aplicações de integração podese calcular a tensão T em função da carga em x conforme Equação 04 HIBBELER 2011 04 SUGESTÃO DE VÍDEO A ponte Hercílio Luz é um grande cartão postal nacional recentemente sofreu uma grande reforma que recuperou sua estrutura uma operação espetacular Acompanhe o vídeo a baixo e veja o quão grandiosa foi a reforma da ponte Hercílio Luz Disponí vel em httpswwwyoutubecomwatchvXUCLoTjFEIA A tensão máxima no cabo será determinada através da Equação 05 05 A sequência de cálculo apresentado contém uma série de generalidades para maior conhecimento sobre o tema busque livros e artigos Para maior compreensão leia os artigos apresentados a seguir 162 TEORIA DAS ESTRUTURAS I SAIBA MAIS O estudo de estruturas pode se tornar ainda mais complexo quando emprega do cabos e arcos um elemento muito utilizado em estruturas não convencionais Para aumentar seus conhecimentos sobre estruturas e seus diversos tipos de utilização leia o ártico ANÁLISE DA ESTRUTURA DE CABOS DA COBERTURA DO PAVILHÃO DA FEIRA INTERNACIO NAL DE INDÚSTRIA E COMÉRCIO RIO DE JANEIRO Disponível em wwwseteescuspbrcadernosnovaversaopdfcee20131pdf SUGESTÃO DE LEITURA Outro tema muito interessante de ser estudado são os cabos da ponte Hercílio Luz uma ponte icônica na capital de Santa Catarina ponte pênsil sustentada por cabos engatados em dois maciços nas cabeceiras da ponte o tabuleiro é composto por uma sé rie de treliças Esta ponte pode ser estudada no artigo Projeto de recuperação da Ponte Hercílio LuzSC Disponível em httpspdfssemanticscholarorg7356e3891933e2f98f9fa0e7ffe94a952890b5f4pdf 36 GRELHAS As grelhas são modelos estruturais geralmente utilizadas para modelar estruturas planas submetidas a cargas perpendicular ao plano Como exemplos têm a modelagem de placas de lajes ou paredes a Figura 85 representa a modelagem de uma placa de laje 163 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Figura 85 Discretização da grelha da laje Fonte O autor 2021 O modelo da grelha pode ser analisado independente dos demais elementos como exemplificado no modelo representado na Figura 40 Figura 86 Modelo de grelha Fonte O autor 2021 A análise do modelo de grelha necessita que o problema seja calculado em 3 dimensões as duas dimensões não são capazes de solucionar a estrutura logo utilizase as 6 equações da estática aplicadas em três dimensões conforme Equação 06 164 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 06 Todo o processo de análise segue igual ao executado anteriormente porém com a introdução das equações em três dimensões O estudo de modelos complexos demanda uma análise computacional no entanto para entender o comportamento sobre a transmissão de esforços perpendiculares podese solucionar exemplos mais simples FÓRUM Agora é a sua vez é o momento de participar do Fórum de Discussão Você irá interagir com seus colegas e com o seu tutor Discuta sobre a ligação entre vigas e lajes de concreto armado o modelo estrutural que representa a ligação entre vigas e lajes e duas lajes sobre uma viga seria mais próximo de um engaste ou uma rótula 165 TEORIA DAS ESTRUTURAS I CONSIDERAÇÕES FINAIS Nesta unidade fizemos uma análise de pórticos cabos arcos e grelhas Além disso vimos os esforços cortantes e os momentos fletores e analisamos os esforços axiais e momentos torçores nos elementos estruturais Vimos que o sistema estrutural de pórtico é uma alternativa muito eficiente para controlar o efeito das ações horizontais como a ação do vento E analisamos estruturas do tipo pórticos isostáticos quando submetidas a carregamentos horizontais e verticais Na próxima unidade nos aprofundaremos mais nos conceitos sobre deformações em estruturas 166 TEORIA DAS ESTRUTURAS I EXERCÍCIO FINAL Você foi designado por um amigo de graduação que não sabe calcular uma estrutura simples a calcular as ações solicitantes de um pórtico que servirá de galpão para uma fábrica Abaixo pode ser visto o galpão e o modelo discretizado do mesmo A B 167 TEORIA DAS ESTRUTURAS I O galpão deve resistir uma ação lateral de 35 kN da qual representa as ações do vento e resistir às ações solicitantes da utilização e do peso próprio da estrutura 45kNm 1 Com base no enunciado assinale a alternativa que determina o valor da reação de apoio em y do elemento a direita a 1469 kN b 350 kN c 3031 kN d 35 kN e 303 kN 2 Com base no enunciado assinale a alterna que determina o valor da reação de apoio em x do elemento a direita a 1469 kN b 350 kN c 3031 kN d 35 kN e 303 kN 3 Com base no enunciado assinale a alterna que determina o maior valor do momento negativo na barra do vão de 8m a 2650 kNm b 900 kNm c 1750 kNm d 2397 kNm e 00 kNm 4 A estrutura de pórtico é conveniente para a análise de estruturas planas como pórticos de galpões o pórtico permite que as cargas verticais como o vento sejam aplicadas nos elementos a fim de determinar as solicitações máximas para o dimensionamento Além disso devese também determinar as ações que serão resistidas pelas fundações para poder dimensionamento da mesma 168 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Com base no enunciado assinale a alternativa que determina o valor da reação de apoio em y do elemento a esquerda a 1469 kN b 350 kN c 3030 kN d 35 kN e 303 kN 169 TEORIA DAS ESTRUTURAS I REFERÊNCIAS AGUIAR Elizabeth Oshima BARBATO Roberto Luiz de Arruda ANÁLISE DA ESTRUTURA DE CABOS DA COBERTURA DO PAVILHÃO DA FEIRA INTERNACIONAL DE INDÚSTRIA E COMÉRCIO RIO DE JANEIRO Cadernos de Engenharia de Estruturas São Carlos São Carlos n 20 p 127148 2002 ARAÚJO José Milton Curso de Concreto Armado Editora Dunas 2014 ANDRADE Lucas Nogueira OLIVEIRA Leonardo H Borges INFLUÊNCIA DA DISTRIBUIÇÃO DE CARR EGAMENTOS USUAIS PARA A LINHA DE PRESSÕES E ESFORÇOS NORMAIS EM ARCOS TRIARTICULADOS COM O AUXÍLIO DE UMA FERRAMENTA COMPUTACIONAL IV EREEC João Pessoa Setembro 2017 CARVALHO Hermes RODRIGUES Francisco Carlos Projeto de recuperação da Ponte Hercílio LuzSC IX Congresso Brasileiro de Pontes e Estruturas Rio de Janeiro 2016 HIBBELER R C Análise das Estruturas 8ª edição Pearson 2013 LEET Kenneth M Leet UANG ChiaMing GILBERT Anne M Fundamentos da Análise Estrutural 3ª edição AMGH Editora Ltda 2010 SAMPAIO Taís Santos GONÇALVES Roberto Martins ANÁLISE NUMÉRICA VIA MEF DE LIGAÇÕES EM TRELIÇAS METÁLICAS ESPACIAIS Cadernos de Engenharia de Estruturas São Carlos v 9 n 38 p 2961 2007 HIBBELER R C Estática 12ª edição Pearson 2011 SÜSSEKIND José Carlos Curso de Análise Estrutural Editora Globo 1977 TIMOSHENKO Stephen P GERE James E Mecânica dos Sólidos Livros Técnicos e Científicos Editora 1982 TEORIA DAS ESTRUTURAS I UNIDADE4 DEFORMAÇÕES NAS ESTRUTURAS 172 TEORIA DAS ESTRUTURAS I INTRODUÇÃO À UNIDADE Na Unidade IV nos aprofundaremos mais nos conceitos sobre deformações em estruturas Serão abordados conceitos teóricos e práticos sobre o cálculo das deformações em estruturas também serão apresentados conceitos práticos e análises feitas sobre as deformações das estruturas Ao final desta unidade você será capaz de calcular as deformações de qualquer tipo de estruturas isostáticas podendo avaliar a aceitabilidade das flechas em vigas e análise dos deslocamentos laterais de pórticos 21 DEFORMAÇÕES ESTRUTURAIS As deflexões em estruturas podem ser oriundas de diversas fontes como cargas externas variação de temperatura retração erros de fabricação erros de construção e recalques de apoios As deflexões em estruturas devem ser controladas de forma que o excesso das deflexões pode acarretar certo desconforto na utilização da estrutura Caso uma estrutura apresente uma deformação numa viga que seja visível a olho nu possivelmente os habitantes ficaram temerosos em residir na edificação HIBBELER 2013 As deflexões influenciam diretamente o desempenho da estrutura o excesso de deflexões pode fazer com que as paredes fissurem janelas e portas fiquem empenadas as lajes percam as inclinações de caimento da água fechamentos em vidros fiquem trincados Dessa forma as deflexões possuem um efeito direto na percepção dos usuários em relação à qualidade da estrutura Com isso é imprescindível que uma estrutura atenda aos limites de deformações excessivos não só atenda aos critérios de segurança quanto à ruína HIBBELER 2013 Em estruturas é conveniente analisar as deflexões no regime elástico linear Em estruturas de concreto armado utilizase uma adaptação no modelo elástico linear a fim de considerar a fissura do concreto tendo em vista que este é um material frágil a tensões de tração Dessa forma a análise de estruturas se dará em sua maioria no regime elástico 173 TEORIA DAS ESTRUTURAS I linear e a aceitabilidade das deformações serão comparadas com um limite de deformação Esta Unidade IV apresenta os princípios fundamentais sobre deflexões em estruturas apresenta o modelo energético método energético dos trabalhos virtuais método aplicado em vigas treliças e pórticos Vale ressaltar que este não é a única forma de calcularse as deflexões em estruturas para maior conhecimento leia o Capítulo 8 e 9 do livro Análise das Estruturas HIBBELER 2013 211 Teoria da Viga Elástica As cargas transversais atuantes sobre a viga curvam seu eixo longitudinal essa curvatura pode ser deduzida a partir da Figura 87 Figura 87 Linha elástica da viga fletida Fonte Adaptado pelo autor 2021 a partir de Timoshenko Gere 1989 Antes da aplicação da carga P o eixo da viga encontrase reta entre o eixo AB Após a aplicação da carga P o eixo da via se curva formado pela curvatura ACB esta curva será a linha elástica da viga submetida à carga P Para deduzir a equação da linha elástica utilizase os conceitos de curvatura e momento fletor M conforme representado na Figura 88 174 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Figura 88 Deformação da viga sob flexão Fonte Adaptado pelo autor 2021 a partir de Timoschenko Gere 1989 O ponto O é o centro de curvatura da linha elástica o ângulo formado pelo raio de curvatura e um segundo ponto adjacente sobre a linha elástica é Partindo da premissa que as seções e permanecem planas após a deformação que o sistema apresenta pequenas deflexões e a viga se comporta no regime elástico linear podese arguir a Equação 01 01 O parâmetro curvatura é definido como o inverso do raio de curvatura para pequenas deformações podese aproximar para a igualdade O momento fletor M é relacionado com a curvatura conforme Equação 02 02 175 TEORIA DAS ESTRUTURAS I SAIBA MAIS Para saber mais sobre a Equação 02 revise os conceitos sobre Resistência dos Materiais lendo o artigo Tensões em Vigas no livro texto Mecânica dos Sólidos TIMOSHENKO E GERE 1989 Estabelecida a relação entre curvatura e momento fletor retornemos à Figura 01 considerase os pontos e distantes entre si Analogamente à Equação 01 tem se a Equação 03 considerando como referência a linha central da deformada 03 Conforme afirmado anteriormente o sistema apresenta pequenas deflexões dessa forma a linha elástica é muito achatada fazendo com que o ângulo quanto a inclinação da curva sejam muito pequenos conforme representado na Equação 04 04 Onde é a deflexão da viga a partir da sua posição inicial Utilizando a Equação 03 em conjunto com a Equação 04 temse a Equação 05 05 Ao combinar com a Equação 02 temse a Equação 06 06 A Equação 05 é a equação básica da linha elástica da viga podendo ser integrada em cada caso particular a fim de obterse a deflexão em qualquer ponto ao longo de Conforme apresentado na Unidade 01 existe uma relação matemática entre o momento fletor esforço cortante e carregamentos aplicando os conceitos vistos anteriormente temse a Equação 06 TIMOSHENKO E GERE 1989 176 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 07 Conforme a Equação 07 podese determinar a deflexão em quaisquer ponto da viga conhecendo as variáveis de momentos fletores esforços cortantes ou carregamento A fim de simplificar a Equação 08 apresenta todas as relações com simplificação da simbologia da derivada de TIMOSHENKO E GERE 1989 08 A seguir é apresentada a utilização destas equações no caso particular de viga biapoiada Em seguida será apresentado um quadro com estudo de caso acerca sobre o cálculo das deflexões da estrutura ESTUDO DE CASO A viga abaixo está submetida a um carregamento distribuído ao longo do seu comprimento Com base na teoria da elasticidade e utilizando as equações da linha elástica descritas na Equação 08 descreva a equação da linha elástica e calcule a flecha máxima no meio do vão A viga apresentada é constituída de concreto armado a carga distribuída representa o car regamento de peso próprio mais uma sobrecarga A viga de concreto armado possui módulo de elasticidade igual à 28GPa 177 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Resolução Inicialmente utilizaremos a Equação 08 Para aplicar a Equação 08 necessitase da equação de Mx conforme descrito na Unidade II deste caderno Sabendo que a equação que descreve os momentos fletores é Aplicando a Equação 08 temse Multiplicando os membros dessa equação por e integrando temse Onde a constante de integração C1 pode ser determinada pelas condições de contorno do problema A primeira integral dos deslocamentos representa a tangente o ângulo teta formado pela posição deformada e a posição não deformada da viga conforme Figura 01 representado na forma da equação abaixo 178 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Observando as condições de contorno do problema notase a simetria dos carregamentos e da posição elástica da viga O ângulo teta possui máximo absoluto no início da viga e vai dimi nuindo até atingir zero no meio da viga depois ela retorna a aumentar em valores absolutos Com isso temse Para determinar o valor da constante iremos aplicar a informação conhecida na equação da primeira integral Reescrevendo a Equação temos Novamente multiplicando os membros da equação por e integrando temse Assim como o valor da constante de integração foi encontrada analisando as condições de contorno do ângulo de integração a equação encontrada agora representa a própria deflexão da viga com isso observase as condições de contorno do elemento a fim de identificar um 179 TEORIA DAS ESTRUTURAS I ponto conhecido das condições de contorno Notase que sobre os apoios a deformação da viga será igual a zero conforme discutido na Unidade II sobre o apoio a viga não possuirá deformação vertical Com isso temse Reescrevendo a equação temse Esta equação representa a equação da linha elástica em função de x Para aplicar o valor de EI na equação temse que calcular o valor da inércia da seção Como a viga é retangular a inércia da seção será A constante EI será Aplicando na equação das deflexões Esta função representa as deflexões da viga ao longo dos seus 6m submetida ao carrega mento de 25kNm A fim de determinarse a flecha máxima ou deflexão máxima podese calcular a derivada 180 TEORIA DAS ESTRUTURAS I da função igualar a zero e determinar o valor de x Este ponto será o local onde a deflexão é máxima Intuitivamente como a viga é simétrica a máxima deflexão se dará no meio do vão em Com isso aplicaremos o valor de na função a fim de obterse a máxima deflexão da viga Quando submetida à carga de 25kNm a viga se deformará 45cm no meio do vão Comumen te as deformações são limitadas a uma fração do valor do vão um limite usual é L250 O limite de deformação para a viga em questão deve ser 12cm Dessa forma concluise que a viga não apresenta deformações aceitáveis Devese corrigir o problema aumentando a inércia da seção Note que a altura aumenta a inércia em uma proporção cúbica dessa forma iremos aumentar a altura da viga para 50cm Refazendo o cálculo da inércia e aplicando novamente na função temse que a flecha calcu lada no meio do vão será Flecha calculada de 096cm dentro do limite calculado O exemplo descrito neste estudo foi aplicado para o caso particular de uma viga biapoiada para treinar seus conhecimentos aplique os mesmos conhecimentos em uma viga em balanço Uma dica importante é no engaste a rotação do ângulo teta será zero enquanto a deflexão será máxima na extremidade livre 181 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 22 MÉTODOS ENERGÉTICOS O método da integração dupla apresentado anteriormente aplicado para vigas com pequenas deformações do qual estabelece a proporcionalidade entre a curvatura e o momento fletor foi proposto primeiramente por Jacob Bernoulli Posteriormente foi utilizado por Euler que resolveu a equação diferencial da linha elástica tanto para grandes deflexões quanto para pequenas deflexões TIMOSHENKO E GERE 1989 No entanto existem outros métodos para calcularse a deflexão em estruturas como por exemplo métodos gráficos e métodos energéticos Os métodos energéticos apresentam uma facilidade de entendimento e facilidade de aplicação computacional tornandose um método muito utilizado em engenharia 221 Energia de deformação O método energético para o cálculo da deformação em estruturas parte do principio da conservação de energia Onde a energia externa aplicada sobre um corpo deve ser igual a sua energia interna O princípio da conservação de energia pode ser expresso conforme Equação 09 09 Para aplicar o princípio energético na determinação das deformações estruturais primeiro determinase o trabalho externo desenvolvido pelos esforços externos seja momento ou força O entendimento para aplicação do método é análogo entre força e momento a fim de simplificar o desenvolvimento iremos abordar apenas a ação da força HIBBELER 2011 Partindo do entendimento da Figura 89 182 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Figura 89 Deformação desenvolvida em um membro sob força axial de tração Fonte Adaptado pelo autor 2021 a partir de Hibbeler 2011 Quando uma força F é aplicada em um membro de modo a desenvolver tração temse um deslocamento infinitesimal dx na mesma direção o trabalho desenvolvido será proporcional à integral de todos os deslocamentos desenvolvidos pelo membro conforme Equação 10 HIBBELER 2011 10 À medida que a força F aumenta para um valor igual a P conforme Figura 89 o trabalho realizado é igual a magnitude da força média vezes o deslocamento desenvolvido conforme Equação 11 HIBBELER 2011 10 Considerando a deformação axial do membro submetido ao carregamento F onde ao longo de L desenvolve o esforço interno N Contando que o material seja elasticamente linear onde é válida a lei de Hooke que a barra tenha seção transversal A comprimento L sabendo que a tensão transversal é e a deformação temse a Equação 11 HIBBELER 2011 11 183 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Isolando a deformação delta temse a Equação 12 11 Substituindo na Equação 10 temse a energia de deformação interna desenvolvido pela força N ao longo da barra conforme Equação 12 12 Analogamente podemos aplicar o mesmo entendimento para os momentos fletores Sabendo que o ângulo de deformação consequentemente a energia de deformação interna é determinada conforme Equação 13 A energia de deformação é deduzida a partida da Figura 01 HIBBELER 2011 12 Por fim a deformação para a viga é determinada integrando a Equação 12 ao longo do comprimento L conforme pode ser observado na Equação 13 12 Com as devidas considerações e abordagem sobre energia de deformação podese desenvolver os conceitos sobre os métodos energéticos na determinação das deformações A seguir será apresentado o Princípio dos Trabalhos Virtuais PTV também conhecido como Método da Carga Unitária 222 Princípio dos Trabalhos Virtuais O Princípio dos Trabalhos Virtuais foi desenvolvido por John Bernoulli em 1717 Partindo do pressuposto que as cargas externas P vão provocar esforços internos u N M V T As cargas externas e internas se relacionam pelo equilíbrio da estrutura se a estrutura está em equilíbrio externo estará em equilíbrio interno As cargas 184 TEORIA DAS ESTRUTURAS I externas desenvolverão deslocamentos enquanto as cargas internas desenvolverão deslocamentos internos em cada ponto ao longo da estrutura Como as cargas externas e internas se relacionam pelo equilíbrio os deslocamentos externos e internos têm de ser relacionados pela compatibilidade dos deslocamentos Em outras palavras há um equilíbrio entre os deslocamentos internos e internos através da conservação da energia conforme Equação 13 HIBBELER 2011 13 Para aplicar o Princípio dos Trabalhos Virtuais partimos da análise da Figura 90 uma estrutura submetida à carga P Figura 90 Estrutura submetida à carga P Fonte O autor 2021 A carga P produz um deslocamento na estrutura cada membro da estrutura estará submetido aos carregamentos internos u N V M T dos quais produzirão um montante de deslocamentos internos A energia desenvolvida pelas cargas internas e externas estarão em igualdade conforme Equação 14 HIBBELER 2011 14 A fim de solucionar a estrutura idealizouse uma estrutura fictícia estrutura 185 TEORIA DAS ESTRUTURAS I virtual igual à estrutura real porém submetida ao carregamento conforme Figura 05 Figura 91 Estrutura submetida à carga virtual Fonte O autor 2021 Analogamente a carga virtual desenvolverá solicitações internas das quais produzirão deslocamentos unitários e a energia deve ser equilibrada internamente e externamente conforme Equação 15 15 A estrutura é a mesma e as equações serão combinadas de modo a manter a proporcionalidade da energia A carga externa virtual será combinada com os deslocamentos externos reais as cargas internas virtuais serão combinadas com os deslocamentos internos reais conforme Equação 16 16 A fim de determinar os deslocamentos da estrutura é conveniente adotar como carregamento virtual da estrutura uma carga unitária 1 dessa forma obtémse a Equação 17 17 Para determinar a deformação utilizase uma estrutura análoga submetida à uma carga unitária 1 aplicada no mesmo ponto onde pretendese determinar o valor 186 TEORIA DAS ESTRUTURAS I do deslocamento Analogamente podese aplicar o método para determinar o ângulo de deformação da estrutura conforme Equação 18 18 A aplicação da Equação 18 pressupõe a aplicação de uma estrutura submetida à um momento unitário no ponto onde pretendese determinar o valor do ângulo de deformação MARTHA 2010 Cada membro estrutural desenvolverá solicitações internas virtuais cada solicitação interna desenvolverá deformações Integrando os deslocamentos ao longo do comprimento do membro temse a Equação 19 Como os deslocamentos são oriundos de carregamentos reais da Resistência dos Materiais temse as deformações ao longo do comprimento em função de x conforme Equação 20 Na Equação 20 as solicitações são carregamentos virtuais enquanto os carregamentos são carregamentos reais Integrando os esforços internos ao longo de L sabendo as propriedades dos materiais e sua geometria podese determinar os deslocamentos em qualquer ponto da estrutura MARTHA 2010 Para melhor entendimento sobre os teoremas abordados no Princípio dos Trabalhos Virtuais acompanhe os próximos capítulos onde o Princípio dos Trabalhos Virtuais será aplicado para estruturas de treliças vigas e pórticos 187 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 223 Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais em Treliças A análise dos deslocamentos em treliças utilizando o PTV podese determinar os deslocamentos da treliça em qualquer ponto da mesma A aplicação parte da Equação 20 sabendo que a treliça estará submetida à esforços axiais unicamente a Equação 20 é reduzida para a Equação 21 Se pensarmos que uma as solicitações internas das vigas são constantes ao longo dos membros podese solucionar a integral e descrever a Equação 22 22 Para entender a aplicação da Equação 22 acompanhe o estudo de caso apresentado a seguir SAIBA MAIS Uma forma interessante de visualizar as deformações em estruturas é com auxílio do kit massa mola Para entender melhor os deslocamentos em estruturas veja o vídeo abaixo Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvzavXt4rqK8 188 TEORIA DAS ESTRUTURAS I ESTUDO DE CASO Considere a treliça apresentada abaixo A treliça é constituída de barras de aço E200GPa de seção transversal de 25mm x 75mm A carga Q é igual à 10kN Desejase determinar o deslocamento vertical no ponto A desenvolvido pelas cargas Q Para calcular o deslocamento no ponto A será utilizado o Principio dos Trabalhos Virtuais e a Equação 22 Conforme pode ser observado na equação para aplicar o PTV necessitase calcular o valor das solicitações internas da treliça submetida à carga Q e o valor das solicitações inter nas na treliça para uma carga virtual aplicado na vertical Os esforços internos da treliça submetida aos carregamentos reais Q serão conforme Figura abaixo a determinação dos esforços internos da treliça e o cálculo da reação de apoio estão apresentados na Unidade II 189 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Para aplicação do método temse a treliça submetido à carga virtual no local e direção onde pretendese determinar o deslocamento Os esforços internos da estrutura com sua carga virtual será Após obterse as solicitações internas reais e as solicitações internas virtuais aplicase a Equação 22 para cada membro da treliça 190 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 224 Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais em Pórticos e Vigas A aplicação do PTV em pórticos advém da Equação 20 onde integrase os diagramas de esforços internos da estrutura real com a estrutura virtual A integral entre os diagramas pode ser solucionada através da tabela de KurtBeyer conforme Figura 92 Figura 92 Tabela de KurtBeyer Fonte Hibbeler 2011 A aplicação da Equação 20 pressupõe que todos os esforços internos produzirão deslocamentos porém no ramo da engenharia é conhecido que os deslocamentos provenientes do Momento Fletor apresentam magnitudes muito maiores do que os deslocamentos produzidos por esforços cortantes e esforços axiais Dessa forma podese reduzir a aplicação da Equação 20 conforme Equação 23 MARTHA 2010 191 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Em alguns casos particulares os esforços cortantes podem produzir grandes deformações dessa forma devese ter cuidado na aplicação da Equação 23 SAIBA MAIS Para entender mais sobre a importância dos deslocamentos oriundas dos esforços cortantes leia o artigo Estudo Comparativo dos Critérios de Dimensiona mento ao Cisalhamento Longitudinal em Lajes Mistas de Aço e Concreto Disponível em httpswwwscielobrpdfriemv2n202pdf DICA DE VÍDEO No que se refere a controle de deslocamentos horizontais em estruturas a construção do Taipai 101 é referência no mundo da engenharia Acompanhe o vídeo a seguir e veja a grandiosidade dessa estrutura Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvxDMyrkYMfJ4 Para compreender a aplicação do PTV aplicado em vigar ou pórticos acompanhe o estudo de caso a seguir 192 TEORIA DAS ESTRUTURAS I ESTUDO DE CASO O pórtico apresentado abaixo é uma estrutura de galpão desejase calcular as deformações do galpão no meio do vão Sabendo que a estrutura é constituída de concreto armado com vigas de 20x60cm e pilares de 20x20cm módulo de elasticidade de 28GPa determine o deslocamento no meio do vão C Para aplicar a Equação 23 inicialmente serão calculados os deslocamentos internos e reação de apoio para a carga distribuída no meio do vão em seguida será calculada a estrutura para a carga no balanço por fim será calculada a estrutura apenas para a carga horizontal Os desloca mentos serão calculados para cada força e seus efeitos serão sobrepostos conforme apresenta do na Unidade II 193 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Solução da estrutura para a carga no vão Em seguida apresentase a solução da estrutura para a carga distribuída no balanço 194 TEORIA DAS ESTRUTURAS I A solução da estrutura para a carga horizontal é apresentada a seguir A fim de calcular a estrutura pelo PTV aplicase uma carga unitária no ponto onde desejase determinar a deformação da estrutura 195 TEORIA DAS ESTRUTURAS I A solução da estrutura para a carga virtual é apresentada a seguir Com isso aplicase a integral entre os diagramas de cada barra da estrutura para a solução real de cada carregamento e virtual A seguir será calculado o deslocamento de cada efeito na estrutura sepa radamente ao final os efeitos serão somados Cálculo dos deslocamentos no vão proveniente da carga distribuída no vão Devese integrar a barra do pilar esquerdo real com a barra do pilar esquerdo virtual a barra da viga central real com a barra da viga central virtual barra do pilar direito real com barra do pilar direito virtual e barra em balanço real com barra em balanço virtual 196 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Note que as barras dos pilares estão com esforços internos zerados dessa forma não há deslocamentos produzido no ponto C em virtude das solicitações dos pilares Repare que a solicitação interna na barra em balanço também está zerada restando apenas a barra do vão central para se aplicar a integral da Equação 23 Como EI é constante será colocado para fora da integral Através da tabela de KurtBeyer temse a solução da integral Como o triângulo formado pelo diagrama virtual é simétrico temse que Temse a solução da integral Em seguida aplicase o mesmo conceito para a carga no balanço 197 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Assim como na carga distribuída no meio do vão os pilares não possuem carregamentos internos dessa forma não contribuirão para os deslocamentos no meio do vão Analisando a barra em balanço observe que para a carga real a barra do balanço é solicitada internamente porém para a carga virtual não há solicitação interna dessa forma os esforços internos na barra do balanço também não contribuirão para as deformações no meio do vão Sobrando como aplicação apenas a barra no meio do vão Aplicando a Equação 23 temos Utilizando a tabela de integração temos Sabendo que Temos Concluise que os deslocamentos provenientes dos esforços no meio do vão são responsá veis por desenvolver 16cm de flecha 198 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Perceba que a carga sobre o balanço desenvolve um deslocamento negativo no vão central dessa forma vemos a importância de se ter estruturas com vigas contínuas Por fim aplicaremos o PTV para a carga horizontal no pórtico Assim como as aplicações anteriores apenas as solicitações internas no meio do vão desen volverão deslocamentos verticais no ponto C Aplicando a Equação 23 temse Utilizando a tabela de integral temos Sabendo que Temos 199 TEORIA DAS ESTRUTURAS I Note que a carga horizontal também desenvolve um deslocamento para cima no ponto C Por fim os efeitos serão sobrepostos para se obter o deslocamento final da estrutura no ponto C FÓRUM Agora é sua vez é o momento de participar do Fórum de Discussão Você irá interagir com seus colegas e com o seu tutor Estruturas altas podem problemas de deslocamentos horizontais excessivos debata com seus coletas e tutor sobre métodos de controlar os deslocamentos horizontais de estruturas 200 TEORIA DAS ESTRUTURAS I CONSIDERAÇÕES FINAIS Chegamos ao final da disciplina certo de que não somos os mesmos tenho certeza de que se você seguiu os passos propostos aprendeu muito na nossa disciplina Nesta unidade aprofundaremos sobre os conceitos sobre deformações em estruturas Agora você é capaz de calcular as deformações de qualquer tipo de estruturas isostáticas podendo avaliar a aceitabilidade das flechas em vigas e análise dos deslocamentos laterais de pórticos parabéns Agora você está apto a construir gráficos de esforços internos e interpretar os resultados da estrutura Foi um prazer acompanhar seu desenvolvimento não perca oportunidades de aperfeiçoar ainda mais seus estudos 201 TEORIA DAS ESTRUTURAS I EXERCÍCIO FINAL Como renomado engenheiro você foi contratado para calcular os deslocamentos verticais no meio da treliça a seguir Sabendo que a treliça é constituída de aço sujo módulo de elasticidade é igual a 200GPa a seção dos membros é retangular com 30mm x 100mm Utilizando o princípio dos trabalhos virtuais calcule as questões a seguir 1 Determine o deslocamento vertical no meio do vão no nó inferior C a 3000 mm b 15000 mm c 846 mm d 016mm e 00016 mm 2 Com base nos seus conhecimentos sobre deslocamentos calcule os deslocamentos no nó D a 837mm b 15000 mm c 8046 mm d 216mm e 07016 mm C D E F 202 TEORIA DAS ESTRUTURAS I 3 Com base nos seus conhecimentos sobre deslocamentos calcule os deslocamentos no nó E a 8037mm b 15000 mm c 80046 mm d 216mm e 722 mm 4 Com base nos seus conhecimentos sobre deslocamentos calcule os deslocamentos no nó F a 8037mm b 15000 mm c 739 mm d 216mm e 7022 mm 5 Com base nos seus conhecimentos sobre deslocamentos calcule os deslocamentos no nó G a 8037mm b 495mm c 739 mm d 216mm e 7022 mm 203 TEORIA DAS ESTRUTURAS I REFERÊNCIAS HIBBELER R C Análise das Estruturas 8ª edição Pearson 2013 J M Calixto G Brendolan R Pimenta Estudo comparativo dos critérios de dimensionamento ao cisalhamento longitudinal em lajes mistas de aço e concreto IBRACON Estrut Mater vol2 no2 São Paulo Jun 2009 L F MARTHA Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Editora Elsevier 2010 LEET Kenneth M Leet UANG ChiaMing GILBERT Anne M Fundamentos da Análise Estrutural 3ª edição AMGH Editora Ltda 2010 SÜSSEKIND José Carlos Curso de Análise Estrutural Editora Globo 1977 TIMOSHENKO Stephen P GERE James E Mecânica dos Sólidos Livros Técnicos e Científicos Editora 1982 uniavanedubr