Caderno Pedagógico: Circuitos Elétricos

ENSINO A DISTÂNCIA CIRCUITOS ELÉTRICOS Copyright 2021 by Editora Faculdade Avantis Direitos de publicação reservados à Editora Faculdade Avantis e ao Centro Universitário Avantis UNIAVAN Av Marginal Leste 3600 Bloco 1 88339125 Balneário Camboriú SC editoraavantisedubr Depósito legal na Biblioteca Nacional conforme Lei nº 10994 de 14 de dezembro de 2010 Nenhuma parte pode ser reproduzida transmitida ou duplicada sem o consentimento da Editora por escrito O Código Penal brasileiro determina no art 184 dos crimes contra a propriedade intelectual Editoração Patrícia Fernandes Fraga Tayane Medeiros dOliveira Projeto gráfico e diagramação Ana Lúcia Dal Pizzol CIRCUITOS ELÉTRICOS Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca do Centro Universitário Avantis UNIAVAN Maria Helena Mafioletti Sampaio CRB 14 276 CDD 21ª ed 6213192 Circuito elétrico Ferreira Rafael Freitas F383c Circuitos elétricos EAD Caderno pedagógico Rafael Freitas Ferreira Balneário Camboriú Faculdade Avantis 2022 138 p il Inclui Índice ISBN 9786559013210 ISBNe 9786559013227 1 Circuito elétrico Variáveis e elementos 2 Análise de circuitos Técnicas 3 Circuito resistivo 4 Elementos passivos Circuitos de 1ª e 2ª ordem 5 Engenharia elétrica Ensino a Distância I Centro Universitário Avantis UNIAVAN II Título PLANO DE ESTUDOS A disciplina de circuitos elétricos é a porta de entrada dos estudantes de Engenharia Elétrica no que chamamos de ciclo profissional de aprendizagem Neste momento você já carregou uma boa bagagem de cálculo física e outras tecnologias que te prepararam para chegar até aqui Circuitos elétricos é uma disciplina fundamentalmente de resolução de problemas baseado em leitura simulações computacionais e resolução de exercícios Iniciaremos nossa jornada introduzindo as variáveis e elementos do circuito Neste ponto relembraremos conceitos importantes como potência e energia e a Lei de Ohm além da aprendizagem de técnicas importantes para análise de circuitos simples Na unidade 2 teremos um pouco mais de ação e nossa caixa de ferramentas de técnicas de análise de circuitos será preenchida com procedimentos que vão nos ajudar a resolver e simplificar circuitos elétricos As unidades 3 e 4 serão dedicadas ao estudo de circuitos que possuem indutores e capacitores Usaremos várias de nossas ferramentas de modo a solucionar problemas de complexidade mais elevadas Durante nossa jornada poderá ser necessário rever conceitos importantes de cálculo e física como derivada e integral além de solução de equação diferencial ordinária de primeira e segunda ordem O PAPEL DA DISCIPLINA PARA A FORMAÇÃO DO ACADÊMICO Não importa muito se no início de sua vida profissional você enveredar pelo caminho da engenharia de manutenção de máquina elétricas engenharia de operação de sistemas elétricos de potência setor aeronáutico automobilístico ou biomédico A disciplina de circuitos elétricos será a base de muitos dos conhecimentos que adquiriremos Circuitos elétricos é um dos primeiros assuntos do ciclo de aprendizagem profissional doa acadêmicoa e como já mencionado é um dos pilares de tudo o que ainda está por vir Todos os dispositivos eletroeletrônicos e redes elétricas usam os princípios desta tecnologia e no mundo real é improvável que você se depare com algum dispositivo que não utilize os conhecimentos aqui abordados Deste modo a disciplina trará conhecimentos elementares de execução direta na Engenharia e principalmente de tecnologias que serão aplicadas em diversos outros assuntos ao longo do curso PROGRAMA DA DISCIPLINA EMENTA Principais leis experimentais e aplicações aos circuitos resistivos Métodos de análise de circuitos lineares resistivos Indutor e capacitor Funções singulares Aplicação das funções singulares aos circuitos de 1ª ordem e de 2ª ordem Medidas elétricas OBJETIVO GERAL DA DISCIPLINA Analisar circuitos resistivos simples aplicando a Lei de Ohm e Lei de Kirchhoff na solução de problemas juntamente à análise dos circuitos resistivos dos circuitos que têm a capacidade de acumular energia e dos circuitos de segunda ordem APRESENTAÇÃO DO AUTOR RAFAEL FREITAS FERREIRA Mestre em Sistemas de Energia pela Universidade Federal de Santa Catarina UFSC 2018 Graduado em Engenharia ElétricaEletrotécnica pela Universidade Federal de Pernambuco UFPE 2008 Especialista em Engenharia de Manutenção pela PUCPR 2020 Professor e Conteudista do curso de Graduação em Engenharia Elétrica do UNIAVAN desde 2021 É Engenheiro de Manutenção da Geração na CGT Eletrosul subsidiária da Eletrobras na região Sul atendendo aos seguintes sistemas Usinas hidrelétricas parques eólicos usinas fotovoltaicas e compensadores síncronos Atualmente é Secretário do Comitê de Máquinas Rotativas do Comitê Nacional Brasileiro de Produção e Transmissão de Energia Elétrica CIGRÉBrasil e trabalha na promoção do conhecimento através da organização e relatoria de seminários e workshops relacionados à Máquinas Elétricas Rotativas e suas tecnologias como o SNPTEE maior seminário nacional que debate assuntos do setor elétrico ENAM Encontro Nacional de Máquinas e Monitoramento além da Bienal do Cigre Trabalha essencialmente na conexão entre pessoas que estão disponíveis a compartilhar conhecimentos e experiências Como consultor independente trabalha realizando estudos especializados em assuntos relacionados ao setor elétrico e geração de conteúdo para instituições de nível superior Lattes httplattescnpqbr6186410013090225 PROFESSOR SUMÁRIO UNIDADE 1 VARIÁVEIS E ELEMENTOS DO CIRCUITO 11 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM 12 INTRODUÇÃO À UNIDADE 13 11 DEFINIÇÕES E PARÂMETROS 13 111 Corrente e Tensão 15 112 Potência e Energia 19 113 Fontes de Tensão e Fontes de Corrente 22 12 RESISTÊNCIA E LEI DE OHM 23 13 LEI DE KIRCHOFF 27 14 FONTES DEPENDENTES 37 PARA SINTETIZAR 40 REFERÊNCIAS 41 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 42 UNIDADE 2 ANÁLISE DE CIRCUITOS RESISTIVOS 43 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM 44 INTRODUÇÃO À UNIDADE 45 21 CIRCUITOS RESISTIVOS 45 211 Associação de Resistores 46 212 Divisor de Tensão e de Corrente 50 213 Ponte de Wheatstone 55 214 Transformação EstrelaTriângulo 56 22 TÉCNICAS E ANÁLISE DE CIRCUITOS 60 221 Teorema da Superposição 60 222 Equivalente de Thévenin e Norton 62 PARA SINTETIZAR 66 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 67 REFERÊNCIAS 69 UNIDADE 3 ELEMENTOS PASSIVOS CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM 71 OBJETIVO DE APRENDIZAGEM 72 INTRODUÇÃO À UNIDADE 73 31 INDUTÂNCIA 73 32 CAPACITÂNCIA 80 33 ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES E CAPACITORES 83 34 INDUTÂNCIA MÚTUA 86 35 RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITO RL E RC DE PRIMEIRA ORDEM 89 36 RESPOSTA AO DEGRAU DE CIRCUITO RL E RC DE PRIMEIRA ORDEM 98 PARA SINTETIZAR 106 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 107 REFERÊNCIAS 110 UNIDADE 4 ELEMENTOS PASSIVOS CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM 111 OBJETIVO DE APRENDIZAGEM 112 INTRODUÇÃO À UNIDADE 113 41 RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITO RLC DE SEGUNDA ORDEM 113 42 RESPOSTA AO DEGRAU DE CIRCUITO RLC DE SEGUNDA ORDEM 128 PARA SINTETIZAR 135 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 136 REFERÊNCIAS 138 1 UNIDADE VARIÁVEIS E ELEMENTOS DO CIRCUITO 12 CIRCUITOS ELÉTRICOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Aprender o conceito de tensão e corrente Entender a definição de potência e energia Relembrar as Leis de Ohm e Kirchhoff 13 CIRCUITOS ELÉTRICOS INTRODUÇÃO À UNIDADE Nesta unidade o estudante aprenderá o conceito de tensão corrente e a partir destes conceitos entenderá a definição de potência e energia Serão apresentadas algumas definições importantes como o conceito de elemento ideal de um circuito e como este elemento nos ajudará a entender as nuances da análise de circuitos Duas leis importantes também serão relembradas a Lei de Ohm que vai descrever o comportamento de uma corrente elétrica que circula em uma resistência quando esta é submetida a uma diferença de potencial e a Lei de Kirchhoff que vai ser a base da análise de circuitos elétricos durante toda a nossa jornada Por fim para tornar esta análise um pouco mais interessante será apresentado o conceito de fontes de tensão e corrente cujo valor de saída depende de outras tensões e correntes em diferentes pontos do circuito 11 DEFINIÇÕES E PARÂMETROS O Sistema Internacional de Unidades SI é o sistema de medição usado na maioria dos países do mundo Através do SI engenheiros e cientistas podem comparar resultados de projetos e experiências de forma quantitativa Neste sistema temos sete unidades fundamentais e a partir delas as demais unidades são obtidas Metro m grandeza de comprimento Quilograma kg grandeza de massa Segundo s grandeza de tempo Ampere A grandeza da corrente elétrica Kelvin k grandeza de temperatura Candela cd grandeza de intensidade luminosa mol mol grandeza da quantidade de substância 14 CIRCUITOS ELÉTRICOS A partir destas grandezas temos por exemplo 1 N newton de força que pode ser escrito em quilogramas x metros por segundo por segundo kgms2 1 J joule de energia que pode ser escrito como quilograma x metros x metros por segundo por segundo kg m2s2 ou Nm 1 Hz hertz de frequência que pode ser escrito como o inverso do segundo 1s etc No SI ainda podemos incorporar bases decimais para relacionar quantidades muito pequenas ou muito grandes Veja o exemplo da Tabela 1 Tabela 1 Bases decimais do SI Prefixo Base decimal Símbolo Pico 1012 p Nano 109 n Micro 106 m Mili 103 m 100 Quilo 103 k Mega 106 M Giga 109 G Tera 1012 T Fonte Elaborada pelo autor 2021 Perceba que as bases decimais são designadas por prefixos muito usados no contexto diário Por exemplo é comum que nós leiamos o consumo energético de nossa residência em quilowatthora ao invés de watthora ou ainda expressar o pico da intensidade de corrente de uma descarga atmosférica em quiloampere ao invés de ampere Ainda existem outras relações de base como o centímetro prefixo c é 102 do metro enquanto o hectômetro prefixo h é 102 do metro É importante verificar também que o símbolo do quilo é k minúsculo 15 CIRCUITOS ELÉTRICOS 111 Corrente e Tensão Duas cargas elétricas se atraem ou se repelem mutualmente devido à ação direta de seu carregamento e do quadrado da distância que as separa O átomo normalmente é eletricamente neutro e em seu núcleo há uma quantidade de prótons carga positiva enquanto em suas orbitas existe a mesma quantidade de elétrons carga negativa A perda ou ganho de elétrons fará com que as partículas se tornem positivamente ou negativamente carregadas respectivamente A Força e atraçãorepulsão destas cargas se dá pela equação 1 Em que força de atraçãorepulsão entre as cargas e N constante de proporcionalidade dimensional que depende do meio 88510 12 C2Nm2 no vácuo carga elétrica C distância entre as cargas elétricas m Quando o meio circulante não é o vácuo usamos o na equação 1 para o vácuo Neste sentido o Coulomb que é a unidade de carga é definido como a quantidade de carga que ao ser separada por um metro de distância de outra carga igual repelese com uma força de 9109 N EDMINISTER 1977 A proposta elementar de um circuito elétrico é a transferência de carga de um ponto a outro Esta transferência constitui a corrente elétrica medida em Ampere em homenagem ao matemático e físico André Ampère e representada pela letra ou I de intensidade Esta é expressa como uma variação de carga de 1 coulomb em 1 segundo 2 16 CIRCUITOS ELÉTRICOS Em que corrente elétrica A tempo s Na análise de circuitos convencionouse o movimento de cargas positivas Atualmente sabemos que este movimento se deve ao deslocamento dos elétrons que desprendem do átomo logo tratase da ação de cargas negativas Por isso é importante que seja introduzido o conceito de corrente convencional que é usada na eletrônica e que define que a corrente elétrica ocorre através do movimento de cargas positivas Figura 1 Corrente elétrica sentido real e convencional Fonte Elaborada pelo autor 2021 A corrente real é composta por elétrons em movimento Porém não precisamos raciocinar deste modo mas imaginar uma quantidade discreta de elétrons em um fluxo continuo semelhantemente ao que ocorre com a água em uma tubulação Sabemos que existe o fluxo de moléculas de H2O ou de gotas de água porém como a água é elemento visível fica mais fácil imaginála em um fluxo ordenado e suave em uma tubulação EXEMPLO 1 Imagine que uma corrente de 10ª constante começa a fluir para um banco de baterias que estava totalmente descarregado no sentido de carregála Neste caso vamos calcular a a carga acumulada no tempo e b a carga acumulada no tempo 60 s Logo 17 CIRCUITOS ELÉTRICOS No instante inicial temos a bateria completamente descarregada Logo Decorridos 60 segundos de acumulação a carga acumulada na bateria será de A este tipo de corrente como a do exemplo anterior que é constante no tempo nós chamamos de Corrente Contínua ou apenas corrente CC Existem vários tipos de corrente Outra bastante importante é a corrente senoidal alternada ou simplesmente corrente CA Na Figura 2 são mostrados quatro exemplos gráficos da esquerda para direita e em sentido antihorário corrente contínua corrente senoidal alternada corrente dente de serra e corrente exponencial 18 CIRCUITOS ELÉTRICOS Figura 2 Tipos diferentes de sinal Fonte Elaborada pelo autor 2021 Para garantir este fluxo ordenado e suave de cargas positivas do ponto de vista convencional devemos garantir a realização de um trabalho Deste modo as cargas se movimentarão de um ponto para outro A diferença de potencial representada pela letra ou V e medida em Volts homenagem ao físico Alessandro Volta que equivale a 1 JC entre dois pontos é medida então pelo trabalho necessário de transferência unitária de 19 CIRCUITOS ELÉTRICOS uma carga de um ponto até outro conforme equação 3 Uma fonte de tensão como uma bateria exerce um trabalho sobre a carga que a atravessa Esta carga elétrica ou fluxo de corrente elétrica se desloca do maior potencial para o menor 3 Em que tensão elétrica V energia J Também é comum usar subíndices para descrever a tensão diferença de potencial entre dois pontos Ou seja é a diferença de potencial entre os pontos a e b e consequentemente 112 Potência e Energia A potência em Watts representada pela letra W associada a este fluxo de carga que flui do ponto a até o ponto b cuja excitação foi a diferença de potencial entre os pontos a e b é uma consequência direta das equações 2 e 3 como é mostrado através da definição de potência como a derivada da energia no tempo 4 Em que potência elétrica W 20 CIRCUITOS ELÉTRICOS A equação 4 mostra que potência associada a um elemento do circuito é o produto da diferença de potencial deste pela corrente que o circula A potência poderá ser fornecida ou absorvida pelo elemento logo a equação 4 pode ter sinal negativo Se a potência é positiva então o elemento está absorvendo potência mas se por outro lado a potência for negativa o circuito ou elemento estará fornecendo potência EXEMPLO 2 Se uma corrente de 10A é fornecida por uma bateria de 12V para alimentar uma lâmpada então a potência desta bateria será de Ou seja a bateria está fornecendo 120W Se a bateria por outro lado está sendo carregada com uma corrente de 10A então a potência consumida por ela será de A energia é um conceito básico da física e pode ser definida como a capacidade de realização de trabalho De acordo com o primeiro princípio da termodinâmica a energia não pode ser criada ou extinta ela é transformada de uma forma para outra ou transferida de um sistemacorpo para outro A energia pode ser ainda definida como o somatório da quantidade de trabalho realizada em um intervalo de tempo 5 Graficamente a energia corresponde à área abaixo do gráfico de potência Figura 3 Potência e Energia Fonte Elaborada pelo autor 2021 21 CIRCUITOS ELÉTRICOS EXEMPLO 3 Uma pessoa que mora sozinha toma 60 banhos quentes por mês em um chuveiro elétrico de 8000W Cada banho dura quinze minutos A tarifa da concessionária de energia é de R 100 para cada kWh Vamos determinar a quanto esta pessoa paga por mês de energia elétrica para tomar banho e b quanto ela economizaria se conseguisse reduzir o tempo de banho para nove minutos O problema nos diz que a potência do chuveiro é 8000W e que cada banho dura 025h quinze minutos Portanto em cada banho a transformação da energia elétrica em energia térmica elevação da temperatura da água é de Ou seja Logo os 60 banhos representam um consumo energético de 120kWh Com uma tarifa de R 100kWh os sessenta banhos têm um custo de R 12000 Se o tempo de banho fosse reduzido para 015 horas nove minutos então o consumo mensal energético seria de Que representaria um consumo mensal de 72 kWh Ou seja R 7200 uma economia de 40 22 CIRCUITOS ELÉTRICOS 113 Fontes de Tensão e Fontes de Corrente Os elementos do circuito são divididos em duas categorias elementos passivos e elementos ativos Esta divisão considera se a energia é fornecida ou consumida pelo elemento Se a energia entregue é sempre positiva o elemento é dito passivo Os resistores capacitores e indutores são exemplos de elementos passivos e serão estudados com detalhes na seção 12 e na Unidade 3 Os elementos ativos do circuito são aqueles que a energia nem sempre é positiva A exemplo temos baterias e geradores Uma fonte de energia elétrica é um elemento que é capaz de converter uma forma de energia em energia elétrica NILSSON e RIEDEL 2015 A bateria converte energia química em energia elétrica um gerador converte energia cinética em energia elétrica uma placa fotovoltaica converte energia luminosa em energia elétrica Percebese ainda que muitos destes processos são reversíveis a bateria poderá ser recarregada movimentando um motor e convertendo a energia elétrica mais uma vez em cinética As fontes de energia elétrica são divididas ainda entre fonte de tensão e fonte de corrente que podem ser independentes ou dependentes Uma fonte ideal de tensão é capaz de manter a tensão especificada em seus terminais independentemente da corrente que flui Analogamente uma fonte de corrente é capaz de a manter constante em seus terminais independente da tensão entre eles Uma fonte independente estabelece uma tensão ou corrente em seus terminais sem depender de tensões e corrente de outros elementos do circuito Por outro lado uma fonte dependente estabelece a tensão ou a corrente cujo valor dependerá da tensão e corrente de outros elementos do circuito NILSSON e RIEDEL 2015 Os símbolos de circuito para fontes independentes de a tensão b corrente e para fontes dependentes de c tensão dependente de tensão d tensão dependente de corrente e corrente dependente de tensão e f corrente dependente de corrente são mostradas na Figura 4 23 CIRCUITOS ELÉTRICOS Figura 4 Fontes independentes e dependentes de tensão e corrente Fonte Elaborada pelo autor 2021 As fontes apresentadas são fontes ideais ou seja são modelos matemáticos que aproximam elementos físicos reais Elementos reais possuem limitações de fornecimento de potência e perdas internas 12 RESISTÊNCIA E LEI DE OHM O físico Georg Ohm formulou a relação tensão x corrente para o resistor Devido ao seu pioneirismo a unidade de resistência é chama de Ohm ou representada pela letra grega Ω A lei de Ohm define que a tensão sobre um resistor o mais simples dos elementos passivos é diretamente proporcional a corrente que o atravessa 6 Em que resistência elétrica Ω Quando traçamos um gráfico da equação 6 em que buscamos observar a relação sob vários valores de observamos que a resistência ôhmica representa uma oposição à passagem da corrente sendo que quanto maior o valor da resistência menor será a corrente que flui pelo resistor considerando que este está sob a mesma tensão Logo podemos definir formalmente a resistência como a capacidade do material 24 CIRCUITOS ELÉTRICOS de impedir e de se opor à correte elétrica NILSSON e RIEDEL 2015 Figura 5 Característica para diferentes valores de Fonte Elaborada pelo autor 2021 As relações apresentadas são relações para resistores ideais IMPORTANTE Existem diversos fatores que alteram a resistência do resistor A temperatu ra por exemplo afeta a resistência então ao ser percorrido por uma corrente o resistor dissipará a energia térmica em forma de calor que afetará seu valor Ou ainda a linearidade que só é válida em faixas restritas de tensão corrente e potência HAYT KEMMERLY e DURBIN 2014 25 CIRCUITOS ELÉTRICOS A Figura 6 apresenta o símbolo do resistor O produto de fornece a potência dissipada no resistor como foi mostrado na equação 6 Logo a absorção de potência no resistor ou potência dissipada é sempre positiva lembrese que o resistor é um elemento passivo Essa potência dissipada no resistor normalmente é transformada em calor ou luminosidade Expressões alternativas muito usadas para calcular esta dissipação de potência são mostradas na equação 7 Figura 6 Símbolo do resistor Fonte Elaborada pelo autor 2021 7 26 CIRCUITOS ELÉTRICOS SAIBA MAIS Alguns resistores são projetados propositalmente com características não line ares Transdutores são sensores de aplicação específica em que uma excitação primária intensidade luminosa pressão etc é convertida em variação de resistência tensão ou corrente de modo a ser lida e interpretada por um controlador eletrônico O transdutor resistivo do tipo LDR Light Dependent Resistor é um tipo de sensor que quando submetido à intensidade luminosa tem sua resistência alterada Sua resistência ôhmica diminui com o aumento da iluminância A condutância representada pela letra G de um elemento resistivo linear é definida como inverso da resistência No SI a condutância pode ser expressa em Siemens S mho Ohm de trás para frente ou Ω1 8 EXEMPLO 4 Se a tensão sobre um resistor na Figura 6 é de 1 kΩ a tensão é de 100V Então qual seria a a corrente que circula por este resistor b a potência dissipada no elemento e c como esta resistência poderia ser expressa em termos de condutância Se a tensão aplicada for de 100V o que muda em relação à potência Inicialmente convencionamos que a corrente flui do maior potencial para o menor Logo a corrente que flui no sentido da seta na Figura 6 é de A potência dissipada no resistor será então de Já a condutância do elemento é de 27 CIRCUITOS ELÉTRICOS Caso a tensão aplicada seja de 100V a corrente no sentido da seta será de 01A Já a potência dissipada continua sendo de 10W Como esperado uma vez que o resistor é um elemento passivo ele apenas consome potência 13 LEI DE KIRCHOFF Além da Lei de Ohm temos outras duas leis importantes que usaremos bastante na análise de circuitos A Lei de Kirchhoff das Correntes LKC e a Lei de Kirchhoff das Tensões LKT ambas estabelecidas pelo físico Gustav Kirchhoff Estas leis vão permitir a sistematização de soluções de qualquer rede elétrica NILSSON e RIEDEL 2015 Na análise de circuitos aqui apresentada falaremos de elementos ideais conectados por condutores sem perdas em que toda energia está concentrada nos elementos de rede definida como rede de parâmetros concentrados Um ponto que um ou mais integrantes desta rede fazem uma conexão é chamado de nó Eventualmente para representar melhor um circuito o nó é conectado através destes condutores ideais porém continua sendo o mesmo ponto elétrico A Figura 7 mostra dois circuitos iguais em que os nós B e D foram desenhados de forma diferente mas que em ambos representam o mesmo ponto elétrico Nos dois circuitos em a temos a conexão entre o R1 e V1 Já em b temos a conexão entre R1 R2 R3 e R4 Em c temos a conexão entre R4 e a fonte de corrente I1 Por último em d temos a conexão entre a fonte tensão V1 os resistores R2 e R3 e a fonte de corrente I1 Figura 7 Redes iguais de quatro nós Fonte Elaborada pelo autor 2021 28 CIRCUITOS ELÉTRICOS Suponha que na Figura 7 saímos do nó a e vamos até qualquer outro nó do circuito sem passar de novo pelo nó a neste caso devese mentalizar que este conjunto que escolhemos define um caminho O laço é definido quando começamos em um nó e terminamos no mesmo nó que iniciamos Ainda na Figura 7 se nos movermos do nó a até b e depois de b até d através do resistor R2 estabelecemos um caminho Se continuarmos nos movendo através da fonte V1 chegaremos de volta ao nó a completando um laço O ramo é outra definição importante É um caminho único da rede composto apenas de um elemento Ao sair do nó a e pararmos no nó b temos um ramo composto pela resistência R1 Agora com estes conceitos definidos podemos enunciar a LKC como a soma algébrica das correntes que entram em um nó que é igual a zero Perceba que em outras palavras Kirchhof disse que as cargas não podem se acumular em um nó e como este próprio nó não é um elemento do circuito nele não há geração ou dissipação de energia Na Figura 8 as correntes do nó b foram todas representadas como saindo dele Na prática pelo menos uma deve entrar no nó Por isso como elas foram representadas saindo de b pelo menos uma delas terá valor negativo O valor negativo da corrente significa que esta tem o sentido contrário ao arbitrado originalmente No circuito da Figura 8 temos pela LKC que o somatório das correntes em b é igual a zero 9 Ou seja em b temos Figura 8 Lei de Kirchoff das Correntes Fonte Elaborada pelo autor 2021 29 CIRCUITOS ELÉTRICOS EXEMPLO 5 Para o circuito apresentado na Figura 9 vamos definir a equação em todos os nós Figura 9 Circuito para o Exemplo 5 Fonte Elaborada pelo autor 2021 Inicialmente identificaremos todos os nós do circuito O ponto descrito como a é um nó pois neste ponto dois ou mais elementos se unem Semelhantemente temos os nós b c e d A aplicação da LKC nos nós resulta em Perceba que ao definir saindo de a e indo em direção a d ao montar a equação do nó d a corrente que saí de d e vai até a é E ainda que é a diferença de tensão entre o nó a e nó d Logo e finalmente Como já mencionado a tensão é a medida da diferença de potencial entre dois nós do circuito A LKT nos diz que a soma algébrica das tensões ao longo de um caminho fechado é igual a zero 30 CIRCUITOS ELÉTRICOS 10 De acordo com Hayt Kemmerly e Durbin 2014 o método para levantamento das equações de rede que conduzem a erros menores é percorrer o caminho fechado na direção horária e escrever a tensão como positiva para cada item cujo terminal positivo aparecer primeiro Considere a Figura 10 a corrente entra no terminal negativo de no terminal positivo de R1 e no terminal negativo de Figura 10 Lei de Kirchoff das Tensões Fonte Elaborada pelo autor 2021 Logo a equação oriunda da LKT para o circuito da Figura 10 é Em que é a diferença de potencial ao qual o resistor 1 está submetido EXEMPLO 6 Utilize a LKC para encontrar a tensão e a corrente em todos os resistores 31 CIRCUITOS ELÉTRICOS Figura 11 Circuito para o exemplo 6 Fonte Elaborada pelo autor 2021 Passo 1 Identifcar os nós do circuito ponto em que um ou mais elementos desta rede fazem uma conexão No caso da Figura 11 o nó a será o encontro entre a fonte de corrente I e os resistores R1 e R2 O nó b será o encontro entre os resistores R1 R3 e R4 O nó c será o encontro entre os resistores R3 R4 e a fonte de tensão V Perceba que a tensão do nó c já é conhecida e é igual a tensão da fonte V No nó d temos aquilo que vamos definir como referência A referência ou ponto de aterramento de um circuito é o ponto que temos o referencial de 0 V Quando definirmos que a tensão no nó c é de 4V estaremos falando da diferença de potencial entre o nó c e d Logo como a tensão no nó d é zero o que é comum simplificarmos a notação para apenas Passo 2 Devemos equacionar o problema Neste caso usaremos a LKC que determina que o somatório das correntes que saem ou entram em um nó é 0 Vamos entender com detalhes o equacionamento do nó a A corrente oriunda da fonte entra em a então vamos arbitrar que esta corrente é negativa A corrente que sai do nó a e vai para o b através de R1 vamos chamar de A corrente que sai do nó a e vai para o nó c através de R2 vamos chama de Logo temos a seguinte equação de Kirchoff para o nó a 32 CIRCUITOS ELÉTRICOS Mas vimos que a tensão no nó c é igual a tensão da fonte Analogamente para o nó b em que e Logo a equação para o nó b se resume a Passo 3 Nos resta então resolver o sistema de duas equações nó a e nó b e duas incógnitas e Perceba que a matriz 2x2 à esquerda é a matriz de admitância do circuito Logo o produto de matrizes acima é outra forma de escrever a Lei de Ohm 11 Em que admitância do circuito S Substituindo os valores de resistência na matriz de admitância e na matriz de corrente temos 33 CIRCUITOS ELÉTRICOS Que resulta em E portanto a tensão a qual cada resistor está submetida é de Que de acordo com a Lei de Ohm Vamos analisar os resultados obtidos A tensão logo implica que não há circulação corrente no resistor R2 Verificamos ainda que a corrente em R3 que vai do nó b para o nó a é negativa Isto quer dizer que na prática a corrente está indo do nó c para o nó b Lembrese que o resistor é um elemento passivo por isso sua potência é sempre uma potência consumida dissipada no elemento logo positiva Se levarmos em consideração a tensão e a corrente que vai do nó b para o nó c temos que a potência no resistor positivo Para verificar se as contas estão corretas podemos reaplicar a LKC nos nós e garantir que seu somatório é de fato nulo Por exemplo para o nó a EXEMPLO 7 Utilize a LKT para encontrar a tensão e a corrente em todos os resistores Considere que 34 CIRCUITOS ELÉTRICOS Figura 12 Circuito para o exemplo 8 Fonte Elaborada pelo autor 2021 Passo 1 Identificamos os laços do circuito quando começamos em um nó e terminamos no mesmo nó que iniciamos No caso da Figura 12 a corrente do laço 1 inicia no nó d passa pela fonte 1 entrando inicialmente no polo negativo passa pelo resistor 1 R1 e chega de volta ao nó d O laço 2 em que circula a corrente inicia no nó a entra no resistor 2 R2 passa pelo resistor 4 R4 entra no resistor 3 R3 e finalmente chega de volta em a No laço 3 a corrente que partiu do nó d passa pelo resistor R1 R3 e R5 e entra na fonte de tensão V2 pelo polo positivo para voltar para o nó d Como veremos mais adiante há outros laços possíveis Passo 2 consiste em equacionarmos o circuito levando em consideração a tensão nos elementos e lembrando que na LKT a soma algébrica das tensões em um laço é nula Para o laço 1 seguindo a corrente temos Percebemos aqui que no Resistor 1 levando em consideração a corrente do laço 1 temos que esta que circula neste resistor é a diferença entre e Analogamente para o laço 2 temos 35 CIRCUITOS ELÉTRICOS E para o laço 3 Passo 3 Devemos resolver o sistema de três equações e três incógnitas Perceba que a formulação acima é a Lei de Ohm na forma matricial Substituindo os valores E finalmente E portanto a tensão a qual cada resistor está submetido é de E a corrente que circula em cada resistor é de 36 CIRCUITOS ELÉTRICOS No resistor 1 a corrente de 10A flui do nó a para o nó d No resistor 3 a corrente flui do nó a para o nó b Como já comentado existem outros arranjos possíveis Figura 13 Correntes de laço alternativas para o EXEMPLO 8 Fonte Elaborada pelo autor 2021 O problema estará equacionado quando as correntes de laço passarem por todos os elementos do circuito As equações para os laços escolhidos são Que resulta em E finalmente Perceba que as correntes são diferentes do caso inicial pois nós escolhemos laços diferentes A corrente em cada elemento bem como a tensão deve ser a mesma do caso original Vamos olhar as correntes que são os mesmos valores do caso original como esperado 37 CIRCUITOS ELÉTRICOS 14 FONTES DEPENDENTES Um elemento ativo muito importante na análise de circuitos é a fonte dependente Esta pode ser uma fonte de tensão ou de corrente e ser dependente de uma tensão ou de uma corrente específica do circuito Considere o circuito apresentado na Figura 14 Figura 14 Circuito com fonte de corrente dependente de corrente Fonte Elaborada pelo autor 2021 No circuito acima a fonte de corrente que está ligada ao nó c possui um valor de tensão que é o a alfa vezes a tensão em cima do resistor 1 Portanto assim que for conhecida a tensão em c que é a tensão da fonte de tensão dependente de tensão será determinada 38 CIRCUITOS ELÉTRICOS EXEMPLO 8 No circuito da Figura 14 considere que Calcule a potência fornecida ou absorvida pela fonte V Para solucionar este problema vamos usar LKC Perceba que a Reorganizando as equações teremos Que na forma matricial resulta em Indicando que Para calcular a potência da fonte precisamos descobrir a tensão e a corrente da fonte Portanto temos uma corrente positiva saindo da fonte Isto quer dizer que sua potência é A fonte de tensão dependente está fornecendo potência e energia para o circuito 39 CIRCUITOS ELÉTRICOS Usualmente é mais fácil usar a LKC quando há fontes de corrente no circuito Com a LKC nós calculamos as tensões nos nós Já a LKT deve ser evitada quando temos fontes de corrente A LKT nos fornece as correntes nos laços dos circuitos PARA REFLETIR Pode ser muito interessante na sua jornada o uso de simuladores de circuitos Com eles você poderá desenhar seus próprios circuitos e simular os resultados Existem diversas opções no mercado e muitas delas gratuitas O circuit maker student e o PSIM Versão Acadêmica são boas opções com custo zero 40 CIRCUITOS ELÉTRICOS PARA SINTETIZAR Neste capítulo foi apresentado o SI sistema adotado por engenheiros e cientistas de quase todo mundo que possibilita a comparação de resultados de pesquisas e experiências por todo o globo Em seguida foram introduzidos os conceitos de corrente e tensão Entendemos que as fontes ideais de tensão são aquelas capazes de manter o valor especificado em seus terminais independentemente da corrente de saída enquanto uma fonte ideal de corrente seria capaz de manter a corrente de saída constante independente da tensão em seus terminais Compreendemos que o resistor é um elemento passivo do circuito que oferece uma resistência à passagem de corrente quando o elemento resistivo é submetido à uma tensão Esta relação passa a ser definida pela Lei de Ohm Por último foi visto que a Lei de Kirchhoff para circuitos elétricos nos diz que em um determinado nó a soma algébrica de todas as correntes que saem deste é nula enquanto em um caminho fechado o somatório da tensão em todos os elementos é nulo 41 CIRCUITOS ELÉTRICOS REFERÊNCIAS DUNN W C Fundamentos de Instrumentação industrial e controle de processos 1ª ed Porto Alegre Bookman 2013 EDMINISTER J A Circuitos Elétricos 1ª ed São Paulo Mc GrawHill do Brasil 1977 HAYT W H J KEMMERLY J E DURBIN S M Análise de Circuitos em Engenharia 8ª ed Porto Alegre Mc Graw Hill 2014 JOHNSON D R HILBURN J L JOHNSON J R Fundamentos de análise de circuitos elétricos 4ª ed Rio de Janeiro PrenticeHall do Brasil 1994 MATTEDE H Capacitor Funcionamento e aplicações mundodaeletrica 2021 Disponivel em httpswwwmundodaeletricacombrcapacitorfuncionamento aplicacoes Acesso em 16 out 2021 NILSSON J W RIEDEL S A Circuitos Elétricos 10ª ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2015 PIAVA Indutor Bobina ou Solenoide ibytes 2021 Disponivel em httpswww ibytescombrfuncaoeaplicacoesdocomponentechamadodeindutorbobinaou solenoide Acesso em 16 out 2021 42 CIRCUITOS ELÉTRICOS EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM QUESTÃO 01 O lago da Usina Hidrelétrica de Sobradinho é um dos maiores lagos artificiais do mundo com um volume de 34000 hm3 hectômetros cúbicos Quantas caixas dágua de mil litros destas residências cabem no reservatório de sobradinho a 34 mil b 34 milhões c 34 bilhões d 17 milhões e 17 bilhões QUESTÃO 02 No Brasil temos aproximadamente 46 milhões de veículos Uma bateria veicular armazena 500 Wh de energia Quando todas estas baterias estão carregadas qual energia total armazenada em gigawatthora a 50 GWh b 500 GWh c 5000 GWh d 023 GWh e 23 GWh QUESTÃO 03 A corrente que sai de uma determinada fonte é de Suponha que a carga no terminal seja nula em Calcule a carga que sai desta fonte em qualquer instante de a b c d e UNIDADE2 ANÁLISE DE CIRCUITOS RESISTIVOS 44 CIRCUITOS ELÉTRICOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Aprender técnicas importantes para a simplificação da análise de circuitos elétricos Entender como a corrente e a tensão se distribuem entre os elementos resistivos Compreender como a transformação estrela ocorre e analisar mais afundo o uso das Leis de Kirchhoff Conhecer os circuitos equivalentes de Thévenin e Norton 45 CIRCUITOS ELÉTRICOS INTRODUÇÃO À UNIDADE Nesta unidade o estudante aprenderá técnicas importantes para simplificação da análise de circuitos elétricos Toda abordagem inicial será baseada em circuitos resistivos então veremos como associar resistores em série e em paralelo no sentido de obtermos uma resistência equivalente àquelas associadas Entenderemos como a corrente e a tensão se distribuem entre os elementos resistivos Veremos como o circuito conhecido como Ponte de Wheatstone pode nos ajudar a realizar medições de grandezas de Engenharia como nível pressão temperatura etc Em seguida dedicaremos algum tempo em transformações mais complexas como a estrela triângulo e triângulo estrela Aprofundaremos a análise de circuitos com mais exemplos do uso das Leis de Kirchhoff desta vez aplicando as técnicas que serão aprendidas no decorrer do capítulo Por fim aprenderemos os circuitos equivalentes de Thévenin e Norton que nos ajudarão a representar circuitos complexos de forma simples 21 CIRCUITOS RESISTIVOS Os circuitos geralmente contêm elementos que estão dispostos em série paralelo ou ambos denominado de circuito misto Um circuito resistivo contém apenas estes elementos passivos Um chuveiro elétrico por exemplo é um circuito puramente resistivo em que a potência dissipada na resistência transfere calor para água Nas próximas seções aprenderemos o conceito destes tipos de circuitos as diferenças e suas aplicações 46 CIRCUITOS ELÉTRICOS 211 Associação de Resistores Quando dois elementos estão ligados a um nó estes estão em série A particularidade destes elementos é que a corrente que circula por eles é a mesma Percebemos através do circuito da Figura 15 que consiste em uma fonte de tensão e três resistores em série Figura 15 Circuito em série Fonte Elaborada pelo autor 2021 A corrente que circula pela malha é a mesma para os três elementos passivos e para fonte A LKT estabelece que a soma das tensões em todos os resistores é igual a tensão da fonte ou seja Portanto a corrente da malha na Figura 15 é obtida por Em que a resistência equivalente do circuito é obtida por 47 CIRCUITOS ELÉTRICOS Em que resistência equivalente do circuito Ω Logo a resistência equivalente de resistores associados e série é obtida pelo somatório dos elementos em série 12 Para demonstrar que a corrente de fato é a mesma em todos os elementos perceba que se usarmos LKC na Figura 15 obtemos Que resulta em Assim o circuito pode ser simplificado para Figura 16 Circuito em série equivalente Fonte Elaborada pelo autor 2021 Em que e e a resistência equivalente é maior que a resistência do maior resistor da série Em muitas situações reais o modelo do circuito não é conhecido e somos desafiados a entendêlo aplicando sinais na entrada e analisando a sua resposta Na Figura 17 podemos aplicar uma tensão conhecida nos terminais ah de um circuito desconhecido e através da sua resposta corrente de saída da nossa fonte definir a resistência equivalente sem a necessidade de conhecer as minúcias do circuito original 48 CIRCUITOS ELÉTRICOS Figura 17 Circuito desconhecido à esquerda e equivalente Fonte Nilsson e Riedel 2015 Já quando dois elementos estão ligados a um único par de nós definiremos que estes elementos estão ligados em paralelo Neste caso não mais a corrente é a mesma em todos os elementos mas sim a tensão Para compreender melhor este tipo de ligação vamos considerar o circuito da Figura 18 Figura 18 Circuito em paralelo Fonte Elaborada pelo autor 2021 De acordo com a LKC considere a corrente da fonte e que 49 CIRCUITOS ELÉTRICOS A razão entre a tensão da fonte pela corrente da fonte é a resistência equivalente do circuito da Figura 18 Logo Assim para n resistores em paralelo a resistência equivalente é calculada por 13 Existe uma particularização bem comum da equação 13 que é quando temos o paralelo de apenas dois resistores Neste caso Resultando em 14 Quando temos resistores em paralelo a resistência equivalente sempre será menor que a menor das resistências em paralelo Nós até agora admitimos que a tensão no circuito paralelo é a mesma em todos os componentes Podemos comprovar quando a corrente e é obtida pelas LKT em que as malhas 1 2 e 3 são as que circulam as correntes e respectivamente E portanto 50 CIRCUITOS ELÉTRICOS Usando a LKT conseguimos provar que a tensão nos três resistores é mesma igual a tensão da fonte Agora o circuito da Figura 18 pode ser representado pelo circuito da Figura 16 212 Divisor de Tensão e de Corrente Um divisor de tensão é um circuito com dois resistores ligados em série a uma fonte de tensão Neste circuito a tensão de saída é uma fração da tensão de entrada Vamos analisar este tipo de circuito aplicando diretamente à Lei de Ohm Considere o circuito da Figura 19 Figura 19 Circuito divisor de tensão Fonte Elaborada pelo autor 2021 51 CIRCUITOS ELÉTRICOS Pela Lei de Ohm Logo a tensão de saída Ou seja Então a razão entre a tensão de saída e a tensão de entrada é uma relação entre as resistências em série do circuito 15 EXEMPLO 9 A tensão de entrada de um instrumento medidor é de no máximo 10V É de conhecimento que a tensão do circuito que se deseja medir possa atingir até 100V Projete um circuito que seja capaz de medir esses valores Figura 20 Circuito divisor de tensão para o exemplo 9 Fonte Elaborada pelo autor 2021 Nosso desafio consiste em determinar um conjunto de resistores que limite a tensão em 10 V sabendo que a tensão de entra não ultrapassará 100V Vamos considerar o voltímetro ideal ou seja sua resistência de entrada será infinita em outras palavras não há circulação de corrente pelo instrumento Usando a equação 15 percebemos que temos duas variáveis para definir Logo existem infinitas possibilidades de respostas Para garantir uma circulação pequena de corrente pelo circuito de medição vamos definir R1 90MW 52 CIRCUITOS ELÉTRICOS Logo a razão mostra como a tensão de saída se comporta em relação a tensão de entrada Figura 21 Relação entre tensão de saída e tensão de entrada para o exemplo 9 Fonte Elaborada pelo autor 2021 Já o divisor de corrente consiste em dois resistores ligados em paralelo a uma fonte de corrente Este divisor é projetado para dividir a corrente entre os resistores R1 e R2 Através da Lei de Ohm e da LKC podemos determinar a corrente em cada resistor Para isso considere a Figura 22 53 CIRCUITOS ELÉTRICOS Figura 22 Divisor de Corrente Fonte Elaborada pelo autor 2021 A resistência equivalente do circuito é calculada pela equação 14 e a tensão Portanto O que nos leva a E a corrente no resistor 1 é calculada por Analogamente no resistor 2 a corrente é calculada por 54 CIRCUITOS ELÉTRICOS Logo quanto maior a resistência em um ramo maior será a corrente do outro ou em outras palavras ao aumentar a resistência de um ramo nós reduzimos a corrente deste Os casos acima discutidos são situações particulares trazidas para dois resistores Podemos generalizar para as seguintes situações Suponha n resistores em série como mostrado na Figura 23 A tensão no Resistor j é calculada por 16 Figura 23 Caso geral do divisor de tensão Fonte Nilsson e Riedel 2015 Caso tenhamos n resistores em paralelo como mostrado na Figura 24 a corrente no Resistor j é calculada por 17 Figura 24 Caso geral do divisor de tensão Fonte Nilsson e Riedel 2015 55 CIRCUITOS ELÉTRICOS 213 Ponte de Wheatstone A Ponte de Wheatstone é um circuito elétrico usado na medição de resistências desconhecidas Sensores de grandezas de engenharia como pressão temperatura e outros têm sua resistência alterada quando a grandeza que está sendo medida também se altera extensometria Na Figura 25 temos um exemplo da Ponte de Wheatstone em que existe o interesse de medir a resistência que pode ser um sensor de temperatura por exemplo o qual terá seu valor variado de acordo com a mudança da própria temperatura No exemplo abaixo as resistências são dispostas em formato de losango e nos vértices centrais do circuito é instalado um amperímetro Figura 25 Ponte de Wheatstone Fonte Nilsson e Riedel 2015 O circuito a é variável e o nosso objetivo é variar esta resistência de modo que a corrente seja nula Quando isso ocorre dizemos que a ponte está balanceada Considerando a ponte balanceada podemos usar a LKC no nó a e nó b 56 CIRCUITOS ELÉTRICOS Nó a Nó b Como a ponte está balanceada 18 IMPORTANTE A resistência Rx é um resistor que varia seu valor de acordo com a grandeza medida Na prática é um sensor ligado a um ponto do processo industrial e não pode ser medido diretamente Para descobrir o valor de Rx variamos a R3 até zerar a resistência do amperímetro Quando ig0 a resistência do processo industrial pode ser obtida pela equação 18 214 Transformação EstrelaTriângulo A associação série e paralelo de resistores será capaz de trazer mais simplicidade à análise de circuitos Todavia os elementos do circuito são combinados de tal forma que não é possível aplicar tais associações Existe então outra técnica muito útil chamada 57 CIRCUITOS ELÉTRICOS de conversão EstrelaTriângulo YD ou TriânguloEstrela D Y Estas associações são apresentadas a seguir Figura 26 Circuitos em D ab e circuitos em Y cd Fonte Hayt Kemmerly e Durbin 2014 Percebese que não há qualquer associação sérieparalelo que pode ser feita para simplificação destes circuitos Os circuitos a e b e os circuitos c e d da Figura 26 são eletricamente iguais entre si Para fazer a conversão DY por exemplo definimos as tensões e e três correntes e A partir das Leis de Kirchhoff definimos relações entre o conjunto de resistências RA RB e RC e R1 R2 e R3 Figura 27 Relação entre resistências do fechamento em D a e em Y b Fonte Hayt Kemmerly e Durbin 2014 Para o sistema a Para o sistema b Para o sistema a vamos remover do conjunto de equações 58 CIRCUITOS ELÉTRICOS Comparando o set de equações acima que são as equações do sistema a com as equações do sistema b concluímos que Com as devidas manipulações algébricas podemos definir as seguintes relações 19 20 Em que o conjunto de equações 19 transforma o sistema de Y para D enquanto o sistema de equação 20 transforma o sistema de D para Y EXEMPLO 10 baseado em Nilsson e Riedel 2015 Vamos determinar a corrente e a potência fornecida pela fonte de 40V na Figura 28 O primeiro passo é encontrar a resistência equivalente do circuito 59 CIRCUITOS ELÉTRICOS Figura 28 Circuito para o exemplo 10 Fonte Nilsson e Riedel 2015 Se utilizamos o conjunto de equações 20 e o circuito equivalente passa a ser Figura 29 Circuito modificado para o exemplo 10 Fonte Nilsson e Riedel 2015 60 CIRCUITOS ELÉTRICOS A partir do circuito modificado poderemos calcular a resistência equivalente deste através de associação série e paralelo de resistores E portanto teremos uma corrente da fonte de 05A e sua potência será de 20W 22 TÉCNICAS E ANÁLISE DE CIRCUITOS Agora que temos uma caixinha de ferramentas para simplificação de circuitos vamos adicionar o teorema da superposição e a transformação de fontes em nossas técnicas de análise que tornarão o uso da Lei de Kirchhoff mais interessante 221 Teorema da Superposição A característica linear dos circuitos resistivos estudados até o momento torna possível obter a resposta analisando apenas uma entrada fonte de cada vez O Teorema da Superposição afirma que a corrente total em qualquer ramo ou a tensão em qualquer nó de um circuito é igual à soma algébrica das correntes ou tensões produzidas por cada fonte levando em conta sua atuação separadamente Para entender o Teorema da Superposição vamos considerar o circuito da Figura 30a Este possui uma fonte de tensão e uma fonte de corrente De acordo com o Teorema da Superposição o circuito pode ser resolvido em duas etapas Na etapa 1 curtocircuitamos a fonte de tensão e resolvemos o problema da Figura 30b 61 CIRCUITOS ELÉTRICOS Na etapa 2 abrimos a fonte de corrente e resolvemos o circuito da Figura 30c Na etapa final superpomos os valores encontrados Figura 30 Teorema da superposição Fonte Elaborada pelo autor 2021 EXEMPLO 11 Inicialmente vamos resolver o problema completo da Figura 30 considerando as duas fontes e usando a LKC no nó a Pondere ainda que todas as resistências têm valor de 2W a fonte de tensão é de 10V e a fonte de corrente é de 1A Logo Se resolvermos os problemas da Figura 30b e c separadamente teremos 62 CIRCUITOS ELÉTRICOS Para o problema b Para o problema c Portanto Que são os mesmos valores do problema completo SAIBA MAIS Como você já observou a maioria dos problemas apresentados envolvem a solução de sistemas lineares O python é uma linguagem de programação inter pretada fácil de usar e com uma curva de aprendizagem altíssima Ela pode te ajudar a resolver estes e outros problemas de forma mais rápida 222 Equivalente de Thévenin e Norton Eventualmente estamos interessados em solucionar partes do circuito Nestes casos uma técnica eficaz é transformar um circuito complexo em uma fonte de tensão em série com uma resistência Deste modo variando a carga poderemos entender como 63 CIRCUITOS ELÉTRICOS funciona o circuito original O Teorema de Thévenin homenagem ao engenheiro L C Thévenin nos diz exatamente que podemos realizar tal simplificação Já o seu teorema irmão o Teorema de Norton indica que esta mesma rede complexa pode ser substituída por uma fonte de corrente em paralelo com uma resistência Observemos então a Figura 31 A Rede complexa a de acordo com o Teorema de Thévenin pode ser substituída apenas por uma fonte de tensão em série com uma resistência b enquanto isso a mesma rede complexa é substituída por uma fonte de corrente desta vez em paralelo com uma resistência c Figura 31 a Rede complexa b Equivalente de Thévenin c Equivalente de Norton Fonte Hayt Kemmerly e Durbin 2014 Os circuitos apresentados na Figura 31b e na Figura 31c podem ser transformados um no outro Considere o circuito da Figura 31b a corrente que circula pela carga é de Enquanto que para o circuito da Figura 31c a corrente que circula pela carga é de Considerando que e que os circuitos são equivalentes então as correntes que circulam por suas cargas devem ser idênticas 64 CIRCUITOS ELÉTRICOS 21 EXEMPLO 12 Consideremos um circuito com múltiplos componentes como o mostrado na Figura 32 Para ele vamos determinar o equivalente de Thévenin visto os terminais ab que simplificam todo o circuito apresentado Considere Figura 32 Circuito para o exemplo 12 Fonte Elaborada pelo autor 2021 O primeiro passo para obtermos o equivalente de Thévenin é determinar a tensão em circuito aberto que será a Tensão de Thévenin Em seguida curtocircuitar os terminais ab e calcular a corrente de curtocircuito A razão será a Resistência de Thévenin Observe que as grandezas mencionadas podem ser obtidas usando as Leis de Kirchhoff No nó a temos E ao curtocircuitar os terminais ab temos Logo o circuito da Figura 32 pode ser reduzido ao circuito da Figura 31b ou da Figura 31c com a seguinte transformação de fonte 65 CIRCUITOS ELÉTRICOS E Teorema da Máxima Transferência de Potência Considere o circuito da Figura 31b O Teorema da Máxima Transferência de Potência nos diz que se o circuito equivalente de Thévenin transferirá a máxima potência à carga Este teorema também é conhecido como casamento de resistências A potência entregue a carga é dada por Cujo o ponto de máximo pode ser obtido quando 22 E a potência máxima é dada por 23 66 CIRCUITOS ELÉTRICOS PARA SINTETIZAR Nesta unidade apresentamos técnicas importantes para simplificação de circuitos elétricos Juntamente as Leis de Kirchhoff que já aprendemos na unidade 1 a associação de resistores e transformação estrela triângulo compreendem uma importante parte de nossa caixa de ferramentas para o aprendizado de análise de circuitos Uma aplicação prática de circuitos resistivos foi apresentada através da Ponte de Wheatstone um circuito resistivo que é capaz de nos informar valores de resistências desconhecidos como os de sensores ligados a processos industriais Complementando as transformações de circuitos vimos como podemos usar o modelo estrela triângulo e viceversa para simplificação de circuitos Muitas vezes os resistores dos circuitos elétricos não estão dispostos em série e paralelo e o uso destas transformações pode ser muito útil Por fim completando nosso estudo aprendemos os circuitos equivalentes de Thévenin e Norton assim como realizar transformações de fontes 67 CIRCUITOS ELÉTRICOS EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM QUESTÃO 01 Para o circuito mostrado na imagem abaixo a tensão da fonte é indicada em Volts e a corrente em Amperes Todas as resistências estão em Ohms Determine a tensão da corrente que circula no em R3 a b c d e QUESTÃO 02 Determine as correntes de malha do circuito da figura abaixo 68 CIRCUITOS ELÉTRICOS a b c d e QUESTÃO 03 Determine o circuito equivalente de Thévenin com relação aos terminais a e b do circuito mostrado abaixo a b c d e 69 CIRCUITOS ELÉTRICOS REFERÊNCIAS DUNN W C Fundamentos de Instrumentação industrial e controle de processos 1ª ed Porto Alegre Bookman 2013 EDMINISTER J A Circuitos Elétricos 1ª ed São Paulo Mc GrawHill do Brasil 1977 HAYT W H J KEMMERLY J E DURBIN S M Análise de Circuitos em Engenharia 8ª ed Porto Alegre Mc Graw Hill 2014 JOHNSON D R HILBURN J L JOHNSON J R Fundamentos de análise de circuitos elétricos 4ª ed Rio de Janeiro PrenticeHall do Brasil 1994 MATTEDE H Capacitor Funcionamento e aplicações mundodaeletrica 2021 Disponivel em httpswwwmundodaeletricacombrcapacitorfuncionamento aplicacoes Acesso em 16 out 2021 NILSSON J W RIEDEL S A Circuitos Elétricos 10ª ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2015 PIAVA Indutor Bobina ou Solenoide ibytes 2021 Disponivel em httpswww ibytescombrfuncaoeaplicacoesdocomponentechamadodeindutorbobinaou solenoide Acesso em 16 out 2021 UNIDADE3 ELEMENTOS PASSIVOS CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM 72 CIRCUITOS ELÉTRICOS OBJETIVO DE APRENDIZAGEM Aprender sobre os indutores e capacitadores 73 CIRCUITOS ELÉTRICOS INTRODUÇÃO À UNIDADE Até agora vimos as técnicas de análise de circuitos puramente resistivos Nesta unidade apresentaremos os indutores e capacitores que também são elementos passivos porém com capacidade de armazenar e fornecer energia nos elementos ideais o fluxo de energia armazenada é igual ao fluxo de energia que depois é fornecida 31 INDUTÂNCIA Um indutor é elemento linear também passivo que se caracteriza por se opor a qualquer alteração de corrente elétrica A indutância L é a grandeza que descreve um indutor e que acaba sendo a constante de proporcionalidade entre a tensão e a variação de corrente Foi descrita inicialmente pelo cientista Michael Faraday e pelo inventor Joseph Henry o qual dá nome a unidade da indutância H Esta relação é apresentada na Figura 33 e na equação 24 Figura 33 Representação do indutor Fonte Elaborada pelo autor 2021 24 74 CIRCUITOS ELÉTRICOS O indutor que pode ser descrito pela equação 24 é um componente ideal Na prática existem perdas resistivas no indutor pois construtivamente este é construído através de cabos enrolados em formato de bobina que necessariamente possuem uma resistência como mostrado na Figura 34 Figura 34 Indutor real Fonte Piava 2021 Analisando a equação 24 podemos fazer duas constatações importantes a primeira é que se a corrente for constante a tensão em cima do indutor é nula ou seja o indutor comportase como um curtocircuito quando submetido à corrente contínua A segunda constatação é que quanto mais rápido variar maior será a tensão logo a corrente não pode variar instantaneamente Se isto fosse possível então EXEMPLO 13 No circuito abaixo vamos determinar a tensão e a corrente nos terminais do indutor Considere Que graficamente pode ser representada por 75 CIRCUITOS ELÉTRICOS Figura 35 Corrente da fonte Fonte Elaborada pelo autor 2021 Figura 36 Circuito para o exemplo 13 Fonte Elaborada pelo autor 2021 Em que e De acordo com a equação 24 A tensão no indutor vai se comportar da seguinte forma 76 CIRCUITOS ELÉTRICOS Figura 37 Tensão no indutor Fonte Elaborada pelo autor 2021 Percebese que o ponto de máximo de ou seja que Neste ponto temos a inversão de polaridade de Assim enquanto por outro lado quando temos A curva de é assintótica em 0 atingindo este valor apenas no infinito logo após 01s a tensão no indutor também é assintótica atingindo o 0V apenas no infinito A corrente de um indutor também pode ser expressa em função da tensão Para tal devemos integrar os dois lados da equação 24 25 Portanto para descrever completamente o comportamento da tensão no indutor ao longo do tempo fazse necessário conhecer a tensão no momento EXEMPLO 14 Vamos analisar a corrente em um indutor submetido a uma tensão 77 CIRCUITOS ELÉTRICOS Figura 38 Tensão da fonte Fonte Elaborada pelo autor 2021 Figura 39 Circuito para o exemplo 14 Fonte Elaborada pelo autor 2021 A resolução desta integral por partes adicionado de resultará em Através da Figura 40 verificase que a tensão no indutor não varia instantaneamente 78 CIRCUITOS ELÉTRICOS Figura 40 Corrente no indutor Fonte Elaborada pelo autor 2021 A relação entre potência e energia em um indutor será obtida diretamente do produto entre tensão e corrente ou seja 26 Como a potência é a taxa e variação da energia no tempo então E portanto 27 EXEMPLO 15 baseado em Hayt Kemmerly e Durbin 2014 Vamos calcular a energia armazenada a quantidade que será dissipada e depois recuperada no indutor da Figura 41 79 CIRCUITOS ELÉTRICOS Figura 41 Circuito para o exemplo 15 Fonte Hayt Kemmerly e Durbin 2014 Para o circuito acima a energia armazenada no indutor é dada por Figura 42 Energia no indutor Fonte Elaborada pelo autor 2021 Em a energia armazenada é nula e em a energia armazenada é máxima 216 J A energia é totalmente dissipada três segundos depois A potência dissipada no resistor pode ser calculada por 80 CIRCUITOS ELÉTRICOS E a energia convertida em calor em um intervalo de seis segundos é de Ou seja para armazenar 216J no indutor 432J são gastos para dissipar a potência no resistor Neste momento entendemos que os indutores reais possuem uma eficiência no processo de armazenamento de energia uma vez que alguma potência é dissipada por calor na resistência intrínseca dele Em indutores reais esta eficiência de conversão é de aproximadamente 97 32 CAPACITÂNCIA Outro elemento passivo e linear importante é o capacitor que é definido pela capacitância e medida em Faraday F Idealmente a capacitância vai relacionar a corrente no capacitor com variação de tensão A simbologia do capacitor e sua representação analítica é apresentada na Figura 43 Figura 43 Representação do capacitor Fonte Elaborada pelo autor 2021 28 81 CIRCUITOS ELÉTRICOS Observando a equação acima chegamos a duas constatações a primeira que se a tensão no capacitor for constante não haverá corrente circulante por ele ou seja em corrente contínua o capacitor se comporta como um circuito aberto Outra questão importante é que a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente Caso isto ocorra significa uma corrente infinita O capacitor pode ser descrito pela equação 28 como um componente ideal Na prática existem perdas resistivas pois construtivamente este elemento é composto de um dielétrico que possui uma permissividade finita Alguns tipos de capacitores comerciais são mostrados na Figura 44 Figura 44 Capacitor real Fonte Mattede 2021 A tensão no capacitor integrando a equação 28 é dada por 29 A potência assim como no caso do indutor é obtida do produto entre tensão e corrente logo 30 82 CIRCUITOS ELÉTRICOS 31 Já a energia ocorre pela variação da potência no tempo em que 32 EXEMPLO 16 baseado em Nilsson e Riedel 2015 Dado o circuito abaixo cujo capacitor é de 05 mF determine a corrente potência e energia do capacitor A corrente no capacitor pode ser obtida pela equação 28 ou seja A potência é obtida da equação 31 E a energia é obtida da equação 32 83 CIRCUITOS ELÉTRICOS Os gráficos abaixo representam as grandezas do exemplo 16 Figura 45 Tensão e Corrente no Capacitor Fonte Nilsson e Riedel 2015 Figura 46 Potência e Energia no Capacitor Fonte Nilsson e Riedel 2015 33 ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES E CAPACITORES Vimos que os resistores indutores e capacitores associados em série eou paralelo podem ser reduzidos a um único elemento equivalente Vejamos inicialmente o caso dos indutores em série como mostra a Figura 47 Figura 47 Associação de indutores em série Fonte Elaborada pelo autor 2021 84 CIRCUITOS ELÉTRICOS No caso exposto pela Lei de Kirchhoff a soma das tensões nos indutores deve ser igual a zero Portanto se Então Assim a indutância equivalente de n indutores associados em série é dada por 33 Para indutores associados em paralelo como os apresentados na Figura 48 a corrente total é igual ao somatório das correntes em todos os outros indutores e a tensão é a mesma em todos eles Figura 48 Associação de indutores em paralelo Fonte Elaborada pelo autor 2021 Portanto a corrente total é 85 CIRCUITOS ELÉTRICOS E 34 Capacitores ligados em série também podem ser combinados de modo a termos uma capacitância equivalente Analisemos a Figura 49 Figura 49 Associação de capacitores em série Fonte Elaborada pelo autor 2021 A tensão portanto Capacitores associados em série são obtidos pela expressão 35 Por fim capacitores associados em paralelo como mostrado na Figura 50 têm sua capacitância equivalente dada pela soma das capacitâncias em paralelo 86 CIRCUITOS ELÉTRICOS Figura 50 Associação de capacitores em paralelo Fonte Elaborada pelo autor 2021 E por fim 36 34 INDUTÂNCIA MÚTUA Quando dois indutores estão muito próximos o campo magnético de um poderá concatenar as bobinas do outro e viceversa Neste caso a tensão no primeiro indutor poderá estar relacionada à variação da corrente no segundo indutor Chamaremos de Autoindutância L aquela que é particular ao indutor e 87 CIRCUITOS ELÉTRICOS chamaremos de Indutância Mútua M este acoplamento que existe entre dois ou mais A Figura 51 apresenta dois indutores acoplados magneticamente Figura 51 Enrolamentos acoplados magneticamente Fonte Nilsson e Riedel 2015 A tensão induzida no indutor 2 poderá ser relacionada com a variação da corrente no tempo do indutor 1 A seta adjacente de duas pontas na letra M indica que existe um acoplamento magnético entre o indutor 1 e o indutor 2 Quando houver mais de um indutor com acoplamento magnético no circuito esta informação será mais preciosa O ponto nos indutores indica a forma construtiva de como o indutor foi bobinado Pela regra da mão direita a mesma corrente pode criar campos magnéticos em oposição a depender do sentido de bobinagem Portanto o ponto do indutor vai nos dizer se a conexão da indutância mútua vai gerar um efeito aditivo ou subtrativo no campo magnético em relação ao campo da autoindutância No caso apresentado da Figura 51 a corrente entra no ponto de e a corrente sai no ponto de Usando a LKT temos 88 CIRCUITOS ELÉTRICOS IMPORTANTE Quando ambas as correntes entram ou saem pelo terminal com o ponto o sinal de M será igual ao sinal de L Se uma corrente entra pelo terminal com ponto e a outra corrente sai pelo terminal com ponto então L e M terão sinais diferentes EXEMPLO 17 baseado em Nilsson e Riedel 2015 Vamos determinar as equações das correntes de malha para o circuito acoplado magneticamente da Figura 52 Figura 52 Circuito para o exemplo 17 Fonte Nilsson e Riedel 2015 Para malha 1 temos Para malha 2 temos 89 CIRCUITOS ELÉTRICOS 35 RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITO RL E RC DE PRIMEIRA ORDEM A resposta natural de um circuito é aquela que surge quando a excitação fonte é retirada Esta resposta existe de acordo com a capacidade dos indutores e capacitores armazenarem energia Os sistemas de primeira ordem são aqueles que possuem apenas um elemento de armazenamento de energia Em nossa análise iniciaremos pelo circuito RL Resistivo Indutivo A Figura 53 apresenta um circuito RL sem fontes Figura 53 Circuito RL sem fonte Fonte Elaborada pelo autor 2021 Supondo que no instante a energia acumulada no indutor seja então Usando a LKT temos 90 CIRCUITOS ELÉTRICOS 37 A qual pode ser definida como uma Equação Diferencial Ordinária EDO de Primeira Ordem Uma das formas de resolver a equação 37 é por separação de variáveis logo A constante de integração deve ser escolhida de tal forma que a condição inicial de seja satisfeita Para tanto Substituindo na solução temos 91 CIRCUITOS ELÉTRICOS Logo a resposta natural da corrente no tempo é 38 A tensão no resistor é igual a tensão no indutor então 39 A tensão no indutor ainda pode ser calculada usando a definição Na nossa convenção devemos usar a corrente que entra no indutor então Outro modo de calcular esta tensão é usando a LKC relacionando o nó que une L e R em que temos Derivando esta equação no tempo Resolvendo esta EDO teremos 92 CIRCUITOS ELÉTRICOS Em que A resposta natural de um circuito RL é apresentado a seguir Figura 54 Resposta Natural do Circuito RL Fonte Elaborada pelo autor 2021 Em sistemas de armazenamento de energia será útil entendermos o quão rápido esta energia se dissipa No circuito da Figura 54 a energia do indutor pode ser obtida pela equação 27 Se o tempo de análise for suficientemente longo toda a energia acumulada no indutor será dissipada no resistor logo 93 CIRCUITOS ELÉTRICOS Como mencionado a energia dissipada no resistor será igual a energia inicialmente acumulada no indutor A velocidade com que ela é dissipada vai depender da constante de tempo que para circuitos RL é igual a Neste sentido a equação 38 pode ser reescrita como 40 Os Gráficos da Figura 54 mostram três situações e Perceba que quanto maior o valor de da razão mais lento é o decaimento da corrente e analogamente quando menor é o valor de mais rápido ocorre o decaimento da corrente Ao final de uma constante de tempo a corrente terá reduzido a 37 do valor inicial Ao final de cinco constantes de tempo a corrente terá reduzido a 06 do valor inicial Portanto é razoável adotarmos que depois de cinco constantes de tempo a corrente já não exista no circuito EXEMPLO 18 Vamos determinar a corrente e a tensão no circuito RL a partir do momento em que a chave é aberta em Figura 55 Circuito para o exemplo 18 Fonte Elaborada pelo autor 2021 94 CIRCUITOS ELÉTRICOS Percebese que antes da chave ser fechada o Resistor R2 estava em curtocircuito pois em regime permanente um indutor comportase como um curtocircuito quando submetido a uma corrente contínua A corrente do condutor é calculada por Como já sabemos a corrente no indutor não muda instantaneamente por isso no momento que a chave é aberta a corrente no indutor é Para o novo circuito após a chave ser aberta E usando a equação 40 temos A tensão no Resistor 2 como Ou simplesmente Analogamente um circuito resistivo capacitivo ou circuito RC também é capaz de acumular energia de acordo com a equação 32 Para o circuito abaixo vamos determinar e para aplicando a LKC no nó que une R e C 95 CIRCUITOS ELÉTRICOS Figura 56 Circuito RC sem fonte Fonte Elaborada pelo autor 2021 No instante a energia acumulada do capacitor é de E usando a LKC encontramos Calculando a integral de cada lado semelhantemente ao que já fizemos para o caso do circuito RL 96 CIRCUITOS ELÉTRICOS Em que é a constante de integração Mais uma vez deve ser escolhido de tal forma que Portanto Que com algumas manipulações chegamos em 41 A corrente pode ser calculada como 42 A constante de tempo do circuito RC é dada por e a equação 41 pode ser reescrita como 43 A energia total dissipada no resistor deverá ser igual a energia inicialmente acumulada no capacitor e mais uma vez a velocidade em que esta potência é dissipada no circuito vai depender da constante e tempo A potência dissipada no resistor é de 97 CIRCUITOS ELÉTRICOS E a energia EXEMPLO 19 No circuito abaixo que estava em regime permanente vamos calcular tensão corrente e a energia dissipada no resistor após a chave ser aberta e Figura 57 Circuito para o exemplo 19 Fonte Elaborada pelo autor 2021 Em regime o capacitor se comporta como um circuito aberto logo a tensão no capacitor será de A constante de tempo deste circuito é de e a tensão no capacitor após a chave ser aberta com o auxílio da equação 43 pode ser escrita como 98 CIRCUITOS ELÉTRICOS Já a corrente no resistor E a potência dissipada no resistor 36 RESPOSTA AO DEGRAU DE CIRCUITO RL E RC DE PRIMEIRA ORDEM Na seção anterior consideramos um circuito sem fontes e entendemos a resposta natural dele Nesta etapa vamos estudar circuitos que ainda com uma energia inicial armazenada são submetidos a uma excitação adicional Para iniciar nossa análise vamos considerar o exemplo da Figura 58 Figura 58 Circuito RL com fonte Fonte Nilsson e Riedel 2015 99 CIRCUITOS ELÉTRICOS Em nossa análise consideraremos que já existe uma energia inicialmente armazenada no indutor Em quando a chave é fechada temos Que ao ser rearranjada resulta em Integrando dos dois lados da equação A constante de integração é obtida conhecendo o valor de Semelhantemente aos passos que já fizemos anteriormente 44 100 CIRCUITOS ELÉTRICOS Que é a resposta ao degrau de de tensão no circuito apresentado Se a energia inicial no indutor é nula então 45 Desmembrando a equação 44 temos Percebese que o termo corresponde à resposta natural do sistema equação 38 A equação 45 nos diz que após o fechamento da chave no momento que o circuito é excitado a corrente aumenta exponencialmente do zero a equação pressupõe que não há armazenamento inicial de energia até seu valor final Mais uma vez a constante de tempo vai indicar a velocidade com que isto ocorre Se a corrente já atingiu 6321 do valor final A tensão nos terminais do indutor pode ser obtida diretamente da LKT Para o caso em que a energia inicial no indutor é nula temos A corrente e a tensão no indutor podem ser vistas nos gráficos abaixo 101 CIRCUITOS ELÉTRICOS Figura 59 Resposta ao degrau de circuito RL Fonte Nilsson e Riedel 2015 EXEMPLO 20 baseado em Nilsson e Riedel 2015 Vamos determinar a resposta ao degrau do circuito RL abaixo Figura 60 Circuito para o exemplo 20 Fonte Nilsson e Riedel 2015 Inicialmente a chave está na posição a Deste modo vamos calcular as condições de regime permanente Perceba que após um longo tempo com a chave na posição a o indutor acaba curtocircuitando o resistor Logo a corrente é dada por 102 CIRCUITOS ELÉTRICOS Após a mudança da posição da chave podemos aplicar a LKT Seguindo os mesmos passos já mostrados no início desta seção podemos chegar na equação 44 A tensão nos terminais do indutor é de No caso de um circuito RC como mostra a Figura 61 após o fechamento da chave e usando LKC temos que a equação nodal seria Figura 61 Circuito RL com fonte Fonte Johnson Hilburn e Johnson 1994 103 CIRCUITOS ELÉTRICOS Mais uma vez vamos resolver esta EDO por separação de variáveis Integrando dos dois lados Em t0 E portanto Que resulta em 46 104 CIRCUITOS ELÉTRICOS Se a tensão inicial no capacitor é nula ou seja se está completamente descarregado então EXEMPLO 21 baseado em Nilsson e Riedel 2015 Vamos determinar a resposta ao degrau do circuito RC abaixo Figura 62 Circuito para exemplo 20 Fonte Adaptada pelo autor 2021 a partir de Nilsson e Riedel 2015 Inicialmente a chave está na posição 1 Deste modo vamos calcular as condições de regime permanente Perceba que após um longo tempo com a chave na posição 1 o capacitor acaba se comportando como um circuito aberto Portanto a tensão no capacitor será a mesma que no resistor de 60kW Logo usando a fórmula do divisor de tensão a tensão no capacitor é dada por Após a mudança da posição da chave podemos aplicar a LKC De acordo com a equação 46 105 CIRCUITOS ELÉTRICOS E a corrente no capacitor será de DICA Na análise de circuitos RL e RC plotar os gráficos das respostas poderá ser interessante para consolidar o entendimento do problema que está sendo resolvi do A sugestão é que estes gráficos sejam feitos no python O conhecimento de uma linguagem de programação vai te abrir um leque de oportunidades 106 CIRCUITOS ELÉTRICOS PARA SINTETIZAR Nesta unidade expandimos de forma significativa nossos horizontes em análise de circuitos ao introduzir o conceito de dois elementos importantes que assim como os resistores também são passivos mesmo que com capacidade de armazenar energia o indutor e o capacitor Vimos como realizar associação destes componentes e estudamos seu comportamento Foi observado que as Leis de Kirchhoff tão aplicadas para circuitos resistivos são validas também para estes novos elementos Verificamos ainda o comportamento de circuitos elétricos com indutores e capacitores estudando com profundidade sua resposta natural aquela em que a excitação é completamente retirada do circuito e o elemento tem a liberdade de dissipar sua energia normalmente em um resistor Vimos como controlar esta velocidade de dissipação alterando apenas os parâmetros que compõem a constante de tempo Por último estudamos a resposta dos circuitos RC e RL ao degrau de tensão e de corrente e analisamos o comportamento destes na presença de uma excitação constante 107 CIRCUITOS ELÉTRICOS EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM QUESTÃO 01 Um pulso de corrente triangular é aplicado a um capacitor de que estava descarregado O pulso é descrito pela equação Deduza as expressões para tensão potência e energia do capacitor a b 109 CIRCUITOS ELÉTRICOS QUESTÃO 02 O circuito abaixo está em regime permanente em Calcule para a b c d e QUESTÃO 03 No circuito abaixo determine a tensão em a 96V b 1299V c 96V d 1299V e 24V 110 CIRCUITOS ELÉTRICOS REFERÊNCIAS DUNN W C Fundamentos de Instrumentação industrial e controle de processos 1ª ed Porto Alegre Bookman 2013 EDMINISTER J A Circuitos Elétricos 1ª ed São Paulo Mc GrawHill do Brasil 1977 HAYT W H J KEMMERLY J E DURBIN S M Análise de Circuitos em Engenharia 8ª ed Porto Alegre Mc Graw Hill 2014 JOHNSON D R HILBURN J L JOHNSON J R Fundamentos de análise de circuitos elétricos 4ª ed Rio de Janeiro PrenticeHall do Brasil 1994 MATTEDE H Capacitor Funcionamento e aplicações mundodaeletrica 2021 Disponivel em httpswwwmundodaeletricacombrcapacitorfuncionamento aplicacoes Acesso em 16 out 2021 NILSSON J W RIEDEL S A Circuitos Elétricos 10ª ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2015 PIAVA Indutor Bobina ou Solenoide ibytes 2021 Disponivel em httpswww ibytescombrfuncaoeaplicacoesdocomponentechamadodeindutorbobinaou solenoide Acesso em 16 out 2021 UNIDADE4 ELEMENTOS PASSIVOS CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM 112 CIRCUITOS ELÉTRICOS OBJETIVO DE APRENDIZAGEM Aprender sobre os circuitos de segunda ordem 113 CIRCUITOS ELÉTRICOS INTRODUÇÃO À UNIDADE Na unidade anterior estudamos a resposta natural comportamento do circuito elétrico após a retirada da excitação e a resposta ao degrau também conhecida como resposta forçada comportamento do circuito elétrico após um instante com fontes presentes de circuitos elétricos RL e RC Nesta unidade estudaremos a resposta natural ao degrau de circuitos com dois elementos acumuladores de energia Portanto estaremos interessados na solução de equações diferenciais de segunda ordem Circuitos de segunda ordem estão presentes em uma gama de aplicações como osciladores e filtros de sinais e controladores de temperatura HAYT KEMMERLY e DURBIN 2014 41 RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITO RLC DE SEGUNDA ORDEM Existem dois tipos básicos de circuitos elétricos o circuito RLC série o RLC paralelo Começaremos nossos estudos analisando a resposta natural do circuito RLC paralelo abaixo Figura 63 Circuito RLC paralelo Fonte Elaborada pelo autor 2021 114 CIRCUITOS ELÉTRICOS Para entendermos o circuito acima consideramos no caso mais geral que a tensão inicial no capacitor é enquanto a corrente inicial no indutor é Aqui vamos usar a LKC 47 Derivando a equação 47 em temos 48 Como é possível observar agora temos uma equação diferencial de segunda ordem para resolver Existem várias formas de solução da EDO de segunda ordem acima Aqui usaremos o método mais direto para solução vejamos Vamos admitir que a solução da EDO acima seja do tipo Em que e podem ser inclusive números complexos Derivando a equação acima duas vezes e substituindo na equação 48 teremos E 115 CIRCUITOS ELÉTRICOS Isolando 49 Perceba que para a equação 49 ser satisfeita pode assumir dois valores 50 51 Que são chamados de frequências complexas Portanto temos duas possíveis soluções em função destas frequências complexas E Como as equações são lineares também é solução da EDO logo 52 Que é a resposta natural do circuito mostrado na Figura 63 restandonos agora descobrir os valores de e que devem ser obtidos através das condições de contorno do problema Em temos logo 116 CIRCUITOS ELÉTRICOS Portanto 53 A definição da corrente no capacitor nos diz que E pela LKC temos Que em 54 E resolvendo o sistema linear composto pelas equações 53 e 54 obtemos os valores de e A definição de algumas grandezas vai nos ajudar a simplificar e melhorar o entendimento da equação 52 Ao analisarmos as equações 50 e 51 devemos ter em mente que os temos e são dados em segundo1 pois e são os itens que multiplicam na resposta natural equação 52 Logo vamos definir a frequência de ressonância como 55 Já o coeficiente de amortecimento exponencial nos diz o quão rápido a resposta natural vai decair até seu valor final É calculada como 117 CIRCUITOS ELÉTRICOS 56 Portanto as equações 50 e 51 podem ser reescritas como 57 58 EXEMPLO 22 Na Figura 63 consideremos e vamos estudar a resposta do sistema Quando as duas raízes do problema são reais e diferentes dizemos que a resposta do circuito é superamortecida ver Figura 64 Precisamos agora resolver o sistema composto pelas equações 53 e 54 para definir e 118 CIRCUITOS ELÉTRICOS Portanto a resposta completa é dada por Que graficamente pode ser visualizada na Figura 64 Figura 64 Resposta superamortecida de circuito RLC paralelo Fonte Elaborada pelo autor 2021 Se alterarmos o valor da Resistência para teremos 119 CIRCUITOS ELÉTRICOS Quando as duas raízes do problema são complexas dizemos que a resposta do circuito é subamortecida ver Figura 65 No caso e foram obtidos das equações 57 e 58 em que Quando então terá raízes complexas e a frequência angular amortecida é definida como 59 E pode ser reescrita como Já a resposta subamortecida pode ser reescrita com as seguintes manipulações algébricas 120 CIRCUITOS ELÉTRICOS Manipulado algebricamente Relembrando que E Portanto 60 Que é uma forma muito usada para descrever a resposta natural para circuitos subamortecidos Perceba que a equação 52 continua completamente válida e vamos usála para encontrar os valores de e Portanto a resposta completa é dada por 121 CIRCUITOS ELÉTRICOS Que graficamente pode ser visualizada na Figura 65 Figura 65 Resposta subamortecida de circuito RLC paralelo Fonte Elaborada pelo autor 2021 Se ao invés de buscarmos os valores de e nós desenvolvermos a nossa resposta em função de e usando e equação 60 teremos E Em logo 122 CIRCUITOS ELÉTRICOS Para encontrar Derivando Em Então E a equação 60 pode ser reescrita como Agora vamos mais uma vez mudar o valor da Resistência Considere agora que Para este caso temos 123 CIRCUITOS ELÉTRICOS Quando as duas raízes do problema são iguais dizemos que a resposta do circuito é criticamente amortecida Neste caso a equação 52 pode ser escrita como 61 Em que pode não satisfazer as duas condições iniciais Portanto em EDOs com raízes iguais a solução completa toma a seguinte forma 62 Em temos Derivando 124 CIRCUITOS ELÉTRICOS E Para o caso estudado a equação de pode ser escrita como E representada graficamente através da Figura 66 Figura 66 Resposta criticamente amortecida de circuito RLC paralelo Fonte Elaborada pelo autor 2021 Como observado no exemplo 22 a resposta natural do circuito pode ter três características superamortecida subamortecida e criticamente amortecida Cada tipo tem características importantes que estão sintetizadas na Tabela 2 125 CIRCUITOS ELÉTRICOS Tabela 2 Tipos de Respostas para Circuitos de Segunda Ordem SUPERAMORTECIDA SUBAMORTECIDA CRITICAMENTE AMORTECIDA Fonte Elaborada pelo autor 2021 Na Figura 67 os três amortecimentos são mostrados no mesmo gráfico para que o leitor possa analisar algumas características um sistema superamortecido demora a atingir sua condição de regime permanente e o descarregamento de energia é mais lento Um sistema subamortecido é um sistema oscilatório na frequência angular de amortecimento que decai através de sua constante de amortecimento Já um sistema criticamente amortecido atinge sua condição de regime rapidamente Figura 67 Tipos de amortecimentos para circuito RLC paralelo Fonte Elaborada pelo autor 2021 126 CIRCUITOS ELÉTRICOS Agora vamos estudar a resposta natural de um circuito RLC série Considerando a familiaridade com as EDOs de segunda ordem a análise apresentada a seguir é menos detalhada Observe o circuito da Figura 68 Figura 68 Circuito RLC série Fonte Elaborada pelo autor 2021 De acordo com a LKT a equação da malha é 63 Derivando a equação 64 Comparando com a equação 48 verificase que tudo que já foi discutido até o momento se aplica diretamente ao circuito RLC série a saber 127 CIRCUITOS ELÉTRICOS O coeficiente de amortecimento exponencial é levemente diferente 65 E todas as demais equações continuam válidas Para o caso superamortecido 66 Para o caso subamortecido 67 Em que Já o caso criticamente amortecido 68 Um aumento de no circuito paralelo ou no circuito série leva à resposta sobre amortecida Um aumento da resistência no circuito paralelo leva a uma redução de e um aumento da resistência no circuito série leva a um aumento de Portanto no circuito série um aumento de conduz ao super amortecimento enquanto no circuito paralelo um aumento da resistência leva ao subamortecimento 128 CIRCUITOS ELÉTRICOS 42 RESPOSTA AO DEGRAU DE CIRCUITO RLC DE SEGUNDA ORDEM O desenvolvimento da resposta ao degrau como já visto no circuito RL e RC de primeira ordem significa a análise do circuito na presença de fontes de tensão eou de corrente com ou sem energia armazenada inicialmente Para a análise da resposta ao degrau vamos considerar o circuito apresentado na Figura 69 Figura 69 Circuito RLC paralelo com fonte Fonte Elaborada pelo autor 2021 Se no instante a chave é aberta então de acordo com a LKC teremos 69 Como já sabemos Substituindo na equação 69 temos 129 CIRCUITOS ELÉTRICOS Que com algumas manipulações 70 Ao compararmos a equação 70 com a equação 48 notamos uma diferença o temo independente A abordagem direta do problema nos diz que a solução completa dele pode ser escrita como uma soma entre a resposta natural aquela sem a fonte e a resposta forçada portanto 71 Ou 72 A seguir vamos demonstrar o que acabamos de inferir Derivando a equação 69 temos Como então Cujas soluções possíveis nós já conhecemos 130 CIRCUITOS ELÉTRICOS Para determinar as soluções possíveis para substituímos as equações acima em 69 Deste modo para solução superamortecida por exemplo teremos a solução Em que E Que ao ser manipulada algebricamente resulta em 73 Repetindo o procedimento para a solução subamortecida e criticamente amortecida temos 74 75 EXEMPLO 23 baseado em Nilsson e Riedel 2015 Considere os seguintes valores para os elementos do circuito apresentado na Figura 69 Considere que não há energia armazenada no circuito antes da chave ser aberta em Vamos determinar o valor de a b c e além 131 CIRCUITOS ELÉTRICOS da expressão de d Como não há energia armazenada no indutor a corrente antes da abertura da chave é nula Já vimos que a corrente no induto não varia instantaneamente logo 0 A tensão inicial do capacitor é igual a tensão inicial do indutor pois os circuitos estão em paralelo Não há energia inicial armazenada no capacitor e a tensão no capacitor não varia instantaneamente Logo 0 Logo Pelos elementos do circuito já sabemos que Logo Portanto como as raízes são reais e diferentes temos uma resposta superamortecida do tipo 76 77 Resolvendo o sistema formado pelas equações 76 e 77 concluímos que 132 CIRCUITOS ELÉTRICOS e Logo Se o resistor for aumentado para teremos agora duas raízes complexas E Se reduzirmos o valor do resistor teremos duas raízes iguais e a resposta será criticamente amortecida Neste caso O gráfico das três soluções é mostrado abaixo Figura 70 Respostas de circuito RLC paralelo com fonte Fonte Elaborada pelo autor 2021 133 CIRCUITOS ELÉTRICOS IMPORTANTE Analisando a Figura 70 percebemos que na resposta criticamente amortecida em um dado momento a corrente do indutor supera a própria corrente de fonte Isto se deve à troca de energia entre indutor e capacitor Esta sobrecorrente é conhecida como overshooting e pode ser danosa aos equipamentos ou levar sistemas à condi ções de instabilidade Vamos analisar a resposta completa no caso do circuito RLC série Usaremos os mesmos procedimentos já aprendidos até o momento Para tal considere o circuito da Figura 71 Figura 71 Respostas de circuito RLC série com fonte Fonte Elaborada pelo autor 2021 De acordo com a LKT E como já sabemos a corrente no capacitor é dada por 134 CIRCUITOS ELÉTRICOS E Portanto 78 Cujas respostas superamortecida subamortecida e criticamente amortecida poderão ser escritas respectivamente como 79 80 81 135 CIRCUITOS ELÉTRICOS PARA SINTETIZAR Nesta unidade estudamos a resposta do um circuito RLC paralelo e série natural quando não temos fontes associadas ao circuito e ao degrau de tensão ou corrente que é a resposta do circuito na presença de fontes Verificamos que existem três tipos de respostas a depender das raízes da equação característica Estas respostas podem ser do tipo superamortecida quando temos duas raízes reais e diferentes subamortecida quando temos duas raízes complexas e criticamente amortecida quando temos duas raízes iguais Vimos inclusive que a natureza desta resposta vai depender da combinação dos parâmetros do circuito RLC Ao estudarmos a resposta forçada ou ao degrau vimos que a natureza da resposta é semelhante à resposta natural acrescida da influência das fontes Apresentamos também um set de equações que nos ajudará a resolver os problemas RLC de segunda ordem série ou paralelo 136 CIRCUITOS ELÉTRICOS EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM QUESTÃO 01 Em um circuito RLC sem fontes em que calcule de modo que o circuito seja superamortecido com subamortecido com e com amortecimento a 250 H 32 H 4 H b 250 H 32 H 2 H c 533 H 68 H 2 H d 533 H 68 H 4 H e 533 H 32 H 4 H QUESTÃO 02 Determine em a b c d e 137 CIRCUITOS ELÉTRICOS QUESTÃO 03 Calcule para no circuito abaixo considerando que este estava em regime permanente a b c d e 138 CIRCUITOS ELÉTRICOS REFERÊNCIAS DUNN W C Fundamentos de Instrumentação industrial e controle de processos 1ª ed Porto Alegre Bookman 2013 EDMINISTER J A Circuitos Elétricos 1ª ed São Paulo Mc GrawHill do Brasil 1977 HAYT W H J KEMMERLY J E DURBIN S M Análise de Circuitos em Engenharia 8ª ed Porto Alegre Mc Graw Hill 2014 JOHNSON D R HILBURN J L JOHNSON J R Fundamentos de análise de circuitos elétricos 4ª ed Rio de Janeiro PrenticeHall do Brasil 1994 MATTEDE H Capacitor Funcionamento e aplicações mundodaeletrica 2021 Disponivel em httpswwwmundodaeletricacombrcapacitorfuncionamento aplicacoes Acesso em 16 out 2021 NILSSON J W RIEDEL S A Circuitos Elétricos 10ª ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2015 PIAVA Indutor Bobina ou Solenoide ibytes 2021 Disponivel em httpswww ibytescombrfuncaoeaplicacoesdocomponentechamadodeindutorbobinaou solenoide Acesso em 16 out 2021