Lista de Exercícios - Cálculo II - Funções de Várias Variáveis

1 Lista 7 Cálculo II 20221º semestre Cursos Engenharia de Produção Engenharia da Computação e Engenharia Civil Professora Odete Baes 1 Obter a lei da função de duas ou três variáveis que determinar a A quantidade de papel de parede para revestir as paredes laterais de um reservatório no formato de paralelepípedo medindo 𝑥 metros de largura 𝑦 metros de comprimento e 𝑧 metros de altura b A distância entre os pontos 𝑅𝑥 𝑦 𝑧 e 𝑆𝑚 𝑛 𝑝 c O volume de água necessária para encher uma piscina na forma de um cilindro circular reto que mede 2𝑥 metros de diâmetro e 𝑦 metros de altura d A quantidade de arame para cercar um terreno retangular que mede 𝑎 metros de largura e 𝑏 metros de comprimento 2 Obter o valor da função 𝑓 nos pontos indicados a 𝑓𝑥 𝑦 9 𝑥2 𝑦2 00 21 0 2 b 𝑓𝑥 𝑦 2𝑦 𝑥2 14 4 3 20 c 𝑓𝑥 𝑦 𝑥3 𝑦 75 32 03 d 𝑓𝑥 𝑦 2𝑥𝑦 𝑦2𝑥 11 01 33 3 Considere que 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 32 𝑥2 4 𝑦2 𝑧2 9 fornece a temperatura na região do espaço que é limitada pelo elipsoide 𝑥2 4 𝑦2 𝑧2 9 1 a Em que ponto a temperatura é a mais alta possível b Uma partícula que se afasta da origem sobre o eixo𝑦 sofrerá aumento ou diminuição de temperatura c Em que ponto a temperatura apresenta o menor valor 2 4 Obtenha o domínio das funções seguintes a 𝒇𝒙 𝒚 𝒛 𝒙𝟐 𝒚 𝒛 b 𝒇𝒙 𝒚 𝒛 𝒚𝟑𝒔𝒆𝒏𝒛 𝒄𝒐𝒔 𝒚 𝒛𝒙𝟐 c 𝒇𝒙 𝒚 𝟕𝒙𝒚 𝒙𝟐 𝒚𝟓 d 𝑓𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑥𝑦 5 Obter o valor de 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑦2𝑠𝑒𝑛𝑧 𝑦𝑧 𝑙𝑛 𝑥 nos pontos 11 𝜋 2 𝑒2 2 𝜋 6 𝜋 00 RESPOSTAS 1 a 𝐴 2𝑥𝑧 2𝑦𝑧 b 𝑇 𝑚 𝑥2 𝑛 𝑦2 𝑝 𝑧 2 c 𝑉 𝜋𝑥2𝑦 d 𝑄 2𝑎 2𝑏 2 a 𝑓00 3 𝑓21 2 𝑓0 2 5 b 𝑓14 7 𝑓4 3 22 𝑓20 4 c 𝑓75 2 𝑓32 0 𝑓03 1 d 𝑓11 2 𝑓01 0 𝑓33 2 3 a na origem 0 0 0 b diminuição c sobre a superfície do elipsoide 4 a 𝑥 𝑦 𝑧 𝑅3 𝑧 𝑦 𝑥2 b 𝑥 𝑦 𝑧 𝑅3 𝑧 𝑥2 c 𝑅2 d 𝑥 𝑦 𝑅2 𝑦 𝑥 5 𝑓 11 𝜋 2 1 𝑓 𝑒2 2 𝜋 6 2𝑒2 2𝜋 3 𝑓𝜋 00 0 1 Exercício 3 Lista 7 Considere que 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 32 𝑥2 4 𝑦2 𝑧2 9 fornece a temperatura na região do espaço limitada pelo elipsoide 𝑥2 4 𝑦2 𝑧2 9 1 a Em que ponto a temperatura é a mais alta possível b Uma partícula que se afasta da origem sobre o eixo𝑦 sofrerá aumento ou diminuição de temperatura c Em que ponto a temperatura apresenta o menor valor possível Dica 1 A região do espaço delimitada pelo elipsoide 𝑥2 4 𝑦2 𝑧2 9 1 é formada por todos os pontos que estão no elipsoide e também todos os pontos que estão dentro do elipsoide Assim em cada ponto 𝑥 𝑦 𝑧 no elipsoide ou dentro do elipsoide a temperatura é dada por 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 32 𝑥2 4 𝑦2 𝑧2 9 Dica 2 Representação geométrica do elipsoide 2 O elipsoide tem a forma de uma bola de futebol americano O elipsoide é somente a casca bem fina da bola de futebol americano O elipsoide intercepta o eixo𝑥 fazendo 𝑦 𝑧 0 na equação do elipsoide em 𝑥 2 O elipsoide intercepta o eixo𝑦 fazendo 𝑥 𝑧 0 na equação do elipsoide em 𝑦 1 O elipsoide intercepta o eixo𝑧 fazendo 𝑥 𝑦 0 na equação do elipsoide em 𝑧 3 O elipsoide reparte o espaço ℝ3em três conjuntos Conjunto dos pontos 𝑥 𝑦 𝑧 que estão no elipsoide casca da bola de futebol americano ou seja pontos que satisfazem a igualdade 𝑥2 4 𝑦2 𝑧2 9 1 3 Conjunto dos pontos 𝑥 𝑦 𝑧 que estão dentro do elipsoide dentro da bola de futebol americano ou seja pontos que satisfazem a desigualdade 𝑥2 4 𝑦2 𝑧2 9 1 Conjunto dos pontos 𝑥 𝑦 𝑧 que estão fora do elipsoide fora da bola de futebol americano ou seja pontos que satisfazem a desigualdade 𝑥2 4 𝑦2 𝑧2 9 1 Dica 3 Analisando as informações da dica 2 concluise que os pontos 𝑥 𝑦 𝑧 que estão na região delimitada pelo elipsoide satisfazem 𝑥2 4 𝑦2 𝑧2 9 1 Dica 4 Para resolver o item a observe que 𝒙𝟐 𝟒 𝒚𝟐 𝒛𝟐 𝟗 𝟎 para qualquer ponto 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3 assim quando 𝑻𝒙 𝒚 𝒛 𝟑𝟐 𝒙𝟐 𝟒 𝒚𝟐 𝒛𝟐 𝟗 é máximo na região limitada pelo elipsoide Dica 5 Para resolver o item b observe que se um ponto 𝑥 𝑦 𝑧 está se afastando da origem e sobre o eixo 𝑦 então 𝑥 𝑧 0 ponto tá no eixo 𝑦 𝒚𝟐 está aumentando ponto está se afastando da origem Nessas condições a temperatura 𝑻𝒙 𝒚 𝒛 𝟑𝟐 𝒙𝟐 𝟒 𝒚𝟐 𝒛𝟐 𝟗 aumenta ou diminui Observação no item c não darei dicas divirtamse 1 Lista 8 Cálculo II 1º semestre 2022 Cursos Engenharia de Produção Engenharia da Computação e Engenharia Civil Professora Odete Baes Nas funções do 1 ao 15 determinar as derivadas parciais 1𝑓𝑥 𝑦 3𝑥 2𝑦4 2 𝑓𝑥 𝑦 𝑥5 3𝑥3𝑦2 3𝑥𝑦4 3 𝑓𝑥 𝑦 4𝑥2𝑦 𝑦5 𝑥𝑦 5𝑥 4 𝑧 𝑥𝑦2 𝑥𝑦 3 9𝑦 5 𝑧 𝑥𝑒3𝑦 6 𝑧 𝑥𝑦 2𝑒𝑥𝑦 7 𝑧 𝑒𝑥2𝑦 𝑒𝑥 4 8 𝑧 𝑦 𝑙𝑛 𝑥 9 𝑧 𝑥𝑒𝑦 2𝑥 𝑙𝑛 𝑦 3 4 𝑥 10 𝑧 𝑦2 𝑙𝑛 𝑥𝑦 11 𝑧 𝑦2 𝑙𝑛 𝑥2 𝑦2 7𝑥 12 𝑧 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑥 13 𝑓𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑥𝑦 14 𝑓𝑥 𝑦 𝑥𝑦2 𝑥2𝑦2 15 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2𝑦 2 𝑦 Nas funções do 16 e 17 determinar as derivadas parciais indicadas 16 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 𝑓𝑥34 17 𝑓𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛2𝑥 3𝑦 𝑓𝑦64 18 Determinar a inclinação da superfície 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 𝑥𝑒𝑦 5𝑦 no ponto 30 a na direção 𝑥 b na direção 𝑦 19 Considerar a função 𝑓𝑥 𝑦 𝑥 𝑦1 e determinar a a taxa de variação de f em relação a 𝑥 no ponto 24 com 𝑦 fixo b a taxa de variação de 𝑓 em relação a 𝑦 no ponto 24 com 𝑥 fixo 20 Considerar o volume 𝑉 1 3 𝜋𝑟2ℎ do cone circular reto de raio 𝑟 e altura ℎ a Determinar uma fórmula para a taxa de variação instantânea de 𝑉 de em relação à 𝑟 se 𝑟 variar e ℎ permanecer constante b Determinar uma fórmula para a taxa de variação instantânea de 𝑉 de em relação à ℎ se ℎ variar e 𝑟 permanecer constante Respostas 1 𝑓𝑥𝑥 𝑦 3 𝑓𝑦𝑥 𝑦 8𝑦3 2𝑓𝑥𝑥 𝑦 5𝑥4 9𝑥2𝑦2 3𝑦4 𝑓𝑦𝑥 𝑦 6𝑥3𝑦 12𝑥𝑦3 3 𝑓𝑥𝑥 𝑦 8𝑥𝑦 𝑦 5 𝑓𝑦𝑥 𝑦 4𝑥2 5𝑦4 𝑥 4 𝑧𝑥𝑥 𝑦 𝑦2 𝑦 3 𝑧𝑦𝑥 𝑦 2𝑥𝑦 𝑥 3 9 5 𝑧𝑥𝑥 𝑦 𝑒3𝑦 𝑧𝑦𝑥 𝑦 3𝑥𝑒3𝑦 6 𝑧𝑥𝑥 𝑦 𝑦 2𝑦𝑒𝑥𝑦 𝑧𝑦𝑥 𝑦 𝑥 2𝑥𝑒𝑥𝑦 7 𝑧𝑥𝑥 𝑦 2𝑥𝑦𝑒𝑥2𝑦 𝑒𝑥 4 𝑧𝑦𝑥 𝑦 𝑥2𝑒𝑥2𝑦 8 𝑧𝑥 𝑦 𝑥 𝑧𝑦 𝑙𝑛𝑥 9 𝑧𝑥 𝑒𝑦 2𝑙𝑛𝑦 3 4 𝑧𝑦 𝑥𝑒𝑦 2𝑥 𝑦 10 𝑧𝑥 1 𝑥 𝑧𝑦 2𝑦 1 𝑦 11 𝑧𝑥 2𝑥𝑦2 𝑥2𝑦2 7 𝑧𝑦 2𝑦 𝑙𝑛 𝑥2 𝑦2 2𝑦3 𝑥2𝑦2 12 𝑧𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑥 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑥 𝑧𝑦 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑥 13 𝑓 𝑥 2𝑦 𝑥𝑦2 𝑓 𝑦 2𝑥 𝑥𝑦2 14 𝑓 𝑥 𝑥2𝑦2𝑦4 𝑥2𝑦22 𝑓 𝑦 2𝑥3𝑦 𝑥2𝑦22 15 𝑓 𝑥 2𝑥𝑦 𝑓 𝑦 𝑥2 2 𝑦2 16 3 5 17 3 18 a 1 b 2 19 a 1 4 b 1 4 20 a 𝑉 𝑟 2 3 𝜋𝑟ℎ b 𝑉 ℎ 1 3 𝜋𝑟2 Lista 9 Cálculo II 1º semestre 2022 Cursos Engenharia de Produção Engenharia da Computação e Engenharia Civil Professora Odete Baes Determinar as derivadas parciais das funções indicadas nos exercícios 1 ao 9 1 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑦𝑧 𝑦3𝑧2 2 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 3𝑥𝑦 2𝑦4𝑧 4𝑥 3 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑦𝑧 4 𝑤 1 𝑧 𝑙𝑛 𝑥2 𝑦2 5 𝑤 𝑥𝑧𝑒𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦𝑧 6 𝑤 𝑥2𝑒𝑥𝑦𝑧 7 𝑤 𝑥5𝑧3 𝑥𝑒𝑦 𝑧 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 8 𝑤 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑦 𝑧 9 𝑤 1 9𝑥2𝑦2𝑧2 Determinar as derivadas parciais indicadas nos exercícios 10 ao 15 10 𝑓𝑥𝑦 𝑧 𝑥 𝑦2𝑧 𝑓𝑧1 64 11 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑧 𝑓𝑦3 10 12 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2𝑦3 2𝑥4𝑦 𝑓𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑦 13 𝑓𝑥 𝑦 𝑒𝑥𝑦2 𝑓𝑥𝑥𝑦𝑥 𝑦 14 𝑤 𝑙𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 3𝑤 𝑥𝑦𝑧 15 𝑤 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑧 3𝑤 𝑦2𝑧 16 Mostre que a função 𝑢𝑥 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑐𝑤𝑡𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑥 satisfaz a equação da onda para quaisquer valores reais de 𝑤 Respostas 1 𝑓 𝑥 𝑦𝑧 𝑓 𝑦 𝑥𝑧 3𝑦2𝑧2 𝑓 𝑧 𝑥𝑦 2𝑦3𝑧 2 𝑓 𝑥 3𝑦 4 𝑓 𝑦 3𝑥 8𝑦3𝑧 𝑓 𝑧 2𝑦4 3 𝑓 𝑥 𝑦𝑧 2𝑥𝑦𝑧 𝑓 𝑦 𝑥𝑧 2𝑥𝑦𝑧 𝑓 𝑧 𝑥𝑦 2𝑥𝑦𝑧 4 𝑤𝑥 2𝑥 𝑧𝑥2𝑦2 𝑤𝑦 2𝑦 𝑧𝑥2𝑦2 𝑤𝑧 𝑙𝑛𝑥2𝑦2 𝑧2 5 𝑤𝑥 𝑧𝑒𝑦 𝑦𝑧𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦𝑧 𝑤𝑦 𝑥𝑧𝑒𝑦 𝑥𝑧𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦𝑧 𝑤𝑧 𝑥𝑒𝑦 𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦𝑧 6 𝑤𝑥 𝑥𝑒𝑥𝑦𝑧2 𝑥𝑦𝑧 𝑤𝑦 𝑥3𝑧𝑒𝑥𝑦𝑧 𝑤𝑧 𝑥3𝑦𝑒𝑥𝑦𝑧 7 𝑤𝑥 5𝑥4𝑧3 𝑒𝑦 𝑦𝑧𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦 𝑤𝑦 𝑥𝑒𝑦 𝑥𝑧𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦 𝑤𝑧 3𝑥5𝑧2 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦 8 𝑤𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦 𝑧 𝑤𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦 𝑧 𝑤𝑧 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦 𝑧 9 𝑤𝑥 𝑥 9𝑥2𝑦2𝑧23 𝑤𝑦 𝑦 9𝑥2𝑦2𝑧23 𝑤𝑧 𝑧 9 𝑥2 𝑦2 𝑧23 10 1 1600 11 1 2 12 𝑓𝑥𝑥𝑥 48𝑥𝑦 13 𝑓𝑥 𝑦2𝑒𝑥𝑦2 𝑓𝑥𝑥 𝑦4𝑒𝑥𝑦2 𝑓𝑥𝑥𝑦 2𝑦3𝑒𝑥𝑦22 𝑥𝑦2 14 𝑤 𝑧 1 𝑥𝑦𝑧 2𝑤 𝑦𝑧 1 𝑥𝑦𝑧2 3𝑤 𝑥𝑦𝑧 2 𝑥𝑦𝑧3 15 𝑤 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑧 2𝑤 𝑦𝑧 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑧 3𝑤 2𝑦𝑧 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑧 Lista 10 Cálculo II 1º semestre 2022 Cursos Engenharia de Produção Engenharia da Computação e Engenharia Civil Professora Odete Baes 1 Determinar o vetor gradiente de 𝑧 𝑠𝑒𝑛 7𝑦2 7𝑥𝑦 Resposta z 7𝑦 𝑐𝑜𝑠7𝑦2 7𝑥𝑦 14𝑦 7𝑥 cos7𝑦2 7𝑥𝑦 ou z 7𝑦 cos7𝑦2 7𝑥𝑦 𝑖 14𝑦 7𝑥 cos7𝑦2 7𝑥𝑦 𝑗 2 Determinar o vetor gradiente de 𝑤 𝑥9 𝑦3 𝑧12 Resposta w 9𝑥8 3𝑦2 12𝑧11 ou w 9𝑥8 𝑖 3𝑦2 𝑗 12𝑧11 𝑘 Nos exercícios 3 e 4 determinar o gradiente de 𝑓 no ponto indicado 3 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2 𝑥𝑦3 𝑃 1 1 Resposta 𝑓1 1 36 12 ou 𝑓1 1 36 𝑖 12 𝑗 4 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 ln 𝑥 𝑦 𝑧 𝑃 340 Resposta 𝑓340 444 ou 𝑓340 4 𝑖 4 𝑗 4 𝑘 5 Determinar o plano tangente à superfície 𝑧 𝑥 𝑦 no ponto 𝑃 495 Resposta 3𝑥 2𝑦 12𝑧 30 6 Determinar o plano tangente à superfície 𝑧 4𝑥3𝑦2 2𝑦 no ponto 𝑃 1 212 Resposta 48𝑥 14𝑦 𝑧 64