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MANA6410 Análise de Variância Análise de Variância simples ANOVA Tabela ANOVA Comparação de várias médias Testes posteriores OITAVO TÓPICO 6 ciclo Curso de Administração da FEI MANA6410 Distribuição F distribuição de razão de variâncias A Distribuição F também é chamada de F de Fisher Ou F de Snedecor Ou F de Fisher Snedecor Sejam representantes das variâncias amostrais de duas populações diferentes Se ambas populações são normais e as variâncias populacionais são iguais então a distribuição amostral de é chamada de distribuição F 2 1 2 2 s F s A Razão F Ao contrário de outros testes de médias que se baseiam na diferença entre dois valores a análise da variância utiliza a razão das duas estimativas dividindo a estimativa entre pela estimativa dentro k s s s ns S S S S F k x w b 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 Grau de liberdade numerador k 1 k amostras denominador kn 1 n observações MANA6410 Distribuição F distribuição de razão de variâncias Como as distribuição F é dada por Logo A distribuição F é proporcional a uma razão de distribuições de 2 cada uma com seus graus de liberdade 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 n n F n S S n S S S S F w b MANA6410 Variabilidade dentro das amostras e entre as amostras Tomemos k amostras de uma população cada uma pertencente a um distinto subgrupo desta população tratamento Desta forma cada uma destas amostra fornecerá uma estimativa para a média populacional ANOVA Teste simultâneo da igualdade de VÁRIAS médias MANA6410 Variabilidade dentro das amostras e entre as amostras Suposição Medidas de uma mesma variável vindas de três grupos tratamentos distintos Um sentido para a ANOVA com o teste F H0 1 2 3 k Todas as médias das populações são equivalentes Não há tratamento H1 nem todos i são semelhantes Ao menos 2 médias de populações são diferentes entre si X fX 1 2 3 1 2 3 X fX MANA6410 Variabilidade dentro das amostras e entre as amostras 2 2 2 11 21 kj SS Total X X X X X X X Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Resposta X Suposição Medidas de uma mesma variável vindas de três grupos tratamentos distintos Calculase a soma dos desvios quadráticos em relação à média total Soma dos Quadrados Totais Variância total SQT Xkj cada valor da amostra MANA6410 Variabilidade dentro das amostras e entre as amostras Suposição Medidas de uma mesma variável vindas de três grupos tratamentos distintos Calculase as médias dos grupos e a soma dos desvios quadráticos de cada média multiplicada pelo tamanho da amostra em relação à média total Soma dos Quadrados Entre Tratamento da variância 2 2 2 2 2 1 1 X n X X n X X n X SST k k X X3 X2 X1 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Resposta X SQE MANA6410 Variabilidade dentro das amostras e entre as amostras Suposição Medidas de uma mesma variável vindas de três grupos tratamentos distintos Variância erro aletória 2 2 2 11 1 21 2 kj k SSE X X X X X X X2 X1 X3 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Resposta X Calculase as a soma dos desvios quadráticos em relação à média de seu respectivo grupo Soma dos Quadrados Dentro SQD MANA6410 Variabilidade dentro das amostras e entre as amostras A Soma dos Quadrados Totais é a Soma dos Quadrados Dentro Mais a Soma dos Quadrados Entre Isto é SQT SQD SQE Se o Efeito dos tratamentos não é relevante então SQE SQD Assim Verificar se existe algum efeito no tratamento significa rejeitar em um teste de Hipótese H0 SQE SQD As somas dos quadrados são proporcionais as variâncias Logo testar H0 é testar utilizando a distribuição F a razão entre as variâncias Entre e Dentro MANA6410 Análise de Variância simples ANOVA Testar H0 é testar a razão entre as variâncias Entre Dentro Quanto Maior a Razão S2 Entre S2 Dentro Menor a probabilidade de H0 Variâncias S2 Total SQT N1 S2 Entre SQE k1 S2 Dentro SQD Nk Graus de Liberdade Total N1 Entre k1 Dentro Nk Estatística a ser testada F S2 Entre S2 Dentro Amostras k amostras nk dados por amostra N n1 n2 nk MANA6410 Análise de Variância simples ANOVA Fonte de variância Graus de liberdade Soma de quadrados Média quadrada variância F Tratamento k 1 SQTr QMTr SQTrk 1 QMTr QME Erro kn 1 SQE QME SQEkn 1 Total kn 1 STQ SQTrSQE Tabela ANOVA da Análise de Variância Construída a tabela da ANOVA basta testar o valor de F obtido com o valor crítico de F proveniente da tabela da Distribuição F MANA6410 Análise de Variância simples ANOVA Se significa que são semelhantes F MQE MQD 1 Só rejeite o F grande Sempre uma cauda Fα k 1 N k 0 Rejeitado H0 Não Rejeitado H0 F Slide 14 MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA Aplicação da ANOVA Exemplo Como diretor de produção você quer ver se 3 máquinas preenchedoras têm diferença média entre si no tempo de preenchimento Para isso designou 15 empregados treinados e experientes 5 por máquina obtendo os resultados ao lado No nível 005 de significância há alguma diferença na média do tempo de preenchimento Máq1 Máq2 Máq3 2540 2340 2000 2631 2180 2220 2410 2350 1975 2374 2275 2060 2510 2160 2040 MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA H0 H1 1 2 Valores críticos Estatística de teste Decisão Conclusão F212005 389 0 389 005 1 2 3 nem todos são semelhantes 005 3 1 2 máquinas 35 1 15 3 12 MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA F212005 389 MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA Maq1 Maq1 2 Maq2 Maq2 2 Maq3 Maq3 2 254 64516 234 54756 20 400 2631 69222 218 47524 222 4928 241 58081 235 55225 1975 3901 2374 56359 2275 51756 206 4244 251 63001 216 46656 204 4162 Soma 12465 31118 11305 25592 10295 2123 ANOVA Fácil de Calcular n1 n2 n3 5 N n1 n2 n3 15 Para o cálculo de qualquer Somas dos Quadrados basta lembrar que SQ xi x2 xi 2 xi2N onde x xin MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA Tratamento Maq1 Maq1 2 Maq2 Maq2 2 Maq3 Maq3 2 254 64516 234 54756 20 400 2631 69222 218 47524 222 4928 241 58081 235 55225 1975 3901 2374 56359 2275 51756 206 4244 251 63001 216 46656 204 4162 Soma 12465 31118 11305 25592 10295 2123 ANOVA Fácil de Calcular n1 n2 n3 5 N n1 n2 n3 15 SQT xi 2 xi2N SQT 31118 25592 2123 12465 11305 10295215 SQT 779438 34065 2 15 582172 Cálculo da Soma dos Quadrados Totais SQT MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA SQD xij 2 xij2nj SQD 311181246525 255921130525 21231029525 SQD 110532 Cálculo da Soma dos Quadrados Dentro SQD n1 n2 n3 5 N n1 n2 n3 15 Tratamento Maq1 Maq1 2 Maq2 Maq2 2 Maq3 Maq3 2 254 64516 234 54756 20 400 2631 69222 218 47524 222 4928 241 58081 235 55225 1975 3901 2374 56359 2275 51756 206 4244 251 63001 216 46656 204 4162 Soma 12465 31118 11305 25592 10295 2123 ANOVA Fácil de Calcular MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA SQE SQT SQD SQE 582172110532 SQE 471640 Cálculo da Soma dos Quadrados Entre SQE n1 n2 n3 5 N n1 n2 n3 15 Tratamento Maq1 Maq1 2 Maq2 Maq2 2 Maq3 Maq3 2 254 64516 234 54756 20 400 2631 69222 218 47524 222 4928 241 58081 235 55225 1975 3901 2374 56359 2275 51756 206 4244 251 63001 216 46656 204 4162 Soma 12465 31118 11305 25592 10295 2123 ANOVA Fácil de Calcular MANA6410 Análise de Variância simples ANOVA Fonte de variância Graus de liberdade Soma de quadrados Média quadrada variância F Tratamento k 1 SQE MQE SQEk 1 MSE MSD Erro N k SQD MSD SQDN k Total N 1 SQT SQESQD Lembrando da Tabela ANOVA Com a soma dos quadrados SDE e SQD podemos calcular os Quadrados Médios MQESQE k1 MQDSQDNk MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA Sumário da Solução Tabela ANOVA Tratamento máquinas 3 1 2 471640 235820 2560 Erro 15 3 12 110532 09211 Total 15 1 14 582172 Fonte de variação Graus de liberadade Soma dos quadrados Média quadrada variância F MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA Solução H0 1 2 3 H1 Nem todos são semelhantes 005 1 2 2 12 Valores críticos Estátistica de teste Decisão Conclusão Rejeitar em 005 Existe diferenças em pelo menos uma das médias da população F 0 389 005 F MQE MQD 235820 09211 256 F212005 389 Cálculo para somas de quadrados Exercício 1 EXCEL Resolução pelo Excel 1 Dados 2 Anova fator único 3 Selecionar os dados sem título Agrupador por Coluna se os dados digitados estiverem em colunas Linha se os dados digitados estiverem em linhas 4 Alfa 5 OK Exercício 1 EXCEL Anova fator único RESUMO Grupo Contagem Soma Média Variância Máq 1 5 12465 2493 10648 Máq 2 5 11305 2261 0778 Máq 3 5 10295 2059 09205 ANOVA Fonte da variação SQ gl MQ F valorP F crítico Entre grupos 47164 2 23582 25602 468E05 38853 Dentro dos grupos 110532 12 09211 Total 582172 14 F CALCULADO F MQE MQD 235820 09211 256 Para usar o PSPP temse que Denominar cada máquina de um fator exemplo Máquina 1 fator 1 Máquina 2 fator 2 Máquina 3 fator 3 Então digitar no PSPP uma coluna com os fatores e ao lado com o Tempo Exercício 1 PSPP Exercício 1 PSPP Variávels Dependentes é o objeto principal TEMPO Fator são as MÁQUINAS CLICAR EM DESCRITIVAS OK 3045 F CALCULADO PVALOR 0000 005 F MQE MQD 235820 09211 256 MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA Exercício 2 Você é um instrutor da Microsoft Corp Há uma diferença na média do tempo de aprendizado de 12 pessoas usando 4 métodos de ensino diferentes 005 M1 M2 M3 M4 10 11 13 18 9 16 8 23 5 9 9 25 19841994 TMaker Co Aplicação da ANOVA MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA Erro Total F Fonte de variação Graus de liberadade Soma dos quadrados Média quadrada variância Tratamento máquinas Sumário Tabela ANOVA Faça as contas manualmente lembrando que para o caso geral SQ xi x2 xi 2 xi2n onde x xin MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA Método M1 M12 M2 M22 M3 M32 M4 M42 10 100 11 121 13 169 18 324 9 81 16 256 8 64 23 529 5 25 9 81 9 81 25 625 Soma 24 206 36 458 30 314 66 1478 SQT xi 2 xi2N SQT 2064583141478 24363066212 428 n1 n2 n3 n4 3 e N n1 n2 n3 n4 12 SQD xij 2 xij2nj SQD 2062423 4583623 3143023 14786623 80 SQE SQT SQD 428 80 348 MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA solução F38005 407 0 407 005 H0 1 2 3 4 Ha Não são totalmente similares 005 1 3 2 8 Valores críticos MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA F38005 407 MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA Sumário Tabela ANOVA Tratamento métodos 4 1 3 348 116 116 Erro 12 4 8 80 10 Total 12 1 11 428 F Fonte de variação Graus de liberadade Soma dos quadrados Média quadrada variância MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA Estatística de teste Decisão Conclusão Rejeitado em 005 Há evidencias que as médias da população são diferentes F MQE MQD 116 10 116 H0 1 2 3 4 H1 Não são totalmente similares 005 1 3 2 8 Valores críticos 005 F 0 407 Anova fator único RESUMO Grupo Contagem Soma Média Variância Método 1 3 24 8 7 Método 2 3 36 12 13 Método 3 3 30 10 7 Método 4 3 66 22 13 ANOVA Soma dos Quadrados Quadrado Médio Fonte da variação SQ gl MQ F valorP F crítico Entre grupos 348 3 116 116 00027697 40661805 Dentro dos grupos 80 8 10 Total 428 11 EXCEL Diferenças entre k médias Exercício 3 Considere o segmento a seguir de um estudo da contaminação por cálcio de água de um certo rio Os dados referemse às quantidades de cálcio parte média por milhão medidas em três locais ao longo do rio Mississipi Verificar se as diferenças entre as médias são significantes ou se podem ser atribuídas ao acaso com 001 de significância LOCAL 1 42 37 41 39 43 41 LOCAL 2 37 40 39 38 41 39 LOCAL 3 32 28 34 32 30 33 Solução H0 μ1 μ2 μ3 H1 As médias não são todas iguais Exercício 3 Resolução 2 Calcular a média das médias amostrais 31 5 6 189 39 6 234 40 5 6 243 3 2 1 x x x 37 3 31 5 39 40 5 A x TOTAL MÉDIA LOCAL 1 42 37 41 39 43 41 243 405 LOCAL 2 37 40 39 38 41 39 234 39 LOCAL 3 32 28 34 32 30 33 189 315 MÉDIA AMOSTRAL 37 1 Calcular a média de cada amostra Exercício 3 Resolução 4 Calcular a média das variâncias amostrais 74 6 189 1 5977 1 6 1 2 6 234 1 9136 1 6 1 74 6 243 1 9865 1 6 1 2 2 3 2 2 2 2 2 1 s s s 83 3 74 2 74 s 3 Calcular a variância de cada amostra TOTAL VARIÂNCIA LOCAL 1 42 37 41 39 43 41 243 47 LOCAL 2 37 40 39 38 41 39 234 2 LOCAL 3 32 28 34 32 30 33 189 47 X12 1764 1369 1681 1521 1849 1681 9865 X22 1369 1600 1521 1444 1681 1521 9136 X32 1024 784 1156 1024 900 1089 5977 Exercício 3 Resolução 5 Variância 2325 1 3 37 31 5 37 39 37 40 5 2 2 2 2 xs 139 5 62325 2 2 2 2 2 2 x x x ns considerar n n 6 Variância amostral Percebese que 1395 é muito maior que 38 o que sugere que as 3 médias populacionais não são provavelmente todas iguais Assim a hipótese nula deveria ser rejeitada Para tanto compararemos essa verificação com a estatística F Exercício 3 Resolução 36 7 83 139 5 Fcalc 7 Estatística F 8 Tabela com α 001 Graus de Liberdade k 1 3 1 2 kn 1 36 1 15 Ftab 636 Fcalc Ftab Dessa forma H0 deve ser rejeitada As diferenças entre as 3 médias amostrais são demasiadamente grandes para serem atribuídas ao acaso Análise de Variância de um critério Exercício OUTRA Resolução STQ SQTr SQE 2 x x STQ i A A A x x x x x n x SQ Tr 3 2 1 2 3 2 2 2 1 x x x x x x SQE i i i Análise de Variância de um critério Exercício 3 OUTRA Resolução STQ SQTr SQE Análise de Variância de um critério Exercício 3 OUTRA Resolução STQ SQTr SQE 336 2 x x STQ i 279 3 2 1 A A A x x x x x n x Tr SQ 57 2 3 2 2 2 1 x x x x x x SQE i i i Análise de Variância de um critério Exercício 3 OUTRA Resolução 83 1 6 3 57 1 n k SQE QME QME mede a variação dentro as médias amostrais 83 3 74 2 74 s 139 5 3 1 279 1 k SQ Tr Tr QM QMTr mede a variação entre as médias amostrais 139 5 62325 2 2 nsx Análise de Variância de um critério Exercício 3 OUTRA Resolução 367105 83 139 5 QME QM Tr F Mesmo resultado pelo método da diferença entre k médias Ou seja Fcalc Ftab Dessa forma H0 deve ser rejeitada Tabela de análise de variância Exercício 3 Fonte de Variação Graus de liberdade Soma de quadrados Quadrado médio variância F Tratamentos 3 1 2 QMTr 279 QMTr1395 1395 38 3671 Erro 36 1 15 SQE 57 QME 38 Total 2 15 17 STQ 336 Fcalc 3671 Ftab 636 Dessa forma H0 deve ser rejeitada Fórmulas de cálculo para somas de quadrados amostras de mesmo tamanho 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 SQ Tr STQ SQE kn T T n Tr SQ kn T x STQ i k i ij n j k i Cálculo para somas de quadrados Exercício 3 outra resolução LOCAL 1 42 37 41 39 43 41 LOCAL 2 37 40 39 38 41 39 LOCAL 3 32 28 34 32 30 33 24978 33 30 32 34 28 32 39 41 38 39 40 37 41 43 39 41 37 42 666 234 189 243 189 33 30 32 34 28 32 234 41 39 38 39 40 37 243 41 43 41 39 37 42 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 x T T T T Cálculo para somas de quadrados Exercício 3 outra resolução 57 279 336 279 24642 189 234 6 243 1 336 18 666 1 979 24 2 2 2 2 SQE Tr SQ STQ O que retoma os cálculos anteriores 139 5 3 1 279 1 k SQ Tr Tr QM 83 1 6 3 57 1 n k SQE QME 367105 83 139 5 QME QM Tr F Fcalc 3671 Ftab 636 Dessa forma H0 deve ser rejeitada Cálculo para somas de quadrados Exercício 3 EXCEL Resolução pelo Excel 1 Dados 2 Anova fator único 3 Selecionar os dados sem título Agrupador por Coluna se os dados digitados estiverem em colunas Linha se os dados digitados estiverem em linhas 4 Alfa 5 OK Cálculo para somas de quadrados Exercício 1 Resultado pelo EXCEL Anova fator único RESUMO Grupo Contagem Soma Média Variância Local 1 6 243 405 47 Local 2 6 234 39 2 Local 3 6 189 315 47 ANOVA Fonte da variação SQ gl MQ F valorP F crítico Entre grupos 279 2 13953671053 167E06 63588 Dentro dos grupos 57 15 38 Total 336 17 Exercício 4 Freund p 373 Um técnico de laboratório quer comparar a resistência à ruptura de três marcas de fio e inicialmente ele limita sua análise aos seguintes resultados em quilogramas Nível de significância de 5 Solução H0 μ1 μ2 μ3 H1 As médias não são todas iguais FIO 1 18 164 157 196 165 182 FIO 2 211 178 186 208 179 19 FIO 3 165 178 161 Exercício 4 Resolução Tabela com α 005 Graus de Liberdade k 1 3 1 2 N k 15 3 12 N k o tamanho das Amostras são distintos Ftab 389 Cálculo para somas de quadrados Exercício 4 46 4897 270 50 4 115 2 4 104 4 50 2 115 4 104 2 3 2 1 x T T T T X12 324 26896 24649 38416 27225 33124 18271 X22 44521 31684 34596 43264 32041 361 222206 X32 27225 31684 25921 0 0 0 8483 489746 TOTAL FIO 1 18 164 157 196 165 182 1044 FIO 2 211 178 186 208 179 19 1152 FIO 3 165 178 161 504 270 Cálculo para somas de quadrados Exercício 4 2234 46 1512 37 1512 15 270 1 3 4 50 6 2 115 6 104 4 3746 15 270 1 43 4897 2 2 2 2 2 SQE Tr SQ STQ O que retoma os cálculos anteriores 7 56 1 3 12 15 1 k SQ Tr Tr QM 1 86 3 15 2234 k N SQE QME 4 06 1 86 7 56 QME QM Tr F Fcalc 406 Ftab 389 Dessa forma H0 deve ser rejeitada Tabela de análise de variância Fonte de Variação Graus de liberdade Soma de quadrados Quadrado médio variância F Tratamentos 3 1 2 QMTr 1512 QMTr756 756 186 406 Erro 15 3 12 SQE 2234 QME 186 Total 2 12 14 STQ 3746 Fcalc 406 Ftab 389 Dessa forma H0 deve ser rejeitada Cálculo para somas de quadrados Exercício 4 Resultado pelo EXCEL Anova fator único RESUMO Grupo Contagem Soma Média Variância FIO 1 6 1044 174 2108 FIO 2 6 1152 192 2044 FIO 3 3 504 168 079 ANOVA Fonte da variação SQ gl MQ F valorP F crítico Entre grupos 1512 2 756 4060877 0044988 3885294 Dentro dos grupos 2234 12 1861667 Total 3746 14 MANA6410 Análise de Variância Análise de Variância simples ANOVA Tabela ANOVA Comparação de várias médias Testes posteriores Fábio Gerab 06 de agosto de 2012 OITAVO TÓPICO 6 ciclo Curso de Administração da FEI MANA6410 Comparação de várias médias ANOVA Teste Posteriores Os métodos posteriores de Análise Post hoc tentam resolver esta questão X fX 1 2 3 2 agrupamentos ANOVA fala qual população tem médias significamente diferentes Exemplo μ1 μ 2 μ 3 Procedimento Post hoc Feito depois da rejeição das médias semelhantes em ANOVA Saída de muitos programas estatísticos do computador A ANOVA só diz que existe alguma média diferente das demais mas não esclarece quais são delas iguais e quais delas são diferentes entre si MANA6410 Comparação de várias médias ANOVA Teste Posteriores Por que são necessários os Testes Posteriores O Procedimento ANOVA não consegue controlar a probabilidade do erro tipo I para cada uma das médias só para o conjunto delas Assim em sucessivas comparações entre médias duas a duas usando o teste t de Student a probabilidade de se apontar erradamente uma diferença entre médias pode ser bem maior que o utilizado na ANOVA A probabilidade de se apontar erradamente uma diferença cresce na medida em que o número de comparações cresce Os testes posteriores visam corrigir a probabilidade de erro tipo I e apontar quais médias ou grupos de médias diferem entre si Os testes posteriores mais utilizados suas melhores aplicações e suas maiores limitações são dados abaixo TESTE IDEIA APLICAÇÃO LIMITAÇÃO Bonferroni Calcula intervalos de confiança corrigindo o nível de significância de para n onde n é o número de intercomparações possíveis Bom quando o número de tratamentos é pequeno Perde poder de discriminação quando usado para muitos tratamentos Tukey Calcula um novo valor crítico para avaliar quando diferenças entre dois pares são significantes Bastante aceito pois para muitos tratamentos ele tem maior poder que outros testes Só deve ser utilizado quando todas as amostras tem mesmo tamanho n1n2nk Scheffe Calcula um novo valor critico para o teste F quando dois grupos provenientes de uma ANOVA maior são comparados Pode ser aplicado quando tamanho das amostras difere de uma para outra Tem menor poder de discriminação quando comparado ao teste de Tukey Obs Existem vários outros testes posteriores Seu cálculo é feito com o auxílio computacional em softwares específicos Você é um instrutor da Microsoft Corp Há uma diferença na média do tempo de aprendizado de 12 pessoas usando 4 métodos de ensino diferentes 005 M1 M2 M3 M4 10 11 13 18 9 16 8 23 5 9 9 25 Exemplo 2 Testes Posteriores para a ANOVA Tabela ANOVA software SPSS Statistical Package for Social Sciences Anova fator único RESUMO Grupo Contagem Soma Média Variância Coluna 1 3 24 8 7 Coluna 2 3 36 12 13 Coluna 3 3 30 10 7 Coluna 4 3 66 22 13 ANOVA Fonte da variação SQ gl MQ F valorP F crítico Entre grupos 348 3 116 116 000277 4066181 Dentro dos grupos 80 8 10 Total 428 11 Exercício 2 Excel Exemplo 2 Testes Posteriores para a ANOVA PSPP Primeiro devese colocar números para cada método 1 método 1 2 método 2 etc Exemplo 2 Testes Posteriores para a ANOVA PSPP Exemplo 2 Testes Posteriores para a ANOVA PSPP Clicar em Descritivas e OK Exemplo 2 Testes Posteriores para a ANOVA PSPP Fazer novamente só que clicar em COLAR Exemplo 2 Testes Posteriores para a ANOVA PSPP Exemplo 2 Testes Posteriores para a ANOVA PSPP DAR ENTER PARA APARECER ALGUMAS LINHAS Exemplo 2 Testes Posteriores para a ANOVA PSPP 1 APAGAR o ponto após DESCRIPTIVES DA LINHA 5 2 DIGITAR POSTHOCBONFERRONI TUKEY SCHEFFE E colocar PONTO após SCHEFFE Exemplo 2 Testes Posteriores para a ANOVA PSPP SELECIONAR ESSAS 3 LINHAS EXECUTAR SELECTION Exemplo 2 Testes Posteriores para a ANOVA PSPP EXECUTAR SELECTION Exemplo 2 Testes Posteriores para a ANOVA PSPP A diferença entre as médias é significativa quando o intervalo de confiança da diferença não incluir o zero Bonferroni O Método 4 é distinto dos demais métodos Exemplos de Testes Posteriores para a ANOVA Tukey O Método 4 é distinto dos demais métodos Exemplos de Testes Posteriores para a ANOVA A diferença entre as médias é significativa quando o intervalo de confiança da diferença não incluir o zero Scheffe O Método 4 é distinto dos demais métodos Exemplos de Testes Posteriores para a ANOVA A diferença entre as médias é significativa quando o intervalo de confiança da diferença não incluir o zero Exemplos de Testes Posteriores para a ANOVA Com os intervalos de confiança é possível montar os subgrupos homogêneos O SPSS monta estes subgrupos automaticamente para os testes de Tukey Scheffe e outros mas não para o Bonferroni O Método 4 é distinto dos demais métodos A diferença entre as médias é significativa quando o intervalo de confiança da diferença não incluir o zero Exemplos de Testes Posteriores para a ANOVA Exercício 1 Como diretor de produção você quer ver se 3 máquinas preenchedoras têm diferença média entre si no tempo de preenchimento Para isso designou 15 empregados treinados e experientes 5 por máquina obtendo os resultados ao lado No nível 005 de significância há alguma diferença na média do tempo de preenchimento Máq1 Máq2 Máq3 2540 2340 2000 2631 2180 2220 2410 2350 1975 2374 2275 2060 2510 2160 2040 Tabela ANOVA software SPSS Statistical Package for Social Sciences A diferença entre as médias é significativa quando o intervalo de confiança da diferença não incluir o zero Exemplos de Testes Posteriores para a ANOVA Bonferroni Todas as máquinas preenchedoras tem desempenhos diferentes das demais Exemplos de Testes Posteriores para a ANOVA Com os intervalos de confiança é possível montar os subgrupos homogêneos O SPSS monta estes subgrupos automaticamente para os testes de Tukey Scheffe e outros mas não para o Bonferrone que é muito conservador Tukey e Scheffe Todas as máquinas preenchedoras tem desempenhos diferentes das demais PSPP Testes Posteriores PSPP Teste e Comparação de Médias httpswwwyoutubecomwatchvrv nA3w9CR00
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MANA6410 Análise de Variância Análise de Variância simples ANOVA Tabela ANOVA Comparação de várias médias Testes posteriores OITAVO TÓPICO 6 ciclo Curso de Administração da FEI MANA6410 Distribuição F distribuição de razão de variâncias A Distribuição F também é chamada de F de Fisher Ou F de Snedecor Ou F de Fisher Snedecor Sejam representantes das variâncias amostrais de duas populações diferentes Se ambas populações são normais e as variâncias populacionais são iguais então a distribuição amostral de é chamada de distribuição F 2 1 2 2 s F s A Razão F Ao contrário de outros testes de médias que se baseiam na diferença entre dois valores a análise da variância utiliza a razão das duas estimativas dividindo a estimativa entre pela estimativa dentro k s s s ns S S S S F k x w b 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 Grau de liberdade numerador k 1 k amostras denominador kn 1 n observações MANA6410 Distribuição F distribuição de razão de variâncias Como as distribuição F é dada por Logo A distribuição F é proporcional a uma razão de distribuições de 2 cada uma com seus graus de liberdade 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 n n F n S S n S S S S F w b MANA6410 Variabilidade dentro das amostras e entre as amostras Tomemos k amostras de uma população cada uma pertencente a um distinto subgrupo desta população tratamento Desta forma cada uma destas amostra fornecerá uma estimativa para a média populacional ANOVA Teste simultâneo da igualdade de VÁRIAS médias MANA6410 Variabilidade dentro das amostras e entre as amostras Suposição Medidas de uma mesma variável vindas de três grupos tratamentos distintos Um sentido para a ANOVA com o teste F H0 1 2 3 k Todas as médias das populações são equivalentes Não há tratamento H1 nem todos i são semelhantes Ao menos 2 médias de populações são diferentes entre si X fX 1 2 3 1 2 3 X fX MANA6410 Variabilidade dentro das amostras e entre as amostras 2 2 2 11 21 kj SS Total X X X X X X X Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Resposta X Suposição Medidas de uma mesma variável vindas de três grupos tratamentos distintos Calculase a soma dos desvios quadráticos em relação à média total Soma dos Quadrados Totais Variância total SQT Xkj cada valor da amostra MANA6410 Variabilidade dentro das amostras e entre as amostras Suposição Medidas de uma mesma variável vindas de três grupos tratamentos distintos Calculase as médias dos grupos e a soma dos desvios quadráticos de cada média multiplicada pelo tamanho da amostra em relação à média total Soma dos Quadrados Entre Tratamento da variância 2 2 2 2 2 1 1 X n X X n X X n X SST k k X X3 X2 X1 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Resposta X SQE MANA6410 Variabilidade dentro das amostras e entre as amostras Suposição Medidas de uma mesma variável vindas de três grupos tratamentos distintos Variância erro aletória 2 2 2 11 1 21 2 kj k SSE X X X X X X X2 X1 X3 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Resposta X Calculase as a soma dos desvios quadráticos em relação à média de seu respectivo grupo Soma dos Quadrados Dentro SQD MANA6410 Variabilidade dentro das amostras e entre as amostras A Soma dos Quadrados Totais é a Soma dos Quadrados Dentro Mais a Soma dos Quadrados Entre Isto é SQT SQD SQE Se o Efeito dos tratamentos não é relevante então SQE SQD Assim Verificar se existe algum efeito no tratamento significa rejeitar em um teste de Hipótese H0 SQE SQD As somas dos quadrados são proporcionais as variâncias Logo testar H0 é testar utilizando a distribuição F a razão entre as variâncias Entre e Dentro MANA6410 Análise de Variância simples ANOVA Testar H0 é testar a razão entre as variâncias Entre Dentro Quanto Maior a Razão S2 Entre S2 Dentro Menor a probabilidade de H0 Variâncias S2 Total SQT N1 S2 Entre SQE k1 S2 Dentro SQD Nk Graus de Liberdade Total N1 Entre k1 Dentro Nk Estatística a ser testada F S2 Entre S2 Dentro Amostras k amostras nk dados por amostra N n1 n2 nk MANA6410 Análise de Variância simples ANOVA Fonte de variância Graus de liberdade Soma de quadrados Média quadrada variância F Tratamento k 1 SQTr QMTr SQTrk 1 QMTr QME Erro kn 1 SQE QME SQEkn 1 Total kn 1 STQ SQTrSQE Tabela ANOVA da Análise de Variância Construída a tabela da ANOVA basta testar o valor de F obtido com o valor crítico de F proveniente da tabela da Distribuição F MANA6410 Análise de Variância simples ANOVA Se significa que são semelhantes F MQE MQD 1 Só rejeite o F grande Sempre uma cauda Fα k 1 N k 0 Rejeitado H0 Não Rejeitado H0 F Slide 14 MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA Aplicação da ANOVA Exemplo Como diretor de produção você quer ver se 3 máquinas preenchedoras têm diferença média entre si no tempo de preenchimento Para isso designou 15 empregados treinados e experientes 5 por máquina obtendo os resultados ao lado No nível 005 de significância há alguma diferença na média do tempo de preenchimento Máq1 Máq2 Máq3 2540 2340 2000 2631 2180 2220 2410 2350 1975 2374 2275 2060 2510 2160 2040 MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA H0 H1 1 2 Valores críticos Estatística de teste Decisão Conclusão F212005 389 0 389 005 1 2 3 nem todos são semelhantes 005 3 1 2 máquinas 35 1 15 3 12 MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA F212005 389 MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA Maq1 Maq1 2 Maq2 Maq2 2 Maq3 Maq3 2 254 64516 234 54756 20 400 2631 69222 218 47524 222 4928 241 58081 235 55225 1975 3901 2374 56359 2275 51756 206 4244 251 63001 216 46656 204 4162 Soma 12465 31118 11305 25592 10295 2123 ANOVA Fácil de Calcular n1 n2 n3 5 N n1 n2 n3 15 Para o cálculo de qualquer Somas dos Quadrados basta lembrar que SQ xi x2 xi 2 xi2N onde x xin MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA Tratamento Maq1 Maq1 2 Maq2 Maq2 2 Maq3 Maq3 2 254 64516 234 54756 20 400 2631 69222 218 47524 222 4928 241 58081 235 55225 1975 3901 2374 56359 2275 51756 206 4244 251 63001 216 46656 204 4162 Soma 12465 31118 11305 25592 10295 2123 ANOVA Fácil de Calcular n1 n2 n3 5 N n1 n2 n3 15 SQT xi 2 xi2N SQT 31118 25592 2123 12465 11305 10295215 SQT 779438 34065 2 15 582172 Cálculo da Soma dos Quadrados Totais SQT MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA SQD xij 2 xij2nj SQD 311181246525 255921130525 21231029525 SQD 110532 Cálculo da Soma dos Quadrados Dentro SQD n1 n2 n3 5 N n1 n2 n3 15 Tratamento Maq1 Maq1 2 Maq2 Maq2 2 Maq3 Maq3 2 254 64516 234 54756 20 400 2631 69222 218 47524 222 4928 241 58081 235 55225 1975 3901 2374 56359 2275 51756 206 4244 251 63001 216 46656 204 4162 Soma 12465 31118 11305 25592 10295 2123 ANOVA Fácil de Calcular MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA SQE SQT SQD SQE 582172110532 SQE 471640 Cálculo da Soma dos Quadrados Entre SQE n1 n2 n3 5 N n1 n2 n3 15 Tratamento Maq1 Maq1 2 Maq2 Maq2 2 Maq3 Maq3 2 254 64516 234 54756 20 400 2631 69222 218 47524 222 4928 241 58081 235 55225 1975 3901 2374 56359 2275 51756 206 4244 251 63001 216 46656 204 4162 Soma 12465 31118 11305 25592 10295 2123 ANOVA Fácil de Calcular MANA6410 Análise de Variância simples ANOVA Fonte de variância Graus de liberdade Soma de quadrados Média quadrada variância F Tratamento k 1 SQE MQE SQEk 1 MSE MSD Erro N k SQD MSD SQDN k Total N 1 SQT SQESQD Lembrando da Tabela ANOVA Com a soma dos quadrados SDE e SQD podemos calcular os Quadrados Médios MQESQE k1 MQDSQDNk MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA Sumário da Solução Tabela ANOVA Tratamento máquinas 3 1 2 471640 235820 2560 Erro 15 3 12 110532 09211 Total 15 1 14 582172 Fonte de variação Graus de liberadade Soma dos quadrados Média quadrada variância F MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA Solução H0 1 2 3 H1 Nem todos são semelhantes 005 1 2 2 12 Valores críticos Estátistica de teste Decisão Conclusão Rejeitar em 005 Existe diferenças em pelo menos uma das médias da população F 0 389 005 F MQE MQD 235820 09211 256 F212005 389 Cálculo para somas de quadrados Exercício 1 EXCEL Resolução pelo Excel 1 Dados 2 Anova fator único 3 Selecionar os dados sem título Agrupador por Coluna se os dados digitados estiverem em colunas Linha se os dados digitados estiverem em linhas 4 Alfa 5 OK Exercício 1 EXCEL Anova fator único RESUMO Grupo Contagem Soma Média Variância Máq 1 5 12465 2493 10648 Máq 2 5 11305 2261 0778 Máq 3 5 10295 2059 09205 ANOVA Fonte da variação SQ gl MQ F valorP F crítico Entre grupos 47164 2 23582 25602 468E05 38853 Dentro dos grupos 110532 12 09211 Total 582172 14 F CALCULADO F MQE MQD 235820 09211 256 Para usar o PSPP temse que Denominar cada máquina de um fator exemplo Máquina 1 fator 1 Máquina 2 fator 2 Máquina 3 fator 3 Então digitar no PSPP uma coluna com os fatores e ao lado com o Tempo Exercício 1 PSPP Exercício 1 PSPP Variávels Dependentes é o objeto principal TEMPO Fator são as MÁQUINAS CLICAR EM DESCRITIVAS OK 3045 F CALCULADO PVALOR 0000 005 F MQE MQD 235820 09211 256 MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA Exercício 2 Você é um instrutor da Microsoft Corp Há uma diferença na média do tempo de aprendizado de 12 pessoas usando 4 métodos de ensino diferentes 005 M1 M2 M3 M4 10 11 13 18 9 16 8 23 5 9 9 25 19841994 TMaker Co Aplicação da ANOVA MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA Erro Total F Fonte de variação Graus de liberadade Soma dos quadrados Média quadrada variância Tratamento máquinas Sumário Tabela ANOVA Faça as contas manualmente lembrando que para o caso geral SQ xi x2 xi 2 xi2n onde x xin MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA Método M1 M12 M2 M22 M3 M32 M4 M42 10 100 11 121 13 169 18 324 9 81 16 256 8 64 23 529 5 25 9 81 9 81 25 625 Soma 24 206 36 458 30 314 66 1478 SQT xi 2 xi2N SQT 2064583141478 24363066212 428 n1 n2 n3 n4 3 e N n1 n2 n3 n4 12 SQD xij 2 xij2nj SQD 2062423 4583623 3143023 14786623 80 SQE SQT SQD 428 80 348 MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA solução F38005 407 0 407 005 H0 1 2 3 4 Ha Não são totalmente similares 005 1 3 2 8 Valores críticos MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA F38005 407 MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA Sumário Tabela ANOVA Tratamento métodos 4 1 3 348 116 116 Erro 12 4 8 80 10 Total 12 1 11 428 F Fonte de variação Graus de liberadade Soma dos quadrados Média quadrada variância MANA6410 Comparação de várias médias usando ANOVA Estatística de teste Decisão Conclusão Rejeitado em 005 Há evidencias que as médias da população são diferentes F MQE MQD 116 10 116 H0 1 2 3 4 H1 Não são totalmente similares 005 1 3 2 8 Valores críticos 005 F 0 407 Anova fator único RESUMO Grupo Contagem Soma Média Variância Método 1 3 24 8 7 Método 2 3 36 12 13 Método 3 3 30 10 7 Método 4 3 66 22 13 ANOVA Soma dos Quadrados Quadrado Médio Fonte da variação SQ gl MQ F valorP F crítico Entre grupos 348 3 116 116 00027697 40661805 Dentro dos grupos 80 8 10 Total 428 11 EXCEL Diferenças entre k médias Exercício 3 Considere o segmento a seguir de um estudo da contaminação por cálcio de água de um certo rio Os dados referemse às quantidades de cálcio parte média por milhão medidas em três locais ao longo do rio Mississipi Verificar se as diferenças entre as médias são significantes ou se podem ser atribuídas ao acaso com 001 de significância LOCAL 1 42 37 41 39 43 41 LOCAL 2 37 40 39 38 41 39 LOCAL 3 32 28 34 32 30 33 Solução H0 μ1 μ2 μ3 H1 As médias não são todas iguais Exercício 3 Resolução 2 Calcular a média das médias amostrais 31 5 6 189 39 6 234 40 5 6 243 3 2 1 x x x 37 3 31 5 39 40 5 A x TOTAL MÉDIA LOCAL 1 42 37 41 39 43 41 243 405 LOCAL 2 37 40 39 38 41 39 234 39 LOCAL 3 32 28 34 32 30 33 189 315 MÉDIA AMOSTRAL 37 1 Calcular a média de cada amostra Exercício 3 Resolução 4 Calcular a média das variâncias amostrais 74 6 189 1 5977 1 6 1 2 6 234 1 9136 1 6 1 74 6 243 1 9865 1 6 1 2 2 3 2 2 2 2 2 1 s s s 83 3 74 2 74 s 3 Calcular a variância de cada amostra TOTAL VARIÂNCIA LOCAL 1 42 37 41 39 43 41 243 47 LOCAL 2 37 40 39 38 41 39 234 2 LOCAL 3 32 28 34 32 30 33 189 47 X12 1764 1369 1681 1521 1849 1681 9865 X22 1369 1600 1521 1444 1681 1521 9136 X32 1024 784 1156 1024 900 1089 5977 Exercício 3 Resolução 5 Variância 2325 1 3 37 31 5 37 39 37 40 5 2 2 2 2 xs 139 5 62325 2 2 2 2 2 2 x x x ns considerar n n 6 Variância amostral Percebese que 1395 é muito maior que 38 o que sugere que as 3 médias populacionais não são provavelmente todas iguais Assim a hipótese nula deveria ser rejeitada Para tanto compararemos essa verificação com a estatística F Exercício 3 Resolução 36 7 83 139 5 Fcalc 7 Estatística F 8 Tabela com α 001 Graus de Liberdade k 1 3 1 2 kn 1 36 1 15 Ftab 636 Fcalc Ftab Dessa forma H0 deve ser rejeitada As diferenças entre as 3 médias amostrais são demasiadamente grandes para serem atribuídas ao acaso Análise de Variância de um critério Exercício OUTRA Resolução STQ SQTr SQE 2 x x STQ i A A A x x x x x n x SQ Tr 3 2 1 2 3 2 2 2 1 x x x x x x SQE i i i Análise de Variância de um critério Exercício 3 OUTRA Resolução STQ SQTr SQE Análise de Variância de um critério Exercício 3 OUTRA Resolução STQ SQTr SQE 336 2 x x STQ i 279 3 2 1 A A A x x x x x n x Tr SQ 57 2 3 2 2 2 1 x x x x x x SQE i i i Análise de Variância de um critério Exercício 3 OUTRA Resolução 83 1 6 3 57 1 n k SQE QME QME mede a variação dentro as médias amostrais 83 3 74 2 74 s 139 5 3 1 279 1 k SQ Tr Tr QM QMTr mede a variação entre as médias amostrais 139 5 62325 2 2 nsx Análise de Variância de um critério Exercício 3 OUTRA Resolução 367105 83 139 5 QME QM Tr F Mesmo resultado pelo método da diferença entre k médias Ou seja Fcalc Ftab Dessa forma H0 deve ser rejeitada Tabela de análise de variância Exercício 3 Fonte de Variação Graus de liberdade Soma de quadrados Quadrado médio variância F Tratamentos 3 1 2 QMTr 279 QMTr1395 1395 38 3671 Erro 36 1 15 SQE 57 QME 38 Total 2 15 17 STQ 336 Fcalc 3671 Ftab 636 Dessa forma H0 deve ser rejeitada Fórmulas de cálculo para somas de quadrados amostras de mesmo tamanho 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 SQ Tr STQ SQE kn T T n Tr SQ kn T x STQ i k i ij n j k i Cálculo para somas de quadrados Exercício 3 outra resolução LOCAL 1 42 37 41 39 43 41 LOCAL 2 37 40 39 38 41 39 LOCAL 3 32 28 34 32 30 33 24978 33 30 32 34 28 32 39 41 38 39 40 37 41 43 39 41 37 42 666 234 189 243 189 33 30 32 34 28 32 234 41 39 38 39 40 37 243 41 43 41 39 37 42 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 x T T T T Cálculo para somas de quadrados Exercício 3 outra resolução 57 279 336 279 24642 189 234 6 243 1 336 18 666 1 979 24 2 2 2 2 SQE Tr SQ STQ O que retoma os cálculos anteriores 139 5 3 1 279 1 k SQ Tr Tr QM 83 1 6 3 57 1 n k SQE QME 367105 83 139 5 QME QM Tr F Fcalc 3671 Ftab 636 Dessa forma H0 deve ser rejeitada Cálculo para somas de quadrados Exercício 3 EXCEL Resolução pelo Excel 1 Dados 2 Anova fator único 3 Selecionar os dados sem título Agrupador por Coluna se os dados digitados estiverem em colunas Linha se os dados digitados estiverem em linhas 4 Alfa 5 OK Cálculo para somas de quadrados Exercício 1 Resultado pelo EXCEL Anova fator único RESUMO Grupo Contagem Soma Média Variância Local 1 6 243 405 47 Local 2 6 234 39 2 Local 3 6 189 315 47 ANOVA Fonte da variação SQ gl MQ F valorP F crítico Entre grupos 279 2 13953671053 167E06 63588 Dentro dos grupos 57 15 38 Total 336 17 Exercício 4 Freund p 373 Um técnico de laboratório quer comparar a resistência à ruptura de três marcas de fio e inicialmente ele limita sua análise aos seguintes resultados em quilogramas Nível de significância de 5 Solução H0 μ1 μ2 μ3 H1 As médias não são todas iguais FIO 1 18 164 157 196 165 182 FIO 2 211 178 186 208 179 19 FIO 3 165 178 161 Exercício 4 Resolução Tabela com α 005 Graus de Liberdade k 1 3 1 2 N k 15 3 12 N k o tamanho das Amostras são distintos Ftab 389 Cálculo para somas de quadrados Exercício 4 46 4897 270 50 4 115 2 4 104 4 50 2 115 4 104 2 3 2 1 x T T T T X12 324 26896 24649 38416 27225 33124 18271 X22 44521 31684 34596 43264 32041 361 222206 X32 27225 31684 25921 0 0 0 8483 489746 TOTAL FIO 1 18 164 157 196 165 182 1044 FIO 2 211 178 186 208 179 19 1152 FIO 3 165 178 161 504 270 Cálculo para somas de quadrados Exercício 4 2234 46 1512 37 1512 15 270 1 3 4 50 6 2 115 6 104 4 3746 15 270 1 43 4897 2 2 2 2 2 SQE Tr SQ STQ O que retoma os cálculos anteriores 7 56 1 3 12 15 1 k SQ Tr Tr QM 1 86 3 15 2234 k N SQE QME 4 06 1 86 7 56 QME QM Tr F Fcalc 406 Ftab 389 Dessa forma H0 deve ser rejeitada Tabela de análise de variância Fonte de Variação Graus de liberdade Soma de quadrados Quadrado médio variância F Tratamentos 3 1 2 QMTr 1512 QMTr756 756 186 406 Erro 15 3 12 SQE 2234 QME 186 Total 2 12 14 STQ 3746 Fcalc 406 Ftab 389 Dessa forma H0 deve ser rejeitada Cálculo para somas de quadrados Exercício 4 Resultado pelo EXCEL Anova fator único RESUMO Grupo Contagem Soma Média Variância FIO 1 6 1044 174 2108 FIO 2 6 1152 192 2044 FIO 3 3 504 168 079 ANOVA Fonte da variação SQ gl MQ F valorP F crítico Entre grupos 1512 2 756 4060877 0044988 3885294 Dentro dos grupos 2234 12 1861667 Total 3746 14 MANA6410 Análise de Variância Análise de Variância simples ANOVA Tabela ANOVA Comparação de várias médias Testes posteriores Fábio Gerab 06 de agosto de 2012 OITAVO TÓPICO 6 ciclo Curso de Administração da FEI MANA6410 Comparação de várias médias ANOVA Teste Posteriores Os métodos posteriores de Análise Post hoc tentam resolver esta questão X fX 1 2 3 2 agrupamentos ANOVA fala qual população tem médias significamente diferentes Exemplo μ1 μ 2 μ 3 Procedimento Post hoc Feito depois da rejeição das médias semelhantes em ANOVA Saída de muitos programas estatísticos do computador A ANOVA só diz que existe alguma média diferente das demais mas não esclarece quais são delas iguais e quais delas são diferentes entre si MANA6410 Comparação de várias médias ANOVA Teste Posteriores Por que são necessários os Testes Posteriores O Procedimento ANOVA não consegue controlar a probabilidade do erro tipo I para cada uma das médias só para o conjunto delas Assim em sucessivas comparações entre médias duas a duas usando o teste t de Student a probabilidade de se apontar erradamente uma diferença entre médias pode ser bem maior que o utilizado na ANOVA A probabilidade de se apontar erradamente uma diferença cresce na medida em que o número de comparações cresce Os testes posteriores visam corrigir a probabilidade de erro tipo I e apontar quais médias ou grupos de médias diferem entre si Os testes posteriores mais utilizados suas melhores aplicações e suas maiores limitações são dados abaixo TESTE IDEIA APLICAÇÃO LIMITAÇÃO Bonferroni Calcula intervalos de confiança corrigindo o nível de significância de para n onde n é o número de intercomparações possíveis Bom quando o número de tratamentos é pequeno Perde poder de discriminação quando usado para muitos tratamentos Tukey Calcula um novo valor crítico para avaliar quando diferenças entre dois pares são significantes Bastante aceito pois para muitos tratamentos ele tem maior poder que outros testes Só deve ser utilizado quando todas as amostras tem mesmo tamanho n1n2nk Scheffe Calcula um novo valor critico para o teste F quando dois grupos provenientes de uma ANOVA maior são comparados Pode ser aplicado quando tamanho das amostras difere de uma para outra Tem menor poder de discriminação quando comparado ao teste de Tukey Obs Existem vários outros testes posteriores Seu cálculo é feito com o auxílio computacional em softwares específicos Você é um instrutor da Microsoft Corp Há uma diferença na média do tempo de aprendizado de 12 pessoas usando 4 métodos de ensino diferentes 005 M1 M2 M3 M4 10 11 13 18 9 16 8 23 5 9 9 25 Exemplo 2 Testes Posteriores para a ANOVA Tabela ANOVA software SPSS Statistical Package for Social Sciences Anova fator único RESUMO Grupo Contagem Soma Média Variância Coluna 1 3 24 8 7 Coluna 2 3 36 12 13 Coluna 3 3 30 10 7 Coluna 4 3 66 22 13 ANOVA Fonte da variação SQ gl MQ F valorP F crítico Entre grupos 348 3 116 116 000277 4066181 Dentro dos grupos 80 8 10 Total 428 11 Exercício 2 Excel Exemplo 2 Testes Posteriores para a ANOVA PSPP Primeiro devese colocar números para cada método 1 método 1 2 método 2 etc Exemplo 2 Testes Posteriores para a ANOVA PSPP Exemplo 2 Testes Posteriores para a ANOVA PSPP Clicar em Descritivas e OK Exemplo 2 Testes Posteriores para a ANOVA PSPP Fazer novamente só que clicar em COLAR Exemplo 2 Testes Posteriores para a ANOVA PSPP Exemplo 2 Testes Posteriores para a ANOVA PSPP DAR ENTER PARA APARECER ALGUMAS LINHAS Exemplo 2 Testes Posteriores para a ANOVA PSPP 1 APAGAR o ponto após DESCRIPTIVES DA LINHA 5 2 DIGITAR POSTHOCBONFERRONI TUKEY SCHEFFE E colocar PONTO após SCHEFFE Exemplo 2 Testes Posteriores para a ANOVA PSPP SELECIONAR ESSAS 3 LINHAS EXECUTAR SELECTION Exemplo 2 Testes Posteriores para a ANOVA PSPP EXECUTAR SELECTION Exemplo 2 Testes Posteriores para a ANOVA PSPP A diferença entre as médias é significativa quando o intervalo de confiança da diferença não incluir o zero Bonferroni O Método 4 é distinto dos demais métodos Exemplos de Testes Posteriores para a ANOVA Tukey O Método 4 é distinto dos demais métodos Exemplos de Testes Posteriores para a ANOVA A diferença entre as médias é significativa quando o intervalo de confiança da diferença não incluir o zero Scheffe O Método 4 é distinto dos demais métodos Exemplos de Testes Posteriores para a ANOVA A diferença entre as médias é significativa quando o intervalo de confiança da diferença não incluir o zero Exemplos de Testes Posteriores para a ANOVA Com os intervalos de confiança é possível montar os subgrupos homogêneos O SPSS monta estes subgrupos automaticamente para os testes de Tukey Scheffe e outros mas não para o Bonferroni O Método 4 é distinto dos demais métodos A diferença entre as médias é significativa quando o intervalo de confiança da diferença não incluir o zero Exemplos de Testes Posteriores para a ANOVA Exercício 1 Como diretor de produção você quer ver se 3 máquinas preenchedoras têm diferença média entre si no tempo de preenchimento Para isso designou 15 empregados treinados e experientes 5 por máquina obtendo os resultados ao lado No nível 005 de significância há alguma diferença na média do tempo de preenchimento Máq1 Máq2 Máq3 2540 2340 2000 2631 2180 2220 2410 2350 1975 2374 2275 2060 2510 2160 2040 Tabela ANOVA software SPSS Statistical Package for Social Sciences A diferença entre as médias é significativa quando o intervalo de confiança da diferença não incluir o zero Exemplos de Testes Posteriores para a ANOVA Bonferroni Todas as máquinas preenchedoras tem desempenhos diferentes das demais Exemplos de Testes Posteriores para a ANOVA Com os intervalos de confiança é possível montar os subgrupos homogêneos O SPSS monta estes subgrupos automaticamente para os testes de Tukey Scheffe e outros mas não para o Bonferrone que é muito conservador Tukey e Scheffe Todas as máquinas preenchedoras tem desempenhos diferentes das demais PSPP Testes Posteriores PSPP Teste e Comparação de Médias httpswwwyoutubecomwatchvrv nA3w9CR00