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Testes de Hipóteses Hipótese Alegação ou afirmação sobre o valor de um único parâmetro característica de uma distribuição de probabilidade sobre os valores de vários parâmetros ou sobre a forma de uma distribuição de probabilidade DEVORE p 271 2014 Fontes 1 STEVENSON W J Estatística Aplicada à Administração Ed Harbra 1981 2 DEVORE J L Probabilidade e Estatística para engenharia e Ciências Ed Cengage Learning 2014 3 MAGALHÃES M N LIMA A C P de Noções de Probabilidade e Estatística 3ª ed IME USP 2001 4 TAVARESM Estatística Aplicada a Administração httpceadufpibrconteudomaterialonlinedisciplinasestatisticadownloadEstatisticacompletorevisadopdf 5 THURMAN P W Estatística Ed Saraiva 2012 6 FREUND J E Estatística Aplicada Ed Bookman 2009 Profa Flainer Rosa de Lima Testes de Hipóteses Aceitar ou Rejeitar decisões baseandose em um conjunto de evidências Exemplos Culpa ou inocência de um indivíduo num julgamento Eficiência ou não de uma vacina Pontualidade ou não na chegada dos funcionários Conteúdo líquido de garrafas segue ou não a orientação do rótulo como refrigerantes água sucos cervejas Falhas de comunicação em uma central de telefonia etc Ao surgir uma dúvida em relação a uma afirmação devese sugerir uma hipótese H1 alternativa de acordo com a decisão que deseja tomar As hipóteses são formuladas da seguinte forma H0 Baseada no comportamento passado do processo H1 Formulada em função de alterações ou inovações OU H0 Baseada na opinião que deve ser comprovada H1 Formulada ao contrário da opinião a ser comprovada Testes de Hipóteses Nível de significância ERROS NA CONCLUSÃO TIPO I Rejeitamos a hipótese nula sendo ela verdadeira é chamado de nível de significância do teste TIPO II Não rejeitamos a hipótese nula sendo ela falsa 1 é chamado de Poder do teste 1 O Poder do teste é a probabilidade de acerto quando H0 é falsa Poder do teste O Nível de Significância mais utilizado é 005 ou 5 Testes de Hipóteses com duas amostras Definição duas amostras são independentes se a amostra selecionada de uma das populações não está relacionada à amostra selecionada na segunda população Aqui vamos construir teste de hipóteses para comparar um parâmetro estatístico de duas populações normais Vamos nos concentrar apenas no caso de comparar a média ou proporção para amostras independentes Implicações do tamanho da amostra Para amostras pequenas 30 observações com variâncias desconhecidas utilizaremos a Distribuição t de Student Para os demais casos utilizaremos a Distribuição Normal Vamos apresentar o Teste para a diferença da média de duas populações Hipóteses do teste Hipótese nula média das duas populações são iguais Hipótese alternativa média das duas populações são diferentes ou Testes de Hipóteses com duas amostras ou Se σ é conhecido e n ou n1 n2 30 usar Distribuição Normal Z Se σ é desconhecido e n ou n1 n2 30 usar tStudent t com grau de liberdade Se n gl n 1 Se n1 n2 gl n1 n2 2 por ser duas amostras STEVENSON p 240 Modelo a ser utilizado Comparação de duas médias σ Conhecido amostra única Uma n x Z n N X Amostra N X calc 2 2 2 EPM Erro padrão da média Comparação de duas médias σ Conhecido x x x Z n N X só média Uma 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 n n x x Z amostras n N X Amostra n N X Amostra N X calc Erro padrão da diferença entre duas médias Critérios para testar a hipótese nula Hipótese alternativa Rejeitar a hipótese nula se Aceitar a hipótese nula ou reservar julgamento se μ1 μ2 Z Zα Z Zα μ1 μ2 Z Zα Z Zα μ1 μ2 2 2 Z Z ou Z Z 2 2 Z Z Z As vendas semanais por vendedor de um dado produto totalizam 10000 unidades com desvio Padrão de 1200 José tem sido o melhor vendedor da equipe e está treinando João Uma amostra aleatória de 16 semanas apontou que João teve uma venda média de 10200 e José de 11200 Baseandose nestes dados é possível afirmar a um nível de significância da 5 que João já é tão bom quanto José Região de aceitação de H0 Região Critica RC rejeição de H0 valor negativo Exemplo Solução Em vista da formulação João já é tão bom quanto José do problema usamos o teste unilateral a esquerda H0 μ1 μ2 ou João vende a mesma quantidade que José H1 μ1 μ2 ou João vende menos que José 10200 11200 σ 1200 n1 n2 16 16 16 32 ENTÃO D NORMAL α 005 1 α 1 005 095 Pelo teste Z z 095 05 045 ver dentro tabela Rejeitar a hipótese nula se Zcalc 164 Exemplo Resolução 3570 2 180000 1000 16 1200 16 1200 11200 10200 2 2 calc Z Como 236 164 Rejeitar H0 Concluise ao nível de significância de 5 que João não é tão bom quanto José Zcalc 236 na tabela é z 04909 assim pvalor 05 04909 00091 00091 005 então rejeitar H0 Erros tipo I e II Erro tipo I Rejeitar H0 quando de fato H0 é verdadeiro Erro tipo II Aceitar H0 quando de fato H0 é falsa O nível de significância Alfa é a probabilidade de se cometer o Erro tipo I Erro tipo I Ex Seria dizer que João não é tão bom quanto José quando isso não é verdadeiro injusto Erro tipo II Ex Seria dizer que João já é tão bom quanto José quando isso não é verdadeiro complacente H0 verdadeira H0 falsa Aceitar H0 Decisão correta Erro II Rejeitar H0 Erro I Decisão correta Situação Decisão Valor p p value Para exemplificar a definição de pvalor considere um teste de hipóteses para a média no qual o valor da estatística é dado por Zref A figura representa o pvalor no casos de um teste bilateral com rejeição da hipótese nula O pvalor é também denotado como nível descritivo do teste Valor p p value O pvalue também denotado como nível descritivo do teste é a probabilidade de que a estatística do teste como variável aleatória tenha valor extremo em relação ao valor observado estatística quando a hipótese H0 é verdadeira O Valor p é a probabilidade de uma diferença seja maior que a diferença encontrada pela amostra devido a um simples acaso estatístico Para exemplificar lembremos que no caso da comparação de performance dentre João e José tivemos Zres d 100042426 236 Pela tabela da normal reduzida temos que Pz 236 00094 094 Logo temos que o valor p 094 Como p foi menor que o nível de significância definido 5 rejeitamos a hipótese H0 de igualdade de performance Obs Os softwares fornecem o pvalue para um teste Exercício 1 Num estudo para testar se há ou não diferença entre as alturas médias de mulheres adultas em dois países diferentes amostras aleatórias de tamanhos n1 120 e n2 150 deram médias x1 627cm e x2 618 cm Estudos intensos desse tipo mostraram que é razoável tomar σ1 250cm e σ2 262cm Teste ao nível 005 de significância se a diferença entre essas duas amostras é significante Solução Em vista da formulação se há ou não do problema usamos o teste bilateral H0 μ1 μ2 H1 μ1 μ2 α 005 Como n1 n2 120 150 30 então usar o teste Z Rejeitar a hipótese nula se Zcalc 196 ou se Zcalc 196 88 2 150 2 62 120 2 50 618 7 62 2 2 calc Z Como 288 196 Rejeitar H0 Exercício 1 Ou seja a diferença entre as médias é estatisticamente significante Se também é de algum significado prático digamos para um fabricante de roupas femininas é um outro assunto Como 288 196 Rejeitar H0 Zcalc 288 na tabela é 04980 assim como são duas caldas o pvalor é 20504980 00040 Como 04 5 então rejeita H0 Um supermercado não sabe se deve comprar lâmpadas da marca A ou B de mesmo preço Testa uma amostra de 100 lâmpadas de cada uma das marcas obtendo A XA N 1160h 8100h B XB N 1140h 6400h Ao nível de 25 testar a hipótese de que as marcas são igualmente boas quanto contra a hipótese de que as da marca A são melhores que as da marca B Exercício 2 Solução Em vista da formulação são melhores que do problema usamos o teste unilateral a direita H0 μA μB H1 μA μB Como n1 n2 100 então usar o teste Z α 0025 1 α 1 0025 0975 z 0975 05 0475 Rejeitar a hipótese nula se Zcalc 196 6609 1 100 6400 100 8100 1160 1140 calc Z Como 166 196 Aceitar H0 Exercício 2 Ou seja não é significante a diferença entre as vidas médias das lâmpadas da marca A ou marca B ao nível de 25 Zcalc 166 na tabela é 04515 como é só uma calda então pvalor 05 04515 00485 485 25 então aceita H0 Como 166 196 Aceitar H0 PSPP Baixar PSPP httpswwwgnuorgsoftwarepspp Conversor de arquivos Excel para PSPP httpssecurencounterdeSpssConverterCo nvertExcelToSpss Excel extensão xlsx PSPP extensão sav Comparação de duas médias σ Desconhecido 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 n n s n s n s n n s x x t s N X Amostra s N X Amostra N X p p calc Quando o tamanho das duas amostras não são iguais e sua soma é menor ou igual a 30 usar tStudent As amostras aleatórias seguintes são medições da capacidade de gerar calor em milhões de calorias por tonelada do carvão de duas minas Mina 1 8380 8180 8500 7840 7990 Mina2 7660 7510 7910 8070 7790 Use o nível 005 de significância para testar se a diferença entre as médias dessas duas amostras é significante Exemplo Solução Em vista da formulação testar a diferença do problema usamos o teste bilateral H0 μ1 μ2 H1 μ1 μ2 Como n1 n2 30 então usar o teste tStudent α 005 então gl 5 5 2 8 t0025 8 2306 Rejeitar a hipótese nula se tcalc 2306 ou se tcalc 2306 Exemplo Resolução Total Mina 1 8380 8180 8500 7840 7990 40890 X2 70224400 66912400 72250000 61465600 63840100 334692500 Mina 2 7660 7510 7910 8070 7790 38940 X2 58675600 56400100 62568100 65124900 60684100 303452800 Exemplo Resolução 216 84095 5 38940 1 303452800 1 5 1 7788 5 38940 2 27114571 5 40890 1 334692500 1 5 1 8178 5 40890 1 2 2 s X Mina s X Mina Excel Média MÉDIAselecionar os dados Variância VAPAselecionar os dados Desvio Padrão DESVPADAselecionar os dados 51 2 5 1 5 1 5 245 7788 8178 245 5 2 5 5 1216 8 5 1271 1 5 7788 216 8 2 8178 271 1 1 2 2 2 2 2 1 2 calc p t s N X Mina N X Mina s N X Como 251 2306 Rejeitar H0 Concluise que a diferença entre as duas médias amostrais é significante Exemplo Resolução pvalor 003637 que é menor que 005 então Rejeitar H0 Como tcalc 251 não tem na tabela tStudent assim Para saber o pvalor correto somente utilizando softwares Excel DISTTtcalc n1n22 1 ou 2 caldas DISTT25182 Para usar o PSPP é necessário ter os dados primários Exemplo Resolução RESOLUÇÃO EM EXCEL Comparação de Médias com Excel Acrescentar a função ANÁLISE DE DADOS No EXCEL 1 Arquivo 2 Opções 3 Suplementos suplementos do Excel ir 4 Ferramenta de Análise 5 OK Comparação de Médias com Excel No Excel DADOS ANÁLISE DE DADOS Comparação de Médias com Excel ESCOLHER O NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA ALFA α 005 OU α 001 OU OUTRO Após tudo preenchido tecle OK Dados do enunciado Testet duas amostras presumindo variâncias diferentes Variável 1 Variável 2 Média 8178 7788 Variância 73520 47020 Observações 5 5 Hipótese da diferença de média 0 gl 8 Stat t 2511793982 T CALCULADO PTt unicaudal 0018134714 t crítico unicaudal 1859548038 PTt bicaudal 0036269428 PVALOR 3 5 REJEITA H0 t crítico bicaudal 2306004135 T CRÍTICO Em uma prova de estatística 12 alunos de uma classe conseguiram média 78 e desvio padrão de 06 ao passo que 15 alunos de outra turma do mesmo curso conseguiram média 74 com desvio padrão de 08 Considerando distribuições normais para as notas verificar se o primeiro grupo é superior ao segundo ao nível de 5 Exercício 1 Solução Em vista da formulação se o primeiro grupo é superior ao segundo do problema usamos o teste unilateral a direita H0 μ1 μ2 H1 μ1 μ2 Como n1 n2 30 então usar o teste tStudent α 005 então gl 12 15 2 25 t005 25 1708 Rejeitar a hipótese nula se tcalc 1708 4366 1 15 1 12 1 7189 0 74 8 7 71888 2 15 12 10 8 15 10 6 12 74 0 8 15 2 0 6 7 8 12 1 2 2 2 2 2 1 2 calc p t s N X n N X n s N X 0 Como 144 1708 Aceitar H0 Concluise que a 5 não há motivos para considerar a primeira turma superior à segunda Exercício 1 Resolução pvalor 00816 que é maior que 005 então Aceitar H0 Como tcalc 14366 não tem na tabela tStudent assim Para saber o pvalor correto somente utilizando softwares Excel DISTTtcalc n1n22 1 ou 2 caldas DISTT14366251 Para usar o PSPP é necessário ter os dados primários Exercício 1 Resolução O QI de 16 estudantes de uma zona pobre de certa cidade apresenta a média de 107 pontos com desvio padrão de 10 pontos enquanto os 14 estudantes de outra região rica da cidade apresentam média de 112 pontos com desvio padrão de 8 pontos O QI em ambas as regiões tem distribuição normal Há uma diferença significativa ente os QIs médios dos dois grupos a 5 Exercício 2 Solução Em vista da formulação diferença significativa do problema usamos o teste bilateral H0 μ1 μ2 H1 μ1 μ2 Como n1 n2 30 então usar o teste tStudent α 005 então gl 16 14 2 28 t0025 28 2048 Rejeitar a hipótese nula se tcalc 2048 ou tcalc 2048 4971 1 14 1 16 1 1261 9 112 107 91261 2 14 16 164 14 1100 16 112 64 14 2 107 100 16 1 2 1 2 calc p t s N X n N X n s N X Como 1497 2048 Aceitar H0 Concluise que a 5 não é significativa a diferença entre os QIs das duas regiões da cidade Exercício 2 Resolução 095 67371 67371 095 14 64 16 100 2048 0 14 64 16 100 2048 0 112 64 14 2 107 100 16 1 2 1 2 d d X P X P N X n N X n s N X Como 67371 5 67371 Aceitar H0 Exercício 2 OUTRA Resolução 5 107 112 Xd Dados Emparelhados O método para σ conhecido e σ desconhecido só podem ser usados quando as variáveis são independentes Não podem ser usados quando lidamos com comparações do tipo Antes e depois Idades de maridos e esposas Prisão de assaltantes de banco e condenações em vários estados Taxas de juro cobradas e pagas por instituições financeiras Chutes a gol o primeiro e no segundo tempo Carros estocados e carros vendidos por negociantes de carros usados Para esses dados em geral H0 μ 0 e H1 μ 0 ou μ 0 ou μ 0 E trabalhamos com a diferença entre os pares ordenados das amostras A seguir estão as perdas semanais médias de horas homem devido a acidentes em dez indústrias antes e depois da adoção de um programa de segurança abrangente Teste a eficácia do programa de segurança ao nível 005 de significância Exemplo 45 e 36 73 e 60 46 e 44 124 e 119 33 e 35 57 e 51 83 e 77 34 e 29 26 e 24 17 e 11 Diferença entre os pares ordenados Exemplo Resolução 45 e 36 73 e 60 46 e 44 124 e 119 33 e 35 57 e 51 83 e 77 34 e 29 26 e 24 17 e 11 45 36 9 73 60 13 46 44 2 124 119 5 33 35 2 57 51 6 83 77 6 34 29 5 26 24 2 17 11 6 H0 μ 0 o programa não é eficaz H1 μ 0 o programa é eficaz a alternativa é que em média tenha havido mais acidentes antes e depois Diferença entre os pares ordenados Exemplo Resolução H0 μ 0 H1 μ 0 Como n 10 então usar t α 005 gl 10 1 9 t0059 1833 Rejeitar a hipótese nula se tcalc 1833 Total X 9 13 2 5 2 6 6 5 2 6 52 X2 81 169 4 25 4 36 36 25 4 36 420 40770 10 52 1 1 420 10 1 5 2 10 52 2 s X 03 4 10 0770 4 0 5 2 tcalc Como 403 1833 Rejeitar H0 Concluise que o programa de segurança industrial é eficaz pvalor 00014 que é menor que 005 então Rejeitar H0 Como tcalc 403 não tem na tabela tStudent assim Para saber o pvalor correto somente utilizando softwares Para saber o pvalor correto somente utilizando softwares Excel DISTTtcalc n1 1 ou 2 caldas DISTT40391 Exemplo Resolução EXCEL DADOS e Testet duas amostras em par para médias Variável 1 Variável 2 Média 538 486 Variância 1027733333 9629333333 Observações 10 10 Correlação de Pearson 0992175729 Hipótese da diferença de média 0 gl 9 Stat t 4033283982 T CALCULADO PTt unicaudal 0001479161 PVALOR t crítico unicaudal 1833112933 T CRÍTICO PTt bicaudal 0002958323 t crítico bicaudal 2262157163 Um grupo de 10 pessoas é submetido a um tipo de dieta por 10 dias estando o peso antes do início Xi e no final da dieta Yi marcados na tabela abaixo Ao nível de 5 podemos concluir que houve diminuição do peso médio pela aplicação da dieta Exercício Pessoas A B C D E F G H I J Xi 120 104 93 87 85 98 102 106 88 90 Yi 116 102 90 83 86 97 98 108 82 85 Pessoas A B C D E F G H I J Xi 120 104 93 87 85 98 102 106 88 90 Yi 116 102 90 83 86 97 98 108 82 85 Total Xi Yi 4 2 3 4 1 1 4 2 6 5 26 Xi Yi2 16 4 9 16 1 1 16 4 36 25 128 Exercício Resolução Diferença entre os pares ordenados H0 μ 0 a nova dieta não é efetiva H1 μ 0 aplicação da dieta é efetiva Como n 10 então usar t α 005 gl 10 1 9 t0059 1833 Rejeitar a hipótese nula se tcalc 1833 25905 10 26 1 1 128 10 1 2 6 10 26 2 s X 1744 3 10 59 2 0 2 6 calc t A 95 de confiabilidade concluímos que é significativa a queda de peso pelo uso da dieta no grupo Como 317 1833 Rejeitar H0 pvalor 00056 que é menor que 005 então Rejeitar H0 Como tcalc 31744 não tem na tabela tStudent assim Para saber o pvalor correto somente utilizando softwares Para saber o pvalor correto somente utilizando softwares Excel DISTTtcalc n1n22 1 ou 2 caldas DISTT3174491 Para usar o PSPP é necessário ter os dados primários Exercício Resolução PVALOR 2 CALDAS Se 0011 2 0055 pvalor uma calda Resultado do PSPP T CALCULADO Testes de Hipóteses com duas amostras proporção Agora vamos construir teste de hipóteses para comparar a proporção de duas populações normais Vamos nos concentrar apenas no caso de comparar a proporção para amostras independentes Considere duas populações P1 e P2 e para cada uma delas retirase uma amostra de onde se calcula a proporção amostral referente a uma variável aleatória Assim teremos Testes de Hipóteses com duas amostras proporção Implicações do tamanho da amostra Se será caracterizado como amostra e grande e por isso utilizaremos a Distribuição Normal Para o teste de hipótese para a proporção com duas amostras vamos tratar apenas o uso da distribuição de probabilidade Normal Não trataremos o caso do uso da distribuição t de Student Vamos apresentar o Teste para a diferença da proporção de duas populações Hipóteses do teste Hipótese nula a proporção nas duas populações são iguais Hipótese alternativa a proporção nas duas populações são diferentes ou Testes de Hipóteses com duas amostras ou Critérios para testar a hipótese nula Hipótese alternativa Rejeitar a hipótese nula se Aceitar a hipótese nula ou reservar julgamento se p1 p2 Z Zα Z Zα p1 p2 Z Zα Z Zα p1 p2 2 2 Z Z ou Z Z 2 2 Z Z Z Inspecionase uma amostra de 142 peças de uma grande remessa encontrando se 8 defeituosas O fornecedor garante que não haverá mais de 6 de peças defeituosas em cada remessa O que devemos responder com auxílio dos testes de significância é se a afirmação do fornecedor é verdadeira de acordo com 2 de significância STEVENSON W J P 222223 1981 Verificar se a hipótese do fornecedor é verdadeira As hipóteses a serem formuladas são relacionadas a informação do fornecedor H0 p006 H1 p006 p é maior que 006 pois 008 é maior que 006 Testes relativos a proporções Exemplo 1 Verificar se a hipótese do fornecedor é verdadeira H0 p006 H1 p006 n 142 p 006 q 094 α 2 100 2 98 98 50 48 Zcrit205 Assim como Zcalc100 é menor do que Zcrit205 então aceitar H0 Conclusão Isso parece sugerir que a discrepância pode ser devida apenas ao acaso Não é preciso dizer que não podemos afirmar em definitivo que a população tenha realmente uma percentagem de 6 de defeituosas mas em vista da distribuição amostral de tal população e da estatística amostral observada a afirmação H0 parece verdadeira 0 02 142 0 06 0 94 n q p p Rejeitar H0 Aceitar H0 0 205 205 048 crit tabela Z z 1 00 02 0 0 06 0 08 calc Z 002 Exemplo 1 Solução Testes relativos a proporções Grandes amostras 1 0 0 0 p np x np Zcalc Exemplo 2 Para testar a alegação de uma nutricionista de que pelo menos 75 das crianças com menos de seis anos de idade de um certo estado tem dietas deficientes em proteínas um levantamento amostral revelou que 206 de 300 crianças com menos de seis anos daquele estado tem dietas deficientes em proteínas Teste ao nível de 001 de significância Solução H0 p 075 H1 p 075 porque 206300 06867 α 001 1 α 1 001 099 Pelo teste Z z 099 05 049 ver dentro tabela Rejeitar a hipótese nula se Zcalc 233 53 2 0 75 0 751 300 206 300 0 75 Zcalc Como 253 233 Rejeitar H0 Concluise que 75 das crianças com menos de seis anos de idade daquele estado têm dietas deficientes em proteínas Exemplo 3 Um estudo mostrou que 56 dentre 80 pessoas que viram uma propaganda de um molho de espaguete na televisão durante uma novela e 38 dentre 80 pessoas que viram a propaganda durante um jogo de futebol lembraram da marca do molho duas horas depois Ao nível de 001 de significância o que podemos concluir sobre a alegação de que é mais eficaz anunciar esse produto durante o horário de uma novela do que durante um jogo de futebol Suponha que o custo da propaganda seja o mesmo em ambos programas Solução H0 p1 p2 H1 p1 p2 porque no enunciado está é mais eficaz α 001 1 α 1 001 099 Pelo teste Z z 099 05 049 ver dentro tabela Rejeitar a hipótese nula se Zcalc 233 Teste relativo à diferença entre duas proporções 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 n n x x p n p n p n x n x Zcalc Para grandes amostras 1 pq Exemplo 3 Como 289 233 Rejeitar H0 Concluise que anunciar o molho de espaguete durante o horário de uma novela é mais eficaz do que anunciálo durante um jogo de futebol 89 2 80 1 80 1 0 5875 5875 1 0 80 38 80 56 0 5875 80 80 38 56 calc Z p Exemplo 4 Perguntase aos eleitores de duas cidades se eles são contra ou a favor de determinada lei em curso na legislatura do estado Para determinar se os eleitores das duas cidades diferem em termos da percentagem dos que favorecem a lei tomase uma amostra de 100 eleitores em cada cidade Numa delas 30 são a favor da lei na outra apenas 20 Solução H0 p1 p2 H1 p1 p2 bilateral porque o problema não explicita a suposição de que a percentagem numa cidade seja maior do que a percentagem na outra α 001 1 α 1 001 099 Pelo teste Z z 099 05 049 ver dentro tabela Rejeitar a hipótese nula se Zcalc 233 ou Zcalc 233 Exemplo 4 Resolução Como 233 163 233 Aceitar H0 Concluise que as duas cidades não diferem em termos da percentagem dos que são favoráveis à aprovação do projeto 63 1 100 1 100 1 0 25 25 1 0 100 20 100 30 0 25 100 100 20 30 calc Z p
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Testes de Hipóteses Hipótese Alegação ou afirmação sobre o valor de um único parâmetro característica de uma distribuição de probabilidade sobre os valores de vários parâmetros ou sobre a forma de uma distribuição de probabilidade DEVORE p 271 2014 Fontes 1 STEVENSON W J Estatística Aplicada à Administração Ed Harbra 1981 2 DEVORE J L Probabilidade e Estatística para engenharia e Ciências Ed Cengage Learning 2014 3 MAGALHÃES M N LIMA A C P de Noções de Probabilidade e Estatística 3ª ed IME USP 2001 4 TAVARESM Estatística Aplicada a Administração httpceadufpibrconteudomaterialonlinedisciplinasestatisticadownloadEstatisticacompletorevisadopdf 5 THURMAN P W Estatística Ed Saraiva 2012 6 FREUND J E Estatística Aplicada Ed Bookman 2009 Profa Flainer Rosa de Lima Testes de Hipóteses Aceitar ou Rejeitar decisões baseandose em um conjunto de evidências Exemplos Culpa ou inocência de um indivíduo num julgamento Eficiência ou não de uma vacina Pontualidade ou não na chegada dos funcionários Conteúdo líquido de garrafas segue ou não a orientação do rótulo como refrigerantes água sucos cervejas Falhas de comunicação em uma central de telefonia etc Ao surgir uma dúvida em relação a uma afirmação devese sugerir uma hipótese H1 alternativa de acordo com a decisão que deseja tomar As hipóteses são formuladas da seguinte forma H0 Baseada no comportamento passado do processo H1 Formulada em função de alterações ou inovações OU H0 Baseada na opinião que deve ser comprovada H1 Formulada ao contrário da opinião a ser comprovada Testes de Hipóteses Nível de significância ERROS NA CONCLUSÃO TIPO I Rejeitamos a hipótese nula sendo ela verdadeira é chamado de nível de significância do teste TIPO II Não rejeitamos a hipótese nula sendo ela falsa 1 é chamado de Poder do teste 1 O Poder do teste é a probabilidade de acerto quando H0 é falsa Poder do teste O Nível de Significância mais utilizado é 005 ou 5 Testes de Hipóteses com duas amostras Definição duas amostras são independentes se a amostra selecionada de uma das populações não está relacionada à amostra selecionada na segunda população Aqui vamos construir teste de hipóteses para comparar um parâmetro estatístico de duas populações normais Vamos nos concentrar apenas no caso de comparar a média ou proporção para amostras independentes Implicações do tamanho da amostra Para amostras pequenas 30 observações com variâncias desconhecidas utilizaremos a Distribuição t de Student Para os demais casos utilizaremos a Distribuição Normal Vamos apresentar o Teste para a diferença da média de duas populações Hipóteses do teste Hipótese nula média das duas populações são iguais Hipótese alternativa média das duas populações são diferentes ou Testes de Hipóteses com duas amostras ou Se σ é conhecido e n ou n1 n2 30 usar Distribuição Normal Z Se σ é desconhecido e n ou n1 n2 30 usar tStudent t com grau de liberdade Se n gl n 1 Se n1 n2 gl n1 n2 2 por ser duas amostras STEVENSON p 240 Modelo a ser utilizado Comparação de duas médias σ Conhecido amostra única Uma n x Z n N X Amostra N X calc 2 2 2 EPM Erro padrão da média Comparação de duas médias σ Conhecido x x x Z n N X só média Uma 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 n n x x Z amostras n N X Amostra n N X Amostra N X calc Erro padrão da diferença entre duas médias Critérios para testar a hipótese nula Hipótese alternativa Rejeitar a hipótese nula se Aceitar a hipótese nula ou reservar julgamento se μ1 μ2 Z Zα Z Zα μ1 μ2 Z Zα Z Zα μ1 μ2 2 2 Z Z ou Z Z 2 2 Z Z Z As vendas semanais por vendedor de um dado produto totalizam 10000 unidades com desvio Padrão de 1200 José tem sido o melhor vendedor da equipe e está treinando João Uma amostra aleatória de 16 semanas apontou que João teve uma venda média de 10200 e José de 11200 Baseandose nestes dados é possível afirmar a um nível de significância da 5 que João já é tão bom quanto José Região de aceitação de H0 Região Critica RC rejeição de H0 valor negativo Exemplo Solução Em vista da formulação João já é tão bom quanto José do problema usamos o teste unilateral a esquerda H0 μ1 μ2 ou João vende a mesma quantidade que José H1 μ1 μ2 ou João vende menos que José 10200 11200 σ 1200 n1 n2 16 16 16 32 ENTÃO D NORMAL α 005 1 α 1 005 095 Pelo teste Z z 095 05 045 ver dentro tabela Rejeitar a hipótese nula se Zcalc 164 Exemplo Resolução 3570 2 180000 1000 16 1200 16 1200 11200 10200 2 2 calc Z Como 236 164 Rejeitar H0 Concluise ao nível de significância de 5 que João não é tão bom quanto José Zcalc 236 na tabela é z 04909 assim pvalor 05 04909 00091 00091 005 então rejeitar H0 Erros tipo I e II Erro tipo I Rejeitar H0 quando de fato H0 é verdadeiro Erro tipo II Aceitar H0 quando de fato H0 é falsa O nível de significância Alfa é a probabilidade de se cometer o Erro tipo I Erro tipo I Ex Seria dizer que João não é tão bom quanto José quando isso não é verdadeiro injusto Erro tipo II Ex Seria dizer que João já é tão bom quanto José quando isso não é verdadeiro complacente H0 verdadeira H0 falsa Aceitar H0 Decisão correta Erro II Rejeitar H0 Erro I Decisão correta Situação Decisão Valor p p value Para exemplificar a definição de pvalor considere um teste de hipóteses para a média no qual o valor da estatística é dado por Zref A figura representa o pvalor no casos de um teste bilateral com rejeição da hipótese nula O pvalor é também denotado como nível descritivo do teste Valor p p value O pvalue também denotado como nível descritivo do teste é a probabilidade de que a estatística do teste como variável aleatória tenha valor extremo em relação ao valor observado estatística quando a hipótese H0 é verdadeira O Valor p é a probabilidade de uma diferença seja maior que a diferença encontrada pela amostra devido a um simples acaso estatístico Para exemplificar lembremos que no caso da comparação de performance dentre João e José tivemos Zres d 100042426 236 Pela tabela da normal reduzida temos que Pz 236 00094 094 Logo temos que o valor p 094 Como p foi menor que o nível de significância definido 5 rejeitamos a hipótese H0 de igualdade de performance Obs Os softwares fornecem o pvalue para um teste Exercício 1 Num estudo para testar se há ou não diferença entre as alturas médias de mulheres adultas em dois países diferentes amostras aleatórias de tamanhos n1 120 e n2 150 deram médias x1 627cm e x2 618 cm Estudos intensos desse tipo mostraram que é razoável tomar σ1 250cm e σ2 262cm Teste ao nível 005 de significância se a diferença entre essas duas amostras é significante Solução Em vista da formulação se há ou não do problema usamos o teste bilateral H0 μ1 μ2 H1 μ1 μ2 α 005 Como n1 n2 120 150 30 então usar o teste Z Rejeitar a hipótese nula se Zcalc 196 ou se Zcalc 196 88 2 150 2 62 120 2 50 618 7 62 2 2 calc Z Como 288 196 Rejeitar H0 Exercício 1 Ou seja a diferença entre as médias é estatisticamente significante Se também é de algum significado prático digamos para um fabricante de roupas femininas é um outro assunto Como 288 196 Rejeitar H0 Zcalc 288 na tabela é 04980 assim como são duas caldas o pvalor é 20504980 00040 Como 04 5 então rejeita H0 Um supermercado não sabe se deve comprar lâmpadas da marca A ou B de mesmo preço Testa uma amostra de 100 lâmpadas de cada uma das marcas obtendo A XA N 1160h 8100h B XB N 1140h 6400h Ao nível de 25 testar a hipótese de que as marcas são igualmente boas quanto contra a hipótese de que as da marca A são melhores que as da marca B Exercício 2 Solução Em vista da formulação são melhores que do problema usamos o teste unilateral a direita H0 μA μB H1 μA μB Como n1 n2 100 então usar o teste Z α 0025 1 α 1 0025 0975 z 0975 05 0475 Rejeitar a hipótese nula se Zcalc 196 6609 1 100 6400 100 8100 1160 1140 calc Z Como 166 196 Aceitar H0 Exercício 2 Ou seja não é significante a diferença entre as vidas médias das lâmpadas da marca A ou marca B ao nível de 25 Zcalc 166 na tabela é 04515 como é só uma calda então pvalor 05 04515 00485 485 25 então aceita H0 Como 166 196 Aceitar H0 PSPP Baixar PSPP httpswwwgnuorgsoftwarepspp Conversor de arquivos Excel para PSPP httpssecurencounterdeSpssConverterCo nvertExcelToSpss Excel extensão xlsx PSPP extensão sav Comparação de duas médias σ Desconhecido 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 n n s n s n s n n s x x t s N X Amostra s N X Amostra N X p p calc Quando o tamanho das duas amostras não são iguais e sua soma é menor ou igual a 30 usar tStudent As amostras aleatórias seguintes são medições da capacidade de gerar calor em milhões de calorias por tonelada do carvão de duas minas Mina 1 8380 8180 8500 7840 7990 Mina2 7660 7510 7910 8070 7790 Use o nível 005 de significância para testar se a diferença entre as médias dessas duas amostras é significante Exemplo Solução Em vista da formulação testar a diferença do problema usamos o teste bilateral H0 μ1 μ2 H1 μ1 μ2 Como n1 n2 30 então usar o teste tStudent α 005 então gl 5 5 2 8 t0025 8 2306 Rejeitar a hipótese nula se tcalc 2306 ou se tcalc 2306 Exemplo Resolução Total Mina 1 8380 8180 8500 7840 7990 40890 X2 70224400 66912400 72250000 61465600 63840100 334692500 Mina 2 7660 7510 7910 8070 7790 38940 X2 58675600 56400100 62568100 65124900 60684100 303452800 Exemplo Resolução 216 84095 5 38940 1 303452800 1 5 1 7788 5 38940 2 27114571 5 40890 1 334692500 1 5 1 8178 5 40890 1 2 2 s X Mina s X Mina Excel Média MÉDIAselecionar os dados Variância VAPAselecionar os dados Desvio Padrão DESVPADAselecionar os dados 51 2 5 1 5 1 5 245 7788 8178 245 5 2 5 5 1216 8 5 1271 1 5 7788 216 8 2 8178 271 1 1 2 2 2 2 2 1 2 calc p t s N X Mina N X Mina s N X Como 251 2306 Rejeitar H0 Concluise que a diferença entre as duas médias amostrais é significante Exemplo Resolução pvalor 003637 que é menor que 005 então Rejeitar H0 Como tcalc 251 não tem na tabela tStudent assim Para saber o pvalor correto somente utilizando softwares Excel DISTTtcalc n1n22 1 ou 2 caldas DISTT25182 Para usar o PSPP é necessário ter os dados primários Exemplo Resolução RESOLUÇÃO EM EXCEL Comparação de Médias com Excel Acrescentar a função ANÁLISE DE DADOS No EXCEL 1 Arquivo 2 Opções 3 Suplementos suplementos do Excel ir 4 Ferramenta de Análise 5 OK Comparação de Médias com Excel No Excel DADOS ANÁLISE DE DADOS Comparação de Médias com Excel ESCOLHER O NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA ALFA α 005 OU α 001 OU OUTRO Após tudo preenchido tecle OK Dados do enunciado Testet duas amostras presumindo variâncias diferentes Variável 1 Variável 2 Média 8178 7788 Variância 73520 47020 Observações 5 5 Hipótese da diferença de média 0 gl 8 Stat t 2511793982 T CALCULADO PTt unicaudal 0018134714 t crítico unicaudal 1859548038 PTt bicaudal 0036269428 PVALOR 3 5 REJEITA H0 t crítico bicaudal 2306004135 T CRÍTICO Em uma prova de estatística 12 alunos de uma classe conseguiram média 78 e desvio padrão de 06 ao passo que 15 alunos de outra turma do mesmo curso conseguiram média 74 com desvio padrão de 08 Considerando distribuições normais para as notas verificar se o primeiro grupo é superior ao segundo ao nível de 5 Exercício 1 Solução Em vista da formulação se o primeiro grupo é superior ao segundo do problema usamos o teste unilateral a direita H0 μ1 μ2 H1 μ1 μ2 Como n1 n2 30 então usar o teste tStudent α 005 então gl 12 15 2 25 t005 25 1708 Rejeitar a hipótese nula se tcalc 1708 4366 1 15 1 12 1 7189 0 74 8 7 71888 2 15 12 10 8 15 10 6 12 74 0 8 15 2 0 6 7 8 12 1 2 2 2 2 2 1 2 calc p t s N X n N X n s N X 0 Como 144 1708 Aceitar H0 Concluise que a 5 não há motivos para considerar a primeira turma superior à segunda Exercício 1 Resolução pvalor 00816 que é maior que 005 então Aceitar H0 Como tcalc 14366 não tem na tabela tStudent assim Para saber o pvalor correto somente utilizando softwares Excel DISTTtcalc n1n22 1 ou 2 caldas DISTT14366251 Para usar o PSPP é necessário ter os dados primários Exercício 1 Resolução O QI de 16 estudantes de uma zona pobre de certa cidade apresenta a média de 107 pontos com desvio padrão de 10 pontos enquanto os 14 estudantes de outra região rica da cidade apresentam média de 112 pontos com desvio padrão de 8 pontos O QI em ambas as regiões tem distribuição normal Há uma diferença significativa ente os QIs médios dos dois grupos a 5 Exercício 2 Solução Em vista da formulação diferença significativa do problema usamos o teste bilateral H0 μ1 μ2 H1 μ1 μ2 Como n1 n2 30 então usar o teste tStudent α 005 então gl 16 14 2 28 t0025 28 2048 Rejeitar a hipótese nula se tcalc 2048 ou tcalc 2048 4971 1 14 1 16 1 1261 9 112 107 91261 2 14 16 164 14 1100 16 112 64 14 2 107 100 16 1 2 1 2 calc p t s N X n N X n s N X Como 1497 2048 Aceitar H0 Concluise que a 5 não é significativa a diferença entre os QIs das duas regiões da cidade Exercício 2 Resolução 095 67371 67371 095 14 64 16 100 2048 0 14 64 16 100 2048 0 112 64 14 2 107 100 16 1 2 1 2 d d X P X P N X n N X n s N X Como 67371 5 67371 Aceitar H0 Exercício 2 OUTRA Resolução 5 107 112 Xd Dados Emparelhados O método para σ conhecido e σ desconhecido só podem ser usados quando as variáveis são independentes Não podem ser usados quando lidamos com comparações do tipo Antes e depois Idades de maridos e esposas Prisão de assaltantes de banco e condenações em vários estados Taxas de juro cobradas e pagas por instituições financeiras Chutes a gol o primeiro e no segundo tempo Carros estocados e carros vendidos por negociantes de carros usados Para esses dados em geral H0 μ 0 e H1 μ 0 ou μ 0 ou μ 0 E trabalhamos com a diferença entre os pares ordenados das amostras A seguir estão as perdas semanais médias de horas homem devido a acidentes em dez indústrias antes e depois da adoção de um programa de segurança abrangente Teste a eficácia do programa de segurança ao nível 005 de significância Exemplo 45 e 36 73 e 60 46 e 44 124 e 119 33 e 35 57 e 51 83 e 77 34 e 29 26 e 24 17 e 11 Diferença entre os pares ordenados Exemplo Resolução 45 e 36 73 e 60 46 e 44 124 e 119 33 e 35 57 e 51 83 e 77 34 e 29 26 e 24 17 e 11 45 36 9 73 60 13 46 44 2 124 119 5 33 35 2 57 51 6 83 77 6 34 29 5 26 24 2 17 11 6 H0 μ 0 o programa não é eficaz H1 μ 0 o programa é eficaz a alternativa é que em média tenha havido mais acidentes antes e depois Diferença entre os pares ordenados Exemplo Resolução H0 μ 0 H1 μ 0 Como n 10 então usar t α 005 gl 10 1 9 t0059 1833 Rejeitar a hipótese nula se tcalc 1833 Total X 9 13 2 5 2 6 6 5 2 6 52 X2 81 169 4 25 4 36 36 25 4 36 420 40770 10 52 1 1 420 10 1 5 2 10 52 2 s X 03 4 10 0770 4 0 5 2 tcalc Como 403 1833 Rejeitar H0 Concluise que o programa de segurança industrial é eficaz pvalor 00014 que é menor que 005 então Rejeitar H0 Como tcalc 403 não tem na tabela tStudent assim Para saber o pvalor correto somente utilizando softwares Para saber o pvalor correto somente utilizando softwares Excel DISTTtcalc n1 1 ou 2 caldas DISTT40391 Exemplo Resolução EXCEL DADOS e Testet duas amostras em par para médias Variável 1 Variável 2 Média 538 486 Variância 1027733333 9629333333 Observações 10 10 Correlação de Pearson 0992175729 Hipótese da diferença de média 0 gl 9 Stat t 4033283982 T CALCULADO PTt unicaudal 0001479161 PVALOR t crítico unicaudal 1833112933 T CRÍTICO PTt bicaudal 0002958323 t crítico bicaudal 2262157163 Um grupo de 10 pessoas é submetido a um tipo de dieta por 10 dias estando o peso antes do início Xi e no final da dieta Yi marcados na tabela abaixo Ao nível de 5 podemos concluir que houve diminuição do peso médio pela aplicação da dieta Exercício Pessoas A B C D E F G H I J Xi 120 104 93 87 85 98 102 106 88 90 Yi 116 102 90 83 86 97 98 108 82 85 Pessoas A B C D E F G H I J Xi 120 104 93 87 85 98 102 106 88 90 Yi 116 102 90 83 86 97 98 108 82 85 Total Xi Yi 4 2 3 4 1 1 4 2 6 5 26 Xi Yi2 16 4 9 16 1 1 16 4 36 25 128 Exercício Resolução Diferença entre os pares ordenados H0 μ 0 a nova dieta não é efetiva H1 μ 0 aplicação da dieta é efetiva Como n 10 então usar t α 005 gl 10 1 9 t0059 1833 Rejeitar a hipótese nula se tcalc 1833 25905 10 26 1 1 128 10 1 2 6 10 26 2 s X 1744 3 10 59 2 0 2 6 calc t A 95 de confiabilidade concluímos que é significativa a queda de peso pelo uso da dieta no grupo Como 317 1833 Rejeitar H0 pvalor 00056 que é menor que 005 então Rejeitar H0 Como tcalc 31744 não tem na tabela tStudent assim Para saber o pvalor correto somente utilizando softwares Para saber o pvalor correto somente utilizando softwares Excel DISTTtcalc n1n22 1 ou 2 caldas DISTT3174491 Para usar o PSPP é necessário ter os dados primários Exercício Resolução PVALOR 2 CALDAS Se 0011 2 0055 pvalor uma calda Resultado do PSPP T CALCULADO Testes de Hipóteses com duas amostras proporção Agora vamos construir teste de hipóteses para comparar a proporção de duas populações normais Vamos nos concentrar apenas no caso de comparar a proporção para amostras independentes Considere duas populações P1 e P2 e para cada uma delas retirase uma amostra de onde se calcula a proporção amostral referente a uma variável aleatória Assim teremos Testes de Hipóteses com duas amostras proporção Implicações do tamanho da amostra Se será caracterizado como amostra e grande e por isso utilizaremos a Distribuição Normal Para o teste de hipótese para a proporção com duas amostras vamos tratar apenas o uso da distribuição de probabilidade Normal Não trataremos o caso do uso da distribuição t de Student Vamos apresentar o Teste para a diferença da proporção de duas populações Hipóteses do teste Hipótese nula a proporção nas duas populações são iguais Hipótese alternativa a proporção nas duas populações são diferentes ou Testes de Hipóteses com duas amostras ou Critérios para testar a hipótese nula Hipótese alternativa Rejeitar a hipótese nula se Aceitar a hipótese nula ou reservar julgamento se p1 p2 Z Zα Z Zα p1 p2 Z Zα Z Zα p1 p2 2 2 Z Z ou Z Z 2 2 Z Z Z Inspecionase uma amostra de 142 peças de uma grande remessa encontrando se 8 defeituosas O fornecedor garante que não haverá mais de 6 de peças defeituosas em cada remessa O que devemos responder com auxílio dos testes de significância é se a afirmação do fornecedor é verdadeira de acordo com 2 de significância STEVENSON W J P 222223 1981 Verificar se a hipótese do fornecedor é verdadeira As hipóteses a serem formuladas são relacionadas a informação do fornecedor H0 p006 H1 p006 p é maior que 006 pois 008 é maior que 006 Testes relativos a proporções Exemplo 1 Verificar se a hipótese do fornecedor é verdadeira H0 p006 H1 p006 n 142 p 006 q 094 α 2 100 2 98 98 50 48 Zcrit205 Assim como Zcalc100 é menor do que Zcrit205 então aceitar H0 Conclusão Isso parece sugerir que a discrepância pode ser devida apenas ao acaso Não é preciso dizer que não podemos afirmar em definitivo que a população tenha realmente uma percentagem de 6 de defeituosas mas em vista da distribuição amostral de tal população e da estatística amostral observada a afirmação H0 parece verdadeira 0 02 142 0 06 0 94 n q p p Rejeitar H0 Aceitar H0 0 205 205 048 crit tabela Z z 1 00 02 0 0 06 0 08 calc Z 002 Exemplo 1 Solução Testes relativos a proporções Grandes amostras 1 0 0 0 p np x np Zcalc Exemplo 2 Para testar a alegação de uma nutricionista de que pelo menos 75 das crianças com menos de seis anos de idade de um certo estado tem dietas deficientes em proteínas um levantamento amostral revelou que 206 de 300 crianças com menos de seis anos daquele estado tem dietas deficientes em proteínas Teste ao nível de 001 de significância Solução H0 p 075 H1 p 075 porque 206300 06867 α 001 1 α 1 001 099 Pelo teste Z z 099 05 049 ver dentro tabela Rejeitar a hipótese nula se Zcalc 233 53 2 0 75 0 751 300 206 300 0 75 Zcalc Como 253 233 Rejeitar H0 Concluise que 75 das crianças com menos de seis anos de idade daquele estado têm dietas deficientes em proteínas Exemplo 3 Um estudo mostrou que 56 dentre 80 pessoas que viram uma propaganda de um molho de espaguete na televisão durante uma novela e 38 dentre 80 pessoas que viram a propaganda durante um jogo de futebol lembraram da marca do molho duas horas depois Ao nível de 001 de significância o que podemos concluir sobre a alegação de que é mais eficaz anunciar esse produto durante o horário de uma novela do que durante um jogo de futebol Suponha que o custo da propaganda seja o mesmo em ambos programas Solução H0 p1 p2 H1 p1 p2 porque no enunciado está é mais eficaz α 001 1 α 1 001 099 Pelo teste Z z 099 05 049 ver dentro tabela Rejeitar a hipótese nula se Zcalc 233 Teste relativo à diferença entre duas proporções 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 n n x x p n p n p n x n x Zcalc Para grandes amostras 1 pq Exemplo 3 Como 289 233 Rejeitar H0 Concluise que anunciar o molho de espaguete durante o horário de uma novela é mais eficaz do que anunciálo durante um jogo de futebol 89 2 80 1 80 1 0 5875 5875 1 0 80 38 80 56 0 5875 80 80 38 56 calc Z p Exemplo 4 Perguntase aos eleitores de duas cidades se eles são contra ou a favor de determinada lei em curso na legislatura do estado Para determinar se os eleitores das duas cidades diferem em termos da percentagem dos que favorecem a lei tomase uma amostra de 100 eleitores em cada cidade Numa delas 30 são a favor da lei na outra apenas 20 Solução H0 p1 p2 H1 p1 p2 bilateral porque o problema não explicita a suposição de que a percentagem numa cidade seja maior do que a percentagem na outra α 001 1 α 1 001 099 Pelo teste Z z 099 05 049 ver dentro tabela Rejeitar a hipótese nula se Zcalc 233 ou Zcalc 233 Exemplo 4 Resolução Como 233 163 233 Aceitar H0 Concluise que as duas cidades não diferem em termos da percentagem dos que são favoráveis à aprovação do projeto 63 1 100 1 100 1 0 25 25 1 0 100 20 100 30 0 25 100 100 20 30 calc Z p