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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MAC 14 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES HOMOGÊNEAS DE ORDEM N COM COEFICIENTES CONSTANTES Bibliografia básica Zill D G Cullen M R Equações diferenciais 3 Ed V1 São Paulo PearsonMakron Books 2008 Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de ordem n Definição Entendese por uma Equação Diferencial Linear Ordinária de Ordem n a uma Equação da forma 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 𝑛 𝑎𝑛1 𝑥 𝑦 𝑛1 𝑎1𝑥 𝑦 𝑎0 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 Em que 𝑎𝑛𝑥 𝑎𝑛1𝑥 𝑎1 𝑥 𝑒 𝑎0 𝑥 e 𝑓𝑥 são funções contínuas num dado intervalo I e 𝑎𝑛𝑥 0 𝑥 I Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de ordem n Definição A Equação Diferencial Linear Ordinária de Ordem n 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 𝑛 𝑎𝑛1 𝑥 𝑦 𝑛1 𝑎1𝑥 𝑦 𝑎0 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 É dita homogênea de ordem n se 𝒇 𝒙 𝟎 É dita não homogênea de ordem n se 𝒇 𝒙 𝟎 Problema de valor inicial Entendese por um problema de valor inicial a Equação Diferencial Linear Ordinária de Ordem n 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 𝑛 𝑎𝑛1 𝑥 𝑦 𝑛1 𝑎1𝑥 𝑦 𝑎0 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 Sujeita às n condições iniciais 𝑦 𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑥0 𝑦0 𝑦𝑛1 𝑥0 𝑦0 𝑛1 Em que 𝑎𝑛𝑥 𝑎𝑛1𝑥 𝑎0 𝑥 e 𝑓𝑥 são funções contínuas num dado intervalo 𝐼 e 𝑎𝑛𝑥 0 𝑥 𝐼 Definição Dependência e Independência Linear de funções Um conjunto de n funções 𝑓1 𝑥 𝑓2 𝑥 𝑓𝑛 𝑥 é dito linearmente independente LI em um dado intervalo I se para quaisquer constantes 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 a igualdade 𝑎1𝑓1 𝑥 𝑎2𝑓2 𝑥 𝑎𝑛𝑓𝑛 𝑥 0 só for possível se 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 0 𝑥 I Se a igualdade for possível com pelo menos uma das constantes 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 não nula o conjunto é dito linearmente dependente LD Teorema 1 Considere a EDO homogênea de ordem n 𝑎𝑛𝑥𝑦 𝑛 𝑎𝑛1𝑥𝑦 𝑛1 𝑎1𝑥𝑦 𝑎0𝑥𝑦 0 e suponha que 𝑦1 𝑦2 𝑦𝑛 sejam soluções linearmente independentes da EDO homogênea em um intervalo I Então a solução geral 𝑦 da EDO é uma combinação linear das n soluções dadas 𝑦1 𝑦2 𝑦𝑛 ou seja 𝑦 𝑎1𝑦1 𝑎2𝑦2 𝑎𝑛𝑦𝑛 sendo 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 constantes arbitrárias Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de ordem n com coeficientes constantes Se na equação 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 𝑛 𝑎𝑛1 𝑥 𝑦 𝑛1 𝑎1𝑥 𝑦 𝑎0 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 tivermos que 𝑎𝑛𝑥 𝑎𝑛1𝑥 𝑎1 𝑥 e 𝑎0 𝑥 são funções constantes então teremos uma equação denominada Equação Diferencial Linear de Ordem n com Coeficientes Constantes 𝛼𝑛𝑦 𝑛 𝛼𝑛1𝑦 𝑛1 𝛼1𝑦 𝛼0𝑦 𝑓 𝑥 Em que 𝛼𝑛 𝛼𝑛1 𝛼0 são constantes e 𝑓𝑥 é contínua num dado intervalo I e 𝛼𝑛 0 𝑥 I Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de ordem 2 com coeficientes constantes Inicialmente admitiremos 𝑛 2 e então teremos a Equação Diferencial Linear de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 𝑓 𝑥 1 Em que 𝑎 b e c são constantes e 𝑓𝑥 é contínua num dado intervalo I e a 0 𝑥 I EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEAS COM COEFICIENTES CONSTANTES Considerando a equação diferencial 𝑎𝑦𝑏𝑦 𝑐𝑦 𝑓𝑥 Vamos estudar as equações do tipo acima para dois casos distintos 1º Caso Quando 𝑓 𝑥 0 EDO é dita homogênea 2º Caso Quando 𝑓𝑥 0 EDO é dita não homogênea PS Mais a frente falaremos sobre as EDOs do tipo acima de ordens superiores 1º Caso Quando 𝒇 𝒙 𝟎 Definição Entendese por uma Equação Diferencial Linear Homogênea de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes a uma equação da forma 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 0 2 Em que 𝑎 𝑏 e 𝑐 são constantes e 𝑎 0 Para resolver a equação 2 vamos propor uma solução da forma 𝑦 𝑒𝜆𝑥 𝜆 ℝ Se 𝑦 𝑒𝜆𝑥 então 𝑦 𝜆𝑒𝜆𝑥 e 𝑦 𝜆2𝑒𝜆𝑥 Agora substituímos na equação 2 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 𝑎𝜆2𝑒𝜆𝑥 𝑏𝜆𝑒𝜆𝑥 𝑐𝑒𝜆𝑥 𝑒𝜆𝑥𝑎𝜆2 𝑏𝜆 𝑐 0 Mas como sabemos 𝑒𝜆𝑥 0 então temos necessariamente 𝑎𝜆2 𝑏𝜆 𝑐 0 Essa equação é denominada Equação Característica Cujas raízes são dadas por 𝜆1 𝑏 𝑏24𝑎𝑐 2𝑎 e 𝜆2 𝑏 𝑏24𝑎𝑐 2𝑎 Ora sabemos que dada uma equação de segundo grau na variável 𝜆 tal que 𝑎𝜆2 𝑏𝜆 𝑐 0 Temse três possibilidades para a solução da equação característica ou seja Caso 1 Se 𝑏2 4𝑎𝑐 0 teremos duas raízes reais e distintas 𝜆1 𝜆2 E nesse caso a solução geral da EDO 2 será dada por uma combinação linear das duas soluções linearmente independentes 𝑒𝜆1𝑥 e 𝑒𝜆2𝑥 conforme teorema 1 Ou seja 𝑦 𝑥 𝐴𝑒𝜆1𝑥 𝐵𝑒𝜆2𝑥 𝑐𝑜𝑚 𝐴 𝑒 𝐵 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟 Caso 2 Se 𝑏2 4𝑎𝑐 0 teremos duas raízes reais e iguais 𝜆1 𝜆2 𝜆 e a solução geral da EDO 2 será dada também pela combinação linear de duas soluções linearmente independentes 𝑒𝜆𝑥 e 𝑥𝑒𝜆𝑥 ou seja 𝑦 𝑥 𝐴𝑒𝜆𝑥 𝐵𝑥𝑒𝜆𝑥 com A e B constantes quaisquer PS Podese provar que se 𝑒𝜆𝑥 for solução da equação 2 então 𝑥𝑒𝜆𝑥 também será solução da equação 2 Caso 3 Se 𝑏2 4𝑎𝑐 0 temos duas raízes complexas conjugadas 𝜆1 𝛼 𝛽𝑖 𝑒 𝜆2 𝛼 𝛽𝑖 sendo 𝛼 𝛽 ℝ 𝑒 𝑖 1 Assim a solução geral de 2 será dada também pela combinação linear de duas soluções linearmente independentes ou seja 𝑦𝑥 𝑒𝛼𝑥𝐴 cos𝛽𝑥 Bsen𝛽𝑥 com A e B constantes quaisquer Exemplos Resolva as EDOs 1 𝑦 6𝑦 5𝑦 0 𝐴𝑞𝑢𝑖 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 1 𝑏 6 𝑒 𝑐 5 Equação Característica 𝜆2 6𝜆 5 0 𝜆 6 3645 2 6 4 2 Então temos 𝜆1 1 e 𝜆2 5 duas raízes reais e distintas 1º caso Lembrete da Solução geral 𝑦 𝑥 𝐴𝑒𝜆1𝑥 𝐵𝑒𝜆2𝑥 𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝐺𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑦 𝑥 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑒5𝑥 Exemplos Resolva as EDOs 2 𝑦 9𝑦 0 𝑦 0 0 𝑒 𝑦 0 1 𝐴𝑞𝑢𝑖 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 1 𝑏 0 𝑒 𝑐 9 Equação Característica 𝜆2 9 0 𝜆1 3 𝑒 𝜆2 3 duas raízes reais e distintas 1º caso Lembrete da solução geral 𝑦 𝑥 𝐴𝑒𝜆1𝑥 𝐵𝑒𝜆2𝑥 𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑦 𝑥 𝐴𝑒3𝑥 𝐵𝑒3𝑥 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑦 𝐴𝑒3𝑥 𝐵𝑒3𝑥 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑦 3𝐴𝑒3𝑥 3𝐵𝑒3𝑥 Lembrando que 𝑦 0 0 𝑒 𝑦 0 1 0 𝐴 𝐵 𝑒 1 3𝐴 3𝐵 𝐴 1 6 𝑒 𝐵 1 6 Solução do PVI 𝑦 𝑥 𝑒3𝑥 6 𝑒3𝑥 6 3 𝑦 2𝑦 𝑦 0 𝑦 0 2 𝑒 𝑦 0 3 Equação Característica 𝜆2 2𝜆 1 𝜆 12 0 duas raízes reais e iguais Aqui temos 𝜆1 𝜆2 1 Lembrete da Solução geral 𝑦 𝑥 𝐴𝑒𝜆𝑥 𝐵𝑥𝑒𝜆𝑥 Solução geral 𝑦 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑥𝑒𝑥 e 𝑦 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑒𝑥 𝐵𝑥𝑒𝑥 De 𝑦 0 2 obtemos A 2 e de 𝑦 0 3 obtemos 2 𝐵 3 então 𝐵 1 Solução do PVI 𝑦 𝑥 2𝑒𝑥 𝑥𝑒𝑥 4 𝑦 𝑦 𝑦 0 Equação Característica 𝜆2 𝜆 1 0 𝜆 1 14 2 1 2 3 2 𝑖 𝜆1 1 2 3 2 𝑖 𝑒 𝜆2 1 2 3 2 𝑖 Onde 𝛼 1 2 𝑒 𝛽 3 2 Solução geral 𝑦𝑥 𝑒𝛼𝑥𝐴cos𝛽𝑥 Bsen𝛽𝑥 Solução geral 𝑦 𝑥 𝑒 𝑥 2 𝐴𝑐𝑜𝑠 3 2 𝑥 𝐵𝑠𝑒𝑛 3 2 𝑥 No caso de uma EDO linear homogênea de ordem 3 a solução geral é construída da mesma forma que no caso de ordem 2 ou seja se a EDO for 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 𝑑𝑦 0 EDO de 3a 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 A solução geral será 𝑦 𝑥 𝐴𝑦1 𝐵𝑦2 𝐶𝑦3 𝐴 𝐵 𝑒 𝐶 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎𝑟𝑏𝑖𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑎𝑠 Sendo 𝑦1 𝑦2 𝑦3 soluções LI da EDO dada No caso de uma EDO linear homogênea de ordem 4 a solução geral é construída da mesma forma que no caso de ordem 2 ou seja se a EDO for 𝑎y4 𝑏𝑦 𝑐𝑦 𝑑𝑦 𝑒𝑦 0 EDO de 4𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 A solução geral será 𝑦 𝑥 𝐴𝑦1 𝐵𝑦2 𝐶𝑦3 𝐷𝑦4 𝐴𝐵 𝐶 𝑒 𝐷 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎𝑟𝑏𝑖𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑎𝑠 Sendo 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦4 são soluções LI da EDO dada PS Para ordens maiores as soluções são construídas exatamente do mesmo jeito EDO de Terceira Ordem 5 𝑦 2𝑦 𝑦 0 Equação Característica 𝜆3 2𝜆2 𝜆 𝜆 𝜆2 2𝜆 1 𝜆𝜆 12 0 Note que 𝜆 0 é uma raiz real simples e 𝜆 1 é raiz real dupla assim Solução geral 𝑦𝑥 𝐴 𝐵𝑒𝑥 𝐶𝑥𝑒𝑥 EDO de Quarta Ordem 6 𝑦4 2𝑦 𝑦 0 Equação Característica 𝜆4 2𝜆2 1 0 𝜆2 12 0 Cujas raízes são 𝜆1 𝜆2 1 e 𝜆3 𝜆4 1 assim Solução geral 𝑦𝑥 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑥𝑒𝑥 𝐶𝑒𝑥 𝐷𝑥𝑒𝑥 Exercícios Resolva as equações lineares homogêneas abaixo 1 12𝑦 5𝑦 2𝑦 0 Resposta 𝑦 𝑐1𝑒2𝑥3 𝑐2𝑒𝑥4 2 𝑦 8𝑦 16𝑦 0 Resposta 𝑦 𝑐1𝑒4𝑥 𝑐2𝑥𝑒4𝑥 3 𝑦 16𝑦 0 Resposta 𝑦 2 cos4𝑥 1 2 sen4𝑥 𝑦 0 2 𝑦 0 2 4 𝑦 5𝑦 3𝑦 9𝑦 0 Resposta 𝑦 𝑐1𝑒𝑥 𝑐2𝑒3𝑥 𝑐3𝑥𝑒3𝑥
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MAC 14 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES HOMOGÊNEAS DE ORDEM N COM COEFICIENTES CONSTANTES Bibliografia básica Zill D G Cullen M R Equações diferenciais 3 Ed V1 São Paulo PearsonMakron Books 2008 Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de ordem n Definição Entendese por uma Equação Diferencial Linear Ordinária de Ordem n a uma Equação da forma 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 𝑛 𝑎𝑛1 𝑥 𝑦 𝑛1 𝑎1𝑥 𝑦 𝑎0 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 Em que 𝑎𝑛𝑥 𝑎𝑛1𝑥 𝑎1 𝑥 𝑒 𝑎0 𝑥 e 𝑓𝑥 são funções contínuas num dado intervalo I e 𝑎𝑛𝑥 0 𝑥 I Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de ordem n Definição A Equação Diferencial Linear Ordinária de Ordem n 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 𝑛 𝑎𝑛1 𝑥 𝑦 𝑛1 𝑎1𝑥 𝑦 𝑎0 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 É dita homogênea de ordem n se 𝒇 𝒙 𝟎 É dita não homogênea de ordem n se 𝒇 𝒙 𝟎 Problema de valor inicial Entendese por um problema de valor inicial a Equação Diferencial Linear Ordinária de Ordem n 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 𝑛 𝑎𝑛1 𝑥 𝑦 𝑛1 𝑎1𝑥 𝑦 𝑎0 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 Sujeita às n condições iniciais 𝑦 𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑥0 𝑦0 𝑦𝑛1 𝑥0 𝑦0 𝑛1 Em que 𝑎𝑛𝑥 𝑎𝑛1𝑥 𝑎0 𝑥 e 𝑓𝑥 são funções contínuas num dado intervalo 𝐼 e 𝑎𝑛𝑥 0 𝑥 𝐼 Definição Dependência e Independência Linear de funções Um conjunto de n funções 𝑓1 𝑥 𝑓2 𝑥 𝑓𝑛 𝑥 é dito linearmente independente LI em um dado intervalo I se para quaisquer constantes 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 a igualdade 𝑎1𝑓1 𝑥 𝑎2𝑓2 𝑥 𝑎𝑛𝑓𝑛 𝑥 0 só for possível se 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 0 𝑥 I Se a igualdade for possível com pelo menos uma das constantes 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 não nula o conjunto é dito linearmente dependente LD Teorema 1 Considere a EDO homogênea de ordem n 𝑎𝑛𝑥𝑦 𝑛 𝑎𝑛1𝑥𝑦 𝑛1 𝑎1𝑥𝑦 𝑎0𝑥𝑦 0 e suponha que 𝑦1 𝑦2 𝑦𝑛 sejam soluções linearmente independentes da EDO homogênea em um intervalo I Então a solução geral 𝑦 da EDO é uma combinação linear das n soluções dadas 𝑦1 𝑦2 𝑦𝑛 ou seja 𝑦 𝑎1𝑦1 𝑎2𝑦2 𝑎𝑛𝑦𝑛 sendo 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 constantes arbitrárias Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de ordem n com coeficientes constantes Se na equação 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 𝑛 𝑎𝑛1 𝑥 𝑦 𝑛1 𝑎1𝑥 𝑦 𝑎0 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 tivermos que 𝑎𝑛𝑥 𝑎𝑛1𝑥 𝑎1 𝑥 e 𝑎0 𝑥 são funções constantes então teremos uma equação denominada Equação Diferencial Linear de Ordem n com Coeficientes Constantes 𝛼𝑛𝑦 𝑛 𝛼𝑛1𝑦 𝑛1 𝛼1𝑦 𝛼0𝑦 𝑓 𝑥 Em que 𝛼𝑛 𝛼𝑛1 𝛼0 são constantes e 𝑓𝑥 é contínua num dado intervalo I e 𝛼𝑛 0 𝑥 I Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de ordem 2 com coeficientes constantes Inicialmente admitiremos 𝑛 2 e então teremos a Equação Diferencial Linear de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 𝑓 𝑥 1 Em que 𝑎 b e c são constantes e 𝑓𝑥 é contínua num dado intervalo I e a 0 𝑥 I EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEAS COM COEFICIENTES CONSTANTES Considerando a equação diferencial 𝑎𝑦𝑏𝑦 𝑐𝑦 𝑓𝑥 Vamos estudar as equações do tipo acima para dois casos distintos 1º Caso Quando 𝑓 𝑥 0 EDO é dita homogênea 2º Caso Quando 𝑓𝑥 0 EDO é dita não homogênea PS Mais a frente falaremos sobre as EDOs do tipo acima de ordens superiores 1º Caso Quando 𝒇 𝒙 𝟎 Definição Entendese por uma Equação Diferencial Linear Homogênea de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes a uma equação da forma 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 0 2 Em que 𝑎 𝑏 e 𝑐 são constantes e 𝑎 0 Para resolver a equação 2 vamos propor uma solução da forma 𝑦 𝑒𝜆𝑥 𝜆 ℝ Se 𝑦 𝑒𝜆𝑥 então 𝑦 𝜆𝑒𝜆𝑥 e 𝑦 𝜆2𝑒𝜆𝑥 Agora substituímos na equação 2 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 𝑎𝜆2𝑒𝜆𝑥 𝑏𝜆𝑒𝜆𝑥 𝑐𝑒𝜆𝑥 𝑒𝜆𝑥𝑎𝜆2 𝑏𝜆 𝑐 0 Mas como sabemos 𝑒𝜆𝑥 0 então temos necessariamente 𝑎𝜆2 𝑏𝜆 𝑐 0 Essa equação é denominada Equação Característica Cujas raízes são dadas por 𝜆1 𝑏 𝑏24𝑎𝑐 2𝑎 e 𝜆2 𝑏 𝑏24𝑎𝑐 2𝑎 Ora sabemos que dada uma equação de segundo grau na variável 𝜆 tal que 𝑎𝜆2 𝑏𝜆 𝑐 0 Temse três possibilidades para a solução da equação característica ou seja Caso 1 Se 𝑏2 4𝑎𝑐 0 teremos duas raízes reais e distintas 𝜆1 𝜆2 E nesse caso a solução geral da EDO 2 será dada por uma combinação linear das duas soluções linearmente independentes 𝑒𝜆1𝑥 e 𝑒𝜆2𝑥 conforme teorema 1 Ou seja 𝑦 𝑥 𝐴𝑒𝜆1𝑥 𝐵𝑒𝜆2𝑥 𝑐𝑜𝑚 𝐴 𝑒 𝐵 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟 Caso 2 Se 𝑏2 4𝑎𝑐 0 teremos duas raízes reais e iguais 𝜆1 𝜆2 𝜆 e a solução geral da EDO 2 será dada também pela combinação linear de duas soluções linearmente independentes 𝑒𝜆𝑥 e 𝑥𝑒𝜆𝑥 ou seja 𝑦 𝑥 𝐴𝑒𝜆𝑥 𝐵𝑥𝑒𝜆𝑥 com A e B constantes quaisquer PS Podese provar que se 𝑒𝜆𝑥 for solução da equação 2 então 𝑥𝑒𝜆𝑥 também será solução da equação 2 Caso 3 Se 𝑏2 4𝑎𝑐 0 temos duas raízes complexas conjugadas 𝜆1 𝛼 𝛽𝑖 𝑒 𝜆2 𝛼 𝛽𝑖 sendo 𝛼 𝛽 ℝ 𝑒 𝑖 1 Assim a solução geral de 2 será dada também pela combinação linear de duas soluções linearmente independentes ou seja 𝑦𝑥 𝑒𝛼𝑥𝐴 cos𝛽𝑥 Bsen𝛽𝑥 com A e B constantes quaisquer Exemplos Resolva as EDOs 1 𝑦 6𝑦 5𝑦 0 𝐴𝑞𝑢𝑖 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 1 𝑏 6 𝑒 𝑐 5 Equação Característica 𝜆2 6𝜆 5 0 𝜆 6 3645 2 6 4 2 Então temos 𝜆1 1 e 𝜆2 5 duas raízes reais e distintas 1º caso Lembrete da Solução geral 𝑦 𝑥 𝐴𝑒𝜆1𝑥 𝐵𝑒𝜆2𝑥 𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝐺𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑦 𝑥 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑒5𝑥 Exemplos Resolva as EDOs 2 𝑦 9𝑦 0 𝑦 0 0 𝑒 𝑦 0 1 𝐴𝑞𝑢𝑖 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 1 𝑏 0 𝑒 𝑐 9 Equação Característica 𝜆2 9 0 𝜆1 3 𝑒 𝜆2 3 duas raízes reais e distintas 1º caso Lembrete da solução geral 𝑦 𝑥 𝐴𝑒𝜆1𝑥 𝐵𝑒𝜆2𝑥 𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑦 𝑥 𝐴𝑒3𝑥 𝐵𝑒3𝑥 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑦 𝐴𝑒3𝑥 𝐵𝑒3𝑥 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑦 3𝐴𝑒3𝑥 3𝐵𝑒3𝑥 Lembrando que 𝑦 0 0 𝑒 𝑦 0 1 0 𝐴 𝐵 𝑒 1 3𝐴 3𝐵 𝐴 1 6 𝑒 𝐵 1 6 Solução do PVI 𝑦 𝑥 𝑒3𝑥 6 𝑒3𝑥 6 3 𝑦 2𝑦 𝑦 0 𝑦 0 2 𝑒 𝑦 0 3 Equação Característica 𝜆2 2𝜆 1 𝜆 12 0 duas raízes reais e iguais Aqui temos 𝜆1 𝜆2 1 Lembrete da Solução geral 𝑦 𝑥 𝐴𝑒𝜆𝑥 𝐵𝑥𝑒𝜆𝑥 Solução geral 𝑦 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑥𝑒𝑥 e 𝑦 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑒𝑥 𝐵𝑥𝑒𝑥 De 𝑦 0 2 obtemos A 2 e de 𝑦 0 3 obtemos 2 𝐵 3 então 𝐵 1 Solução do PVI 𝑦 𝑥 2𝑒𝑥 𝑥𝑒𝑥 4 𝑦 𝑦 𝑦 0 Equação Característica 𝜆2 𝜆 1 0 𝜆 1 14 2 1 2 3 2 𝑖 𝜆1 1 2 3 2 𝑖 𝑒 𝜆2 1 2 3 2 𝑖 Onde 𝛼 1 2 𝑒 𝛽 3 2 Solução geral 𝑦𝑥 𝑒𝛼𝑥𝐴cos𝛽𝑥 Bsen𝛽𝑥 Solução geral 𝑦 𝑥 𝑒 𝑥 2 𝐴𝑐𝑜𝑠 3 2 𝑥 𝐵𝑠𝑒𝑛 3 2 𝑥 No caso de uma EDO linear homogênea de ordem 3 a solução geral é construída da mesma forma que no caso de ordem 2 ou seja se a EDO for 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 𝑑𝑦 0 EDO de 3a 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 A solução geral será 𝑦 𝑥 𝐴𝑦1 𝐵𝑦2 𝐶𝑦3 𝐴 𝐵 𝑒 𝐶 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎𝑟𝑏𝑖𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑎𝑠 Sendo 𝑦1 𝑦2 𝑦3 soluções LI da EDO dada No caso de uma EDO linear homogênea de ordem 4 a solução geral é construída da mesma forma que no caso de ordem 2 ou seja se a EDO for 𝑎y4 𝑏𝑦 𝑐𝑦 𝑑𝑦 𝑒𝑦 0 EDO de 4𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 A solução geral será 𝑦 𝑥 𝐴𝑦1 𝐵𝑦2 𝐶𝑦3 𝐷𝑦4 𝐴𝐵 𝐶 𝑒 𝐷 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎𝑟𝑏𝑖𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑎𝑠 Sendo 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦4 são soluções LI da EDO dada PS Para ordens maiores as soluções são construídas exatamente do mesmo jeito EDO de Terceira Ordem 5 𝑦 2𝑦 𝑦 0 Equação Característica 𝜆3 2𝜆2 𝜆 𝜆 𝜆2 2𝜆 1 𝜆𝜆 12 0 Note que 𝜆 0 é uma raiz real simples e 𝜆 1 é raiz real dupla assim Solução geral 𝑦𝑥 𝐴 𝐵𝑒𝑥 𝐶𝑥𝑒𝑥 EDO de Quarta Ordem 6 𝑦4 2𝑦 𝑦 0 Equação Característica 𝜆4 2𝜆2 1 0 𝜆2 12 0 Cujas raízes são 𝜆1 𝜆2 1 e 𝜆3 𝜆4 1 assim Solução geral 𝑦𝑥 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑥𝑒𝑥 𝐶𝑒𝑥 𝐷𝑥𝑒𝑥 Exercícios Resolva as equações lineares homogêneas abaixo 1 12𝑦 5𝑦 2𝑦 0 Resposta 𝑦 𝑐1𝑒2𝑥3 𝑐2𝑒𝑥4 2 𝑦 8𝑦 16𝑦 0 Resposta 𝑦 𝑐1𝑒4𝑥 𝑐2𝑥𝑒4𝑥 3 𝑦 16𝑦 0 Resposta 𝑦 2 cos4𝑥 1 2 sen4𝑥 𝑦 0 2 𝑦 0 2 4 𝑦 5𝑦 3𝑦 9𝑦 0 Resposta 𝑦 𝑐1𝑒𝑥 𝑐2𝑒3𝑥 𝑐3𝑥𝑒3𝑥