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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES de 2ª Ordem COM COEFICIENTES CONSTANTES Dada a equação diferencial 𝑎𝑦𝑏𝑦 𝑐𝑦 𝑓𝑥 Vamos estudar as equações do tipo acima para dois casos distintos 1º Caso Quando 𝒇 𝒙 𝟎 e nesse caso a EDO é dita homogênea 2º Caso Quando 𝒇𝒙 𝟎 e nesse caso a EDO é dita não homogênea 2º Caso Quando 𝒇 𝒙 𝟎 Definição Entendese por uma Equação Diferencial Linear não Homogênea de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes uma equação da forma 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 𝑓𝑥 1 Em que 𝑎 𝑏 e 𝑐 são constantes 𝑎 0 e 𝑓𝑥 0 Para a resolução da EDO linear não homogênea vamos estudar dois métodos já muito conhecidos no mundo científico a saber Método dos Coeficientes a Determinar Este método é mais simples de aplicar mas funciona apenas para uma classe restrita de funções como veremos na sequência Método da Variação dos Parâmetros Este método funciona para qualquer função 𝑓𝑥 mas em geral é mais difícil aplicálo 1º Método Método dos Coeficientes Indeterminados Este método é adequado para resolver a EDO linear não homogênea para os casos em que a função f𝑥 é dos seguintes tipos 𝑓 𝑥 𝑃𝑛𝑥 polinômio de grau n 𝑓 𝑥 𝑒𝑎𝑥 função exponencial 𝑓 𝑥 𝑎cos 𝛽𝑥 𝑏𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥 funções trigonométricas apenas para seno e cosseno PS Este método também pode ser usado quando a 𝑓𝑥 é uma soma ou produto de duas ou três dos tipos de funções citadas Método dos Coeficientes Indeterminados Dada a equação diferencial não homogênea 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 𝑓𝑥 a equação homogênea correspondente 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 0 2 É chamada equaçãocomplementar ou equação homogênea associada A equação complementar desempenha um papel importante na solução da equação não homogênea como veremos a seguir Teorema A solução geral da equação diferencial não homogênea 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 𝑓𝑥 é dada pela soma de duas soluções 𝑦 𝑥 𝑦𝑐 𝑥 𝑦𝑝𝑥 onde 𝑦𝑐𝑥 é a solução geral da Equação Complementar 2 equação homogênea 𝑦𝑝 𝑥 é uma solução particular da Equação 1 depende de como é a 𝑓𝑥 Vamos primeiro ilustrar o método dos coeficientes indeterminados para a equação 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 𝑓𝑥 Quando 𝑓𝑥 é um polinômio Note que é razoável supor que uma solução particular 𝑦𝑝 seja um polinômio de mesmo grau que a 𝑓𝑥 pois Se 𝑦 for um polinômio então 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 também será um polinômio Então a ideía é escrevermos 𝑦𝑝 como um polinômio de mesmo grau que a 𝑓𝑥 na equação diferencial e determinarmos os coeficientes de tal polinômio Exemplo 1 𝑦 3𝑦 2𝑦 2𝑥 5 𝑦 0 0 𝑒 𝑦 0 0 Aqui a equação complementar é 𝑦 3𝑦 2𝑦 0 E a equação característica é 𝜆2 3𝜆 2 𝜆 1 𝜆 2 0 duas raízes reais e distintas Então temos 𝜆1 1 𝑒 𝜆2 2 Logo a solução da equação complementar é 𝑦𝑐 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑒2𝑥 Uma vez que 𝑓 𝑥 2𝑥 5 é um polinômio de grau 1 vamos procurar uma solução particular da forma 𝑦𝑝 𝑎𝑥 𝑏 motivo 𝑓 𝑥 2𝑥 5 é um polinômio de grau 1 Então se 𝑦𝑝 𝑎𝑥 𝑏 temos 𝑦𝑝 𝑎 e 𝑦𝑝 0 Agora substituimos essas funções na equação diferencial dada 𝑦 3𝑦 2𝑦 0 3 𝑎 2 𝑎𝑥 𝑏 2𝑥 5 𝑦𝑝 𝑦𝑝 𝑦𝑝 Dois polinômios são iguais quando seus coeficientes são iguais Então agrupando os termos 2𝑎𝑥 3𝑎 2𝑏 2𝑥 5 Ou seja 2𝑎 2 𝑒 3𝑎 2𝑏 5 Então 𝑎 1 𝑏 4 Então temos que a solução particular será 𝑦𝑝 𝑥 4 E a solução geral será 𝑦 𝑥 𝑦𝑐 𝑦𝑝 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑒2𝑥 𝑥 4 Mas 𝑦 0 0 𝑒 𝑦 0 0 𝑦 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑒2𝑥 𝑥 4 𝑦 𝐴𝑒𝑥 2𝐵𝑒2𝑥 1 Logo 0 𝐴 𝐵 4 𝑒 0 𝐴 2𝐵 1 𝐵 3 𝑒 𝐴 7 𝑦𝑥 7𝑒𝑥 3𝑒2𝑥 𝑥 4 Exemplo 2 𝑦 𝑦 2𝑦 𝑥2 Aqui a equação complementar é 𝑦 𝑦 2𝑦 0 E a equação característica é 𝜆2 𝜆 2 𝜆 1 𝜆 20 duas raízes reais e distintas Então temos 𝜆1 1 𝑒 𝜆2 2 Logo a solução da equação complementar é 𝑦𝑐 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑒2𝑥 Uma vez que 𝑓 𝑥 𝑥2 é um polinômio de grau 2 vamos procurar uma solução particular da forma 𝑦𝑝 𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 motivo 𝑓 𝑥 𝑥2 é um polinômio de grau 2 Então se 𝑦𝑝 𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 temos 𝑦𝑝 2𝑎𝑥 𝑏 e 𝑦𝑝 2𝑎 Agora substituimos essas funções na equação diferencial dada 𝑦 𝑦 2𝑦 2𝑎 2𝑎𝑥 𝑏 2 𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 𝑥2 𝑦𝑝 𝑦𝑝 𝑦𝑝 Dois polinômios são iguais quando seus coeficientes são iguais Então agrupando os termos 2𝑎𝑥2 2𝑎 2𝑏 𝑥 2𝑎 𝑏 2𝑐 𝑥2 Ou seja 2𝑎 1 2𝑎 2𝑏 0 𝑒 2𝑎 𝑏 2𝑐 0 Então 𝑎 1 2 𝑏 1 2 𝑒 𝑐 3 4 Então temos que a solução particular será 𝑦𝑝 𝑥2 2 𝑥 2 3 4 E a solução geral será 𝑦 𝑥 𝑦𝑐 𝑦𝑝 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑒2𝑥 𝑥2 2 𝑥 2 3 4 Agora vamos ilustrar o método dos coeficientes indeterminados para a equação 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 𝑓𝑥 Quando 𝑓𝑥 é uma exponencial ou seja 𝑓 𝑥 𝐶𝑒𝑎𝑥 onde 𝐶 𝑎 ℝ Aqui note que é razoável supor que uma solução particular 𝑦𝑝 seja também uma exponencial pois Se 𝑦 for uma exponencial então 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 também será uma exponencial Então a ideía é escrevermos 𝑦𝑝 como uma exponencial e substituir 𝑦𝑝 𝑦𝑝 e 𝑦𝑝 na equação diferencial e determinamos o coeficiente da exponencial Exemplo 3 Resolva 𝑦 4𝑦 2𝑒3𝑥 A equação complementar é dada por 𝑦 4y 0 A equação característica é 𝜆2 4 0 duas raízes complexas conjugadas Então temos 𝜆1 2𝑖 𝑒 𝜆2 2𝑖 Logo a solução da equação complementar é 𝑦𝑐 𝐴𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝐵𝑠𝑒𝑛2𝑥 Uma vez que 𝑓 𝑥 2𝑒3𝑥 é uma função exponencial vamos procurar uma solução particular da forma 𝑦𝑝 𝑐𝑒3𝑥 motivo 𝑓 𝑥 2𝑒3𝑥 é uma função exponencial Então se 𝑦𝑝 𝑐𝑒3𝑥 temos 𝑦𝑝 3𝑐𝑒3𝑥 e 𝑦𝑝 9𝑐𝑒3𝑥 Agora substituimos essas funções na equação diferencial dada 𝑦 4𝑦 9𝑐𝑒3𝑥 4 𝑐𝑒3𝑥 2𝑒3𝑥 então 13𝑐𝑒3𝑥 2𝑒3𝑥 logo 𝑐 2 13 𝑦𝑝 𝑦𝑝 Solução geral 𝑦 𝑥 𝑦𝑐 𝑦𝑝 𝐴𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝐵𝑠𝑒𝑛 2𝑥 2 13 𝑒3𝑥 Agora vamos ilustrar o método dos coeficientes indeterminados para a equação 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 𝑓𝑥 Quando 𝑓𝑥 é uma função trigonométrica ou seja 𝑓 𝑥 𝐶𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑥 𝑜𝑢 𝑓 𝑥 𝐶𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 ou mesmo a soma das duas funções 𝐶 𝛽 ℝ Aqui note que é razoável supor que uma solução particular 𝑦𝑝 seja também uma função seno ou cosseno pois Se 𝑦 for um seno ou cosseno então 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 também é uma trigonométrica Então a ideía é escrevermos 𝑦𝑝 como uma soma de um seno com um cosseno e substituir 𝑦𝑝 𝑦𝑝 e 𝑦𝑝 na equação diferencial e determinarmos os coeficientes da função trigonométrica Exemplo 4 Resolva 𝑦 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥 A equação auxiliar é dada por 𝑦 𝑦 0 E a equação característica é 𝜆2 𝜆 𝜆 𝜆 1 0 duas raízes reais e distintas Então temos 𝜆1 0 𝑒 𝜆2 1 Logo a solução da equação complementar é 𝑦𝑐 𝐴 𝐵𝑒𝑥 Uma vez que 𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 é uma função trigonométrica vamos procurar uma solução particular da forma 𝑦𝑝 𝐶𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐷𝑠𝑒𝑛𝑥 motivo 𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 é uma função trigonométrica Então se 𝑦𝑝 𝐶𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐷𝑠𝑒𝑛𝑥 temos 𝑦𝑝 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐷𝑐𝑜𝑠𝑥 e 𝑦𝑝 𝐶𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐷𝑠𝑒𝑛𝑥 Agora substituimos essas funções na equação diferencial dada 𝑦 𝑦 𝐶𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐷𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐷𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦𝑝 𝑦𝑝 Emtão temos 𝐶 𝐷𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐶 𝐷 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 Ou seja 𝐶 𝐷 0 𝑒 𝐶 𝐷 1 Ou seja 𝐶 𝐷 1 2 Solução particular 𝑦𝑝 1 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 Solução geral 𝑦𝑥 𝑦𝑐 𝑦𝑝 𝐴 𝐵𝑒𝑥 1 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 Observação importante Agora chamamos a atenção para o fato de que a solução recomendada para 𝑦𝑝 algumas vezes resulta em uma solução da equação complementar e portanto não pode ser uma solução da equação não homogênea Em tais casos multiplicamos a solução recomendada 𝑦𝑝 por x ou por 𝑥2 se necessário de modo que nenhum termo em 𝑦𝑝𝑥 seja uma solução da equação complementar Isso acontece porque todos os termos da solução geral devem ser linearmente independentes ou seja um termo não pode ser um múltiplo de outro termo NUNCA Quando precisamos multiplicar 𝑦𝑝 por 𝑥 ou por 𝑥2 dizemos que fizemos um reforço na 𝑦𝑝 Exemplo 5 Resolva 𝑦 3𝑦 2𝑦 𝑒𝑥 Equação característica 𝜆2 3𝜆 2 𝜆 1 𝜆 20 duas raízes reais e distintas Então temos 𝜆1 1 𝑒 𝜆2 2 Logo a solução da equação complementar é 𝑦𝑐 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑒2𝑥 Como 𝑓 𝑥 𝑒𝑥 então teríamos 𝑦𝑝 𝐶𝑒𝑥 Mas note que neste caso 𝑦𝑝 é um múltiplo do termo 𝐴𝑒𝑥 que é um dos termos da 𝑦𝑐 Ou seja se somarmos os dois termos teremos 𝐴𝑒𝑥 𝐶𝑒𝑥 𝐴 𝐶 𝑒𝑥 𝐷𝑒𝑥 Onde 𝐷 𝐴 𝐶 Ou seja ao invés de termos duas soluções temos apenas uma Então precisamos fazer um reforço na 𝑦𝑝 multiplicandoa por 𝑥 de tal modo a obter uma solução linearmente independente de cada termo da solução complementar Então teremos 𝑦𝑝 𝐶𝑥𝑒𝑥 logo 𝑦𝑝 𝐶𝑒𝑥 𝐶𝑥𝑒𝑥 e 𝑦𝑝 𝐶𝑒𝑥 𝐶𝑒𝑥 𝐶𝑥𝑒𝑥 2𝐶𝑒𝑥 𝐶𝑥𝑒𝑥 Substituindo na equação diferencial 𝑦 3𝑦 2𝑦 2𝐶𝑒𝑥 𝐶𝑥𝑒𝑥 3 𝐶𝑒𝑥 𝐶𝑥𝑒𝑥 2 𝐶𝑥𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑦𝑝 𝑦𝑝 𝑦𝑝 Logo 𝐶𝑒𝑥 𝑒𝑥 então 𝐶 1 logo 𝑦𝑝 𝑥𝑒𝑥 Solução geral 𝑦 𝑥 𝑦𝑐 𝑦𝑝 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑒2𝑥 𝑥𝑒𝑥 5𝑦 𝑦 6𝑥 Equação Homogênea 5𝑦 𝑦 0 Equação Característica 5𝜆2 𝜆 𝜆 5𝜆 1 0 𝜆1 0 𝑒 𝜆2 15 Função Complementar 𝒚𝒄 𝒄𝟏 𝒄𝟐𝒆𝒙𝟓 Exemplo 6 𝒚𝒄 𝒄𝟏 𝒄𝟐𝒆𝒙𝟓 Como 𝑓 𝑥 6𝑥 então teríamos 𝑦𝑝 𝐴𝑥 𝐵 mas 𝐵 𝑒 𝑐1 são LD Então faremos um reforço na yp 𝑦𝑝 𝐴𝑥2 𝐵𝑥 𝑦𝑝 2𝐴𝑥 𝐵 e 𝑦𝑝 2𝐴 Agora substituindo na Equação e colocando os coeficientes em evidência 5𝑦 𝑦 52𝐴 2𝐴𝑥 𝐵 6𝑥 2𝐴 6 e 10𝐴 𝐵 0 Igualando os coeficientes temos 𝐴 3 𝐵 30 Portanto 𝑦𝑝 3𝑥2 30𝑥 Solução Geral 𝒚 𝒚𝒄 𝒚𝒑 𝒄𝟏 𝒄𝟐𝒆𝒙𝟓 𝟑𝒙𝟐 𝟑𝟎𝒙 Resumimos o método dos coeficientes indeterminados assim Se 𝒇 𝒙 𝑷𝒏𝒙 onde 𝑃𝑛 é um polinômio de grau n então tente 𝑦𝑝 𝑄𝑛𝑥 onde 𝑄𝑛 𝑥 é um polinômio de grau n cujos coeficientes são determinados por substituição na equação diferencial Se 𝒇 𝒙 𝒄𝒆𝒂𝒙 ou seja 𝑓 𝑥 é uma exponencial então tente 𝑦𝑝 𝐶𝑒𝑎𝑥 onde C é uma constante a ser determinada por substituição na equação diferencial Se 𝒇 𝒙 𝒔𝒆𝒏𝜷𝒙 ou 𝒇 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝜷𝒙 ou ainda a soma das duas então tente 𝑦𝑝 𝐶𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 𝐷𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥 onde os coeficientes são determinados por substituição na equação diferencial Observação importante Em qualquer um dos três casos citados se algum termo da 𝑦𝑝 for uma solução ou um múltiplo de algum dos termos da equação complementar 𝑦𝑐 multiplique 𝑦𝑝 por 𝑥 ou por 𝑥2 se necessário Produto de funções Se 𝑓 𝑥 for um produto de funções dos tipos citados buscaremos 𝑦𝑝 como um produto de funções do mesmo tipo Exemplo 𝑦 2𝑦 3𝑦 𝑥𝑒𝑥 Equação complementar 𝑦 2𝑦 3𝑦 0 Equação característica 𝜆2 2𝜆 3 0 𝜆1 1 𝑒 𝜆2 3 Duas raízes reais e distintas então Solução complementar 𝑦𝑐 𝑥 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑒3𝑥 𝑦 2𝑦 3𝑦 𝑥𝑒𝑥 Para a solução particular tentaremos 𝑦𝑝 𝐶𝑥 D𝑒𝑥 motivo 𝑓 𝑥 é um polinômio de grau 1 vezes uma exponencial Agora procedemos da mesma forma derivamos e substituimos na EDO Se 𝑦𝑝 𝐶𝑥 D𝑒𝑥 então 𝑦𝑝 𝐶 𝐷 𝐶𝑥 𝑒𝑥 e 𝑦𝑝 2𝐶 𝐷 𝐶𝑥 𝑒𝑥 Agora substituímos na EDO 𝑦 2𝑦 3𝑦 2𝐶 𝐷 𝐶𝑥 𝑒𝑥 2 𝐶 𝐷 𝐶𝑥 𝑒𝑥 3 𝐷 𝐶𝑥 𝑒𝑥 𝑥𝑒𝑥 4𝐷 4𝐶𝑥 𝑒𝑥 𝑥𝑒𝑥 ou seja 4𝐷 4𝐶𝑥 𝑥 4𝐷 0 𝑒 4𝐶 1 Então 𝐶 1 4 e 𝐷 0 Ou seja 𝑦𝑝 𝑥 4 𝑒𝑥 Solução geral y x 𝑦𝑐 𝑥 𝑦𝑝 𝑥 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑒3𝑥 𝑥 4 𝑒𝑥 Soma de funções Se 𝑓 𝑥 for uma soma de funções dos tipos citados ao invés de termos uma função particular teremos duas ou seja Se for dada 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 𝑓1 𝑥 𝑓2𝑥 Teremosa solução geral 𝑦 𝑥 𝑦𝑐 𝑥 𝑦𝑝1 𝑥 𝑦𝑝2𝑥 Onde 𝑦𝑝1 está relacionada a 𝑓1𝑥 e 𝑦𝑝2 a 𝑓2𝑥 Feito isso o resto do cálculo é exatamente como fizemos nos exemplos anteriores Exemplo 1 𝑦 4𝑦 4𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 Equação complementar 𝑦 4𝑦 0 Equação característica 𝜆2 4 0 𝜆1 2 𝑒 𝜆2 2 Duas raízes reais e distintas então A solução complementar é 𝑦𝑐 𝑥 𝐴𝑒2𝑥 𝐵𝑒2𝑥 Exemplo 1 𝑦 4𝑦 4𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 Aqui 𝑓1 𝑥 4𝑥 𝑒 𝑓2 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 Daí 𝑦𝑝1 𝑎𝑥 𝑏 e 𝑦𝑝2 𝑐𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑠𝑒𝑛2𝑥 A partir daqui fazemos tudo do mesmo jeito que fizemos nos outros exemplos Para 𝑓1 𝑥 𝑦𝑝1 𝑎𝑥 𝑏 𝑦𝑝1 𝑎 e 𝑦𝑝1 0 Substituindo na EDO 𝑦 4𝑦 0 4 𝑎𝑥 𝑏 4𝑥 logo 𝑎 1 e 𝑏 0 Então 𝑦𝑝1 𝑥 𝑥 Para 𝑓2 𝑥 𝑦𝑝2 𝑐𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑠𝑒𝑛2𝑥 então 𝑦𝑝2 2𝑐𝑠𝑒𝑛2𝑥 2𝑑𝑐𝑜𝑠2𝑥 e 𝑦𝑝2 4𝑐𝑐𝑜𝑠2𝑥 4𝑑𝑠𝑒𝑛2𝑥 Substituindo na EDO 𝑦 4𝑦 4𝑐𝑐𝑜𝑠2𝑥 4𝑑𝑠𝑒𝑛2𝑥 4 𝑐𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 8𝑐𝑐𝑜𝑠2𝑥 8𝑑𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 8𝑐 1 𝑒 8𝑑 0 Então 𝑐 1 8 e 𝑑 0 Então 𝑦𝑝2 𝑐𝑜𝑠2𝑥 8 Solução geral 𝑦 𝑥 𝑦𝑐 𝑦𝑝1 𝑦𝑝2 𝐴𝑒2𝑥 𝐵𝑒2𝑥 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 8 Exemplo 2 𝑦 4𝑦 3𝑥𝑒𝑥 3𝑒𝑥 Equação complementar 𝑦 4𝑦 0 Equação característica 𝜆2 4 0 𝜆1 2 𝑒 𝜆2 2 Duas raízes reais e distintas então Solução complementar 𝑦𝑐 𝑥 𝐴𝑒2𝑥 𝐵𝑒2𝑥 Exemplo 2 𝑦 4𝑦 3𝑥𝑒𝑥 3𝑒𝑥 Aqui 𝑓1 𝑥 3𝑥𝑒𝑥 e 𝑓2 𝑥 3𝑒𝑥 Para 𝑓1 𝑥 𝑦𝑝1 𝐶𝑥 𝐷 𝑒𝑥 𝑦𝑝1 𝐶 𝐷 𝐶𝑥 𝑒𝑥 𝑒 𝑦𝑝1 2𝐶 𝐷 𝐶𝑥 𝑒𝑥 Substituindo na EDO 𝑦4𝑦 2𝐶 𝐷 𝐶𝑥 𝑒𝑥 4𝐶𝑥 𝐷𝑒𝑥 3𝑥𝑒𝑥 𝑦𝑝1 𝑦𝑝1 Dividindo pela exponencial 2𝐶 3𝐷 0 𝑒 3𝐶 3 𝐶 1 𝑒 𝐷 2 3 Então 𝑦𝑝1 𝑥 2 3 e𝑥 Para 𝑓2 𝑥 3𝑒𝑥 temos 𝑦𝑝2 𝐸𝑒𝑥 𝑦𝑝2 𝐸𝑒𝑥 e 𝑦𝑝2 𝐸𝑒𝑥 Substituindo na EDO 𝑦 4𝑦 𝐸𝑒𝑥 4𝐸𝑒𝑥 3𝑒𝑥 𝐸 1 Então 𝑦𝑝2 𝑒𝑥 Solução geral 𝑦 𝑥 𝑦𝑐 𝑥 𝑦𝑝1 𝑥 𝑦𝑝2𝑥 𝐴𝑒2𝑥 𝐵𝑒2𝑥 𝑥 2 3 𝑒𝑥 𝑒𝑥 Exemplo 3 𝑦 2𝑦 3𝑦 𝑡2𝑒2𝑡 Equação característica 𝜆2 2𝜆 3 𝜆 1 𝜆 3 0 𝜆1 1 𝑒 𝜆2 3 Solução complementar 𝑦𝑐 𝐴𝑒3𝑡 𝐵𝑒𝑡 𝑦𝑝 𝑎𝑡2 𝑏𝑡 𝑐 𝑒2𝑡 Exemplo 3 𝑦 2𝑦 3𝑦 𝑡2𝑒2𝑡 𝑦𝑝 𝑎𝑡2 𝑏𝑡 𝑐 𝑒2𝑡 𝑦𝑝 2𝑎𝑡2 2𝑏𝑡 2𝑐 2𝑎𝑡 𝑏 𝑒2𝑡 𝑦𝑝 4𝑎𝑡2 4𝑏𝑡 4𝑐 8𝑎𝑡 4𝑏 2𝑎 𝑒2𝑡 𝑦 2𝑦 3𝑦 3𝑎𝑡2 3𝑏 4𝑎 𝑡 2𝑎 2𝑏 3𝑐𝑒2𝑡 𝑡2𝑒2𝑡 3𝑎 1 3𝑏 4𝑎 0 𝑒 2𝑎 2𝑏 3𝑐 0 𝑎 1 3 𝑏 4 9 𝑒 𝑐 14 27 𝑦𝑝 1 3 𝑡2 4 9 𝑡 14 27 𝑒2𝑡 Solução geral 𝑦 𝑥 𝐴𝑒3𝑡 𝐵𝑒𝑡 1 3 𝑡2 4 9 𝑡 14 27 𝑒2𝑡 Exemplo 4 𝑦 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥 A equação auxiliar é dada por 𝑦 y 0 E a equação característica é 𝜆2 1 0 duas raízes complexas conjugadas Então temos 𝜆1 𝑖 𝑒 𝜆2 𝑖 Logo a solução da equação complementar é 𝑦𝑐 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐵𝑠𝑒𝑛𝑥 Como 𝑓 𝑥 senx então teríamos 𝑦𝑝 𝐶𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐷𝑠𝑒𝑛𝑥 Mas note que também neste caso 𝑦𝑝 é um múltiplo da 𝑦𝑐 Então multiplicando 𝑦𝑃 por 𝑥 teremos 𝑦𝑝 𝐶𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐷𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 Então se 𝑦𝑝 𝐶𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐷𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 temos yp Ccosx Cxsenx Dsenx Dxcosx yp 2Csenx Cxcosx 2Dcosx Dxsenx Substituindo na equação diferencial e simplificando temos 𝑦 𝑦 2C sen x 2D cos x sen x ou seja C 1 2 D 0 e 𝑦𝑝 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 A solução geral é 𝑦 𝑥 𝑦𝑐 𝑦𝑝 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐵𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 Exemplo 5 𝑦 4𝑦 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 Equação complementar 𝑦 4𝑦 0 Equação característica 𝜆2 4𝜆 λ 𝜆 4 0 𝜆1 0 𝑒 𝜆2 4 Duas raízes reais e distintas então Solução complementar 𝑦𝑐 𝑥 𝐴 𝐵𝑒4𝑥 𝑦 4𝑦 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 Para a solução particular tentaremos 𝑦𝑝 Ccosx Dsenx𝑒𝑥 motivo 𝑓 𝑥 é uma trigonométrica vezes uma exponencial Agora procedemos da mesma forma derivamos e substituimos na EDO 𝑦𝑝 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐷𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐷𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑒𝑥 e 𝑦𝑝 2𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 2𝐷𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑒𝑥 𝑦𝑝 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐷𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐷𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑒𝑥 e 𝑦𝑝 2𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 2𝐷𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑒𝑥 𝑦 4𝑦 2𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 2𝐷𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑒𝑥 4 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐷𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐷𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦𝑝 𝑦𝑝 Dividindo tudo pela exponencial 4𝐶 6𝐷 𝑐𝑜𝑠𝑥 6𝐶 4𝐷 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 Ou seja 4𝐶 6𝐷 1 𝑒 6𝐶 4𝐷 0 𝐶 1 13 𝑒 𝐷 3 26 𝑦𝑝 1 13𝑐𝑜𝑠𝑥 3 26 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑒𝑥 Solução geral 𝑦 𝑥 𝑦𝑐 𝑥 𝑦𝑝 𝑥 𝐴 𝐵𝑒4𝑥 1 13𝑐𝑜𝑠𝑥 3 26 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑒𝑥 Exercícios Encontre a solução geral da equação diferencial 1 𝑦 2𝑦 3𝑦 3𝑒2𝑡 Resp y c1e 3t c2e t e 2t 2 𝑦 𝑦 2𝑦 𝑠𝑒𝑛2𝑥 Resp 𝑦 𝑥 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑒2𝑥 3 20𝑠𝑒𝑛2𝑥 1 20𝑐𝑜𝑠𝑥 3 𝑦 4𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝑥 Resp 𝑦 𝐴𝑒2𝑥 𝐵𝑒2𝑥 1 8𝑐𝑜𝑠2𝑥 4 𝑦 5𝑦 6𝑦 5𝑒2𝑥 Resp y 𝐴𝑒3𝑥 𝐵𝑒2𝑥 5𝑥𝑒2𝑥 Exercícios Encontre a solução geral da equação diferencial 5 𝑦 2𝑦 3𝑦 𝑡2𝑒2𝑡 Resp 𝑦 𝑥 𝐴𝑒3𝑡 𝐵𝑒𝑡 𝑡2 3 4𝑡 9 14 27 𝑒2𝑡 6 𝑦 𝑦 2𝑦 3𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 Resp 𝑦 𝑥 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑒2𝑥 3𝑥 2 3 4 3 20 𝑠𝑒𝑛2𝑥 1 20𝑐𝑜𝑠𝑥 7 𝑦 5𝑦 6𝑦 2𝑥𝑒𝑥 𝑒𝑥 Resp y 𝐴𝑒3𝑥 𝐵𝑒2𝑥 𝑥𝑒𝑥 6 7𝑒𝑥 72 𝑒𝑥 2 8 𝑦 𝑦 6𝑦 2𝑥 Resp 𝒚 𝒄𝟏𝒆𝟑𝒙 𝒄𝟐𝒆𝟐𝒙 𝟏 𝟑 𝒙 𝟏 𝟏𝟖 Exercícios Resolva as equações lineares não homogêneas abaixo 9 1 4 𝑦 𝑦 𝑦 𝑥2 2𝑥 Resp 𝒚 𝒄𝟏𝒆𝟐𝒙 𝒄𝟐𝒙𝒆𝟐𝒙 𝒙𝟐 𝟒𝒙 𝟕 𝟐 10 𝑦4 2𝑦 𝑦 𝑥 1 2 Resp 𝒚 𝒄𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒄𝟐 𝐬𝐞𝐧𝒙 𝒄𝟑𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝟒𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒙𝟐 𝟐𝒙 𝟑 11 𝑦 4𝑦 2 𝑦 𝜋 8 1 2 𝑒 𝑦 𝜋8 2 Resp 𝒚 𝟐𝐬𝐞𝐧𝟐𝒙 𝟏𝟐
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES de 2ª Ordem COM COEFICIENTES CONSTANTES Dada a equação diferencial 𝑎𝑦𝑏𝑦 𝑐𝑦 𝑓𝑥 Vamos estudar as equações do tipo acima para dois casos distintos 1º Caso Quando 𝒇 𝒙 𝟎 e nesse caso a EDO é dita homogênea 2º Caso Quando 𝒇𝒙 𝟎 e nesse caso a EDO é dita não homogênea 2º Caso Quando 𝒇 𝒙 𝟎 Definição Entendese por uma Equação Diferencial Linear não Homogênea de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes uma equação da forma 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 𝑓𝑥 1 Em que 𝑎 𝑏 e 𝑐 são constantes 𝑎 0 e 𝑓𝑥 0 Para a resolução da EDO linear não homogênea vamos estudar dois métodos já muito conhecidos no mundo científico a saber Método dos Coeficientes a Determinar Este método é mais simples de aplicar mas funciona apenas para uma classe restrita de funções como veremos na sequência Método da Variação dos Parâmetros Este método funciona para qualquer função 𝑓𝑥 mas em geral é mais difícil aplicálo 1º Método Método dos Coeficientes Indeterminados Este método é adequado para resolver a EDO linear não homogênea para os casos em que a função f𝑥 é dos seguintes tipos 𝑓 𝑥 𝑃𝑛𝑥 polinômio de grau n 𝑓 𝑥 𝑒𝑎𝑥 função exponencial 𝑓 𝑥 𝑎cos 𝛽𝑥 𝑏𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥 funções trigonométricas apenas para seno e cosseno PS Este método também pode ser usado quando a 𝑓𝑥 é uma soma ou produto de duas ou três dos tipos de funções citadas Método dos Coeficientes Indeterminados Dada a equação diferencial não homogênea 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 𝑓𝑥 a equação homogênea correspondente 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 0 2 É chamada equaçãocomplementar ou equação homogênea associada A equação complementar desempenha um papel importante na solução da equação não homogênea como veremos a seguir Teorema A solução geral da equação diferencial não homogênea 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 𝑓𝑥 é dada pela soma de duas soluções 𝑦 𝑥 𝑦𝑐 𝑥 𝑦𝑝𝑥 onde 𝑦𝑐𝑥 é a solução geral da Equação Complementar 2 equação homogênea 𝑦𝑝 𝑥 é uma solução particular da Equação 1 depende de como é a 𝑓𝑥 Vamos primeiro ilustrar o método dos coeficientes indeterminados para a equação 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 𝑓𝑥 Quando 𝑓𝑥 é um polinômio Note que é razoável supor que uma solução particular 𝑦𝑝 seja um polinômio de mesmo grau que a 𝑓𝑥 pois Se 𝑦 for um polinômio então 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 também será um polinômio Então a ideía é escrevermos 𝑦𝑝 como um polinômio de mesmo grau que a 𝑓𝑥 na equação diferencial e determinarmos os coeficientes de tal polinômio Exemplo 1 𝑦 3𝑦 2𝑦 2𝑥 5 𝑦 0 0 𝑒 𝑦 0 0 Aqui a equação complementar é 𝑦 3𝑦 2𝑦 0 E a equação característica é 𝜆2 3𝜆 2 𝜆 1 𝜆 2 0 duas raízes reais e distintas Então temos 𝜆1 1 𝑒 𝜆2 2 Logo a solução da equação complementar é 𝑦𝑐 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑒2𝑥 Uma vez que 𝑓 𝑥 2𝑥 5 é um polinômio de grau 1 vamos procurar uma solução particular da forma 𝑦𝑝 𝑎𝑥 𝑏 motivo 𝑓 𝑥 2𝑥 5 é um polinômio de grau 1 Então se 𝑦𝑝 𝑎𝑥 𝑏 temos 𝑦𝑝 𝑎 e 𝑦𝑝 0 Agora substituimos essas funções na equação diferencial dada 𝑦 3𝑦 2𝑦 0 3 𝑎 2 𝑎𝑥 𝑏 2𝑥 5 𝑦𝑝 𝑦𝑝 𝑦𝑝 Dois polinômios são iguais quando seus coeficientes são iguais Então agrupando os termos 2𝑎𝑥 3𝑎 2𝑏 2𝑥 5 Ou seja 2𝑎 2 𝑒 3𝑎 2𝑏 5 Então 𝑎 1 𝑏 4 Então temos que a solução particular será 𝑦𝑝 𝑥 4 E a solução geral será 𝑦 𝑥 𝑦𝑐 𝑦𝑝 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑒2𝑥 𝑥 4 Mas 𝑦 0 0 𝑒 𝑦 0 0 𝑦 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑒2𝑥 𝑥 4 𝑦 𝐴𝑒𝑥 2𝐵𝑒2𝑥 1 Logo 0 𝐴 𝐵 4 𝑒 0 𝐴 2𝐵 1 𝐵 3 𝑒 𝐴 7 𝑦𝑥 7𝑒𝑥 3𝑒2𝑥 𝑥 4 Exemplo 2 𝑦 𝑦 2𝑦 𝑥2 Aqui a equação complementar é 𝑦 𝑦 2𝑦 0 E a equação característica é 𝜆2 𝜆 2 𝜆 1 𝜆 20 duas raízes reais e distintas Então temos 𝜆1 1 𝑒 𝜆2 2 Logo a solução da equação complementar é 𝑦𝑐 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑒2𝑥 Uma vez que 𝑓 𝑥 𝑥2 é um polinômio de grau 2 vamos procurar uma solução particular da forma 𝑦𝑝 𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 motivo 𝑓 𝑥 𝑥2 é um polinômio de grau 2 Então se 𝑦𝑝 𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 temos 𝑦𝑝 2𝑎𝑥 𝑏 e 𝑦𝑝 2𝑎 Agora substituimos essas funções na equação diferencial dada 𝑦 𝑦 2𝑦 2𝑎 2𝑎𝑥 𝑏 2 𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 𝑥2 𝑦𝑝 𝑦𝑝 𝑦𝑝 Dois polinômios são iguais quando seus coeficientes são iguais Então agrupando os termos 2𝑎𝑥2 2𝑎 2𝑏 𝑥 2𝑎 𝑏 2𝑐 𝑥2 Ou seja 2𝑎 1 2𝑎 2𝑏 0 𝑒 2𝑎 𝑏 2𝑐 0 Então 𝑎 1 2 𝑏 1 2 𝑒 𝑐 3 4 Então temos que a solução particular será 𝑦𝑝 𝑥2 2 𝑥 2 3 4 E a solução geral será 𝑦 𝑥 𝑦𝑐 𝑦𝑝 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑒2𝑥 𝑥2 2 𝑥 2 3 4 Agora vamos ilustrar o método dos coeficientes indeterminados para a equação 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 𝑓𝑥 Quando 𝑓𝑥 é uma exponencial ou seja 𝑓 𝑥 𝐶𝑒𝑎𝑥 onde 𝐶 𝑎 ℝ Aqui note que é razoável supor que uma solução particular 𝑦𝑝 seja também uma exponencial pois Se 𝑦 for uma exponencial então 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 também será uma exponencial Então a ideía é escrevermos 𝑦𝑝 como uma exponencial e substituir 𝑦𝑝 𝑦𝑝 e 𝑦𝑝 na equação diferencial e determinamos o coeficiente da exponencial Exemplo 3 Resolva 𝑦 4𝑦 2𝑒3𝑥 A equação complementar é dada por 𝑦 4y 0 A equação característica é 𝜆2 4 0 duas raízes complexas conjugadas Então temos 𝜆1 2𝑖 𝑒 𝜆2 2𝑖 Logo a solução da equação complementar é 𝑦𝑐 𝐴𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝐵𝑠𝑒𝑛2𝑥 Uma vez que 𝑓 𝑥 2𝑒3𝑥 é uma função exponencial vamos procurar uma solução particular da forma 𝑦𝑝 𝑐𝑒3𝑥 motivo 𝑓 𝑥 2𝑒3𝑥 é uma função exponencial Então se 𝑦𝑝 𝑐𝑒3𝑥 temos 𝑦𝑝 3𝑐𝑒3𝑥 e 𝑦𝑝 9𝑐𝑒3𝑥 Agora substituimos essas funções na equação diferencial dada 𝑦 4𝑦 9𝑐𝑒3𝑥 4 𝑐𝑒3𝑥 2𝑒3𝑥 então 13𝑐𝑒3𝑥 2𝑒3𝑥 logo 𝑐 2 13 𝑦𝑝 𝑦𝑝 Solução geral 𝑦 𝑥 𝑦𝑐 𝑦𝑝 𝐴𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝐵𝑠𝑒𝑛 2𝑥 2 13 𝑒3𝑥 Agora vamos ilustrar o método dos coeficientes indeterminados para a equação 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 𝑓𝑥 Quando 𝑓𝑥 é uma função trigonométrica ou seja 𝑓 𝑥 𝐶𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑥 𝑜𝑢 𝑓 𝑥 𝐶𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 ou mesmo a soma das duas funções 𝐶 𝛽 ℝ Aqui note que é razoável supor que uma solução particular 𝑦𝑝 seja também uma função seno ou cosseno pois Se 𝑦 for um seno ou cosseno então 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 também é uma trigonométrica Então a ideía é escrevermos 𝑦𝑝 como uma soma de um seno com um cosseno e substituir 𝑦𝑝 𝑦𝑝 e 𝑦𝑝 na equação diferencial e determinarmos os coeficientes da função trigonométrica Exemplo 4 Resolva 𝑦 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥 A equação auxiliar é dada por 𝑦 𝑦 0 E a equação característica é 𝜆2 𝜆 𝜆 𝜆 1 0 duas raízes reais e distintas Então temos 𝜆1 0 𝑒 𝜆2 1 Logo a solução da equação complementar é 𝑦𝑐 𝐴 𝐵𝑒𝑥 Uma vez que 𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 é uma função trigonométrica vamos procurar uma solução particular da forma 𝑦𝑝 𝐶𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐷𝑠𝑒𝑛𝑥 motivo 𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 é uma função trigonométrica Então se 𝑦𝑝 𝐶𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐷𝑠𝑒𝑛𝑥 temos 𝑦𝑝 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐷𝑐𝑜𝑠𝑥 e 𝑦𝑝 𝐶𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐷𝑠𝑒𝑛𝑥 Agora substituimos essas funções na equação diferencial dada 𝑦 𝑦 𝐶𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐷𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐷𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦𝑝 𝑦𝑝 Emtão temos 𝐶 𝐷𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐶 𝐷 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 Ou seja 𝐶 𝐷 0 𝑒 𝐶 𝐷 1 Ou seja 𝐶 𝐷 1 2 Solução particular 𝑦𝑝 1 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 Solução geral 𝑦𝑥 𝑦𝑐 𝑦𝑝 𝐴 𝐵𝑒𝑥 1 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 Observação importante Agora chamamos a atenção para o fato de que a solução recomendada para 𝑦𝑝 algumas vezes resulta em uma solução da equação complementar e portanto não pode ser uma solução da equação não homogênea Em tais casos multiplicamos a solução recomendada 𝑦𝑝 por x ou por 𝑥2 se necessário de modo que nenhum termo em 𝑦𝑝𝑥 seja uma solução da equação complementar Isso acontece porque todos os termos da solução geral devem ser linearmente independentes ou seja um termo não pode ser um múltiplo de outro termo NUNCA Quando precisamos multiplicar 𝑦𝑝 por 𝑥 ou por 𝑥2 dizemos que fizemos um reforço na 𝑦𝑝 Exemplo 5 Resolva 𝑦 3𝑦 2𝑦 𝑒𝑥 Equação característica 𝜆2 3𝜆 2 𝜆 1 𝜆 20 duas raízes reais e distintas Então temos 𝜆1 1 𝑒 𝜆2 2 Logo a solução da equação complementar é 𝑦𝑐 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑒2𝑥 Como 𝑓 𝑥 𝑒𝑥 então teríamos 𝑦𝑝 𝐶𝑒𝑥 Mas note que neste caso 𝑦𝑝 é um múltiplo do termo 𝐴𝑒𝑥 que é um dos termos da 𝑦𝑐 Ou seja se somarmos os dois termos teremos 𝐴𝑒𝑥 𝐶𝑒𝑥 𝐴 𝐶 𝑒𝑥 𝐷𝑒𝑥 Onde 𝐷 𝐴 𝐶 Ou seja ao invés de termos duas soluções temos apenas uma Então precisamos fazer um reforço na 𝑦𝑝 multiplicandoa por 𝑥 de tal modo a obter uma solução linearmente independente de cada termo da solução complementar Então teremos 𝑦𝑝 𝐶𝑥𝑒𝑥 logo 𝑦𝑝 𝐶𝑒𝑥 𝐶𝑥𝑒𝑥 e 𝑦𝑝 𝐶𝑒𝑥 𝐶𝑒𝑥 𝐶𝑥𝑒𝑥 2𝐶𝑒𝑥 𝐶𝑥𝑒𝑥 Substituindo na equação diferencial 𝑦 3𝑦 2𝑦 2𝐶𝑒𝑥 𝐶𝑥𝑒𝑥 3 𝐶𝑒𝑥 𝐶𝑥𝑒𝑥 2 𝐶𝑥𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑦𝑝 𝑦𝑝 𝑦𝑝 Logo 𝐶𝑒𝑥 𝑒𝑥 então 𝐶 1 logo 𝑦𝑝 𝑥𝑒𝑥 Solução geral 𝑦 𝑥 𝑦𝑐 𝑦𝑝 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑒2𝑥 𝑥𝑒𝑥 5𝑦 𝑦 6𝑥 Equação Homogênea 5𝑦 𝑦 0 Equação Característica 5𝜆2 𝜆 𝜆 5𝜆 1 0 𝜆1 0 𝑒 𝜆2 15 Função Complementar 𝒚𝒄 𝒄𝟏 𝒄𝟐𝒆𝒙𝟓 Exemplo 6 𝒚𝒄 𝒄𝟏 𝒄𝟐𝒆𝒙𝟓 Como 𝑓 𝑥 6𝑥 então teríamos 𝑦𝑝 𝐴𝑥 𝐵 mas 𝐵 𝑒 𝑐1 são LD Então faremos um reforço na yp 𝑦𝑝 𝐴𝑥2 𝐵𝑥 𝑦𝑝 2𝐴𝑥 𝐵 e 𝑦𝑝 2𝐴 Agora substituindo na Equação e colocando os coeficientes em evidência 5𝑦 𝑦 52𝐴 2𝐴𝑥 𝐵 6𝑥 2𝐴 6 e 10𝐴 𝐵 0 Igualando os coeficientes temos 𝐴 3 𝐵 30 Portanto 𝑦𝑝 3𝑥2 30𝑥 Solução Geral 𝒚 𝒚𝒄 𝒚𝒑 𝒄𝟏 𝒄𝟐𝒆𝒙𝟓 𝟑𝒙𝟐 𝟑𝟎𝒙 Resumimos o método dos coeficientes indeterminados assim Se 𝒇 𝒙 𝑷𝒏𝒙 onde 𝑃𝑛 é um polinômio de grau n então tente 𝑦𝑝 𝑄𝑛𝑥 onde 𝑄𝑛 𝑥 é um polinômio de grau n cujos coeficientes são determinados por substituição na equação diferencial Se 𝒇 𝒙 𝒄𝒆𝒂𝒙 ou seja 𝑓 𝑥 é uma exponencial então tente 𝑦𝑝 𝐶𝑒𝑎𝑥 onde C é uma constante a ser determinada por substituição na equação diferencial Se 𝒇 𝒙 𝒔𝒆𝒏𝜷𝒙 ou 𝒇 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝜷𝒙 ou ainda a soma das duas então tente 𝑦𝑝 𝐶𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 𝐷𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥 onde os coeficientes são determinados por substituição na equação diferencial Observação importante Em qualquer um dos três casos citados se algum termo da 𝑦𝑝 for uma solução ou um múltiplo de algum dos termos da equação complementar 𝑦𝑐 multiplique 𝑦𝑝 por 𝑥 ou por 𝑥2 se necessário Produto de funções Se 𝑓 𝑥 for um produto de funções dos tipos citados buscaremos 𝑦𝑝 como um produto de funções do mesmo tipo Exemplo 𝑦 2𝑦 3𝑦 𝑥𝑒𝑥 Equação complementar 𝑦 2𝑦 3𝑦 0 Equação característica 𝜆2 2𝜆 3 0 𝜆1 1 𝑒 𝜆2 3 Duas raízes reais e distintas então Solução complementar 𝑦𝑐 𝑥 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑒3𝑥 𝑦 2𝑦 3𝑦 𝑥𝑒𝑥 Para a solução particular tentaremos 𝑦𝑝 𝐶𝑥 D𝑒𝑥 motivo 𝑓 𝑥 é um polinômio de grau 1 vezes uma exponencial Agora procedemos da mesma forma derivamos e substituimos na EDO Se 𝑦𝑝 𝐶𝑥 D𝑒𝑥 então 𝑦𝑝 𝐶 𝐷 𝐶𝑥 𝑒𝑥 e 𝑦𝑝 2𝐶 𝐷 𝐶𝑥 𝑒𝑥 Agora substituímos na EDO 𝑦 2𝑦 3𝑦 2𝐶 𝐷 𝐶𝑥 𝑒𝑥 2 𝐶 𝐷 𝐶𝑥 𝑒𝑥 3 𝐷 𝐶𝑥 𝑒𝑥 𝑥𝑒𝑥 4𝐷 4𝐶𝑥 𝑒𝑥 𝑥𝑒𝑥 ou seja 4𝐷 4𝐶𝑥 𝑥 4𝐷 0 𝑒 4𝐶 1 Então 𝐶 1 4 e 𝐷 0 Ou seja 𝑦𝑝 𝑥 4 𝑒𝑥 Solução geral y x 𝑦𝑐 𝑥 𝑦𝑝 𝑥 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑒3𝑥 𝑥 4 𝑒𝑥 Soma de funções Se 𝑓 𝑥 for uma soma de funções dos tipos citados ao invés de termos uma função particular teremos duas ou seja Se for dada 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 𝑓1 𝑥 𝑓2𝑥 Teremosa solução geral 𝑦 𝑥 𝑦𝑐 𝑥 𝑦𝑝1 𝑥 𝑦𝑝2𝑥 Onde 𝑦𝑝1 está relacionada a 𝑓1𝑥 e 𝑦𝑝2 a 𝑓2𝑥 Feito isso o resto do cálculo é exatamente como fizemos nos exemplos anteriores Exemplo 1 𝑦 4𝑦 4𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 Equação complementar 𝑦 4𝑦 0 Equação característica 𝜆2 4 0 𝜆1 2 𝑒 𝜆2 2 Duas raízes reais e distintas então A solução complementar é 𝑦𝑐 𝑥 𝐴𝑒2𝑥 𝐵𝑒2𝑥 Exemplo 1 𝑦 4𝑦 4𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 Aqui 𝑓1 𝑥 4𝑥 𝑒 𝑓2 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 Daí 𝑦𝑝1 𝑎𝑥 𝑏 e 𝑦𝑝2 𝑐𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑠𝑒𝑛2𝑥 A partir daqui fazemos tudo do mesmo jeito que fizemos nos outros exemplos Para 𝑓1 𝑥 𝑦𝑝1 𝑎𝑥 𝑏 𝑦𝑝1 𝑎 e 𝑦𝑝1 0 Substituindo na EDO 𝑦 4𝑦 0 4 𝑎𝑥 𝑏 4𝑥 logo 𝑎 1 e 𝑏 0 Então 𝑦𝑝1 𝑥 𝑥 Para 𝑓2 𝑥 𝑦𝑝2 𝑐𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑠𝑒𝑛2𝑥 então 𝑦𝑝2 2𝑐𝑠𝑒𝑛2𝑥 2𝑑𝑐𝑜𝑠2𝑥 e 𝑦𝑝2 4𝑐𝑐𝑜𝑠2𝑥 4𝑑𝑠𝑒𝑛2𝑥 Substituindo na EDO 𝑦 4𝑦 4𝑐𝑐𝑜𝑠2𝑥 4𝑑𝑠𝑒𝑛2𝑥 4 𝑐𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 8𝑐𝑐𝑜𝑠2𝑥 8𝑑𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 8𝑐 1 𝑒 8𝑑 0 Então 𝑐 1 8 e 𝑑 0 Então 𝑦𝑝2 𝑐𝑜𝑠2𝑥 8 Solução geral 𝑦 𝑥 𝑦𝑐 𝑦𝑝1 𝑦𝑝2 𝐴𝑒2𝑥 𝐵𝑒2𝑥 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 8 Exemplo 2 𝑦 4𝑦 3𝑥𝑒𝑥 3𝑒𝑥 Equação complementar 𝑦 4𝑦 0 Equação característica 𝜆2 4 0 𝜆1 2 𝑒 𝜆2 2 Duas raízes reais e distintas então Solução complementar 𝑦𝑐 𝑥 𝐴𝑒2𝑥 𝐵𝑒2𝑥 Exemplo 2 𝑦 4𝑦 3𝑥𝑒𝑥 3𝑒𝑥 Aqui 𝑓1 𝑥 3𝑥𝑒𝑥 e 𝑓2 𝑥 3𝑒𝑥 Para 𝑓1 𝑥 𝑦𝑝1 𝐶𝑥 𝐷 𝑒𝑥 𝑦𝑝1 𝐶 𝐷 𝐶𝑥 𝑒𝑥 𝑒 𝑦𝑝1 2𝐶 𝐷 𝐶𝑥 𝑒𝑥 Substituindo na EDO 𝑦4𝑦 2𝐶 𝐷 𝐶𝑥 𝑒𝑥 4𝐶𝑥 𝐷𝑒𝑥 3𝑥𝑒𝑥 𝑦𝑝1 𝑦𝑝1 Dividindo pela exponencial 2𝐶 3𝐷 0 𝑒 3𝐶 3 𝐶 1 𝑒 𝐷 2 3 Então 𝑦𝑝1 𝑥 2 3 e𝑥 Para 𝑓2 𝑥 3𝑒𝑥 temos 𝑦𝑝2 𝐸𝑒𝑥 𝑦𝑝2 𝐸𝑒𝑥 e 𝑦𝑝2 𝐸𝑒𝑥 Substituindo na EDO 𝑦 4𝑦 𝐸𝑒𝑥 4𝐸𝑒𝑥 3𝑒𝑥 𝐸 1 Então 𝑦𝑝2 𝑒𝑥 Solução geral 𝑦 𝑥 𝑦𝑐 𝑥 𝑦𝑝1 𝑥 𝑦𝑝2𝑥 𝐴𝑒2𝑥 𝐵𝑒2𝑥 𝑥 2 3 𝑒𝑥 𝑒𝑥 Exemplo 3 𝑦 2𝑦 3𝑦 𝑡2𝑒2𝑡 Equação característica 𝜆2 2𝜆 3 𝜆 1 𝜆 3 0 𝜆1 1 𝑒 𝜆2 3 Solução complementar 𝑦𝑐 𝐴𝑒3𝑡 𝐵𝑒𝑡 𝑦𝑝 𝑎𝑡2 𝑏𝑡 𝑐 𝑒2𝑡 Exemplo 3 𝑦 2𝑦 3𝑦 𝑡2𝑒2𝑡 𝑦𝑝 𝑎𝑡2 𝑏𝑡 𝑐 𝑒2𝑡 𝑦𝑝 2𝑎𝑡2 2𝑏𝑡 2𝑐 2𝑎𝑡 𝑏 𝑒2𝑡 𝑦𝑝 4𝑎𝑡2 4𝑏𝑡 4𝑐 8𝑎𝑡 4𝑏 2𝑎 𝑒2𝑡 𝑦 2𝑦 3𝑦 3𝑎𝑡2 3𝑏 4𝑎 𝑡 2𝑎 2𝑏 3𝑐𝑒2𝑡 𝑡2𝑒2𝑡 3𝑎 1 3𝑏 4𝑎 0 𝑒 2𝑎 2𝑏 3𝑐 0 𝑎 1 3 𝑏 4 9 𝑒 𝑐 14 27 𝑦𝑝 1 3 𝑡2 4 9 𝑡 14 27 𝑒2𝑡 Solução geral 𝑦 𝑥 𝐴𝑒3𝑡 𝐵𝑒𝑡 1 3 𝑡2 4 9 𝑡 14 27 𝑒2𝑡 Exemplo 4 𝑦 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥 A equação auxiliar é dada por 𝑦 y 0 E a equação característica é 𝜆2 1 0 duas raízes complexas conjugadas Então temos 𝜆1 𝑖 𝑒 𝜆2 𝑖 Logo a solução da equação complementar é 𝑦𝑐 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐵𝑠𝑒𝑛𝑥 Como 𝑓 𝑥 senx então teríamos 𝑦𝑝 𝐶𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐷𝑠𝑒𝑛𝑥 Mas note que também neste caso 𝑦𝑝 é um múltiplo da 𝑦𝑐 Então multiplicando 𝑦𝑃 por 𝑥 teremos 𝑦𝑝 𝐶𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐷𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 Então se 𝑦𝑝 𝐶𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐷𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 temos yp Ccosx Cxsenx Dsenx Dxcosx yp 2Csenx Cxcosx 2Dcosx Dxsenx Substituindo na equação diferencial e simplificando temos 𝑦 𝑦 2C sen x 2D cos x sen x ou seja C 1 2 D 0 e 𝑦𝑝 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 A solução geral é 𝑦 𝑥 𝑦𝑐 𝑦𝑝 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐵𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 Exemplo 5 𝑦 4𝑦 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 Equação complementar 𝑦 4𝑦 0 Equação característica 𝜆2 4𝜆 λ 𝜆 4 0 𝜆1 0 𝑒 𝜆2 4 Duas raízes reais e distintas então Solução complementar 𝑦𝑐 𝑥 𝐴 𝐵𝑒4𝑥 𝑦 4𝑦 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 Para a solução particular tentaremos 𝑦𝑝 Ccosx Dsenx𝑒𝑥 motivo 𝑓 𝑥 é uma trigonométrica vezes uma exponencial Agora procedemos da mesma forma derivamos e substituimos na EDO 𝑦𝑝 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐷𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐷𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑒𝑥 e 𝑦𝑝 2𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 2𝐷𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑒𝑥 𝑦𝑝 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐷𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐷𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑒𝑥 e 𝑦𝑝 2𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 2𝐷𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑒𝑥 𝑦 4𝑦 2𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 2𝐷𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑒𝑥 4 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐷𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐷𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦𝑝 𝑦𝑝 Dividindo tudo pela exponencial 4𝐶 6𝐷 𝑐𝑜𝑠𝑥 6𝐶 4𝐷 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 Ou seja 4𝐶 6𝐷 1 𝑒 6𝐶 4𝐷 0 𝐶 1 13 𝑒 𝐷 3 26 𝑦𝑝 1 13𝑐𝑜𝑠𝑥 3 26 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑒𝑥 Solução geral 𝑦 𝑥 𝑦𝑐 𝑥 𝑦𝑝 𝑥 𝐴 𝐵𝑒4𝑥 1 13𝑐𝑜𝑠𝑥 3 26 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑒𝑥 Exercícios Encontre a solução geral da equação diferencial 1 𝑦 2𝑦 3𝑦 3𝑒2𝑡 Resp y c1e 3t c2e t e 2t 2 𝑦 𝑦 2𝑦 𝑠𝑒𝑛2𝑥 Resp 𝑦 𝑥 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑒2𝑥 3 20𝑠𝑒𝑛2𝑥 1 20𝑐𝑜𝑠𝑥 3 𝑦 4𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝑥 Resp 𝑦 𝐴𝑒2𝑥 𝐵𝑒2𝑥 1 8𝑐𝑜𝑠2𝑥 4 𝑦 5𝑦 6𝑦 5𝑒2𝑥 Resp y 𝐴𝑒3𝑥 𝐵𝑒2𝑥 5𝑥𝑒2𝑥 Exercícios Encontre a solução geral da equação diferencial 5 𝑦 2𝑦 3𝑦 𝑡2𝑒2𝑡 Resp 𝑦 𝑥 𝐴𝑒3𝑡 𝐵𝑒𝑡 𝑡2 3 4𝑡 9 14 27 𝑒2𝑡 6 𝑦 𝑦 2𝑦 3𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 Resp 𝑦 𝑥 𝐴𝑒𝑥 𝐵𝑒2𝑥 3𝑥 2 3 4 3 20 𝑠𝑒𝑛2𝑥 1 20𝑐𝑜𝑠𝑥 7 𝑦 5𝑦 6𝑦 2𝑥𝑒𝑥 𝑒𝑥 Resp y 𝐴𝑒3𝑥 𝐵𝑒2𝑥 𝑥𝑒𝑥 6 7𝑒𝑥 72 𝑒𝑥 2 8 𝑦 𝑦 6𝑦 2𝑥 Resp 𝒚 𝒄𝟏𝒆𝟑𝒙 𝒄𝟐𝒆𝟐𝒙 𝟏 𝟑 𝒙 𝟏 𝟏𝟖 Exercícios Resolva as equações lineares não homogêneas abaixo 9 1 4 𝑦 𝑦 𝑦 𝑥2 2𝑥 Resp 𝒚 𝒄𝟏𝒆𝟐𝒙 𝒄𝟐𝒙𝒆𝟐𝒙 𝒙𝟐 𝟒𝒙 𝟕 𝟐 10 𝑦4 2𝑦 𝑦 𝑥 1 2 Resp 𝒚 𝒄𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒄𝟐 𝐬𝐞𝐧𝒙 𝒄𝟑𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝟒𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒙𝟐 𝟐𝒙 𝟑 11 𝑦 4𝑦 2 𝑦 𝜋 8 1 2 𝑒 𝑦 𝜋8 2 Resp 𝒚 𝟐𝐬𝐞𝐧𝟐𝒙 𝟏𝟐