Método da Variação dos Parâmetros em Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem

Equações diferenciais lineares de segunda ordem não homogêneas com coeficientes constantes Método da Variação dos Parâmetros Teorema Sejam 𝑓1 𝑥 𝑓2 𝑥 𝑓𝑛 𝑥 funções diferenciáveis até a ordem pelo menos 𝑛 1 em um intervalo I e considere o seguinte determinante 𝑊 𝑓1 𝑥 𝑓2 𝑥 𝑓𝑛 𝑥 𝑓1 𝑓1 𝑓2 𝑓2 𝑓𝑛 𝑓𝑛 𝑓1 𝑛1 𝑓2 𝑛1 𝑓𝑛 𝑛1 Se o determinante acima for diferente de zero em pelo um ponto do intervalo 𝐼 então as funções 𝑓1 𝑥 𝑓2 𝑥 𝑓𝑛 𝑥 são 𝐿𝐼 no intervalo 𝐼 O determinante 𝑊 é chamado de Wronskiano das funções Exemplo Sejam 𝑓1 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑒 𝑓2 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑊 𝑓1 𝑓2 𝑓1 𝑓2 𝑓1 𝑓2 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 cos2 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 1 Então as funções 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑥 são 𝐿𝐼 𝑥 ℝ O Método da Variação dos Parâmetros 𝑫𝒂𝒅𝒂 𝒂 𝑬𝑫𝑶 𝒂𝒚 𝒃𝒚 𝒄𝒚 𝒇𝒙 Resolvendo a equação homogênea 𝒂𝒚 𝒃𝒚 𝒄𝒚 𝟎 escrevemos a solução homogênea como 𝑦𝑐 𝑥 𝑎1𝑦1 𝑥 𝑎2𝑦2𝑥 onde 𝑦1𝑥 𝑒 𝑦2 𝑥 são soluções linearmente independentes da EDO homogênea e 𝑎1𝑎2 ℝ A ideia do método é substituir as constantes ou parâmetros 𝑎1 𝑒 𝑎2 na solução homogênea por duas funções arbitrárias 𝒖𝟏 𝒙 𝒆 𝒖𝟐 𝒙 E a partir dai então procuramos uma solução particular da equação não homogênea 𝒂𝒚 𝒃𝒚 𝒄𝒚 𝒇𝒙 1 da forma 𝑦𝑝 𝑥 𝑢1𝑥𝑦1 𝑥 𝑢2𝑥𝑦2𝑥 2 Esse método é denominado de Variação dos Parâmetros pois variamos os parâmetros 𝑐1 e 𝑐2 considerandoos como funções arbitrárias Agora derivando a equação 2 obtemos 𝑦𝑝 𝑢1 𝑦1 𝑢2 𝑦2 𝑢1𝑦1 𝑢2𝑦2 3 IMPORTANTE Agora como u1 e u2 são funções arbitrárias vamos impor duas restrições sobre elas A primeira restriçãoé que 𝑦𝑝 seja uma solução da equação diferencial 𝒂𝒚 𝒃𝒚 𝒄𝒚 𝒇 𝒙 não homogênea A segunda restriçãoé para simplificar nossos cálculos Considerando a derivada da 𝑦𝑝 que calculamos 𝑦𝑝 𝑢1 𝑦1 𝑢2 𝑦2 𝑢1𝑦1 𝑢2𝑦2 Vamos impor a seguinte condição 𝑢1 𝑦1 𝑢2 𝑦2 0 4 O que nos dá 𝑦𝑝 𝑢1𝑦1 𝑢2𝑦2 De modo que 𝑦𝑝 𝑢1 𝑦1 𝑢2 𝑦2 𝑢1𝑦1 𝑢2𝑦2 Agora substituindo yp 𝑦𝑝 𝑒 𝑦𝑝 na EDO não homogênea 𝒂𝒚 𝒃𝒚 𝒄𝒚 𝒇𝒙 obtemos 𝒂𝒚 𝒃𝒚 𝒄𝒚 𝒇 𝒙 𝑎𝑢1 𝑦1 𝑢2 𝑦2 𝑢1𝑦1 𝑢2𝑦2 𝑏 𝑢1𝑦1 𝑢2𝑦2 𝑐 𝑢1𝑦1 𝑢2𝑦2 𝑓𝑥 Isolando 𝑢1 e 𝑢2 na equação temos 𝑢1 𝑎𝑦1 𝑏𝑦1 𝑐𝑦1 𝑢2 𝑎𝑦2 𝑏𝑦2 𝑐𝑦2 𝑎 𝑢1 𝑦1 𝑢2 𝑦2 𝑓𝑥 Mas como 𝑦1 e 𝑦2 são soluções da equação diferencial homogênea temos 𝑎𝑦1 𝑏𝑦1 𝑐𝑦1 0 𝑒 𝑎𝑦2 𝑏𝑦2 𝑐𝑦2 0 Então nos sobra 𝑎 𝑢1 𝑦1 𝑢2 𝑦2 𝑓𝑥 5 Daí temos das equações 4 e 5 o seguinte sistema ቊ 𝑢1 𝑦1 𝑢2 𝑦2 0 𝑎 𝑢1 𝑦1 𝑢2 𝑦2 𝑓𝑥 6 Da primeira equação temos 𝑢1 𝑢2 𝑦2 𝑦1 Substituindo na equação 2 𝑎 𝑢2 𝑦2 𝑦1 y1 u2 y2 𝑎 𝑢2 𝑦2𝑦1u2 y2 𝑦1 𝑦1 𝑓 𝑥 𝑢2 𝑦2𝑦1 y2 𝑦1 𝑦1𝑓 𝑥 𝑎 𝑢2 𝑦1𝑓 𝑥 𝑎 𝑦1𝑦2 𝑦1 𝑦2 𝑦1𝑓 𝑥 𝑎 𝑊𝑦1 𝑦2 Wronskiano 𝑊 𝑦1𝑦2 𝑦1 𝑦2 𝑦1 𝑦2 𝑦1𝑦2 𝑦1 𝑦2 Voltando em 𝑢1 𝑢1 𝑢2 𝑦2 𝑦1 𝑢1 𝑦1𝑓 𝑥 𝑎 𝑦1𝑦2 𝑦1 𝑦2 𝑦2 𝑦1 𝑦2𝑓 𝑥 𝑎 𝑦1𝑦2 𝑦1 𝑦2 𝑦2𝑓 𝑥 𝑎 𝑊𝑦1 𝑦2 Wronskiano 𝑊 𝑦1𝑦2 𝑦1 𝑦2 𝑦1 𝑦2 𝑦1𝑦2 𝑦1 𝑦2 Agora integrando 𝑢1 e 𝑢2 para encontrar 𝑢1 e 𝑢2 chegamos nas seguintes soluções Onde 𝑊 𝑦1 𝑦2 𝑦1 𝑦2 𝑦1 𝑦2 𝑦1𝑦2 𝑦2𝑦1 é o Wronskiano das funções 𝒚𝟏 𝒆 𝒚𝟐 𝑢1 1 𝑎 න 𝑦2𝑓 𝑥 𝑊 𝑦1𝑦2 𝑑𝑥 𝑢2 1 𝑎 න 𝑦1𝑓 𝑥 𝑊 𝑦1 𝑦2 𝑑𝑥 Lembrando que 𝑦𝑝 𝑥 𝑢1𝑥𝑦1 𝑥 𝑢2𝑥𝑦2𝑥 E lembrando que a solução geral é dada por 𝑦 𝑥 𝑦𝑐 𝑥 𝑦𝑝 𝑥 Solução geral da EDO não homogênea 𝒚 𝒙 𝒂𝟏𝒚𝟏 𝒙 𝒂𝟐𝒚𝟐𝒙 𝒖𝟏 𝒙 𝒚𝟏 𝒙 𝒖𝟐 𝒙 𝒚𝟐 𝒙 onde 𝑦𝑐𝑥 é a solução da equação homogênea associada equação complementar 𝑦𝑐𝑥 𝑎1𝑦1 𝑥 𝑎2𝑦2𝑥 Exemplo 1 𝑦 𝑦 𝑡𝑔𝑥 𝑦 0 1 𝑒 𝑦 0 0 Equação complementar 𝑦 𝑦 0 A equação característica é 𝜆2 1 0 cujas raízes são 𝑖 e a solução homogênea é 𝑦𝑐 𝑎1𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑎2𝑠𝑒𝑛𝑥 Note que 𝑦1 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦2 𝑠𝑒𝑛𝑥 e 𝑓𝑥 𝑡𝑔𝑥 E buscaremos uma solução particular na forma 𝑦𝑝 𝑢1 𝑥 𝑦1 𝑢2 𝑥 𝑦2 𝑢1𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑢2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑊 𝑦1 𝑦2 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 cos2 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 1 𝑢1 1 𝑎 න 𝑦2𝑓 𝑥 𝑊 𝑦1 𝑦2 𝑑𝑥 න𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑡𝑔𝑥 1 𝑑𝑥 න 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 න𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 න 1 cos2 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 න 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 න 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑢1 ln 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑡𝑔𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑢2 1 𝑎 න 𝑦1𝑓 𝑥 𝑊 𝑦1 𝑦2 𝑑𝑥 න 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑡𝑔𝑥 1 𝑑𝑥 න 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 න 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑢2 𝑐𝑜𝑠𝑥 Ou seja 𝑦𝑝 𝑥 𝑢1 𝑥 𝑦1 𝑥 𝑢2 𝑥 𝑦2 𝑥 ln 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑡𝑔𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦𝑝 𝑐𝑜𝑠𝑥 ln 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑡𝑔𝑥 Solução 𝑦 𝑦𝑐 𝑦𝑝 𝑎1𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑎2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 ln 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑡𝑔𝑥 𝒚 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒍𝒏 𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒈𝒙 𝒂𝟏𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒂𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑡𝑔𝑥 1 𝑎1𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑎2𝑐𝑜𝑠𝑥 Usando 𝑦 0 1 𝑒 𝑦 0 0 𝑎1 1 𝑒 𝑎2 1 Então a solução da EDO é 𝒚 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒍𝒏 𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒈𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙 Exemplo 2 𝒚 𝟒𝒚 𝟒𝒚 𝒆𝟐𝒙 𝒙𝟐 𝒙 𝟎 A equação característica é 𝜆2 4𝜆 4 0 cuja raiz múltipla é 𝟐 e a solução complementar homogênea é 𝑦𝑐 𝑎1𝑒2𝑥 𝑎2𝑥𝑒2𝑥 Note que 𝑦1 𝑒2𝑥 𝑦2 𝑥𝑒2𝑥 e 𝑓𝑥 𝑒2𝑥 𝑥2 E buscaremos uma solução particular na forma 𝑦𝑝 𝑢1𝑥𝑒2𝑥 𝑢2𝑥𝑥𝑒2𝑥 𝑊 𝑦1 𝑦2 𝑒2𝑥 𝑥𝑒2𝑥 2𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 2𝑥𝑒2𝑥 𝑒4𝑥 𝑢1 1 𝑎 න 𝑦2𝑓 𝑥 𝑊 𝑦1 𝑦2 𝑑𝑥 න 𝑥 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 𝑥2 𝑒4𝑥 𝑑𝑥 න 𝑥 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 𝑥2 𝑒4𝑥 𝑑𝑥 න 1 𝑥 𝑑𝑥 ln𝑥 𝑢2 1 𝑎 න 𝑦1𝑓 𝑥 𝑊 𝑦1 𝑦2 𝑑𝑥 න 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 𝑥2 𝑒4𝑥 𝑑𝑥 න 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 𝑥2 𝑒4𝑥 𝑑𝑥 න 1 𝑥2 𝑑𝑥 1 𝑥 Então 𝑦𝑝 𝑢1 𝑥 𝑒2𝑥 𝑢2 𝑥 𝑥𝑒2𝑥 ln𝑥𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 Lembrando que 𝑦𝑐 𝑎1𝑒2𝑥 𝑎2𝑥𝑒2𝑥 E 𝑦𝑝 ln𝑥𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 Temos a solução geral 𝑦 𝑥 𝑦𝑝 𝑦𝑐 𝑦 𝑥 lnx 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 𝑎1𝑒2𝑥 𝑎2𝑥𝑒2𝑥 Ou 𝑦 𝑥 ln𝑥𝑒2𝑥 𝑎3𝑒2𝑥 𝑎2𝑥𝑒2𝑥 onde 𝑎3 𝑎1 1 Exemplo 3 𝒚 𝒚 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝑦 0 0 𝑒 𝑦 0 1 A equação característica é 𝜆2 1 0 cujas raízes são 𝑖 e a solução homogênea é 𝑦𝑐 𝑎1𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑎2𝑠𝑒𝑛𝑥 Note que 𝑦1 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦2 𝑠𝑒𝑛𝑥 e 𝑓𝑥 cos2x E buscaremos uma solução particular na forma 𝑦𝑝 𝑢1𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑢2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑊 𝑦1 𝑦2 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 cos2 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 1 𝑢1 1 𝑎 න 𝑦2𝑓 𝑥 𝑊 𝑦1 𝑦2 𝑑𝑥 න𝑠𝑒𝑛𝑥 cos2 𝑥 1 𝑑𝑥 න 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 න𝑢2𝑑𝑢 𝑢3 3 cos3 𝑥 3 Aqui fizemos a substituição 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑢2 1 𝑎 න 𝑦1𝑓 𝑥 𝑊 𝑦1 𝑦2 𝑑𝑥 න 𝑐𝑜𝑠𝑥 cos2 𝑥 1 𝑑𝑥 න 1 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 න 1 𝑢2 𝑑𝑢 𝑢 𝑢3 3 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥 3 Aqui fizemos a substituição 𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑦𝑝 cos3 𝑥 3 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥 3 𝑠𝑒𝑛𝑥 Solução geral 𝑦 𝑦𝑐 𝑦𝑝 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 cos3 𝑥 3 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥 3 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝑥 cos4 𝑥 3 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑠𝑒𝑛4𝑥 3 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑛1𝑢 𝑦 𝑐1𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐2𝑐𝑜𝑠𝑥 4 3 cos3 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 4 3 𝑠𝑒𝑛3𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 Usando as condições iniciais 𝑦 0 0 𝑒 𝑦 0 1 𝑐1 1 3 e c2 1 𝑦 1 3𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 cos4 𝑥 3 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑠𝑒𝑛4𝑥 3 Exemplo 4 𝒚 𝟐𝒚 𝒚 𝒍𝒏𝒙 𝒆𝒙 Equação característica 𝜆2 2𝜆 1 0 𝜆1 𝜆2 1 Solução complementar 𝑦𝑐 𝑐1𝑒𝑥 𝑐2𝑥𝑒𝑥 Aqui 𝑦1 𝑒𝑥 𝑦2 𝑥𝑒𝑥 e 𝑓 𝑥 𝑙𝑛𝑥 𝑒𝑥 Então 𝑦𝑝 𝑢1𝑒𝑥 𝑢2𝑥𝑒𝑥 𝑊 𝑦1 𝑦2 𝑒𝑥 𝑥𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑥𝑒𝑥 𝑒2𝑥 𝑢1 1 𝑎 න 𝑦2𝑓 𝑥 𝑊 𝑦1 𝑦2 𝑑𝑥 න 𝑥𝑒𝑥 𝑙𝑛𝑥 𝑒𝑥 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 Integração por partes 𝑢𝑑𝑣 𝑢𝑣 𝑣𝑑𝑢 Por partes 𝑢 ln𝑥 𝑒 𝑑𝑣 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑢 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 𝑣 𝑥2 2 𝑢1 න𝑥 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 2 𝑙𝑛𝑥 න 1 𝑥 𝑥2 2 𝑑𝑥 𝑥2 2 𝑙𝑛𝑥 𝑥2 4 𝑢2 1 𝑎 න 𝑦1𝑓 𝑥 𝑊 𝑦1 𝑦2 𝑑𝑥 න 𝑒𝑥 𝑙𝑛𝑥 𝑒𝑥 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 න 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑙𝑛𝑥 𝑥 𝑥 𝑙𝑛𝑥 1 𝑦𝑝 𝑥2 2 𝑙𝑛𝑥 𝑥2 4 𝑒𝑥 𝑥 𝑙𝑛𝑥 𝑥 𝑥𝑒𝑥 Solução geral 𝑦 𝑦𝑐 𝑦𝑝 𝑐1𝑒𝑥 𝑐2𝑥𝑒𝑥 𝑥2 2 𝑙𝑛𝑥 𝑥2 4 𝑒𝑥 𝑥 𝑙𝑛𝑥 1 𝑥𝑒𝑥 𝑐1𝑒𝑥 𝑐2𝑥𝑒𝑥 𝑥2 2 𝑙𝑛𝑥 𝑒𝑥 3𝑥2 4 𝑒𝑥 Exemplo 5 𝒚 𝟐𝒚 𝒚 𝒆𝒙𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙 Equação característica 𝜆2 2𝜆 1 0 𝜆1 𝜆2 1 Solução complementar 𝑦𝑐 𝑐1𝑒𝑥 𝑐2𝑥𝑒𝑥 Aqui 𝑦1 𝑒𝑥 𝑦2 𝑥𝑒𝑥 e 𝑓 𝑥 𝑒𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 Então 𝑦𝑝 𝑢1𝑒𝑥 𝑢2𝑥𝑒𝑥 𝑊 𝑦1 𝑦2 𝑒𝑥 𝑥𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑥𝑒𝑥 𝑒2𝑥 𝑢1 1 𝑎 න 𝑦2𝑓 𝑥 𝑊 𝑦1 𝑦2 𝑑𝑥 න 𝑥𝑒𝑥𝑒𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 න𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 Por partes 𝑢 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑒 𝑑𝑣 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑢 1 1𝑥2 𝑑𝑥 𝑒 𝑣 𝑥2 2 න𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 1 2න 1 1 𝑥2 𝑥2𝑑𝑥 𝑥2 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑥 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 2 𝑢2 1 𝑎 න 𝑦1𝑓 𝑥 𝑊 𝑦1 𝑦2 𝑑𝑥 න 𝑒𝑥𝑒𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 ln 1 𝑥2 integral tabelada 𝑦𝑝 𝑒𝑥 2 𝑥2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑥𝑒𝑥 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 1 2 ln 1 𝑥2 Solução geral 𝑦 𝑦𝑐 𝑦𝑝 𝑐1𝑒𝑥 𝑐2𝑥𝑒𝑥 𝑒𝑥 2 𝑥2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑥𝑒𝑥 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 1 2 ln 1 𝑥2 Exemplo 6 𝑦 2𝑙𝑛𝑥 y 1 0 𝑒 𝑦 1 1 𝑦 2𝑙𝑛𝑥 𝑦 2𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 2𝑥 𝑙𝑛𝑥 1 𝑐1 Então 𝑦 2𝑥 𝑙𝑛𝑥 1 𝑐1 𝑑𝑥 𝑥2𝑙𝑛𝑥 3𝑥2 2 𝑐1𝑥 𝑐2 Derivando 𝑦 2𝑥𝑙𝑛𝑥 𝑥 3𝑥 𝑐1 Usando y 1 0 𝑒 𝑦 1 1 0 3 2 𝑐1 𝑐2 𝑒 1 1 3 𝑐1 𝑐1 3 𝑒 𝑐2 3 2 Solução 𝑦 𝑥 𝑥2𝑙𝑛𝑥 3𝑥2 2 3𝑥 3 2 Exercícios Resolva as EDOs 𝟏 𝒚 𝒚 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 Resp 𝑦 𝑥 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐵𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 3 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑠𝑒𝑛4𝑥 3 2 𝒚 𝟐𝒚 𝒚 𝒆𝒙 𝟏𝒙𝟐 Resp 𝑦 𝑥 𝐴𝑒 𝑥 𝐵𝑥𝑒𝑥 1 2 𝑒 𝑥 ln 1 𝑥2 𝑥𝑒 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥