Aula 11: Transformada de Fourier - Teoria e Aplicações

ELE200 aula 11 Transf de Fourier Teoria Prof Dr Pedro Benko 1 ELE200 Introdução aos Circuitos elétricos ELE200 aula 11 Transformada de Fourier Prof Dr Pedro Benko Cap 18 Irwin Transformada de Fourier Em geral a transformada de Fourier é utilizada para representar sinais aperiódicos no domínio da frequência caso bilateral da Transformada de Laplace Ela é aplicada no estudo de processamento digital de sinais e teoria de comunicações Em introdução à análise de circuitos utilizaremos para determinar a energia contida em um sinal aperiódico no domínio do tempo t e no domínio da frequência ω 𝐶𝑛 1 𝑇 𝑇2 𝑇2 𝑓𝑝 𝑡 𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡𝑑𝑡 fpt função periódica ω0 2πT FT é um caso limite da série exponencial de Fourier Onde fazemos T e calculamos o limite da função fpt Para T tendendo a temos que fpt tornase aperiódica ou seja a função nunca se repetirá ELE200 aula 11 Transformada de Fourier Prof Dr Pedro Benko P funções periódicas o espectro fpt Δω n1ω0 nω0 ω0 2πT P T Δωdω 1 𝑇 𝑑𝜔 2𝜋 𝑝 𝑇 assim o espectro se torna contínuo onde p 𝑇 Cn 0 Tomemos a série exponencial de Fourier 𝐶𝑛𝑇 𝑇2 𝑇2 𝑓𝑝 𝑡 𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡𝑑𝑡 lim 𝑇 𝐶𝑛𝑇 lim 𝑇 න 𝑇2 𝑇2 𝑓𝑝 𝑡 𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡𝑑𝑡 e aplicando o limite p 𝑇 fica lim 𝑇 𝐶𝑛𝑇 න 𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 𝑭𝝎 𝒇 𝒕 𝒆𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 Que é a transformada de Fourier A transformada inversa é expressa como 𝒇𝒕 𝟏 𝟐𝝅 𝑭 𝝎 𝒆𝒋𝝎𝒕𝒅𝝎 ELE200 aula 11 Transformada de Fourier Prof Dr Pedro Benko Exemplo clássico pulso aperiódico Assumese que o pulso seja periódico com período T e existência do pulso entre δ2 e δ2 assim fptV p δ2 à δ2 𝐶𝑛𝑇 𝛿2 𝛿2 𝑓𝑝 𝑡 𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡𝑑𝑡 𝐶𝑛 1 𝑇 δ2 δ2 𝑓𝑝 𝑡 𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡𝑑𝑡 Série exponencial de Fourier න 𝑒𝑎𝑥𝑑𝑥 𝑒𝑎𝑥 𝑎 ELE200 aula 11 Transformada de Fourier Prof Dr Pedro Benko 𝐶𝑛𝑇 𝑉 𝑗𝑛𝜔 𝑒𝑗𝑛𝜔 Τ 𝛿 2 𝑒𝑗𝑛𝜔 Τ 𝛿 2 𝐶𝑛𝑇 2𝑉 𝑛𝜔 𝑒𝑗𝑛𝜔𝛿2𝑒𝑗𝑛𝜔𝛿2 2𝑗 𝐶𝑛𝑇 2𝑉 𝑛𝜔 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜔𝛿2 𝐶𝑛 𝑉𝛿 𝑇 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜔 Τ 𝛿 2 𝑛𝜔 Τ 𝛿 2 que é a série de Fourier Para x5 temos T5δ assim temos um espectro discreto conforme abaixo Conforme x aumenta temos uma aproximação das raias ELE200 aula 11 Transformada de Fourier Prof Dr Pedro Benko p x10 temos T10δ assim temos um espectro discreto conforme abaixo Para T temos a transformada de Fourier onde lim 𝑇 𝐶𝑛𝑇 න 𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 𝐹𝜔 𝑉𝛿 𝑠𝑒𝑛 𝜔 Τ 𝛿 2 𝜔 Τ 𝛿 2 ELE200 aula 11 Transformada de Fourier Prof Dr Pedro Benko Função Impulso função singular não possui derivada finita em todos os pontos são modelos matemáticos de sinais para análise de circuitos Função impulso função delta δt Dirac Definida como o limite do pulso retangular p a 0 δtt0 0 p t t0 Definição Um impulso é um sinal de amplitude infinita e duração Zero Tal sinal não existe na natureza mas alguns sinais de tensão e corrente se aproximam dessa definição operações com chaveamento de indutores por exemplo ELE200 aula 11 Transformada de Fourier Prof Dr Pedro Benko 2 0 1 0 2 1 0 t t p t f t dt t t t f t t Propriedade da amostragem Integral da amostragem e 0 p t0 t1 t0 t2 t ft δtt0 ft0 t2 t1 Assim a função impulso amostra ft para t t0 Alguns pares de Transformadas de Fourier aplicáveis am análises de circuitos Impulso unitário ft δta Fω ejωa ELE200 aula 11 Transformada de Fourier Prof Dr Pedro Benko 𝐹𝜔 𝛿 𝑡 𝑎 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 pela propriedade da amostragem A função só existe para ta logo Fω é amostrado em ta Fω ejωa para a0 Fω 1 Exponencial ft ejω0t usase um artificio se Fω 2πδω ω0 a transformada inversa seria 𝑓 𝑡 1 2𝜋 2πδ ω ω0 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 𝑓𝑡 2𝜋 2𝜋 δω ω0 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 que pela propriedade da amostragem ft0 para ω ω0 logo ft ejωot Fω 2πδω ω0 Portanto 𝑭𝝎 𝒆𝒋𝝎𝟎𝒕 𝒆𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 Fω 2πδω ω0 ELE200 aula 11 Transformada de Fourier Prof Dr Pedro Benko Cosseno ftcosω0t Fω πδω ω0 πδω ω0 𝐹 𝜔 න 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑜𝑡𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 dado que 𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑡 𝑒𝑗𝜔0𝑡 𝑒𝑗𝜔0𝑡 2 𝐹 𝜔 1 2 𝑒𝑗𝜔0𝑡 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 1 2 𝑒𝑗𝜔0𝑡 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 Que por semelhança com exponencial temos Fω πδω ω0 πδω ω0 ft Fω δta ejωa A 2πAδω ejωot 2πδωω0 cos ω0t πδωω0 πδωω0 sen ω0t πδωω0 jπδωω0 Algumas primitivas básicas ELE200 aula 11 Transformada de Fourier Prof Dr Pedro Benko Função degrau ut também chamada de função de Heaviside ft 0 para t 0 ft 1 para t 0 ft 𝑡 1 0 ut ut eat ut a0 1 𝑗𝜔 𝑎 eat ut a0 2𝑎 𝑎2𝜔2 eat cosω0t ut a0 𝑗𝜔0𝑎 𝑗𝜔0𝑎 2𝜔02 eat senω0t ut a0 𝜔02 𝑗𝜔0 𝑎 2 𝜔02 Algumas primitivas básicas com ut ELE200 aula 11 Transformada de Fourier 2S20 Prof Dr Pedro Benko Exemplo de aplicação Determinar a transformada de Fourier de Vt 1 1 A A t Vt 𝑭𝝎 𝒇 𝒕 𝒆𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 𝐹 𝜔 න 1 0 𝐴𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 න 0 1 𝐴𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 𝐹 𝜔 𝐴 𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑗𝜔 0 1 𝐴 𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑗𝜔 1 0 𝐹 𝜔 𝐴 𝑗𝜔 1 𝑒𝑗𝜔 𝐴 𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔 1 𝐹 𝜔 𝐴 𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔 1 2 𝐹 𝜔 2𝐴 𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔 2 2 2 𝐹 𝜔 2𝐴 𝑗𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜔 1 ELE200 aula 11 Transformada de Fourier Prof Dr Pedro Benko Exemplo de aplicação Determinar Vot pela transformada de Fourier Vit5cos2t 10Ω 1H Vit Vot cos 𝜔0𝑡 𝜋𝛿 𝜔 𝜔0 𝜋𝛿 𝜔 𝜔0 𝑉𝑜 𝜔 10 𝑗𝜔𝑜 10 𝑉𝑖𝜔 𝑉𝑜 𝜔 50𝜋𝛿 𝜔 2 𝜋𝛿 𝜔 2 𝑗𝜔𝑜 10 𝑉𝑖 𝜔 5𝜋𝛿 𝜔 2 𝜋𝛿 𝜔 2 ω0 2 𝑉𝑜 𝜔 25 2𝜋𝛿 𝜔 2 𝑗2 10 2𝜋𝛿 𝜔 2 𝑗2 10 𝑒𝑗𝜔0𝑡 2𝜋𝛿𝜔 𝜔0 𝑒𝑗𝜔0𝑡 2𝜋𝛿𝜔 𝜔0 𝑉𝑜 𝑡 1 2𝜋 න 25 2𝜋𝛿 𝜔 2 𝑗2 10 2𝜋𝛿 𝜔 2 𝑗2 10 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 𝑓𝑡 1 2𝜋 𝐹 𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 Aplicando a transformada inversa 𝐹𝜔 𝛿 𝑡 𝑎 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 Propriedade da amostragem ELE200 aula 11 Transformada de Fourier Prof Dr Pedro Benko 𝑉𝑜 𝑡 1 2𝜋 න 25 2𝜋𝛿 𝜔 2 𝑗2 10 2𝜋𝛿 𝜔 2 𝑗2 10 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 𝑉𝑜 𝑡 2𝜋 2𝜋 25 1 𝑗2 10 න 𝛿 𝜔 2 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 1 𝑗2 10 න 𝛿 𝜔 2 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 𝑉𝑜 𝑡 25 𝑒𝑗2𝑡 𝑗2 10 𝑒𝑗2𝑡 𝑗2 10 𝐹𝜔 𝛿 𝑡 𝑎 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 Propriedade da amostragem no slide 9 Fω ejωa 25 𝑒𝑗2𝑡 102𝑒𝑗1131𝑜 𝑒𝑗2𝑡 102𝑒𝑗1131𝑜 ELE200 aula 11 Transformada de Fourier Prof Dr Pedro Benko Exemplo de aplicação Determinar Vot por fasores Vit5cos2t 10Ω 1H Vit Vot 𝑉𝑜 𝑗𝜔 10 𝑗2 10 𝑉𝑖𝑗𝜔 𝑉𝑖 𝑗𝜔 500 𝑉𝑜 𝑗𝜔 490 11310𝑉 𝑉𝑜 𝑡 490 cos 2𝑡 11310 𝑉 25 51 𝑒𝑗2𝑡11310 𝑒𝑗2𝑡11310 2 𝑉𝑜 𝑡 490 cos 2𝑡 11310 𝑉 𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑡 𝑒𝑗𝜔0𝑡 𝑒𝑗𝜔0𝑡 2