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Cálculo Aplicado e EDO Prof Dr Carlos Roberto de Moraes FHO 2023 AULA 6 INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES TEOREMA DE GREEN INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES A aula 4 apresenta o conceito de campos vetoriais e o cálculo das integrais de linha sobre esses campos Como aplicação será determinado o trabalho realizado pelo campo de força sobre um objeto que se move ao longo de uma curva A aula aborda também um teorema bastante útil o Teorema de Green que relaciona uma integral de linha em torno de uma curva fechada simples C a uma integral dupla na região do plano D delimitada por C Os tópicos da aula são Integrais de Linha sobre Campo de Vetores Campos Vetoriais Gradiente e Conservativo Teorema Fundamental para Integrais de Linha Teorema de Green INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Os campos vetoriais são funções que associam vetores a pontos do plano ou do espaço Um campo vetorial no plano é uma função que associa a cada ponto Pxy no em um vetor bidimensional Um campo vetorial no espaço é uma função que associa a cada ponto Qxyz no em um vetor tridimensional F ℝ3 F x y z F x y F ℝ2 INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Seja um campo vetorial contínuo sobre uma curva lisa C dada pela função vetorial Definimos a integral de linha de ao longo de C por Observações é uma abreviação de a C b F dr F r t dt r t r t a t b F F r t F y t x t t r t r dr d t d dt r dr dxi dy j dx dy F EXEMPLO INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 1 Calcule onde o campo vetorial é e a curva C é dada por e C F dr 2 F x y x yi yx j 3 x t t 2 y t t 0 1 t INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 1 Calcule onde o campo vetorial é e a curva C é dada por e Solução Temos que C F dr 2 F x y x yi yx j 3 x t t 2 y t t 0 1 t 3 2 2 3 2 r t t t r t t t INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 1 Calcule onde o campo vetorial é e a curva C é dada por e Solução Temos que C F dr 2 F x y x yi yx j 3 x t t 2 y t t 0 1 t 3 2 2 3 2 r t t t r t t t 2 2 F x y x yi yx j x y yx INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 1 Calcule onde o campo vetorial é e a curva C é dada por e Solução Temos que C F dr 2 F x y x yi yx j 3 x t t 2 y t t 0 1 t 3 2 2 3 2 r t t t r t t t 2 2 F x y x yi yx j x y yx 2 3 2 3 2 2 3 8 5 t t t t F t t t t r t F INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 1 Calcule onde o campo vetorial é e a curva C é dada por e Solução Temos que C F dr 2 F x y x yi yx j 3 x t t 2 y t t 0 1 t 3 2 2 3 2 r t t t r t t t 2 2 F x y x yi yx j x y yx 2 3 2 3 2 2 3 8 5 t t t t F t t t t r t F 8 5 2 8 2 5 10 6 3 2 3 2 3 2 t t t t F t t t t t r t r t t INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 1 Calcule onde o campo vetorial é e a curva C é dada por e Solução Assim C F dr 2 F x y x yi yx j 3 x t t 2 y t t 0 1 t 1 11 7 11 7 11 7 1 10 6 0 0 3 2 31 21 30 20 3 2 43 3 2 056 11 7 11 7 11 7 11 7 77 C b a F dr F r t r t dt t t t t dt INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 1 Calcule onde o campo vetorial é e a curva C é dada por e Solução Assim Logo a integral é C F dr 2 F x y x yi yx j 3 x t t 2 y t t 0 1 t 1 11 7 11 7 11 7 1 10 6 0 0 3 2 31 21 30 20 3 2 43 3 2 056 11 7 11 7 11 7 11 7 77 C b a F dr F r t r t dt t t t t dt 43 056 77 C F dr INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Em muitas aplicações aparecem forças variáveis originárias de campos de força campos gravitacionais campos eletromagnéticos e assim por diante logo vamos considerar o trabalho realizado nesse contexto Definimos o Trabalho realizado por um campo de forças sobre uma partícula que se move ao longo da curva C por C b a F Tds W F r t r t dt EXEMPLO INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 2 Determine o trabalho feito pelo campo de força para mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo 2 2 r t cos t i sen t j 0 2 π t 2 3 F x y x i xy j INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 2 Determine o trabalho feito pelo campo de força para mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo Solução Temos que 2 2 r t cos t i sen t j 0 2 π t 2 3 F x y x i xy j 2 2 2 2 r t cos t sen t r t sen t cos t INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 2 Determine o trabalho feito pelo campo de força para mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo Solução Temos que 2 2 r t cos t i sen t j 0 2 π t 2 3 F x y x i xy j 2 2 2 2 r t cos t sen t r t sen t cos t 2 2 3 3 y F x y x i xy j x x INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 2 Determine o trabalho feito pelo campo de força para mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo Solução Temos que 2 2 r t cos t i sen t j 0 2 π t 2 3 F x y x i xy j 2 2 2 2 r t cos t sen t r t sen t cos t 2 2 3 3 y F x y x i xy j x x 2 2 2 2 3 2 2 2 12 4 cos t sen t cos F t cos t sen t cos t r t cos t s t F en INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 2 Determine o trabalho feito pelo campo de força para mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo Solução Temos que 2 2 r t cos t i sen t j 0 2 π t 2 3 F x y x i xy j 2 2 2 2 r t cos t sen t r t sen t cos t 2 2 3 3 y F x y x i xy j x x 2 2 2 2 3 2 2 2 12 4 cos t sen t cos F t cos t sen t cos t r t cos t s t F en 2 12 4 2 2 cos t cos F t sen t se c r t n t os t r t INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 2 Determine o trabalho feito pelo campo de força para mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo Solução Temos que 2 2 r t cos t i sen t j 0 2 π t 2 3 F x y x i xy j 2 2 2 2 r t cos t sen t r t sen t cos t 2 2 3 3 y F x y x i xy j x x 2 2 2 2 3 2 2 2 12 4 cos t sen t cos F t cos t sen t cos t r t cos t s t F en 2 12 4 2 2 cos t cos F t sen t se c r t n t os t r t 2 2 12 2 4 2 32 cos t sen t cos t sen t cos t cos t sen t INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 2 Determine o trabalho feito pelo campo de força para mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo Solução Substituindo na fórmula do trabalho obtemos 2 2 r t cos t i sen t j 0 2 π t 2 3 F x y x i xy j 2 2 2 2 0 0 32 3 2 b a π π W cos t sen t dt cos t sen t d F r t r t d t t INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 2 Determine o trabalho feito pelo campo de força para mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo Solução Substituindo na fórmula do trabalho obtemos Para resolver essa integral vamos usar o método da substituição 2 2 r t cos t i sen t j 0 2 π t 2 3 F x y x i xy j 2 2 2 2 0 0 32 3 2 b a π π W cos t sen t dt cos t sen t d F r t r t d t t u cos t du sen t dt du sen t dt INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 2 Determine o trabalho feito pelo campo de força para mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo Solução Então 2 2 r t cos t i sen t j 0 2 π t 2 3 F x y x i xy j 2 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 0 1 1 0 1 32 32 32 32 32 32 32 32 0 1067 3 3 3 2 3 3 π u π u u u u u u π cos t sen t dt u du u du cos t cos cos INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 2 Determine o trabalho feito pelo campo de força para mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo Solução Então Portanto o trabalho realizado pelo campo é utunidade de trabalho 2 2 r t cos t i sen t j 0 2 π t 2 3 F x y x i xy j 2 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 0 1 1 0 1 32 32 32 32 32 32 32 32 0 1067 3 3 3 2 3 3 π u π u u u u u u π cos t sen t dt u du u du cos t cos cos 32 1067 W 3 INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Seja f uma função de duas variáveis o campo vetorial gradiente da função f é definido por ou Se f é uma função de três variáveis o campo vetorial gradiente de f é dado por ou x y f x y f x y i f x y j x y z f x y z f x y z i f x y z j f x y z k x y z f x y z f x y z f x y z f x y z x y f x y f x y f x y INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 3 Determine o campo vetorial gradiente de 5 2 4 2 f x y x y y INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 3 Determine o campo vetorial gradiente de Solução As derivadas parciais de f são e 5 2 4 2 f x y x y y 4 2 5 xf x y x y 5 3 2 8 yf x y x y y INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 3 Determine o campo vetorial gradiente de Solução As derivadas parciais de f são e Logo o campo vetorial gradiente é 5 2 4 2 f x y x y y 4 2 5 3 5 2 8 f x y x y x y y 4 2 5 xf x y x y 5 3 2 8 yf x y x y y INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Um campo vetorial é chamado campo vetorial conservativo se for o campo gradiente de uma função f ou seja se A função f é denominada função potencial de O seguinte resultado também determina se um campo vetorial é conservativo Seja um campo vetorial sobre uma região D aberta e simplesmente conexa sem buracos e suponha que P e Q tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas então é conservativo F F F f Q P y x F F Pi Q j INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 4 Verifique que o campo vetorial é conservativo mostrando que é o gradiente de 2 2 F x y yi x j F x y 2 f x y xy INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 4 Verifique que o campo vetorial é conservativo mostrando que é o gradiente de Solução As derivadas parciais de f são e 2 2 F x y yi x j F x y 2 f x y xy 2 xf x y y 2 yf x y x INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 4 Verifique que o campo vetorial é conservativo mostrando que é o gradiente de Solução As derivadas parciais de f são e Então 2 2 F x y yi x j F x y 2 f x y xy 2 xf x y y 2 yf x y x 2 2 2 2 f x y y x yi x j F x y INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 4 Verifique que o campo vetorial é conservativo mostrando que é o gradiente de Solução As derivadas parciais de f são e Então Logo o campo vetorial é conservativo 2 2 F x y yi x j F x y 2 f x y xy 2 xf x y y 2 yf x y x 2 2 2 2 f x y y x yi x j F x y INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 5 Determine se o campo vetorial é ou não conservativo 2 3 4 4 2 5 F xy i x y j INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 5 Determine se o campo vetorial é ou não conservativo Solução Temos que e 2 3 4 4 2 5 F xy i x y j 4 4 P xy 2 3 2 5 Q x y INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 5 Determine se o campo vetorial é ou não conservativo Solução Temos que e Logo 2 3 4 4 2 5 F xy i x y j 4 4 P xy 2 3 2 5 Q x y 4 P x y 4 Q x x INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 5 Determine se o campo vetorial é ou não conservativo Solução Temos que e Logo Como segue que é conservativo 2 3 4 4 2 5 F xy i x y j 4 4 P xy 2 3 2 5 Q x y 4 P x y 4 Q x x Q P y x F TEOREMA FUNDAMENTAL PARA INTEGRAIS DE LINHA INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Seja C uma curva lisa dada pela função vetorial Se é um campo vetorial conservativo e f for uma função potencial de então a integral de linha é Desse teorema segue que as integrais de linha de campos conservativos independem do caminho C dr f r b f r a f r t a t b F F EXEMPLO TEOREMA FUNDAMENTAL PARA INTEGRAIS DE LINHA INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 6 Use o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para calcular a integral em que o campo vetorial é conservativo e a função potencial dada é 25 12 F dr 2 2 F x y yi x j 2 f x y xy INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 6 Use o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para calcular a integral em que o campo vetorial é conservativo e a função potencial dada é Solução Como é conservativo temos que 25 12 F dr 2 2 F x y yi x j 2 f x y xy F F f INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 6 Use o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para calcular a integral em que o campo vetorial é conservativo e a função potencial dada é Solução Como é conservativo temos que Segue que 25 12 F dr 2 2 F x y yi x j 2 f x y xy F F f 25 25 12 12 F dr f dr INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 6 Use o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para calcular a integral em que o campo vetorial é conservativo e a função potencial dada é Solução Como é conservativo temos que Segue que Logo pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha temos 25 12 F dr 2 2 F x y yi x j 2 f x y xy F F f 25 12 25 12 225 212 16 f d f f r 25 25 12 12 F dr f dr INTEGRAIS DE LINHA AO LONGO DE CAMINHOS FECHADOS INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Uma curva C que é representada pela função vetorial é fechada se o ponto inicial e o ponto final coincidem isto é Considere uma partícula movendose em um campo vetorial conservativo percorrendo um caminho fechado C que inicia e termina em temos que a Integral de Linha sobre esse campo conservativo é 0 0 0 0 0 C F d f x y f y r x r t r a r b r a r b F 0 0 x y TEOREMA DE GREEN Considere C uma curva plana simples fechada contínua por trechos orientada no sentido antihorário e seja D a região delimitada por C Figura 1 Se P e Q forem contínuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em alguma região aberta que contenha D então Figura 1 C D Q P Pdx Qdy dA x y TEOREMA DE GREEN Observação Podemos usar a notação para enfatizar que a integração é no sentido antihorário ou orientação positiva da curva fechada ර 𝐶 𝑃𝑑𝑥 𝑄𝑑𝑦 TEOREMA DE GREEN Exemplo 7 Use o teorema de Green para calcular onde C é a curva delimitada por e Figura 2 Figura 2 C x y dx y x dy 3 y x y 1 x 0 TEOREMA DE GREEN Exemplo 7 Use o teorema de Green para calcular onde C é a curva delimitada por e Figura 2 Solução Figura 2 C x y dx y x dy 3 y x y 1 x 0 TEOREMA DE GREEN Exemplo 7 Use o teorema de Green para calcular onde C é a curva delimitada por e Figura 2 Solução Da Figura 2 temos a região de integração Figura 2 C x y dx y x dy 3 y x y 1 0 x 3 0 1 1 D x y x x y TEOREMA DE GREEN Exemplo 7 Use o teorema de Green para calcular onde C é a curva delimitada por e Figura 2 Solução Da Figura 2 temos a região de integração Como e então Figura 2 C x y dx y x dy 3 y x y 1 0 x 3 0 1 1 D x y x x y P x y Q y x 1 1 2 Q P x y TEOREMA DE GREEN Exemplo 7 Use o teorema de Green para calcular onde C é a curva delimitada por e Figura 2 Solução Da Figura 2 temos a região de integração Como e então Pelo teorema de Green temos Figura 2 C x y dx y x dy 3 y x y 1 0 x 1 1 3 0 2 C x x y dx y x dy dydx 3 0 1 1 D x y x x y P x y Q y x 1 1 2 Q P x y TEOREMA DE GREEN Exemplo 7 Use o teorema de Green para calcular onde C é a curva delimitada por e Figura 2 Solução Vamos resolver a integral C x y dx y x dy 3 y x y 1 0 x 1 1 3 0 2 x dydx TEOREMA DE GREEN Exemplo 7 Use o teorema de Green para calcular onde C é a curva delimitada por e Figura 2 Solução Vamos resolver a integral I C x y dx y x dy 3 y x y 1 0 x 1 1 3 0 2 x dydx 1 1 3 3 3 3 2 2 21 2 2 2 x x dy y x x TEOREMA DE GREEN Exemplo 7 Use o teorema de Green para calcular onde C é a curva delimitada por e Figura 2 Solução Vamos resolver a integral I II C x y dx y x dy 3 y x y 1 0 x 1 1 3 0 2 x dydx 1 1 3 3 3 3 2 2 21 2 2 2 x x dy y x x 1 4 4 1 3 0 0 1 1 4 1 3 2 2 2 2 21 2 2 4 4 2 2 2 x x dx x TEOREMA DE GREEN Exemplo 7 Use o teorema de Green para calcular onde C é a curva delimitada por e Figura 2 Solução Vamos resolver a integral I II Portanto a integral é C x y dx y x dy 3 y x y 1 0 x 1 1 3 0 2 x dydx 1 1 3 3 3 3 2 2 21 2 2 2 x x dy y x x 1 4 4 1 3 0 0 1 1 4 1 3 2 2 2 2 21 2 2 4 4 2 2 2 x x dx x 3 2 C x y dx y x dy
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Cálculo Aplicado e EDO Prof Dr Carlos Roberto de Moraes FHO 2023 AULA 6 INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES TEOREMA DE GREEN INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES A aula 4 apresenta o conceito de campos vetoriais e o cálculo das integrais de linha sobre esses campos Como aplicação será determinado o trabalho realizado pelo campo de força sobre um objeto que se move ao longo de uma curva A aula aborda também um teorema bastante útil o Teorema de Green que relaciona uma integral de linha em torno de uma curva fechada simples C a uma integral dupla na região do plano D delimitada por C Os tópicos da aula são Integrais de Linha sobre Campo de Vetores Campos Vetoriais Gradiente e Conservativo Teorema Fundamental para Integrais de Linha Teorema de Green INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Os campos vetoriais são funções que associam vetores a pontos do plano ou do espaço Um campo vetorial no plano é uma função que associa a cada ponto Pxy no em um vetor bidimensional Um campo vetorial no espaço é uma função que associa a cada ponto Qxyz no em um vetor tridimensional F ℝ3 F x y z F x y F ℝ2 INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Seja um campo vetorial contínuo sobre uma curva lisa C dada pela função vetorial Definimos a integral de linha de ao longo de C por Observações é uma abreviação de a C b F dr F r t dt r t r t a t b F F r t F y t x t t r t r dr d t d dt r dr dxi dy j dx dy F EXEMPLO INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 1 Calcule onde o campo vetorial é e a curva C é dada por e C F dr 2 F x y x yi yx j 3 x t t 2 y t t 0 1 t INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 1 Calcule onde o campo vetorial é e a curva C é dada por e Solução Temos que C F dr 2 F x y x yi yx j 3 x t t 2 y t t 0 1 t 3 2 2 3 2 r t t t r t t t INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 1 Calcule onde o campo vetorial é e a curva C é dada por e Solução Temos que C F dr 2 F x y x yi yx j 3 x t t 2 y t t 0 1 t 3 2 2 3 2 r t t t r t t t 2 2 F x y x yi yx j x y yx INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 1 Calcule onde o campo vetorial é e a curva C é dada por e Solução Temos que C F dr 2 F x y x yi yx j 3 x t t 2 y t t 0 1 t 3 2 2 3 2 r t t t r t t t 2 2 F x y x yi yx j x y yx 2 3 2 3 2 2 3 8 5 t t t t F t t t t r t F INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 1 Calcule onde o campo vetorial é e a curva C é dada por e Solução Temos que C F dr 2 F x y x yi yx j 3 x t t 2 y t t 0 1 t 3 2 2 3 2 r t t t r t t t 2 2 F x y x yi yx j x y yx 2 3 2 3 2 2 3 8 5 t t t t F t t t t r t F 8 5 2 8 2 5 10 6 3 2 3 2 3 2 t t t t F t t t t t r t r t t INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 1 Calcule onde o campo vetorial é e a curva C é dada por e Solução Assim C F dr 2 F x y x yi yx j 3 x t t 2 y t t 0 1 t 1 11 7 11 7 11 7 1 10 6 0 0 3 2 31 21 30 20 3 2 43 3 2 056 11 7 11 7 11 7 11 7 77 C b a F dr F r t r t dt t t t t dt INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 1 Calcule onde o campo vetorial é e a curva C é dada por e Solução Assim Logo a integral é C F dr 2 F x y x yi yx j 3 x t t 2 y t t 0 1 t 1 11 7 11 7 11 7 1 10 6 0 0 3 2 31 21 30 20 3 2 43 3 2 056 11 7 11 7 11 7 11 7 77 C b a F dr F r t r t dt t t t t dt 43 056 77 C F dr INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Em muitas aplicações aparecem forças variáveis originárias de campos de força campos gravitacionais campos eletromagnéticos e assim por diante logo vamos considerar o trabalho realizado nesse contexto Definimos o Trabalho realizado por um campo de forças sobre uma partícula que se move ao longo da curva C por C b a F Tds W F r t r t dt EXEMPLO INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 2 Determine o trabalho feito pelo campo de força para mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo 2 2 r t cos t i sen t j 0 2 π t 2 3 F x y x i xy j INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 2 Determine o trabalho feito pelo campo de força para mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo Solução Temos que 2 2 r t cos t i sen t j 0 2 π t 2 3 F x y x i xy j 2 2 2 2 r t cos t sen t r t sen t cos t INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 2 Determine o trabalho feito pelo campo de força para mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo Solução Temos que 2 2 r t cos t i sen t j 0 2 π t 2 3 F x y x i xy j 2 2 2 2 r t cos t sen t r t sen t cos t 2 2 3 3 y F x y x i xy j x x INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 2 Determine o trabalho feito pelo campo de força para mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo Solução Temos que 2 2 r t cos t i sen t j 0 2 π t 2 3 F x y x i xy j 2 2 2 2 r t cos t sen t r t sen t cos t 2 2 3 3 y F x y x i xy j x x 2 2 2 2 3 2 2 2 12 4 cos t sen t cos F t cos t sen t cos t r t cos t s t F en INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 2 Determine o trabalho feito pelo campo de força para mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo Solução Temos que 2 2 r t cos t i sen t j 0 2 π t 2 3 F x y x i xy j 2 2 2 2 r t cos t sen t r t sen t cos t 2 2 3 3 y F x y x i xy j x x 2 2 2 2 3 2 2 2 12 4 cos t sen t cos F t cos t sen t cos t r t cos t s t F en 2 12 4 2 2 cos t cos F t sen t se c r t n t os t r t INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 2 Determine o trabalho feito pelo campo de força para mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo Solução Temos que 2 2 r t cos t i sen t j 0 2 π t 2 3 F x y x i xy j 2 2 2 2 r t cos t sen t r t sen t cos t 2 2 3 3 y F x y x i xy j x x 2 2 2 2 3 2 2 2 12 4 cos t sen t cos F t cos t sen t cos t r t cos t s t F en 2 12 4 2 2 cos t cos F t sen t se c r t n t os t r t 2 2 12 2 4 2 32 cos t sen t cos t sen t cos t cos t sen t INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 2 Determine o trabalho feito pelo campo de força para mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo Solução Substituindo na fórmula do trabalho obtemos 2 2 r t cos t i sen t j 0 2 π t 2 3 F x y x i xy j 2 2 2 2 0 0 32 3 2 b a π π W cos t sen t dt cos t sen t d F r t r t d t t INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 2 Determine o trabalho feito pelo campo de força para mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo Solução Substituindo na fórmula do trabalho obtemos Para resolver essa integral vamos usar o método da substituição 2 2 r t cos t i sen t j 0 2 π t 2 3 F x y x i xy j 2 2 2 2 0 0 32 3 2 b a π π W cos t sen t dt cos t sen t d F r t r t d t t u cos t du sen t dt du sen t dt INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 2 Determine o trabalho feito pelo campo de força para mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo Solução Então 2 2 r t cos t i sen t j 0 2 π t 2 3 F x y x i xy j 2 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 0 1 1 0 1 32 32 32 32 32 32 32 32 0 1067 3 3 3 2 3 3 π u π u u u u u u π cos t sen t dt u du u du cos t cos cos INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 2 Determine o trabalho feito pelo campo de força para mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo Solução Então Portanto o trabalho realizado pelo campo é utunidade de trabalho 2 2 r t cos t i sen t j 0 2 π t 2 3 F x y x i xy j 2 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 0 1 1 0 1 32 32 32 32 32 32 32 32 0 1067 3 3 3 2 3 3 π u π u u u u u u π cos t sen t dt u du u du cos t cos cos 32 1067 W 3 INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Seja f uma função de duas variáveis o campo vetorial gradiente da função f é definido por ou Se f é uma função de três variáveis o campo vetorial gradiente de f é dado por ou x y f x y f x y i f x y j x y z f x y z f x y z i f x y z j f x y z k x y z f x y z f x y z f x y z f x y z x y f x y f x y f x y INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 3 Determine o campo vetorial gradiente de 5 2 4 2 f x y x y y INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 3 Determine o campo vetorial gradiente de Solução As derivadas parciais de f são e 5 2 4 2 f x y x y y 4 2 5 xf x y x y 5 3 2 8 yf x y x y y INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 3 Determine o campo vetorial gradiente de Solução As derivadas parciais de f são e Logo o campo vetorial gradiente é 5 2 4 2 f x y x y y 4 2 5 3 5 2 8 f x y x y x y y 4 2 5 xf x y x y 5 3 2 8 yf x y x y y INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Um campo vetorial é chamado campo vetorial conservativo se for o campo gradiente de uma função f ou seja se A função f é denominada função potencial de O seguinte resultado também determina se um campo vetorial é conservativo Seja um campo vetorial sobre uma região D aberta e simplesmente conexa sem buracos e suponha que P e Q tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas então é conservativo F F F f Q P y x F F Pi Q j INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 4 Verifique que o campo vetorial é conservativo mostrando que é o gradiente de 2 2 F x y yi x j F x y 2 f x y xy INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 4 Verifique que o campo vetorial é conservativo mostrando que é o gradiente de Solução As derivadas parciais de f são e 2 2 F x y yi x j F x y 2 f x y xy 2 xf x y y 2 yf x y x INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 4 Verifique que o campo vetorial é conservativo mostrando que é o gradiente de Solução As derivadas parciais de f são e Então 2 2 F x y yi x j F x y 2 f x y xy 2 xf x y y 2 yf x y x 2 2 2 2 f x y y x yi x j F x y INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 4 Verifique que o campo vetorial é conservativo mostrando que é o gradiente de Solução As derivadas parciais de f são e Então Logo o campo vetorial é conservativo 2 2 F x y yi x j F x y 2 f x y xy 2 xf x y y 2 yf x y x 2 2 2 2 f x y y x yi x j F x y INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 5 Determine se o campo vetorial é ou não conservativo 2 3 4 4 2 5 F xy i x y j INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 5 Determine se o campo vetorial é ou não conservativo Solução Temos que e 2 3 4 4 2 5 F xy i x y j 4 4 P xy 2 3 2 5 Q x y INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 5 Determine se o campo vetorial é ou não conservativo Solução Temos que e Logo 2 3 4 4 2 5 F xy i x y j 4 4 P xy 2 3 2 5 Q x y 4 P x y 4 Q x x INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 5 Determine se o campo vetorial é ou não conservativo Solução Temos que e Logo Como segue que é conservativo 2 3 4 4 2 5 F xy i x y j 4 4 P xy 2 3 2 5 Q x y 4 P x y 4 Q x x Q P y x F TEOREMA FUNDAMENTAL PARA INTEGRAIS DE LINHA INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Seja C uma curva lisa dada pela função vetorial Se é um campo vetorial conservativo e f for uma função potencial de então a integral de linha é Desse teorema segue que as integrais de linha de campos conservativos independem do caminho C dr f r b f r a f r t a t b F F EXEMPLO TEOREMA FUNDAMENTAL PARA INTEGRAIS DE LINHA INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 6 Use o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para calcular a integral em que o campo vetorial é conservativo e a função potencial dada é 25 12 F dr 2 2 F x y yi x j 2 f x y xy INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 6 Use o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para calcular a integral em que o campo vetorial é conservativo e a função potencial dada é Solução Como é conservativo temos que 25 12 F dr 2 2 F x y yi x j 2 f x y xy F F f INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 6 Use o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para calcular a integral em que o campo vetorial é conservativo e a função potencial dada é Solução Como é conservativo temos que Segue que 25 12 F dr 2 2 F x y yi x j 2 f x y xy F F f 25 25 12 12 F dr f dr INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Exemplo 6 Use o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para calcular a integral em que o campo vetorial é conservativo e a função potencial dada é Solução Como é conservativo temos que Segue que Logo pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha temos 25 12 F dr 2 2 F x y yi x j 2 f x y xy F F f 25 12 25 12 225 212 16 f d f f r 25 25 12 12 F dr f dr INTEGRAIS DE LINHA AO LONGO DE CAMINHOS FECHADOS INTEGRAIS DE LINHA SOBRE CAMPOS DE VETORES Uma curva C que é representada pela função vetorial é fechada se o ponto inicial e o ponto final coincidem isto é Considere uma partícula movendose em um campo vetorial conservativo percorrendo um caminho fechado C que inicia e termina em temos que a Integral de Linha sobre esse campo conservativo é 0 0 0 0 0 C F d f x y f y r x r t r a r b r a r b F 0 0 x y TEOREMA DE GREEN Considere C uma curva plana simples fechada contínua por trechos orientada no sentido antihorário e seja D a região delimitada por C Figura 1 Se P e Q forem contínuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em alguma região aberta que contenha D então Figura 1 C D Q P Pdx Qdy dA x y TEOREMA DE GREEN Observação Podemos usar a notação para enfatizar que a integração é no sentido antihorário ou orientação positiva da curva fechada ර 𝐶 𝑃𝑑𝑥 𝑄𝑑𝑦 TEOREMA DE GREEN Exemplo 7 Use o teorema de Green para calcular onde C é a curva delimitada por e Figura 2 Figura 2 C x y dx y x dy 3 y x y 1 x 0 TEOREMA DE GREEN Exemplo 7 Use o teorema de Green para calcular onde C é a curva delimitada por e Figura 2 Solução Figura 2 C x y dx y x dy 3 y x y 1 x 0 TEOREMA DE GREEN Exemplo 7 Use o teorema de Green para calcular onde C é a curva delimitada por e Figura 2 Solução Da Figura 2 temos a região de integração Figura 2 C x y dx y x dy 3 y x y 1 0 x 3 0 1 1 D x y x x y TEOREMA DE GREEN Exemplo 7 Use o teorema de Green para calcular onde C é a curva delimitada por e Figura 2 Solução Da Figura 2 temos a região de integração Como e então Figura 2 C x y dx y x dy 3 y x y 1 0 x 3 0 1 1 D x y x x y P x y Q y x 1 1 2 Q P x y TEOREMA DE GREEN Exemplo 7 Use o teorema de Green para calcular onde C é a curva delimitada por e Figura 2 Solução Da Figura 2 temos a região de integração Como e então Pelo teorema de Green temos Figura 2 C x y dx y x dy 3 y x y 1 0 x 1 1 3 0 2 C x x y dx y x dy dydx 3 0 1 1 D x y x x y P x y Q y x 1 1 2 Q P x y TEOREMA DE GREEN Exemplo 7 Use o teorema de Green para calcular onde C é a curva delimitada por e Figura 2 Solução Vamos resolver a integral C x y dx y x dy 3 y x y 1 0 x 1 1 3 0 2 x dydx TEOREMA DE GREEN Exemplo 7 Use o teorema de Green para calcular onde C é a curva delimitada por e Figura 2 Solução Vamos resolver a integral I C x y dx y x dy 3 y x y 1 0 x 1 1 3 0 2 x dydx 1 1 3 3 3 3 2 2 21 2 2 2 x x dy y x x TEOREMA DE GREEN Exemplo 7 Use o teorema de Green para calcular onde C é a curva delimitada por e Figura 2 Solução Vamos resolver a integral I II C x y dx y x dy 3 y x y 1 0 x 1 1 3 0 2 x dydx 1 1 3 3 3 3 2 2 21 2 2 2 x x dy y x x 1 4 4 1 3 0 0 1 1 4 1 3 2 2 2 2 21 2 2 4 4 2 2 2 x x dx x TEOREMA DE GREEN Exemplo 7 Use o teorema de Green para calcular onde C é a curva delimitada por e Figura 2 Solução Vamos resolver a integral I II Portanto a integral é C x y dx y x dy 3 y x y 1 0 x 1 1 3 0 2 x dydx 1 1 3 3 3 3 2 2 21 2 2 2 x x dy y x x 1 4 4 1 3 0 0 1 1 4 1 3 2 2 2 2 21 2 2 4 4 2 2 2 x x dx x 3 2 C x y dx y x dy