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CONCEITO E PROPRIEDADES DE DERIVAÇÃO RAFAEL DE MOURA MOREIRA Sumário INTRODUÇÃO Neste ebook vamos aprender as técnicas do cálculo diferencial Iremos aprender o que é derivada como calculála e como ela representa a taxa de variação de uma grandeza ou seja como a variação de uma grandeza impacta outra grandeza Estudaremos também diversas propriedades úteis para nos auxiliar no cálculo da derivada de funções mais complexas uma interpretação geométrica para a derivada que nos ajudará a visualizar soluções para problemas de otimização e finalizaremos ensinando como calcular algebricamente pontos relevantes em problemas de otimização os chamados pontos críticos de uma função CONCEITO E PROPRIEDADES DE DERIVADAS TAXA DE VARIAÇÃO Um problema recorrente em diversas áreas do conhecimento humano é compreender como a variação de uma certa grandeza impacta em outra grandeza Por exemplo considere uma função matemática que determina a posição de um objeto em função do tempo Para cada valor de tempo teremos uma posição diferente Vamos fazer uma pergunta diferente para essa função se o tempo variar em x unidades em quantas unidades a posição irá variar Existe uma grandeza que responde a essa pergunta para nós a velocidade A velocidade descreve exatamente quantas unidades de posição irão variar para cada unidade de tempo Não à toa unidades de velocidade normalmente são expressas em unidades de posição divididas por unidades de tempo ms kmh etc Assim podemos dizer que a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo Mas como poderíamos calcular a velocidade Uma primeira abordagem que muitos com certe za já realizaram de maneira intuitiva é calcular a velocidade média Se o seu trajeto de 200 quilômetres durou 2 horas e meia você poderia aplicar a seguinte relação vm Δs Δt sf si tf ti 200km 25h portanto vm 80 kmh onde s representa a posição t representa o tempo o símbolo Δ delta representa variação e as letras f e i indicam respectivamente final e inicial Note porém que essa velocidade é a velocidade média Em seu trajeto você pode ter se mantido em velocidade constante a 80 quilómetros por hora do início ao fim para atingir essa velocidade média Mas você também pode ter atingido 120 quilómetros por hora em alguns trechos 60 quilómetros por hora em outros e talvez até ter ficado parado em um congestionamento por alguns minutos TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA No problema da velocidade descrito anteriormente determinamos a velocidade média mas ainda somos incapazes de determinar a chamada velocidade instantânea Para determinála poderíamos calcular diversas velocidades médias Poderíamos por exemplo subdividir nosso trajeto original de 2 horas e meia e calcular a velocidade média para cada um desses blocos anotando a posição que nos encontramos na estrada ao final de cada um dos blocos Isso daria uma noção um pouco melhor sobre quais trechos foram mais rápidos e quais foram mais lentos Poderíamos melhorar progressivamente nosso cálculo de velocidade se reduzirmos ainda mais os intervalos poderíamos por exemplo anotar a posição de minuto em minuto Ou de segundo em segundo A chamada taxa de variação instantânea de uma função é o que nos daria a informação que gostaríamos a velocidade em qualquer ponto específico Para atingirmos essa taxa devemos tomar intervalos cada vez menores em nosso eixo x para estudar o quanto esses intervalos impactam no valor de y Mais especificamente gostaríamos de pegar um intervalo infinitesimal Podemos descrever isso por meio de um limite lim h0 fahfa h Figura 1 gráfico da função módulo NOTAÇÕES DE DERIVADA Temos formas diferentes de representar a derivada de uma função Estudaremos as três mais comuns mas utilizaremos apenas duas delas no restante deste ebook Notação de Lagrange Uma das notações é a notação de Lagrange Ela consiste em adicionar um apóstrofo à função A derivada de uma função fx qualquer seria representada portanto por fx Para derivadas de ordem superior derivar a mesma função 2 ou mais vezes seguidas adicionamos mais apóstrofos fx seria a derivada de segunda ordem e fx seria a derivada de terceira ordem Para ordens superiores é comum colocar o número entre parênteses no lugar dos apóstrofos f⁷x seria a derivada de sétima ordem Notação de Leibniz A notação de Leibniz é bastante popular porque evoca a origem da derivada como um quociente entre uma variação da função e uma variação de sua variável independente A derivada de uma função fx seria representada como ddx fx ou ddx Essa notação é mais utilizada especificamente em funções onde a variável independente representa tempo ou comprimentos de arco DERIVADA DE ALGUMAS FUNÇÕES A princípio podemos deduzir a derivada de qualquer função aplicando o limite explicado anteriormente Porém para manter este material breve e focado em aplicação não o faremos Ao invés disso apresentaremos logo de cara as regras de derivação utilizadas com maior frequência Caso você tenha interesse não deixe de consultar as referências bibliográficas para verificar como chegamos a cada uma dessas fórmulas a partir do limite Potências Uma das regras mais famosas de derivação é a regra dos expoentes informalmente conhecida como regra do tombo Sempre que sua função for uma variável elevada a um expoente constante subtrairemos 1 do expoente e multiplicaremos a variável pelo expoente original Graças a algumas propriedades que já estudaremos você verá que é fácil aplicar essa regra para cada termo de um polinômio para se obter a derivada do polinômio inteiro Funções trigonométricas As derivadas das funções trigonométricas mais comuns são fracddx senx cosx fracddx cosx senx fracddx tgx frac1cos2x sec2x 1 tg2x Para a tangente foram apresentadas diversas formas pois todas essas expressões trigonométricas são equivalentes entre si e você pode se deparar com diferentes variações desse resultado Para obter a derivada de outras funções trigonométricas como secante e cossecante é possível utilizar os resultados apresentados aqui e aplicar a regra do quociente que também será abordada Funções trigonométricas inversas Nas funções trigonométricas convencionais a variável é um ângulo e o resultado da função é uma das medidas na circunferência trigonométrica Nas funções trigonométricas inversas temos o oposto Por exemplo na função arcsenx o x representa um valor de seno e o resultado da função será o ângulo cujo seno é igual a x Leia essa função como arco cujo seno é x Para as principais funções trigonométricas inversas temos as seguintes regras de derivação fracddx arcsenx frac1sqrt1x2 1 x 1 fracddx arccosx frac1sqrt1x2 1 x 1 fracddx arct gx frac11x2 Para encontrar mais casas podemos utilizar a fórmula 𝑒𝑒 1 𝑛𝑛 𝑛𝑛0 Esse número está sendo apresentado agora porque existe uma função com uma propriedade muito interessante para o cálculo diferencial 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑥𝑥 Ela é conhecida como função exponencial em algumas literaturas função exponencial natural para diferenciála de outras funções exponenciais Sua derivada é igual a ela mesma 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑑𝑑 Outra função relacionada é o logaritmo de base e 𝑓𝑓 𝑥𝑥 l n 𝑥𝑥 log𝑒𝑒 𝑥𝑥 Ele é conhecido como logaritmo natural e utilizamos uma notação di ferenciada para ele ln ao invés de log e assim podemos omitir sua base Ele irá aparecer em algumas derivadas também 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑑𝑑 ln 𝑎𝑎 𝑎𝑎 0 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 log𝑎𝑎 𝑑𝑑 1 𝑑𝑑 ln 𝑎𝑎 𝑑𝑑 0 𝑎𝑎 0 Por fim temos a própria derivada do logaritmo natural 14 O número e conhecido como número de Euler é uma constante matemática que aparece em diversas áreas e que também possui infinitas casas decimais sem dízima periódica tal como o pi Podemos aproximar o número como e approx 2718 PROPRIEDADES DA DERIVADA As derivadas também possuem algumas propriedades que nos ajudarão a expandir as regras vistas anteriormente para funções mais complexas com múltiplos termos combinando diferentes tipos de função Função constante A derivada de uma função constante sempre será 0 Isso faz sentido quando nos lembramos que a derivada é uma taxa de variação Se a função é constante ela nunca varia portanto sua taxa de variação é zero Soma de funções Considere uma função que pode ser decomposta como uma soma de outras funções Sua derivada será igual à soma das derivadas das funções individuais αf βg αf βg onde α alfa e β beta são constantes reais e f e g são funções Regra do produto Considere agora uma função que pode ser decomposta em um produto entre funções Teremos uma regrinha um pouco mais elaborada para calcular a derivada dessa função fg fg fg Por meio dessa regra se adotarmos g como sendo uma função constante podemos deduzir também como derivar o produto entre uma função e um número real αf αf Caso queira deduzir essa regra lembrese que a derivada de uma função constante é zero e aplique a regra geral Regra do quociente Considere de maneira análoga ao caso anterior que nossa função pode ser decomposta no quociente de duas funções Esse caso também possuirá sua própria regra fg fg fgg² g 0 Regra da cadeia A regra da cadeia se aplica quando temos funções compostas Nesse caso devemos derivar a função mais externa e multiplicar o resultado pela derivada da função mais interna Portanto se fx ghx então fx ghxhx Vejamos um exemplo para ficar mais claro Considere a seguinte função fx sen2x 1 Nesse caso nossa função mais externa é ghx sen2x 1 e nossa função interna é hx 2x 1 Vamos começar calculando a derivada de g ghx cos2x 1 Precisamos também calcular a derivada da função interna h hx 2 Agora basta aplicar a regra da cadeia fx ghxhx fx 2 cos2x 1 REGRA DE LHÔPITAL A regra de LHôpital escrito em algumas literaturas como LHôspital é uma aplicação bastante útil de derivada para auxiliar no cálculo de alguns limites indeterminados específicos Considere que você tenha uma função fx que pode ser escrita na forma de um quociente 𝑓𝑓 x 𝑝𝑝𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 Agora considere que os seguintes limites sejam iguais e possuam um dos valores abaixo lim 𝑥𝑥𝑎𝑎 𝑝𝑝 𝑥𝑥 0 𝑜𝑜𝑜𝑜 lim 𝑥𝑥𝑎𝑎 𝑞𝑞 𝑥𝑥 0 𝑜𝑜𝑜𝑜 lim 𝑥𝑥𝑎𝑎 𝑞𝑞 𝑥𝑥 0 𝑜𝑜𝑜𝑜 Uma consequência natural é que o limite de fx para x tendendo a zero será uma indeterminação lim 𝑥𝑥𝑎𝑎 𝑓𝑓 x 0 0 𝑜𝑜𝑜𝑜 É possível sair dessa indeterminação e calcular o limite dado contanto que algumas condições sejam respeitadas y p e q são diferenciáveis no intervalo y qx é diferente de zero 18 y lim 𝑥𝑥𝑎𝑎 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 existe Respeitadas todas essas condições a relação abaixo é verdadeira lim 𝑥𝑥𝑎𝑎 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 lim 𝑥𝑥𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑝𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑝𝑥𝑥 19 INTERPRETAÇÃO DE DERIVADAS Conforme já estudamos a operação derivada nos informa a taxa de variação de uma função isto é o quanto uma mudança na variável irá impactar na função Existe uma interpretação geométrica para derivada Ela é a expressão que dará o valor da inclinação da reta tangente à função no ponto desejado Essa interpretação pode ser combinada com a ideia do limite discutida anteriormente Consi dere o gráfico da função abaixo com uma reta secante cortando a curva nos pontos 𝑎𝑎 𝑓𝑓𝑎𝑎 e 𝑎𝑎 ℎ 𝑓𝑓 𝑎𝑎 ℎ 20 reta secante a uma função Tente observar pelo gráfico o que acontece con forme h tende a zero Quando h tende a zero a h irá se aproximar cada vez mais de a O mesmo acontece no eixo y fazendo com que fa h se aproxime de fa Com isso a reta irá se deslocar cada vez mais para baixo encurtando a distância entre os pontos de interceptação No limite quando h converge para zero os pontos a ha e a h fa h 𝑎𝑎 ℎ 𝑓𝑓𝑎𝑎 ℎ irão se sobrepor Na prática isso significa que a reta não intercepta mais a função em 2 pontos distintos mas em apenas 1 Isso significa que a reta se tornou uma tangente 22 reta tangente a uma função reta tangente a uma função igual a zero Como já estudamos a derivada nos dá a inclinação da reta tangente à função Figura 4 pontos críticos de uma função ponto de máximo ponto de mínimo e ponto de inflexão Fonte elaboração própria Os valores de x que resultem em derivada igual a zero são os nossos pontos críticos mas ainda não sabemos que tipo de ponto eles são ANÁLISE DA SEGUNDA DERIVADA Para determinar o tipo de ponto crítico devemos derivar a função original uma segunda vez isto é derivar sua derivada Uma vez obtida a segunda derivada devemos aplicar os valores de x obtidos na primeira análise e verificar o sinal da segunda derivada fx 0 ponto de mínimo fx 0 ponto de máximo fx 0 ponto de inflexão EXEMPLOS PRÁTICOS Observemos alguns exemplos para entender melhor a ideia de identificar os pontos críticos de uma função Função de 2 grau Vamos iniciar analisando uma função de segundo grau genérica sem nos importarmos com valores específicos de a b ou c fx ax² bx c Vamos começar calculando a derivada de nossa função Como temos um polinômio podemos aplicar a regra do tomb em cada um de seus termos e pela regra da soma podemos somar as derivadas de cada termo para obter a derivada de f ddx ax² 2ax¹ 2ax Portanto temos fx 2ax b Note que chegamos em uma expressão de primeiro grau Funções de primeiro grau possuem uma única raiz portanto ao igualar a derivada a zero encontraremos 1 único ponto 2ax b 0 2ax b x b2a Se esse valor pareceu familiar para você bom sinal você está prestando atenção desde o início A expressão que acabamos de obter por meio de derivadas é justamente a fórmula para obter o valor do ponto de máximo ou mínimo de uma função de segundo grau Agora vamos calcular a segunda derivada fx fx fx 2ax b fx 2a 0 fx 2a A análise da segunda derivada nos diz que quando a segunda derivada for igual a zero temos apenas um ponto de inflexão quando for maior do que zero temos um ponto de mínimo e quando for menor do que zero temos um ponto de máximo Note que a segunda derivada não depende mais de x é um valor constante O sinal do termo a é que determinará o tipo de ponto crítico que estamos estudando Como a função era de segundo grau a não pode ser zero Isso nos deixa com a positivo ou negativo com o primeiro caso indicando ponto de mínimo e o segundo indicando ponto de máximo Aqui você pode ter identificado outro conceito familiar nas funções de segundo grau o valor do a indica se a parábola é para cima ponto de mínimo ou para baixo ponto de máximo Na figura 4 as duas primeiras funções são funções de primeiro grau sendo a primeira uma com a positivo e a segunda com a negativo Observe a tangente horizontal exatamente em seus pontos de máximo e mínimo respectivamente y 𝑥𝑥 0 y 2𝑥𝑥 0 𝑥𝑥 0 Chegamos em dois valores idênticos 𝑥𝑥 0 Caso isso não esteja claro para você realize o cálculo por Bháskara dica quando 𝛥𝛥 0 temos uma única raiz Vamos agora derivar a função uma segunda vez 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥 2𝑥𝑥2 𝑓𝑓 𝑥𝑥 4𝑥𝑥 Podemos aplicar o valor que encontramos de x e analisar o seu sinal 𝑓𝑓 0 4 0 𝑓𝑓0 0 Ou seja o ponto crítico encontrado não é nem o valor máximo nem o valor mínimo da função é apenas um ponto onde a função muda a orienta ção de sua parábola Ou seja temos um ponto de inflexão Observe novamente a figura 4 A terceira função da esquerda para a direita é precisamente a função que estudamos 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑥𝑥3 1 Note que ela não 30 possui ponto de máximo tampouco de mínimo conforme x cresce ou decresse ela vai para Porém precisamente no ponto que encontramos x 0 a concavidade do gráfico se inverte Note que nesse ponto de inversão da concavidade a tangente é uma reta horizontal Problemas de otimização Justamente por auxiliar a encontrar pontos de máximo e mínimo derivadas são amplamente utilizadas em problemas de otimização Ou seja aqueles problemas onde gostaríamos de encontrar qual quantidade de uma certa grandeza irá nos trazer a maior quantidade de outra grandeza desejada Ou ao contrário qual quantidade de uma certa grandeza nos custará menos de outra grandeza As aplicações são diversas desde otimizar a quantidade de produtos que uma fábrica deverá produzir em um certo período de tempo para garantir a melhor relação possível entre custo de produção e quantidade de produtos fabricados até em problemas de inteligência artificial onde algoritmos como o gradiente descendente buscam pontos de mínimo no erro das respostas dadas pelo computador Um cuidado importante que deve ser tomado ao se utilizar esse tipo de método é que não temos como diferenciar máximos ou mínimos locais valores máximos ou mínimos em relação à vizinhança de um ponto de máximos ou mínimos globais o maior ou menor valor de toda a função Observe o gráfico abaixo Figura 5 função com diversos máximos e mínimos locais Fonte elaboração própria Note que há uma série de pontos onde a tangente seria horizontal derivada igual a 0 e eles são pontos de máximo ou mínimo locais picos ou vales em relação à sua vizinhança Um algoritmo buscando minimizar um erro por exemplo poderia erroneamente identificar o ponto próximo de 𝑥𝑥 30 como valor mínimo Mas note que na região entre 0 e 10 existe um mínimo muito mais pronunciado 33 CONSIDERAÇÕES FINAIS Estudamos como derivadas se relacionam intimamente com taxa de variação utilizando inclusive um exemplo da física Em seguida aprendemos a calcular as derivadas de diferentes funções Aprendemos também algumas propriedades que nos permitem utilizar as derivadas das funções mais básicas para calcular a derivada de funções mais extensas Estudamos também uma interpretação geométrica para derivadas e utilizamos essa interpretação para resolver problemas envolvendo pontos críticos pontos de máximo pontos de mínimo e pontos de inflexão Para finalizar discutimos brevemente como essas técnicas podem ser utilizadas em problemas de otimização e as limitações que podemos encontrar ao empregar essa técnica E é bom reforçar pela última vez matemática é uma disciplina extremamente prática Nós aqui abordamos brevemente os conceitos apresentamos fórmulas discutimos interpretações mas você só irá dominar o cálculo das derivadas e suas aplicações praticando e resolvendo problemas Então não deixe de consultar o livro de sua preferência para estudar mais alguns exemplos e fazer as listas de exercícios propostos a bibliografia já sugere diversos livros consagrados Referências Bibliográficas Consultadas AXLER S Précálculo uma preparação para o cálculo com manual de soluções para o estudante 2 ed Rio de Janeiro GENLTC 2016 Minha Biblioteca GERSTING J L Fundamentos matemáticos para a Ciência da Computação Matemática Discreta e suas aplicações 7 ed Rio de Janeiro GENLTC 2017 Minha Biblioteca GUIDORIZZI H L Um curso de Cálculo Vol 1 6 ed Rio de Janeiro GEN LTC 2018 Minha Biblioteca GUIDORIZZI H L Um Curso de Cálculo Vol 2 6 ed Rio de Janeiro GEN LTC 2018 Minha Biblioteca MORETTIN P A HAZZAN S BUSSAB W O Introdução ao Cálculo para Administração Economia e Contabilidade 2 ed São Paulo Saraiva 2018 Minha Biblioteca RODRIGUES A C D SILVA A R H S Cálculo diferencial e integral a várias variáveis Curitiba InterSaberes 2016 Biblioteca Virtual Pearson ROGAWSKI J COLIN A Cálculo 3 ed Porto Alegre Bookman 2018 Minha Biblioteca SILVA P S D Cálculo Diferencial e Integral 1 ed Rio de Janeiro LTC 2017 Minha Biblioteca FAM ONLINE
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CONCEITO E PROPRIEDADES DE DERIVAÇÃO RAFAEL DE MOURA MOREIRA Sumário INTRODUÇÃO Neste ebook vamos aprender as técnicas do cálculo diferencial Iremos aprender o que é derivada como calculála e como ela representa a taxa de variação de uma grandeza ou seja como a variação de uma grandeza impacta outra grandeza Estudaremos também diversas propriedades úteis para nos auxiliar no cálculo da derivada de funções mais complexas uma interpretação geométrica para a derivada que nos ajudará a visualizar soluções para problemas de otimização e finalizaremos ensinando como calcular algebricamente pontos relevantes em problemas de otimização os chamados pontos críticos de uma função CONCEITO E PROPRIEDADES DE DERIVADAS TAXA DE VARIAÇÃO Um problema recorrente em diversas áreas do conhecimento humano é compreender como a variação de uma certa grandeza impacta em outra grandeza Por exemplo considere uma função matemática que determina a posição de um objeto em função do tempo Para cada valor de tempo teremos uma posição diferente Vamos fazer uma pergunta diferente para essa função se o tempo variar em x unidades em quantas unidades a posição irá variar Existe uma grandeza que responde a essa pergunta para nós a velocidade A velocidade descreve exatamente quantas unidades de posição irão variar para cada unidade de tempo Não à toa unidades de velocidade normalmente são expressas em unidades de posição divididas por unidades de tempo ms kmh etc Assim podemos dizer que a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo Mas como poderíamos calcular a velocidade Uma primeira abordagem que muitos com certe za já realizaram de maneira intuitiva é calcular a velocidade média Se o seu trajeto de 200 quilômetres durou 2 horas e meia você poderia aplicar a seguinte relação vm Δs Δt sf si tf ti 200km 25h portanto vm 80 kmh onde s representa a posição t representa o tempo o símbolo Δ delta representa variação e as letras f e i indicam respectivamente final e inicial Note porém que essa velocidade é a velocidade média Em seu trajeto você pode ter se mantido em velocidade constante a 80 quilómetros por hora do início ao fim para atingir essa velocidade média Mas você também pode ter atingido 120 quilómetros por hora em alguns trechos 60 quilómetros por hora em outros e talvez até ter ficado parado em um congestionamento por alguns minutos TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA No problema da velocidade descrito anteriormente determinamos a velocidade média mas ainda somos incapazes de determinar a chamada velocidade instantânea Para determinála poderíamos calcular diversas velocidades médias Poderíamos por exemplo subdividir nosso trajeto original de 2 horas e meia e calcular a velocidade média para cada um desses blocos anotando a posição que nos encontramos na estrada ao final de cada um dos blocos Isso daria uma noção um pouco melhor sobre quais trechos foram mais rápidos e quais foram mais lentos Poderíamos melhorar progressivamente nosso cálculo de velocidade se reduzirmos ainda mais os intervalos poderíamos por exemplo anotar a posição de minuto em minuto Ou de segundo em segundo A chamada taxa de variação instantânea de uma função é o que nos daria a informação que gostaríamos a velocidade em qualquer ponto específico Para atingirmos essa taxa devemos tomar intervalos cada vez menores em nosso eixo x para estudar o quanto esses intervalos impactam no valor de y Mais especificamente gostaríamos de pegar um intervalo infinitesimal Podemos descrever isso por meio de um limite lim h0 fahfa h Figura 1 gráfico da função módulo NOTAÇÕES DE DERIVADA Temos formas diferentes de representar a derivada de uma função Estudaremos as três mais comuns mas utilizaremos apenas duas delas no restante deste ebook Notação de Lagrange Uma das notações é a notação de Lagrange Ela consiste em adicionar um apóstrofo à função A derivada de uma função fx qualquer seria representada portanto por fx Para derivadas de ordem superior derivar a mesma função 2 ou mais vezes seguidas adicionamos mais apóstrofos fx seria a derivada de segunda ordem e fx seria a derivada de terceira ordem Para ordens superiores é comum colocar o número entre parênteses no lugar dos apóstrofos f⁷x seria a derivada de sétima ordem Notação de Leibniz A notação de Leibniz é bastante popular porque evoca a origem da derivada como um quociente entre uma variação da função e uma variação de sua variável independente A derivada de uma função fx seria representada como ddx fx ou ddx Essa notação é mais utilizada especificamente em funções onde a variável independente representa tempo ou comprimentos de arco DERIVADA DE ALGUMAS FUNÇÕES A princípio podemos deduzir a derivada de qualquer função aplicando o limite explicado anteriormente Porém para manter este material breve e focado em aplicação não o faremos Ao invés disso apresentaremos logo de cara as regras de derivação utilizadas com maior frequência Caso você tenha interesse não deixe de consultar as referências bibliográficas para verificar como chegamos a cada uma dessas fórmulas a partir do limite Potências Uma das regras mais famosas de derivação é a regra dos expoentes informalmente conhecida como regra do tombo Sempre que sua função for uma variável elevada a um expoente constante subtrairemos 1 do expoente e multiplicaremos a variável pelo expoente original Graças a algumas propriedades que já estudaremos você verá que é fácil aplicar essa regra para cada termo de um polinômio para se obter a derivada do polinômio inteiro Funções trigonométricas As derivadas das funções trigonométricas mais comuns são fracddx senx cosx fracddx cosx senx fracddx tgx frac1cos2x sec2x 1 tg2x Para a tangente foram apresentadas diversas formas pois todas essas expressões trigonométricas são equivalentes entre si e você pode se deparar com diferentes variações desse resultado Para obter a derivada de outras funções trigonométricas como secante e cossecante é possível utilizar os resultados apresentados aqui e aplicar a regra do quociente que também será abordada Funções trigonométricas inversas Nas funções trigonométricas convencionais a variável é um ângulo e o resultado da função é uma das medidas na circunferência trigonométrica Nas funções trigonométricas inversas temos o oposto Por exemplo na função arcsenx o x representa um valor de seno e o resultado da função será o ângulo cujo seno é igual a x Leia essa função como arco cujo seno é x Para as principais funções trigonométricas inversas temos as seguintes regras de derivação fracddx arcsenx frac1sqrt1x2 1 x 1 fracddx arccosx frac1sqrt1x2 1 x 1 fracddx arct gx frac11x2 Para encontrar mais casas podemos utilizar a fórmula 𝑒𝑒 1 𝑛𝑛 𝑛𝑛0 Esse número está sendo apresentado agora porque existe uma função com uma propriedade muito interessante para o cálculo diferencial 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑥𝑥 Ela é conhecida como função exponencial em algumas literaturas função exponencial natural para diferenciála de outras funções exponenciais Sua derivada é igual a ela mesma 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑑𝑑 Outra função relacionada é o logaritmo de base e 𝑓𝑓 𝑥𝑥 l n 𝑥𝑥 log𝑒𝑒 𝑥𝑥 Ele é conhecido como logaritmo natural e utilizamos uma notação di ferenciada para ele ln ao invés de log e assim podemos omitir sua base Ele irá aparecer em algumas derivadas também 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑑𝑑 ln 𝑎𝑎 𝑎𝑎 0 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 log𝑎𝑎 𝑑𝑑 1 𝑑𝑑 ln 𝑎𝑎 𝑑𝑑 0 𝑎𝑎 0 Por fim temos a própria derivada do logaritmo natural 14 O número e conhecido como número de Euler é uma constante matemática que aparece em diversas áreas e que também possui infinitas casas decimais sem dízima periódica tal como o pi Podemos aproximar o número como e approx 2718 PROPRIEDADES DA DERIVADA As derivadas também possuem algumas propriedades que nos ajudarão a expandir as regras vistas anteriormente para funções mais complexas com múltiplos termos combinando diferentes tipos de função Função constante A derivada de uma função constante sempre será 0 Isso faz sentido quando nos lembramos que a derivada é uma taxa de variação Se a função é constante ela nunca varia portanto sua taxa de variação é zero Soma de funções Considere uma função que pode ser decomposta como uma soma de outras funções Sua derivada será igual à soma das derivadas das funções individuais αf βg αf βg onde α alfa e β beta são constantes reais e f e g são funções Regra do produto Considere agora uma função que pode ser decomposta em um produto entre funções Teremos uma regrinha um pouco mais elaborada para calcular a derivada dessa função fg fg fg Por meio dessa regra se adotarmos g como sendo uma função constante podemos deduzir também como derivar o produto entre uma função e um número real αf αf Caso queira deduzir essa regra lembrese que a derivada de uma função constante é zero e aplique a regra geral Regra do quociente Considere de maneira análoga ao caso anterior que nossa função pode ser decomposta no quociente de duas funções Esse caso também possuirá sua própria regra fg fg fgg² g 0 Regra da cadeia A regra da cadeia se aplica quando temos funções compostas Nesse caso devemos derivar a função mais externa e multiplicar o resultado pela derivada da função mais interna Portanto se fx ghx então fx ghxhx Vejamos um exemplo para ficar mais claro Considere a seguinte função fx sen2x 1 Nesse caso nossa função mais externa é ghx sen2x 1 e nossa função interna é hx 2x 1 Vamos começar calculando a derivada de g ghx cos2x 1 Precisamos também calcular a derivada da função interna h hx 2 Agora basta aplicar a regra da cadeia fx ghxhx fx 2 cos2x 1 REGRA DE LHÔPITAL A regra de LHôpital escrito em algumas literaturas como LHôspital é uma aplicação bastante útil de derivada para auxiliar no cálculo de alguns limites indeterminados específicos Considere que você tenha uma função fx que pode ser escrita na forma de um quociente 𝑓𝑓 x 𝑝𝑝𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 Agora considere que os seguintes limites sejam iguais e possuam um dos valores abaixo lim 𝑥𝑥𝑎𝑎 𝑝𝑝 𝑥𝑥 0 𝑜𝑜𝑜𝑜 lim 𝑥𝑥𝑎𝑎 𝑞𝑞 𝑥𝑥 0 𝑜𝑜𝑜𝑜 lim 𝑥𝑥𝑎𝑎 𝑞𝑞 𝑥𝑥 0 𝑜𝑜𝑜𝑜 Uma consequência natural é que o limite de fx para x tendendo a zero será uma indeterminação lim 𝑥𝑥𝑎𝑎 𝑓𝑓 x 0 0 𝑜𝑜𝑜𝑜 É possível sair dessa indeterminação e calcular o limite dado contanto que algumas condições sejam respeitadas y p e q são diferenciáveis no intervalo y qx é diferente de zero 18 y lim 𝑥𝑥𝑎𝑎 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 existe Respeitadas todas essas condições a relação abaixo é verdadeira lim 𝑥𝑥𝑎𝑎 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 lim 𝑥𝑥𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑝𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑝𝑥𝑥 19 INTERPRETAÇÃO DE DERIVADAS Conforme já estudamos a operação derivada nos informa a taxa de variação de uma função isto é o quanto uma mudança na variável irá impactar na função Existe uma interpretação geométrica para derivada Ela é a expressão que dará o valor da inclinação da reta tangente à função no ponto desejado Essa interpretação pode ser combinada com a ideia do limite discutida anteriormente Consi dere o gráfico da função abaixo com uma reta secante cortando a curva nos pontos 𝑎𝑎 𝑓𝑓𝑎𝑎 e 𝑎𝑎 ℎ 𝑓𝑓 𝑎𝑎 ℎ 20 reta secante a uma função Tente observar pelo gráfico o que acontece con forme h tende a zero Quando h tende a zero a h irá se aproximar cada vez mais de a O mesmo acontece no eixo y fazendo com que fa h se aproxime de fa Com isso a reta irá se deslocar cada vez mais para baixo encurtando a distância entre os pontos de interceptação No limite quando h converge para zero os pontos a ha e a h fa h 𝑎𝑎 ℎ 𝑓𝑓𝑎𝑎 ℎ irão se sobrepor Na prática isso significa que a reta não intercepta mais a função em 2 pontos distintos mas em apenas 1 Isso significa que a reta se tornou uma tangente 22 reta tangente a uma função reta tangente a uma função igual a zero Como já estudamos a derivada nos dá a inclinação da reta tangente à função Figura 4 pontos críticos de uma função ponto de máximo ponto de mínimo e ponto de inflexão Fonte elaboração própria Os valores de x que resultem em derivada igual a zero são os nossos pontos críticos mas ainda não sabemos que tipo de ponto eles são ANÁLISE DA SEGUNDA DERIVADA Para determinar o tipo de ponto crítico devemos derivar a função original uma segunda vez isto é derivar sua derivada Uma vez obtida a segunda derivada devemos aplicar os valores de x obtidos na primeira análise e verificar o sinal da segunda derivada fx 0 ponto de mínimo fx 0 ponto de máximo fx 0 ponto de inflexão EXEMPLOS PRÁTICOS Observemos alguns exemplos para entender melhor a ideia de identificar os pontos críticos de uma função Função de 2 grau Vamos iniciar analisando uma função de segundo grau genérica sem nos importarmos com valores específicos de a b ou c fx ax² bx c Vamos começar calculando a derivada de nossa função Como temos um polinômio podemos aplicar a regra do tomb em cada um de seus termos e pela regra da soma podemos somar as derivadas de cada termo para obter a derivada de f ddx ax² 2ax¹ 2ax Portanto temos fx 2ax b Note que chegamos em uma expressão de primeiro grau Funções de primeiro grau possuem uma única raiz portanto ao igualar a derivada a zero encontraremos 1 único ponto 2ax b 0 2ax b x b2a Se esse valor pareceu familiar para você bom sinal você está prestando atenção desde o início A expressão que acabamos de obter por meio de derivadas é justamente a fórmula para obter o valor do ponto de máximo ou mínimo de uma função de segundo grau Agora vamos calcular a segunda derivada fx fx fx 2ax b fx 2a 0 fx 2a A análise da segunda derivada nos diz que quando a segunda derivada for igual a zero temos apenas um ponto de inflexão quando for maior do que zero temos um ponto de mínimo e quando for menor do que zero temos um ponto de máximo Note que a segunda derivada não depende mais de x é um valor constante O sinal do termo a é que determinará o tipo de ponto crítico que estamos estudando Como a função era de segundo grau a não pode ser zero Isso nos deixa com a positivo ou negativo com o primeiro caso indicando ponto de mínimo e o segundo indicando ponto de máximo Aqui você pode ter identificado outro conceito familiar nas funções de segundo grau o valor do a indica se a parábola é para cima ponto de mínimo ou para baixo ponto de máximo Na figura 4 as duas primeiras funções são funções de primeiro grau sendo a primeira uma com a positivo e a segunda com a negativo Observe a tangente horizontal exatamente em seus pontos de máximo e mínimo respectivamente y 𝑥𝑥 0 y 2𝑥𝑥 0 𝑥𝑥 0 Chegamos em dois valores idênticos 𝑥𝑥 0 Caso isso não esteja claro para você realize o cálculo por Bháskara dica quando 𝛥𝛥 0 temos uma única raiz Vamos agora derivar a função uma segunda vez 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥 2𝑥𝑥2 𝑓𝑓 𝑥𝑥 4𝑥𝑥 Podemos aplicar o valor que encontramos de x e analisar o seu sinal 𝑓𝑓 0 4 0 𝑓𝑓0 0 Ou seja o ponto crítico encontrado não é nem o valor máximo nem o valor mínimo da função é apenas um ponto onde a função muda a orienta ção de sua parábola Ou seja temos um ponto de inflexão Observe novamente a figura 4 A terceira função da esquerda para a direita é precisamente a função que estudamos 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑥𝑥3 1 Note que ela não 30 possui ponto de máximo tampouco de mínimo conforme x cresce ou decresse ela vai para Porém precisamente no ponto que encontramos x 0 a concavidade do gráfico se inverte Note que nesse ponto de inversão da concavidade a tangente é uma reta horizontal Problemas de otimização Justamente por auxiliar a encontrar pontos de máximo e mínimo derivadas são amplamente utilizadas em problemas de otimização Ou seja aqueles problemas onde gostaríamos de encontrar qual quantidade de uma certa grandeza irá nos trazer a maior quantidade de outra grandeza desejada Ou ao contrário qual quantidade de uma certa grandeza nos custará menos de outra grandeza As aplicações são diversas desde otimizar a quantidade de produtos que uma fábrica deverá produzir em um certo período de tempo para garantir a melhor relação possível entre custo de produção e quantidade de produtos fabricados até em problemas de inteligência artificial onde algoritmos como o gradiente descendente buscam pontos de mínimo no erro das respostas dadas pelo computador Um cuidado importante que deve ser tomado ao se utilizar esse tipo de método é que não temos como diferenciar máximos ou mínimos locais valores máximos ou mínimos em relação à vizinhança de um ponto de máximos ou mínimos globais o maior ou menor valor de toda a função Observe o gráfico abaixo Figura 5 função com diversos máximos e mínimos locais Fonte elaboração própria Note que há uma série de pontos onde a tangente seria horizontal derivada igual a 0 e eles são pontos de máximo ou mínimo locais picos ou vales em relação à sua vizinhança Um algoritmo buscando minimizar um erro por exemplo poderia erroneamente identificar o ponto próximo de 𝑥𝑥 30 como valor mínimo Mas note que na região entre 0 e 10 existe um mínimo muito mais pronunciado 33 CONSIDERAÇÕES FINAIS Estudamos como derivadas se relacionam intimamente com taxa de variação utilizando inclusive um exemplo da física Em seguida aprendemos a calcular as derivadas de diferentes funções Aprendemos também algumas propriedades que nos permitem utilizar as derivadas das funções mais básicas para calcular a derivada de funções mais extensas Estudamos também uma interpretação geométrica para derivadas e utilizamos essa interpretação para resolver problemas envolvendo pontos críticos pontos de máximo pontos de mínimo e pontos de inflexão Para finalizar discutimos brevemente como essas técnicas podem ser utilizadas em problemas de otimização e as limitações que podemos encontrar ao empregar essa técnica E é bom reforçar pela última vez matemática é uma disciplina extremamente prática Nós aqui abordamos brevemente os conceitos apresentamos fórmulas discutimos interpretações mas você só irá dominar o cálculo das derivadas e suas aplicações praticando e resolvendo problemas Então não deixe de consultar o livro de sua preferência para estudar mais alguns exemplos e fazer as listas de exercícios propostos a bibliografia já sugere diversos livros consagrados Referências Bibliográficas Consultadas AXLER S Précálculo uma preparação para o cálculo com manual de soluções para o estudante 2 ed Rio de Janeiro GENLTC 2016 Minha Biblioteca GERSTING J L Fundamentos matemáticos para a Ciência da Computação Matemática Discreta e suas aplicações 7 ed Rio de Janeiro GENLTC 2017 Minha Biblioteca GUIDORIZZI H L Um curso de Cálculo Vol 1 6 ed Rio de Janeiro GEN LTC 2018 Minha Biblioteca GUIDORIZZI H L Um Curso de Cálculo Vol 2 6 ed Rio de Janeiro GEN LTC 2018 Minha Biblioteca MORETTIN P A HAZZAN S BUSSAB W O Introdução ao Cálculo para Administração Economia e Contabilidade 2 ed São Paulo Saraiva 2018 Minha Biblioteca RODRIGUES A C D SILVA A R H S Cálculo diferencial e integral a várias variáveis Curitiba InterSaberes 2016 Biblioteca Virtual Pearson ROGAWSKI J COLIN A Cálculo 3 ed Porto Alegre Bookman 2018 Minha Biblioteca SILVA P S D Cálculo Diferencial e Integral 1 ed Rio de Janeiro LTC 2017 Minha Biblioteca FAM ONLINE