·
Sistemas de Informação ·
Outros
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Texto de pré-visualização
TEORIA DOS CONJUNTOS RAFAEL DE MOURA MOREIRA Sumário INTRODUÇÃO Nesta disciplina trabalharemos com alguns conceitos matemáticos que são fundamentais para as mais diversas áreas de conhecimento Nosso principal objetivo é que você seja capaz de utilizar esses conceitos para compreender melhor outras disciplinas ao longo de seu curso bem como resolver problemas na sua vida e em seu trabalho Sendo assim não se restrinja à leitura dos conceitos teóricos e definições Ao invés disso procure sempre praticar os conceitos após estudálos por meio dos exercícios propostos Neste ebook conheceremos um pouco a Teoria dos Conjuntos Começaremos formalizando conceitos juntos estudando as relações existentes entre eles e as operações que podemos realizar entre conjuntos Também conheceremos maneiras de representálos graficamente Por fim estudaremos alguns conjuntos especiais na matemática e entenderemos como utilizar os conceitos aprendidos para resolver alguns problemas reais CONCEITO DE TEORIA DE CONJUNTOS Desde cedo todos nós desenvolvemos uma noção intuitiva de conjuntos Mesmo quem nunca estudou Teoria de Conjuntos consegue imaginar alguma espécie de agrupamento ou coleção de objetos ao escutar a palavra conjunto Por exemplo quando citamos um conjunto musical muitas pessoas imediatamente imaginam um grupo de músicos Podemos ter conjuntos de praticamente tudo números palavras pessoas ou até mesmo outros conjuntos Conjuntos podem inclusive não ter qualquer tipo de objeto um conjunto vazio ainda é um conjunto Formalmente um conjunto é uma coleção de elementos Um detalhe para se atentar é que em um conjunto todo elemento é único Sendo assim o conjunto de todos os dígitos que formam o número 2022 contém apenas dois elementos o dígito 0 e o dígito 2 Conjuntos podem conter uma quantidade finita de elementos ou uma quantidade infinita de elementos Vejamos alguns exemplos de possíveis conjuntos Conjunto de estudantes matriculados na FAM Conjunto de números divisíveis por 3 Conjunto de cidades de um estado Conjunto de números ímpares divisíveis por 2 Note que o segundo conjunto é infinito Se partirmos do número 3 podemos somar 3 a ele infinitamente e a cada operação teremos um novo elemento distinto que obedece à regra de formação do conjunto Já o quarto conjunto é claramente um conjunto vazio pela definição um número ímpar jamais será divisível por 2 Logo o conjunto não possui elementos REPRESENTANDO CONJUNTOS Enumeração Conjuntos podem ser representados de diferentes maneiras A forma mais simples é por meio da enumeração de seu conteúdo Para isso utilizaremos chaves para delimitar o conjunto e separaremos seus elementos por vírgula Vejamos alguns exemplos A369121518 B02 Caeiou D E Ø Tanto o conjunto D quanto o conjunto E representam o conjunto vazio Podemos representálo tanto por meio do símbolo Øvazio quanto das chaves vazias mas não combinando ambos Regra de formação No exemplo anterior note que o conjunto A representa um conjunto infinito Os 3 pontos indicam que o conjunto continua além dos elementos representados A ideia intuitiva que temos é que existe uma regra que podemos generalizar a partir dos elementos dados para gerar os próximos elementos Existe uma maneira mais direta de representar conjuntos com esse tipo de comportamento Ao invés de enumerar seus índices podemos escrever a regra de geração do conjunto Considere por exemplo a inequação abaixo Equação 1 exemplo de inequação 2x 4 Você provavelmente já viu em algum momento a solução para inequações como essa sendo representada na forma de um conjunto com sua regra de formação como no exemplo abaixo Equação 2 conjunto solução da inequação Sx R x 2 A regra acima significa x pertence aos reais tal que x é maior do que 2 Ou seja qualquer número real superior a 2 pertence a esse conjunto Explicaremos em mais detalhes o significado completo de cada parte dessa regra e você será capaz de utilizar essa notação para representar outros conjuntos Diagramas de Venn Para facilitar a visualização de relações e operações entre conjuntos existe uma representação gráfica bastante conveniente conhecida como diagrama de Venn Em um diagrama de Venn conjuntos podem ser representados por formas geométricas geralmente círculos que podem ser parcialmente ou totalmente sobrepostos Regiões de sobreposição representam elementos que pertencem simultaneamente a mais de um conjunto Na figura a seguir o círculo azul representa os elementos de um conjunto A o círculo vermelho representa os elementos de um conjunto B e o círculo verde representa os elementos de um conjunto C Note que há regiões de sobreposição no diagrama A região onde A e B se sobrepõem por exemplo representa os elementos que pertencem simultaneamente aos conjuntos A e B A pequena região verde representa triangular ao centro representa elementos pertencentes a A B e C simultaneamente Figura 1 exemplo de diagrama de Venn Fonte elaboração própria Utilizaremos diagramas de Venn para ilustrar as diferentes operações entre conjuntos e posteriormente discutiremos como utilizálos para resolver problemas ELEMENTOS DE UM CONJUNTO A principal relação entre um elemento e um conjunto é o pertencimento um elemento pode ou não pertencer a um conjunto Quando um elemento pertence a um conjunto utilizaremos o símbolo pertence Caso contrário utilizaremos o símbolo não pertence Considere o seguinte conjunto A1 3 5 7 9 Podemos afirmar que 1 A 1 pertence a A 2 A 2 não pertence a A O número de elementos que pertencem a um conjunto é chamado de cardinalidade do conjunto A cardinalidade de um conjunto A qualquer pode ser escrita como A Letra A entre barras verticais No exemplo anterior A 5 Para o conjunto vazio representado por chaves vazias ou símbolo de vazio dizemos que não existe elemento que pertence a ele por exemplo x x A literalmente não existe x tal que x pertença a A Portanto sua cardinalidade sempre será zero Alguns conjuntos podem ter cardinalidade infinita como o conjunto ilustrado na Equação 2 Utilizaremos diagramas de Venn para ilustrar as diferentes operações entre conjuntos e posteriormente discutiremos como utilizálos para resolver problemas OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS União A união entre dois conjuntos denotada por é um conjunto formado por todos os elementos pertencentes a cada um dos conjuntos Note que como conjuntos não devem possuir elementos repetidos um elemento presente nos dois conjuntos originais aparecerá uma única vez no conjunto união Exemplo A 1 3 5 7 9 B 3 4 5 A B 1 3 4 5 7 9 Figura 2 união entre conjuntos A B conjunto união de A e B Fonte httpsenwikipediaorgwikiFileVenn0111svg Acesso em 20 abr 2022 Intersecção A intersecção entre dois conjuntos denotada por n símbolo de intersecção é um conjunto formado por todos os elementos pertencentes simultaneamente a ambos os conjuntos Exemplo A 1 3 5 7 9 B 3 4 5 A B 3 5 Figura 3 intersecção entre conjuntos A B conjunto intersecção de A e B Fonte httpsenwikipediaorgwikiFileVenn0001svg Acesso em 20 abr 2022 Se a intersecção entre dois conjuntos resultar em um conjunto vazio ou seja eles não possuírem elementos em comum dizemos que os conjuntos são disjuntos Diferença A diferença entre dois conjuntos também conhecida por complemento relativo entre dois conjuntos representada por sinal de menos é um conjunto formado por todos os elementos que pertençam a um conjunto mas não pertencem ao outro conjunto Uma forma simples de se obter é subtrair de um conjunto todos os elementos que pertencem ao outro conjunto Note que ao contrário das operações vistas anteriormente o complemento relativo de B em A A BA menos B é diferente do complemento relativo de A em B B AB menos A Ou seja A B B AA menos B é diferente de B menos A Observe o exemplo abaixo e o diagrama de Venn A 1 3 5 7 9 B 3 4 5 A B 1 7 9 B A 4 Figura 4 diferença entre conjuntos A B A menos B Fonte httpsenwikipediaorgwikiFileVenn0100svg Acesso em 20 abr 2022 SUBCONJUNTOS Se todos os elementos de um conjunto A também são membros de um conjunto B dizemos que A é um subconjunto do conjunto B Podemos escrever essa relação como A B que lemos A está contido em B Quando pelo menos um dos elementos do conjunto A não é membro de B A não é subconjunto de B o que pode ser escrito como A B A não está contido em B Observe os exemplos abaixo A 1234 5 B 345 Podemos afirmar que B A B está contido em A mas B A A não está contido em B Quando B é subconjunto de A podemos também afirmar que A é superconjunto de B Podemos inverter o operador para denotar superconjunto A B significa que A contém B ou seja B está contido em A Figura 5 subconjunto B A B está contido em A FIQUE ATENTO Pela definição todo conjunto é subconjunto de si mesmo Nesse caso onde Conjunto A igual ao conjunto B dizemos que A é um subconjunto impropri de B Já quando os subconjuntos são diferentes e A é subconjunto de B dizemos que A é um subconjunto próprio de B Alguns autores utilizam uma notação um pouco diferente para explicar essas relações Nesse caso os símbolos está contido em e contém só são utilizados para subconjuntos e superconjuntos próprios Para os improprios ou seja permitindo que os conjuntos envolvidos sejam idênticos utilizamos os símbolos símbolo de está contido de modo impróprio em e contém de modo impróprio Os operadores de negação são respectivamente símbolo de não está contido de modo impróprio e não contém de modo impróprio Outros autores nunca usam está contido em e contém Ao invés disso além dos dois novos símbolos abordados anteriormente para subconjuntos e superconjuntos próprios utilizam símbolo de está contido de modo próprio e impróprio em e símbolo de contém de modo próprio e impróprio para permitir os improprios N 0 1 2 3 4 5 Em algumas literaturas o 0 não é incluído no conjunto Outros autores preferem incluílo e para sinalizar os números naturais nãonulos utilizam um asterisco junto do conjunto N 1 2 3 4 5 Números inteiros Algumas operações de subtração não podem ser realizadas utilizando apenas números naturais Por exemplo imagine que você possui 10 moedas e assina um documento se comprometendo a pagar 12 moedas por um pedaço de terra Você ficou sem moedas e ainda precisa providenciar mais 2 moedas para quitar sua dívida ou seja as próximas 2 moedas que você ganhar não são suas Dizemos que o seu saldo é de menos 2 moedas Assim para representar a ideia de objetos faltando ou dívidas surgiram os números negativos Esses novos números junto dos números já existentes formam o conjunto dos números inteiros representados pela letra Z estilizada ℤ símbolo do números inteiros Assim temos ℤ 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Note que os números naturais são um subconjunto dos números inteiros Números racionais Assim como algumas subtrações entre números naturais geravam resultados impossíveis de se representar utilizando apenas números naturais algumas divisões entre números inteiros geram resultados que a princípio não fariam sentido Imagine que você tem 3 pães para dividir entre 2 pessoas Cada pessoa deverá receber um pão inteiro mais uma metade de pão ou 3 metades Não existe número inteiro que representa 3 metades ou 1 unidade e meia O conjunto de todos os números que podem ser representados como uma fração ou uma razão entre 2 números inteiros é chamado de conjunto dos números racionais representado pela letra Q estilizada ℚ símbolo dos números racionais Note que o número 0 não pode aparecer no denominador de uma fração pois não há resultado definido para uma divisão por 0 Portanto definimos esse conjunto da seguinte maneira ℚ ab a b ℤ b 0 Lemos como a dividido por b tal que a e b pertencem aos inteiros e b é diferente de 0 Note que quando b é igual a 1 o resultado da divisão é simplesmente a Como a pode ser qualquer número inteiro isso significa que o conjunto dos números racionais contém todo o conjunto dos números inteiros Números reais Números racionais podem ser representados também na forma decimal Por exemplo ao dividirmos três dividido por dois temos 15 Porém nem todos os números com casas decimais podem ser representados como uma fração Esses são aqueles números onde temos infinitas casas decimais sem qualquer tipo de padrão de repetição dízima periódica Um exemplo desses números é 2 raiz quadrada de dois Outros números com comportamento semelhante também foram descobertos como o número π pi Esses números que não podem ser representados como uma razão ou seja não são números racionais são chamados de números irracionais O conjunto que contém todos os números racionais ou não é o conjunto dos números reais representado pela letra R estilizada ℝ símbolo dos números reais Uma definição possível para esse conjunto é a união entre o conjunto dos racionais com o conjunto dos irracionais Números complexos Note que todos os números reais podem ser escritos nessa forma adotando b 0 b igual a 0 Também podemos representar números imaginários puros nessa forma adotando a 0 a igual a zero Portanto os números reais são um subconjunto dos números complexos C a bi ab R INTERVALOS NUMÉRICOS Nós podemos formar conjuntos numéricos arbitrários montando uma regra dizendo de qual conjunto especial nossos números virão bem como os valores de início e fim de um intervalo Focaremos em intervalos de números reais Seria bastante difícil definir por enumeração um conjunto contendo todos os números reais entre 3 e 6 incluindo o 3 por exemplo afinal no conjunto dos reais existem infinitos números entre dois números quaisquer Porém por meio de uma regra de formação é possível descrever o conjunto na forma de um intervalo s x R 3 x 6 INTERVALOS ABERTOS E FECHADOS No exemplo dado utilizamos os números 3 e 6 para delimitar nosso intervalo Porém enquanto o 3 pertence ao intervalo o 6 não Isso ocorre porque utilizamos o operador menor ou igual para o 3 mas apenas menor para o 6 Dizemos que o intervalo é fechado em 3 e aberto em 6 Temos duas formas alternativas de representar esse intervalo 36 ou 36 fechado em 3 e aberto em 6 Colchetes virados para dentro sempre representam intervalo fechado ou seja o número está incluído no intervalo Já colchetes virados para fora ou parênteses indicam intervalo aberto ou seja o número está excluído do intervalo Caso um intervalo vá para o infinito seja mais infinito ou menos infinito o intervalo deverá ser obrigatoriamente aberto Reta numérica Uma maneira conveniente de representar graficamente um intervalo é por meio de uma reta numérica Utilizamos uma reta representando os números reais e sobre ela podemos destacar a reta ou segmento de reta contendo os números de nosso intervalo Devemos desenhar bolinhas sobre os extremos dos intervalos A bolinha será vazia caso o intervalo seja aberto naquela extremidade e preenchida caso o intervalo seja fechado O intervalo fechado em 3 e aberto em 6 do exemplo anterior ficaria da seguinte maneira Figura 7 intervalo na reta numérica futebol Vôlei basquete Fonte elaboração própria RESOLVENDO PROBLEMAS DE CONJUNTOS Algumas ferramentas básicas que estudamos como as operações mais básicas entre conjuntos e os diagramas de Venn permitem a resolução mais rápida de problemas que a princípio soam mais difíceis Vejamos alguns exemplos Problema 1 Um professor de Educação Física precisa organizar times de 3 esportes de uma turma na escola futebol basquete e vôlei A turma tem um total de 30 alunos Cada aluno recebeu uma ficha onde deveria marcar no mínimo um esporte mas poderia se inscrever em quantos esportes gostariam O resultado foi 21 alunos jogam futebol 10 alunos jogam basquete 16 alunos jogam vôlei 5 alunos jogam futebol e basquete 8 alunos jogam futebol e vôlei 3 alunos jogam basquete e vôlei Determine a quantidade de alunos que jogam os 3 esportes a quantidade de alunos que pratica apenas futebol a quantidade de alunos que pratica apenas basquete e a quantidade de alunos que pratica apenas vôlei Chamando de t o número total de alunos que praticam os 3 esportes temos o seguinte diagrama de Venn Figura 8 diagrama preenchimento 1 fonte elaboração própria Note que para preencher as interseções entre futebol e basquete basquete e vôlei e vôlei e futebol nós precisamos descontar t Afinal o conjunto de alunos que jogam futebol e vôlei por exemplo inclui o conjunto dos alunos que jogam futebol basquete e vôlei Portanto a quantidade será dada por O mesmo raciocínio se aplica para as outras interseções Portanto temos o seguinte diagrama Figura 9 diagrama preenchimento 2 fonte elaboração própria Agora para determinarmos o número de alunos que jogam apenas futebol apenas basquete e apenas vôlei devemos aplicar uma lógica semelhante Por exemplo para determinar a quantidade de jogadores de futebol devemos descartar as pessoas que jogam simultaneamente futebol e vôlei futebol e basquete e que jogam os 3 esportes Portanto o número de jogadores de futebol é 21 5 t 8 t Ao simplificar essa expressão obtemos 8 t Aplicamos a mesma lógica para os outros esportes Figura 10 diagrama preenchimento 3 futebol 8t 5t t 3t 2t Vôlei 8t 2t basquete Fonte elaboração própria Como sabemos que o total de alunos é 32 então a soma de todas as expressões do diagrama de Venn acima deve dar 32 Iremos igualar a soma das expressões ao total e isolar a nossa variável t 8 t 5 t 2 t 5 t 8 t 3 t t 32 31 4t 3t 32 t 2 Portanto o total de alunos que joga os 3 esportes é 2 Aplicando esse valor às expressões acima temos que 10 alunos jogam apenas futebol 4 alunos jogam apenas basquete e 7 alunos jogam apenas vôlei Problema 2 Determine a solução da inequação abaixo e representea nas formas de conjunto de intervalo e de reta numérica 5 frac1x 10 Primeiro precisamos resolver a inequação Começaremos subtraindo 5 de ambos os lados 5 frac1x 5 10 5 frac1x 5 Agora vamos multiplicar ambos os lados por x xfrac1x 5 x 1 5x Enfim isolamos x frac15 Logo a solução é Forma de conjunto S x ℝ x frac15 Forma de intervalo I frac15 ou I frac15 Reta numérica Figura 11 reta numérica exemplo 2 Fonte elaboração própria Note que mantivemos a bolinha aberta em 02 ou seja um quinto pois o resultado que obtivemos é que x deve ser MAIOR e não maior ou igual Pelo mesmo motivo na notação de intervalo utilizamos o colchete virado para fora Como esse intervalo vai até o infinito também mantivemos o colchete virado para fora no outro extremo afinal intervalos até o infinito sempre são considerados abertos AXLER S Précálculo uma preparação para o cálculo com manual de soluções para o estudante 2 ed Rio de Janeiro GENLTC 2016 Minha Biblioteca GERSTING J L Fundamentos matemáticos para a Ciência da Computação Matemática Discreta e suas aplicações 7 ed Rio de Janeiro GENLTC 2017 Minha Biblioteca GUIDORIZZI H L Um curso de Cálculo Vol 1 6 ed Rio de Janeiro GEN LTC 2018 Minha Biblioteca GUIDORIZZI H L Um Curso de Cálculo Vol 2 6 ed Rio de Janeiro GEN LTC 2018 Minha Biblioteca MORETTIN P A HAZZAN S BUSSAB W O Introdução ao Cálculo para Administração Economia e Contabilidade 2 ed São Paulo Saraiva 2018 Minha Biblioteca RODRIGUES A C D SILVA A R H S Cálculo diferencial e integral a várias variáveis Curitiba InterSaberes 2016 Biblioteca Virtual Pearson CONSIDERAÇÕES FINAIS Chegamos ao fim de nossos estudos sobre teoria dos conjuntos coleções de elementos únicos Aprendemos a representar conjuntos por meio da enumeração onde listamos todos os seus elementos entre chaves bem como pela regra de formação onde utilizamos símbolos para descrever uma condição para que um elemento pertença ao conjunto Em seguida estudamos como utilizar diagramas de Venn para compreender relações entre conjuntos Utilizamos os diagramas para nos auxiliar conforme aprendemos a realizar diferentes operações como a união a interseção e a diferença entre os conjuntos Por fim utilizamos esse básico de teoria de conjuntos para definir alguns conjuntos numéricos juntos para definir alguns conjuntos numéricos muito importantes na matemática conhecemos uma notação exata para representar conjuntos formados por números sequenciais conhecida por intervalo e por fim abordamos exemplos de problemas reais utilizando tudo o que foi aprendido Lembrese de fazer exercícios para praticar todo esse conteúdo ROGAWSKI J COLIN A Cálculo 3 ed Porto Alegre Bookman 2018 Minha Biblioteca SILVA P S D Cálculo Diferencial e Integral 1 ed Rio de Janeiro LTC 2017 Minha Biblioteca FAM ONLINE
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Texto de pré-visualização
TEORIA DOS CONJUNTOS RAFAEL DE MOURA MOREIRA Sumário INTRODUÇÃO Nesta disciplina trabalharemos com alguns conceitos matemáticos que são fundamentais para as mais diversas áreas de conhecimento Nosso principal objetivo é que você seja capaz de utilizar esses conceitos para compreender melhor outras disciplinas ao longo de seu curso bem como resolver problemas na sua vida e em seu trabalho Sendo assim não se restrinja à leitura dos conceitos teóricos e definições Ao invés disso procure sempre praticar os conceitos após estudálos por meio dos exercícios propostos Neste ebook conheceremos um pouco a Teoria dos Conjuntos Começaremos formalizando conceitos juntos estudando as relações existentes entre eles e as operações que podemos realizar entre conjuntos Também conheceremos maneiras de representálos graficamente Por fim estudaremos alguns conjuntos especiais na matemática e entenderemos como utilizar os conceitos aprendidos para resolver alguns problemas reais CONCEITO DE TEORIA DE CONJUNTOS Desde cedo todos nós desenvolvemos uma noção intuitiva de conjuntos Mesmo quem nunca estudou Teoria de Conjuntos consegue imaginar alguma espécie de agrupamento ou coleção de objetos ao escutar a palavra conjunto Por exemplo quando citamos um conjunto musical muitas pessoas imediatamente imaginam um grupo de músicos Podemos ter conjuntos de praticamente tudo números palavras pessoas ou até mesmo outros conjuntos Conjuntos podem inclusive não ter qualquer tipo de objeto um conjunto vazio ainda é um conjunto Formalmente um conjunto é uma coleção de elementos Um detalhe para se atentar é que em um conjunto todo elemento é único Sendo assim o conjunto de todos os dígitos que formam o número 2022 contém apenas dois elementos o dígito 0 e o dígito 2 Conjuntos podem conter uma quantidade finita de elementos ou uma quantidade infinita de elementos Vejamos alguns exemplos de possíveis conjuntos Conjunto de estudantes matriculados na FAM Conjunto de números divisíveis por 3 Conjunto de cidades de um estado Conjunto de números ímpares divisíveis por 2 Note que o segundo conjunto é infinito Se partirmos do número 3 podemos somar 3 a ele infinitamente e a cada operação teremos um novo elemento distinto que obedece à regra de formação do conjunto Já o quarto conjunto é claramente um conjunto vazio pela definição um número ímpar jamais será divisível por 2 Logo o conjunto não possui elementos REPRESENTANDO CONJUNTOS Enumeração Conjuntos podem ser representados de diferentes maneiras A forma mais simples é por meio da enumeração de seu conteúdo Para isso utilizaremos chaves para delimitar o conjunto e separaremos seus elementos por vírgula Vejamos alguns exemplos A369121518 B02 Caeiou D E Ø Tanto o conjunto D quanto o conjunto E representam o conjunto vazio Podemos representálo tanto por meio do símbolo Øvazio quanto das chaves vazias mas não combinando ambos Regra de formação No exemplo anterior note que o conjunto A representa um conjunto infinito Os 3 pontos indicam que o conjunto continua além dos elementos representados A ideia intuitiva que temos é que existe uma regra que podemos generalizar a partir dos elementos dados para gerar os próximos elementos Existe uma maneira mais direta de representar conjuntos com esse tipo de comportamento Ao invés de enumerar seus índices podemos escrever a regra de geração do conjunto Considere por exemplo a inequação abaixo Equação 1 exemplo de inequação 2x 4 Você provavelmente já viu em algum momento a solução para inequações como essa sendo representada na forma de um conjunto com sua regra de formação como no exemplo abaixo Equação 2 conjunto solução da inequação Sx R x 2 A regra acima significa x pertence aos reais tal que x é maior do que 2 Ou seja qualquer número real superior a 2 pertence a esse conjunto Explicaremos em mais detalhes o significado completo de cada parte dessa regra e você será capaz de utilizar essa notação para representar outros conjuntos Diagramas de Venn Para facilitar a visualização de relações e operações entre conjuntos existe uma representação gráfica bastante conveniente conhecida como diagrama de Venn Em um diagrama de Venn conjuntos podem ser representados por formas geométricas geralmente círculos que podem ser parcialmente ou totalmente sobrepostos Regiões de sobreposição representam elementos que pertencem simultaneamente a mais de um conjunto Na figura a seguir o círculo azul representa os elementos de um conjunto A o círculo vermelho representa os elementos de um conjunto B e o círculo verde representa os elementos de um conjunto C Note que há regiões de sobreposição no diagrama A região onde A e B se sobrepõem por exemplo representa os elementos que pertencem simultaneamente aos conjuntos A e B A pequena região verde representa triangular ao centro representa elementos pertencentes a A B e C simultaneamente Figura 1 exemplo de diagrama de Venn Fonte elaboração própria Utilizaremos diagramas de Venn para ilustrar as diferentes operações entre conjuntos e posteriormente discutiremos como utilizálos para resolver problemas ELEMENTOS DE UM CONJUNTO A principal relação entre um elemento e um conjunto é o pertencimento um elemento pode ou não pertencer a um conjunto Quando um elemento pertence a um conjunto utilizaremos o símbolo pertence Caso contrário utilizaremos o símbolo não pertence Considere o seguinte conjunto A1 3 5 7 9 Podemos afirmar que 1 A 1 pertence a A 2 A 2 não pertence a A O número de elementos que pertencem a um conjunto é chamado de cardinalidade do conjunto A cardinalidade de um conjunto A qualquer pode ser escrita como A Letra A entre barras verticais No exemplo anterior A 5 Para o conjunto vazio representado por chaves vazias ou símbolo de vazio dizemos que não existe elemento que pertence a ele por exemplo x x A literalmente não existe x tal que x pertença a A Portanto sua cardinalidade sempre será zero Alguns conjuntos podem ter cardinalidade infinita como o conjunto ilustrado na Equação 2 Utilizaremos diagramas de Venn para ilustrar as diferentes operações entre conjuntos e posteriormente discutiremos como utilizálos para resolver problemas OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS União A união entre dois conjuntos denotada por é um conjunto formado por todos os elementos pertencentes a cada um dos conjuntos Note que como conjuntos não devem possuir elementos repetidos um elemento presente nos dois conjuntos originais aparecerá uma única vez no conjunto união Exemplo A 1 3 5 7 9 B 3 4 5 A B 1 3 4 5 7 9 Figura 2 união entre conjuntos A B conjunto união de A e B Fonte httpsenwikipediaorgwikiFileVenn0111svg Acesso em 20 abr 2022 Intersecção A intersecção entre dois conjuntos denotada por n símbolo de intersecção é um conjunto formado por todos os elementos pertencentes simultaneamente a ambos os conjuntos Exemplo A 1 3 5 7 9 B 3 4 5 A B 3 5 Figura 3 intersecção entre conjuntos A B conjunto intersecção de A e B Fonte httpsenwikipediaorgwikiFileVenn0001svg Acesso em 20 abr 2022 Se a intersecção entre dois conjuntos resultar em um conjunto vazio ou seja eles não possuírem elementos em comum dizemos que os conjuntos são disjuntos Diferença A diferença entre dois conjuntos também conhecida por complemento relativo entre dois conjuntos representada por sinal de menos é um conjunto formado por todos os elementos que pertençam a um conjunto mas não pertencem ao outro conjunto Uma forma simples de se obter é subtrair de um conjunto todos os elementos que pertencem ao outro conjunto Note que ao contrário das operações vistas anteriormente o complemento relativo de B em A A BA menos B é diferente do complemento relativo de A em B B AB menos A Ou seja A B B AA menos B é diferente de B menos A Observe o exemplo abaixo e o diagrama de Venn A 1 3 5 7 9 B 3 4 5 A B 1 7 9 B A 4 Figura 4 diferença entre conjuntos A B A menos B Fonte httpsenwikipediaorgwikiFileVenn0100svg Acesso em 20 abr 2022 SUBCONJUNTOS Se todos os elementos de um conjunto A também são membros de um conjunto B dizemos que A é um subconjunto do conjunto B Podemos escrever essa relação como A B que lemos A está contido em B Quando pelo menos um dos elementos do conjunto A não é membro de B A não é subconjunto de B o que pode ser escrito como A B A não está contido em B Observe os exemplos abaixo A 1234 5 B 345 Podemos afirmar que B A B está contido em A mas B A A não está contido em B Quando B é subconjunto de A podemos também afirmar que A é superconjunto de B Podemos inverter o operador para denotar superconjunto A B significa que A contém B ou seja B está contido em A Figura 5 subconjunto B A B está contido em A FIQUE ATENTO Pela definição todo conjunto é subconjunto de si mesmo Nesse caso onde Conjunto A igual ao conjunto B dizemos que A é um subconjunto impropri de B Já quando os subconjuntos são diferentes e A é subconjunto de B dizemos que A é um subconjunto próprio de B Alguns autores utilizam uma notação um pouco diferente para explicar essas relações Nesse caso os símbolos está contido em e contém só são utilizados para subconjuntos e superconjuntos próprios Para os improprios ou seja permitindo que os conjuntos envolvidos sejam idênticos utilizamos os símbolos símbolo de está contido de modo impróprio em e contém de modo impróprio Os operadores de negação são respectivamente símbolo de não está contido de modo impróprio e não contém de modo impróprio Outros autores nunca usam está contido em e contém Ao invés disso além dos dois novos símbolos abordados anteriormente para subconjuntos e superconjuntos próprios utilizam símbolo de está contido de modo próprio e impróprio em e símbolo de contém de modo próprio e impróprio para permitir os improprios N 0 1 2 3 4 5 Em algumas literaturas o 0 não é incluído no conjunto Outros autores preferem incluílo e para sinalizar os números naturais nãonulos utilizam um asterisco junto do conjunto N 1 2 3 4 5 Números inteiros Algumas operações de subtração não podem ser realizadas utilizando apenas números naturais Por exemplo imagine que você possui 10 moedas e assina um documento se comprometendo a pagar 12 moedas por um pedaço de terra Você ficou sem moedas e ainda precisa providenciar mais 2 moedas para quitar sua dívida ou seja as próximas 2 moedas que você ganhar não são suas Dizemos que o seu saldo é de menos 2 moedas Assim para representar a ideia de objetos faltando ou dívidas surgiram os números negativos Esses novos números junto dos números já existentes formam o conjunto dos números inteiros representados pela letra Z estilizada ℤ símbolo do números inteiros Assim temos ℤ 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Note que os números naturais são um subconjunto dos números inteiros Números racionais Assim como algumas subtrações entre números naturais geravam resultados impossíveis de se representar utilizando apenas números naturais algumas divisões entre números inteiros geram resultados que a princípio não fariam sentido Imagine que você tem 3 pães para dividir entre 2 pessoas Cada pessoa deverá receber um pão inteiro mais uma metade de pão ou 3 metades Não existe número inteiro que representa 3 metades ou 1 unidade e meia O conjunto de todos os números que podem ser representados como uma fração ou uma razão entre 2 números inteiros é chamado de conjunto dos números racionais representado pela letra Q estilizada ℚ símbolo dos números racionais Note que o número 0 não pode aparecer no denominador de uma fração pois não há resultado definido para uma divisão por 0 Portanto definimos esse conjunto da seguinte maneira ℚ ab a b ℤ b 0 Lemos como a dividido por b tal que a e b pertencem aos inteiros e b é diferente de 0 Note que quando b é igual a 1 o resultado da divisão é simplesmente a Como a pode ser qualquer número inteiro isso significa que o conjunto dos números racionais contém todo o conjunto dos números inteiros Números reais Números racionais podem ser representados também na forma decimal Por exemplo ao dividirmos três dividido por dois temos 15 Porém nem todos os números com casas decimais podem ser representados como uma fração Esses são aqueles números onde temos infinitas casas decimais sem qualquer tipo de padrão de repetição dízima periódica Um exemplo desses números é 2 raiz quadrada de dois Outros números com comportamento semelhante também foram descobertos como o número π pi Esses números que não podem ser representados como uma razão ou seja não são números racionais são chamados de números irracionais O conjunto que contém todos os números racionais ou não é o conjunto dos números reais representado pela letra R estilizada ℝ símbolo dos números reais Uma definição possível para esse conjunto é a união entre o conjunto dos racionais com o conjunto dos irracionais Números complexos Note que todos os números reais podem ser escritos nessa forma adotando b 0 b igual a 0 Também podemos representar números imaginários puros nessa forma adotando a 0 a igual a zero Portanto os números reais são um subconjunto dos números complexos C a bi ab R INTERVALOS NUMÉRICOS Nós podemos formar conjuntos numéricos arbitrários montando uma regra dizendo de qual conjunto especial nossos números virão bem como os valores de início e fim de um intervalo Focaremos em intervalos de números reais Seria bastante difícil definir por enumeração um conjunto contendo todos os números reais entre 3 e 6 incluindo o 3 por exemplo afinal no conjunto dos reais existem infinitos números entre dois números quaisquer Porém por meio de uma regra de formação é possível descrever o conjunto na forma de um intervalo s x R 3 x 6 INTERVALOS ABERTOS E FECHADOS No exemplo dado utilizamos os números 3 e 6 para delimitar nosso intervalo Porém enquanto o 3 pertence ao intervalo o 6 não Isso ocorre porque utilizamos o operador menor ou igual para o 3 mas apenas menor para o 6 Dizemos que o intervalo é fechado em 3 e aberto em 6 Temos duas formas alternativas de representar esse intervalo 36 ou 36 fechado em 3 e aberto em 6 Colchetes virados para dentro sempre representam intervalo fechado ou seja o número está incluído no intervalo Já colchetes virados para fora ou parênteses indicam intervalo aberto ou seja o número está excluído do intervalo Caso um intervalo vá para o infinito seja mais infinito ou menos infinito o intervalo deverá ser obrigatoriamente aberto Reta numérica Uma maneira conveniente de representar graficamente um intervalo é por meio de uma reta numérica Utilizamos uma reta representando os números reais e sobre ela podemos destacar a reta ou segmento de reta contendo os números de nosso intervalo Devemos desenhar bolinhas sobre os extremos dos intervalos A bolinha será vazia caso o intervalo seja aberto naquela extremidade e preenchida caso o intervalo seja fechado O intervalo fechado em 3 e aberto em 6 do exemplo anterior ficaria da seguinte maneira Figura 7 intervalo na reta numérica futebol Vôlei basquete Fonte elaboração própria RESOLVENDO PROBLEMAS DE CONJUNTOS Algumas ferramentas básicas que estudamos como as operações mais básicas entre conjuntos e os diagramas de Venn permitem a resolução mais rápida de problemas que a princípio soam mais difíceis Vejamos alguns exemplos Problema 1 Um professor de Educação Física precisa organizar times de 3 esportes de uma turma na escola futebol basquete e vôlei A turma tem um total de 30 alunos Cada aluno recebeu uma ficha onde deveria marcar no mínimo um esporte mas poderia se inscrever em quantos esportes gostariam O resultado foi 21 alunos jogam futebol 10 alunos jogam basquete 16 alunos jogam vôlei 5 alunos jogam futebol e basquete 8 alunos jogam futebol e vôlei 3 alunos jogam basquete e vôlei Determine a quantidade de alunos que jogam os 3 esportes a quantidade de alunos que pratica apenas futebol a quantidade de alunos que pratica apenas basquete e a quantidade de alunos que pratica apenas vôlei Chamando de t o número total de alunos que praticam os 3 esportes temos o seguinte diagrama de Venn Figura 8 diagrama preenchimento 1 fonte elaboração própria Note que para preencher as interseções entre futebol e basquete basquete e vôlei e vôlei e futebol nós precisamos descontar t Afinal o conjunto de alunos que jogam futebol e vôlei por exemplo inclui o conjunto dos alunos que jogam futebol basquete e vôlei Portanto a quantidade será dada por O mesmo raciocínio se aplica para as outras interseções Portanto temos o seguinte diagrama Figura 9 diagrama preenchimento 2 fonte elaboração própria Agora para determinarmos o número de alunos que jogam apenas futebol apenas basquete e apenas vôlei devemos aplicar uma lógica semelhante Por exemplo para determinar a quantidade de jogadores de futebol devemos descartar as pessoas que jogam simultaneamente futebol e vôlei futebol e basquete e que jogam os 3 esportes Portanto o número de jogadores de futebol é 21 5 t 8 t Ao simplificar essa expressão obtemos 8 t Aplicamos a mesma lógica para os outros esportes Figura 10 diagrama preenchimento 3 futebol 8t 5t t 3t 2t Vôlei 8t 2t basquete Fonte elaboração própria Como sabemos que o total de alunos é 32 então a soma de todas as expressões do diagrama de Venn acima deve dar 32 Iremos igualar a soma das expressões ao total e isolar a nossa variável t 8 t 5 t 2 t 5 t 8 t 3 t t 32 31 4t 3t 32 t 2 Portanto o total de alunos que joga os 3 esportes é 2 Aplicando esse valor às expressões acima temos que 10 alunos jogam apenas futebol 4 alunos jogam apenas basquete e 7 alunos jogam apenas vôlei Problema 2 Determine a solução da inequação abaixo e representea nas formas de conjunto de intervalo e de reta numérica 5 frac1x 10 Primeiro precisamos resolver a inequação Começaremos subtraindo 5 de ambos os lados 5 frac1x 5 10 5 frac1x 5 Agora vamos multiplicar ambos os lados por x xfrac1x 5 x 1 5x Enfim isolamos x frac15 Logo a solução é Forma de conjunto S x ℝ x frac15 Forma de intervalo I frac15 ou I frac15 Reta numérica Figura 11 reta numérica exemplo 2 Fonte elaboração própria Note que mantivemos a bolinha aberta em 02 ou seja um quinto pois o resultado que obtivemos é que x deve ser MAIOR e não maior ou igual Pelo mesmo motivo na notação de intervalo utilizamos o colchete virado para fora Como esse intervalo vai até o infinito também mantivemos o colchete virado para fora no outro extremo afinal intervalos até o infinito sempre são considerados abertos AXLER S Précálculo uma preparação para o cálculo com manual de soluções para o estudante 2 ed Rio de Janeiro GENLTC 2016 Minha Biblioteca GERSTING J L Fundamentos matemáticos para a Ciência da Computação Matemática Discreta e suas aplicações 7 ed Rio de Janeiro GENLTC 2017 Minha Biblioteca GUIDORIZZI H L Um curso de Cálculo Vol 1 6 ed Rio de Janeiro GEN LTC 2018 Minha Biblioteca GUIDORIZZI H L Um Curso de Cálculo Vol 2 6 ed Rio de Janeiro GEN LTC 2018 Minha Biblioteca MORETTIN P A HAZZAN S BUSSAB W O Introdução ao Cálculo para Administração Economia e Contabilidade 2 ed São Paulo Saraiva 2018 Minha Biblioteca RODRIGUES A C D SILVA A R H S Cálculo diferencial e integral a várias variáveis Curitiba InterSaberes 2016 Biblioteca Virtual Pearson CONSIDERAÇÕES FINAIS Chegamos ao fim de nossos estudos sobre teoria dos conjuntos coleções de elementos únicos Aprendemos a representar conjuntos por meio da enumeração onde listamos todos os seus elementos entre chaves bem como pela regra de formação onde utilizamos símbolos para descrever uma condição para que um elemento pertença ao conjunto Em seguida estudamos como utilizar diagramas de Venn para compreender relações entre conjuntos Utilizamos os diagramas para nos auxiliar conforme aprendemos a realizar diferentes operações como a união a interseção e a diferença entre os conjuntos Por fim utilizamos esse básico de teoria de conjuntos para definir alguns conjuntos numéricos juntos para definir alguns conjuntos numéricos muito importantes na matemática conhecemos uma notação exata para representar conjuntos formados por números sequenciais conhecida por intervalo e por fim abordamos exemplos de problemas reais utilizando tudo o que foi aprendido Lembrese de fazer exercícios para praticar todo esse conteúdo ROGAWSKI J COLIN A Cálculo 3 ed Porto Alegre Bookman 2018 Minha Biblioteca SILVA P S D Cálculo Diferencial e Integral 1 ed Rio de Janeiro LTC 2017 Minha Biblioteca FAM ONLINE