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31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 146 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS RESISTÊNCIA DOS RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS MATERIAIS FUNDAMENTOS E FUNDAMENTOS E INTRODUÇÃO AOS INTRODUÇÃO AOS CONCEITOS DE TENSÃO CONCEITOS DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO E DEFORMAÇÃO Autor Me Cristian Padilha Fontoura Revisor Luciano Galdino INICIAR 31052023 0120 Eadbr Introduce Iniciamos este conteudo destacando que a resisténcia dos materiais um ramo das ciéncias mecdnicas que estuda relagoes entre cargas externas aplicadas a um corpo deformavel e a intensidade das forgas internas que atuam no interior do corpo Nesse contexto temos como intuito trazer uma abordagem dinamica e introdutoria sobre resisténcia dos materiais recapitulando conceitos de estatica tais como tipos de esforcgos forgas momentos e forgas distribufdas e equilibrio dos corpos rigidos incluindo reagées de apoio equagdes de equilibrio diagrama de corpo livre e cargas internas Além disso de acordo com a mecanica dos solidos serdo apresentados os conceitos de tensdo deformagdo e sua relevdncia dentro das aplicagdes de engenharia tais como a esquematizagdo de curvas de tensdodeformacao fase elastica e fase plastica lei de Hooke e apresentacdo no grafico de tensdo e deformacao httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 246 31052023 0120 Eadbr Col itos d 7 LONnCeILOS Ge r a SS 9 StatiCa Se A resisténcia dos materiais um tdpico de suma importancia para engenheiros e estudantes de engenharia pois diz respeito a formulagdo de um projeto que avalia 0 comportamento de estabilidade de um certo material Podese dizer que a grande area mecanica a qual estuda 0 estado de repouso ou movimento de corpos sujeitos a forcgas dividese em e mecdnica dos corpos rigidos estatica e dinamica e mecdanica dos corpos deformaveis teorias de elasticidade e plasticidade e mecdnica dos fluidos Para que haja um entendimento sobre resisténcia dos materiais alguns conceitos de estatica sdo necessarios como cargas externas de superficies ativas sejam elas concentradas ou distribuidas cargas externas de superficies reativas reagdes vinculares cargas internas normal cisalhamento momento de torcdo momento fletor diagrama de corpo livre DCL método das httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 346 31052023 0120 Eadbr secdes equilfbrio de fora e momentos calculo de reagdes de vinculo e calculo de cargas internas Nesse contexto forgas sao caracterizadas por sua intensidade diregdo e ponto de aplicagao Portanto as forgas externas podem ser forcas de superficie havendo contato ou forgas de campo nas quais ndo ha contato gravidade forgas elétrica e magnética E as forgas de superficies sdo as que nos interessam de acordo com contexto de resisténcia dos materiais desse modo elas podem Ser as seguintes e Forcas ativas podem ser concentradas ou distribuidas em area ou linha e Forgas reativas acontecem em reacoes vinculares ou de apoio As forgas internas por sua vez podem ser e Fora normal tragaocompressdo e Cisalhamento e Momento fletor e Momento torsor O momento de uma forga ou simplesmente momento é a tendéncia de rotagao de um corpo em torno de um ponto produzida por uma forga aplicada ao corpo O momento de uma forga Mo é calculada pelo produto da forca F pelo brago do momento d ou distancia perpendicular do ponto O a linha de acdo da forcga conforme Equacgdes 11 e 12 Para definir a direcdo e o sentido do momento usase a regra da mado direita conforme se vé na Figura 11 httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 446 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 546 As equações a seguir mostram como se dá a relação entre a força e o braço do momento M Fd equação escalar Equação 11 M r F equação vetorial Equação 12 M sempre age ao longo de um eixo perpendicular ao plano que contém F e d passando pelo ponto O A convenção de sinais seguindo a regra da mão direita é de que momentos em sentido antihorário são positivos e consequentemente momentos em sentido horário são negativos Cargas Externas Um corpo pode ser submetido a forças de superfície ou forças de corpo em que as forças de superfícies são causadas pelo contato direto de um corpo com a superfície de outro Se a área de contato for pequena considerando a área de superfície do corpo podese interpretar a força como uma força concentrada a qual é aplicada num único ponto Já as forças de campo Figura 11 Regra da mão direita Fonte Hibbeler 2011 p 122 O O O 31052023 0120 Eadbr ocorrem quando um corpo exerce forga sem contato fisico direto tais como a forga gravidade forga peso e a forca eletromagnéetica Reacoes de Apoi Quando vigas ou outros elementos estruturais estao apoiados ou suportados sejam em apoios fixos ou naqueles que ocasionam eventual movimento ocorrem as chamadas reacées de apoio Esse subcapitulo traz um apanhado dos conceitos de estatica que sdo fundamentais para a resisténcia dos materiais As forgas de superficies reativas sdo aS que surgem em apoios ou pontos de contato entre corpos que impedem deslocamentos e rotagdes em um determinado ponto Se 0 apoio impede a translagao em uma direcao entao uma forga naquela diregdo sera desenvolvida Se 0 apoio impede a rotagao um momento é aplicado sobre o elemento Nesse contexto existem diversos tipos de vinculos sendo eles e Vinculos de primeira ordem reacdo de vinculo equivalente a uma forga com linha de agdo conhecida Ha uma incognita apenas e Vinculos de segunda ordem reacdao de vinculo equivalente a uma forga com linha de agdo desconhecida a qual é representada por duas componentes Ha duas incdgnitas e Vinculos de terceira ordem reacdo de vinculo equivalente a duas componentes de forca e um momento Ha trés incognitas A Figura 12 a seguir mostra os tipos de vinculos e suas reagdes podendo estas apresentarem uma duas ou até trés incdgnitas httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 646 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 746 Os vínculos de uso comum são Roletes que impedem a translação na direção do contato perpendicular ou normal à superfície Pinos que impedem deslocamento em qualquer direção no plano que contém a força Engastes que impedem translação e rotação Equações de Equilíbrio O equilíbrio de um corpo rígido requer o equilíbrio de forças e o equilíbrio de momentos Nesse contexto o equilíbrio de forças evita a translação ou movimento do corpo ao longo de uma dada trajetória O somatório de forças deve ser nulo em todos os eixos F 0 F 0 F 0 F 0 O equilíbrio de momentos evita a rotação do corpo além disso também deve ter um somatório nulo para estar em equilíbrio Figura 12 Tipos de vínculos e forças envolvidas Fonte Adaptada de Hibbeler 2010 x y z 31052023 0120 Eadbr M0 YMz0 XMy0 YM 0 Diagrama de Corpo Livre O diagrama de corpo livre DCL 6 uma ilustragdo grafica usada para visualizar as forcas aplicadas momentos e reagdes resultantes em um corpo em determinadas condicdes O DCL esboca um corpo ou corpos conectados com todas as forgas momentos e reagdes que agem nOs corpos Sua funcdo é fornecer um esboco para que Oo engenheiro ou o estudante calcule as reagdes resultantes determinando carregamentos de componentes estruturais e forgas internas Sendo assim o DCL consiste em e uma versdo simplificada de desenho do corpo contendo dimensdes necessarias para calculos tais como comprimentos em uma viga e forgas externas ativas e reativas representadas como setas retas que apontam suas diregdes e sentidos e momentos conhecidos e desconhecidos ativos e reativos representados como setas curvadas que apontam a diregdao na qual agem no corpo e um sistema de coordenadas xy e foras e momentos conhecidos devem ser marcados com suas intensidades diregdes e sentidos Letras representam intensidade direcdo e sentido de forgas e momentos desconhecidos ABC etc O procedimento de analise se da da seguinte forma a Construgdo do DCL b Resolugdo das equagédes de equilibrio para forga e momento decompondo forgas com mais de uma componente Considerar negativas forcas ou reagdes que tenham sentido oposto ao assumido nas coordenadas do DCL Exemplo 1 A haste mostrada na Figura 13a esta conectada por um pino A e sua extremidade B tem o movimento limitado pelo apoio liso em B Calcule os httpsambienteacademicocombrmodurlview phpid793295 846 31052023 0120 Eadbr componentes horizontal e vertical da reagao no pino A lembrandose das convencgdes de sinais da regra da mado direita e daquelas adotadas no diagrama de corpo livre Ne 307 y gi ys reins A 075m 90Nm 075 m y 90Nm Pl A 60N L a b Figura 713 Diagrama de corpo livre Fonte Hibbeler 2011 p 37 Solugao Primeiramente devemos considerar que o diagrama de corpo livre é visto na Figura 13b Com o DCL devemse calcular as equacdes de equilibrio e por fim as reagdes JU Ss Ma 0 16090 075 Nz 0 Np 200N 5 Fz 0 Npsen30 A 0 A 100N httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 946 31052023 0120 Eadbr y Fy 0 Npcos30 Ay60 0 Ay 233 2051N As cargas internas atuam no interior de um corpo e o mantém unido quando submetido a cargas externas a F F a b anconse 7 Forca de M cisalhamento o F F F F c d Figura 14 Método das secées Fonte Hibbeler 20170 p 4 Para entendermos cada um dos pontos vejamos o detalhamento da Figura 14 a Corpo mantido em equilfbrio por quatro forcas externas considerando peso do corpo desprezivel b Distribuigdo de forga interna atuando na area exposta da secdo ou corte As flechas na secdo representam efeitos do material da parte superior do corpo httpsambienteacademicocombrmodurlview phpid793295 1046 31052023 0120 Eadbr c Forga resultante F rp e momento resultante M po no ponto O d Componentes de F R e M ro no ponto O A forga normal N atua perpendicularmente a segdo Ocorre sempre que forcas externas tendem a empurrar OU puxar duas partes do corpo A forga de cisalhamento ou forca cortante V atua no plano da secao transversal E criada quando forcas externas fazem com que duas partes de um corpo tendem a desilizar Definidos ou recordados os conceitos basicos de estdatica as cargas coplanares surgem como um meio de interpretar problemas de estatica de maneira resolutiva conforme o conteudo a seguir Cargas Coplanares Se o corpo estiver submetido a um sistema de forcas coplanares entao existem na segao apenas componentes de forga normal forca cortante e momento fletor A Figura 15a ilustra um sistema sujeito a forgas coplanares enquanto a Figura 156 mostra apenas as componentes existentes na segdo forga normal forga de cisalhamento e momento fletor y Forga de F segao F F cisalhamento Vv a M Momento fletor xX a Pal Forca F q F normal a F b Figura 15a Sistema de forcas coplanares Figura 156 Componentes existentes na secdo Fonte Hibbeler 2010 p 3 Fonte Hibbeler 2010 p 3 Como base nos conceitos de cargas internas e cargas coplanares o método das secgdes é definido como um procedimento de analise que se da httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 1146 31052023 0120 Eadbr conforme apresentado e Tragase um plano pelo corpo o qual o divide completamente em duas partes distintas e Para manter o equilibrio as forgas externas aplicadas em um dos lados do corte necessitam se compensadas por forgas internas e Tratandose uma estrutura como uma viga ou dispositivo mecanico a secdo sera perpendicular ao eixo longitudinal do elemento Sendo assim usase 0 método das secées para definir a resultante de cargas internas em um determinado ponto sobre a secao de um corpo Exemplo 2 Determinar as cargas internas resultantes que agem na secdo transversal em C da viga apresentada na Figura 16 300 Nm A B C 12 m 24 m a Figura 16 Sistema de forcas coplanares Fonte Hibbeler 2070 p 6 Solugao Primeiramente devemos considerar e Reacdes de apoio as reagdes em A podem ser desprezadas se o segmento CB for considerado e Diagrama de corpo livre do segmento CB httpsambienteacademicocombrmodurlview phpid793295 1246 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 1346 A carga distribuída total 300 Nm deve ser distribuída proporcionalmente para a seção CB ou seja w 24 m 300 Nm36 m w 200 Nm A resultante área do triângulo 200 Nm x 24 m da carga distribuída é igual à área sob a curva da carga e age no centroide 1324 m 08 m de C visto na Figura 17 Figura 17 Forças e momentos resultantes na viga Fonte Hibbeler 2010 p 6 A partir do DCL aplicamse então as equações de equilíbrio 0 Fx 0 Nc 0 Nc 0 Fy 233 2051N Ay 240N 0 Vc Vc 240N 31052023 0120 Eadbr 9 y Mc 0 Mc 240N0 8m 0 Mc 192Nm O sinal negativo do momento M indica que ele age em diregao oposta aquela vista no DCL Devese lembrar de que pela convengdo da regra da mado direita 0 momento tem sinal positivo quando esta no sentido anti horario Caroa alunoa agora que vocé tem uma nocao sobre momento forcas de reagao e apoios faga um exercicio muito simples mas que da um entendimento muito interessante sobre momento Tente abrir uma porta aplicando uma forga no seu centro Com um pouco mais de dificuldade a porta se abrira Agora novamente abra a porta da maneira convencional aplicando forga em seu lado livre A diferenga na forga requerida para empurrar a porta sera muito menor no segundo cenario e o fendmeno tem relagdo justamente com a forca relacionada ao momento que depende do braco de alavanca httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 1446 31052023 0120 Eadbr rw r I aha r ensaoe YeTormacaod OlitidGade 2 Se Agora abordaremos dois conceitos fundamentais na mecanica dos solidos tensdo e deformacdo No entanto é importante lembrar que na resisténcia dos materiais algumas hipdteses devem ser levadas em conta e 0 corpo analisado é e continuo sem descontinuidades estruturais ou defeitos e homogéneo propriedades idénticas em todos os pontos e isotropico propriedades nado mudam com a orientagdo e a cristalinidade De qualquer forma as equacgdes de resisténcia dos materiais descrevem comportamento de materiais reais uma vez que a heterogeneidade microscopica grdos fases segregacgdes muito menor em relacdo ao volume macroscdpico do corpo A analise de tensdes e deformacgées permite que o profissional possa fazer uma avaliacdo critica sobre um projeto e compreenda a performance de materiais em dadas situagdes Os valores maximos e minimos de tensdo sdo usados para dimensionamento e definigdo de critérios de falha httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 1546 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 1646 Tensão As tensões são expressas com a razão da intensidade ou seja uma força aplicada dividida pela área em repouso que pode ser representada pela seguinte equação onde T é tensão F é força e A é área T FA equação 13 As unidades mais comumente usadas dentro do Sistema Internacional de Unidades para tensão são em pascal Nm2 uma vez que força é normalmente dada em newton N e a área em unidades métricas seja em m² ou mm² Desse modo 1000 Pa 1 kPa 10 Pa 1 MPa 1 MNm² 1 Nmm² Nesse contexto a Tabela 11 pode nos guiar considerando a tensão tanto para unidades no SI quanto do sistema inglês Tabela 11 Unidades Fonte Elaborada pelo autor 6 Sistema Internacional SI Sistema Inglês Equivalente do SI Quantidade Unidade Símbolo Fórmula Força newton N kg ms² lb 4448 N Área metro quadrado m² in² 6452 mm² Tensão pascal Pa Nm² lbin² psi 6895 kPa 31052023 0120 Eadbr Além disso os prefixos que vém sempre a uma unidade e aumentam sua grandeza devem ser lembrados Quilo cujo simbolo é k e equivale a 10 e Mega cujo simbolo é M e equivale a 10 e Giga cujo simbolo é G e equivale a 10 A tensdo pode ser normal que é definida como a intensidade da forga agindo perpendicularmente a uma secdo area Matematicamente é representada pela letra grega o Sigma e a tensdao normal pode ser de tragdo ou de compressao Na Figura 18 a tensdo o z é proveniente de uma forca axial no eixo z que é representado pelo subscrito o qual indica a atuagdo da forga na area sombreada Z 2 zy y X Figura 18 Tensdo de trado agindo sobre uma area Fonte Hibbeler 2010 p 15 Sendo assim na tensao de tragao a forca normal F puxa o elemento de uma area A Nesse contexto a Figura 19 apresenta duas pessoas puxando uma corda de cada lado A corda esta sob tensdo de tragdo Nesse caso uma secao da corda estaria sendo puxada de sua posicao inicial Agora imagine que haja forga o suficiente para romper a corda com o aumento da forca aplicada a corda tende a ter a area da secdo reduzida até romperse por completo httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 1746 31052023 0120 Eadbr an ol wi mf re 7 Jaa y Vz bie ROS 4 YS RO RT PR as i A J 7 Figura 19 Corda sob trado Fonte Przemyslaw Koch 123RF Na tensdo e compressdo a forga normal F empurra o elemento de uma area A A Figura 110 ilustra a tensao de compressao em que uma pessoa pressiona uma mola A tendéncia que uma determinada segcdo ou um elemento finito seja empurrado no sistema ln g fe 3 a i oa 5 Ry a y 7 c Ey B Figura 110 Mola sob compressdo Fonte stocksnapper 123RF Por convencao de sinais a tensdo normal de tragao possui um sinal positivo enquanto que a tensdo normal compressiva tem um sinal negativo httpsambienteacademicocombrmodurlview phpid793295 1846 31052023 0120 Eadbr Ha ainda a tensao de cisalhamento que é definida como a forca que age de forma tangente a uma segdo ou area Matematicamente é definida pela letra grega tau t Na Figura 111 0 eixo z especifica a orientacdo da area enquanto os eixos x e y correspondem as retas que indicam a diregdo das tensdes de cisalhamento Z O7 X es y Figura 111 Tensdes de cisalhamento agindo em uma area Fonte Adaptada de Hibbeler 2010 p 15 O estado geral de tensdes de um ponto em um sdlido consiste em trés tensdes normais 0z Oy Oz e seis tensdes de cisalhamento TzY TyL T xZ TL TyZeT zy E representado por um elemento cubico que mostra as trés componentes atuantes em cada face do cubo conforme Figura 112 httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 1946 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 2046 Cada tensão ou componente de tensão representa uma força por unidade de área agindo em um pequeno cubo do material Por equilíbrio notase que tensões de cisalhamento com subscritos inversos são sempre iguais τ τ τ τ e τ τ uma vez que se fossem diferentes o bloco tenderia a rotacionar Sendo assim três tensões normais e três tensões de cisalhamento são necessárias para descrever um estado geral de tensão Tensão Normal Média Se uma barra é feita de um material homogêneo e isotrópico e é sujeito a uma série de cargas axiais externas que passam pelo centroide da seção transversal então uma distribuição uniforme de tensões normais agirá sobre a seção de corte A tensão normal média pode ser determinada como σ N A equação 14 Em que N é a carga axial interna na seção Portanto o procedimento de análise se dá da seguinte forma Carga interna Selecionar o elemento perpendicular ao eixo longitudinal no ponto em que a tensão normal é determinada Figura 112 Estado geral de tensões em um elemento Fonte Adaptada de Hibbeler 2010 y x yx xz zx yz zy 31052023 0120 Eadbr Usar diagrama de corpo livre caso necessario Usar equacdo de equilibrio de forca para obter a forcga axial interna N na segdo e Tensdo normal média Determinar A CalcularoNA Nesse contexto treligas pendurais e parafusos sdo exemplos classicos de elementos mecanicos ou estruturais compridos e finos que estao submetidos a cargas axiais e é e Tensao de Cisalhamento Media A tensdo de cisalhamento média pode ser determinada como Tmid Equacao 15 med A quacao Em que V é a forga de cisalhamento que age na secdo de corte e V equivale a metade da forga normal que atua em um plano httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 2146 31052023 0120 Eadbr Considere uma folha de papel sendo cortada com auxilio de uma tesoura Que tipo de tensdo o papel esta sofrendo E se estivermos falando de uma prensa industrial sobre uma pega Portanto no equilibrio de um corpo vamos ter algo como o exemplo ilustrado na Figura 113 Figura 113 Equilibrio das forcas de cisalhamento V com a forca normal F Fonte Adaptada de Hibbeler 2070 Sendo assim a formula apresentada é comumente utilizada para encontrar a tensdo de cisalhamento média em elementos de fixagdo como parafusos ou pecas usadas para acoplamentos httpsambienteacademicocombrmodurlview phpid793295 2246 31052023 0120 Eadbr Def a A deformagdo é descrita como a mudanga na forma e no tamanho de um corpo submetido a uma carga ou temperatura podendo ser visivel ou imperceptivel Sendo assim a deformacgdo ocorre de maneira nao uniforme no corpo ha mudanga na geometria de cada segmento de reta no interior do corpo Por exemplo se uma barra for puxada em uma das pontas por uma carga P havera um deslocamento p 7 que é relativo a sua posigao inicial Figura 114 Deformacdo de uma viga sob carga axial Fonte Groover 2013 p 65 Portanto a deformacdao de um corpo pode ser medida experimentalmente podendo ser relacionada com tens6es que agem no interior do corpo Sendo assim a deformagao normal é definida como o alongamento ou contrado de um segmento de reta por unidade de comprimento AAs 6 Eméed K D equacdo 16 Em que eméddeformagdo normal média As comprimento da curva apos a deformagao As comprimento da reta antes da deformagdo httpsambienteacademicocombrmodurlview phpid793295 2346 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 2446 praticar Vamos Praticar Uma bola de borracha cheia de ar tem um diâmetro de 6 polegadas Considerando que a pressão dentro dele é aumentada até que seu diâmetro chegue a 7 polegadas determine a deformação normal que ocorre na borracha Modelo de resposta ε 0167 polegadapolegada ε π δfπ δi πδi 31052023 0120 Eadbr a U y Propriedades wy Nw NY wh at Sond Tal 2canicas dos 1 Jy Jy 7 cw Materials Geen reer errr e reer eee eee Muitos materiais sdo sujeitos a forcas ou cargas em servico uma liga de titanio num componente aerondautico ou um ago em um componente automotivo sdo alguns exemplos Assim necessario conhecer e caracterizar oO material quanto as suas propriedades mecdnicas para saber o quanto uma deformagdo resultante pode ser excessiva a fim de evitar falha por fratura por exemplo As propriedades mecanicas dos materiais determinam seus comportamentos frente a tensdes mecanicas que incluem o mddulo elastico ou modulo de elasticidade e ainda mddulo de Young ductilidade tenacidade e dureza entre outras propriedades que medem resisténcia Desse modo ha trés tipos de tensdes aos quais os materiais podem ser sujeitos tragdo compressao e cisalhamento C Tensaodef httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 2546 31052023 0120 Eadbr Algumas ferramentas sao utilizadas para ilustrar as propriedades dos materiais e uma delas é a curva tensaodeformagao O ensaio de tragdo é o teste mais comum para estudar a relagdo tensdodeformagdo especialmente em metais Nesse teste uma forca puxa o material alongandoo e reduzindo seu diametro F tf L Pescoco 4 F F 1 2 3 4 5 Figura 115 Esquema cronolégico de um ensaio de tragdo em um corpode prova Fonte Groover 2013 p 53 Sendo assim 0 procedimento do ensaio de tracdo dase na seguinte ordem conforme visto na Figura 115 1 Corpodeprova sem carregamento 2 Alongamento uniforme e redugdo da area transversal 3 Carga maxima 4 Pescogamento 5 Fratura 6 Jungao das partes para medir o comprimento final Portanto a tensdo é definida como fora dividida pela area original httpsambienteacademicocombrmodurlview phpid793295 2646 31052023 0120 Eadbr Equagao 17 Ao Em que o tensao F forca aplicada e Ao area original do corpo de prova A deformagado de engenharia é definida como ga 1 AL Equacdo 18 lo lo q Na regido elastica da curva a relagao entre tensdo e deformacado é linear e segue a lei de Hooke oEE Equacao 19 Em que E modulo de elasticidade ou modulo de Young Nessa regiao 0 material retorna ao seu comprimento original quando a tensao é removida tendo uma deformagao nado permanente O modulo de elasticidade EF uma medida da rigidez inerente de um material e é diferente para cada material Conforme a tensdo aumenta um ultimo ponto na relacdao linear é finalmente alcancado o limite de elasticidade Até esse ponto a remogao da carga deixa o material em sua forma original Um pouco acima do limite de elasticidade 0 material comeca a escoarceder e esse ponto é chamado de limite de escoamento ou ponto de escoamento A deformagdo a partir desse ponto a deformagao plastica que é permanente Na regiao plastica da curva a lei de Hooke ndo pode ser aplicada pois conforme a carga aumentada o alongamento ocorre a uma taxa muito mais elevada fazendo com que o declive da curva mude drasticamente O alongamento acompanhado de uma redugdo uniforme na area transversal mantendo o volume constante A Figura 116 ilustra a curva tensaodeformagao httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 2746 31052023 0120 Eadbr Oo Limite de elastico 7 ou ponto de ruptura Deformagao plastica B Cc i D Ponto de Limite de A fratura proporcionalidade IN Comportamento plastico deformagao w permanente O 1 30 Figura 116 Curva tensGodeformacdo para um material ductil Fonte Adaptada de Barcelos 2015 A figura nos apresenta os pontoschave o trecho AO corresponde a faixa linear que pode ser descrita pela lei de Hooke Até o ponto A temos o chamado limite de proporcionalidade No segmento AB 0 comportamento ndo segue a lei de Hooke porém o regime ainda é elastico e toda deformagdo até o ponto B é reversivel B 0 limite elastico Acima de B entrase no regime plastico em que as deformacoes sao irreversiveis e permanentes Propriedades dos Materiais Os materiais possuem diversas propriedades que definem seu comportamento em aplicagdes seja frente a um carregamento no regime elastico no regime plastico ou em esforcgos ciclicos A seguir algumas das propriedades fundamentais serao brevemente discutidas Coeficiente de Poisson O coeficiente de Poisson v letra grega ni um parametro elastico e representa a razdo negativa de deformagées transversal e longitudinal Como se vé na Figura 117 tomando uma tensdo normal arbitraria no eixo z denominada o havera deformagées nas laterais eixos x e y e na diregao httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 2846 31052023 0120 Eadbr perpendicular a tensdo eixo z Se a carga é axial somente eixo z e o material é isotropico entdo as deformacoes laterais serdo iguais 4 i a Ox Al CH he Z e Al2 Le 20 Al2 2 Th x Figura 117 Esforco axial e deformacées envolvidas no coeficiente de Poisson Fonte Adaptada de Callister 2008 A equacdo a seguir mostra como o negativo da razdo entre as deformacgdoes transversais e longitudinais fornece o coeficiente de Poisson do material Eg Ey Yr e Equagao 111 Devese sempre usar 0 Sinal negativo uma vez que as deformacoes lateral e longitudinal possuem sinais opostos Dessa forma 0 coeficiente de Poisson é sempre positivo Os valores de coeficiente de Poisson geralmente se encontram entre 025 e 035 e sdo adimensionais Para um material isotrépico os mddulos de elasticidade e cisalhamento sdo relacionados de acordo com E 2G 1 v Equagao 112 Em que G 0 modulo de cisalhamento que pode ser estimado como 04E Ductilidade httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 2946 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 3046 Outra propriedade mecânica importante é a ductilidade que é uma medida do grau de deformação plástica que é sustentada até a fratura Um metal que experimenta pouca ou nenhuma deformação plástica até a fratura é chamado de frágil enquanto materiais que suportam considerável deformação plástica são chamados de dúcteis saiba mais Saiba mais O artigo a seguir traz um estudo de diagramas tensãodeformação para concretos com agregados de concreto ACESSAR A ductilidade pode ser expressa quantitativamente como porcentagem de alongamento ou porcentagem de redução de área Um metal que experimenta pouca ou nenhuma deformação plástica até a fratura é chamado de frágil enquanto materiais que suportam considerável deformação plástica são chamados de dúcteis A ductilidade pode ser expressa quantitativamente ou como porcentagem de alongamento ou porcentagem de redução de área A porcentagem de alongamento EL é a porcentagem de deformação plástica na fratura ou ainda Equação 113 Já a porcentagem de redução de área é EL 100 lf l0 l0 31052023 0120 Eadbr AjpA ARA x 100 Equacdo 114 E importante entender sobre ductilidade por dois motivos indica ao projetista O grau que uma estrutura deformara antes da fratura e especifica o grau de deformagdo permissivel durante as operacoes de fabricagdo Materiais frageis costumam ter a deformagdo de fratura em menos de 5 Tenacidade A tenacidade um termo mecdanico que pode ser aplicado em varios contextos Por exemplo a tenacidade a fratura uma propriedade do material de resistir a fratura quando ha uma trinca ou outro concentrador de tensdo A tenacidade também é definida como a habilidade de um material absorver energia e se deformar plasticamente antes da fratura Dureza Outra propriedade mecanica importante é a dureza que mede a resisténcia de um material a deformacgdo plastica localizada como uma pequena indentagdo ou risco Ensaios de dureza sdo frequentemente utilizados por serem simples e baratos além de ndo destrutivos e permitirem que outras propriedades possam ser estimadas a partir de dados de dureza tais como o limite de resisténcia a tragdo Um corpo de prova com comprimento inicial de 300 mm e didmetro de 12 mm é submetido a uma forga de 25 KN Quando a forca é elevada para 9 kN 0 corpo de httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 3146 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 3246 prova sofre um alongamento de 225 mm Determine o módulo de elasticidade para o material considerando que ele se mantém no regime elástico Modelo de resposta E F l0 Δl A0 113 04 m A0 π d2 4 π 122 4 m2 E 9 x 2 5 x 300 103 103 113 04 322 5 300 E 6 5 x 300 103 113 04 22 5 E 1 95 x 106 2543 4 E 766 7 Nm2 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 3346 Um material que é deformado por cargas externas armazena energia internamente Essa energia é relacionada diretamente com deformações sofridas pelo corpo sendo chamada de energia de deformação Um exemplo seria um corpo submetido a uma carga axial F Dizemos que o corpo está submetido a uma tensão uniaxial σ ou seja de um único eixo de seu volume conforme a Figura 118 Energia de Energia de Deformação Deformação 31052023 0120 Eadbr oO os Ay Ax Oo Figura 118 Elemento de volume do corpo de prova Fonte Adaptada de Hibbeler 2010 Essa tensao uniaxial desenvolve uma forca AF nas faces superior e inferior do elemento apos ele ter sofrido um deslocamento vertical Az AF oAA equagao 115 Como a area AA AxAy a forga fica AF 0 AxAy equacdo 116 Por definicdo trabalho W é determinado pelo produto entre a forca e o deslocamento na direcdo da forca Quando se é obtido o deslocamento o trabalho realizado pela forga sobre o elemento é igual ao valor médio da forca multiplicado pelo deslocamento da Sua diregao como mostrado a seguir W 45 eAz Equacdo 117 Esse trabalho externo é equivalente ao trabalho interno ou energia de deformagdo AU armazenada no elemento considerando que nenhuma energia é perdida sob a forma de calor Ou seja W AU 4 eAz Equacdo 118 httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 3446 31052023 0120 Eadbr Como visto anteriormente a forga AU Ax Ay ec Az Equacao 119 Sabendo que o volume do elemento entdo é AV AxAyAz a energia de deformagao por conseguinte é AU eAV Equacdo 120 A energia de deformacgado também pode ser apresentada por unidade de volume do material Nesse caso a densidade de energia de deformagdo é expressa da Seguinte forma AU d1 U Fy 29E Equacgao 121 O modulo de resiliéncia é a densidade de energia de deformagdo quando a tensao atinge o limite de proporcionalidade Em termos praticos ela representa a capacidade do material em absorver energia sem deformacgdoes permanentes A equacdo que rege o modulo de resiliéncia é 1 1 Oly Ur 59 lpElp 5 Equacao 122 No grafico do modulo de resiliéncia o resultado da equacgdo 122 é equivalente a area triangular sob a regiao elastica do diagrama tensdo deformagado httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 3546 31052023 0120 Eadbr o 1 U Ep Figura 119 Modulo de resiliéncia Fonte Adaptada de Hibbeler 2070 Modulo de tenacidade 0 mddulo de tenacidade indica a densidade de energia de deformagdo do material um pouco antes da ruptura oO a Figura 120 Modulo de tenacidade Fonte Adaptada de Hibbeler 2070 Essa propriedade é importante no projeto de elementos estruturais de modo que materiais com alto mddulo de tenacidade sofrerdo grande distorcdo quando sobrecarregados Ja materiais que tem baixo mddulo de tenacidade podem sofrer ruptura repentina ao serem sobrecarregados No grafico da Figura 120 o mddulo de resiliéncia representa a area inteira sob o diagrama tensdodeformagdo httpsambienteacademicocombrmodurlview phpid793295 3646 31052023 0120 Eadbr Vamos Praticar A cama elastica é um tecido ndo elastico firme e esticado preso por diversas molas a uma estrutura de ago Agora considere uma criancga pulando em uma cama elastica Baseado nos conceitos vistos no tdpico de energia de deformacdo 0 que podemos afirmar em relacdo ao salto de uma crianga em uma cama elastica a O méddulo de resilincia 6 o fator decisivo na escolha dos materiais utilizados nas molas na cama elastica pois elas devem suportar o peso da crianga O b Energia cinética é transferida do peso da crianga as molas que é armazenada nessas devido a deformagdo que sofrem As molas retornam a sua forma original e a energia armazenada nelas é entdo devolvida ao sistema fazendo com que a criana salte O c As molas da cama elastica possue um modulo de tenacidade muito baixo uma vez que deformam rapidamente a cada salto que a crianca da O d O tecido funciona como uma borracha elastica de dinheiro A borracha elastica de dinheiro deforma com uma tensdao aplicada e retorna aseue estado original quando a tensdo é removida Dessa forma 0 tecido da cama faz com que a crianga salte O e Ainércia do sistema faz com que ele mantenha a crianga saltando em ciclos httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 3746 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 3846 indicações Material Complementar LIVRO Resistência dos Materiais Autor Russell Hibbeler Editora Pearson Comentário recomendase uma leitura aprofundada dos assuntos no livrobase sobre resistência dos materiais Nele encontramse descrições menos sucintas dos temas tensão e deformação correlacionando exemplos teóricos com aplicações reais 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 3946 FILME Documentário do National Geographic Obras Incríveis Eurotúnel Ano 2004 Comentário episódio que relata uma das obras de engenharia mais ousadas do século 20 um túnel subaquático que liga a GrãBretanha à França TRAILER 31052023 0120 Eadbr Nesta unidade abordamos um conteudo introdutdério a resisténcia dos materiais destacando conceitos de revisdo de estatica e criando o link com os temas de tensao e deformagcao aqui definidos Além disso destacamos mais detalhes sobre tensdo e deformacdo que sdo topicos basicos dentro da mecanica e precisam ser levados adiante em topicos mais avangados especialmente quando se fala de projeto e analises de tensdo As propriedades mecanicas também dependem da base sobre tensdo e deformacdo e sdo necessarias para que a construcdo de dispositivos submetidos a esforcos seja feita de maneira admissivel para evitar falhas ee eee eee ee ee ee ee ee ee ee BARCELOS D Estudo de propriedades estruturais e Opticas de heteroestruturas formadas com materiais bidimensionais 2015 146 f Tese Doutorado em Fisica UFMG Belo Horizonte 2015 httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 4046 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 4146 CALLISTER W D Ciência e engenharia de materiais uma introdução Rio de Janeiro LTC 2008 GROOVER M P Groovers Principles of Modern Manufacturing materials processes and systems Indianápolis John Wiley Sons 2013 HIBBELER R C Resistência dos materiais São Paulo Pearson 2010 HIBBELER R C Estática mecânica para engenharia São Paulo Pearson 2011 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 4246 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 4346 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 4446 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 4546 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 4646
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31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 146 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS RESISTÊNCIA DOS RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS MATERIAIS FUNDAMENTOS E FUNDAMENTOS E INTRODUÇÃO AOS INTRODUÇÃO AOS CONCEITOS DE TENSÃO CONCEITOS DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO E DEFORMAÇÃO Autor Me Cristian Padilha Fontoura Revisor Luciano Galdino INICIAR 31052023 0120 Eadbr Introduce Iniciamos este conteudo destacando que a resisténcia dos materiais um ramo das ciéncias mecdnicas que estuda relagoes entre cargas externas aplicadas a um corpo deformavel e a intensidade das forgas internas que atuam no interior do corpo Nesse contexto temos como intuito trazer uma abordagem dinamica e introdutoria sobre resisténcia dos materiais recapitulando conceitos de estatica tais como tipos de esforcgos forgas momentos e forgas distribufdas e equilibrio dos corpos rigidos incluindo reagées de apoio equagdes de equilibrio diagrama de corpo livre e cargas internas Além disso de acordo com a mecanica dos solidos serdo apresentados os conceitos de tensdo deformagdo e sua relevdncia dentro das aplicagdes de engenharia tais como a esquematizagdo de curvas de tensdodeformacao fase elastica e fase plastica lei de Hooke e apresentacdo no grafico de tensdo e deformacao httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 246 31052023 0120 Eadbr Col itos d 7 LONnCeILOS Ge r a SS 9 StatiCa Se A resisténcia dos materiais um tdpico de suma importancia para engenheiros e estudantes de engenharia pois diz respeito a formulagdo de um projeto que avalia 0 comportamento de estabilidade de um certo material Podese dizer que a grande area mecanica a qual estuda 0 estado de repouso ou movimento de corpos sujeitos a forcgas dividese em e mecdnica dos corpos rigidos estatica e dinamica e mecdanica dos corpos deformaveis teorias de elasticidade e plasticidade e mecdnica dos fluidos Para que haja um entendimento sobre resisténcia dos materiais alguns conceitos de estatica sdo necessarios como cargas externas de superficies ativas sejam elas concentradas ou distribuidas cargas externas de superficies reativas reagdes vinculares cargas internas normal cisalhamento momento de torcdo momento fletor diagrama de corpo livre DCL método das httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 346 31052023 0120 Eadbr secdes equilfbrio de fora e momentos calculo de reagdes de vinculo e calculo de cargas internas Nesse contexto forgas sao caracterizadas por sua intensidade diregdo e ponto de aplicagao Portanto as forgas externas podem ser forcas de superficie havendo contato ou forgas de campo nas quais ndo ha contato gravidade forgas elétrica e magnética E as forgas de superficies sdo as que nos interessam de acordo com contexto de resisténcia dos materiais desse modo elas podem Ser as seguintes e Forcas ativas podem ser concentradas ou distribuidas em area ou linha e Forgas reativas acontecem em reacoes vinculares ou de apoio As forgas internas por sua vez podem ser e Fora normal tragaocompressdo e Cisalhamento e Momento fletor e Momento torsor O momento de uma forga ou simplesmente momento é a tendéncia de rotagao de um corpo em torno de um ponto produzida por uma forga aplicada ao corpo O momento de uma forga Mo é calculada pelo produto da forca F pelo brago do momento d ou distancia perpendicular do ponto O a linha de acdo da forcga conforme Equacgdes 11 e 12 Para definir a direcdo e o sentido do momento usase a regra da mado direita conforme se vé na Figura 11 httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 446 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 546 As equações a seguir mostram como se dá a relação entre a força e o braço do momento M Fd equação escalar Equação 11 M r F equação vetorial Equação 12 M sempre age ao longo de um eixo perpendicular ao plano que contém F e d passando pelo ponto O A convenção de sinais seguindo a regra da mão direita é de que momentos em sentido antihorário são positivos e consequentemente momentos em sentido horário são negativos Cargas Externas Um corpo pode ser submetido a forças de superfície ou forças de corpo em que as forças de superfícies são causadas pelo contato direto de um corpo com a superfície de outro Se a área de contato for pequena considerando a área de superfície do corpo podese interpretar a força como uma força concentrada a qual é aplicada num único ponto Já as forças de campo Figura 11 Regra da mão direita Fonte Hibbeler 2011 p 122 O O O 31052023 0120 Eadbr ocorrem quando um corpo exerce forga sem contato fisico direto tais como a forga gravidade forga peso e a forca eletromagnéetica Reacoes de Apoi Quando vigas ou outros elementos estruturais estao apoiados ou suportados sejam em apoios fixos ou naqueles que ocasionam eventual movimento ocorrem as chamadas reacées de apoio Esse subcapitulo traz um apanhado dos conceitos de estatica que sdo fundamentais para a resisténcia dos materiais As forgas de superficies reativas sdo aS que surgem em apoios ou pontos de contato entre corpos que impedem deslocamentos e rotagdes em um determinado ponto Se 0 apoio impede a translagao em uma direcao entao uma forga naquela diregdo sera desenvolvida Se 0 apoio impede a rotagao um momento é aplicado sobre o elemento Nesse contexto existem diversos tipos de vinculos sendo eles e Vinculos de primeira ordem reacdo de vinculo equivalente a uma forga com linha de agdo conhecida Ha uma incognita apenas e Vinculos de segunda ordem reacdao de vinculo equivalente a uma forga com linha de agdo desconhecida a qual é representada por duas componentes Ha duas incdgnitas e Vinculos de terceira ordem reacdo de vinculo equivalente a duas componentes de forca e um momento Ha trés incognitas A Figura 12 a seguir mostra os tipos de vinculos e suas reagdes podendo estas apresentarem uma duas ou até trés incdgnitas httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 646 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 746 Os vínculos de uso comum são Roletes que impedem a translação na direção do contato perpendicular ou normal à superfície Pinos que impedem deslocamento em qualquer direção no plano que contém a força Engastes que impedem translação e rotação Equações de Equilíbrio O equilíbrio de um corpo rígido requer o equilíbrio de forças e o equilíbrio de momentos Nesse contexto o equilíbrio de forças evita a translação ou movimento do corpo ao longo de uma dada trajetória O somatório de forças deve ser nulo em todos os eixos F 0 F 0 F 0 F 0 O equilíbrio de momentos evita a rotação do corpo além disso também deve ter um somatório nulo para estar em equilíbrio Figura 12 Tipos de vínculos e forças envolvidas Fonte Adaptada de Hibbeler 2010 x y z 31052023 0120 Eadbr M0 YMz0 XMy0 YM 0 Diagrama de Corpo Livre O diagrama de corpo livre DCL 6 uma ilustragdo grafica usada para visualizar as forcas aplicadas momentos e reagdes resultantes em um corpo em determinadas condicdes O DCL esboca um corpo ou corpos conectados com todas as forgas momentos e reagdes que agem nOs corpos Sua funcdo é fornecer um esboco para que Oo engenheiro ou o estudante calcule as reagdes resultantes determinando carregamentos de componentes estruturais e forgas internas Sendo assim o DCL consiste em e uma versdo simplificada de desenho do corpo contendo dimensdes necessarias para calculos tais como comprimentos em uma viga e forgas externas ativas e reativas representadas como setas retas que apontam suas diregdes e sentidos e momentos conhecidos e desconhecidos ativos e reativos representados como setas curvadas que apontam a diregdao na qual agem no corpo e um sistema de coordenadas xy e foras e momentos conhecidos devem ser marcados com suas intensidades diregdes e sentidos Letras representam intensidade direcdo e sentido de forgas e momentos desconhecidos ABC etc O procedimento de analise se da da seguinte forma a Construgdo do DCL b Resolugdo das equagédes de equilibrio para forga e momento decompondo forgas com mais de uma componente Considerar negativas forcas ou reagdes que tenham sentido oposto ao assumido nas coordenadas do DCL Exemplo 1 A haste mostrada na Figura 13a esta conectada por um pino A e sua extremidade B tem o movimento limitado pelo apoio liso em B Calcule os httpsambienteacademicocombrmodurlview phpid793295 846 31052023 0120 Eadbr componentes horizontal e vertical da reagao no pino A lembrandose das convencgdes de sinais da regra da mado direita e daquelas adotadas no diagrama de corpo livre Ne 307 y gi ys reins A 075m 90Nm 075 m y 90Nm Pl A 60N L a b Figura 713 Diagrama de corpo livre Fonte Hibbeler 2011 p 37 Solugao Primeiramente devemos considerar que o diagrama de corpo livre é visto na Figura 13b Com o DCL devemse calcular as equacdes de equilibrio e por fim as reagdes JU Ss Ma 0 16090 075 Nz 0 Np 200N 5 Fz 0 Npsen30 A 0 A 100N httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 946 31052023 0120 Eadbr y Fy 0 Npcos30 Ay60 0 Ay 233 2051N As cargas internas atuam no interior de um corpo e o mantém unido quando submetido a cargas externas a F F a b anconse 7 Forca de M cisalhamento o F F F F c d Figura 14 Método das secées Fonte Hibbeler 20170 p 4 Para entendermos cada um dos pontos vejamos o detalhamento da Figura 14 a Corpo mantido em equilfbrio por quatro forcas externas considerando peso do corpo desprezivel b Distribuigdo de forga interna atuando na area exposta da secdo ou corte As flechas na secdo representam efeitos do material da parte superior do corpo httpsambienteacademicocombrmodurlview phpid793295 1046 31052023 0120 Eadbr c Forga resultante F rp e momento resultante M po no ponto O d Componentes de F R e M ro no ponto O A forga normal N atua perpendicularmente a segdo Ocorre sempre que forcas externas tendem a empurrar OU puxar duas partes do corpo A forga de cisalhamento ou forca cortante V atua no plano da secao transversal E criada quando forcas externas fazem com que duas partes de um corpo tendem a desilizar Definidos ou recordados os conceitos basicos de estdatica as cargas coplanares surgem como um meio de interpretar problemas de estatica de maneira resolutiva conforme o conteudo a seguir Cargas Coplanares Se o corpo estiver submetido a um sistema de forcas coplanares entao existem na segao apenas componentes de forga normal forca cortante e momento fletor A Figura 15a ilustra um sistema sujeito a forgas coplanares enquanto a Figura 156 mostra apenas as componentes existentes na segdo forga normal forga de cisalhamento e momento fletor y Forga de F segao F F cisalhamento Vv a M Momento fletor xX a Pal Forca F q F normal a F b Figura 15a Sistema de forcas coplanares Figura 156 Componentes existentes na secdo Fonte Hibbeler 2010 p 3 Fonte Hibbeler 2010 p 3 Como base nos conceitos de cargas internas e cargas coplanares o método das secgdes é definido como um procedimento de analise que se da httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 1146 31052023 0120 Eadbr conforme apresentado e Tragase um plano pelo corpo o qual o divide completamente em duas partes distintas e Para manter o equilibrio as forgas externas aplicadas em um dos lados do corte necessitam se compensadas por forgas internas e Tratandose uma estrutura como uma viga ou dispositivo mecanico a secdo sera perpendicular ao eixo longitudinal do elemento Sendo assim usase 0 método das secées para definir a resultante de cargas internas em um determinado ponto sobre a secao de um corpo Exemplo 2 Determinar as cargas internas resultantes que agem na secdo transversal em C da viga apresentada na Figura 16 300 Nm A B C 12 m 24 m a Figura 16 Sistema de forcas coplanares Fonte Hibbeler 2070 p 6 Solugao Primeiramente devemos considerar e Reacdes de apoio as reagdes em A podem ser desprezadas se o segmento CB for considerado e Diagrama de corpo livre do segmento CB httpsambienteacademicocombrmodurlview phpid793295 1246 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 1346 A carga distribuída total 300 Nm deve ser distribuída proporcionalmente para a seção CB ou seja w 24 m 300 Nm36 m w 200 Nm A resultante área do triângulo 200 Nm x 24 m da carga distribuída é igual à área sob a curva da carga e age no centroide 1324 m 08 m de C visto na Figura 17 Figura 17 Forças e momentos resultantes na viga Fonte Hibbeler 2010 p 6 A partir do DCL aplicamse então as equações de equilíbrio 0 Fx 0 Nc 0 Nc 0 Fy 233 2051N Ay 240N 0 Vc Vc 240N 31052023 0120 Eadbr 9 y Mc 0 Mc 240N0 8m 0 Mc 192Nm O sinal negativo do momento M indica que ele age em diregao oposta aquela vista no DCL Devese lembrar de que pela convengdo da regra da mado direita 0 momento tem sinal positivo quando esta no sentido anti horario Caroa alunoa agora que vocé tem uma nocao sobre momento forcas de reagao e apoios faga um exercicio muito simples mas que da um entendimento muito interessante sobre momento Tente abrir uma porta aplicando uma forga no seu centro Com um pouco mais de dificuldade a porta se abrira Agora novamente abra a porta da maneira convencional aplicando forga em seu lado livre A diferenga na forga requerida para empurrar a porta sera muito menor no segundo cenario e o fendmeno tem relagdo justamente com a forca relacionada ao momento que depende do braco de alavanca httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 1446 31052023 0120 Eadbr rw r I aha r ensaoe YeTormacaod OlitidGade 2 Se Agora abordaremos dois conceitos fundamentais na mecanica dos solidos tensdo e deformacdo No entanto é importante lembrar que na resisténcia dos materiais algumas hipdteses devem ser levadas em conta e 0 corpo analisado é e continuo sem descontinuidades estruturais ou defeitos e homogéneo propriedades idénticas em todos os pontos e isotropico propriedades nado mudam com a orientagdo e a cristalinidade De qualquer forma as equacgdes de resisténcia dos materiais descrevem comportamento de materiais reais uma vez que a heterogeneidade microscopica grdos fases segregacgdes muito menor em relacdo ao volume macroscdpico do corpo A analise de tensdes e deformacgées permite que o profissional possa fazer uma avaliacdo critica sobre um projeto e compreenda a performance de materiais em dadas situagdes Os valores maximos e minimos de tensdo sdo usados para dimensionamento e definigdo de critérios de falha httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 1546 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 1646 Tensão As tensões são expressas com a razão da intensidade ou seja uma força aplicada dividida pela área em repouso que pode ser representada pela seguinte equação onde T é tensão F é força e A é área T FA equação 13 As unidades mais comumente usadas dentro do Sistema Internacional de Unidades para tensão são em pascal Nm2 uma vez que força é normalmente dada em newton N e a área em unidades métricas seja em m² ou mm² Desse modo 1000 Pa 1 kPa 10 Pa 1 MPa 1 MNm² 1 Nmm² Nesse contexto a Tabela 11 pode nos guiar considerando a tensão tanto para unidades no SI quanto do sistema inglês Tabela 11 Unidades Fonte Elaborada pelo autor 6 Sistema Internacional SI Sistema Inglês Equivalente do SI Quantidade Unidade Símbolo Fórmula Força newton N kg ms² lb 4448 N Área metro quadrado m² in² 6452 mm² Tensão pascal Pa Nm² lbin² psi 6895 kPa 31052023 0120 Eadbr Além disso os prefixos que vém sempre a uma unidade e aumentam sua grandeza devem ser lembrados Quilo cujo simbolo é k e equivale a 10 e Mega cujo simbolo é M e equivale a 10 e Giga cujo simbolo é G e equivale a 10 A tensdo pode ser normal que é definida como a intensidade da forga agindo perpendicularmente a uma secdo area Matematicamente é representada pela letra grega o Sigma e a tensdao normal pode ser de tragdo ou de compressao Na Figura 18 a tensdo o z é proveniente de uma forca axial no eixo z que é representado pelo subscrito o qual indica a atuagdo da forga na area sombreada Z 2 zy y X Figura 18 Tensdo de trado agindo sobre uma area Fonte Hibbeler 2010 p 15 Sendo assim na tensao de tragao a forca normal F puxa o elemento de uma area A Nesse contexto a Figura 19 apresenta duas pessoas puxando uma corda de cada lado A corda esta sob tensdo de tragdo Nesse caso uma secao da corda estaria sendo puxada de sua posicao inicial Agora imagine que haja forga o suficiente para romper a corda com o aumento da forca aplicada a corda tende a ter a area da secdo reduzida até romperse por completo httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 1746 31052023 0120 Eadbr an ol wi mf re 7 Jaa y Vz bie ROS 4 YS RO RT PR as i A J 7 Figura 19 Corda sob trado Fonte Przemyslaw Koch 123RF Na tensdo e compressdo a forga normal F empurra o elemento de uma area A A Figura 110 ilustra a tensao de compressao em que uma pessoa pressiona uma mola A tendéncia que uma determinada segcdo ou um elemento finito seja empurrado no sistema ln g fe 3 a i oa 5 Ry a y 7 c Ey B Figura 110 Mola sob compressdo Fonte stocksnapper 123RF Por convencao de sinais a tensdo normal de tragao possui um sinal positivo enquanto que a tensdo normal compressiva tem um sinal negativo httpsambienteacademicocombrmodurlview phpid793295 1846 31052023 0120 Eadbr Ha ainda a tensao de cisalhamento que é definida como a forca que age de forma tangente a uma segdo ou area Matematicamente é definida pela letra grega tau t Na Figura 111 0 eixo z especifica a orientacdo da area enquanto os eixos x e y correspondem as retas que indicam a diregdo das tensdes de cisalhamento Z O7 X es y Figura 111 Tensdes de cisalhamento agindo em uma area Fonte Adaptada de Hibbeler 2010 p 15 O estado geral de tensdes de um ponto em um sdlido consiste em trés tensdes normais 0z Oy Oz e seis tensdes de cisalhamento TzY TyL T xZ TL TyZeT zy E representado por um elemento cubico que mostra as trés componentes atuantes em cada face do cubo conforme Figura 112 httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 1946 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 2046 Cada tensão ou componente de tensão representa uma força por unidade de área agindo em um pequeno cubo do material Por equilíbrio notase que tensões de cisalhamento com subscritos inversos são sempre iguais τ τ τ τ e τ τ uma vez que se fossem diferentes o bloco tenderia a rotacionar Sendo assim três tensões normais e três tensões de cisalhamento são necessárias para descrever um estado geral de tensão Tensão Normal Média Se uma barra é feita de um material homogêneo e isotrópico e é sujeito a uma série de cargas axiais externas que passam pelo centroide da seção transversal então uma distribuição uniforme de tensões normais agirá sobre a seção de corte A tensão normal média pode ser determinada como σ N A equação 14 Em que N é a carga axial interna na seção Portanto o procedimento de análise se dá da seguinte forma Carga interna Selecionar o elemento perpendicular ao eixo longitudinal no ponto em que a tensão normal é determinada Figura 112 Estado geral de tensões em um elemento Fonte Adaptada de Hibbeler 2010 y x yx xz zx yz zy 31052023 0120 Eadbr Usar diagrama de corpo livre caso necessario Usar equacdo de equilibrio de forca para obter a forcga axial interna N na segdo e Tensdo normal média Determinar A CalcularoNA Nesse contexto treligas pendurais e parafusos sdo exemplos classicos de elementos mecanicos ou estruturais compridos e finos que estao submetidos a cargas axiais e é e Tensao de Cisalhamento Media A tensdo de cisalhamento média pode ser determinada como Tmid Equacao 15 med A quacao Em que V é a forga de cisalhamento que age na secdo de corte e V equivale a metade da forga normal que atua em um plano httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 2146 31052023 0120 Eadbr Considere uma folha de papel sendo cortada com auxilio de uma tesoura Que tipo de tensdo o papel esta sofrendo E se estivermos falando de uma prensa industrial sobre uma pega Portanto no equilibrio de um corpo vamos ter algo como o exemplo ilustrado na Figura 113 Figura 113 Equilibrio das forcas de cisalhamento V com a forca normal F Fonte Adaptada de Hibbeler 2070 Sendo assim a formula apresentada é comumente utilizada para encontrar a tensdo de cisalhamento média em elementos de fixagdo como parafusos ou pecas usadas para acoplamentos httpsambienteacademicocombrmodurlview phpid793295 2246 31052023 0120 Eadbr Def a A deformagdo é descrita como a mudanga na forma e no tamanho de um corpo submetido a uma carga ou temperatura podendo ser visivel ou imperceptivel Sendo assim a deformacgdo ocorre de maneira nao uniforme no corpo ha mudanga na geometria de cada segmento de reta no interior do corpo Por exemplo se uma barra for puxada em uma das pontas por uma carga P havera um deslocamento p 7 que é relativo a sua posigao inicial Figura 114 Deformacdo de uma viga sob carga axial Fonte Groover 2013 p 65 Portanto a deformacdao de um corpo pode ser medida experimentalmente podendo ser relacionada com tens6es que agem no interior do corpo Sendo assim a deformagao normal é definida como o alongamento ou contrado de um segmento de reta por unidade de comprimento AAs 6 Eméed K D equacdo 16 Em que eméddeformagdo normal média As comprimento da curva apos a deformagao As comprimento da reta antes da deformagdo httpsambienteacademicocombrmodurlview phpid793295 2346 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 2446 praticar Vamos Praticar Uma bola de borracha cheia de ar tem um diâmetro de 6 polegadas Considerando que a pressão dentro dele é aumentada até que seu diâmetro chegue a 7 polegadas determine a deformação normal que ocorre na borracha Modelo de resposta ε 0167 polegadapolegada ε π δfπ δi πδi 31052023 0120 Eadbr a U y Propriedades wy Nw NY wh at Sond Tal 2canicas dos 1 Jy Jy 7 cw Materials Geen reer errr e reer eee eee Muitos materiais sdo sujeitos a forcas ou cargas em servico uma liga de titanio num componente aerondautico ou um ago em um componente automotivo sdo alguns exemplos Assim necessario conhecer e caracterizar oO material quanto as suas propriedades mecdnicas para saber o quanto uma deformagdo resultante pode ser excessiva a fim de evitar falha por fratura por exemplo As propriedades mecanicas dos materiais determinam seus comportamentos frente a tensdes mecanicas que incluem o mddulo elastico ou modulo de elasticidade e ainda mddulo de Young ductilidade tenacidade e dureza entre outras propriedades que medem resisténcia Desse modo ha trés tipos de tensdes aos quais os materiais podem ser sujeitos tragdo compressao e cisalhamento C Tensaodef httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 2546 31052023 0120 Eadbr Algumas ferramentas sao utilizadas para ilustrar as propriedades dos materiais e uma delas é a curva tensaodeformagao O ensaio de tragdo é o teste mais comum para estudar a relagdo tensdodeformagdo especialmente em metais Nesse teste uma forca puxa o material alongandoo e reduzindo seu diametro F tf L Pescoco 4 F F 1 2 3 4 5 Figura 115 Esquema cronolégico de um ensaio de tragdo em um corpode prova Fonte Groover 2013 p 53 Sendo assim 0 procedimento do ensaio de tracdo dase na seguinte ordem conforme visto na Figura 115 1 Corpodeprova sem carregamento 2 Alongamento uniforme e redugdo da area transversal 3 Carga maxima 4 Pescogamento 5 Fratura 6 Jungao das partes para medir o comprimento final Portanto a tensdo é definida como fora dividida pela area original httpsambienteacademicocombrmodurlview phpid793295 2646 31052023 0120 Eadbr Equagao 17 Ao Em que o tensao F forca aplicada e Ao area original do corpo de prova A deformagado de engenharia é definida como ga 1 AL Equacdo 18 lo lo q Na regido elastica da curva a relagao entre tensdo e deformacado é linear e segue a lei de Hooke oEE Equacao 19 Em que E modulo de elasticidade ou modulo de Young Nessa regiao 0 material retorna ao seu comprimento original quando a tensao é removida tendo uma deformagao nado permanente O modulo de elasticidade EF uma medida da rigidez inerente de um material e é diferente para cada material Conforme a tensdo aumenta um ultimo ponto na relacdao linear é finalmente alcancado o limite de elasticidade Até esse ponto a remogao da carga deixa o material em sua forma original Um pouco acima do limite de elasticidade 0 material comeca a escoarceder e esse ponto é chamado de limite de escoamento ou ponto de escoamento A deformagdo a partir desse ponto a deformagao plastica que é permanente Na regiao plastica da curva a lei de Hooke ndo pode ser aplicada pois conforme a carga aumentada o alongamento ocorre a uma taxa muito mais elevada fazendo com que o declive da curva mude drasticamente O alongamento acompanhado de uma redugdo uniforme na area transversal mantendo o volume constante A Figura 116 ilustra a curva tensaodeformagao httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 2746 31052023 0120 Eadbr Oo Limite de elastico 7 ou ponto de ruptura Deformagao plastica B Cc i D Ponto de Limite de A fratura proporcionalidade IN Comportamento plastico deformagao w permanente O 1 30 Figura 116 Curva tensGodeformacdo para um material ductil Fonte Adaptada de Barcelos 2015 A figura nos apresenta os pontoschave o trecho AO corresponde a faixa linear que pode ser descrita pela lei de Hooke Até o ponto A temos o chamado limite de proporcionalidade No segmento AB 0 comportamento ndo segue a lei de Hooke porém o regime ainda é elastico e toda deformagdo até o ponto B é reversivel B 0 limite elastico Acima de B entrase no regime plastico em que as deformacoes sao irreversiveis e permanentes Propriedades dos Materiais Os materiais possuem diversas propriedades que definem seu comportamento em aplicagdes seja frente a um carregamento no regime elastico no regime plastico ou em esforcgos ciclicos A seguir algumas das propriedades fundamentais serao brevemente discutidas Coeficiente de Poisson O coeficiente de Poisson v letra grega ni um parametro elastico e representa a razdo negativa de deformagées transversal e longitudinal Como se vé na Figura 117 tomando uma tensdo normal arbitraria no eixo z denominada o havera deformagées nas laterais eixos x e y e na diregao httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 2846 31052023 0120 Eadbr perpendicular a tensdo eixo z Se a carga é axial somente eixo z e o material é isotropico entdo as deformacoes laterais serdo iguais 4 i a Ox Al CH he Z e Al2 Le 20 Al2 2 Th x Figura 117 Esforco axial e deformacées envolvidas no coeficiente de Poisson Fonte Adaptada de Callister 2008 A equacdo a seguir mostra como o negativo da razdo entre as deformacgdoes transversais e longitudinais fornece o coeficiente de Poisson do material Eg Ey Yr e Equagao 111 Devese sempre usar 0 Sinal negativo uma vez que as deformacoes lateral e longitudinal possuem sinais opostos Dessa forma 0 coeficiente de Poisson é sempre positivo Os valores de coeficiente de Poisson geralmente se encontram entre 025 e 035 e sdo adimensionais Para um material isotrépico os mddulos de elasticidade e cisalhamento sdo relacionados de acordo com E 2G 1 v Equagao 112 Em que G 0 modulo de cisalhamento que pode ser estimado como 04E Ductilidade httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 2946 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 3046 Outra propriedade mecânica importante é a ductilidade que é uma medida do grau de deformação plástica que é sustentada até a fratura Um metal que experimenta pouca ou nenhuma deformação plástica até a fratura é chamado de frágil enquanto materiais que suportam considerável deformação plástica são chamados de dúcteis saiba mais Saiba mais O artigo a seguir traz um estudo de diagramas tensãodeformação para concretos com agregados de concreto ACESSAR A ductilidade pode ser expressa quantitativamente como porcentagem de alongamento ou porcentagem de redução de área Um metal que experimenta pouca ou nenhuma deformação plástica até a fratura é chamado de frágil enquanto materiais que suportam considerável deformação plástica são chamados de dúcteis A ductilidade pode ser expressa quantitativamente ou como porcentagem de alongamento ou porcentagem de redução de área A porcentagem de alongamento EL é a porcentagem de deformação plástica na fratura ou ainda Equação 113 Já a porcentagem de redução de área é EL 100 lf l0 l0 31052023 0120 Eadbr AjpA ARA x 100 Equacdo 114 E importante entender sobre ductilidade por dois motivos indica ao projetista O grau que uma estrutura deformara antes da fratura e especifica o grau de deformagdo permissivel durante as operacoes de fabricagdo Materiais frageis costumam ter a deformagdo de fratura em menos de 5 Tenacidade A tenacidade um termo mecdanico que pode ser aplicado em varios contextos Por exemplo a tenacidade a fratura uma propriedade do material de resistir a fratura quando ha uma trinca ou outro concentrador de tensdo A tenacidade também é definida como a habilidade de um material absorver energia e se deformar plasticamente antes da fratura Dureza Outra propriedade mecanica importante é a dureza que mede a resisténcia de um material a deformacgdo plastica localizada como uma pequena indentagdo ou risco Ensaios de dureza sdo frequentemente utilizados por serem simples e baratos além de ndo destrutivos e permitirem que outras propriedades possam ser estimadas a partir de dados de dureza tais como o limite de resisténcia a tragdo Um corpo de prova com comprimento inicial de 300 mm e didmetro de 12 mm é submetido a uma forga de 25 KN Quando a forca é elevada para 9 kN 0 corpo de httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 3146 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 3246 prova sofre um alongamento de 225 mm Determine o módulo de elasticidade para o material considerando que ele se mantém no regime elástico Modelo de resposta E F l0 Δl A0 113 04 m A0 π d2 4 π 122 4 m2 E 9 x 2 5 x 300 103 103 113 04 322 5 300 E 6 5 x 300 103 113 04 22 5 E 1 95 x 106 2543 4 E 766 7 Nm2 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 3346 Um material que é deformado por cargas externas armazena energia internamente Essa energia é relacionada diretamente com deformações sofridas pelo corpo sendo chamada de energia de deformação Um exemplo seria um corpo submetido a uma carga axial F Dizemos que o corpo está submetido a uma tensão uniaxial σ ou seja de um único eixo de seu volume conforme a Figura 118 Energia de Energia de Deformação Deformação 31052023 0120 Eadbr oO os Ay Ax Oo Figura 118 Elemento de volume do corpo de prova Fonte Adaptada de Hibbeler 2010 Essa tensao uniaxial desenvolve uma forca AF nas faces superior e inferior do elemento apos ele ter sofrido um deslocamento vertical Az AF oAA equagao 115 Como a area AA AxAy a forga fica AF 0 AxAy equacdo 116 Por definicdo trabalho W é determinado pelo produto entre a forca e o deslocamento na direcdo da forca Quando se é obtido o deslocamento o trabalho realizado pela forga sobre o elemento é igual ao valor médio da forca multiplicado pelo deslocamento da Sua diregao como mostrado a seguir W 45 eAz Equacdo 117 Esse trabalho externo é equivalente ao trabalho interno ou energia de deformagdo AU armazenada no elemento considerando que nenhuma energia é perdida sob a forma de calor Ou seja W AU 4 eAz Equacdo 118 httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 3446 31052023 0120 Eadbr Como visto anteriormente a forga AU Ax Ay ec Az Equacao 119 Sabendo que o volume do elemento entdo é AV AxAyAz a energia de deformagao por conseguinte é AU eAV Equacdo 120 A energia de deformacgado também pode ser apresentada por unidade de volume do material Nesse caso a densidade de energia de deformagdo é expressa da Seguinte forma AU d1 U Fy 29E Equacgao 121 O modulo de resiliéncia é a densidade de energia de deformagdo quando a tensao atinge o limite de proporcionalidade Em termos praticos ela representa a capacidade do material em absorver energia sem deformacgdoes permanentes A equacdo que rege o modulo de resiliéncia é 1 1 Oly Ur 59 lpElp 5 Equacao 122 No grafico do modulo de resiliéncia o resultado da equacgdo 122 é equivalente a area triangular sob a regiao elastica do diagrama tensdo deformagado httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 3546 31052023 0120 Eadbr o 1 U Ep Figura 119 Modulo de resiliéncia Fonte Adaptada de Hibbeler 2070 Modulo de tenacidade 0 mddulo de tenacidade indica a densidade de energia de deformagdo do material um pouco antes da ruptura oO a Figura 120 Modulo de tenacidade Fonte Adaptada de Hibbeler 2070 Essa propriedade é importante no projeto de elementos estruturais de modo que materiais com alto mddulo de tenacidade sofrerdo grande distorcdo quando sobrecarregados Ja materiais que tem baixo mddulo de tenacidade podem sofrer ruptura repentina ao serem sobrecarregados No grafico da Figura 120 o mddulo de resiliéncia representa a area inteira sob o diagrama tensdodeformagdo httpsambienteacademicocombrmodurlview phpid793295 3646 31052023 0120 Eadbr Vamos Praticar A cama elastica é um tecido ndo elastico firme e esticado preso por diversas molas a uma estrutura de ago Agora considere uma criancga pulando em uma cama elastica Baseado nos conceitos vistos no tdpico de energia de deformacdo 0 que podemos afirmar em relacdo ao salto de uma crianga em uma cama elastica a O méddulo de resilincia 6 o fator decisivo na escolha dos materiais utilizados nas molas na cama elastica pois elas devem suportar o peso da crianga O b Energia cinética é transferida do peso da crianga as molas que é armazenada nessas devido a deformagdo que sofrem As molas retornam a sua forma original e a energia armazenada nelas é entdo devolvida ao sistema fazendo com que a criana salte O c As molas da cama elastica possue um modulo de tenacidade muito baixo uma vez que deformam rapidamente a cada salto que a crianca da O d O tecido funciona como uma borracha elastica de dinheiro A borracha elastica de dinheiro deforma com uma tensdao aplicada e retorna aseue estado original quando a tensdo é removida Dessa forma 0 tecido da cama faz com que a crianga salte O e Ainércia do sistema faz com que ele mantenha a crianga saltando em ciclos httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 3746 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 3846 indicações Material Complementar LIVRO Resistência dos Materiais Autor Russell Hibbeler Editora Pearson Comentário recomendase uma leitura aprofundada dos assuntos no livrobase sobre resistência dos materiais Nele encontramse descrições menos sucintas dos temas tensão e deformação correlacionando exemplos teóricos com aplicações reais 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 3946 FILME Documentário do National Geographic Obras Incríveis Eurotúnel Ano 2004 Comentário episódio que relata uma das obras de engenharia mais ousadas do século 20 um túnel subaquático que liga a GrãBretanha à França TRAILER 31052023 0120 Eadbr Nesta unidade abordamos um conteudo introdutdério a resisténcia dos materiais destacando conceitos de revisdo de estatica e criando o link com os temas de tensao e deformagcao aqui definidos Além disso destacamos mais detalhes sobre tensdo e deformacdo que sdo topicos basicos dentro da mecanica e precisam ser levados adiante em topicos mais avangados especialmente quando se fala de projeto e analises de tensdo As propriedades mecanicas também dependem da base sobre tensdo e deformacdo e sdo necessarias para que a construcdo de dispositivos submetidos a esforcos seja feita de maneira admissivel para evitar falhas ee eee eee ee ee ee ee ee ee ee BARCELOS D Estudo de propriedades estruturais e Opticas de heteroestruturas formadas com materiais bidimensionais 2015 146 f Tese Doutorado em Fisica UFMG Belo Horizonte 2015 httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 4046 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 4146 CALLISTER W D Ciência e engenharia de materiais uma introdução Rio de Janeiro LTC 2008 GROOVER M P Groovers Principles of Modern Manufacturing materials processes and systems Indianápolis John Wiley Sons 2013 HIBBELER R C Resistência dos materiais São Paulo Pearson 2010 HIBBELER R C Estática mecânica para engenharia São Paulo Pearson 2011 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 4246 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 4346 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 4446 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 4546 31052023 0120 Eadbr httpsambienteacademicocombrmodurlviewphpid793295 4646