Notas de Aula sobre Pontes e Grandes Estruturas

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA POLITÉCNICA Departamento de Estruturas e Fundações PEF2404 PONTES E GRANDES ESTRUTURAS NOTAS DE AULA Prof Dr Fernando Rebouças Stucchi São Paulo 2006 SUMARIO 1 INTRODUÇÃO 1 11 Evolução histórica das pontes 2 12 Concepção de pontes 4 13 Princípios básicos da concepção 4 2 SUPERESTRUTURA DE PONTES 11 21 Classificação das pontes conforme o tipo estrutural da superestrutura 11 211 Pontes em laje 11 212 Pontes em viga 12 2121 Ponte em duas vigas Tê biapoiadas 12 2122 Ponte em grelha 14 2123 Ponte celular 15 2124 Sistemas longitudinais usuais 16 213 Pontes em treliça pórtico arco ou suspensas por cabos uma abordagem comparativa 16 22 Classificação das pontes conforme o método construtivo 23 221 Pontes moldadas in loco sobre cimbramento fixo 23 222 Pontes moldadas in loco sobre cimbramento móvel 24 223 Consolos sucessivos moldados in loco 26 224 Consolos sucessivos prémoldados 28 225 Vigas prémoldadas 32 226 Lançamentos progressivos 33 227 Pontes estaiadas 37 228 Pontes pênseis 38 229 Associação de dois ou mais métodos construtivos 39 23 Classificação das pontes conforme os materiais utilizados nas suas construções 39 231 Pontes de concreto 39 232 Pontes de aço e mista aço concreto 40 233 Pontes de madeira 45 24 Estudo de alguns tipos estruturais comportamento estrutural e teorias de cálculo 46 241 Estruturas de superfície uma introdução 46 242 Lajes 47 2421 Comportamento estrutural das lajes 48 24211 Laje retangular simplesmente apoiada 48 24212 Outros casos a considerar 56 243 Pontes em vigas múltiplas grelhas ou celulares caixões 63 2431 Análise da torção 63 24311 Barras de seção circular maciça ou vazada 63 24312 Barras de seção retangular maciça 65 24313 Analogia de membrana Prandtl 1903 66 24314 Seções vazadas com dois eixos de simetria 67 24315 Torção não uniforme 68 24316 Centro de torção ou cisalhamento 74 2432 Estruturas em viga T única 76 2433 Pontes em duas vigas 77 2434 Pontes em 3 ou mais vigas Grelhas 77 24341 Processo de CourbonEngesser 77 24342 Processo de Fauchart 83 2435 Pontes celulares 90 24351 Seções unicelulares 90 24352 Seções multicelulares 95 1 1 INTRODUÇÃO O projeto de uma ponte ou grande estrutura é o produto de um processo criativo constituído de uma seqüência de alternativas onde cada uma procura melhorar a anterior até que se atinja uma solução suficientemente boa para ser construída Esse processo parte das condições locais onde a obra deve ser implantada topografia geologia condições climáticas tráfego etc e considerando os materiais e as técnicas construtivas disponíveis os tipos estruturais e as teorias conhecidas procura criar uma obra que atenda às funções previamente definidas com uma série de qualidades especificadas Assim é preciso que a obra além de atender às funções para que foi construída seja suficientemente segura econômica e estética Atenção não basta que a obra seja segura ela deve ser econômica e estética Entendese aqui por segura a obra que tem probabilidade aceitável de manter suas características ao longo da vida útil e que avisa quando precisa de manutenção Estética é a obra agradável de ser observada bem inserida no local de implantação Econômica é a solução que satisfaz as funções segurança e estética com um custo próximo do mínimo Na verdade esse processo criativo não termina no projeto mas estendese à execução e inclusive à manutenção Em função desse processo criativo e da importância estética do produto final as pontes e grandes estruturas são usualmente chamadas Obras de Arte Esse curso tem por objetivo discutir não apenas os tipos estruturais e as teorias de cálculo conhecidas mas também os materiais e as técnicas construtivas disponíveis De forma a dar uma idéia da evolução dos materiais e das técnicas aplicadas à construção das pontes vai a seguir um pequeno histórico 2 11 Evolucdao histérica das pontes I Préhistéria Estruturas de pedra rT FP Figura Estrutura de pedra utilizada na préhist6ria Estruturas de madeira Ficaram sem registro por problema de durabilidade II Idade antiga tot Jt Empuxo se equilibra DP Se LY eK sont exttremo contra YS SY encosta ou bloco Figura 2 Aquedutos romanos de pedra III Idade média 4h PA Vi XS VE Empuxo se equilibra Bloco A contra os blocos Trajetoria S das resultantes das cargas NX Bloco B Figura 3 Arcos goticos de pedra 3 IV 1758 Ponte de madeira sobre o Reno com 118m de vão Grubenmann Alemanha V 1779 Ponte em arco treliçado de ferro fundido liga ferro x carbono 2 a 5 sobre o Severn na Inglaterra Vão de 30m Material frágil VI 1819 Ponte Pênsil Menai no País de Gales com 175m de vão Ferro laminado liga ferro x carbono 02 3 Martelai mais maleável VII 1824 Cimento Portland J Aspdin Inglaterra VIII 1860 Iniciase a produção de aço na Inglaterra IX 1861 Primeiras idéias do Concreto Armado Monier Coignet na França X 1890 Pontes ferroviárias sobre o Firth of Forth na Escócia Treliça de aço liga de ferro x carbono 15 com 512m de vão Material dúctil mas mais sensível à corrosão XI 1900 Teoria do Concreto Armado Mörsch Alemanha XII 1928 Freyssinet consegue viabilizar o concreto protendido usando aço de alta resistência para contrabalancear a retração e deformação lenta do concreto XIII 1930 EBaumgart usa pela primeira vez o processo de construção por consolos sucessivos numa ponte em concreto armado sobre o rio Peixe Vão de 68m XIV 1945 Primeira obra em concreto protendido protensão posterior Luzancy França Vão de 55m Freyssinet XV 1952 Ponte sobre o canal Donzère França Vão de 81m Primeira obra estaiada moderna Para fixar idéias vale relacionar alguns dos maiores vãos atualmente existentes Viga de concreto 301m Stolmasundet Noruega 1998 Viga de aço 300m RioNiterói Brasil 1974 Treliça de aço 549m Quebec Canadá 1917 Arco de concreto 390m Krk Croácia 1980 Arco de aço 510m New River Gorge USA 1977 Estaiada de concreto 530m Skarnsund Noruega 1991 Estaiada de aço 404m Saint Nazaire França 1998 Estaiada de açoconcreto 890m Tatara Japão 1999 Pênsil de aço 1990m Akashikaikyo Japão1998 4 12 Concepcao de pontes O processo criativo ou de concepgao acima descrito exige do engenheiro boa informagao ao nivel dos materiais e técnicas construtivas bem como dos tipos estruturais e suas teorias Isso porém nao basta E preciso boa formagao isto é todos esses dados devem ser interiorizados compreendidos na sua esséncia e interligados entre si de forma a dar ao engenheiro capacidade critica e criativa Relativamente aos materiais e técnicas construtivas sAo essenciais suas exigéncias suas qualidades e limitagdes O que seria essencial nos tipos estruturais A forma geométrica nao é certamente o essencial mas sim o seu comportamento isto é a maneira como a estrutura trabalha Dois aspectos desse comportamento devem ser ressaltados Como aestrutura se deforma sob atuacgao de um determinado carregamento Como essas cargas caminham ao longo dela E fundamental visualizar o caminhamento das cargas desde a origem seu ponto de aplicacgao até o destino a fundagao Atencao qualquer parcela esquecida desse caminho pode representar 0 elo fraco Interiorizar esse comportamento corresponde a desenvolver o que usualmente se chama intuiao ou sensibilidade estrutural Como a concepgao estrutural é um processo criativo baseado nessa intuigao quanto mais desenvolvida e cultivada ela for maiores sao as chances de obter uma boa concepao uma verdadeira Obra de Arte 13 Principios basicos da concepcao De modo a facilitar 0 processo de concepgao podemse enunciar alguns principios Esses principios como o prdprio nome diz nao sao gerais mas tém um campo de validade suficientemente grande para justificalos 1 E fundamental visualizar 0 caminhamento das cargas desde o ponto de aplicacio até a fundacao 2 E conveniente projetar a fundacio sob as cargas a suportar preferencialmente fazendo coincidir o centro de gravidade das cargas com o da fundagao 5 de apoio RV V solo 8 2 1 V sapata 7 pilar 6 V2 12PG 1 consolo 5 2 de verificação imprescindível do carregamento de V 1 a 8 Pontos essenciais 1 2 V aparelho 4 dente Gerber 3 1 PG viga cobertura Figura 4 Exemplo de transporte de carga desde o ponto de aplicação até a fundação 3º Princípio do caminho mais curto O arranjo estrutural mais eficiente é aquele que fornece às cargas o caminho mais curto desde seus pontos de aplicação até a fundação Problema Solução 1 Solução 2 Melhor 0 0 Figura 5 Exemplos de solução estrutural Transição Torre central x carga x Tirante Caminho da Tirante N Torre N Estrutura ineficiente Só razões arquitetônicas podem justificar essa solução Figura 6 Edifício Suspenso 6 4 Principio da rigidez Nas estruturas isostaticas 0 caminhamento das cargas é definido pelas condigdes de equilibrio mas nas hiperestaticas ele sofre também influéncia da rigidez Entre dois caminhos alternativos a carga caminha predominantemente pelo mais rigido Estrutura Isostatica O equilibrio determina o caminhamento das cargas P a b Pb1 Pa1 Figura 7 Viga isostatica Estrutura Hiperestdatica Viga 2 Ly 2 BP2 Viga1 BP2 aP2 Figura 8 Duas vigas ortogonais Sendo 1 12 e bh I a viga é muito mais rigida transportando muito mais carga De fato compatibilidade em x equilibrio vertical aPl BP aP BP P flecha x Ply 48EI 48EI aB1 2 al 61 1 Assim l 3 a Bo B pois 1 1 7 ou 2 1 2 2 1 1 1 1 k k k e k k k β α no caso geral quando I1 I2 onde 3 48 l EI k é a rigidez de uma viga para carga no meio do vão A viga 1 por ser bem mais rígida transporta bem mais carga A proporção das cargas transportadas é a proporção das rigidezes 2 1 k β k α Se a viga 1 é 10x mais rígida transporta 10x mais carga Conclusão A rigidez define o caminhamento das cargas Nota Numa estrutura hiperestática de grau de hiperestaticidade n existem n1 caminhos possíveis para as cargas Verifique que isso vale para os 2 exemplos acima Exemplo Uma outra maneira de ver a hiperestaticidade Grau de hiperestaticidade n n1 caminhos alternativos para as cargas a Viga isostática gh0 Só existe 1 caminho para as cargas que é aquele definido pelo equilíbrio b Viga engastadaapoiada gh1 Devem existir 2 caminhos p 2 pl8 l 2 pl142 3 l p2 l 2 p1 Figura 9 Caminhos das cargas para a viga engastadaapoioada Como bal eng M M 2 8 2 2 2 p l pl 4 3 4 1 2 p p e p p 8 Para esses valores de p1 e p2 os efeitos de p em 1 são iguais à soma dos efeitos de p1 e p2 em 2 e 3 respectivamente 2 e 3 são os 2 caminhos alternativos 5º Princípio da distribuição O arranjo estrutural mais eficiente é aquele que distribui as cargas pelos seus elementos convenientemente evitando concentrações Exemplo Vãos bem proporcionados 031pl 101pl α l l M α l p 132 082 05 Figura 10 Diagrama de momentos permanentes para l 082l lα l 12 8 2 2 pl pl l l l 0 82 12 8 Boa proporção α082 088pl 002pl 04l l 04l M quase tração p Figura 11 Diagrama de momentos permanentes para l 04l Má proporção α04 9 6º A eficiência das estruturas depende também da forma como elas são solicitadas Considerando materiais adequados para cada caso podese dizer que a eficiência varia como indica o quadro abaixo Força Normal de Tração Força Normal de Compressão eficiência Flexão MV Torção P Tração Solução 1 Problema Materiais bons Aço Madeira Solução 2 Compressão P P Concreto Armado ou Protendido Concreto Madeira Materiais bons Aço P Materiais bons Aço Madeira P Solução 4 Torção Armado ou Protendido Concreto Madeira Materiais bons Aço Solução 3 Flexão Figura 12 Soluções estruturais considerando os materiais adequados Do ponto de vista estritamente estrutural as soluções perdem qualidade de 1 para 4 Isso se justifica pois Nas soluções 1 e 2 as barras trabalham à força normal usando toda a seção transversal das barras As tensões σ se distribuem uniformemente nas seções transversais A solução 2 tem a desvantagem de gerar efeitos de 2a ordem flambagem 10 Na solução 3 a flexão não consegue usar integralmente a seção transversal Sobretudo a região central fora mal utilizada Seções I ou caixão melhoram o desempenho Compressão Tração σ M Figura 13 Tensões de flexão ao longo da altura da seção Na solução 4 uma parcela importante do transporte da carga é feita por torção A seção transversal da barra é solicitada ao cisalhamento desuniformemente A região central é quase perdida Seções caixão melhoram o desempenho T τ Figura 14 Tensões de cisalhamento ao longo da seção 11 2 SUPERESTRUTURA DE PONTES 21 Classificação das pontes conforme o tipo estrutural da superestrutura 211 Pontes em laje Sistema longitudinal biapoiada ou contínua Sistema transversal maciça ou vazada nervurada Muro de ala Travessa de encontro Articulação PLANTA CORTE TRANSVERSAL Guarda roda Guarda corpo Estaca ELEVAÇÃO Laje Cortina Figura 15 Ponte em laje Comportamento estrutural bidimensional com boa capacidade de distribuição 12 Figura 16 Ponte em laje contínua M V Diagramas de esforços solicitantes no tabuleiro como um todo M kNm V kN m v Diagrama de distribuição dos esforços solicitantes ao longo da largura do tabuleiro m kNmm v kNm Assim m dy M máx b v dy V máx b 212 Pontes em viga Sistema longitudinal biapoiada ou contínua Sistema transversal 2 ou mais vigas tê ou celular 1 viga celular caixão 2121 Ponte em duas vigas Tê biapoiadas P viga ou longarina laje transversinas Figura 17 Ponte em duas vigas biapoiadas 13 Sistema Transversal T 0 P M1 T 0 V1 t 0 m M2 v 0 V2 Figura 18 Seção transversal e transporte de cargas 1 1 2 0 li carga viga 1 η Figura 19 Linha de influência de carga na viga 1 ηP 1ηP w b col b b 02 l w Figura 20 Largura colaborante da laje 14 Transporte de carga Transversal pelo conjunto lajetransversina simulado por uma barra transversal apoiada nas longarinas A linha de influéncia para reagao de apoio dessa barra eqiiivale aquela para carga na longarina correspondente Longitudinal pelas longarinas com a colaboragao da laje na flex4o Sistema longitudinal e Figura 21 Esquema estrutural da viga 1 Comportamento estrutural observar a figura e notar a pouca capacidade de distribuicao 2122 Ponte em grelha P 1 2 3 4 Reo 7 di carga viga 1 n0710 Figura 22 Secao transversal de ponte em grelha e linha de influéncia de carga na viga 1 Preferencialmente 4 vigas ou mais ligadas apenas pela laje ou com transversinas intermediarias Comportamento estrutural semelhante ao da ponte em 2 vigas com melhor capacidade de distribuigao Essa capacidade nao se modifica muito ao se retirarem as transversinas intermediarias Duas hipsteses justificam esse modelo 1 A rigidez a tor4o das viga é baixa 2 O trabalho longitudinal das lajes influi pouco na distribuicgdo transversal 15 As de apoio devem ser mantidas admitindose a sua eliminagao apenas em casos excepcionais e mesmo assim acompanhada de medidas especiais 2123 Ponte celular TPe P J 1 2 Ncte05 ii carga alma 1 Figura 23 Secao transversal e linha de influéncia de carga na alma ou na alma 2 P centrada provoca flexao igual das duas almas T Pe provoca torcao O acréscimo de flexao na alma 1 provocado pela excentricidade e é normalmente desprezivel Comportamento estrutural excelente Grande capacidade de distribuigaéo em funcao da alta rigidez a torao a torao por ser mais rigida que a flexao diferenciada das almas transporta praticamente todo o efeito de excentricidade Grande resisténcia a torao Grande resistncia a flex4o seja para momentos positivos seja para negativos pois tem 2 mesas superior e inferior 16 2124 Sistemas longitudinais usuais l Biapoiada Contínua Gerber 1 1l l2 Figura 24 Exemplos de sistemas longitudinais Procurar vãos bem proporcionados l1 085 l2 h variável de 065 a 10 l2 Ao adotar h variável prever hmáx nas seções críticas 213 Pontes em treliça pórtico arco ou suspensas por cabos uma abordagem comparativa Notese que nos exemplos a seguir todas as estruturas executam o mesmo serviço isto é transportam toda a carga distribuída para os 2 apoios disponíveis A diferença está na maneira de transportála cada estrutura da viga reta à ponte estaiada o faz à sua maneira Tabela 1 Análise comparativa entre diversos sistemas estruturais Viga reta p x l Mx pl2 pl8 2 pl2 Viga poligonal pl2 pl8 2 17 Viga curva Equilíbrio nó A 2 N pl senθ 2 V pl cosθ pl2 pl8 2 A θ Pórtico biarticulado H depende da rigidez relativa poste travessão pl2 H h m H Hh m mHhpl8 2 Arco biarticulado Desprezase a deformação por força normal Equilíbrio nó A senθ 2 pl N h pl tg pl H 8 2 2 θ pl2 A 2 H h Hhpl8 m θ m0 H hx parábola curva funicular de p Mx Hhx M e h parabólicos Treliça Equilíbrio nó A senθ 2 pl N tgθ pl T 2 Cabo Ponte pênsil arco de cabeça para baixo Hhpl8 pl2 2 H pl2 H H h r0 r0 el v0 m0 tpe 0 Cabo Ponte estaiada θ sen pe t tgθ c pe r0 el H pl2 v0 m0 r0 Hhpl8 2 H h pl2 H H t pe c θ Só transmite M e V N0 Nas pontes pênsil e estaiada os cabos foram admitidos inextensíveis indeformáveis 18 Ponte Pênsil e 0 h p l articulações pe20 H pl2 pe2pl2 h H A mpe80 2 vn0 pl2 pe2 pe pe2 pe 2pe2 tpe Figura 25 Esquema estrutural de uma ponte pênsil 0 8 4 2 2 Hh pe pl l M A 8 8 8 2 2 2 pl pe pl Hh Como e l pe pl 2 2 pe pl Logo h pl H 8 2 19 Ponte Estaiada e p l Só transmite M e V N0 articulações 2 mpe80 vn0 pl2 pe2pl2 H A pe20 H pl2 θ pe2 pe pe2 pe t c Figura 26 Esquema estrutural de uma ponte estaiada 0 8 4 2 2 Hh pe pl l M A θ sen pe t 8 8 8 2 2 2 pl pe pl Hh tgθ c pe Como e l pe pl 2 2 pe pl Logo h pl H 8 2 20 Pontes Suspensas por Cabos Pênseis ou Estaiadas Ponte Pênsil p parcela suportada parcela suportada pelo cabo pênsil pela viga de rigidez parcela suportada parcela suportada Figura 27 falta legenda Ponte Estaiada pelos cabos estaiados parcela suportada pela viga de rigidez parcela suportada 2 1 3 1 2 3 Figura 28 Falta legenda Observações No projeto de pontes em arco estaiadas ou pênseis será necessário considerar a deformação por força normal e os efeitos de 2a ordem que não foram considerados aqui Esses efeitos são especialmente importantes nas pontes penseis para cargas não uniformes por exemplo concentradas Nesses casos o cabo muda de forma até encontrar a forma funicular do carregamento É nessa nova forma que as equações de equilíbrio devem ser escritas 21 No entanto os exemplos feitos são muito bons para explicar o comportamento fundamental dessas obras Ele é sempre utilizado para um primeiro prédimensionamento parábola P funicular do carregamento observar o efeito do tramo central P P2 P2 Figura 29 Deformada do cabo na forma funicular Exemplos Figura 30 Pontes em pórtico 22 tabuleiro superior pilares arco c t tabuleiro inferior arco pendural trabalha também como tirante Figura 31 Pontes em arco tabuleiro superior treliça metálica tabuleiro inferior treliça metálica c t diagonal desejável se a treliça fosse de concreto armado Figura 32 Pontes em treliça 23 cabo de cabos tabuleiro de concreto ou aço estabilidade Figura 33 Ponte estaiada tabuleiro de aço cabos bloco de ancoragem Figura 34 Ponte pênsil Para mais exemplos ver Leonhardt 19792 22 Classificação das pontes conforme o método construtivo 221 Pontes moldadas in loco sobre cimbramento fixo Os tipos mais comuns são três cimbramento de madeira cimbramento metálico treliças ou vigas metálicas Figura 35 Tipos comuns de cimbramento fixo 2 Construções de concreto Princípios básicos da construção de pontes de concreto vol 6 24 Cuidados 1 Fundação e contraventamento do cimbramento 2 Contra flechas para compensar recalques ou deformações de vigas e treliças 3 Cuidados na concretagem Recalques e deformações devem ocorrer antes do final da concretagem Tratar juntas 4 Cuidados na desforma Desencunhar do centro para os apoios de cada vão e só após desmontar o cimbramento 5 Vistoriar antes durante e depois da concretagem 222 Pontes moldadas in loco sobre cimbramento móvel Figura 36 Execução vão por vão por meio da treliça de escoramento deslizante sobre rolos dispostos em vigas transversais Leonhardt 1979 Cuidados 1 Escolher a posição da junta 2 Influência do método construtivo no cálculo 3 Cuidado com as interferências que podem impedir o movimento das formas ou da treliça Transversinas 4 Valem os 5 cuidados do item 221 5 Tratamento da junta 25 g11 12 g 1 fase a a2 fase a4 fase 2 fase a 3 fase a parcial 1 2 3 4 Figura 37 Efeito do método construtivo sobre o diagrama M momentos fletores O diagrama M da quarta fase é em princípio diferente do da viga contínua Ao longo do tempo veremos futuramente ele tende ao da viga contínua por efeito da fluência Verificar portanto cada fase construtiva e a fase final para 2 situações 1ª Fase final definida pelo método construtivo Situação observada no final da construção 2ª Fase final com adaptações por fluência Situação que ocorre alguns anos após a inauguração 1 2 no apoio central da deformada Ponto anguloso 2 fase vão 2 g 12 11 g 1 fase vão 1 a a parcial g g M M M 1 l 1045 1 2 g 16 l 2 deformadas 1g g1 8 l1 g g1 2 16 l g1 2 1 l l I Total fim de construção II Total fim de vida útil Figura 38 Viga contínua com 2 vãos construída em 2 fases com junta no apoio central 26 O diagrama I momento fletor logo após o fim da construção depende muito do método construtivo enquanto que o diagrama II ao fim da vida útil depende bem menos do método construtivo pois devido ao efeito da fluência os esforços tendem aos de viga contínua Assim 8 g1l 2 M e 22 14 1 2 g l M Os carregamentos adicionais g2 acabamento e q acidental atuam na viga contínua de 2 vãos sem interferência do método construtivo 223 Consolos sucessivos moldados in loco Aplicado pela primeira vez em 1930 no Brasil para uma ponte de concreto armado rio do Peixe vão de 68m Muito usado para obras protendidas no mundo inteiro Figura 39 Balanço sucessivo com treliça de escoramento e fôrmas em balanço deslocável veículo de deslocamento de fôrma Leonhardt 1979 27 Figura 40 Estabilização do balanço em cima por meio de engastamento no pilar ou por meio de apoios provisórios embaixo através de ancoragem no paoio extremo do vão adjacente mais curto Cuidados 1 Contra Flecha As previsões de projeto devem ser aferidas ao longo da obra Cuidado o concreto é solicitado muito novo de modo que as deformações imediatas e sobretudo lentas são muito importantes 2 Tratar juntas Jatear com água o concreto verde e molhar abundantemente antes da concretagem seguinte 3 Influência do método construtivo no cálculo 33 100 67 60 100 5 4 3 0 2 1 1 2 60 5 3 4 6 cimbrado por exemplo Diagrama M consolos sucessivos cimbramento fixo viga contínua Figura 41 Efeito da adaptação por fluência sobre o diagrama M momentos fletores 28 224 Consolos sucessivos prémoldados Aplicado pela primeira vez em 1952 na França ponte ChoisyleRoi sobre o Sena Cuidados 1 Precisão na forma Uma aduela deve ser a forma da vizinha considerando as curvas em planta e em perfil bem como a superelevação 2 A junta nesse caso não é atravessada por armadura frouxa Prover dentes para transmitir cortante colar junta e usar protensão completa isto é σ sempre de compressão 3 Prever canteiro de pré moldados e transporte até o local 4 Valem os 3 cuidados do item 223 Figura 42 Pont amont du boulevard péripherique Figura 43 Pont de Pierre Bénite 29 Figura 44 Viaduct dOléron Figura 45 Poutre du Viaduct DOleron Cinematique 30 Figura 46 Preparação das Células Figura 47 Preparação das células horizontais por axonometria Regale Profil en Long Regale Devers 31 Figura 48 Regale dune cellule de prefabrication Modernamente se usam uma série de dentes Figura 49 Pont de Chelepikhinsky Coupe transversale dun voussoir 32 225 Vigas prémoldadas Figura 50 Treliça de lançamento Mathivat ano Alternativas Guindastes ou guinchos concreto moldado in loco placas prémoldadas viga pré moldada 120 060 020 006 Figura 51 Esquema moderno de seção transversal Cuidados 33 1 Limitação dos equipamentos Por exemplo Treliça Sicet mais comum no Brasil Pmáx 120 tf 42m de vão largura máxima 120m 2 Prever canteiro de prémoldados e transporte até o local 3 Precisão de forma 4 Influência do método construtivo no cálculo Por exemplo Quando a laje é concretada o peso próprio é suportado integralmente pelas vigas prémoldadas sem logicamente a contribuição da laje 5 Verificar a flexão lateral da viga causada por pequena inclinação da ordem de 5 impossível de se evitar no transporte Os pontos de pega devem estar acima do CG da viga instável CG estável CG Figura 52 Estabilidade em função do ponto de içamento Nota Se a viga for excessivamente esbelta pode ser necessário verificar a flambagem lateral melhor dizendo a flexão lateral com efeito de segunda ordem 6 Tratar as juntas como no item 223 especialmente aquelas entre concreto prémoldado viga ou placa e concreto moldado in loco complementação da laje 226 Lançamentos progressivos Aplicado pela primeira vez em 1962 na ponte sobre o rio Ager na Áustria A primeira aplicação no Brasil ocorreu em 1978 na passarela de Presidente Altino sobre os trilhos da Fepasa 34 Figura 53 O princípio do processo de execução por deslocamentos progressivos a fabricação do segmento com comprimento igual ao comprimento de avanço é feita atrás do encontro o avanço é feito progressivamente sem apoio de pilar a pilar Figura 54 Cortes e croqui do processo de execução por lançamentos progressivos 35 Cuidados 1 Precisão de nivelamento e de forma de modo a evitar que erros de geometria provoquem esforços adicionais inaceitáveis equivalentes aos gerados por recalques de apoio 2 Influência do método construtivo no cálculo Como a estrutura é autolançada inclusive com o bico em balanço é essencial verificar as fases construtivas Notese que ao longo do lançamento uma mesma seção passa ora pelo Mmáx ora pelo Mmín o que exige dela capacidade de suportálos 3 Tratar as juntas como no item 223 4 Cuidado com as interferências que podem impedir o movimento das formas Figura 55 Canteiro e Seção Típicos para as Obras sobre a Represa de 3 Irmãos 36 Figura 56 Etapas de concretagem da seção celular Figura 57 Berço de Deslizamento Telefone e Guia Lateral Figura 58 Seção longitudinal Figura 59 Emenda Provisória Junta de Dilatação Futura 37 227 Pontes estaiadas O método construtivo que melhor se adapta às obras estaiadas é o de consolos sucessivos pré moldados ou não e por isso é ele o método mais utilizado A cada nova aduela os estais correspondentes são protendidos de forma a suportar todo o seu peso Assim ao final da construção e sob as cargas permanentes o tabuleiro fica quase exclusivamente submetido à compressão 1 Construção do balanço lateral e do mastro 2 Construção do balanço principal até sua união com o lateral 3 Prolongamento do consolo do vão principal Figura 60 Ponte Brotonne fases de construção Mathivat 1979 38 228 Pontes pênseis As pontes pênseis são usualmente construídas a partir dos cabos que são usados para transporte de peças e equipamentos como um Teleférico O Tabuleiro construído em segmentos prémoldados é dependurado segmento por segmento nos cabos A continuidade do Tabuleiro só é promovida após o lançamento de todos os segmentos Figura 61 Estágios de construção de uma ponte pênsil Gimsing 1983 1ª etapa Construção dos mastros pilares principais e blocos de ancoragem 2ª etapa Instalação dos cabos principais 3ª etapa Inicio da instalação da vigas enrijecedora do centro para o meio do vão É quando o peso da viga é aplicado nos cabos principais ocasionando grandes deslocamentos e as juntas entre as seções da viga são por esta razão abertas para evitar momentos excessivos nas seções 4ª etapa Instalação das vigas enrijecedoras nos vão laterais para reduzir os deslocamentos horizontais no topo dos mastros 39 5ª etapa Colocação das peças de fechamento das vigas como os mastros 6ª etapa Fechamento de todas as juntas nas vigas enrijecedoras Atualmente o fechamento dessas juntas normalmente começa nas etapas 4 e 5 quando são ligadas as seções e coloadas na sua posição correta 229 Associação de dois ou mais métodos construtivos Um exemplo é a ponte em arco representada na figura 62 Figura 62 Construção de Ponte em Arco associando consolos sussecivos e estais Mathivat 1979 23 Classificação das pontes conforme os materiais utilizados nas suas construções 231 Pontes de concreto Concreto Armado fck 20 a 25 MPa Concreto Protendido fck 25 a 40 MPa Concreto Leve γ 15 tfm³ 25 tfm³ Concreto de Alta Resistência fck 40 a 100MPa Todos os métodos construtivos se aplicam bem às obras de concreto Ao nível dos tipos estruturais estão em desuso as treliças e raramente se usam as pontes pênseis com tabuleiros de concreto a não ser em passarelas 40 As grandes vantagens do concreto sao a durabilidade alguma manutengao é sempre necessaria a resisténcia ao fogo 4 compressao e a liberdade de escolha da forma As desvantagens sao a falta de resisténcia a traco a retragdo e a fluéncia As treligas estao comecando a ser novamente utilizadas com 0 advento do CAD concreto de alto desempenho 232 Pontes de aco e mista aco concreto Acocarbono A36 fyx250MPa Aco de baixa liga CORTEM SAC fyx350MPa COSARCOR Nota Para efeito de comparagao lembrar que AcoCA fy varia de 250 a 600 MPa Aco CP fx varia de 800 a 1700 MPa Todos os tipos estruturais se adaptam bem ao aco Ao nivel dos métodos construtivos s6 nao se aplicam aqueles que prevéem moldagem in loco sobre cimbramento fixo ou mével ou em consolos sucessivos E interessante observar na figura a seguir o método construtivo adotado para 0 vao central da ponte RioNiteroi As grandes vantagens do aco ficam por sua grande resisténcia 4 compressdo ou a tragao e por conseqiiéncia de sua leveza 0 peso proprio resulta relativamente pequeno As desvantagens se reduzem as dificuldades com durabilidade resisténcia ao fogo e aos problemas de estabilidade gerados pelas pequenas espessuras exigidas Exemplos Trelicas Arcos Vigas de alma cheias Grelhas Caixdes Pontes Pénseis e Estaiadas Vigas mista acoconcreto Grelhas 41 Caixões Exemplos Figura 63 Vãos principais centrais em estruturas metálicas e vãos adjacentes em concreto protendido Pfeil 1985 A seguir será mostrado a seqüência de montagem dos elementos metálicos préfabricados a Segmento central 3 lançado ao mar após ser deslizado sobre o pier 1 Segmentos laterais 4 fabricados sobre escoramento 2 b Segmento lateral 4 apoiado no segmento central flutuante 3 se dirige para o anel de içamneto 5 42 c Içamento dos segmentos laterais d Inicio de içamento do segmento central 3 e O segmento central 3 apoiado nas colunas de içamento 7 as quais foram montadas pela torre 6 Notamse os cabos de amarração reguláveis 8 43 f Segmento central na fase final de içamento g Montagem dos vãos laterais de 44 m 9 com auxílio de torres triangulares 10 Figura 64 Seqüência de montagem dos elementos metálicos préfabricados A figura 65 mostra seções transversais das estruturas metálicas e a figura 66 um exmplo de de ponte em grelha mista 44 Figura 65 Seções transversais das estruturas metálicas a seção nos trechos com mísulas seção nos trechos centrais Legenda 1 palca superior 7 placa de fundo 2 enrijecedores longitudinais 8 enrijecedor longitudional da placa de fundo 3 transversina 9 enrujecedor transversal da placa de fundo 4 chapa da alma das vigas 10 11 trilhos para carro de inspeção 5 enrijecedor longitudonal da alma 12 revestimento de asfaltepoxi 6 enrijecedor transversal da alma 45 Estrutura Metálica Figura 66 Ponte em grelha Conforme Usimec 233 Pontes de madeira Madeiras estruturais Aroeira do Sertão fwc 75 MPa Jatobá fwc 80 MPa Gonçalo Alves fwc 65 MPa Ipê Roxo fwc 70 MPa Em princípio todos os tipos estruturais discutidos se adaptam bem às pontes de madeira Quanto aos métodos construtivos vale a mesma observação feita às pontes de aço 46 A grande vantagem da madeira está na economia quando ela está disponível próximo da obra em qualidade e quantidade aceitáveis As desvantagens ficam por conta das dificuldades com durabilidade e resistência ao fogo bastante diminuídas com os tratamentos modernos da anisotropia e da grande variabilidade reduzidas com as técnicas modernas de construção com pedaços pequenos e classificados de madeira A anisotropia e desuniformidade se caracterizam principalmente por A diferença de resistência e rigidez da direção das fibras para a direção normal a elas resistência 5 vezes menor e rigidez 10 vezes menor na normal às fibras Variação das características do eixo para a periferia do tronco o cerne próximo do eixo é muito melhor que o albume próximo da casca Os defeitos da madeira nós fendas furos curvatura das fibras etc Exemplos Treliças Arcos Vigas Armadas Vigas Maciças Lamelas coladas Tábuas pregadas Pontes Pênseis e Estaiadas 24 Estudo de alguns tipos estruturais comportamento estrutural e teorias de cálculo 241 Estruturas de superfície uma introdução São estruturas que têm uma de suas dimensões bem menor que as outras duas Ela é chamada de espessura A superfície média é a definida a meia espessura perpendicularmente à ela As estruturas de superfície são classificadas em Placa Estrutura de superfície média plana carregada perpendicularmente à ela As placas de concreto armado são chamadas lajes Chapa Estruturas de superfície média plana carregada paralelamente a ela As chapas de concreto armado são chamadas vigas parede Casca Estruturas de superfície média curva 47 PLACA LAJE CASCA cúpula Figura 67 Exemplos de estruturas de superfície 242 Lajes As lajes são especialmente importantes porque aparecem em praticamente todas as pontes não apenas nas pontes em laje onde constituem toda a superestrutura mas também nas pontes em viga onde constituem o tabuleiro que interliga as vigas Super em laje 2 vigas Caixão laje do tabuleiro Figura 68 Exemplos de Aplicação de Lajes 48 2421 Comportamento estrutural das lajes Figura 69 Laje retangular solicitada por uma carga concentrada P Nas lajes retangulares em que 1 lylx 2 lx ly é importante o trabalho bidimensional A carga P pode caminhar para as vigas pilares e fundações através de dois caminhos a direção x e a y Para determinar as parcelas de P que caminham nas direções x e y Px e Py respectivamente é preciso resolver o problema hiperestático correspondente 24211 Laje retangular simplesmente apoiada A Teoria das Grelhas Considerese uma laje simplesmente apoiada nos 4 lados carregada uniformemente p Uma solução aproximada desse problema pode ser obtida considerando a laje como 2 conjuntos de faixas entrelaçadas de largura 1 m nas direções x e y Figura 70 Laje simplesmente apoiada nos 4 lados 49 espessura h h I Iy Ix 12 3 compatibilidade 384 5 384 5 equilíbrio p 4 4 EI pyly fy EI px lx fx py py p ly lx lx py p ly lx ly px ly px lx py 4 4 4 4 4 4 4 4 e 8 8 8 2 4 4 4 2 4 4 4 2 p ly ly lx lx p lx e m ly lx ly px lx m ym xm mx é o momento fletor no meio do vão da faixa central de direção x Ele é medido em KNmm ou tfmm ou kgfcmcm uma vez que a faixa tem 1 m de largura Uma faixa de largura b é solicitada pelo momento bmx Mx 1m b m M x x Figura 71 Momento fletor em uma faixa A título de exemplo considerese o caso lxlyl px py 12p mxm mym pl216 Nota1 Observando com atenção notase que a Teoria das Grelhas faz 2 hipóteses simplificadoras em relação à Resistência dos Materiais adicionais 1a Desprezouse a rigidez à torção das faixas Admitido Correto Figura 72 Flechas admitidas pela teoria das grelhas e flechas reais 50 Na realidade a continuidade da laje impõe às faixas torção significativa que foi desprezada 2a Admitiuse px e py uniformemente distribuídas o que não é verdadeiro px px Admitido Real fy fy px p py py Figura 73 Carregamento admitido e carregamento real Para que px seja uniforme é preciso que todas as faixas y ao longo do vão lx suportem a parcela py Isso não é na realidade possível Embora seja possível para as faixas y centrais não é para as laterais próximas dos apoios da faixa x Nessas faixas a flecha fy fica limitada pela linha elástica da faixa x Como fy fy py py No apoio fy0 e py0 ou pxp Nota2 A Teoria das Grelhas faz ainda uma terceira hipótese Ao cortar a laje em uma série de faixas ela corta a continuidade transversal às mesmas tratandoas como barras Embora para as barras o efeito do coeficiente de Poisson seja desprezível para as placas não é Considerese por exemplo uma dessas faixas uma faixa x y mx x 0 x 1m x y 1 2 3 4 1 2 4 3 ν0 my ν0 mx0 Figura 74 Efeito do coeficiente de Poisson na faixa x 51 Por definição de ν x y r r 1 1 ν ν pois εy νεx Como 1 Ix Iy I alterados por ν 2 Nas placas apoiadas nos 4 lados as arestas y impedem a curvatura adicional 1ryν Desenvolvese então my tal que x y r r 1 1 ν xo x y m m m ν ν xo yo y m m m ν ou yo xo x m m m ν Como para o concreto o coeficiente de Poisson é da ordem de 02 seu efeito é considerável Observação O coeficiente de Poisson também enrijece a placa de forma que 12 1 1 2 3 2 ν ν h I I Para levar em conta esses 3 efeitos é conveniente uma nova teoria Essa nova teoria é a Teoria das Placas B Teoria das Placas Em essência a Teoria da Placas corresponde à extensão da RM ao comportamento bidimensional da placa considerando a contribuição do coeficiente de Poisson Ela admite Material homogêneo isótropo e de comportamento linear Lei de Hooke h lxly Tensões normais à superfície média desprezíveis Retas perpendiculares à superfície média permanecem retas e normais à mesma após deformação equivale à hipótese de Navier Deslocamentos pequenos δ h A equação fundamental dessa teoria equação de Lagrange pode ser escrita como segue 52 Considerese o equilíbrio de um elemento de placa dx FORÇAS pdxdy vxdx vxdvxdy vxdvydx vxdy dy x y myxdmyxdx mxdmxdy dx y x dy mxdx mydmydx mydx myxdx mxydy mxydmxydy τxy yx τ MOMENTOS Figura 75 Equilíbrio de um elemento de placa τxy τyx mxy myx Seja wxy a função que descreve o deslocamento vertical de um ponto xy Por analogia com a RM temse Viga EI M dx d w 2 2 Placa 3 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ν ν ν D m x y w D m x w y w D m y w x w xy y x Rotação D1ν G It de Torção 53 Sendo que EI Eh D 12 1 2 3 ν Do equilíbrio do elemento de placa temse Lembrando que x x x dm m dx Momentos y 4 y xy x x x m m v Momentos x 5 x xy y y y m m v Forças verticais p6 v v y y x x também análogas à RM Substituindose 1 a 5 em 6 temse a equação de Lagrange D P y w y x w x w 4 4 2 2 4 4 4 2 flexão x torção flexão y A integração dessa equação diferencial é quase sempre impossível Por isso a solução se obtém desenvolvendo w e p em séries de Fourier No caso considerado de placa simplesmente apoiada nos quatro lados e uniformemente carregada temse Condições de contorno 0 0 m e w nos quatro lados π π π m 1 n 1 ly y sen n lx m x sen 2m n 16p p x y π π π m 1 n 1 2 ly n2 2 lx m2 n m ly sen n y lx m x sen 6D 16p w x y Como o uso dessa solução é pouco prática prepararamse tabelas em função da relação lylx e do coeficiente de Poisson Ver tabelas de Czerny 54 Relagao entre mx my e mxy Analogia com o estado duplo de tensOes Estado Duplo de Flex4o mxy jj A mt my mxy mx Yoa Xx PR Co I mx J m mt y Polo vy Figura 76 Analogia com 0 estado duplo de tensdes Estado Duplo de Flex4o m andlogo ao m andlogo a T m Mz Momentos fletores principais Momentos principais em uma placa simplesmente apoiada e uniformemente carregada hy my he i a ht 7 KIO PS AAZAK SXRD OX Ay aN oy Sn s cs hs vy 5 se Se 7 Z a Yo RSS LITA UL 4 g VoL SS Jy a x TO 4 ROKR So CLIT SOROS EET CLE Xe F LRM Res ee x ENT SNS NAS os Vp ee ty ae i x i F a Lil 1 Py 4 1 equivale a estado hidrostatico ry i a a 2 equivale a cisalhamento puro 7 ou4 7i TracGes por 4 wn momentos principais positivos x A Cy i momentos principais negativos ss rN LX a DN XK PRONG ADSL mudana de sinal Ll 2 55 Levantamento de canto momentos volventes torsores P Lo Canto Livre Jo 0 a SL JAE Ye AY Canto preso NX Apoio ficticio iS US mie m4 lyIx1 VN 00368p1x LY J AN x mxmy SO 5 SX T r m2 aS SN ye Ix S an gS N xs Evitam o levantamento do canto e provocam os J NK WV I rie LE Real T das Placas Desprezada a Torcao R resulta nula Figura 77 Valores dos momentos principais m e mz e dos momentos m e my na diagonal E reag6es de apoio 56 C Comparação dos resultados Teoria Torção ν lylx1 lylx2 αx αy αx αy TG não 0 160 160 850 340 TP1 não 0 131 131 710 4480 TP2 sim 0 272 272 1040 4030 TP3 sim 02 227 227 990 2350 TP4 sim 03 209 209 980 2160 TG Teoria das grelhas TP Teoria das placas mxm plx2αx mym ply2αy Notese a importância da torção ela transporta metade das cargas reduzindo os momentos fletores à metade no caso lylx 1 Notese também a importância do coeficiente de Poisson 24212 Outros casos a considerar A Lajes retangulares com outras condições de contorno Tudo o que foi desenvolvido para a laje apoiada nos 4 lados pode ser estendido a outras condições de contorno B Lajes sob Carga concentrada Embora tenha sido possível resolver através da Resistência dos Materiais vigas sob cargas concentradas não é possível fazêlo no caso de placas os esforços solicitantes locais seriam infinitos Para evitar esses esforços locais as cargas concentradas devem ser distribuídas em superfícies suficientemente grandes Na verdade qualquer que seja a estrutura inclusive nas vigas as cargas concentradas devem ser distribuídas em superfícies tais que os esforços locais sejam aceitáveis 57 Os esforços solicitantes em placas decorrentes de cargas concentradas dependem essencialmente da pequena superfície onde se distribuem referida à superfície média da placa Ver figura a seguir α P b h a bh ah 45º superfície média Figura 78 Área de distribuição das cargas concentradas A carga P distribuída na superfície a x b da face equivale à mesma carga distribuída em ahbh na superfície média Resolver a equação de Lagrange para esses casos é ainda mais difícil É conveniente substituir as séries de Fouries pelo Método das Diferenças Finitas ou mais modernamente o Métodos dos Elementos Finitos Para as aplicações práticas desenvolveramse superfícies de influência como as de Rüsch ou de Homberg ver cópia anexa No caso de lajes de pontes Rüsch transformou essas superfícies em tabelas muito práticas que serão discutidas nas aulas de projeto 58 Figura 79 Superfície de influência para momentos my no meio de uma placa retangular com três lados apoiados 59 Figura 80 Superfície de influência para momentos mx no centro do apoio de uma placa retangular com três lados apoiados 60 Figura 81 Superfície de influência para momentos mx no meio do vão 61 Figura 82 Superfícies de influência para momentos mx no aopio 62 Figura 83 Superfície de influência para momentos my no meio do vão 63 243 Pontes em vigas múltiplas grelhas ou celulares caixões 2431 Análise da torção 24311 Barras de seção circular maciça ou vazada A Hipóteses básicas 1 A seção transversal permanece plana e perpendicular ao eixo da barra após deformação 2 A deformação angular ou distorção γ varia linearmente do eixo para a periferia da barra ela é constante na superfície cilíndrica definida por r x T γmax δmax G R r γmax γ Figura 84 Deformação angular x γ δ x máx máx δ γ r R γ γ max 3 É válida a lei de Hooke τ Gγ 4 Os deslocamentos são pequenos B Cálculo das tensões tangenciais de torção Como γ varia linearmente segundo a lei de Hooke o mesmo vale para τ r R γ γ max 64 ττmáx r ττ r R Do equilíbrio p máx s máx s máx s R I r ds R R r ds rds T τ τ τ τ 2 2 Ip momento polar de inércia para seção circular maciça πR4 2 para seção circular vazada πRe4Ri4 2 τmáx Wt R T Ip T wt modulo de resistência à torção wt IpR C Deformação de torção x max γ δmax T dθ d x Figura 85 Deformação de torção dx máx máx δ γ R d θ δmáx R dx d θ γ máx como G max max τ γ p x G I T d d θ 65 θ d x G I p T x Caso T e Ip sejam constantes c1 x x θ GIp T θ f b l IpG Figura 86 Viga engastada a torção T fb θ 0 C1 0 G I l T l p θ 24312 Barras de seção retangular maciça Nesse caso as hipóteses 1 e 2 não são mais válidas As seções transversais empenam deixando de ser planas A distribuição das distorções γ não é linear τmax G τ τ τ1 2 τ r τ θ Figura 87 Tensões de cisalhamento Como as superfícies externas são descarregadas τ1 τ2 τ 0 66 Sem essas 2 hipóteses a RM não é capaz de resolver o problema de torção de seções retangulares Saint Venant 1853 usando a TE encontrou a solução desse problema no caso de seção qualquer sob torção uniforme T constante sem restrição ao empenamento Os resultados para seção retangular são τmax meio lado maior Twt 2 bc t w G tI T dx d α θ bc c bc3 tI β bc 10 15 20 30 60 100 α 0208 0231 0246 0267 0299 0312 13 β 0141 0196 0229 0263 0299 0312 13 24313 Analogia de membrana Prandtl 1903 A analogia formal das equações que regem a torção uniforme e a deformação de uma membrana sob pressão uniforme permite dizer que 1 A tensão de cisalhamento em P é proporcional à inclinação na membrana em P 2 A direção de τ é definida pela normal à maior declive da membrana em P 3 O momento de torção resistido pela peça é proporcional ao volume sob a membrana Seção elíptica Seção circular vazada Figura 88 Analogia de membrana 67 pτ mτ V1 mτ 2 V mτ V3 Seção retangular maciça Seção delgada fechada aberta Seção delgada Figura 89 Comparação dos momentos fletores resistidos por três tipos de seção V1 V2 V3 Τ1 Τ2 Τ3 24314 Seções vazadas com dois eixos de simetria G dx s F1 2 F 3 F 4 F τ1 τ2 τ2 1τ t1 2t Figura 90 Seção vazada com dois eixos de simetria submetidas a torção Fazendo o equilíbrio F1 F3 F4 F2 q t t t dx dx t 1 1 2 2 1 1 2 2 τ τ τ τ q fluxo de torção A q q b ds q ds b T A 2 2 3 2 1 A área limitada pela linha média da seção G b qds ds r A Figura 91 Área limitada pela linha média 68 Conclus6ées O fluxo de torcao q Tt constante ao longo de todo 0 contorno da seao Taq2A r f t 2At Da Teoria da Elasticidade ou pelos Teoremas de Energia n tA ao 7 ds dx Gl t Essas express6es correspondem a chamada Torgao de Bredt aplicavel a secdes vazadas Elas admitem as seguintes hip6teses 1 As tens6es T nao variam ao longo da espessura da parede da seao 2 Lei de Hooke 3 Deslocamento pequenos 4 Torcao uniforme isto é T constante ao longo da barra e empenamento livre Em fungao da hipotese 1 elas sao uma boa solucao para perfis delgados mas nao para perfis de parede espessa 24315 Torcao nao uniforme O que foi exposto nos itens 24312 a 24314 s6 vale como foi dito se a torao for uniforme isto é se T for constante ao longo da barra e o empenamento livre Caso isso nao ocorra a torgao é dita nao uniforme e essas solugdes nao sao em principio validas Na verdade para secdes macigas ou vazadas elas ainda podem se aplicadas sem que se fagam erros importantes Ja para as segdes abertas sobretudo as de parede fina isso nao pode ser dito é importante considerar a torao nao uniforme Para visualizar melhor esse problema considerese o perfil I da figura 92 solicitado a torao I oe ee SS v Figura 92 Perfil I solicitado a torao 69 A seção I facilita a visualização dos 2 sistemas estruturais capazes de transportar o momento T da extremidade livre à extremidade engastada O primeiro desses sistemas corresponde à Torção Uniforme ou de SaintVernanr Nele a torção desenvolve na seção transversal apenas tensões tangenciais As tensões normais são nulas uma vez que se admitem as seções livres para se empenarem O segundo desses sistemas corresponde à flexão diferenciada das mesas Nele a torção desenvolve tensões normais e tangenciais na seção transversal Para isso é essencial que existam restrições ao empenamento das seções Entendese aqui por empenamento os deslocamentos que tendem a tornar a seção transversal não plana após o carregamento É interessante notar que é possível definir condições particulares onde só um desses sistemas trabalha Se eliminarmos por exemplo os engastamentos da extremidade esquerda o segundo sistema perde completamente a rigidez fica hipostático de modo que toda a torção é suportada pelo primeiro Temse um problema de torção Uniforme Analogamente é possível eliminar a rigidez do primeiro sistema desligando as mesas das almas Nessas circunstâncias nenhuma das partes da seção gira e portanto nenhuma Torção de SaintVenant é gerada de modo que toda torção é suportada por flexão diferenciada das mesas Diz se que se tem um problema de FlexoTorção Num problema real onde nenhuma das 2 condições extremas acima ocorre temse um problema de Torção Mista Nesse problema o momento total T se subdividirá pelos 2 sistemas segundo as suas rigidezes O mais rígido transportará uma maior parcela de T 70 T T u u u u u u u u θu u u u u b Planta da deformada da mesa superior a Perspectiva da deformada Figura 93 Torção não uniforme do perfil I eliminando o engastamento b Planta da deformada da mesa superior T θw a Perspectiva da deformada Figura 94 FlexoTorção do perfil I eliminada a alma 71 T T u τtu Tensões na torção uniforme Tensões na flexotorção tw τ T T w cte ao longo da espessura e nulo na alma Figura 95 Tensões tangenciais τ τtu tw σσσσtu nulo σσσσtw cte ao longo da espessura e nulo na alma Figura 96 tensões normais A solução desses problemas hiperestático exige que se escrevam 4 equações Equações de equilíbrio T Tu Tw qualquer x 1 Numa seção qualquer Sx o momento de torção T é obtido pela soma dos momentos de torção uniforme Tu e de flexotorção Tw Equações de compatibilidade w u θ θ θ qualquer x 2 Numa seção Sx a rotação θ em torno de x é a mesma para os 2 sistemas estruturais Equações derivadas das constitutivas 72 t u u u G I T f θ w w w w E I T f θ Essas equações formam um sistema determinado de 4 equações a 4 incógnitas que são Tu Tw θu e θw Iw é o momento de inércia à flexotorção cuja expressão para perfil I é dada a seguir A solução completa desse problema é difícil mas é fácil obter uma solução aproximada que permite ter uma idéia de qual dos sistemas é mais importante facilitando a visualização do problema físico Essa solução aproximada corresponde a escrever a equação de compatibilidade apenas na extremidade livre Assim t u u G I T l l θ 2 h l w w δ θ m w w EI H l 3 3 δ onde 12 3 m m m w w t b I h T H m w t u h EI T l G I l T 2 3 3 2 conforme SaintVenant 3 3 i i t b t I Por definição o momento de inércia à flexotorção de um perfil I com dois eixos de simetria é dado por 2 h2 I I m w logo 2 3 l EI G I T T w t w u α Quando α 10 a torção uniforme faz praticamente todo o serviço A flexotorção pode ser desprezada É o caso das seções celulares Se α 01 a flexotorção transporta praticamente toda a carga A torção uniforme pode ser desprezada É o caso dos perfis delgados abertos Se 01 α 10 é preciso considerar a torção mista com a solução correta 73 NOTA essa visão de flexotorção permite justificar com clareza os critérios usuais para cálculo das pontes em duas vigas Considerese inicialmente o mesmo perfil I em balanço mas recebendo agora cargas laterais Desprezese a torção uniforme h P e P P2 P2 Peh Peh Pe Rd Re Figura 97 Seção H submetida à carga excêntrica 2 1 h e P Re 2 1 h e P Rd Notese que esses dois valores correspondem exatamente às reações de apoio de uma viga isostática de vão h recebendo a carga P excêntrica de e e P h l R i e l R i d Figura 98 Linha de influência de reação nas almas esquerda e direira h e P e P h h P R e e 2 1 2 1 η η h e 2 P 1 e P 2 h h 1 d P Rd Essa conclusão permite dizer que calcular pontes em duas vigas considerando para a linha de influência de distribuição transversal a reta 01 corresponde apenas a desprezar a torção uniforme coisa que é em geral aceitável podendo inclusive ser verificada através do coeficiente α 74 cuidado que a expressão de α varia conforme as condições de contorno da barra em balanço biapoiada contínua etc b a a 1 0 ba ab a 1 Figura 99 Linha de influência transversal Pi l P 1 Figura 100 Carga sobre a viga esquerda Pi viga esquerda P Pi viga direita 0 Mmax viga esquerda Pl4 mov mov Figura 101 Diagrama σ meio do vão 24316 Centro de torção ou cisalhamento 75 y NO Yo G h G x Vz P a 7 p VMS y f J teds T el f A 2 fy AK 5 IP 1p xa ve Figura 102 Exemplo do perfil C Do equilibrio do elemento h f f 0 v Pf0 Max Preto fin foa 0 fh Mex Prero fin foc 0 Ilc fy Assim as tensdes tL decorrentes da flexao simples ou seja a propria flexao simples ocorre quando P é aplicada em C Centro de cisalhamento e nao em G Como conseqiiéncia os momentos de torgao devem ser calculados em relagao a C e nao a G Caso P esteja excéntrica de d em relagdéo a C as tensdes tangenciais resultarao da 76 composição τVz τT T Pd Por isso C também é chamado Centro de Torção Assim y I4 be 2h2 y P I4 2 h 2 beP f2 f1h c I4 y 2h beP be Ie y 2 hebP 2 1 Ie y P MSy 2 1 A e ds 1 f P 2 f τ x b x e G C C G C G G C 2 eixos de simetria Figura 103 Centro de torção de algumas seções 2432 Estruturas em viga T única Estas estruturas são muito comuns nas passarelas de pedestres a a P e η flexão e 1 cte torção η P Pe Figura 104 Viga em seção T 77 A carga P centrada é transportada aos apoios por flexão O momento Pe o é por torção uniforme A flexotorção nesse caso é usualmente desprezível 2433 Pontes em duas vigas Já foram estudadas anteriormente 2434 Pontes em 3 ou mais vigas Grelhas Existem muitas soluções para o problema das grelhas de ponte A mais simples é aquela devida a CourbonEngesser que será apresentada a seguir Outras soluções devem ser lembradas como por exemplo aquelas devidas a Leonhardt GuyonMassonetBares ao prof Ferraz a Fauchart etc Dentre elas será apresentada apenas a última que é ao mesmo tempo simples e precisa As pontes em vigas múltiplas foram inicialmente providas de transversinas bastante rígidas com o objetivo de bem distribuir as cargas pelas longarinas e se constituírem nas grelhas Posteriormente se verificou que as lajes usuais dessas pontes tinham rigidez suficiente para garantir uma boa distribuição transversal o que sugeriu a eliminação das transversinas intermediárias Essa solução tem sido usada atualmente especialmente quando as vigas são pré moldadas mas é claro a armadura da laje deve ser reforçada com atenção especial para os problemas de fadiga Para o cálculo das grelhas com transversinas muito rígidas propõese o processo de Courbon Engesser e para o caso em que elas são flexíveis ou mesmo não existem propõese o processo de Fauchart 24341 Processo de CourbonEngesser Esse processo se aplica ao caso usual de grelhas de ponte onde são respeitadas as seguintes condições A largura da obra é menor que metade do vão da mesma A altura das transversinas é da ordem de grandeza daquela das longarinas As espessuras das longarinas e das lajes são pequenas Essas condições permitem formular as seguintes hipóteses 78 1 As transversinas são infinitamente rígidas 2 A torção uniforme é desprezível 3 O trabalho longitudinal das lajes também é desprezível 4 Admitemse ainda válidas para as longarinas as hipóteses da Resistência dos Materiais As longarinas são barras bhl O material é homogêneo e isótropo É valida a lei de Hooke É válida a hipótese de Navier Os deslocamentos são pequenos A Resistência dos Materiais permite dizer que as flechas das longarinas são inversamente proporcionais ao produto de rigidez EI Assim para uma viga biapoiada sob carga uniforme p ou concentrada P no meio do vão as flechas no meio do vão seriam respectivamente EI pl 384 5 4 e EI pl 48 3 79 A Distribuição transversal V1 2 V 3 V 4 V 4 V v v v T1 T2 T3 4 T F Figura 105 Distribuição transversal de uma carga F Ti v 0 desprezíveis Fi vi vi Considere uma transversina e sua vizinhança como assim representado Os momentos fletores não foram representados porque não interferem no equilíbrio de forças verticais que se pretende estudar As hipóteses feitas permitem reduzir o problema de distribuição da força externa F pelas vigas forças Fi Vi ao problema de uma viga infinitamente rígida sobre apoios elásticos F1 F2 F3 4 F k1 3 2 k k 4 k F θ xu yδ Figura 106 Viga rígida sobre apoios elásticos Esse problema tem 3 graus de liberdade deslocamentos ux δy e rotação θ Como só temos cargas verticais podemos deixar de lado o deslocamento u x Por outro lado as transversinas rígidas fazem com que as deformadas de todas as vigas sejam afins Assim 80 F 1 2 3 4 a b 1 4 a b Figura 107 Deformação das vigas 1 a 4 ai bi α δ δ 1 para qualquer viga i Isso permite dizer que as rigidezes dos apoios elásticos k variam com a posição da transversina mas é mantida a proporção entre elas Como é essa proporção que define a distribuição transversal ela será única qualquer que seja a posição da transversina Transversina a k1 k2 k3 k4 Transversina b αk1 αk2 αk3 αk4 Qualquer transversina βI1 βI2 βI3 βI4 α e β variam com a posição da transversina e com o tipo de carregamento Para justificar essa conclusão ver item 24342 A solução do problema de barra rígida sobre apoios elásticos se obtém facilmente como se segue Considerese o caso particular θ 0 e δ 1 e procurese determinar a posição da carga externa correspondente δ ki xiki x k xi xF A M i x ki i xiF A M ki ki i iF x define um ponto tal que se F for a ele aplicado teremos θ 0 e δ constante Esse ponto é chamado Centro Elástico por analogia com Centro de Gravidade Considerese agora o caso geral 81 ki F e CE θ i je Figura 108 Deformação de uma viga rígida sobre apoios elásticos devido à carga excêntrica em relação ao centro de rigidezes das molas δi δ θei Fi kiδi kiδ θei As duas equações de equilíbrio necessárias são 2 2 i i i i i i ej i i i i i i i i i ej i i i k e k e k e F k k e k F e k e F e F e k F F θ θ δ δ θ δ θ δ θ δ Pois i 0 ki e por definição do CE Assim ik F δ e θ 2 iei k F j e rF ij 2 iei k iej e ki 1 F ki ie 2 iei k F ki F ki iF j e como i i I k β 2 1 i i i j i i ij e I e e I I r Quando as vigas são iguais Ii I constante 2 1 i j i ij e e e n r Notese a semelhança entre essas expressões e aquela das tensões normais na flexão composta 82 I e M A N σ N F je F M ik A 2 i ki e I e ie A semelhança não é apenas formal é física a transversina rígida faz o papel da hipótese de Navier e as molas de comportamento elástico linear reproduzem a Lei de Hooke B Esforços longitudinais Quando a carga externa está sobre uma transversina ela se distribui pelas longarinas conforme foi visto A longarina i recebe força Fi e os esforços longitudinais nessa longarina são diretamente calculados a partir d Fi Quando porém a carga externa está fora da transversina sobre uma longarina por exemplo as coisas não são a princípio tão simples De fato a b F 1 2 3 4 c d Longarina 1 F Longarina i1 F Figura 109 Carga externa fora da transversina É preciso calcular os esforços que as transversinas aplicam nas longarinas Façamos isso por superposição 83 Longarina 1 F Ra Rb Rc Rd Rb Rc 1 1 RbRb RcRc F 1 1 F 1 iF Rb i i Rc Longarina i 1 Deistribuição de Rb e Rc pelas longarinas Figura 110 Distribuição da carga F nas longarinas Verificase que as soluções aproximadas embora muito mais simples fornecem soluções bastante próximas ds soluções corretas Aconselhase portanto usar a solução aproximada que corresponde fisicamente a admitir uma transversina rígida sob cada carga externa Notese que a distribuição transversal obtida por CourbonEngesser é válida qualquer que seja o sistema estrutural longitudinal viga biapoiada ou contínua 24342 Processo de Fauchart Considerese o caso de uma ponte em vigas múltiplas sem transversinas intermediárias só nos apoios Para tratamento desse problema adotamse as seguintes hipóteses 1 As longarinas trabalham conforme a Resistência dos Materiais 2 As longarinas são biapoiadas e têm inércia constante 3 O trabalho longitudinal das lajes é desprezado 84 x y z Figura 111 Superestrutura em grelha Da super esquematicamente representada na figura 111 isolese a viga i P v i ev md e m P mi Figura 112 Equilíbrio da viga i pi p vd ve mi md me Da Resistência dos Materiais temse EI M dx d y 2 2 EI P dx y d dx d M p 4 4 2 2 GI t T dx d θ GIt m dx d dx dT m 2 2θ Assim EIt pi 4 dx d4yi e GIti mi 2 dx d2 i θ Desenvolvendo em série de Fourier as cargas pi e mi e os deslocamentos yi e θi é possível transformar essas duas equações diferenciais em equações algébricas o que permitirá transformar 85 nosso problema bidimensional x z em unidimensional z Como as vigas são biapoiadas e ainda engastadas à torção nos apoios a série escolhida deve respeitar as seguintes condições de contorno x 0 e l x yi θi 0 θ rotação em torno de x A série adequada é portanto de senos do tipo l sen jπ x nula para x 0 e l x Assim l j x p p j ij i sen π j ij i l j x m m sen π l j x y y j ij i sen π j ij i l jπx θ θ sen Introduzindo essas séries nas equações acima temse para cada termo j i ij ij EI l j l j x y l j x p sen sen 4 π π π e ti ij ij GI l j l j x l j x m sen sen 2 π π θ π ou ij f ij y k p ij e ij t ij k ij m θ com i f EI l j k ij 4 π e ti t GI l j k ij 2 π Assim para cada termo j da série o problema de distribuição transversal se reduz a calcular a faixa unitária de laje esquematizada na figura 113 mij pij 1m Figura 113 Faixa unitária ij f ij y k p ij ij t ij k ij m θ 86 ij pij m f ij k p k ijt j faixa de laje com 1 m de largura Figura 114 Esquema estrutural transversal para uma faixa unitária Essa faixa deve ser carregada com o termo j do desenvolvimento da série Fourier da carga externa p pj Transformamos assim nosso problema bidimensional em uma série de unidimensionais Ocorre que usualmente o 1º termo da série já é suficiente e temos apenas um problema unidimensional como o acima com j1 Sua solução é obtida com facilidade pelo processo dos deslocamentos bastando dispor de uma calculadora programável são 8 graus de liberdade 4 vigas com um θ e um δ para cada uma Observações complementares 1 Imaginando a ponte em questão como uma peça única de seção aberta com 4 nervuras a solução de Fauchart considera flexão do conjunto δ cte a torção uniforme e a flexotorção θ cte e a deformação da seção transversal ou distorção representada por θ não constante e δ variável não linearmente A figura 115 ilustra esses fatos 87 carga externa flexão torção distoção Figura 115 Deformação de uma seção transversal pelo processo de Fauchart 2 Para obter as linhas de influência que definem as cargas nas vigas pi flexão da viga e mi torção da mesma bem como as solicitações mais importantes na laje de ligação basta resolver a viga sobre apoios elásticos num programa conveniente para uma série de posições de uma carga unitária É importante considerar pelo menos uma posição para cada viga e cada seção considerada relevante Costumase dizer que basta passear com a carga unitária sobre a estrutura anotando para cada posição os esforços de interesse 3 Para determinação dos trens tipo nas vigas isto é do carregamento em cada viga deveríamos carregar as linhas de influência para pi e mi com o primeiro termo do desenvolvimento em série das cargas externas Verificase que é mais fácil e preciso carregálas com as cargas reais Isso equivale a dizer que 1 1 1 i f i y k p i y i k 1if i p 1 1 1 i t i ik m θ 1 i k it mi θ Usamos assim as séries de Fourier apenas para definir a rigidez com que as vigas vinculam as lajes de ligação Para carregamentos usamos a sua forma real 4 É conveniente observar que se for desprezada a torção uniforme Iti0 e for admitida infinita a rigidez da laje de ligação simulando transversina rígida o processo do Fauchart se reduz ao do Courbon Assim Courbon é um caso particular do Fauchart 88 5 Extensão da solução às grelhas com transversinas flexíveis e bw bwb5bm b10 longarina transversina seção efetiva da transversina ebm12 Figura 116 Ponte em grelha com transversinas flexíveis Basta para tal definir uma laje de rigidez equivalente ao conjunto lajetransversinas e b e I I I m laje transv laje equiv 6 Extensão da solução às grelhas contínuas Basta para tal adotar para l um vão biapoiado equivalente isto é que apresente a mesma flecha que um determinado vão da obra real para um mesmo carregamento considerado representativo A carga uniforme é considerada usualmente aceita para esse fim 7 Esforços na laje do tabuleiro 71 Caso em que existem transversinas Calculamse as lajes como engastadas nas vigas Um bom procedimento é usar as tabelas de Rüsch ver aulas de projetos 89 72 Caso em que não existem transversinas intermediárias Calculamse as lajes por superposição de efeitos conforme sugere a figura 117 P P1 A 1P P B C P primeiro termo do desenvolvimento de P aplicado na viga sobre apoios elásticos carga concentrada P P sobre viga biengastada P sobre placa longa biengastada Teoria das Placas 1 1 Figura 117 Superposição de efeitos para cargas na laje Para melhor entender essa superposição é conveniente dividir as solicitações na laje em 2 partes local que decorre do trabalho do painel da laje carregado e engastado nas vigas que são admitidas indeslocáveis global que decorre apenas dos deslocamentos das vigas O primeiro termo da série P1 pode representar bem P do ponto de vista global mas não local Assim Efeito P Efeito global Efeito local Efeito P1 Efeito local P1 Efeito local P A B C Efeito Global P1 P 90 O efeito local de P pode ser calculado com as superfícies de influência anteriormente apresentadas ou se P representar o trem tipo padrão esse efeito pode ser em geral calculado com as tabelas de Rüsch 2435 Pontes celulares As pontes celulares têm sido cada vez mais utilizadas função das grandes qualidades estruturais das serves celulares boa rigidez e resistência à torção e flexão seja para momentos positivos seja para negativos e do progresso dos métodos construtivos Essas seções são preferencialmente unicelulares por economia de materiais e de mão de obra Só se justifica o uso de seções multicelulares em obras exageradamente largas sobretudo aquelas em que a largura é bem superior à metade do vão Devido à essas qualidades estruturais essas pontes são calculadas como vigas únicas Esse cálculo requer no entanto algumas complementações em relação à Resistência dos Materiais usual 24351 Seções unicelulares Considerese uma ponte unicelular biapoiada sob carga excêntrica como representado na figura 118 P l P transversina de apoio P P2 P2 P2 P2 flexão torção Figura 118 Seção celular submetida à carga na alma direita A Estudo da flexão As tensões normais s podem ser calculadas pela expressão usual da Resistência dos Materiais exigindose sem dúvida a determinação dos eixos centrais de inércia Como no caso 91 usual as seções são simétricas essa determinação é imediata X Z Y N My y M My Wyi N S Figura 119 Tensões normais ao longo da altura da seção celular z I M S N y y σ No caso acima N 0 O cálculo das tensões de cisalhamento requer alguma discussão A expressão usual da Resistência dos Materiais vem do equilíbrio de um naco de viga na direção do eixo x Ela só pode no entanto ser aplicada se for conhecido o valor de τ em alguns pontos de partida x z y 1 2 3 4 τ σ σdσ S dx x Figura 120 Equilíbrio na direção x de um elemento infinitesimal S y y S y y S y y S M I dM z dS I dM z dS I dM dS d e dx σ τ y S z I e M V τ Nas seções abertas como o perfil I acima esse pontos são as extremidades da seção delgada onde τ0 faces laterais 1 2 3 4 Nas seções fechadas a dificuldade está em determinar esses pontos Caso 1 Seções Simétricas 92 Por necessidade da simetria das tensões de cisalhamento bem como forças cortantes e momentos de torção são nulas nos eixos de simetria De fato τ esq dir dir τ por simetria τ por açãoreação τ 0 Figura 121 Tensão de cisalhamento no eixo de simetria da seção celular Assim nas seções simétricas os pontos de partida estão no eixo de simetria G τ 0 max τ S τS Figura 122 Tensões de cisalhamento em uma seção celular simétrica Caso 2 Seções Assimétricas 0 τ Figura 123 Seção celular assimétrica Onde está o ponto de partida onde τ 0 Não se sabe a priori 93 Na verdade o problema de seções fechadas é internamente hiperestático Seções unicelulares são uma vez hiperestáticas Uma boa maneira de levantar essa indeterminação é usar o processo dos esforços A estrutura fechada hiperestática e tornada aberta e isostática através de um corte longitudinal feito a priori A essa estrutura aberta é possível aplicar a expressão anteriormente descrita A compatibilidade é somente recuperada se no corte forem introduzidos esforços hiperestáticos de valor conveniente Assim F C P P A C τ 0 αP α P 1 τi Τ τ q e o o oq cte Figura 124 Corte longitudinal arbitrado e introdução de esforços que mantêm a compatibilidade A solução da flexão da seção assimétrica sob carga P passando pelo seu centro de torção CF é obtida pela superposição da solução da seção aberta onde P passa pelo centro de torção da mesma CA e provoca as tensões τi e do fluxo de torção q0 que provoca tensões τ0q0e decorrente da torção T dada por P vezes a distância entre CA e CF na direção y Assim y S z i I e M V τ Mas como calcular τo É preciso obter uma equação de compatibilidade Observese a deformação da seção aberta 94 δ γ ds du x Figura 125 Deformação da seção aberta As faces do corte se deslocariam de d uma em relação à outra função da deformação por cisalhamento γ G ds du tg τ γ γ ds du γ δ Devese calcular τ0 tal que δ 0 Como γ τG e G 0 0 γ ds δ ds 0 τ ou 0 0 ds i τ τ Essa equação permite calcular τ0 Conhecida τ0 conhecese também a vertical que passa por CF Para determinar a posição desse centro deveríamos estudar ainda o caso de uma força horizontal Convém lembrar que para as seções simétricas usuais embora G não coincida com CF é habitual e aceitável admitir CF G 95 G CF Figura 126 Centro de gravidade e de torção de uma seção celular simétrica CF G mas CF G B Estudo da torção Como visto anteriormente a tração de seções unicelulares fica resolvida por A q T 2 onde cte e q τ A área interna à linha média da célula e ds A I t 4 4 e GIt T dx d θ 24352 Seções multicelulares A análise dessas seções se faz analogamente às unicelulares Seja a seção tricelular da figura 127 P G e P2 P2 P2 P2 flexão torção Figura 127 Seção tricelular submetida à carga na alma direita 96 A Flexão Só em relação às tensões τ são necessários comentários adicionais De fato mesmo sendo a seção simétrica o problema permanece indeterminado estaticamente São 3 células portanto 3 graus de indeterminação Por simetria essas 3 incógnitas se transformam em apenas uma τ 0 τ 0 τ 0 τi τ 0 q cte q e o o τ o Figura 128 Esquema estrutural transversal considerando a simetria A única incógnita hiperestática τ0 se calcula através da equação de compatibilidade 0 0 ds i τ τ analogamente à seção unicelular assimétrica B Torção 2 1 3 T Pe Pe2 Pe2 T Figura 129 Viga tricelular submetida à torção Aqui também a torção corresponde a um problema hiperestático só que com grau de indeterminação 2 De fato Da torção total T cada célula suporta uma parcela Total que T T1 T2 T3 3 incógnitas para 1 equação 97 É preciso obter 2 equações de compatibilidade Elas são θ1 θ2 e θ1 θ3 É importante no entanto tomar cuidado para calcular corretamente Ti e θi Cada célula ficará submetida a um fluxo de torção qi tal que 1 T q q2 3 q Figura 130 Fluxo de torção Do capítulo de torção temse que i i i i A q b ds q T 2 2 i i i A q T por superposição das solicitações nas três células Para calcular a rotação qi é preciso considerar que o fluxo qi não é constante em todo contorno Para isso é preciso estudar com cuidado as deformações por torção de uma seção celular Seja uma barra de seção vazada solicitada à torção uniforme como mostra a figura 131 θ l T Conciderando os Teoremas de energia de deformação temos que Tτ θγ τ T e τi τ ou Figura 131 Barra de seção vazada solicitada à torção uniforme τe trabalho externo 12 Tθ 98 trabalho interno 12 ty elementar T J Tdv 1 1 TOTyelds 2 f 2 r 10 TAq0 27 4 1 1 q tyeds Tt eds tds b5 r 26 26 1 4 Ag8 feds 2AG6 fzds Essa expressao permite calcular as rotagdes elementares 8 considerando que q nao é constante em todo contorno Voltando ao problema da segcao tricelular considerando a simetria temos que qiq3 e 0803 0 que reduz o numero de incégnitas a 2 Assim T 4Aqg 24q5 Tds Tds 6b 0 awe 2AG 2AG Notar que 7 qe apenas em 3 lados da célula 1 No 4 lado 7 q qz e Analogamente para a célula 2 Observacao A expressao acima indicada para calculo de permite demonstrar a expressdo do momento de inércia de uma secao unicelular De fato ds p dO TT frds af dx GI 2AG 2AG 2Ag T A G 4A G 4A fe eo e e 2 p até fe e 53 Problemas de deformagao da secAo transversal Distorao 99 Tudo o que foi descrito até aqui prevê que as seções celulares tenham seção transversal indeformável Isso nem sempre é verdade Para que a seção seja efetivamente indeformável é preciso prever transversinas não muito espaçadas Para as obras usuais esse espaçamento deve ser da ordem de 10m De forma a melhor visualizar essa questão retomemos a ponte unicelular sob carga excêntrica apresentada no item 24351 reanalisando os esquemas de carregamento em seção transversal Merece reconsideração especial o carregamento de torção P flexão P2 P2 torção P2 P2 δ Figura 132 Seção unicelular submetida à carga excêntrica O carregamento indicado como sendo de torção não é na verdade da forma em que a seção unicelular suporta a seção isto é através de esforços na direção de suas 4 paredes Assim o carregamento de torção contém além de torção mais algum efeito vejamos qual é distorção torção θ P2qa P2 P2 b a qa qb qb torção Figura 133 Carregamento de torção decomposto em duas parcelas torção e distorção a P a b b P A T q 4 2 2 2 2 1 4 a b P R Assim aquele carregamento que parecia de torção contém além disso um carregamento equilibrado de resultante nula chamado de carregamento de distorção 4 4 2 P a P a P b a R Pb 4a 100 Esse carregamento corresponde a duas forças de mesmo módulo e direção mas sentidos inversos que tendem a afastar dois vértices opostos da célula isto é tendem a distorcêlas A transversina é um elemento especialmente imaginado para impedir essa distorção Se as transversinas forem convenientemente espaçadas a região entre elas fica protegida pelas próprias paredes da seção função de sua grande rigidez à flexão no seu plano Se a obra não dispuser de transversinas esse carregamento deve ser suportado pelo quadro transversal onde as paredes da seção fletem como placas Em qualquer um dos casos é importante no entanto calcular esse quadro transversal Esquema para cálculo do quadro transversal Consideremos um quadro correspondente a um pedaço da ponte com 1m de comprimento 1m Τ Τ V V T V Esquema das lajes engastadas nas almas p p m m m p m p esforços de engastamento das lajes nas almas Diagonal biarticulada que simula a transversina quando for o caso q T V acréscimo de fluxo de cisalhamento decorrente de T e V Figura 134 Esquema para cálculo do quadro transversal