Aula 06: Centro de Gravidade e Momentos Estáticos

03042020 1 Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 Aula 06 Centro de gravidade centroides momentos estáticos de superfícies e carregamentos distribuídos Centro Universitário UDF FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 2 CONTEÚDO Centro de Gravidade de um Corpo Cálculo do Centro de Gravidade de um Corpo Centro de Massa de um Corpo Centro de Gravidade Centro de Massa e Centróide de um Corpo Momento de 1 Ordem Momento Estático de Superfícies Corpos Compostos Centro de Gravidade de Áreas Compostas Cálculo do Centróide por Integração Centróides de formas comuns de superfície Teorema de Pappus Guldin Carregamentos Distribuídos sobre Vigas Resultante de um Carregamento Distribuído Geral 1 2 03042020 2 Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 3 1 Centro de Gravidade de um Corpo O Centro de gravidade G é um ponto no qual se localiza o peso resultante de um sistema de pontos materiais Para se determinar esse ponto é preciso no entanto levar em conta algumas particularidades desse sistema de pontos materiais Os pesos dos Pontos materiais compreendem um sistema de forças paralelas que pode ser substituído por um único peso resultante aplicado no Ponto G Nota Isso não é rigorosamente correto uma vez que os pesos não são paralelos entre si Ao contrário são todos concorrentes ao centro da Terra Além disso a aceleração da gravidade g é na realidade diferente para cada ponto material pois g depende da distância do ponto material ao centro da Terra Para fins práticos no entanto ambos os efeitos podem ser desprezados Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 4 2 Cálculo do Centro de Gravidade de um Corpo A soma dos momentos dos pesos de todos os pontos materiais em relação aos eixos xyz é então igual ao momento do peso resultante em relação a esses eixos Embora os pesos não produzam momento em relação ao eixo z podemos obter a coordenada z do ponto G imaginando que o sistema de coordenadas com os pontos materiais fixos sofre uma rotação de 90º em torno de x ou de y 3 4 03042020 3 Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 5 3 Centro de Massa de um Corpo Para o estudo de problemas que dizem respeito ao movimento acelerado da matéria sob a influência de forças isto é problemas de dinamica é necessário localizar um ponto denominado centro de massa Sendo W mg temos Comparando esta equação com a equação de centro de gravidade podemos perceber que a localização do centro de massa coincide com o centro de gravidade Nota Isso é verdadeiro desde que se considere que o campo gravitacional tem a mesma direção e sentido em todos os pontos do espaço Essa premissa é adequada para a maioria das aplicações em engenharia já que a gravidade não varia significativamente entre por exemplo a base e o topo de um edifício Na Física o centróide o centro de gravidade e o centro de massas podem sob certas circunstâncias coincidir entre si Nesses casos podese utilizar os termos de maneira intercambiável mesmo que designem conceitos diferentes O centróide é um conceito puramente geométrico enquanto que os outros dois se relacionam com as propriedades físicas de um corpo Para que o centróide coincida com o centro de massa o objeto deve ter densidade uniforme ou a distribuição de matéria através do objeto deve ter certas propriedades tais como simetria Para que um centróide coincida com o centro de gravidade o centróide deve coincidir com o centro de massa e o objeto deve estar sob a influência de um campo gravitacional uniforme Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 6 4Centro de Gravidade Centro de Massa e Centróide de um Corpo Um corpo rígido é composto de um infinito número de partículas Dessa maneira se os princípios utilizados para determinar as equações anteriores são aplicados ao sistema de partículas que compõem este corpo tornase necessário utilizar a operação de integração em vez da natureza discreta de um somatório de termos Nota Isso é verdadeiro desde que se considere que o campo gravitacional tem a mesma direção e sentido em todos os pontos do espaço Essa premissa é adequada para a maioria das aplicações em engenharia já que a gravidade não varia significativamente entre por exemplo a base e o topo de um edifício Centro de Gravidade Centro de Massa dW g dm 5 6 03042020 4 Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 7 4Centro de Gravidade Centro de Massa e Centróide de um Corpo Centróide de um volume Centróide de uma Área O Centróide é um ponto que define o centro geométrico de um corpo Centróide de uma linha dm dV Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 8 Exemplo 01 Determine o centróide do segmento circular do fio indicado na figura abaixo Como o arco é circular podemos aplicar o sistema de coordenadas polares para resolver este problema Escolha do elemento infinitesimal com coordenada R θ Comprimento e braço de momento O comprimento do elemento infinitesimal é dL Rdθ e seu centróide está localizado em x Rcosθ e y Rsenθ Aplicando as equações de integração em linha obtemos 7 8 03042020 5 Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 9 Exemplo 02 Determine a distância ȳ do eixo x ao centróide da área do triângulo apresentado na figura abaixo A área do elemento infinitesimal é Aplicando a equação de integração de área obtemos e seu centróide está localizado à distância ȳ y do eixo x Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 10 Exemplo 03 Localize a Coordenada x do centróide da área sombreada limitada pelas duas curvas e Exemplo de Aplicação A área do elemento é e seu centróide está localizado em Solução 1 Solução 2 A área do elemento é e seu centróide está localizado em 9 10 03042020 6 Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 11 4 Centro de Gravidade Centro de Massa e Centróide de um Corpo Simetria Os centróides de algumas formas geométricas devem ser parcial ou completamente especificados por meio das condições de simetria Nos casos em que a forma geométrica tem um eixo de simetria o centróide dela ficará localizado sobre este eixo Nos casos em que uma forma tem dois ou três eixos de simetria o centróide se localizará na interseção desses eixos Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 12 5 Momento de 1ª Ordem Momento Estático de Superfícies A xdA x A ydA y xdA Qy Qx ydA Momento de 1ª ordem momento estático da superfície A em relação ao eixo x Momento de 1ª ordem momento estático da superfície A em relação ao eixo y A Q x y A Q y x Obs o Momento Estático é uma definição matemática e será útil no cálculo das forças cortantes devidas a carregamentos transversais Coordenadas do centróide C de uma superfície Coordenadas do centróide de uma superfície 11 12 03042020 7 Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 13 6 Corpos Compostos Um corpo composto consiste em um conjunto de corpos de formatos simples que podem ser retangulares triangulares semicirculares etc Esse corpo frequentemente pode ser segmentado ou dividido em suas partes constituintes e contanto que o peso e a localização do centro de gravidade de cada uma dessas partes sejam conhecidos podemos eliminar a necessidade de integração para obter o centro de gravidade do corpo como um todo Quando o corpo tem densidade ou peso específico constante o centro de gravidade coincide com o centróide do corpo Em que casos o Centro de Gravidade não coincide com o Centróide do Corpo Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 14 7 Centro de Gravidade de Áreas Compostas Em muitos casos uma área de forma qualquer pode ser decomposta em várias áreas de formas usuais e propriedades conhecidas Cálculo do CG da área composta Sejam P1 P2Pn os pesos das n áreas em que a área total pode ser decomposta P peso total da superfície x M Sejam as coordenadas dos CG dessas n áreas n n n x P x P x P P P X P 2 2 1 1 2 1 y M x1 y1 x2 y2 n yn x n n n y P y P y P P P Y P 2 2 1 1 2 1 Y X 13 14 03042020 8 Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 Se o elemento infinitesimal de área dA for escolhido como sendo um retângulo lados dx e dy a solução de é dada por uma integral dupla integrase em x e y 15 8 Cálculo do Centróide por Integração xdA Seja R a equação da curva que define a superfície Rxy se R é dada em função das coordenadas cartesianas x e y Rrθ se R é dada em função das coordenadas polares r e θ xdA xA ydA yA Coordenadas do centróide C da superfície dx dA y x x y Rxy O dy xdxdy xdA Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 16 8 Cálculo do Centróide por Integração Para evitar o cálculo da integral dupla quando se tem Rxy escolhe dA como um retângulo estreito e para Rrθ escolhe dA como um setor fino circular solução de uma integral simples em x ou y ou θ simplifica o cálculo Rrθ dA el yel x Coordenadas do centróide do elemento de área dA y x x y dy a ax dA ely elx Rxy O dx dA y x x y elx ely Rxy O Fazendose o momento estático de toda a área igual à soma ou integral dos momentos estáticos de cada elemento de área x dA xA Q el y y dA yA Q el x 15 16 03042020 9 Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 17 8 Cálculo do Centróide por Integração A dA x x el A dA y y el Coordenadas do centróide C da superfície x dA xA Q el y y dA yA Q el x dA A Obs se a área não for conhecida podese calculála Integrais simples em x y ou θ para elementos retangulares ou em forma de setor circular y x x y dy a ax dA el y xel Rxy O dx dA y x x y elx yel Rxy O Momentos Estáticos el yel x Coordenadas do centróide do elemento de área dA Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 18 8 Cálculo do Centróide por Integração dA triângulo Centróide do retângulo no seu centro Centróide do setor fino triângulo à distância 23r de seu vértice xdy a dA x xel r d r rd bh dA 2 2 1 2 1 2 1 yel y 3 cos xel 2r 2 yel y r sen yel 3 2 2 x a xel el yel x Cálculo das Coordenadas do centróide do elemento de área dA y x x y dy a ax dA ely elx Rxy O dx dA y x x y elx ely Rxy O d A y d x 17 18 03042020 10 Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 19 Centróides de Formas Comuns de Superfícies Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 20 9 Centróides de Formas Comuns de Superfícies 19 20 03042020 11 Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 21 10 Teorema de Pappus e Guldinus Os dois teoremas de Pappus e Guldinus que foram primeiramente desenvolvidos por Pappus de Alexandria durante o século III dC e bem mais tarde reintroduzidos pelo matemático suíço Paul Guldin ou Guldinus século XVII são utilizados para a determinação de áreas e volumes quaisquer Área da superfície a área de uma superfície de revolução é igual ao produto do comprimento da curva geradora pela distância percorrida pelo centróide da curva para gerar a superfície Volume O volume de um corpo de revolução é igual ao produto da área geradora pela distância percorrida pelo centróide da área na geração do volume Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 22 10 Teorema de Pappus e Guldin Quando um elemento infinitesimal de uma curva gira por uma distância 2πr Esse elemento gera um anel com área de superfície Quando um elemento infinitesimal de área realiza uma rotação de 2πr de distância em torno de um eixo Esse elemento gera um anel com volume igual a Formas Compostas 21 22 03042020 12 Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 23 Exemplo 04 Exemplo de Aplicação Utilizando a tabela de propriedades de massa e geometria obtemse o centróide do arco que gera a esfera O ângulo de rotação do raio é θ 2π O volume da esfera é gerado pela rotação da área semicircular em relação ao eixo x Utilizando a tabela de propriedades de massa e geometria obtemse o centróide do semicírculo Demonstre que a área da superfície de uma esfera é e seu volume é Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 24 11 Carregamentos Distribuídos Sobre Vigas 23 24 03042020 13 Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 25 Exemplo 05 Um carregamento distribuído com p 800x Pa atua no topo de uma superfície de uma viga Determine a intensidade e a posição da força resultante equivalente Solução A função de carregamento p 800x Pa indica que a intensidade das cargas varia uniformemente de p 0 em x0 até p7200 Pa em x9 m Uma vez que a intensidade é uniforme ao longo da largura da viga eixo y o carregamento deve ser visualizado em duas dimensões A intensidade da força resultante é equivalente à área do triângulo definido pela curva A linha de ação da força resultante passa pelo centróide C do triângulo Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 26 12 Resultante de um Carregamento Distribuído Geral Carregamento distribuído sobre uma superfície plana Localização da força resultante A localização de FR pode ser determinada igualandose os momentos de FR aos momentos de todas as forças dF em relação a seus eixos xy Força Resultante para determinar a intensidade da força resultante FR é necessário somar cada uma das forças diferenciais dFque atuam sobre sobre toda a superfície da placa Esse somatório pode ser expresso matematicamente como uma integral 25 26 03042020 14 Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 27 12 Resultante de um Carregamento Distribuído Geral Carregamento distribuído sobre uma placa plana de largura constante O plano da placa forma um ângulo em relação à horizontal de tal forma que sua borda superior está localizada a uma profundidade z1 e sua borda inferior está localizada na sua borda z2 Como a pressão varia linearmente com a profundidade a distribuição de pressão sobre a placa é representada por um volume trapezoidal com intensidades em z1 e em z2 Pressão de um Fluido Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 28 12 Resultante de um Carregamento Distribuído Geral 27 28 03042020 15 Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 29 Exemplo 06 Determine a intensidade e a localização da força hidrostática resultante que atua na placa retangular submersa AB A placa tem largura de 15 m Considere ρa 1000kgm3 As pressões na água nas profundidades A e B são Como a placa tem largura constante as intensidades do carregamento em A e B são Com o uso da tabela de propriedades de massa e geometria determinamos a intensidade e a posição da força resultante O Mesmo resultado pode ser obtido considerandose dois componentes de FR definidos pelo Triângulo e pelo Retângulo formados pelo carregamento A posição de FR é determinada pelo somatório dos momentos no ponto B Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 30 Exemplo 07 Determine a o primeiro momento de inércia em relação a x e em relação a y b o centroide da figura 29 30 03042020 16 Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 31 Exemplo 07 Determine a o primeiro momento de inércia em relação a x e em relação a y b o centroide da figura a Os momentos estáticos serão b A localização do centroide será Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 32 Exemplo 08 Uma haste semicircular uniforme de peso W e raio r é presa a um pino em A e repousa sobre uma superfície sem atrito em B Determine as reações em A e B 31 32 03042020 17 Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 33 Exemplo 08 Uma haste semicircular uniforme de peso W e raio r é presa a um pino em A e repousa sobre uma superfície sem atrito em B Determine as reações em A e B Utilizando as equações de equilíbrio Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 34 Exemplo 09 Determine a área da superfície de revolução mostrada que é obtida girando um arco semicircular em torno de um eixo vertical 33 34 03042020 18 Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 35 Exemplo 09 Determine a área da superfície de revolução mostrada que é obtida girando um arco semicircular em torno de um eixo vertical Utilizando o teorema de PappusGuldinus Mecânica dos Sólidos Professor Nataniel Wontoon Aula 06 36 OBRIGADO PELA ATENÇÃO DÚVIDAS nwlimaudfedubr 35 36