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Centro Universitário do Distrito Federal UDF Instituto de Educação Superior IES Capítulo 3 Vetores Prof Dr José André Filho Brasília DF Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 1 36 Sumário 1 O que é Física 2 Vetores e Escalares 3 Soma Geométrica de Vetores 4 Componentes de Vetores 5 Vetores Unitários 6 Soma de Vetores a partir das Componentes 7 Vetores e as Leis da Física 8 Multiplicação de Vetores Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 2 36 O que é Física O que é Física A física lida com um grande número de grandezas que possuem uma amplitude e uma orientação e precisa de uma linguagem matemática es pecial a linguagem dos vetores para descrever essas grandezas Essa linguagem é usada na engenharia em outras ciências e até mesmo nas conversas do dia a dia Se você já explicou a alguém como che gar a um endereço usando expressões como Siga por esta rua por cinco quarteirões e depois dobre à esquerda usou a linguagem dos vetores Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 3 36 Vetores e Escalares Vetores e Escalares Uma partícula que se move em linha reta pode se deslocar apenas em dois sentidos já que a direção é conhecida Podemos considerar o deslo camento como positivo em um sentido e negativo no outro No caso de uma partícula que se move em qualquer outra trajetória porém um número positivo ou negativo não é suciente para indicar a orientação precisamos usar um vetor Um vetor possui um módulo e uma orientação Uma grandeza ve torial é uma grandeza que possui um módulo e uma orientação e pode portanto ser representada por um vetor Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 4 36 Vetores e Escalares Nem toda grandeza física envolve uma orientação A temperatura a pressão a energia a massa e o tempo por exemplo não apontam em nenhuma direção Chamamos essas grandezas de escalares e lidamos com elas pelas re gras da álgebra comum Um único valor às vezes como um sinal como no caso de uma temperatura de 2C é suciente para especicar um escalar A grandeza vetorial mais simples é o deslocamento ou mudança de posi ção Um vetor que representa um deslocamento é chamado como seria de se esperar de vetor deslocamento Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 5 36 Vetores e Escalares Se uma partícula muda de posição movendose de A para B como na gura abaixo dizemos que sofre um deslocamento de A para B que representamos por uma seta apontando de A para B A seta especica o vetor gracamente As setas de A para B de A para B e de A para B têm o mesmo módulo e a mesma orientação assim especicam vetores deslocamento iguais e representam a mesma variação de posição da partícula Um vetor pode ser deslocado sem que o seu valor mude se comprimento direção e sentido permanecem os mesmos Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 6 36 Vetores e Escalares O vetor deslocamento nada nos diz sobre a trajetória percorrida por uma partícula Na gura abaixo por exemplo as três trajetórias que unem os pontos A e B correspondem ao mesmo vetor deslocamento o da gura anterior O vetor deslocamento não representa todo o movimento mas apenas seu resultado nal Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 7 36 Soma Geométrica de Vetores Soma Geométrica de Vetores Na gura abaixo uma partícula se desloca de A a B e depois de B a C Podemos representar o deslocamento total através de dois vetores deslocamento sucessivos AB e BC O deslocamento total é um único deslocamento de A para C Chamamos AC de vetor soma ou vetor resultante dos vetores AB e BC Este tipo de soma não é uma soma algébrica comum Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 8 36 Soma Geométrica de Vetores Na gura abaixo desenhamos os vetores da gura anterior e os rotulamos da forma que será usada daqui em diante com uma seta sobre o símbolo em itálico como a Para indicar apenas o módulo do vetor usamos o símbolo do vetor em itálico sem a seta como a b e s Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 9 36 Soma Geométrica de Vetores Podemos representar a relação entre os três vetores da gura anterior através da equação vetorial s a b 1 segundo a qual o vetor s é o vetor soma dos vetores a e b O símbolo na equação 1 e a palavra soma têm um signicado diferente no caso dos vetores porque ao contrário do que acontece na álgebra comum en volvem tanto o módulo como a orientação da grandeza A soma vetorial tem duas propriedades importantes a lei comutativa e a lei associativa A lei comutativa nos diz que a ordem em que os ve tores são somados é irrelevante isto é somar a a b é o mesmo que somar b a a ou seja a b b a lei comutativa 2 Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 10 36 Soma Geométrica de Vetores A gura abaixo mostra um exemplo da lei comutativa A lei associativa nos diz que quando existem mais de dois vetores pode mos agrupálos em qualquer ordem para somálos Se queremos somar os vetores a b e c podemos somar a e b e somar o resultado a c Pode mos também somar b e c e depois somar o resultado a a o resultado é o mesmo Assim a b c a b c lei associativa 3 Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 11 36 Soma Geométrica de Vetores A gura abaixo mostra um exemplo da lei associativa A gura abaixo mostra que o vetor b é um vetor com o mesmo módulo e direção de b e o sentido oposto A soma dos dois vetores é b b 0 Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 12 36 Soma Geométrica de Vetores Assim somar b é o mesmo que subtrair b Usamos esta propriedade para denir a diferença entre dois vetores Se d a b temos d a b a b 4 ou seja calculamos o vetor diferença d somando o vetor b ao vetor a A gura abaixo mostra como isso é feito geometricamente Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 13 36 Soma Geométrica de Vetores Como na álgebra comum podemos passar um termo que inclui um sím bolo de vetor de um lado de uma equação vetorial para o outro mas devemos mudar o sinal Assim por exemplo para explicitar a na equa ção 4 escrevemos a equação na forma d b a ou a d b As regras que mostramos para somar e subtrair vetores se aplicam a ve tores de qualquer tipo Entretanto apenas vetores do mesmo tipo podem ser somados Assim por exemplo podemos somar dois deslocamentos ou duas velocidades mas não faz sentido somar um deslocamento e uma velocidade Na aritimética dos escalares isso seria como tentar somar 21 s e 12 m Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 14 36 Componentes de Vetores Componentes de Vetores Somar vetores geometricamente pode ser uma tarefa tediosa Uma téc nica mais simples envolve o uso da álgebra mas requer que os vetores sejam representados em um sistema de coordenadas retangulares Os eixos x e y são normalmente desenhados no plano do papel Como na gura abaixo O eixo z é perpendicular ao papel vamos ignorálo por enquanto e tratar apenas de vetores bidimensionais Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 15 36 Componentes de Vetores Uma componente de um vetor é a projeção do vetor em um eixo Na gura abaixo por exemplo ax é a componente do vetor a em relação ao eixo x e ay é a componente em relação ao eixo y Para encontrar a projeção de um vetor em um eixo traçamos retas per pendiculares ao eixo a partir da origem e da extremidade do vetor A projeção de um vetor no eixo x é chamada de componente x do vetor a projeção no eixo y é chamada de componente y O processo de obter as componentes de um vetor é chamado de decomposição do vetor Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 16 36 Componentes de Vetores Uma componente de um vetor tem o mesmo sentido em relação a um eixo que o vetor A decomposição do vetor b da gura abaixo leva a uma componente bx positiva e a uma componente by negativa Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 17 36 Componentes de Vetores Um vetor pode ter até três componentes mas no caso do vetor da gura a abaixo a componente z é nula Como mostram as guras a e b quando deslocamos um vetor sem mudar a orientação as componentes não mudam Podemos determinar geometricamente as componentes de a na gura a a partir do triângulo retângulo mostrado na gura ax a cosθ e ay a senθ 5 onde θ é o ângulo que o vetor a faz com o semieixo x positivo e a é o módulo de a Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 18 36 Componentes de Vetores A gura abaixo mostra que a e as componentes x e y do vetor formam um triângulo retângulo Mostra ainda que é possível reconstruir um vetor a partir das componentes basta posicionar a origem de uma das componentes na extremidade da outra e completar o triângulo retângulo ligando a origem livre à extremidade livre Uma vez que um vetor tenha sido decomposto em relação a um conjunto de eixos as componentes podem ser usadas no lugar do vetor Assim por exemplo o vetor a é dado por a e θ mas também pode ser dado pelas componentes ax e ay Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 19 36 Componentes de Vetores Se conhecemos um vetor na notagao de componentes az ay e queremos especificdélo na notagao médulodngulo a e 0 basta usar as equagdes 2 2 ay a a a e tan 6 Ag para efetuar a transformacao No caso mais geral de trés dimensoes precisamos do médulo e de dois angulos a 6 e digamos ou de trés componentes az dy az para especificar um vetor Vetores Unitários Vetores Unitários Vetor Unitário é um vetor cujo módulo é 1 e que aponta em uma certa direção Um vetor unitário não possui dimensão nem unidade sua única função é especicar uma orientação Os vetores unitários que in dicam os sentidos positivos dos eixos x y e z são representados como ˆi ˆj e ˆk respectivamente onde o símbolo ˆ é usado em lugar de uma seta para mostrar que se trata de vetores unitários Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 21 36 Vetores Unitários Os vetores unitário são muito úteis para especicar outros vetores assim por exemplo podemos expressar os vetores a e b das guras abaixo como a axˆi ayˆj 7 e b bxˆi byˆj 8 Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 22 36 Vetores Unitários Essas duas equações estão ilustradas na gura abaixo As grandezas axˆi e ayˆj são vetores conhecidos como componentes vetoriais de a As grandezas ax e ay são escalares conhecidos como componentes esca lares ou simplesmente componentes de a Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 23 36 Soma de Vetores a partir das Componentes Soma de Vetores a partir das Componentes Podemos somar vetores geometricamente usando um desenho Outra forma de somar vetores consiste em combinar as componentes eixo por eixo Para começar considere a equação r a b 9 segundo a qual o vetor r é igual ao vetor a b Nesse caso cada componente de r é igual à componente correspondente de a b rx ax bx 10 ry ay by 11 rz az bz 12 Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 24 36 Soma de Vetores a partir das Componentes Em outras palavras dois vetores são iguais se as componentes correspon dentes forem iguais Esse método de somar vetores usando componentes também se aplica à subtração Lembrese de que uma subtração como d a b pode ser escrita como uma adção da forma d a b Para subtrair somamos as componentes de a e b para obter dx ax bx dy ay by e dz az bz onde d dxˆi dyˆj dzˆk 13 Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 25 36 Vetores e as Leis da Fisica Vetores e as Leis da Fisica Temos uma grande liberdade para escolher o sistema de coordenadas ja que as relacoes entre vetores nao dependem da localizagao da origem nem da orientacao dos eixos Isso também se aplica as leis da fisica sao todas independentes da escolha do sistema de coordenadas J y a 4 sf Oo ie 16 Oa o rs a d a a2aza a 14 00 15 Multiplicação de Vetores Multiplicação de Vetores Existem três formas de multiplicar vetores mas nenhuma é exatamente igual à multiplicação algébrica Tenha em mente que uma calculadora o ajudará a multiplicar vetores apenas se você compreender as regras básicas deste tipo de multiplicação Multiplicação de um Vetor por um Escalar Quando multiplicamos um vetor a por um escalar s obtemos outro vetor cujo módulo é o produto do módulo de a pelo valor absoluto de s cuja direção é a mesma de a e cujo sentido é o mesmo de a se s for positivo e o sentido oposto se s for negativo Para dividir a por s multiplicamos a por 1s Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 27 36 Multiplicação de Vetores Multiplicação de um Vetor por um Vetor Existem duas formas de multiplicar um vetor por um vetor uma forma conhecida como produto escalar resulta em um escalar a outra conhe cida como produto vetorial resulta em um vetor O Produto Escalar O produto escalar dos vetores a e b da gura a abaixo é escrito como a b e denido pela equação a b ab cosφ 16 Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 28 36 Multiplicação de Vetores Note que o lado direito da equação 16 contém apenas escalares in cluindo o valor de cosφ Assim o produto a b no lado esquerdo repre senta uma grandeza escalar e é lido como a escalar b O produto escalar pode ser considerado como o produto de duas gran dezas 1 o módulo de um dos vetores e 2 a componente escalar do outro vetor em relação ao primeiro Assim na gura b acima a tem uma componente escalar a cosφ em relação a b e analogamente b tem uma componente escalar b cosφ em relação a a Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 29 36 Multiplicação de Vetores Se o ângulo φ entre dois vetores é 0 a componente de um vetor em relação ao outro é máxima o que também acontece com o produto escalar dos vetores Se o ângulo é 90 a componente de um vetor em relação ao outro é nula o que também acontece com o produto escalar Para chamar atenção para as componentes a equação 16 pode ser escrita da seguinte forma a b a cosφb ab cosφ 17 Como a propriedade comutativa se aplica ao produto escalar podemos escrever a b b a Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 30 36 Multiplicação de Vetores Quando dois vetores são escritos em termos dos vetores unitários o pro duto escalar assume a foma a b axˆi ayˆj azˆk bxˆi byˆj bzˆk 18 que pode ser expandida de acordo com a propriedade distributiva Calcu lando os produtos escalares das componentes vetoriais do primeiro vetor pelas componentes vetoriais do segundo vetor e tendo em mente que ˆiˆi 1 ˆj ˆj 1 ˆkˆk 1 ˆiˆj ˆj ˆi 0 ˆiˆk ˆkˆi 0 ˆj ˆk ˆkˆj 0 obtemos a b axbx ayby azbz 19 Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 31 36 Multiplicação de Vetores O Produto Vetorial O produto vetorial de a e b é escrito como a b e resulta em um terceiro vetor c cujo módulo é c ab senφ 20 onde φ é o menor ângulo entre a e b É preciso usar o menor dos ângulos entre os vetores porque senφ e sen360 φ tem sinais opostos O produto a b é lido como a vetor b Se a e b são paralelos ou antiparalelos a b 0 O módulo de a b que pode ser escrito como a b é máximo quando a e b são mutuamente perpendiculares Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 32 36 Multiplicação de Vetores A direção de c é perpendicular ao plano denido por a e b A gura a abaixo mostra como determinar o sentido de c ab usando a chamada regra da mão direita Superponha as origens de a e b sem mudar a orientação dos vetores e imagine uma reta perpendicular ao plano denido pelos dois vetores passando pela origem comum Envolva essa reta com a mão direita de modo que os dedos empurrem a em direção a b ao longo do menor ângulo entre os vetores O polegar estendido aponta no sentido de c Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 33 36 Multiplicação de Vetores No caso do produto vetorial a ordem dos vetores é importante Na gura b acima estamos determinando o sentido de c b a de modo que os dedos da mão direita empurram b na direção de a ao longo do menor ângulo Neste caso o polegar no sentido oposto ao da gura a de modo que c c ou seja b a a b 21 Em outras palavras a propriedade comutativa não se aplica ao produto vetorial Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 34 36 Multiplicação de Vetores Em termos dos vetores unitários podemos escrever a b axˆi ayˆj azˆk bxˆi byˆj bzˆk 22 que pode ser expandido de acordo com a propriedade distributiva ou seja calculando o produto vetorial de cada componente do primeiro vetor pelas componentes do segundo vetor Lembrese que ˆi ˆi 0 ˆj ˆj 0 ˆk ˆk 0 ˆi ˆj ˆk ˆj ˆk ˆi ˆk ˆi ˆj ˆj ˆi ˆk ˆk ˆj ˆi ˆi ˆk ˆj Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 35 36 Multiplicação de Vetores Assim por exemplo na expansão da equação 22 temos axˆi bxˆi axbxˆi ˆi 0 porque os vetores unitários ˆi e ˆi são paralelos e portanto o produto vetorial é zero Analogamente temos axˆi byˆj axbyˆi ˆj axbyˆk Continuando a expandir a equação 22 é possível mostrar que a b aybz byazˆi azbx bzaxˆj axby bxayˆk 23 Também é possível calcular o resultado de um produto vetorial usando um determinante Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 36 36
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Centro Universitário do Distrito Federal UDF Instituto de Educação Superior IES Capítulo 3 Vetores Prof Dr José André Filho Brasília DF Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 1 36 Sumário 1 O que é Física 2 Vetores e Escalares 3 Soma Geométrica de Vetores 4 Componentes de Vetores 5 Vetores Unitários 6 Soma de Vetores a partir das Componentes 7 Vetores e as Leis da Física 8 Multiplicação de Vetores Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 2 36 O que é Física O que é Física A física lida com um grande número de grandezas que possuem uma amplitude e uma orientação e precisa de uma linguagem matemática es pecial a linguagem dos vetores para descrever essas grandezas Essa linguagem é usada na engenharia em outras ciências e até mesmo nas conversas do dia a dia Se você já explicou a alguém como che gar a um endereço usando expressões como Siga por esta rua por cinco quarteirões e depois dobre à esquerda usou a linguagem dos vetores Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 3 36 Vetores e Escalares Vetores e Escalares Uma partícula que se move em linha reta pode se deslocar apenas em dois sentidos já que a direção é conhecida Podemos considerar o deslo camento como positivo em um sentido e negativo no outro No caso de uma partícula que se move em qualquer outra trajetória porém um número positivo ou negativo não é suciente para indicar a orientação precisamos usar um vetor Um vetor possui um módulo e uma orientação Uma grandeza ve torial é uma grandeza que possui um módulo e uma orientação e pode portanto ser representada por um vetor Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 4 36 Vetores e Escalares Nem toda grandeza física envolve uma orientação A temperatura a pressão a energia a massa e o tempo por exemplo não apontam em nenhuma direção Chamamos essas grandezas de escalares e lidamos com elas pelas re gras da álgebra comum Um único valor às vezes como um sinal como no caso de uma temperatura de 2C é suciente para especicar um escalar A grandeza vetorial mais simples é o deslocamento ou mudança de posi ção Um vetor que representa um deslocamento é chamado como seria de se esperar de vetor deslocamento Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 5 36 Vetores e Escalares Se uma partícula muda de posição movendose de A para B como na gura abaixo dizemos que sofre um deslocamento de A para B que representamos por uma seta apontando de A para B A seta especica o vetor gracamente As setas de A para B de A para B e de A para B têm o mesmo módulo e a mesma orientação assim especicam vetores deslocamento iguais e representam a mesma variação de posição da partícula Um vetor pode ser deslocado sem que o seu valor mude se comprimento direção e sentido permanecem os mesmos Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 6 36 Vetores e Escalares O vetor deslocamento nada nos diz sobre a trajetória percorrida por uma partícula Na gura abaixo por exemplo as três trajetórias que unem os pontos A e B correspondem ao mesmo vetor deslocamento o da gura anterior O vetor deslocamento não representa todo o movimento mas apenas seu resultado nal Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 7 36 Soma Geométrica de Vetores Soma Geométrica de Vetores Na gura abaixo uma partícula se desloca de A a B e depois de B a C Podemos representar o deslocamento total através de dois vetores deslocamento sucessivos AB e BC O deslocamento total é um único deslocamento de A para C Chamamos AC de vetor soma ou vetor resultante dos vetores AB e BC Este tipo de soma não é uma soma algébrica comum Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 8 36 Soma Geométrica de Vetores Na gura abaixo desenhamos os vetores da gura anterior e os rotulamos da forma que será usada daqui em diante com uma seta sobre o símbolo em itálico como a Para indicar apenas o módulo do vetor usamos o símbolo do vetor em itálico sem a seta como a b e s Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 9 36 Soma Geométrica de Vetores Podemos representar a relação entre os três vetores da gura anterior através da equação vetorial s a b 1 segundo a qual o vetor s é o vetor soma dos vetores a e b O símbolo na equação 1 e a palavra soma têm um signicado diferente no caso dos vetores porque ao contrário do que acontece na álgebra comum en volvem tanto o módulo como a orientação da grandeza A soma vetorial tem duas propriedades importantes a lei comutativa e a lei associativa A lei comutativa nos diz que a ordem em que os ve tores são somados é irrelevante isto é somar a a b é o mesmo que somar b a a ou seja a b b a lei comutativa 2 Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 10 36 Soma Geométrica de Vetores A gura abaixo mostra um exemplo da lei comutativa A lei associativa nos diz que quando existem mais de dois vetores pode mos agrupálos em qualquer ordem para somálos Se queremos somar os vetores a b e c podemos somar a e b e somar o resultado a c Pode mos também somar b e c e depois somar o resultado a a o resultado é o mesmo Assim a b c a b c lei associativa 3 Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 11 36 Soma Geométrica de Vetores A gura abaixo mostra um exemplo da lei associativa A gura abaixo mostra que o vetor b é um vetor com o mesmo módulo e direção de b e o sentido oposto A soma dos dois vetores é b b 0 Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 12 36 Soma Geométrica de Vetores Assim somar b é o mesmo que subtrair b Usamos esta propriedade para denir a diferença entre dois vetores Se d a b temos d a b a b 4 ou seja calculamos o vetor diferença d somando o vetor b ao vetor a A gura abaixo mostra como isso é feito geometricamente Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 13 36 Soma Geométrica de Vetores Como na álgebra comum podemos passar um termo que inclui um sím bolo de vetor de um lado de uma equação vetorial para o outro mas devemos mudar o sinal Assim por exemplo para explicitar a na equa ção 4 escrevemos a equação na forma d b a ou a d b As regras que mostramos para somar e subtrair vetores se aplicam a ve tores de qualquer tipo Entretanto apenas vetores do mesmo tipo podem ser somados Assim por exemplo podemos somar dois deslocamentos ou duas velocidades mas não faz sentido somar um deslocamento e uma velocidade Na aritimética dos escalares isso seria como tentar somar 21 s e 12 m Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 14 36 Componentes de Vetores Componentes de Vetores Somar vetores geometricamente pode ser uma tarefa tediosa Uma téc nica mais simples envolve o uso da álgebra mas requer que os vetores sejam representados em um sistema de coordenadas retangulares Os eixos x e y são normalmente desenhados no plano do papel Como na gura abaixo O eixo z é perpendicular ao papel vamos ignorálo por enquanto e tratar apenas de vetores bidimensionais Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 15 36 Componentes de Vetores Uma componente de um vetor é a projeção do vetor em um eixo Na gura abaixo por exemplo ax é a componente do vetor a em relação ao eixo x e ay é a componente em relação ao eixo y Para encontrar a projeção de um vetor em um eixo traçamos retas per pendiculares ao eixo a partir da origem e da extremidade do vetor A projeção de um vetor no eixo x é chamada de componente x do vetor a projeção no eixo y é chamada de componente y O processo de obter as componentes de um vetor é chamado de decomposição do vetor Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 16 36 Componentes de Vetores Uma componente de um vetor tem o mesmo sentido em relação a um eixo que o vetor A decomposição do vetor b da gura abaixo leva a uma componente bx positiva e a uma componente by negativa Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 17 36 Componentes de Vetores Um vetor pode ter até três componentes mas no caso do vetor da gura a abaixo a componente z é nula Como mostram as guras a e b quando deslocamos um vetor sem mudar a orientação as componentes não mudam Podemos determinar geometricamente as componentes de a na gura a a partir do triângulo retângulo mostrado na gura ax a cosθ e ay a senθ 5 onde θ é o ângulo que o vetor a faz com o semieixo x positivo e a é o módulo de a Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 18 36 Componentes de Vetores A gura abaixo mostra que a e as componentes x e y do vetor formam um triângulo retângulo Mostra ainda que é possível reconstruir um vetor a partir das componentes basta posicionar a origem de uma das componentes na extremidade da outra e completar o triângulo retângulo ligando a origem livre à extremidade livre Uma vez que um vetor tenha sido decomposto em relação a um conjunto de eixos as componentes podem ser usadas no lugar do vetor Assim por exemplo o vetor a é dado por a e θ mas também pode ser dado pelas componentes ax e ay Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 19 36 Componentes de Vetores Se conhecemos um vetor na notagao de componentes az ay e queremos especificdélo na notagao médulodngulo a e 0 basta usar as equagdes 2 2 ay a a a e tan 6 Ag para efetuar a transformacao No caso mais geral de trés dimensoes precisamos do médulo e de dois angulos a 6 e digamos ou de trés componentes az dy az para especificar um vetor Vetores Unitários Vetores Unitários Vetor Unitário é um vetor cujo módulo é 1 e que aponta em uma certa direção Um vetor unitário não possui dimensão nem unidade sua única função é especicar uma orientação Os vetores unitários que in dicam os sentidos positivos dos eixos x y e z são representados como ˆi ˆj e ˆk respectivamente onde o símbolo ˆ é usado em lugar de uma seta para mostrar que se trata de vetores unitários Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 21 36 Vetores Unitários Os vetores unitário são muito úteis para especicar outros vetores assim por exemplo podemos expressar os vetores a e b das guras abaixo como a axˆi ayˆj 7 e b bxˆi byˆj 8 Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 22 36 Vetores Unitários Essas duas equações estão ilustradas na gura abaixo As grandezas axˆi e ayˆj são vetores conhecidos como componentes vetoriais de a As grandezas ax e ay são escalares conhecidos como componentes esca lares ou simplesmente componentes de a Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 23 36 Soma de Vetores a partir das Componentes Soma de Vetores a partir das Componentes Podemos somar vetores geometricamente usando um desenho Outra forma de somar vetores consiste em combinar as componentes eixo por eixo Para começar considere a equação r a b 9 segundo a qual o vetor r é igual ao vetor a b Nesse caso cada componente de r é igual à componente correspondente de a b rx ax bx 10 ry ay by 11 rz az bz 12 Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 24 36 Soma de Vetores a partir das Componentes Em outras palavras dois vetores são iguais se as componentes correspon dentes forem iguais Esse método de somar vetores usando componentes também se aplica à subtração Lembrese de que uma subtração como d a b pode ser escrita como uma adção da forma d a b Para subtrair somamos as componentes de a e b para obter dx ax bx dy ay by e dz az bz onde d dxˆi dyˆj dzˆk 13 Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 25 36 Vetores e as Leis da Fisica Vetores e as Leis da Fisica Temos uma grande liberdade para escolher o sistema de coordenadas ja que as relacoes entre vetores nao dependem da localizagao da origem nem da orientacao dos eixos Isso também se aplica as leis da fisica sao todas independentes da escolha do sistema de coordenadas J y a 4 sf Oo ie 16 Oa o rs a d a a2aza a 14 00 15 Multiplicação de Vetores Multiplicação de Vetores Existem três formas de multiplicar vetores mas nenhuma é exatamente igual à multiplicação algébrica Tenha em mente que uma calculadora o ajudará a multiplicar vetores apenas se você compreender as regras básicas deste tipo de multiplicação Multiplicação de um Vetor por um Escalar Quando multiplicamos um vetor a por um escalar s obtemos outro vetor cujo módulo é o produto do módulo de a pelo valor absoluto de s cuja direção é a mesma de a e cujo sentido é o mesmo de a se s for positivo e o sentido oposto se s for negativo Para dividir a por s multiplicamos a por 1s Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 27 36 Multiplicação de Vetores Multiplicação de um Vetor por um Vetor Existem duas formas de multiplicar um vetor por um vetor uma forma conhecida como produto escalar resulta em um escalar a outra conhe cida como produto vetorial resulta em um vetor O Produto Escalar O produto escalar dos vetores a e b da gura a abaixo é escrito como a b e denido pela equação a b ab cosφ 16 Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 28 36 Multiplicação de Vetores Note que o lado direito da equação 16 contém apenas escalares in cluindo o valor de cosφ Assim o produto a b no lado esquerdo repre senta uma grandeza escalar e é lido como a escalar b O produto escalar pode ser considerado como o produto de duas gran dezas 1 o módulo de um dos vetores e 2 a componente escalar do outro vetor em relação ao primeiro Assim na gura b acima a tem uma componente escalar a cosφ em relação a b e analogamente b tem uma componente escalar b cosφ em relação a a Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 29 36 Multiplicação de Vetores Se o ângulo φ entre dois vetores é 0 a componente de um vetor em relação ao outro é máxima o que também acontece com o produto escalar dos vetores Se o ângulo é 90 a componente de um vetor em relação ao outro é nula o que também acontece com o produto escalar Para chamar atenção para as componentes a equação 16 pode ser escrita da seguinte forma a b a cosφb ab cosφ 17 Como a propriedade comutativa se aplica ao produto escalar podemos escrever a b b a Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 30 36 Multiplicação de Vetores Quando dois vetores são escritos em termos dos vetores unitários o pro duto escalar assume a foma a b axˆi ayˆj azˆk bxˆi byˆj bzˆk 18 que pode ser expandida de acordo com a propriedade distributiva Calcu lando os produtos escalares das componentes vetoriais do primeiro vetor pelas componentes vetoriais do segundo vetor e tendo em mente que ˆiˆi 1 ˆj ˆj 1 ˆkˆk 1 ˆiˆj ˆj ˆi 0 ˆiˆk ˆkˆi 0 ˆj ˆk ˆkˆj 0 obtemos a b axbx ayby azbz 19 Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 31 36 Multiplicação de Vetores O Produto Vetorial O produto vetorial de a e b é escrito como a b e resulta em um terceiro vetor c cujo módulo é c ab senφ 20 onde φ é o menor ângulo entre a e b É preciso usar o menor dos ângulos entre os vetores porque senφ e sen360 φ tem sinais opostos O produto a b é lido como a vetor b Se a e b são paralelos ou antiparalelos a b 0 O módulo de a b que pode ser escrito como a b é máximo quando a e b são mutuamente perpendiculares Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 32 36 Multiplicação de Vetores A direção de c é perpendicular ao plano denido por a e b A gura a abaixo mostra como determinar o sentido de c ab usando a chamada regra da mão direita Superponha as origens de a e b sem mudar a orientação dos vetores e imagine uma reta perpendicular ao plano denido pelos dois vetores passando pela origem comum Envolva essa reta com a mão direita de modo que os dedos empurrem a em direção a b ao longo do menor ângulo entre os vetores O polegar estendido aponta no sentido de c Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 33 36 Multiplicação de Vetores No caso do produto vetorial a ordem dos vetores é importante Na gura b acima estamos determinando o sentido de c b a de modo que os dedos da mão direita empurram b na direção de a ao longo do menor ângulo Neste caso o polegar no sentido oposto ao da gura a de modo que c c ou seja b a a b 21 Em outras palavras a propriedade comutativa não se aplica ao produto vetorial Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 34 36 Multiplicação de Vetores Em termos dos vetores unitários podemos escrever a b axˆi ayˆj azˆk bxˆi byˆj bzˆk 22 que pode ser expandido de acordo com a propriedade distributiva ou seja calculando o produto vetorial de cada componente do primeiro vetor pelas componentes do segundo vetor Lembrese que ˆi ˆi 0 ˆj ˆj 0 ˆk ˆk 0 ˆi ˆj ˆk ˆj ˆk ˆi ˆk ˆi ˆj ˆj ˆi ˆk ˆk ˆj ˆi ˆi ˆk ˆj Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 35 36 Multiplicação de Vetores Assim por exemplo na expansão da equação 22 temos axˆi bxˆi axbxˆi ˆi 0 porque os vetores unitários ˆi e ˆi são paralelos e portanto o produto vetorial é zero Analogamente temos axˆi byˆj axbyˆi ˆj axbyˆk Continuando a expandir a equação 22 é possível mostrar que a b aybz byazˆi azbx bzaxˆj axby bxayˆk 23 Também é possível calcular o resultado de um produto vetorial usando um determinante Prof Dr André Filho UDF Capítulo 3 36 36