Campo Elétrico: Densidade de Carga e Cálculos

Física 2 Campo Elétrico Parte 2 Física 2 Uma vez que as cargas elétricas só existem associadas as partículas é natural pensarmos que o valor do campo elétrico num determinado ponto é dado pela somatória dos efeitos de todas as cargas elétricas presentes naquela região Porém este resultado dependeria do conhecimento das coordenadas de cada uma das partículas que seria muito trabalhoso Uma forma de simplificar este problema é utilizando o conceito de densidade de carga ou seja definir uma função contínua que quantifica a quantidade de carga numa determinada região do espaço Determinação do campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de cargas elétricas Física 2 Definições de densidade de carga 1 Densidade de carga linear quantidade de carga por unidade de comprimento 𝝀 𝒅𝒒 𝒅𝑳 2 Densidade de carga superficial quantidade de carga por unidade de área 𝝈 𝒅𝒒 𝒅𝑨 𝒅𝑨 𝟐𝝅 𝒓 𝒅𝒓 3 Densidade de carga volumétrica quantidade de carga por unidade de volume 𝝆 𝒅𝑸 𝒅𝑽 𝒅𝑽 𝟒𝝅𝒓𝟐 𝒅𝒓 Física 2 Exercício 1 Uma carga positiva Q está distribuída uniformemente ao longo de uma semicircunferência de raio a Obtenha o campo elétrico módulo direção e sentido no centro da curvatura P Física 2 Solução Uma quantidade de carga infinitesimal dq sobre o arco ds gera um campo infinitesimal dE no ponto P Em termos de componentes temos 𝑬𝒙 න 𝒅𝑬 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝑬𝒚 න 𝒅𝑬 𝒔𝒆𝒏 𝜽 A partir da simetria do problema temos que a componente x do campo elétrico no ponto P é nula A componente Ey vale 𝑬𝒚 𝒌 න 𝒅𝒒 𝒂𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜽 Física 2 Em termos da densidade linear a quantidade de carga 𝒅𝒒 vale 𝑬𝒚 𝒌 න 𝝀 𝒅𝒔 𝒂𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒌 න 𝝀 𝒂 𝒅𝜽 𝒂𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝝀 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒂 න 𝒅𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝒒 𝝀𝒅𝒔 Então a componente do campo elétrico no ponto P será A figura mostra que o intervalo de integração vale 0 θ π 𝑬𝒚 𝝀 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒂 න 𝟎 𝝅 𝒅𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝝀 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒂 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝝅 𝟎 𝝀 𝟐𝝅𝜺𝟎 𝒂 Em termos da carga Q 𝑬𝒚 𝑸 𝟐𝝅𝟐𝜺𝟎 𝒂𝟐 Física 2 Exercício 2 Campo elétrico de um anel carregado Um condutor em forma de anel de raio a possui uma carga Q distribuída uniformemente ao longo dele Determinar o campo elétrico em um ponto P situado sobre o eixo do anel a uma distância x do seu centro Física 2 Solução A quantidade infinitesimal de carga 𝒅𝑸 produz um campo elétrico 𝒅𝑬 no ponto P dado por 𝒅𝑬 𝒅𝑬𝒙 Ԧ𝒊 𝒅𝑬𝒚 Ԧ𝒋 sendo 𝒅𝑬𝒚 𝒅𝑬 𝒔𝒆𝒏 𝜶 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒅𝑸 𝒂𝟐 𝒙𝟐 𝐬𝐞𝐧 𝜶 𝒅𝑬𝒙 𝒅𝑬 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒅𝑸 𝒂𝟐 𝒙𝟐 𝐜𝐨𝐬𝜶 Substituindo os valores de 𝐬𝐞𝐧 𝜶 e 𝐜𝐨𝐬𝜶 as componentes do campo tornamse α Física 2 𝑬𝒙 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒙 𝒂𝟐 𝒙𝟐𝟑𝟐 න 𝒅𝑸 Em termos da densidade a quantidade de carga 𝒅𝑸 pode ser reescrita como 𝑬𝒚 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒂 𝒂𝟐 𝒙𝟐𝟑𝟐 න 𝒅𝑸 𝒅𝑸 𝝀 𝒅𝒔 𝝀 𝒂 𝒅𝜽 Observe que no caso da componente 𝑬𝒚 a integral deve ser dividida em duas pois a orientação do campo é alterada Para o intervalo entre 0 θ π o campo 𝑬𝒚 aponta para o sentido j enquanto que para o intervalo π θ 2π o sentido é j Então 𝑬𝒚 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝝀𝒂𝟐 𝒂𝟐 𝒙𝟐𝟑𝟐 න 𝟎 𝝅 𝒅𝜽 න 𝝅 𝟐𝝅 𝒅𝜽 𝟎 Portanto devido a simetria na distribuição das cargas temos que a componente 𝑬𝒚 no ponto P é nula Para a componente 𝑬𝒙 a integral pode ser feita diretamente visto que não existe alteração de sentido Portanto o campo resultante no ponto P vale e 𝑬𝒙 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝑸𝒙 𝒂𝟐 𝒙𝟐𝟑𝟐 Física 2 Exercício 3 Considere a situação para a qual aproximarmos um elétron do centro do arco ou seja numa posição na qual x a Para este caso mostre que o elétron ficará submetido a uma força harmônica e calcule a frequência do movimento da partícula Física 2 Solução O exercício anterior mostrou que o campo elétrico sobre o eixo do anel carregado é dado por 𝑬𝒙 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝑸𝒙 𝒂𝟐 𝒙𝟐𝟑𝟐 No limite para x a podemos desprezar o termo de segunda ordem 𝒙𝟐 𝒂𝟐 e com isso a expressão do campo elétrico tornase 𝑬𝒙 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝑸𝒙 𝒂𝟑 Fatorando o termo 𝒂𝟐 a expressão acima pode ser reescrita na forma 𝑬𝒙 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝑸𝒙 𝒂𝟑𝟏 𝒙𝟐 𝒂𝟐𝟑𝟐 Física 2 Lembrando que a força elétrica que atua sobre o elétron é dada pelo produto entre a carga da partícula e o valor do campo elétrico no ponto temos 𝑭𝒙 𝒆𝑬𝒙 𝒆 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝑸𝒙 𝒂𝟑 𝒌𝒙 Observe que a força resultante é proporcional ao deslocamento x em relação ao centro do anel de cargas e o fator de proporcionalidade neste caso é dado por 𝒌 𝒆 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝑸 𝒂𝟑 Então concluímos que o elétron está submetido a ação de uma força resultante proporcional ao deslocamento x e como estudamos anteriormente o movimento da partícula é um movimento harmônico simples cuja frequência é dada por 𝒇 𝟏 𝟐𝝅 𝒌 𝒎 𝟏 𝟐𝝅 𝒆 𝟒𝝅𝜺𝟎𝒎 𝑸 𝒂𝟑 Física 2 Exercício 4 Uma carga elétrica Q está distribuída uniformemente ao longo de uma barra reta situada no eixo Ox e de comprimento 2L Determine o campo elétrico em um ponto P situado a uma distância a do centro da barra Física 2 Solução A quantidade de carga 𝒅𝒒 contida no segmento infinitesimal 𝒅𝒙 gera um campo elétrico no ponto P dado por Vamos determinar a componente x integrando a expressão acima 𝑬𝒙 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 න 𝒅𝒒 𝒂𝟐 𝒙𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝑬 𝒅𝑬𝒙 Ԧ𝒊 𝒅𝑬𝒚 Ԧ𝒋 sendo 𝒅𝑬𝒙 𝒅𝑬 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒅𝒒 𝒂𝟐 𝒙𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝑬𝒚 𝒅𝑬 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒅𝑸 𝒂𝟐 𝒙𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝜽 Física 2 Reescrevendo em termos da densidade a expressão tornase 𝑬𝒙 𝝀 𝟒𝝅𝜺𝟎 න 𝒅𝒙 𝒂𝟐 𝒙𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜽 Fatorando 𝒂𝟐 𝑬𝒙 𝝀 𝟒𝝅𝜺𝟎𝒂𝟐 න 𝒅𝒙 𝟏 𝒙𝟐 𝒂𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜽 A partir da mudança de variável 𝒙 𝒂 𝐭𝒈𝜽 com 𝒅𝒙 𝒂 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽 a integral é reescrita como 𝑬𝒙 𝝀 𝟒𝝅𝜺𝟎𝒂𝟐 න 𝒂 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽 𝟏 𝒕𝒈𝟐𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝝀 𝟒𝝅𝜺𝟎𝒂 න 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽 𝝀 𝟒𝝅𝜺𝟎𝒂 𝒄𝒐𝒔𝜽 Analogamente a componente Ey do campo elétrico no ponto P é dado por 𝑬𝒚 𝝀 𝟒𝝅𝜺𝟎𝒂 න 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝜽 𝝀 𝟒𝝅𝜺𝟎𝒂 𝒔𝒆𝒏 𝜽 Física 2 Uma vez que desejamos calcular o campo a uma distância a do centro da barra temos que 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 𝑳 𝑳𝟐 𝒂𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 𝑳 𝑳𝟐 𝒂𝟐 Então 𝑬𝒚 𝝀 𝟒𝝅𝜺𝟎𝒂 𝑳 𝒂𝟐 𝑳𝟐 𝑳 𝒂𝟐 𝑳𝟐 𝝀 𝟐𝝅𝜺𝟎𝒂 𝑳 𝒂𝟐 𝑳𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 𝒂 𝑳𝟐 𝒂𝟐 𝑬𝒙 𝝀 𝟒𝝅𝜺𝟎𝒂 𝒂 𝒂𝟐 𝑳𝟐 𝒂 𝒂𝟐 𝑳𝟐 𝟎 Para a componente 𝑬𝒚 resulta que Desta forma o campo resultante está na direção perpendicular à barra e possui intensidade