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Física 2 Energia Potencial Eletrostática e Potencial Elétrico Física 2 Energia Potencial Eletrostática Considere uma partícula de carga q positiva numa região do espaço onde existe um campo elétrico 𝑬 independente do tempo A força de Coulomb que atua sobre a partícula vale 𝑭 𝒒𝑬 e o trabalho realizado para deslocar essa partícula entre dois pontos A e B é dado por 𝑾𝑨𝑩 න 𝒓𝑨 𝒓𝑩 𝑭 𝒅𝒓 𝒒 න 𝒓𝑨 𝒓𝑩 𝑬 𝒅𝒓 𝑼 Física 2 A partir dessa expressão interpretase o valor da energia potencial eletrostática como 𝑾𝑨𝑩 න 𝒓𝑨 𝒓𝑩 𝑭 𝒅𝒓 𝒒𝑸 𝟒𝝅𝜺𝟎 න 𝒓𝑨 𝒓𝑩 𝒅𝒓 𝒓𝟐 𝒒𝑸 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝟏 𝒓𝑩 𝟏 𝒓𝑨 𝑼𝒓 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒒𝑸 𝒓 Substituindo o campo elétrico pela expressão 𝑬 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝑸 𝒓𝟐 resulta A energia potencial eletrostática entre duas partículas depende dos valores das cargas e da distância entre elas Considere a distribuição de cargas ilustrada na figura Determine o valor da energia potencial elestrostática do sistema sendo 𝒒 𝟏 𝟎 𝝁𝑪 Exercício 1 Física 2 A B C Solução Física 2 A partir da definição da energia potencial eletrostática 𝑼𝒓 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒒𝑸 𝒓 Temos que para o sistema de três partículas resulta que 𝑼 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒒𝑨𝒒𝑩 𝒓𝑨𝑩 𝒒𝑨𝒒𝑪 𝒓𝑨𝑪 𝒒𝑩𝒒𝑪 𝒓𝑩𝑪 A B C Numericamente 𝑼 𝟗 𝟏𝟎𝟗 𝟒 10𝟏2 𝟖 10𝟐 𝟔 1012 𝟔 102 𝟔 1012 𝟏𝟎 102 𝑼 𝟎 𝟖𝟏 𝑱 Potencial Elétrico A força elétrica é conservativa e por esta razão temse que o trabalho realizado pela força para deslocar uma partícula entre dois pontos é igual a menos a variação da energia potencial Física 2 𝑾𝑨𝑩 න 𝒓𝑨 𝒓𝑩 𝑭 𝒅𝒓 𝑼 Lembrando que a força elétrica 𝑭 atua sobre uma partícula de carga q que interage com o campo elétrico 𝑬 tal que 𝑭 𝑞𝑬 resulta 𝑼 𝒒 න 𝒓𝑨 𝒓𝑩 𝑬 𝒅𝒓 A partir desta expressão definese a diferença de potencial elétrico entre dois pontos A e B como a variação da energia por unidade de carga 𝑽 𝑼 𝒒 න 𝒓𝑨 𝒓𝑩 𝑬 𝒅𝒓 Física 2 𝑽 𝒓 න 𝒓 𝑬 𝒅𝒓 O potencial elétrico 𝑽𝒓 é uma grandeza física associada a variação de energia potencial elétrica trabalho necessária para deslocar uma carga elétrica entre dois pontos do espaço No Sistema Internacional de Unidades o potencial elétrico é medido em volts sendo 𝒗𝒐𝒍𝒕 𝑗𝒐𝒖𝒍𝒆 𝒄𝒐𝒖𝒍𝒐𝒎𝒃 Em termos de campo elétrico o potencial escalar 𝑽 𝒓 calculado no ponto r é dado pela integral Nesta definição considerase que o potencial elétrico é nulo quando 𝒓 Trata se apenas de uma condição para definir o valor do potencial elétrico sem a necessidade de introduzir uma constante de integração Física 2 Exercício 2 A partir da definição determine a expressão do potencial elétrico no ponto r gerado por uma carga pontual e positiva Em seguida calcule o valor desse potencial considerando que q 40 nC a uma distância de 20 m da carga Física 2 𝑽 𝒓 න 𝒓 𝑬 𝒅𝒓 Solução A partir da expressão e lembrando que o campo elétrico gerado por uma carga pontual vale 𝑬𝒓 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒒 𝒓𝟐 temos que o potencial elétrico será 𝑽 𝒓 𝒒 𝟒𝝅𝜺𝟎 න 𝒓 𝒅𝒓 𝒓𝟐 𝑽 𝒓 𝒒 𝟒𝝅𝜺𝟎𝒓 𝑽 𝟏𝟖 𝑽 Esta expressão caracteriza o potencial elétrico gerado por uma partícula de carga q no ponto r Substituindo os valores da carga q 40 nC e da distância r 20 m Física 2 Exercício 3 Uma carga positiva q1 83 nC está localizada na origem do sistema de coordenadas Uma segunda carga q2 28 nC está localizada sobre o eixo x a uma distância de 120 cm da primeira carga Determine em que ponto sobre o eixo x entre as duas cargas o potencial elétrico terá um valor mínimo Física 2 Solução Para determinar a coordenada do mínimo da função derivaremos A partir da expressão do potencial de uma carga puntual 𝑽 𝒓 𝒒 𝟒𝝅𝜺𝟎𝒓 temse 𝑽 𝒓 𝒒𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎𝒙 𝒒𝟐 𝟒𝝅𝜺𝟎𝟎 𝟏𝟐 𝒙 𝑽 𝒓 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒒𝟏 𝒙 𝒒𝟐 𝟎 𝟏𝟐 𝒙 𝒅𝑽 𝒅𝒙 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒒𝟏 𝒙𝟐 𝒒𝟐 𝟎 𝟏𝟐 𝒙𝟐 Física 2 Extraindo a raiz quadrada da igualdade Igualando a zero a expressão resulta 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒒𝟏 𝒙𝟐 𝒒𝟐 𝟎 𝟏𝟐 𝒙𝟐 𝟎 𝒒𝟏 𝒙𝟐 𝒒𝟐 𝟎 𝟏𝟐 𝒙𝟐 𝟎 𝒒𝟏𝟎 𝟏𝟐 𝒙𝟐 𝒒𝟐𝒙𝟐 𝒙𝟐𝟎 𝟏𝟐 𝒙𝟐 𝟎 𝒒𝟏𝟎 𝟏𝟐 𝒙𝟐 𝒒𝟐 𝒙𝟐 𝒒𝟏 𝒒𝟐 𝟎 𝟏𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟐 Reescrevendo esse resultado 𝒒𝟏 𝒒𝟐 𝟎 𝟏𝟐 𝒙 𝒙 𝒙 𝒒𝟏 𝒒𝟐 𝟎 𝟏𝟐 𝟏 𝒒𝟏 𝒒𝟐 𝒙 𝟎 𝟎𝟕𝟔 𝒎 𝟕 𝟔 𝒄𝒎 Física 2 Relação entre Potencial Elétrico e Campo Elétrico O campo elétrico pode ser expressado como menos o gradiente da função escalar potencial elétrico 𝑬 𝑽 𝒓 𝑽 𝒙 Ƹ𝒊 𝑽 𝒚 Ƹ𝒋 𝑽 𝒛 𝒌 Justificase essa definição lembrando que sobre uma superfície equipotencial não se observa variação de energia potencial logo o trabalho realizado pela força elétrica para deslocar uma partícula entre dois pontos é igual a zero Então necessariamente a força 𝑭 e o campo 𝑬 são vetores perpendiculares a trajetória 𝒂 𝒃 ou seja paralelos ao gradiente no ponto Física 2 Exercício 4 Dado o potencial elétrico 𝑽 𝒙 𝒚 𝑨𝒙𝟐𝒚 𝑩𝒙𝒚𝟐 sendo 𝑨 𝟓 𝟎𝟎 𝑽 𝒎𝟑 e B 𝟐 𝟎𝟎 𝑽 𝒎𝟑 determine o valor do vetor campo elétrico no ponto de coordenadas x 10 m e y 30 m Física 2 Solução Lembrando que o campo elétrico pode ser escrito como o gradiente do potencial escalar Obtemos que as componentes do vetor são e Substituindo os valores numéricos das constantes e das coordenadas resulta 𝑬 𝑽 𝒓 𝑽 𝒙 Ƹ𝒊 𝑽 𝒚 Ƹ𝒋 𝑬𝒙 𝑽 𝒙 𝟐𝑨𝒙𝒚 𝑩𝒚𝟐 𝑬𝒚 𝑽 𝒚 𝑨𝒙𝟐 𝟐𝑩𝒙𝒚 𝑬 𝟏𝟐 Ƹ𝒊 𝟕 𝒋 𝑽 𝒎 Física 2 Exercício 5 O potencial elétrico gerado por uma carga pontual q a uma distância r é dado pela expressão 𝑽 𝒓 𝒒 𝟒𝝅𝜺𝟎𝒓 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒒 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐 Mostre que as curvas equipotenciais são esferas em torno da posição da carga q Física 2 Solução Considere que a carga q esteja localizada na origem do sistema de coordenadas cartesianas tal que o potencial elétrico a uma distância r da carga seja dado por Como estamos interessados nas curvas equipotenciais o lugar geométrico procurado é aquele para o qual 𝑽 𝒓 𝑲 ou seja Essa expressão pode ser reescrita como Assim demonstrase que as superfícies equipotenciais são esferas de raio C em torno da partícula q 𝑽 𝒓 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒒 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐 𝑽 𝒓 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒒 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐 𝑲 𝟏 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐 𝟒𝝅𝜺𝟎𝑲 𝒒 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐 𝐶 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐 𝑪𝟐 Física 2 Exercício 5 Determine o valor do potencial elétrico 𝑽𝒓 a uma distância r de uma linha infinita de cargas positivas cuja densidade linear λ seja constante Física 2 Solução A função potencial escalar é dada por 𝑽 𝒓 න 𝒓𝒂 𝒓 𝑬 𝒅𝒓 onde 𝒓𝒂 é uma coordenada de referência A partir da Lei de Gauss temse que o campo elétrico gerado por uma linha infinita de cargas com densidade constante é dado por 𝑬 𝒓 𝟏 𝟐𝝅𝜺𝟎 𝝀 𝒓 Física 2 Substituindo na integral resulta 𝑽 𝒓 𝝀 𝟐𝝅𝜺𝟎 න 𝒓𝒂 𝒓 𝒅𝒓 𝒓 𝝀 𝟐𝝅𝜺𝟎 𝒍𝒏 𝒓 𝒓𝒂 É importante obsevar que a coordenada 𝒓𝒂 não desempenha papel na solução pois fisicamente a grandeza medida é a ddp differença de potencial Entre os pontos R1 e R2 𝑽 𝝀 𝟐𝝅𝜺𝟎 𝒍𝒏 𝑹𝟐 𝒓𝒂 𝒍𝒏 𝑹𝟏 𝒓𝒂 𝑽 𝝀 𝟐𝝅𝜺𝟎 𝒍𝒏 𝑹𝟐 𝑹𝟏 Física 2 Exercício 6 Determine o valor do potencial elétrico 𝑽𝒓 a uma distância x do centro de um aro de raio a carregado positivamente cuja densidade linear λ seja constante Física 2 Solução A função potencial escalar é dada por 𝑽 𝒓 න 𝒓𝒂 𝒓 𝑬 𝒅𝒓 onde 𝒓𝒂 é uma coordenada de referência O campo elétrico gerado por um anel de cargas com densidade constante é dado por 𝑬𝒙 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝑸𝒙 𝒂𝟐 𝒙𝟐𝟑𝟐 Substituindo na integral resulta Física 2 𝑽 𝒙 𝑸 𝟒𝝅𝜺𝟎 න 𝒙 𝒙 𝒂𝟐 𝒙𝟐𝟑𝟐 𝒅𝒙 A partir da mudança de variável 𝒖 𝒂𝟐 𝒙𝟐 𝒅𝒖 𝟐𝒙 𝒅𝒙 A integral é reescrita na forma න 𝒙 𝒂𝟐 𝒙𝟐𝟑𝟐 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 න 𝒖𝟑𝟐𝒅𝒖 𝒖𝟏 𝟐 𝑪 𝟏 𝒂𝟐 𝒙𝟐 𝑪 Substituindo os limites de integração resulta que o valor do potencial será 𝑽 𝒙 𝑸 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝟏 𝒂𝟐 𝒙𝟐
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
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Física 2 Energia Potencial Eletrostática e Potencial Elétrico Física 2 Energia Potencial Eletrostática Considere uma partícula de carga q positiva numa região do espaço onde existe um campo elétrico 𝑬 independente do tempo A força de Coulomb que atua sobre a partícula vale 𝑭 𝒒𝑬 e o trabalho realizado para deslocar essa partícula entre dois pontos A e B é dado por 𝑾𝑨𝑩 න 𝒓𝑨 𝒓𝑩 𝑭 𝒅𝒓 𝒒 න 𝒓𝑨 𝒓𝑩 𝑬 𝒅𝒓 𝑼 Física 2 A partir dessa expressão interpretase o valor da energia potencial eletrostática como 𝑾𝑨𝑩 න 𝒓𝑨 𝒓𝑩 𝑭 𝒅𝒓 𝒒𝑸 𝟒𝝅𝜺𝟎 න 𝒓𝑨 𝒓𝑩 𝒅𝒓 𝒓𝟐 𝒒𝑸 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝟏 𝒓𝑩 𝟏 𝒓𝑨 𝑼𝒓 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒒𝑸 𝒓 Substituindo o campo elétrico pela expressão 𝑬 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝑸 𝒓𝟐 resulta A energia potencial eletrostática entre duas partículas depende dos valores das cargas e da distância entre elas Considere a distribuição de cargas ilustrada na figura Determine o valor da energia potencial elestrostática do sistema sendo 𝒒 𝟏 𝟎 𝝁𝑪 Exercício 1 Física 2 A B C Solução Física 2 A partir da definição da energia potencial eletrostática 𝑼𝒓 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒒𝑸 𝒓 Temos que para o sistema de três partículas resulta que 𝑼 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒒𝑨𝒒𝑩 𝒓𝑨𝑩 𝒒𝑨𝒒𝑪 𝒓𝑨𝑪 𝒒𝑩𝒒𝑪 𝒓𝑩𝑪 A B C Numericamente 𝑼 𝟗 𝟏𝟎𝟗 𝟒 10𝟏2 𝟖 10𝟐 𝟔 1012 𝟔 102 𝟔 1012 𝟏𝟎 102 𝑼 𝟎 𝟖𝟏 𝑱 Potencial Elétrico A força elétrica é conservativa e por esta razão temse que o trabalho realizado pela força para deslocar uma partícula entre dois pontos é igual a menos a variação da energia potencial Física 2 𝑾𝑨𝑩 න 𝒓𝑨 𝒓𝑩 𝑭 𝒅𝒓 𝑼 Lembrando que a força elétrica 𝑭 atua sobre uma partícula de carga q que interage com o campo elétrico 𝑬 tal que 𝑭 𝑞𝑬 resulta 𝑼 𝒒 න 𝒓𝑨 𝒓𝑩 𝑬 𝒅𝒓 A partir desta expressão definese a diferença de potencial elétrico entre dois pontos A e B como a variação da energia por unidade de carga 𝑽 𝑼 𝒒 න 𝒓𝑨 𝒓𝑩 𝑬 𝒅𝒓 Física 2 𝑽 𝒓 න 𝒓 𝑬 𝒅𝒓 O potencial elétrico 𝑽𝒓 é uma grandeza física associada a variação de energia potencial elétrica trabalho necessária para deslocar uma carga elétrica entre dois pontos do espaço No Sistema Internacional de Unidades o potencial elétrico é medido em volts sendo 𝒗𝒐𝒍𝒕 𝑗𝒐𝒖𝒍𝒆 𝒄𝒐𝒖𝒍𝒐𝒎𝒃 Em termos de campo elétrico o potencial escalar 𝑽 𝒓 calculado no ponto r é dado pela integral Nesta definição considerase que o potencial elétrico é nulo quando 𝒓 Trata se apenas de uma condição para definir o valor do potencial elétrico sem a necessidade de introduzir uma constante de integração Física 2 Exercício 2 A partir da definição determine a expressão do potencial elétrico no ponto r gerado por uma carga pontual e positiva Em seguida calcule o valor desse potencial considerando que q 40 nC a uma distância de 20 m da carga Física 2 𝑽 𝒓 න 𝒓 𝑬 𝒅𝒓 Solução A partir da expressão e lembrando que o campo elétrico gerado por uma carga pontual vale 𝑬𝒓 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒒 𝒓𝟐 temos que o potencial elétrico será 𝑽 𝒓 𝒒 𝟒𝝅𝜺𝟎 න 𝒓 𝒅𝒓 𝒓𝟐 𝑽 𝒓 𝒒 𝟒𝝅𝜺𝟎𝒓 𝑽 𝟏𝟖 𝑽 Esta expressão caracteriza o potencial elétrico gerado por uma partícula de carga q no ponto r Substituindo os valores da carga q 40 nC e da distância r 20 m Física 2 Exercício 3 Uma carga positiva q1 83 nC está localizada na origem do sistema de coordenadas Uma segunda carga q2 28 nC está localizada sobre o eixo x a uma distância de 120 cm da primeira carga Determine em que ponto sobre o eixo x entre as duas cargas o potencial elétrico terá um valor mínimo Física 2 Solução Para determinar a coordenada do mínimo da função derivaremos A partir da expressão do potencial de uma carga puntual 𝑽 𝒓 𝒒 𝟒𝝅𝜺𝟎𝒓 temse 𝑽 𝒓 𝒒𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎𝒙 𝒒𝟐 𝟒𝝅𝜺𝟎𝟎 𝟏𝟐 𝒙 𝑽 𝒓 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒒𝟏 𝒙 𝒒𝟐 𝟎 𝟏𝟐 𝒙 𝒅𝑽 𝒅𝒙 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒒𝟏 𝒙𝟐 𝒒𝟐 𝟎 𝟏𝟐 𝒙𝟐 Física 2 Extraindo a raiz quadrada da igualdade Igualando a zero a expressão resulta 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒒𝟏 𝒙𝟐 𝒒𝟐 𝟎 𝟏𝟐 𝒙𝟐 𝟎 𝒒𝟏 𝒙𝟐 𝒒𝟐 𝟎 𝟏𝟐 𝒙𝟐 𝟎 𝒒𝟏𝟎 𝟏𝟐 𝒙𝟐 𝒒𝟐𝒙𝟐 𝒙𝟐𝟎 𝟏𝟐 𝒙𝟐 𝟎 𝒒𝟏𝟎 𝟏𝟐 𝒙𝟐 𝒒𝟐 𝒙𝟐 𝒒𝟏 𝒒𝟐 𝟎 𝟏𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟐 Reescrevendo esse resultado 𝒒𝟏 𝒒𝟐 𝟎 𝟏𝟐 𝒙 𝒙 𝒙 𝒒𝟏 𝒒𝟐 𝟎 𝟏𝟐 𝟏 𝒒𝟏 𝒒𝟐 𝒙 𝟎 𝟎𝟕𝟔 𝒎 𝟕 𝟔 𝒄𝒎 Física 2 Relação entre Potencial Elétrico e Campo Elétrico O campo elétrico pode ser expressado como menos o gradiente da função escalar potencial elétrico 𝑬 𝑽 𝒓 𝑽 𝒙 Ƹ𝒊 𝑽 𝒚 Ƹ𝒋 𝑽 𝒛 𝒌 Justificase essa definição lembrando que sobre uma superfície equipotencial não se observa variação de energia potencial logo o trabalho realizado pela força elétrica para deslocar uma partícula entre dois pontos é igual a zero Então necessariamente a força 𝑭 e o campo 𝑬 são vetores perpendiculares a trajetória 𝒂 𝒃 ou seja paralelos ao gradiente no ponto Física 2 Exercício 4 Dado o potencial elétrico 𝑽 𝒙 𝒚 𝑨𝒙𝟐𝒚 𝑩𝒙𝒚𝟐 sendo 𝑨 𝟓 𝟎𝟎 𝑽 𝒎𝟑 e B 𝟐 𝟎𝟎 𝑽 𝒎𝟑 determine o valor do vetor campo elétrico no ponto de coordenadas x 10 m e y 30 m Física 2 Solução Lembrando que o campo elétrico pode ser escrito como o gradiente do potencial escalar Obtemos que as componentes do vetor são e Substituindo os valores numéricos das constantes e das coordenadas resulta 𝑬 𝑽 𝒓 𝑽 𝒙 Ƹ𝒊 𝑽 𝒚 Ƹ𝒋 𝑬𝒙 𝑽 𝒙 𝟐𝑨𝒙𝒚 𝑩𝒚𝟐 𝑬𝒚 𝑽 𝒚 𝑨𝒙𝟐 𝟐𝑩𝒙𝒚 𝑬 𝟏𝟐 Ƹ𝒊 𝟕 𝒋 𝑽 𝒎 Física 2 Exercício 5 O potencial elétrico gerado por uma carga pontual q a uma distância r é dado pela expressão 𝑽 𝒓 𝒒 𝟒𝝅𝜺𝟎𝒓 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒒 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐 Mostre que as curvas equipotenciais são esferas em torno da posição da carga q Física 2 Solução Considere que a carga q esteja localizada na origem do sistema de coordenadas cartesianas tal que o potencial elétrico a uma distância r da carga seja dado por Como estamos interessados nas curvas equipotenciais o lugar geométrico procurado é aquele para o qual 𝑽 𝒓 𝑲 ou seja Essa expressão pode ser reescrita como Assim demonstrase que as superfícies equipotenciais são esferas de raio C em torno da partícula q 𝑽 𝒓 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒒 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐 𝑽 𝒓 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒒 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐 𝑲 𝟏 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐 𝟒𝝅𝜺𝟎𝑲 𝒒 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐 𝐶 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐 𝑪𝟐 Física 2 Exercício 5 Determine o valor do potencial elétrico 𝑽𝒓 a uma distância r de uma linha infinita de cargas positivas cuja densidade linear λ seja constante Física 2 Solução A função potencial escalar é dada por 𝑽 𝒓 න 𝒓𝒂 𝒓 𝑬 𝒅𝒓 onde 𝒓𝒂 é uma coordenada de referência A partir da Lei de Gauss temse que o campo elétrico gerado por uma linha infinita de cargas com densidade constante é dado por 𝑬 𝒓 𝟏 𝟐𝝅𝜺𝟎 𝝀 𝒓 Física 2 Substituindo na integral resulta 𝑽 𝒓 𝝀 𝟐𝝅𝜺𝟎 න 𝒓𝒂 𝒓 𝒅𝒓 𝒓 𝝀 𝟐𝝅𝜺𝟎 𝒍𝒏 𝒓 𝒓𝒂 É importante obsevar que a coordenada 𝒓𝒂 não desempenha papel na solução pois fisicamente a grandeza medida é a ddp differença de potencial Entre os pontos R1 e R2 𝑽 𝝀 𝟐𝝅𝜺𝟎 𝒍𝒏 𝑹𝟐 𝒓𝒂 𝒍𝒏 𝑹𝟏 𝒓𝒂 𝑽 𝝀 𝟐𝝅𝜺𝟎 𝒍𝒏 𝑹𝟐 𝑹𝟏 Física 2 Exercício 6 Determine o valor do potencial elétrico 𝑽𝒓 a uma distância x do centro de um aro de raio a carregado positivamente cuja densidade linear λ seja constante Física 2 Solução A função potencial escalar é dada por 𝑽 𝒓 න 𝒓𝒂 𝒓 𝑬 𝒅𝒓 onde 𝒓𝒂 é uma coordenada de referência O campo elétrico gerado por um anel de cargas com densidade constante é dado por 𝑬𝒙 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝑸𝒙 𝒂𝟐 𝒙𝟐𝟑𝟐 Substituindo na integral resulta Física 2 𝑽 𝒙 𝑸 𝟒𝝅𝜺𝟎 න 𝒙 𝒙 𝒂𝟐 𝒙𝟐𝟑𝟐 𝒅𝒙 A partir da mudança de variável 𝒖 𝒂𝟐 𝒙𝟐 𝒅𝒖 𝟐𝒙 𝒅𝒙 A integral é reescrita na forma න 𝒙 𝒂𝟐 𝒙𝟐𝟑𝟐 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 න 𝒖𝟑𝟐𝒅𝒖 𝒖𝟏 𝟐 𝑪 𝟏 𝒂𝟐 𝒙𝟐 𝑪 Substituindo os limites de integração resulta que o valor do potencial será 𝑽 𝒙 𝑸 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝟏 𝒂𝟐 𝒙𝟐