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FÍSICA 2 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 3 BIMESTRE Campo e Força Magnética Lei de Biot Savart e Lei de Ampère Prof Airton Eiras FÍSICA 2 EFB 206 Magnetismo Alguns aspectos associados ao magnetismo são bem conhecidos tais como metais sendo atraídos por imãs permanentes ou o movimento da agulha de uma bússola Imãs são materiais com propriedades magnéticas resultantes do movimento de cargas no nível atômico produzindo correntes microscópicas que darão origem a campos magnéticos naturais Diferentemente do caso elétrico não são observadas cargas magnéticas isoladas e portanto a menor unidade magnética é o dipolo Força Magnética Considere uma partícula com carga q deslocandose com velocidade 𝒗 numa região onde existe um campo magnético 𝑩 Esta carga sofre a ação de uma força magnética dada por 𝑭 𝑴 𝒒 𝒗 𝑩 É importante observar que a direção da força magnética 𝑭 𝑴 é sempre perpendicular as direções da velocidade 𝒗 e do campo magnético 𝑩 Podemos entender essa expressão como sendo a definição do campo magnético Observe que uma partícula carregada e deslocandose com velocidade v numa região onde existe um campo de indução magnética sofrerá a ação de uma força que irá alterar sua trajetória Esta interpretação é muito parecida com aquela que usamos para definir campo elétrico Cargas sob ação de campos magnéticos Considere uma carga q e massa m deslocandose com velocidade 𝒗 numa região onde existe um campo magnético constante 𝑩 A partir da definição 𝑭 𝑴 𝒒𝒗 𝑩 sabemos que a direção da força magnética é perpendicular ao plano definido pelos vetores velocidade 𝑣 e campo 𝐵 Observe que o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade pois 𝒂 𝒗 𝟎 Portanto concluímos que a componente da aceleração na direção da velocidade é nula isto é o módulo da velocidade é constante 𝒅𝒗 𝒅𝒕 𝟎 𝒗 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 Com isso concluise que a força magnética não realiza trabalho e como consequência o valor da energia cinética não é modificado pela interação com campo magnético uniforme Visto que a aceleração é sempre perpendicular à velocidade a partícula executa um movimento circular uniforme O raio da trajetória pode ser calculado lembrando que o valor da força centrípeta é igual ao valor da força magnética resultante 𝑭𝒄 𝑭𝑴 𝒎 𝒗𝟐 𝑹 𝒒𝒗𝑩 Assim 𝑹 𝒎𝒗 𝒒𝑩 Exemplo Uma partícula de carga q 0 e massa m penetra numa região onde existe um campo de indução magnética 𝑩 𝑩𝒊 Sua velocidade 𝒗 tem direção que forma um ângulo θ com a direção do campo magnético A partícula ao penetrar na região do campo de indução magnética 𝐵 com velocidade 𝑣 𝒗 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽 𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒋 FÍSICA 2 EFB 206 A força magnética é 𝑭 𝑴 𝒒𝒗𝐜𝐨𝐬𝜽 𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒋 𝑩 𝒊 𝒒𝒗𝑩𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒌 O raio da trajetória é no plano yz vale 𝒒𝒗𝑩𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒎 𝒗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 𝑹 𝑹 𝒎𝒗 𝒒𝑩 𝒔𝒆𝒏𝜽 Como a partícula possui velocidade 𝒗𝒙 𝒗𝒔𝒆𝒏 𝜽 constante o movimento é a superposição de um movimento circular no plano e um movimento retilíneo uniforme na direção do eixo x configurando uma hélice cilíndrica O período de rotação do movimento é 𝑻 𝟐𝝅𝑹 𝒗𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟐𝝅𝒎 𝒒𝑩 Note que o período e consequentemente a frequência são independentes da velocidade Força magnética em um condutor Se o elemento infinitesimal de comprimento 𝒅𝒍 do condutor pelo qual atravessa uma corrente I está numa região de campo magnético 𝑩 a força magnética sobre o condutor é 𝒅𝑭 𝑴 𝑰 𝒅𝒍 𝑩 Então a força magnética resultante sobre o condutor será 𝑭 𝑴 𝑰 𝒅𝒍 𝑩 𝒃 𝒂 Em particular para o campo 𝐵 e a corrente I constantes a força magnética sobre o condutor vale 𝑭 𝑴 𝑰 𝑳 𝑩 𝑭 𝑴 𝑰 𝑳 𝑩 𝒔𝒆𝒏 𝝓 sendo L o comprimento do condutor e 𝝓 o ângulo entre as direções da corrente e do campo 𝑩 Exemplo 1 Um fio longo que transporta uma corrente de 450 A faz duas dobras de 90o como indica a figura A parte dobrada do fio atravessa um campo magnético uniforme de 0240 T orientado como indicado na figura e confinado a uma região do espaço Determine o módulo a direção e o sentido da força que o campo magnético exerce sobre o fio Solução Trecho 1 𝑭𝟏 𝑰 𝑩 𝒙 𝑭𝟏 𝟒𝟓𝟎 𝟎 𝟐𝟒𝟎 𝒙 𝟏𝟎𝟖𝒙 Trecho 3 𝑭𝟑 𝑰 𝑩 𝟔𝟎 𝒙 𝑭𝟏 𝟒𝟓𝟎 𝟎 𝟐𝟒𝟎 𝟎𝟔𝟎 𝒙 𝟏𝟎𝟖𝟎𝟔𝟎 𝒙 As forças F1 e F3 são paralelas ao eixo y Somando temse 𝑭𝟏 𝑭𝟑 𝟏𝟎𝟖𝒙 𝟏 𝟎𝟖 𝟎𝟔𝟎 𝒙 𝟎 𝟔𝟒𝟖 𝑵 Trecho 2 A força F2 é paralela ao eixo x então 𝑭𝟐 𝑰 𝑩 𝒚 𝟒 𝟓𝟎 𝟎𝟐𝟒𝟎 𝟎𝟑𝟎 𝟎 𝟑𝟐𝟒 𝑵 A força resultante é 𝑭 𝒎 𝟎 𝟑𝟐𝟒 𝒊 𝟎𝟔𝟒𝟖 𝒋 Módulo 𝑭𝒎 𝟎 𝟑𝟐𝟒𝟐 𝟎 𝟔𝟒𝟖𝟐 𝟎𝟕𝟐𝟒 𝑵 Direção 𝜽 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 𝟎 𝟔𝟒𝟖 𝟎 𝟑𝟐𝟒 𝟔𝟑𝟒 Exemplo 2 Calcule por integração direta a força magnética sobre o fio ABCD representado na figura e mostre a força obtida é a mesma que seria exercida sobre um fio retilíneo AD FÍSICA 2 EFB 206 Fixando o sistema de coordenadas como indicado na figura divide se o condutor em trechos calculando separadamente a força magnética Trecho AB Usando o sistema de referência Temse que a a força magnética sobre o elemento 𝒅𝒍 do condutor vale 𝒅𝑭 𝟏 𝑰𝒅𝒍 𝑩 𝑰𝒅𝒙 𝒊 𝑩𝒋 𝑰𝑩𝒅𝒙 𝒌 Integrando 𝑭 𝟏 𝑰𝑩 𝒅𝒙 𝑩 𝑨 𝒌 𝑰𝑩𝑳 𝒌 Trecho CD Análogo ao Trecho AB 𝑭 𝟑 𝑰𝑩 𝒅𝒙 𝑫 𝑪 𝒌 𝑰𝑩𝑳 𝒌 Trecho BC Tratase do segmento curvo do condutor e portanto é necessário decompor a força segundo o sistema de referência adotado Assim 𝒅𝑭 𝟐 𝒅𝑭𝟐𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒊 𝒅𝑭𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒌 Sendo 𝒅𝑭𝟐 𝑰𝑩𝒅𝒍 𝑰𝑩𝑹𝒅𝜽 temse 𝑭 𝟐 𝑰𝑩𝑹 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒅𝜽 𝒊 𝑰𝑩𝑹 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝜽 𝒌 𝝅 𝟎 𝝅 𝟎 𝟐𝑰𝑩𝑹 𝒌 Então a força total sobre o condutor é 𝑭 𝒎 𝑭 𝟏 𝑭 𝟐 𝑭 𝟑 𝟐𝑰𝑩𝑳 𝒌 𝟐𝑰𝑩𝑹 𝒌 𝟐𝑰𝑩𝑳 𝑹 𝒌 Esta força é igual a exercida sobre um condutor retilíneo de comprimento d 2LR Força magnética e torque sobre uma espira de corrente Considere uma espira retangular transportando uma corrente contínua e constante I imersa numa região de campo magnético constante B como ilustra a figura Observe que a força magnética total sobre a espira é igual a zero visto que se trata de um circuito fechado No entanto é possível que exista um torque sobre a espira diferente de zero Cada face da espira pode ser vista como um segmento que transporta corrente I Nas faces de lado a a força magnética é nula pois a direção da corrente é paralela a direção do campo Nas faces de lado b resultam 𝑭 𝑰𝑩𝒃 Considerando o eixo de rotação PP que passa pelo centro da espira temse que o torque total é devido ao binário 𝑭 e 𝑭 ou seja 𝝉 𝟐𝑰𝑩𝒂𝒃 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝑰𝑩𝑨 𝒔𝒆𝒏𝜽 A área A ab pode reescrita na forma de um vetor com versor 𝒏 normal 𝑨 𝒂𝒃 𝒏 Então 𝝉 𝑰𝑨 𝑩 Definese momento de dipolo magnético ou momento magnético ao vetor perpendicular ao plano da área da espira dado pelo produto do valor da área pela corrente 𝝁 𝑰𝑨 Com isso o torque sobre uma espira de área A vale 𝝉 𝝁 𝑩 Uma bobina circular com raio 00500 m possui 30 espiras e está situada sobre um plano horizontal Ela conduz uma corrente de 50 A que fui no sentido antihorário quando observada de cima para baixo A bobina está em um campo magnético uniforme orientado da esquerda para a direita com módulo 120 T O módulo do momento magnético vale 𝝁 𝑵𝑰𝑨 𝝁 𝑵𝑰𝝅𝒓𝟐 𝝁 𝟏𝟏𝟖 𝑨𝒎𝟐 e o torque sobre a bobina 𝝉 𝝁𝑩𝒔𝒆𝒏𝝓 𝝉 𝟏𝟒𝟏 𝑵𝒎 FÍSICA 2 EFB 206 Lei de Biot Savart Em 1819 o físico dinamarquês Hans Christian Oersted observou que quando a agulha de uma bússola é colocada próxima de uma corrente elétrica essa agulha é desviada de sua posição Esse deslocamento só é possível pela existência de um campo magnético em torno do condutor percorrido por corrente elétrica Foi essa a primeira vez que se observou o aparecimento de um campo magnético juntamente com uma corrente elétrica A Lei de BiotSavart determina o campo magnético 𝒅𝑩 gerado em um ponto P a uma distância r de um elemento de comprimento 𝒅𝒍 em um fio por onde se passa uma corrente I 𝒅𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒅𝒍 𝒓 𝒓𝟐 Integrando 𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒅𝒍 𝒓 𝒓𝟐 𝒃 𝒂 Exemplo 1 Determine o campo de indução magnética produzido pela corrente I constante transportada por um fio de comprimento 2a a uma distância z do seu centro O campo produzido pela corrente I que passa por 𝑑𝑙 é 𝒅𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒅𝒍 𝒓 𝒓𝟐 sendo 𝒅𝒍 𝒅𝒙 𝒊 e 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝝓𝒊 𝒔𝒆𝒏𝝓𝒋 Então 𝒅𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅𝑰 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔𝝓 𝒊 𝒊 𝒅𝒙 𝒔𝒆𝒏𝝓 𝒊 𝒋 𝒓𝟐 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰𝒔𝒆𝒏𝝓 𝒅𝒙 𝒓𝟐 𝒌 Integrando 𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅𝑰 𝒔𝒆𝒏𝝓 𝒅𝒙 𝒓𝟐 𝒌 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒔𝒆𝒏𝝓 𝒅𝒙 𝒙𝟐 𝒛𝟐 𝒌 𝒂 𝒂 𝒂 𝒂 Fazendo a mudança de variável 𝒙 𝒛 𝒄𝒐𝒕𝒈𝝓 com 𝒅𝒙 𝒛𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝟐𝝓 𝒅𝝓 obtémse 𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒛 𝒔𝒆𝒏𝝓𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝟐𝝓 𝒅𝝓 𝟏 𝒄𝒐𝒕𝒈𝟐𝝓 𝒌 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒛 𝒔𝒆𝒏𝝓 𝒅𝝓 𝒌 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒛 𝒄𝒐𝒔𝝓 𝒌 Substituindo a função cosseno 𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒛 𝒙 𝒙𝟐 𝒛𝟐 𝒌 𝒂 𝒂 Com os limites de integração resulta 𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒛 𝟐𝒂 𝒛𝟐 𝒂𝟐 𝒌 Exemplo 2 Determine o campo gerado pela corrente numa espira de raio a a uma distância x do centro desta espira Pela lei de BiotSavart temos que o campo gerado pela corrente I que passa por 𝒅𝒍 é dado por 𝒅𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒅𝒍 𝒓 𝒓𝟐 A figura mostra que no ponto P o campo 𝒅𝑩 pode ser decomposto na forma 𝒅𝑩𝒙 𝒅𝑩 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒅𝑩𝒚 𝒅𝑩 𝒔𝒆𝒏𝜽 sendo 𝒅𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒅𝒍 𝒙𝟐 𝒂𝟐 visto que 𝒅𝒍 e 𝒓 são perpendiculares Como existe simetria rotacional em torno do eixo x a componente 𝒅𝑩𝒚 é nula Portanto o campo resultante no ponto P será 𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒅𝒍 𝒙𝟐 𝒂𝟐 𝒂 𝒙𝟐 𝒂𝟐 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒂 𝒙𝟐 𝒂𝟐𝟑𝟐 𝒅𝒍 𝝁𝟎 𝟐 𝑰 𝒂𝟐 𝒙𝟐 𝒂𝟐𝟑𝟐 FÍSICA 2 EFB 206 Observe que o campo pode ser reescrito em termos do momento de dipolo magnético 𝝁 𝑰𝑨 onde A é o valor da área da espira 𝑩 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝑰 𝝅𝒂𝟐 𝒙𝟐 𝒂𝟐𝟑𝟐 𝒌 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝝁 𝒙𝟐 𝒂𝟐𝟑𝟐 Esta relação tem uma importância muito grande no estudo da Física quântica Sabese que para qualquer carga elétrica em movimento de rotação a direção do momento de dipolo magnético é paralela à direção do vetor momento angular orbital 𝑳 Considere o caso mais simples usando como exemplo Modelo de Bohr do átomo de Hidrogênio para o qual o elétron executa um movimento circular em torno do próton que está em repouso no centro da órbita A corrente elétrica gerada pelo movimento do elétron é dada pela razão 𝑰 𝒆 𝑻 𝒆𝒗 𝟐𝝅𝒓 onde v é a velocidade orbital do elétron e r o raio da órbita Assim o momento de dipolo magnético pode ser reescrito na forma 𝝁 𝑰𝑨 𝒆𝒗 𝟐𝝅𝒓 𝝅𝒓𝟐 𝒆𝒗𝒓 𝟐 Multiplicando essa expressão pelo valor da massa do elétron resulta 𝝁 𝒆𝒎𝒗𝒓 𝟐𝒎 𝒆 𝟐𝒎 𝑳 Vetorialmente 𝝁 𝒆𝒎𝒗𝒓 𝟐𝒎 𝒆 𝟐𝒎 𝑳 O sentido do momento de dipolo magnético do átomo de Hidrogênio é oposto ao sentido do momento angular orbital No entanto existe uma proporcionalidade entre as duas grandezas dada pela razão entre a carga e a massa do elétron Tratase de um fato interessante que juntandose a informação de que a constante de Planck possui dimensão de momento angular foi possível definir uma grandeza conhecida como Magneton de Bohr dado por 𝝁𝑩 𝒆ℏ 𝟐𝒎 sendo ℏ 𝟏 𝟎𝟓𝟓 𝟏𝟎𝟑𝟒 𝑱 𝒔 No caso dos núcleos atômicos o momento de dipolo magnético nuclear é obtido a partir do spin associado aos prótons e nêutrons Desta forma a razão entre os valores dos momentos de dipolo magnéticos é igual a razão entre as massas das partículas 𝝁𝒆 𝝁𝒑 𝒎𝒑 𝒎𝒆 Como exemplo de aplicação destacase a Ressonância Magnética onde a imagem gerada nasce do alinhamento dos spins nucleares com o campo magnético externo FÍSICA 2 EFB 206 Força magnética entre dois condutores paralelos A figura mostra segmentos de dois fios paralelos retilíneos paralelos e longos separados por uma distância r conduzindo correntes I e I no mesmo sentido Cada condutor está sob a influência do campo magnético gerado pela corrente do outro condutor e portanto sofre ação de uma força magnética O valor da força magnética por unidade de comprimento sobre cada condutor é obtido calculandose o campo magnético 𝑩 gerado pela corrente I a uma distância r do condutor infinito é dado por 𝑩 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝑰 𝒓 Sobre o condutor paralelo uma força magnética 𝑭 𝒎 é gerada pela interação entre a corrente I e o campo externo 𝑩 dada por 𝑭 𝒎 𝑰 𝑳 𝑩 Sendo 𝑩 e 𝑳 vetores perpendiculares o módulo da força é 𝑭𝒎 𝑰 𝑳 𝑩 Portanto a força por unidade de comprimento é dada por 𝑭𝒎 𝑳 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝑰𝑰 𝒓 Existe uma força de atração entre dois fios paralelos que conduzem correntes com o mesmo sentido Existe uma força de repulsão entre dois fios paralelos que conduzem correntes com os sentidos contrários Se o sentido de qualquer uma das correntes é invertido a força também se inverte Exemplo 1 Dois fios longos e paralelos estão separados por uma distância de 0400 m As correntes I1 e I2 têm as direções indicadas na figura a Calcule o módulo da força exercida por cada fio sobre um ramo de 120 m do outro fio A forma é de atração ou de repulsão b Cada corrente é duplicada de maneira que I1 é agora de 100 A e I2 de 400 A Nessas condições qual é o módulo da força que cada fio exerce sobre um ramo de 120 m do outro fio a A partir do resultado do exercício anterior temos que a força magnética entre dos fios é 𝑭𝒎 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝑳 𝑰𝑰 𝒓 Assim 𝑭𝒎 𝟒𝝅 𝟏𝟎𝟕 𝟐𝝅 𝟏𝟐𝟎 𝟓𝟎𝟎 𝟐 𝟎𝟎 𝟎𝟒𝟎𝟎 𝟔 𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟔𝑵 b Duplicando os valores das correntes resulta 𝑭𝒎 𝟒𝝅 𝟏𝟎𝟕 𝟐𝝅 𝟏 𝟐𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟒 𝟎𝟎 𝟎 𝟒𝟎𝟎 𝟐 𝟒𝟎 𝟏𝟎𝟓𝑵 Observe que as forças que atuam nos condutores são de repulsão visto que as correntes tem sentidos opostos Exemplo 2 Dois fios longos paralelos estão separados por uma distância de 100 m Figura O fio da esquerda conduz uma corrente I1 de 600 A entrando no plano da página e o da direita I2 No ponto S passa um condutor com uma corrente I 200 A no sentido indicado a Considerando apenas a corrente I1 quais devem ser o sentido e o módulo da corrente I2 para que o campo magnético no ponto P seja igual a zero b Quais devem ser o módulo a direção e o sentido da força resultante no condutor S de comprimento 010 m FÍSICA 2 EFB 206 Solução a Para que o campo no ponto P seja nulo a corrente I2 deve ter o sentido do eixo z positivo saindo do papel Igualando os valores dos campos 𝑩𝟏 𝑩𝟐 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝑰𝟏 𝒓𝟏 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝑰𝟐 𝒓𝟐 𝑰𝟐 𝒓𝟐 𝒓𝟏 𝑰𝟏 𝑰𝟐 𝟐 𝟎𝟎 𝑨 b Quando as correntes possuem sentidos opostos as forças entre os condutores são repulsivas enquanto para correntes nos mesmos sentidos as forças são atrativas Calculando as componentes da força resultante 𝑭𝒙 𝑭𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝑭𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝑭𝒚 𝑭𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝜶 𝑭𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜷 sendo 𝑭𝟏 𝟒𝝅 𝟏𝟎𝟕 𝟎 𝟏𝟎 𝟐𝟎 𝟔 𝟎 𝟐𝝅 𝟎 𝟔𝟎 𝟒𝟎 𝟏𝟎𝟕 𝑵 𝑭𝟐 𝟒𝝅 𝟏𝟎𝟕 𝟎 𝟏𝟎 𝟐𝟎 𝟐 𝟎 𝟐𝝅 𝟎 𝟖𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟕 𝑵 Substituindo os valores 𝑭𝒙 𝟒𝟎 𝟎 𝟔𝟎 𝟏 𝟎 𝟎𝟖𝟎 𝟏𝟎𝟕 𝟑𝟐 𝟏𝟎𝟕 𝑵 𝑭𝒚 𝟒𝟎 𝟎𝟖𝟎 𝟏𝟎 𝟎𝟔𝟎 𝟏𝟎𝟕 𝟐 𝟔 𝟏𝟎𝟕 𝑵 Vetorialmente 𝑭 𝟑𝟐𝒊 𝟐𝟔 𝒋 𝟏𝟎𝟕 𝑁 Exemplo 3 Calcule o módulo do campo magnético no ponto P da figura em termos de R I1 e I2 Qual o resultado quando I1 I2 Solução O arranjo é composto de dois segmentos curvos e assim o campo magnético resultante no ponto P é a soma das duas contribuições Condutor 1 Pela lei de Biot Savart o campo magnético é 𝒅𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒅𝒍 𝒓 𝒓𝟐 As contribuições dos segmentos AB e CD são nulas visto que os vetores 𝒅𝒍 e 𝒓 são paralelos Assim o campo 𝑩 𝟏 é resultado da contribuição da corrente que percorre o arco 𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰𝟏 𝒅𝒍 𝑹𝟐 𝒌 𝝁𝟎𝑰𝟏 𝟒𝝅𝑹𝟐 𝝅 𝟎 𝑹 𝒅𝜽 𝝅 𝟎 𝒌 𝝁𝟎𝑰𝟏 𝟒𝑹 𝒌 Condutor 2 Por analogia resulta que 𝑩 𝟐 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒅𝒍 𝒓 𝒓𝟐 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰𝟐 𝒅𝒍 𝑹𝟐 𝒌 𝝁𝟎𝑰𝟐 𝟒𝝅𝑹𝟐 𝝅 𝟎 𝑹 𝒅𝜽 𝝅 𝟎 𝒌 𝝁𝟎𝑰𝟐 𝟒𝑹 𝒌 Portanto o campo resultante no ponto P é 𝑩 𝑷 𝝁𝟎𝑰𝟏 𝟒𝑹 𝒌 𝝁𝟎𝑰𝟐 𝟒𝑹 𝒌 𝝁𝟎 𝟒𝑹 𝑰𝟏 𝑰𝟐 𝒌 Note que se as correntes 𝑰𝟏 e 𝑰𝟐 forem iguais o campo magnético resultante no ponto P é nulo exatamente como ocorre nos condutores paralelos FÍSICA 2 EFB 206 Lei de Ampère A Lei de Ampère relaciona o campo 𝑩 criado por correntes constantes que atravessam uma área S limitada pela curva fechada C fronteira 𝑩 𝒅𝒍 𝝁𝟎 𝑰𝒊𝒏𝒕 A corrente 𝑰𝒊𝒏𝒕 na Lei de Ampère é a corrente total soma de correntes positivas e negativas dependendo da direção que atravessam o circuito A Lei de Ampère é uma lei fundamental do eletromagnetismo Entretanto a integral de linha que define a Lei de Ampère é solucionada analiticamente quando a distribuição de correntes apresenta simetria e isto é um empecilho para a aplicação ampla desta lei Note que devido ao produto escalar entre os vetores 𝑩 e 𝒅𝒍 o módulo a direção e o sentido do campo 𝑩 devem que ser conhecidos em todos os pontos da curva C Isto só é possível se houver simetria na distribuição das correntes e consequentemente dos valores do campo 𝑩 Como exemplo de aplicação da Lei de Ampére vamos determinar o campo magnético gerado em torno de um condutor retilíneo e infinito que conduz uma corrente contínua I A linha de integração C é uma circunferência em torno do condutor e o sentido do campo de indução 𝑩 é dado pela regra da mão direita Sendo 𝑩 e 𝒅𝒍 vetores paralelos temse 𝑩 𝒅𝒍 𝒄 𝝁𝟎𝑰 𝑩 𝒅𝒍 𝒄 𝐜𝐨𝐬𝟎𝟎 𝝁𝟎𝑰 𝑩 𝒅𝒍 𝝁𝟎𝑰 𝑪 A integral vale o comprimento da trajetória ou seja 𝑩𝟐𝝅𝒓 𝝁𝟎𝑰 𝑩 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝑰 𝒓 Observe que este resultado já tínhamos obtido pela Lei de Bio Savart Exemplo 1 Dois fios longos paralelos estão separados por uma distância de 10 m O fio 1 conduz uma corrente I1 de 60 A entrando no plano da página a Qual deve ser o sentido e o módulo da corrente I2 para que o campo magnético no ponto P seja igual a zero b Qual deve ser então o módulo a direção e o sentido do campo resultante em Q c Qual deve ser o módulo do campo resultante em S Solução a Para que seja nulo o campo no ponto P a corrente I2 deve ter o sentido apontando para fora do papel Assim igualando os valores dos campos 𝑩𝟏 𝑩𝟐 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝑰𝟏 𝒓𝟏 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝑰𝟐 𝒓𝟐 𝑰𝟐 𝒓𝟐 𝒓𝟏 𝑰𝟏 𝟎𝟓𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟔 𝟎𝟎 𝟐 𝟎𝟎 𝑨 b Pela lei de Ampère no ponto Q o campo resultante é 𝑩𝑸 𝑩𝟏 𝑩𝟐 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝑰𝟏 𝒓𝟏 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝑰𝟐 𝒓𝟐 𝟒𝝅 𝟏𝟎𝟕 𝟐𝝅 𝟔𝟎𝟎 𝟎𝟓𝟎 𝟐𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝑩𝑸 𝟐 𝟏𝟑 𝟏𝟎𝟔 𝑻 c No ponto S necessitamos os valores dos módulos dos campos Assim 𝑩𝟏 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝑰𝟏 𝒓𝟏 𝟒𝝅 𝟏𝟎𝟕 𝟐𝝅 𝟔𝟎𝟎 𝟎𝟔𝟎 𝟐 𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟔 𝑻 𝑩𝟐 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝑰𝟐 𝒓𝟐 𝟒𝝅 𝟏𝟎𝟕 𝟐𝝅 𝟐𝟎𝟎 𝟎𝟖𝟎 𝟎 𝟓𝟎 𝟏𝟎𝟔 𝑻 Fazendo a decomposição vetorial 𝑩𝒙 𝑩𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝑩𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝑩𝒚 𝑩𝟏𝒔𝒆𝒏𝜷 𝑩𝟐𝒔𝒆𝒏𝜶 obtemos 𝑩𝒔 𝟐 𝟎𝟔 𝟏𝟎𝟔 𝑻 cuja direção é θ 5740 FÍSICA 2 EFB 206 Exemplo 2 Um condutor cilíndrico longo de raio R conduz uma corrente I A corrente está uniformemente distribuída na área da seção reta do cilindro Calcule o campo magnético em função da distância r entre o ponto do campo e o eixo do cilindro para todos os pontos dentro r R e fora do condutor r R Solução a Pontos dentro do condutor r R O campo B possui o mesmo valor para seu módulo em todos os pontos da curva de integração C a qual pela simetria do problema é uma circunferência de raio r 𝑩𝒅𝒍 𝝁𝟎𝑰𝒊𝒏𝒕 𝑩 𝒓𝒅𝜽 𝝁𝟎𝑰𝒊𝒏𝒕 𝟐𝝅 𝟎 𝑪 𝑩𝟐𝝅𝒓 𝝁𝟎𝑰𝒊𝒏𝒕 O fluxo de corrente no cilindro de raio r é proporcional ao fluxo de corrente total ou seja 𝑰𝒊𝒏𝒕 𝝅𝒓𝟐 𝑰 𝝅𝑹𝟐 𝑰𝒊𝒏𝒕 𝒓𝟐 𝑹𝟐 𝑰 Portanto o campo magnético na região interna ao cilindro é 𝑩 𝝁𝟎𝑰 𝟐𝝅𝑹𝟐 𝒓 b Pontos fora do condutor r R A partir da lei de Ampère temos que o campo B possui o mesmo valor para seu módulo em todos os pontos da curva de integração C a qual pela simetria do problema é uma circunferência de raio r 𝑩𝒅𝒍 𝝁𝟎𝑰𝒊𝒏𝒕 𝑩 𝒓𝒅𝜽 𝝁𝟎𝑰𝒊𝒏𝒕 𝟐𝝅 𝟎 𝑪 𝑩𝟐𝝅𝒓 𝝁𝟎𝑰𝒊𝒏𝒕 A corrente interna a linha circuital C é igual ao valor da corrente total Então o campo magnético na região externa ao cilindro é 𝑩 𝝁𝟎𝑰 𝟐𝝅𝒓 Exemplo 3 Um condutor sólido com raio a é suportado por discos isolantes no centro de um tubo condutor com raio interno b e raio externo c O condutor central e o tubo transportam corrente com mesmo módulo I porém com sentidos contrários As correntes são distribuídas uniformemente ao longo da seção reta de cada condutor Deduza uma expressão para o módulo do campo magnético a Nos pontos no exterior do condutor sólido central porém no interior do tubo a r b b Nos pontos no exterior do tubo r c Solução a Nos pontos no exterior do condutor sólido central porém no interior do tubo a r b Aplicando a Lei de Ampère temos que a corrente interna à linha circuital C é igual a Iint I Assim 𝑩 𝒅𝒍 𝒄 𝝁𝟎𝑰𝒊𝒏𝒕 𝑩 𝒅𝒍 𝑪 𝝁𝟎𝑰 𝑩 𝝁𝟎𝑰 𝟐𝝅𝒓 b Nos pontos no exterior ao tubo r c Aplicando a Lei de Ampère temos que a corrente interna à linha circuital C é igual a Iint 0 Assim 𝑩 𝒅𝒍 𝒄 𝟎 𝑩 𝟎 FÍSICA 2 EFB 206 Solução Considere uma quantidade de carga 𝒅𝒒 deslocandose com velocidade v num condutor e sob ação de um campo magnético 𝑩 Por definição a força magnética que atua sobre o elemento de carga é dada por 𝒅𝑭 𝒅𝒒 𝒗 𝑩 Lembrando que a velocidade da carga vale 𝑣 𝒅𝒍 𝒅𝒕 onde 𝑑𝒍 o deslocamento da partícula a força pode ser reescrita como 𝒅𝑭 𝒅𝒒 𝒅𝒍 𝒅𝒕 𝑩 𝒅𝒒 𝒅𝒕 𝒅𝒍 𝑩 𝑰𝒅𝒍 𝑩 onde 𝐼 𝒅𝒒 𝒅𝒕 é a corrente que atravessa o condutor Desta forma a força total vale 𝑭 𝑰𝒅𝒍 𝑩 Para o caso particular o qual a corrente e o campo são constantes esta expressão tornase 𝑭 𝑰 𝑳 𝑩 1 Mostre que a o valor da força magnética sobre um condutor pode ser obtida diretamente da expressão que define a força magnética sobre uma carga em movimento FÍSICA 2 EFB 206 2 Uma bobina quadrada de lado 2a conduz uma corrente constante i como indicado na figura Determine o valor do campo de indução magnética medido no centro da espira sabendo que cada bobina contém N espiras Solução A partir da Lei de Biot Savart temos que o campo de indução magnética de um condutor finito é dado por 𝑩 𝝁𝟎 𝑵𝒊 𝟒𝝅𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝜽𝟐 𝜽𝟏 𝝁𝟎 𝑵𝒊 𝟒𝝅𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 No problema o campo deve ser medido no centro de uma espira quadrada resultando que os ângulos iguais a 450 Assim 𝑩 𝝁𝟎 𝑵𝒊 𝟒𝝅𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝝅 𝟒 𝒔𝒆𝒏 𝝅 𝟒 𝝁𝟎 𝒊𝑵 𝟒𝝅𝒓 𝟐 A distância do fio ao ponto central da espira é metade do valor do comprimento do fio 𝒓 𝒂 Dessa forma 𝑩 𝝁𝟎𝑵 𝒊 𝟒𝝅𝒂 𝟐 Somando a contribuição das quatro arestas o campo total é igual a 𝑩 𝟐𝝁𝟎𝑵 𝒊 𝝅𝒂 FÍSICA 2 EFB 206 3 Uma corrente i estacionária constante percorre um fio de comprimento 2L como indica a figura Determine o valor do campo de indução magnética no ponto P indicado Solução A partir da Lei de Biot Savart temos que o campo de indução magnética de um condutor finito é dado por 𝑩 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝜽𝟐 𝜽𝟏 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 sendo os ângulos 𝜽𝟏 e 𝜽𝟐 definidos de acordo com a figura No problema o campo deve ser medido na extremidade do condutor resultando que θ1 00 e 𝒔𝒆𝒏𝜽𝟐 𝟐𝑳 𝒂𝟐 𝟒𝑳𝟐 como mostra a figura Assim o campo de indução magnética no ponto P vale 𝑩 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝒂 𝟐𝑳 𝒂𝟐 𝟒𝑳𝟐 𝝁𝟎 𝒊 𝟐𝝅𝒂 𝑳 𝒂𝟐 𝟒𝑳𝟐 Observação Caso o condutor seja semiinfinito o ângulo θ2 será igual a π2 Assim o campo de indução magnética no ponto P é dado por 𝑩 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝒂 FÍSICA 2 EFB 206 4 Uma corrente i estacionária percorre um fio de comprimento 2L como indica a figura Considerando que a dobra do fio faz um ângulo reto determine o valor do campo de indução magnética no ponto P indicado Solução A partir da Lei de Biot Savart temos que o campo de indução magnética de um condutor finito é dado por 𝑩 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝜽𝟐 𝜽𝟏 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 sendo os ângulos 𝜽𝟏 e 𝜽𝟐 definidos de acordo com a figura No problema o campo deve ser medido na extremidade do condutor resultando que θ2 450 e θ1 00 Assim 𝑩 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝝅 𝟒 𝒔𝒆𝒏 𝟎 𝝁𝟎 𝒊 𝟖𝝅𝒓 𝟐 A distância do fio ao ponto central da espira é o valor do comprimento do fio Dessa forma 𝑩 𝝁𝟎 𝒊 𝟖𝝅𝑳 𝟐 O campo total é igual a soma de cada contribuição resultando 𝑩 𝟐𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝑳 FÍSICA 2 EFB 206 5 Uma partícula de carga q 200 1014C e velocidade v 600 105 ms é lançada numa região onde existe um campo de indução magnética de intensidade 100 T Calcule a força magnética sobre a partícula supondo que as direções do campo e da velocidade da partícula sejam a paralelas B perpendiculares c definem um ângulo de 300 Solução a A força sobre a partícula de carga q devido a presença do campo de indução magnética é dada por 𝑭 𝒎 𝒒𝒗 𝑩 Assim se as direções dos vetores velocidade e campo B forem paralelas a força magnética sobre a carga é nula visto que o produto vetorial entre dois vetores paralelos é igual a zero b Sendo as direções dos vetores velocidade e campo B perpendiculares a força magnética é máxima e perpendicular ao plano formado pelos vetores Assim 𝑭𝒎 𝒒𝒗𝑩 𝟐 𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟏𝟒 𝟔 𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟓 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟐 𝟎 𝟏𝟎𝟕 𝟏 𝟐𝛍𝐍 c O módulo da força para esse caso vale 𝑭𝒎 𝒒𝒗𝑩 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎𝟎 𝟎 𝟔𝟎𝛍𝐍 FÍSICA 2 EFB 206 6 Duas espiras circulares concêntricas e coplanares de raios r1 6π m e r2 9π m são percorridas por correntes I1 300 A e I2 500 A como ilustra a figura Determine o valor do campo de indução magnética no centro comum das espiras Solução O campo de indução magnética calculado a uma distância x do centro de uma espira de raio a é dado por 𝑩 𝝁𝟎 𝟐 𝑰 𝒂𝟐 𝒙𝟐 𝒂𝟐𝟑𝟐 No centro da espira x 0 resulta 𝑩 𝝁𝟎 𝟐 𝑰 𝒂 O campo de indução magnética no centro do conjunto é dado pela sobreposição dos campos gerados pelas correntes I1 e I2 Usando a regra da mão direita resulta que o campo gerado pela corrente 𝑰𝟐 é positivo e o campo gerado pela corrente 𝑰𝟏 é negativo Então 𝑩 𝝁𝟎 𝟐 𝑰𝟐 𝒓𝟐 𝑰𝟏 𝒓𝟏 Substituindo os valores 𝑩 𝟏 𝟗 𝟏𝟎𝟕 𝑻 FÍSICA 2 EFB 206 7 Determine o campo de indução magnética no ponto P supondo que a corrente conduzida pela espira seja de 100 A e R 200 cm Solução Os campos gerados pelos segmentos AB e CD não contribuem no ponto P pois ao aplicarmos a Lei de Biot Savart temse que os vetores 𝒅𝒍 e 𝒓 são paralelos e como consequência o produto vetorial entre eles é nulo Por outro lado as correntes transportadas pelos arcos AD e CB produzem no ponto P campos de indução magnética de sentidos opostos como pode ser facilmente verificado pela regra da mão direita Assim 𝑩 𝝁𝟎 𝟒 𝑰 𝑹 𝑰 𝟐𝑹 𝝁𝟎𝑰 𝟖𝑹 Substituindo os valores numéricos resulta 𝑩 𝟏 𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟓 𝑻 Solução O segmento AB não contribui para o campo no ponto C pois ao aplicarmos a Lei de Biot Savart temse os vetores 𝒅𝒍 e 𝒓 são paralelos e como consequência o produto vetorial entre eles é nulo As correntes do arco e do segmento semiinfinito CD separadamente geram campos magnéticos no ponto C Assim Arco 𝑩 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝑹 𝜽 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝑹𝟐𝝅 𝝅 𝟐 𝟑𝝁𝟎 𝒊 𝟖𝑹 Segmento CD 𝑩 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝜽𝟐 𝜽𝟏 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝑹 𝒔𝒆𝒏 𝝅 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝟎 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝑹 Somando 𝑩 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝑹 𝟑𝝁𝟎 𝒊 𝟖𝑹 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝑹 𝟏 𝝅 𝟑 𝟖 FÍSICA 2 EFB 206 8 Considere um fio infinito e disposto no plano do papel segundo a figura abaixo Determine o valor do campo magnético induzido no centro da espira Solução Aplicando a Lei de Ampère temse que o campo gerado pela corrente transportada no tubo vale 𝑩𝒕𝒖𝒃𝒐 𝝁𝟎 𝑰𝟏 𝟐𝝅𝟐𝑹 𝝁𝟎 𝑰𝟏 𝟒𝝅𝑹 Da mesma forma pela Lei de Ampère o campo gerado pela corrente transportada no fio vale 𝑩𝒇𝒊𝒐 𝝁𝟎 𝑰 𝟐𝝅𝑹 cujo sentido necessariamente deve apontar para dentro do papel Assim igualando os valores dos campos resulta que a corrente transportada pelo fio vale 𝑰 𝑰𝟏 𝟐 FÍSICA 2 EFB 206 9 Na figura a seguir um tubo circular longo de raio externo R conduz uma corrente uniformemente distribuída I para dentro do papel Existe um fio paralelo ao tubo a uma distância de 300 R do eixo do tubo Determine o valor e o sentido para dentro ou para fora do plano do papel da corrente do fio para que o campo magnético no ponto P seja nulo 𝐵𝑡𝑢𝑏𝑜 Solução Os campos gerados pelos arcos superior e inferior produzem no ponto P campos de indução magnética com sentidos opostos A corrente transportada pelo arco inferior gera um campo cujo sentido aponta para fora do papel positivo enquanto que o arco superior gera um campo apontando para dentro do papel negativo Aplicando a Lei de Biot Savart o campo gerado por um arco é dado por 𝑩 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝑹 𝜽 Uma vez que os ângulos de abertura dos arcos são conhecidos temse 𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝒊𝟏𝝅 𝑹 𝟐𝒊𝟏𝟐𝝅 𝟑 𝟎 𝟖𝑹 𝝁𝟎𝒊𝟏 𝟔𝑹 FÍSICA 2 EFB 206 10 No arranjo abaixo o fio inferior conduz uma corrente i1 e inclui um arco de circunferência com um raio R e centro no ponto P O fio superior conduz uma corrente i22i1 e inclui em arco de circunferência com raio igual a 08R e centro também no ponto P que subentende um ângulo de 2π3 rad Determine o módulo e a orientação do campo magnético no ponto P para os sentidos das correntes indicados na figura Solução Este problema deve ser solucionado aplicandose a Lei de Ampère para todas as regiões Região I r a Uma vez que a corrente é uniformemente distribuída temse que a densidade de corrente é constante Assim para a região r a a corrente vale 𝒊𝟏 𝒊 𝒓𝟐 𝒂𝟐 A lei de Ampére mostra que 𝑩𝟏 𝝁𝟎 𝒊𝟏 𝟐𝝅𝒓 𝝁𝟎𝒊 𝒓 𝟐𝝅𝒂𝟐 Região 2 a r b Nesse caso toda corrente i está contida na área determinada pela linha circuital C Então 𝑩𝟐 𝝁𝟎𝒊 𝟐𝝅𝒓 Região 3 b r c Como as correntes estão em sentidos opostos os campos gerados também terão sentidos opostos A corrente gerada pela corrente do condutor externo é uma fração do valor total Assim 𝒊𝟑 𝝅𝒓𝟐 𝒃𝟐 𝒊 𝝅𝒄𝟐 𝒃𝟐 𝒊𝟑 𝒊 𝒓𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒃𝟐 Na lei de Ampére resulta 𝑩𝟑 𝝁𝟎𝒊 𝟐𝝅𝒓 𝒓𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒃𝟐 Assim o campo total na região 3 vale 𝑩𝟑 𝝁𝟎𝒊 𝟐𝝅𝒓 𝝁𝟎𝒊 𝟐𝝅𝒓 𝒓𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒃𝟐 𝝁𝟎𝒊 𝟐𝝅𝒓 𝟏 𝒓𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒃𝟐 ou seja 𝑩𝟑 𝝁𝟎𝒊 𝟐𝝅𝒓 𝒄𝟐 𝒓𝟐 𝒄𝟐 𝒃𝟐 Região IV r c Nesse caso temse 𝑩𝟒 𝟎 Visto que o valor da corrente total é nula FÍSICA 2 EFB 206 11 Um cabo coaxial é constituído por dois cilindros condutores um sólido de raio a e outro oco de raio interno b e raio externo c Correntes da mesma intensidade i uniformes são conduzidas em sentidos opostos pelos cilindros Determine o campo de indução magnética em todos os pontos do espaço Solução Aplicando a Lei de Ampère temse que o campo gerado pela corrente transportada por um fio infinito a uma distância r é dado por 𝑩 𝝁𝟎𝒊 𝟐𝝅𝒓 No problema resulta que cada uma das contribuições das correntes no ponto central vale 𝑩 𝟐𝝁𝟎𝒊 𝟐𝝅𝒂 O campo resultante estará na direção do eixo y sentido positivo e o módulo será 𝑩𝑹 𝟐𝟐𝑩 𝟐𝝁𝟎𝒊 𝝅𝒂 FÍSICA 2 EFB 206 12 Quatro fios longos são dispostos de tal forma que as correntes transportadas fluem ortogonalmente ao plano do papel Sabendo que as correntes possuem os mesmos valores determine o campo de indução resultante no centro da configuração i FÍSICA 2 EFB 206 Solução a Aplicando a Lei de Ampère temse que o campo gerado pela corrente transportada por um fio infinito a uma distância r é dado por 𝑩 𝝁𝟎𝒊 𝟐𝝅𝒓 No problema resulta o campo gerado pela corrente i no ponto P vale 𝑩𝟏 𝝁𝟎𝒊 𝟐𝝅𝒙 E o campo gerado pela corrente 3i no ponto P 𝑩𝟐 𝝁𝟎𝟑𝒊 𝟐𝝅𝒚 Considerando que o campo no ponto P deve ser nulo tem se 𝑩𝟏 𝑩𝟐 𝝁𝟎𝒊 𝟐𝝅𝒙 𝝁𝟎𝟑𝒊 𝟐𝝅𝒚 Simplificando 𝒙 𝒚 𝟏 𝟑 b A partir da Lei de Ampére temse que o campo de indução magnética gerado pela corrente i na região do segundo condutor vale 𝑩 𝝁𝟎𝒊 𝟐𝝅𝒙 𝒚 A força por unidade de comprimento resultante da interação entre a corrente 3i e o campo gerado pela corrente i vale 𝑭 𝑳 𝟑𝝁𝟎𝒊𝟐 𝟐𝝅𝒙 𝒚 A simetria mostra que a força magnética no condutor 1 possui mesmo módulo direção e sentido oposto como indica a figura 13 Dois fios metálicos retos paralelos e longos são percorridos por correntes i e 3i cujos sentidos são indicados na figura Considere que o campo de indução magnética no ponto P seja nulo a Determine o valor da razão entre as distâncias x e y b Determine as forças magnéticas que atuam sobres os fios FÍSICA 2 EFB 206 14 Um condutor de comprimento 100 m e massa 0200 kg está fixado a uma mola de constante k alongandoa de 120 cm em relação ao comprimento natural O condutor está numa região de campo magnético constante intensidade 0150 T e direção indicada na figura Ao passarmos uma corrente elétrica i no condutor a força magnética sobre o condutor leva para uma nova posição de equilíbrio Quando a corrente é desligada a barra passa a executar um MHS de amplitude 960 cm Determine a intensidade da corrente i Solução A partir da condição de equilíbrio temos que a constante elástica da mola vale 𝒌 𝒎𝒈 𝒙 𝟎 𝟐𝟎𝟎 𝟗 𝟖𝟏 𝟎 𝟏𝟐 𝟏𝟔 𝟒 𝑵𝒎 A força magnética que atura sobre o condutor é dada por 𝑭 𝒊𝑩𝑳 Nessa condição o sistema atinge novamente o equilíbrio sendo que a força magnética deve ter a mesma intensidade da força elástica Visto que ao desligarmos a corrente o sistema executa um MHS de amplitude 960 cm significa que a deformação da mola devido a presença da força magnética tem esse valor Assim 𝑭𝒎 𝑭𝒆 𝒊𝑩𝑳 𝒌𝒙 Substituindo os valores 𝒊 𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟏 𝟎𝟎 𝟏𝟔 𝟒 𝟎 𝟎𝟗𝟔 𝒊 𝟏𝟎 𝟓 𝑨 FÍSICA 2 EFB 206 15 Uma partícula de carga q e massa m realiza um movimento circular uniforme sob ação de um campo de indução magnética de magnitude B uniforme Determinar a frequência do movimento Solução Executando um movimento circular uniforme e supondo que a força magnética é a resultante que atua sobre a partícula temos que 𝑭𝒎 𝒎𝒗𝟐 𝑹 sendo R o valor do raio da trajetória A força magnética nesse caso vale 𝑭𝒎 𝒒𝒗𝑩 e então 𝒒𝒗𝑩 𝒎𝒗𝟐 𝑹 𝒗 𝒒𝑩𝑹 𝒎 Lembrando que para o movimento circular uniforme a velocidade tangencial vale 𝒗 𝟐𝝅𝑹 𝑻 sendo T o valor do período do movimento resulta que 𝟐𝝅𝑹 𝑻 𝒒𝑩𝑹 𝒎 𝟏 𝑻 𝒒𝑩 𝟐𝝅𝒎 Como a frequência do movimento é definida como o inverso do valor do período resulta 𝒇 𝒒𝑩 𝟐𝝅𝒎 FÍSICA 2 EFB 206 16Dois fios longos e paralelos separados pela distância 2a conduzem correntes i em sentidos opostos Os fios são perpendiculares ao eixo y de um sistema cartesiano como ilustra a figura Determine o valor do campo de indução B num ponto P situado no eixo x Solução A partir da Lei de Ampère temos que os campos de indução magnética gerados pelas correntes no ponto P valem 𝑩 𝒅𝒍 𝑪 𝝁𝟎 𝒊 𝑩 𝟐𝝅𝒓 𝝁𝟎 𝒊 𝑩 𝝁𝟎 𝒊 𝟐𝝅𝒓 sendo 𝒓 𝒙𝟐 𝒂𝟐 A simetria mostra que as componentes na direção y serão anuladas então o campo resultante no ponto P será obtido pela sobreposição das componentes na direção horizontal 𝑩 𝟐 𝝁𝟎 𝒊 𝟐𝝅𝒓 𝐜𝐨𝐬𝜶 𝝁𝟎 𝒊 𝝅 𝒂 𝒙𝟐 𝒂𝟐 A figura sem escala representa a variação da intensidade do campo B em função da distância x em relação a origem Note que o campo será máximo exatamente para x 0 e quando x a o comportamento da função aproximase de 1x2 No limite x o campo será nulo ou seja os efeitos do campo magnético a longas distâncias são desprezíveis FÍSICA 2 EFB 206 17 A figura representa uma bobina retangular de lados 100 cm e 500 cm contendo 20 espiras e conduzindo uma corrente de 010 A Um campo magnético constante de intensidade 050 T tem direção paralela ao eixo y positivo Sabese que o campo B interage com o momento de dipolo magnético gerado na bobina ocorrendo um torque resultante em torno do eixo z Considerando que o plano da bobina define um ângulo de 300 com a direção do campo determine o valor do torque Solução O torque sobre a espira é dado por 𝝉 𝝁 𝑩 sendo 𝝁 𝒊𝑨 o momento de dipolo magnético A interação ocorre no plano xy como indica a figura Desta forma a intensidade do torque vale 𝝉 𝒊𝑨𝑩 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎𝟎 𝟐𝟓𝟑 𝟏𝟎𝟒 𝑵 𝒎 O sentido de rotação da bobina é horário em torno do eixo z FÍSICA 2 EFB 206 18 A figura representa uma bobina retangular de lados 200 cm e 100 cm contendo 40 espiras e conduzindo uma corrente de 030 A Um campo magnético constante de intensidade 00630 T tem direção indicada na figura Determine o valor do torque sob o qual a bobina ficará submetida Solução O torque sobre a espira é dado por 𝝉 𝝁 𝑩 sendo 𝝁 𝒊𝑨 o momento de dipolo magnético Definindo os vetores na base cartesiana bidimensional temse 𝝉 𝝁𝒌 𝑩 𝒊 𝑵𝒊𝑨𝑩 𝒌 𝒊 𝑵𝒊𝑨𝑩 𝒋 Desta forma a intensidade do torque vale 𝝉 𝑵𝒊𝑨𝑩 𝒔𝒆𝒏 𝟗𝟎𝟎 𝟏𝟓 𝟏 𝟏𝟎𝟐 𝑵 𝒎 Em torno do eixo y a rotação ocorre no sentido horário 19 19 Uma corrente i estacionária constante percorre um fio de comprimento 2L como indica a figura Considerando que a dobra do fio faz um ângulo de 600 determine o valor do campo de indução magnética no ponto P indicado Solução O sentido da corrente mostra que o campo magnético no ponto P tem direção perpendicular ao plano da figura e sentido negativo penetrando no plano A partir da Lei de Biot Savart temos que o campo de indução magnética de um condutor finito é dado por 𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒅𝒍 𝒓 𝒓𝟐 𝒃 𝒂 𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒅𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒓𝟐 𝒃 𝒂 onde o sinal negativo é proveniente do produto vetorial Resolvendo ver a solução na teoria 𝑩 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝜽𝟐 𝜽𝟏 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 sendo os ângulos 𝜽𝟏 e 𝜽𝟐 definidos de acordo com a figura No problema o campo deve ser medido na extremidade do condutor resultando que θ2 0 e 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 está indicado na expressão 𝑩 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝒚 𝒔𝒆𝒏 𝟎 𝟑 𝟐 𝝁𝟎 𝒊 𝟖𝝅𝒚 𝟑 A distância y vale 𝒚 𝑳 𝒕𝒈𝟑𝟎𝟎 𝟑 𝟑 𝑳 Dessa forma 𝑩 𝟑𝝁𝟎 𝒊 𝟖𝝅𝑳 O campo total é igual a soma de cada contribuição 𝑩 𝟑𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝑳 y FÍSICA 2 EFB 206 FÍSICA 2 EFB 206 20 Uma barra condutora metálica de comprimento L e massa m apoiase sobre dois trilhos paralelos e também condutores carregando uma corrente constante i Os trilhos são inclinados de um ângulo α em relação a horizontal e estão numa região de campo magnético B cuja direção é perpendicular ao plano inclinado Desprezando o atrito entre a barra e os trilhos determine o valor da corrente i para que a barra condutora permaneça em repouso Solução O DCL mostra que a componente da força peso deve ser equilibrada pela força magnética oriunda da interação entre a corrente i e o campo B como indica a figura Note que necessariamente ao sentido da corrente deve ser horário para a força magnética seja oposta a direção da componente da força peso Decompondo as forças temos 𝑭𝒎 𝑷 𝒔𝒆𝒏𝜶 𝒊𝑳𝑩 𝒎𝒈 𝒔𝒆𝒏𝜶 Assim 𝒊 𝒎𝒈 𝑳𝑩 𝒔𝒆𝒏𝜶 B B I
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FÍSICA 2 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 3 BIMESTRE Campo e Força Magnética Lei de Biot Savart e Lei de Ampère Prof Airton Eiras FÍSICA 2 EFB 206 Magnetismo Alguns aspectos associados ao magnetismo são bem conhecidos tais como metais sendo atraídos por imãs permanentes ou o movimento da agulha de uma bússola Imãs são materiais com propriedades magnéticas resultantes do movimento de cargas no nível atômico produzindo correntes microscópicas que darão origem a campos magnéticos naturais Diferentemente do caso elétrico não são observadas cargas magnéticas isoladas e portanto a menor unidade magnética é o dipolo Força Magnética Considere uma partícula com carga q deslocandose com velocidade 𝒗 numa região onde existe um campo magnético 𝑩 Esta carga sofre a ação de uma força magnética dada por 𝑭 𝑴 𝒒 𝒗 𝑩 É importante observar que a direção da força magnética 𝑭 𝑴 é sempre perpendicular as direções da velocidade 𝒗 e do campo magnético 𝑩 Podemos entender essa expressão como sendo a definição do campo magnético Observe que uma partícula carregada e deslocandose com velocidade v numa região onde existe um campo de indução magnética sofrerá a ação de uma força que irá alterar sua trajetória Esta interpretação é muito parecida com aquela que usamos para definir campo elétrico Cargas sob ação de campos magnéticos Considere uma carga q e massa m deslocandose com velocidade 𝒗 numa região onde existe um campo magnético constante 𝑩 A partir da definição 𝑭 𝑴 𝒒𝒗 𝑩 sabemos que a direção da força magnética é perpendicular ao plano definido pelos vetores velocidade 𝑣 e campo 𝐵 Observe que o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade pois 𝒂 𝒗 𝟎 Portanto concluímos que a componente da aceleração na direção da velocidade é nula isto é o módulo da velocidade é constante 𝒅𝒗 𝒅𝒕 𝟎 𝒗 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 Com isso concluise que a força magnética não realiza trabalho e como consequência o valor da energia cinética não é modificado pela interação com campo magnético uniforme Visto que a aceleração é sempre perpendicular à velocidade a partícula executa um movimento circular uniforme O raio da trajetória pode ser calculado lembrando que o valor da força centrípeta é igual ao valor da força magnética resultante 𝑭𝒄 𝑭𝑴 𝒎 𝒗𝟐 𝑹 𝒒𝒗𝑩 Assim 𝑹 𝒎𝒗 𝒒𝑩 Exemplo Uma partícula de carga q 0 e massa m penetra numa região onde existe um campo de indução magnética 𝑩 𝑩𝒊 Sua velocidade 𝒗 tem direção que forma um ângulo θ com a direção do campo magnético A partícula ao penetrar na região do campo de indução magnética 𝐵 com velocidade 𝑣 𝒗 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽 𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒋 FÍSICA 2 EFB 206 A força magnética é 𝑭 𝑴 𝒒𝒗𝐜𝐨𝐬𝜽 𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒋 𝑩 𝒊 𝒒𝒗𝑩𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒌 O raio da trajetória é no plano yz vale 𝒒𝒗𝑩𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒎 𝒗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 𝑹 𝑹 𝒎𝒗 𝒒𝑩 𝒔𝒆𝒏𝜽 Como a partícula possui velocidade 𝒗𝒙 𝒗𝒔𝒆𝒏 𝜽 constante o movimento é a superposição de um movimento circular no plano e um movimento retilíneo uniforme na direção do eixo x configurando uma hélice cilíndrica O período de rotação do movimento é 𝑻 𝟐𝝅𝑹 𝒗𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟐𝝅𝒎 𝒒𝑩 Note que o período e consequentemente a frequência são independentes da velocidade Força magnética em um condutor Se o elemento infinitesimal de comprimento 𝒅𝒍 do condutor pelo qual atravessa uma corrente I está numa região de campo magnético 𝑩 a força magnética sobre o condutor é 𝒅𝑭 𝑴 𝑰 𝒅𝒍 𝑩 Então a força magnética resultante sobre o condutor será 𝑭 𝑴 𝑰 𝒅𝒍 𝑩 𝒃 𝒂 Em particular para o campo 𝐵 e a corrente I constantes a força magnética sobre o condutor vale 𝑭 𝑴 𝑰 𝑳 𝑩 𝑭 𝑴 𝑰 𝑳 𝑩 𝒔𝒆𝒏 𝝓 sendo L o comprimento do condutor e 𝝓 o ângulo entre as direções da corrente e do campo 𝑩 Exemplo 1 Um fio longo que transporta uma corrente de 450 A faz duas dobras de 90o como indica a figura A parte dobrada do fio atravessa um campo magnético uniforme de 0240 T orientado como indicado na figura e confinado a uma região do espaço Determine o módulo a direção e o sentido da força que o campo magnético exerce sobre o fio Solução Trecho 1 𝑭𝟏 𝑰 𝑩 𝒙 𝑭𝟏 𝟒𝟓𝟎 𝟎 𝟐𝟒𝟎 𝒙 𝟏𝟎𝟖𝒙 Trecho 3 𝑭𝟑 𝑰 𝑩 𝟔𝟎 𝒙 𝑭𝟏 𝟒𝟓𝟎 𝟎 𝟐𝟒𝟎 𝟎𝟔𝟎 𝒙 𝟏𝟎𝟖𝟎𝟔𝟎 𝒙 As forças F1 e F3 são paralelas ao eixo y Somando temse 𝑭𝟏 𝑭𝟑 𝟏𝟎𝟖𝒙 𝟏 𝟎𝟖 𝟎𝟔𝟎 𝒙 𝟎 𝟔𝟒𝟖 𝑵 Trecho 2 A força F2 é paralela ao eixo x então 𝑭𝟐 𝑰 𝑩 𝒚 𝟒 𝟓𝟎 𝟎𝟐𝟒𝟎 𝟎𝟑𝟎 𝟎 𝟑𝟐𝟒 𝑵 A força resultante é 𝑭 𝒎 𝟎 𝟑𝟐𝟒 𝒊 𝟎𝟔𝟒𝟖 𝒋 Módulo 𝑭𝒎 𝟎 𝟑𝟐𝟒𝟐 𝟎 𝟔𝟒𝟖𝟐 𝟎𝟕𝟐𝟒 𝑵 Direção 𝜽 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 𝟎 𝟔𝟒𝟖 𝟎 𝟑𝟐𝟒 𝟔𝟑𝟒 Exemplo 2 Calcule por integração direta a força magnética sobre o fio ABCD representado na figura e mostre a força obtida é a mesma que seria exercida sobre um fio retilíneo AD FÍSICA 2 EFB 206 Fixando o sistema de coordenadas como indicado na figura divide se o condutor em trechos calculando separadamente a força magnética Trecho AB Usando o sistema de referência Temse que a a força magnética sobre o elemento 𝒅𝒍 do condutor vale 𝒅𝑭 𝟏 𝑰𝒅𝒍 𝑩 𝑰𝒅𝒙 𝒊 𝑩𝒋 𝑰𝑩𝒅𝒙 𝒌 Integrando 𝑭 𝟏 𝑰𝑩 𝒅𝒙 𝑩 𝑨 𝒌 𝑰𝑩𝑳 𝒌 Trecho CD Análogo ao Trecho AB 𝑭 𝟑 𝑰𝑩 𝒅𝒙 𝑫 𝑪 𝒌 𝑰𝑩𝑳 𝒌 Trecho BC Tratase do segmento curvo do condutor e portanto é necessário decompor a força segundo o sistema de referência adotado Assim 𝒅𝑭 𝟐 𝒅𝑭𝟐𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒊 𝒅𝑭𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒌 Sendo 𝒅𝑭𝟐 𝑰𝑩𝒅𝒍 𝑰𝑩𝑹𝒅𝜽 temse 𝑭 𝟐 𝑰𝑩𝑹 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒅𝜽 𝒊 𝑰𝑩𝑹 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝜽 𝒌 𝝅 𝟎 𝝅 𝟎 𝟐𝑰𝑩𝑹 𝒌 Então a força total sobre o condutor é 𝑭 𝒎 𝑭 𝟏 𝑭 𝟐 𝑭 𝟑 𝟐𝑰𝑩𝑳 𝒌 𝟐𝑰𝑩𝑹 𝒌 𝟐𝑰𝑩𝑳 𝑹 𝒌 Esta força é igual a exercida sobre um condutor retilíneo de comprimento d 2LR Força magnética e torque sobre uma espira de corrente Considere uma espira retangular transportando uma corrente contínua e constante I imersa numa região de campo magnético constante B como ilustra a figura Observe que a força magnética total sobre a espira é igual a zero visto que se trata de um circuito fechado No entanto é possível que exista um torque sobre a espira diferente de zero Cada face da espira pode ser vista como um segmento que transporta corrente I Nas faces de lado a a força magnética é nula pois a direção da corrente é paralela a direção do campo Nas faces de lado b resultam 𝑭 𝑰𝑩𝒃 Considerando o eixo de rotação PP que passa pelo centro da espira temse que o torque total é devido ao binário 𝑭 e 𝑭 ou seja 𝝉 𝟐𝑰𝑩𝒂𝒃 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝑰𝑩𝑨 𝒔𝒆𝒏𝜽 A área A ab pode reescrita na forma de um vetor com versor 𝒏 normal 𝑨 𝒂𝒃 𝒏 Então 𝝉 𝑰𝑨 𝑩 Definese momento de dipolo magnético ou momento magnético ao vetor perpendicular ao plano da área da espira dado pelo produto do valor da área pela corrente 𝝁 𝑰𝑨 Com isso o torque sobre uma espira de área A vale 𝝉 𝝁 𝑩 Uma bobina circular com raio 00500 m possui 30 espiras e está situada sobre um plano horizontal Ela conduz uma corrente de 50 A que fui no sentido antihorário quando observada de cima para baixo A bobina está em um campo magnético uniforme orientado da esquerda para a direita com módulo 120 T O módulo do momento magnético vale 𝝁 𝑵𝑰𝑨 𝝁 𝑵𝑰𝝅𝒓𝟐 𝝁 𝟏𝟏𝟖 𝑨𝒎𝟐 e o torque sobre a bobina 𝝉 𝝁𝑩𝒔𝒆𝒏𝝓 𝝉 𝟏𝟒𝟏 𝑵𝒎 FÍSICA 2 EFB 206 Lei de Biot Savart Em 1819 o físico dinamarquês Hans Christian Oersted observou que quando a agulha de uma bússola é colocada próxima de uma corrente elétrica essa agulha é desviada de sua posição Esse deslocamento só é possível pela existência de um campo magnético em torno do condutor percorrido por corrente elétrica Foi essa a primeira vez que se observou o aparecimento de um campo magnético juntamente com uma corrente elétrica A Lei de BiotSavart determina o campo magnético 𝒅𝑩 gerado em um ponto P a uma distância r de um elemento de comprimento 𝒅𝒍 em um fio por onde se passa uma corrente I 𝒅𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒅𝒍 𝒓 𝒓𝟐 Integrando 𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒅𝒍 𝒓 𝒓𝟐 𝒃 𝒂 Exemplo 1 Determine o campo de indução magnética produzido pela corrente I constante transportada por um fio de comprimento 2a a uma distância z do seu centro O campo produzido pela corrente I que passa por 𝑑𝑙 é 𝒅𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒅𝒍 𝒓 𝒓𝟐 sendo 𝒅𝒍 𝒅𝒙 𝒊 e 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝝓𝒊 𝒔𝒆𝒏𝝓𝒋 Então 𝒅𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅𝑰 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔𝝓 𝒊 𝒊 𝒅𝒙 𝒔𝒆𝒏𝝓 𝒊 𝒋 𝒓𝟐 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰𝒔𝒆𝒏𝝓 𝒅𝒙 𝒓𝟐 𝒌 Integrando 𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅𝑰 𝒔𝒆𝒏𝝓 𝒅𝒙 𝒓𝟐 𝒌 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒔𝒆𝒏𝝓 𝒅𝒙 𝒙𝟐 𝒛𝟐 𝒌 𝒂 𝒂 𝒂 𝒂 Fazendo a mudança de variável 𝒙 𝒛 𝒄𝒐𝒕𝒈𝝓 com 𝒅𝒙 𝒛𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝟐𝝓 𝒅𝝓 obtémse 𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒛 𝒔𝒆𝒏𝝓𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝟐𝝓 𝒅𝝓 𝟏 𝒄𝒐𝒕𝒈𝟐𝝓 𝒌 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒛 𝒔𝒆𝒏𝝓 𝒅𝝓 𝒌 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒛 𝒄𝒐𝒔𝝓 𝒌 Substituindo a função cosseno 𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒛 𝒙 𝒙𝟐 𝒛𝟐 𝒌 𝒂 𝒂 Com os limites de integração resulta 𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒛 𝟐𝒂 𝒛𝟐 𝒂𝟐 𝒌 Exemplo 2 Determine o campo gerado pela corrente numa espira de raio a a uma distância x do centro desta espira Pela lei de BiotSavart temos que o campo gerado pela corrente I que passa por 𝒅𝒍 é dado por 𝒅𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒅𝒍 𝒓 𝒓𝟐 A figura mostra que no ponto P o campo 𝒅𝑩 pode ser decomposto na forma 𝒅𝑩𝒙 𝒅𝑩 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒅𝑩𝒚 𝒅𝑩 𝒔𝒆𝒏𝜽 sendo 𝒅𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒅𝒍 𝒙𝟐 𝒂𝟐 visto que 𝒅𝒍 e 𝒓 são perpendiculares Como existe simetria rotacional em torno do eixo x a componente 𝒅𝑩𝒚 é nula Portanto o campo resultante no ponto P será 𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒅𝒍 𝒙𝟐 𝒂𝟐 𝒂 𝒙𝟐 𝒂𝟐 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒂 𝒙𝟐 𝒂𝟐𝟑𝟐 𝒅𝒍 𝝁𝟎 𝟐 𝑰 𝒂𝟐 𝒙𝟐 𝒂𝟐𝟑𝟐 FÍSICA 2 EFB 206 Observe que o campo pode ser reescrito em termos do momento de dipolo magnético 𝝁 𝑰𝑨 onde A é o valor da área da espira 𝑩 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝑰 𝝅𝒂𝟐 𝒙𝟐 𝒂𝟐𝟑𝟐 𝒌 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝝁 𝒙𝟐 𝒂𝟐𝟑𝟐 Esta relação tem uma importância muito grande no estudo da Física quântica Sabese que para qualquer carga elétrica em movimento de rotação a direção do momento de dipolo magnético é paralela à direção do vetor momento angular orbital 𝑳 Considere o caso mais simples usando como exemplo Modelo de Bohr do átomo de Hidrogênio para o qual o elétron executa um movimento circular em torno do próton que está em repouso no centro da órbita A corrente elétrica gerada pelo movimento do elétron é dada pela razão 𝑰 𝒆 𝑻 𝒆𝒗 𝟐𝝅𝒓 onde v é a velocidade orbital do elétron e r o raio da órbita Assim o momento de dipolo magnético pode ser reescrito na forma 𝝁 𝑰𝑨 𝒆𝒗 𝟐𝝅𝒓 𝝅𝒓𝟐 𝒆𝒗𝒓 𝟐 Multiplicando essa expressão pelo valor da massa do elétron resulta 𝝁 𝒆𝒎𝒗𝒓 𝟐𝒎 𝒆 𝟐𝒎 𝑳 Vetorialmente 𝝁 𝒆𝒎𝒗𝒓 𝟐𝒎 𝒆 𝟐𝒎 𝑳 O sentido do momento de dipolo magnético do átomo de Hidrogênio é oposto ao sentido do momento angular orbital No entanto existe uma proporcionalidade entre as duas grandezas dada pela razão entre a carga e a massa do elétron Tratase de um fato interessante que juntandose a informação de que a constante de Planck possui dimensão de momento angular foi possível definir uma grandeza conhecida como Magneton de Bohr dado por 𝝁𝑩 𝒆ℏ 𝟐𝒎 sendo ℏ 𝟏 𝟎𝟓𝟓 𝟏𝟎𝟑𝟒 𝑱 𝒔 No caso dos núcleos atômicos o momento de dipolo magnético nuclear é obtido a partir do spin associado aos prótons e nêutrons Desta forma a razão entre os valores dos momentos de dipolo magnéticos é igual a razão entre as massas das partículas 𝝁𝒆 𝝁𝒑 𝒎𝒑 𝒎𝒆 Como exemplo de aplicação destacase a Ressonância Magnética onde a imagem gerada nasce do alinhamento dos spins nucleares com o campo magnético externo FÍSICA 2 EFB 206 Força magnética entre dois condutores paralelos A figura mostra segmentos de dois fios paralelos retilíneos paralelos e longos separados por uma distância r conduzindo correntes I e I no mesmo sentido Cada condutor está sob a influência do campo magnético gerado pela corrente do outro condutor e portanto sofre ação de uma força magnética O valor da força magnética por unidade de comprimento sobre cada condutor é obtido calculandose o campo magnético 𝑩 gerado pela corrente I a uma distância r do condutor infinito é dado por 𝑩 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝑰 𝒓 Sobre o condutor paralelo uma força magnética 𝑭 𝒎 é gerada pela interação entre a corrente I e o campo externo 𝑩 dada por 𝑭 𝒎 𝑰 𝑳 𝑩 Sendo 𝑩 e 𝑳 vetores perpendiculares o módulo da força é 𝑭𝒎 𝑰 𝑳 𝑩 Portanto a força por unidade de comprimento é dada por 𝑭𝒎 𝑳 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝑰𝑰 𝒓 Existe uma força de atração entre dois fios paralelos que conduzem correntes com o mesmo sentido Existe uma força de repulsão entre dois fios paralelos que conduzem correntes com os sentidos contrários Se o sentido de qualquer uma das correntes é invertido a força também se inverte Exemplo 1 Dois fios longos e paralelos estão separados por uma distância de 0400 m As correntes I1 e I2 têm as direções indicadas na figura a Calcule o módulo da força exercida por cada fio sobre um ramo de 120 m do outro fio A forma é de atração ou de repulsão b Cada corrente é duplicada de maneira que I1 é agora de 100 A e I2 de 400 A Nessas condições qual é o módulo da força que cada fio exerce sobre um ramo de 120 m do outro fio a A partir do resultado do exercício anterior temos que a força magnética entre dos fios é 𝑭𝒎 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝑳 𝑰𝑰 𝒓 Assim 𝑭𝒎 𝟒𝝅 𝟏𝟎𝟕 𝟐𝝅 𝟏𝟐𝟎 𝟓𝟎𝟎 𝟐 𝟎𝟎 𝟎𝟒𝟎𝟎 𝟔 𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟔𝑵 b Duplicando os valores das correntes resulta 𝑭𝒎 𝟒𝝅 𝟏𝟎𝟕 𝟐𝝅 𝟏 𝟐𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟒 𝟎𝟎 𝟎 𝟒𝟎𝟎 𝟐 𝟒𝟎 𝟏𝟎𝟓𝑵 Observe que as forças que atuam nos condutores são de repulsão visto que as correntes tem sentidos opostos Exemplo 2 Dois fios longos paralelos estão separados por uma distância de 100 m Figura O fio da esquerda conduz uma corrente I1 de 600 A entrando no plano da página e o da direita I2 No ponto S passa um condutor com uma corrente I 200 A no sentido indicado a Considerando apenas a corrente I1 quais devem ser o sentido e o módulo da corrente I2 para que o campo magnético no ponto P seja igual a zero b Quais devem ser o módulo a direção e o sentido da força resultante no condutor S de comprimento 010 m FÍSICA 2 EFB 206 Solução a Para que o campo no ponto P seja nulo a corrente I2 deve ter o sentido do eixo z positivo saindo do papel Igualando os valores dos campos 𝑩𝟏 𝑩𝟐 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝑰𝟏 𝒓𝟏 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝑰𝟐 𝒓𝟐 𝑰𝟐 𝒓𝟐 𝒓𝟏 𝑰𝟏 𝑰𝟐 𝟐 𝟎𝟎 𝑨 b Quando as correntes possuem sentidos opostos as forças entre os condutores são repulsivas enquanto para correntes nos mesmos sentidos as forças são atrativas Calculando as componentes da força resultante 𝑭𝒙 𝑭𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝑭𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝑭𝒚 𝑭𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝜶 𝑭𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜷 sendo 𝑭𝟏 𝟒𝝅 𝟏𝟎𝟕 𝟎 𝟏𝟎 𝟐𝟎 𝟔 𝟎 𝟐𝝅 𝟎 𝟔𝟎 𝟒𝟎 𝟏𝟎𝟕 𝑵 𝑭𝟐 𝟒𝝅 𝟏𝟎𝟕 𝟎 𝟏𝟎 𝟐𝟎 𝟐 𝟎 𝟐𝝅 𝟎 𝟖𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟕 𝑵 Substituindo os valores 𝑭𝒙 𝟒𝟎 𝟎 𝟔𝟎 𝟏 𝟎 𝟎𝟖𝟎 𝟏𝟎𝟕 𝟑𝟐 𝟏𝟎𝟕 𝑵 𝑭𝒚 𝟒𝟎 𝟎𝟖𝟎 𝟏𝟎 𝟎𝟔𝟎 𝟏𝟎𝟕 𝟐 𝟔 𝟏𝟎𝟕 𝑵 Vetorialmente 𝑭 𝟑𝟐𝒊 𝟐𝟔 𝒋 𝟏𝟎𝟕 𝑁 Exemplo 3 Calcule o módulo do campo magnético no ponto P da figura em termos de R I1 e I2 Qual o resultado quando I1 I2 Solução O arranjo é composto de dois segmentos curvos e assim o campo magnético resultante no ponto P é a soma das duas contribuições Condutor 1 Pela lei de Biot Savart o campo magnético é 𝒅𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒅𝒍 𝒓 𝒓𝟐 As contribuições dos segmentos AB e CD são nulas visto que os vetores 𝒅𝒍 e 𝒓 são paralelos Assim o campo 𝑩 𝟏 é resultado da contribuição da corrente que percorre o arco 𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰𝟏 𝒅𝒍 𝑹𝟐 𝒌 𝝁𝟎𝑰𝟏 𝟒𝝅𝑹𝟐 𝝅 𝟎 𝑹 𝒅𝜽 𝝅 𝟎 𝒌 𝝁𝟎𝑰𝟏 𝟒𝑹 𝒌 Condutor 2 Por analogia resulta que 𝑩 𝟐 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒅𝒍 𝒓 𝒓𝟐 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰𝟐 𝒅𝒍 𝑹𝟐 𝒌 𝝁𝟎𝑰𝟐 𝟒𝝅𝑹𝟐 𝝅 𝟎 𝑹 𝒅𝜽 𝝅 𝟎 𝒌 𝝁𝟎𝑰𝟐 𝟒𝑹 𝒌 Portanto o campo resultante no ponto P é 𝑩 𝑷 𝝁𝟎𝑰𝟏 𝟒𝑹 𝒌 𝝁𝟎𝑰𝟐 𝟒𝑹 𝒌 𝝁𝟎 𝟒𝑹 𝑰𝟏 𝑰𝟐 𝒌 Note que se as correntes 𝑰𝟏 e 𝑰𝟐 forem iguais o campo magnético resultante no ponto P é nulo exatamente como ocorre nos condutores paralelos FÍSICA 2 EFB 206 Lei de Ampère A Lei de Ampère relaciona o campo 𝑩 criado por correntes constantes que atravessam uma área S limitada pela curva fechada C fronteira 𝑩 𝒅𝒍 𝝁𝟎 𝑰𝒊𝒏𝒕 A corrente 𝑰𝒊𝒏𝒕 na Lei de Ampère é a corrente total soma de correntes positivas e negativas dependendo da direção que atravessam o circuito A Lei de Ampère é uma lei fundamental do eletromagnetismo Entretanto a integral de linha que define a Lei de Ampère é solucionada analiticamente quando a distribuição de correntes apresenta simetria e isto é um empecilho para a aplicação ampla desta lei Note que devido ao produto escalar entre os vetores 𝑩 e 𝒅𝒍 o módulo a direção e o sentido do campo 𝑩 devem que ser conhecidos em todos os pontos da curva C Isto só é possível se houver simetria na distribuição das correntes e consequentemente dos valores do campo 𝑩 Como exemplo de aplicação da Lei de Ampére vamos determinar o campo magnético gerado em torno de um condutor retilíneo e infinito que conduz uma corrente contínua I A linha de integração C é uma circunferência em torno do condutor e o sentido do campo de indução 𝑩 é dado pela regra da mão direita Sendo 𝑩 e 𝒅𝒍 vetores paralelos temse 𝑩 𝒅𝒍 𝒄 𝝁𝟎𝑰 𝑩 𝒅𝒍 𝒄 𝐜𝐨𝐬𝟎𝟎 𝝁𝟎𝑰 𝑩 𝒅𝒍 𝝁𝟎𝑰 𝑪 A integral vale o comprimento da trajetória ou seja 𝑩𝟐𝝅𝒓 𝝁𝟎𝑰 𝑩 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝑰 𝒓 Observe que este resultado já tínhamos obtido pela Lei de Bio Savart Exemplo 1 Dois fios longos paralelos estão separados por uma distância de 10 m O fio 1 conduz uma corrente I1 de 60 A entrando no plano da página a Qual deve ser o sentido e o módulo da corrente I2 para que o campo magnético no ponto P seja igual a zero b Qual deve ser então o módulo a direção e o sentido do campo resultante em Q c Qual deve ser o módulo do campo resultante em S Solução a Para que seja nulo o campo no ponto P a corrente I2 deve ter o sentido apontando para fora do papel Assim igualando os valores dos campos 𝑩𝟏 𝑩𝟐 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝑰𝟏 𝒓𝟏 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝑰𝟐 𝒓𝟐 𝑰𝟐 𝒓𝟐 𝒓𝟏 𝑰𝟏 𝟎𝟓𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟔 𝟎𝟎 𝟐 𝟎𝟎 𝑨 b Pela lei de Ampère no ponto Q o campo resultante é 𝑩𝑸 𝑩𝟏 𝑩𝟐 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝑰𝟏 𝒓𝟏 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝑰𝟐 𝒓𝟐 𝟒𝝅 𝟏𝟎𝟕 𝟐𝝅 𝟔𝟎𝟎 𝟎𝟓𝟎 𝟐𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝑩𝑸 𝟐 𝟏𝟑 𝟏𝟎𝟔 𝑻 c No ponto S necessitamos os valores dos módulos dos campos Assim 𝑩𝟏 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝑰𝟏 𝒓𝟏 𝟒𝝅 𝟏𝟎𝟕 𝟐𝝅 𝟔𝟎𝟎 𝟎𝟔𝟎 𝟐 𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟔 𝑻 𝑩𝟐 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝑰𝟐 𝒓𝟐 𝟒𝝅 𝟏𝟎𝟕 𝟐𝝅 𝟐𝟎𝟎 𝟎𝟖𝟎 𝟎 𝟓𝟎 𝟏𝟎𝟔 𝑻 Fazendo a decomposição vetorial 𝑩𝒙 𝑩𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝑩𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝑩𝒚 𝑩𝟏𝒔𝒆𝒏𝜷 𝑩𝟐𝒔𝒆𝒏𝜶 obtemos 𝑩𝒔 𝟐 𝟎𝟔 𝟏𝟎𝟔 𝑻 cuja direção é θ 5740 FÍSICA 2 EFB 206 Exemplo 2 Um condutor cilíndrico longo de raio R conduz uma corrente I A corrente está uniformemente distribuída na área da seção reta do cilindro Calcule o campo magnético em função da distância r entre o ponto do campo e o eixo do cilindro para todos os pontos dentro r R e fora do condutor r R Solução a Pontos dentro do condutor r R O campo B possui o mesmo valor para seu módulo em todos os pontos da curva de integração C a qual pela simetria do problema é uma circunferência de raio r 𝑩𝒅𝒍 𝝁𝟎𝑰𝒊𝒏𝒕 𝑩 𝒓𝒅𝜽 𝝁𝟎𝑰𝒊𝒏𝒕 𝟐𝝅 𝟎 𝑪 𝑩𝟐𝝅𝒓 𝝁𝟎𝑰𝒊𝒏𝒕 O fluxo de corrente no cilindro de raio r é proporcional ao fluxo de corrente total ou seja 𝑰𝒊𝒏𝒕 𝝅𝒓𝟐 𝑰 𝝅𝑹𝟐 𝑰𝒊𝒏𝒕 𝒓𝟐 𝑹𝟐 𝑰 Portanto o campo magnético na região interna ao cilindro é 𝑩 𝝁𝟎𝑰 𝟐𝝅𝑹𝟐 𝒓 b Pontos fora do condutor r R A partir da lei de Ampère temos que o campo B possui o mesmo valor para seu módulo em todos os pontos da curva de integração C a qual pela simetria do problema é uma circunferência de raio r 𝑩𝒅𝒍 𝝁𝟎𝑰𝒊𝒏𝒕 𝑩 𝒓𝒅𝜽 𝝁𝟎𝑰𝒊𝒏𝒕 𝟐𝝅 𝟎 𝑪 𝑩𝟐𝝅𝒓 𝝁𝟎𝑰𝒊𝒏𝒕 A corrente interna a linha circuital C é igual ao valor da corrente total Então o campo magnético na região externa ao cilindro é 𝑩 𝝁𝟎𝑰 𝟐𝝅𝒓 Exemplo 3 Um condutor sólido com raio a é suportado por discos isolantes no centro de um tubo condutor com raio interno b e raio externo c O condutor central e o tubo transportam corrente com mesmo módulo I porém com sentidos contrários As correntes são distribuídas uniformemente ao longo da seção reta de cada condutor Deduza uma expressão para o módulo do campo magnético a Nos pontos no exterior do condutor sólido central porém no interior do tubo a r b b Nos pontos no exterior do tubo r c Solução a Nos pontos no exterior do condutor sólido central porém no interior do tubo a r b Aplicando a Lei de Ampère temos que a corrente interna à linha circuital C é igual a Iint I Assim 𝑩 𝒅𝒍 𝒄 𝝁𝟎𝑰𝒊𝒏𝒕 𝑩 𝒅𝒍 𝑪 𝝁𝟎𝑰 𝑩 𝝁𝟎𝑰 𝟐𝝅𝒓 b Nos pontos no exterior ao tubo r c Aplicando a Lei de Ampère temos que a corrente interna à linha circuital C é igual a Iint 0 Assim 𝑩 𝒅𝒍 𝒄 𝟎 𝑩 𝟎 FÍSICA 2 EFB 206 Solução Considere uma quantidade de carga 𝒅𝒒 deslocandose com velocidade v num condutor e sob ação de um campo magnético 𝑩 Por definição a força magnética que atua sobre o elemento de carga é dada por 𝒅𝑭 𝒅𝒒 𝒗 𝑩 Lembrando que a velocidade da carga vale 𝑣 𝒅𝒍 𝒅𝒕 onde 𝑑𝒍 o deslocamento da partícula a força pode ser reescrita como 𝒅𝑭 𝒅𝒒 𝒅𝒍 𝒅𝒕 𝑩 𝒅𝒒 𝒅𝒕 𝒅𝒍 𝑩 𝑰𝒅𝒍 𝑩 onde 𝐼 𝒅𝒒 𝒅𝒕 é a corrente que atravessa o condutor Desta forma a força total vale 𝑭 𝑰𝒅𝒍 𝑩 Para o caso particular o qual a corrente e o campo são constantes esta expressão tornase 𝑭 𝑰 𝑳 𝑩 1 Mostre que a o valor da força magnética sobre um condutor pode ser obtida diretamente da expressão que define a força magnética sobre uma carga em movimento FÍSICA 2 EFB 206 2 Uma bobina quadrada de lado 2a conduz uma corrente constante i como indicado na figura Determine o valor do campo de indução magnética medido no centro da espira sabendo que cada bobina contém N espiras Solução A partir da Lei de Biot Savart temos que o campo de indução magnética de um condutor finito é dado por 𝑩 𝝁𝟎 𝑵𝒊 𝟒𝝅𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝜽𝟐 𝜽𝟏 𝝁𝟎 𝑵𝒊 𝟒𝝅𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 No problema o campo deve ser medido no centro de uma espira quadrada resultando que os ângulos iguais a 450 Assim 𝑩 𝝁𝟎 𝑵𝒊 𝟒𝝅𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝝅 𝟒 𝒔𝒆𝒏 𝝅 𝟒 𝝁𝟎 𝒊𝑵 𝟒𝝅𝒓 𝟐 A distância do fio ao ponto central da espira é metade do valor do comprimento do fio 𝒓 𝒂 Dessa forma 𝑩 𝝁𝟎𝑵 𝒊 𝟒𝝅𝒂 𝟐 Somando a contribuição das quatro arestas o campo total é igual a 𝑩 𝟐𝝁𝟎𝑵 𝒊 𝝅𝒂 FÍSICA 2 EFB 206 3 Uma corrente i estacionária constante percorre um fio de comprimento 2L como indica a figura Determine o valor do campo de indução magnética no ponto P indicado Solução A partir da Lei de Biot Savart temos que o campo de indução magnética de um condutor finito é dado por 𝑩 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝜽𝟐 𝜽𝟏 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 sendo os ângulos 𝜽𝟏 e 𝜽𝟐 definidos de acordo com a figura No problema o campo deve ser medido na extremidade do condutor resultando que θ1 00 e 𝒔𝒆𝒏𝜽𝟐 𝟐𝑳 𝒂𝟐 𝟒𝑳𝟐 como mostra a figura Assim o campo de indução magnética no ponto P vale 𝑩 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝒂 𝟐𝑳 𝒂𝟐 𝟒𝑳𝟐 𝝁𝟎 𝒊 𝟐𝝅𝒂 𝑳 𝒂𝟐 𝟒𝑳𝟐 Observação Caso o condutor seja semiinfinito o ângulo θ2 será igual a π2 Assim o campo de indução magnética no ponto P é dado por 𝑩 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝒂 FÍSICA 2 EFB 206 4 Uma corrente i estacionária percorre um fio de comprimento 2L como indica a figura Considerando que a dobra do fio faz um ângulo reto determine o valor do campo de indução magnética no ponto P indicado Solução A partir da Lei de Biot Savart temos que o campo de indução magnética de um condutor finito é dado por 𝑩 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝜽𝟐 𝜽𝟏 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 sendo os ângulos 𝜽𝟏 e 𝜽𝟐 definidos de acordo com a figura No problema o campo deve ser medido na extremidade do condutor resultando que θ2 450 e θ1 00 Assim 𝑩 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝝅 𝟒 𝒔𝒆𝒏 𝟎 𝝁𝟎 𝒊 𝟖𝝅𝒓 𝟐 A distância do fio ao ponto central da espira é o valor do comprimento do fio Dessa forma 𝑩 𝝁𝟎 𝒊 𝟖𝝅𝑳 𝟐 O campo total é igual a soma de cada contribuição resultando 𝑩 𝟐𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝑳 FÍSICA 2 EFB 206 5 Uma partícula de carga q 200 1014C e velocidade v 600 105 ms é lançada numa região onde existe um campo de indução magnética de intensidade 100 T Calcule a força magnética sobre a partícula supondo que as direções do campo e da velocidade da partícula sejam a paralelas B perpendiculares c definem um ângulo de 300 Solução a A força sobre a partícula de carga q devido a presença do campo de indução magnética é dada por 𝑭 𝒎 𝒒𝒗 𝑩 Assim se as direções dos vetores velocidade e campo B forem paralelas a força magnética sobre a carga é nula visto que o produto vetorial entre dois vetores paralelos é igual a zero b Sendo as direções dos vetores velocidade e campo B perpendiculares a força magnética é máxima e perpendicular ao plano formado pelos vetores Assim 𝑭𝒎 𝒒𝒗𝑩 𝟐 𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟏𝟒 𝟔 𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟓 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟐 𝟎 𝟏𝟎𝟕 𝟏 𝟐𝛍𝐍 c O módulo da força para esse caso vale 𝑭𝒎 𝒒𝒗𝑩 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎𝟎 𝟎 𝟔𝟎𝛍𝐍 FÍSICA 2 EFB 206 6 Duas espiras circulares concêntricas e coplanares de raios r1 6π m e r2 9π m são percorridas por correntes I1 300 A e I2 500 A como ilustra a figura Determine o valor do campo de indução magnética no centro comum das espiras Solução O campo de indução magnética calculado a uma distância x do centro de uma espira de raio a é dado por 𝑩 𝝁𝟎 𝟐 𝑰 𝒂𝟐 𝒙𝟐 𝒂𝟐𝟑𝟐 No centro da espira x 0 resulta 𝑩 𝝁𝟎 𝟐 𝑰 𝒂 O campo de indução magnética no centro do conjunto é dado pela sobreposição dos campos gerados pelas correntes I1 e I2 Usando a regra da mão direita resulta que o campo gerado pela corrente 𝑰𝟐 é positivo e o campo gerado pela corrente 𝑰𝟏 é negativo Então 𝑩 𝝁𝟎 𝟐 𝑰𝟐 𝒓𝟐 𝑰𝟏 𝒓𝟏 Substituindo os valores 𝑩 𝟏 𝟗 𝟏𝟎𝟕 𝑻 FÍSICA 2 EFB 206 7 Determine o campo de indução magnética no ponto P supondo que a corrente conduzida pela espira seja de 100 A e R 200 cm Solução Os campos gerados pelos segmentos AB e CD não contribuem no ponto P pois ao aplicarmos a Lei de Biot Savart temse que os vetores 𝒅𝒍 e 𝒓 são paralelos e como consequência o produto vetorial entre eles é nulo Por outro lado as correntes transportadas pelos arcos AD e CB produzem no ponto P campos de indução magnética de sentidos opostos como pode ser facilmente verificado pela regra da mão direita Assim 𝑩 𝝁𝟎 𝟒 𝑰 𝑹 𝑰 𝟐𝑹 𝝁𝟎𝑰 𝟖𝑹 Substituindo os valores numéricos resulta 𝑩 𝟏 𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟓 𝑻 Solução O segmento AB não contribui para o campo no ponto C pois ao aplicarmos a Lei de Biot Savart temse os vetores 𝒅𝒍 e 𝒓 são paralelos e como consequência o produto vetorial entre eles é nulo As correntes do arco e do segmento semiinfinito CD separadamente geram campos magnéticos no ponto C Assim Arco 𝑩 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝑹 𝜽 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝑹𝟐𝝅 𝝅 𝟐 𝟑𝝁𝟎 𝒊 𝟖𝑹 Segmento CD 𝑩 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝜽𝟐 𝜽𝟏 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝑹 𝒔𝒆𝒏 𝝅 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝟎 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝑹 Somando 𝑩 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝑹 𝟑𝝁𝟎 𝒊 𝟖𝑹 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝑹 𝟏 𝝅 𝟑 𝟖 FÍSICA 2 EFB 206 8 Considere um fio infinito e disposto no plano do papel segundo a figura abaixo Determine o valor do campo magnético induzido no centro da espira Solução Aplicando a Lei de Ampère temse que o campo gerado pela corrente transportada no tubo vale 𝑩𝒕𝒖𝒃𝒐 𝝁𝟎 𝑰𝟏 𝟐𝝅𝟐𝑹 𝝁𝟎 𝑰𝟏 𝟒𝝅𝑹 Da mesma forma pela Lei de Ampère o campo gerado pela corrente transportada no fio vale 𝑩𝒇𝒊𝒐 𝝁𝟎 𝑰 𝟐𝝅𝑹 cujo sentido necessariamente deve apontar para dentro do papel Assim igualando os valores dos campos resulta que a corrente transportada pelo fio vale 𝑰 𝑰𝟏 𝟐 FÍSICA 2 EFB 206 9 Na figura a seguir um tubo circular longo de raio externo R conduz uma corrente uniformemente distribuída I para dentro do papel Existe um fio paralelo ao tubo a uma distância de 300 R do eixo do tubo Determine o valor e o sentido para dentro ou para fora do plano do papel da corrente do fio para que o campo magnético no ponto P seja nulo 𝐵𝑡𝑢𝑏𝑜 Solução Os campos gerados pelos arcos superior e inferior produzem no ponto P campos de indução magnética com sentidos opostos A corrente transportada pelo arco inferior gera um campo cujo sentido aponta para fora do papel positivo enquanto que o arco superior gera um campo apontando para dentro do papel negativo Aplicando a Lei de Biot Savart o campo gerado por um arco é dado por 𝑩 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝑹 𝜽 Uma vez que os ângulos de abertura dos arcos são conhecidos temse 𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝒊𝟏𝝅 𝑹 𝟐𝒊𝟏𝟐𝝅 𝟑 𝟎 𝟖𝑹 𝝁𝟎𝒊𝟏 𝟔𝑹 FÍSICA 2 EFB 206 10 No arranjo abaixo o fio inferior conduz uma corrente i1 e inclui um arco de circunferência com um raio R e centro no ponto P O fio superior conduz uma corrente i22i1 e inclui em arco de circunferência com raio igual a 08R e centro também no ponto P que subentende um ângulo de 2π3 rad Determine o módulo e a orientação do campo magnético no ponto P para os sentidos das correntes indicados na figura Solução Este problema deve ser solucionado aplicandose a Lei de Ampère para todas as regiões Região I r a Uma vez que a corrente é uniformemente distribuída temse que a densidade de corrente é constante Assim para a região r a a corrente vale 𝒊𝟏 𝒊 𝒓𝟐 𝒂𝟐 A lei de Ampére mostra que 𝑩𝟏 𝝁𝟎 𝒊𝟏 𝟐𝝅𝒓 𝝁𝟎𝒊 𝒓 𝟐𝝅𝒂𝟐 Região 2 a r b Nesse caso toda corrente i está contida na área determinada pela linha circuital C Então 𝑩𝟐 𝝁𝟎𝒊 𝟐𝝅𝒓 Região 3 b r c Como as correntes estão em sentidos opostos os campos gerados também terão sentidos opostos A corrente gerada pela corrente do condutor externo é uma fração do valor total Assim 𝒊𝟑 𝝅𝒓𝟐 𝒃𝟐 𝒊 𝝅𝒄𝟐 𝒃𝟐 𝒊𝟑 𝒊 𝒓𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒃𝟐 Na lei de Ampére resulta 𝑩𝟑 𝝁𝟎𝒊 𝟐𝝅𝒓 𝒓𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒃𝟐 Assim o campo total na região 3 vale 𝑩𝟑 𝝁𝟎𝒊 𝟐𝝅𝒓 𝝁𝟎𝒊 𝟐𝝅𝒓 𝒓𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒃𝟐 𝝁𝟎𝒊 𝟐𝝅𝒓 𝟏 𝒓𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒃𝟐 ou seja 𝑩𝟑 𝝁𝟎𝒊 𝟐𝝅𝒓 𝒄𝟐 𝒓𝟐 𝒄𝟐 𝒃𝟐 Região IV r c Nesse caso temse 𝑩𝟒 𝟎 Visto que o valor da corrente total é nula FÍSICA 2 EFB 206 11 Um cabo coaxial é constituído por dois cilindros condutores um sólido de raio a e outro oco de raio interno b e raio externo c Correntes da mesma intensidade i uniformes são conduzidas em sentidos opostos pelos cilindros Determine o campo de indução magnética em todos os pontos do espaço Solução Aplicando a Lei de Ampère temse que o campo gerado pela corrente transportada por um fio infinito a uma distância r é dado por 𝑩 𝝁𝟎𝒊 𝟐𝝅𝒓 No problema resulta que cada uma das contribuições das correntes no ponto central vale 𝑩 𝟐𝝁𝟎𝒊 𝟐𝝅𝒂 O campo resultante estará na direção do eixo y sentido positivo e o módulo será 𝑩𝑹 𝟐𝟐𝑩 𝟐𝝁𝟎𝒊 𝝅𝒂 FÍSICA 2 EFB 206 12 Quatro fios longos são dispostos de tal forma que as correntes transportadas fluem ortogonalmente ao plano do papel Sabendo que as correntes possuem os mesmos valores determine o campo de indução resultante no centro da configuração i FÍSICA 2 EFB 206 Solução a Aplicando a Lei de Ampère temse que o campo gerado pela corrente transportada por um fio infinito a uma distância r é dado por 𝑩 𝝁𝟎𝒊 𝟐𝝅𝒓 No problema resulta o campo gerado pela corrente i no ponto P vale 𝑩𝟏 𝝁𝟎𝒊 𝟐𝝅𝒙 E o campo gerado pela corrente 3i no ponto P 𝑩𝟐 𝝁𝟎𝟑𝒊 𝟐𝝅𝒚 Considerando que o campo no ponto P deve ser nulo tem se 𝑩𝟏 𝑩𝟐 𝝁𝟎𝒊 𝟐𝝅𝒙 𝝁𝟎𝟑𝒊 𝟐𝝅𝒚 Simplificando 𝒙 𝒚 𝟏 𝟑 b A partir da Lei de Ampére temse que o campo de indução magnética gerado pela corrente i na região do segundo condutor vale 𝑩 𝝁𝟎𝒊 𝟐𝝅𝒙 𝒚 A força por unidade de comprimento resultante da interação entre a corrente 3i e o campo gerado pela corrente i vale 𝑭 𝑳 𝟑𝝁𝟎𝒊𝟐 𝟐𝝅𝒙 𝒚 A simetria mostra que a força magnética no condutor 1 possui mesmo módulo direção e sentido oposto como indica a figura 13 Dois fios metálicos retos paralelos e longos são percorridos por correntes i e 3i cujos sentidos são indicados na figura Considere que o campo de indução magnética no ponto P seja nulo a Determine o valor da razão entre as distâncias x e y b Determine as forças magnéticas que atuam sobres os fios FÍSICA 2 EFB 206 14 Um condutor de comprimento 100 m e massa 0200 kg está fixado a uma mola de constante k alongandoa de 120 cm em relação ao comprimento natural O condutor está numa região de campo magnético constante intensidade 0150 T e direção indicada na figura Ao passarmos uma corrente elétrica i no condutor a força magnética sobre o condutor leva para uma nova posição de equilíbrio Quando a corrente é desligada a barra passa a executar um MHS de amplitude 960 cm Determine a intensidade da corrente i Solução A partir da condição de equilíbrio temos que a constante elástica da mola vale 𝒌 𝒎𝒈 𝒙 𝟎 𝟐𝟎𝟎 𝟗 𝟖𝟏 𝟎 𝟏𝟐 𝟏𝟔 𝟒 𝑵𝒎 A força magnética que atura sobre o condutor é dada por 𝑭 𝒊𝑩𝑳 Nessa condição o sistema atinge novamente o equilíbrio sendo que a força magnética deve ter a mesma intensidade da força elástica Visto que ao desligarmos a corrente o sistema executa um MHS de amplitude 960 cm significa que a deformação da mola devido a presença da força magnética tem esse valor Assim 𝑭𝒎 𝑭𝒆 𝒊𝑩𝑳 𝒌𝒙 Substituindo os valores 𝒊 𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟏 𝟎𝟎 𝟏𝟔 𝟒 𝟎 𝟎𝟗𝟔 𝒊 𝟏𝟎 𝟓 𝑨 FÍSICA 2 EFB 206 15 Uma partícula de carga q e massa m realiza um movimento circular uniforme sob ação de um campo de indução magnética de magnitude B uniforme Determinar a frequência do movimento Solução Executando um movimento circular uniforme e supondo que a força magnética é a resultante que atua sobre a partícula temos que 𝑭𝒎 𝒎𝒗𝟐 𝑹 sendo R o valor do raio da trajetória A força magnética nesse caso vale 𝑭𝒎 𝒒𝒗𝑩 e então 𝒒𝒗𝑩 𝒎𝒗𝟐 𝑹 𝒗 𝒒𝑩𝑹 𝒎 Lembrando que para o movimento circular uniforme a velocidade tangencial vale 𝒗 𝟐𝝅𝑹 𝑻 sendo T o valor do período do movimento resulta que 𝟐𝝅𝑹 𝑻 𝒒𝑩𝑹 𝒎 𝟏 𝑻 𝒒𝑩 𝟐𝝅𝒎 Como a frequência do movimento é definida como o inverso do valor do período resulta 𝒇 𝒒𝑩 𝟐𝝅𝒎 FÍSICA 2 EFB 206 16Dois fios longos e paralelos separados pela distância 2a conduzem correntes i em sentidos opostos Os fios são perpendiculares ao eixo y de um sistema cartesiano como ilustra a figura Determine o valor do campo de indução B num ponto P situado no eixo x Solução A partir da Lei de Ampère temos que os campos de indução magnética gerados pelas correntes no ponto P valem 𝑩 𝒅𝒍 𝑪 𝝁𝟎 𝒊 𝑩 𝟐𝝅𝒓 𝝁𝟎 𝒊 𝑩 𝝁𝟎 𝒊 𝟐𝝅𝒓 sendo 𝒓 𝒙𝟐 𝒂𝟐 A simetria mostra que as componentes na direção y serão anuladas então o campo resultante no ponto P será obtido pela sobreposição das componentes na direção horizontal 𝑩 𝟐 𝝁𝟎 𝒊 𝟐𝝅𝒓 𝐜𝐨𝐬𝜶 𝝁𝟎 𝒊 𝝅 𝒂 𝒙𝟐 𝒂𝟐 A figura sem escala representa a variação da intensidade do campo B em função da distância x em relação a origem Note que o campo será máximo exatamente para x 0 e quando x a o comportamento da função aproximase de 1x2 No limite x o campo será nulo ou seja os efeitos do campo magnético a longas distâncias são desprezíveis FÍSICA 2 EFB 206 17 A figura representa uma bobina retangular de lados 100 cm e 500 cm contendo 20 espiras e conduzindo uma corrente de 010 A Um campo magnético constante de intensidade 050 T tem direção paralela ao eixo y positivo Sabese que o campo B interage com o momento de dipolo magnético gerado na bobina ocorrendo um torque resultante em torno do eixo z Considerando que o plano da bobina define um ângulo de 300 com a direção do campo determine o valor do torque Solução O torque sobre a espira é dado por 𝝉 𝝁 𝑩 sendo 𝝁 𝒊𝑨 o momento de dipolo magnético A interação ocorre no plano xy como indica a figura Desta forma a intensidade do torque vale 𝝉 𝒊𝑨𝑩 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎𝟎 𝟐𝟓𝟑 𝟏𝟎𝟒 𝑵 𝒎 O sentido de rotação da bobina é horário em torno do eixo z FÍSICA 2 EFB 206 18 A figura representa uma bobina retangular de lados 200 cm e 100 cm contendo 40 espiras e conduzindo uma corrente de 030 A Um campo magnético constante de intensidade 00630 T tem direção indicada na figura Determine o valor do torque sob o qual a bobina ficará submetida Solução O torque sobre a espira é dado por 𝝉 𝝁 𝑩 sendo 𝝁 𝒊𝑨 o momento de dipolo magnético Definindo os vetores na base cartesiana bidimensional temse 𝝉 𝝁𝒌 𝑩 𝒊 𝑵𝒊𝑨𝑩 𝒌 𝒊 𝑵𝒊𝑨𝑩 𝒋 Desta forma a intensidade do torque vale 𝝉 𝑵𝒊𝑨𝑩 𝒔𝒆𝒏 𝟗𝟎𝟎 𝟏𝟓 𝟏 𝟏𝟎𝟐 𝑵 𝒎 Em torno do eixo y a rotação ocorre no sentido horário 19 19 Uma corrente i estacionária constante percorre um fio de comprimento 2L como indica a figura Considerando que a dobra do fio faz um ângulo de 600 determine o valor do campo de indução magnética no ponto P indicado Solução O sentido da corrente mostra que o campo magnético no ponto P tem direção perpendicular ao plano da figura e sentido negativo penetrando no plano A partir da Lei de Biot Savart temos que o campo de indução magnética de um condutor finito é dado por 𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒅𝒍 𝒓 𝒓𝟐 𝒃 𝒂 𝑩 𝝁𝟎 𝟒𝝅 𝑰 𝒅𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒓𝟐 𝒃 𝒂 onde o sinal negativo é proveniente do produto vetorial Resolvendo ver a solução na teoria 𝑩 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝜽𝟐 𝜽𝟏 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 sendo os ângulos 𝜽𝟏 e 𝜽𝟐 definidos de acordo com a figura No problema o campo deve ser medido na extremidade do condutor resultando que θ2 0 e 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 está indicado na expressão 𝑩 𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝒚 𝒔𝒆𝒏 𝟎 𝟑 𝟐 𝝁𝟎 𝒊 𝟖𝝅𝒚 𝟑 A distância y vale 𝒚 𝑳 𝒕𝒈𝟑𝟎𝟎 𝟑 𝟑 𝑳 Dessa forma 𝑩 𝟑𝝁𝟎 𝒊 𝟖𝝅𝑳 O campo total é igual a soma de cada contribuição 𝑩 𝟑𝝁𝟎 𝒊 𝟒𝝅𝑳 y FÍSICA 2 EFB 206 FÍSICA 2 EFB 206 20 Uma barra condutora metálica de comprimento L e massa m apoiase sobre dois trilhos paralelos e também condutores carregando uma corrente constante i Os trilhos são inclinados de um ângulo α em relação a horizontal e estão numa região de campo magnético B cuja direção é perpendicular ao plano inclinado Desprezando o atrito entre a barra e os trilhos determine o valor da corrente i para que a barra condutora permaneça em repouso Solução O DCL mostra que a componente da força peso deve ser equilibrada pela força magnética oriunda da interação entre a corrente i e o campo B como indica a figura Note que necessariamente ao sentido da corrente deve ser horário para a força magnética seja oposta a direção da componente da força peso Decompondo as forças temos 𝑭𝒎 𝑷 𝒔𝒆𝒏𝜶 𝒊𝑳𝑩 𝒎𝒈 𝒔𝒆𝒏𝜶 Assim 𝒊 𝒎𝒈 𝑳𝑩 𝒔𝒆𝒏𝜶 B B I