Vetor de Poynting e Ondas Eletromagnéticas

Física 2 Equações de Maxwell e Vetor de Poynting Física 2 Vetor de Poynting Tratase de uma grandeza física que descreve a potência por unidade de área da energia transmitida pelo campo eletromagnético Esta quantidade é obtida diretamente das Equações de Maxwell e vale 𝑺 𝑬 𝑩 𝝁𝟎 Física 2 Observações 1 O vetor de Poynting fornece a direção e o sentido da propagação da onda eletromagnética ou seja a onda propagase na direção normal ao plano de oscilação dos campos 2 o vetor de Poynting é interpretado como densidade de energia de uma onda eletromagnética por unidade de tempo transportada por uma onda 𝒅 𝒅𝒕 𝑼𝒆𝒎 ර 𝑨 𝑺 𝒏 𝒅𝑨 Observe que o vetor de Poynting define uma integral de fluxo que atravessa uma área A Então interpretase esta expressão afirmando que a variação de energia eletromagnética da região A é detectada na forma de fluxo dessas ondas Física 2 Vetor de Poynting e ondas planas Uma vez que a direção de propagação das ondas eletromagnéticas é perpendicular ao plano de oscilação dos campos tais ondas são denominadas de ondas planas Por exemplo ondas eletromagnéticas propagandose no vácuo em regiões muito afastadas da fonte de emissão A figura ilustra uma onda plana para a qual os campos elétrico e magnético são dados por O vetor de Poynting é então escrito como 𝑬 𝒛 𝒕 𝑬𝟎 𝒔𝒆𝒏 𝒌𝒛 𝝎𝒕 Ƹ𝒊 𝑩 𝒛 𝒕 𝑩𝟎 𝒔𝒆𝒏 𝒌𝒛 𝝎𝒕 Ƹ𝒋 𝑺 𝒛 𝒕 𝑬 𝑩 𝝁𝟎 𝑬𝟎𝑩𝟎 𝝁𝟎 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒌𝒛 𝝎𝒕 𝒌 Física 2 Intensidade de uma onda plana O valor médio da potência por unidade de área transportada por uma onda eletromagnética é denominada de intensidade Considerando que o período da onda senoidal que descreve o campo eletromagnético seja T temos que a intensidade vale Sendo o valor da integral é T2 portanto a intensidade da onda eletromagnética vale Obs No SI a unidade da intensidade é I Wm2 watt por metro quadrado 𝑰 𝑺𝒎𝒆𝒅 𝟏 𝑻 න 𝟎 𝑻 𝑺 𝒛 𝒕 𝒅𝒕 𝑬𝟎𝑩𝟎 𝝁𝟎 𝑻 න 𝟎 𝑻 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒌𝒛 𝝎𝒕 𝒅𝒕 𝑰 𝑺𝒎𝒆𝒅 𝑬𝟎𝑩𝟎 𝟐𝝁𝟎 Física 2 Exercício 1 Um laser de dióxido de carbono emite ondas eletromagnéticas senoidais que se propagam no vácuo no sentido negativo do eixo Ox O comprimento de onda é igual a 106 μm O campo E é paralelo ao eixo Oz e seu módulo máximo é igual a 15 MVm a Escreva as equações vetoriais para E e para B em função do tempo e da posição b Determine a intensidade da onda eletromagnética Física 2 Solução A onda eletromagnética propagase sentido negativo do eixo Ox e portanto é uma onda regressiva O campo E oscila paralelamente ao eixo Oz logo 𝑬 𝒙 𝒕 𝑬𝟎 𝒔𝒆𝒏 𝒌𝒙 𝝎𝒕 𝒌 Sendo 𝒌 𝟐𝝅 𝝀 𝟎 𝟓𝟗 𝟏𝟎𝟔 𝒓𝒂𝒅 𝒎 e 𝝎 𝒄𝒌 𝟏 𝟕𝟕 𝟏𝟎𝟏𝟒 𝒓𝒂𝒅 𝒔 resulta que o campo vale 𝑬 𝒙 𝒕 𝟏 𝟓 𝟏𝟎𝟔 𝒔𝒆𝒏൫ ൯ 𝟓 𝟗 𝟏𝟎𝟓𝒙 𝟏 𝟕𝟕 𝟏𝟎𝟏𝟒𝒕 𝒌 A intensidade do campo de indução magnética é dada por 𝑩𝟎 𝑬𝟎 𝒄 𝟓 𝟎 𝟏𝟎𝟑 𝑻 Então 𝑩 𝒙 𝒕 𝟓 𝟎 𝟏𝟎𝟑 𝒔𝒆𝒏൫ ൯ 𝟓 𝟗 𝟏𝟎𝟓𝒙 𝟏 𝟕𝟕 𝟏𝟎𝟏𝟒𝒕 Ƹ𝒋 b a intensidade da onda eletromagnética vale 𝑰 𝑺𝒎𝒆𝒅 𝑬𝟎𝑩𝟎 𝟐𝝁𝟎 Lembrando que E0 B0 c a intensidade pode ser reescrita como 𝑰 𝑺𝒎𝒆𝒅 𝑬𝟎 𝟐 𝟐𝝁𝟎𝒄 Numericamente 𝑰 𝟑 𝟎 𝟏𝟎𝟗 𝑾 𝒎𝟐 𝟑 𝟎 𝟏𝟎𝟓 𝑾 𝒄𝒎𝟐 Física 2 Exercício 2 Uma onda eletromagnética com comprimento de onda igual a 435 nm se desloca no vácuo no sentido z O campo elétrico é paralelo ao eixo Ox e possui amplitude de 270103 Vm a Qual e o valor da frequência b Qual e o valor da amplitude do campo magnético c Escreva equações vetoriais para E z t e para B z t e determine a intensidade da onda eletromagnética Física 2 Solução A onda eletromagnética propagase sentido negativo do eixo Oz e portanto é uma onda regressiva conforme ilustra a figura O campo E oscila paralelamente ao eixo Ox enquanto que o campo B oscila na direção y e no sentido negativo a Frequência 𝒇 𝒄 𝝀 𝟔 𝟗 𝟏𝟎𝟏𝟒 𝑯𝒛 b Intensidade do campo B 𝑩𝟎 𝑬𝟎 𝒄 𝟗 𝟎 𝟏𝟎𝟏𝟐 𝑻 c Campos E e B O número de onda e a frequência angular valem 𝒌 𝟐𝝅 𝝀 𝟏 𝟒𝟒 𝟏𝟎𝟕 𝒓𝒂𝒅 𝒎 e 𝝎 𝒄𝒌 𝟒 𝟑𝟐 𝟏𝟎𝟏𝟓 𝒓𝒂𝒅 𝒔 𝑬 𝒛 𝒕 𝟐 𝟕 𝟏𝟎𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝟏 𝟒𝟒 𝟏𝟎𝟕𝒛 𝟒 𝟑𝟐 𝟏𝟎𝟏𝟓𝒕 Ƹ𝒊 𝑩 𝒛 𝒕 𝟗 𝟎 𝟏𝟎𝟏𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝟏 𝟒𝟒 𝟏𝟎𝟕𝒛 𝟒 𝟑𝟐 𝟏𝟎𝟏𝟓𝒕 Ƹ𝒋 Então os os campos são descritos por A intensidade da onda eletromagnética vale 𝑰 𝑺𝒎𝒆𝒅 𝑬𝟎 𝟐 𝟐𝝁𝟎𝒄 𝟗 𝟔𝟕 𝟏𝟎 𝟗 𝑾 𝒎𝟐 Física 2 Exercício 3 Uma onda eletromagnética senoidal com frequência igual a 6101014 Hz se desloca no vácuo no sentido z O campo magnético B é paralelo ao eixo Oy e possui amplitude de 580104 T Escreva equações vetoriais para E z t e para B z t Física 2 Solução A onda eletromagnética propagase sentido positivo do eixo Oz e portanto é uma onda progressiva conforme ilustra a figura O campo B oscila paralelamente ao eixo Oy enquanto que o campo E oscila na direção x e no sentido positivo Os valores da frequência angular e do número de onda são 𝝎 𝟐𝝅𝒇 𝟑 𝟖𝟑 𝟏𝟎𝟏𝟓 𝒓𝒂𝒅 𝒔 𝑒 𝒌 𝝎 𝒄 𝟏 𝟐𝟕 𝟏𝟎𝟕 𝒓𝒂𝒅 𝒎 A intensidade do campo elétrico vale 𝑬𝟎 𝒄𝑩𝟎 𝟏 𝟕𝟒 𝟏𝟎𝟓 𝑽m e portanto as funções que descrevem os campos são 𝑬 𝒛 𝒕 𝟏 𝟕𝟒 𝟏𝟎𝟓 𝒔𝒆𝒏 𝟏 𝟐𝟕 𝟏𝟎𝟕𝒛 𝟑 𝟖𝟎 𝟏𝟎𝟏𝟓𝒕 Ƹ𝒊 𝑩 𝒛 𝒕 𝟓 𝟖𝟎 𝟏𝟎𝟒 𝒔𝒆𝒏 𝟏 𝟐𝟕 𝟏𝟎𝟕𝒛 𝟑 𝟖𝟎 𝟏𝟎𝟏𝟓𝒕 Ƹ𝒋 Física 2 Exercício 4 Uma onda eletromagnética de intensidade 500 102 Wm2 propagase no vácuo paralela ao eixo x com frequência igual a 500 109 Hz a Obtenha as expressões do campo elétrico e magnético da onda supondo que o campo elétrico oscile paralelo ao eixo z positivo b Obtenha a expressão do vetor de Poynting e faça a representação no diagrama cartesiano Física 2 Solução Frequência angular 𝝎 𝟐𝝅𝒇 𝟑 𝟏𝟒 𝟏𝟎𝟏𝟎 𝒓𝒂𝒅 𝒔 Número de onda angular 𝒌 𝝎 𝒄 𝟏 𝟎𝟓 𝟏𝟎𝟐 𝒓𝒂𝒅 𝒎 a Campo elétrico A amplitude do campo E pode ser obtido diretamente do valor da intensidade da onda pois 𝑰 𝑺𝒎𝒆𝒅 𝑬𝟎𝑩𝟎 𝟐𝝁𝟎 𝑬𝟎 𝟐 𝟐𝒄𝝁𝟎 𝑬𝟎 𝟐𝑰𝒄𝝁𝟎 𝟔 𝟏𝟒 𝑽𝒎 Visto que a onda eletromagnética propagase na direção x e o campo E oscila paralelo a direção z resulta 𝑬 𝒙 𝒕 𝟔 𝟏𝟒𝒔𝒆𝒏 𝟏 𝟎𝟓 𝟏𝟎𝟐 𝒙 𝟑 𝟏𝟒 𝟏𝟎𝟏𝟎𝒕 𝒌 𝑽𝒎 Física 2 b Campo magnético A amplitude do campo B 𝑬𝟎 𝑩𝟎 𝒄 𝑩𝟎 𝟐 𝟎𝟓 𝟏𝟎𝟖 𝑻 Uma vez que a onda eletromagnética propagase na direção x positivo e o campo E na direção z temse a partir da definição do vetor de Poynting que a direção de oscilação do campo B é j Portanto 𝑩 𝒙 𝒕 𝟐 𝟎𝟓 𝟏𝟎𝟖𝒔𝒆𝒏 𝟏 𝟎𝟓 𝟏𝟎𝟐 𝒙 𝟑 𝟏𝟒 𝟏𝟎𝟏𝟎𝒕 Ƹ𝒋 𝑻 c Vetor de Poynting 𝑺 𝒙 𝒕 𝑬 𝑩 𝝁𝟎 𝑬𝟎𝑩𝟎 𝝁𝟎 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒌𝒙 𝝎𝒕 Ƹ𝒊 Uma vez que a intensidade é I 2S0 ficamos com 𝑺 𝒙 𝒕 𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟏 𝟎𝟓 𝟏𝟎𝟐 𝒙 𝟑 𝟏𝟒 𝟏𝟎𝟏𝟎𝒕 Ƹ𝒊 𝑾𝒎𝟐