Método das Correntes das Malhas e Teoremas de Thevenin e Norton

130 ETE103 Fundamentos de Circuitos Analógicos Solução de Circuitos pelo Método das Correntes das Malhas Vantagem em relação à Análise de Malhas Convencional menor número de equações no cálculo Metodologia Distribua as correntes considerando uma corrente para cada malha Aplicase a 2ª Lei de Kirchhoff Lei das tensões em cada malha fique atento para eventuais somas ou subtrações circulando em ramos entre malhas Monte um sistema com número de equações igual ao número de malhas e determine as correntes do circuito Exemplo Análise de Malha x Método das Correntes das Malhas Por Análise de Malha 2ª Lei de Kirchhoff 40 10 i1 8 i2 30 20 i3 8 i2 1ª Lei de Kirchhoff i1 i3 i2 Solução i1 2 A i2 25 A e i3 05 A VR20Ω 10 V 230 Pelo Método das Correntes das Malhas 2ª Lei de Kirchhoff 40 10 i1 8 i1 i2 30 20 i2 8 i1 i2 Solução i1 2 A i2 05 A iR8Ω i1 i2 25 A VR20Ω 10 V Super Malha Malha que apresenta fonte de corrente entre dois nós e que pertence simultaneamente a duas malhas Exemplo O circuito abaixo pode ser resolvido pelo Método das Correntes das Malhas analisando apenas a malha externa 2ª Lei de Kirchhoff e aplicando a 1ª Lei de Kirchhoff para determinar as outras correntes em função da fonte de corrente constante 330 Circuitos com Fontes de Tensão ou Corrente Dependentes Vinculados Circuitos com fontes vinculadas devem ser resolvidos normalmente assumindo a dependência da fonte em relação a uma corrente ou tensão em outro ponto do circuito Teoremas de Thevenin e Norton Teorema de Thevenin Num circuito linear e bilateral podese substituir uma parte por um circuito equivalente de Thevenin onde RTh é a resistência equivalente do circuito original assumindo fontes independentes em repouso e os terminais a e b abertos VTh é a tensão nos terminais a e b quando estes estão abertos 430 Exemplo onde CC Th R V R R V 2 1 2 e 2 1 2 1 1 2 R R R R R R RTh Note que fonte de tensão equivale a um curtocircuito Teorema de Norton Num circuito linear e bilateral podese substituir uma parte por um circuito equivalente de Norton onde RNo é a resistência equivalente do circuito original assumindo fontes independentes em repouso e os terminais a e b abertos INo é a corrente entre os terminais a e b quando estes estão curtocircuitados 530 Exemplo onde R1 V I CC No e 2 1 2 1 1 2 R R R R R R RNo Note que Th Th No R V I e Th No R R Mais um exemplo onde R I VTh 2 e RTh R2 ou I No I e RNo R2 630 Equivalência de Circuitos com Fonte de Tensão Constante e Fonte de Corrente Constante Teorema da Superposição A resposta a várias fontes independentes num circuito equivale à soma das respostas a cada fonte independente com as outras fontes restantes colocadas em repouso Portanto se um circuito linear for excitado por duas ou mais entradas a resposta total será a soma das respostas individuais a cada uma separadamente Exemplo Determine V e I no circuito O circuito pode ser resolvido por 730 Onde V V1 V2 e I I1 I2 Capacitores Capacitores são dispositivos eletrônicos constituídos de duas placas condutoras de metal separadas por um material isolante chamado dielétrico Capacitor e Simbologia Quando submetido a uma corrente elétrica o capacitor consegue armazenar carga elétrica no dielétrico As duas placas do capacitor são eletricamente neutras mesmo número de prótons e elétrons Assim originalmente o capacitor não possui carga Contudo quando conectamos um capacitor num circuito energizado uma um bateria ao fechar a chave a carga negativa da placa A é atraída para o terminal positivo da bateria enquanto a carga positiva da placa B é atraída para o terminal negativo da bateria Esse movimento de cargas continua até que a diferença de cargas entre as placas A e B seja igual à tensão da bateria Agora o capacitor está carregado com a tensão aplicada 830 Se um condutor for conectado curtocircuitando os terminais do capacitor os elétrons encontram um caminho para retornar à placa A e as cargas em cada placa são novamente neutralizadas Capacitância Eletricamente a capacitância é a capacidade de armazenamento de carga elétrica Portanto a capacitância é a quantidade de carga que pode ser armazenada num capacitor dividida pela tensão aplicada às placas dv C dq onde C é a capacitância em Faraday F dq é a variação da quantidade carga em Coulomb C e v é a variação da tensão V 930 A unidade de capacitância de um Faraday é a capacitância que armazena um coulomb de carga no dielétrico quando a tensão aplicada aos terminais do capacitor é de um volt V C Q onde C é a capacitância em Faraday F Q é a quantidade de carga em Coulomb C e V é a tensão V A unidade de capacitância de um Faraday é a capacitância que armazena um coulomb de carga no dielétrico quando a tensão aplicada aos terminais do capacitor é de um volt A capacitância de um capacitor depende da área das placas condutoras da separação entre as placas e da constante dielétrica do material isolante Para um capacitor com duas placas paralelas a fórmula para se calcular a sua capacitância é 8 85 10 12 x d k A C onde C é a capacitância em Faraday F k é a constante dielétrica do material isolante A é a área da placa m2 e d é a distância entre as placas m Os capacitores comerciais tipicamente utilizam alguns dos seguintes materiais dielétricos o Teflon o papel a mica a Baquelite e a cerâmica A maioria dos capacitores pdoem ser ligados aos circuitos elétricos sem dar importância à polaridade Mas os capacitores eletrolíticos têm a sua polaridade marcada para indicar que lado deve ser ligado ao lado mais positivo de um circuito Tipos de capacitores Dielétrico Construção Faixa de Capacitância Ar Placas entrelaçadas 10 pF a 400 pF Mica Folhas superpostas 10 pF a 5000 pF Papel Folha enrolada 0001 μF a 1 μF Cerâmica Tubular 05 pF a 1600 pF Eletrolítico Disco 0002 μF a 01 μF Alumínio 5 μF a 1000 μF Tântalo 001 μF a 300 μF 1030 Exemplos de capacitores cerâmicos e eletrolíticos Tipos de capacitores Capacitores em Série e em Paralelo Numa associação de n capacitores em série a capacitância total equivalente é dada por n eq C C C C 1 1 1 1 2 1 Assim para dois capacitores em série a capacitância equivalente é 2 1 2 1 C C C C Ceq Numa associação de n capacitores em paralelo a capacitância total equivalente é dada pelo somatório das capacitâncias n eq C C C C 2 1 1130 Assim para dois capacitores em série a capacitância equivalente é 2 1 C C Ceq Circuitos com Capacitores em CC Corrente Contínua Circuitos chaveados Para entendimento faremos as análises de um circuito com dois resistores em série RR comparando com um circuito com resistor e capacitor em série RC Sejam os circuitos Comparando o comportamento do circuito RR e do circuito RC para o mesmo estímulo na entrada vit Análise do circuito RR para vit constante no valor de VCC Para t t1 VR2t 0 Se R1 R2 VR2 E2 Para t t1 VR2t vi t R2 R1R2 Se R2 R1 VR2 E 1230 Análise do circuito RC Para t t1 VCt 0 Para t VCt VCC Análise do Circuito RC A equação de carga e descarga de capacitor em circuito RC é dada por Sendo vct tensão instantânea no capacitor vi tensão inicial do capacitor se estiver carregado com alguma tensão no início da análise vf tensão total aplicada ou tensão máxima para o capacitor para o exemplo será E t tempo para determinar vc t1 t2 etc RC constante de tempo do circuito RC Portanto para o exemplo fica Para qualquer valor de t 01 0 1 C R t e E t vc 1 1 C R t e E t vc Então generalizando temos a equação de carga do capacitor 1 RC t CC c e V t v Note que se t grande ou t t2 capacitor carregado e estável 0 1 C R t e logo VCt E ou VCt VCC Por outro lado estando o capacitor inicialmente carregado com uma tensão E é possível descarregálo retirando as fontes de tensão 1 RC t i f i c e v v v t v 1330 Portanto vi 0 V e o capacitor tende a descarregarse até atingir tensão vf 0 V Para qualquer valor de t 1 0 1 C R t c e E E t v C R t c Ee t v 1 Então generalizando temos a equação de carga do capacitor RC t CC c V e t v Note que se t grande ou t t2 capacitor descarregado e estável 0 3 C R t e logo VCt 0 V ou VCt 0 V Dedução da Equação de Carga e Descarga de Capacitor em Circuito RC Como apresentado anteriormente a capacitância é dada pela equação t dv C dq t Sabendose que dt dq t i Então t dv t dt i t dv dq t C 1430 E C i t dt dv t 1 C i t dt v t 1 Na carga do capacitor t v Ri t t v f C 1 t v Ri t i t dt C f i t dt RC R t v t i f 1 RC i t dt dt di t 1 RC dt i t dt t di 1 t t dt RC i t dt t di 0 0 1 t t RC t i t 0 0 1 ln 1530 0 1 ln 0 ln RC t i i t onde i0 I0 é a corrente inicial em t 0 s No circuito R V V I i f 0 0 0 RC t I i t 1 0 ln e RCt I t i 1 0 Portanto a corrente que circula no circuito RC quando alimentado por vit é exponencial sendo dada por e RCt I t i 1 0 Sabendose que a tensão no capacitor é dada por t C i t dt C t v 1 t C i t dt C i t dt C t v 0 0 1 1 t i C i t dt C V t v 0 1 0 t t RC i C dt e I C V t v 0 1 0 1 0 t t RC i C dt e C I V t v 0 1 0 0 t t RC i C dt RC e RC C I V t v 0 1 0 0 t t RC i C dt RC e R I V t v 0 1 1 0 0 1630 t t RC i C R e I V t v 0 1 0 0 0 1 0 0 e R e I V t v t RC i C Como R V V I i f 0 0 0 0 1 0 0 0 e e V V V t v t RC i f i C Portanto t RC i f i C e V V V t v 1 0 1 0 0 cqd Algumas observações finais Em t 0 it I0 e vCt Vi0 isso significa que se o capacitor está inicialmente carregado vCt 0 V Portanto o capacitor comportase como curto circuito Em t it 0 e vCt Vf0 portanto o capacitor comportase como circuito aberto Códigos para Capacitores Capacitores com códigos numéricos 1730 Capacitores com códigos de cores Indutores Indutor é um elemento de circuito que armazena energia no campo magnético produzido pela passagem da corrente elétrica através do condutor que o forma O campo magnético gera um fluxo magnético no próprio condutor Com a variação da corrente o fluxo também varia e de acordo com a lei da indução eletromagnética de Faraday uma força eletromotriz é induzida no condutor produzida pela própria corrente que circula pelo condutor Essa força eletromotriz é denominada fem autoinduzida A indutância é o resultado da fem autoinduzida no condutor dt d L onde L é a indutância em Henry H é o fluxo magnético e t é o tempo s A indutância é a propriedade de um circuito elétrico se opor a qualquer variação da corrente De acordo com a lei de Lenz uma fem autoinduzida se opõe a variação da corrente que a produziu A indutância impede mudanças repentinas no circuito reagindo contra a mudança de amplitude e sentido da corrente Assim dt d vL onde o sinal negativo indica que a tensão induzida ocorre em sentido contrário se opondo à variação da corrente Existem dois tipos de indutores fixos ou variáveis Os fixos são constituídos de um fio enrolado ao redor de um núcleo que pode ser ar ferro ou ferrite Os indutores ajustáveis possuem núcleo móvel e por isso podem ser ajustados externamente São tipos de indutores bobinas com núcleo de ar bobinas com núcleo ferromagnético bobinas com núcleo laminado bobinas com núcleo de ferrite e bobinas toroidais 1830 Tipos de indutores Indutância A capacidade que um condutor possui de induzir tensão em si mesmo quando a corrente varia é a sua autoindutância ou simplesmente indutância A fórmula para a indutância é t i v L L ou t i L vL onde L é a indutância em Henry H vL é a tensão induzida através da bobina V e it é a taxa de variação da corrente As A unidade de indutância de um Henry é a quantidade de indutância que permite uma indução de um volt quando a corrente varia na razão de um ampère por segundo A indutância L aumenta com o número de espiras N em torno do núcleo Uma fórmula aproximada no sistema SI para a indutância de uma bobina onde o comprimento é pelo menos 10 vezes maior que o diâmetro é dada por 26 10 1 6 2 x l N A L r onde μr é a permeabilidade relativa do material utilizado no núcleo A é a área resultante das espiras a qual é função do quadrado do diâmetro da bobina em m2 N é o número de espiras em torno do núcleo e l é o comprimento da bobina em m 1930 Indutores em Série e em Paralelo Numa associação de n indutores em série a indutância total equivalente é dada por n eq L L L L 2 1 Assim para dois indutores em série a indutância equivalente é 2 1 L L Leq Numa associação de n indutores em paralelo a indutância total equivale a n eq L L L L 1 1 1 1 2 1 Assim para dois indutores em série a indutância equivalente é 2 1 2 1 L L L L Leq 2030 Circuitos com Indutores em CC Corrente Contínua Circuitos chaveados Aplicandose uma tensão continua aos terminais de um indutor inicialmente desenergizado a corrente será nula pois o indutor se opõe às variações bruscas de corrente Após essa situação inicial a corrente aumenta gradativamente pois à medida que o tempo passa o indutor energizase obedecendo a uma função exponencial até atingir o valor máximo À medida que a corrente aumenta a tensão nos terminais do indutor diminui exponencialmente até atingir zero Devido a esse comportamento dizse que a corrente e a tensão no indutor estão defasadas entre si sendo que a tensão está adiantada da corrente Assim podemos analisar o circuito abaixo que apresenta um resistor e um indutor Acionando a chave após o instante t t1 Análise do circuito RL Para t t1 VLt VCC Para t VLt 0 L Rt CC L V e t v e L Rt CC R e V t v 1 Na descarga 2130 Análise do circuito RL Para t t1 VLt VL Para t VLt 0 L Rt CC L e V t v e L Rt CC R e V t v Dedução da Equação de Carga de Indutor em Circuito RL Como apresentado anteriormente a tensão numa indutância é dada pela equação t d L di t vL t t dt L v di t L 1 t dt L v di t L 1 t dt L v i t L 1 No circuito de carga de indutor com tensão CC Ri t V t v CC L t dt R L v V t v L CC L 1 t dt L v R dt t dv L L 2230 L dt R t v dt t dv L L t t L L dt L R t v dt t dv 0 0 t t L L t R t v 0 0 ln 0 0 ln L t R v t v L L L t R v t v L L 0 ln Lt R L L e v t v 0 onde vL0 VCC RIi t dt L v i t L 1 t Lt R L dt e v L i t 0 1 t Lt R L Lt R L dt e v L dt e v L t i 0 0 0 1 0 1 t Lt R L i dt L e v I t i 0 1 0 t Lt R L i dt R e L R v I t i 0 1 0 t Lt R L i dt e L R R v I t i 0 1 0 t Lt R L i e R v I t i 0 0 2330 0 0 e e R v I t i Lt R L i Lt R L i e R v I i t 0 1 onde vL0 VCC RIi e definindo VCC R I0 Lt R i CC i e R RI V I i t 1 Lt R i i e I I I i t 1 0 Dedução da Equação de Descarga de Indutor em Circuito RL onde i0 Ii iL0 Ii Ri t vL t t i R t v L L t L L t dt v R L t v 0 1 t dt L v R dt t dv L L L dt R t v dt t dv L L t t L L dt L R t v dt t dv 0 0 2430 t t L L t R t v 0 0 ln 0 0 ln L t R v t v L L L t R v t v L L 0 ln Lt R L L e v t v 0 onde vL0 RIi t i i t L t L t dt v L i t 1 t L L t dt v L t dt v L t i 0 0 1 1 t Lt R L i dt e v L I t i 0 0 1 t Lt R L i dt R e L R v I t i 0 1 0 t Lt R L i e R v I t i 0 0 0 0 e e R v I t i Lt R L i Lt R L i e R v I i t 0 1 onde vL0 RIi Lt R i i e R RI I i t 1 Lt R Iie t i 2530 Potência em Capacitores e Indutores Num capacitor v t i t P t dt v t C dv t P t A energia em Joules armazenada no capacitor num período específico pode ser obtida por dt P t dt C v t dv t W 2 2 J W Cv t Num indutor v t i t P t dt i t L di t P t A energia recebida em Joules no indutor e armazenada no campo magnético num período específico pode ser obtida por dt P t dt L i t C di t W 2 2 J W Li t Resumindo Resistor Indutor Capacitor Tensão Ri t v t dt L di t v t C i t dt v t 1 Corrente R v t i t L v t dt i t 1 dt C dv t i t Série n n eq R R 1 n n eq L L 1 n n eq C C 1 1 1 Paralelo n n eq R R 1 1 1 n n eq L L 1 1 1 n n eq C C 1 Energia v t i t W t 2 L i t 2 W t 2 C v t 2 W t 2630 Indutor Capacitor Carga Descarga Equação Geral Carga descarga Sinais alternados senoidais Tensão e Corrente Alternados Sinais alternados senoidais são representados pela equação vt VP Sen t onde vt é a tensão alternada V VP é o valor de pico da senóide 2 f é a frequência angular rads t é o tempo s e é o ângulo de defasagem Sinal de Tensão Senoidal L t R L L e v t v 0 Lt R L L e i i t 0 1 1 RC t CC c e V t v e RCt I t i 1 0 Lt R L L e v t v 0 Lt R L L e i t i 0 RC t CC c e V t v e RCt I t i 1 0 Lt R i i L e I I I t i 1 0 1 RC t i f i c e v v v t v 2730 O valor médio da tensão pode ser calculado por T t dt v V t t médio 2 1 2 0 0 cos 1 t T V t d t T V sen V P T P médio Vmédio 0 O valor eficaz ou RMS Root Mean Square pode ser calculado por T dt t v V t t RMS 2 1 2 T P T P RMS d t t sen V d t t V sen T V 0 2 2 0 2 2 1 Como 2 1 cos2 2 t t sen T T P T P RMS t d t d t V d t t V V 0 0 2 0 2 cos2 4 2 cos2 1 2 2 4 2 2 1 2 2 2 0 2 P P RMS V t sen t V V 2 P RMS V V 2830 Elementos de Circuitos Representação Complexa Seja a seguinte representação complexa a jb c onde a Parte real b Parte imaginária c Módulo Ângulo a b Representação na forma retangular c Representação na forma polar onde b c sen θ c cosθ a a b θ arctg b a c 2 2 Exemplo 3 4 j 5 5313 º 3 4 j 5 5313 º 3 0 j 3 0 º 3 0 j 3 180 º 0 4 j 4 90 º 0 4 j 4 90 º Os componentes de circuitos elétricos podem ser representados utilizando números complexos onde Resistência R 0º R j0 Indutância 0 j XL XL 90º 0 j L L 90º Capacitância 0 j XC XC 90º 0 j 1C 1C 90º 2930 Elementos de Circuitos no Domínio da Frequência Resistência Seja i Im Sen t v R Im Sen t v i R 0º Na forma fasorial Indutância Seja i Im Sen t v L di dt L Im d Sen t L Im Cos t dt Mas Cos t Sen t 90º v L Im Sen t 90º v i L 90º tensão adiantada em relação à corrente Na forma fasorial R I V RI V I I m m 2 2 90 2 90 2 90 2 90 2 2 2 L I LI I V LI X I jX I V I I m m m m L m L m 3030 Capacitância Seja v Vm Sen t i C dv dt C Vm d Sen t C Vm Cos t dt Mas Cos t Sen t 90º i C Vm Sen t 90º v i 1 C 90º tensão atrasada em relação à corrente Na forma fasorial 90 1 90 2 2 90 2 90 2 1 C j 2 2 C V C V I V C V V X V I V V m m m m C m m