Mecânica das Estruturas: Estruturas Hiperestáticas e Métodos de Cálculo

IFW Universität Hannover Prof Konstantinos Prof Marcelo Otávio EMC103 MECÂNICA DAS ESTRUTURAS ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS IFW Universität Hannover Prof Konstantinos Prof Marcelo Otávio Primeiros Conceitos Tipos de Estruturas As estruturas quanto a sua vinculação são classificadas em Estruturas Isostáticas são aquelas em que tanto as reações de apoio quanto os esforços internos solicitantes podem ser calculados utilizandose apenas as equações de equilíbrio da Estática Numa estrutura plana temos 3 equações independentes da Estática IFW Universität Hannover Prof Konstantinos Prof Marcelo Otávio Se v é o número de vínculos reações de apoio e n é o número de equações independentes da Estática então quando v n a estrutura é isostática Quando v n a estrutura é dita hiperestática Quando v n a estrutura é dita hipostática mecanismo Primeiros Conceitos Tipos de Estruturas Grau de Hiperestaticidade gdh A diferença v n gdh é chamada de grau de hiperestaticidade de uma estrutura IFW Universität Hannover Prof Konstantinos Prof Marcelo Otávio Para o cálculo dos esforços em estruturas hiperestáticas temos dois métodos Método das Forças as incógnitas são forças Método dos Deslocamentos as incógnitas são deslocamentos Hiperestáticas Métodos de Solução Método das Forças Este processo de cálculo consiste na utilização de uma estrutura equivalente à estrutura hiperestática que desejamos calcular na qual se substituem alguns de seus vínculos por um carregamento externo até que a estrutura hiperestática original se transforme numa isostática Essa estrutura será chamada ISOSTÁTICA PRIMÁRIA IFW Universität Hannover Prof Konstantinos Prof Marcelo Otávio Para introduzir o Método das Forças vamos utilizar o exemplo abaixo Hiperestáticas Método das Forças Na estrutura da figura temos v 4 e n 3 Portanto gdh v n 1 Escolhemos remover um dos vínculos de modo que a estrutura fique isostática IFW Universität Hannover Prof Konstantinos Prof Marcelo Otávio Se retirarmos o apoio em B teremos uma estrutura isostática primária e com o carregamento real haverá um deslocamento δB do ponto B para baixo Se aplicarmos na estrutura uma força VB teremos uma deformação de modo que o deslocamento do ponto B será δB para cima Verificase porém que na estrutura hiperestática com o carregamento e vínculo REAL o deslocamento do ponto B é igual a zero Como a estrutura é elástica e linear vale o princípio da superposição Método das Forças Hiperestáticas IFW Universität Hannover Prof Konstantinos Prof Marcelo Otávio Equação de Compatibilidade dos Deslocamentos Método das Forças Onde Método de Energia Hiperestáticas IFW Universität Hannover Prof Konstantinos Prof Marcelo Otávio Método das Forças Escolha da Isostática Primária Na análise de estruturas hiperestáticas pelo Método das Forças o primeiro passo é remover os vínculos reações excedentes de modo a se obter uma estrutura isostática chamada de primária Por exemplo a estrutura hiperestática abaixo gdh v n 1 1 Remoção de VB 2 Remoção de MA 3 Remoção de VA 4 Remoção de HA 5 Articulação interna em C Mecanismo em x Hiperestáticas IFW Universität Hannover Prof Konstantinos Prof Marcelo Otávio Equações Canônicas do Método das Forças são um conjunto de equações simples as quais se pode reduzir por meio de mudança de variáveis Consideremos a estrutura hiperestática abaixo Método das Forças Hiperestática e carregamento real gdh v n 3 Isostática Primária adotada com carregamento real e 3 reações no vínculo liberadas Hiperestáticas IFW Universität Hannover Prof Konstantinos Prof Marcelo Otávio As forças vinculares são chamadas de X1 X2 e X3 pois são as incógnitas Estas forças são generalizadas ou seja podem ser forças ou momentos Os deslocamentos generalizados correspondentes às forças vinculares são δ1 δ2 e δ3 Sabemos que estes deslocamentos generalizados devem ser nulos pois na realidade os vínculos existem Porém a estrutura é elástica linear e vale o princípio da superposição para os deslocamentos portanto Método das Forças Hiperestáticas IFW Universität Hannover Prof Konstantinos Prof Marcelo Otávio Método das Forças Hiperestáticas Onde δ10 é o deslocamento na direção de δ1 devido ao carregamento real na isostática primária Onde δ1x1 é o deslocamento na direção de δ1 devido a força ativa X1 Onde δ1x2 é o deslocamento na direção de δ1 devido a força ativa X2 Onde δ1x3 é o deslocamento na direção de δ1 devido a força ativa X3 Analogamente para δ2 e δ3 IFW Universität Hannover Prof Konstantinos Prof Marcelo Otávio Método das Forças Hiperestáticas Porém se chamarmos de δ11 o deslocamento na direção de δ1 devido a uma força unitária na direção de X1 teremos Analogamente Onde δ12 é o deslocamento na direção de δ1 devido a uma força unitária na direção de X2 Genericamente temos δij deslocamento na direção de δi devido a uma força unitária na direção de Xj etc IFW Universität Hannover Prof Konstantinos Prof Marcelo Otávio Método das Forças Hiperestáticas Então o sistema fica O Teorema de Maxwell prova que δij δji Os coeficientes δij são chamados de Coeficientes de Flexibilidade A matriz formada pelos coeficientes δij é chamada de Matriz de Flexibilidade Na forma matricial IFW Universität Hannover Prof Konstantinos Prof Marcelo Otávio Método das Forças Hiperestáticas Utilizando as Integrais de Mohr para calcular os Coeficientes de Flexibilidade Onde Mi é o momento fletor devido a uma força unitária na direção de δi e Mj é o momento fletor devido a uma força unitária na direção de δj Onde Mo é o momento fletor da estrutura isostática primária devido ao carregamento real IFW Universität Hannover Prof Konstantinos Prof Marcelo Otávio Método das Forças Hiperestáticas Resolvendo os diagramas de momentos fletores para o Exemplo 1 IFW Universität Hannover Prof Konstantinos Prof Marcelo Otávio Método das Forças Hiperestáticas Calculando os deslocamentos utilizando a Tabela de Kurt Beyer para o Exemplo 1 Onde δ10 é o deslocamento na direção de δ1 devido ao carregamento real IFW Universität Hannover Prof Konstantinos Prof Marcelo Otávio Método das Forças Hiperestáticas Calculando os deslocamentos utilizando a Tabela de Kurt Beyer para o Exemplo 1 Onde δ12 é o deslocamento na direção de δ1 devido a força unitária na direção de X2 IFW Universität Hannover Prof Konstantinos Prof Marcelo Otávio Método das Forças Hiperestáticas Calculando os deslocamentos utilizando a Tabela de Kurt Beyer para o Exemplo 1 Onde δ11 é o deslocamento na direção de δ1 devido a força unitária na direção de X1 IFW Universität Hannover Prof Konstantinos Prof Marcelo Otávio Método das Forças Hiperestáticas Então o sistema de equações após algumas simplificações fica Resolvendo este sistema de equações calculamos as incógnitas hiperestáticas IFW Universität Hannover Prof Konstantinos Prof Marcelo Otávio Método das Forças Hiperestáticas O diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática com carregamento real é a soma dos diagramas Portanto M M IFW Universität Hannover Prof Konstantinos Prof Marcelo Otávio EXERCÍCIOS IFW Universität Hannover Prof Konstantinos Prof Marcelo Otávio Exercício da Lista de Estruturas Hiperestáticas Aplicação 1 A barra abaixo tem seção constante Ela é engastada em A e tem um apoio móvel em C Traçar o diagrama de momentos fletores Grau de hiperestaticidade da estrutura gdh v n 4 3 1 IFW Universität Hannover Prof Konstantinos Prof Marcelo Otávio Exercício da Lista de Estruturas Hiperestáticas Aplicação 3 A barra abaixo tem seção constante Possui um apoio fixo em A e dois apoios móveis um em B e outro em C Traçar o diagrama de momentos fletores Grau de hiperestaticidade da estrutura gdh v n 4 3 1 IFW Universität Hannover Prof Konstantinos Prof Marcelo Otávio FIM