Forças em Três Dimensões: Decomposição e Equilíbrio

FORÇAS EM TRÊS DIMENSÕES FORÇAS EM TRÊS DIMENSÕES 3 Forças em três dimensões Objetivos de aprendizagem Compreender as formas de equilíbrio em três dimensões e investigar suas aplicações na Enge nharia Tópicos de estudo Decomposição de forças em 3D usando ângulos diretores Decomposição de forças em 3D usando o vetor posição Condições de equilíbrio para um corpo em 3D Iniciando os estudos Olá estudante No estudo das grandezas vetoriais observamos que quando uma grandeza se decompõe em dois componentes ao longo dos eixos x e y esses componentes são chamados frequentemente de componentes retangulares Para um trabalho analítico representamos esses componentes de duas maneiras por notação escalar ou por notação vetorial No entanto existem situações que envolvem problemas mais específicos Nesta unidade vamos discutir as forças que envolvem três dimensões Bons estudos DECOMPOSIÇÃO DE FORÇAS EM 3D USANDO ÂNGULOS DIRETORES Duas ou mais forças atuantes em uma partícula podem ser substituídas por uma única força sem ocasionar efeitos diversos sobre ela Isso também ocorre se uma força for substituída por duas ou mais forças que ao se juntarem terão o mesmo efeito sobre a partícula Ao processo de substituição de forças damos o nome de componentes da força Os componentes de uma força ao longo dos eixos x e y podem ser decompositos em Fₓ Fcosθ Fᵧ Fsinθ No entanto podemos encontrar situações que envolvem as três dimensões do espaço CONSIDEREMOS uma força F atuando agora em um sistema de coordenadas x y e z A definição da direção da força F é dada quando se traça o plano que passa pelo eixo vertical e sua orientação é definida pelo ângulo θ formado no plano xy A direção de F no plano xy será dada pelo ângulo θ Como já estudado a força F pode ser decomposta em dois componentes Fₓ e Fᵧ Agora a força será decomposta em um componente de força na vertical Fᵧ e em uma componente de força na horizontal Fₕ que será dado por Fᵧ Fcosθ Fₕ Fsinθ A componente na horizontal ou seja F Fsinθ pode também ser decomposta em mais dois componentes ao longo dos eixos x e z que são Fₓ e Fᵧ Assim seus componentes são dados por Fₓ Fcosθ Fsinθₕcosθ Fᵧ Fsinθ Fsinθₕsinθ Dessa forma a força F é decomposta em três componentes vetoriais que se localizam ao longo de três eixos de coordenadas Fx Fy Fz Aplicando o Teorema de Pitágoras temos que F² F²x F²y F²z F²h F²x F²y Onde Fh é o componente horizontal da força F Simplificando obteremos F F²x F²y F²z Sendo Fy F cosθy para os eixos x e z teremos respectivamente Fx F cosθx Fz F cosθz De acordo com Beer 2019 p 48 A relação existente entre a força F e seus três componentes Fx Fy e Fz é mais facilmente visualizada se uma caixa tendo Fx Fy e Fz como arestas for desenhada A força F então é representada pela diagonal dessa caixa A direção da força F será definida pelos ângulos θx θy e θz Os cossenos destes ângulos são comumente chamados de cossenos diretores da força F Na figura 2 vemos um exemplo da representação de um cosseno diretor ou também chamado cosseno de direção relacionado ao vetor unitário velocidade Fazendo o uso dos vetores unitários ao longo dos eixos teremos a força F como F Fx i Fy j Fz k Sendo uma força expressa no espaço por um vetor de origem O e extremidade A A força será determinada pelo seu módulo R e os ângulos de direção θx θy θz que formam sua linha de ação com o ramo positivo dos eixos x y z Esses ângulos variam de 0 a 180 e são medidos no plano determinado pela força F pelo ramo positivo do eixo considerado e corresponde ao menor dos dois arcos por eles definidos ou seja o menor de 180 Quando a força F está do mesmo lado do plano yz isso indica que cosθx e Fz serão positivos porque o ângulo θx é menor que 90 Se θx for maior que 90 isso caracteriza que a força F está do lado oposto a yz assim cosθx e Fz serão negativos Diante disso teremos que F F cosθx i cosθy j cosθz k Substituindo a expressão em forma de produto escalar λ cosθx i cosθy j cosθz k onde λ é o vetor unitário na linha de ação de F seu valor será igual a 1 e suas orientações serão iguais às da força F Assim os componentes de λ serão iguais aos cossenos de F Por fim usando os cossenos diretores cosθx Fx F cosθy Fy F cosθz Fz F Entendemos assim que os cossenos diretores são os cossenos dos ângulos entre o vetor F e os três eixos coordenados Assim podemos concluir Rₓ ΣFₓ Rᵧ ΣFᵧ Rᵨ ΣFᵨ O valor da intensidade da resultante será R Rₓ² Rᵧ² Rᵨ² Assim sendo podemos resumir tais informações em Eixo x Rx ΣFx Eixo y Ry ΣFy Eixo z Rz ΣFz cosθRx fracRxR cosθRy fracRyR cosθRz fracRzR Tabela 1 Tabela destacando os eixos coordenados x y e z Fonte elaborado pela autora Agora que decompor as forças usando o vetor posição analisaremos as condições necessárias para que estas forças permitam que um corpo encontre condições para ficar em equilíbrio A partir das relações acima alcançamos os ângulos que a força F forma com os eixos coordenados cosθx dxd cosθy dyd cosθz dzd Depois de obtermos os ângulos com os eixos x y e z podemos decompor a força utilizando a seguinte fórmula vecF Fcosθihaticosθjhatjcosθkhatk Também podemos calcular através do vetor unitário ao longo da linha λ MNMN 1ddi dj dk Assim teremos vecF F cdot vecSd fracvecFddi dj dk APROFUNDESE Entenda um pouco mais sobre a decomposição de força 3D neste vídeo de introdução ao plano cartesian determinando de pontos no plano cartesian e o vetor que liga os pontos e determinação do vetor unitário Título Decomposição de forças 3D Disponível em httpsyoutubeOIxR9f8C7ik Acesso em 11052022 Após os ângulos com os eixos serem conhecidos podemos encontrar a resultante R de duas ou mais forças dado pela decomposição de cada força nos eixos x y e z Rx ΣFx Ry ΣFy Rz ΣFz Conhecida a força resultante podemos calcular a intensidade através de R sqrtRx2 Ry2 Rz2 Os ângulos da força resultante com os eixos x y e z podem ser calculados por cosθRx fracRxR cosθRy fracRyR cosθRz fracRzR CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO PARA UM CORPO EM 3D A análise de partículas em equilíbrio pode ser entendida como uma partícula que se move em velocidade constante uma vez que a força resultante que age sobre ela é igual a zero No entanto para corpos extensos a análise é um pouco mais abrangente Conforme Serway 2013 p 336 a situação com corpos reais alongados é mais complexa pois eles frequentemente não podem ser considerados partículas Para um corpo alongado estar em equilíbrio uma segunda condição deve ser satisfeita ela envolve o movimento de rotação do corpo alongado Para iniciarmos nosso estudo no equilíbrio para os corpos em três dimensões analisaremos dois conceitos importantes mas que são mais usados para análise de corpos sujeitos a forças em duas dimensões momento de uma força e momento de binário Podemos descrever o conceito de momento de força como o produto entre a força aplicada em certo ponto o perpendicular a ele pela distância entre a força aplicada e o ponto que irá rotacionar dado por M Fd Já o momento de binário ou momento binário é a ação de duas forças com o mesmo módulo mesma direção porém sentidos contrários Segundo Hibbeler 2017 p 134 Um binário é definido como duas forças paralelas que têm a mesma intensidade mas direções opostas e são separadas por uma distância perpendicular Como a força resultante é zero o único efeito de um binário é produzir uma rotação real ou se nenhum movimento for possível há uma tendência de rotação em uma direção específica Por exemplo imagine que você está dirigindo um carro com as duas mãos no volante e está fazendo uma curva Uma mão vai empurrar o volante para cima enquanto a outra o empurra para baixo o que faz o volante girar O momento produzido por um binário é chamado momento de um binário Podemos determinar seu valor encontrando a soma dos momentos das duas forças que compõem o binário em relação a qualquer ponto arbitrário Diferentemente do momento de força que necessita de um ponto definido em relação aos momentos que são determinados o momento binário pode agir em qualquer ponto como um vetor livre já que depende apenas do vetor posição direcionado entre as forças Dizemos que um corpo está em equilíbrio quando a resultante de forças que atuam nele bem como o momento binário for igual a zero representado matematicamente por Fr ΣF 0 Mr ΣM0 0 Essas equações são essenciais e suficientes para que haja equilíbrio Essas condições descrevem o modelo de análise do corpo rígido em equilíbrio A primeira é uma declaração de equilíbrio translacional ela afirma que a aceleração de translação do centro de massa do corpo deve ser zero quando vista de um referencial inercial A segunda é uma declaração de equilíbrio rotacional ela afirma que a aceleração angular em torno de qualquer eixo deve ser zero No caso especial de equilíbrio estático o assunto principal deste capítulo o corpo em equilíbrio está em repouso em relação ao observador e não tem velocidade transacional nem angular Considerando que as forças externas e os momentos de binário são expressos na forma de vetor cartesiano temos FFiFjFk0 MₒMiMjMk0 Como as componentes i j e k são independentes tais equações são satisfeitas desde que Fk0 Fr0 Fz0 Mx0 My0 Mz0 Quando a soma algébrica dessas seis equações acima ao longo de cada eixo for igual a zero definimos todas as forças que atuam em um corpo Sendo seis equações pressupomos que podemos usálas para resolver até seis variáveis que são representadas por valores das forças em um diagrama de corpo livre ou por Ângulos diretores coordenados APROFUNDESE Entenda um pouco mais sobre como fazer a decomposição das forças que atuam em um ponto material para o seu equilíbrio Título Como fazer decomposição de forças no espaço para o equilíbrio do ponto material Disponível em httpsyoutubeWY2G6hOs93c Acesso em 11052022 Antes porém de aplicarmos tais equações sempre é necessário realizarmos a especificação de todas as forças que atuam sobre o corpo e a isso damos o nome de diagrama de corpo livre Forças em três dimensões 15 De acordo com Hibbeler 2017 p 182 A aplicação bemsucedida das equações de equilíbrio requer uma especificação completa de todas as forças externas conhecidas e desconhecidas que atuam sobre o corpo A melhor maneira de considerar essas forças é desenhar um diagrama de corpo livre Esse diagrama é um esboço da forma do corpo que o representa isolado ou livre de seu ambiente ou seja um corpo livre Nesse esboço é necessário mostrar todas as forças e momentos de binário que o ambiente exerce sobre o corpo de modo que esses efeitos possam ser consi derados quando as equações de equilíbrio são aplicadas Um entendimento completo de como desenhar um diagrama de corpo livre é de primordial importância para a resolução de problemas em mecânica A construção do diagrama de corpo livre se dá ao desenharmos o corpo rígido ou qualquer grupo de corpos sem os apoios dos corpos Depois devemos identificar todas as forças e os momentos de binário que atuam neles com as devidas intensidades e direções corretas para não haver erros A seguir um exemplo de diagrama de corpo livre em uma situação que envolve tração de blocos Geralmente encontramos as cargas aplicadas sobre o corpo as reações que ocorrem nos apoios pontos de contato e ao próprio peso Assim a partir da visualização das forças e momentos a análise matemática ficará mais facilitada Figura 4 Diagrama de corpo livre Forças em três dimensões 16 Acesse na plataforma o vídeo Forças de Newton ASSISTA Veja a seguir um pouco sobre as forças atuantes no corpo Peso e centro de gravidade é um sistema de forças atuante em um ponto que pode ser reduzido a uma única força resultante e essa força resultante pode ser chamada de peso do corpo Todos os corpos sujeitos a um campo gravitacional possuem pesos próprios Quando esse peso possui definido seu ponto de aplicação dizemos que esse é o centro de gravidade Forças internas como o próprio nome diz são forças que não criarão efeito externo sobre o corpo Elas sempre ocorrem em pares colineares possuindo o mesmo valor mas em sentidos opostos anulandose e atuando sempre entre as partículas adjacentes no corpo De acordo com Beer 2019 p 77 As forças internas são as forças que mantêm juntas as partículas que formam o corpo rígido Se o corpo rígido é composto estruturalmente de várias partes as forças que mantêm juntas as partes componentes também são definidas como forças internas Forças em três dimensões 17 EQUILÍBRIO DE FORÇAS EM TRÊS DIMENSÕES EQUILÍBRIO DE FORÇAS EM TRÊS DIMENSÕES Conheça alguns tipos de suportes eou conexões nas quais as forças de reação atuam nos membros que são vistos em três dimensões Elemento de máquina que tem como função o apoio para a transmissão de elementos girantes MANCAL Elemento que permite equilíbrio através da força de suporte CABO Elemento que possui a função de transferir o movimento em outra direção sem alterar o sentido do giro JUNTA DE SOQUETE Elemento que permite equilíbrio dos corpos tendo como reações três componentes de força DOBRADIÇA Elemento encaixado em uma estrutura impedindo a realização de rotação e translação ENGASTAMENTO Elemento que possui a função de impedir o movimento de translação de uma viga em uma construção PINO SINGULAR Infográfico 1 Equilíbrio de forças em três dimensões Fonte adaptado de Hibbeler 2017 Forças em três dimensões 18 Reações de apoio são corpos sujeitos a sistemas de forças coplanares que entrarão em contato com apoios ou pontos de contato De maneira geral um apoio impede a translação eou a rotação de um corpo em determinado sentido De acordo com Duran 2019 p 77 O modelamento das reações nos apoios para construir os diagramas de corpo livre DCLs segue as mesmas regras que em problemas planos Um apoio completo tem potencial para limitar o deslocamento e o giro do corpo nos três eixos gerando então seis reações escalares três forças e três momentos Todos os outros tipos de apoios poderão ser modelados como subconjuntos do apoio completo Uma regra simples consiste em associar uma compo nente escalar da reação a cada limitação de movimento imposta pelo apoio Cada uma das referências listadas ao final desta aula contém tabelas com os principais modelos utilizados para representar os diversos tipos de vínculos impostos aos corpos Segundo o jornal Estado de Minas de 18 de dezembro de 2020 a Justiça condenou os engenheiros do viaduto que caiu em Belo Horizonte em julho de 2014 Para ampliar seus conhecimentos sobre o fato acompanhe a leitura no link httpsbitly3w7O8C8 Vetores de força são vetores que não dependem do ponto de aplicação desde que a linha na qual a ação é empregada seja conservada sendo eles vetores deslizantes Saber disso bem como a análise das forças no espaço mediante vetores cartesianos amplia o entendimento da aplicação das forças em situações reais por exemplo em estruturas como pontes e treliças Sabendo da importância que o conhecimento das forças no espaço representa releia a reportagem e reflita sobre as possibilidades envolvendo possíveis erros de análises dessas forças REFLITA Diante das explicações acima podemos resumir a análise para problemas de forças tridimensio nais seguindo o procedimento a seguir Diagrama de corpo livre I Definimos primeiramente os eixos x y e z com orientações adequadas II Identificamos os valores e as direções das forças que atuam no corpo ou diagrama sendo elas conhecidas e desconhecidas III Assumindo o sentido de uma força desconhecida I Para casos em que a decomposição de cada força em suas componentes x y e z seja fácil usamos as equações de equilíbrio Fx0 Fy0 Fz0 II Em casos nos quais a geometria parecer mais difícil podemos expressar cada força no diagrama de corpo livre DCL como um vetor cartesiano depois substituílos em vetores F0 e por fim igualamos as componentes x y e z a zero III Se o resultado de uma força for negativo isso indica que o seu sentido é contrário ao mostrado no DCL Considerações finais 20 Observamos nesta unidade como se dá a decomposição de forças em três dimensões compa rativamente aos sistemas já analisados que envolviam forças em duas dimensões e para isso aprendemos o conceito de ângulos diretores Analisamos que forças no espaço podem ser defi nidas por sua intensidade e por suas orientações ou ainda por seus componentes retangulares F F x y e Fz Além disso examinamos a decomposição de forças em três dimensões através do conceito de vetor posição e com a finalidade de atingir um maior aprendizado fizemos uso de um grande aporte matemático Finalizamos com o estudo das aplicações da atuação de forças em três dimensões nos corpos Para isso nos lembramos do mecanismo essencial para lidarmos com várias forças em um corpo rígido ou ponto material que é o diagrama de corpo livre Referências 21 ALONSO M Física 2 ed São Paulo Blucher 2015 BEER F Mecânica vetorial para engenheiros estática com unidades no sistema internacional Porto Alegre AMGH 2019 v 1 BEZERRA L H SILVA I P C Geometria analítica 2 ed Florianópolis UFSCEADCEDCFM 2010 Disponível em httpsmtmgradpaginasufscbrfiles201404GeometriaAnalC3ADticapdf Acesso em 30 maio 2022 COMO FAZER DECOMPOSIÇÃO de forças no espaço para o equilíbrio do ponto material S l s d 1 vídeo 19 min Publicado pelo canal Engenheiro de Plantão Disponível em httpsyoutube WY2G6hOs93c Acesso em 30 maio 2022 DURAN J Mecânica geral Rio de Janeiro Fundação Cecierj 2019 v 1 EST 004 Decomposição de forças 3D S l s d 1 vídeo 8 min Publicado pelo canal Pirando amigo Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvOlxR9f8C7ik Acesso em 30 maio 2022 HIBELLER R Estática mecânica para engenharia 14 ed Campinas Pearson 2017 JUSTIÇA condena engenheiros do viaduto que caiu em BH na Avenida Pedro I Estado de Minas Gerais Minas Gerais 18 dez 2020 Disponível em httpsbitly3w7O8C8 Acesso em 30 maio 2022 LLANO R Estática aplicada Mendoza Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de Cuyo1999 SERWAY R A Física para cientistas e engenheiros mecânica 2 ed São Paulo Cengage Lear ning 2013 v 1