Lista de Exercícios Sobre Fenômenos Elétricos - Campo Elétrico

Lista de Exercícios Fenômenos Elétricos Campo Elétrico 1 Na figura as quatro partículas formam um quadrado de lado a 500 cm e têm cargas q1 10 nC q2 20 nC q3 20 nC e q4 10 nC Qual é o campo elétrico no centro do quadrado em termos dos vetores unitários 𝐑𝐞𝐬𝐩𝐨𝐬𝐭𝐚 𝑬 𝟏 𝟎𝟐 𝟏𝟎𝟓 𝐣 𝐍 𝐂 𝑎 5 𝑐𝑚 005 𝑚 𝐸1 1 4𝜋𝜀 𝑞 𝑟2 𝐸1 1 4𝜋𝜀 𝑞1 𝑎2 2 1 4𝜋 8851012 10109 0052 2 719103 𝑁 𝐶 719 𝑘𝑁 𝐶 𝐸2 1 4𝜋𝜀 𝑞2 𝑎2 2 1 4𝜋 8851012 20109 0052 2 1438103 𝑁 𝐶 1438 𝑘𝑁 𝐶 𝐸3 1 4𝜋𝜀 𝑞3 𝑎2 2 1 4𝜋 8851012 20109 0052 2 1438103 𝑁 𝐶 1438 𝑘𝑁 𝐶 𝐸4 1 4𝜋𝜀 𝑞4 𝑎2 2 1 4𝜋 8851012 10109 0052 2 719103 𝑁 𝐶 719 𝑘𝑁 𝐶 Como os módulos de 𝐸1 e 𝐸4 são iguais ao decompormos as resultantes no eixo x os vetores se anularam como ambos têm o mesmo módulo e direções opostas O mesmo acontecerá para 𝐸2 e 𝐸3 Restará os vetores na direção y 𝐸𝑅𝑦 𝐸1𝑦 𝐸2𝑦 𝐸3𝑦 𝐸4𝑦 𝐸𝑅𝑦 𝐸1 sin45 𝐸2 sin 45 𝐸3 sin 45 𝐸4 sin 45 𝐸𝑅𝑦 719103 sin 45 1438103 sin 45 1438103 sin 45 719103 sin 45 𝐸𝑅𝑦 1017103 𝑁 𝐶 1017 𝑘𝑁 𝐶 𝑬 𝟏𝟎𝟏 𝟕 𝒋 𝒌𝑵 𝑪 2 As três partículas são mantidas fixas e tem cargas q1 q2 e e q3 2e A distância a 600 μm Determine a o módulo e b a direção em relação a x positivo do campo no ponto P Resposta 160 NC 45 𝑎 6 𝑢𝑚 0000006 𝑚 Como os módulos de 𝐸1 e 𝐸2 são iguais e estão em sentidos opostos ao decompormos as resultantes no eixo x e y os vetores se anularam sobrando apenas 𝐸3 a 𝐸3 1 4𝜋𝜀0 𝑞3 𝑟2 𝐸3 1 4𝜋 8851012 2161019 61062 2 𝑬𝟑 𝟏𝟔𝟎 𝑵 𝑪 b 𝑡𝑎𝑛θ a 2a 2 2 𝑎 2 𝑎 1 𝛉 𝐭𝐚𝐧𝟏 𝟏 𝟒𝟓 3 As cargas elétricas Q1 3 nC e Q2 1 nC estão localizadas no eixo x em x 1 m e x 3 m respectivamente a Qual a posição para que o campo elétrico agindo nesse ponto seja igual a zero Resposta 573 m b Qual a posição de uma carga Q3 4 nC se o campo elétrico na carga Q1 é nulo Resposta 3 m Em I o campo elétrico nunca será nulo pois a distância faz com que E1 E2 e Q1 faz com que E1 E2 Em II o campo elétrico nunca será nulo pois campos de Q1 e Q2 se somam Em III o campo elétrico pode ser nulo a uma distância d da carga 2 𝐸1 𝐸2 𝐾𝑄1 2 𝑑2 𝐾𝑄2 𝑑2 𝑄1 2 𝑑2 𝑄2 𝑑2 𝑄1 𝑄2 2 𝑑2 𝑑2 𝑄1 𝑄2 2 𝑑 𝑑 𝑄1 𝑄2 2 𝑑 𝑑 𝑑 𝑄1 𝑄2 2 𝑑 1 𝑄1 𝑄2 1 2 𝑑 𝑑 2 𝑄1 𝑄2 1 2 3 1 273 𝑚 𝑥 3 𝑑 3 273 O campo elétrico será zero em 𝒙 𝟓 𝟕𝟑 𝒎 b 𝐸3 𝐸2 𝐾𝑄3 𝑑2 𝐾𝑄2 2 𝑑2 2 𝑑2 𝑑2 𝑄2 𝑄3 2 𝑑 𝑑 𝑄2 𝑄3 2 𝑑 1 𝑄2 𝑄3 2 𝑑 𝑄2 𝑄3 1 𝑑 2 𝑄2 𝑄3 1 2 1 4 1 4 𝑚 O campo elétrico será zero em 𝒙 𝟏 se a carga Q3 for colocada em 𝒙 𝟑 𝒎 4 Uma esfera maciça de raio igual a 12 mm composta por um material muito leve e carregada com 34 nC é colocada em uma região onde há um campo elétrico vertical e de intensidade igual a 56102 NC Nessa situação a força gravitacional sobre a esfera é equilibrada com a força elétrica sobre ela Determine a densidade da esfera e o sentido do campo elétrico Resposta 268 kgm³ para baixo 𝑹 𝟏 𝟐 𝒎𝒎 𝒒 𝟑 𝟒 𝒏𝑪 𝐸 56102 𝑁 𝐶 𝜌 𝐸 𝑃 𝐹𝑒𝑙 𝑚𝑔 𝑞𝐸 𝑚 𝑞𝐸 𝑔 34109 56102 98 194107 𝑘𝑔 𝜌 𝑚 𝑉 𝑚 4 3 𝜋𝑅3 194107 4 3 𝜋 121033 𝟐𝟔 𝟖 𝒌𝒈 𝒎𝟑 5 Na figura uma barra não condutora de comprimento L 815 cm tem uma carga q 423 fC uniformemente distribuída a Qual é a densidade linear de cargas da barra b Determine o módulo e c a direção em relação a x positivo do campo elétrico produzido no ponto P situado no eixo x a uma distância a 120 cm da extremidade da barra d Determine o módulo do campo elétrico em um ponto situado no eixo x a uma distância a 50 m produzido pela barra e e produzido por uma partícula com carga q 423 fC colocada no lugar anterior ocupado pela barra e à mesma distância do ponto Respostas a 5191014 Cm b 157103 NC c 180 d 152108 NC e 152108 NC 𝐿 815 𝑐𝑚 00815 𝑚 𝑞 423 𝑓𝐶 4231015 𝐶 a 𝝀 𝜆 𝑞 𝐿 4231015 00815 5191015 𝐶 𝑚 𝟓𝟏 𝟗 𝒇𝑪 𝒎 b 𝑬 Sendo dx um segmento infinitesimal da barra e situado a uma distância x A carga deste segmento será dada por 𝑑𝑞 𝜆 𝑑𝑥 O campo elétrico produzido por dq no ponto P está a uma distância 𝑑 𝐿 𝑎 𝑥 dE 1 4πε 𝑑𝑞 𝑑2 𝐾 𝜆 𝑑𝑥 𝐿 𝑎 𝑥2 E 𝐾 𝜆 𝑑𝑥 𝐿 𝑎 𝑥2 𝐿 0 𝐾 𝜆 1 𝐿 𝑎 𝑥2 𝐿 0 𝑑𝑥 Resolvendo a integral por substituição u 𝐿 𝑎 𝑥 e 𝑑𝑥 𝑑𝑢 I 1 𝑢2 𝐿 0 𝑑𝑢 1 𝑢 𝐸 𝐾 𝜆 1 𝐿 𝑎 𝑥 0 𝐿 𝐸 𝐾 𝜆 1 𝐿 𝑎 𝐿 1 𝐿 𝑎 0 𝐸 𝐾 𝜆 𝐿 𝑎𝐿 𝑎2 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝜆 𝐿 𝑞 𝐸 𝐾 𝑞 𝑎𝐿 𝑎2 𝐸 1 4 π 8851012 4231015 0120085 0122 E 157103 N C 𝟏 𝟓𝟕 𝐦𝐍 𝐂 c 𝑬 𝜃 180 d 𝑬 𝐸 𝐾 𝜆 𝐿 𝑎𝐿 𝑎2 𝐸 1 4 π 8851012 5191015 0085 500085 502 E 𝟏𝟓 𝟖 𝐧𝐍 𝐂 e 𝑬 𝐸 1 4𝜋𝜀 𝑞 𝑟2 1 4𝜋 8851012 4231015 502 𝟏𝟓 𝟐 𝒏𝑵 𝑪 6 Um fio retilíneo está localizado sobre o eixo x entre x a e x a O fio possui uma distribuição de carga uniforme A Qual o campo elétrico atuando no eixo y negativo em y a 𝐑𝐞𝐬𝐩𝐨𝐬𝐭𝐚 𝟏 𝟒𝟏 𝒌 𝑨 𝒂 𝑵 𝑪 𝒋 Ajuda Verifique o arquivo Campo elétrico de um fio finito disponibilizado no canvas na Monitoria de Fenômenos Elétricos 𝐸 𝑑𝐸 𝑘 𝑑𝑞 𝑟2 Por questões de simetria o campo elétrico na direção x é nulo Logo o campo resultante será apenas no eixo y Ey 𝑑𝐸𝑦 𝑘 𝑑𝑞 𝑟2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 Vamos integrar em relação a variável 𝜃 pois ela irá nos garantir que a varredura seja feita por ocmpleto na barra Dessa forma devemos colocar todas as variavéis que mudam durante a integração em funçao de 𝜃 𝐸𝑦 𝑘 𝜃 𝜃 𝑑𝑞 𝑎2 𝑙2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐸𝑦 𝑘 𝜃 𝜃 𝐴 𝑑𝑙 𝑎2 𝑙2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐸𝑦 𝑘 𝜃 𝜃 𝐴 𝑎 𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃 𝑎2 𝑎 𝑡𝑎𝑛𝜃2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐸𝑦 𝑘 𝜃 𝜃 𝐴 𝑎 𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃 𝑎2 𝑎2 𝑡𝑎𝑛2𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐸𝑦 𝑘 𝜃 𝜃 𝐴 𝑎 𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃 𝑎21 𝑡𝑎𝑛2𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐸𝑦 𝑘 𝜃 𝜃 𝐴 𝑎 𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃 𝑎2 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐸𝑦 𝑘 𝐴𝑎 𝑎2 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 𝜃 𝜃 𝐸𝑦 𝑘 𝐴 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜃𝜃 𝜃 𝐸𝑦 𝑘 𝐴 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝐸𝑦 𝑘 𝐴 𝑎 𝑠𝑖𝑛 45 𝑠𝑖𝑛45 𝐸𝑦 141 𝑘 𝐴 𝑎 𝑬𝒚 𝟏 𝟒𝟏 𝑨 𝟒𝝅𝜺𝒂 𝒋 𝑵 𝑪 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑙 𝑎 𝑙 𝑎 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑑𝑙 𝑎 sec2 𝜃 𝑑𝜃 7 A figura mostra dois anéis não condutores paralelos com o centro na mesma reta perpendicular aos planos dos anéis O anel 1 de raio R possui uma carga uniforme q1 o anel 2 também de raio R possui uma carga uniforme q2 Os anéis estão separados por uma distância d 300R O campo elétrico produzido no ponto P da reta que passa pelos centros dos anéis que está a uma distância R do anel 1 é zero Calcule a razão q1q2 Resposta 0506 𝐸𝑎𝑛𝑒𝑙 𝑞𝑧 4𝜋𝜀0 𝑧2 𝑅2 3 2 𝐸1 𝐸2 𝑞1𝑧1 4𝜋𝜀0 𝑧1 2 𝑅2 3 2 𝑞2𝑧2 4𝜋𝜀0 𝑧2 2 𝑅2 3 2 𝑞1𝑅 𝑅2 𝑅2 3 2 𝑞2 2𝑅 2𝑅2 𝑅2 3 2 𝑞1 𝑞2 2𝑅𝑅2 𝑅2 3 2 𝑅 2𝑅2 𝑅2 3 2 𝑞1 𝑞2 22𝑅2 3 2 4𝑅2 𝑅2 3 2 𝑞1 𝑞2 22𝑅2 3 2 5𝑅2 3 2 22 3 2 𝑅3 5 3 2 𝑅3 22 3 2 5 3 2 𝟎 𝟓𝟎𝟔 8 Uma barra não condutora semiinfinita ou seja infinita em apenas um sentido possui uma densidade linear de cargas uniforme λ Essa barra está representada na figura abaixo Mostre que o campo elétrico 𝑬 𝒑 no ponto P faz um ângulo de 45º com a barra e que o resultado não depende da distância R Conforme figura temos que 𝑑𝐸𝑥 𝑑𝐸 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑘 𝑑𝑞 𝑟2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝐸𝑦 𝑑𝐸 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑘 𝑑𝑞 𝑟2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑘 1 4𝜋𝜀0 Sabemos também que 𝑑𝑞 𝜆 𝑑𝑥 Logo 𝑑𝐸𝑥 𝑘 𝜆 𝑑𝑥 𝑟2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝐸𝑦 𝑘 𝜆 𝑑𝑥 𝑟2 𝑐𝑜𝑠𝜃 Nessas equações 𝑥 𝑟 e 𝜃 vão variar quando formos integrar então precisamos deixar tudo me função de uma unica variável 𝑡𝑔𝜃 𝑥 𝑅 𝑥 𝑅 𝑡𝑔𝜃 𝑑𝑥 𝑅 sec2 𝜃 𝑑𝜃 𝑟2 𝑅2 𝑥2 𝑅2 𝑅2𝑡𝑔2𝜃 𝑅21 𝑡𝑔2𝜃 𝑅2 sec2 𝜃 Substituindo os resultados 𝑑𝐸𝑥 𝑘 𝜆 𝑅 sec2 𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝑅2 sec2 𝜃 𝑘 𝜆 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝑅 𝑑𝐸𝑦 𝑘 𝜆 𝑅 sec2 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 𝑅2 sec2 𝜃 𝑘 𝜆 𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 𝑅 Agora vamos integrar Como a barra é semiinfinita vamos intregrar com 𝜃 variando de 0 até π2 Na direção x 𝑑𝐸𝑥 𝑘 𝜆 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 π 2 0 𝐸𝑥 𝑘 𝜆 𝑅 cos 𝜋 2 cos0 𝑘 𝜆 𝑅 0 1 𝐸𝑥 𝑘 𝜆 𝑅 Na direção y 𝑑𝐸𝑦 𝑘 𝜆 𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 π 2 0 𝐸𝑦 𝑘 𝜆 𝑅 sen 𝜋 2 sen0 𝑘 𝜆 𝑅 1 0 𝐸𝑦 𝑘 𝜆 𝑅 Logo podemos concluir que 𝑡𝑔𝜃 𝐸𝑦 𝐸𝑥 𝑘 𝜆 𝑅 𝑘 𝜆 𝑅 1 Notase que 𝑬𝒙 𝑬𝒚 logo o campo resultante estará sempre a 45 da barra 9 Uma barra não condutora infinita possui uma densidade linear de cargas igual a 250 nCm e está localizada sobre o eixo x conforme mostra a figura abaixo Determine o módulo do campo elétrico em um ponto 𝑷 situado a uma distância radial de d 800 cm da barra Resposta 562 NC Sabemos que 𝐸 𝑑𝐸 𝑘 𝑑𝑞 𝑟2 𝑑𝑞 𝜆 𝑑𝑥 𝐸 𝑘 𝜆 𝑑𝑥 𝑟2 Vamos integrar em relação a variável 𝜃 pois ela irá nos garantir que a varredura seja feita por ocmpleto na barra Dessa forma devemos colocar todas as variavéis que mudam durante a integração em funçao de 𝜃 Sabemos 𝑘 e 𝜆 são constante mas 𝑑𝑥 e 𝑟2 mudam conforme 𝜃 muda 𝑥 𝑑 𝑡𝑔𝜃 𝑥 𝑑 𝑡𝑔𝜃 Como vamos integrar a partir de pequenas varições de 𝑑𝑥 devemos derivar 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝑑 1 cos2𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝑑 cos2𝜃 𝑑𝜃 𝐸 𝑘 𝜆 𝑑𝑥 𝑟2 𝑘 𝜆 𝑑 𝑑2 cos2 𝜃 cos2𝜃 𝑑𝜃 𝑘 𝜆 𝑑 𝑑𝜃 Por questões de simetria sabemos que o campo elétrico no eixo X se anula com sua componente oposta Logo existe somente campo no eixo Y 𝐸𝑦 𝐸 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐸𝑦 𝑘 𝜆 𝑑 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 𝐸𝑦 𝑘 𝜆 𝑑 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 𝜋 2 𝜋 2 𝐸𝑦 𝑘 𝜆 𝑑 sen 𝜋 2 sen 𝜋 2 𝑘 𝜆 𝑑 1 1 𝐸𝑦 2 𝑘 𝜆 𝑑 2 1 4𝜋𝜀0 25109 08 𝑬𝒚 𝟓𝟔 𝟏𝟖 𝑵 𝑪 10 Um engenheiro foi encarregado de projetar um dispositivo no qual um disco uniformemente carregado de raio R produz um campo elétrico O módulo do campo é mais importante em um ponto P sobre o eixo do disco a uma distância 200R do plano do disco Para economizar material decidiuse substituir o disco por um anel com o mesmo raio externo R e um raio interno R2 O anel tem a mesma densidade superficial de cargas que o disco original Qual é a razão entre o novo campo no ponto P e o campo antigo Resposta 0717 𝑅𝑎𝑧ã𝑜 𝐸𝑏 𝐸𝑎 O campo elétrico em um disco carregado de raio finito é dado por 𝐸𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 𝜎 2𝜀0 1 𝑧 𝑅2 𝑧2 𝑁 𝐶 𝜎 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝐶 𝑚2 𝑧 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑑𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 𝑎 𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑃 𝑚 𝑅 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 𝑚 𝐸𝑎 𝜎 2𝜀0 1 2𝑅1 𝑅1 2 2𝑅12 𝜎 2𝜀0 1 2𝑅1 5𝑅1 2 𝜎 2𝜀0 1 2𝑅1 5 𝑅1 𝐸𝑎 𝜎 2𝜀0 1 2 5 0105 𝜎 2𝜀0 𝐸𝑏 𝜎 2𝜀0 1 2𝑅 𝑅2 2𝑅2 𝜎 2𝜀0 1 2𝑅 𝑅 2 2 2𝑅2 𝐸𝑏 𝜎 2𝜀0 1 2𝑅 𝑅2 4𝑅2 1 2𝑅 𝑅2 4 4𝑅2 𝐸𝑏 𝜎 2𝜀0 1 2𝑅 5𝑅2 1 2𝑅 𝑅2 4 4𝑅2 𝐸𝑏 𝜎 2𝜀0 2𝑅 5 𝑅 2𝑅 425𝑅2 𝐸𝑏 𝜎 2𝜀0 2 5 2 425 𝐸𝑏 0075 𝜎 2𝜀0 𝐸𝑏 𝐸𝑎 0075 𝜎 2 𝜀0 0105 𝜎 2 𝜀0 𝟎 𝟕𝟏𝟒