Equação Diferencial de 1ª Ordem Separável - Cálculo IV

PUBLIC 公 開 Equação Diferencial de 1ª Ordem Separável Parte 02 Cálculo IV Facens Prof Isaías Goldschmidt PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Exemplo 5 Considere um circuito elétrico resistivo indutivo que contém uma força eletromotriz dado por uma pilha ou um gerador que produz uma tensão volts e uma corrente elétricaamperes em um instante O circuito também possui um resistor com resistência de ohms e um indutor com indutância de henrys Considere que a resistência seja a indutância e a pilha forneça uma tensão constante de Equação Diferencial de 1ª Ordem PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Determine a a função corrente elétrica em um instante t qualquer b a corrente elétrica máxima no circuito c a função corrente elétrica no instante em que o interruptor é ligado Equação Diferencial de 1ª Ordem PUBLIC 公 開 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV a a corrente elétrica em um instante t As leis de Kirchhoff são utilizadas em circuitos elétricos mais complexos quando não é simples determinar as correntes elétricas do circuito elétrico A primeira lei ou Lei dos Nós diz que a soma das correntes que entram é igual a soma das correntes que saem A segunda lei mais conhecida pela Lei das Malhas diz que em um determinado sentido percorrido a soma da tensão de cada elemento da malha é nula PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Como a tensão no indutor é e a tensão no resistor é então a equação básica da lei das malhas em um circuito elétrico RL é PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Sendo e então temse uma equação diferencial de 1ª ordem Essa EDO pode ser deixada na forma separável Para simplificar a função corrente que varia com o tempo pode ser representada simplesmente como PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Usando a regra da cadeia aplicada a integrais chamase e deriva u em relação a variável I então e por fim Substituindo e na integral então PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Substituindo e na integral então Como então PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Substituindo a constante por outra constante mais simples PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Podese chamar a constante de outra constante e obtémse a solução geral da EDO isto é a corrente elétrica no circuito segue a função Ou PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem b a corrente elétrica máxima no circuito A corrente máxima no circuito equivale dizer o limite da corrente elétrica quando o tempo tende ao infinito PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem c a função corrente elétrica no instante em que o interruptor é ligado A corrente em função do tempo no circuito admite uma solução particular dado a condição inicial ou simplesmente Assim a corrente elétrica no instante inicial é dado pela função PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Exemplo 6 Considere um tanque inicialmente fechado que contém de sal dissolvido em de água Uma válvula é aberta e entra água salgada com de sal por litro a uma vazão volumétrica de A solução é misturada completamente e sai do tanque à mesma vazão volumétrica de entrada Determine a quantidade de sal que permanece no tanque após meia hora Equação Diferencial de 1ª Ordem PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Nesta situação usase uma função para denotar a quantidade da substância no tanque em um instante t qualquer e yt é a vazão mássica acumulada no tanque na qual a substância está sendo adicionada vazão mássica de entrada menos a taxa na qual ela está sendo retirada vazão mássica de saída quantidade em kg de substância no tanque em um instante t qualquer vazão mássica kgmin de acúmulo da substância no tanque em um instante t qualquer A condição inicial foi dada implicitamente no enunciado do problema na expressão um tanque inicialmente fechado que contém de sal Isto significa que quando o tempo igual a zero o tanque tem de sal ou seja PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem É importante diferenciar vazão volumétrica de vazão mássica A vazão volumétrica dado em é a quantidade de volume pelo tempo que entra que acumula ou que sai do tanque No exemplo em tela a vazão volumétrica de entrada é igual a vazão volumétrica de saída Isso significa apenas que por exemplo se entrou 25 litros de água salgada então sairá 25 litros de água salgada Agora qual é a quantidade de sal que entre e que sai nesses 25 litros de água salgada A quantidade que entra de sal é diferente da quantidade de que sai Assim para falar em quantidade de sal na água salgada que entra ou que sai é necessário falar em vazão mássica A vazão mássica dado em mede justamente a quantidade de sal que entra ou que sai em função do tempo PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Agora que se identificou a taxa de massa pelo tempo que entra e que sai do tanque então voltase para a equação Como a taxa de acúmulo é a derivada da quantidade acumulada em relação ao tempo então em PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem A partir da situação proposta deduziuse uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem separável Usando a regra da cadeia aplicada a integrais chamase e deriva u em relação a variável então e por fim t PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Substituindo e na integral então PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Como então Como então PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Assim a solução geral da EDO é dada por E a solução particular para a condição inicial dada é dada por sendo então PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem e então Portanto a solução particular para a condição é dada por Por fim agora é possível determinar a quantidade de sal dissolvido no tanque após PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Exemplo 7 Em uma reação química elementar as moléculas únicas de dois reagentes eformam a molécula do produto sendo A lei de ação das massas afirma que a taxa de reação é proporcional ao produto das concentrações de A e B Se adotar as concentrações iniciais como e e então Considere a reação Equação Diferencial de 1ª Ordem PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Determine a concentração do ácido bromídrico em função do tempo considerando que as concentrações iniciais de e sejam iguais Equação Diferencial de 1ª Ordem PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Como e e sendo que o termo representa a redução da concentração de conforme se produz e o termo representa a redução da concentração de então a equação diferencial acima pode ser simplificada pela equação abaixo Se as concentrações iniciais são iguais isto é então sendo então PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Usando a regra da cadeia aplicada a integrais chamase e deriva em relação a variável então e por fim Substituindo e na integral então PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem sendo então PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem como então PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem A solução geral que representa a concentração de HBr formado em função do tempo é No instante inicial havia apenas reagentes não tinha a presença do produto Isto significa que a condição inicial é dada por Então então Assim PUBLIC 公 開 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Como e então A solução particular para a condição inicial dada que representa a concentração de HBr formado em função do tempo é