Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem Homogênea - Cálculo IV

Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem homogênea Cálculo IV Prof Isaias Goldschmidt EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Uma equação diferencial ordinária de 2ª ordem pode ser escrita de forma genérica como Sendo 𝑃 𝑃𝑥 𝑄 𝑄𝑥 𝑅 𝑅𝑥 e 𝐺 𝐺𝑥 são funções que dependem apenas da variável independente 𝑥 Se 𝐺𝑥 é igual a zero então a EDO de 2ª ordem é denominada de homogênea Por outro lado se 𝐺𝑥 é diferente de zero a EDO de 2ª ordem é dita como não homogênea Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦 𝑅 𝑥 𝑦 𝐺𝑥 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM A EDO de 2ª ordem homogênea é representada por Ou Se 𝑦 e 𝑦 são soluções da EDO de 2ª ordem então a combinação linear 𝑦 𝐶𝑦 𝐶𝑦 também será uma solução sendo 𝐶 e 𝐶 constante arbitrárias 𝐶 e 𝐶 ℝ Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦 𝑅 𝑥 𝑦 0 𝑃 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑄 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑅 𝑥 𝑦 0 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM A EDO de 2ª ordem homogênea é representada por A EDO de 2ª ordem homogênea se a 𝑃 𝑥 b 𝑄 𝑥 e c 𝑅 𝑥 são constantes pode ser representada como Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦 𝑅 𝑥 𝑦 0 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 0 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Uma possível solução para a EDO de 2ª ordem homogênea pode ser 𝑦 𝑒 sendo 𝑟 ℝ Substituindo 𝑦 𝑦 e 𝑦 na EDO de 2ª ordem homogênea obtémse Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦 0 𝑦 𝑒 𝑦 𝑟𝑒 𝑦 𝑟𝑒 𝑎𝑟𝑒 𝑏𝑟𝑒 𝑐𝑒 0 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Se deixar o termo 𝑒 em evidência obtémse Para o resultado ser zero então a expressão deve ser 𝑎𝑟 𝑏𝑟 𝑐 0 já que o termo 𝑒 é diferente de zero Essa equação polinomial de grau 2 é denominada de equação característica da EDO de 2ª ordem homogênea Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 𝑎𝑟𝑒 𝑏𝑟𝑒 𝑐𝑒 0 𝑎𝑟 𝑏𝑟 𝑐 𝑒 0 𝑎𝑟 𝑏𝑟 𝑐 𝑒 0 𝑎𝑟 𝑏𝑟 𝑐 0 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação característica da EDO de 2ª ordem homogênea As raízes 𝑟 e 𝑟 são iguais a Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 𝑎𝑟 𝑏𝑟 𝑐 0 𝑟 𝑏 𝑏 4𝑎𝑐 2𝑎 e 𝑟 𝑏 𝑏 4𝑎𝑐 2𝑎 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Assim A solução da EDO de 2ª ordem é a combinação linear 𝑦 𝐶𝑦 𝐶𝑦 então Portanto uma possível solução da EDO de 2ª ordem é dada por Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 𝑦 𝑒 𝑦 𝑒 e 𝑦 𝑒 𝑦 𝐶𝑦 𝐶𝑦 𝑦 𝐶𝑒 𝐶𝑒 𝑦 𝐶𝑒 𝐶𝑒 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM A solução geral da EDO de 2ª ordem depende do valor de 𝑏 4𝑎𝑐 Se 0 𝑟 𝑟 então Se 0 𝑟 𝑟 𝑟 então Se 0 𝑟 ℂ isto é 𝑟 𝛼 𝛽𝑗 e 𝑟 𝛼 𝛽𝑗 então Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 𝑦𝑥 𝐶𝑒 𝐶𝑒 𝑦𝑥 𝐶𝑒 𝐶𝑥𝑒 𝑦𝑥 𝑒 𝐶 cos 𝛽𝑥 𝐶𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM A solução geral da EDO de 2ª ordem homogênea no caso de 0 𝑟 ℂ isto é 𝑟 𝛼 𝛽𝑗 e 𝑟 𝛼 𝛽𝑗 é obtida da fórmula de Euler Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 𝑒 cos 𝜃 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃 e 𝑒 cos 𝜃 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑦 𝐶𝑦 𝐶𝑦 𝑦 𝐴𝑒 𝐴𝑒 Para 0 𝑟 ℂ isto é 𝑟 𝛼 𝛽𝑗 e 𝑟 𝛼 𝛽𝑗 então 𝑦 𝐴𝑒 𝐴𝑒 𝑦 𝐴𝑒𝑒 𝐴𝑒𝑒 𝑦 𝑒 𝐴𝑒 𝐴𝑒 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 𝑒 cos 𝜃 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑒 cos 𝜃 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑦 𝑒 𝐴𝑒 𝐴𝑒 𝑦 𝑒 𝐴𝑒 𝐴𝑒 Como 𝑒 cos 𝜃 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃 e 𝑒 cos 𝜃 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃 então 𝑦 𝑒 𝐴 cos 𝛽𝑥 𝑗𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥 𝐴 cos 𝛽𝑥 𝑗𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥 𝑦 𝑒 𝐴 cos 𝛽𝑥 𝐴𝑗𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 𝐴 cos 𝛽𝑥 𝐴𝑗𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 𝑦 𝑒 𝐴 𝐴 cos 𝛽𝑥 𝐴 𝐴 𝑗𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 𝑦 𝑒 𝐴 𝐴 cos 𝛽𝑥 𝐴 𝐴 𝑗𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥 𝑦 𝑒 𝐴 𝐴 cos 𝛽𝑥 𝑗 𝐴 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥 Se 𝐴 𝐴 𝐶 e j 𝐴 𝐴 𝐶 então 𝑦 𝑒 𝐶 cos 𝛽𝑥 𝐶𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥 Portanto se 0 𝑟 ℂ isto é 𝑟 𝛼 𝛽𝑗 e 𝑟 𝛼 𝛽𝑗 então 𝑦𝑥 𝑒 𝐶 cos 𝛽𝑥 𝐶𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Exemplo 1 Determine a solução particular da EDO de 2ª ordem homogênea a partir da condição inicial a 𝑦 𝑦 6𝑦 0 𝑦 0 1 e 𝑦 0 0 b 𝑦 2𝑦 𝑦 0 𝑦 0 1 e 𝑦 0 3 c 𝑦 𝑦 0 𝑦 0 2 e 𝑦 0 3 Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem Equação Diferencial Ordinária EDO de 2ª ordem homogênea ay by cy 0 a 2 a d y b d y c y 0 EDO 2ª ordem homogênea a r² b r c 0 Δ b² 4 a c r b Δ 2 a 1ª pos Δ 0 r b Δ 2 a r₁ b Δ 2 a r₂ b Δ 2 a yx c₁ er₁ x c₂ er₂ x solução geral 2ª pos Δ 0 r r₁ r₂ b 2 a yx c₁ er₁ x c₂ x er₁ x solução geral 3ª pos Δ 0 r α jβ yx eα x c₁ cosβ x c₂ sinβ x Example 1 a y y 6y 0 y0 1 y0 0 1 moda Δ 0 r2 1r 6 0 1 r2 br c 0 Δ b2 4ac 12 416 1 24 25 r b Δ 2a 1 25 12 r1 2 r2 3 yx C1 e2x C2 e3x yx C1 e2x C2 e3x solução geral yx0 1 condição inicial y0 C1 e20 C2 e30 1 C1 C2 1 y ex y ex y ex2 μ y eμ 2x y 2x ex2 y0 2C₁ 3C₂ 0 C₁ C₂ 1 C₁ 1 C₂ y 2y y 0 y0 1 yx C1 ex C2 x ex 3 1 C2 C2 4 r 1 y y y 0 y0 2 y1 3 r2 br c 0 equação características Δ b2 4ac 02 411 4 0 r b Δ 2 0 4 2 0 2j 12 1 22 4 r 0 4 2 0 2j 0 1j r α βj yx eαx C₁cosβx C₂sinβx yx e0xC₁1 C₂0 yx C₁1 C₂0 yx C₁1 C₂0 solução geral da EDO do 2º pat homogênea y0 2 x 0 y 2 y0 C₁1 C₂0 2 C₁ 2 yx C₁βsinx C₂cosx y0 3 x 0 y 3 yx C₁μnx C₂x EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM a 𝑦 𝑦 6𝑦 0 𝑦 0 1 e 𝑦 0 0 Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 𝑦 𝑦 6𝑦 0 1𝑦 1𝑦 6𝑦 0 1𝑟 1𝑟 6 0 Equação característica 𝑏 4𝑎𝑐 1 41 6 1 24 25 0 Como 0 então a solução geral da EDO de 2ª ordem é 𝑦𝑥 𝐶𝑒 𝐶𝑒 𝑟 0 0 então EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 𝑟 0 0 então 𝑟 0 2 e 𝑟 0 3 𝑦𝑥 𝐶𝑒 𝐶𝑒 A solução geral da EDO de 2ª ordem é 𝑦𝑥 𝐶𝑒 𝐶𝑒2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem A solução geral da EDO de 2ª ordem é 𝑦𝑥 𝐶𝑒 𝐶𝑒2 As condições inicias são 𝑦 0 1 e 𝑦 0 0 Para 𝑦 0 1 então 𝑦𝑥 𝐶𝑒 𝐶𝑒2 𝑦0 𝐶𝑒3 𝐶𝑒23 1 𝐶𝑒3 𝐶𝑒3 𝐶 𝐶 1 Uma equação e duas variáveis no caso as constantes 𝐶 e 𝐶 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem Neste caso é necessário de uma segunda equação para montar um sistema e determinar as constantes 𝐶 e 𝐶 Esta segunda equação é determinada a partir da segunda condição inicial 𝑦 0 0 𝑦𝑥 𝐶𝑒 𝐶𝑒2 Deriva a função 𝑦𝑥 para obter 𝑦𝑥 𝑦 𝑥 𝐶𝑒 2 𝐶𝑒2 3 𝑦 𝑥 2𝐶𝑒 3𝐶𝑒2 Para 𝑦 0 0 então 0 2𝐶𝑒3 3𝐶𝑒23 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 0 2𝐶𝑒3 3𝐶𝑒23 0 2𝐶 3𝐶 2𝐶 3𝐶 0 Agora temos duas equações e duas variáveis para montar um sistema de equações O 𝐶 𝐶 1 2𝐶 3𝐶 0 Substituindo a equação 1 𝐶 1 𝐶 na equação 2 obtémse 2𝐶 3𝐶 0 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem Substituindo a equação 1 𝐶 1 𝐶 na equação 2 obtémse 2𝐶 3𝐶 0 2 1 𝐶 3𝐶 0 2 2 𝐶 3𝐶 0 5𝐶 2 𝐶 2 5 Então 𝐶 1 𝐶 1 0 2 0 isto é 𝐶 2 0 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem Para 𝐶 0 e 𝐶 2 0 então 𝑦𝑥 𝐶𝑒 𝐶𝑒2 A solução particular para o problema de valor inicial é 𝑦𝑥 3 5 𝑒 2 5 𝑒2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM b 𝑦 2𝑦 𝑦 0 𝑦 0 1 e 𝑦 0 3 Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM b 𝑦 2𝑦 𝑦 0 𝑦 0 1 e 𝑦 0 3 Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 𝑦 2𝑦 𝑦 0 1𝑦 2𝑦 1𝑦 0 1𝑟 2𝑟 1 0 Equação característica 𝑏 4𝑎𝑐 2 411 4 4 0 Como 0 então a solução geral da EDO de 2ª ordem é 𝑦𝑥 𝐶𝑒 𝐶𝑥𝑒 𝑟 3 3 1 então 𝑟 1 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem A solução geral da EDO de 2ª ordem é 𝑦𝑥 𝐶𝑒 𝐶𝑥𝑒 Para 𝑟 1 então 𝑦𝑥 𝐶𝑒 𝐶𝑥𝑒 Para 𝑦 0 1 então 1 𝐶𝑒3 𝐶 0 𝑒3 𝐶 1 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 𝑦𝑥 𝐶𝑒 𝐶𝑥𝑒 𝑦𝑥 𝐶𝑒1 𝐶 1 𝑒 𝑥𝑒1 𝑦 𝑥 𝐶𝑒 𝐶𝑒 𝐶𝑥𝑒 Para 𝑦 0 3 então 3 𝐶𝑒3 𝐶𝑒3 𝐶0 𝑒3 Como 𝐶 1 3 1 𝐶 𝐶 4 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem Para 𝐶 1 e 𝐶 4 então a solução particular da EDO de 2ª ordem é 𝑦𝑥 𝐶𝑒 𝐶𝑥𝑒 𝑦𝑥 𝑒 4𝑥𝑒 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM c 𝑦 𝑦 0 𝑦 0 2 e 𝑦 0 3 Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM c 𝑦 𝑦 0 𝑦 0 2 e 𝑦 0 3 Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 𝑦 𝑦 0 1𝑦 0𝑦 1𝑦 0 1𝑟 0𝑟 1 0 𝑏 4𝑎𝑐 0 411 0 4 4 0 Como 0 então a solução geral da EDO de 2ª ordem é 𝑦𝑥 𝑒 𝐶 cos 𝛽𝑥 𝐶𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥 𝑟 3 4 3 4 3 4 3 4 3 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 𝑟 0 𝑗2 2 0 2 𝑗 2 2 0 𝑗1 𝑟 0 𝑗1 𝑟 𝛼 𝑗𝛽 Então O𝛼 0 𝛽 1 𝑦𝑥 𝑒 𝐶 cos 𝛽𝑥 𝐶𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥 𝑦𝑥 𝑒3 𝐶 cos 1 𝑥 𝐶𝑠𝑒𝑛1 𝑥 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 𝑦𝑥 𝑒3 𝐶 cos 𝑥 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦𝑥 1 𝐶 cos 𝑥 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 A solução geral é 𝑦𝑥 𝐶 cos 𝑥 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 Para 𝑦 0 2 então 2 𝐶 cos 0 𝐶𝑠𝑒𝑛0 2 𝐶 1 𝐶 0 𝐶 2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 𝑦𝑥 𝐶 cos 𝑥 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦𝑥 𝐶 sen 𝑥 𝐶𝑐𝑜𝑠𝑥 Para 𝑦 0 3 e 𝐶 2 então 3 𝐶𝑠𝑒𝑛0 𝐶𝑐𝑜𝑠0 3 20 𝐶 1 𝐶 3 Para 𝐶 2 e 𝐶 3 então a solução particular da EDO de 2ª ordem é 𝑦𝑥 𝑒 𝐶 cos 𝛽𝑥 𝐶𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem Para 𝐶 2 e 𝐶 3 então a solução particular da EDO de 2ª ordem é 𝑦𝑥 𝑒 𝐶 cos 𝛽𝑥 𝐶𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥 𝑦𝑥 𝑒3 2 cos 1 𝑥 3 𝑠𝑒𝑛1 𝑥 𝑦𝑥 1 2 cos 𝑥 3𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦 𝑥 2 cos 𝑥 3𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦 𝑥 3𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 cos 𝑥 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Exemplo 2 Em um sistema massamola com constante da mola 𝑘 3 𝑁𝑚 um corpo de massa 𝑚 5 𝑘𝑔 é solto quando 𝑥 2 𝑚 com velocidade inicial nula Determine a função posição em um instante 𝑡 qualquer e no instante 𝑡 12 segundos Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem m 50 kg b 0 U0 x0 2 x0 0 k 3 Nm mxt bxt kxt 0 5xt 0xt 3xt 0 EDO 5r² 0r 3 0 Δ b² 4ac 0 453 60 0 r b Δ 2a yx eαx C₁ senβ x C₂ senβ x C₁ 2 xt C1 cdot cosleftfracsqrt155 cdot tright C2 cdot sinleftfracsqrt155 cdot tright m fracd2 xtdt2 K xt 0 5 xt 0 xt 3 xt 0 r 0 pm sqrt60 10 fracsqrt45s fracsqrt15sqrt2 frac1552 frac1525 sqrtfrac35 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem O módulo da força resultante 𝐹 que atua no bloco de massa 𝑚 é igual ao módulo da força elástica da mola 𝐹 desconsiderando a atuação de uma força externa 𝐹 𝑚 𝑎 𝐹 𝑘 𝑥𝑡 𝑚 𝑎 𝑘 𝑥𝑡 𝑚 𝑎 𝑘 𝑥 𝑡 0 A aceleração 𝑎𝑡 é obtida pela derivada primeira da função velocidade 𝑣𝑡 e pela derivada segunda da função posição 𝑥𝑡 𝑎 𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑣 𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑥𝑡 𝑎 𝑡 𝑥𝑡 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem Então substituição a aceleração 𝑎𝑡 pela derivada segunda da função posição obtémse a EDO de 2ª ordem homogênea 𝑚 𝑎 𝑘 𝑥 𝑡 0 𝒎 𝒅𝟐 𝒅𝒕𝟐 𝒙𝒕 𝒌 𝒙 𝒕 𝟎 𝟓 𝒅𝟐 𝒅𝒕𝟐 𝒙𝒕 𝟑 𝒙 𝒕 𝟎 A ausência de um termo 𝑏 𝑥𝑡 significa que o sistema massamola está livre da atuação de um elemento de amortecimento 𝑚 𝑥𝑡 0 𝑥 𝑡 𝑘 𝑥 𝑡 0 A equação característica desta EDO de 2ª ordem homogênea é 𝑚 𝑟 0 𝑟 𝑘 0 𝑚 𝑟 𝑘 0 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 𝑚 𝑟 𝑘 0 É uma equação polinomial de segundo grau incompleta Não precisa usar necessariamente o Bhaskara para resolvêla 𝑚 𝑟 𝑘 𝑟 𝑘 𝑚 𝑟 𝑘 𝑚 𝑟 1 𝑘 𝑚 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 𝑟 1 𝑘 𝑚 𝑟 1 𝑘 𝑚 𝑟 𝑗 𝑘 𝑚 𝑟 0 𝑗 𝑘 𝑚 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem A solução desta equação polinomial de segundo grau incompleta é um número complexo do tipo 𝑟 𝛼 𝑗 𝛽 𝑟 0 𝑗 𝑘 𝑚 𝑟 𝛼 𝑗 𝛽 No caso obtémse 𝛼 0 𝛽 𝑘 𝑚 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 𝛼 0 𝛽 𝑘 𝑚 A solução geral da EDO de 2ª ordem homogênea quando 0 é 𝑦𝑥 𝑒 𝐶 cos 𝛽𝑥 𝐶𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥 No sistema massamola a solução geral da posição em relação ao tempo é 𝑥𝑡 𝑒 𝐶 cos 𝛽𝑡 𝐶𝑠𝑒𝑛𝛽𝑡 𝑥𝑡 𝑒 𝐶 cos 𝑘 𝑚 𝑡 𝐶𝑠𝑒𝑛 𝑘 𝑚 𝑡 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 𝑥𝑡 𝑒 𝐶 cos 𝑘 𝑚 𝑡 𝐶𝑠𝑒𝑛 𝑘 𝑚 𝑡 Como 𝑒 1 então 𝑥𝑡 𝐶 cos 𝑘 𝑚 𝑡 𝐶𝑠𝑒𝑛 𝑘 𝑚 𝑡 No instante inicial 𝑡 0 a posição do bloco de massa 𝑚 é igual a 𝑥𝑡 0 2 Para 𝑥0 2 então 2 𝐶 cos 𝑘 𝑚 0 𝐶𝑠𝑒𝑛 𝑘 𝑚 0 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 2 𝐶 cos 𝑘 𝑚 0 𝐶𝑠𝑒𝑛 𝑘 𝑚 0 2 𝐶 cos 0 𝐶𝑠𝑒𝑛 0 2 𝐶 1 𝐶 0 𝐶 2 No instante inicial 𝑡 0 a velocidade inicial é nula 𝑣 𝑡 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡 0 𝑥𝑡 𝐶 cos 𝑘 𝑚 𝑡 𝐶𝑠𝑒𝑛 𝑘 𝑚 𝑡 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 𝑥𝑡 𝐶 cos 𝑘 𝑚 𝑡 𝐶𝑠𝑒𝑛 𝑘 𝑚 𝑡 Usase a regra da cadeia para determinar as derivadas das funções trigonométricas compostas 𝑥𝑡 𝐶 sen 𝑘 𝑚 𝑡 𝑘 𝑚 𝐶 𝑐𝑜𝑠 𝑘 𝑚 𝑡 𝑘 𝑚 Para 𝑥𝑡 0 0 então 0 𝐶 sen 𝑘 𝑚 0 𝑘 𝑚 𝐶 𝑐𝑜𝑠 𝑘 𝑚 0 𝑘 𝑚 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 0 𝐶 sen 0 𝑘 𝑚 𝐶 𝑐𝑜𝑠 0 𝑘 𝑚 0 𝐶 0 𝑘 𝑚 𝐶 1 𝑘 𝑚 0 𝐶 0 𝐶 𝑘 𝑚 𝐶 𝑘 𝑚 0 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem Como 0 então 𝐶 0 Como 𝐶 2 e 𝐶 0 então 𝑥𝑡 𝐶 cos 𝑘 𝑚 𝑡 𝐶𝑠𝑒𝑛 𝑘 𝑚 𝑡 𝑥𝑡 2 cos 𝑘 𝑚 𝑡 0 𝑠𝑒𝑛 𝑘 𝑚 𝑡 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem Portanto a solução particular da EDO de 2ª ordem homogênea que descreve a posição do bloco de massa 𝑚 em relação ao tempo é 𝑥𝑡 2 cos 𝑘 𝑚 𝑡 Para 𝑘 3 𝑁𝑚 e 𝑚 5 𝑘𝑔 então 𝑥 𝑡 2 cos 𝑘 𝑚 𝑡 2 cos 3 5 𝑡 𝑥 𝑡 2 cos 3 5 𝑡 𝑥 𝑡 12 120 𝑚 EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM Exemplo 3 Em um sistema de pêndulo simples a haste que suporta o pêndulo é igual a 𝐿 05 metros o ângulo theta entre a haste e a vertical é igual a 𝜃 01 radiano e a velocidade angular inicial é nula Determine o valor do ângulo theta no instante de tempo 𝑡 16 segundos Considere que a aceleração da gravidade é igual a 𝑔 98 𝑚𝑠 que para valores do ângulo theta pequeno pode ser adotada a aproximação 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃 e que a equação diferencial que representa o sistema de pêndulo simples é dada por 𝐿 7 7 𝑔𝑠𝑒𝑛 𝜃 0 Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE 2ª ORDEM 05 𝑑𝜃𝑡 𝑑𝑡 98 𝜃 0 Solução geral 𝜃 𝑡 𝐶 cos 196𝑡 𝐶𝑠𝑒𝑛 196𝑡 Solução particular 𝜃 𝑡 01 cos 196𝑡 Para 𝑡 16 𝑠 𝜃 𝑡 16 00696 007 𝑟𝑎𝑑 Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem