Vazão: Equação da Continuidade e Equação de Bernoulli

VAZÃO EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE E EQUAÇÃO DE BERNOULLI VAZÃO EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE E EQUAÇÃO DE BERNOULLI Vazão equação da continuidade e equação de Bernoulli 3 Objetivo de aprendizagem Compreender e aplicar a modelagem matemática para escoamento de fluidos Tópicos de estudo Vazão e a equação da continuidade Equação de Bernoulli Experimento de vazão volumétrica Iniciando os estudos Nesta unidade estudaremos o movimento dos fluidos área denominada hidrodinâmica Nossos estudos vão se concentrar no regime estacionário no qual se considera que o fluido é não viscoso e incompressível ou seja sua massa específica não varia Assim começaremos com o conceito de vazão volumétrica de um fluido e veremos a equação da continuidade Em seguida usaremos a lei de conservação de energia mecânica para chegarmos à equação de Bernoulli e a algumas aplicações dessa equação Por fim mostraremos experimentos que usam o conceito de vazão e algumas de suas aplicações Vazão equação da continuidade e equação de Bernoulli 4 VAZÃO E EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE Muitas vezes o movimento de um fluido pode ser bem complexo Existem casos em que o movi mento iniciase como regular e depois aumenta em complexidade Por exemplo na figura 1 podemos citar a fumaça que sai de uma chaminé de uma indústria que sobe de forma regular e depois alcança um movimento bem complexo HALLIDAY 2016 Nesse caso temos a transição de um escoamento uniforme para não uniforme turbulento o que faz necessário entendermos os tipos de escoamento para um fluido Primeiramente vamos considerar a variação no tempo TIPLER 2009 Regime permanente as propriedades dos fluidos não mudam em cada ponto ao longo do fluido Elas podem variar em função da posição mas não ao longo do tempo estando o fluido em movimento ou não Aqui cabe lembrar que a pressão de um líquido colocado em um recipiente aberto vai depender da profundidade h Para cada valor de h a pressão é diferente mas não se modifica com o tempo Regime variável ou não permanente ao contrário do caso anterior nessa situação as propriedades do fluido variam em função do tempo Figura 1 Escoamento da fumaça de uma indústria Vazão equação da continuidade e equação de Bernoulli 5 Considerando agora o vetor velocidade temos Regime uniforme o vetor velocidade é o mesmo para um determinado instante Lembrese que um vetor é caracterizado por módulo direção e sentido Esse tipo de movimento pode ser visto em uma tubulação longa com um diâmetro constante Regime variado o vetor velocidade varia em relação à posição O caso de fluidos que apresentam movimento de rotação em que suas partículas têm uma velocidade de rotação em torno de um eixo ocorre devido à presença de viscosidade do fluido Muitas vezes usamos modelos matemáticos não considerando a viscosidade mas nesses casos o fluido será irrotacional Por fim vamos classificar o fluido quanto à trajetória de partículas Temos três tipos de estado laminar transitório e turbulento Laminar ocorre quando as partículas se movem em camadas paralelas ou em lâminas de trajetórias bem definidas figura 2a Transitório existem algumas flutuações intermitentes do fluido em um escoamento laminar contudo não são suficientes para caracterizar um escoamento turbulento Turbulento existe um movimento irregular das partículas do fluido ocasionando flutuações aleatórias figura 2b Figura 2 a Escoamento laminar e b turbulento Na figura 3 vemos um esquema com três tipos de escoamento para a fumaça de uma indústria Um modelo matemático para estudar esses três tipos de escoamento é o chamado número de Reynolds TIPLER 2009 A expressão matemática é dada por Re ρVDμ 1 Onde V velocidade média do fluido D diâmetro hidraulico μ viscosidade dinâmica do fluido ρ massa especifica do fluido O diâmetro hidráulico pode ser calculado com a seguinte relação D 4Área da seção formada pelo fluidoPerímetro molhado 2 Se analisarmos um canal circular fechado o diâmetro hidráulico será igual ao diâmetro do círculo Por fim se fizermos o cálculo do número de Reynolds poderemos obter os seguintes resultados Re 2000 Escoamento laminar 2000 Re 4000 Escoamento de Transição Re 4000 Escoamento Turbulento No final deste tópico vamos apresentar uma aplicação usando a equação 1 APROFUNDESE Neste vídeo são apresentados os tipos de escoamento para você se aprofundar mais nesse assunto Título Tipos de escoamento Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvVIHe6sYIPE Acesso em 23062022 Agora vamos considerar um fluido em movimento em uma tubulação Podemos calcular a chamada vazão volumétrica Q que é definida como Q Vt 3 Onde V é o volume e t o tempo A unidade no sistema internacional dessa grandeza é dada em m³s Também se quisermos saber a vazão em massa temos Qm mt 4 Nessa equação m é a massa do líquido e t o tempo No sistema internacional de unidades a unidade dessa grandeza é dada em kgs Usando o fato de que ρ mV m ρV na equação 4 e Qm ρVt Qm ρQ na equação 5 usaremos as relações dadas para fazer o exemplo a seguir Exemplo 1 Considere uma torneira que enche de água um reservatório com capacidade de 10m³ em 120 minutos Calcule a vazão em volume e massa no sistema internacional Dados ρágua 1000kgm³ Resolução primeiro vamos calcular a vazão em volume Para isso transformamos o tempo em segundos t 120 minutos 12060 7200s usando a equação 3 Q 107200 000139 m³s Para calcular a vazão em massa usaremos a equação 5 Qm 1000000139 139 Kgs Considere agora a figura 4 que mostra a seção transversal de um tubo que é atravessado por um fluido Observe a região em destaque que mostra um volume que chamaremos de ΔV em um intervalo de tempo Δt Levando em conta que nesse intervalo de tempo a velocidade é constante nessa seção o deslocamento do líquido será Δx VΔt Matematicamente temos ΔV AΔx 6 onde A é a área da seção transversal Substituindo a relação de Δx na equação 6 chegaremos em ΔV AVΔt 7 Figura 4 Escoamento de um fluido em um tubo circular Fonte elaborado pelo autor Assim sabendo que o fluido é incompressível no mesmo intervalo de tempo o mesmo volume de um fluido deve passar nas duas seções transversais figura 4 Então temos A₁V₁Δt A₂V₂Δt 8 através dessa relação podemos chegar à seguinte conclusão ΔV Q 9 A água tem uma velocidade de 08ms através de uma mangueira com 20cm de diâmetro que termina em um bocal que tem 010cm de diâmetro Calcule a velocidade com que a água passa pelo bocal Resposta podemos calcular a velocidade usando a equação 8 A área será dada por Aπd²4 Substituindo na equação 8 d1²V1d2²V2 Fazendo as simplificações necessárias d1²V1d2²V2 Substituindo os valores do problema na equação acima 210²²0801010²²V2V2410⁴0800110⁴V2 Vz408001320ms observamos um aumento na velocidade Um líquido com uma massa específica de 1060kgm³ está fluindo em um tubo de diâmetro de 61mm com uma vazão de 061kgs O escoamento nesse caso é laminar ou turbulento Considere que a viscosidade do líquido é de 12mNsm² Resolução usaremos a expressão dada a seguir ReρVDμ No caso temos ρ1060kgm³ Como o fluido está em um tubo circular D61mm6110³m A viscosidade do fluido é dada por μ12mNsm²1210³NSm² Para calcular o número de Reynolds precisamos calcular a velocidade do fluido contudo temos que Qm061kgs assim usando a equação 5 e 9 teremos QmρQQmρAVVQmAρ com isso podemos calcular o número de Reynolds Tendo em vista que a área da circunferência é dada por πD²4 fazemos as simplificações necessárias 4QmπμDRe40613141210³6110³1061571 e concluímos que o escoamento é turbulento A equação de Bernoulli relaciona a pressão a altura e a velocidade de um fluido incompressível não viscoso em escoamento estacionário JEWETT JUNIOR 2013 Para apresentar essa equação vamos considerar a figura 5 que mostra um fluido escorrendo a uma taxa constante Nessa figura mostramos que o volume à esquerda é igual ao volume à direita Considera também na figura h₁ V₁ e P₁ a elevação a velocidade e a pressão do fluido no ponto da esquerda O fluido mais à direita pode ser caracterizado pelas grandezas h₂ V₂ e P₂ Lembrese que a massa específica do fluido é ρ Essas grandezas estão relacionadas pela equação de Bernoulli apresentada a seguir P₁ ρgh₁ 12ρV₁² P₂ ρgh₂ 12ρV₂² 10 Essa equação representa a conservação de energia mecânica para os fluidos Você se lembra que a energia mecânica é a soma da energia cinética mais energia potencial Assim em um sistema fechado e sem atrito teremos energia cinética energia potencial constante 11 Vamos lembrar esses conceitos A energia cinética para uma partícula é dada por Ec 12mV² No caso de um fluido podemos escrever a massa como a massa específica vezes o volume Ec 12ρVV² 12 Voltamos agora o nosso olhar para a energia potencial gravitacional que é dada por Ep mgh 13 Reescrevendo a massa em termos de massa específica temos a energia potencial gravitacional Ep ρVgh 14 Veja que esses termos estão parecidos com a equação 10 Falta apenas a pressão mas neste caso temos a energia dada pela pressão Epressão PV 15 Então a energia mecânica para o fluido vai ser dada pela soma das equações 12 14 e 15 Emecânica 12ρVV² ρVgh PV 16 Como o fluido é incompressível e não viscoso lembra que falamos que a viscosidade é tipo uma força de atrito teremos nas duas regiões apresentadas na figura 5 P₁ 12ρV₁² ρVgh₁ P₂ 12ρV₂² ρVgh₂ Vazão equação da continuidade e equação de Bernoulli 15 Simplificando o volume chegamos na equação 10 Uma aplicação interessante da equação 10 é para um líquido em repouso Nessa situação V V 1 2 0 manipulando a equação 10 chegamos a A seguir faremos algumas aplicações da equação de Bernoulli Exemplo 4 A figura 6 mostra um tanque de água aberto que possui um furo lateral Encontre a expressão matemática da velocidade da água que sai do furo Considere as dimensões da altura apresen tadas na figura 6 Figura 6 Fluido escoa através de um tubo com vazão constante Resolução usando a equação 10 como a pressão no topo do tanque é a pressão atmosférica e a velocidade nesse ponto é nula Pₐ ρgh₁ P₂ 12ρV² ρgh₂ Como o furo está aberto para a atmosfera P₂ Pₐ Pₐ ρgh₁ Pₐ 12ρV² ρgh₂ Fazendo as simplificações necessárias e isolando a velocidade 12ρV² ρgh₁ ρgh₂ 12V² gh₁ h₂ V² 2gΔh V 2gΔh encontramos a equação de Torricelli que você já estudou em cinemática Exemplo 5 Um engenheiro hidráulico está analisando a tubulação de uma casa e verifica que em um determinado ponto a velocidade da água é 2ms e a pressão manométrica é de 410⁴Pa O engenheiro está interessado na pressão manométrica em um segundo ponto desse mesmo encanamento 10m abaixo do primeiro ponto sabendo que o diâmetro do cano no segundo ponto é igual ao triplo do primeiro ponto Usando a equação de continuidade de Bernoulli qual o valor de pressão obtido por esse engenheiro Resolução para calcular a pressão nesse segundo ponto usaremos a equação de Bernoulli dada na equação 10 Contudo para usarmos essa equação teremos que calcular a velocidade no segundo ponto Então temos que usar a equação da continuidade A₁V₁ A₂V₂ onde A πd²4 rotulando o primeiro ponto da tubulação como 1 e o segundo ponto da tubulação como 2 Assim como colocado no problema d₂ 3d₁ substituímos essas relações na equação de continuidade fazendo as simplificações necessárias πd²₁4V₁ πd²₂4V₂ V₂ d²₁ 3d₁² V₁ d²₁ V₂ 9d²₁ V₁ V₂ V₁9 V₂ 29 022ms usando a equação de Bernoulli e considerando a mesma rotação dos pontos colocados acima 410⁴ 1210002² 100098110 P₂ 121000022² onde h₁ 10m e h₂ 0 Também devemos considerar que a massa específica da água é 1000kgm³ e g 981ms² isolando P₂ na equação acima P₂ 410⁴ 1210002² 100098110 121000022² P₂ 1410⁴Pa Veja que em muitos problemas temos que usar as equações de continuidade e Bernoulli para encontrar a solução A seguir veja algumas aplicações da equação de Bernoulli Vazão equação da continuidade e equação de Bernoulli 18 Infográfico 1 Aplicações da equação de Bernoulli Fonte disponível em http1bpblogspotcom Acesso em 20 out 2021 Na sequência passaremos para alguns resultados experimentais desses conceitos apresentados EXPERIMENTO DE VAZÃO VOLUMÉTRICA Os conceitos apresentados nas duas seções anteriores podem servir como experiência e para diversas aplicações Comecemos com o chamado medidor de Venturi TIPLER 2009 Esse instrumento apresentado na figura 7 é utilizado para medir a vazão de um fluido incompressível não viscoso Assim um fluido com uma massa específica escoa para um tubo de área A₁ que tem um estrangulamento de área A₂ Vamos analisar essa parte usando a equação 10 Como não existe diferença de altura teremos P₁ 12 ρ V₁² P₂ 12 ρ V₂² Usando a equação da continuidade podemos verificar que quando o fluido passa pela área menor a sua velocidade aumenta A₁V₁ A₂V₂ Também podemos concluir que a velocidade V₂ V₁ e a pressão P₂ P₁ A partir da equação 18 podemos isolar V₂ V₂ A₁A₂ V₁ r V₁ onde chamamos a divisão de A₁A₂ r Substituindo essa relação na equação 17 obtemos P₁ 12 ρ V²₁ P₂ 12 ρ V²₂ P₁ P₂ 12 ρ V²₁ 12 ρ V²₂ P₁ P₂ 12 ρ V²₁ 1 r² Essa diferença de pressão pode ser medida através do manômetro em formato de U mostrado na figura 7 Esse manômetro é preenchido por um líquido de massa específica ρₗ e com a diferença de altura podemos encontrar a diferença de pressão usando o Teorema de Stevin P₁ P₂ ρₗ g Δh ρ g Δh ρₗ ρ g Δh igualando as equações 20 e 21 12 ρ V²₁ 1 r² ρₗ ρ g Δh V²₁ 2ρₗ ρ g Δh ρ 1 r² V₁ 2ρₗ ρ g Δh ρ 1 r² Veja que com essas informações podemos obter a velocidade do fluido Vazão equação da continuidade e equação de Bernoulli 21 Se você gosta de aviação vai gostar deste vídeo Ele apresenta os principais conceitos sobre o voo de um avião Título Voo de um avião Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvUpU6QdspDcY Acesso em 23062022 APROFUNDESE No vídeo a seguir apresentamos outro dispositivo que pode ser usado para inúmeras aplicações Acesse na plataforma o vídeo Tubo de Pitot ASSISTA Interessante como esses cálculos para medição de fluidos se encaixam em outros elementos como a vazão e pressão do ar não é mesmo Veja a proposta do Reflita pensando nessa relação A medição da velocidade de um avião quando está no ar é de grande importância por isso a pergunta que colocamos para você é qual o efeito para o voo se essa velocidade estiver errada Para respondela preste muita atenção ao vídeo deste tópico que explica o funcionamento do tubo de Pitot e também sugerimos que você consulte o site httpswwwmonolitonimbuscombrtubo depitoteacidenteairfrance que mostra o que ocorreu quando ele parou de funcionar REFLITA Chegamos ao final deste tópico com grandes e importantes aprendizados para sua vida e carreira profissional Procure rever os conceitos e verificar se há algo que ainda não compreendeu para garantir a plena capacidade de resolução dos problemas Considerações finais 22 Nesta unidade você foi apresentado ao conceito de vazão que originou a equação da continuidade Através dessa equação verificamos que existe uma conservação da vazão de um fluido ideal dentro de uma tubulação conceito de grande utilidade para o cálculo da vazão volumétrica Você também conheceu a equação de Bernoulli que surge com a lei da conservação da energia mecânica para fluidos e viu que esse conceito é usado para inúmeras aplicações e experimentos Referências 23 HALLIDAY David Fundamentos de Física Gravitação Ondas e Termodinâmica 10 ed Rio de Janeiro LTC 2016 v 2 JEWETT JUNIOR John W Física para cientistas e engenheiros Oscilações ondas e termodinâmica 8 ed São Paulo Cengage Learning 2012 v 2 TIPLER Paul A Física para cientistas e engenheiros Mecânica oscilações e ondas termodinâmica 6 ed Rio de Janeiro LTC 2009 v 1