Diagramas de Esforços Solicitantes em Vigas

Resistência dos Materiais I Diagramas de esforços solicitantes Diagramas de esforços solicitantes É a representação gráfica dos esforços solicitantes ao longo da estrutura Pontos nos quais os valores devem constar obrigatoriamente nos diagramas Início e final da estrutura Inicio e final das barras mudança de eixo local por mudança de direção Pontos de forças ou momentos concentrados incluindo apoios Início e fim de cargas distribuídas ou mudança no valor de tais cargas Valores máximos e mínimos dos esforços solicitantes O momento fletor é máximo onde a cortante é nula Diagramas de esforços solicitantes Cargas concentradas 𝑅𝐴 𝑃𝑏 𝐿 𝑅𝐵 𝑃𝑎 𝐿 Exemplo 1 Cargas concentradas N kN Q kN M kNm Relações diferenciais de equilíbrio Equilíbrio de vigas globalmente determinação das reações de apoio pequenas porções isoladas seções determinação dos esforços internos O equilíbrio em porções infinitesimais resulta em relações diferenciais de equilíbrio entre o carregamento transversal o esforço cortante e o momento fletor q Q e M Relações diferenciais de equilíbrio Considere a viga biapoiada com carga uniformemente distribuída Aplicando as condições de equilíbrio para um elemento infinitesimal de comprimento dx Relações diferenciais de equilíbrio Σ𝑀𝑠 0 𝑀 q𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 𝑀 𝑑𝑀 𝑄 𝑑𝑄 𝑑𝑥 0 Σ𝐹𝑦 0 𝑄 𝑞 𝑑𝑥 𝑄 𝑑𝑄 0 𝑑𝑄 𝑑𝑥 𝑞 𝑑𝑀 𝑄 𝑑𝑄 q 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑄 𝑑𝑄 q 𝑑𝑥 2 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑑𝑄 𝑑𝑥 𝑞 𝑑𝑄 𝑞 𝑑𝑥 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑄 𝑞 𝑑𝑥 q 𝑑𝑥 2 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑄 𝑞 𝑑𝑥 2 O 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑥2 é 𝑚𝑢𝑖𝑡𝑜 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑄 Relações diferenciais de equilíbrio 𝑑2𝑀 𝑑𝑥2 𝑑𝑄 𝑑𝑥 𝑞 Seguese que a derivada segunda do momento fletor é igual a q q 0 Q constante M linear 1grau As relações diferenciais de equilíbrio de vigas são muito úteis para descrever os aspectos qualitativos dos diagramas de esforços cortantes e momentos fletores q linear Q parábola 2grau M parábola cúbica 3grau q constante Q linear 1grau M parábola 2grau Diagramas de esforços solicitantes Carregamento q 0 somente cargas concentradas q constante carga uniforme q linear carga triangular Diagrama de Cortante constante linear 1grau parábola 2grau Diagrama de Momento linear 1grau parábola 2grau parábola cúbica 3grau Cargas distribuídas Para o diagrama de momento fletor em vigas com carregamento distribuído Unir os trechos de momento conhecido por uma linha tracejada linha de fecho Calcular a curvatura do momento flecha de momento pela expressão Traçar f no meio do trecho partindo da linha de fecho na mesma direção do carregamento Para carga distribuída para baixo o valor de f ficará abaixo da linha de fecho Unir os pontos por uma curva 𝑓 𝑞𝑙2 8 q carga distribuída l vão entre M1 e M2 Exemplo 2 N Q M Viga com carregamento distribuído constante Exemplo 3 𝑅𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 Σ𝐹𝑥 0 𝐴𝑥 0 Σ𝑀𝐵 0 𝑞 𝑙 2 𝑙 3 𝐴𝑦 𝑙 0 Σ𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 𝐵𝑦 𝑞 𝑙 2 𝐵𝑦 𝑞 𝑙 2 𝑞 𝑙 6 𝐴𝑦 𝑞 𝑙 6 𝐵𝑦 𝑞 𝑙 3 N Q M Viga com carregamento distribuído triangular Exemplo 3 𝑆𝑒çã𝑜 𝑆 𝐶á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢í𝑑𝑎 𝑞1 Por semelhança de triângulos 𝑞 𝑙 𝑞1 𝑥 𝑞1 𝑞 𝑥 𝑙 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑞1 𝐹 𝑞1 𝑥 2 𝐹 𝑞 𝑥 𝑙 𝑥 2 𝐹 𝑞 𝑥2 2𝑙 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜 Σ𝑀𝑠 0 𝑀 𝑞 𝑥2 2𝑙 𝑥 3 𝑞 𝑙 6 𝑥 0 Σ𝐹𝑦 0 𝑞 𝑙 6 𝑞 𝑥2 2𝑙 𝑄 0 𝑀 𝑞 𝑙 𝑥 6 𝑞 𝑥3 6𝑙 𝑄 𝑞 𝑙 6 𝑞 𝑥2 2𝑙 Exemplo 3 𝑪á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒐 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝑀𝑚á𝑥 𝑄 0 Igualando a equação da cortante a zero 0 𝑞 𝑙 6 𝑞 𝑥2 2𝑙 𝑞 𝑙 6 𝑥2 2𝑙 0 𝑙 6 𝑥2 2𝑙 0 𝑥2 2𝑙2 6 𝑥 𝑙2 3 𝑥 𝑙 3 0577𝑙 𝑁𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 𝑙 3 𝑀𝑚á𝑥 𝑞 𝑙 6 𝑙 3 𝑞 6𝑙 𝑙 3 3 𝑀𝑚á𝑥 𝑞 𝑙2 6 3 𝑞 𝑙2 6 3 3 𝑪á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒐 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒏𝒐 𝒎𝒆𝒊𝒐 𝒅𝒐 𝒗ã𝒐 𝑥 𝑙 2 𝑀 𝑞 𝑙 6 𝑙 2 𝑞 6𝑙 𝑙 2 3 𝑞 𝑙2 12 𝑞 𝑙2 48 𝑀 4𝑞 𝑙2 𝑞 𝑙2 48 𝑀𝑚á𝑥 𝑞 𝑙2 9 3 𝑜𝑢 𝑞 𝑙2 1559 𝑀 𝑞 𝑙2 16 Exemplo 4 N kN Q kN M kNm a Exemplo 5 b N kN Q kN M kNm Exemplo 6 Momento localizado N kN Q kN M kNm Exemplo 7 Viga engastada N kN Q kN M kNm Exemplo 8 Viga biapoiada com balanço N kN Q kN M kNm Exercícios Traçar os diagramas de esforços solicitantes para as vigas a b c d Exercícios Traçar os diagramas de esforços solicitantes para as vigas e f g h Exercícios Traçar os diagramas de esforços solicitantes para as vigas i j k l Exercícios Traçar os diagramas de esforços solicitantes para as vigas m n o p