Projeto de Modelagem de Sistema Bola sobre uma Mesa

Engenharia Mecatrˆonica Prof Fellipe Marques 1 Bola sobre uma Mesa Figura 1 Diagrama do sistema de controle de uma bola sobre uma mesa 11 Estados 𝑥𝑏 𝑦𝑏 coordenadas de posicao da bola m 𝑥𝑏 𝑦𝑏 coordenadas de velocidade da bola ms 𝛼 ˆangulo de inclinacao da mesa em torno do eixo x rad 𝛽 ˆangulo de inclinacao da mesa em torno do eixo y rad 𝛼 velocidade angular da mesa em torno do eixo x rads 𝛽 velocidade angular da mesa em torno do eixo y rads 12 Entradas 𝜏𝑥 torque aplicado na mesa em torno do eixo x Nm 𝜏𝑦 torque aplicado na mesa em torno do eixo y Nm 13 Saıdas 𝑥𝑏 𝑦𝑏 coordenadas de posicao da bola 2 Engenharia Mecatrˆonica Prof Fellipe Marques 14 Equacoes dinˆamicas 𝑚𝑥𝑏 𝑚 𝑥𝑏 𝛼2 𝑦𝑏 𝛼 𝛽 𝑚𝑔 sen𝛼 𝑏 𝑥𝑏 0 𝑚𝑦𝑏 𝑚 𝑦𝑏 𝛽2 𝑥𝑏 𝛼 𝛽 𝑚𝑔 sen𝛽 𝑏 𝑦𝑏 0 𝐽 𝑚𝑥2 𝑏 𝛼 𝑚𝑔𝑥𝑏 cos 𝛼 𝜏𝑥 𝐽 𝑚𝑦2 𝑏 𝛽 𝑚𝑔𝑦𝑏 cos 𝛽 𝜏𝑦 15 Parˆametros 𝑚 massa da bola 0 2 kg 𝐽 momento de inercia da mesa 0 5 kgm2 𝑙 comprimento dos lados da mesa 0 5 m 𝑏 coeficiente de atrito entre a bola e a mesa 0 01Nsm 𝑅𝑏 raio da bola 0 01 m 𝑔 aceleracao da gravidade 9 8 ms2 16 Condicao de linearizacao Variaveis de estado iguais a zero 2 Guindaste Figura 2 Diagrama do sistema de controle de um guindaste 3 Página 1 de 6 Modelagem dos Projetos 1 Objetivos Após realizar as atividades deste roteiro o aluno deverá ter modelado um dos desafios propostos na disciplina e ter obtido o seu modelo linearizado em espaço de estados 2 Introdução Neste experimento utilizaremos o conhecimento adquirido até o momento na disciplina para modelar os desafios propostos e ainda obter o modelo linearizado que futuramente será utilizado para o projeto de controladores utilizando os métodos de controle moderno 3 Instruções O aluno deve preencher este relatório com seus resultados e responder às questões nos locais indicados Em suas capturas de tela mostre o comando que foi inserido e o resultado de retorno O roteiro preenchido deve ser entregue no Canvas até a próxima aula Lembrese de utilizar o comando help do MATLAB para auxiliálo 4 Atividades 41Modelagem do desafio Ex 1 clc close all clearvars Aluno RA Aluno RA Aluno Disciplina Controle no Espaço de Estados RA Data Prof Fellipe Garcia Marques Crie um novo script e defina os parâmetros do modelo Adicione comentários para que um leitor externo entenda o seu script e o que cada parâmetro significa Utilize o código abaixo como ponto de partida para o seu script Página 2 de 6 COLOQUE O NOME DO DESAFIO QUE SEU GRUPO TRABALHA Definição dos parâmetros do sistema a 1 kgs Definição das configurações de simulação Tsim 50 Tempo de simulação dt 1e3 Passo de integração máximo Inclua o script gerado abaixo Ex 2 Crie um modelo no Simulink para simular o modelo nãolinear do desafio escolhido pelo grupo Inclua no modelo blocos de saída toworkspace para acessar no MATLAB os sinais dos estados entradas e saídas do modelo gerado no Simulink Utilize o roteiro 2 como referência O modelo deve possuir um passo de integração máximo de 0001 segundos Página 3 de 6 Dê um nome relevante para o modelo e o salve na mesma pasta do script criado Inclua uma figura do modelo nãolinear modelado no Simulink Ex 3 Inclua os blocos scope nas saídas do modelo e sinais degrau unitário step em cada uma das entradas do modelo e obtenha os gráficos da simulação Inclua figuras da resposta das saídas do modelo ao aplicar o degrau em suas entradas Ex 4 Simula o modelo Crie uma nova seção no seu script para incluir a simulação do modelo programaticamente e também gerar os gráficos dos sinais de entradas estados e saídas Utilize o código abaixo como exemplo Página 4 de 6 simnomemodelosimulink ALTERE O NOME DO MODELO CONFORME NECESSÁRIO Gera gráficos altere conforme necessário e crie mais gráficos figure plottx2 k linewidth 2 grid minor xlabelTempo s ylabelVelocidade x2 ms Inclua o script gerado Inclua os gráficos gerados de uma simulação 42Linearização do modelo Ex 5 Linearize o modelo conforme orientações do desafio em relação ao ponto de equilíbrio Obtenha as matrizes da representação em espaço de estados do sistema Inclua as matrizes do sistema Ex 6 Defina o modelo linearizado representado em espaço de estados utilizando o comando G ssA B C D E obtenha a resposta ao degrau com o comando stepG Inclua os gráficos gerados Ex 7 Obtenha os autovalores do sistema linearizado utilizando a função eigA Autovalores O modelo linearizado é estável ou instável Página 5 de 6 Ex 8 No Simulink inclua o modelo linearizado em paralelo com o modelo nãolinear As entradas dos dois modelos devem ser iguais Adicione mais blocos toworkspace para enviar as saídas e estados do modelo linearizado para o workspace do MATLAB Inclua o modelo do Simulink com a adição do modelo linearizado Ex 9 Gera gráficos altere conforme necessário e crie mais gráficos figure plottx2 k linewidth 2 adiciona o gráfico do estado 2 do modelo nãolinear hold on plottx2l b linewidth 2 adiciona o gráfico do estado 2 do modelo linear grid minor xlabelTempo s ylabelVelocidade x2 ms legendmodelo nãolinear modelo linearizado Inclua o script atualizado Inclua os gráficos de comparação entre o modelo linearizado e nãolinear Ex 10 Comente os resultados obtidos Discorra principalmente sobre as diferenças existentes entre o modelo linear e modelo nãolinear Resposta Atualize o script do MATLAB para gerar gráficos comparativos entre os modelos linear e não linear Utilize o código abaixo como exemplo Simule novamente o modelo programaticamente para gerar gráficos de comparação entre o modelo nãolinear e o modelo linearizado SAIDAS ESTADOS Página 1 de 16 Modelagem dos Projetos 1 Objetivos Após realizar as atividades deste roteiro o aluno deverá ter modelado um dos desafios propostos na disciplina e ter obtido o seu modelo linearizado em espaço de estados 2 Introdução Neste experimento utilizaremos o conhecimento adquirido até o momento na disciplina para modelar os desafios propostos e ainda obter o modelo linearizado que futuramente será utilizado para o projeto de controladores utilizando os métodos de controle moderno 3 Instruções O aluno deve preencher este relatório com seus resultados e responder às questões nos locais indicados Em suas capturas de tela mostre o comando que foi inserido e o resultado de retorno O roteiro preenchido deve ser entregue no Canvas até a próxima aula Lembrese de utilizar o comando help do MATLAB para auxiliálo 4 Atividades 41Modelagem do desafio Ex 1 clc close all clearvars Aluno RA Aluno RA Aluno Disciplina Controle no Espaço de Estados RA Data Prof Fellipe Garcia Marques Prof Fellipe Garcia Marques Crie um novo script e defina os parâmetros do modelo Adicione comentários para que um leitor externo entenda o seu script e o que cada parâmetro significa Utilize o código abaixo como ponto de partida para o seu script Crie um novo script e defina os parâmetros do modelo Adicione comentários para que um leitor externo entenda o seu script e o que cada parâmetro significa Utilize o código abaixo como ponto de partida para o seu script Página 2 de 16 COLOQUE O NOME DO DESAFIO QUE SEU GRUPO TRABALHA Definição dos parâmetros do sistema a 1 kgs Definição das configurações de simulação Tsim 50 Tempo de simulação dt 1e3 Passo de integração máximo BOLA SOBRE A MESA BALL AND PLATE clc close all Definição dos parâmetros do sistema m 02 massa da bola kg J 05 momento de inércia da mesa kgm2 l 05 comprimento dos lados da mesa m b 001 coef atrito entre bola e a mesa Nsm Rb 001 raio da bola m g 98 aceleração de gravidade ms2 Definição das config de simulação Tsim 50 tempo de simulação s dt 1e3 passo máximo de integração Ex 2 Crie um modelo no Simulink para simular o modelo nãolinear do desafio escolhido pelo grupo Inclua no modelo blocos de saída toworkspace para acessar no MATLAB os sinais dos estados entradas e saídas do modelo gerado no Simulink Utilize o roteiro 2 como referência O modelo deve possuir um passo de integração máximo de 0001 segundos Crie um modelo no Simulink para simular o modelo nãolinear do desafio escolhido pelo grupo Inclua no modelo blocos de saída toworkspace para acessar no MATLAB os sinais dos estados entradas e saídas do modelo gerado no Simulink Utilize o roteiro 2 como referência O modelo deve possuir um passo de integração máximo de 0001 segundos Página 3 de 16 Dê um nome relevante para o modelo e o salve na mesma pasta do script criado O bloco fnc tem o código function Dxvec fcnxbdxbybdybadabdbTxTy m 02 kg J 05 kgm² l 05 m g 98 ms² Calculo das derivadas dos estados na ordem dx ddx dy ddy da dda db ddb Dxvec zeros18 Página 4 de 16 Dxvec1 dxb Dxvec2 xbdada ybdadb gsina bdxbm Dxvec3 dyb Dxvec4 ybdbdb xbdadb gsinb bdybm Dxvec5 da Dxvec6 TxmgxbcosaJmxbxb Dxvec7 db Dxvec8 TymgybcosbJmybyb Ex 3 Inclua os blocos scope nas saídas do modelo e sinais degrau unitário step em cada uma das entradas do modelo e obtenha os gráficos da simulação Adotando entradas 𝜏x e 𝜏y iguais entre si e estados iniciais nulos as saídas do sistema foram exatamente iguais Este comportamento é esperado pois analisando as equações apresentadas fica evidente que o modelo para as posições xb e yb são iguais Adicionalmente se constata que a saída do sistema não linear é instável e diverge para para as entradas aplicadas Este comportamento é o mesmo esperado ocorre na planta Pois uma vez que se incline a mesa e mantenha a inclinação a tendência da bola é continuar rolando indeterminadamete Ex 4 Crie uma nova seção no seu script para incluir a simulação do modelo programaticamente e também gerar os gráficos dos sinais de entradas estados e saídas Utilize o código abaixo como exemplo Crie uma nova seção no seu script para incluir a simulação do modelo programaticamente e também gerar os gráficos dos sinais de entradas estados e saídas Utilize o código abaixo como exemplo Página 5 de 16 Simula o modelo simnomemodelosimulink ALTERE O NOME DO MODELO CONFORME NECESSÁRIO Gera gráficos altere conforme necessário e crie mais gráficos figure plottx2 k linewidth 2 grid minor xlabelTempo s ylabelVelocidade x2 ms SIMULAÇÂO PROGRAMÁTICA simBallPlateslx t outstatestime tempo U outinputssignalsvalues entradas todas X outstatessignalsvalues estados todos xb X1 saida 1 yb X3 saida 2 GERA GRÁFICOS ENTRADAS figure clc close all titleEntradas Tx subplot211 plott U1 k LineWidth 2 grid on xlim0Tsim xlabeltempo s ylabel aux Nm Ty subplot212 plott U2 k LineWidth 2 grid on xlim0Tsim xlabeltempo s ylabel auy Nm SAIDAS figure titleSAÍDAS xb subplot211 plott xb LineWidth 2 grid on xlim0Tsim xlabeltempo s ylabelxb m yb subplot212 plott yb LineWidth 2 grid on xlim0Tsim xlabeltempo s ylabelyb Nm ESTADOS figure titleESTADOS labels xb m dotxb ms Página 6 de 16 yb m dotyb ms alpha rad dotalpha rads beta rad dotbeta rads for i 18 estado i subplot42i plott Xi LineWidth 2 grid on xlim0Tsim xlabeltempo s ylabellabelsiInterpreterlatex end Inclua os gráficos gerados de uma simulação ENTRADAS Ex8 Página 8 de 16 42Linearização do modelo Ex5 Linearize o modelo conforme orientações do desafio em relação ao ponto de equilíbrio Obtenha as matrizes da representação em espaço de estados do sistema Código syms x dx y dy a da b db Tx Ty Isolando as derivadas dos estados EQ dx xda2 ydadb gsinda bdxm dy xdadb ydb2 gsindb bdym da Tx mgxcosaJmx2 db Ty mgycosbJmy2 JacA jacobianEQ xdxydyadabdb JacB jacobianEQ TxTy A subsJacA xdxydyadabdb 00000000 B subsJacB xdxydyadabdb 00000000 C 10000000 xb 00100000 yb D zeros22 Inclua as matrizes do sistema Ex6 Defina o modelo linearizado representado em espaço de estados utilizando o comando G ssA B C D E obtenha a resposta ao degrau com o comando stepG Página 9 de 16 Inclua os gráficos gerados Ex 7 Obtenha os autovalores do sistema linearizado utilizando a função eigA Autovalores λ 1 0 λ 2 0 λ 3 33742 λ 4 33742 λ 5 16871 j29221 λ 6 16871 j29221 λ 7 16871 j29221 λ 8 16871 j29221 O modelo linearizado é estável ou instável O sistema possui dois polos no semiplano direito o que o torna portanto instável Página 11 de 16 Inclua o modelo do Simulink com a adição do modelo linearizado Ex9 Atualize o script do MATLAB para gerar gráficos comparativos entre os modelos linear e não linear Utilize o código abaixo como exemplo Simule novamente o modelo programaticamente para gerar gráficos de comparação entre o modelo nãolinear e o modelo linearizado Gera gráficos altere conforme necessário e crie mais gráficos figure plottx2 k linewidth 2 adiciona o gráfico do estado 2 do modelo nãolinear hold on plottx2l b linewidth 2 adiciona o gráfico do estado 2 do modelo linear grid minor xlabelTempo s ylabelVelocidade x2 ms legendmodelo nãolinear modelo linearizado Inclua o script atualizado COMPARAÇÂO simBallPlateslx t outstatestime tempo U outinputssignalsvalues entradas todas X outstatessignalsvalues estados todos XL outstatesLsignalsvalues estados todos xb X1 saida 1 yb X3 saida 2 xbL XL1 saida 1 ybL XL3 saida 2 GERA GRÁFICOS ENTRADAS figure clc close all titleEntradas Página 12 de 16 Tx subplot211 plott U1 k LineWidth 2 grid on xlim0Tsim xlabeltempo s ylabel aux Nm Ty subplot212 plott U2 k LineWidth 2 grid on xlim0Tsim xlabeltempo s ylabel auy Nm SAIDAS figure titleSAÍDAS xb subplot211 hold on plott xb LineWidth 2 plott xbL LineWidth 2 grid on xlim0Tsim xlabeltempo s ylabelxb m legendnão linear linear yb subplot212 hold on plott yb LineWidth 2 plott ybL LineWidth 2 grid on xlim0Tsim xlabeltempo s ylabelyb Nm legendnão linear linear ESTADOS figure titleESTADOS labels xb m dotxb ms yb m dotyb ms alpha rad dotalpha rads beta rad dotbeta rads for i 18 estado i subplot42i hold on plott Xi LineWidth 2 plott XLi LineWidth 2 grid on xlim0Tsim ylabellabelsiInterpreterlatex legendnão linear linear end subplot427 xlabeltempo s subplot428 xlabeltempo s Página 13 de 16 Inclua os gráficos de comparação entre o modelo linearizado e nãolinear SAIDAS ESTADOS Página 14 de 16 Neste sistema foram aplicadas a mesmas entradas da simulação anterior por isso ela foi omitida Observe que como o modelo linearizado tem uma boa aproximação entorno do ponto de equilíbrio x0 0 a medida que os estados se distinguem do ponto de operação a aproximação se degenera e acaba cometendo um erro na ordem de 1072 Portanto o modelo não linear se mostrou distante do modelo não linear Contudo isso se dá devido à instabilidade do sistema para entradas do tipo degrau Ex 10 Comente os resultados obtidos Discorra principalmente sobre as diferenças existentes entre o modelo linear e modelo nãolinear Resposta O bola e mesa é um sistema modelo a partir de 4 EDOs entorno da posição no eixo x e y e o ângulo de inclinação da mesa também entorno destes eixos O modelo não linear foi implementado no Simulink e para entradas degrau unitário o sistema se mostrou instável Este comportamento é condizente com a planta física Pois ao inclinar a mesa e o movimento se iniciando a bola rolará indeterminadamente Posteriormente fezse a linearização do sistema utilizando a matriz jacobiana que resultou em um par de polos na origem um par de polos instáveis dois pares de polos complexos conjugados iguais Os polos na origem foram uma parábola para uma entrada degrau Este comportamento é verossímil com a planta pois ao inclinar a mesa a aceleração da bola se dará pela gravidade que contém aceleração constante Logo a posição decresce como uma parábola Ao fazer a simulação com ambos os modelos constatouse que o sistema linearizado diverge substancialmente do modelo não linear Isto se Página 15 de 16 justifica pois a linearização é precisa entorno do seu ponto de equilíbrio que no caso estudado é x0 0 Visto que os estados se distaram cada vez mais deste ponto devido à instabilidade o erro cometido no final da simulação foi exacerbado Destarte ainda se faz necessário verificar a precisão do modelo linearizado em relação ao modelo não linear entorno do ponto de operação Isto é com a presença de um controlador capaz de estabilizar a malha fechada e manter os estados suficientemente próximos do ponto de operação Página 16 de Página 1 de 15 Modelagem dos Projetos 1 Objetivos Após realizar as atividades deste roteiro o aluno deverá ter modelado um dos desafios propostos na disciplina e ter obtido o seu modelo linearizado em espaço de estados 2 Introdução Neste experimento utilizaremos o conhecimento adquirido até o momento na disciplina para modelar os desafios propostos e ainda obter o modelo linearizado que futuramente será utilizado para o projeto de controladores utilizando os métodos de controle moderno 3 Instruções O aluno deve preencher este relatório com seus resultados e responder às questões nos locais indicados Em suas capturas de tela mostre o comando que foi inserido e o resultado de retorno O roteiro preenchido deve ser entregue no Canvas até a próxima aula Lembrese de utilizar o comando help do MATLAB para auxiliálo 4 Atividades 41 Modelagem do desafio Ex 1 clc close all clearvars Aluno RA Aluno RA Aluno Disciplina Controle no Espaço de Estados RA Data Prof Fellipe Garcia Marques Crie um novo script e defina os parâmetros do modelo Adicione comentários para que um leitor externo entenda o seu script e o que cada parâmetro significa Utilize o código abaixo como ponto de partida para o seu script Página 2 de 15 COLOQUE O NOME DO DESAFIO QUE SEU GRUPO TRABALHA Definição dos parâmetros do sistema a 1 kgs Definição das configurações de simulação Tsim 50 Tempo de simulação dt 1e3 Passo de integração máximo BOLA SOBRE A MESA BALL AND PLATE clc close all Definição dos parâmetros do sistema m 02 massa da bola kg J 05 momento de inércia da mesa kgm2 l 05 comprimento dos lados da mesa m b 001 coef atrito entre bola e a mesa Nsm Rb 001 raio da bola m g 98 aceleração de gravidade ms2 Definição das config de simulação Tsim 50 tempo de simulação s dt 1e3 passo máximo de integração Ex 2 Crie um modelo no Simulink para simular o modelo nãolinear do desafio escolhido pelo grupo Inclua no modelo blocos de saída toworkspace para acessar no MATLAB os sinais dos estados entradas e saídas do modelo gerado no Simulink Utilize o roteiro 2 como referência O modelo deve possuir um passo de integração máximo de 0001 segundos Página 3 de 15 Dê um nome relevante para o modelo e o salve na mesma pasta do script criado O bloco fnc tem o código function Dxvec fcnxbdxbybdybadabdbTxTy m 02 kg J 05 kgm² l 05 m g 98 ms² Calculo das derivadas dos estados na ordem dx ddx dy ddy da dda db ddb Dxvec zeros18 Página 4 de 15 Dxvec1 dxb Dxvec2 xbdada ybdadb gsina bdxbm Dxvec3 dyb Dxvec4 ybdbdb xbdadb gsinb bdybm Dxvec5 da Dxvec6 TxmgxbcosaJmxbxb Dxvec7 db Dxvec8 TymgybcosbJmybyb Ex 3 Inclua os blocos scope nas saídas do modelo e sinais degrau unitário step em cada uma das entradas do modelo e obtenha os gráficos da simulação Adotando entradas 𝜏x e 𝜏y iguais entre si e estados iniciais nulos as saídas do sistema foram exatamente iguais Este comportamento é esperado pois analisando as equações apresentadas fica evidente que o modelo para as posições xb e yb são iguais Adicionalmente se constata que a saída do sistema não linear é instável e diverge para para as entradas aplicadas Este comportamento é o mesmo esperado ocorre na planta Pois uma vez que se incline a mesa e mantenha a inclinação a tendência da bola é continuar rolando indeterminadamete Ex 4 Crie uma nova seção no seu script para incluir a simulação do modelo programaticamente e também gerar os gráficos dos sinais de entradas estados e saídas Utilize o código abaixo como exemplo Página 5 de 15 Simula o modelo simnomemodelosimulink ALTERE O NOME DO MODELO CONFORME NECESSÁRIO Gera gráficos altere conforme necessário e crie mais gráficos figure plottx2 k linewidth 2 grid minor xlabelTempo s ylabelVelocidade x2 ms SIMULAÇÂO PROGRAMÁTICA simBallPlateslx t outstatestime tempo U outinputssignalsvalues entradas todas X outstatessignalsvalues estados todos xb X1 saida 1 yb X3 saida 2 GERA GRÁFICOS ENTRADAS figure clc close all titleEntradas Tx subplot211 plott U1 k LineWidth 2 grid on xlim0Tsim xlabeltempo s ylabel aux Nm Ty subplot212 plott U2 k LineWidth 2 grid on xlim0Tsim xlabeltempo s ylabel auy Nm SAIDAS figure titleSAÍDAS xb subplot211 plott xb LineWidth 2 grid on xlim0Tsim xlabeltempo s ylabelxb m yb subplot212 plott yb LineWidth 2 grid on xlim0Tsim xlabeltempo s ylabelyb Nm ESTADOS figure titleESTADOS labels xb m dotxb ms yb m dotyb ms alpha rad dotalpha rads beta rad Página 6 de 15 dotbeta rads for i 18 estado i subplot42i plott Xi LineWidth 2 grid on xlim0Tsim xlabeltempo s ylabellabelsiInterpreterlatex end Inclua os gráficos gerados de uma simulação ENTRADAS Página 7 de 15 SAIDAS ESTADOS 42 Linearização do modelo Página 8 de 15 Ex5 Linearize o modelo conforme orientações do desafio em relação ao ponto de equilíbrio Obtenha as matrizes da representação em espaço de estados do sistema Código syms x dx y dy a da b db Tx Ty Isolando as derivadas dos estados EQ dx xda2 ydadb gsinda bdxm dy xdadb ydb2 gsindb bdym da Tx mgxcosaJmx2 db Ty mgycosbJmy2 JacA jacobianEQ xdxydyadabdb JacB jacobianEQ TxTy A subsJacA xdxydyadabdb 00000000 B subsJacB xdxydyadabdb 00000000 C 10000000 xb 00100000 yb D zeros22 Inclua as matrizes do sistema Ex6 Defina o modelo linearizado representado em espaço de estados utilizando o comando G ssA B C D E obtenha a resposta ao degrau com o comando stepG Página 9 de 15 Inclua os gráficos gerados Ex 7 Obtenha os autovalores do sistema linearizado utilizando a função eigA Autovalores λ 1 0 λ 2 0 λ 3 33742 λ 4 33742 λ 5 16871 j29221 λ 6 16871 j29221 λ 7 16871 j29221 λ 8 16871 j29221 O modelo linearizado é estável ou instável O sistema possui dois polos no semiplano direito o que o torna portanto instável Página 10 de 15 Ex8 No Simulink inclua o modelo linearizado em paralelo com o modelo não linear As entradas dos dois modelos devem ser iguais Adicione mais blocos toworkspace para enviar as saídas e estados do modelo linearizado para o workspace do MATLAB Inclua o modelo do Simulink com a adição do modelo linearizado Ex9 Atualize o script do MATLAB para gerar gráficos comparativos entre os modelos linear e não linear Utilize o código abaixo como exemplo Simule novamente o modelo programaticamente para gerar gráficos de comparação entre o modelo nãolinear e o modelo linearizado Gera gráficos altere conforme necessário e crie mais gráficos figure plottx2 k linewidth 2 adiciona o gráfico do estado 2 do modelo nãolinear hold on plottx2l b linewidth 2 adiciona o gráfico do estado 2 do modelo linear grid minor xlabelTempo s ylabelVelocidade x2 ms legendmodelo nãolinear modelo linearizado Inclua o script atualizado COMPARAÇÂO simBallPlateslx t outstatestime tempo U outinputssignalsvalues entradas todas X outstatessignalsvalues estados todos XL outstatesLsignalsvalues estados todos xb X1 saida 1 yb X3 saida 2 Página 11 de 15 xbL XL1 saida 1 ybL XL3 saida 2 GERA GRÁFICOS ENTRADAS figure clc close all titleEntradas Tx subplot211 plott U1 k LineWidth 2 grid on xlim0Tsim xlabeltempo s ylabel aux Nm Ty subplot212 plott U2 k LineWidth 2 grid on xlim0Tsim xlabeltempo s ylabel auy Nm SAIDAS figure titleSAÍDAS xb subplot211 hold on plott xb LineWidth 2 plott xbL LineWidth 2 grid on xlim0Tsim xlabeltempo s ylabelxb m legendnão linear linear yb subplot212 hold on plott yb LineWidth 2 plott ybL LineWidth 2 grid on xlim0Tsim xlabeltempo s ylabelyb Nm legendnão linear linear ESTADOS figure titleESTADOS labels xb m dotxb ms yb m dotyb ms alpha rad dotalpha rads beta rad dotbeta rads for i 18 estado i subplot42i hold on plott Xi LineWidth 2 plott XLi LineWidth 2 grid on xlim0Tsim ylabellabelsiInterpreterlatex Página 12 de 15 legendnão linear linear end subplot427 xlabeltempo s subplot428 xlabeltempo s Inclua os gráficos de comparação entre o modelo linearizado e nãolinear SAIDAS ESTADOS Página 13 de 15 Neste sistema foram aplicadas a mesmas entradas da simulação anterior por isso ela foi omitida Observe que como o modelo linearizado tem uma boa aproximação entorno do ponto de equilíbrio x0 0 a medida que os estados se distinguem do ponto de operação a aproximação se degenera e acaba cometendo um erro na ordem de 1072 Portanto o modelo não linear se mostrou distante do modelo não linear Contudo isso se dá devido à instabilidade do sistema para entradas do tipo degrau Ex 10 Comente os resultados obtidos Discorra principalmente sobre as diferenças existentes entre o modelo linear e modelo nãolinear Resposta O bola e mesa é um sistema modelo a partir de 4 EDOs entorno da posição no eixo x e y e o ângulo de inclinação da mesa também entorno destes eixos O modelo não linear foi implementado no Simulink e para entradas degrau unitário o sistema se mostrou instável Este comportamento é condizente com a planta física Pois ao inclinar a mesa e o movimento se iniciando a bola rolará indeterminadamente Posteriormente fezse a linearização do sistema utilizando a matriz jacobiana que resultou em um par de polos na origem um par de polos instáveis dois pares de polos complexos conjugados iguais Os polos na origem foram uma parábola para uma entrada degrau Este comportamento é verossímil com a planta pois ao inclinar a mesa a aceleração da bola se dará pela gravidade que contém aceleração constante Logo a posição decresce como uma parábola Ao fazer a simulação com ambos os modelos constatouse que o sistema linearizado diverge substancialmente do modelo não linear Isto se justifica pois a linearização é precisa entorno do seu ponto de equilíbrio que no caso estudado é x0 0 Visto que os estados se distaram cada vez mais deste ponto devido à instabilidade o erro Página 14 de 15 cometido no final da simulação foi exacerbado Destarte ainda se faz necessário verificar a precisão do modelo linearizado em relação ao modelo não linear entorno do ponto de operação Isto é com a presença de um controlador capaz de estabilizar a malha fechada e manter os estados suficientemente próximos do ponto de operação Página 15 de