Momento de Inércia e Teorema dos Eixos Paralelos

Mecânica Complementos Prof Fábio Astrogildo dos Santos Contatos Email fabioastrogildohotmailcom Momento de Inércia Expressa o grau de dificuldade em se alterar o estado de movimento de um corpo em rotação Considere a área A mostrada na Figura que se encontra no plano xy Momento de Inércia Logo a linha de ação da força resultante passa pelo centro geométrico ou centróide do volume sob o diagrama do carregamento distribuído Podemos também formular o segundo momento de dA em relação ao pólo O ou eixo z Esse momento é denominado momento polar de inércia dJO r²dA Nesse caso r é a distância perpendicular do pólo eixo z à área infinitesimal dA Para a área total o momento polar de inércia é Teorema dos Eixos Paralelos para uma Área Consideremos determinar o momento de inércia da área sombreada mostrada na Figura em relação ao eixo x Nesse caso o elemento infinitesimal dA está localizado a uma distância arbitrária y do eixo x que passa pelo centróide enquanto a distância fixa entre os eixos paralelos x e x é definida por dy Como o momento de inércia de dA em relação ao eixo x é dlx y dy² dA então para toda a área Teorema dos Eixos Paralelos para uma Área Sabendo que a terceira integral representa a área total A o resultado final é portanto Momento de inércia da área em relação ao eixo que passa pelo centróide lx A segunda integral é zero uma vez que x passa através do centróide C da área isto é já que y 0 Área Raio de giração de uma área Uma determinada área tem um Momento de Inércia Ix em relação ao eixo x Se concentrarmos esta área em uma faixa estreita paralela ao eixo x e com o mesmo momento de inércia Ix a distância dessa faixa ao eixo x é denominada Raio de Giração Definese raio de giração como sendo a raiz quadrada da relação entre o momento de inércia e a área da superfície A unidade do raio de giração é o comprimento O raio de giração é utilizado para o estudo da flambagem Exemplo Determine o momento de inércia para a área retangular mostrada na Figura em relação a a ao eixo x que passa pelo centróide b ao eixo xb que passa pela base do retângulo e c ao pólo ou eixo z perpendicular ao plano x y e que passa pelo centróide C Momentos de inércia em áreas compostas Momentos de inércia em áreas compostas Calcule o momento de inércia da área composta mostrada na Figura 109a em relação ao eixo x Círculo Retângulo Somatório Produto de Inércia O produto de inércia de um elemento de área dA localizado no ponto xy é definido como dIxy xydA Desse modo para toda a área A o produto de inércia é Produto de Inércia O produto de inércia de um elemento de área dA localizado no ponto xy é definido como dIxy xydA Desse modo para toda a área A o produto de inércia é Produto de Inércia O produto de inércia de um elemento de área dA localizado no ponto xy é definido como dIxy xydA Desse modo para toda a área A o produto de inércia é Momentos e inércia de uma Área em relação a Eixos inclinados Momentos principais de inércia Os eixos onde os momentos de inércia da área Iu e Iv são máximos e mínimos são chamados eixos principais da área e os momentos de inércia correspondentes em relação a esses eixos são denominados momentos principais de inércia Considerando a origem O posicionada no centróide temos Momentos principais de inércia Determine os momentos principais de inércia da área da seção transversal da viga mostrada na Figura em relação a um dos eixos que passa pelo centróide Círculo de Mohr O círculo de Mohr é um gráfico circular apresentando um conjunto de eixos que representam respectivamente o momento de inércia e o produto de inércia onde Círculo de Mohr Utilizando o círculo de Mohr determine os momentos principais de inércia para a área da seção transversal da viga na Figura em relação a um eixo que passa pelo centróide