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Introdução à Teoria dos Números Aula 04 Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum Tópico 01 Máximo Divisor Comum EXEMPLO 1 Como 42 e 180 são números pares então 2 42 e 2 180 Isto é 2 é um divisor comum de 42 e 180 mas existem outros divisores comuns de 42 e 180 Podemos tomar o conjunto dos divisores de 42 e o conjunto dos divisores 180 D42 1 2 3 6 7 14 21 42 D180 1 2 3 4 5 6 9 10 12 15 18 20 3036456090180 Então para obter os divisores comuns D42 D180 1 2 3 6 Por inspeção verificamos que o maior deles é 6 Então dizemos que 6 é o máximo divisor comum de 42 e 180 Costumamos denotar por mdc42 180 6 De maneira geral definimos Um número natural d é um máximo divisor comum de a e b se satisfaz o seguinte i d divide a e d divide b ii Se c é um divisor comum de a e b então c divide d OLHANDO DE PERTO Da definição temos que se d mdc ab e c é um divisor comum então c d Como consequência temos que se d e d são dois mdcab então d d Assim de fato o mdc ab é único e é o maior dos divisores comuns de a e b EXEMPLO 2 Calcular mdc180 168 SOLUÇÃO Pelo Teorema Fundamental da Aritmética temos 180 22 32 5 e 168 22 3 7 O maior divisor comum terá todos os fatores primos comuns e com os menores expoentes logo mdc180168 12 OLHANDO DE PERTO Um outro modo de calcular o mdc é chamado processo das divisões sucessivas Decorre do seguinte resultado Teorema 1 Se a e b são números naturais tais que a b q r onde q e r são números naturais então mdc a b mdc b r EXERCÍCIO 1 Pesquise na bibliografia e escreva uma demonstração para o Teorema 1 acima EXEMPLO 3 Use o método acima para calcular mdc180 168 SOLUÇÃO Pelo Algoritmo da Divisão temos 180 1168 12 e 168 14 12 0 Pelo resultado mdc180 168 mdc16812 mdc120 Vemos que o mdc é o último resto não nulo EXEMPLO 4 No exemplo 1 calculamos mdc18042 usando conjuntos Determinemos agora usando o processo das divisões sucessivas SOLUÇÃO Pelo Algorítmo da Divisão temos 180 4 42 12 42 3 12 6 O próximo seria 12 2 6 0 Logo mdc18042 6 OLHANDO DE PERTO Um importante resultado sobre mdc é o seguinte Teorema 2 Sejam a e b números naturais Então existem inteiros m e n tais que mdc ab a m b n A demonstração deste resultado pode ser encontrada na Bibliografia Se mdcab1 dizemos que a e b são relativamente primos Consequência do Teorema 2 Se a e b são relativamente primos então existem inteiros m e n tais que a m b n 1 EXEMPLO 5 Se a bc e mdc ab 1 então a c SOLUÇÃO Do Teorema 2 existem inteiros m e n tais que a m b n 1 Multiplicando por c obtemos a c m b c n c Como a divide cada parcela da esquerda a também divide o lado direito isto é a c Observação Se b é um número natural e p é um número primo que não é divisor de b então mdc pb 1 EXERCITANDO Exercício 2 Se p é um primo tal que p ab e p não divide b mostre que p a Exercício 3 Queremos dividir dois rolos de fio de 36m e 48m de comprimento respectivamente em pedaços de mesmo tamanho de modo que cada pedaço tenha o maior tamanho possível Calcule quantos pedaços obtemos Observação Podemos estender o conceito de mdc do seguinte modo Dizemos que um número natural d é um mdc abc se satisfaz I d é um divisor comum de a b e c II Se e é um divisor comum de a b c então e divide d Observação De modo análogo para o caso geral o mdc também é único e satisfaz mdcab c mdc a mdcbc Exercício 4 Queremos dividir 3 rolos de fio de 630m 300m e 200m de comprimento em pedaços de mesmo tamanho de modo que seja o maior tamanho possível Calcule o comprimento de cada pedaço Exercício 5 Duas peças do mesmo tecido custam 360 reais e 585 reais respectivamente Sabendo que o preço de um metro é um número inteiro entre 5 e 14 Calcule quantos metros tem cada peça Exercício 6 Um floricultor possui 100 rosas brancas e 60 rosas vermelhas Pretende fazer o maior número de arranjos que contenha cada um o mesmo número de rosas de cada cor Calcule quantos serão os arranjos e quantas rosas de cada cor deve ter cada um Exercício 7 Para os números naturais a e b suponha que existam naturais m e n tais que a m b n 1 Mostre que mdc a b 1 Exercício 8 Se mdc ab d mostre que mdc 1 Introdução à Teoria dos Números Aula 04 Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum Tópico 02 O Mínimo Múltiplo Comum EXEMPLO 1 Sabemos que 48 é múltiplo de 4 e também múltiplo de 6 O Conjunto dos múltiplos de 4 e o conjunto dos múltiplos de 6 são M4 0 4 8 12 16 20 24 28 e M6 0 6 12 18 24 30 O conjunto dos múltiplos comuns de 4 e 6 é M4 M6 0 12 24 36 48 Portanto o menor múltiplo comum não nulo é 12 Observação Denotamos então mmc46 12 De modo geral definimos Diremos que um número natural m é um mmc de a e b se satisfaz I m é um múltiplo comum de a e b II Se c é um múltiplo comum de a e b então mc OBSERVAÇÃO O ítem ii da definição nos diz que m le c Isto significa que de fato m é o menor múltiplo comum Um resultado importante é Teorema 3 Se d mdcab e mmmc ab então d m a b Demonstração Sabemos que a bd é um múltiplo comum de a e b Se c é um múltiplo comum de a e b falta mostrar que a b d c Temos c m a n b assim m ad n bd Como mdc 1 então a d n assim a bd b n c Portanto a b d c EXERCITANDO Exercício 1 Se mdcab 1 mostre que mmcab ab EXEMPLO 2 Calcular mdc1218 e mmc1218 Sabemos que 1222 3 e 18 2 3 2 Como vimos no Tópico 1 mdc12186 Para encontrar o mmc precisamos tomar os fatores comuns e os não comuns com maior expoente Assim mmc1218 2²3²36 Observe que 6 36 12 18 Podemos estender o conceito de mmc Diremos que m mmcabc se satisfaz I m é um múltiplo comum de a b e c pp Se n é um múltiplo comum de a b e c então m n Observação Vale a propriedade Se a b e c são números naturais então mmcabc mmc a mmc bc EXEMPLO 3 Quais os dois menores números que devemos multiplicar por 63 e 42 respectivamente para obtermos produtos iguais SOLUÇÃO O produto desses números procurados por 63 e 42 respectivamente é um múltiplo comum de 63 e 42 Como queremos os menores números nessas condições esse produto será o mmc6342 126 pois 6332 7 e 42 2 3 7 Portanto os números procurados são 126 63 2 e 126 42 3 EXERCITANDO Exercício 2 Duas pessoas fazem uma volta completa numa pista de atletismo em 7min e 5min respectivamente Se as duas partem juntas da linha de chegada quantas voltas depois elas estarão juntas novamente na linha de chegada Exercício 3 Determine o menor número natural que dividido por cada um dos números 10 12 e 15 deixa resto 7 Exercício 4 Um colecionador possui mais de 150 moedas e menos que 200 moedas Contandose de 12 em 12 de 15 em 15 ou de 36 em 36 sempre sobram 10 moedas Calcule o número de moedas Exercício 5 De um aeroporto partem simultaneamente às 8h três aviões O primeiro faz uma viagem de 2 em 2h o segundo de 3 em 3h e o terceiro de 4 em 4h Calcule a que horas os três aviões partirão juntos novamente Exercício 6 No alto de um edifício existem duas lâmpadas A e B A lâmpada A pisca 15 vezes por minuto e a lâmpada B pisca 10 vezes por minuto Calcule de quanto em quanto tempo elas piscarão juntas Exercício 7 O mmc de dois números é 11352 e o mdc é 6 Se um desses números é 264 calcule o outro FÓRUM Discuta no Fórum da Aula 4 com os colegas ou com o professor tutor as dúvidas sobre os exercícios ou sobre a matéria da Aula 4 Lembre que sua participação no Fórum vale presença e nota de avaliação ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Resolver os exercícios 2 5 e 6 do Tópico 1 e os exercícios 4 5 e 7 do Tópico 2 e enviar as soluções através do seu portfólio da Aula 4 REFERÊNCIAS ANDRADE Plácido Aritmética Departamento de MatemáticaUFC HEFEZ A Elementos de Aritmética Textos Universitários SBM SANTOS J Plínio Introdução à teoria dos números Coleção Matemática Universitária IMPA Fontes das Imagens
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Introdução à Teoria dos Números Aula 04 Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum Tópico 01 Máximo Divisor Comum EXEMPLO 1 Como 42 e 180 são números pares então 2 42 e 2 180 Isto é 2 é um divisor comum de 42 e 180 mas existem outros divisores comuns de 42 e 180 Podemos tomar o conjunto dos divisores de 42 e o conjunto dos divisores 180 D42 1 2 3 6 7 14 21 42 D180 1 2 3 4 5 6 9 10 12 15 18 20 3036456090180 Então para obter os divisores comuns D42 D180 1 2 3 6 Por inspeção verificamos que o maior deles é 6 Então dizemos que 6 é o máximo divisor comum de 42 e 180 Costumamos denotar por mdc42 180 6 De maneira geral definimos Um número natural d é um máximo divisor comum de a e b se satisfaz o seguinte i d divide a e d divide b ii Se c é um divisor comum de a e b então c divide d OLHANDO DE PERTO Da definição temos que se d mdc ab e c é um divisor comum então c d Como consequência temos que se d e d são dois mdcab então d d Assim de fato o mdc ab é único e é o maior dos divisores comuns de a e b EXEMPLO 2 Calcular mdc180 168 SOLUÇÃO Pelo Teorema Fundamental da Aritmética temos 180 22 32 5 e 168 22 3 7 O maior divisor comum terá todos os fatores primos comuns e com os menores expoentes logo mdc180168 12 OLHANDO DE PERTO Um outro modo de calcular o mdc é chamado processo das divisões sucessivas Decorre do seguinte resultado Teorema 1 Se a e b são números naturais tais que a b q r onde q e r são números naturais então mdc a b mdc b r EXERCÍCIO 1 Pesquise na bibliografia e escreva uma demonstração para o Teorema 1 acima EXEMPLO 3 Use o método acima para calcular mdc180 168 SOLUÇÃO Pelo Algoritmo da Divisão temos 180 1168 12 e 168 14 12 0 Pelo resultado mdc180 168 mdc16812 mdc120 Vemos que o mdc é o último resto não nulo EXEMPLO 4 No exemplo 1 calculamos mdc18042 usando conjuntos Determinemos agora usando o processo das divisões sucessivas SOLUÇÃO Pelo Algorítmo da Divisão temos 180 4 42 12 42 3 12 6 O próximo seria 12 2 6 0 Logo mdc18042 6 OLHANDO DE PERTO Um importante resultado sobre mdc é o seguinte Teorema 2 Sejam a e b números naturais Então existem inteiros m e n tais que mdc ab a m b n A demonstração deste resultado pode ser encontrada na Bibliografia Se mdcab1 dizemos que a e b são relativamente primos Consequência do Teorema 2 Se a e b são relativamente primos então existem inteiros m e n tais que a m b n 1 EXEMPLO 5 Se a bc e mdc ab 1 então a c SOLUÇÃO Do Teorema 2 existem inteiros m e n tais que a m b n 1 Multiplicando por c obtemos a c m b c n c Como a divide cada parcela da esquerda a também divide o lado direito isto é a c Observação Se b é um número natural e p é um número primo que não é divisor de b então mdc pb 1 EXERCITANDO Exercício 2 Se p é um primo tal que p ab e p não divide b mostre que p a Exercício 3 Queremos dividir dois rolos de fio de 36m e 48m de comprimento respectivamente em pedaços de mesmo tamanho de modo que cada pedaço tenha o maior tamanho possível Calcule quantos pedaços obtemos Observação Podemos estender o conceito de mdc do seguinte modo Dizemos que um número natural d é um mdc abc se satisfaz I d é um divisor comum de a b e c II Se e é um divisor comum de a b c então e divide d Observação De modo análogo para o caso geral o mdc também é único e satisfaz mdcab c mdc a mdcbc Exercício 4 Queremos dividir 3 rolos de fio de 630m 300m e 200m de comprimento em pedaços de mesmo tamanho de modo que seja o maior tamanho possível Calcule o comprimento de cada pedaço Exercício 5 Duas peças do mesmo tecido custam 360 reais e 585 reais respectivamente Sabendo que o preço de um metro é um número inteiro entre 5 e 14 Calcule quantos metros tem cada peça Exercício 6 Um floricultor possui 100 rosas brancas e 60 rosas vermelhas Pretende fazer o maior número de arranjos que contenha cada um o mesmo número de rosas de cada cor Calcule quantos serão os arranjos e quantas rosas de cada cor deve ter cada um Exercício 7 Para os números naturais a e b suponha que existam naturais m e n tais que a m b n 1 Mostre que mdc a b 1 Exercício 8 Se mdc ab d mostre que mdc 1 Introdução à Teoria dos Números Aula 04 Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum Tópico 02 O Mínimo Múltiplo Comum EXEMPLO 1 Sabemos que 48 é múltiplo de 4 e também múltiplo de 6 O Conjunto dos múltiplos de 4 e o conjunto dos múltiplos de 6 são M4 0 4 8 12 16 20 24 28 e M6 0 6 12 18 24 30 O conjunto dos múltiplos comuns de 4 e 6 é M4 M6 0 12 24 36 48 Portanto o menor múltiplo comum não nulo é 12 Observação Denotamos então mmc46 12 De modo geral definimos Diremos que um número natural m é um mmc de a e b se satisfaz I m é um múltiplo comum de a e b II Se c é um múltiplo comum de a e b então mc OBSERVAÇÃO O ítem ii da definição nos diz que m le c Isto significa que de fato m é o menor múltiplo comum Um resultado importante é Teorema 3 Se d mdcab e mmmc ab então d m a b Demonstração Sabemos que a bd é um múltiplo comum de a e b Se c é um múltiplo comum de a e b falta mostrar que a b d c Temos c m a n b assim m ad n bd Como mdc 1 então a d n assim a bd b n c Portanto a b d c EXERCITANDO Exercício 1 Se mdcab 1 mostre que mmcab ab EXEMPLO 2 Calcular mdc1218 e mmc1218 Sabemos que 1222 3 e 18 2 3 2 Como vimos no Tópico 1 mdc12186 Para encontrar o mmc precisamos tomar os fatores comuns e os não comuns com maior expoente Assim mmc1218 2²3²36 Observe que 6 36 12 18 Podemos estender o conceito de mmc Diremos que m mmcabc se satisfaz I m é um múltiplo comum de a b e c pp Se n é um múltiplo comum de a b e c então m n Observação Vale a propriedade Se a b e c são números naturais então mmcabc mmc a mmc bc EXEMPLO 3 Quais os dois menores números que devemos multiplicar por 63 e 42 respectivamente para obtermos produtos iguais SOLUÇÃO O produto desses números procurados por 63 e 42 respectivamente é um múltiplo comum de 63 e 42 Como queremos os menores números nessas condições esse produto será o mmc6342 126 pois 6332 7 e 42 2 3 7 Portanto os números procurados são 126 63 2 e 126 42 3 EXERCITANDO Exercício 2 Duas pessoas fazem uma volta completa numa pista de atletismo em 7min e 5min respectivamente Se as duas partem juntas da linha de chegada quantas voltas depois elas estarão juntas novamente na linha de chegada Exercício 3 Determine o menor número natural que dividido por cada um dos números 10 12 e 15 deixa resto 7 Exercício 4 Um colecionador possui mais de 150 moedas e menos que 200 moedas Contandose de 12 em 12 de 15 em 15 ou de 36 em 36 sempre sobram 10 moedas Calcule o número de moedas Exercício 5 De um aeroporto partem simultaneamente às 8h três aviões O primeiro faz uma viagem de 2 em 2h o segundo de 3 em 3h e o terceiro de 4 em 4h Calcule a que horas os três aviões partirão juntos novamente Exercício 6 No alto de um edifício existem duas lâmpadas A e B A lâmpada A pisca 15 vezes por minuto e a lâmpada B pisca 10 vezes por minuto Calcule de quanto em quanto tempo elas piscarão juntas Exercício 7 O mmc de dois números é 11352 e o mdc é 6 Se um desses números é 264 calcule o outro FÓRUM Discuta 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