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Administração ·
Pesquisa Operacional 2
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FAECO fls 1 Teoria dos Jogos Exercícios Resolvidos Exercício n 1 Determinar na matriz de recompensas a seguir em que as recompensas são expressas para o jogador X Y1 Y2 Y3 Y4 X1 22 18 10 22 X2 22 24 14 16 X3 20 16 12 16 Estratégias do jogador Y Estratégias do jogador X a Existe um ponto de sela b Qual é o valor do jogo Solução a Determinação do ponto de sela A seguir reproduzimos a matriz de recompensas acrescentando uma coluna final contendo as recompensas mínimas de cada linha uma linha final contendo os valores máximos de cada coluna Y1 Y2 Y3 Y4 X1 22 18 10 22 10 X2 22 24 14 16 14 X3 20 16 12 16 12 22 24 14 22 Estratégias do jogador Y Estratégias do jogador X Máximo das colunas Mínimo das linhas FAECO fls 2 Existe efetivamente um valor mínimo das linhas que é igual a um valor máximo das colunas ou seja 14 Em outros termos o jogador X irá se utilizar sempre da estratégia X2 enquanto o jogador Y se utilizará da estratégia Y3 O cruzamento dessas duas estratégias é o ponto de sela procurado b Valor do jogo O valor do jogo está no ponto de sela ou seja 14 Esse valor deriva da solução estável do jogo O leitor pode entender facilmente como a dinâmica do jogo leva ao ponto de sela O jogo é nitidamente enviesado contra o competidor Y O jogador Y tentará portanto perder o mínimo possível o que o leva a adotar sempre a estratégia Y3 Por sua vez o competidor X sabedor do movimento do competidor Y irá escolher a estratégia X2 que lhe dá a maior recompensa 14 em função da escolha do competidor Y Exercício n 2 Dada a matriz de recompensas a seguir pedese K1 K2 K3 L1 4 8 10 L2 0 6 12 L3 10 2 12 Estratégias do jogador L Estratégias do jogador K a Verificar se existe alguma estratégia dominada e em caso positivo retirála da matriz de recompensas b Determinar a melhor estratégia mista para o jogador L c Determinar a melhor estratégia mista para o jogador K d Determinar o valor do jogo FAECO fls 3 Observação as recompensas são expressas para o jogador L Solução a Existência de estratégias dominadas Sabemos que uma estratégia é dominada quando existe alguma outra que lhe é sempre preferível em termos de resultados No caso da nossa matriz de recompensas devese efetuar três comparações de estratégias para cada jogador K1 versus K2 K1 versus K3 K2 versus K3 para o jogador K L1 versus L2 L1 versus L3 L2 versus L3 para o jogador L O leitor pode facilmente perceber que para o jogador K não existem estratégias dominadas da forma como a matriz se encontra Já para o jogador L a estratégia L3 é dominada pela estratégia L1 que tem resultados superiores para L qualquer que seja a estratégia adotada pelo jogador K 4 é melhor menos ruim que 10 8 é melhor que 2 10 é melhor que 12 Retirando a estratégia dominada da matriz de recompensas temos a nova matriz K1 K2 K3 L1 4 8 10 L2 0 6 12 Estratégias do jogador L Estratégias do jogador K Vêse agora que a estratégia K3 passa a ser dominada tanto pela estratégia K1 como pela estratégia K2 Logo K3 pode ser retirada da matriz K1 K2 L1 4 8 L2 0 6 Estratégias do jogador K Estratégias do jogador L FAECO fls 4 b Melhor estratégia mista para o jogador L Vamos buscar a solução pelo método do ganho e perda esperados O jogador L irá utilizarse de duas estratégias L1 e L2 à sua disposição Vamos supor que ele use a estratégia L1 por uma fração p de tempo conseqüentemente a estratégia L2 será utilizada por uma fração 1 p Conforme o jogador K adote cada uma das estratégias K1 e K2 à sua disposição o ganho médio do jogador L será Quando K adotar K1 4p 01 p 4p Quando K adotar K2 8p 61 p 14p 6 Independentemente da estratégia adotada pelo jogador K o ganho médio do jogador L será sempre o mesmo A igualdade a seguir então pode ser estabelecida 4p 14p 6 que nos fornece p 13 e conseqüentemente 1 p 23 c Melhor estratégia mista para o jogador K Chamemos de q a fração de tempo em que o jogador K adota a estratégia K1 e de 1 q a fração de tempo em que adota K2 Temos o seguinte resultado médio Se L adotar L1 4q 81 q 12q 8 Se L adotar L2 0q 611 q 6 6q Como o resultado médio deve ser o mesmo 12q 8 6 6q de onde se conclui que q 79 e 1 q 29 FAECO fls 5 d Valor do jogo Levando em conta a estratégia mista do jogador L o valor do jogo será 4p 413 43 ou 14p 6 1413 6 143 183 43 Ao levarmos em conta a estratégia mista do jogador K o valor do jogo deverá ser o mesmo 12q 8 1279 8 849 729 129 43 ou 6 6q 6 679 549 429 129 43 Logo o valor do jogo é 43 expresso em função do jogador L seja o jogador L perde 43 e o jogador K ganha 43
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FAECO fls 1 Teoria dos Jogos Exercícios Resolvidos Exercício n 1 Determinar na matriz de recompensas a seguir em que as recompensas são expressas para o jogador X Y1 Y2 Y3 Y4 X1 22 18 10 22 X2 22 24 14 16 X3 20 16 12 16 Estratégias do jogador Y Estratégias do jogador X a Existe um ponto de sela b Qual é o valor do jogo Solução a Determinação do ponto de sela A seguir reproduzimos a matriz de recompensas acrescentando uma coluna final contendo as recompensas mínimas de cada linha uma linha final contendo os valores máximos de cada coluna Y1 Y2 Y3 Y4 X1 22 18 10 22 10 X2 22 24 14 16 14 X3 20 16 12 16 12 22 24 14 22 Estratégias do jogador Y Estratégias do jogador X Máximo das colunas Mínimo das linhas FAECO fls 2 Existe efetivamente um valor mínimo das linhas que é igual a um valor máximo das colunas ou seja 14 Em outros termos o jogador X irá se utilizar sempre da estratégia X2 enquanto o jogador Y se utilizará da estratégia Y3 O cruzamento dessas duas estratégias é o ponto de sela procurado b Valor do jogo O valor do jogo está no ponto de sela ou seja 14 Esse valor deriva da solução estável do jogo O leitor pode entender facilmente como a dinâmica do jogo leva ao ponto de sela O jogo é nitidamente enviesado contra o competidor Y O jogador Y tentará portanto perder o mínimo possível o que o leva a adotar sempre a estratégia Y3 Por sua vez o competidor X sabedor do movimento do competidor Y irá escolher a estratégia X2 que lhe dá a maior recompensa 14 em função da escolha do competidor Y Exercício n 2 Dada a matriz de recompensas a seguir pedese K1 K2 K3 L1 4 8 10 L2 0 6 12 L3 10 2 12 Estratégias do jogador L Estratégias do jogador K a Verificar se existe alguma estratégia dominada e em caso positivo retirála da matriz de recompensas b Determinar a melhor estratégia mista para o jogador L c Determinar a melhor estratégia mista para o jogador K d Determinar o valor do jogo FAECO fls 3 Observação as recompensas são expressas para o jogador L Solução a Existência de estratégias dominadas Sabemos que uma estratégia é dominada quando existe alguma outra que lhe é sempre preferível em termos de resultados No caso da nossa matriz de recompensas devese efetuar três comparações de estratégias para cada jogador K1 versus K2 K1 versus K3 K2 versus K3 para o jogador K L1 versus L2 L1 versus L3 L2 versus L3 para o jogador L O leitor pode facilmente perceber que para o jogador K não existem estratégias dominadas da forma como a matriz se encontra Já para o jogador L a estratégia L3 é dominada pela estratégia L1 que tem resultados superiores para L qualquer que seja a estratégia adotada pelo jogador K 4 é melhor menos ruim que 10 8 é melhor que 2 10 é melhor que 12 Retirando a estratégia dominada da matriz de recompensas temos a nova matriz K1 K2 K3 L1 4 8 10 L2 0 6 12 Estratégias do jogador L Estratégias do jogador K Vêse agora que a estratégia K3 passa a ser dominada tanto pela estratégia K1 como pela estratégia K2 Logo K3 pode ser retirada da matriz K1 K2 L1 4 8 L2 0 6 Estratégias do jogador K Estratégias do jogador L FAECO fls 4 b Melhor estratégia mista para o jogador L Vamos buscar a solução pelo método do ganho e perda esperados O jogador L irá utilizarse de duas estratégias L1 e L2 à sua disposição Vamos supor que ele use a estratégia L1 por uma fração p de tempo conseqüentemente a estratégia L2 será utilizada por uma fração 1 p Conforme o jogador K adote cada uma das estratégias K1 e K2 à sua disposição o ganho médio do jogador L será Quando K adotar K1 4p 01 p 4p Quando K adotar K2 8p 61 p 14p 6 Independentemente da estratégia adotada pelo jogador K o ganho médio do jogador L será sempre o mesmo A igualdade a seguir então pode ser estabelecida 4p 14p 6 que nos fornece p 13 e conseqüentemente 1 p 23 c Melhor estratégia mista para o jogador K Chamemos de q a fração de tempo em que o jogador K adota a estratégia K1 e de 1 q a fração de tempo em que adota K2 Temos o seguinte resultado médio Se L adotar L1 4q 81 q 12q 8 Se L adotar L2 0q 611 q 6 6q Como o resultado médio deve ser o mesmo 12q 8 6 6q de onde se conclui que q 79 e 1 q 29 FAECO fls 5 d Valor do jogo Levando em conta a estratégia mista do jogador L o valor do jogo será 4p 413 43 ou 14p 6 1413 6 143 183 43 Ao levarmos em conta a estratégia mista do jogador K o valor do jogo deverá ser o mesmo 12q 8 1279 8 849 729 129 43 ou 6 6q 6 679 549 429 129 43 Logo o valor do jogo é 43 expresso em função do jogador L seja o jogador L perde 43 e o jogador K ganha 43