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Engenharia Mecânica ·
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Capítulo V Tensão Deformação Cargas Axiais Lei de Hooke A Resistência dos Materiais tem como enfoque principal o estudo das tensões e o estudo das deformações em estruturas reticuladas Numa primeira etapa se procede à resolução da estrutura isto é à determinação das reações de apoio e dos esforços solicitantes Em seguida vem o dimensionamento com a limitação das tensões condições últimas ou de segurança e o controle das deformações condições de utilização ou de serviço O estudo das deformações é importante sob dois aspectos limitar os deslocamentos de determinados pontos da estrutura e mais importante ainda viabilizar a resolução dos sistemas hiperestáticos Sob este último prisma a Resistência dos Materiais pode ser vista como uma continuação da Estática já que esta última só resolve sistemas isostáticos Como exemplo na área de Engenharia Civil considerese uma passarela para pedestres de grandes vãos por exemplo destinada a transpor um rio Tal estrutura precisa ter resistência suficiente para suportar o peso próprio e o peso das pessoas além das forças horizontais devidas ao vento e às variações térmicas diária e sazonal Além disso ela deve ter a esbeltez controlada de modo a evitar excesso de flexibilidade que pode conduzir a vibrações indesejáveis devidas ao vento e à cadência do andar das pessoas TENSÕES E DEFORMAÇÕES Seja a barra prismática mostrada em corte na Figura abaixo Supõese a barra com seção constante e carregada por força axiais que produz um alongamento uniforme ou tração na barra Fazendose um corte na secção intermediária da barra observase que cada elemento de área dA deve contribuir com uma solicitação de modo que no equilíbrio podese escrever dA dA A A ou N N sendo denominado tensão normal e com a hipótese da tensão ser distribuída uniformemente na seção transversal Se N tiver sentido oposto ao da figura acima a solicitação será de compressão na barra Outra forma de se considerar o mesmo efeito é dizer que se a força N deixa a barra no sentido longitudinal do eixo em que a barra se desenvolve é uma foça de tração Se ela se aproxima da barra é de compressão O alongamento total da barra será designado de Dl Assim o alongamento por unidade de comprimento ou alongamento específico denominado deformação normal será Esta equação é válida para alongamento uniforme ao longo da barra DIAGRAMAS TENSÃODEFORMAÇÃO Os diagramas tensãodeformação x são obtidos através de ensaio de tração ou compressão onde é aplicada uma força crescente num corpo de prova e medido o seu alongamento para diversas etapas do carregamento As tensões são determinadas pela relação A N e as deformações por Apresentase a seguir diversos tipos de diagramas x de vários materiais de construção Materiais como aço e o alumínio item a na figura a abaixo que apresentam grandes deformações antes da ruptura outros porém como o vidro o ferro fundido item b na figura a abaixo ou o concreto item c na figura a abaixo rompem sem que o material apresente grandes deformações Os materiais que seguem os diagramas da linha a e da linha b da figura acima são denominados materiais dúcteis e os que seguem a linha c são chamados frágeis Nessas condições podese afirmar que nos materiais dúcteis a ruptura se faz anunciar por intermédio de grandes deformações e nos frágeis não há grandes deformações Podemos dizer que tanto o material frágil como o dúctil tem um comportamento inicial semelhante conforme indicado pela região indicada em azul A maioria dos diagramas x é linear até um determinado ponto A Neste trecho as tensões são diretamente proporcionais às deformações Além deste ponto as tensões já não são proporcionais às deformações e o ponto A é chamado de limite de proporcionalidade e a tensão em A é a tensão de proporcionalidade A partir deste limite as deformações crescem mais rapidamente que as tensões até atingir o ponto B pouco distante de A onde se verifica sem aumento de tensão um notável acréscimo de deformação até atingir o ponto C Este fenômeno é conhecido como escoamento do material e a tensão no ponto B é denominada tensão de escoamento e Na região BC dizse que o material tornouse plástico e a barra pode realmente deformarse plasticamente da ordem de 10 a 15 vezes o alongamento ocorrido até o limite de proporcionalidade No ponto C o material começa a oferecer resistência ao aumento de carga voltando as deformações a crescer com as tensões segundo uma curva diferente de uma linha reta Ao atingir o ponto D temse tensão máxima que é o limite de resistência Além deste ponto as deformações crescem e não são acompanhadas pelas tensões que decrescem atingindo se assim o ponto R onde ocorrem a ruptura do material No caso de materiais dúcteis sem escoamento definido como não há um patamar definido de escoamento definese a tensão de escoamento tomandose uma deformação de e 2 e por esse ponto traçase uma reta paralela ao trecho linear da curva de carregamento A tensão encontrada na interseção é a tensão convencional de escoamento e LEI DE HOOKE A relação linear entre tensão e deformação pode ser expressa por E onde E é uma constante de proporcionalidade conhecida como módulo de elasticidade É o coeficiente angular da parte linear do diagrama x e possui um valor distinto para cada material Alguns valores de E Aço 2100000 Kgfcm2 210000 MPa Madeira 100000 Kgfcm2 10000 MPa Concreto 200000 Kgfcm2 20000 MPa Então a partir da lei de Hooke e da fórmula da elongação podemos escrever SE N COEFICIENTE DE POISSON O alongamento sempre é acompanhado de um decréscimo de dimensão transversal d da barra A relação entre a deformação transversal e a deformação longitudinal dentro da região elástica é conhecida por coeficiente de Poisson Assim d d l t Para os materiais que tem as mesmas propriedades elásticas em todas as direções denominados isotrópicos Poisson achou 025 Normalmente encontrase a seguinte faixa de valores 005 TENSÃO ADMISSÍVEL O dimensionamento é a determinação das dimensões das peças Para tanto é preciso fixar para cada material a tensão máxima que pode ser atingida mantendo condições de segurança quando da aplicação de esforços Esta tensão recebe o nome de tensão admissível adm A relação entre a tensão máxima que o material poderia suportar e a tensão admissível é definida como coeficiente de segurança s adm máx s FATORES DE SEGURANÇA TÍPICOS Cabos e cordoalhas estáticas 3 a 4 Cabo para tração no sentido horizontal 4 a 5 Guinchos guindastes escavadeiras 5 Pontes rolantes 6 a 8 Talhas elétricas e outras 7 Guindastes estacionários 6 a 8 Laços 5 a 6 Elevadores de obra 8 a 10 Elevadores de passageiros 12 Vejamos exemplos 1 Para a estrutura da figura calcular a o coeficiente de segurança b o deslocamento vertical e horizontal do nó A c variação do diâmetro da barra AB Determinação dos esforços nas berras As forças agem no sentido da barra o sentido pode ser chutado O coeficiente de segurança deve ser o menor portanto Variação de Comprimento das barras A posição do nó A depois da deformação da estrutura é determinada considerandose que a barra AB com o comprimento AB AB L L gira em torno da articulação B e que a berra AC de comprimento AC AC L L gira em torno da articulação C Sendo a deformação muito pequena quando comparada ao comprimento da barra consideraremos o arco como uma perpendicular confundir o arco com a corda Determinação do Deslocamento Vertical e Horizontal Variação do Diâmetro da Barra AB Como se sabe a deformação transversal se verifica em todas as direções perpendiculares à direção da força e é proporcional à deformação por unidade de comprimento 2 Na figura abaixo a barra BCD é rígida por hipótese indeformável ou considerase EBCD Achar a área A da secção transversal do tirante 1 de modo que o deslocamento vertical do ponto B não ultrapasse um valor dado 4 cm São dados para o material dúctil que compõe o tirante 10 MPa E MPa 10 3 adm C T MC Ncos 3 36 4 N 60 kN Para dimensionar inicialmente impõese a condição de segurança 2 adm 6cm 000 10 60000 N A A seguir verificase a condição de deformabilidade usando para a área o valor acima calculado O alongamento do tirante é dado pela lei de Hooke 2 3 v 6 125cm S 6 0 10 4 sen 1000 10 S 000 5 60 SE N Por razões de segurança consideraremos S125cm2 Exercícios 1 A figura dada apresenta duas barras de aço soldadas na secção BB A carga de tração que atua na peça é 45 kN A secção da peça 1 possui diâmetro d1 15 mm e comprimento l1 06 m A secção da peça 2 possui diâmetro d2 25 mm e l2 09m Desprezando o efeito do peso próprio do material pede se que determine para as secções 1 e 2 a A tensão normal 1 e 2 b O alongamento Δl1 e Δl2 c A deformação longitudinal 2 1 e d A deformação transversal Δd1 e Δd2 e O alongamento total da peça Dados 03 21GPa E aço aço Δl Respostas a 1255MPa 292MPa b m 0039 10 m 073 10 0 3 2 3 1 c 3 2 3 1 065 10 121 10 0 d 3 t 3 t 00195 10 037 10 0 2 1 e 112mm 0 Total 2 Verificar se a estrutura abaixo suporta uma carga de 30kN Dado adm180MPa Respostas FAB40kN compressão FBC50kN tração BC159MPa sim suporta a solicitação
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Capítulo V Tensão Deformação Cargas Axiais Lei de Hooke A Resistência dos Materiais tem como enfoque principal o estudo das tensões e o estudo das deformações em estruturas reticuladas Numa primeira etapa se procede à resolução da estrutura isto é à determinação das reações de apoio e dos esforços solicitantes Em seguida vem o dimensionamento com a limitação das tensões condições últimas ou de segurança e o controle das deformações condições de utilização ou de serviço O estudo das deformações é importante sob dois aspectos limitar os deslocamentos de determinados pontos da estrutura e mais importante ainda viabilizar a resolução dos sistemas hiperestáticos Sob este último prisma a Resistência dos Materiais pode ser vista como uma continuação da Estática já que esta última só resolve sistemas isostáticos Como exemplo na área de Engenharia Civil considerese uma passarela para pedestres de grandes vãos por exemplo destinada a transpor um rio Tal estrutura precisa ter resistência suficiente para suportar o peso próprio e o peso das pessoas além das forças horizontais devidas ao vento e às variações térmicas diária e sazonal Além disso ela deve ter a esbeltez controlada de modo a evitar excesso de flexibilidade que pode conduzir a vibrações indesejáveis devidas ao vento e à cadência do andar das pessoas TENSÕES E DEFORMAÇÕES Seja a barra prismática mostrada em corte na Figura abaixo Supõese a barra com seção constante e carregada por força axiais que produz um alongamento uniforme ou tração na barra Fazendose um corte na secção intermediária da barra observase que cada elemento de área dA deve contribuir com uma solicitação de modo que no equilíbrio podese escrever dA dA A A ou N N sendo denominado tensão normal e com a hipótese da tensão ser distribuída uniformemente na seção transversal Se N tiver sentido oposto ao da figura acima a solicitação será de compressão na barra Outra forma de se considerar o mesmo efeito é dizer que se a força N deixa a barra no sentido longitudinal do eixo em que a barra se desenvolve é uma foça de tração Se ela se aproxima da barra é de compressão O alongamento total da barra será designado de Dl Assim o alongamento por unidade de comprimento ou alongamento específico denominado deformação normal será Esta equação é válida para alongamento uniforme ao longo da barra DIAGRAMAS TENSÃODEFORMAÇÃO Os diagramas tensãodeformação x são obtidos através de ensaio de tração ou compressão onde é aplicada uma força crescente num corpo de prova e medido o seu alongamento para diversas etapas do carregamento As tensões são determinadas pela relação A N e as deformações por Apresentase a seguir diversos tipos de diagramas x de vários materiais de construção Materiais como aço e o alumínio item a na figura a abaixo que apresentam grandes deformações antes da ruptura outros porém como o vidro o ferro fundido item b na figura a abaixo ou o concreto item c na figura a abaixo rompem sem que o material apresente grandes deformações Os materiais que seguem os diagramas da linha a e da linha b da figura acima são denominados materiais dúcteis e os que seguem a linha c são chamados frágeis Nessas condições podese afirmar que nos materiais dúcteis a ruptura se faz anunciar por intermédio de grandes deformações e nos frágeis não há grandes deformações Podemos dizer que tanto o material frágil como o dúctil tem um comportamento inicial semelhante conforme indicado pela região indicada em azul A maioria dos diagramas x é linear até um determinado ponto A Neste trecho as tensões são diretamente proporcionais às deformações Além deste ponto as tensões já não são proporcionais às deformações e o ponto A é chamado de limite de proporcionalidade e a tensão em A é a tensão de proporcionalidade A partir deste limite as deformações crescem mais rapidamente que as tensões até atingir o ponto B pouco distante de A onde se verifica sem aumento de tensão um notável acréscimo de deformação até atingir o ponto C Este fenômeno é conhecido como escoamento do material e a tensão no ponto B é denominada tensão de escoamento e Na região BC dizse que o material tornouse plástico e a barra pode realmente deformarse plasticamente da ordem de 10 a 15 vezes o alongamento ocorrido até o limite de proporcionalidade No ponto C o material começa a oferecer resistência ao aumento de carga voltando as deformações a crescer com as tensões segundo uma curva diferente de uma linha reta Ao atingir o ponto D temse tensão máxima que é o limite de resistência Além deste ponto as deformações crescem e não são acompanhadas pelas tensões que decrescem atingindo se assim o ponto R onde ocorrem a ruptura do material No caso de materiais dúcteis sem escoamento definido como não há um patamar definido de escoamento definese a tensão de escoamento tomandose uma deformação de e 2 e por esse ponto traçase uma reta paralela ao trecho linear da curva de carregamento A tensão encontrada na interseção é a tensão convencional de escoamento e LEI DE HOOKE A relação linear entre tensão e deformação pode ser expressa por E onde E é uma constante de proporcionalidade conhecida como módulo de elasticidade É o coeficiente angular da parte linear do diagrama x e possui um valor distinto para cada material Alguns valores de E Aço 2100000 Kgfcm2 210000 MPa Madeira 100000 Kgfcm2 10000 MPa Concreto 200000 Kgfcm2 20000 MPa Então a partir da lei de Hooke e da fórmula da elongação podemos escrever SE N COEFICIENTE DE POISSON O alongamento sempre é acompanhado de um decréscimo de dimensão transversal d da barra A relação entre a deformação transversal e a deformação longitudinal dentro da região elástica é conhecida por coeficiente de Poisson Assim d d l t Para os materiais que tem as mesmas propriedades elásticas em todas as direções denominados isotrópicos Poisson achou 025 Normalmente encontrase a seguinte faixa de valores 005 TENSÃO ADMISSÍVEL O dimensionamento é a determinação das dimensões das peças Para tanto é preciso fixar para cada material a tensão máxima que pode ser atingida mantendo condições de segurança quando da aplicação de esforços Esta tensão recebe o nome de tensão admissível adm A relação entre a tensão máxima que o material poderia suportar e a tensão admissível é definida como coeficiente de segurança s adm máx s FATORES DE SEGURANÇA TÍPICOS Cabos e cordoalhas estáticas 3 a 4 Cabo para tração no sentido horizontal 4 a 5 Guinchos guindastes escavadeiras 5 Pontes rolantes 6 a 8 Talhas elétricas e outras 7 Guindastes estacionários 6 a 8 Laços 5 a 6 Elevadores de obra 8 a 10 Elevadores de passageiros 12 Vejamos exemplos 1 Para a estrutura da figura calcular a o coeficiente de segurança b o deslocamento vertical e horizontal do nó A c variação do diâmetro da barra AB Determinação dos esforços nas berras As forças agem no sentido da barra o sentido pode ser chutado O coeficiente de segurança deve ser o menor portanto Variação de Comprimento das barras A posição do nó A depois da deformação da estrutura é determinada considerandose que a barra AB com o comprimento AB AB L L gira em torno da articulação B e que a berra AC de comprimento AC AC L L gira em torno da articulação C Sendo a deformação muito pequena quando comparada ao comprimento da barra consideraremos o arco como uma perpendicular confundir o arco com a corda Determinação do Deslocamento Vertical e Horizontal Variação do Diâmetro da Barra AB Como se sabe a deformação transversal se verifica em todas as direções perpendiculares à direção da força e é proporcional à deformação por unidade de comprimento 2 Na figura abaixo a barra BCD é rígida por hipótese indeformável ou considerase EBCD Achar a área A da secção transversal do tirante 1 de modo que o deslocamento vertical do ponto B não ultrapasse um valor dado 4 cm São dados para o material dúctil que compõe o tirante 10 MPa E MPa 10 3 adm C T MC Ncos 3 36 4 N 60 kN Para dimensionar inicialmente impõese a condição de segurança 2 adm 6cm 000 10 60000 N A A seguir verificase a condição de deformabilidade usando para a área o valor acima calculado O alongamento do tirante é dado pela lei de Hooke 2 3 v 6 125cm S 6 0 10 4 sen 1000 10 S 000 5 60 SE N Por razões de segurança consideraremos S125cm2 Exercícios 1 A figura dada apresenta duas barras de aço soldadas na secção BB A carga de tração que atua na peça é 45 kN A secção da peça 1 possui diâmetro d1 15 mm e comprimento l1 06 m A secção da peça 2 possui diâmetro d2 25 mm e l2 09m Desprezando o efeito do peso próprio do material pede se que determine para as secções 1 e 2 a A tensão normal 1 e 2 b O alongamento Δl1 e Δl2 c A deformação longitudinal 2 1 e d A deformação transversal Δd1 e Δd2 e O alongamento total da peça Dados 03 21GPa E aço aço Δl Respostas a 1255MPa 292MPa b m 0039 10 m 073 10 0 3 2 3 1 c 3 2 3 1 065 10 121 10 0 d 3 t 3 t 00195 10 037 10 0 2 1 e 112mm 0 Total 2 Verificar se a estrutura abaixo suporta uma carga de 30kN Dado adm180MPa Respostas FAB40kN compressão FBC50kN tração BC159MPa sim suporta a solicitação