Flexão Pura: Análise e Aplicações

228 Flexão pura C A P Í T U L O 4 Flexão pura Flexão pura O atleta da fi gura segura a barra de levantamento de pesos com as mãos posicionadas a distâncias iguais dos pesos Isso resulta em fl exão pura na parte central da barra As tensões normais e a curvatura resultante da fl exão pura serão determinadas neste capítulo 4 41 Introduao 41 Introdugso 229 Nos capitulos anteriores estudamos como determinar as tensdes nos elementos prismaticos ou barras submetidas a forgas axiais ou a momentos torcores Neste capitulo e nos dois seguintes analisaremos as tensdes e defor magoes em elementos prismaticos submetidos a flexdo Flex4o é um conceito importante usado no projeto de muitos componentes de maquinas e compo nentes estruturais como vigas e traves Este capitulo sera dedicado a andlise dos elementos prismaticos subme tidos a momentos fletores M e M iguais e opostos atuando no mesmo plano longitudinal Dizemos que esses elementos estao em flexdo pura Na maior parte do capitulo consideraremos que os elementos possuam um plano de simetria e que os momentos fletores M e M estio atuando naquele plano Fig 41 Um exemplo de flexao pura é dado pela barra de levantamento de M M A a B Fig 41 pesos tipica quando o atleta a segura acima da cabeca como mostra a pagina 360 N 360 N anterior A barra suporta pesos iguais a distancias iguais das maos do levanta 030 m 066 m 030 m dor de pesos Em razao da simetria do diagrama de corpo livre da barra Fig C D 42a as reagdes nas maos devem ser iguais e opostas aos pesos Portanto A B com relacao 4 parte média CD da barra os pesos e as reagdes podem ser subs tituidos por dois momentos fletores iguais e opostos de 108 N m Fig 425 mostrando que a parte central da barra esta em flexao pura Uma andlise simi Re 360N Rp 360 N lar do eixo de um pequeno veiculo esportivo Fig 43 mostraria que entre os a dois pontos em que ele esta preso ao veiculo 0 eixo esta em flexao pura Por mais interessantes que as aplicagées diretas da flexdo pura possam C D ser a dedicagao de um capitulo inteiro ao seu estudo nao seria justificada se nao fosse pelo fato de que os resultados obtidos seraéo usados na andlise de M108Nm M108Nm outros tipos de carregamento como carregamentos axiais excéntricos e car b regamentos transversais Fig 42 i 3 Fig 43 No veiculo esportivo mostrado 0 segmento central do eixo traseiro esta submetido a flexao pura 9230 Flexdo pura A Figura 44 mostra um grampo de aco de 305 mm usado para aplicar uma forga de 680 N a duas pecas de madeira que estao sendo coladas A Fig 45a mostra as forgas iguais e opostas exercidas pela madeira no grampo Essas forgas resultam em um carregamento excéntrico na parte reta do gram po Na Fig 455 foi feito um corte no grampo na seco CC e desenhado o diagrama de corpo livre da metade superior do grampo do qual concluimos si ef ing 0125 a 0125 P 680 N P 680 N c fi ic Pp 680 N WD M85Nm i Vp oson t rt a b Fig 45 Fig 44 que os esforos internos na sec4o sao equivalentes a uma forga de tra4o axial P de 680 N e um momento fletor M de 85 N m Podemos entaéo combinar as tensdes sob uma forga centrada e os resultados de nossa futura andlise de tensdes em flexao pura para obter a distribuigéo de tensdes sob uma fora excéntrica Isso sera discutido melhor na Seao 412 O estudo da flexao pura também tera um papel essencial no estudo das vigas isto é o estudo de elementos prismaticos submetidos a varios tipos de P L forcas transversais ao eixo longitudinal do elemento Considere por exem plo uma viga em balango AB suportando uma forga concentrada P em sua C extremidade livre Fig 46a Se cortarmos a viga em uma segdao C a uma distancia x de A observamos no diagrama de corpo livre de AC Fig 46b A B que os esforcos internos na seco consistem em uma fora P igual e oposta a P e de um momento M de intensidade M Px A distribuigdo de tensdes a normais na seao pode ser obtida do momento M como se a viga estivesse em flexao pura Nao obstante as tensdes de cisalhamento na secao dependem da P forga P e vocé aprendera no Capitulo 6 a determinar sua distribuicéo sobre x am uma determinada seao Cc A primeira parte do capitulo é dedicada a andlise das tensdes e deforma M 0es provocadas por flex4o pura em uma barra homogénea que possui um plano de simetria e é feita de um material que segue a lei de Hooke Em uma A discussao preliminar sobre as tensdes em virtude da flexao Seao 42 serao Pp usados os métodos da estatica para determinar trés equagdes fundamentais b que devem ser satisfeitas pelas tensOes normais em uma determinada secao Fig 46 transversal da barra Na Seco 43 provaremos que secdes transversais pla 42 Barra simétrica em fl exão pura 231 nas permanecem planas em uma barra submetida à fl exão pura enquanto na Seção 44 serão desenvolvidas fórmulas que podem ser usadas para determi nar as tensões normais bem como o raio de curvatura para uma barra dentro do regime elástico Na Seção 46 você estudará as tensões e deformações em barras de ma terial composto feitas de mais de um material como vigas reforçadas de concreto que utilizam as melhores características do aço e do concreto e são usadas extensivamente na construção de edifícios e pontes Você aprenderá a desenhar uma seção transformada representando a seção de uma barra feita de material homogêneo que sofre as mesmas deformações da barra do mate rial composto sob o mesmo carregamento A seção transformada será usada para determinar as tensões e deformações na barra de material composto original A Seção 47 é dedicada à determinação das concentrações de tensão localizadas em posições em que a seção transversal da barra sofre por uma mudança brusca Na próxima parte do capítulo você estudará deformações plásticas em fl exão isto é as deformações das barras feitas de material que não segue a lei de Hooke e estão submetidas à fl exão Após uma discussão geral sobre as deformações dessas barras Seção 48 você investigará as tensões e deforma ções em barras feitas de material elastoplástico Seção 49 Começando com o momento elástico máximo ME que corresponde ao início do escoamento dis cutiremos os efeitos de momentos cada vez maiores até atingir o momento plástico Mp quando então a seção transversal da barra estará totalmente de formada no regime plástico Você também aprenderá a determinar as deforma ções permanentes e as tensões residuais que resultam desses carregamentos Seção 411 Devese notar que durante os últimos 50 anos a propriedade elastoplástica do aço tem sido amplamente utilizada em projetos que resultam em melhor segurança e economia Na Seção 412 você aprenderá a analisar um carregamento axial excên trico em um plano de simetria como aquele mostrado na Fig 44 superpondo as tensões em virtude da fl exão pura e as tensões em virtude do carregamento axial centrado Seu estudo de fl exão de elementos prismáticos concluirá com a análise da fl exão assimétrica Seção 413 e o estudo do caso geral de carregamento axial excêntrico Seção 414 A parte fi nal do capítulo será dedicada à deter minação das tensões em elementos curvos Seção 415 42 Barra simétrica em fl exão pura Considere uma barra prismática AB possuindo um plano de simetria e submetida a conjugados iguais e opostos M e M9 atuando naquele plano Fig 47a Observamos que se uma seção da barra AB for cortada em algum ponto arbitrário C as condições de equilíbrio da parte AC da barra requerem que os esforços internos na seção sejam equivalentes ao conjugado M Fig 47b Assim os esforços internos em qualquer seção transversal de uma barra de seção simétrica em fl exão pura são equivalentes ao conjugado O momento M daquele conjugado é chamado de momento fl etor na seção Seguindo a convenção usual será atribuído um sinal positivo a M quando a barra é fl exio nada conforme mostra a Fig 47a isto é quando a concavidade da viga está virada para cima e um sinal negativo em caso contrário Fig 47 A B C M M A C M M a b 232 Flexao pura Chamando de a a tensao normal em um ponto da segao transversal e 7 T aS componentes da tensdo de cisalhamento expressamos que 0 sistema das forgas internas elementares que atuam na seao é equivalente ao momento fletor M Fig 48 y y Ty A M ie z odA z z y Fig 48 Recordamos da estatica que um momento fletor M consiste na realidade de duas forgas iguais e opostas A soma das componentes dessas forgas em qualquer diregdo portanto é igual a zero Além disso 0 momento fletor é 0 mesmo em relago a qualquer eixo perpendicular a seu plano e é zero em re lagao a qualquer eixo contido naquele plano Selecionando arbitrariamente o eixo z como mostra a Fig 48 expressamos a equivaléncia das forcas internas elementares e do momento M escrevendo que as somas das componentes e dos momentos das forgas elementares sAo iguais 4s correspondentes compo nentes e aos correspondentes momentos fletores M componentes x Jo dA0 41 momentos em torno do eixo y fzo dA0 42 momentos em torno do eixo z Jyo dA M 43 Trés equag6es adicionais poderiam ser obtidas igualando a zero as somas das componentes y componentes z e momentos em torno do eixo x mas essas equagdes envolveriam somente as componentes da tensdo de cisalhamento e como vocé vera na proxima seao as componentes da tensao de cisalhamento sao ambas iguais a zero Devem ser feitas duas observagées neste ponto 1 O sinal de menos na Equacao 43 se deve em razao do fato de que uma tensao de tracao a 0 leva a um momento negativo sentido horario da forga normal o dA em relagdo ao e1xo z 2 A Equacao 42 poderia ter sido prevista pois a aplica ao dos momentos fletores no plano de simetria da barra AB resultara em uma distribuigao de tensdes normais que é simétrica em relacdo ao eixo y Uma vez mais notamos que a distribuicao real de tensdes em uma secao transversal nao pode ser determinada somente pela estatica Ela é estatica mente indeterminada e pode ser obtida somente analisandose as deforma 6es produzidas na barra 43 Deformações em uma barra de seção simétrica em fl exão pura Vamos agora analisar as deformações de um elemento prismático que pos sui um plano de simetria e está submetido em suas extremidades a momentos fl etores M e M9 iguais e opostos atuando no plano de simetria O elemento sofre rá fl exão sob a ação dos momentos fl etores mas permanecerá simétrico em relação ao outro plano Fig 49 Além disso como o momento fl etor M é o mesmo em qualquer seção transversal a barra sofrerá fl exão uniforme 233 Assim a linha AB ao longo da qual a face superior da barra intercepta o plano dos momentos fl etores terá uma curvatura constante Em outras palavras a linha AB que originalmente era uma linha reta será transformada em um arco de circunferência de centro C como também a linha A9B9 não mostrada na fi gura ao longo da qual a face inferior da barra intercepta o plano de simetria Notamos também que a linha AB diminuirá em seu comprimento quando a barra for fl exionada conforme mostra a fi gura isto é quando M 7 0 enquanto A9B9 se tornará mais longa Em seguida vamos provar que qualquer seção transversal perpendicular ao eixo da barra permanece plana e que o plano da seção passa por C Se esse não fosse o caso poderíamos encontrar um ponto E da seção original que é a mesma seção à qual D pertence Fig 410a e que depois de a barra ter sido fl exionada ele não estaria mais no plano de simetria que contém a linha CD Fig 410b Mas em virtude da simetria da barra haveria um outro ponto E9 que seria transformado exatamente da mesma maneira Vamos supor que depois de a viga ter sido fl exionada ambos os pontos estariam localizados à esquerda do plano defi nido por CD como mostra a Fig 410b Como o mo mento fl etor M é o mesmo por todo o elemento uma situação similar seria váli da em qualquer outra seção transversal e os pontos correspondentes a E e E9 também se moveriam para a esquerda Assim um observador em A con cluiria que o carregamento faz os pontos E e E9 em várias seções transversais se moverem para a frente em direção ao observador Mas um observador em B para o qual o carregamento parece o mesmo e que observa os pontos E e E9 nas mesmas posições exceto que agora eles estão invertidos chegaria a uma conclusão oposta Essa inconsistência nos leva a concluir que E e E9 estarão no mesmo plano defi nido por CD e portanto que a seção permanece plana e passa pelo ponto C Devemos notar no entanto que essa discussão não invalida a possibilidade de deformações dentro do plano da seção veja a Seção 45 C D A B M M B D D E A B A B M M E E E C EE a b Fig 49 Fig 410 43 Deformações em uma barra de seção simétrica em fl exão pura 234 Flexao pura Imagine que a viga seja dividida em um grande nimero de pequenos y elementos ctibicos com faces respectivamente paralelas aos trés planos C coordenados A propriedade que estabelecemos requer que esses elementos JN sejam transformados quando a viga estiver submetida aos momentos fletores Me M como mostra a Fig 411 Como todas as faces representadas nas duas projegoes da Fig 411 esto a 90 uma da outra concluimos que y Yy 0 e portanto que T 7 0 Com relagao as trés componentes de tensao que nado discutimos ainda ou seja 0 7 T notamos que elas devem ser zero na superficie da viga Em contrapartida como as deformagées envolvidas nao M mM jequerem nenhuma interagao entre os elementos de uma seco transversal Ln A podemos supor que essas trés componentes de tensdo sao iguais a zero em LEE toda a viga Essa suposigao é confirmada tanto pela evidéncia experimental EOP EERE EAS quanto pela teoria da elasticidade para vigas delgadas submetidas a pequenas A ee ee B x deformacgées Conclufmos que a tinica componente de tensdo diferente de zero que atua em qualquer um dos pequenos elementos ctibicos considerados a Segio vertical longitudinal oo i Assi i d plano de simetria aqui é a componente normal o Assim em qua quer ponto e uma viga delgada em flexdo pura temos um estado de tensdo uniaxial Lembrando que Mt para M 0 observase que as linhas AB e AB respectivamente diminuem 4 e aumentam em comprimento notamos que a deformacao especifica e a TA tens4o 0 sdo negativas na parte superior da viga compressdo e positivas na cee Ley POOP SCsiparrte inferior tragao PTT ae Tlie Lo PT TT fetes Tei Concluise dessa discussao que deve existir uma superficie paralela as faces superior e inferior da viga em que e a sao zero Essa superficie M é chamada de superficie neutra A superficie neutra intercepta o plano de Zz simetria ao longo de um arco de circunferéncia DE Fig 412a e intercepta b Secao horizontal longitudinal 8 Fig P determinada seAo transversal por meio de uma linha reta chamada de linha Fig 411 neutra da secao Fig 412 7X 07 p pry y Yy Linha Ay vB neutra KY q ee Bt D E a yo Sar ts a Segao vertical longitudinal b Segao transversal plano de simetria Fig 412 A origem das coordenadas sera adotada agora em um ponto na superficie neutra e nao na face inferior da viga como foi feito antes de modo que a distancia de qualquer ponto até a superficie neutra sera medida por sua coor denada y Veja também Prob 232 Chamando de p o raio do arco DE Fig 412a de 6 0 Angulo central 43 Deformagées em umabarrade 235 te secao simétrica em flexao pura correspondendo a DE e observando que 0 comprimento de DE é igual ao comprimento L da viga nao deformada escrevemos L pé 44 Considerando agora 0 arco JK localizado a uma distancia y acima da superfi cie neutra notamos que seu comprimento L é L p y0 45 Como 0 comprimento original do arco JK era igual a L a deformacao de JK é 6LL 46 ou se substituirmos de 44 e 45 em 46 5 p y0 p08 yé 47 A deformagao longitudinal especifica nos elementos que constituem 0 arco JK é obtida dividindose 6 pelo comprimento original L de JK Escrevemos 6 y0 lh L pe ou y 48 p O sinal de menos é em razao do fato de que supomos que 0 momento fletor seja positivo e portanto a viga tera a concavidade para cima Em virtude da necessidade de que as seg6es transversais permanecam pla nas ocorrerao deformagoes idénticas em todos os planos paralelos ao plano de simetria Assim o valor da deformagao especifica dado pela Equacao 48 é valido em qualquer lugar e concluimos que a deformagdo normal longitudi nal especifica varia linearmente com a distancia y da superficie neutra A deformagao especifica atinge seu valor absoluto maximo quando o valor de y é maximo Chamando de c a maior distancia da superficie neutra que corresponde 4 superficie superior ou inferior da viga e de 0 valor absoluto maximo da deformagao temos c En 49 p Resolvendo 49 para p e substituindo o valor obtido em 48 podemos tam bém escrever y 5Em 410 c Conclufmos nossa andlise das deformacgées de uma viga em flexao pura observando que ainda nao somos capazes de calcular a deformagao especifica ou tensao em um determinado ponto da viga pois ainda nao localizamos sua superficie neutra Para localizarmos essa superficie devemos primeiro espe cificar a relacdo tensAodeformacao especffica do material utilizado No entanto se a viga possui um plano vertical e horizontal de simetria por exemplo uma viga com uma seao transversal retangular e se a curva tensdodeformagao especifica é a mesma em tra ao e compressao a superficie neutra coincidira com o plano de simetria cf Segao 48 236 Flexo pura 44 Tensdes e deformagoes no regime elastico Consideramos agora 0 caso em que 0 momento fletor M é tal que as ten sdes normais na viga permanecem abaixo da tensdo de escoamento do ma terial og Isso significa que para todos os fins praticos as tensOes na viga permanecerao abaixo dos limites de proporcionalidade e elastico Nao havera deformacgao permanente e vale a lei de Hooke para tensao uniaxial Consi derando que o material seja homogéneo e chamando de E seu médulo de elasticidade temos na diregao longitudinal x oO Ee 411 Recordando a Equacao 410 e multiplicando ambos os membros dessa equagao por E escrevemos y Ee E c ou usando 411 y on o oy 412 c em que o representa 0 valor maximo absoluto da tensaio Esse resultado ec mostra que no regime eldstico a tensdo normal varia linearmente com a dis a Oo tancia da superficie neutra Fig 413 Siege woot Devese notar neste momento que ndo conhecemos a localizacao da su perficie neutra nem o valor maximo o da tensao Ambos podem ser encon Fig 413 trados se lembrarmos das relacdes 41 e 43 obtidas anteriormente da estatica Substituindo primeiro o valor de a dado em 412 em 41 escre vemos y Co Jo dA 2eaa vad 0 c c da qual concluimos que ydA0 413 Essa equagao mostra que 0 momento estatico da secao transversal em relacao a linha neutra deve ser zero Em outras palavras para uma viga submetida a flexao pura e desde que as tensdes permanecgam no regime eldstico a linha neutra passard pelo centro geométrico ou centroide da segdo transversal Lembramos agora da Equaao 43 determinada na Secao 42 com rela ao a um eixo z horizontal arbitrdario oe dA M 43 Especificando que 0 eixo z devera coincidir com a linha neutra da seAo trans versal substituimos o valor de a dado em 412 em 43 e escrevemos y y2on aa Veja o Apéndice A para uma discussdo dos momentos estaticos ou 44 Tensdes e deformagses 237 no regime elastico Om 2 dA M 414 Lembrando que no caso de flexdo pura a linha neutra passa pelo centro geo métrico da secao transversal notamos que J é 0 momento de inércia ou mo mento de segunda ordem da segdo transversal em relagéo a um eixo que passa pelo centro geométrico e é perpendicular ao plano do momento fletor M Resolvendo 414 para o escrevemos entao Mc on 415 I Substituindo o de 415 em 412 obtemos a tensao normal o para qualquer distancia y da linha neutra My o 416 I As Equagoes 415 e 416 sao chamadas de formulas da flexdo em regime eldstico e a tensao normal o provocada pela flexao da viga geralmente é chamada de tensdo de flexdo Verificamos que a tensdo é de compressao ao 0 acima da linha neutra y 0 quando 0 momento fletor M é posi tivo e de tragao a 0 quando M é negativo Retornando 4 Equagao 415 notamos que a relagao Ic depende somen te da geometria da se4o transversal Essa relagaéo é chamada de médulo de resisténcia e representada por W Temos aa I Médulo de resisténcia W 417 Substituindo Jc por Wna Equaciio 415 escrevemos essa equacao na forma alternativa M On W 418 Como a tensdo maxima é inversamente proporcional ao mddulo de resis A 15000 mm téncia W esta claro que as vigas devem ser projetadas com um valor de W o maior possivel Por exemplo no caso de uma viga de madeira com secgdo 4 transversal retangular de largura b e altura h temos an g g V4 7 Tio 2 4 2 h J pp3 200 mm I bh h 150 mm wat a BP Liye tan 419 HJ c h2 Ns a iy em que A é a area da secao transversal da viga Isso mostra que no caso de a duas vigas com a mesma Area A de secao transversal Fig 414 aquela com b 100 mm b 75 2 2 s A 2 mm a altura h maior ter4é um modulo de resisténcia maior e portanto tera uma capacidade maior para resistir a flexdo Fig 414 Lembramos que o momento fletor foi considerado positivo Se o momento fletor for negativo devera ser substituido na Equagao 415 por seu valor absoluto IMI No entanto valores grandes da relacao hb poderiam resultar na instabilidade lateral da viga 238 Flexao pura No caso do aco estrutural as vigas de padrao americano viga S e as vigas de mesa larga viga W Fig 415 sao preferidas em lugar de outros ee hie A z 5 cE 7s 9 re Fig 415 Vigas de mesa larga de aco formam a estrutura de muitos edificios perfis porque a maior parte de suas secées transversais esta localizada bem longe da linha neutra Fig 416 Assim para uma determinada Area de se cao transversal e uma altura dada 0 projeto dessas vigas proporciona valores altos de J e consequentemente de W Valores do médulo de resisténcia das ee vigas fabricadas normalmente podem ser obtidos das tabelas que listam varias propriedades geométricas dessas vigas Para determinar a tens4o maxima em uma secao de uma viga padrao o engenheiro precisa somente ler 0 valor do médulo de resisténcia W na tabela e dividir o momento fletor M na secao a Viga S b Viga W por W Fig 416 A deformacao da viga provocada pelo momento fletor M é medida pela Ig 4 2 9 curvatura da superficie neutra A curvatura é definida como o inverso do raio de curvatura p e pode ser obtida resolvendose a Equagao 49 para 1p I 420 p oc Mas no regime eldstico temos 0E Substituindose e na Equa cdo 420 e usando a 415 escrevemos 1 90 1 Mc p Ec Ec I ou 1 M 421 p EI EXEMPLO 41 Uma barra de aco de seco transversal retangular medindo 203 mm 203 mm X 635 mm esté submetida a dois momentos fletores 7 r iguais e opostos atuando no plano vertical de simetria da barra M M Fig 417 Determine o valor do momento fletor M que provoca t escoamento na barra Considere 7 248 MPa 635 mm Como a linha neutra deve passar pelo centroide C da secao t transversal temos c 3175 mm Fig 418 Entretanto 0 mo Fig 417 mento de inércia em relagdo ao eixo que passa pelo centroide da secao transversal retangular é 1 bh 4203 cm635 cm 4331 cm4 708 Resolvendo a Equacao 415 para M e usando os dados acima ft 3175 mm temos cl 635 mm LN M I 4331 248 kNem On Doe 24 cm co 3175 M 33830kN cm Fig 418 EXEMPLO 42 Uma barra de aluminio com uma seco transversal semicircular A ordenada y do centroide C da secao transversal semicir de raio r 12 mm Fig 419 é flexionada até atingir a forma de cular é um arco de circunferéncia de raio médio p 25 m Sabendo que 4dr 412 mm a face plana da barra esta virada para o centro de curvatura do y 5093 mm arco determine as tensdes maximas de tragdo e compressdo na 3m 3a barra Use E 70 GPa A linha neutra passa pelo ponto C Fig 420 e a distancia c até o ponto da seco transversal mais distante da linha neutra é oF cry 12mm 5093 mm 6907 mm r 12mm Usando a Equacao 49 escrevemos c 6907 X 103m 7S 2783 X 10 Fig 419 E p 25m e aplicando a lei de Hooke Poderfamos usar a Equacao 421 para determinar 0 mo mento fletor M correspondente ao raio de curvatura p dado e de Om E 70 X 10 Pa2763 X 107 1934 MPa pois usar a Equacao 415 para determinar o No entanto é mais a simples usar a Equacio 49 para determinar e a lei de Hooke Como esse lado da barra esta voltado para diregdo oposta ao cen para obter g tro de curvatura da barra a tensdo obtida é de tragdo A tensao de compressao maxima ocorre no lado plano da barra Considerando o fato de que a tensdo proporcional a distancia da linha neutra LN escrevemos at y 5093 mm Ocomp g 1934 MPa Fig 420 6907 mm 1426 MPa 239 240 Flexao pura 45 Deformagoes em uma segao transversal Quando provamos na Secao 43 que a seco transversal de uma viga em flexao pura permanece plana nao excluimos a possibilidade de deformagG6es dentro do plano da segiio E evidente que existirao tais deformagées se lem brarmos que na Secao 211 barras em um estado de tensdo uniaxial 0 0 Oy 0 0 sao deformadas nas direg6es transversais y e z bem como na diregao axial x As deformagoes especificas normais e dependem do coe ficiente de Poisson v para o material utilizado e sao expressas como vE Ve ou usando a Equacao 48 vy vy 6 422 p p As relagdes que obtivemos mostram que os elementos localizados acima da superficie neutra y 0 expandirao nas diregdes y e z enquanto os ele mentos localizados abaixo da superficie neutra y 0 contrairao No caso de uma viga de secao transversal retangular a expansdo e a contragao dos varios elementos na direcao vertical se compensam e nao se observara alteragao na dimensao vertical da seg4o transversal No entanto no que se refere as defor magoes na direao z horizontal a expansao dos elementos localizados acima da superficie neutra e a correspondente contragao dos elementos localizados abaixo daquela superficie resultarao em varias linhas horizontais encurvadas em arcos de circunferéncia Fig 421 A situagao observada aqui é similar aquela observada anteriormente em uma seAo transversal longitudinal Com parando a segunda das Equagoes 422 com a Equacao 48 concluimos que a linha neutra da se4o transversal se encurvara em um arco de circunferéncia de raio p pv O centro C dessa circunferéncia esta localizado abaixo da superficie neutra supondo M 0 isto é no lado oposto ao centro de cur vatura C da viga O inverso do raio de curvatura p representa a curvatura da secao transversal e é chamado de curvatura anticldastica Temos 1 v Curvatura anticlastica 423 p p Em nossa discussao das deformagdes de uma viga simétrica em flexao pura nessa secdo e nas anteriores ignoramos a maneira pela qual os mo mentos fletores M e M eram realmente aplicados a viga Se todas as segdes transversais da viga de uma extremidade 4 outra devem permanecer planas e isentas de tenses de cisalhamento devemos nos certificar de que os mo mentos fletores sao aplicados de maneira que as extremidades da viga perma negam planas e isentas de tensdes de cisalhamento Isso pode ser conseguido y 45 Deformagdes em uma 241 secao transversal Superficie p p neutra a tS 2p eL ob4 a x es 1 Linha neutra da I secao transversal AW ppv Wi Vy Wy Wy I MI W Cc Fig 421 aplicandose os momentos fletores M e M a viga por meio do uso de placas M M rigidas e planas Fig 422 As forgas elementares exercidas pelas placas so bre a viga serao normais as sec6es das extremidades e essas segdes enquanto Le TN permanecem planas estarao livres para se deformar conforme descrito ante RCRA riormente nesta secao SCE Devemos notar que essas condig6es de carregamento nao podem ocorrer Fig 422 na pratica pois requerem que cada placa exerga forcas de tragao na secao da extremidade correspondente abaixo de sua linha neutra ao mesmo tempo em que permite que a secdo se deforme livremente em seu prdéprio plano No en tanto o fato de que o modelo de placas de extremidades rigidas da Fig 422 nao pode ser realizado fisicamente nao diminui sua importancia que é a de nos permitir visualizar as condigdes de carregamento que correspondem as relagdes deduzidas nas seg6es anteriores As condic6es reais de carregamento podem diferir muito desse modelo ideal No entanto em virtude do principio de SaintVenant as relagdes obtidas podem ser usadas para calcular tensdes em situagdes de engenharia desde que a segdo considerada nao esteja muito perto dos pontos em que sao aplicados os momentos fletores PROBLEMA RESOLVIDO 41 O tubo retangular mostrado na figura é um extrudado de uma liga de aluminio para a qual oy 275 MPa ao 414 MPae E 73 GPa Desprezando 0 efeito dos adoga mentos determine a 0 momento fletor M para o qual o coeficiente de seguranga sera t de 300 e b 0 raio de curvatura correspondente do tubo 125 mm ce x Kxt t M f 65 mm K 83 mm x SOLUCAO F Momento de inércia Considerando a area da segao transversal do tubo como ci 112mm 2 diferenga entre os dois retangulos mostrados na figura e usando a formula para o 125 pe momento de inércia de um retangulo escrevemos 1 40083 m0125 m 0070 m0112 ms 1 53 X 10 mt 83 mm 70 mm Tensaio admissivel Para um coeficiente de seguranga de 300 e um limite de tensdo de 414 MPa temos OL 414 MPa Oum Do ao 138 MPa CS 300 Como Oagm Op 0 tubo permanece no regime elastico e podemos aplicar os resulta dos da Secao 44 a Momento fletor Com c 0125 m 00625 m escrevemos M I 53 X 10 m Osim M 0 gg 138 X 10 KN I c 00625 m M 117kKNm O b Raio de curvatura Lembrando que E 73 X 10 kNm substitufmos esse valor e os valores obtidos para J e M na Equagao 421 e encontramos 1M 117kN m 0030 m 9 0930m p p EI 73 X 10 kNm53 107 m p 3307 m p 3307m 4 M Solucao alternativa Como sabemos que a tensio maxima é Gy4m 138 MPa podemos determinar a deformacgio especifica maxima e e entéo usar a Equacao 49 adm 138 MP é a 1890 x 1073 mm E 73 X 10MPa c c 00625 m Em 5 FF oa 3 p Pe 1890 X 103 mm p 3307 m p 3307m 4 242 PROBLEMA RESOLVIDO 42 90 mm Uma peca de maquina feita de ferro fundido esta submetida a um momento fletor de 3 kN mconforme mostra a figura Sabendo que E 165 GPae desprezando 0 efeito I 20 mr dos adocgamentos determine a as tensdes de tragAo e compressAo maximas na peca of fundida e b o raio de curvatura dessa peca 40 mm M3kNm 30mm S SOLUCAO Centroide Dividimos a seao transversal em forma de T nos dois retangulos 90 mm mostrados na figura e escrevemos f20 mm 1 5 mn SS Area mm y mm vA mm y 50mm 40mm y 1 2090 1800 50 90 Xx 10 YEA SyA Bi 2 4030 1200 20 24 x 10 Y3000 114 x 10 XA 3000 YyA 114 X10 Y 38mm Yo 20mm 30 mm Momento de inércia centroidal O teorema do eixo paralelo é usado para determinar 0 momento de inércia de cada retangulo com relagdo ao eixo x que passa pelo centroide de toda a seco Somando os momentos de inércia dos retangulos escrevemos yy T 2 an 3 2 12mm F 22 mm ly Ad XGsbh Ad t 59020 90 2012 753040 30 x 4018 Sm Y 38 mm 868 X 10 mm I 868 X 10 m4 a Tensao de tracao maxima Como 0 momento fletor aplicado flexiona a peca fundida para baixo o centro de curvatura esta localizado abaixo da se ao transversal A tensao de tragao maxima ocorre no ponto A que esta mais distante do centro de curvatura Mc 3kN m0022 m oO OOOO o 760 MPa I 868 X 10 m A Tensao de compressao maxima Ela ocorre no ponto B temos fea0022m Meg 3 KN m0038 m en 0038 m oe 968 x 10 me PTS MB p B b Raio de curvatura Da Equagao 421 temos 1 M 3kNm Centro de curvatura p EI 165 GPa868 x 107 m 2095 X 1073 m7 p477m 243