Probabilidade e Matemática Discreta - Aula 3 de Matemática Computacional

MATEMÁTICA COMPUTACIONAL AULA 3 Prof Luis Gonzaga de Paulo 2 CONVERSA INICIAL A necessidade de se antecipar aos eventos naturais ou não sempre instigou os seres humanos levandoos a buscar as mais diversas e intrincadas soluções desde a religião e a astrologia até a computação É evidente que nosso estudo não se trata de desenvolver a habilidade de prever o futuro e tampouco realizar profecias o que foge ao domínio das ciências mas da necessidade de se calcular a probabilidade isto é as chances matemáticas de algo acontecer com base em dados reais números Nesta aula vamos tratar exatamente disto a estimativa de chances de um evento tornarse real de vir a acontecer Essa capacidade é de fundamental importância para as atividades humanas na análise riscos uma disciplina da Gestão de Riscos e no planejamento quer seja nos negócios nas atividades financeiras contábeis engenharias na medicina e praticamente todos os demais segmentos da atuação humana quer seja na própria computação desde o processamento de instruções em uma CPU até a alocação de memória e o tráfego de uma rede Para reforçar seu aprendizado estude o capítulo 5 do livro Matemática Discreta para ciência da Computação e o capítulo 4 do livro Fundamentos da Matemática Discreta ambos da bibliografia básica da disciplina e disponíveis nas bibliotecas virtuais TEMA 1 PROBABILIDADE Nos processos de tomada de decisão nem sempre existe a certeza ou a fundamentação em dados e informações completos e confiáveis De uma maneira geral a tomada de decisão é feita com alto grau de imponderabilidade ou seja cercada de incertezas e de imprecisões Muitas vezes a escolha ou a resposta vem de uma expectativa uma percepção um palpite devido ao fato de se fazer frente a eventos ou ocorrências aleatórias Entretanto é possível tratar essas situações com base em princípios matemáticos Eventos que ocorrem aleatoriamente ou ao acaso como o sorteio dos números da loteria a quantidade de vezes que obtemos o número seis ao jogarmos dois dados ou a sequência de cartas de baralho entregues a um jogador de poker são de grande importância para a matemática e especiais para a computação Estimar a ocorrência desses eventos ou fazer previsões a 3 respeito deles com um embasamento matemático é a finalidade do estudo das probabilidades Denominase probabilidade o processo pelo qual conseguimos estimar as chances de ocorrência de determinado fato determinado ou evento É também a denominação de um ramo ou área da matemática que usa modelos para o estudo de experimentos ou ocorrências dos fenômenos ditos aleatórios Estes eventos são aqueles nos quais há incerteza no que se refere às possibilidades de ocorrerem ou seja são prováveis ou improváveis Ocorrências naturais como acidentes queda de raios enchentes e deslizamentos são denominados eventos aleatórios assim como experimentos realizados pelo homem com jogar uma moeda ou dado distribuir cartas do baralho ou sortear os números de um bingo ou loteria Estes experimentos podem apresentar diferentes resultados quando realizados diversas vezes mesmo que em condições idênticas Esse conjunto de resultados possíveis é denominado Espaço Amostral e é representado pela letra S ou por Ω a letra grega ômega Como exemplo de espaço amostral podemos dizer que O lançamento de um dado pode resultar em um valor de 1 2 3 4 5 ou 6 Isto é S 123456 ou Ω 123456 O lançamento de uma moeda pode resultar em um valor Cara ou Coroa ou seja S Cara Coroa ou Ω Cara Coroa Esses espaços amostrais apresentados nos quais a probabilidade de ocorrência de qualquer um dos eventos é a mesma ou seja todos os elementos têm a mesma chance de ocorrência são denominados equiprováveis Nos casos citados a probabilidade de ocorrência de qualquer um dos números de um a seis no lançamento de dados é a mesma bem como a probabilidade de ocorrer Cara ou Coroa no lançamento da moeda O estudo das probabilidades é determinante no mundo dos negócios sendo característico de operações do mercado financeiro dos seguros dos estudos climáticos entre outros Outra aplicação em que o uso da probabilidade é fundamental é a gestão de riscos na qual a análise qualitativa é elaborada com base na probabilidade da ocorrência de riscos versus o impacto causado por ele Na engenharia a probabilidade pode determinar inclusive o formato de produtos e a disposição de seus componentes Um exemplo clássico é a 4 tradicional disposição das letras no teclado QWERTY decorrente da ocorrência de combinações das letras do alfabeto em palavras da língua inglesa Na análise de dados e em criptografia mais especificamente em criptoanálise a probabilidade é fundamental para o estabelecimento de padrões e similaridades podendo ser utilizada para decifrar textos em escritas desconhecidas ou determinar a segurança de uma chave ou algoritmo criptográfico Na computação a probabilidade é determinante para estabelecer o uso da memória cache rotas de tráfego em uma rede de comunicação por pacotes ou o processamento preemptivo sendo os algoritmos preemptivos geralmente os mais complexos dada a natureza imprevisível dos processos Na ciência dos dados ou Big Data a probabilidade é utilizada para previsão ou análise preditiva do mesmo modo que um veículo autônomo usa a probabilidade para a tomada de decisão enquanto a inteligência artificial faz uso do raciocínio probabilístico para a inferência e tomada de decisões TEMA 2 EVENTOS Denominamos Evento qualquer elemento ou subconjunto mesmo um unitário que faz parte do espaço amostral Vamos experimentar um evento de lançamento de um dado registrando os resultados Como já mencionamos o espaço amostral desse evento é representado por S 1 2 3 4 5 6 Nesse experimento consideremos que ao jogar o dado temos a ocorrência de um evento A o qual podemos descrever como sendo a ocorrência do resultado um número no intervalo de 1 a 6 Representamos então o conjunto de elementos do evento como sendo A 1 2 3 4 5 6 Caso um evento coincida com a totalidade do espaço amostral é chamado de evento certo e o oposto que resulta em um conjunto vazio é dito evento impossível Quando dois eventos não podem ocorrer de modo simultâneo ou quando a ocorrência de um elimina a possibilidade da ocorrência de outro então são chamados de eventos mutuamente exclusivos tal como a ocorrência de cara e coroa ao lançarmos por uma única vez uma moeda 5 Sendo assim no exemplo acima temos que A S o que nos leva a concluir que o evento A é um evento certo Em outras palavras ao jogarmos o dado há sempre uma probabilidade de ocorrer como resultado a exibição de um número entre 1 e 6 na face do dado que ficará voltada para cima Como esta probabilidade é a mesma para qualquer um dos seis números ela também é equiprovável Vamos supor um outro exemplo jogamos um dado e anotamos os resultados apresentados Neste exemplo também o espaço amostral é S 1 2 3 4 5 6 Se designarmos como um evento B a ocorrência de qualquer número maior que 6 temos como resultado um conjunto vazio assim representado B Como sabemos não existe a representação de um número maior que 6 em um dado tornando esse evento impossível Passemos então para outro exemplo no mesmo processo de jogar esse dado e considerar os resultados Consideremos o evento C a obtenção de um número par evento esse que podemos representar como sendo C 2 4 6 Denominamos D um outro evento que se refere à ocorrência de um número que seja múltiplo de 3 D 3 6 Podemos ainda abordar o evento E considerando que se trata da ocorrência de número que seja ou par ou um número múltiplo de 3 Podemos então representar esse evento como a união dos dois eventos C e D da seguinte forma E C D E 2 4 6 3 6 E 2 3 4 6 Isso é a representação matemática de uma união de eventos ou seja a união dos eventos C e D Consideremos agora a ocorrência de um determinado número que seja par e simultaneamente múltiplo de 3 o evento F formulado a seguir F C D F 2 4 6 3 6 F 6 6 Nesse caso temos uma interseção de eventos dos eventos C e D Podemos também considerar a ocorrência de um número ímpar representando o evento G como formulado a seguir G 1 3 5 Neste caso os eventos C e G são denominados eventos complementares isto é a união deles resulta no espaço amostral e a interseção resulta em um conjunto vazio C G S C G Denominamos C e G como eventos mutuamente exclusivos pois quando interseção de dois eventos resulta em um conjunto vazio isto significa que a ocorrência de um implica na impossibilidade da ocorrência do outro Já dissemos que os eventos são elementos de um experimento aleatório que fazem parte do subconjunto do espaço amostral S ou Ω Dizemos que PA ou a Probabilidade de A isto é as chances da ocorrência de um evento A é formulada da seguinte maneira P A 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝑨 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝛀 Que escrevemos da seguinte forma P A 𝒏𝑨 𝒏𝛀 Na qual temos a seguinte composição A são os elementos ou o subconjunto que representa o evento Ω é o espaço amostral Consideremos jogar para o alto uma moeda que tenha Cara e Coroa como faces e livre de deformações físicas que possam influenciar o movimento interferindo nos resultados Qual seria então a probabilidade dessa moeda cair no chão com Cara voltada para cima Nosso espaço amostral deste experimento contém dois elementos Cara e Coroa Então o número de elementos n 2 O evento esperado A tem um único elemento Cara Desta forma temos que o número de elementos nA 1 Então nossa equação da probabilidade de A fica assim 7 P A 𝒏𝑨 𝒏𝜴 P A 𝟏 𝟐 050 50 Portanto ao jogarmos essa moeda teremos 50 de chances de que a face com a Cara fique voltada para cima Consideremos mais um experimento no qual lançamos um dado perfeito ou seja um dado sem imperfeições ou alterações que possam interferir no resultado Queremos saber qual é a probabilidade desse experimento apresentar um número maior do que 4 O espaço amostral então é definido por 123456 isto é n 6 Como resultado esperado um número maior que 4 temos as possíveis ocorrências do evento A 56 portanto nA 2 Desta forma temos P A 𝒏𝑨 𝒏𝜴 P A 𝟐 𝟔 P A 𝟏 𝟑 Em mais um experimento lançamos para o alto simultaneamente três moedas também sem defeitos ou alterações que possam interferir no resultado Qual é então a probabilidade de que obtenhamos um Evento A que apresente pelo menos duas caras ou o Evento B que apresente exatamente 2 caras Primeiramente vamos Cara de F e Coroa de C Desta forma podemos representar o espaço amostral resultante destes três lançamentos distintos assim Ω FFF FFC FCF FCC CFF CFC CCF CCC De forma que apuramos que n 8 Temos então para o evento A pelo menos dois Fs A FFF FFC FCF CFF Logo nA 4 E temos para o evento B B FFC FCF CFF Logo 8 nB 3 Com essa formulação podemos calcular a probabilidade No primeiro evento em que A FFF FFC FCF CFF e nA 4 calculamos P A 𝒏𝑨 𝒏𝜴 P A 𝟒 𝟖 P A 𝟏 𝟐 0 5 ou 50 Já no segundo evento no qual temos B FFC FCF CFF e nB 3 o cálculo fica desse modo P B 𝒏𝑩 𝒏𝜴 P B 𝟑 𝟖 0375 ou 375 Propomos agora um novo tipo de problema com base em um arranjo Queremos formar grupos de números com três algarismos distintos apenas mudandoos de posição e para isso vamos usar os algarismos 7 8 e 9 Nesse caso ao escolhermos um número qualquer nessas condições qual é a probabilidade de que ele represente um número a Ímpar b Par c Múltiplo de 6 d Múltiplo de 4 e Maior que 780 Para começar estabelecemos o espaço amostral 789 798 879 897 978 987 que resulta em n 6 Podemos então encaminhar a resolução das questões a No caso de o número escolhido ser ímpar temos A 789 879 897 987 e nA 4 Calculando P A 𝒏𝑨 𝒏𝜴 P A 𝟒 𝟔 0666 Isto resulta em aproximadamente 66 b Sendo o número escolhido par a probabilidade tem B 798 978 e por isso nB 2 o que resulta em P B 𝒏𝑩 𝒏𝜴 P B 𝟐 𝟔 0333 9 Ou seja pouco mais que 33 c A probabilidade de o número escolhido ser um múltiplo de 6 lembrase de como calcular o mmc resulta em C 798 978 e nC 2 portanto P C 𝒏𝑪 𝒏𝜴 P C 𝟐 𝟔 0333 Ou seja também é cerca de 33 d Para o número escolhido ser um múltiplo de 4 a probabilidade é dada por D nenhum dos valores possíveis é múltiplo de 4 portanto nD 0 Só para confirmar P D 𝒏𝑫 𝒏𝜴 P D 𝟎 𝟔 0 Portanto nenhuma possibilidade 0 e A probabilidade de um número escolhido ser maior do que 780 resulta em E e nE 6 Disso calculamos que P E 𝒏𝑬 𝒏𝜴 P E 𝟔 𝟔 1 100 Isso implica que o evento E é um Evento Certo Para demonstrar outro uso da probabilidade vamos avaliar um evento no qual pretendemos identificar um entre os números naturais de quatro dígitos distintos que podemos formar com os algarismos 1 3 4 7 8 e 9 Ao escolhermos ao acaso um dos possíveis números formados qual é a probabilidade de obtermos um número que comece por 3 e termine por 7 Nesse caso teremos uma probabilidade formada por um arranjo de quatro números em seis possíveis Como já vimos a forma de calcular um arranjo desse tipo que define o nosso espaço amostral é definida pela razão entre o fatorial do número de elementos possíveis e o fatorial da diferença entre este e o número de elementos do arranjo Portanto nΩ 𝑨𝟔𝟒 𝟔 𝟔 𝟒 10 Desenvolvendo o cálculo temos 𝟔 𝟐 𝟔𝒙𝟓𝒙𝟒𝒙𝟑𝒙𝟐 𝟐 360 Portanto o espaço amostral comporta 360 elementos ou seja nΩ 360 E para o evento escolhido teremos um arranjo de dois números em quatro possíveis Assim nA 𝑨𝟒𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒𝒙𝟑𝒙𝟐 𝟐 12 Resultando em 12 eventos possíveis Ao aplicar o método de resolução apresentado temos P A 𝒏𝑨 𝒏𝜴 P A 𝟏𝟐 𝟑𝟔𝟎 𝟏 𝟑𝟎 0033 Portanto a probabilidade de obtermos um número naquele conjunto que comece por 3 e termine por 7 é de 333 É possível tratarmos eventos que resultam da interseção entre outros eventos Vamos utilizar a probabilidade para resolver a seguinte questão um grupo é formado por 75 pessoas Dentre elas 16 gostam de música esporte e leitura 24 delas gostam de música e esporte e 30 gostam de música e leitura enquanto 22 gostam de esporte e leitura Porém 6 gostam somente de música já 9 gostam apenas de esporte e 5 gostam apenas de leitura Ao escolher aleatoriamente uma pessoa desse grupo qual é a probabilidade de que ela a Goste de música b Não goste de música tampouco de esporte ou de leitura Com as informações fornecidas identificamos o espaço amostral n 75 Vamos então calcular o evento M gosta de música da seguinte maneira M 6 8 16 14 M 44 E o evento N dos que não gostam de nenhuma das atividades N 75 6 9 5 8 6 14 16 N 75 64 N 11 11 Para obtermos esses números que não estão claros no enunciado do problema necessitamos da aplicação da lógica e uma visão sobre diagramas de Venn representando o conjunto e os subconjuntos descritos como mostramos na Figura 1 a seguir Figura 1 Espaço amostral e eventos do grupo de pessoas O que fizemos foi extrair as informações do enunciado para distribuílas usando a teoria dos conjuntos que já estudamos com a combinação de uniões e interseções O passo a passo para isto é 1 Começamos pela interseção principal que se refere às 16 pessoas que gostam das três coisas 2 Depois vamos ao outro extremo e incluímos aquelas que gostam de apenas uma das coisas as 6 que gostam somente de música as 9 que gostam somente de esporte e as 5 que gostam somente de leitura 3 Depois consideramos os que gostam de duas coisas tomando o devido cuidado de descontar os 16 que já foram contados no passo 1 Dos 24 que gostam de música e esporte restam 8 24 16 8 Dos 30 que gostam de música e leitura sobram 14 30 16 14 e dos 22 que gostam tanto de esporte quanto de leitura restam 6 22 16 6 Somando todos estes que possuem gosto por ao menos uma das coisas chegamos ao total de 64 pessoas 4 E para finalizar concluímos que aquelas que não gostam de nenhuma dessas coisas podem ser calculados subtraindose do espaço amostral Ω o resultado obtido no item 3 o que significa então 75 64 11 Uma vez identificados os eventos a A probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente gostar de música ou seja pertencer ao subconjunto M de nosso diagrama que 12 denominamos evento M anteriormente pode ser calculada da seguinte forma P M 𝒏𝑨 𝒏𝜴 P M 𝟒𝟒 𝟕𝟓 058 58 b A probabilidade de não gostar de nenhuma das atividades ou seja não pertencer aos subconjuntos M E ou L do diagrama da Figura 1 evento que denominamos N calculamos da seguinte forma P B 𝒏𝑩 𝒏𝜴 P B 𝟏𝟏 𝟕𝟓 014 14 TEMA 3 TIPOS DE EVENTOS Para reforçar o que já abordamos no caso de um evento coincidir com a totalidade do espaço amostral ele pode ser chamado de evento certo E o oposto que resulta em um conjunto vazio é dito evento impossível Quando dois eventos não podem ocorrer de modo simultâneo ou quando a ocorrência de um elimina a possibilidade da ocorrência de outro então são chamados de eventos mutuamente exclusivos tal como a ocorrência de Cara e Coroa ao fazermos um único lançamento de uma moeda No caso dos eventos complementares se denominarmos a probabilidade de sucesso em um evento como p e a probabilidade de insucesso em um evento como q descrevemos a totalidade dos eventos como a soma destas possibilidades ou seja p q 1 100 Por isso dizemos que p e q são complementares uma vez que a soma deles representa o espaço amostral por completo Dois eventos são ditos independentes quando a ocorrência ou a não ocorrência de um deles não influi na probabilidade da ocorrência do outro e vice versa Vamos considerar dois lançamentos de um mesmo dado qual será a probabilidade de obtermos um número 6 no segundo lançamento uma vez que que no primeiro lançamento foi obtido um 2 Apesar da grande similaridade dessas ocorrências elas não têm relação nenhuma entre elas e portanto não podem se influenciarem mutuamente 13 Dois ou mais eventos são ditos mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um elimina a ocorrência do outro Como já mencionamos ao jogarmos uma moeda a ocorrência de um evento Cara exclui automaticamente a ocorrência do evento Coroa Para esses tipos de eventos a probabilidade de ocorrência de cada um dos eventos é igual a soma da probabilidade que cada um deles se realize formulada por P P1 P2 Ao lançarmos um dado por exemplo a probabilidade de obtermos o número 3 ou o número 5 é dada por P 𝟏 𝟔 𝟏 𝟔 𝟐 𝟔 𝟏 𝟑 TEMA 4 UNIÃO DE EVENTOS A união de eventos representa a ocorrência de eventos sucessivos ou simultâneos que podem ser correlacionados Vamos considerar a ocorrência de dois eventos chamados de A e B do mesmo espaço amostral Se aplicarmos a teoria dos conjuntos temos nA B nA nB nA B Para calcular a probabilidade sabemos que temos que dividir as ocorrências pelo espaço amostral ou seja todos os membros da equação por n nA B n nA n nB n nA B n O que representa a probabilidade na fórmula PA B PA PB PA B Neste primeiro exemplo vamos considerar que no lançamento de um dado desejamos saber qual é a probabilidade de obtermos um 3 ou um número ímpar Considerando que o espaço amostral é 1 2 3 4 5 6 então temos n 6 Para o evento A ocorrer o número 3 temos A 3 nA 1 14 E para o evento B ocorrer um número ímpar temos B 1 3 5 nB 3 Como a interseção dos dois eventos temos então que A B 3 1 3 5 3 nA B 1 Portanto se PA B PA PB PA B Desta forma chegamos à expressão PA B 1 6 3 6 1 6 Cujo resultado é PA B 3 6 05 50 Portanto a probabilidade de obtermos um número 3 ou um número ímpar ao lançarmos um dado é de 50 Em um segundo exemplo retiramos uma das 52 cartas de um baralho e queremos saber qual é a probabilidade de que esta carta seja da cor vermelha ou uma Dama A partir do enunciado temos que n 52 Para o evento A a carta é vermelha uma vez que a metade das cartas do baralho é dessa cor consideramos que nA 26 Para o evento B a carta é uma Dama uma vez que existem quatro damas no baralho então temos que nB 4 Analisando a interseção dos dois eventos temos duas damas vermelhas nA B 2 número de Damas Vermelhas no baralho Como estabelece a fórmula da união de eventos PA B PA PB PA B 15 Então temos PA B 26 52 4 52 2 52 PA B 28 52 Concluindo PA B 7 13 0538 538 TEMA 5 PROBABILIDADE DE EVENTOS COMPLEMENTARES Como vimos eventos complementares são aqueles cuja soma representa todo o espaço amostral Portanto para ocorrer o evento complementar de A ou A é preciso que não ocorra o evento A ou seja A Dessa forma podemos afirmar que A 𝐀 Ω E por conseguinte A 𝐀 Portanto é correto afirmarmos que PΩ PA 𝐀 E PA P𝐀 1 P𝐀 1 PA Vamos a um exemplo ao lançar simultaneamente dois dados perfeitos e distintos qual é a probabilidade de não obtermos dois números cuja soma seja 5 Para resolver essa questão vamos começar pela identificação do espaço amostral 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 Ou seja n 36 16 Paro o evento A isto é resultar em dois números cuja soma seja 5 temos A 14 23 32 41 Por conseguinte nA 4 Podemos então calcular PA nA nΩ 4 36 1 9 Ou seja temos então P𝐀 1 PA P𝐀 1 1 9 Concluindo P𝐀 8 9 P𝐀 08888 P𝐀 889 FINALIZANDO Como vimos o estudo das probabilidades é amplamente empregado no cotidiano Entretanto uma das mais desafiadoras e divertidas aplicações da probabilidade e razão da sua transformação em estudos sérios é a aplicação nos jogos especialmente nos chamados jogos de azar O site da Caixa Econômica Federal apresenta as loterias disponíveis em diversas opções de jogos São apresentadas também as probabilidades de sucesso para cada um dos prêmios levandose em consideração as possibilidades de apostas Fica aqui então um desafio com base no que estudamos faça uma validação das probabilidades lá apresentadas e confirme ou refute os resultados apresentados Apresente os seus resultados e discuta sobre eles com os colegas de turma no Fórum Probabilidade na sala da disciplina no AVA Para encerrar relembramos que nesta aula abordamos os conceitos e a aplicação da probabilidade e dos eventos a ela associados Também tratamos dos tipos de eventos e suas interrelações com base na Teoria dos Conjuntos Recomendamos que você faça os exercícios que constam no material de leitura Resolva também as listas de exercícios disponíveis nas aulas e em materiais complementares do AVA para reforçar e testar seu aprendizado Troque 17 informações com seus colegas no Fórum Probabilidade compartilhando suas dúvidas os resultados obtidos e as novidades sobre a aplicação da probabilidade no dia a dia 18 REFERÊNCIAS BONAFINI F C Matemática e estatística São Paulo Pearson Education do Brasil 2014 HUNTER D J Fundamentos da matemática discreta Rio de Janeiro LTC 2011 MACEDO L R D CASTANHEIRA N P ROCHA A Tópicos de matemática aplicada Curitiba InterSaberes 2013 STEIN C DRYSDALE R L BOGART K Matemática discreta para ciência da computação São Paulo Pearson Education do Brasil 2013 WALPOLE R E MYERS R H MYERS S L YE K Probabilidade estatística para engenharia e ciências 8 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2009