·
Engenharia de Produção ·
Outros
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Texto de pré-visualização
MECÂNICA DOS FLUIDOS AULA 2 Profª Francielly Elizabeth de Castro Silva 2 CONVERSA INICIAL Nesta etapa você conhecerá o princípio de Pascal saberá a diferença entre pressão absoluta e manométrica descobrirá qual é a equação da estática dos fluidos os medidores de pressão encontrados na indústria como esses medidores funcionam e por fim como se determina a pressão quando se tem um manômetro do tipo piezométrico ou diferencial TEMA 1 PRINCÍPIO DE PASCAL Os fluidos podem gerar forças normais ou força de cisalhamento em um objeto Se o fluido estiver em repouso parado a viscosidade do fluido não promoverá forças cisalhantes sobre o corpo Entretanto o fluido exerce uma força normal sobre uma determinada área que é chamada de pressão A pressão na mecânica dos fluidos é a força normal que o fluido faz sobre uma superfície área Na resistência dos materiais há uma situação análoga só que considerando sólidos em que a força normal sobre uma superfície gera uma tensão normal média Aqui considerase uma área finita e a pressão aplicada de forma uniforme sobre essa área logo a pressão média na superfície é dada por 𝑃𝑃𝑚𝑚é𝑑𝑑 𝐹𝐹 𝐴𝐴 1 A unidade de pressão no SI é Pa que equivale a Nm² e no sistema inglês é o psi lbfpol² Neste momento vamos falar sobre o princípio de Pascal que está justamente associado à pressão média promovida por uma carga em uma determinada superfície No século XVII o matemático francês Blaise Pascal demostrou que a intensidade da pressão atuando em um ponto do fluido é equivalente à pressão nos demais pontos desse fluido ou seja essa pressão é transferida para todos os pontos do fluido Este princípio é aplicado nos elevadores hidráulicos como mostra a Figura 1 Imagine tentar levantar um veículo sem um macaco hidráulico ou até mesmo o mecânico de parafuso No caso do macaco hidráulico o operador que o está manuseando aplica uma força 𝐹𝐹1 sobre uma superfície relativamente pequena 𝐴𝐴1 Sabemos que essa força sobre a área produz uma pressão 𝑃𝑃1 Por meio do princípio de Pascal essa pressão que o operador aplica é transferida 3 para a superfície da plataforma sob o carro Observe na figura que a área da plataforma 𝐴𝐴2 é muito maior que a área em que o operador aplicou a força logo como a pressão é a mesma nas duas superfícies 𝑃𝑃1 𝑃𝑃2 para que haja equivalência temse 𝑃𝑃1 𝑃𝑃2 𝐹𝐹1 𝐴𝐴1 𝐹𝐹2 𝐴𝐴2 2 Figura 1 Elevador hidráulico Crédito grayjayShutterstock Trabalhando na Equação 2 para saber a força que está sendo aplicada na plataforma do carro isolamos o 𝐹𝐹2 logo 𝐹𝐹2 𝐹𝐹1𝐴𝐴2 𝐴𝐴1 3 Para compreender melhor o princípio de Pascal vamos resolver dois exemplos Exemplo 1 Considere o sistema de elevador hidráulico apresentado na Figura 2 para elevar caixas Sabendo que a caixa menor possui uma massa de 20 kg e que o êmbolo menor possui um diâmetro de 50 cm determine a força transmitida à caixa maior sabendo que ela possui uma massa de 40 kg e que o diametro do émbolo maior é de 1 m A carga da caixa menor é suficiente para elevar a caixa maior Figura 2 Elevador hidraulico para Exemplo 1 Pressure Crédito tersetkiShutterstock Solugao Este um caso de aplicagao quase que direta da Equacao 3 entretanto vale lembrar que no enunciado foram fornecidos os diametros dos émbolos e nao suas areas Entaéo podemos modificar a Equagao 3 para este caso por meio da seguinte equaao 2 n Be F 2 1D 4 Como o z e o 4 da equagao anterior estao no denominador e no numerador da equagao podemos cancelalos ficando apenas 4 2 Rate 4 Além disso é importante lembrar que forga é dada pelo produto da massa pela aceleragdo da gravidade ou seja F mg em que g 981 ms Utilizando os valores fornecidos no enunciado considerando as unidades no SI e aplicandoos na Equagao 4 ficamos com Fy 209811 Fh 62 F 7848N 057 2 025 2 ou também podemos calcular da seguinte forma 1 2 F 20981 ss F19624 F 7848N A forga produzida pela massa da caixa maior é dada por F 40981 F 3924N Portanto podemos afirmar que a caixa maior sera elevada pois a fora aplicada no mbolo maior é de 7848 N valor muito maior que 0 peso da caixa maior que equivale a 3924 N Concluimos também que a forga aplicada no émbolo maior proporcional ao quadrado da razao entre o diametro maior pelo menor Exemplo 2 Considere 0 macaco hidraulico apresentado na Figura 3 para elevar um automovel Sabendo que o mbolo menor possui um diametro D 10mm determine a forga F necessaria para elevar o carro de 1250 kg sabendo que o diametro do mbolo maior é D 40 mm Como a forga aplica é por meio de um sistema de alavanca considere 0 comprimento da alavanca de Cq 30 cme o diametro do pino em que a alavanca é rotacionada para aplicagao da carga é d 10 mm 5 6 Figura 3 Elevador hidráulico para Exemplo 2 Crédito FobosvobosShutterstock Solução Vimos que a pressão no êmbolo menor é transferida para o êmbolo maior por meio da Equação 2 Neste exemplo o objetivo é determinar a força 𝐹𝐹 necessária para elevar o carro de 1250 kg mas para isso devemos primeiro determinar a força 𝐹𝐹1 que deve ser aplicada para elevar essa carga Para isso podemos manipular a Equação 2 isolando a força no êmbolo menor ficando da seguinte forma 𝐹𝐹1 𝐹𝐹2𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐹𝐹1 𝐹𝐹2𝐷𝐷1 2 𝐷𝐷22 5 Substituindo os valores referente aos termos da Equação 5 porém todos no SI temse 𝐹𝐹1 𝐹𝐹2𝐷𝐷1 𝐷𝐷2 12509810012 0042 𝐹𝐹1 766406 𝑁𝑁 Agora temos que descobrir a relação entre a força a ser aplicada na alavanca e essa força do êmbolo Sabemos que o momento produzido pela força aplicada na alavanca 𝐹𝐹 será transmitido ao pino que realizará a força no êmbolo menor 𝐹𝐹1 assim temos a seguinte equação 𝑀𝑀 𝑀𝑀1 𝐹𝐹 𝑐𝑐𝑎𝑎 𝐹𝐹1 𝑑𝑑1 7 Isolando a força aplicada na alavanca e substituindo seus respectivos valores no SI temse 𝐹𝐹 𝐹𝐹1 𝑑𝑑1 𝑐𝑐𝑎𝑎 766406001 03 𝐹𝐹 2555 𝑁𝑁 Observe que com uma força bem pequena conseguimos elevar o carro de 1250 kg Este é o princípio do uso de alavancas na transmissão de momento para aplicação de torques e o princípio de pascal na transmissão de pressão para elevação de cargas TEMA 2 PRESSÃO ABSOLUTA E MANOMÉTRICA Para falar de pressão absoluta e pressão manométrica primeiro precisamos definir o que é pressão atmosférica O ar que está sobre nós gera uma pressão que já estamos muito acostumados com ela a chamada pressão atmosférica Evangelista Torricelli 16081647 foi o primeiro inventor de um equipamento para medir a pressão atmosférica Esse equipamento é chamado de barômetro e é constituído de um tubo de vidro com a boca para baixo cheio de mercúrio com sua abertura imersa numa vasilha com mercúrio como mostra a Figura 4 Devido à pressão que o ar faz sobre o mercúrio que está na vasilha o nível de mercúrio no tubo de vidro aumenta Este nível corresponde ao valor de 760 mm de altura de coluna de mercúrio a nível do mar e equilibra o peso do ar sobre a vasilha Essa altura da coluna de mercúrio corresponde à medida da pressão atmosférica Veremos no próximo tópico a relação entre a pressão atmosférica que adotamos 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚 1013 𝑘𝑘𝑃𝑃a e a pressão obtida via o barômetro de Torricelli 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚 760 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 8 Figura 4 Barômetro de Torricelli Crédito Sergey MerkulovShutterstock À medida que subimos uma montanha e a altitude é elevada a pressão atmosférica diminui Por exemplo para uma altura de 5000 metros acima do nível do mar a pressão atmosférica é de 05334101310³ 5403342 Pa ou 54033 kPa em que 05334 é a pressão relativa do ar à 5000 metros ou seja à 5000 metros de altitude a pressão cai para quase a metade da pressão atmosférica à nível do mar Isso porque a coluna de ar à 5000 metros de altitude é muito menor do que à nível do mar Como a pressão atmosférica é a pressão que encontramos em todos os locais e podemos dizer que praticamente todos equipamentos e sistemas estão submetidos à ela então consideramos ela como o zero relativo e a pressão no zero absoluto é a pressão de vácuo total Pressões abaixo da pressão atmosférica zero relativo são consideradas pressões vacuométricas vácuo A pressão manométrica é aquela que medimos a partir da pressão zero relativo pressão atmosférica e a pressão absoluta é aquela que medimos a partir do zero absoluto Considere a circunferência azul mostrada na Figura 5 Ela possui uma pressão absoluta 𝑃𝑃1𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 medida do zero absoluto e uma pressão manométrica 𝑃𝑃1𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚 medida do zero relativo 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚 Como a pressão manométrica é positiva logo é uma situação em que o fluido tende a ser empurrado para fora do seu 9 ambiente como acontece ao enchermos o pneu de uma bicicleta O ar dentro da câmara tende a sair se houver algum furo pois a pressão dentro da câmara é maior que a pressão fora dela Figura 5 Relação entre a pressão atmosférica pressão absoluta e pressão manométrica Agora considere a circunferência amarela mostrada na Figura 5 Ela possui uma pressão absoluta 𝑃𝑃2𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 medida do zero absoluto e uma pressão manométrica 𝑃𝑃2𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚 Neste caso a pressão manométrica assume um valor negativo pois está abaixo do zero relativo 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚 ou seja é uma situação em que o fluido tende a ser succionado Um exemplo é quando abrimos uma embalagem à vácuo de bacon ou carne em que o ar é succionado para dentro da embalagem que antes estava sem ar isso decorre por conta dessa diferença de pressão em que a pressão dentro da embalagem antes era zero ou quase zero A equação que descreve a relação entre a pressão atmosférica pressão absoluta e pressão manométrica é definida por 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚 6 Exemplo 3 Supondo que a pressão do ar dentro da câmara de ar do pneu de uma bicicleta é de 10 psi conforme medição no manômetro da bomba Figura 6 Sabendo que a pressão atmosférica é de 1013 kPa determine a pressão absoluta na câmara no SI 10 Figura 6 Bomba de ar para encher o pneu de uma bicicleta Crédito photopixelShutterstock Solução Como a pressão dentro da câmara da bicicleta está em psi e a pressão atmosférica fornecida está em Pa e como o objetivo é fornecer a pressão em Pa o primeiro passo é transformar a pressão de psi para Pa A relação entre psi e Pa é 1 𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝 689476 𝑃𝑃𝑃𝑃 Como a pressão na câmara medida no manômetro da bomba é 10 psi logo a pressão em Pa é dada por 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚 10689476 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚 689476 𝑃𝑃𝑃𝑃 ou 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚 689476 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑃𝑃 Aplicando a Equação 6 podemos obter a pressão absoluta dentro da câmara da bicicleta assim temse 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 1013103 689476103 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 1702476 𝑃𝑃𝑃𝑃 ou 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 17025 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑃𝑃 TEMA 3 EQUAÇÃO DA ESTÁTICA DOS FLUIDOS No dia 11082022 o mergulhador Arnauld Gerald bateu o novo recorde de mergulho livre atingindo a profundidade de 120 metros no evento Vertical Blue nas Bahamas Ele demorou três minutos e 34 segundos para atingir essa 11 profundidade O mergulho livre é uma categoria na qual o mergulhador utiliza apenas o ar dos pulmões barbatanas pés de pato e máscara de mergulho Figura 7 Figura 7 Mergulho livre Crédito Dudarev MikhailShutterstock Além da dificuldade de nao poder respirar durante o mergulho a pressao sobre o atleta aumenta a medida que ele vai se aprofundando no mar Isso porque a coluna de agua que esta sobre o atleta fica cada vez maior Essa pressao é obtida aplicando a equacao da estatica dos fluidos Considere um elemento cilindrico horizontal com comprimento Ay e area de secao transversal AA como mostra a Figura 8 Figura 8 Elemento cilindrico horizontal z re GED es Dee os Bae sae ae Le ca ne Ma Nt win uotale ganna com s a ath sae aah me Core a ee ESO Ss SL a cw po te gM Oe z ae 1 Noe GiNe ae ee a vi 2 Jae eon ow Oc ee AP cih LM ne CONSE Pate omar eae Ane aes oN SA ea Oe ONES CONOR EA Be J WS om Considerase a variagao da pressao do fundo do cilindro até sua frente OP dada por ay AY Aplicando a equagao de equilibrio de Newton por meio do somatorio das forgas em y temse OP 5 93 p ay a4 paa 0 y OP pAA AyAA pAA 0 dy Logo oP AyAA 0 Oy yon Isso significa que no plano horizontal a variagao da pressao é zero Isso também ocorrera no eixo x Agora considerando um cilindro na vertical com comprimento Az e area de secao transversal AA como mostra a Figura 9 tem se a seguinte equagao de equilibrio de forgas 12 Figura 9 Elemento cilindrico vertical Zz MZ ORD eh LL gm A Soa hast s Os NO ON CEG LOWS LODE 5S Dero eo eR esoe eA tn MR aaah S occa earn Ray Oo sacl oO oO tee ON x PNA ee as bh Oe Tee ae eo A al uae ee Sa a OR AL SOM Re On ctnen sas Ue zs A a a ait 4 Binet fl aA mn bs r al Oe are eaW cnr aaN Le Oa OE Neen ae 1D ae Sh get sao Si wry sa oa om am oo nO yh OOOO Ig MO was OS iy Soa MOS i Sncugin once Menee ty ane Sy da ait bay a le ait Oe a a ee Pee OWA CW OO ee OP F 0 phz AA yAAdz pAA 0 oP pAA 9 AzAA yAAdz pAA 0 Logo OP dP AzAA yAzAA y dPydz dz dz ou ainda dP pgdz O sinal negativo indica que a agao da agao da gravidade esta no sentido oposto ao do eixo z ou seja um vetor de sentido para baixo Considerando todo o fluido aplicase uma integral em dois pontos definidos z z em que para estes pontos respectivamente as pressdes sao Py e P logo Py Z1 i dP I pgdz Po Zo Resolvendo a integral acima temse PP9 pg4 PyPo pg Zo 21 Portanto Py Po pgZ 24 A equagao acima pode ser reescrita como P Pyo9pgh ou Py Pytyh 7 A Equagao 7 nos mostra que para qualquer pondo de um fluido a pressao é igual a pressao no ponto zero P que em geral é considerada a pressao na 13 14 superfície do fluido mais o peso da coluna de fluido sobre este ponto zero Por exemplo para sistemas abertos à superfície como reservatórios lagos rios etc a pressão 𝑃𝑃0 é a pressão atmosférica 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚 logo o termo 𝜌𝜌𝑚𝑚ℎ referese à pressão manométrica do fluido Vamos fazer alguns exemplos para compreender melhor a aplicação da equação da estática dos fluidos Exemplo 4 O tanque mostrado na Figura 10 está cheio de gasolina e glicerina Determine a pressão manométrica sobre a torneira do dreno em 𝐶𝐶 em psi Considere 𝛾𝛾𝑔𝑔𝑎𝑎𝑎𝑎 453 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝é𝑠𝑠³ e 𝛾𝛾𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 787 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝é𝑠𝑠³ Figura 10 Tanque para exemplo 4 Fonte Hibbeler 2016 Solução Observe que o tanque está aberto logo 𝑃𝑃0 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚 porém como o objetivo é determinar a pressão manométrica considerase os valores a partir da pressão atmosférica ou seja nosso zero relativo é 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚 e por isso ela não é considerada no cálculo Aplicando a Equação 7 ao exemplo temse 𝑃𝑃𝐶𝐶 𝛾𝛾𝑔𝑔𝑎𝑎𝑎𝑎ℎ𝑔𝑔𝑎𝑎𝑎𝑎 𝛾𝛾𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔ℎ𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑃𝑃𝐶𝐶 4532 7873 Portanto 15 𝑃𝑃𝐶𝐶 3267 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑝𝑝é𝑠𝑠² Aqui temos que transformar a unidade de 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝é𝑠𝑠² para 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙² que é o psi Sabemos que 1𝑝𝑝é 12 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙 logo para esta transformação temos 𝑃𝑃𝐶𝐶 3267 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑝𝑝é𝑠𝑠² 3267 𝑙𝑙𝑙𝑙 12² 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙² Portanto 𝑃𝑃𝐶𝐶 2269 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙² ou 𝑃𝑃𝐶𝐶 2269 𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝 31 Variação da pressão para fluidos compressíveis Nesta seção vamos considerar a variação da pressão do fluido compressível à temperatura constante situação isotérmica A equação que descreve este caso é dada a seguir por 𝑃𝑃1 𝑃𝑃0𝑒𝑒𝑔𝑔𝑅𝑅𝑅𝑅ℎ 8 em que 𝑅𝑅 é a constante do gás Para uma melhor compreensão dessa aplicação considere o seguinte exemplo Exemplo 5 O gás natural no tanque de armazenamento mostrado na Figura 11 está contido dentro de uma membrana flexível e mantido sob pressão constante por meio de uma tampa pesada que se move à medida que o gás aumenta ou diminui dentro do tanque Determine o peso dessa tampa sabendo que a pressão manométrica na saída do tanque em 𝐴𝐴 é igual à 600 kPa O gás está a 20C 16 Figura 11 Tanque para exemplo 5 Fonte Hibbeler 2016 Solução Conforme enunciado a tampa desce à medida que o gás sai pelo bocal em A logo há um equilíbrio de forças entre o peso da tampa e a pressão interna do gás dentro do cilindro que pode ser visualizada na Figura 12 Figura 12 Forças na tampa do tanque para exemplo 5 Fonte Hibbeler 2016 Aplicando a equagao de equilibrio de forga em y eixo vertical temse 5 0 WPsAtampa 0 WPgAtampa WPsttiampa W 1107P Faremos duas analises neste problema A primeira considerando o fluido como incompressivel Neste caso faremos a aplicagao direta da Equagao 7 ao problema A Figura 13 mostra algumas propriedades de alguns gases Observe que para o metano gas natural a massa especifica 6 p 0665 kgm Figura 13 Propriedades fisicas dos gases a pressao atmosférica Gis ie a oe epee p kgm ut N sm v m7s R J kg K kcc Ar 15C 123 17910 14610 2869 140 Oxigénio 20C 133 20410 15210 2598 140 Nitrogénio 20C 116 17510 15110 2968 140 Hidrogénio 20C 00835 87410 10610 4124 141 Hélio 20C 0169 19210 11410 2077 166 Didxido de carbono 20C 184 14910 80910 1889 130 Metano 20Cgas natural 0665 11210 16810 5183 131 Fonte Hibbeler 2016 Aplicando a Equagao 7 ao problema temse PPzgpgh 60010 P 066598130 P 60010 066598130 Pp 59980429Pa ou Pz 599804 kPa Note que a pressao devido a coluna de fluido muito pequena pois o fluido possui uma massa especifica pequena Substituindo Pz 59980429 Pa no calculo anterior referente ao peso da tampa temse W710P W710059980429 Portanto o peso da tampa é W 1884310N ou W 18843 MN Considerando 0 gas como um fluido compressivel podemos observar na tabela mostrada na Figura 13 que a constante do gas R 5183 kgK 17 Vamos aplicar a Equagao 8 ao problema para isso temos que passar a temperatura para o Sl K logo somase a temperatura a constante de 273 ou seja T 20 273 logo T 293 K Aplicando a Equagao 8 ficamos com Pz PyeW9RTh Pz 600102 e981518329330 Py 600103 e764610730 P 600102e7193810 P 60010 099806 Portanto Pz 598838 kPa Substituindo Pz 598838 kPa no calculo referente ao peso da tampa temse W 710P W 7100598838102 Portanto o peso da tampa é W 1881310N ou W 18813 MN Veja que a diferenga considerando o fluido compressivel com incompressivel muito pequena na casa dos 1 was 100 0159 Portanto para este caso considerar a analise do fluido como incompressivel nao tras prejuizo significativo no resultado do peso da tampa Além disso a diferenga de pressao entre o topo B e o fundo A do tanque muito pequena Para a consideragao de fluido incompressivel a diferenca é de P Pg 600 kPa 599804 kPa 0196 kPa e para compressivel P Pg 600 kPa 598838 kPa 1162 kPa Com base nestes resultados geralmente satisfatorio nao considerar a variagao da pressao devido ao peso do gas Com base nesta hipotese temse que P P 600 kPa logo 0 peso da tampa é de aproximadamente W 7110P 10060010 portanto W 1885 MN TEMA 4 MEDIDORES DE PRESSAO Na pratica do engenheiro ha muitos dispositivos utilizados para medir a pressao absoluta e manomeétrica No topico 2 falamos sobre o bar6émetro que foi o dispositivo inventado por Torricelli para medir a pressao atmosférica Agora falaremos de outros sistemas para medir pressao Veremos casos bastante simples e até obsoletos ou pouco aplicados hoje em dia e outros mais rebuscados e bastante aplicados na industria e Piezémetro Esse tipo de manémetro composto por um tubo aberto para a atmosfera enquanto a outra extremidade esta inserida em um vaso 18 19 em que a pressão será medida A Figura 14 mostra a pressão considerando três volumes de fluido Observe que quanto maior a coluna de fluido maior é a diferença de altura do fluido manométrico representado na cor vermelha na Figura 14 e consequentemente maior a pressão Figura 14 Propriedades físicas dos gases à pressão atmosférica Crédito Kuno TomingShutterstock A pressão nesse tipo de manômetro é medida considerando a equação da estática dos fluidos Equação 7 e esse tipo de manômetro não funciona em sistemas com grandes pressões pois a altura de coluna teria que ser muito grande para medila mesmo considerando um fluido manométrico pesado como é o caso do mercúrio Manômetro diferencial É um dispositivo para determinar a diferença de pressão entre dois pontos em um sistema fechado de fluido A Figura 15 mostra esse tipo de manômetro 20 Figura 15 Propriedades físicas dos gases à pressão atmosférica Crédito Al SerovShutterstock Falaremos como se determina a pressão nesse tipo de manômetro no próximo tópico Manômetro de Bourdon Para pressões manométricas elevadas o manômetro de Bourdon é um dispositivo eficaz pois consiste em um filamento ou elemento de metal enrolado semelhante a uma mola que se desloca na proporção da pressão do sistema que está sendo medido Esse filamento está conectado ao ponteiro do manômetro que indica o valor da pressão A Figura 16 mostra duas imagens desse tipo de manômetro em que a primeira mostra um manômetro real com seus elementos internos e a segunda mostra um exemplo didático da estrutura interna desse tipo de dispositivo 21 Figura 16 Manômetro Bourdon a real e b exemplo didático da estrutura interna a b Créditos Kinek00Shutterstock Hibeler 2016 Muitos equipamentos e máquinas possuem esse tipo de dispositivo para medir a pressão pois possui uma larga aplicabilidade com uma tecnologia relativamente simples e acessível Transdutores de pressão São dispositivos que permitem a leitura de forma digital o que facilita a leitura Devido a sua tecnologia ele permite a leitura de forma rápida à medida que a pressão varia e traz uma leitura continua com o passar do tempo 22 Figura 17 Transdutor de pressão Crédito Sergey RyzhovShutterstock Esse dispositivo é constituído de uma membrana diafragma fino que se desloca à medida que a pressão a empurra A deformação da membrana é medida por meio de um transdutor de deformação e esse resultado é transformado por meio de equações relativamente simples em valores de pressão Outros manômetros O tubo de Bourdon de quartzo fundido de compensação forçada é um dos dispositivos mais preciso para medir pressão Semelhante ao manômetro de Bourdon há um filamento ou tubo metálico que é deformado à medida que a pressão atua sobre o sistema entretanto essa deformação é detectada opticamente Semelhantemente os manômetros piezoelétricos são também muito precisos pois detectam pequenas variações da pressão por meio da mudança do potencial elétrico de um cristal de quartzo ou camadas finas de silício 23 TEMA 5 CÁLCULO DA PRESSÃO PARA MANÔMETROS PIEZOMÉTRICOS E DIFERENCIAIS Este tópico dedicase a compreensão do cálculo da pressão considerando manômetros do tipo piezométrico e diferencial Adotaremos o cálculo somando as colunas de cada fluido da esquerda para direita A pressão é somada considerando colunas de cima para baixo e são subtraídas considerando as colunas de baixo para cima Vamos ao primeiro exemplo considerando um manômetro do tipo diferencial Exemplo 6 O funil mostrado na Figura 18 contém óleo e água enquanto o tubo U contém um fluido manométrico de mercúrio Determine a distância ℎ do mercúrio até a superfície de óleo a fim de que haja equilíbrio ou seja a fim de que a pressão gerada pela coluna de óleo mais a água seja equivalente a pressão da coluna de mercúrio Considere 𝜌𝜌ó𝑔𝑔𝑙𝑙𝑙𝑙 880 𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚³ 𝜌𝜌á𝑔𝑔𝑔𝑔𝑎𝑎 1000 𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚³ e 𝜌𝜌𝐻𝐻𝑔𝑔 13550 𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚³ Figura 18 Funil para cálculo do exemplo 6 Fonte Hibbeler 2016 Solução Conforme metodologia começamos do ponto 𝐴𝐴 Podemos dizer que a pressão no ponto 𝐴𝐴 é zero pois não está sendo considerado no problema 24 a coluna de ar acima do ponto 𝐴𝐴 mesmo porque essa pressão é muito pequena com relação as demais pois a massa específica do ar é muito inferior as dos demais elementos Aplicaremos a Equação 7 em que a pressão aumenta é somada para colunas de fluido que partem de um ponto mais alto para o mais baixo e diminui é subtraída de um ponto mais baixo para o mais alto e sendo o primeiro ponto o 𝐴𝐴 e último ponto o 𝐷𝐷 logo temse a seguinte equação aplicada ao problema 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐵𝐵 𝑃𝑃𝐶𝐶 𝑃𝑃𝐷𝐷 0 0 88098103 100098104 13550981 ℎ𝐶𝐶𝐷𝐷 0 258984 3924 1329255 ℎ𝐶𝐶𝐷𝐷 0 651384 1329255 ℎ𝐶𝐶𝐷𝐷 0 1329255 ℎ𝐶𝐶𝐷𝐷 651384 ℎ𝐶𝐶𝐷𝐷 651384 1329255 ℎ𝐶𝐶𝐷𝐷 0049 𝑚𝑚 A coluna de mercúrio para manter as pressões em equilíbrio é ℎ𝐶𝐶𝐷𝐷 0049 𝑚𝑚 Entretanto a altura solicitada é entre o ponto 𝐷𝐷 e o ponto 𝐴𝐴 Esse valor pode ser obtido subtraindo da altura entre o ponto 𝐴𝐴 e 𝐶𝐶 a altura entre os pontos 𝐶𝐶 e 𝐷𝐷 ℎ ℎ𝐴𝐴𝐶𝐶 ℎ𝐶𝐶𝐷𝐷 ℎ 03 04 0049 Portanto ℎ 0651 𝑚𝑚 Concluímos que a coluna de mercúrio é muito menor que as demais colunas pois a massa específica do mercúrio é muito maior e assim obtémse o equilíbrio entre as pressões Exemplo 7 Determine a diferença de pressão entre os pontos 𝐴𝐴 e 𝐵𝐵 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐵𝐵 do manômetro diferencial mostrado na Figura 19 Considere 𝜌𝜌𝐴𝐴𝐶𝐶 800 𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚³ 𝜌𝜌𝐷𝐷𝐵𝐵 800 𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚³ e 𝜌𝜌𝐶𝐶𝐷𝐷 1100 𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚³ 25 Figura 19 Manômetro diferencial para o exemplo 7 Fonte Hibbeler 2016 Solução Aplicando a metodologia partiremos do ponto 𝐴𝐴 e calcularemos as pressões de cada coluna de fluido até o ponto 𝐵𝐵 Assim temse 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐶𝐶 𝑃𝑃𝐶𝐶𝐷𝐷 𝑃𝑃𝐷𝐷𝐵𝐵 𝑃𝑃𝐵𝐵 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐵𝐵 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐶𝐶 𝑃𝑃𝐶𝐶𝐷𝐷 𝑃𝑃𝐷𝐷𝐵𝐵 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐵𝐵 800981003 11009810065 800981025 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐵𝐵 23544 701415 1962 Portanto a diferença de pressão entre o ponto 𝐴𝐴 e o ponto 𝐵𝐵 é 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐵𝐵 1025145 𝑃𝑃𝑃𝑃 Como essa diferença é negativa significa que a pressão no ponto 𝐴𝐴 é menor que a pressão no ponto 𝐵𝐵 Agora vamos consideram um exemplo de um manômetro piezométrico ou seja que está aberto para atmosfera Exemplo 8 Calcule a pressão absoluta na tubulação em B se o tanque estiver cheio de petróleo bruto como mostra a Figura 20 Considere 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚 101 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑃𝑃 𝜌𝜌𝑝𝑝𝑙𝑙𝑎𝑎𝑝𝑝𝑙𝑙𝑔𝑔𝑙𝑙𝑙𝑙 880 𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚³ e 𝜌𝜌á𝑔𝑔𝑔𝑔𝑎𝑎 1000 𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚³ 26 Figura 20 Manômetro piezométrico para o exemplo 8 Fonte Hibbeler 2016 Solução Aplicando a metodologia partiremos do topo do tanque e calcularemos as pressões de cada coluna de fluido até o ponto 𝐵𝐵 Assim tem se 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑝𝑝𝑙𝑙𝑎𝑎𝑝𝑝𝑙𝑙𝑔𝑔𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑃𝑃á𝑔𝑔𝑔𝑔𝑎𝑎 𝑃𝑃𝐵𝐵 101103 880981 15 04 1000981 04 05 𝑃𝑃𝐵𝐵 𝑃𝑃𝐵𝐵 101103 949608 8829 Portanto 𝑃𝑃𝐵𝐵 11933 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑃𝑃 abs Se fossemos considerar a pressão manométrica neste problema basta desconsiderar a pressão atmosférica no cálculo logo 𝑃𝑃𝐵𝐵 1833 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑃𝑃 man FINALIZANDO Nesta etapa falamos sobre a pressão uma das grandezas mais frequentes na mecânica dos fluidos Você aprendeu o princípio de Pascal o que é a pressão atmosférica pressão absoluta e pressão manométrica e descobriu como se constrói a equação da estática dos fluidos aplicada na obtenção da pressão em manômetros Piezométricos e Diferenciais Além disso viu os principais manômetros utilizados na indústria 27 REFERÊNCIAS HIBBELER R C Mecânica dos fluidos São Paulo Pearson 2016
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Texto de pré-visualização
MECÂNICA DOS FLUIDOS AULA 2 Profª Francielly Elizabeth de Castro Silva 2 CONVERSA INICIAL Nesta etapa você conhecerá o princípio de Pascal saberá a diferença entre pressão absoluta e manométrica descobrirá qual é a equação da estática dos fluidos os medidores de pressão encontrados na indústria como esses medidores funcionam e por fim como se determina a pressão quando se tem um manômetro do tipo piezométrico ou diferencial TEMA 1 PRINCÍPIO DE PASCAL Os fluidos podem gerar forças normais ou força de cisalhamento em um objeto Se o fluido estiver em repouso parado a viscosidade do fluido não promoverá forças cisalhantes sobre o corpo Entretanto o fluido exerce uma força normal sobre uma determinada área que é chamada de pressão A pressão na mecânica dos fluidos é a força normal que o fluido faz sobre uma superfície área Na resistência dos materiais há uma situação análoga só que considerando sólidos em que a força normal sobre uma superfície gera uma tensão normal média Aqui considerase uma área finita e a pressão aplicada de forma uniforme sobre essa área logo a pressão média na superfície é dada por 𝑃𝑃𝑚𝑚é𝑑𝑑 𝐹𝐹 𝐴𝐴 1 A unidade de pressão no SI é Pa que equivale a Nm² e no sistema inglês é o psi lbfpol² Neste momento vamos falar sobre o princípio de Pascal que está justamente associado à pressão média promovida por uma carga em uma determinada superfície No século XVII o matemático francês Blaise Pascal demostrou que a intensidade da pressão atuando em um ponto do fluido é equivalente à pressão nos demais pontos desse fluido ou seja essa pressão é transferida para todos os pontos do fluido Este princípio é aplicado nos elevadores hidráulicos como mostra a Figura 1 Imagine tentar levantar um veículo sem um macaco hidráulico ou até mesmo o mecânico de parafuso No caso do macaco hidráulico o operador que o está manuseando aplica uma força 𝐹𝐹1 sobre uma superfície relativamente pequena 𝐴𝐴1 Sabemos que essa força sobre a área produz uma pressão 𝑃𝑃1 Por meio do princípio de Pascal essa pressão que o operador aplica é transferida 3 para a superfície da plataforma sob o carro Observe na figura que a área da plataforma 𝐴𝐴2 é muito maior que a área em que o operador aplicou a força logo como a pressão é a mesma nas duas superfícies 𝑃𝑃1 𝑃𝑃2 para que haja equivalência temse 𝑃𝑃1 𝑃𝑃2 𝐹𝐹1 𝐴𝐴1 𝐹𝐹2 𝐴𝐴2 2 Figura 1 Elevador hidráulico Crédito grayjayShutterstock Trabalhando na Equação 2 para saber a força que está sendo aplicada na plataforma do carro isolamos o 𝐹𝐹2 logo 𝐹𝐹2 𝐹𝐹1𝐴𝐴2 𝐴𝐴1 3 Para compreender melhor o princípio de Pascal vamos resolver dois exemplos Exemplo 1 Considere o sistema de elevador hidráulico apresentado na Figura 2 para elevar caixas Sabendo que a caixa menor possui uma massa de 20 kg e que o êmbolo menor possui um diâmetro de 50 cm determine a força transmitida à caixa maior sabendo que ela possui uma massa de 40 kg e que o diametro do émbolo maior é de 1 m A carga da caixa menor é suficiente para elevar a caixa maior Figura 2 Elevador hidraulico para Exemplo 1 Pressure Crédito tersetkiShutterstock Solugao Este um caso de aplicagao quase que direta da Equacao 3 entretanto vale lembrar que no enunciado foram fornecidos os diametros dos émbolos e nao suas areas Entaéo podemos modificar a Equagao 3 para este caso por meio da seguinte equaao 2 n Be F 2 1D 4 Como o z e o 4 da equagao anterior estao no denominador e no numerador da equagao podemos cancelalos ficando apenas 4 2 Rate 4 Além disso é importante lembrar que forga é dada pelo produto da massa pela aceleragdo da gravidade ou seja F mg em que g 981 ms Utilizando os valores fornecidos no enunciado considerando as unidades no SI e aplicandoos na Equagao 4 ficamos com Fy 209811 Fh 62 F 7848N 057 2 025 2 ou também podemos calcular da seguinte forma 1 2 F 20981 ss F19624 F 7848N A forga produzida pela massa da caixa maior é dada por F 40981 F 3924N Portanto podemos afirmar que a caixa maior sera elevada pois a fora aplicada no mbolo maior é de 7848 N valor muito maior que 0 peso da caixa maior que equivale a 3924 N Concluimos também que a forga aplicada no émbolo maior proporcional ao quadrado da razao entre o diametro maior pelo menor Exemplo 2 Considere 0 macaco hidraulico apresentado na Figura 3 para elevar um automovel Sabendo que o mbolo menor possui um diametro D 10mm determine a forga F necessaria para elevar o carro de 1250 kg sabendo que o diametro do mbolo maior é D 40 mm Como a forga aplica é por meio de um sistema de alavanca considere 0 comprimento da alavanca de Cq 30 cme o diametro do pino em que a alavanca é rotacionada para aplicagao da carga é d 10 mm 5 6 Figura 3 Elevador hidráulico para Exemplo 2 Crédito FobosvobosShutterstock Solução Vimos que a pressão no êmbolo menor é transferida para o êmbolo maior por meio da Equação 2 Neste exemplo o objetivo é determinar a força 𝐹𝐹 necessária para elevar o carro de 1250 kg mas para isso devemos primeiro determinar a força 𝐹𝐹1 que deve ser aplicada para elevar essa carga Para isso podemos manipular a Equação 2 isolando a força no êmbolo menor ficando da seguinte forma 𝐹𝐹1 𝐹𝐹2𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐹𝐹1 𝐹𝐹2𝐷𝐷1 2 𝐷𝐷22 5 Substituindo os valores referente aos termos da Equação 5 porém todos no SI temse 𝐹𝐹1 𝐹𝐹2𝐷𝐷1 𝐷𝐷2 12509810012 0042 𝐹𝐹1 766406 𝑁𝑁 Agora temos que descobrir a relação entre a força a ser aplicada na alavanca e essa força do êmbolo Sabemos que o momento produzido pela força aplicada na alavanca 𝐹𝐹 será transmitido ao pino que realizará a força no êmbolo menor 𝐹𝐹1 assim temos a seguinte equação 𝑀𝑀 𝑀𝑀1 𝐹𝐹 𝑐𝑐𝑎𝑎 𝐹𝐹1 𝑑𝑑1 7 Isolando a força aplicada na alavanca e substituindo seus respectivos valores no SI temse 𝐹𝐹 𝐹𝐹1 𝑑𝑑1 𝑐𝑐𝑎𝑎 766406001 03 𝐹𝐹 2555 𝑁𝑁 Observe que com uma força bem pequena conseguimos elevar o carro de 1250 kg Este é o princípio do uso de alavancas na transmissão de momento para aplicação de torques e o princípio de pascal na transmissão de pressão para elevação de cargas TEMA 2 PRESSÃO ABSOLUTA E MANOMÉTRICA Para falar de pressão absoluta e pressão manométrica primeiro precisamos definir o que é pressão atmosférica O ar que está sobre nós gera uma pressão que já estamos muito acostumados com ela a chamada pressão atmosférica Evangelista Torricelli 16081647 foi o primeiro inventor de um equipamento para medir a pressão atmosférica Esse equipamento é chamado de barômetro e é constituído de um tubo de vidro com a boca para baixo cheio de mercúrio com sua abertura imersa numa vasilha com mercúrio como mostra a Figura 4 Devido à pressão que o ar faz sobre o mercúrio que está na vasilha o nível de mercúrio no tubo de vidro aumenta Este nível corresponde ao valor de 760 mm de altura de coluna de mercúrio a nível do mar e equilibra o peso do ar sobre a vasilha Essa altura da coluna de mercúrio corresponde à medida da pressão atmosférica Veremos no próximo tópico a relação entre a pressão atmosférica que adotamos 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚 1013 𝑘𝑘𝑃𝑃a e a pressão obtida via o barômetro de Torricelli 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚 760 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 8 Figura 4 Barômetro de Torricelli Crédito Sergey MerkulovShutterstock À medida que subimos uma montanha e a altitude é elevada a pressão atmosférica diminui Por exemplo para uma altura de 5000 metros acima do nível do mar a pressão atmosférica é de 05334101310³ 5403342 Pa ou 54033 kPa em que 05334 é a pressão relativa do ar à 5000 metros ou seja à 5000 metros de altitude a pressão cai para quase a metade da pressão atmosférica à nível do mar Isso porque a coluna de ar à 5000 metros de altitude é muito menor do que à nível do mar Como a pressão atmosférica é a pressão que encontramos em todos os locais e podemos dizer que praticamente todos equipamentos e sistemas estão submetidos à ela então consideramos ela como o zero relativo e a pressão no zero absoluto é a pressão de vácuo total Pressões abaixo da pressão atmosférica zero relativo são consideradas pressões vacuométricas vácuo A pressão manométrica é aquela que medimos a partir da pressão zero relativo pressão atmosférica e a pressão absoluta é aquela que medimos a partir do zero absoluto Considere a circunferência azul mostrada na Figura 5 Ela possui uma pressão absoluta 𝑃𝑃1𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 medida do zero absoluto e uma pressão manométrica 𝑃𝑃1𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚 medida do zero relativo 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚 Como a pressão manométrica é positiva logo é uma situação em que o fluido tende a ser empurrado para fora do seu 9 ambiente como acontece ao enchermos o pneu de uma bicicleta O ar dentro da câmara tende a sair se houver algum furo pois a pressão dentro da câmara é maior que a pressão fora dela Figura 5 Relação entre a pressão atmosférica pressão absoluta e pressão manométrica Agora considere a circunferência amarela mostrada na Figura 5 Ela possui uma pressão absoluta 𝑃𝑃2𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 medida do zero absoluto e uma pressão manométrica 𝑃𝑃2𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚 Neste caso a pressão manométrica assume um valor negativo pois está abaixo do zero relativo 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚 ou seja é uma situação em que o fluido tende a ser succionado Um exemplo é quando abrimos uma embalagem à vácuo de bacon ou carne em que o ar é succionado para dentro da embalagem que antes estava sem ar isso decorre por conta dessa diferença de pressão em que a pressão dentro da embalagem antes era zero ou quase zero A equação que descreve a relação entre a pressão atmosférica pressão absoluta e pressão manométrica é definida por 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚 6 Exemplo 3 Supondo que a pressão do ar dentro da câmara de ar do pneu de uma bicicleta é de 10 psi conforme medição no manômetro da bomba Figura 6 Sabendo que a pressão atmosférica é de 1013 kPa determine a pressão absoluta na câmara no SI 10 Figura 6 Bomba de ar para encher o pneu de uma bicicleta Crédito photopixelShutterstock Solução Como a pressão dentro da câmara da bicicleta está em psi e a pressão atmosférica fornecida está em Pa e como o objetivo é fornecer a pressão em Pa o primeiro passo é transformar a pressão de psi para Pa A relação entre psi e Pa é 1 𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝 689476 𝑃𝑃𝑃𝑃 Como a pressão na câmara medida no manômetro da bomba é 10 psi logo a pressão em Pa é dada por 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚 10689476 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚 689476 𝑃𝑃𝑃𝑃 ou 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚 689476 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑃𝑃 Aplicando a Equação 6 podemos obter a pressão absoluta dentro da câmara da bicicleta assim temse 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 1013103 689476103 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 1702476 𝑃𝑃𝑃𝑃 ou 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 17025 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑃𝑃 TEMA 3 EQUAÇÃO DA ESTÁTICA DOS FLUIDOS No dia 11082022 o mergulhador Arnauld Gerald bateu o novo recorde de mergulho livre atingindo a profundidade de 120 metros no evento Vertical Blue nas Bahamas Ele demorou três minutos e 34 segundos para atingir essa 11 profundidade O mergulho livre é uma categoria na qual o mergulhador utiliza apenas o ar dos pulmões barbatanas pés de pato e máscara de mergulho Figura 7 Figura 7 Mergulho livre Crédito Dudarev MikhailShutterstock Além da dificuldade de nao poder respirar durante o mergulho a pressao sobre o atleta aumenta a medida que ele vai se aprofundando no mar Isso porque a coluna de agua que esta sobre o atleta fica cada vez maior Essa pressao é obtida aplicando a equacao da estatica dos fluidos Considere um elemento cilindrico horizontal com comprimento Ay e area de secao transversal AA como mostra a Figura 8 Figura 8 Elemento cilindrico horizontal z re GED es Dee os Bae sae ae Le ca ne Ma Nt win uotale ganna com s a ath sae aah me Core a ee ESO Ss SL a cw po te gM Oe z ae 1 Noe GiNe ae ee a vi 2 Jae eon ow Oc ee AP cih LM ne CONSE Pate omar eae Ane aes oN SA ea Oe ONES CONOR EA Be J WS om Considerase a variagao da pressao do fundo do cilindro até sua frente OP dada por ay AY Aplicando a equagao de equilibrio de Newton por meio do somatorio das forgas em y temse OP 5 93 p ay a4 paa 0 y OP pAA AyAA pAA 0 dy Logo oP AyAA 0 Oy yon Isso significa que no plano horizontal a variagao da pressao é zero Isso também ocorrera no eixo x Agora considerando um cilindro na vertical com comprimento Az e area de secao transversal AA como mostra a Figura 9 tem se a seguinte equagao de equilibrio de forgas 12 Figura 9 Elemento cilindrico vertical Zz MZ ORD eh LL gm A Soa hast s Os NO ON CEG LOWS LODE 5S Dero eo eR esoe eA tn MR aaah S occa earn Ray Oo sacl oO oO tee ON x PNA ee as bh Oe Tee ae eo A al uae ee Sa a OR AL SOM Re On ctnen sas Ue zs A a a ait 4 Binet fl aA mn bs r al Oe are eaW cnr aaN Le Oa OE Neen ae 1D ae Sh get sao Si wry sa oa om am oo nO yh OOOO Ig MO was OS iy Soa MOS i Sncugin once Menee ty ane Sy da ait bay a le ait Oe a a ee Pee OWA CW OO ee OP F 0 phz AA yAAdz pAA 0 oP pAA 9 AzAA yAAdz pAA 0 Logo OP dP AzAA yAzAA y dPydz dz dz ou ainda dP pgdz O sinal negativo indica que a agao da agao da gravidade esta no sentido oposto ao do eixo z ou seja um vetor de sentido para baixo Considerando todo o fluido aplicase uma integral em dois pontos definidos z z em que para estes pontos respectivamente as pressdes sao Py e P logo Py Z1 i dP I pgdz Po Zo Resolvendo a integral acima temse PP9 pg4 PyPo pg Zo 21 Portanto Py Po pgZ 24 A equagao acima pode ser reescrita como P Pyo9pgh ou Py Pytyh 7 A Equagao 7 nos mostra que para qualquer pondo de um fluido a pressao é igual a pressao no ponto zero P que em geral é considerada a pressao na 13 14 superfície do fluido mais o peso da coluna de fluido sobre este ponto zero Por exemplo para sistemas abertos à superfície como reservatórios lagos rios etc a pressão 𝑃𝑃0 é a pressão atmosférica 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚 logo o termo 𝜌𝜌𝑚𝑚ℎ referese à pressão manométrica do fluido Vamos fazer alguns exemplos para compreender melhor a aplicação da equação da estática dos fluidos Exemplo 4 O tanque mostrado na Figura 10 está cheio de gasolina e glicerina Determine a pressão manométrica sobre a torneira do dreno em 𝐶𝐶 em psi Considere 𝛾𝛾𝑔𝑔𝑎𝑎𝑎𝑎 453 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝é𝑠𝑠³ e 𝛾𝛾𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 787 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝é𝑠𝑠³ Figura 10 Tanque para exemplo 4 Fonte Hibbeler 2016 Solução Observe que o tanque está aberto logo 𝑃𝑃0 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚 porém como o objetivo é determinar a pressão manométrica considerase os valores a partir da pressão atmosférica ou seja nosso zero relativo é 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚 e por isso ela não é considerada no cálculo Aplicando a Equação 7 ao exemplo temse 𝑃𝑃𝐶𝐶 𝛾𝛾𝑔𝑔𝑎𝑎𝑎𝑎ℎ𝑔𝑔𝑎𝑎𝑎𝑎 𝛾𝛾𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔ℎ𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑃𝑃𝐶𝐶 4532 7873 Portanto 15 𝑃𝑃𝐶𝐶 3267 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑝𝑝é𝑠𝑠² Aqui temos que transformar a unidade de 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝é𝑠𝑠² para 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙² que é o psi Sabemos que 1𝑝𝑝é 12 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙 logo para esta transformação temos 𝑃𝑃𝐶𝐶 3267 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑝𝑝é𝑠𝑠² 3267 𝑙𝑙𝑙𝑙 12² 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙² Portanto 𝑃𝑃𝐶𝐶 2269 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙² ou 𝑃𝑃𝐶𝐶 2269 𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝 31 Variação da pressão para fluidos compressíveis Nesta seção vamos considerar a variação da pressão do fluido compressível à temperatura constante situação isotérmica A equação que descreve este caso é dada a seguir por 𝑃𝑃1 𝑃𝑃0𝑒𝑒𝑔𝑔𝑅𝑅𝑅𝑅ℎ 8 em que 𝑅𝑅 é a constante do gás Para uma melhor compreensão dessa aplicação considere o seguinte exemplo Exemplo 5 O gás natural no tanque de armazenamento mostrado na Figura 11 está contido dentro de uma membrana flexível e mantido sob pressão constante por meio de uma tampa pesada que se move à medida que o gás aumenta ou diminui dentro do tanque Determine o peso dessa tampa sabendo que a pressão manométrica na saída do tanque em 𝐴𝐴 é igual à 600 kPa O gás está a 20C 16 Figura 11 Tanque para exemplo 5 Fonte Hibbeler 2016 Solução Conforme enunciado a tampa desce à medida que o gás sai pelo bocal em A logo há um equilíbrio de forças entre o peso da tampa e a pressão interna do gás dentro do cilindro que pode ser visualizada na Figura 12 Figura 12 Forças na tampa do tanque para exemplo 5 Fonte Hibbeler 2016 Aplicando a equagao de equilibrio de forga em y eixo vertical temse 5 0 WPsAtampa 0 WPgAtampa WPsttiampa W 1107P Faremos duas analises neste problema A primeira considerando o fluido como incompressivel Neste caso faremos a aplicagao direta da Equagao 7 ao problema A Figura 13 mostra algumas propriedades de alguns gases Observe que para o metano gas natural a massa especifica 6 p 0665 kgm Figura 13 Propriedades fisicas dos gases a pressao atmosférica Gis ie a oe epee p kgm ut N sm v m7s R J kg K kcc Ar 15C 123 17910 14610 2869 140 Oxigénio 20C 133 20410 15210 2598 140 Nitrogénio 20C 116 17510 15110 2968 140 Hidrogénio 20C 00835 87410 10610 4124 141 Hélio 20C 0169 19210 11410 2077 166 Didxido de carbono 20C 184 14910 80910 1889 130 Metano 20Cgas natural 0665 11210 16810 5183 131 Fonte Hibbeler 2016 Aplicando a Equagao 7 ao problema temse PPzgpgh 60010 P 066598130 P 60010 066598130 Pp 59980429Pa ou Pz 599804 kPa Note que a pressao devido a coluna de fluido muito pequena pois o fluido possui uma massa especifica pequena Substituindo Pz 59980429 Pa no calculo anterior referente ao peso da tampa temse W710P W710059980429 Portanto o peso da tampa é W 1884310N ou W 18843 MN Considerando 0 gas como um fluido compressivel podemos observar na tabela mostrada na Figura 13 que a constante do gas R 5183 kgK 17 Vamos aplicar a Equagao 8 ao problema para isso temos que passar a temperatura para o Sl K logo somase a temperatura a constante de 273 ou seja T 20 273 logo T 293 K Aplicando a Equagao 8 ficamos com Pz PyeW9RTh Pz 600102 e981518329330 Py 600103 e764610730 P 600102e7193810 P 60010 099806 Portanto Pz 598838 kPa Substituindo Pz 598838 kPa no calculo referente ao peso da tampa temse W 710P W 7100598838102 Portanto o peso da tampa é W 1881310N ou W 18813 MN Veja que a diferenga considerando o fluido compressivel com incompressivel muito pequena na casa dos 1 was 100 0159 Portanto para este caso considerar a analise do fluido como incompressivel nao tras prejuizo significativo no resultado do peso da tampa Além disso a diferenga de pressao entre o topo B e o fundo A do tanque muito pequena Para a consideragao de fluido incompressivel a diferenca é de P Pg 600 kPa 599804 kPa 0196 kPa e para compressivel P Pg 600 kPa 598838 kPa 1162 kPa Com base nestes resultados geralmente satisfatorio nao considerar a variagao da pressao devido ao peso do gas Com base nesta hipotese temse que P P 600 kPa logo 0 peso da tampa é de aproximadamente W 7110P 10060010 portanto W 1885 MN TEMA 4 MEDIDORES DE PRESSAO Na pratica do engenheiro ha muitos dispositivos utilizados para medir a pressao absoluta e manomeétrica No topico 2 falamos sobre o bar6émetro que foi o dispositivo inventado por Torricelli para medir a pressao atmosférica Agora falaremos de outros sistemas para medir pressao Veremos casos bastante simples e até obsoletos ou pouco aplicados hoje em dia e outros mais rebuscados e bastante aplicados na industria e Piezémetro Esse tipo de manémetro composto por um tubo aberto para a atmosfera enquanto a outra extremidade esta inserida em um vaso 18 19 em que a pressão será medida A Figura 14 mostra a pressão considerando três volumes de fluido Observe que quanto maior a coluna de fluido maior é a diferença de altura do fluido manométrico representado na cor vermelha na Figura 14 e consequentemente maior a pressão Figura 14 Propriedades físicas dos gases à pressão atmosférica Crédito Kuno TomingShutterstock A pressão nesse tipo de manômetro é medida considerando a equação da estática dos fluidos Equação 7 e esse tipo de manômetro não funciona em sistemas com grandes pressões pois a altura de coluna teria que ser muito grande para medila mesmo considerando um fluido manométrico pesado como é o caso do mercúrio Manômetro diferencial É um dispositivo para determinar a diferença de pressão entre dois pontos em um sistema fechado de fluido A Figura 15 mostra esse tipo de manômetro 20 Figura 15 Propriedades físicas dos gases à pressão atmosférica Crédito Al SerovShutterstock Falaremos como se determina a pressão nesse tipo de manômetro no próximo tópico Manômetro de Bourdon Para pressões manométricas elevadas o manômetro de Bourdon é um dispositivo eficaz pois consiste em um filamento ou elemento de metal enrolado semelhante a uma mola que se desloca na proporção da pressão do sistema que está sendo medido Esse filamento está conectado ao ponteiro do manômetro que indica o valor da pressão A Figura 16 mostra duas imagens desse tipo de manômetro em que a primeira mostra um manômetro real com seus elementos internos e a segunda mostra um exemplo didático da estrutura interna desse tipo de dispositivo 21 Figura 16 Manômetro Bourdon a real e b exemplo didático da estrutura interna a b Créditos Kinek00Shutterstock Hibeler 2016 Muitos equipamentos e máquinas possuem esse tipo de dispositivo para medir a pressão pois possui uma larga aplicabilidade com uma tecnologia relativamente simples e acessível Transdutores de pressão São dispositivos que permitem a leitura de forma digital o que facilita a leitura Devido a sua tecnologia ele permite a leitura de forma rápida à medida que a pressão varia e traz uma leitura continua com o passar do tempo 22 Figura 17 Transdutor de pressão Crédito Sergey RyzhovShutterstock Esse dispositivo é constituído de uma membrana diafragma fino que se desloca à medida que a pressão a empurra A deformação da membrana é medida por meio de um transdutor de deformação e esse resultado é transformado por meio de equações relativamente simples em valores de pressão Outros manômetros O tubo de Bourdon de quartzo fundido de compensação forçada é um dos dispositivos mais preciso para medir pressão Semelhante ao manômetro de Bourdon há um filamento ou tubo metálico que é deformado à medida que a pressão atua sobre o sistema entretanto essa deformação é detectada opticamente Semelhantemente os manômetros piezoelétricos são também muito precisos pois detectam pequenas variações da pressão por meio da mudança do potencial elétrico de um cristal de quartzo ou camadas finas de silício 23 TEMA 5 CÁLCULO DA PRESSÃO PARA MANÔMETROS PIEZOMÉTRICOS E DIFERENCIAIS Este tópico dedicase a compreensão do cálculo da pressão considerando manômetros do tipo piezométrico e diferencial Adotaremos o cálculo somando as colunas de cada fluido da esquerda para direita A pressão é somada considerando colunas de cima para baixo e são subtraídas considerando as colunas de baixo para cima Vamos ao primeiro exemplo considerando um manômetro do tipo diferencial Exemplo 6 O funil mostrado na Figura 18 contém óleo e água enquanto o tubo U contém um fluido manométrico de mercúrio Determine a distância ℎ do mercúrio até a superfície de óleo a fim de que haja equilíbrio ou seja a fim de que a pressão gerada pela coluna de óleo mais a água seja equivalente a pressão da coluna de mercúrio Considere 𝜌𝜌ó𝑔𝑔𝑙𝑙𝑙𝑙 880 𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚³ 𝜌𝜌á𝑔𝑔𝑔𝑔𝑎𝑎 1000 𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚³ e 𝜌𝜌𝐻𝐻𝑔𝑔 13550 𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚³ Figura 18 Funil para cálculo do exemplo 6 Fonte Hibbeler 2016 Solução Conforme metodologia começamos do ponto 𝐴𝐴 Podemos dizer que a pressão no ponto 𝐴𝐴 é zero pois não está sendo considerado no problema 24 a coluna de ar acima do ponto 𝐴𝐴 mesmo porque essa pressão é muito pequena com relação as demais pois a massa específica do ar é muito inferior as dos demais elementos Aplicaremos a Equação 7 em que a pressão aumenta é somada para colunas de fluido que partem de um ponto mais alto para o mais baixo e diminui é subtraída de um ponto mais baixo para o mais alto e sendo o primeiro ponto o 𝐴𝐴 e último ponto o 𝐷𝐷 logo temse a seguinte equação aplicada ao problema 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐵𝐵 𝑃𝑃𝐶𝐶 𝑃𝑃𝐷𝐷 0 0 88098103 100098104 13550981 ℎ𝐶𝐶𝐷𝐷 0 258984 3924 1329255 ℎ𝐶𝐶𝐷𝐷 0 651384 1329255 ℎ𝐶𝐶𝐷𝐷 0 1329255 ℎ𝐶𝐶𝐷𝐷 651384 ℎ𝐶𝐶𝐷𝐷 651384 1329255 ℎ𝐶𝐶𝐷𝐷 0049 𝑚𝑚 A coluna de mercúrio para manter as pressões em equilíbrio é ℎ𝐶𝐶𝐷𝐷 0049 𝑚𝑚 Entretanto a altura solicitada é entre o ponto 𝐷𝐷 e o ponto 𝐴𝐴 Esse valor pode ser obtido subtraindo da altura entre o ponto 𝐴𝐴 e 𝐶𝐶 a altura entre os pontos 𝐶𝐶 e 𝐷𝐷 ℎ ℎ𝐴𝐴𝐶𝐶 ℎ𝐶𝐶𝐷𝐷 ℎ 03 04 0049 Portanto ℎ 0651 𝑚𝑚 Concluímos que a coluna de mercúrio é muito menor que as demais colunas pois a massa específica do mercúrio é muito maior e assim obtémse o equilíbrio entre as pressões Exemplo 7 Determine a diferença de pressão entre os pontos 𝐴𝐴 e 𝐵𝐵 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐵𝐵 do manômetro diferencial mostrado na Figura 19 Considere 𝜌𝜌𝐴𝐴𝐶𝐶 800 𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚³ 𝜌𝜌𝐷𝐷𝐵𝐵 800 𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚³ e 𝜌𝜌𝐶𝐶𝐷𝐷 1100 𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚³ 25 Figura 19 Manômetro diferencial para o exemplo 7 Fonte Hibbeler 2016 Solução Aplicando a metodologia partiremos do ponto 𝐴𝐴 e calcularemos as pressões de cada coluna de fluido até o ponto 𝐵𝐵 Assim temse 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐶𝐶 𝑃𝑃𝐶𝐶𝐷𝐷 𝑃𝑃𝐷𝐷𝐵𝐵 𝑃𝑃𝐵𝐵 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐵𝐵 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐶𝐶 𝑃𝑃𝐶𝐶𝐷𝐷 𝑃𝑃𝐷𝐷𝐵𝐵 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐵𝐵 800981003 11009810065 800981025 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐵𝐵 23544 701415 1962 Portanto a diferença de pressão entre o ponto 𝐴𝐴 e o ponto 𝐵𝐵 é 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐵𝐵 1025145 𝑃𝑃𝑃𝑃 Como essa diferença é negativa significa que a pressão no ponto 𝐴𝐴 é menor que a pressão no ponto 𝐵𝐵 Agora vamos consideram um exemplo de um manômetro piezométrico ou seja que está aberto para atmosfera Exemplo 8 Calcule a pressão absoluta na tubulação em B se o tanque estiver cheio de petróleo bruto como mostra a Figura 20 Considere 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚 101 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑃𝑃 𝜌𝜌𝑝𝑝𝑙𝑙𝑎𝑎𝑝𝑝𝑙𝑙𝑔𝑔𝑙𝑙𝑙𝑙 880 𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚³ e 𝜌𝜌á𝑔𝑔𝑔𝑔𝑎𝑎 1000 𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚³ 26 Figura 20 Manômetro piezométrico para o exemplo 8 Fonte Hibbeler 2016 Solução Aplicando a metodologia partiremos do topo do tanque e calcularemos as pressões de cada coluna de fluido até o ponto 𝐵𝐵 Assim tem se 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑝𝑝𝑙𝑙𝑎𝑎𝑝𝑝𝑙𝑙𝑔𝑔𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑃𝑃á𝑔𝑔𝑔𝑔𝑎𝑎 𝑃𝑃𝐵𝐵 101103 880981 15 04 1000981 04 05 𝑃𝑃𝐵𝐵 𝑃𝑃𝐵𝐵 101103 949608 8829 Portanto 𝑃𝑃𝐵𝐵 11933 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑃𝑃 abs Se fossemos considerar a pressão manométrica neste problema basta desconsiderar a pressão atmosférica no cálculo logo 𝑃𝑃𝐵𝐵 1833 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑃𝑃 man FINALIZANDO Nesta etapa falamos sobre a pressão uma das grandezas mais frequentes na mecânica dos fluidos Você aprendeu o princípio de Pascal o que é a pressão atmosférica pressão absoluta e pressão manométrica e descobriu como se constrói a equação da estática dos fluidos aplicada na obtenção da pressão em manômetros Piezométricos e Diferenciais Além disso viu os principais manômetros utilizados na indústria 27 REFERÊNCIAS HIBBELER R C Mecânica dos fluidos São Paulo Pearson 2016