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MECÂNICA QUÂNTICA AULA 5 Profª Adriana do Rocio Lopes Steklain Lisbôa CONVERSA INICIAL A mecanica quantica apresenta solugdes para os problemas que envolvem particulas em trés dimensdes e nessas solugdes encontramos a degenerescéncia na fungao de onda e na energia Alem disso vemos que aparece 0 momento angular intrinseco associado ao spin que um efeito puramente quantico Esses conceitos serao apresentados em detalhes O objetivo desta aula é estudar a equacgao de Schroedinger em trés dimensoes e resolver a equagao para o problema do poco quadrado infinito tridimensional Vamos introduzir 0 operador do momento angular o operador de spin e também o experimento de SternGerlach TEMA 1 EQUAGAO DE SCHROEDINGER EM TRES DIMENSOES Postulamos a equacao de Schroedinger dependente do tempo em trés dimens6es OWr t n in 2m V WF t Vx yzt 7 t Se considerarmos uma particula de massa m em uma dimensao a equacgao de Schroedinger pode ser escrita da forma h d7Wxt OWx t 2m axe VG t Px t ih A solugao que satisfaz essa equagao uma onda harmonica na forma exponencial da forma Wx t Ae Alcoskx wt isenkx wt A densidade de probabilidade da fungao de onda em trés dimens6es é descrita por Ptdr 70 Odr W dr A integral envolve as trés dimensGes x ye Z 00 PF t7d3r 1 2 Se considerarmos a particula livre V 0 os estados estacionarios serao na forma de ondas planas monocromaticas com degenerescéncia infinita com o vetor de onda apontando para qualquer diregao do espago We t C elk7ot A solugao geral é dada por um pacote de onda tridimensional calculado por meio da integral Gr ipt WrtSpe i e 2imd3p Onde ipx Pcer TEMA 2 POCO QUADRADO INFINITO TRIDIMENSIONAL Alguns problemas e alguns potenciais nao dependem do tempo e as fungdes do tempo e do espacgo podem ser separadas Aqui vamos demonstrar os calculos para um poco quadrado infinito tridimensional dado por Oxa V0 o yb Ozc V o foradacaixa A equagao de Schroedinger tridimensional nesse caso é nh a a a aty otw ot Ew 2m dx2 dy az Onde a fungao de onda vai depender da posicao da particula em x y e z Fazendo uma mudanga de variavel wx yZ XxXyZz Substituindo na expressao aw ad ary ur aw VW axz YL ayz AY Zi572 XYZ 3 Rearranjando os termos Ae oY op oY 2mdx dy dz Ew XYZ a Simplificando essa expressao obtemos h2 xX y Zz E 2mX YY Z Onde E é a energia total sendo uma relagao entre as energias de cada eixo EEEE A energia E Ey E esta associada ao movimento da particula ao longo do eixo x y Z relacionada a fungao de onda Xx YyZZ A solugao para a caixa tridimensional é wx yz papyypz Utilizando a solugao para o poco infinito em uma dimensao temos a solugao em trés dimensoes 8 1 1X muy NZ wx yz sen n sen ny sen n A energia da particula na caixa sera h2 nz n2 n2 E434 8ma b c Vamos considerar agora nossa caixa tridimensional como um cubo abcL A fungao de onda é 23 1x muy 1Z p sen n sen ny sen n E aenergia é dada por 4 h2 2 2 2 E nz n n 8mL Quando temos n n n 1 temos a degenerescéncia para a fungao de onda e a energia é E 3h 8mL2 TEMA 3 OPERADOR MOMENTO ANGULAR Assim como o movimento linear possui o momento linear no movimento de rotagao temos o momento angular orbital que ocorre devido a forgas centrais derivarem de um potencial que so depende da variavel r Forgas centrais também nao produzem torque entao o momento angular se conserva Da mecanica classica Lrxp Substituindo o momento linear pelo operador temos h LrxV Ul As componentes do momento angular L Lyi Lj L3k Cada componente do operador de momento angular respeita a seguinte regra de comutagao z L ihe jul Para calcular o autovalor de L e L usamos as coordenadas esféricas v 0 10 1 18 10 T or rsen0 09 r 00 As componentes do momento angular sao 5 h 0 0 L 7 senp cosgcotd 50 L h 0 0 0 yG cosp 0 sSengco dp L ha 7 ido Usando uma relagao geral para a obtencao de cada componente do momento angular 0 Ly thé jx tax A soma do momento angular somando todas as componentes em coordenadas esféricas é dada por P12412412 h 1 a sene Ry sen200Qg2 send a0 Utilizando os harmGnicos esféricos in 21m m img pm Y 09 an m DY em Pe cos Que sao as autofungdes do momento angular Aplicando as componentes na diregao z e o momento angular total ao quadrado obtemos os autovalores m WOYe m LiY i dp mehY LYP 41hY O momento angular orbital quantizado e nos descreve a dependéncia com dois numeros quanticos e m 0 numero quantico azimutal e o numero quantico magnético Eles podem assumir os seguintes valores 012n1 Mey 0 1 wet Qualquer componente do momento angular comuta com o quadrado do momento angular 6 t 17 0 Podemos também escrever 0 momento angular total por meio das relagdes de subida e descida Ly ly ily icosp cose i eoto L ty i seng icosp 20 cose isenco ap Utilizando a relagdo cosp iseng e L het 5 icoto a5 007 a0 TEMA 4 OPERADOR DE SPIN Em 1925 Uhlembeck e Goudsmith propunham que o elétron teria um momento angular intrinseco com s 12 O spin um fenémeno puramente quantico pois desaparece quando h 0 Pode ser incluido de forma ad hoc na equacao de Schroedinger mas uma consequéncia necessaria da derivagao da mecanica quantica relativistica de Dirac O momento angular orbital L 7 x B representa o movimento do centro de massa do elétron ao redor do nucleo descrito por harménicos esféricos O momento angular de spin S Iw esta associado ao movimento do elétron no espaco descrito por r 0 As relagoes de comutacgao obedecem SSy ins S 5 ihS S Sy ihSy Si SiSy Da mesma forma que 0 momento angular orbital tem autovalores e autovetores associados o momento angular de spin pode ser relacionado a Ssm hss 1sm Ssm hmsm 7 O valor de s 055 0 valor de m 5 Agora vamos utilizar os spinores que sao matrizes colunas que podem ser definidos por a x ax bx Onde x 5 representa o spin up com autovalor h2 e y 9 representando o spin down com autovalor h2 Utilizando uma relagao de kets e bras em uma base arbitraria temos o 1 t IH2 a 94120 x 2 1 2 yt I2QxCl2 ext Aplicando uma fungao qualquer re a a a la Da mesma forma 0 complexo conjugado dessa fungao a a a a l Agora vamos usar as relagées dos spinores tlayy C4 x fay co ea Ox Definindo h S 7 x4 h 18kl 5 Onde temos as matrizes de Pauli f0 1 Ox G 0 0 i Oy 0 f1 0 Oz 5 4 8 A relagao entre o spin e as matrizes de Pauli é s h Essas matrizes possuem as seguintes propriedades o 0 dy oi a 21E KOK ov 1 o 0 Deto 1 TEMA 5 EXPERIMENTO DE STERNGERLACH Em meados de 1922 na Universidade de Hamburgo Stern e Gerlach realizaram um experimento com atomos de prata para verificar como se comportava o momento magnético das particulas do feixe Eles pegaram uma amostra de prata vaporizada em um forno e alguns atomos de vapor escaparam por uma fenda estreita na parede do forno entrando em um tubo com vacuo Alguns atomos passaram por uma segunda fenda paralela a primeira e formam um feixe estreito de atomos um feixe colimado O feixe passa entre os polos do eletroima e entao atingem uma placa de vidro formando um deposito de atomos de prata Quando o eletroima se encontra desligado o deposito de atomos de prata forma uma mancha paralela as fendas Vamos considerar a forga magnética da interagao entre o campo magnetico B do eletroima e os dipolos magnéticos dos atomos de prata A energia potencial U de um dipolo na presenga de um campo é UjiB Considerando a diregao do campo como z UpuB dU aB az az O momento magnético de dipolo esta relacionado a matriz de spin 9 HyS Onde y 0 raio giromagnético Podemos entao escrever a energia potencial U como U yB S Sem campo magnético a derivada do campo em relagao a z aBdz 0 zero e os atomos de prata nao sofrem nenhuma deflexao quando passam pelo eletroima Se o eletroima estiver ligado os atomos de prata colimados passam pelo ima Cuja componente B do campo aumenta gradualmente com z Depois de passarem pelo ima os atomos de prata incidem em uma placa coletora A variagao do campo magnético gera diferentes orientagdes no feixe Além do torque produz apenas uma precessao do momento magneético em torno da diregao do campo e existe uma forga na diregao z que depende do sinal do momento magnético Essa forga causa uma deflexao do feixe para cima e para baixo proporcional a variagao do campo no sentido do eixo z e ao momento magnético O teorema de Larmor descreve que particulas carregadas em rotagao possuem um momento magnético proporcional ao momento angular De forma matematica onde M é a massa do elétron q E7IM Substituindo o valor do momento angular eh Lon 1 Jel Dues A componente z do momento magnético é descrita por LH Mpg Onde wg O magneton de Bohr ou unidade natural do momento magnético 10 enh 24 Mp 927 xX 10 jouletesla 2M Como o momento magnético é proporcional ao momento angular que é quantizado 4 pode assumir apenas os valores correspondentes ao valor de m Nesse caso seriam os valores de 2 1 Como os atomos de prata eram neutros Stern e Gerlach esperavam observar apenas uma linha central de atomos no anteparo contudo tanto para a prata quanto para os atomos de hidrogénio eles observaram duas linhas Isso ocorreu devido ao momento magnético de spin cuja componente z pode ser h h S20usz 2 2 Como 0 momento angular orbital 6 nulo temos somente a componente do momento angular de spin NA PRATICA O positrénio um sistema composto por um elétron e por um positron unidos O sistema é instavel e depois de uma vida média de nanossegundos as duas particulas se aniquilam e produzem dois fdtons raios gama dependendo do estado relativo dos spins A orbita e o nivel de energia do elétron e do positron sao semelhantes aos do atomo de hidrogénio Sabendo disso vamos calcular o estado fundamental e o raio de Bohr para o positrénio Vamos utilizar E e nh 2a me m 911 x 103kgm 167 x 10kg e 480 x 10 esu Primeiro calculamos a massa reduzida 1 1 1 m m mm mM 2 2 E e mc e 6 Bev TS OO OC O e 2Ag 2 hec Perceba que essa energia é praticamente a metade da energia do estado fundamental para o atomo de hidrogénio O raio de Bohr nesse caso é 11 A 105 x 10cm Agora vamos demonstrar a degenerescéncia para o autoestado do positr6nio utilizando o spin do elétron Nesse caso a degenerescéncia seria 4 Considerando o positron como 1 o elétron como 2 e o autoestado de spin na diregao z de uma unica particula com autovalores h2 o estado fundamental total é S S Sz e as autofungo6es sao a1a2 paraS heSh 1 a1B2 BAa2 paraS heS0 V2 BIAB2 paraSheSh 1 sla1p2 BAa2 paras 0eS0 V2 O estado fundamental do positr6énio pode decair por aniquilagao em fotons Calcule a energia e o momento angular liberado nesse processo e prove que devem existir pelo menos dois fotons nesse processo A energia liberada no processo de aniquilagao vem da massa restante do elétron e do positron AE 2mc 102MeV O momento angular depende do estado do positrénio antes da aniquilagao Para S 0 nao ha momento angular liberado enquanto para S h temos AJ J Dh v2h De acordo com a conservagao de energia e do momento devem existir ao menos dois fotons no processo de aniquilagao FINALIZANDO Nesta aula demonstramos a equagao de Schroedinger em trés dimens6es em coordenadas cartesianas e calculamos 0 pogo quadrado infinito em trés dimensdes Demonstramos o operador de momento angular e o operador de spin e estudamos o experimento de SternGerlach No final calculamos a energia o momento angular e as fung6es de spin para o positrdénio 12 13 REFERÊNCIAS GRIFFITHS D J Introduction to quantum mechanics 2 ed São Paulo Pearson 2004 HALLIDAY D RESNICK R WALKER J Fundamentos de física 4 ed Rio de Janeiro LTC 1996 v 4 SCHIFF L Quantum mechanics 3 ed Tokio McGrawHill 1968 TANNOUDJI C C DIU B LALOE F Quantum mechanics v 1 Paris John Wiley Sons 1977 TIPLER P A LLEWELLYN R A Física moderna 5 ed Rio de Janeiro LTC 2010
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MECÂNICA QUÂNTICA AULA 5 Profª Adriana do Rocio Lopes Steklain Lisbôa CONVERSA INICIAL A mecanica quantica apresenta solugdes para os problemas que envolvem particulas em trés dimensdes e nessas solugdes encontramos a degenerescéncia na fungao de onda e na energia Alem disso vemos que aparece 0 momento angular intrinseco associado ao spin que um efeito puramente quantico Esses conceitos serao apresentados em detalhes O objetivo desta aula é estudar a equacgao de Schroedinger em trés dimensoes e resolver a equagao para o problema do poco quadrado infinito tridimensional Vamos introduzir 0 operador do momento angular o operador de spin e também o experimento de SternGerlach TEMA 1 EQUAGAO DE SCHROEDINGER EM TRES DIMENSOES Postulamos a equacao de Schroedinger dependente do tempo em trés dimens6es OWr t n in 2m V WF t Vx yzt 7 t Se considerarmos uma particula de massa m em uma dimensao a equacgao de Schroedinger pode ser escrita da forma h d7Wxt OWx t 2m axe VG t Px t ih A solugao que satisfaz essa equagao uma onda harmonica na forma exponencial da forma Wx t Ae Alcoskx wt isenkx wt A densidade de probabilidade da fungao de onda em trés dimens6es é descrita por Ptdr 70 Odr W dr A integral envolve as trés dimensGes x ye Z 00 PF t7d3r 1 2 Se considerarmos a particula livre V 0 os estados estacionarios serao na forma de ondas planas monocromaticas com degenerescéncia infinita com o vetor de onda apontando para qualquer diregao do espago We t C elk7ot A solugao geral é dada por um pacote de onda tridimensional calculado por meio da integral Gr ipt WrtSpe i e 2imd3p Onde ipx Pcer TEMA 2 POCO QUADRADO INFINITO TRIDIMENSIONAL Alguns problemas e alguns potenciais nao dependem do tempo e as fungdes do tempo e do espacgo podem ser separadas Aqui vamos demonstrar os calculos para um poco quadrado infinito tridimensional dado por Oxa V0 o yb Ozc V o foradacaixa A equagao de Schroedinger tridimensional nesse caso é nh a a a aty otw ot Ew 2m dx2 dy az Onde a fungao de onda vai depender da posicao da particula em x y e z Fazendo uma mudanga de variavel wx yZ XxXyZz Substituindo na expressao aw ad ary ur aw VW axz YL ayz AY Zi572 XYZ 3 Rearranjando os termos Ae oY op oY 2mdx dy dz Ew XYZ a Simplificando essa expressao obtemos h2 xX y Zz E 2mX YY Z Onde E é a energia total sendo uma relagao entre as energias de cada eixo EEEE A energia E Ey E esta associada ao movimento da particula ao longo do eixo x y Z relacionada a fungao de onda Xx YyZZ A solugao para a caixa tridimensional é wx yz papyypz Utilizando a solugao para o poco infinito em uma dimensao temos a solugao em trés dimensoes 8 1 1X muy NZ wx yz sen n sen ny sen n A energia da particula na caixa sera h2 nz n2 n2 E434 8ma b c Vamos considerar agora nossa caixa tridimensional como um cubo abcL A fungao de onda é 23 1x muy 1Z p sen n sen ny sen n E aenergia é dada por 4 h2 2 2 2 E nz n n 8mL Quando temos n n n 1 temos a degenerescéncia para a fungao de onda e a energia é E 3h 8mL2 TEMA 3 OPERADOR MOMENTO ANGULAR Assim como o movimento linear possui o momento linear no movimento de rotagao temos o momento angular orbital que ocorre devido a forgas centrais derivarem de um potencial que so depende da variavel r Forgas centrais também nao produzem torque entao o momento angular se conserva Da mecanica classica Lrxp Substituindo o momento linear pelo operador temos h LrxV Ul As componentes do momento angular L Lyi Lj L3k Cada componente do operador de momento angular respeita a seguinte regra de comutagao z L ihe jul Para calcular o autovalor de L e L usamos as coordenadas esféricas v 0 10 1 18 10 T or rsen0 09 r 00 As componentes do momento angular sao 5 h 0 0 L 7 senp cosgcotd 50 L h 0 0 0 yG cosp 0 sSengco dp L ha 7 ido Usando uma relagao geral para a obtencao de cada componente do momento angular 0 Ly thé jx tax A soma do momento angular somando todas as componentes em coordenadas esféricas é dada por P12412412 h 1 a sene Ry sen200Qg2 send a0 Utilizando os harmGnicos esféricos in 21m m img pm Y 09 an m DY em Pe cos Que sao as autofungdes do momento angular Aplicando as componentes na diregao z e o momento angular total ao quadrado obtemos os autovalores m WOYe m LiY i dp mehY LYP 41hY O momento angular orbital quantizado e nos descreve a dependéncia com dois numeros quanticos e m 0 numero quantico azimutal e o numero quantico magnético Eles podem assumir os seguintes valores 012n1 Mey 0 1 wet Qualquer componente do momento angular comuta com o quadrado do momento angular 6 t 17 0 Podemos também escrever 0 momento angular total por meio das relagdes de subida e descida Ly ly ily icosp cose i eoto L ty i seng icosp 20 cose isenco ap Utilizando a relagdo cosp iseng e L het 5 icoto a5 007 a0 TEMA 4 OPERADOR DE SPIN Em 1925 Uhlembeck e Goudsmith propunham que o elétron teria um momento angular intrinseco com s 12 O spin um fenémeno puramente quantico pois desaparece quando h 0 Pode ser incluido de forma ad hoc na equacao de Schroedinger mas uma consequéncia necessaria da derivagao da mecanica quantica relativistica de Dirac O momento angular orbital L 7 x B representa o movimento do centro de massa do elétron ao redor do nucleo descrito por harménicos esféricos O momento angular de spin S Iw esta associado ao movimento do elétron no espaco descrito por r 0 As relagoes de comutacgao obedecem SSy ins S 5 ihS S Sy ihSy Si SiSy Da mesma forma que 0 momento angular orbital tem autovalores e autovetores associados o momento angular de spin pode ser relacionado a Ssm hss 1sm Ssm hmsm 7 O valor de s 055 0 valor de m 5 Agora vamos utilizar os spinores que sao matrizes colunas que podem ser definidos por a x ax bx Onde x 5 representa o spin up com autovalor h2 e y 9 representando o spin down com autovalor h2 Utilizando uma relagao de kets e bras em uma base arbitraria temos o 1 t IH2 a 94120 x 2 1 2 yt I2QxCl2 ext Aplicando uma fungao qualquer re a a a la Da mesma forma 0 complexo conjugado dessa fungao a a a a l Agora vamos usar as relagées dos spinores tlayy C4 x fay co ea Ox Definindo h S 7 x4 h 18kl 5 Onde temos as matrizes de Pauli f0 1 Ox G 0 0 i Oy 0 f1 0 Oz 5 4 8 A relagao entre o spin e as matrizes de Pauli é s h Essas matrizes possuem as seguintes propriedades o 0 dy oi a 21E KOK ov 1 o 0 Deto 1 TEMA 5 EXPERIMENTO DE STERNGERLACH Em meados de 1922 na Universidade de Hamburgo Stern e Gerlach realizaram um experimento com atomos de prata para verificar como se comportava o momento magnético das particulas do feixe Eles pegaram uma amostra de prata vaporizada em um forno e alguns atomos de vapor escaparam por uma fenda estreita na parede do forno entrando em um tubo com vacuo Alguns atomos passaram por uma segunda fenda paralela a primeira e formam um feixe estreito de atomos um feixe colimado O feixe passa entre os polos do eletroima e entao atingem uma placa de vidro formando um deposito de atomos de prata Quando o eletroima se encontra desligado o deposito de atomos de prata forma uma mancha paralela as fendas Vamos considerar a forga magnética da interagao entre o campo magnetico B do eletroima e os dipolos magnéticos dos atomos de prata A energia potencial U de um dipolo na presenga de um campo é UjiB Considerando a diregao do campo como z UpuB dU aB az az O momento magnético de dipolo esta relacionado a matriz de spin 9 HyS Onde y 0 raio giromagnético Podemos entao escrever a energia potencial U como U yB S Sem campo magnético a derivada do campo em relagao a z aBdz 0 zero e os atomos de prata nao sofrem nenhuma deflexao quando passam pelo eletroima Se o eletroima estiver ligado os atomos de prata colimados passam pelo ima Cuja componente B do campo aumenta gradualmente com z Depois de passarem pelo ima os atomos de prata incidem em uma placa coletora A variagao do campo magnético gera diferentes orientagdes no feixe Além do torque produz apenas uma precessao do momento magneético em torno da diregao do campo e existe uma forga na diregao z que depende do sinal do momento magnético Essa forga causa uma deflexao do feixe para cima e para baixo proporcional a variagao do campo no sentido do eixo z e ao momento magnético O teorema de Larmor descreve que particulas carregadas em rotagao possuem um momento magnético proporcional ao momento angular De forma matematica onde M é a massa do elétron q E7IM Substituindo o valor do momento angular eh Lon 1 Jel Dues A componente z do momento magnético é descrita por LH Mpg Onde wg O magneton de Bohr ou unidade natural do momento magnético 10 enh 24 Mp 927 xX 10 jouletesla 2M Como o momento magnético é proporcional ao momento angular que é quantizado 4 pode assumir apenas os valores correspondentes ao valor de m Nesse caso seriam os valores de 2 1 Como os atomos de prata eram neutros Stern e Gerlach esperavam observar apenas uma linha central de atomos no anteparo contudo tanto para a prata quanto para os atomos de hidrogénio eles observaram duas linhas Isso ocorreu devido ao momento magnético de spin cuja componente z pode ser h h S20usz 2 2 Como 0 momento angular orbital 6 nulo temos somente a componente do momento angular de spin NA PRATICA O positrénio um sistema composto por um elétron e por um positron unidos O sistema é instavel e depois de uma vida média de nanossegundos as duas particulas se aniquilam e produzem dois fdtons raios gama dependendo do estado relativo dos spins A orbita e o nivel de energia do elétron e do positron sao semelhantes aos do atomo de hidrogénio Sabendo disso vamos calcular o estado fundamental e o raio de Bohr para o positrénio Vamos utilizar E e nh 2a me m 911 x 103kgm 167 x 10kg e 480 x 10 esu Primeiro calculamos a massa reduzida 1 1 1 m m mm mM 2 2 E e mc e 6 Bev TS OO OC O e 2Ag 2 hec Perceba que essa energia é praticamente a metade da energia do estado fundamental para o atomo de hidrogénio O raio de Bohr nesse caso é 11 A 105 x 10cm Agora vamos demonstrar a degenerescéncia para o autoestado do positr6nio utilizando o spin do elétron Nesse caso a degenerescéncia seria 4 Considerando o positron como 1 o elétron como 2 e o autoestado de spin na diregao z de uma unica particula com autovalores h2 o estado fundamental total é S S Sz e as autofungo6es sao a1a2 paraS heSh 1 a1B2 BAa2 paraS heS0 V2 BIAB2 paraSheSh 1 sla1p2 BAa2 paras 0eS0 V2 O estado fundamental do positr6énio pode decair por aniquilagao em fotons Calcule a energia e o momento angular liberado nesse processo e prove que devem existir pelo menos dois fotons nesse processo A energia liberada no processo de aniquilagao vem da massa restante do elétron e do positron AE 2mc 102MeV O momento angular depende do estado do positrénio antes da aniquilagao Para S 0 nao ha momento angular liberado enquanto para S h temos AJ J Dh v2h De acordo com a conservagao de energia e do momento devem existir ao menos dois fotons no processo de aniquilagao FINALIZANDO Nesta aula demonstramos a equagao de Schroedinger em trés dimens6es em coordenadas cartesianas e calculamos 0 pogo quadrado infinito em trés dimensdes Demonstramos o operador de momento angular e o operador de spin e estudamos o experimento de SternGerlach No final calculamos a energia o momento angular e as fung6es de spin para o positrdénio 12 13 REFERÊNCIAS GRIFFITHS D J Introduction to quantum mechanics 2 ed São Paulo Pearson 2004 HALLIDAY D RESNICK R WALKER J Fundamentos de física 4 ed Rio de Janeiro LTC 1996 v 4 SCHIFF L Quantum mechanics 3 ed Tokio McGrawHill 1968 TANNOUDJI C C DIU B LALOE F Quantum mechanics v 1 Paris John Wiley Sons 1977 TIPLER P A LLEWELLYN R A Física moderna 5 ed Rio de Janeiro LTC 2010