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Física ·
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MECÂNICA QUÂNTICA AULA 2 Profª Adriana do Rocio Lopes Steklain Lisbôa 2 CONVERSA INICIAL No início do século XX alguns experimentos quando comparados com a teoria clássica possuíam algumas discrepâncias O fato de a teoria não conseguir explicar o experimento fez alguns cientistas abandonarem as ideias da mecânica clássica Foi num desses experimentos que Max Planck descobriu que a energia radiada por um feixe de luz era discreta e não contínua surgia então a mecânica quântica O objetivo desta aula é entender os princípios básicos e iniciais da mecânica quântica Na primeira parte vamos entender a quantização da energia por meio da radiação do corpo negro introduzida por Planck Depois vamos deduzir as equações do efeito fotoelétrico de Einstein Na seção seguinte estudaremos o modelo do átomo de Bohr e os postulados de de Broglie Vamos descrever o pacote de onda clássico e a função de onda da matéria definir densidade de probabilidade e discutir o princípio de incerteza de Heisenberg TEMA 1 LUZ E HIPÓTESE DE PLANCK Quando a radiação eletromagnética incide sobre um corpo opaco uma parte dessa radiação pode ser refletida e outra absorvida Dependendo da cor do corpo a luz pode ser mais ou menos refletida corpos claros refletem mais e corpos escuros absorvem mais radiação Quando um corpo absorve radiação esta altera a energia cinética dos átomos aumentando a oscilação em torno da posição de equilíbrio e a temperatura Segundo a eletrodinâmica quando elétrons são acelerados devido a oscilações eles emitem radiação reduzindo a energia cinética e por consequência a temperatura do corpo Quando a taxa de emissão é igual à taxa de absorção a temperatura fica constante e temos um equilíbrio térmico do corpo com o ambiente Nesse caso há uma radiação térmica emitida que não se encontra na faixa do espectro eletromagnético visível Um corpo negro ideal é aquele que absorve toda a radiação incidente Em 1879 Stefan e Boltzmann descobriram a relação empírica entre potência por unidade de área irradiada e temperatura 𝑹𝑹 𝝈𝝈𝑻𝑻𝟒𝟒 Onde o 56407 x 10WmK Considerando uma cavidade em um material a probabilidade de um raio entrar por essa cavidade e sair antes de ser absorvido muito pequena Podemos entao descrever 1 RA A CuA A densidade do numero de particulas é nA 81A De acordo com a teoria classica a lei de RayleighJean ua kTnA 8rkTAa O problema nessa equacao que quando AOwWA 0 experimento uA 0 o problema foi denominado de catastrofe do ultravioleta Em 1900 Planck descobriu de forma empirica que a radiagao emitida pelas cavidades era uma variavel discreta e nao continua Supd6s que exista uma variavel proporcional a frequéncia dos osciladores e a frequéncia da radiagao de modo que Enenhf n012 Onde h uma das constantes fundamentais da fisica e denominada de constante de Planck h 6626 x 1034 s Utilizando a distribuigao de MaxwellBoltzmann En ne fn Ae kT Ae kT Onde A é uma constante de normalizagao CO CO ne fn A e kT0 n0 n0 A energia média de cada oscilador é dada pela relagao 3 co co Ep E Enfn EAekt n0 n0 Para calcular a energia média em termos da fungao distribuigao E hf hca es pf ohcakT 7 ekT 1 our 1 ene 1 Substituindo na densidade de energia 82hca ula Taek 4 Essa a equacao de Planck para a radiagao do corpo negro Porém a principal contribuigao de Planck foi na ideia da quantizagao da radiagao em que a energia emitida era discreta TEMA 2 EFEITO FOTOELETRICO E EINSTEIN O efeito fotoelétrico a emissao de elétrons de superficies de metais quando uma radiagao incide sobre essa superficie Esse efeito foi descoberto por Hertz em meados de 1887 Os experimentos de Hertz com ondas eletromagnéticas utilizando um centelhador e um circuito para detecgao observou que algumas centelhas nao incidiam diretamente no receptor e que a distancia entre os eletrodos deveria ser alterada para que continuassem recebendo os sinais Em experimentos posteriores verificouse que as particulas emitidas eram negativas quando a superficie de incidéncia era exposta a luz Em meados de 1900 Lenard submeteu essas particulas a um campo magnético e descobriu que eram elétrons Considerando a diferenga de potencial V entre o catodo e o anodo quanto maior a diferenga de potencial mais elétrons se concentravam no anodo A corrente maxima era proporcional a intensidade da luz mas nao foi observada uma intensidade minima para uma corrente nula Definindo como Vo oO potencial de corte 1 3 V mv e 2 0 4 Em 1905 Einstein publicou um artigo sobre o efeito fotoelétrico no qual demonstrava que a energia da radiagao era quantizada e era uma caracteristica universal da luz Quando um desses quanta ou fotons chegavam a superficie do catodo toda a sua energia era transferida para o elétron Seja a fungao trabalho que a energia necessaria para remover um elétron da superficie de um determinado metal a energia cinética maxima dos elétrons emitidos é K max hf p O potencial de corte é 1 2 eVo 5mv hf 2 max Essa equagao representa o efeito fotoelétrico descrito por Einstein que Ihe rendeu o prémio Nobel de fisica mais tarde A fungao trabalho depende do tipo de metal no qual a radiagao incide Esse resultado so foi comprovado experimentalmente por Millikan em 1914 TEMA 3 MODELO DE BOHR E COMPRIMENTO DE ONDA DE BROGLIE Nesta segao vamos discutir o modelo de Bohr para o atomo de hidrogénio e a introdugao da dualidade ondaparticula por meio das relagdes de de Broglie 31 Modelo de Bohr Em meados de 1913 Bohr que trabalhava no laboratorio de Rutherford na mesma época que Geiger e Marsden propds um modelo para o atomo de hidrogénio Ele se baseou no modelo de Rutherford que por meio de experimentos demonstrou que o nucleo dos atomos tinha uma carga positiva e concentrava quase toda a massa Contudo no seu modelo nada falava sobre os elétrons Bohr formulou que os elétrons giravam em torno do nucleo atraidos pela carga positiva descrevendo orbitas circulares e estaveis onde o potencial de Coulomb estava associado a forga centripeta kZe V rT 5 kZe2 mv F7 T rT Lembrando que ré 0 raio da Orbita Z 6 o numero de elétrons e 6 a carga do elétron k a constante de Coulomb m é a massa do elétron O modelo era eletricamente instavel pois o elétron estava sempre acelerado em diregao ao centro da Orbita 1 1 vo kZe 1 kZe 1 f 2nr rm 2nr 4n2m 132 A energia total 1 we Ezmv 2 r Calculando a diferenga entre a energia inicial e a final do elétron A velocidade pode ser descrita por ze v mr Bohr descreveu que 0 momento angular também era quantizado da forma nh Lmrv nh 210 Escrevendo 0 raio da orbita 1 nh me rm nv m kZe2 Elevando os dois termos ao quadrado 242 nh rm r ae m2 kZe2 Obtemos que o raio também é quantizado 6 nh nag mkzZe2 Z Onde h2 fo ay 0529A raio de Bohr mke Substituindo na expressao da energia p kZe kZe mkZe mkZe E Z a ae 2 n2n2 2h2n2 9 n Onde a energia é quantizada e Ey a energia do estado fundamental mk e2 48 Eo opz 218 10 J 136eV hf Eni Eng Podemos calcular a frequéncia de transicao das linhas espectrais pa fot 1 1 Rh nz ni 1 EoZ7 1 1 1 he ne ne eq de Rydeberg Ritz 32 Comprimento de onda de de Broglie Na sua tese de doutorado Louis de Broglie discutiu a dualidade onda particula e propdés que a dualidade era uma caracteristica universal da natureza que se torna evidente quando a magnitude de h nao pode ser negligenciada Nesse caso devemos considerar a radiagao e as particulas at6micas Ele descreveu a existéncia de uma onda de matéria que em fendmenos como interferéncia e difragao teriam 0 mesmo comportamento da luz Isso foi comprovado mais tarde por meio da difragao do elétron Matematicamente associou a frequéncia e o comprimento de onda com propriedades da materia E faz 7 8 𝝀𝝀 𝒏𝒏 𝒆𝒆 Onde λ é o comprimento de onda de de Broglie da partícula e essas duas equações são conhecidas como relações de de Broglie Comparando com o fóton temos que 𝑬𝑬 𝒆𝒆𝒉𝒉 𝒏𝒏𝒏𝒏 𝒏𝒏𝒉𝒉 𝝀𝝀 TEMA 4 PACOTES DE ONDA E PACOTES DE ONDA DA MATÉRIA Tanto a radiação como as partículas obedecem à equação diferencial das ondas 𝟐𝟐𝑹𝑹 𝒆𝒆𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐𝑹𝑹 𝒆𝒆𝟐𝟐 Considerando que a solução seja dada por ondas harmônicas que se propagam no sentido positivo de x 𝑹𝑹𝒆𝒆 𝒆𝒆 𝑹𝑹𝟔𝟔 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝒌𝒌𝒆𝒆 𝝎𝝎𝒆𝒆 Onde a frequência angular e o número da onda podem ser relacionados à frequência e ao comprimento de onda por 𝝎𝝎 𝟐𝟐𝟖𝟖𝒏𝒏 𝟐𝟐𝟖𝟖 𝑻𝑻 𝒌𝒌 𝟐𝟐𝟖𝟖 𝝀𝝀 A velocidade de fase da onda é 𝒗𝒗𝒆𝒆 𝒏𝒏𝝀𝝀 Um pacote de ondas é representado por um conjunto de ondas harmônicas com frequência e comprimento de onda diferentes Para entendermos melhor vamos utilizar um pacote com duas ondas de mesma amplitude e frequências próximas Colocaremos o índice 1 para a primeira onda e o 2 para a segunda onda 𝑹𝑹𝒆𝒆 𝒆𝒆 𝑹𝑹𝟔𝟔 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝒌𝒌𝟏𝟏𝒆𝒆 𝝎𝝎𝟏𝟏𝒆𝒆 𝑹𝑹𝟔𝟔𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝒌𝒌𝟐𝟐𝒆𝒆 𝝎𝝎𝟐𝟐𝒆𝒆 Utilizando as relagdes Ak kz k e AW 2 1 E usando a relagao de soma dos cossenos 1 1 cosa cosp 2 cos a B cos a B Fazendo a substituigao encontramos Ak Aw k k yxt 2ygcos t cos ASA een Como os valores da velocidade angular e do numero de onda sao muito proximos podemos dizer que a soma dos dois é um valor médio nesse caso 1 1 yx t 2yocos 5 Akx Aut coskx t A onda se propaga com uma velocidade de fase dada por Vy Kk A velocidade de grupo é dada por Aw 9 Ak Como a velocidade de fase das ondas que formam o pacote é escrita por w kv substituindo na velocidade de grupo dw dv Vg dk Vp ke Quando analisamos pacotes de onda de materia a fungao de onda wx t representa o deslocamento yxt e descreve a probabilidade de encontrar a particula Vamos considerar um elétron com uma determinada frequéncia e um determinado comprimento de onda A fungao de onda nesse caso é wx t Acoskx wt ou wx t Asenkx wt 9 Nesse caso utilizando as relagoes de de Broglie a velocidade de fase é dada por f Eh Ev IA py A velocidade de grupo sera dw dhky p 0 ae ak lm m A velocidade de grupo é igual a velocidade do elétron e a velocidade de fase a metade da velocidade do elétron TEMA 5 DENSIDADE DE PROBABILIDADE E PRINCIPIO DA INCERTEZA Nesta segao vamos discutir como funciona a densidade de probabilidade da fungao de onda e o principio de incerteza de Heisenberg 51 Densidade de probabilidade A interpretagao probabilistica de Max Born para a fungao de onda diz que o quadrado da fungao de onda descreve a probabilidade de encontrar a particula no ponto x em um tempo ft Em outras palavras a probabilidade de encontrar a particula entre x e xXtdx é lybx tdx probabilidade A interpretagao descrita por Born diz que toda a evolugao dos eventos é determinada pelas leis da probabilidade Um determinado estado no espago corresponde a uma probabilidade definida dada pela onda de de Broglie associada a um certo estado Um processo puramente mecanico é acompanhado por um processo ondulatorio A ideia conceitual de Born era que a fungao de onda para particulas que se movem na diregao x com um determinado momento e uma energia analoga a um campo elétrico de uma onda eletromagnética Nesse caso a fungao de onda seria 10 x wx t Asen 21 5 ft A densidade de probabilidade nesse caso Pxdx wxtdx Escrevendo em forma de integral 00 Px lypx tdx 0o A normalizagao da fungao de onda é dada por 00 lybx tdx 1 0o 52 Principio da incerteza De acordo com Heisenberg e Niels Bohr a interpretagao probabilistica é fundamental As equagdes de movimento da mecanica classica descrevem o movimento da particula calculando a posiao e o momento para qualquer tempo Com isso conseguem determinar com exatidao o movimento futuro da particula Na mecanica quantica nao conseguimos determinar com precisao por meio de uma experiéncia a posigao e 0 momento no mesmo instante para um elétron por exemplo Vamos considerar o elétron como uma onda e que os objetos quanticos podem ser representados por pacotes de onda obtidos pela superposigao de ondas planas sinusoidais com comprimento de onda distribuidos numa determinada faixa Quanto mais estreita a faixa mais largo o pacote de onda e quanto mais larga a faixa mais localizado sera o pacote de onda Verificase uma dependéncia entre a largura do pacote 6x e o numero de onda 6k das ondas de forma que 6xdk 1 x 2a AT Fazendo uma mudanga de variavel p hk 11 12 𝚫𝚫𝒆𝒆 𝚫𝚫𝒆𝒆 𝒏𝒏 𝟒𝟒𝟖𝟖 ℏ 𝟐𝟐 O princípio da incerteza afirma que uma experiência não pode determinar simultaneamente o valor exato de uma componente do momento de uma partícula e o valor exato de uma coordenada correspondente Pelo produto das incertezas quanto mais melhorarmos 𝒆𝒆𝒆𝒆 mais abrimos mão de determinar o valor de x Temos também a incerteza no produto entre a energia e o tempo de modo que 𝚫𝚫𝑬𝑬𝚫𝚫𝒆𝒆 ℏ 𝟐𝟐 NA PRÁTICA Vamos utilizar o princípio da incerteza para uma bola de gude e um elétron Considere uma bola de gude com m 25 g que se encontra em uma caixa de 10 cm de lado Vamos achar a incerteza mínima no momento a velocidade e a energia cinética mínima Aplicando o princípio de incerteza de Heisenberg 𝚫𝚫𝒆𝒆 ℏ 𝟐𝟐𝚫𝚫𝒆𝒆 𝟏𝟏 𝟔𝟔𝟓𝟓 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟑𝟑𝟒𝟒𝑱𝑱 𝒔𝒔 𝟐𝟐𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟑𝟑𝟒𝟒𝒌𝒌𝑹𝑹 𝒎𝒎𝒔𝒔 A velocidade da bola nesse caso é de 𝒗𝒗 𝒆𝒆 𝒎𝒎 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟑𝟑𝟒𝟒𝒌𝒌𝑹𝑹 𝒎𝒎𝒔𝒔 𝟔𝟔 𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓𝒌𝒌𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟑𝟑𝟐𝟐𝒎𝒎𝒔𝒔 Pelo resultado verificamos que a bola de gude está quase em repouso A energia cinética nesse caso é 𝑲𝑲 𝚫𝚫𝒆𝒆𝟐𝟐 𝟐𝟐𝒎𝒎 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟑𝟑𝟒𝟒𝒌𝒌𝑹𝑹 𝒎𝒎𝒔𝒔𝟐𝟐 𝟔𝟔 𝟔𝟔𝟓𝟓𝟔𝟔𝒌𝒌𝑹𝑹 𝟓𝟓 𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝑱𝑱 Verificamos que o princípio de incerteza não é significativo para problemas macroscópicos Agora vamos considerar um elétron confinado em uma região do espaço que tem comprimento L01mm Essa distância é da 13 ordem de grandeza do diâmetro de um átomo Nesse caso o princípio de incerteza no momento é 𝚫𝚫𝒆𝒆 ℏ 𝟐𝟐𝚫𝚫𝒆𝒆 𝟏𝟏 𝟔𝟔𝟓𝟓 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟑𝟑𝟒𝟒𝑱𝑱 𝒔𝒔 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟔𝟔𝟏𝟏𝟔𝟔𝒎𝒎 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓𝒌𝒌𝑹𝑹 𝒎𝒎𝒔𝒔 A velocidade do elétron é 𝒗𝒗 𝒆𝒆 𝒎𝒎 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓𝒌𝒌𝑹𝑹 𝒎𝒎𝒔𝒔 𝟓𝟓 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟑𝟑𝟏𝟏𝒌𝒌𝑹𝑹 𝟓𝟓 𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟓𝟓𝒎𝒎𝒔𝒔 Aqui temos uma velocidade significativa A energia cinética é 𝑲𝑲 𝚫𝚫𝒆𝒆 𝟐𝟐𝒎𝒎 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓𝒌𝒌𝑹𝑹 𝒎𝒎𝒔𝒔 𝟐𝟐𝟓𝟓 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟑𝟑𝟏𝟏𝒌𝒌𝑹𝑹 𝟏𝟏 𝟓𝟓 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟏𝟏𝟓𝟓𝑱𝑱 Essa energia é aproximadamente 1eV que é da ordem de grandeza da energia cinética de um elétron em um átomo FINALIZANDO Nesta aula introduzimos conceitos sobre os primórdios da mecânica quântica como a radiação do corpo negro e a quantização da energia descritos por Planck Estudamos a aplicação da quantização da energia por Einstein no efeito fotoelétrico Deduzimos o modelo de Bohr para o átomo e o conceito de dualidade ondapartícula de de Broglie Estudamos o pacote de onda da matéria a densidade de probabilidade e o princípio da incerteza de Heisenberg e terminamos a aula com um exercício de aplicação 14 REFERÊNCIAS GRIFFITHS D J Introduction to quantum mechanics 2 ed São Paulo Pearson 2004 HALLIDAY D RESNICK R WALKER J Fundamentos de física 4 ed Rio de Janeiro LTC 1996 v 4 SCHIFF L Quantum mechanics 3 ed Tokio McGrawHill 1968 TANNOUDJI C C DIU B LALOE F Quantum mechanics v 1 Paris John Wiley Sons 1977 TIPLER P A LLEWELLYN R A Física moderna 5 ed Rio de Janeiro LTC 2010
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MECÂNICA QUÂNTICA AULA 2 Profª Adriana do Rocio Lopes Steklain Lisbôa 2 CONVERSA INICIAL No início do século XX alguns experimentos quando comparados com a teoria clássica possuíam algumas discrepâncias O fato de a teoria não conseguir explicar o experimento fez alguns cientistas abandonarem as ideias da mecânica clássica Foi num desses experimentos que Max Planck descobriu que a energia radiada por um feixe de luz era discreta e não contínua surgia então a mecânica quântica O objetivo desta aula é entender os princípios básicos e iniciais da mecânica quântica Na primeira parte vamos entender a quantização da energia por meio da radiação do corpo negro introduzida por Planck Depois vamos deduzir as equações do efeito fotoelétrico de Einstein Na seção seguinte estudaremos o modelo do átomo de Bohr e os postulados de de Broglie Vamos descrever o pacote de onda clássico e a função de onda da matéria definir densidade de probabilidade e discutir o princípio de incerteza de Heisenberg TEMA 1 LUZ E HIPÓTESE DE PLANCK Quando a radiação eletromagnética incide sobre um corpo opaco uma parte dessa radiação pode ser refletida e outra absorvida Dependendo da cor do corpo a luz pode ser mais ou menos refletida corpos claros refletem mais e corpos escuros absorvem mais radiação Quando um corpo absorve radiação esta altera a energia cinética dos átomos aumentando a oscilação em torno da posição de equilíbrio e a temperatura Segundo a eletrodinâmica quando elétrons são acelerados devido a oscilações eles emitem radiação reduzindo a energia cinética e por consequência a temperatura do corpo Quando a taxa de emissão é igual à taxa de absorção a temperatura fica constante e temos um equilíbrio térmico do corpo com o ambiente Nesse caso há uma radiação térmica emitida que não se encontra na faixa do espectro eletromagnético visível Um corpo negro ideal é aquele que absorve toda a radiação incidente Em 1879 Stefan e Boltzmann descobriram a relação empírica entre potência por unidade de área irradiada e temperatura 𝑹𝑹 𝝈𝝈𝑻𝑻𝟒𝟒 Onde o 56407 x 10WmK Considerando uma cavidade em um material a probabilidade de um raio entrar por essa cavidade e sair antes de ser absorvido muito pequena Podemos entao descrever 1 RA A CuA A densidade do numero de particulas é nA 81A De acordo com a teoria classica a lei de RayleighJean ua kTnA 8rkTAa O problema nessa equacao que quando AOwWA 0 experimento uA 0 o problema foi denominado de catastrofe do ultravioleta Em 1900 Planck descobriu de forma empirica que a radiagao emitida pelas cavidades era uma variavel discreta e nao continua Supd6s que exista uma variavel proporcional a frequéncia dos osciladores e a frequéncia da radiagao de modo que Enenhf n012 Onde h uma das constantes fundamentais da fisica e denominada de constante de Planck h 6626 x 1034 s Utilizando a distribuigao de MaxwellBoltzmann En ne fn Ae kT Ae kT Onde A é uma constante de normalizagao CO CO ne fn A e kT0 n0 n0 A energia média de cada oscilador é dada pela relagao 3 co co Ep E Enfn EAekt n0 n0 Para calcular a energia média em termos da fungao distribuigao E hf hca es pf ohcakT 7 ekT 1 our 1 ene 1 Substituindo na densidade de energia 82hca ula Taek 4 Essa a equacao de Planck para a radiagao do corpo negro Porém a principal contribuigao de Planck foi na ideia da quantizagao da radiagao em que a energia emitida era discreta TEMA 2 EFEITO FOTOELETRICO E EINSTEIN O efeito fotoelétrico a emissao de elétrons de superficies de metais quando uma radiagao incide sobre essa superficie Esse efeito foi descoberto por Hertz em meados de 1887 Os experimentos de Hertz com ondas eletromagnéticas utilizando um centelhador e um circuito para detecgao observou que algumas centelhas nao incidiam diretamente no receptor e que a distancia entre os eletrodos deveria ser alterada para que continuassem recebendo os sinais Em experimentos posteriores verificouse que as particulas emitidas eram negativas quando a superficie de incidéncia era exposta a luz Em meados de 1900 Lenard submeteu essas particulas a um campo magnético e descobriu que eram elétrons Considerando a diferenga de potencial V entre o catodo e o anodo quanto maior a diferenga de potencial mais elétrons se concentravam no anodo A corrente maxima era proporcional a intensidade da luz mas nao foi observada uma intensidade minima para uma corrente nula Definindo como Vo oO potencial de corte 1 3 V mv e 2 0 4 Em 1905 Einstein publicou um artigo sobre o efeito fotoelétrico no qual demonstrava que a energia da radiagao era quantizada e era uma caracteristica universal da luz Quando um desses quanta ou fotons chegavam a superficie do catodo toda a sua energia era transferida para o elétron Seja a fungao trabalho que a energia necessaria para remover um elétron da superficie de um determinado metal a energia cinética maxima dos elétrons emitidos é K max hf p O potencial de corte é 1 2 eVo 5mv hf 2 max Essa equagao representa o efeito fotoelétrico descrito por Einstein que Ihe rendeu o prémio Nobel de fisica mais tarde A fungao trabalho depende do tipo de metal no qual a radiagao incide Esse resultado so foi comprovado experimentalmente por Millikan em 1914 TEMA 3 MODELO DE BOHR E COMPRIMENTO DE ONDA DE BROGLIE Nesta segao vamos discutir o modelo de Bohr para o atomo de hidrogénio e a introdugao da dualidade ondaparticula por meio das relagdes de de Broglie 31 Modelo de Bohr Em meados de 1913 Bohr que trabalhava no laboratorio de Rutherford na mesma época que Geiger e Marsden propds um modelo para o atomo de hidrogénio Ele se baseou no modelo de Rutherford que por meio de experimentos demonstrou que o nucleo dos atomos tinha uma carga positiva e concentrava quase toda a massa Contudo no seu modelo nada falava sobre os elétrons Bohr formulou que os elétrons giravam em torno do nucleo atraidos pela carga positiva descrevendo orbitas circulares e estaveis onde o potencial de Coulomb estava associado a forga centripeta kZe V rT 5 kZe2 mv F7 T rT Lembrando que ré 0 raio da Orbita Z 6 o numero de elétrons e 6 a carga do elétron k a constante de Coulomb m é a massa do elétron O modelo era eletricamente instavel pois o elétron estava sempre acelerado em diregao ao centro da Orbita 1 1 vo kZe 1 kZe 1 f 2nr rm 2nr 4n2m 132 A energia total 1 we Ezmv 2 r Calculando a diferenga entre a energia inicial e a final do elétron A velocidade pode ser descrita por ze v mr Bohr descreveu que 0 momento angular também era quantizado da forma nh Lmrv nh 210 Escrevendo 0 raio da orbita 1 nh me rm nv m kZe2 Elevando os dois termos ao quadrado 242 nh rm r ae m2 kZe2 Obtemos que o raio também é quantizado 6 nh nag mkzZe2 Z Onde h2 fo ay 0529A raio de Bohr mke Substituindo na expressao da energia p kZe kZe mkZe mkZe E Z a ae 2 n2n2 2h2n2 9 n Onde a energia é quantizada e Ey a energia do estado fundamental mk e2 48 Eo opz 218 10 J 136eV hf Eni Eng Podemos calcular a frequéncia de transicao das linhas espectrais pa fot 1 1 Rh nz ni 1 EoZ7 1 1 1 he ne ne eq de Rydeberg Ritz 32 Comprimento de onda de de Broglie Na sua tese de doutorado Louis de Broglie discutiu a dualidade onda particula e propdés que a dualidade era uma caracteristica universal da natureza que se torna evidente quando a magnitude de h nao pode ser negligenciada Nesse caso devemos considerar a radiagao e as particulas at6micas Ele descreveu a existéncia de uma onda de matéria que em fendmenos como interferéncia e difragao teriam 0 mesmo comportamento da luz Isso foi comprovado mais tarde por meio da difragao do elétron Matematicamente associou a frequéncia e o comprimento de onda com propriedades da materia E faz 7 8 𝝀𝝀 𝒏𝒏 𝒆𝒆 Onde λ é o comprimento de onda de de Broglie da partícula e essas duas equações são conhecidas como relações de de Broglie Comparando com o fóton temos que 𝑬𝑬 𝒆𝒆𝒉𝒉 𝒏𝒏𝒏𝒏 𝒏𝒏𝒉𝒉 𝝀𝝀 TEMA 4 PACOTES DE ONDA E PACOTES DE ONDA DA MATÉRIA Tanto a radiação como as partículas obedecem à equação diferencial das ondas 𝟐𝟐𝑹𝑹 𝒆𝒆𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐𝑹𝑹 𝒆𝒆𝟐𝟐 Considerando que a solução seja dada por ondas harmônicas que se propagam no sentido positivo de x 𝑹𝑹𝒆𝒆 𝒆𝒆 𝑹𝑹𝟔𝟔 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝒌𝒌𝒆𝒆 𝝎𝝎𝒆𝒆 Onde a frequência angular e o número da onda podem ser relacionados à frequência e ao comprimento de onda por 𝝎𝝎 𝟐𝟐𝟖𝟖𝒏𝒏 𝟐𝟐𝟖𝟖 𝑻𝑻 𝒌𝒌 𝟐𝟐𝟖𝟖 𝝀𝝀 A velocidade de fase da onda é 𝒗𝒗𝒆𝒆 𝒏𝒏𝝀𝝀 Um pacote de ondas é representado por um conjunto de ondas harmônicas com frequência e comprimento de onda diferentes Para entendermos melhor vamos utilizar um pacote com duas ondas de mesma amplitude e frequências próximas Colocaremos o índice 1 para a primeira onda e o 2 para a segunda onda 𝑹𝑹𝒆𝒆 𝒆𝒆 𝑹𝑹𝟔𝟔 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝒌𝒌𝟏𝟏𝒆𝒆 𝝎𝝎𝟏𝟏𝒆𝒆 𝑹𝑹𝟔𝟔𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝒌𝒌𝟐𝟐𝒆𝒆 𝝎𝝎𝟐𝟐𝒆𝒆 Utilizando as relagdes Ak kz k e AW 2 1 E usando a relagao de soma dos cossenos 1 1 cosa cosp 2 cos a B cos a B Fazendo a substituigao encontramos Ak Aw k k yxt 2ygcos t cos ASA een Como os valores da velocidade angular e do numero de onda sao muito proximos podemos dizer que a soma dos dois é um valor médio nesse caso 1 1 yx t 2yocos 5 Akx Aut coskx t A onda se propaga com uma velocidade de fase dada por Vy Kk A velocidade de grupo é dada por Aw 9 Ak Como a velocidade de fase das ondas que formam o pacote é escrita por w kv substituindo na velocidade de grupo dw dv Vg dk Vp ke Quando analisamos pacotes de onda de materia a fungao de onda wx t representa o deslocamento yxt e descreve a probabilidade de encontrar a particula Vamos considerar um elétron com uma determinada frequéncia e um determinado comprimento de onda A fungao de onda nesse caso é wx t Acoskx wt ou wx t Asenkx wt 9 Nesse caso utilizando as relagoes de de Broglie a velocidade de fase é dada por f Eh Ev IA py A velocidade de grupo sera dw dhky p 0 ae ak lm m A velocidade de grupo é igual a velocidade do elétron e a velocidade de fase a metade da velocidade do elétron TEMA 5 DENSIDADE DE PROBABILIDADE E PRINCIPIO DA INCERTEZA Nesta segao vamos discutir como funciona a densidade de probabilidade da fungao de onda e o principio de incerteza de Heisenberg 51 Densidade de probabilidade A interpretagao probabilistica de Max Born para a fungao de onda diz que o quadrado da fungao de onda descreve a probabilidade de encontrar a particula no ponto x em um tempo ft Em outras palavras a probabilidade de encontrar a particula entre x e xXtdx é lybx tdx probabilidade A interpretagao descrita por Born diz que toda a evolugao dos eventos é determinada pelas leis da probabilidade Um determinado estado no espago corresponde a uma probabilidade definida dada pela onda de de Broglie associada a um certo estado Um processo puramente mecanico é acompanhado por um processo ondulatorio A ideia conceitual de Born era que a fungao de onda para particulas que se movem na diregao x com um determinado momento e uma energia analoga a um campo elétrico de uma onda eletromagnética Nesse caso a fungao de onda seria 10 x wx t Asen 21 5 ft A densidade de probabilidade nesse caso Pxdx wxtdx Escrevendo em forma de integral 00 Px lypx tdx 0o A normalizagao da fungao de onda é dada por 00 lybx tdx 1 0o 52 Principio da incerteza De acordo com Heisenberg e Niels Bohr a interpretagao probabilistica é fundamental As equagdes de movimento da mecanica classica descrevem o movimento da particula calculando a posiao e o momento para qualquer tempo Com isso conseguem determinar com exatidao o movimento futuro da particula Na mecanica quantica nao conseguimos determinar com precisao por meio de uma experiéncia a posigao e 0 momento no mesmo instante para um elétron por exemplo Vamos considerar o elétron como uma onda e que os objetos quanticos podem ser representados por pacotes de onda obtidos pela superposigao de ondas planas sinusoidais com comprimento de onda distribuidos numa determinada faixa Quanto mais estreita a faixa mais largo o pacote de onda e quanto mais larga a faixa mais localizado sera o pacote de onda Verificase uma dependéncia entre a largura do pacote 6x e o numero de onda 6k das ondas de forma que 6xdk 1 x 2a AT Fazendo uma mudanga de variavel p hk 11 12 𝚫𝚫𝒆𝒆 𝚫𝚫𝒆𝒆 𝒏𝒏 𝟒𝟒𝟖𝟖 ℏ 𝟐𝟐 O princípio da incerteza afirma que uma experiência não pode determinar simultaneamente o valor exato de uma componente do momento de uma partícula e o valor exato de uma coordenada correspondente Pelo produto das incertezas quanto mais melhorarmos 𝒆𝒆𝒆𝒆 mais abrimos mão de determinar o valor de x Temos também a incerteza no produto entre a energia e o tempo de modo que 𝚫𝚫𝑬𝑬𝚫𝚫𝒆𝒆 ℏ 𝟐𝟐 NA PRÁTICA Vamos utilizar o princípio da incerteza para uma bola de gude e um elétron Considere uma bola de gude com m 25 g que se encontra em uma caixa de 10 cm de lado Vamos achar a incerteza mínima no momento a velocidade e a energia cinética mínima Aplicando o princípio de incerteza de Heisenberg 𝚫𝚫𝒆𝒆 ℏ 𝟐𝟐𝚫𝚫𝒆𝒆 𝟏𝟏 𝟔𝟔𝟓𝟓 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟑𝟑𝟒𝟒𝑱𝑱 𝒔𝒔 𝟐𝟐𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟑𝟑𝟒𝟒𝒌𝒌𝑹𝑹 𝒎𝒎𝒔𝒔 A velocidade da bola nesse caso é de 𝒗𝒗 𝒆𝒆 𝒎𝒎 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟑𝟑𝟒𝟒𝒌𝒌𝑹𝑹 𝒎𝒎𝒔𝒔 𝟔𝟔 𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓𝒌𝒌𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟑𝟑𝟐𝟐𝒎𝒎𝒔𝒔 Pelo resultado verificamos que a bola de gude está quase em repouso A energia cinética nesse caso é 𝑲𝑲 𝚫𝚫𝒆𝒆𝟐𝟐 𝟐𝟐𝒎𝒎 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟑𝟑𝟒𝟒𝒌𝒌𝑹𝑹 𝒎𝒎𝒔𝒔𝟐𝟐 𝟔𝟔 𝟔𝟔𝟓𝟓𝟔𝟔𝒌𝒌𝑹𝑹 𝟓𝟓 𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝑱𝑱 Verificamos que o princípio de incerteza não é significativo para problemas macroscópicos Agora vamos considerar um elétron confinado em uma região do espaço que tem comprimento L01mm Essa distância é da 13 ordem de grandeza do diâmetro de um átomo Nesse caso o princípio de incerteza no momento é 𝚫𝚫𝒆𝒆 ℏ 𝟐𝟐𝚫𝚫𝒆𝒆 𝟏𝟏 𝟔𝟔𝟓𝟓 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟑𝟑𝟒𝟒𝑱𝑱 𝒔𝒔 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟔𝟔𝟏𝟏𝟔𝟔𝒎𝒎 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓𝒌𝒌𝑹𝑹 𝒎𝒎𝒔𝒔 A velocidade do elétron é 𝒗𝒗 𝒆𝒆 𝒎𝒎 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓𝒌𝒌𝑹𝑹 𝒎𝒎𝒔𝒔 𝟓𝟓 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟑𝟑𝟏𝟏𝒌𝒌𝑹𝑹 𝟓𝟓 𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟓𝟓𝒎𝒎𝒔𝒔 Aqui temos uma velocidade significativa A energia cinética é 𝑲𝑲 𝚫𝚫𝒆𝒆 𝟐𝟐𝒎𝒎 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓𝒌𝒌𝑹𝑹 𝒎𝒎𝒔𝒔 𝟐𝟐𝟓𝟓 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟑𝟑𝟏𝟏𝒌𝒌𝑹𝑹 𝟏𝟏 𝟓𝟓 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟏𝟏𝟓𝟓𝑱𝑱 Essa energia é aproximadamente 1eV que é da ordem de grandeza da energia cinética de um elétron em um átomo FINALIZANDO Nesta aula introduzimos conceitos sobre os primórdios da mecânica quântica como a radiação do corpo negro e a quantização da energia descritos por Planck Estudamos a aplicação da quantização da energia por Einstein no efeito fotoelétrico Deduzimos o modelo de Bohr para o átomo e o conceito de dualidade ondapartícula de de Broglie Estudamos o pacote de onda da matéria a densidade de probabilidade e o princípio da incerteza de Heisenberg e terminamos a aula com um exercício de aplicação 14 REFERÊNCIAS GRIFFITHS D J Introduction to quantum mechanics 2 ed São Paulo Pearson 2004 HALLIDAY D RESNICK R WALKER J Fundamentos de física 4 ed Rio de Janeiro LTC 1996 v 4 SCHIFF L Quantum mechanics 3 ed Tokio McGrawHill 1968 TANNOUDJI C C DIU B LALOE F Quantum mechanics v 1 Paris John Wiley Sons 1977 TIPLER P A LLEWELLYN R A Física moderna 5 ed Rio de Janeiro LTC 2010