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MÉTODOS DE FÍSICA TEÓRICA FUNÇÕES DE GREEN E CÁLCULO VARIACIONAL AULA 6 Prof Daniel Guimarães Tedesco 2 CONVERSA INICIAL Nesta etapa introduziremos os conceitos provenientes do cálculo variacional Essa grande ferramenta lida com problemas gerais na qual existe um uma função a ser determinada que minimiza uma integral diferente do cálculo integral convencional na qual é calculado o valor mínimo de uma certa função em um intervalo As premissas do cálculo variacional e o cálculo diferencial são semelhantes mas metodologias de cálculo bem diferentes Os princípios variacionais foram desenvolvidos na mecânica clássica mas podem ser estendidos facilmente para todas as áreas da Física O princípio do caminho ótico mais curto de Fermat na eletrodinâmica Na mecânica quântica e teoria de campos para encontrar o valor das autofunções e propagações das partículas Na física da matéria condensada com o estudo da dinâmica de fônons magnons e outras soluções clássicas Enfim onde existe uma dinâmica e uma equação de movimento o cálculo variacional pode ser utilizado sendo uma ferramenta poderosa na solução de problemas diversos TEMA 1 CÁLCULO DAS VARIAÇÕES De certa forma o cálculo variacional é uma generalização do cálculo elementar pois aqui a quantidade a ser maximizada ou minimizada é um funcional que pode ser definido como 𝐼𝑦𝑥 𝐹𝑦𝑥 𝑦𝑥 𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 E podemos nomear I como funcional de 𝒚 e 𝑭 uma certa função de 𝒚 sua derivada e 𝒙 Como podemos ver a integral não depende da variável de integração mas sim do tipo de função 𝒚𝒙 A pergunta que podemos fazer é para uma função 𝒚𝒙 que passa por dois pontos em comum A e B existe um valor máximo ou mínimo para o funcional 𝑰𝒚 3 Figura 1 Processo de minimização da trajetória Fonte Tedesco 2022 Perceba que não estamos dizendo qual é a menor área ou qual seria o ponto de máximo e mínimo Aqui estamos dizendo qual seria a função que minimizaria a integral 𝑰𝒚𝒙 Trazendo o cálculo diferencial para o diálogo é fácil generalizar a variação de uma função sendo nula que pode ser expressa como 𝑑𝑦 𝑦𝑥 𝑑𝑥 𝑦𝑥 0 Pois bem no contexto dos funcionais dizemos que 𝜹𝑰 𝟎 com uma notação construída para diferenciar da variação convencional do cálculo Vamos começar com uma suposição sendo o funcional escrito na forma 𝐼𝑦 𝐹𝑦𝑥 𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Sem dependência em 𝒚𝒙 Da mesma maneira podemos escrever 𝛿𝐼 𝐼𝑦 𝛿𝑦 𝐼𝑦 𝐹𝑦𝑥 𝛿𝑦𝑥 𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝐹𝑦𝑥 𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Usando o cálculo diferencial para entender a função usual 𝑭 como 𝐹𝑦 𝛿𝑦 𝑥 𝐹𝑦 𝑥 𝐹 𝑦 𝛿𝑦 4 Podemos encontrar que a variação é escrita como 𝛿𝐼 𝐹𝑦 𝑥 𝐹 𝑦 𝛿𝑦 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝐹𝑦 𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝐹 𝑦 𝛿𝑦𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 E obviamente se for nulo o conteúdo da integral é nulo Mas vamos para o caso com a dependência da derivada realizando o mesmo cálculo anterior 𝛿𝐼 𝐼𝑦 𝛿𝑦 𝑦 𝛿𝑦 𝐼𝑦 𝐹 𝑦 𝛿𝑦𝑥 𝐹 𝑦 𝛿𝑦𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Agora precisamos realizar a segunda integral para ficar em função de 𝜹𝒚 e para isso vamos explicitar a derivada 𝐹 𝑦 𝛿 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝐹 𝑦 𝛿𝑑𝑦 𝑏 𝑎 𝐹 𝑦 𝑑𝛿𝑦 𝑏 𝑎 Que fica escrita dessa maneira pois a variação ocorre em 𝒚 e o diferencial comuta com a variação funcional Realizando uma integração por partes ficamos com 𝐹 𝑦 𝑑𝛿𝑦 𝑏 𝑎 𝐹 𝑦 𝛿𝑦 𝑎 𝑏 𝛿𝑦 𝑑 𝐹 𝑦 𝑏 𝑎 Como nos extremos 𝜹𝒚𝒂 𝜹𝒚𝒃 𝟎 ficamos com 𝐹 𝑦 𝛿𝑦𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝛿𝑦 𝑑 𝐹 𝑦 𝑏 𝑎 𝑑 𝑑𝑥 𝐹 𝑦 𝛿𝑦 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 Fazendo o uso da regra da cadeia Logo a variação do funcional colocando 𝜹𝒚𝒙 em evidência fica 𝛿𝐼 𝐹 𝑦 𝑑 𝑑𝑥 𝐹 𝑦 𝛿𝑦𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 E para que a integral seja nula sabendo que 𝜹𝒚𝒙 é uma função arbitrária de x o integrando precisa ser nulo ou seja 5 𝐹 𝑦 𝑑 𝑑𝑥 𝐹 𝑦 0 Relação obtida por Euler mais conhecida como Equação de Euler Lagrange Essa equação é muito poderosa e boa parte do entendimento da física moderna se dá com essa ferramenta Fica para o leitor a generalização para funcionais que dependam da segunda derivada Para exemplificar um uso rápido sabemos que a menor distância entre dois pontos é uma reta então iremos modelar de acordo com essa abordagem o comprimento de arco como 𝑠 𝑑𝑠 𝑥2 𝑥1 𝑑𝑥2 𝑑𝑦2 𝑥2 𝑥1 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 𝑥2 𝑥1 𝑑𝑥 Sabendo que 𝒅𝒔𝟐 𝒅𝒙𝟐 𝒅𝒚𝟐 O cálculo é simples pois colocamos o elemento 𝒅𝒙 em evidência Neste caso a função que iremos trabalhar é 𝐹𝑦 𝑦 𝑥 1 𝑦2 Que não depende explicitamente de 𝒚 gerando 𝑭 𝒚 𝟎 A equação de EulerLagrange fica 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 1 𝑦2 0 A derivada interna é calculada da forma usual utilizando a regra da cadeia e ficamos com 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 1 𝑦2 0 Para um bom entendedor de cálculo quando a derivada é nula temos uma constante ou seja 𝑦 1 𝑦2 𝑘 Fazendo todos os passos matemáticos chegamos a 6 𝑦 1 1 𝑘2 𝑎 Sendo 𝒂 uma outra constante Resolvendo a equação diferencial de forma indefinida temos 𝒚𝒙 𝒂𝒙 𝒃 Sendo 𝒃 uma constante de integração 11 Braquistócrona Este é um exemplo clássico feito nos cursos de mecânica clássica A braquistócrona é a trajetória de uma partícula pontual de massa m sujeita somente a um campo gravitacional abandonada com velocidade nula e sem atrito que se desloca entre dois pontos no menor intervalo de tempo Na figura a seguir a curva que minimiza o tempo é a de cor vermelha Figura 2 Braquistócrona Fonte Tedesco 2022 Vamos definir a trajetória da partícula em um espaço bidimensional dada por 𝒔𝒕 e a velocidade como sendo 𝑣𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑣 Aqui já reescrita de forma conveniente para integração entre os pontos A e B Sabendo que o elemento infinitesimal da trajetória é 𝒅𝒔𝟐 𝒅𝒙𝟐 𝒅𝒚𝟐 podemos reescrever como 7 Δ𝑡 𝑑𝑥2 𝑑𝑦2 𝑣 𝐴𝐵 𝑑𝑥2 𝑑𝑦2 2𝑔𝑦 𝐴𝐵 1 𝑦2 𝑦 𝑑𝑥 𝐴𝐵 Na qual usamos o valor da velocidade proveniente da conservação de energia O objeto que queremos minimizar funcionalmente é 𝚫𝒕𝒚 𝒚 𝒙 Usando a Equação de Euler chegamos à equação diferencial do movimento 2𝑦 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 1 0 Para resolver essa equação sabendo que não temos nenhuma dependência na variável x usamos um recurso básico chamando 𝒚 𝒑𝒚 resultando em uma EDO de primeira ordem 2𝑦𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑦 𝑝2 1 0 𝑑𝑦 𝑦 2𝑝𝑑𝑝 𝑝2 1 Integrando tudo temos LN𝑦 𝐶 LN 𝑎 LN𝑝2 1 LN𝑎𝑦 LN𝑝2 1 Aqui usamos um artificio chamando a constante de integração de 𝐥𝐧 𝒂 Ficamos com a equação LN𝑎𝑦𝑝2 1 0 𝑎𝑦𝑝2 1 1 𝑝 1 𝑎𝑦 1 Como 𝒑 é a derivada 𝒅𝒚𝒅𝒙 usando o método de substituição trigonométrica chegamos a função 𝑥 1 𝑎2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑎𝑦 𝑦 1 𝑎 𝑦 Que é a equação da cicloide que geralmente é apresentada na forma paramétrica 𝑥 𝑅𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑦 𝑅1 𝑐𝑜𝑠𝜃 8 Figura 3 Cicloide Fonte httpsmathworldwolframcomCycloidhtml Acesso em 15 nov 2022 12 Diversas variáveis independentes Podemos generalizar nosso caso quando temos uma função desconhecida 𝒖𝒙 𝒚 𝒛 aqui no espaço tridimensional 𝐽 𝑓𝑢 𝑢𝑥 𝑢𝑦 𝑢𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Usando a notação de Leibniz para derivada parcial 𝒖𝒙𝒊 𝒖𝒙𝒊 Utilizando a mesma abordagem da seção anterior1 fazendo 𝒖 𝒅𝒖 podemos perceber que 𝛿𝐽 𝑓 𝑢 𝑥 𝑓 𝑢𝑥 𝑦 𝑓 𝑢𝑦 𝑧 𝑓 𝑢𝑧 𝛿𝑢 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Que é um bom exercício para o leitor Logo chegamos à Equação de Euler para três variáveis 𝑓 𝑢 𝑥 𝑓 𝑢𝑥 𝑦 𝑓 𝑢𝑦 𝑧 𝑓 𝑢𝑧 0 Vamos extrapolar mais um pouco e considerar diversas variáveis dependentes e independentes 1 Lembrando aqui que a função em questão tem várias variáveis e a regra da cadeia difere um pouco Seja cauteloso na dedução 9 𝐽 𝐹 𝑦1𝑥𝑖 𝑦1 𝑥𝑖 𝑦2𝑥𝑖 𝑦2 𝑥𝑖 𝑦𝑁𝑥𝑖 𝑦𝑁 𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝑑𝑁𝑥𝑖 Sendo aqui uma notação condensada em 𝒙𝒊 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝑵 De fato é simplesmente a mesma situação anterior porém com N funções e N variáveis O leitor pode deduzir tranquilamente usando os métodos anterior porém podemos por indução escrever a equação como 𝐹 𝑦1 𝑥1 𝐹 𝑦1 𝑥1 𝑥2 𝐹 𝑦1 𝑥2 𝑥1 𝐹 𝑦1 𝑥𝑁 0 Para 𝒚𝟏 restando 𝑵 𝟏 equações como esta anterior Podemos condensar a notação com um somatório para 𝒊 𝟏 𝟐 𝑵 𝐹 𝑦𝑖 𝑥𝑘 𝐹 𝑦𝑖 𝑥𝑘 𝑘 0 TEMA 2 EQUAÇÃO DE EULERLAGRANGE O que definimos como ação é a integral 𝑆 𝑇 𝑉𝑑𝑡 𝑡2 𝑡1 𝐿 𝑑𝑡 𝑡2 𝑡1 Que tem um conteúdo físico riquíssimo Imagine um movimento qualquer Fazendo a diferença entre a energia cinética a potencial em cada ponto e integrar vamos ver que este será o menor valor Lembrese da conservação de energia para entender o conteúdo físico E para encontrar a trajetória tomamos 𝜹𝑺 𝟎 que é a forma matemática de descrever o princípio da ação mínima Nós chamamos de lagrangiana a função 𝑳 escrita com 𝐿 𝑇 𝑉 Essa motivação física nos leva à formalização seja um sistema com N coordenadas generalizadas Conhecendo a configuração desse sistema em um tempo inicial podemos escrever a lagrangiana 10 𝐿 𝐿𝑞1 𝑞2 𝑞𝑁 𝑞1 𝑞2 𝑞𝑁 𝑡 E a ação como 𝑆 𝐿𝑞1 𝑞2 𝑞𝑁 𝑞1 𝑞2 𝑞𝑁 𝑡 𝑑𝑡 𝑡2 𝑡1 Estamos usando a notação pontuada 𝒒 𝒊 para representar a derivada em relação ao tempo Realizando o procedimento feito na seção anterior podemos chegar a 𝛿𝑆 𝐿 𝑞𝑖 𝛿𝑞𝑖 𝐿 𝑞𝑖 𝛿𝑞𝑖 𝑁 𝑖1 𝑑𝑡 𝑡2 𝑡1 𝐿 𝑞𝑖 𝑑 𝑑𝑡 𝐿 𝑞𝑖 𝛿𝑞𝑖 𝑁 𝑖1 𝑑𝑡 𝑡2 𝑡1 E para termos um 𝜹𝑺 𝟎 cada termo precisa ser nulo para as Ns coordenadas generalizadas ou seja 𝐿 𝑞𝑖 𝑑 𝑑𝑡 𝐿 𝑞𝑖 0 Se não houver vínculos entre as coordenadas generalizadas é interessante destacar a equivalência com as Leis de Newton pois se temos uma lagrangiana escrita da forma 𝐿 𝑚𝑣2 2 𝑉𝑥𝑖 Com a energia cinética dependendo da velocidade e o potencial das coordenadas cartesianas podemos calcular 𝐿 𝑥𝑖 𝑉 𝑥𝑖 𝑑 𝑑𝑡 𝐿 𝑣 𝑑 𝑑𝑡 𝑚𝑣 𝑚𝑎 Temos então 𝑚𝑎 𝑉 𝑥𝑖 Que é a segunda Lei de Newton para as forças conservativas 11 21 Pêndulo simples na formulação lagrangiana Para entender o poder dessa abordagem vamos começar com um exemplo conhecido que é o pêndulo simples descrito como a figura a seguir E é interessante seguir uma estratégia para a montagem da lagrangiana Definir as coordenadas generalizadas de acordo com o objeto estudado o Nesse passo precisamos saber se existe alguma restrição ao movimento ou seja se existe algum vínculo Inserir as coordenadas na energia cinética e potencial Realizar o procedimento com a eq de EulerLagrange De posse da equação diferencial do movimento resolver com um método adequado ao sistema estudado Figura 4 Pêndulo simples Fonte Tedesco 2022 Vamos escrever o vetor posição 𝒓 𝒙𝒊 𝒚𝒋 sabendo que o raio 𝑹 do pêndulo é constante ou seja a partir da figura escrevemos utilizando o ângulo proposto como 𝑟 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃𝑖 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃𝑗 Para encontrar o vetor velocidade e após seu módulo derivamos em relação ao tempo lembrando da regra da cadeia 𝑟 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃𝜃𝑖 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃𝜃𝑖 𝑟 𝑟 𝑅𝜃 12 Logo já encontramos a velocidade que será inserida na energia cinética Agora precisamos da energia potencial em função do ângulo dada por 𝑉 𝑚𝑔𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜃 Sendo assim já temos a lagrangiana dada por 𝐿 𝑇 𝑉 𝑚𝑅𝜃 2 2 𝑚𝑔𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 E usando a eq de EulerLagrange chegamos à equação do movimento 𝐿 𝜃 𝑚𝑔𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑 𝑑𝑡 𝑚𝑅2 𝜃 𝑚𝑅2𝜃 𝑚𝑅2𝜃 𝑚𝑔𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 0 𝑅𝜃 𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 0 Que para ângulos pequenos se torna pela aproximação 𝜽 𝒔𝒆𝒏𝜽 a mesma equação que é obtida com a mecânica newtoniana 𝜃 𝑔 𝑅 𝜃 0 Você pode até se perguntar qual a vantagem dessa abordagem em relação à mecânica newtoniana Aqui não precisamos analisar vetorialmente o movimento ficando tudo por conta da análise das energias do sistema Vamos para um exemplo mais complexo 22 Pêndulo duplo Na formulação lagrangiana podemos analisar em termos das coordenadas generalizadas as massas 𝒎𝟏 e 𝒎𝟐 no pêndulo duplo de forma mais simples Sabendo que as cordas de cada pêndulo são inextensíveis chamadas de 𝑹𝟏 e 𝑹𝟐 vamos primeiramente escrever em coordenadas cartesianas as posições das partículas orientando para baixo positivo 𝑃𝑜𝑠𝑖ç𝑎𝑜 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑀1 𝑥1 𝑅1𝑠𝑒𝑛𝜙1 𝑦1 𝑅1𝑐𝑜𝑠𝜙1 𝑃𝑜𝑠𝑖ç𝑎𝑜 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑀2 𝑥2 𝑅1𝑠𝑒𝑛𝜙1 𝑅2𝑠𝑒𝑛𝜙2 𝑦2 𝑅1𝑐𝑜𝑠𝜙1 𝑅2𝑐𝑜𝑠𝜙2 Derivando em relação ao tempo podemos encontrar as velocidades 𝑀1 𝑥1 𝑅1𝑐𝑜𝑠𝜙1𝜙1 𝑦1 𝑅1𝑠𝑒𝑛𝜙1𝜙1 𝑀2 𝑥2 𝑅1𝑐𝑜𝑠𝜙1𝜙1 𝑅2𝑠𝑒𝑛𝜙2𝜙2 𝑦2 𝑅1𝑐𝑜𝑠𝜙1𝜙1 𝑅2𝑐𝑜𝑠𝜙2𝜙2 13 O módulo de cada velocidade é calculado por meio do teorema de Pitágoras 𝑣1 2 𝑅1𝜙1 2 𝑣2 𝑅1𝜙1 2 𝑅2𝜙2 2 2𝑅1𝑅2𝜙1 𝜙2 COS 𝜙1 𝜙2 Agora podemos escrever a lagrangiana de maneira imediata apesar desta ser extensa 𝐿𝜙1 𝜙2 𝜙1 𝜙2 𝑚1 2 𝑣1 2 𝑚1 2 𝑣1 2 𝑚1𝑔𝑦1 𝑚2𝑔𝑦2 𝐿𝜙1 𝜙2 𝜙1 𝜙2 𝑚1 2 𝑅1𝜙1 2 𝑚1 2 𝑅1𝜙1 2 𝑅2𝜙2 2 2𝑅1𝑅2𝜙1 𝜙2 COS 𝜙1 𝜙2 𝑚1𝑔𝑅1𝑐𝑜𝑠𝜙1 𝑚2𝑔𝑅1𝑐𝑜𝑠𝜙1 𝑅2𝑐𝑜𝑠𝜙2 Apesar do processo ser de cálculo ser extenso não existe uma grande complexidade pois o que fizemos basicamente foi analisar as coordenadas generalizadas 𝝓𝒊 e 𝝓𝒊 e derivar para encontrar a velocidade com algumas doses de trigonometria Agora para você pensar imagine se o fio fosse um objeto extenso com momento de inércia associado Teríamos mais um termo de energia cinética associado Figura 5 Pêndulo duplo Fonte Tedesco 2022 14 Agora podemos encontrar as equações do movimento e para simplificar iremos considerar a mesma massa 𝒎 e o mesmo comprimento do fio 𝑹 para as duas com a lagrangiana 𝐿 𝑚𝑅 2 𝑅 𝜙2 2 𝜙2 2 2 𝜙1 𝜙2 COS𝜙1 𝜙2 𝑔2𝑐𝑜𝑠𝜙1 𝑐𝑜𝑠𝜙2 E para calcular novamente pelas equações de EulerLagrange primeiramente as derivadas parciais nos ângulos 2 𝑚𝑅 𝐿 𝜙1 𝑠𝑒𝑛 𝜙1 𝜙2 2𝑔𝑠𝑒𝑛𝜙1 2 𝑚𝑅 𝐿 𝜙1 𝑠𝑒𝑛 𝜙1 𝜙2 𝑔𝑠𝑒𝑛𝜙2 E posteriormente as derivadas parciais nas velocidades angulares 2 𝑚𝑅 𝐿 𝜙1 2𝑅𝜙1 𝜙2 𝑅 SEN𝜙1 𝜙2 2 𝑚𝑅 𝐿 𝜙2 𝑅𝜙1 𝜙1 𝑅 SEN𝜙1 𝜙2 E deixamos um termo multiplicativo que irá desaparecer ao final pela forma da eq de EL Finalmente podemos montar as equações para cada massa 2𝜙1 𝜙2 SEN𝜙1 𝜙2 𝜙2 𝜙1 𝜙2 COS𝜙1 𝜙2 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜙1 𝜙2 2𝑔𝑠𝑒𝑛𝜙1 𝜙1 𝜙1 SEN𝜙1 𝜙2 𝜙1 𝜙1 𝜙2 COS𝜙1 𝜙2 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜙1 𝜙2 𝑔𝑠𝑒𝑛𝜙2 Que são EDO de segunda ordem não lineares que só podem ser resolvidas por métodos numéricos Esse sistema tem uma característica caótica que corresponde a sensibilidade às condições iniciais Se colocarmos esse sistema em posições muito próximas essas pequenas diferenças vão se ampliando em determinado tempo os movimentos estão diferentes TEMA 3 PRINCÍPIO DE HAMILTON E A HAMILTONIANA 15 Antes de começa vamos entrar primeiro em uma discussão importante os princípios de conservação Sempre é interessante termos quantidades conservadas pois entendemos a física do sistema em termos destas quantidades Perceba a importância da conservação de energia que inclusive se manifesta em certo nível no princípio de Hamilton que já foi enunciado anteriormente que é o princípio da ação mínima ou também no jargão popular princípio do menor esforço Pois seja a equação de EulerLagrange em termos das coordenadas generalizadas 𝒒𝒊 apenas 𝐿 𝑞𝑖 0 O que resulta em 𝑑 𝑑𝑡 𝐿 𝑞𝑖 0 𝐿 𝑞𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 E esta é uma quantidade importantíssima chamada de momento canônico ou momento generalizado conjugado a 𝒒𝒊 𝑝𝑖 𝐿 𝑞𝑖 E a conservação do momento é uma das características da mecânica que nos auxiliam a entender toda a dinâmica de sistemas específicos estabelecendo uma simetria e uma lei de conservação Damos como exemplo uma simetria esférica na qual a lagrangiana não depende do ângulo azimutal que leva a uma conservação do momento associado a esse ângulo Conservação implica na prática a solução de menos equações diferenciais Outro princípio de conservação importante se dá quando a lagrangiana não depende do tempo então escrevemos a derivada a seguir usando a regra da cadeia 𝑑𝐿 𝑑𝑡 𝐿 𝑞𝑖 𝑖 𝑑𝑞 𝑑𝑡 𝐿 𝑞𝑖 𝑖 𝑑𝑞 𝑑𝑡 𝐿 𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝐿 𝑞𝑖 𝑞𝑖 𝐿 𝑞𝑖 𝑞𝑖 𝑖 𝐿 𝑡 16 É interessante notar que temos uma regra do produto da derivada e podemos escrever como 𝑑𝐿 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝐿 𝑞𝑖 𝑖 𝑞𝑖 𝐿 𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑝𝑖 𝑖 𝑞𝑖 𝐿 𝑡 Se a lagrangiana não depende do tempo o último termo é nulo e podemos reescrever da seguinte forma 𝑑𝐿 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑝𝑖 𝑖 𝑞𝑖 𝑑 𝑑𝑡 𝑝𝑖 𝑖 𝑞𝑖 𝐿 0 Vemos mais uma conservação ou seja quando a lagrangiana não depende do tempo a hamiltoniana se conserva que é definida como 𝐻 𝑝𝑖 𝑖 𝑞𝑖 𝐿 Num caso em que a energia potencial V só dependa da coordenada generalizada a hamiltoniana é a energia total Para mostrar esse fato vamos escrever a Energia Cinética de uma forma geral 𝑇 1 2 𝑎𝑖𝑗𝑞𝑞𝑖 𝑞𝑗 𝑖𝑗 Sendo 𝒂𝒊𝒋𝒒 uma matriz que depende do modelo analisado Considerando a hamiltoniana 𝐻 𝐿 𝑞𝑘 𝑘 𝑞𝑘 𝐿 𝑇 𝑞𝑘 𝑘 𝑞𝑘 𝐿 𝑞𝑘 1 2 𝑎𝑖𝑗𝑞𝑞𝑖 𝑞𝑗 𝑖𝑗 𝑘 𝑞𝑘 𝐿 Agora vamos realizar a derivada 𝑞𝑘 1 2 𝑎𝑖𝑗𝑞𝑞𝑖 𝑞𝑗 𝑖𝑗 𝑘 𝑞𝑘 1 2 𝑎𝑖𝑗𝑞 𝑞𝑘 𝑞𝑖 𝑞𝑗 𝑖𝑗 𝑘 𝑞𝑘 1 2 𝑎𝑖𝑗𝑞 𝑞𝑖 𝑞𝑘 𝑞𝑗 𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑗𝑞 𝑞𝑗 𝑞𝑘 𝑞𝑖 𝑖𝑗 𝑘 𝑞𝑘 17 Sabendo que 𝒒 𝒊 𝒒 𝒌 𝜹𝒊𝒌 1 2 𝑎𝑖𝑗𝑞𝛿𝑖𝑘𝑞𝑗 𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑗𝑞𝛿𝑗𝑘𝑞𝑖 𝑖𝑗 𝑘 𝑞𝑘 Como o nome dos índices não irão influenciar podemos somar os dois no interior ficando com 𝑎𝑖𝑘𝑞𝑞𝑘 𝑞𝑘 2𝑇 𝑖𝑘 E finalmente temos a hamiltoniana escrita como energia total 𝐻 2𝑇 𝐿 2𝑇 𝑇 𝑉 𝑇 𝑉 31 Equações de Hamilton Para continuar os rudimentos da Mecânica Hamiltoniana precisamos escrever a variação da lagrangiana como 𝑑𝐿 𝐿 𝑞𝑖 𝑑𝑞𝑖 𝑖 𝐿 𝑞𝑖 𝑑𝑞𝑖 𝑖 𝐿 𝑡 𝑑𝑡 E naturalmente já podemos escrever em função do momento generalizado 𝑑𝐿 𝐿 𝑞𝑖 𝑑𝑞𝑖 𝑖 𝑝𝑖 𝑑𝑞𝑖 𝑖 𝐿 𝑡 𝑑𝑡 Usando a regra da cadeia para reescrever o termo 𝒑𝒊 𝒅𝒒𝒊 𝑑𝐿 𝐿 𝑞𝑖 𝑑𝑞𝑖 𝑖 𝑑𝑝𝑖𝑞𝑖 𝑞𝑖 𝑑𝑝𝑖 𝑖 𝐿 𝑡 𝑑𝑡 Multiplicando por 1 e arrumando a equação temos explicitamente a hamiltoniana 𝑑𝐿 𝑑𝑝𝑖𝑞𝑖 𝑖 𝑑 𝑝𝑖𝑞𝑖 𝑖 𝐿 𝐿 𝑞𝑖 𝑑𝑞𝑖 𝑖 𝑞𝑖 𝑑𝑝𝑖 𝑖 𝐿 𝑡 𝑑𝑡 18 Ou seja 𝑑𝐻 𝐿 𝑞𝑖 𝑑𝑞𝑖 𝑖 𝑞𝑖 𝑑𝑝𝑖 𝑖 𝐿 𝑡 𝑑𝑡 Por outro lado como o hamiltoniano depende de 𝑯𝒒 𝒑 𝒕 podemos usar a regra da cadeia da mesma forma 𝑑𝐻 𝐻 𝑞𝑖 𝑑𝑞𝑖 𝑖 𝐻 𝑝𝑖 𝑑𝑝𝑖 𝑖 𝐻 𝑡 𝑑𝑡 Comparando as duas relações temos as equações de Hamilton 𝑞𝑖 𝐻 𝑝𝑖 𝑝𝑖 𝐻 𝑞𝑖 Que levam a um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem A equação 𝑯 𝒕 𝑳 𝒕 geralmente não é levada em consideração por ser uma identidade imediata 32 Partícula em um potencial central O problema das forças centrais é um ponto muito importante que é estudado nos cursos de mecânica e costuma ser de difícil modelagem Nas forças centrais a energia potencial é função somente da distância Com o formalismo hamiltoniano fica um tanto mais simples Para encontrar a lagrangiana precisamos das coordenadas esféricas e suas componentes derivadas no tempo 𝑥 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑦 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑧 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑥 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 𝜃𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 𝜑 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑦 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 𝜃𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜑 𝜑𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑧 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑 𝜌 𝜑 𝑠𝑒𝑛𝜑 Calculando a velocidade depois de bastante empenho podemos encontrar a expressão 𝑣2 𝑥 2 𝑦2 𝑧2 𝑟 2 𝑟2𝜃 𝑟2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝜑 E com isso podemos escrever a expressão da lagrangiana 19 𝐿 𝑚 2 𝑟 2 𝑟2𝜃 𝑟2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝜑 𝑉𝑟 Podemos calcular os momentos conjugados como 𝑝𝑟 𝐿 𝑟 𝑚𝑟 𝑝𝜃 𝐿 𝜃 𝑚𝑟2𝜃 𝑝𝜑 𝐿 𝜑 𝑚𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃𝜑 Que é o primeiro passo para a construção da análise hamiltoniana Após isso precisamos escrever tudo em função dos momentos 𝑟 𝑝𝑟 𝑚 𝜃 𝑝𝜃 𝑚𝑟2 𝜑 𝑝𝜑 𝑚𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃 O próximo passo é realizar a construção hamiltoniana 𝐻 𝑝𝑖 𝑖 𝑞𝑖 𝐿 𝑟𝑝𝑟 𝜃𝑝𝜃 𝜑 𝑝𝜑 𝑝𝑖 𝑖 𝑞𝑖 𝐿 1 2𝑚 𝑝𝑟 2 𝑝𝜃 2 𝑟2 𝑝𝜑 2 𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑉𝑟 Sendo assim já somos capazes de usar as eq de Hamilton para encontrar seis EDOs de primeira ordem 𝑟 𝐻 𝑟 𝑝𝑟 𝑚 𝑝𝑟 𝐻 𝑟 𝑝𝜃 2 𝑚𝑟3 𝑝𝜑 2 𝑚𝑟3𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝑉 𝑑𝑟 𝜃 𝐻 𝑝𝜃 𝑝𝜃 𝑚𝑟2 𝑝𝜃 𝐻 𝜃 𝑝𝜑 2𝑐𝑜𝑡𝜃 𝑚𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝜑 𝐻 𝑝𝜑 𝑝𝜑 𝑚𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑝𝜑 𝐻 𝜑 0 Que apesar de serem mais equações são de primeira ordem Interessante ressaltar uma quantidade conservada que é o momento 𝒑𝝋 que já começa facilitando nas soluções das outras Agora fica como exercício a resolução dessas equações diferenciais que não serão diferentes dos resultados da mecânica newtoniana TEMA 4 CÁLCULO VARIACIONAL COM VÍNCULOS Já ficou claro aqui que a ferramenta do cálculo variacional é muito poderosa e aqui veremos mais uma situação específica que na mecânica newtoniana seria um tanto trabalhoso é a situação com vínculos Antes de mais 20 nada vínculo na mecânica são restrições de movimento de natureza geométrica ou cinemática de um certo sistema Esse vínculo se origina em função também das coordenadas do sistema ou seja 𝛿 𝐺𝑥 𝑦 𝑦𝑑𝑥 0 𝑏 𝑎 Lembrando que a condição de extremo do funcional que descreve o sistema é 𝐹 𝑦 𝑑 𝑑𝑥 𝐹 𝑦 𝑏 𝑎 𝛿𝑦 𝑑𝑥 Obviamente o vínculo também vai obedecer ao cálculo variacional como na equação anterior multiplicada já pelo fator 𝝀 como é feito no cálculo diferencial 𝜆 𝐺𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑑 𝑑𝑥 𝐺𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑏 𝑎 𝛿𝑦 𝑑𝑥 Aqui podemos somar as duas integrais com o multiplicador de Lagrange 𝐹 𝜆𝐺 𝑦 𝑑 𝑑𝑥 𝐹 𝜆𝐺 𝑦 𝑏 𝑎 𝛿𝑦 𝑑𝑥 E continuamos com a presença do 𝜹𝒚 arbitrário A equação de Euler Lagrange ganha um termo a mais que depende do vínculo aqui um único vínculo e do multiplicador na forma 𝐹 𝜆𝐺 𝑦 𝑑 𝑑𝑥 𝐹 𝜆𝐺 𝑦 0 No entanto na prática em diversos exemplos o que vemos são vínculos quer dependem unicamente das coordenadas acarretando uma mudança na equação 𝑑 𝑑𝑥 𝐹 𝑦 𝐹 𝑦 𝜆 𝐺𝑥 𝑦 𝑦 21 Num contexto da mecânica com coordenadas generalizadas 𝒒𝒊 e 𝒒 𝒊 e diversas restrições dadas por 𝝓𝒌𝒒𝒊 𝒕 teremos 𝑑 𝑑𝑡 𝐿 𝑞𝑖 𝐿 𝑞𝑖 𝜆𝑘 𝑘 𝜙𝑘 𝑞𝑖 E por fim chamamos de força de vínculo o termo depois da igualdade ou seja 𝑓𝑞𝑖 𝜆𝑘 𝑘 𝜙𝑘 𝑞𝑖 Que possui um significado físico interessante que são as forças de manutenção do vínculo somente não responsáveis pela dinâmica propriamente dita sendo uma propriedade das forças de vínculo o fato de estar sempre perpendicular à superfície de vínculo Se não fosse dessa maneira elas moveriam o corpo ligado sem a presença de uma força externa coisa que nunca foi observada Um exemplo rápido é a dinâmica de um corpo de massa 𝒎 deslizando sobre uma superfície cilíndrica de raio 𝑹 com o objetivo de encontrar o ângulo crítico na qual a partícula é jogada da superfície sem qualquer ação externa Figura 6 Corpo deslizando em uma superfície cilíndrica Fonte Tedesco 2022 22 Vamos escrever a lagrangiana levando em consideração que 𝑹 varia no tempo sendo a posição definida como 𝒓 𝑹𝒕𝒔𝒆𝒏𝝋𝒕𝒊 𝑹𝒕𝒔𝒆𝒏𝝋𝒕𝒋 Após o cálculo da velocidade 𝒓 𝟐 logo teremos 𝐿 𝑚 2 𝑅 2 𝑅2𝜑 2 𝑚𝑔𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑 Agora vamos impor uma restrição chamando o raio de 𝑳 sendo escrita como 𝜙1 𝑅 𝐿 𝑚 Utilizando o método tendo apenas um vínculo precisamos derivar em relação as coordenadas 𝑎𝑟1 𝜙1 𝑟 1 𝑎𝜃1 𝜙1 𝜃 0 Chegando enfim à equação do movimento 𝑚𝑅 𝑚𝑅𝜑 2 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜑 𝜆1𝜑 𝑚𝑅2𝜑 2𝑚𝑅𝑅𝜑 𝑚𝑔𝑅𝑠𝑒𝑛𝜑 0 Sabendo que 𝑹 𝑳 as suas derivadas são nulas e temos as equações 𝑚𝐿𝜑 2 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜑 𝜆1𝜑 𝐿𝜑 𝑔𝑠𝑒𝑛𝜑 0 Se tivéssemos analisado o problema desde o princípio não levando em consideração o vínculo não teríamos a equação com o multiplicador de Lagrange Diferenciando em relação ao ângulo usando a regra da cadeia 𝒅𝑭𝝋 𝒅𝒕 𝒅𝑭𝝋 𝒅𝝋 𝝋 e usando a segunda equação para eliminar o termo 𝝋 temos 2𝑚𝐿𝜑 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜆1 𝑑𝜑 𝑑𝜆1 𝑑𝜑 3𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜑 E após a integração obtemos o valor do multiplicador 𝜆1𝜑 3𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜑 𝐾 23 Precisamos agora entender o valor da constante 𝑲 e para isso voltamos à equação diferencia com o valor 𝝋 𝟎 𝑚𝐿 𝑑𝜑 𝑑𝑡 𝜑0 2 𝑚𝑔 𝜆1𝜑 0 3𝑚𝑔 𝐾 𝐾 2𝑚𝑔 𝑚𝐿 𝑑𝜑 𝑑𝑡 𝜑0 2 Que nos dá um valor 𝑲 𝟐𝒎𝒈 para a velocidade angular nula sendo assim o valor de 𝝀𝟏 𝜆1𝜑 𝑚𝑔3𝑐𝑜𝑠𝜑 2 E por fim para o cálculo do ângulo crítico precisamos do valor de 𝝀𝟏 tal que não haja mais o vínculo ou seja 𝜆1𝜑𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 0 𝑚𝑔3𝑐𝑜𝑠𝜑𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 2 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 2 3 Que é um resultado interessante não dependendo do valor da massa nem do valor da gravidade nessas condições 𝝋𝒄𝒓𝒊𝒕𝒊𝒄𝒐 𝟒𝟗 𝟐𝒐 Neste valor o valor da força de vínculo é zero pois esta tem a mesma a forma 𝑓𝑟 𝑚𝑔3𝑐𝑜𝑠𝜑 2 Podemos encarar essa função como o módulo da força normal na superfície 41 Dinâmica do yoyo Vamos considerar um exemplo com um corpo extenso que é o yoyo Vamos considerálo como um cilindro de massa 𝒎 e raio 𝑹 em queda vertical conforme a figura 24 Figura 7 Dinâmica do Yoyo Fonte Tedesco 2022 E temos a lagrangiana do sistema de maneira simples com a energia cinética de translação energia cinética de rotação e energia potencial gravitacional proposta como 𝐿 1 2 𝑚𝑦 2 1 2 𝐼𝐶𝑀𝜑 2 𝑚𝑔𝑦 Em que 𝑰𝑪𝑴 𝟏 𝟐𝒎𝑹𝟐 conhecido da dinâmica dos corpos rígidos chamado de momento de inércia do cilindro com rotação em torno do seu centro de massa O que podemos analisar previamente é que 𝒚 𝑹𝝋 que é a condição de não deslizamento que integrada funciona como um vínculo 𝜙1 𝑦 𝑅𝜑 0 Agora com tudo posto precisamos reescrever a lagrangiana com o valor do momento de inércia 𝐿 1 2 𝑚𝑦 2 1 4 𝑚𝑅2𝜑 2 𝑚𝑔𝑦 Que nos proporciona uma equação de movimento 𝑑 𝑑𝑡 𝐿 𝑦 𝐿 𝑦 𝜆1 𝜙1 𝑦 𝑚𝑔 𝑚𝑦 𝜆1 25 𝑑 𝑑𝑡 𝐿 𝜑 𝐿 𝜑 𝜆1 𝜙1 𝜑 1 2 𝑚𝑅2𝜑 𝜆1𝑅 E com o vínculo temos uma terceira equação 𝒚 𝑹𝝋 que nos providencia um valor para o multiplicador de Lagrange como 𝜆1 1 3 𝑚𝑔 E com isso podemos calcular as forças de vínculo 𝑓𝑦 𝜆1 𝜙1 𝑦 1 3 𝑚𝑔 𝑓𝜑 𝜆1 𝜙1 𝜑 1 3 𝑚𝑔𝑅 É importante ressaltar que essas forças permanecem constantes em todo o movimento Podemos interpretar a força 𝒇𝒚 como a tensão do fio do yoyo e 𝒇𝝋 como o torque realizado TEMA 5 TEORIA CLÁSSICA DE CAMPOS Nos tópicos anteriores já definimos o princípio de Hamilton generalizado 𝐹 𝑦𝑖 𝑥𝑘 𝐹 𝑦𝑖 𝑥𝑘 𝑘 0 na qual o objeto a ser extremizado depende de 𝐹 𝑦1𝑥𝑖 𝑦1 𝑥𝑖 𝑦2𝑥𝑖 𝑦2 𝑥𝑖 𝑦𝑁𝑥𝑖 𝑦𝑁 𝑥𝑖 𝑥𝑖 Podemos então fazer a transição para a mecânica do contínuo na qual temos um princípio de mínima ação escrito como 𝛿𝑆 𝛿 𝑑4𝑥 𝐿 𝜑 𝜑 𝑡 𝜑 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 0 𝑀 Na qual temos um campo 𝝋 que pode ser um campo qualquer para descrever desde a mecânica dos fluidos até a física de partículas tomando o cuidado de saber qual a melhor representação utilizada A equação de Euler Lagrange para este sistema será 26 𝐿 𝜑𝜇 𝑡 𝐿 𝜑𝜇 𝑡 𝐿 𝜑𝜇 0 Para um sistema físico escrito no espaçotempo de Minkowski na qual escolhemos 𝒙𝟎 𝒄𝒕 podemos generalizar a equação anterior sem problemas para 𝐿 𝜑𝜇 𝜈 𝐿 𝜈𝜑𝜇 0 Pois temos o operador quadridimensional 𝜈 𝑥𝜈 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 1 𝑐 𝑡 51 Campo escalar Um primeiro exemplo que se estuda nos cursos de teoria de campos é o campo escalar que pode representar a dinâmica dos mésons modelado pela lagrangiana 𝐿 1 2 𝜇𝜑𝜇𝜑 𝑚2 2 𝜑2 Em que 𝒎 é a massa da partícula Essa lagrangiana é invariante sob as transformações de Lorentz relativisticamente definida Podemos usar a equação de EulerLagrange para encontrar a dinâmica do méson como segue 𝐿 𝜑 𝜇 𝐿 𝜇𝜑 0 𝐿 𝜑 𝑚2𝜑 𝐿 𝜇𝜑 𝜇𝜑 1 2 𝛼𝜑𝛼𝜑 𝜇𝜑 1 2 𝑔𝛼𝛽𝛼𝜑𝛽𝜑 Usando a regra do produto teremos perceba que tomamos o cuidado de mudar o nome do índice mudo 27 𝐿 𝜇𝜑 1 2 𝑔𝛼𝛽 𝛼𝜑 𝜇𝜑 𝛿𝛼𝜇 𝛽𝜑 𝑔𝛼𝛽𝛼𝜑 𝛽𝜑 𝜇𝜑 𝛿𝛽𝜇 1 2 𝑔𝜇𝛽𝛽𝜑 𝑔𝜇𝛼𝛼𝜑 𝜇𝜑 Então teremos a chamada equação de KleinGordon 𝜇𝜇𝜑 𝑚2𝜑 0 Em que o operador 𝝁𝝁 𝟐 NA PRÁTICA O melhor exemplo para terminar esta etapa é o campo eletromagnético na presença de um termo de fonte que é representado pela lagrangiana 𝐿 1 4 𝐹𝜇𝜈𝐹𝜇𝜈 1 𝑐 𝑗𝜇𝐴𝜇 Aqui o campo é o quadrivetor potencial 𝑨𝝁 o que nos leva à eq de Euler Lagrange 𝐿 𝐴𝜇 𝜈 𝐿 𝜈𝐴𝜇 0 O termo que possui somente 𝑨𝝁 é o termo de fonte e o termo que possui 𝝂𝑨𝝁 é o bilinear de 𝑭𝝁𝝂 logo teremos 𝜈 𝐿 𝜈𝐴𝜇 1 𝑐 𝑗𝜇 Vamos focar no primeiro termo em que usaremos a regra do produto como fizemos no caso do campo escalar anterior 𝐿 𝜈𝐴𝜇 1 4 𝐹𝛼𝛽 𝜈𝐴𝜇 𝐹𝛼𝛽 𝐹𝛼𝛽 𝐹𝛼𝛽 𝜈𝐴𝜇 28 Olhando para a expressão podemos ver que os dois termos são semelhantes logo podemos fazer uso da métrica para unir os dois da seguinte maneira usaremos a métrica para abaixar os índices do termo fora da derivada e usar essas métricas para levantar os índices do tensor no interior da derivada como segue 𝐹𝛼𝛽 𝐹𝛼𝛽 𝜈𝐴𝜇 𝑔𝛼𝛾𝑔𝛽𝜎𝐹𝛾𝜎 𝐹𝛼𝛽 𝜈𝐴𝜇 𝐹𝛾𝜎 𝑔𝛼𝛾𝑔𝛽𝜎𝐹𝛼𝛽 𝐹𝛾𝜎 𝜈𝐴𝜇 𝐹𝛼𝛽 𝐹𝛼𝛽 𝜈𝐴𝜇 Sendo que na última igualdade já mudamos os índices de forma a vislumbrar a igualdade nos termos e de forma a reescrever 𝐿 𝜈𝐴𝜇 1 2 𝐹𝛼𝛽 𝜈𝐴𝜇 𝐹𝛼𝛽 Agora focaremos na derivada do tensor eletromagnético 𝐹𝛼𝛽 𝜈𝐴𝜇 𝜈𝐴𝜇 𝛼𝐴𝛽 𝛽𝐴𝛼 𝛼𝐴𝛽 𝜈𝐴𝜇 𝛽𝐴𝛼 𝜈𝐴𝜇 Sabendo que 𝛽𝐴𝛼 𝜈𝐴𝜇 𝛿𝛽𝜈𝛿𝛼𝜇 Teremos então 𝐹𝛼𝛽 𝜈𝐴𝜇 𝛿𝛼𝜈𝛿𝛽𝜇 𝛿𝛽𝜈𝛿𝛼𝜇 O que nos leva à equação 𝐿 𝜈𝐴𝜇 1 2 𝛿𝛼𝜈𝛿𝛽𝜇 𝛿𝛽𝜈𝛿𝛼𝜇𝐹𝛼𝛽 1 2 𝐹𝜈𝜇 𝐹𝜇𝜈 𝐹𝜇𝜈 Voltando para a equação de EulerLagrange teremos enfim as equações de Maxwell 29 𝜈 𝐿 𝜈𝐴𝜇 𝜈𝐹𝜇𝜈 1 𝑐 𝑗𝜇 E em decorrência do caráter antissimétrico podemos escrever 𝜈𝐹𝜈𝜇 1 𝑐 𝑗𝜇 Na realidade os textos mais avançados usam o sistema natural de unidades 𝒄 ℏ 𝟏 ficando com a eq de Maxwell 𝜈𝐹𝜈𝜇 𝑗𝜇 É importante frisar que as outras equações não são dinâmicas ou seja decorrentes do estudo dinâmico das equações de movimento mas sim de vínculos geométricos dados pela equação 𝜖𝜇𝜈𝛼𝛽𝜈𝐹𝛼𝛽 0 FINALIZANDO A síntese desta etapa é dinâmica mas sob a perspectiva de Lagrange e Hamilton que foram dois físicos que somaram muito no conhecimento da mecânica clássica Começamos com o cálculo variacional com o exemplo da braquistócrona chegando à famosa Equação de EulerLagrange Após isso conversamos sobre o princípio de Hamilton da ação mínima e seu formalismo findando com o cálculo variacional com vínculos O último conteúdo é uma pequena introdução à teoria clássica de campos cujo estudo é a dinâmica dos campos que são representações matemáticas de diversos objetos como partículas ondas e etc 30 REFERÊNCIAS ARFKEN G B WEBER H J Física matemática métodos matemáticos para engenharia e física 2 ed Rio de Janeiro Elsevier Campus 2017 BUTKOV E Física Matemática Rio de Janeiro LTC 1988 DINVERNO R Introducing To Einsteins Relativity Oxford Oxford University Press 1992 GOLDSTEIN H Classical Mechanics 2 ed New York Addison Wesley 2002 NETO J B Mecânica newtoniana lagrangiana e hamiltoniana São Paulo Livraria da Física 2004 OLIVEIRA E C Funções especiais com aplicações 2 ed São Paulo Livraria da Física Editora 2011 SARDELLA E FísicaMatemática teoria e aplicações 1 ed São Paulo Cultura Acadêmica Editora 2008 SYMON K R Mecânica 2 ed Rio de Janeiro Campus 1986
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MÉTODOS DE FÍSICA TEÓRICA FUNÇÕES DE GREEN E CÁLCULO VARIACIONAL AULA 6 Prof Daniel Guimarães Tedesco 2 CONVERSA INICIAL Nesta etapa introduziremos os conceitos provenientes do cálculo variacional Essa grande ferramenta lida com problemas gerais na qual existe um uma função a ser determinada que minimiza uma integral diferente do cálculo integral convencional na qual é calculado o valor mínimo de uma certa função em um intervalo As premissas do cálculo variacional e o cálculo diferencial são semelhantes mas metodologias de cálculo bem diferentes Os princípios variacionais foram desenvolvidos na mecânica clássica mas podem ser estendidos facilmente para todas as áreas da Física O princípio do caminho ótico mais curto de Fermat na eletrodinâmica Na mecânica quântica e teoria de campos para encontrar o valor das autofunções e propagações das partículas Na física da matéria condensada com o estudo da dinâmica de fônons magnons e outras soluções clássicas Enfim onde existe uma dinâmica e uma equação de movimento o cálculo variacional pode ser utilizado sendo uma ferramenta poderosa na solução de problemas diversos TEMA 1 CÁLCULO DAS VARIAÇÕES De certa forma o cálculo variacional é uma generalização do cálculo elementar pois aqui a quantidade a ser maximizada ou minimizada é um funcional que pode ser definido como 𝐼𝑦𝑥 𝐹𝑦𝑥 𝑦𝑥 𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 E podemos nomear I como funcional de 𝒚 e 𝑭 uma certa função de 𝒚 sua derivada e 𝒙 Como podemos ver a integral não depende da variável de integração mas sim do tipo de função 𝒚𝒙 A pergunta que podemos fazer é para uma função 𝒚𝒙 que passa por dois pontos em comum A e B existe um valor máximo ou mínimo para o funcional 𝑰𝒚 3 Figura 1 Processo de minimização da trajetória Fonte Tedesco 2022 Perceba que não estamos dizendo qual é a menor área ou qual seria o ponto de máximo e mínimo Aqui estamos dizendo qual seria a função que minimizaria a integral 𝑰𝒚𝒙 Trazendo o cálculo diferencial para o diálogo é fácil generalizar a variação de uma função sendo nula que pode ser expressa como 𝑑𝑦 𝑦𝑥 𝑑𝑥 𝑦𝑥 0 Pois bem no contexto dos funcionais dizemos que 𝜹𝑰 𝟎 com uma notação construída para diferenciar da variação convencional do cálculo Vamos começar com uma suposição sendo o funcional escrito na forma 𝐼𝑦 𝐹𝑦𝑥 𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Sem dependência em 𝒚𝒙 Da mesma maneira podemos escrever 𝛿𝐼 𝐼𝑦 𝛿𝑦 𝐼𝑦 𝐹𝑦𝑥 𝛿𝑦𝑥 𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝐹𝑦𝑥 𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Usando o cálculo diferencial para entender a função usual 𝑭 como 𝐹𝑦 𝛿𝑦 𝑥 𝐹𝑦 𝑥 𝐹 𝑦 𝛿𝑦 4 Podemos encontrar que a variação é escrita como 𝛿𝐼 𝐹𝑦 𝑥 𝐹 𝑦 𝛿𝑦 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝐹𝑦 𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝐹 𝑦 𝛿𝑦𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 E obviamente se for nulo o conteúdo da integral é nulo Mas vamos para o caso com a dependência da derivada realizando o mesmo cálculo anterior 𝛿𝐼 𝐼𝑦 𝛿𝑦 𝑦 𝛿𝑦 𝐼𝑦 𝐹 𝑦 𝛿𝑦𝑥 𝐹 𝑦 𝛿𝑦𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Agora precisamos realizar a segunda integral para ficar em função de 𝜹𝒚 e para isso vamos explicitar a derivada 𝐹 𝑦 𝛿 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝐹 𝑦 𝛿𝑑𝑦 𝑏 𝑎 𝐹 𝑦 𝑑𝛿𝑦 𝑏 𝑎 Que fica escrita dessa maneira pois a variação ocorre em 𝒚 e o diferencial comuta com a variação funcional Realizando uma integração por partes ficamos com 𝐹 𝑦 𝑑𝛿𝑦 𝑏 𝑎 𝐹 𝑦 𝛿𝑦 𝑎 𝑏 𝛿𝑦 𝑑 𝐹 𝑦 𝑏 𝑎 Como nos extremos 𝜹𝒚𝒂 𝜹𝒚𝒃 𝟎 ficamos com 𝐹 𝑦 𝛿𝑦𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝛿𝑦 𝑑 𝐹 𝑦 𝑏 𝑎 𝑑 𝑑𝑥 𝐹 𝑦 𝛿𝑦 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 Fazendo o uso da regra da cadeia Logo a variação do funcional colocando 𝜹𝒚𝒙 em evidência fica 𝛿𝐼 𝐹 𝑦 𝑑 𝑑𝑥 𝐹 𝑦 𝛿𝑦𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 E para que a integral seja nula sabendo que 𝜹𝒚𝒙 é uma função arbitrária de x o integrando precisa ser nulo ou seja 5 𝐹 𝑦 𝑑 𝑑𝑥 𝐹 𝑦 0 Relação obtida por Euler mais conhecida como Equação de Euler Lagrange Essa equação é muito poderosa e boa parte do entendimento da física moderna se dá com essa ferramenta Fica para o leitor a generalização para funcionais que dependam da segunda derivada Para exemplificar um uso rápido sabemos que a menor distância entre dois pontos é uma reta então iremos modelar de acordo com essa abordagem o comprimento de arco como 𝑠 𝑑𝑠 𝑥2 𝑥1 𝑑𝑥2 𝑑𝑦2 𝑥2 𝑥1 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 𝑥2 𝑥1 𝑑𝑥 Sabendo que 𝒅𝒔𝟐 𝒅𝒙𝟐 𝒅𝒚𝟐 O cálculo é simples pois colocamos o elemento 𝒅𝒙 em evidência Neste caso a função que iremos trabalhar é 𝐹𝑦 𝑦 𝑥 1 𝑦2 Que não depende explicitamente de 𝒚 gerando 𝑭 𝒚 𝟎 A equação de EulerLagrange fica 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 1 𝑦2 0 A derivada interna é calculada da forma usual utilizando a regra da cadeia e ficamos com 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 1 𝑦2 0 Para um bom entendedor de cálculo quando a derivada é nula temos uma constante ou seja 𝑦 1 𝑦2 𝑘 Fazendo todos os passos matemáticos chegamos a 6 𝑦 1 1 𝑘2 𝑎 Sendo 𝒂 uma outra constante Resolvendo a equação diferencial de forma indefinida temos 𝒚𝒙 𝒂𝒙 𝒃 Sendo 𝒃 uma constante de integração 11 Braquistócrona Este é um exemplo clássico feito nos cursos de mecânica clássica A braquistócrona é a trajetória de uma partícula pontual de massa m sujeita somente a um campo gravitacional abandonada com velocidade nula e sem atrito que se desloca entre dois pontos no menor intervalo de tempo Na figura a seguir a curva que minimiza o tempo é a de cor vermelha Figura 2 Braquistócrona Fonte Tedesco 2022 Vamos definir a trajetória da partícula em um espaço bidimensional dada por 𝒔𝒕 e a velocidade como sendo 𝑣𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑣 Aqui já reescrita de forma conveniente para integração entre os pontos A e B Sabendo que o elemento infinitesimal da trajetória é 𝒅𝒔𝟐 𝒅𝒙𝟐 𝒅𝒚𝟐 podemos reescrever como 7 Δ𝑡 𝑑𝑥2 𝑑𝑦2 𝑣 𝐴𝐵 𝑑𝑥2 𝑑𝑦2 2𝑔𝑦 𝐴𝐵 1 𝑦2 𝑦 𝑑𝑥 𝐴𝐵 Na qual usamos o valor da velocidade proveniente da conservação de energia O objeto que queremos minimizar funcionalmente é 𝚫𝒕𝒚 𝒚 𝒙 Usando a Equação de Euler chegamos à equação diferencial do movimento 2𝑦 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 1 0 Para resolver essa equação sabendo que não temos nenhuma dependência na variável x usamos um recurso básico chamando 𝒚 𝒑𝒚 resultando em uma EDO de primeira ordem 2𝑦𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑦 𝑝2 1 0 𝑑𝑦 𝑦 2𝑝𝑑𝑝 𝑝2 1 Integrando tudo temos LN𝑦 𝐶 LN 𝑎 LN𝑝2 1 LN𝑎𝑦 LN𝑝2 1 Aqui usamos um artificio chamando a constante de integração de 𝐥𝐧 𝒂 Ficamos com a equação LN𝑎𝑦𝑝2 1 0 𝑎𝑦𝑝2 1 1 𝑝 1 𝑎𝑦 1 Como 𝒑 é a derivada 𝒅𝒚𝒅𝒙 usando o método de substituição trigonométrica chegamos a função 𝑥 1 𝑎2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑎𝑦 𝑦 1 𝑎 𝑦 Que é a equação da cicloide que geralmente é apresentada na forma paramétrica 𝑥 𝑅𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑦 𝑅1 𝑐𝑜𝑠𝜃 8 Figura 3 Cicloide Fonte httpsmathworldwolframcomCycloidhtml Acesso em 15 nov 2022 12 Diversas variáveis independentes Podemos generalizar nosso caso quando temos uma função desconhecida 𝒖𝒙 𝒚 𝒛 aqui no espaço tridimensional 𝐽 𝑓𝑢 𝑢𝑥 𝑢𝑦 𝑢𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Usando a notação de Leibniz para derivada parcial 𝒖𝒙𝒊 𝒖𝒙𝒊 Utilizando a mesma abordagem da seção anterior1 fazendo 𝒖 𝒅𝒖 podemos perceber que 𝛿𝐽 𝑓 𝑢 𝑥 𝑓 𝑢𝑥 𝑦 𝑓 𝑢𝑦 𝑧 𝑓 𝑢𝑧 𝛿𝑢 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Que é um bom exercício para o leitor Logo chegamos à Equação de Euler para três variáveis 𝑓 𝑢 𝑥 𝑓 𝑢𝑥 𝑦 𝑓 𝑢𝑦 𝑧 𝑓 𝑢𝑧 0 Vamos extrapolar mais um pouco e considerar diversas variáveis dependentes e independentes 1 Lembrando aqui que a função em questão tem várias variáveis e a regra da cadeia difere um pouco Seja cauteloso na dedução 9 𝐽 𝐹 𝑦1𝑥𝑖 𝑦1 𝑥𝑖 𝑦2𝑥𝑖 𝑦2 𝑥𝑖 𝑦𝑁𝑥𝑖 𝑦𝑁 𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝑑𝑁𝑥𝑖 Sendo aqui uma notação condensada em 𝒙𝒊 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝑵 De fato é simplesmente a mesma situação anterior porém com N funções e N variáveis O leitor pode deduzir tranquilamente usando os métodos anterior porém podemos por indução escrever a equação como 𝐹 𝑦1 𝑥1 𝐹 𝑦1 𝑥1 𝑥2 𝐹 𝑦1 𝑥2 𝑥1 𝐹 𝑦1 𝑥𝑁 0 Para 𝒚𝟏 restando 𝑵 𝟏 equações como esta anterior Podemos condensar a notação com um somatório para 𝒊 𝟏 𝟐 𝑵 𝐹 𝑦𝑖 𝑥𝑘 𝐹 𝑦𝑖 𝑥𝑘 𝑘 0 TEMA 2 EQUAÇÃO DE EULERLAGRANGE O que definimos como ação é a integral 𝑆 𝑇 𝑉𝑑𝑡 𝑡2 𝑡1 𝐿 𝑑𝑡 𝑡2 𝑡1 Que tem um conteúdo físico riquíssimo Imagine um movimento qualquer Fazendo a diferença entre a energia cinética a potencial em cada ponto e integrar vamos ver que este será o menor valor Lembrese da conservação de energia para entender o conteúdo físico E para encontrar a trajetória tomamos 𝜹𝑺 𝟎 que é a forma matemática de descrever o princípio da ação mínima Nós chamamos de lagrangiana a função 𝑳 escrita com 𝐿 𝑇 𝑉 Essa motivação física nos leva à formalização seja um sistema com N coordenadas generalizadas Conhecendo a configuração desse sistema em um tempo inicial podemos escrever a lagrangiana 10 𝐿 𝐿𝑞1 𝑞2 𝑞𝑁 𝑞1 𝑞2 𝑞𝑁 𝑡 E a ação como 𝑆 𝐿𝑞1 𝑞2 𝑞𝑁 𝑞1 𝑞2 𝑞𝑁 𝑡 𝑑𝑡 𝑡2 𝑡1 Estamos usando a notação pontuada 𝒒 𝒊 para representar a derivada em relação ao tempo Realizando o procedimento feito na seção anterior podemos chegar a 𝛿𝑆 𝐿 𝑞𝑖 𝛿𝑞𝑖 𝐿 𝑞𝑖 𝛿𝑞𝑖 𝑁 𝑖1 𝑑𝑡 𝑡2 𝑡1 𝐿 𝑞𝑖 𝑑 𝑑𝑡 𝐿 𝑞𝑖 𝛿𝑞𝑖 𝑁 𝑖1 𝑑𝑡 𝑡2 𝑡1 E para termos um 𝜹𝑺 𝟎 cada termo precisa ser nulo para as Ns coordenadas generalizadas ou seja 𝐿 𝑞𝑖 𝑑 𝑑𝑡 𝐿 𝑞𝑖 0 Se não houver vínculos entre as coordenadas generalizadas é interessante destacar a equivalência com as Leis de Newton pois se temos uma lagrangiana escrita da forma 𝐿 𝑚𝑣2 2 𝑉𝑥𝑖 Com a energia cinética dependendo da velocidade e o potencial das coordenadas cartesianas podemos calcular 𝐿 𝑥𝑖 𝑉 𝑥𝑖 𝑑 𝑑𝑡 𝐿 𝑣 𝑑 𝑑𝑡 𝑚𝑣 𝑚𝑎 Temos então 𝑚𝑎 𝑉 𝑥𝑖 Que é a segunda Lei de Newton para as forças conservativas 11 21 Pêndulo simples na formulação lagrangiana Para entender o poder dessa abordagem vamos começar com um exemplo conhecido que é o pêndulo simples descrito como a figura a seguir E é interessante seguir uma estratégia para a montagem da lagrangiana Definir as coordenadas generalizadas de acordo com o objeto estudado o Nesse passo precisamos saber se existe alguma restrição ao movimento ou seja se existe algum vínculo Inserir as coordenadas na energia cinética e potencial Realizar o procedimento com a eq de EulerLagrange De posse da equação diferencial do movimento resolver com um método adequado ao sistema estudado Figura 4 Pêndulo simples Fonte Tedesco 2022 Vamos escrever o vetor posição 𝒓 𝒙𝒊 𝒚𝒋 sabendo que o raio 𝑹 do pêndulo é constante ou seja a partir da figura escrevemos utilizando o ângulo proposto como 𝑟 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃𝑖 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃𝑗 Para encontrar o vetor velocidade e após seu módulo derivamos em relação ao tempo lembrando da regra da cadeia 𝑟 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃𝜃𝑖 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃𝜃𝑖 𝑟 𝑟 𝑅𝜃 12 Logo já encontramos a velocidade que será inserida na energia cinética Agora precisamos da energia potencial em função do ângulo dada por 𝑉 𝑚𝑔𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜃 Sendo assim já temos a lagrangiana dada por 𝐿 𝑇 𝑉 𝑚𝑅𝜃 2 2 𝑚𝑔𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 E usando a eq de EulerLagrange chegamos à equação do movimento 𝐿 𝜃 𝑚𝑔𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑 𝑑𝑡 𝑚𝑅2 𝜃 𝑚𝑅2𝜃 𝑚𝑅2𝜃 𝑚𝑔𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 0 𝑅𝜃 𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 0 Que para ângulos pequenos se torna pela aproximação 𝜽 𝒔𝒆𝒏𝜽 a mesma equação que é obtida com a mecânica newtoniana 𝜃 𝑔 𝑅 𝜃 0 Você pode até se perguntar qual a vantagem dessa abordagem em relação à mecânica newtoniana Aqui não precisamos analisar vetorialmente o movimento ficando tudo por conta da análise das energias do sistema Vamos para um exemplo mais complexo 22 Pêndulo duplo Na formulação lagrangiana podemos analisar em termos das coordenadas generalizadas as massas 𝒎𝟏 e 𝒎𝟐 no pêndulo duplo de forma mais simples Sabendo que as cordas de cada pêndulo são inextensíveis chamadas de 𝑹𝟏 e 𝑹𝟐 vamos primeiramente escrever em coordenadas cartesianas as posições das partículas orientando para baixo positivo 𝑃𝑜𝑠𝑖ç𝑎𝑜 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑀1 𝑥1 𝑅1𝑠𝑒𝑛𝜙1 𝑦1 𝑅1𝑐𝑜𝑠𝜙1 𝑃𝑜𝑠𝑖ç𝑎𝑜 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑀2 𝑥2 𝑅1𝑠𝑒𝑛𝜙1 𝑅2𝑠𝑒𝑛𝜙2 𝑦2 𝑅1𝑐𝑜𝑠𝜙1 𝑅2𝑐𝑜𝑠𝜙2 Derivando em relação ao tempo podemos encontrar as velocidades 𝑀1 𝑥1 𝑅1𝑐𝑜𝑠𝜙1𝜙1 𝑦1 𝑅1𝑠𝑒𝑛𝜙1𝜙1 𝑀2 𝑥2 𝑅1𝑐𝑜𝑠𝜙1𝜙1 𝑅2𝑠𝑒𝑛𝜙2𝜙2 𝑦2 𝑅1𝑐𝑜𝑠𝜙1𝜙1 𝑅2𝑐𝑜𝑠𝜙2𝜙2 13 O módulo de cada velocidade é calculado por meio do teorema de Pitágoras 𝑣1 2 𝑅1𝜙1 2 𝑣2 𝑅1𝜙1 2 𝑅2𝜙2 2 2𝑅1𝑅2𝜙1 𝜙2 COS 𝜙1 𝜙2 Agora podemos escrever a lagrangiana de maneira imediata apesar desta ser extensa 𝐿𝜙1 𝜙2 𝜙1 𝜙2 𝑚1 2 𝑣1 2 𝑚1 2 𝑣1 2 𝑚1𝑔𝑦1 𝑚2𝑔𝑦2 𝐿𝜙1 𝜙2 𝜙1 𝜙2 𝑚1 2 𝑅1𝜙1 2 𝑚1 2 𝑅1𝜙1 2 𝑅2𝜙2 2 2𝑅1𝑅2𝜙1 𝜙2 COS 𝜙1 𝜙2 𝑚1𝑔𝑅1𝑐𝑜𝑠𝜙1 𝑚2𝑔𝑅1𝑐𝑜𝑠𝜙1 𝑅2𝑐𝑜𝑠𝜙2 Apesar do processo ser de cálculo ser extenso não existe uma grande complexidade pois o que fizemos basicamente foi analisar as coordenadas generalizadas 𝝓𝒊 e 𝝓𝒊 e derivar para encontrar a velocidade com algumas doses de trigonometria Agora para você pensar imagine se o fio fosse um objeto extenso com momento de inércia associado Teríamos mais um termo de energia cinética associado Figura 5 Pêndulo duplo Fonte Tedesco 2022 14 Agora podemos encontrar as equações do movimento e para simplificar iremos considerar a mesma massa 𝒎 e o mesmo comprimento do fio 𝑹 para as duas com a lagrangiana 𝐿 𝑚𝑅 2 𝑅 𝜙2 2 𝜙2 2 2 𝜙1 𝜙2 COS𝜙1 𝜙2 𝑔2𝑐𝑜𝑠𝜙1 𝑐𝑜𝑠𝜙2 E para calcular novamente pelas equações de EulerLagrange primeiramente as derivadas parciais nos ângulos 2 𝑚𝑅 𝐿 𝜙1 𝑠𝑒𝑛 𝜙1 𝜙2 2𝑔𝑠𝑒𝑛𝜙1 2 𝑚𝑅 𝐿 𝜙1 𝑠𝑒𝑛 𝜙1 𝜙2 𝑔𝑠𝑒𝑛𝜙2 E posteriormente as derivadas parciais nas velocidades angulares 2 𝑚𝑅 𝐿 𝜙1 2𝑅𝜙1 𝜙2 𝑅 SEN𝜙1 𝜙2 2 𝑚𝑅 𝐿 𝜙2 𝑅𝜙1 𝜙1 𝑅 SEN𝜙1 𝜙2 E deixamos um termo multiplicativo que irá desaparecer ao final pela forma da eq de EL Finalmente podemos montar as equações para cada massa 2𝜙1 𝜙2 SEN𝜙1 𝜙2 𝜙2 𝜙1 𝜙2 COS𝜙1 𝜙2 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜙1 𝜙2 2𝑔𝑠𝑒𝑛𝜙1 𝜙1 𝜙1 SEN𝜙1 𝜙2 𝜙1 𝜙1 𝜙2 COS𝜙1 𝜙2 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜙1 𝜙2 𝑔𝑠𝑒𝑛𝜙2 Que são EDO de segunda ordem não lineares que só podem ser resolvidas por métodos numéricos Esse sistema tem uma característica caótica que corresponde a sensibilidade às condições iniciais Se colocarmos esse sistema em posições muito próximas essas pequenas diferenças vão se ampliando em determinado tempo os movimentos estão diferentes TEMA 3 PRINCÍPIO DE HAMILTON E A HAMILTONIANA 15 Antes de começa vamos entrar primeiro em uma discussão importante os princípios de conservação Sempre é interessante termos quantidades conservadas pois entendemos a física do sistema em termos destas quantidades Perceba a importância da conservação de energia que inclusive se manifesta em certo nível no princípio de Hamilton que já foi enunciado anteriormente que é o princípio da ação mínima ou também no jargão popular princípio do menor esforço Pois seja a equação de EulerLagrange em termos das coordenadas generalizadas 𝒒𝒊 apenas 𝐿 𝑞𝑖 0 O que resulta em 𝑑 𝑑𝑡 𝐿 𝑞𝑖 0 𝐿 𝑞𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 E esta é uma quantidade importantíssima chamada de momento canônico ou momento generalizado conjugado a 𝒒𝒊 𝑝𝑖 𝐿 𝑞𝑖 E a conservação do momento é uma das características da mecânica que nos auxiliam a entender toda a dinâmica de sistemas específicos estabelecendo uma simetria e uma lei de conservação Damos como exemplo uma simetria esférica na qual a lagrangiana não depende do ângulo azimutal que leva a uma conservação do momento associado a esse ângulo Conservação implica na prática a solução de menos equações diferenciais Outro princípio de conservação importante se dá quando a lagrangiana não depende do tempo então escrevemos a derivada a seguir usando a regra da cadeia 𝑑𝐿 𝑑𝑡 𝐿 𝑞𝑖 𝑖 𝑑𝑞 𝑑𝑡 𝐿 𝑞𝑖 𝑖 𝑑𝑞 𝑑𝑡 𝐿 𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝐿 𝑞𝑖 𝑞𝑖 𝐿 𝑞𝑖 𝑞𝑖 𝑖 𝐿 𝑡 16 É interessante notar que temos uma regra do produto da derivada e podemos escrever como 𝑑𝐿 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝐿 𝑞𝑖 𝑖 𝑞𝑖 𝐿 𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑝𝑖 𝑖 𝑞𝑖 𝐿 𝑡 Se a lagrangiana não depende do tempo o último termo é nulo e podemos reescrever da seguinte forma 𝑑𝐿 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑝𝑖 𝑖 𝑞𝑖 𝑑 𝑑𝑡 𝑝𝑖 𝑖 𝑞𝑖 𝐿 0 Vemos mais uma conservação ou seja quando a lagrangiana não depende do tempo a hamiltoniana se conserva que é definida como 𝐻 𝑝𝑖 𝑖 𝑞𝑖 𝐿 Num caso em que a energia potencial V só dependa da coordenada generalizada a hamiltoniana é a energia total Para mostrar esse fato vamos escrever a Energia Cinética de uma forma geral 𝑇 1 2 𝑎𝑖𝑗𝑞𝑞𝑖 𝑞𝑗 𝑖𝑗 Sendo 𝒂𝒊𝒋𝒒 uma matriz que depende do modelo analisado Considerando a hamiltoniana 𝐻 𝐿 𝑞𝑘 𝑘 𝑞𝑘 𝐿 𝑇 𝑞𝑘 𝑘 𝑞𝑘 𝐿 𝑞𝑘 1 2 𝑎𝑖𝑗𝑞𝑞𝑖 𝑞𝑗 𝑖𝑗 𝑘 𝑞𝑘 𝐿 Agora vamos realizar a derivada 𝑞𝑘 1 2 𝑎𝑖𝑗𝑞𝑞𝑖 𝑞𝑗 𝑖𝑗 𝑘 𝑞𝑘 1 2 𝑎𝑖𝑗𝑞 𝑞𝑘 𝑞𝑖 𝑞𝑗 𝑖𝑗 𝑘 𝑞𝑘 1 2 𝑎𝑖𝑗𝑞 𝑞𝑖 𝑞𝑘 𝑞𝑗 𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑗𝑞 𝑞𝑗 𝑞𝑘 𝑞𝑖 𝑖𝑗 𝑘 𝑞𝑘 17 Sabendo que 𝒒 𝒊 𝒒 𝒌 𝜹𝒊𝒌 1 2 𝑎𝑖𝑗𝑞𝛿𝑖𝑘𝑞𝑗 𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑗𝑞𝛿𝑗𝑘𝑞𝑖 𝑖𝑗 𝑘 𝑞𝑘 Como o nome dos índices não irão influenciar podemos somar os dois no interior ficando com 𝑎𝑖𝑘𝑞𝑞𝑘 𝑞𝑘 2𝑇 𝑖𝑘 E finalmente temos a hamiltoniana escrita como energia total 𝐻 2𝑇 𝐿 2𝑇 𝑇 𝑉 𝑇 𝑉 31 Equações de Hamilton Para continuar os rudimentos da Mecânica Hamiltoniana precisamos escrever a variação da lagrangiana como 𝑑𝐿 𝐿 𝑞𝑖 𝑑𝑞𝑖 𝑖 𝐿 𝑞𝑖 𝑑𝑞𝑖 𝑖 𝐿 𝑡 𝑑𝑡 E naturalmente já podemos escrever em função do momento generalizado 𝑑𝐿 𝐿 𝑞𝑖 𝑑𝑞𝑖 𝑖 𝑝𝑖 𝑑𝑞𝑖 𝑖 𝐿 𝑡 𝑑𝑡 Usando a regra da cadeia para reescrever o termo 𝒑𝒊 𝒅𝒒𝒊 𝑑𝐿 𝐿 𝑞𝑖 𝑑𝑞𝑖 𝑖 𝑑𝑝𝑖𝑞𝑖 𝑞𝑖 𝑑𝑝𝑖 𝑖 𝐿 𝑡 𝑑𝑡 Multiplicando por 1 e arrumando a equação temos explicitamente a hamiltoniana 𝑑𝐿 𝑑𝑝𝑖𝑞𝑖 𝑖 𝑑 𝑝𝑖𝑞𝑖 𝑖 𝐿 𝐿 𝑞𝑖 𝑑𝑞𝑖 𝑖 𝑞𝑖 𝑑𝑝𝑖 𝑖 𝐿 𝑡 𝑑𝑡 18 Ou seja 𝑑𝐻 𝐿 𝑞𝑖 𝑑𝑞𝑖 𝑖 𝑞𝑖 𝑑𝑝𝑖 𝑖 𝐿 𝑡 𝑑𝑡 Por outro lado como o hamiltoniano depende de 𝑯𝒒 𝒑 𝒕 podemos usar a regra da cadeia da mesma forma 𝑑𝐻 𝐻 𝑞𝑖 𝑑𝑞𝑖 𝑖 𝐻 𝑝𝑖 𝑑𝑝𝑖 𝑖 𝐻 𝑡 𝑑𝑡 Comparando as duas relações temos as equações de Hamilton 𝑞𝑖 𝐻 𝑝𝑖 𝑝𝑖 𝐻 𝑞𝑖 Que levam a um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem A equação 𝑯 𝒕 𝑳 𝒕 geralmente não é levada em consideração por ser uma identidade imediata 32 Partícula em um potencial central O problema das forças centrais é um ponto muito importante que é estudado nos cursos de mecânica e costuma ser de difícil modelagem Nas forças centrais a energia potencial é função somente da distância Com o formalismo hamiltoniano fica um tanto mais simples Para encontrar a lagrangiana precisamos das coordenadas esféricas e suas componentes derivadas no tempo 𝑥 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑦 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑧 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑥 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 𝜃𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 𝜑 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑦 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 𝜃𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜑 𝜑𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑧 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑 𝜌 𝜑 𝑠𝑒𝑛𝜑 Calculando a velocidade depois de bastante empenho podemos encontrar a expressão 𝑣2 𝑥 2 𝑦2 𝑧2 𝑟 2 𝑟2𝜃 𝑟2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝜑 E com isso podemos escrever a expressão da lagrangiana 19 𝐿 𝑚 2 𝑟 2 𝑟2𝜃 𝑟2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝜑 𝑉𝑟 Podemos calcular os momentos conjugados como 𝑝𝑟 𝐿 𝑟 𝑚𝑟 𝑝𝜃 𝐿 𝜃 𝑚𝑟2𝜃 𝑝𝜑 𝐿 𝜑 𝑚𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃𝜑 Que é o primeiro passo para a construção da análise hamiltoniana Após isso precisamos escrever tudo em função dos momentos 𝑟 𝑝𝑟 𝑚 𝜃 𝑝𝜃 𝑚𝑟2 𝜑 𝑝𝜑 𝑚𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃 O próximo passo é realizar a construção hamiltoniana 𝐻 𝑝𝑖 𝑖 𝑞𝑖 𝐿 𝑟𝑝𝑟 𝜃𝑝𝜃 𝜑 𝑝𝜑 𝑝𝑖 𝑖 𝑞𝑖 𝐿 1 2𝑚 𝑝𝑟 2 𝑝𝜃 2 𝑟2 𝑝𝜑 2 𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑉𝑟 Sendo assim já somos capazes de usar as eq de Hamilton para encontrar seis EDOs de primeira ordem 𝑟 𝐻 𝑟 𝑝𝑟 𝑚 𝑝𝑟 𝐻 𝑟 𝑝𝜃 2 𝑚𝑟3 𝑝𝜑 2 𝑚𝑟3𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝑉 𝑑𝑟 𝜃 𝐻 𝑝𝜃 𝑝𝜃 𝑚𝑟2 𝑝𝜃 𝐻 𝜃 𝑝𝜑 2𝑐𝑜𝑡𝜃 𝑚𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝜑 𝐻 𝑝𝜑 𝑝𝜑 𝑚𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑝𝜑 𝐻 𝜑 0 Que apesar de serem mais equações são de primeira ordem Interessante ressaltar uma quantidade conservada que é o momento 𝒑𝝋 que já começa facilitando nas soluções das outras Agora fica como exercício a resolução dessas equações diferenciais que não serão diferentes dos resultados da mecânica newtoniana TEMA 4 CÁLCULO VARIACIONAL COM VÍNCULOS Já ficou claro aqui que a ferramenta do cálculo variacional é muito poderosa e aqui veremos mais uma situação específica que na mecânica newtoniana seria um tanto trabalhoso é a situação com vínculos Antes de mais 20 nada vínculo na mecânica são restrições de movimento de natureza geométrica ou cinemática de um certo sistema Esse vínculo se origina em função também das coordenadas do sistema ou seja 𝛿 𝐺𝑥 𝑦 𝑦𝑑𝑥 0 𝑏 𝑎 Lembrando que a condição de extremo do funcional que descreve o sistema é 𝐹 𝑦 𝑑 𝑑𝑥 𝐹 𝑦 𝑏 𝑎 𝛿𝑦 𝑑𝑥 Obviamente o vínculo também vai obedecer ao cálculo variacional como na equação anterior multiplicada já pelo fator 𝝀 como é feito no cálculo diferencial 𝜆 𝐺𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑑 𝑑𝑥 𝐺𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑏 𝑎 𝛿𝑦 𝑑𝑥 Aqui podemos somar as duas integrais com o multiplicador de Lagrange 𝐹 𝜆𝐺 𝑦 𝑑 𝑑𝑥 𝐹 𝜆𝐺 𝑦 𝑏 𝑎 𝛿𝑦 𝑑𝑥 E continuamos com a presença do 𝜹𝒚 arbitrário A equação de Euler Lagrange ganha um termo a mais que depende do vínculo aqui um único vínculo e do multiplicador na forma 𝐹 𝜆𝐺 𝑦 𝑑 𝑑𝑥 𝐹 𝜆𝐺 𝑦 0 No entanto na prática em diversos exemplos o que vemos são vínculos quer dependem unicamente das coordenadas acarretando uma mudança na equação 𝑑 𝑑𝑥 𝐹 𝑦 𝐹 𝑦 𝜆 𝐺𝑥 𝑦 𝑦 21 Num contexto da mecânica com coordenadas generalizadas 𝒒𝒊 e 𝒒 𝒊 e diversas restrições dadas por 𝝓𝒌𝒒𝒊 𝒕 teremos 𝑑 𝑑𝑡 𝐿 𝑞𝑖 𝐿 𝑞𝑖 𝜆𝑘 𝑘 𝜙𝑘 𝑞𝑖 E por fim chamamos de força de vínculo o termo depois da igualdade ou seja 𝑓𝑞𝑖 𝜆𝑘 𝑘 𝜙𝑘 𝑞𝑖 Que possui um significado físico interessante que são as forças de manutenção do vínculo somente não responsáveis pela dinâmica propriamente dita sendo uma propriedade das forças de vínculo o fato de estar sempre perpendicular à superfície de vínculo Se não fosse dessa maneira elas moveriam o corpo ligado sem a presença de uma força externa coisa que nunca foi observada Um exemplo rápido é a dinâmica de um corpo de massa 𝒎 deslizando sobre uma superfície cilíndrica de raio 𝑹 com o objetivo de encontrar o ângulo crítico na qual a partícula é jogada da superfície sem qualquer ação externa Figura 6 Corpo deslizando em uma superfície cilíndrica Fonte Tedesco 2022 22 Vamos escrever a lagrangiana levando em consideração que 𝑹 varia no tempo sendo a posição definida como 𝒓 𝑹𝒕𝒔𝒆𝒏𝝋𝒕𝒊 𝑹𝒕𝒔𝒆𝒏𝝋𝒕𝒋 Após o cálculo da velocidade 𝒓 𝟐 logo teremos 𝐿 𝑚 2 𝑅 2 𝑅2𝜑 2 𝑚𝑔𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑 Agora vamos impor uma restrição chamando o raio de 𝑳 sendo escrita como 𝜙1 𝑅 𝐿 𝑚 Utilizando o método tendo apenas um vínculo precisamos derivar em relação as coordenadas 𝑎𝑟1 𝜙1 𝑟 1 𝑎𝜃1 𝜙1 𝜃 0 Chegando enfim à equação do movimento 𝑚𝑅 𝑚𝑅𝜑 2 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜑 𝜆1𝜑 𝑚𝑅2𝜑 2𝑚𝑅𝑅𝜑 𝑚𝑔𝑅𝑠𝑒𝑛𝜑 0 Sabendo que 𝑹 𝑳 as suas derivadas são nulas e temos as equações 𝑚𝐿𝜑 2 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜑 𝜆1𝜑 𝐿𝜑 𝑔𝑠𝑒𝑛𝜑 0 Se tivéssemos analisado o problema desde o princípio não levando em consideração o vínculo não teríamos a equação com o multiplicador de Lagrange Diferenciando em relação ao ângulo usando a regra da cadeia 𝒅𝑭𝝋 𝒅𝒕 𝒅𝑭𝝋 𝒅𝝋 𝝋 e usando a segunda equação para eliminar o termo 𝝋 temos 2𝑚𝐿𝜑 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜆1 𝑑𝜑 𝑑𝜆1 𝑑𝜑 3𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜑 E após a integração obtemos o valor do multiplicador 𝜆1𝜑 3𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜑 𝐾 23 Precisamos agora entender o valor da constante 𝑲 e para isso voltamos à equação diferencia com o valor 𝝋 𝟎 𝑚𝐿 𝑑𝜑 𝑑𝑡 𝜑0 2 𝑚𝑔 𝜆1𝜑 0 3𝑚𝑔 𝐾 𝐾 2𝑚𝑔 𝑚𝐿 𝑑𝜑 𝑑𝑡 𝜑0 2 Que nos dá um valor 𝑲 𝟐𝒎𝒈 para a velocidade angular nula sendo assim o valor de 𝝀𝟏 𝜆1𝜑 𝑚𝑔3𝑐𝑜𝑠𝜑 2 E por fim para o cálculo do ângulo crítico precisamos do valor de 𝝀𝟏 tal que não haja mais o vínculo ou seja 𝜆1𝜑𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 0 𝑚𝑔3𝑐𝑜𝑠𝜑𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 2 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 2 3 Que é um resultado interessante não dependendo do valor da massa nem do valor da gravidade nessas condições 𝝋𝒄𝒓𝒊𝒕𝒊𝒄𝒐 𝟒𝟗 𝟐𝒐 Neste valor o valor da força de vínculo é zero pois esta tem a mesma a forma 𝑓𝑟 𝑚𝑔3𝑐𝑜𝑠𝜑 2 Podemos encarar essa função como o módulo da força normal na superfície 41 Dinâmica do yoyo Vamos considerar um exemplo com um corpo extenso que é o yoyo Vamos considerálo como um cilindro de massa 𝒎 e raio 𝑹 em queda vertical conforme a figura 24 Figura 7 Dinâmica do Yoyo Fonte Tedesco 2022 E temos a lagrangiana do sistema de maneira simples com a energia cinética de translação energia cinética de rotação e energia potencial gravitacional proposta como 𝐿 1 2 𝑚𝑦 2 1 2 𝐼𝐶𝑀𝜑 2 𝑚𝑔𝑦 Em que 𝑰𝑪𝑴 𝟏 𝟐𝒎𝑹𝟐 conhecido da dinâmica dos corpos rígidos chamado de momento de inércia do cilindro com rotação em torno do seu centro de massa O que podemos analisar previamente é que 𝒚 𝑹𝝋 que é a condição de não deslizamento que integrada funciona como um vínculo 𝜙1 𝑦 𝑅𝜑 0 Agora com tudo posto precisamos reescrever a lagrangiana com o valor do momento de inércia 𝐿 1 2 𝑚𝑦 2 1 4 𝑚𝑅2𝜑 2 𝑚𝑔𝑦 Que nos proporciona uma equação de movimento 𝑑 𝑑𝑡 𝐿 𝑦 𝐿 𝑦 𝜆1 𝜙1 𝑦 𝑚𝑔 𝑚𝑦 𝜆1 25 𝑑 𝑑𝑡 𝐿 𝜑 𝐿 𝜑 𝜆1 𝜙1 𝜑 1 2 𝑚𝑅2𝜑 𝜆1𝑅 E com o vínculo temos uma terceira equação 𝒚 𝑹𝝋 que nos providencia um valor para o multiplicador de Lagrange como 𝜆1 1 3 𝑚𝑔 E com isso podemos calcular as forças de vínculo 𝑓𝑦 𝜆1 𝜙1 𝑦 1 3 𝑚𝑔 𝑓𝜑 𝜆1 𝜙1 𝜑 1 3 𝑚𝑔𝑅 É importante ressaltar que essas forças permanecem constantes em todo o movimento Podemos interpretar a força 𝒇𝒚 como a tensão do fio do yoyo e 𝒇𝝋 como o torque realizado TEMA 5 TEORIA CLÁSSICA DE CAMPOS Nos tópicos anteriores já definimos o princípio de Hamilton generalizado 𝐹 𝑦𝑖 𝑥𝑘 𝐹 𝑦𝑖 𝑥𝑘 𝑘 0 na qual o objeto a ser extremizado depende de 𝐹 𝑦1𝑥𝑖 𝑦1 𝑥𝑖 𝑦2𝑥𝑖 𝑦2 𝑥𝑖 𝑦𝑁𝑥𝑖 𝑦𝑁 𝑥𝑖 𝑥𝑖 Podemos então fazer a transição para a mecânica do contínuo na qual temos um princípio de mínima ação escrito como 𝛿𝑆 𝛿 𝑑4𝑥 𝐿 𝜑 𝜑 𝑡 𝜑 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 0 𝑀 Na qual temos um campo 𝝋 que pode ser um campo qualquer para descrever desde a mecânica dos fluidos até a física de partículas tomando o cuidado de saber qual a melhor representação utilizada A equação de Euler Lagrange para este sistema será 26 𝐿 𝜑𝜇 𝑡 𝐿 𝜑𝜇 𝑡 𝐿 𝜑𝜇 0 Para um sistema físico escrito no espaçotempo de Minkowski na qual escolhemos 𝒙𝟎 𝒄𝒕 podemos generalizar a equação anterior sem problemas para 𝐿 𝜑𝜇 𝜈 𝐿 𝜈𝜑𝜇 0 Pois temos o operador quadridimensional 𝜈 𝑥𝜈 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 1 𝑐 𝑡 51 Campo escalar Um primeiro exemplo que se estuda nos cursos de teoria de campos é o campo escalar que pode representar a dinâmica dos mésons modelado pela lagrangiana 𝐿 1 2 𝜇𝜑𝜇𝜑 𝑚2 2 𝜑2 Em que 𝒎 é a massa da partícula Essa lagrangiana é invariante sob as transformações de Lorentz relativisticamente definida Podemos usar a equação de EulerLagrange para encontrar a dinâmica do méson como segue 𝐿 𝜑 𝜇 𝐿 𝜇𝜑 0 𝐿 𝜑 𝑚2𝜑 𝐿 𝜇𝜑 𝜇𝜑 1 2 𝛼𝜑𝛼𝜑 𝜇𝜑 1 2 𝑔𝛼𝛽𝛼𝜑𝛽𝜑 Usando a regra do produto teremos perceba que tomamos o cuidado de mudar o nome do índice mudo 27 𝐿 𝜇𝜑 1 2 𝑔𝛼𝛽 𝛼𝜑 𝜇𝜑 𝛿𝛼𝜇 𝛽𝜑 𝑔𝛼𝛽𝛼𝜑 𝛽𝜑 𝜇𝜑 𝛿𝛽𝜇 1 2 𝑔𝜇𝛽𝛽𝜑 𝑔𝜇𝛼𝛼𝜑 𝜇𝜑 Então teremos a chamada equação de KleinGordon 𝜇𝜇𝜑 𝑚2𝜑 0 Em que o operador 𝝁𝝁 𝟐 NA PRÁTICA O melhor exemplo para terminar esta etapa é o campo eletromagnético na presença de um termo de fonte que é representado pela lagrangiana 𝐿 1 4 𝐹𝜇𝜈𝐹𝜇𝜈 1 𝑐 𝑗𝜇𝐴𝜇 Aqui o campo é o quadrivetor potencial 𝑨𝝁 o que nos leva à eq de Euler Lagrange 𝐿 𝐴𝜇 𝜈 𝐿 𝜈𝐴𝜇 0 O termo que possui somente 𝑨𝝁 é o termo de fonte e o termo que possui 𝝂𝑨𝝁 é o bilinear de 𝑭𝝁𝝂 logo teremos 𝜈 𝐿 𝜈𝐴𝜇 1 𝑐 𝑗𝜇 Vamos focar no primeiro termo em que usaremos a regra do produto como fizemos no caso do campo escalar anterior 𝐿 𝜈𝐴𝜇 1 4 𝐹𝛼𝛽 𝜈𝐴𝜇 𝐹𝛼𝛽 𝐹𝛼𝛽 𝐹𝛼𝛽 𝜈𝐴𝜇 28 Olhando para a expressão podemos ver que os dois termos são semelhantes logo podemos fazer uso da métrica para unir os dois da seguinte maneira usaremos a métrica para abaixar os índices do termo fora da derivada e usar essas métricas para levantar os índices do tensor no interior da derivada como segue 𝐹𝛼𝛽 𝐹𝛼𝛽 𝜈𝐴𝜇 𝑔𝛼𝛾𝑔𝛽𝜎𝐹𝛾𝜎 𝐹𝛼𝛽 𝜈𝐴𝜇 𝐹𝛾𝜎 𝑔𝛼𝛾𝑔𝛽𝜎𝐹𝛼𝛽 𝐹𝛾𝜎 𝜈𝐴𝜇 𝐹𝛼𝛽 𝐹𝛼𝛽 𝜈𝐴𝜇 Sendo que na última igualdade já mudamos os índices de forma a vislumbrar a igualdade nos termos e de forma a reescrever 𝐿 𝜈𝐴𝜇 1 2 𝐹𝛼𝛽 𝜈𝐴𝜇 𝐹𝛼𝛽 Agora focaremos na derivada do tensor eletromagnético 𝐹𝛼𝛽 𝜈𝐴𝜇 𝜈𝐴𝜇 𝛼𝐴𝛽 𝛽𝐴𝛼 𝛼𝐴𝛽 𝜈𝐴𝜇 𝛽𝐴𝛼 𝜈𝐴𝜇 Sabendo que 𝛽𝐴𝛼 𝜈𝐴𝜇 𝛿𝛽𝜈𝛿𝛼𝜇 Teremos então 𝐹𝛼𝛽 𝜈𝐴𝜇 𝛿𝛼𝜈𝛿𝛽𝜇 𝛿𝛽𝜈𝛿𝛼𝜇 O que nos leva à equação 𝐿 𝜈𝐴𝜇 1 2 𝛿𝛼𝜈𝛿𝛽𝜇 𝛿𝛽𝜈𝛿𝛼𝜇𝐹𝛼𝛽 1 2 𝐹𝜈𝜇 𝐹𝜇𝜈 𝐹𝜇𝜈 Voltando para a equação de EulerLagrange teremos enfim as equações de Maxwell 29 𝜈 𝐿 𝜈𝐴𝜇 𝜈𝐹𝜇𝜈 1 𝑐 𝑗𝜇 E em decorrência do caráter antissimétrico podemos escrever 𝜈𝐹𝜈𝜇 1 𝑐 𝑗𝜇 Na realidade os textos mais avançados usam o sistema natural de unidades 𝒄 ℏ 𝟏 ficando com a eq de Maxwell 𝜈𝐹𝜈𝜇 𝑗𝜇 É importante frisar que as outras equações não são dinâmicas ou seja decorrentes do estudo dinâmico das equações de movimento mas sim de vínculos geométricos dados pela equação 𝜖𝜇𝜈𝛼𝛽𝜈𝐹𝛼𝛽 0 FINALIZANDO A síntese desta etapa é dinâmica mas sob a perspectiva de Lagrange e Hamilton que foram dois físicos que somaram muito no conhecimento da mecânica clássica Começamos com o cálculo variacional com o exemplo da braquistócrona chegando à famosa Equação de EulerLagrange Após isso conversamos sobre o princípio de Hamilton da ação mínima e seu formalismo findando com o cálculo variacional com vínculos O último conteúdo é uma pequena introdução à teoria clássica de campos cujo estudo é a dinâmica dos campos que são representações matemáticas de diversos objetos como partículas ondas e etc 30 REFERÊNCIAS ARFKEN G B WEBER H J Física matemática métodos matemáticos para engenharia e física 2 ed Rio de Janeiro Elsevier Campus 2017 BUTKOV E Física Matemática Rio de 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