Précálculo: Conjuntos Numéricos e Números Reais

Demana Waits Foley Kennedy Précálculo n 2XP by ivurson lúliicnlion ilo lirasil luçào iitiloriiidii ii partir iln edição original cm inglês lrtiilfiilus nunwrícal algehric 7cil publicada pela 1carson liducalion Inc sob o selo Addison Wesley s os direitos reservados Nenhuma parte desla publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de modo ou por qualquer outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qual quer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de iiiCormação sem prévia autorização por escrito da Pearson Education do Brasil Diretor editorial Roger Trimer Gerente editorial Sabrina Cairo Supervisor de produção editorial Marcelo Françozo Editora sénior Tatiana Pavanelli Valsi Editores Henrique Zanardi de Sá e Josie Rogero Preparação Carla Montagner Revisão Aríete Sousa e Marina Nogueira índice Renata Siqueira Campos Capa Rafael Mazzo sobre o projeto original de Suzanne Heiser Foto de capa e abertura de partes RoyaltyFreeCorbis Editoração eletrônica e diagramação ERJ Composição Editorial Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Câmara Brasileira do Livro SP Brasil cálculo Franklin D Demanaet ai idução técnica Eliana Crepaldi Yazawa e Aldy mandes da Silva São Paulo Addison Wesley 2009 utros autores Bert K Waits Gregory D y Daniel Kennedy tulo original Precalculus BN 9788588639379 Álgebra 2 Matemática 3 Trigonometria mana Franklin D1938 II Waits Bert K hbley Gregory D IV Kennedy Daniel CDD51624 índices para catálogo sistemático 1 Précálculo Matemática 51624 2008 Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Pearson Education do Brasil Ltda uma empresa do grupo Pearson Education Av Ermano Marchetti 1435 CEP 05038001 São Paulo SP Tel f l H 21788686 Fax 1 n 21788688 Sumário Parte l Introdução l Capítulo l Conjuntos numéricos e os números reais 3 Representação dos números reais 1 A ordem na reta e a notação de intervalo 4 Propriedades básicas da álgebra 7 Potenciação com expoentes inteiros Notação científica REVISÃO RÁPIDA 1 1 EXERCÍCIOS 1 1 Parte 2 Álgebra 15 Capítulo 2 Radiciação e potenciação 17 Radicais 7 Simplificação de expressões com radicais 18 Racionalização K Potenciação com expoentes racionais t EXERCÍCIOS 20 Capítulo 3 Polinómios e fatoração 23 Adição subtração e multiplicação de polinómios 21 Produtos notáveis 24 Fatoração de polinómios usando produtos notáveis 25 Fatoração de trinômios 26 Fatoração por agrupamento 28 Com o objetivo de garantir o sucesso do estudante no estudo de cálculo Precálculo colocao novamente em contato com os temas fundamentais da matemática como funções e equações do primeiro e segundo grau testando e reforçando seus conhecimentos e preparandoo para o estudo das derivadas das integrais e de outros tópicos de cálculo Baseada nas necessidades dos estudantes brasileiros esta obra possui técnicas didáticas que mostram ao estudante as situações nas quais poderá utilizar as materias estudadas o que fortalece o processo de ensino e aprendizagem Misturando a teoria com exemplos problemas resolvidos destoaques ao longo de todo o texto e seções de exercícios ao final de cada capítulo a maior parte da resposta o livro equilibra os métodos algébrico numérico gráfico e verbal na resolução de problemas partindo de uma abordagem que segue quatro etapas o entendimento do problema o desenvolvimento do modelo matemático a resolução por meio do modelo escolhido e a interpretação da solução Estruturado de modo a se tornar mais desafiador a cada capítulo Precálculo apresenta em seu último capítulo os conceitos básicos do cálculo preparando os estudantes dos cursos de administração economia e ciências contábeis entre outros cursos das áreas humanas e exatas para iniciar seus estudos de cálculo com muito mais facilidade Précálculo nuas fórmulas importantes de álgebra 28 ixiiRCícios 29 ítulo 4 Expressões fracionárias 31 línio de uma expressão algébrica 31 lificação de expressões racionais 31 ações com expressões racionais 32 essões racionais compostas 34 ÍXERCÍCIOS 35 ítulo 5 Equações 37 lição e propriedades 37 lução de equações 37 ições lineares com uma variável 37 jão de equações por meio de gráficos 39 EVISÃO RÁPIDA 44 XERCICIOS 45 ítulo 6 Inequações 49 mções lineares com uma variável 49 jão de inequações com valor absoluto 51 ão de inequações quadráticas 53 ximação de soluções para inequações 56 EVISÃO RÁPIDA 56 XERCÍCIOS 57 te 3 Funções 59 itulo 7 Funções e suas propriedades 61 lição de função e notação 61 Sumário vil Domínio e imagem 63 onlinuidade de uma função 65 lUnções crescentes e decrescentes 67 lunções limitadas 70 líxtremos local e absoluto 71 Simetria 72 Assíntotas 76 Comportamento da função nas extremidades do eixo horizontal 79 RIÍVISÃO RÁPIDA 80 IÍXBRCÍCIOS 80 Capítulo 8 Funções do primeiro e segundo graus 85 lunção polinomial 85 unções do primeiro grau e seus gráficos 86 unções do segundo grau e seus gráficos 88 RHVISÃO RÁPIDA 91 HXERCÍCIOS 92 Capítulo 9 Funções potência 95 Definição 95 unções monomiais e seus gráficos 97 iraficos de funções potência 98 RIÍVISÃO RÁPIDA 100 KXERCÍCIOS 100 Capítulo 10 Funções polinomiais 103 inificos de funções polinomiais 103 Comportamento das funções polinomiais nos extremos do domínio 106 Raíes das funções polinomiais 108 Divisão longa e o algoritmo da divisão 1 1 1 Teorema do resto e Teorema de DAleinberl 112 Précálculo ião de polinómios pelo método de Briot Ruffini 114 tes superior e inferior das raízes de uma função polinomial 116 IEVISÃO RÁPIDA 119 EXERCÍCIOS 120 ítulo 11 Funções exponenciais 127 ícos de funções exponenciais 127 se da função dada pelo número e 131 ões de crescimento logístico 133 percentual constante e funções exponenciais 134 elos de crescimento e decaimento exponencial 135 EVISÃO RÁPIDA 137 XERCÍCIOS 138 ítulo 12 Funções logarítmicas 143 sãs das funções exponenciais 143 iritmos com base 10 145 iritmos com base e 146 riedades dos logaritmos 146 anca de base 148 ícos de funções logarítmicas 149 lução de equações exponenciais 152 lução de equações logarítmicas 153 ns de grandeza ou magnitude e modelos logarítmicos 154 EVISÃO RÁPIDA 156 EXERCÍCIOS 157 ítulo 13 Funções compostas 163 ações com funções 163 posição de funções 164 ões e funções definidas implicitamente 166 IHVISÃO RÁPIDA 168 Sumário ix Capítulo 14 Funções inversas 171 Relações definidas parametricamente 171 Relações inversas e funções inversas 173 RBVISÃO RÁPIDA 179 EXERCÍCIOS 180 Parte 4 Introdução ao cálculo 183 Capítulo 15 Derivada e integral de uma função 185 Velocidade média e velocidade instantânea 185 Retas tangentes a um gráfico 186 A derivada 188 Regras de derivação 190 Introdução à integral de uma função 191 A integral definida e indefinida 193 Regras de integração 195 REVISÃO RÁPIDA 196 EXERCÍCIOS 197 Apêndice A Sistemas e matrizes 201 Sistemas de duas equações solução pelo método da substituição 201 O método da adição ou do cancelamento 204 Caso de aplicação 206 Matrizes 207 Soma e subtração de matrizes 207 Multiplicação de matrizes 208 Matriz identidade e matriz inversa 210 Determinante de uma matriz quadrada 211 EXERCÍCIOS 214 Précálculo Índice B Análise combinatória e teorema binomial 219 icterísticas do discreto e do contínuo 219 nportância da contagem 219 cípio da multiplicação ou princípio fundamental da contagem 220 nutações 220 ibinações 222 ntidade de subconjuntos de um conjunto 223 ficiente binomial 224 ngulo de Pascal 225 orema binomial 226 iXERCÍCIOS 226 sndice C Noções de trigonometria e funções trigonométricas 229 is e radianos 229 iprimento de arco 230 imas medidas trigonométricas 230 rculo trigonométrico 233 imas funções trigonométricas 233 LXERCÍCIOS 235 índice D Secções cónicas 239 ões cónicas 239 netria de uma parábola 240 slações de parábolas 243 sés 244 slações de elipses 247 rboles 250 slações de hipérboles 253 EVISÃO RÁPIDA 255 IXERCÍCIOS 256 r Respostas selecionadas Sumário xl 261 índice remissivo 369 Kobre os autores 379 r Prefácio Embora muita atenção tem sido dada à estrutura dos cursos de cálculo na última década pom lem se falado a respeito do précalculo Esta edição de Précálculo a fim de atender às necessidades do público brasileiro foi toli mente adaptada e estruturada com o objetivo de fornecer ferramentas básicas a alunos que inicia os estudos de cálculo diferencial e integral por meio de definições abordadas de maneira inluiti e sem se apegar aos desenvolvimentos tradicionais A interpretação de gráficos e sua utilização ao resolver exercícios é uma característica minante em todo o livro cuja elaboração preocupouse em unir a álgebra das funções com as ii intuitivas a partir da visualização gráfica Nossa abordagem Uma das principais características dessa obra é o equilíbrio entre os métodos algébrico num rico gráfico e verbal quando da resolução dos problemas Por exemplo obtemos soluções gral camente quando esse é o método mais apropriado a ser usado ou usamos os métodos numéricos gráficos quando a álgebra é difícil de ser usada Guiamos o aluno de forma que ele use um métoi para resolver uma questão e depois usamos outras técnicas para confirmar suas soluçõc Acreditamos que além de saber usar esses métodos o aluno precisa entender todo o problema após isso decidir qual deles usará Ao longo de todo o livro exemplos e exercícios fazem com que o aluno entenda o problem desenvolva um modelo matemático encontre uma solução confirmea e interpretea Além disso aluno aprende a analisar e modelar dados representálos graficamente para então interpretálo Tabelas auxiliam os alunos a construírem a conexão entre números e gráficos além de permitire que todos os métodos de resolução sejam reconhecidos Outro aspecto importante desse livro é que ele auxilia os alunos a compreenderem todo o voe bulário das funções Com esse perfil de texto o aluno é a todo momento convidado a interpretar e a tirar concli soes do que está sendo feito Nossa estrutura Como não poderia deixar de ser o Capítulo l tem um aspecto introdutório no qual se trata d conjuntos numéricos enfatizando o conjunto dos números reais suas operações e suas propriedade No Capítulo 2 apresentase a parte de manipulação algébrica destacando o uso da potenciação radiciação seguida da definição de polinómios e técnicas de fatoração que se destacam no Capítulo O Capítulo 4 desenvolve problemas com expressões fracionárias o 5 o estudo das equaçòe o 6 o estudo das inequações e o 7 introduz toda a noção de função e sua linguagem além de upn sentar muitos exemplos A partir do Capítulo 8 iniciase a apresentação dos principais aspectos das funções do primeii e segundo graus que 6 desenvolvido até o Capítulo 14 passando por funções potência funções pol nomiais funções exnonenciiiis tuncfics lousirítmicas funcõpx rnmnríti f Précálculo Com o objetivo de apresentar os primeiros tópicos dessa área das ciências exatas o Capítulo ta tópicos essenciais relacionados à derivada e à integral de função Como muitos alunos das mais diversas áreas do conhecimento podem utilizar esse livro os apên trazem matrizes e sistemas análise combinatória noções de trigonometria e estudo de cónicas ssos recursos didáticos Com o objetivo de tornar o livro ainda mais didático além de um texto simples e de fácil com isão alguns recursos gráficos fazem com que os alunos saibam que tipo de informação está transmitida r Prefácio xv Material adicional No site de apoio deste livro wwwawcomdemanabr professores e estudantes leni acesso a materiais adicionais que facilitam tanto a exposição das aulas como o processo de aprendizagem 1iirti o professor apresentações em PowerPoint lisscs materiais são de uso exclusivo dos professores e estão protegidos por senha Para ter acesso a eles os professores que adotam o livro devem entrar em contato com seu representante Pearson ou enviar um omail para universitariospearsonedcom lim o estudante exercícios adicionais EXEMPLO l Análise formas decimais ã números racionais Determine a forma decimal de 116 5527 e 117 SOLUÇÃO 00625 e 2037037037 16 27 E correio dizer que 117 00588235294 O símbolo significa é aproximadamente igual a Neste caso pelo fato de o número ser racional ele possui um bloco que repete infinitamente e como esse bloco possui muitos dígitos o resultado não deixa evidente que bloco é esse para que se escreva com a notação da barra sobre o mesmo Por essa razão utilizamos o símbolo Os exemplos por exemplo são acompanhados de um fio lateral até que eles sejam concluí quando esse mesmo fio passa para direção horizontal Definições e explicações especiais tam receberam diferentes destaques a fim de facilitar o processo de ensinoaprendizagem Além disso is com dicas estão distribuídas por todo o texto com informações adicionais sobre o assunto que endo tratado DEFINIÇÃO Raiz nésima de um número real Sejam n um número inteiro maior que l e a e b números reais 1 Sc b a então b c uma raiz nésima de a 2 Se a tem uma raiz nésima então a principal raiz nésima de a é aquela com o mesmo sinal de a A principal raiz ésima de a é denotada pela expressão com o radical 2 a O inteiro positivo n é o índice do radical e a é o radicando Ainda cada capítulo termina com uma lista de exercícios bastante diversificada que envolvem Iões abertas questões de múltipla escolha e questões de verdadeiro ou falso Alguns capítulos ientam exercícios para uma revisão rápida de tópicos essenciais antes de partir para os exercí de fixação Reforçando os exercícios procuram testar a manipulação algébrica e analítica dos s a conexão da álgebra com a geometria a interpretação dos gráficos a representação gráfica ncrica das funções e a análise dos dados Permitese ainda que o aluno utilize recursos tecno os como calculadoras que tenham recursos gráficos rvcloi limitados de números reais n a e b números reais corn a b Tipo de intervalo cio de valo Notação de desigualdade Representação gráfica Fechado NOTAÇÃO DE INTERVALO COM Como oo não é número real usa mos por exemplo J00 2 em vez de 0 2 para descrever x 2 Da mesma maneira usamos 1 ooi em vez de 1 para descrever x 1 Agradecimentos Gostaríamos de expressar nossa gratidão aos revisores técnicos que nos proporcionaram comentí rios opiniões e sugestões de valor inestimável Agradecimentos especiais são devidos a nossa consu tora Cynthia Schimek Secondary Mathematics Curriculum Spedalist Katy Independent Schix District Texas por sua orientação e valiosas sugestões para esta edição Judy Ackerman Montgomery College Ignacio Alarcon Santa Barbara City College Ray Barton Olympus High School Nicholas G Belloit Plorida Community College at Jacksonville Margaret A Blumberg University of Southwestern Louisiana Ray Cannon Baylor University Marilyn P Carlson Arizona State University Edward Champy Northern Essex Community College Janis M Cimperman Saint Cloud State University Wil Clarke La Sierra University Marilyn Cobb Lake Travis High School Uonna Costello Plano Sénior High School Gerry Cox Lake Michigan College Deborah A Crocker Marian J Ellison University of Wisconsin Stout Donna H Foss University of Central Arkansas Betty Givan Eastern Kentucky University Brian Gray Howard Community College Daniel Harned Michigan State University Vahack Haroutunian Fresno City College Celeste Hernandez Richland College Rich Hoelter Raritan Valley Community College Dwight H Horan Wentworth Institute of Technology Margaret Hovde Grossmont College Miles Hubbard Saint Cloud State University Sally Jackman Richland College T J Johnson Hendrickson High School Stephen C King University of South Carolina Jeanne Kirk William Howard Taft High School Georgianna Klein Grand Valley State University Deborah L KruschwitzList University of Wisconsin Stou Carlton A Lane Hillsborough Community College James Larson Lake Michigan University Edward D Laughbaum Columbus State Community College Ron Marshall Western Carolina University Janet Martin Lubbock High School Beverly K Michael University of Pittsburgh Paul Mlakar St Marks School of Texas John W Petro Western Michigan University Cynthia M Piez University of Idaho Debra Poese Montgomery College Jack Porter Précálculo nio R Quesada Jniversity of Akron y Risser i West Sénior High nas H Rousseau i College d K Ruch Houston State versity iaks hoga Community lege Mary Margaret ShoafGrubbs College of New Rochelle Malcolm Soule Califórnia State University Northridge Sandy Spears Jefferson Community College Shirley R Stavros Saint Cloud State University Stuart Thomas University of Oregon Janina Udrys Schoolcraft College Mary Voxman University of Idaho Eddie Warren University of Texas at Arlington Steven J Wilson Johnson County Community College Gordon Woodward University of Nebraska Cathleen ZuccoTeveloff Trinity College Expressamos agradecimentos especiais a Chris Brueningsen Linda Antinone e Bill Bower por rabalho nos projetos dos capítulos Também gostaríamos de agradecer Perian Herring Frank ell e Tom Wegleitner pela meticulosa precisão na verificação do texto Somos gratos a Nesbitt hics que realizou um trabalho incrível na diagramação e revisão e especificamente a Kathy h e Harry Druding pelo excelente trabalho na coordenação de todo o processo de produção Por nossos agradecimentos à notável e profissional equipe da AddisonWesley pelos conselhos e o na revisão do texto em particular Anne Kelly Becky Anderson Greg Tobin Rich Williams Heyden Gary Schwartz Marnie Greenhut Joanne Ha Karen Wernholm Jeffrey Holcomb ara Atkinson Evelyn Beaton Beth Anderson Maureen McLaughlin e Michelle Murray idecimentos específicos são devidos a Elka Block que nos ajudou incansavelmente ao longo do nvolvimento e produção deste livro F D D B K W G D F D K i iíMT in Introdução 9 li ll l MNM Capítulo Conjuntos numéricos e os números reais Representação dos números reais Um número real é qualquer número que pode ser escrito na forma decimal Números reais são representados por símbolos como 8 O 175 2333 036 85 VJ v 16 e e TT O conjunto dos números reais contém vários subcon juntos importantes Conjunto dos números naturais O l 2 3 Conjunto dos números inteiros 32 l O l 2 3 Conjunto dos números racionais cujos elementos descreveremos a seguir Conjunto dos números irracionais As chaves são utilizadas para descrever conjuntos com seus elementos Um número racional é qualquer número que pode ser escrito como uma razão ab de dois números inteiros onde b 0 Podemos usar a notação de conjunto com propriedade para des crever os números racionais Objetivos de aprendizagem Representação dos números reais A ordem na reta e a notação de intervalo Propriedades básicas da álgebra Potenciação com expoentes inteiros Notação científica Estes tópicos são fundamentais no estudo da matemática e ciên cia como um todo a b são inteiros e b O A barra vertical que segue é lida como tal que A forma decimal de um número racional pode ter uma quantidade finita de casas após a vír gula como 74 175 ou não como podemos ver em 411 0363636 036 A barra sobre o 36 indica quais dígitos se repetem Um número real é irracional se não for racional A forma deci mal de um número irracional não possui bloco de dígitos que se repete infinitamente Por exemplo Vi 17320508 e TT 314159265 EXEMPLO l Análise das formas decimais de números racionais Determine a forma decimal de 116 5527 e 117 SOLUÇÃO 00625 16 2037037037 É correio dizer que 117 00588235294 O símbolo significa é aproximadamente igual a Neste caso pelo fato de o número ser racional ele possui um bloco que repete infinitamente e como esse bloco possui muitos dígitos o resultado não deixa evidente que bloco é esse para que se escreva com a notação da barra sobre o mesmo Por essa razão utilizamos o símbolo 4 Précálculo Para representar os números reais começamos com uma reta horizontal e marcamos o número real zero com o valor O a origem Números positivos estão à direita da origem e números nega tivos à esquerda como mostrados na Figura 11 o 5 4 3 2 1 Números reais negativos i i i i 3 1 2 3 4 í Números reais positivos Figura 11 A reta de números reais Todo número real corresponde a um e somente um valor na reta real e todo valor na reta real corresponde a um e somente um número real Entre dois números reais na reta existem infinitos números reais O número associado ao ponto é a coordenada do ponto Ao longo do texto seguiremos a con venção de usar o número real para as duas situações tanto para o nome do ponto como para sua coordenada A ordem na reta e a notação de intervalo O conjunto dos números reais é ordenado Isso significa que podemos comparar quaisquer dois números reais que não são iguais usando desigualdades podemos dizer que um é menor que ou maior que o outro Ordem dos números reais Sejam a e b dois números reais quaisquer Símbolo Definição a b a b é positivo a b a b é negativo a 5 è a b é positivo ou zero a b a b é negativo ou zero Os símbolos e são símbolos de desigualdade Leitura a é maior que b a é menor que b a é maior ou igual a b a é menor ou igual a b Geometricamente a b significa que a está à direita de b de modo equivalente b está à esquerda de a na reta dos números reais Podemos comparar dois números reais quaisquer devido à seguinte propriedade importante desses números Lei da Tricotomia Sejam a e b dois números reais quaisquer Somente uma das seguintes expressões é verdadeira a b a b ou a b CAPÍTULO l Conjuntos numéricos e os números reais 5 Desigualdades podem ser usadas para descrever intervalos de números reais como ilustrado no Exemplo 2 EXEMPLO 2 Interpretação das desigualdades Descreva e represente graficamente os intervalos de números reais para as desigualdades l a x 3 b 1 x 4 l SOLUÇÃO í a A desigualdade x 3 descreve todos os números reais menores que 3 Figura 12a b A dupla desigualdade l 4 representa todos os números reais entre l e 4 excluindo l lê incluindo 4 Figura 12b EXEMPLO 3 Descrição das desigualdades Escreva os intervalos de números reais usando desigualdade e represente graficamente l a Os números reais entre 4 e 05 l b Os números reais maiores ou iguais a zero j SOLUÇÃO j a 4 x 05 Figura 12c j b x O Figura 12d 4 fnp4 44 3 2 1 0 1 2 3 4 5 a 05 3 2 1 0 1 2 3 4 5 1 1 H 5 4 3 2 1 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3 4 5 c d Figura 12 Nas representações gráficas das desigualdades bolas vazias correspondem a e e bolas cheias a s e Como foi mostrado no Exemplo 2 desigualdades definem intervalos sobre a reta real Nós usa mos a notação exemplificada por 2 5 para descrever um intervalo limitado que representa o con junto z R 2 x 5 Além de limitado esse intervalo é fechado porque contém os extremos 2 e 5 Existem quatro tipos de intervalos limitados Intervalos limitados de números reais Sejam a e b números reais com a b Notação de Tipo de intervalo Notação de Representação intervalo desigualdade gráfica a Fechado a jc fe Précálculo Notação de Tipo de intervalo intervalo Notação de Representação desigualdade gráfica a b Aberto a x b a b Fechado à esquerda e aberto à direita a x b a b Aberto à esquerda e fechado à direita a x b Os números a e b são os extremos de cada intervalo NOTAÇÃO DE INTERVALO COM 00 Como t não é número real usa mos por exemplo 2 em vez de o 2 para descrever x 2 Da mesma maneira usamos l em vez de 1 para descrever x s l O intervalo de números reais determinado pela desigualdade x 2 pode ser descrito pelo intervalo infinito 0 2 Este intervalo é aberto pois não contém seu extremo 2 Usamos a notação de intervalo para repre sentar todo o conjunto dos números reais Os símbolos infinito negativo e infinito positivo nos permitem usar a notação de intervalo para intervalos não limitados e não são números reais Existem quatro tipos de intervalos não limitados ou intervalos infinitos Intervalos não limitados de números reais Sejam a e b números reais Notação de intervalo fl í loo Tipo de intervalo Fechado Aberto Fechado Aberto Notação de desigualdade xa xa xb xb Cada intervalo tem exatamente um extremo que é a ou b Representação gráfica EXEMPLO 4 Conversão entre intervalos e desigualdades Converta a notação de intervalo para desigualdade ou viceversa Encontre os extremos e verifi que se o intervalo é limitado seu tipo e a representação gráfica a63 booi c2jc3 CAPÍTULO l Conjuntos numéricos e os números reais 7 SOLUÇÃO a O intervalo 6 3 corresponde a 6 x 3 é limitado e é do tipo fechado à esquerda e aberto à direita veja a Figura 13a Os extremos são 6 e 3 b O intervalo 1 corresponde a x l não é limitado e é aberto veja a Figura 13b O extremo é somente 1 c A desigualdade 2 3 corresponde a um intervalo fechado e limitado dado por 2 3 veja a Figura 13c Os extremos são 2 e 3 a 6 5 4 3 2 1 O l 2 3 4 b 4HHHK 1 1 1 1 1 H 5 4 3 2 1 O l 2 3 4 5 c H 1 1 0ht44 1 H 5 4 3 2 1 O l 2 3 4 5 Figura 13 Representações gráficas dos intervalos de números reais do Exemplo 4 Propriedades básicas da álgebra A álgebra envolve o uso de letras e outros símbolos para representar números reais Uma variável é uma letra ou símbolo por exemplo x y t 0 que representa um número real não espe cífico Uma constante é uma letra ou símbolo por exemplo 2 O 3 TT que representa um número real específico Uma expressão algébrica é a combinação de variáveis e constantes envol vendo adição subtração multiplicação divisão potências e raízes Apresentamos algumas das propriedades das operações aritméticas de adição subtração mul tiplicação e divisão representadas pelos símbolos X ou e ou respectivamente Adição e multiplicação são as operações primárias Subtração e divisão são definidas em termos da adição e multiplicação Subtração a b a b Divisão a b O b b Nas duas definições b é a inversa aditiva ou opôs j to de b e lb é a inversa multiplicativa ou recíproca de b O VERSUS NÚMEROS As inversas aditivas nem sempre são números negativos j NEGATIVOS A inversa aditiva de 5 é o número negativo 5 Porém a j Em muitas calculadoras existem inversa aditiva de 3 é o número positivo 3 duas teclas uma Para sut As seguintes propriedades são válidas para números i traÇão e outra para números l negativos ou opostos reais variáveis e expressões algébricas i 8 Précálculo Propriedades da álgebra Sejam M v e w números reais variáveis ou expressões algébricas 1 Propriedade comutativa Adição u v v u Multiplicação MV vu 2 Propriedade associativa Adição u v w u v w Multiplicação uvw vw 3 Propriedade do elemento neutro Adição H 4 O Multiplicação u l K 4 Propriedade do elemento inverso Adição w w O Multiplicação l u O 5 Propriedade distributiva Multiplicação com relação à adição v w KV UW w vw uw vw Multiplicação com relação à subtração uv w uv uw u vw uw vw O lado esquerdo das equações na propriedade distributiva mostra a forma fatorada das expressões algébricas e o lado direito mostra a forma expandida EXEMPLO 5 Uso da propriedade distributiva a Escreva a forma expandida de a 2x i b Escreva a forma fatorada de 3y by SOLUÇÃO a a 2x ax 2x b 3y by 3 by Eis algumas propriedades da inversa aditiva juntamente com exemplos que ajudam a ilustrar seus significados Propriedades da inversa aditiva Sejam a e v números reais variáveis ou expressões algébricas Propriedade Exemplo 1 M u 3 3 2 MV v KV 43 43 4 3 12 3 nv v 6K7 6 7 42 4 u 15 5 5 v v 7 9 7 9 16 CAPÍTULO l Conjuntos numéricos e os números reais 9 Potenciação com expoentes inteiros A notação exponencial é usada para diminuirencurtar produtos de fatores que se repetem Vejamos 3333 34 e 2 12 1 2x l2 Notação exponencial Sejam a um número real uma variável ou uma expressão algébrica e n um número inteiro posi tivo Então n fafores onde néo expoente a é a base e a é a nésima potência de a lêse a elevado a n As duas expressões exponenciais do Exemplo 6 têm o mesmo valor porém com diferentes bases EXEMPLO 6 Identificação da base a Em 35 a base é 3 i b Em 35 a base é 3 Eis as propriedades básicas de potenciação juntamente com exemplos que auxiliam na com preensão dos seus significados Propriedades do potenciação Sejam H e v números reais variáveis ou expressões algébricas e m e n números inteiros Todas as bases são consideradas diferentes de zero Propriedade Exemplo uma 53 54 534 57 2 um j x un x 3 l 8 l 5 vOT umvm 2z5 25z5 32z5 6 umn umn x23 XM x6 Mi w íal a7 10 Précálculo EXEMPLO 7 Simplificação de expressões envolveu do potências a 2ab35a2b5 Waa2b3b5 0a3b l b U2Ul vV c l y Notação científica Todo número positivo pode ser escrito em notação científica c X 10m onde l c 10 e m é um inteiro Esta notação auxilia quando temos números muito grandes ou muito pequenos e utilizamos potências de 10 Por exemplo a distância entre a Terra e o Sol é de aproximadamente 149597870691 quilómetros Em notação científica 149597870691 km 15 IO8 km O expoente positivo 8 indica que ao mover a vírgula do número decimal 8 casas para a direi ta temos a forma original do número A massa de uma molécula de oxigénio é de aproximadamente 0000 000 000 000 000 000 000 053 gramas Em notação científica 0000 000 000 000 000 000 000 053 g 53 X 1023 g O expoente negativo 23 indica que ao mover a vírgula do número decimal 23 casas para a esquerda temos a forma original do número EXEMPLOS Conversão da notação científica a 2375 X IO8 237500000 j b 0000000349 349 X 107 EXEMPLO 9 Uso da notação científica 37QOOO45QOOOOOOO Simplifique SOLUÇÃO 3700QO450000QOOO 37 X 10545 X IO9 18000 18 X IO4 Vale observar que os parênteses serviram apenas para separar os números que são valores altos NT CAPÍTULO l Conjuntos numéricos e os números reais 11 37 45 18 925 X IO10 92500000000 X 10594 REVISÃO RÁPIDA 1 Cite os números inteiros positivos entre 3 e 7 2 Cite os números inteiros entre 3 e 7 3 Cite todos os números inteiros negativos maiores que 4 4 Cite todos os números inteiros positivos menores que 5 Nos exercícios 5 e 6 use calculadora para desenvolver a expressão Deixe o resultado com duas casas após a vírgula 5 a 43l3 425 b 255 6 74 38 6 a 53ll2 4053 b 52 24 Nos exercícios 7 e 8 calcule o valor da expressão algébrica para os valores das variáveis dadas 7 x3 2x lx 2ex 15 8 a2 ab b2 a 3 e b 2 EXERCÍCIOS Nos exercícios l a 4 encontre a forma decimal para 13 o número racional Verifique se tem finitas ou infini f44w x tas casas após a vírgula 5 4 3 2 i o l 2 3 4 5 1 378 2 1599 3 136 5 4 3 2 l O l 2 3 4 5 4537 c 15 x esta entre l e 2 Nos exercícios 5 a 10 descreva e represente gráfica 16 x é maior ou igual a 5 mente o intervalo de números reais Nos exercícios 17a 22 use notação de intervalo para descrever o intervalo de números reais 6 2 5 17 3 7 oo7 8 33 18 Kx2 9 x é negativo jg 10 x é maior ou igual a 2 e menor ou igual a 6 i i i fjajm i 5 4 3 2 i o l 2 Nos exercícios 11 a 16 use desigualdade para descre ver o intervalo de números reais 20 11 H 1 1 h4H 5 4 3 2 1 O l 2 3 4 5 12 o 4 12 Précálculo 21 x é maior que 3 e menor ou igual a 4 22 x é positivo Nos exercícios 23 a 28 descreva o intervalo de núme ros reais 23 4 x 9 24 jc 1 25 3 2657 27 i l 1 1o4 5 4 3 21 O l 28 H 1 h 5 4 3 2 1 O l 2 3 4 5 Nos exercícios 29 a 32 converta para notação com desigualdade Encontre os extremos verifique se o intervalo é limitado ou não e seu tipo 29 3 4 30 31 31 o5 32 6 Nos exercícios 33 a 36 use tanto desigualdade como notação de intervalo para descrever o conjunto de números Escreva o significado de quaisquer variá veis que você usar 33 Bill tem pelo menos 29 anos 34 Nenhum item na loja custa mais de R 200 35 O preço do litro de gasolina varia de R 220 a R 290 36 A taxa de juros ficará entre 2 e 65 Nos exercícios 37 a 40 use a propriedade distributi va para escrever a forma fatorada ou a forma expan dida da expressão dada 37 ax2 b 38 v z3c 39 ax2 dx2 40 o3z a3w Nos exercícios 41 e 42 encontre a inversa aditiva dos números 41 6 TT 42 7 Nos exercícios 43 e 44 identifique a base da potência 43 52 44 27 Nos exercícios 45 a 50 simplifique a expressão Supo nha que as variáveis nos denominadores sejam diferen tes de zero 45 46 3v2 2 3 48 49 Nos exercícios 51 e 52 escreva o número em notação científica 51 A distância média de Júpiter até o Sol é de apro ximadamente 1780000000 quilómetros 52 A carga elétrica em Coulombs de um elétron é de aproximadamente 00000 0000000000000016 Nos exercícios 53 a 56 escreva o número na forma original 53 333 X IO8 54 673 X IO11 55 A distância que a luz viaja em um ano um anoluz é aproximadamente 95 IO12 quilómetros 56 A massa de um nêutron é aproximadamente 16747 X 1024 gramas Nos exercícios 57 e 58 use notação científica para simplificar 57 58 135 X 1Q7241 X IO8 125 X IO9 37 X 10743 X IO6 25 X IO7 59 Para inteiros positivos m e n nós podemos usar a definição para mostrar que am a am a Examine a equação am a am para n O e explique por que é razoável definir a l para a 0 CAPÍTULO l Conjuntos numéricos e os números reais 13 b Examine a equação a a am para n m e explique por que é razoável definir am lam para a Q 60 Verdadeiro ou falso A inversa aditiva de um número real precisa ser negativa Justifique sua resposta 61 Verdadeiro ou falso A recíproca de um núme ro real positivo precisa ser menor que 1 Justifique sua resposta 62 Qual das seguintes desigualdades corresponde ao intervalo 2 1 a x 2 b 2 x l c 2 x l d 2 x s l e 2 l 63 Qual é o valor de 24 a 16 b 8 c 6 d 8 e 16 64 Qual é a base da potência 72 a 7 b 7 c 2 d 2 e l 65 Qual das seguintes alternativas é a forma simpli V6 O ficada de x a x4 c3 e8 b2 d4 A magnitude de um número real é sua distância da origem 66 Cite todos os números reais cujas magnitudes são menores que 7 67 Cite todos os números naturais cujas magnitudes são menores que 7 68 Cite todos os números inteiros cujas magnitudes são menores que 7 Parte 2 Álgebrа Capítulo 2 Radiciação e potenciação Radicais Se b2 a então b é a raiz quadrada de a Por exem plo 2 e 2 são raízes quadradas de 4 porque 22 22 4 Da mesma maneira se b3 a então b é a raiz cúbica de a Por exemplo 2 é a raiz cúbica de 8 porque 23 8 Objetivos ile aprendizagem Radicais Simplificação de expressões com radicais Racionalização Potenciação com expoentes racionais DEFINIÇÃO Raiz nésima de um número real Sejam n um número inteiro maior que l e a e b números reais 1 Se b a então b é uma raiz nésima de a 2 Se a tem uma raiz nésima então a principal raiz nésima de a é aquela com o mesmo sinal de a A principal raiz nésima de a é denotada pela expressão com o radical Vá O inteiro positivo n é o índice do radical e a é o radicando Todo número real tem exatamente uma raiz nésima real quando n é ímpar Por exemplo 2 é a única raiz cúbica real de 8 Quando n é par números reais positivos têm duas raízes nésimas reais e números reais negativos não têm raízes nésimas reais Por exemplo VÍ6 2 e 16 não tem raiz quarta real A principal raiz quarta de 16 é 2 Quando n 2 uma notação especial é usada para raízes Omitimos o índice e escrevemos Vá em vez de vá Se a é um número real positivo e n um inteiro par positivo suas duas raízes nési mas são denotadas por Vá e vá EXEMPLO 1 Verificação das raízes nésimas principais a V36 6 porque 62 36 327 3 33 27 2 porque Porque 3 2 27 d 625 não é um número real porque o índice 4 é par e o radicando 625 é negativo não existe número real cuja quarta potência seja negativa 18 Précálculo Eis algumas propriedades de radicais juntamente com exemplos que auxiliam a ilustrar seu significado Propriedades dos radicais Sejam M e v números reais variáveis ou expressões algébricas e m e n números positivos inteiros maiores que 1 Vamos supor que todas as raízes sejam números reais e todos os denominadores não sejam zero Propriedade u v 2 3 4 5 6 XV M l para n par M para n ímpar Exemplo V75 V25ÕÍ V25V3 V54 5 32 9 Simplificação de expressões com radicais Muitas técnicas de simplificação de raízes de números reais não são mais usadas devido à uti lização das calculadoras No entanto vamos mostrar com exemplos o que podemos fazer em casos sem o uso delas EXEMPLO 2 Remoção de fatores dos radicandos a 8 165 b 3x22 2x Racionalização O processo de reescrever frações contendo radicais de modo que o denominador fique sem esses radicais é a racionalização Quando o denominador tem a forma VM multiplicando numerador e denominador por vuk poderemos eliminar o radical do denominador pois CAPÍTULO 2 Radiciação e potenciação 19 O Exemplo 3 ilustra o processo 3 Racionalização a 2 V2 V3 Vó V3 V3V3 Potenciação com expoentes racionais Sabemos como manipular expressões exponenciais com expoentes inteiros Por exemplo Jt3 x4 x1 x32 x6 x5x2 x3 x2 lx2 e assim por diante Mas os expoentes podem ser também números racionais Como deveríamos definir por exemplo xl2l Para começar podemos supor que as mesmas regras que aplicamos para expoentes inteiros também se aplicam para expoentes racionais DEFINIÇÃO Expoentes racionais Seja u um número real variável ou expressão algébrica e n um inteiro maior que 1 Então Se m é um inteiro positivo min está na forma reduzida e todas as raízes são números reais então umln Mlnm Xm O numerador de um expoente racional é a potência para a qual a base está elevada e o deno minador é o indíce da raiz A fração mn precisa estar na forma reduzida pois caso contrário isso pode ocasionar algum problema de definição Vejamos M23 e esta expressão está definida para todo número u real mas M46 está definida somente para u 0 EXEMPLO 4 Conversão de radicais para potências e viceversa a V y3 x y32 b 3xx2 3x x25 3x15 c 732 20 Précálculo Uma expressão envolvendo potências está simplificada se cada fator aparece somente uma vez e todos os expoentes são positivos EXEMPLO 5 Simplificação de expressões com potências a b 3232T12 6c16 rrr M l 12 A y25 910 O Exemplo 6 sugere como simplificar uma soma ou diferença de radicais EXEMPLO 6 Simplificação de expressões com radicais a 2V8Õ VT25 2V165 V255 b 4x2y 5V5 3V5 2xVj yVj 2x Eis um resumo dos procedimentos usados para simplificar expressões envolvendo radicais Simplificação de expressões com radicais 1 Remover fatores dos radicais Exemplo 2 2 Eliminar radicais dos denominadores e denominadores dos radicandos Exemplo 3 3 Combinar somas e diferenças dos radicais se possível Exemplo 6 EXERCÍCIOS Nos exercícios 1 a 6 encontre as raízes reais indi cadas 1 Raiz quadrada de 81 2 Raiz quarta de 81 15 15625 17 8132 19 3225 l3 01 16 Vl225 18 1654 20 2743 l 00 1 1 4 Raiz quinta de 243 5 Raiz quadrada de 169 6 Raiz cúbica de 278 Nos exercícios l a 12 calcule a expressão sem usar uma calculadora 7 V144 9 V216 11 3P V 27 8 10 12 16 216 Nos exercícios 13 a 22 use uma calculadora para encontrar o valor da expressão 13 256 14 3125 64 Nos exercícios 23 a 32 simplifique removendo fatores do radicando 23 V288 25 250 272xY OQ A Y17 31 Nos exercícios 33 a 38 racionalize o denominador 4 1 33 35 2 l 36 CAPÍTULO 2 Radiciação e potenciação 21 í v 37 38 5 38 Nos exercícios 43 a 46 converta para a forma radical 43a34fcl4 44 2313 45t53 46 Nos exercícios 47 a 52 escreva usando um radical simples 47 VV2x 49 V 514 48 3Í2 50 VÊ 52 Ví2 Nos exercícios 61a 70 simplifique as expressões radicais Nos exercícios 39 a 42 converta para a forma expo nencial forma de potência 39 3a lb2 40 NV 63 41 21vc2v 42 64 65 74 7 66 yãtf 21a2bl V y 2 V y 67 3V48 2VTÕ8 68 2vT75 4V28 69 Vt3 V4ry2 70 Vl82y Vy3 Nos exercícios 71 a 78 substitua O por ou para tornar a expressão verdadeira 71 V2 6 O V2 Vó 72 Vi V9 O V4 9 Nos exercícios 53 a 60 simplifique as expressões 73 3212O3 74 2313O2 exponenciais nr rA s ff rr AJ 35 13 b a 54 í2v42 78 423 O 53 32 55 a53343a13654 56 o 623 23 57 59 58 60 v 12 75 C24 O 2 76 23 O 2 77 223 O 334 79 O tempo t em segundos que uma pedra leva para cair de uma distância d em metros é aproxi madamente t 045 v d Quanto tempo uma pedra leva para cair de uma distância de 200 metros Capítulo 3 Polinómios e fatoração Objetivos de aprendizagem Adição subtração e multipli cação de polinómios Produtos notáveis Fatoração de polinómios usan do produtos notáveis Adição subtração e multiplicação de polinómios Um polinómio em x é qualquer expressão que pode ser escrita na forma Fatoração de trinômios Fatoração por agrupamento onde n é um inteiro não negativo e a 0 Os números an a a0 são números reais chamados coeficientes O grau do polinómio é n e o coeficiente principal é o número real an Polinómios com um dois três termos são monómios binómios e trinômios respectivamente Um polinómio escrito com as potências de x na ordem decrescente está na forma padrão Para adicionar ou subtrair polinómios nós adicionamos ou subtraímos termos semelhantes usando a propriedade distributiva Termos dos polinómios que têm a mesma variável cada uma ele vada à mesma potência são termos semelhantes EXEMPLO l Adição e subtração de polinómios a 2x3 3x2 4xl x3 2x2 5x 3 j b 4x2 3x 4 2jt3 x2 x 2 SOLUÇÃO a Agrupamos termos semelhantes e então os combinamos como segue 2x3 Jt3 3x2 2x2 4x 5 1 3x3 x2 x 2 b Agrupamos termos semelhantes e então os combinamos como segue O 2jc3 4x2 x2 3x x 4 2 2x3 3x2 4x 6 3 Para expandir o produto de dois polinómios nós usamos a propriedade distributiva por exemplo 3x 24x 5 3x4x 5 24x 5 3x4x 3x5 24x 12c2 15c 8 10 produto dos produto dos produto dos produto dos primeiros termos termos externos termos internos últimos termos 24 Précálculo Os produtos dos termos externos e internos são termos semelhantes e podem ser adicionados como na expressão a seguir 3x 24t 5 12x2 Ix 10 A multiplicação de dois polinómios requer a multiplicação de cada termo de um polinómio por todos os termos do outro Uma maneira conveniente de desenvolver o produto é organizar os polinómios na formapadrão um sobre o outro de modo que os termos iguais fiquem alinhados ver ticalmente como no Exemplo 2 EXEMPLO 2 Multiplicação de polinómios na forma vertical i Escreva x2 4x 3x2 4x 5 na formapadrão SOLUÇÃO x2 4x 3 x2 4x 5 x4 4x3 3x2 4x3 I6x2 12 5x2 20 15 x4 O3 82 8 15 l Assim f x2 4x 3x2 4x 5x4 82 8 15 Produtos notáveis Alguns produtos são úteis quando por exemplo precisamos fatorar polinómios Eis uma lista de alguns produtos notáveis Alguns produtos notáveis Sejam M e v números reais variáveis ou expressões algébricas 1 Produto de uma soma e uma diferença u vu v u1 v2 2 Quadrado de uma soma de dois termos M v2 u2 2v v2 3 Quadrado de uma diferença de dois termos u v2 u2 2uv v2 4 Cubo de uma soma de dois termos w v3 3 3u2v 3uv2 v3 5 Cubo de uma diferença de dois termos v3 3 3u2v 3uv2 v3 EXEMPLO 3 Uso dos produtos notáveis Faça a expansão dos produtos f a 3 83 8 32 82 b 5y 42 52 25v4 42 f 9x2 64 25v2 40y 16 CAPÍTULO 3 Polinómios e fatoração 25 c 2x 3y3 3 3223y 32x3y2 3y3 3 36x2y 54xy2 27y3 Fatoração de polinómios usando produtos notáveis Quando escrevemos um polinómio como um produto de dois ou mais fatores polinomiais estamos fatorando um polinómio Um polinómio que não pode ser fatorado usando coeficientes inteiros é um polinómio irredutível Um polinómio está fatorado completamente se estiver escrito como um produto de seus fatores irredutíveis Por exemplo 2x2 Ix 4 2x lx 4 L JC3 X2 X l X 102 1 estão fatorados completamente pode ser mostrado que x2 l é irredutível Mas x3 9x xx2 9 não está fatorado completamente porque x2 9 não é irredutível De fato x2 9 x 3x 3 9x xx 3 Agora o polinómio está fatorado completamente O primeiro passo na fatoração de um polinómio é remover e colocar em evidência fatores comuns de seus termos usando a propriedade distributiva como no Exemplo 4 EXEMPLO 4 Colocação dos fatores comuns em evidência a 23 2x2 6x 2xx2 x 3 b M3v av3 uvu2 v2 Reconhecer a forma expandida dos cinco produtos notáveis citados nos ajudará a fatorar uma expressão algébrica A forma mais fácil de identificar é a diferença de dois quadrados EXEMPLO 5 Fatoração da diferença de dois quadrados a 25c2 36 5x2 62 5 65 6 b 4jc2 y 32 2c2 y 32 2 y 32 y 3 2x y 32x y 3 26 Précálculo Um trinômio quadrado perfeito é o quadrado de um binómio e tem uma das duas formas mostradas aqui O primeiro e o último termo são quadrados de M e v e o termo central é duas vezes o produto de M e v Os sinais da operação antes do termo central e no binómio são os mesmos a 9x2 6x l 3c2 23xl l2 3 l2 b 4x2 Uxy 9y2 2x2 22x3y 3y2 2x 3y2 Observe agora a soma e a diferença de dois cubos mais dois casos de produtos notáveis Mesmos sinais Mesmos sinais w3 v3 M v2 uv v2 w3 v3 M vw2 uv v2 Sinais opostos Sinais opostos EXEMPLO 7 Fatoração da twma e da diferença de doía cubos a x3 64 x3 43 b 8c3 27 2jc3 33 x 4jt2 4x 16 2x 34x2 6x 9 Fatoração de trinômios Fatorar o trinômio ax2 bx c como um produto de binómios com coeficientes inteiros requer fatorar os inteiros a e c Fatores de a ax2 bx c D D Fatores de c Pelo fato de o número de fatores de a e c ser finito podemos listar todos os possíveis fatores binomiais isto é os possíveis fatores formados pela soma de dois monómios Então iniciamos checando cada possibilidade até encontrarmos um par que funcione se nenhum par funciona então o trinômio é irredutível como no Exemplo 8 EXEMPLO 8 Fatoração de um trinômio com coeficiente principal igual a 1 Fatore x2 5x 14 SOLUÇÃO O único par de fatores do coeficiente principal é l e l Os pares de fatores de 14 são l e 14 como também 2 e 7 Eis as quatro possíveis fatorações do trinômio x lx 14 x lx 14 x 2x 7 x 2x 7 CAPÍTULO 3 Polinómios e fatoração 27 Ao comparar a soma dos produtos dos termos externos e internos da forma fatorada com o termo central do trinômio vemos que o correio é x2 5x 14 x 2x 7 Com a prática você verá que não é necessário listar todos os possíveis fatores binomiais Muitas vezes podemos testar as possibilidades mentalmente EXEMPLO 9 Fatoração de um trinômio com coeficiente principal diferente de l Fatore 35x2 x 12 SOLUÇÃO Os pares de fatores do coeficiente principal são l e 35 como também 5 e 7 Os pares de fatores de 12 são l e 12 2 e 6 como também 3 e 4 As possíveis fatorações precisam ser da forma x 35x x 35x 5x lx 5 7c onde e são um dos pares de fatores de 12 Como os dois fatores binomiais têm sinais opostos existem seis possibilidades para cada uma das quatro formas um total de 24 possibilidades ao todo Se você tentar mental e sistematicamente deverá encontrar que 35x2 x 12 5 37 4 Para fatorar o trinômio uma outra opção é utilizar o seguinte resultado ax2 bx c ax xx x2 com jq e x2 soluções da equação ax2 bx c O veremos a resolução dessa equação posterior mente Podemos estender a técnica dos Exemplos 8 e 9 para trinômios com duas variáveis como temos no Exemplo 10 EXEMPLO 10 Fatoração de trinômios em JT e 3 Fatore 3x2 7xy 2y2 SOLUÇÃO A única maneira de obter Ixy como o termo central é com 3x2 Ixy 2y2 3x lyx ly Os sinais nos binómios precisam ser negativos porque o coeficiente de y1 é positivo e o coeficiente do termo central é negativo Conferindo as duas possibilidades 3x yx 2y e 3x 2yx y temos que 3x2 7xy 2y2 3x yx 2y L Fatoração por agrupamento Note que a bc d ac ad bc bd Se um polinômio com quatro termos é o produto de dois binômios podemos agrupar os termos para fatorar Para isso utilizamos a fatoração colocando o termo comum em evidência duas vezes EXEMPLO 11 Fatoração por agrupamento a 3x³ x² 6x 2 3x³ x² 6x 2 x²3x 1 23x 1 3x 1x² 2 b 2ac 2ad bc bd 2ac 2ad bc bd 2ac d bc d c d2a b Eis uma lista com algumas orientações para fatorar polinômios Fatoração de polinômios 1 Observar os fatores comuns 2 Observar as formas especiais dos polinômios 3 Usar pares de fatores 4 Se existirem quatro termos tentar agrupálos Algumas fórmulas importantes de álgebra Potências Se todas as bases são diferentes de zero umun umn umun umn u0 1 un 1un uvm umvm um um un u n par u n ímpar umn um umn u1mn um Produtos notáveis e fatoração de polinômios u vu v u² v² u v² u² 2uv v² u v² u² 2uv v² u vu² uv v² u³ v³ u vu² uv v² u³ v³ x² 2x 5 x 5² x² 2x 5 x 32x 4 x 1x² 1 x²2 5x 4x x² 3 4x x 4² 2x 3 3x 2² x² 3x x 1 x 5x 2 x 5 x 5x 5² x² 1² x² 4x 3 x² 2² 5 x 12x 5 x²2x 1 x² 5 x yx y² 6 x³ 6 1 yy 1 x y² 4 3x 4 2x 7x 4ᶜ 30 Précálculo 79 16y y3 80 3x4 24x 90 x4 4x3 x2 4x 81 5y 3y2 2y3 82 z 8z4 91 Mostre que o agrupamento 83 25 l2 18 84 52 32 20 2ac fcc 2ad bd 85 122 22 20 86 3x2 3xy I0y2 leva à mesma fatoração como no Exemplo l Ib 87 2ac 2bd 4ad bc Explique por que a terceira possibilidade 88 6ac 2bd 4bc 3ad 2ac bd 2ad bc 89 x3 3x2 4x 12 não leva a uma fatoração Capítulo Expressões fracionárias Objetivos de aprendizagem Domínio de uma expressão algébrica Simplificação de expressões racionais Operações com expressões racionais Expressões racionais compostas Domínio de uma expressão algébrica Um quociente de duas expressões algébricas além de ser outra expressão algébrica é uma expressão fracionáría ou simplesmente uma fração Se o quociente pode ser escrito como a razão de dois polinómios então a expressão fra cionária é uma expressão racional A seguir temos um exem plo de cada uma dessas expressões 5x 2xò x2 l 5x2 x 3 Vemos que o primeiro exemplo é uma expressão fracionária mas não é uma expressão racional 0 segundo é tanto uma expressão fracionária como racional Diferentemente dos polinómios que são definidos para todos os números reais algumas expressões algébricas não são definidas para alguns números reais O conjunto dos números reais para os quais uma expressão algébrica é definida é o domínio da expressão algébrica EXEMPLO l Verificação do domínio de expressões algébricas a 3x2 x 5 b VGTH c í 1 x 2 SOLUÇÃO a O domínio de 3x2 x 5 como de qualquer polinómio é o conjunto de todos os números reais b Como a raiz quadrada está definida para números reais nãonegativos então devemos ter jc l s O isto é x s 1 Em notação de intervalo o domínio é l c Como não existe divisão por zero então devemos ter x 2 O isto é x 1 2 O domínio é todo o conjunto dos números reais com exceção do 2 Simplificação de expressões racionais Sejam u v e z números reais variáveis ou expressões algébricas Podemos escrever expressões racionais na forma mais simples usando uz vz contanto que z seja diferente de zero Isto requer uma fatoração do numerador e denominador em fatores primos Quando todos os fatores comuns do numerador e denominador forem removidos a expressão racional ou número racional está na forma reduzida 32 Précálculo EXEMPLO 2 Simplificação de expressões racionais x2 3x x29 Escreva na forma reduzida Verifique o domínio SOLUÇÃO x2 3x xx 3 x2 9 X 3x 3 x x 3 x 3 e x í 3 í Vemos que x não pode ser 3 mas incluímos a condição x 3 porque 3 não está no domínio da i expressão racional original Dessa forma não deve estar também no domínio da expressão racional final que é o conjunto dos números reais exceto 3 e 3 Duas expressões racionais são equivalentes se elas têm o mesmo domínio e os mesmos valo res para todos os números no domínio A forma reduzida de uma expressão racional precisa ter o mesmo domínio que a expressão racional original Esta é a razão que nos levou a adicionar a restrição x 3 para a forma reduzida no Exemplo 2 Operações com expressões racionais Duas frações são iguais se e somente se uw vz v w Operações com frações Sejam v w e z números reais variáveis ou expressões algébricas Todos os denominadores são considerados como diferentes de zero Operação Exemplo M w u w 2 5 2 5 7 v v v 3 3 3 3 w uz vw 2 4 2 5 3 4 22 v z vz 3 5 3 5 15 w ww 2 4 2 4 8 v z vz 3 5 3 5 15 v z v w v w 3 5 3 4 1 2 6 5 Para subtração substitua por em l e 2 EXEMPLO 3 Multiplicação e divisão de expressões racionais 2x2 llx 21 x3 8 f x3 2x2 4x x2 5x 14 j 2x 3xf x2x2xF 2x 3 x 1 2 x 7 x O CAPÍTULO 4 Expressões fracionárias 33 b x3 1 x2 x 1 x2 x 2 x2 4x 4 x3 1Q2 4x 4 x2 x 2x2 x 1 x 2 x l x 2 EXEMPLO 4 Soma de expressões racionais x 3 xx 5 33 2 3x 2 x 5 3x 2x 5 x2 5x 9x 6 3x 2x 5 x2 4x 6 3x 2x 5 OBSERVE UM EXEMPLO Vale observar que a expressão x2 4x 6 é um polinómio primo não é possível fatorálo Se os denominadores das frações têm fatores comuns então podemos encontrar o mínimo múltiplo comum desses polimônios O mínimo múltiplo comum é o produto de todos os fatores primos nos denominadores onde cada fator está elevado à maior potência encontrada em qualquer um dos denominadores EXEMPLO 5 Redução ao mesmo denominador mínimo múltiplo comum Escreva a seguinte expressão como uma fração na forma reduzida l x2 2x x x2 4 SOLUÇÃO Os denominadores fatorados são xx 2 x e x 2x 2 respectivamente O menor deno minador comum é x x 2x 2 l x2 2x x24 1 xx 2 U 2x 2 2U 2 x 2x 2 xx 2x 2 xx 2x 2 xx 2x 2 2x 2 x 2x 2 3x xx 2x 2 34 Précálculo 2x 4 x2 4 3x xx 2jc 2 x2x xx 2x 2 xx 1 xx 2 2 x l x2x 2 Expressões racionais compostas Às vezes uma expressão algébrica complicada precisa ser transformada anteriormente para uma forma mais fácil de ser trabalhada Uma fração composta às vezes chamada fração com plexa na qual os numeradores e denominadores podem eles mesmos conter frações é tal como no exemplo a seguir Uma maneira de simplificar uma fração composta é escrever numerador e denominador como frações simples e então inverter e multiplicar Se a fração toma a forma de uma expressão racional então escrevemos a expressão na forma reduzida ou na forma mais simples 7 3j 2 7 3 x 2 x 2 l l x 3 l x 3 3x l x 2 x 4 x3 3 1 3 x 2x 4 x 3 Uma segunda maneira de simplificar uma fração composta é multiplicar o numerador e o denominador pelo mínimo múltiplo comum de todas as frações existentes na expressão como ilustrado no Exemplo 7 Use o mínimo múltiplo comum para simplificar a fração composta 1 a2b2 l l a b SOLUÇÃO O menor denominador comum das quatro frações no numerador e denominador é a2b2 CAPITULO 4 Expressões fracionárias 35 í 1 1 a2 b2 1 1 a b í h2 b2 a2 b ab a abb d a 1 b ab EXERCÍCIOS Nos exercícios 1 a 8 reescreva como uma única fração 1 9 Z 32 32 20 9 33 20 21 22 25 77 2 4 9 1 5 5 6 3 5 4 1 0 1 4 5 o 1 6 4 14 15 21 6 35 15 Nos exercícios 9 a 18 encontre o domínio da expressão algébrica Os exercícios 15 e 16 trazem restrição da expressão racional original 9 5x2 3xl 10 2x 5 2 n A n T 10 2 1 x2 3x 15 j 1 1 V 3 IA x2 4 1 K 2X v t n 17 V2 4 vl 1Q víV 4 112 l A T A IO AA T 1 Nos exercícios 19 a 26 encontre o numerador ou o denominador que está faltando de modo que as duas expressões racionais sejam equivalentes 19 2 5 I5y 3x 12x3 x 4 x2 4x 21 x y3 ilt 3 2y A 2 A2 4 A 4 A2 12 A 5 A 23A AT 3 A2 2x A 2 A 6 26 A2 9 A 3 Nos exercícios 27 a 32 considere a fração original e sua forma reduzida do exemplo especificado Explique por que a restrição dada é necessária na forma reduzida 27 Exemplo 3a x 2 x 1 1 28 Exemplo 3b x l x 12 29 Exemplo 4 nenhum 30 Exemplo 5 x 0 31 Exemplo 6 x 1 3 32 Exemplo 7 a b Nos exercícios 33 a 44 escreva a expressão na forma reduzida 33 34 T 15 9 jc 2v H DV A2 2 4y 12 V3y18 40 y249 83 l o3 i A2 i 1O7 Z 1 Z 1 OZ 18Z 2z2 5z 3 z3 27 Aà y y 2r2 v3 3v2 5v 15 2 8 36 Précálculo mus CACICIUIOS tj a u Mmpimque 3 2l 3 14 l 9 4G 7 2 6 3 1 z 1823 122 x l 2 9 3xy 6xl 1 4 22 x2 x 1 cn y3 2y2 4y y2 4 2y2 9y5 y 5 y2 25 2y2 y y2 8v 16 32 2y 3 2 O l l 2 4 y x x23x 2xy Ixly 14 14y 55 56 14y 3y2 4y 3y 2x2y x2 y2 5 x 32 58 2xy 8xy y2 x2 x 3 4x2y 2x 1 3 3 xl x 5 x 5 x2 x2 x2 3x x x 62 5 2 Nos exercícios 63 a 70 y ci y x x2 13 3 x 4 R R A t i i 4 1 1 e7 i J í b a 60 õ è Nos exercícios 71 a 74 tivos e simplifique 71 í1 Oír l l MJ v JC y 73 x1 y 2 9 4 2 2 4 simplifique a fração composta 64 X y 1 L 2 2 13 RR 3 T 1 J 3 JC X co A A 2 2 GS h 1 1 70 b a a b escreva com expoentes posi 70 x y 74 Capítulo Equações Objetivos de aprendizagem Definição e propriedades Resolução de equações Equações lineares com uma variável Solução de equações por meio de gráficos Solução de equações quadrá ticas Resoluções aproximadas das equações por meio de gráfico Esses tópicos suprem alguns fun damentos das técnicas de álgebra além de mostrar a utilidade das representações gráficas para resolver equações Definição e propriedades Uma equação é uma afirmativa de igualdade entre duas expressões Eis algumas propriedades de igualdade que usamos para resolver equações algebricamente Propriedades Sejam M v w e z números reais variáveis ou expressões algébricas 1 Reflexiva 2 Simétrica 3 Transitiva 4 Adição 5 Multiplicação u u Seu v então v M Se v e v H então u w Se v e w z então u w v z Seu v e w z então u w v z Resolução de equações Uma solução de uma equação em x é um valor de x para o qual a equação é verdadeira Resolver uma equação em x significa encontrar todos os valores de x para os quais a equação é verdadeira isto é encontrar todas as soluções da equação EXEMPLO 1 Verificação de uma solução Prove que x 2 é uma solução da equação x3 x 6 0 j SOLUÇÃO l 23 2 610 Í 8 2 610 l 0 0 Equações lineares com uma variável A equação mais básica na álgebra é uma equação linear 38 Précálculo DEFINIÇÃO Equação linear em x Uma equação linear em x é aquela que pode ser escrita na forma ax b O onde a e b são números reais com a 0 A equação 2z 4 O é linear na variável z A equação 3w2 12 O não é linear na variável u Uma equação linear em uma variável tem exatamente uma solução Nós resolvemos uma equação desse tipo transformandoa numa equação equivalente cuja solução é óbvia Duas ou mais equações são equivalentes se elas têm as mesmas soluções Por exemplo as equações 2z 4 O 2 4 e z 2 são todas equivalentes Aqui temos operações que produzem equações equivalentes Operações para equações equivalentes Uma equação equivalente é obtida se uma ou mais das seguintes operações são aplicadas Operação 1 Combinar termos semelhantes simplificar frações e remover símbolos por meio de agrupamento 2 Aplicar a mesma operação em ambos os lados a Adicionar 3 b Subtrair 2x c Multiplicar por uma constante diferente de zero 13 d Dividir por uma constante diferente de zero 3 Equação dada Equação equivalente 5x 2x 4 3jc12 3 12 3 4 Os próximos dois exemplos ilustram como usar equações equivalentes para resolver equações lineares Resolva 22 3 3x 1 5x 2 É possível conferir o resultado com uma calculadora f SOLUÇÃO 22 3 3x 1 5x 2 4x 6 3jc 3 5x 2 lx3 5x 2 2x 5 x 25 Para conferir o nosso desenvolvimento algébrico podemos usar uma calculadora para substituir x por 25 na equação original É possível concluir que os dois lados da equação são iguais CAPÍTULO 5 Equações 39 Se uma equação envolve frações encontramos o mínimo múltiplo comum dos denominadores das frações e multiplicamos ambos os lados por esse valor encontrado O Exemplo 3 ilustra isso EXEMPLO 3 Resolvendo uma equação linear que envolve frações j Resolva 2 j S SOLUÇÃO l Os denominadores são 8 l e 4 O mínimo múltiplo comum é 8 Í 5y 2 y í 7 8 4 5y 2 16 2y 5y 18 2y 3y 18 y 6 Agora você pode conferir o resultado usando lápis e papel ou uma calculadora Solução de equações por meio de gráficos O gráfico da equação y 2x 5 pode ser usado para resolver a equação 2x 5 O em x Podemos mostrar que x 52 é a solução de 2x 5 0 Portanto o par ordenado 52 0 é a solução de y 2x 5 A Figura 51 confirma isso pois sugere que o ponto por onde a reta inter cepta o eixo x seja o par ordenado 52 0 47 47 por 10 5 Figura 51 Gráfico de y 2x 5 40 Précálculo Uma maneira de resolver uma equação graficamente é encontrar os valores de x por onde a reta intercepta o eixo horizontal x Esses valores de x podem ser chamados de raízes Existem muitas técnicas gráficas que podem ser usadas para encontrar esses valores EXEMPLO 4 Resolução gráfica e algébrica i Resolva a equação 2x2 3x 2 O gráfica e algebricamente SOLUÇÃO Solução gráfica Encontrar os valores por onde o gráfico de y 2x2 3x 2 intercepta o eixo x Figura 52 Usamos o gráfico para ver que 05 0 e 2 0 são pontos do gráfico que estão no eixo x Assim as soluções desta equação são x 05 e x 2 Respostas obtidas graficamente são realmente aproximações embora em geral elas sejam aproximações muito boas 5 r 1 Y0 47 47 por 5 5 i Figura 52 O gráfico de y 2x2 3x 2 Exemplo 4 Solução algébrica Neste caso podemos fatorar para encontrar valores exatos 2x2 3x 2 O 2x ljc 2 O Podemos concluir que 2x l O ou jt 2 O ou seja x 12 ou x 2 x 12 e x 2 são as soluções exatas da equação original O procedimento dado pela solução algébrica usada no Exemplo 4 é um caso especial da seguinte propriedade importante Propriedade do fator zero Sejam a e b números reais Se ab O então a O ou b 0 Solução de equações quadráticas Equações lineares ax b 0 e equações quadráticas são dois membros da família de equações polinomiais CAPÍTULO 5 Equações 41 DEFINIÇÃO Equação quadrática em x Uma equação quadrática em x é aquela que pode ser escrita na forma ax2 bx c O onde a b e c são números reais com a 0 Revisamos uma das técnicas algébricas básicas para resolver equações quadráticas Uma téc nica algébrica que já foi usada no Exemplo l é afatoração Equações quadráticas da forma ax b2 c são fáceis de resolver como ilustraremos no Exemplo 5 EXEMPLO 5 Solução por meio de raízes quadradas Resolva 2x l2 9 algebricamente SOLUÇÃO 2x l2 9 2x l 3 2x 4 ou 2x 2 jc 2 ou x l A técnica do Exemplo 5 é mais geral do que pensamos pois toda equação quadrática pode ser escrita na forma x b2 c O pró cedimento que precisamos executar é o de com pletar o quadrado Completando o quadrado UTILIZAMOS o SEGUINTE RESULTADO Se f c O então t V k ou t V k Para resolver x2 bx c por meio do procedimento de completar o quadrado adicionamos b22 em ambos os lados da equação e fatoramos o lado esquerdo da nova equação Para resolver a equação quadrática completando o quadrado nós simplesmente dividimos ambos os lados pelo coeficiente de x2 e completamos o quadrado como ilustrado no Exemplo 6 EXEMPLO 6 Resolução pelo procedimento de completar o quadrado Resolva 4x2 20x 17 0 pelo procedimento de completar o quadrado l SOLUÇÃO l 4x2 20x 17 O x2 5x 17 0 17 42 Précálculo Completando o quadrado na equação V2 x V2 391 ou x V2 109 O procedimento do Exemplo 6 pode ser aplicado para a equação quadrática geral ax2 bx c O para construir a fórmula a seguir Fórmula quadrática conhecida como Fórmula de Bhaskara As soluções da equação quadrática ax2 bx c O onde a O são dadas pela fórmula x b V b2 4ac 2a EXEMPLO 7 Resolução usando a fórmula quadrática de Bhaskara Resolva a equação 3x2 6x 5 SOLUÇÃO Em primeiro lugar subtraímos 5 em ambos os lados da equação para colocar na forma ax2 bx c 0 3x2 6x 5 0 Podemos observar que a 3 b 6 e c 5 b Vb2 4ac 2a 6 V62 435 23 x 6 V 6 V96 s 263 ou x 6V96 5 5 por 10 10 Figura 53 O gráfico de 063 3x26x 5 O gráfico de y 32 6z 5 na Figura 53 mostra que os valores por onde passa no eixo x são aproximadamente 063 e 263 CAPÍTULO 5 Equações 43 Resolução algébrica de equações quadráticas Existem quatro caminhos básicos para resolver equações quadráticas algebricamente 1 Fatoração veja o Exemplo 4 2 Extração de raízes quadradas veja o Exemplo 5 3 Procedimento de completar o quadrado veja o Exemplo 6 4 Uso da fórmula quadrática conhecida como fórmula de Bhaskara veja o Exemplo 7 Soluções aproximadas das equações por meio de gráfico A solução da equação x3 x l O é o valor de x que faz o valor de y x3 x l igual a zero O Exemplo 8 ilustra a construção de gráfico em calculadora adequada para encontrar tais valores de x EXEMPLO 8 Resolução gráfica Resolva a equação x3 x l O graficamente SOLUÇÃO A Figura 54 sugere que x 1324718 é a solução que procuramos 47 47 por 31 31 Figura 54 O gráfico de y x3 x l Quando resolvemos equações graficamente usamos soluções aproximadas e não soluções exatas Usaremos o seguinte critério sobre aproximação Critério sobre soluções aproximadas Nas aplicações devemos aproximar para um valor que seja razoável para o contexto do proble ma Em quaisquer outras situações devemos aproximar a variável com pelo menos duas casas decimais após a vírgula Com esse critério sobre aproximações poderíamos então concluir a solução encontrada no Exemplo 8 como aproximadamente 132 44 Précálculo Às vezes podemos reescrever uma equação e resolvêla graficamente por meio da identifi cação dos pontos de intersecção de dois gráficos Um ponto a b é um ponto da intersecção se ele pertence por exemplo aos dois gráficos envolvidos Ilustraremos esse procedimento com a equação do valor absoluto no Exemplo 9 EXEMPLO 9 Resolução pelo encontro das intersecções em gráficos Resolva a equação 12x 11 6 O l A Figura 55 sugere que o gráfico de y 2x l em forma de V intersecciona duas vezes o j gráfico da linha horizontal y 6 Os dois pontos da intersecção têm as coordenadas 25 6 e 35 6 Isso significa que a equação original tem duas soluções 25 e 35 F Podemos usar a álgebra para encontrar as soluções exatas Os números reais que têm valor abso í luto igual a 6 são 6 e 6 Assim se 2x 11 6 então l 2x l 6 ou 2x l 6 x y 35 ou x 25 47 47 por 5 10 Figura 55 Os gráficos de y 2x l e y 6 REVISÃO RÁPIDA Nos exercícios l e 2 simplifique a expressão combinando termos equivalentes 1 2x 5x l y 3x 4y 2 2 4 2x3z 5yx 2yz2 Nos exercícios 3 e 4 use a propriedade distributiva para expandir os produtos Simplifique a expressão resul tante combinando termos semelhantes 3 32 y 4y x x y 4 52x y 1 4y 3x 2 l Nos exercícios 5 a 10 reduza as frações ao mesmo denominador para operar com as frações Simplifique a fração resultante x 4 3x 9 i 6 l V l y 2 72 x f í 8U i x y CAPÍTULO 5 Equações 45 Nos exercícios 11 a 14 faça a expansão do produto 11 3 42 12 2x 32 13 2x l3jc 5 14 3y 5y 4 Nos exercícios 15 a 18 fatore completamente 15 25x2 20 4 16 l S3 222 Sx 17 33 x2 15 5 18 y4 I3y2 36 Nos exercícios 19 e 20 opere com as frações e reduza a fração resultante para termos de expoentes mais baixos x 2 x l 3 11 19 2x l x 3 20 x2 5 6 EXERCÍCIOS Nos exercícios l a 4 encontre quais valores de x são soluções da equação b 1 2x2 5x 3 a x 3 2fif al b 0 cl 3 Vi x2 2 3 a x 2 b 0 c 2 4 x 213 2 a 6 b 8 c 10 Nos exercícios 5 a 10 determine se a equação é linear em 5 5 3x O 7 x 3x5 9 2V 5 10 6 5 102 8 x 3 x2 10 x l x Nos exercícios l i a 24 resolva a equação 11 3 24 13 3í 4 8 15 2x 3 4x 5 17 4 3y 2y 4 12 4 16 14 2t 9 3 16 4 2x 3x 6 18 4y 2 5y H 22 3 4 1 23 23 4z 52z 3 z 17 24 35z 3 42z 1 5z 2 Nos exercícios 25 a 28 resolva a equação Você pode conferir sua resposta com uma calculadora que tenha recurso gráfico 27 4 r 5 26 2 4 45 t2 2 3 3 4 2 29 Explique como a segunda equação foi obtida da primeira 3 2 3 2 6 4 6 30 Explique como a segunda equação foi obtida da primeira 2124 x x 2 31 Determine se as duas equações são equivalentes a 3 6 9 x 2x 9 b 6 2 4 10 3 l 2 5 32 Determine se as duas equações são equivalentes a 3 2 5 7 2 2 7 b 2 5 7 2 7 33 Múltipla escolha Qual das seguintes equações é equivalente à equação 3 5 2 l b 3x 2x 4 d 3 6 2 e 3x 2 4 a 3x 2x c 34 Múltipla escolha Em qual das seguintes alter nativas temos a solução da equação xx 1 O a 0ou l c somente 1 e somente l b 0ou l d somente O 46 Précálculo 35 Múltipla escolha Em qual das seguintes alter nativas temos uma equação equivalente à equação 2x J J 3 2 4 3 e que esteja sem frações a 2x l x l b 8 6 3x 4 c 4x 3 y 2 d 4x 3 3x 4 e 4x 6 3x 4 36 Perímetro de um retângulo A fórmula para o perímetro P de um retângulo é P 2b h onde b é medida da base e h a medida da altura Resolva essa equação isolando h 37 Área de um trapézio A fórmula para a área A de um trapézio é Ahbí b2 onde b j e 02 são medidas das bases ehéa medida da altura Resolva essa equação isolando b 38 Volume de uma esfera A fórmula para o volume V de uma esfera é V T7T3 onde r é o raio Resolva essa equação isolando r 39 Celsius e Fahrenheit A fórmula para tem peratura Celsius C em termos de temperatura Fahrenheit F é C F 32 9 Resolva essa equação isolando F Nos exercícios 40 a 45 resolva a equação grafica mente encontrando os valores que interceptam o eixo horizontal x 40x2x20 0 41 2x2 5x 3 O 42 4x2 8 3 O 43 x2 8x 15 44 x3x 7 6 45 x3x 1 1 20 Nos exercícios 46 a 51 resolva a equação extraindo as raízes quadradas 46 4x2 25 47 2x 52 17 48 3x 42 8 49 4u l2 18 50 2y2 8 6 2y2 51 2x 32 169 Nos exercícios 52 a 57 resolva a equação comple tando o quadrado 52 x2 6x 7 54 x2 Ix 4 O 4 53 x2 5x 9 O 55 4 6x x2 56 22 7x 9 x 3x 1 3x 57 32 6x l x2 3x xx 1 3 Nos exercícios 58 a 63 resolva a equação usando a fórmula de Bhaskara 58 x2 8x 2 O 59 22 3x l O 60 3x 4 x2 61 x2 5 Vã 62 c 5 12 63 x2 2x 6 2x2 6x 26 Nos exercícios 64 a 67 estime os valores por onde os gráficos interceptam os eixos x e y 5 5 por 5 5 65 3 6 por 3 í 66 5 51 por 5 5 67 33 por 3 3 CAPÍTULO 5 Equações 47 Nos exercícios 68 a 73 resolva a equação grafica mente encontrando intersecções Confirme sua res posta algebricamente 68 8 2 69 x 11 4 70 2 5 7 7113514 72 12x 31 x2 73 x 11 2x 3 74 Interpretando gráficos Os gráficos a seguir podem ser usados para resolver a equação 3 v x 4 x2 l graficamente 5 5 por 10 10 a 5 5 por 10 10 b a O gráfico em a ilustra o método da inter secção Identifique as duas equações que estão representadas b O gráfico em b ilustra o método de analisar onde o gráfico intercepta o eixo horizontal x c Como estão os pontos de intersecção em a relacionados com os valores por onde o grá fico intercepta o eixo horizontal x em b Nos exercícios 75 a 84 use o método que você escolher para resolver a equação 75 x2 x 2 O 76 x2 3x 12 3 2 77 2x 11 5 78 x 2 2VT 3 O 79 x3 4x2 3x 2 O 80 x3 4x 2 O 81 x2 4x l 7 82 U 5 U3 83 105 3 2 4 84 V 7 x2 5 85 Discriminante de uma expressão quadrá tica O radicando b2 4ac na fórmula quadrática é chamado de discriminante do polinómio qua drático ax2 bx c porque ele pode ser utiliza do para descrever a origem dos zeros ou raízes a Se b2 4ac O o que você pode dizer sobre os zeros raízes do polinómio quadrá tico ax2 bx c Explique sua resposta b Se b2 4ac O o que você pode dizer sobre os zeros raízes do polinómio quadrá tico ax2 bx c Explique sua resposta c Se b2 4ac O o que você pode dizer sobre os zeros raízes do polinómio quadrá tico ax2 bx cl Explique sua resposta 86 Discriminante de uma expressão qua drática Use a informação que você aprendeu no exercício anterior para criar um polinómio quadrático com os seguintes números de zeros ou raízes Justifique sua resposta graficamente a Dois zeros ou duas raízes reais b Exatamente um zero ou uma raiz real c Nenhum zero ou raiz real 87 Tamanho de um campo de futebol as medi das estão em jardas yd sendo que l m equivale a l 0936 yd Vários jogos da Copa do Mundo de 1994 ocorreram no estádio da Universidade de Stanford na Califórnia O campo está 30 yd mais longo do que ê sua largura e a área do campo é de 8800 yd2 Quais são as dimensões deste campo de futebol 88 Comprimento de uma escada a medida está em pés ft sendo que l m equivale a 32808 ft John sabe por experiência que sua escada de 18 ft fica estável quando a distância do chão até o topo dela é de 5 ft a mais que a distância da construção até a base da escada como vemos na figura Nesta posição qual a altura que a esca da alcança na construção 18 ft 48 Précálculo 89 Dimensões de uma janela a medida está em pés ft sendo que l m equivale a 32808 ft Essa janela tem a forma de um quadrado com um semicírculo sobre ele Encontre as dimen sões da janela se a área total do quadrado e do semicírculo é dada por 200 ft2 95 90 Verdadeiro ou falso Se o gráfico de y ax2 bx c intercepta o eixo horizontal x em 2 então 2 é a solução da equação ax2 bx c 0 Justifique a sua resposta 91 Verdadeiro ou falso Se 2x2 18 então x precisa ser igual a 3 Justifique a sua resposta 92 Múltipla escolha Qual das seguintes alter nativas é a solução da equação xx 3 O a Somente x 3 b Somente x 3 c x O e 3 d x O e x 3 e Não existem soluções 93 Múltipla escolha Qual dos seguintes substi tutos para faz x2 5x ser um quadrado perfeito ir af d c 52 e 6 94 Múltipla escolha Qual das seguintes alter nativas são as soluções da equação 2x2 3x l 0 3 r 3 VT7 a c e 17 3 Vi7 2 3 l b d 3 VT7 Múltipla escolha Qual das seguintes alterna tivas são as soluções da equação x l 3 a Somente x 4 b Somente x 2 c Somente x 2 ã x 4 e x 2 e Não existem soluções 96 Dedução da fórmula quadrática ou de Bhaskara Siga esses passos de completar o quadrado para resolver ax2 bx c O a 0 a Subtraia c de ambos os lados da equação original e divida ambos os lados da equação resultante por a para obter b c xí l a x a b Adicione o quadrado da metade do coefi ciente de x em a em ambos os lados e sim plifique para obter b2 4ac c Extraia raízes quadradas em b e isole x para obter a fórmula b Vb2 4ac X 2a 97 Considere a equação x2 4 c a Encontre o valor de c para o qual esta equa ção tenha quatro soluções Existem vários valores com essas condições b Encontre o valor de c para o qual esta equa ção tenha três soluções Existe somente um valor com essas condições c Encontre o valor de c para o qual esta equa ção tenha duas soluções Existem vários valores com essas condições d Encontre o valor de c para o qual esta equa ção não tenha soluções Existem vários valores com essas condições e Existem outros possíveis números de solu ções desta equação Explique 98 Somas e produtos das soluções de ax2 bx c O a O Suponha que temos b2 4ac 0 a Mostre que a soma das duas soluções desta equação é ba b Mostre que o produto das duas soluções desta equação é cia 99 Continuação do exercício anterior A equação 2x2 bx c O tem duas soluções x jc2 Se x x2 5 e x x2 3 encontre as duas soluções Capítulo 6 Inequações Inequações lineares com uma variável Usamos desigualdades para descrever por exemplo a ordem dos números sobre a reta dos números reais DEFINIÇÃO Inequação linear em x Objetivos de aprendizagem Inequações lineares com uma variável Solução de inequações com valor absoluto Solução de inequações quadráticas Aproximação de soluçõespara inequações Esses tópicos suprem alguns fun damentos das técnicas de álge bra além de mostrar a utilidade das representações gráficas para resolver inequações Resolver uma inequação em x significa encontrar todos os valores de x para os quais a inequação é ver dadeira Uma solução de uma inequação em x é um valor de x que satisfaz isso O conjunto de todas as soluções de uma inequação é o que chamamos de conjunto solução Resolvemos uma inequação encontrando seu conjunto solução Eis uma lista de propriedades que usamos para resolver inequações Propriedades das inequações Sejam u v w e z números reais variáveis ou expressões algébricas e c um número real Uma inequação linear em x pode ser escrita na forma ax b O ax b O ax b O ou ax b O onde a e b são números reais com a O 1 Transitiva 2 Adição 3 Multiplicação S e w v e v w então w Se M v então u w v w Seuvewz então M w v z S e M v e c 0 então uc vc S e w v e c 0 então uc vc As propriedades acima são verdadeiras se o símbolo é substituído por Existem pro priedades similares para e s A multiplicação ou divisão de uma inequação por um número positivo preserva a desigualdade A multiplicação ou divisão de uma inequação por um número negativo inverte a desigualdade O conjunto das soluções de uma inequação linear com uma variável forma um intervalo de números reais Tal como com equações lineares podemos resolver uma inequação transformandoa em inequação equivalente cujas soluções são óbvias Duas ou mais inequações são equivalentes se elas têm o mesmo conjunto solução 50 Précálculo As propriedades citadas das inequações descrevem operações que transformam uma inequação em uma equivalente Í Reéblução de uma inequação linear Resolva 3x 1 2 5x 6 SOLUÇÃO 3x 1 2 5x 6 3x l 5x 6 3c 5x 7 2jc7 Propriedade distributiva Simplificação Adição de l Subtração de 5x Multiplicação por 12 desigualdade inverte 35 O conjunto solução da desigualdade é o conjunto de todos os números reais maiores ou iguais a 35 Em notação de intervalo o conjunto solução é 35 Pelo fato do conjunto solução de uma inequação linear ser um intervalo de números reais podemos apresentar o conjunto solução por meio da representação gráfica da reta real como mostrado no Exemplo 2 f Resolva a inequação e represente graficamente seu conjunto solução SOLUÇÃO O mínimo múltiplo comum dos denominadores das frações é 12 t j Multiplicando pelo mínimo múltiplo comum 4x 6 3x 4 x 6 4 x 2 Simplificando Subtraindo por 3x Subtraindo por 6 j O conjunto solução é o intervalo 2 Sua representação gráfica é mostrada a seguir 1 1 l 1 1 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Figura 61 O gráfico do conjunto solução da inequação no Exemplo 2 CAPÍTULO 6 Inequações 51 Às vezes duas inequações são combinadas em uma inequação dupla cujo conjunto solução é a desigualdade dupla com x isolado como o termo central O Exemplo 3 ilustra isso EXEMPLO 3 Resolução de uma inequação dupla Resolva a inequação e represente graficamente seu conjunto solução 3 2x SOLUÇÃO 9 2x 5 15 142x 10 7 jc 5 Multiplicação por 3 Subtração por 5 Divisão por 2 O conjunto solução é o conjunto de todos os números reais maiores que 7 e menores ou iguais a 5 Em notação de intervalo a solução é o conjunto 7 5 Sua representação gráfica é mostra da a seguir HHC l l l l l l l l l l l l l h 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 Figura 62 O gráfico do conjunto solução da inequação dupla no Exemplo 3 Solução de inequações com valor absoluto Eis duas regras básicas que aplicamos para resolver inequações com valor absoluto Solução de inequações com valor absoluto Seja uma expressão algébrica em x e a um número real com a 0 1 Se u a então u está no intervalo a a isto é K a se e somente se a u a 2 Se w a então está no intervalo o a ou a isto é u a se e somente se u a ou u a As desigualdades e podem ser substituídas por e s respectivamente Veja a Figura 63 52 Précálculo a à i a a ua Figura 63 Gráficos de y a e y M ua A solução de M a está representada pela parte do eixo horizontal correspondente à região onde os valores x dos pontos do gráfico de y uá abaixo do gráfico de y a A solução de M a está representada pela parte do eixo horizontal correspondente à região onde os valores x dos pontos do gráfico de y uá acima do gráfico de y a EXEMPLO 4 Resolução de uma inequação com valor absoluto Resolva 4 8 SOLUÇÃO x48 8 jc 4 8 4x 12 Inequação dupla equivalente Adição de 4 A solução é dada pelo intervalo 4 12 A Figura 64 mostra que os pontos sobre o gráfico de y 4 que estão abaixo do gráfico de y 8 são aqueles em que os valores de x estão entre 4 e 12 i l i l i M 12 7 15 por 5 10 Figura 64 Os gráficos de y 4 e y 8 EXEMPLO 5 Resolução de uma outra inequação com valor absoluto Resolva 13 2 5 O A solução desta inequação com valor absoluto consiste nas soluções das duas desigualdades CAPÍTULO 6 Inequações 53 3x 2 5 ou 3x 2 5 3x 3 OU 3x S 7 Adição de 2 7 JC l OU T Divisão por A solução consiste em todos os números que estão em um ou em outro dos dois intervalos oo 1 é 73 oo a qual pode ser escrita como 1 U 73 Anotação U é lida como união A Figura 65 mostra que os pontos do gráfico de y 3x 2e estão acima ou sobre os pon tos do gráfico de y 5 são tais que os valores de x são menores ou iguais a 1 como também são maiores ou iguais a 73 Uma observação a união de dois conjuntos A e B denotada por A U B é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A a B ou a ambos Figura 65 Gráficos de y 3x 2 e y 5 4 41 por 4 10 Solução de inequações quadráticas Para resolver uma inequação quadrática tal como x2 x 12 O iniciamos resolvendo a correspondente equação quadrática x2 x 12 0 Então determinamos os valores de x para os quais o gráfico de y x2 x 12 está acima do eixo horizontal x pelo fato de a desigualdade ser maior que zero EXEMPLO 6 Resolução de uma inequação quadrática Resolva x2 x 12 0 SOLUÇÃO Em primeiro lugar resolvemos a equação correspondente x2 x 12 0 x2 x 12 O x 4x 3 O x 4 0 ou x 3 0 x 4 ou x 3 l As soluções da equação do segundo grau são 3 e 4 porém essas não são as soluções da i inequação original porque O O é falso A Figura 66 mostra que os pontos sobre o gráfico de l y x2 x 12 que estão acima do eixo horizontal x são tais que os valores de x estão à esquer i da de 3 ou à direita de 4 i A solução da inequação original é 3 U 4 54 Précálculo 10 10 por 15 15 Figura 66 O gráfico de y x2 x 12 que cruza o eixo x em x 3 e x 4 No Exemplo 7 a inequação quadrática envolve o símbolo Neste caso as soluções da cor respondente equação quadrática são também soluções da inequação EXEMPLO 7 Resolução de uma inequação quadrática Resolva 2x2 3x 20 SOLUÇÃO Em primeiro lugar subtraímos 20 dos dois lados da inequação para obter 2x2 3x 20 0 Depois resolvemos a correspondente equação quadrática 2x2 3x 20 0 x 42x 5 O x 4 0 ou 2x 5 0 x 4 ou x As soluções da correspondente equação quadrática são 4 e 52 25 Você pode verificar que são também soluções da inequação A Figura 67 mostra que os pontos do gráfico de y 2x2 3x 20 que estão abaixo do eixo ho rizontal x são tais que os valores de x estão entre 4 e 25 A solução da inequação original é dada pelo intervalo 4 25 Usamos o intervalo fechado pois 4 e 25 são também soluções da inequação 10 10 por 25 25 Figura 67 O gráfico de y 2x2 3x 20 cuja parte que está abaixo do eixo x são pontos tais que os respectivos valores de x obedecem à inequação dupla 4 x 25 CAPÍTULO 6 Inequações 55 Pode ocorrer do extremo de algum intervalo não ser um número inteiro Caso isso ocorra podemos deixar na forma fracionária ou aproximar o valor utilizando decimal com duas casas após a vírgula LO 8 Resolução somente gráfica de uma inequação quadrática Resolva x2 4x l O graficamente SOLUÇÃO Podemos utilizar os gráficos de y x2 4x l na Figura 68 para verificar que as soluções da equação x2 4x l O são aproximadamente 027 e 373 Assim a solução da inequação origi nal é 027 U 373 Usamos os intervalos fechado à direita no primeiro caso e fecha do à esquerda no segundo porque as soluções da equação quadrática são soluções da inequação embora tenhamos usado aproximação para seus valores Zero Y1E15 3 7 por 4 6 3 7 por 4 6 Figura 68 Esta figura sugere que y x2 4x l é zero para x s 027 e x 373 EXEMPLO 9 Inequação quadrática sem solução Resolva x2 2x 2 0 SOLUÇÃO A Figura 69 mostra que o gráfico de y x2 2x 2 está acima do eixo horizontal x para todos os valores de x Assim a inequação x2 2x 2 O não tem solução Ela é dada por um con junto vazio 5 5 por 2 5 Figura 69 Os valores de y x2 1x 2 não são negativos A Figura 69 mostra que as soluções da inequação x2 2x 2 O são todos os números reais Além de todas essas possibilidades uma inequação quadrática pode ter exatamente uma solução 56 Précálculo Aproximação de soluções para inequações Para resolver uma inequação tal como no Exemplo 10 estimamos as raízes do corresponden te gráfico Então determinamos os valores de x para os quais o gráfico está acima ou sobre o eixo horizontal x EXEMPLO 10 Resolução de uma inequação cubica Resolva x3 2x2 l O graficamente l SOLUÇÃO í Podemos usar o gráfico de y x3 2x2 l como na Figura 610 para mostrar que as soluções da l correspondente equação jc3 2x2 1 0 são aproximadamente 162 l e 062 Os pontos do í gráfico de y x3 2x2 l que estão sobre e acima do eixo horizontal x são aqueles cujos valo rés x estão entre 162 e l incluindo os extremos como também a direita de 062 incluindo i o extremo também solução da inequação é 162 1 U 062 Vale observar que as soluções da equação também fazem parte das soluções da inequação 3 3 por 2 2 Figura 610 O gráfico de y x3 2x2 l apresenta os pontos que estão acima do eixo horizon tal x com seus valores de x entre dois números negativos ou à direita de um número positivo REVISÃO RÁPIDA Nos exercícios l a 3 resolva as equações ou inequações 1 7 2x 3 7 2 5x 2 Ix 4 3 2 3 Nos exercícios 4 a 6 fatore a expressão completamente 4 4x2 9 5 x3 4x 6 9x2 162 Nos exercícios 7 e 8 simplifique a fração com termos de menores expoentes 7 z225 8 x2 2x 35 z2 5z x2 Wx 25 Nos exercícios 9 e 10 faça a soma das frações e simplifiqueas x x l g x l 3 4 10 x x 2 x2 3x 2 l CAPÍTULO 6 Inequações 57 EXERCÍCIOS Nos exercícios l a 4 encontre quais valores de x são soluções da inequação 1 2x 3 7 ax 0 bx 5 cx 6 2 3 4 5 a x O b x 3 c x 4 3 l 4x l 11 ax 0 bx 2 cx 3 4 3 l 2x 3 al b 0 cx 2 Nos exercícios 5 a 12 resolva a inequação e repre sente o conjunto solução graficamente na reta real 5 x 4 2 6 x 35 7 2x l 4x 3 8 3 l 6x 8 9 2 6 9 10 l 3c27 11 25 3x 32 1 2x l 12 41 x 51 x 3x l Nos exercícios 13a 24 resolva a inequação 154 2 16 l 17 O 2z 5 8 5 32 18 6 5 í l 0 23 24 4 2x 53 x 3 2 4 x 3 25 Verdadeiro ou falso Analise a desigualdade 6 2 e verifique se é verdadeira ou falsa Justifique a sua resposta 26 Verdadeiro ou falso Analise a desigualdade 2 s e verifique se é verdadeira ou falsa Justifique sua resposta Nos exercícios 27 a 34 resolva as inequações algebri camente Escreva a solução com a notação de intervalo e faça a representação gráfica na reta real 27 x 45 29 U3 2 31 43je 2 4 33 x 2 3 28 2x 11 36 30 3 5 32 32 2 5 34 5 Nos exercícios 35 a 42 resolva as inequações Inicie resolvendo as correspondentes equações 35 2x2 lx 21 O 36 6x2 13 6 O 37 2x2 lxl5 38 4x2 2 9x 39 2 5 3x2 O 40 21 4x x2 O 41 x3 x O 42 x 30 O Nos exercícios 43 a 52 resolva as inequações grafi camente 43 x2 4x l 44122 25x 12 O 45 6x2 5x 4 O 4642 l O 47 9x2 I2x l O 484x2 I2x l O 49 4x2 l 4x 50x2 9 6x 51 x2 8x 16 O 5292 I2x 4 O Nos exercícios 53 a 56 resolva as inequações cúbicas graficamente 53 3x3 2x 2 O 54 8 2x3 K O 55 2x3 2x 5 56 4 2x3 x 57 Dê um exemplo de uma inequação quadrática com a solução indicada para cada caso a Todos os números reais b Nenhuma solução c Exatamente uma solução d 2 5 eo 1U 4 oo foo Q U 4 oo 58 Uma pessoa quer dirigir 105 km em não mais que duas horas Qual é a menor velocidade média necessária para manter enquanto dirige 58 Précálculo 59 Considere a coleção de todos os retângulos que tem um comprimento 2 cm menor que duas vezes sua largura a Encontre as possíveis larguras em centíme tros desses retângulos se seus perímetros são menores que 200 cm b Encontre as possíveis larguras em cen tímetros desses retângulos se suas áreas são menores ou iguais a 1200 centímetros quadrados 60 Para um certo gás P 400V onde P é pressão e V é volume Se 20 V 40 qual a correspon dente variação para P 61 Verdadeiro ou falso A inequação com valor absoluto a b onde a s b são números reais sempre tem ao menos uma solução Justifique sua resposta 62 Verdadeiro ou falso Todo número real é a solução da inequação com valor absoluto x a O em que a é um número real Justifique sua resposta 63 Múltipla escolha Qual das seguintes alterna tivas é a solução da inequação x 2 3 a x l ou 5 b 15 c 15 doo 1U5 el5 64 Múltipla escolha Qual das seguintes alterna tivas ê a solução da inequação x2 1x 2 a O a O 2 bo 0U2 c 00 0 U 2 oo d Todos os números reais e Não existe solução 65 Múltipla escolha Qual das seguintes alterna tivas ê a solução da inequação x2 xl a oo 0 U 1 o b o Q U l o cloo d0 o e Não existe solução 66 Múltipla escolha Qual das seguintes alterna tivas é a solução da inequação x2 s l aoo1 b C l oo d 11 e Não existe solução 67 Construindo uma caixa sem tampa Uma caixa aberta é formada por um retângulo sem pequenos quadrados nos cantos de modo que seja feita dobra nos pontilhados 1 H 1 1 15 cm i 12 cm 1 a Qual o valor de x para que a caixa tenha um volume de 125 centímetros cúbicos b Qual o valor de x para que a caixa tenha um volume maior que 125 centímetros cúbicos Nos exercícios 68 e 69 use uma combinação de téc nicas algébrica e gráfica para resolver as inequações 68 2x2 lx 151 10 69 2x2 3x20 10 Parte 3 Funções Uma sem que um um dos Esta é uma função com uma descontinuidade infinita em x a Não é possível fazer nada do que citamos anteriormente Capítulo 7 Funções e suas propriedades Objetivos de aprendizagem Definição de função e notação Domínio e imagem Continuidade de uma função Funções crescentes e decres centes Funções limitadas Extremos local e absoluto Simetria Assíntotas Comportamento da função nas extremidades do eixo horizontal Os assuntos funções e gráficos formam a base para entender a matemática e as aplicações matemáticas que podem ser vistas em várias áreas do conhecimento Definição de função e notação A matemática e suas aplicações estão repletas de exemplos de fórmulas com as quais as variáveis quantitati vas estão relacionadas Tanto a linguagem como a notação de funções são adequadas para trabalhar com tal ferramenta DEFINIÇÃO Função conjunto domínio ou simplesmente domínio e conjunto imagem ou simplesmente imagem Uma função de um conjunto A em um conjunto B é uma lei que associa para todo elemento em A um único elemento em B O conjunto A é o domínio da função e o conjunto B de todos os valores produzidos com essa associação é o con junto imagem O que pode ocorrer é a função estar definida como sendo de um conjunto A em um conjunto C de modo que esse conjunto C não seja o conjunto imagem e sim um conjunto que contém a imagem Neste caso esse conjunto C é conhecido como contradomínio Neste texto falaremos da função definida de um conjunto em outro sendo o segundo considerado o conjunto imagem Existem várias maneiras de observar funções Uma das mais intuitivas é a ideia de uma má quina veja a Figura 71 na qual valores x do domínio são colocados dentro da própria máquina que faz papel da função para produzir valores y da imagem Para indicar que y vem de uma função que atua sobre x usamos a notação de função de Euler dada por y f x podemos ler como y igual a de x ou o valor deem x Aqui x é a variável independente e y fx é a variável depen dente Figura 71 Um diagrama de uma máquina para compreender função 62 Précálculo Uma função pode também ser vista como uma relação dos elementos do domínio com os ele mentos da imagem A Figura 72a mostra uma função que relaciona elementos do domínio X com os elementos da imagem Y A Figura 72b mostra uma outra relação mas esta não é de uma função uma vez que a regra de que o elemento associa a um único elemento de Y não ocorre Domínio Imagem Uma função a Não é uma função b Figura 72 O diagrama em a retrata uma relação de X em Y que é uma função O diagra ma em b retrata uma relação de X em Y que não é uma função A unicidade do valor da imagem é muito importante para estudarmos o seu comportamento Saber que2 8 e posteriormente verificar que2 4 é uma contradição O que acontece é que jamais teremos uma função definida por uma fórmula ambígua como f x 3x 2 EXEMPLO l Verificação se é ou não uma função A fórmula y x2 define y como uma função de xl l SOLUÇÃO j Sim y é uma função de x De fato podemos escrever a fórmula com a notação f x x2 Quando j um número x é substituído na função o quadrado de x será o resultado e não existe ambiguidade l quanto ao que significa o quadrado de x Uma outra forma de observar funções é graficamente O gráfico da função y fx é o con junto de todos os pontos x f x com x pertencente ao domínio de Podemos visualizar os valores do domínio sobre o eixo horizontal x como também os valores da imagem sobre o eixo vertical y tomando como referência os pares ordenados x y do gráfico de y fx EXEMPLO 2 Verificação se é ou não uma função Dos três gráficos mostrados na Figura 73 qual não é gráfico de uma função Como você pode j explicar j SOLUÇÃO l O gráfico em c não é gráfico de uma função Por exemplo existem três pontos no gráfico com a l coordenada x O de modo que não existe um único valor de y para esse valor x 0 Podemos ve rificar que isso ocorre para outros valores de x aproximadamente entre 2 e 2 Os outros dois grá ficos não apresentam esse problema já que nenhuma linha vertical imaginária cruza o gráfico em i mais de um ponto Gráficos que passam por esse teste da linha vertical são gráficos de funções CAPÍTULO 7 Funções e suas propriedades 63 A V VA A V 47 47 por 33 33 a Figura 73 Um destes não é gráfico de função Exemplo 2 47 47 por 33 33 b 47 47 por 33 33 c Teste da linha vertical Um gráfico conjunto de pontos x y no plano cartesiano define y como uma função de x se e somente se nenhuma linha vertical nem que seja imaginária cruza o gráfico em mais de um ponto Domínio e imagem Uma função pode ser definida algebricamente por meio da regra ou lei em termos da variável x do domínio A regra no entanto não nos fornece todas as informações sem que seja definido o domínio Por exemplo podemos definir o volume de uma esfera como uma função do seu raio pela fórmula 4 Vr 7JT3 Observe que temos Vde r e não V r Essa fórmula está definida para todos os números reais mas a função volume não está definida para valores negativos de r Assim se a nossa intenção é estudar a função volume podemos restringir o domínio para todo r 0 Observação A menos que tenhamos um modelo como o volume citado agora que necessita de um domínio restrito assumiremos que o domínio de uma função definida por uma expressão algébrica é o mesmo que o domínio da própria expressão algébrica EXEMPLO 3 Verificação do domínio de uma função Encontre o domínio de cada função a f x VT b g x c 45 V3 s2 onde As é a área de um triângulo equilátero com lados de comprimento í 4 SOLUÇÃO Solução algébrica a A expressão dentro do radical não pode ser negativa Como devemos ter x 3 ã O então x 3 O domínio deé o intervalo 3 64 Précálculo b A expressão dentro do radical não pode ser negativa portanto x 0 Também o denomi nador de uma fração não pode ser zero portanto x 5 O domínio de g é o intervalo O o com o número 5 removido o qual podemos escrever como a união de dois intervalos da seguinte maneira O 5 U 5 c A expressão algébrica tem como domínio todos os números reais mas pelo que a função representa s não pode ser negativo O domínio de A é o intervalo O Suporte gráfico Podemos justificar algebricamente nossas respostas em a e b a seguir Uma calculadora que faz gráfico ou um software não fornece pontos com valores de x impossíveis de efetuar contas 3 veja a Figura 74a mostra pontos somente para a Observe que o gráfico de y V x 3 como era esperado V b O gráfico de y veja a Figura 74b mostra pontos somente para x O como era esperado mas mostra uma reta vertical que corta o eixo x em x 5 Esta reta não faz parte da representação gráfica é apenas uma maneira de mostrar que o 5 não está no domínio c O gráfico de y V3 s2 veja a Figura 74c mostra o domínio não restrito da expressão algébrica conjunto de todos os números reais Essa é a conclusão a que chegamos somente observando a função e o que ela significa pois até então podemos não saber que s é o com primento do lado do triângulo 10 10 por 4 4 a 10 10 por 4 4 b 10 10 por 4 4 c Figura 74 Gráficos das funções do Exemplo 3 Encontrar algebricamente a imagem de uma função é muitas vezes mais árduo que encontrar o domínio embora graficamente as identificações de domínio e imagem sejam similares Para encon trar o domínio olhamos para os valores no eixo horizontal x que são as primeiras coordenadas dos pontos do gráfico para encontrar a imagem olhamos para os valores no eixo vertical y que são as segundas coordenadas dos pontos do gráfico Podemos utilizar os recursos algébricos e gráficos novamente EXEMPLO 4 Verificação da imagem de uma função 2 Encontre a imagem da função f x I SOLUÇÃO l Solução gráfica O gráfico de y está mostrado na Figura 75 CAPÍTULO 7 Funções e suas propriedades 65 5 5 por 3 3 Figura 75 O gráfico de y O gráfico não está definido para x O o que já era previsto uma vez que o denominador da função não pode ser 0 Vemos também que a imagem é o conjunto de todos os números reais diferentes de zero Solução algébrica 2 Confirmamos que O não está na imagem ao tentar resolver 0 A proposta é verificar se 2 x existe algum valor de x tal que seja 0 2 0 x 2 0x 2 0 2 Como a equação 2 0 não é verdade O não tem solução e assim y O não está na imagem Mas como sabemos que todos os outros números reais estão na imagem Seja k um outro número 2 real qualquer diferente de zero e vamos resolver k X Como podemos ver não existe problema em encontrar valores de x que depende de k e a imagem é de fato dada por 0 U 0 Continuidade de uma função Uma das mais importantes propriedades da maioria das funções que modelam o comporta mento de ocorrências do mundo real é o fato de elas serem contínuas Graficamente falando uma função é contínua num ponto se o gráfico não apresenta falha do tipo quebra pulo naquele ponto Podemos ilustrar o conceito com poucos gráficos veja a Figura 76 66 Précálculo Continuidade em todos os valores x y Descontinuidade removível Descontinuidade removível y Descontinuidade de pulo ou salto Descontinuidade infinita Figura 76 Alguns casos de pontos de descontinuidade Vamos observar cada caso individualmente Este gráfico é contínuo em todo x Note que o gráfico não tem quebra Isso significa que se estamos estu dando o comportamento da função para valores de x próximos a qualquer número real a podemos assegurar que os valores f x estarão próximos a f a Este gráfico é contínuo exceto para o buraco em x a Se estamos estudando o comportamento desta função para valores de x próximos de a não podemos assegu rar que os valores f x estarão próximos a f a Neste casoje é menor que f a para x próximo de a Isso é chamado de descontinuidade removível porque o gráfico pode ser remendado ou consertado redefinindo f a Este gráfico tem também uma descontinuidade remo vível em x a Se estamos estudando o comportamen to desta funçãopara valores de x próximos de a con tinuamos sem poder assegurar que os valores f x estarão próximos a f a porque neste caso f a não existe É removível porque poderíamos definir f a completando o buraco e fazer f contínua em a Aqui está uma descontinuidade que não é removível É uma descontinuidade de pulo porque existe mais que um buraco em x ae um pulo ou salto nos valores da função que fazem o espaço impossível de completar com um simples ponto a f a Continuidade em todos os valores x Descontinuidade removível v Descontinuidade removível Descontinuidade de pulo ou salto O simples conceito geométrico de um gráfico que não esteja quebrado em um ponto a fa é uma daquelas noções visuais difíceis para explicar cuidadosamente na linguagem algébrica A principal ideia é perceber que os pontos x fx estão sobre o gráfico da função e se aproximam de a fa por qualquer um dos lados sem necessariamente atingir a fa Uma função f é contínua em x a se lim xa fx fa Uma função f é descontínua em x a se não é contínua em x a 68 Précálculo 3 2 i i i y 2 3 Crés Figura 71 v 1 i i i i T i i i i 1 2 3 4 5 54321 2 3 ente Deere 0 Exemplos de funções 3 i l l l l x l l 1 l l 1 2 3 4 5 5432l 3 scente Cons crescente decrescente í 5 4 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 2 3 Decrescente tante Constante Crescente ou constante sobre um 1 2 3 4 5 m2 m22 m 2 intervalo Vejamos alguns casos com números 1 Das três tabelas de dados numéricos abaixo qual poderia ser modelada por uma função que seja a crescente b decrescente ou c constante X 2 l 0 1 3 7 yi 12 12 12 12 12 12 X Yl 2 l O l 3 3 l O 2 6 7 12 X 2 1 0 1 3 7 Y3 5 a 1 1 4 10 2 A Yl significa a variação nos valores de yi quando os valores de X variam de modo crescente Na mudança de Yl a para Yl b a variação é AY1 b a O mesmo ocorre com os valores de Y2 e Y3 fmove para 2 para 1 1 para 0 0 para 1 1 para 3 3 para 7 AX 1 1 1 2 4 AY1 0 0 0 0 0 Jf move para AX AY2 2 paral l 2 l para O l l 0 para l l 2 1 para 3 2 4 3 para 7 4 6 X move para 2 para 1 1 para 0 0 para 1 1 para 3 3 para 7 AX 1 1 1 2 4 AY3 2 2 2 3 6 3 Quando a função é constante o quociente A YAÍ é 0 Quando a função é decrescente o quociente AYAX é negativo Quando a função é crescente o quociente AYAX é positivo Essa análise feita dos quocientes A YATpode nos ajudar a compreender a seguinte definição CAPÍTULO 7 Funções e suas propriedades 69 DEFINIÇÃO Funções crescente decrescente e constante sobre um intervalo Uma função fé crescente sobre um intervalo se para quaisquer dois valores de x no intervalo uma variação positiva em x resulta em uma variação positiva em f x Isto é x x2 Ui v2 ou seja x2 xl O Ot2 i 0 Quando isso ocorre para todos os valores x do domínio dizemos que a função é estritamente crescente Uma funçãoé decrescente sobre um intervalo se para quaisquer dois valores de x no intervalo uma variação positiva em x resulta em uma variação negativa em f x Isto é x x2 i fx2 ou seja x2 x O fx2 f x 0 Quando isso ocorre para todos os valores x do domínio dizemos que a função é estritamente decrescente Uma função é constante sobre um intervalo se para quaisquer dois valores de x no intervalo uma variação positiva em x resulta em uma variação nula em X Isto é xt x2 Ui fx2 ou seja x2 xi O 2 f x J 0 EXEMPLO 6 Análise do comportamento de uma função crescentedecrescente Para cada função verifique os intervalos nos quais ela é crescente como também decrescente SOLUÇÃO Solução gráfica a Vemos no gráfico da Figura 71 1 queé decrescente sobre o intervalo 2 e crescente sobre o intervalo 2 observe que incluímos 2 nos dois intervalos isso não acarreta contradição porque falamos de funções crescente ou decrescente sobre intervalos e 2 não é um intervalo 5 5 por 3 5 Figura 711 A função f x x 22 b Vemos no gráfico da Figura 712 que g é crescente sobre o intervalo 1 crescente nova mente sobre l 0 decrescente sobre 01 e decrescente novamente sobre o intervalo 1 47 por 31 31 Figura 712 A função gx x1 l 70 Précálculo Vale observar que fizemos algumas suposições sobre os gráficos Como sabemos que os gráfi cos não retornam ao eixo x em algum lugar que não aparece nas representações Desenvolveremos algumas maneiras para responder a questão porém a teoria a esse respeito é estudada em cálculo Funções limitadas O conceito de função limitada é simples de entender tanto gráfica como algebricamente Veremos a definição algébrica após introduzirmos o conceito com alguns gráficos típicos veja a Figura 713 Não limitado superiormente Não limitado superiormente Não limitado inferiormente Limitado inferiormente Limitado superiormente Não limitado inferiormente Limitado Figura 713 Alguns exemplos de gráficos limitados e não limitados superior e inferiormente DEFINIÇÃO Limite inferior e limite superior da função e função limitada Uma função fé limitada inferiormente se existe algum número b que seja menor ou igual a todo número da imagem de Qualquer que seja o número b este é chamado de limite infe rior de Uma funçãoé limitada superiormente se existe algum número B que seja maior ou igual a todo número da imagem de Qualquer que seja o número B este é chamado de limite superior de Uma funçãoé limitada se é limitada das duas formas superior e inferiormente Podemos estender a definição anterior para a ideia de limitação da função para x em um intervalo restringindo o domínio no intervalo de interesse Por exemplo a função fx é limi tada superiormente sobre o intervalo 0 e limitada inferiormente sobre o intervalo 0 o EXEMPLO 7 Verificação do limite de função Identifique se cada função é limitada inferiormente limitada superiormente ou limitada i a wx 3c2 4 b pj l x2 l SOLUÇÃO l Solução gráfica f Os dois gráficos são demonstrados na Figura 714 Podemos verificar que w é uma função limita I da inferiormente e que p é uma função limitada í Verificação Podemos confirmar que w é uma função limitada inferiormente encontrando o limite inferior l como se segue CAPÍTULO 7 Funções e suas propriedades 71 JC 20 320 3x2 4 O 4 32 4 4 Assim 4 é o limite inferior para w x 3x2 4 Deixamos a verificação que p é uma função limitada como um exercício 4 4 por 5 5 a 8 8 por l 1 b Figura 714 Os gráficos para o Exemplo 7 Quais são limitados e quais são esses limites Extremos local e absoluto Muitos gráficos são caracterizados pelos altos e baixos quando mudam o comportamento de crescimento para decrescimento e viceversa Os valores extremos da função ou extremo local podem ser caracterizados como máximo local ou mínimo local A distinção pode ser verificada facil mente pelo gráfico A Figura 715 mostra um gráfico com três extremos locais máximo local nos pontos P Q R além de mínimo local em Q Figura 715 Este é um outro conceito mais fácil de ver graficamente do que descrever algebricamente Observe que um máximo local não tem que ser o valor máximo de uma função ele precisa ser somente um valor máximo da função para x pertencente a algum intervalo pequeno Já mencionamos que o melhor método para analisar comportamento crescente e decrescente envolve ferramentas de cálculo O mesmo vale para extremos locais É suficiente compreendermos esses conceitos por meio do gráfico embora uma confirmação algébrica poderá ser necessária quan do aprendermos mais sobre funções específicas 72 Précálculo DEFINIÇÃO Extremos local e absoluto Um máximo local de uma função f é o valor f c que é maior ou igual a todos os valores da imagem desobre algum intervalo aberto contendo c Sec é maior ou igual a todos os valores da imagem de então f c é o valor máximo ou máximo absoluto de Um mínimo local de uma função é o valor f c que é menor ou igual a todos os valores da imagem desobre algum intervalo aberto contendo c Sec é menor ou igual a todos os valores da imagem de entãoc é o valor mínimo ou mínimo absoluto de Extremos locais são chamados também de extremos relativos EXEMPLO 8 Identificação de extremos locais Verifique se f x x4 l x2 6x tem máximo local ou mínimo local Caso isso ocorra encor tre cada valor máximo ou mínimo local além do valor de x para o qual isso ocorre SOLUÇÃO O gráfico de y x4 l x2 6x veja a Figura 716 sugere que existem dois valores mínimo locais e um valor máximo local Usamos uma calculadora que faz gráfico para aproximarmos mínimo local como 2406 o qual ocorre quando temos x 206 e 177 o qual ocorr quando temos x 160 De maneira similar identificamos o máximo local como aproximadc mente 132 o qual ocorrequando x 046 5 5 por 35 15 a Figura 716 O gráfico de y x4 Ix1 6x Simetria Simetria em matemática pode ser caracterizada numérica e algebricamente Observaremi três tipos particulares de simetria sendo que cada qual pode ser compreendido facilmente de u gráfico uma tabela de valores ou uma fórmula algébrica uma vez conhecido o que se deve obse var Ilustraremos as simetrias das três maneiras para compreendermos a simetria gráfica numérii e algébrica CAPÍTULO 7 Funções e suas propriedades 73 Simetria com relação ao eixo vertical Y EXEMPLO F X X2 Graficamente Figura 717 O gráfico parece omesmo quando olhamos do lado esquerdo e direito do eixo vertical v Numericamente x f x 3 2 1 1 2 3 9 4 1 1 4 9 Algebricamente Para todos os valores x do domínio de temos f x fx Funções com esta propriedade por exemplo x com n um número par são funções pares Simetria com relação ao eixo horizontal X EXEMPLO X F2 Graficamente Figura 718 O gráfico parece o mesmo quando olhamos acima e abaixo do eixo horizontal x 74 Précálculo Numericamente x 9 4 l l 4 9 y 3 2 1 1 2 3 Algebricamente Gráficos com este tipo de simetria não são de funções mas podemos dizer que x y está sobre o gráfico quando x y também está Simetria com relação à origem EXEMPLO F X X Graficamente Figura 719 O gráfico parece o mesmo quando olhamos tanto seu lado esquerdo para baixo como seu lado direito para cima Numericamente 3 2 l l 2 3 27 8 l l 8 27 Algebricamente Para todos os valores x do domínio de temosx f x Funções com esta propriedade por exemplo x com n um número ímpar são funções ímpares CAPÍTULO 7 Funções e suas propriedades 75 Verifique se cada uma das funções é par ímpar ou nenhum desses casos a f x x23 b gx x22x2 c hx SOLUÇÃO a Solução gráfica A solução gráfica é demonstrada na Figura 721 5 5 por M 4 j Figura 720 Este gráfico parece ser simétrico com relação ao eixo vertical y assim podemos j supor que é uma função par Confirmação algébrica Precisamos verificar quex fx para todos os valores x do domínio de 2 3 x2 3 Desde que isso seja verdade para todo x a função fé de fato par b Solução gráfica A solução gráfica é demonstrada na Figura 722 5 5 por 4 4 Figura 721 Este gráfico não parece ser simétrico com relação ao eixo vertical y ou com a origem assim podemos supor que g não é uma função par nem ímpar 76 Précálculo Confirmação algébrica Precisamos verificar que gx gx e gx gx gx x2 2x 2x2 2 gx x2 2x 2 gx x2 2x 2 Assim gx gx e g x gx Concluímos que g não é nem par nem ímpar c Solução gráfica A solução gráfica é demonstrada na Figura 723 47 47 por 10 10 Figura 722 Este gráfico parece ser simétrico com relação à origem assim podemos supor que h é uma função ímpar Confirmação algébrica Precisamos verificar que hx hx para todos os valores x do domínio de h hx 4 x2 4x2 hx Desde que isso seja verdade para todo x exceto 2 os quais não estão no domínio de h a função h é ímpar Assíntotas Considere o gráfico da função f x 2x2 4x2 na Figura 723 CAPÍTULO 7 Funções e suas propriedades 77 5 Figura 723 O gráfico de fx 4x O gráfico parece ficar cada vez mais próximo da reta horizontal y 2 quando observamos a parte abaixo Chamamos esta reta de assíntota horizontal De maneira similar o gráfico parece ficar cada vez mais próximo tanto da reta vertical x 2 como da reta x 2 Chamamos estas retas de assíntotas verticais Se traçarmos as assíntotas na Figura 723 então poderemos observar que formam uma barreira como também o comportamento limite do gráfico Veja a Figura 724 543 ll Figura 724 O gráfico de fx 2x2 3 4 5 4 x com as assíntotas mostradas pelas retas tracejadas Desde que as assíntotas também descrevam o comportamento do gráfico nas suas extremidades tanto horizontal como vertical a definição de uma assíntota pode ser estabelecida com a notação de limite Nesta definição note que xa significa x se aproxima de a pela esquerda enquanto va significa x se aproxima de a pela direita Limite de função será abordado no Capítulo 15 Por ora usaremos a notação para explicar sobre o comportamento da função nesse caso específico 78 Précálculo DEFINIÇÃO Assíntotas horizontal e vertical A reta y b é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função y f x se f x se aproxima do limite b quando x tende a 00 ou Na notação de limite lim f x b ou lim f x b A reta x a é uma assíntota vertical do gráfico de uma função y f x se f x tende a 00 ou oo quando x se aproxima de a tanto pela esquerda como pela direita Na notação de limite lim f x 00 ou lim f x EXEMPLO 10 Identificação das assintotas de um gráfico Identifique as assintotas seja horizontal ou vertical do gráfico de y SOLUÇÃO O quociente 2 2 fo iVjc 2 n est definido em x l e x 2 fazendo com que estes sejam os valores por onde teremos as assintotas verticais O gráfico da Figura 725 dá esse suporte mostrando as assintotas verticais em x l e x 2 Para valores altos de x o numerador que já é um número grande fica menor que o denominador que é o produto de dois números grandes sugerindo que lim 2 O Isso indi ca uma assíntota horizontal em y 0 O gráfico veja a Figura 725 dá esse suporte mostrando uma assíntota horizontal em y O quando xoo De maneira similar podemos concluir que 0 0 indicando a mesma assíntota horizontal quando x lim x c 2 47 47 por 3 3 Figura 725 O gráfico de y x2 x 2 CAPÍTULO 7 Funções e suas propriedades 79 Comportamento da função nas extremidades do eixo horizontal Uma assíntota horizontal isto é para valores de x que tendem a ou mostra como a função se comporta para valores de x nos extremos do eixo horizontal Nem todos os gráficos se aproximam de retas nessas condições para valores de x nos extremos do eixo horizontal mas é útil sabermos o que ocorre além do que estamos visualizando EXEMPLO 11 Análise de funções por meio do comportamento noa extremos do eixo horizontal Associe cada função a um gráfico da Figura 726 considerando o comportamento nos extremos do eixo horizontal Todos os gráficos são mostrados com as mesmas dimensões 3x X2l by 3x2 x2 l c y x2 l W y 3x4 x2 l SOLUÇÃO Quando x assume um valor muito grande o denominador x2 l em cada uma dessas funções assume quase o mesmo valor de x2 Se trocarmos x2 l em cada denominador por x2 e simplifi carmos as frações teremos funções mais simples a v fica próximo de O quando x é grande b y 3 c y 3x d y 3x2 Para valores de x nos extremos do eixo horizontal temos que 3 y tende a Oj o que nos permite associar a com iv y 3 mantém esse comportamento constante o que nos permite associar b com iii y 3x tende para 00 quando x tende para e tende para o quando x tende a oo o que nos permite associar c com ii y 3x2 tende para 00 quando x tende a 00 ou o o que nos permite associar d com i 47 47 por 35 35 i 47 47 por 35 35 ii 47 47 por 35 35 iii 47 47 por 35 35 iv Figura 726 Gráficos do Exemplo 11 Para funções mais complicadas nos contentamos em saber se o comportamento nos extremos do eixo horizontal é limitado ou não limitado em qualquer direção 80 Précálculo REVISÃO RÁPIDA Nos exercícios l a 4 resolva a equação ou inequação 3 10 O 2 92 0 4 5 O Nos exercícios 5 a 10 encontre algebricamente todos os valores de x para os quais a expressão algébrica não está definida 6 x2 16 8 10 7 3 x EXERCÍCIOS Nos exercícios l a 4 determine se a fórmula define y como uma função de x Caso a resposta seja não justifique I5hx 4x 16W V4 l ó2 1 y Vc 4 2 x2 3 3 x 2y2 4 x 12 j Nos exercícios 5 a 8 use o teste da reta vertical para determinar se a curva ê o gráfico de uma função 6 Nos exercícios 17 a 20 encontre a imagem da função n f x IO 2 18 gx 5 V4 3x2 19U l x2 20 gx Nos exercícios 21 a 24 faça o gráfico de cada função e conclua se ela tem ou não um ponto de descon tinuidade em x 0 Se existe uma descontinuidade verifique se é removível ou não removível 7 8 21 gx 23W x x 22 hx 24 gx Nos exercícios 25 a 28 conclua se cada ponto identifi cado no gráfico é um mínimo local um máximo local ou nenhum dos dois casos Identifique os intervalos nos quais temos a função crescente ou decrescente Nos exercícios 9 a 16 encontre o domínio da função al gebricamente e verifique sua conclusão graficamente 9 f x x2 4 10 hx 5 25 55 j c 3 14 3xl x 3x 1 13 14 hx x3 CAPÍTULO 7 Funções e suas propriedades 81 26 57 27 15 5 1 28 11 16 54 31 Nos exercícios 29 a 34 faça o gráfico de cada função e identifique os intervalos nos quais temos a função crescente decrescente ou constante 29W 2 l 30 f x x 11 x 1 3 31g 2 jc l 2 32 hx 05x 22 l 33 gx 3 x l2 34tjc322c Nos exercícios 35 a 40 determine se a função é limi tada superiormente limitada inferiormente ou limitada sobre o seu domínio 35 v 32 36 y 2 x2 37 y 2X 38 y 2x Nos exercícios 41a 46 a sugestão é analisar o gráfico que pode ser feito utilizando uma calculadora com esse recurso Se possível encontrar todos os máximos locais os mínimos locais e os valores de x para os quais isso ocorre Você pode concluir os valores aproximan do com duas casas decimais após a vírgula 41 f x 4 x x2 42 gx x3 4x l 43 hx x3 2x3 44 f x x 3x l2 45 hx x2x 4 46 gx x2x 5 Nos exercícios 47 a 54 verifique se a função é ímpar par ou nenhum dos dois casos Verifique sua con clusão graficamente e confirmea algebricamente 51fxx2003x 5 52 f x x3 QQ4x2 3 53 gx 2x3 3x 54 hx x Nos exercícios 55 a 62 use o método de sua escolha para encontrar todas as assíntotas horizontal e vertical da função x l 55 57 gx x l x 2 3x 56 qx A 58 qx 15 59Wp7Iy 61 gx 4 3 60 px v2 62 h x 2x4 2 Nos exercícios 63 a 66 associe cada função ao gráfico correspondente considerando o comportamento nos extremos do eixo horizontal e as assíntotas Todos os gráficos são mostrados com as mesmas dimensões 63 v 65 y x 2 2x l x 2 2x2 l 64 y 66 y 2x l x3 2 2x2 l 47 47 por 31 31 47 47 por 31 31 a b 4747por3l3l 47 47 por 31 31 c d 82 Précálculo 67 Um gráfico pode cruzar sua própria assíntota A origem grega da palavra assín tota significa sem encontro o que mostra que os gráficos tendem a se aproximar mas não encontrar suas assíntotas Quais das seguintes funções têm gráficos que podem interseccionar suas assíntotas horizontais a f x c hx x1 l b gx 7 X2 l 68 Um gráfico pode ter duas assíntotas horizontais Embora muitos gráficos tenham no máximo uma assíntota horizontal é possível para um gráfico ter mais do que uma Quais das seguintes funções têm gráficos com mais de uma assíntota horizontal a c hx u3 11 i n 69 Um gráfico pode interseccionar sua pró pria assíntota vertical Seja a função f x 5 1 1 Se possível construa o gráfico dessa função a O gráfico desta função não intersecciona sua assíntota vertical Explique por que isso não ocorre b Mostre como você pode adicionar um único ponto no gráfico dee obter um gráfico que interseccione sua assíntota vertical c O gráfico em b é de uma função 70 Explique por que um gráfico não pode ter mais do que duas assíntotas horizontais 71 Verdadeiro ou falso O gráfico de uma função é definido como o conjunto de todos os pontos x fx onde x está no domínio de Justifique sua resposta 72 Verdadeiro ou falso Uma relação que é simétrica com relação ao eixo x não pode ser uma função Justifique sua resposta 73 Múltipla escolha Qual função é contínua a Número de crianças inscritas em uma escola particular como uma função do tempo b Temperatura externa como uma função do tempo c Custo para postar uma carta como uma função do seu peso d Preço de uma ação em função do tempo e Número de bebidas nãoalcoólicas vendidas como uma função da temperatura externa 74 Múltipla escolha Qual das funções não é con tínua a Sua altitude como uma função do tempo enquanto viaja voando de um lugar para outro b Tempo de viagem de um lugar para outro como uma função da velocidade da viagem c Número de bolas que podem ser colocadas até preenchimento total de uma caixa como uma função do raio das bolas d Área de um círculo como uma função do raio e Peso de um bebé como uma função do tempo após seu nascimento 75 Função decrescente Qual das funções é decrescente a Temperatura externa como uma função do tempo b A média do índice Dow Jones como uma função do tempo c A pressão do ar na atmosfera terrestre como uma função da altitude d População mundial desde 1900 como uma função do tempo e Pressão da água no oceano como uma função da profundidade 76 Crescente ou decrescente Qual das funções não pode ser classificada como crescente ou decrescente a O peso de um bloco de chumbo como uma função do volume b A altura de uma bola que foi lançada para cima como uma função do tempo c O tempo de viagem de um lugar para outro como uma função da velocidade da viagem d A área de um quadrado como uma função do comprimento do lado e O peso de um pêndulo balançando em função do tempo 77 Você pode mostrar algebricamente agora que x px 2 é limitada a Faça o gráfico da função e encontre o menor valor inteiro de k que parece ser um limite superior CAPITULO 7 Funções e suas propriedades 83 b Verifique que l x k provando a inequação equivalente foc2 x k 0 Você pode resolver a equação para mostrar que não existe solução real c Do gráfico encontre o menor valor inteiro de k que parece ser um limite inferior d Verifique k provando a inequa cão equivalente kx1 x k 0 78 Considere a tabela com valores Xe Y X 60 65 70 75 80 85 90 95 100 y 000 100 205 257 300 336 369 400 428 Considerando Y como uma função de X ela é crescente decrescente constante ou nenhuma das situações 79 Esboce um gráfico de uma funçãocom domínio como o conjunto de todos os números reais que satisfazem todas as condições que estão a seguir a fé contínua para todo x b f é crescente nos intervalos 0 e 3 5 c fé decrescente nos intervalos O 3 e 5 d05 2 e3 0 80 Esboce um gráfico de uma funçãocom domínio como o conjunto de todos os números reais que satisfazem todas as condições que estão a seguir a é decrescente nos intervalos 0 e 0 b tem um ponto não removível de descon tinuidade em x 0 ctem uma assíntota horizontal em y l dO 0 etem uma assíntota vertical em x 0 81 Esboce um gráfico de uma funçãocom domínio como o conjunto de todos os números reais que satisfazem todas as condições que estão a seguir a fé contínua para todo x b é uma função par c fé crescente no intervalo O 2 e decrescente no intervalo 2 d2 3 82 Uma função que é limitada superiormente tem um número infinito de limites superiores mas existe sempre um menor limite superior isto é um limite superior que é o menor de todos os outros Este menor dos limites superiores poderia ou não estar na imagem de Para cada função a seguir encontre o menor dos limites superiores e conolua se está ou não na imagem da função a f x 2 08x2 c hx d qx 4x x2 2x l 83 Urna função contínuatem como domínio o con junto de todos os números reais Seíl 5 e l 5 explique por que precisa ter pelo menos uma raiz no intervalo 11 isto genera liza uma propriedade de função contínua conhe cida no cálculo como Teorema do Valor Intermediário 84 Mostre que o gráfico de toda função ímpar com domínio como sendo todos os números reais necessariamente passa pela origem 85 Se possível analise o gráfico da função 3x2 l f x 2 no intervalo 6 6 por 2 2 a Qual é a aparente assíntota horizontal do grá fico b Baseado no gráfico conclua qual é a aparente imagem de 3X2 l c Mostre algebricamente que i s 2ir l 15 para todo x confirmando assim sua suposição no item b Funções crescentes e decrescentes Um outro conceito de função que é fácil de entender graficamente é a propriedade de ser crescente ou decrescente sobre um intervalo Ilustramos o conceito com poucos gráficos veja a Figura 710 Capítulo S Funções do primeiro e segundo graus Objetivos de aprendizagem Função polinomial Funções do primeiro grau e seus gráficos Funções do segundo grau e seus gráficos Muitos problemas económicos e da área de negócios são modela dos por funções do primeiro grau Funções do segundo grau e funções polinomiais de graus mais altos são utilizadas também para modelar algumas apli cações por exemplo na área industrial Função polinomial Funções polinomiais estão entre as mais familiares de todas as funções DEFINIÇÃO Função polinomial Seja n um número inteiro não negativo e sejam a0 a ai 3 an i an números reais com an t 0 A função dada por f x a2x é uma função polinomial de grau n O coeficiente princi pal é an A função zero dada porjt O é uma função polinomial Ela não tem grau nem coeficiente principal Funções polinomiais são definidas e contínuas sobre todos os números reais É importante reconhecer se a função é polinomial EXEMPLO l Verificação se as funções são polinomiais l Quais dos seguintes exemplos são funções polinomiais Para aqueles que são funções polino l miais defina o grau e o coeficiente principal Para os que não são justifique a f x 4x3 5x b g x 6x4 l l c h x 9x4 I6x2 d k x I5x 2x4 i SOLUÇÃO j a fé uma função polinomial de grau 3 e com coeficiente principal 4 j b g não é uma função polinomial por causa do expoente 4 l c h não é uma função polinomial porque ela não pode ser simplificada na forma polinomial l Observe que V94 I6x2 3x2 4x l d k é uma função polinomial de grau 4 e com coeficiente principal 2 A função zero e todas as funções constantes são polinomiais Algumas outras funções familia res são também polinomiais como mostradas a seguir 86 Précálculo Funções polinomiais de grau indefinido ou de grau baixo Nome Forma Grau Função zero f x O Indefinido Função constante f x a a 0 O Função do primeiro grau f x ax b a i O l Função do segundo grau fsxd 5 ax2 l bx l c sã fi Od 2 Funções do primeiro grau e seus gráficos Uma função do primeiro grau é uma função polinomial de grau l e assim tem a forma f x ax b onde a e b são constantes e a í O Se em vez de a utilizarmos m como o coeficiente principal e considerarmos a notação y f x então essa equação passa a ser familiar pois representa uma reta inclinada dada por y nu b O coeficiente angular m de uma reta não vertical que passa pelos pontos x y e x2 y2 é Aà y2 yi dado por m X2 A equação da reta que passa pelo ponto x e tem coeficiente angular m é y y m x x Essa é a equação geral da reta Retas verticais não são gráficos de funções porque elas falham no teste da linha vertical Uma reta no plano cartesiano é o gráfico de uma função do primeiro grau se e somente se ela é uma reta inclinada ou uma reta horizontal EXEMPLO 2 Verificação da lei de uma função do primeiro grau Encontre a lei para a função do primeiro grautal queíl 2 e3 2 j SOLUÇÃO j Solução algébrica Queremos encontrar uma reta que passa pelos pontos 1 2 e 3 2 O coeficiente angular é Í y2 yt 22 2 i 3 1 Usando este valor w e as coordenadas de l 2 a equação é dada por y y mx x J y 2 y2 x l yxl Convertendo para a notação de função temos a lei procurada f x x l CAPÍTULO 8 Funções do primeiro e segundo graus 87 Suporte gráfico Podemos fazer o gráfico de y x l e observar que este inclui os pontos l 2 e 3 2 Veja Figura 81 1 5 4 3 2 l l l l l 1 3 4 5 02 Figura 81 O gráfico de y x l passa por l 2 e 3 2 Confirmação numérica Usandot x l provámos quel 2 e3 2 l 1 1 1 1 2e3 3 l 2 A taxa média de variação de uma função y fx entre jc a e x è com ab é f b f a b a Trataremos desse assunto no Capítulo 15 A função do primeiro grau definido para todos os números reais tem uma taxa média de variação constante diferente de zero entre quaisquer dois pontos sobre seu gráfico Quando a função está definida para valores de x que sejam maiores ou iguais a zero então podemos dizer que o valor inicial da função é dado porO Neste caso seO b então o iní cio do gráfico está no ponto O b localizado no eixo vertical y Pelo fato de a taxa média de variação de uma função do primeiro grau ser constante ela é chamada simplesmente de taxa de variação da função do primeiro grau O coeficiente angular m na fórmula f x mx b é a taxa de variação da função do primeiro grau Resumo do que aprendemos sobre funções do primeiro grau Características de uma função do primeiro grau Caracterização Definição polinomial de grau l Algébrico f x mx b m 0 Gráfico Analítico reta inclinada com coeficiente angular m e intersecção no eixo y dado por b função com taxa de variação m constante diferente de zero fé crescente se m O e decrescente se m O 88 Précálculo Funções do segundo grau e seus gráficos Uma função do segundo grau também conhecida como função quadrática é uma função polinomial de grau 2 da forma f x ax2 bx c onde a b e c são constantes reais e a 0 Veremos que o gráfico de toda função do segundo grau é uma parábola de concavidade para cima ou para baixo Isto porque o gráfico de qualquer função do segundo grau pode ser obtido do gráfico da função f x x2 por uma seqiiência de translações reflexões esticamentos e enco lhimentos EXEMPLO 3 Transformação da funçãoU x1 Descreva como transformar o gráfico de f x x2 em um gráfico da função dada Esboce o gráfico l manualmente a gx l2x2 3 SOLUÇÃO b h x 3x 22 l a O gráfico de g x l2x2 3 é obtido encolhendo verticalmente o gráfico de f x x2 por meio da multiplicação pelo fator 12 refletindo o gráfico resultante com relação ao eixo horizontal x e transladando o gráfico refletido três unidades de medida para cima Veja a Figura 82a b O gráfico de hx 3x 22 lê obtido esticando verticalmente o gráfico de f x x2 por meio da multiplicação pelo fator 3 e transladando o gráfico resultante duas unidades para a esquerda e uma unidade para baixo Veja a Figura 82b Figura 82 O gráfico de f x x2 mostrado com a gx l2x2 3 e b h x 3x 22 1 O gráfico de f x ax2 com a O é uma parábola com concavidade para cima Quando a O o gráfico é uma parábola com concavidade para baixo Independentemente do sinal de a o eixo verti cal y é a reta de simetria para o gráfico dec ax2 A reta de simetria para uma parábola é seu eixo de simetria O ponto sobre a parábola que cruza seu eixo de simetria é o vértice da parábola Pelo fato de uma função do segundo grau ser sempre uma parábola com concavidade para cima ou para baixo seu vértice é sempre o ponto mais baixo ou o ponto mais alto da parábola O vértice de f x ax2 é sempre a origem como pode ser visto na Figura 83 CAPÍTULO 8 Funções do primeiro e segundo graus 89 eixo de simetria vértice fx ax2a0 eixo de simetria f x axja0 vértice a Figura 83 O gráfico de f x ax2 para a a O e b a 0 b Expandindo f x a x h2 k e comparando os coeficientes resultantes com a forma quadrática padrão ax2 bx c onde os expoentes de x são organizados em ordem decrescente podemos obter fórmula para h e k f x ax h2 k ax2 2hx h2 k ax1 2ahx ah2 k ax2 bx c Como b 2ah e c ah2 k na última linha desenvolvida anteriormente temos que h b2a e k c ah2 Usando essas fórmulas então qualquer função do segundo grau ax2 bx c pode ser reescrita na forma f x ax h2 k Essa é a forma canónica paia uma função do segundo grau o que torna fácil a identificação do vértice e o eixo de simetria do gráfico da função Forma canónica de uma função do segundo grau Qualquer função do segundo grau f x ax2 bx c a t O pode ser escrita na forma canónica f x ax h2 k O gráfico de fé uma parábola com vértice h k e eixo de simetria x h onde h b2a e k c ah2 Se a O então a parábola tem concavidade para cima se a O então a parábo la tem concavidade para baixo veja a Figura 84 y ax2 bx c a b Figura 84 O vértice está em x bfia cujo valor descreve o eixo de simetria 90 Précálculo O valor de k também é conhecido como b2 4ac 2a EXEMPLO 4 Verificação do vértice e do eixo de simetria de uma função do segundo grau Use a forma canónica de uma função do segundo grau para encontrar o vértice e o eixo de sime tria do gráfico det 6x 3x2 5 Reescreva a equação na forma canónica SOLUÇÃO A forma polinomial padrão deéjc 3x2 6x 5 Assim a 3 b 6 e c 5 e as coordenadas do vértice são b 6 k fh f 3 l2 6 l 5 2 k fh pois é a segunda coordenada de um ponto cuja primeira coordenada é h A equação do eixo de simetria é x l o vértice é l 2 e a forma canónica de fé f x 3x l2 2 EXEMPLO 5 Uso de álgebra para descrever o gráfico de uma função do segundo grau Utilize o recurso de completar o quadrado de uma expressão algébrica para descrever o gráfico de f x 3x2 I2x 11 Confira sua resposta graficamente SOLUÇÃO Solução algébrica f x 3x2 I2x 11 3jt2 4 22 22 11 3jc2 4 4 34 11 3x 22 l O gráfico deé uma parábola de concavidade para cima com vértice 2 1 eixo de simetria x 2 e que cruza o eixo x nos valores dados aproximadamente por 2577 e 1423 Os valores exatos das raízes são x 2 V33 Solução gráfica O gráfico na Figura 85 mostra esses resultados CAPÍTULO 8 Funções do primeiro e segundo graus 91 47 47 por 31 31 Figura 85 Os gráficos dej 3x2 I2x 11 e x 3x 22 l são os mesmos Resumo do que aprendemos sobre funções do segundo grau Características de uma função do segundo grau Caracterização Definição polinomial de grau 2 Algébrico f x ax2 fec c ou ax hi ka 0 Gráfico parábola com vértice h k e eixo de simetria x h a concavidade é para cima se a O e para baixo se a 0 o valor onde corta o eixo ver tical y a intersecção y 0 c e as raízes são os valores que pas sam pelo eixo horizontal x que são b 4ac 2a REVISÃO RÁPIDA Nos exercícios l e 2 escreva na forma da equação geral da reta sendo que para cada caso a reta tem coefi ciente angular m e cruza o eixo vertical y em b 1 m 8 b 36 2 m 18 b 2 Nos exercícios 3 e 4 escreva uma equação para a reta que contém os pontos dados Represente graficamente a reta com os pontos 3 2 4 e 3 1 4 l 5 e 23 Nos exercícios 5 a 8 faça a expansão de cada expressão 5 x 32 6 x 42 7 3x 62 8 3x 72 Nos exercícios 9 e 10 fatore o trinômio 9 2x2 4x 2 10 32 12 12 Podemos nos referir ao quadrante I do plano cartesiano quando x O e y 0 ao quadrante II quando x O e y 0 ao quadrante III quando j c 0 e 0 e a o qua drante IV quando x O e y 0 92 Précálculo EXERCÍCIOS Nos exercícios l a 6 determine quais são funções polinomiais Para aquelas que são identifique o grau e o coeficiente principal Para as que não são justifique lfx 3x5l7 2 f x 9 2x 3fx 2xsx 9 4 fx 13 5 hx 21x3 8x6 6 kx 4x 5x2 Nos exercícios 7 a 12 escreva uma equação para a função do primeiro grau satisfazendo as condições dadas Represente as funções graficamente 75 l e 2 4 8 3 5 e 6 2 94 6 e l 2 10l 2 e 5 7 124 O e O 2 Nos exercícios 13 a 18 associe um gráfico a uma função Explique sobre a sua escolha 13W 2x 4 l2 3 14 f x 3x 22 7 15U 4 3í l2 16 x 12 2x l2 17W 2x l2 3 18 f x 12 2x l2 e Nos exercícios 19 a 22 descreva como transformar o gráfico de f x x2 no gráfico das funções dadas Faça o esboço de cada gráfico 19 gx x 32 2 20 hx x2 l 4 21 gjt jc 22 3 22 hx 3x2 2 Nos exercícios 23 a 26 encontre o vértice e o eixo de simetria do gráfico de cada função 23 f x 3x l2 5 24 gx 3x 22 l 25 x 5jc l2 7 26 gjc 2x V32 4 Nos exercícios 27 a 32 encontre o vértice e o eixo de simetria do gráfico de cada função Reescreva a função na forma canónica 27 f x 3x2 5x4 28 W 22 lx3 29 f x 8jc x2 3 30 f x 6 2x H 4x2 31 gx 5x2 4 6x 32 A x 22 Ix 4 Nos exercícios 33 a 38 use o recurso de completar o quadrado de uma expressão algébrica para descrever o gráfico de cada função Prove suas respostas grafi camente 33 z x2 4x 6 34 gx x2 6x 12 35 f x W 6xx2 36 hx 8 2x 2 37 f x 2x2 6x 7 38 gx 5x2 25x 12 Nos exercícios 39 a 42 escreva uma equação para cada parábola usando o fato de um dos pontos do gráfico ser o vértice 40 0 51i 2 7 5 5 por 15 15 V 13 5 5 por 15 15 5 5 por 15 15 CAPÍTULO 8 Funções do primeiro e segundo graus 93 Nos exercícios 43 e 44 escreva uma equação para a função do segundo grau cujo gráfico contém o vértice e o ponto dados 43 Vértice l 3 e ponto O 5 44 Vértice 2 5 e ponto 4 27 45 Uma pequena empresa fabrica bonecas e semanal mente possui um custo fixo de R 35000 Se o custo para o material é de R 470 por boneca e seu custo total na semana é uma média de R 50000 quantas bonecas essa pequena empresa produz por semana 46 Entre todos os retângulos cujos perímetros são iguais a 100 metros encontre as dimensões do que tem a área máxima 47 O preço p por unidade de um produto quando x unidades em milhares são produzidas é mode lado pela função preço p 12 0025 A receita em milhões de reais é o produto do preço por unidade pela quantidade em milhares vendida Isto é receita xp x 12 0025x a Represente graficamente a receita para uma produção de O a 100000 unidades b Quantas unidades deveriam ser produzidas se a receita total é de R 100000000 48 Uma imobiliária possui 1600 unidades de imó veis para alugar das quais 800 estão alugadas por R 30000 por mês Uma pesquisa de mercado indica que para cada diminuição de R 500 no valor do aluguel mensal isso resulta em 20 novos contratos a Encontre a função receita que modela o total arrecadado onde t é o número de descontos de R 500 no aluguel mensal b Represente graficamente a receita para va lores de aluguel entre R 17500 e RS 30000 isto é para O x á 25 que mostra um máximo para a receita c Qual valor de aluguel permite que a imobi liária tenha receita mensal máxima Nos exercícios 49 e 50 complete a análise para cada função dada 49 Analisando uma função Complete A função f x x chamada função identidade Domínio Imagem Continuidade Comportamento crescentedecrescente Simetria Limite Extremo local Assíntotas horizontais Assíntotas verticais Cpmportamento nos extremos do domínio 50 Analisando uma função Complete A função do segundo graut x2 Domínio Imagem Continuidade Comportamento crescentedecrescente Simetria Limite Extremo local Assíntotas horizontais Assíntotas verticais Comportamento nos extremos do domínio 51 Verdadeiro ou falso O valor inicial de 3X2 2x 3 é 0 Justifique sua resposta 52 Verdadeiro ou falso O gráfico da funçãoz x2 x l não tem raiz isto é não passa pelo eixo horizontal x Justifique sua resposta Nos exercícios 53 e 54 considere f x mx b 2 3e4 l 53 Múltipla escolha Qual é o valor de ml a 3 b3 cl d 13 e13 54 Múltipla escolha Qual é o valor de è a 4 b 113 c 73 d l e13 Nos exercícios 55 e 56 sejajt 2x 32 5 55 Múltipla escolha Qual é o eixo de simetria do gráfico de ax 3 bjc3 cy5 d y 5 e 0 56 Múltipla escolha Qual é o vértice de a00 b35 94 Précálculo 57 Identifique gráficos de funções do primeiro grau a Quais das representações gráficas de retas são gráficos de funções do primeiro grau Justifique sua resposta b Quais das representações gráficas de retas são gráficos de funções Justifique sua resposta c Quais das representações gráficas de retas não são gráficos de funções Justifique sua resposta ii i iii 3 iv 58 SejaW x2 gx 3x 2 hx lx3 kx mx b e lx x3 a Calcule a taxa média de variação de de x l ax 3 b Calcule a taxa média de variação de de x 2 a x 5 c Calcule a taxa média de variação dede x a ãx c d Calcule a taxa média de variação de g de x l a x 3 e Calcule a taxa média de variação de g de x l a x 4 f Calcule a taxa média de variação de g de x a a x c g Calcule a taxa média de variação de h de x a a x c h Calcule a taxa média de variação de k de x a a x c i Calcule a taxa média de variação de de x a a x c 59 Suponha que b2 4ac O para a equação ax2 bx c 0 a Mostre que a soma das duas soluções desta equação é ba b Mostre que o produto das duas soluções desta equação é ca 60 Prove que o eixo de simetria do gráfico det x ax b é x a b2 onde a e b são números reais 61 Identifique o vértice do gráfico de f x x a x b é x a b2 onde a e b são quaisquer números reais 62 Prove que se Xi e x2 são números reais e são as raízes da função do segundo grau dada por f x ax2 bx c então o eixo de simetria do gráfico deé x x x22 Capítulo 9 Funções potência Objetivos de aprendizagem Definição Funções monomiais e seus gráficos Gráficos de funções potência Aã funções potência podem des crever as relações proporcionais existentes por exemplo na geo metria química e física Definição Funções potência formam uma importante família de funções pela sua própria estrutura além de fazerem parte de outras funções DEFINIÇÃO Função potência Qualquer função que pode ser escrita na forma f x kxa onde k e a são constantes diferentes de zero é uma função potência A constante a é a potência ou o expoente ekéa constante de variação ou constante de proporção Nós dizemos que f x varia como a aésima potência de x ou que x é propor cional à aésima potência de x Em geral se y f x varia como uma potência constante de x então y é uma função potência de x Muitas das fórmulas mais comuns de geometria e ciência são funções potência Nome Comprimento da circunferência Área de um círculo Força da gravidade Lei de Boyle Fórmula C 2nr A 77T2 F kJd2 VkP Potência ou expoente 1 2 2 1 Constante de variação ITT ir k k Estes quatro modelos de funções potência envolvem relações que podem ser expressas na lin guagem de variação e proporção O comprimento da circunferência varia diretamente com o seu raio A área dentro de um circulo é diretamente proporcional ao quadrado do seu raio A força de gravidade agindo sobre um objeto é inversamente proporcional ao quadrado da distân cia do objeto ao centro da Terra A lei de Boyle afirma que o volume de um gás armazenado em uma temperatura constante varia inversamente com relação à pressão aplicada As fórmulas de função potência com potências positivas expoentes positivos são exemplos de variação direta e fórmulas de função potência com potências negativas expoentes negativos são exemplos de variação inversa A menos que a palavra inversamente esteja incluída em um exem plo de variação ela é assumida como direta como no caso que veremos a seguir 96 Précálculo EXEMPLO 1 Análise de funções potência Verifique a potência ou o expoente e a constante de variação para cada função representea gra ficamente e analisea a f x b gx SOLUÇÃO a Comor v x x1 l x1 então seu expoente é 13 e sua constante de variação é 1 O gráfico de fé demonstrado na Figura 9 l a Domínio conjunto de todos os números reais Imagem conjunto de todos os números reais É contínua É crescente para todo x É simétrica com relação à origem uma função ímpar Não é limitada nem superior nem inferiormente Não tem extremo local Não tem assíntotas Comportamento nos extremos do domínio lim 3x e lim 3x AO x Fato interessante a função raiz cúbica f x x é a inversa da função cúbica b Como gx lx2 x l x2 então seu expoente é 2 e sua constante de variação é 1 O gráfico de g é demonstrado na Figura 91b Domínio 0 U 0 Imagem 0 É contínua sobre seu domínio É descontínua em x O É crescente sobre 0 É decrescente sobre 0 É simétrica com relação ao eixo y uma função par É limitada inferior mas não superiormente Não tem extremo local Assíntota horizontal y 0 Assíntota vertical x O Comportamento nos extremos do domínio lim lx2 O e lim lx2 O X oo x Fato interessante gx lx2 é a base das leis científicas com inverso de um quadrado como é o princípio gravitacional com quadrado inverso dado por F kd2 mencionado anteriormente Assim g x lx2 é chamada às vezes de função do quadrado inverso mas não é a inversa da função quadrática e sim sua inversa multiplicativa i i i i i i 47 47 por 31 31 a 47 47 por 31 31 b Figura 91 Os gráficos de a f x x xin e b g x íx2 x2 CAPÍTULO 9 Funções potência 97 Funções monomiais e seus gráficos Uma função polinomial de um termo é uma função potência que é também chamada de uma função monomial DEFINIÇÃO Função monomial Qualquer função que pode ser escrita como f x k ou f x k x onde k é uma constante ene um inteiro positivo é uma função monomial Assim a função zero e as funções constantes são funções monomiais mas a função monomial mais típica é uma função potência com um expoente inteiro positivo o qual é o grau do monómio As funções básicas x x2 e 3 são funções monomiais típicas É importante entender os gráficos das funções monomiais porque toda função polinomial é uma função monomial ou uma soma de fun ções monomiais Vamos analisar a fundão cúbica f x x3 x e IR Domínio conjunto de todos os números reais Imagem conjunto de todos os números reais É contínua É crescente para todo x É simétrica com relação à origerfi uma função ímpar Não é limitada nem superior nem inferiormente Não tem extremo local Não tem assíntotas nem horizontais nem verticais Comportamento nos extremos do domínio Hm x3 e lim x3 47 47 por 31 31 Figura 92 O gráfico de f x x3 EXEMPLO 2 Representação gráfica de funções monomiais Descreva como obter o gráfico de cada função dada do gráfico de gx x observe que o valor do expoente é mantido Você pode esboçar o gráfico e conferir com uma calculadora apropriada a f x 2x bjc4 SOLUÇÃO a Obtemos o gráfico dejc 2x3 esticando verticalmente o gráfico de gx x3 por meio da multiplicação pelo fator 2 Ambas são funções ímpares Veja a Figura 93a 98 Précálculo b Obtemos o gráfico deW 23x4 encolhendo verticalmente o gráfico de gx x4 por meio da multiplicação pelo fator 23 e então refletindo com relação ao eixo x devido ao sinal negativo Ambas são funções pares Veja a Figura 93b VK f N 2 2 por 16 16 b 2 2 por 16 16 a Figura 93 Os gráficos de aA 2x3 com função monomial básica gx x3 e bjc 23x4 com função monomial básica gx x4 Gráficos de funções potência Os gráficos na Figura 94 representam as quatro formas que são possíveis para funções potên cia em geral tais como f x k x para x 0 O gráfico desempre contém o ponto l k As funções que apresentam expoentes positivos também passam pelo ponto O 0 Aquelas com expoentes negativos são assintóticas para os dois eixos isto é não cruzam nenhum deles Quando k O temos o gráfico no primeiro quadrante mas quando k O o gráfico está no quarto quadrante Em geral para qualquer função potência f x k xa uma das três situações seguintes ocor re quando x 0 fé indefinida para x O como no caso parar xia e f x x fé uma função par assim é simétrica com relação ao eixo vertical 3 como no caso para f x x2 eW x2 fé uma função ímpar assimé simétrica com relação à origem como no caso parac xl e f x xj3 0a l a l b Figura 94 Os gráficos de f x k x para x 0 a k O b k 0 O próximo exemplo ilustra o processo em dois passos para a representação gráfica da função potência CAPÍTULO 9 Funções potência 99 EXEMPLOS Representação gráfica de funções potências da forma r k Xa Encontre os valores das constantes k e a Descreva a parte da curva que está no primeiro ou no quarto quadrante Determine se é par ímpar ou indefinida para x 0 Descreva o restante da curva nos demais quadrantes Esboce o gráfico para verificar a descrição a f x 2x3 b f x 04x15 c f x x04 SOLUÇÃO a Como k 2 é positivo e a 3 é negativo então o gráfico passa pelo par ordenado l 2 e é assintótico em ambos os eixos O gráfico é de uma função decrescente no primeiro quadrante A função fé ímpar porque 2 2 ç i w 3 3 j t o gráfico é simétrico com relação à origem O gráfico na Figura 95a nos orienta sobre todos os aspectos dessa descrição b Como k 04 é negativo e a 15 l então ográfico contém o par ordenado O 0 e passa pelo par ordenado 1 04 O gráfico é de uma função decrescente no quarto quadrante A funçãonão está definida para x O porque f x 04x15 x32 e a função raiz quadrada não está definida para x 0 Assim o gráfico denão tem pontos no segundo e terceiro quadrantes O gráfico na Figura 95b nos orienta sobre todos os aspectos dessa descrição c Como k l é negativo e O a l então o gráfico contém o par ordenado O 0 e passa pelo par ordenado l 1 O gráfico é de uma função decrescente no quarto quadrante A fun çãoé par porque fx x04 25 í2 Vx2 x2 x4fx Assim o gráfico deé simétrico com relação ao eixo vertical y O gráfico na Figura 95c con firma a descrição 47 47 por 31 31 a 47 47 por 31 31 b 47 47 por 31 31 c Figura 95 Os gráficos de a f x 2x3 b f x 04x15 e c f x x r04 100 Précálculo Vamos analisar a função raiz quadrada f x Vx x 3 O Domínio O Imagem O É contínua sobre O É crescente sobre O Não apresenta simetria Limitada inferiormente mas não superiormente Mínimo local em x O Não tem assíntotas nem horizontais nem verticais Comportamento nos extremos do domínio lim x M7 47 por 31 31 Figura 96 O gráfico de f x V REVISÃO RÁPIDA Nos exercícios l a 6 escreva as seguintes expressões usando somente expoentes inteiros positivos lxm 2 p52 3 d2 4 JT7 5 q45 6 m15 Nos exercícios 7 a 10 escreva as seguintes expressões na forma k x usando um único número racional para o expoente a 93 10 4x EXERCÍCIOS Nos exercícios l a 10 determine se a função é uma função potência dado que c g k e 77 representam constantes Para aquelas que são funções potência verifique o expoente e a constante de variação J 2 l f x x5 3 f x 3 V 5 Em me2 2 f x 9x53 4 f x 13 6 KEv y kv5 O l irrr 9 TJ 10 Fa m a Nos exercícios 11 a 16 determine se a função é dada por um monómio dado que e TT representam cons tantes Para aquelas que são funções monomiais veri fique o grau e o coeficiente principal Para aquelas que não são justifique llOc 4 12 f x 35 13 y 6x7 14 y 2 5 15 S 477T2 16 A Iw Nos exercícios 17a 22 escreva os problemas como uma equação com função potência Utilize k como a constante de variação se nenhuma é dada 17 A área A de um triângulo equilátero varia direta mente com o quadrado do comprimento í dos seus lados 18 O volume V de um cilindro circular com peso fixado é proporcional ao quadrado do seu raio r 19 A corrente em um circuito elétrico é inversamen te proporcional à resistência R com constante de variação V 20 A lei de Charles conhecida como lei de Gay Lussac diz que o volume V de um gás ideal à pressão constante varia diretamente com a tem peratura absoluta T 21 A energia E produzida em uma reação nuclear é proporcional à massa m com a constante de varia ção sendo c2 o quadrado da velocidade da luz 22 A velocidade p de um objeto em queda livre que foi lançado varia com a raiz quadrada da distân cia percorrida d com a constante de variação k Nos exercícios 23 a 25 escreva uma sentença que expresse o que ocorre na fórmula usando a lingua gem de variação ou proporção 23 w mg onde w e m são o peso e a massa de um objeto respectivamente g é a constante de acele ração devido à gravidade CAPÍTULO 9 Funções potência 101 24 C irD onde C e D representam o comprimen to e o diâmetro de um círculo respectivamente e TT é a constante 25 d p22g onde d é a distância percorrida de um objeto lançado em queda livre p é a velocidade do objeto e g é a constante de aceleração devido à gravidade Nos exercícios 26 a 29 verifique a potência e a cons tante de variação para a função esbocea graficamen te e faça uma análise completa 26U 2x4 27 f x 3x3 28x 29 f x 2x3 Nos exercícios 30 a 35 descreva como obter o gráfi co da função monomial dada do gráfico de g x x com o mesmo expoeate n Verifique se a função é par ou ímpar Esboce o gráfico e caso queira verifique o com uma calculadora adequada 30t4 32U 15x5 31 f x 53 33 f x 2x6 l 35 S t s Nos exercícios 36 a 41 associe cada função a uma das curvas no gráfico 37 f x x5 39 f x x53 41 f x 11 xm Nos exercícios 42 a 47 verifique os valores das cons tantes k e a para a função f x k x Descreva a parte da curva que pertence ao primeiro e ao quarto quadrantes Determine se fé par ímpar ou indefinida para x 0 Descreva a parte restante da curva Esbo ce graficamente a função para verificar os itens da descrição 42U 314 43 f x 4x2a 44 46 243 l 45 f x x 47 f x Nos exercícios 48 e 49 os valores são dados para y como uma função potência de x Escreva uma equa ção potência e verifique seu expoente e a constante de variação 48 x 1 4 6 8 10 y 2 05 0222 0125 008 49 x 16 25 2 4 6 í 50 Se n é um número inteiro n s l prove que f x x é uma função ímpar se n é ímpar e é uma função par se n é par 51 Verdadeiro ou falso A função f x x2n é par Justifique sua resposta 52 Verdadeiro ou falso O gráfico da função f x c13 é simétrica com relação ao eixo ver tical y Justifique sua resposta Nos exercícios 53 a 56 resolva o problema sem usar calculadora 53 Múltipla escolha Sejajc 1xm Qual é o valor de4 a l bl c2V2 d l 2V2 e 4 54 Múltipla escolha Seja f x 3jT13 Qual das alternativas é verdadeira aO O bl 3 cl l d 3 3 e O é indefinido 55 Múltipla escolha Seja f x xm Qual das alternativas é verdadeira a fé uma função ímpar b fé uma função par c não é uma função par nem uma função ímpar d O gráfico de é simétrico com relação ao eixo horizontal x e O gráfico de fé simétrico com relação à origem 102 Précálculo 56 Múltipla escolha Qual dos seguintes conjun tos é o domínio da função f x 32 a Conjunto de todos os números reais b O oo c 0 oo do Q eoo0U 0 57 Prove que gx lf x é par se e somente se f x for par e que gx lf x é ímpar se e somente se f x for ímpar 58 Use os resultados do exercício anterior para pro var que gx x é par se e somente se f x x for par e que gx xa é ímpar se e somente sejt xa for ímpar Capítulo 10 Funções polinomiais Objetivos de aprendizagem Gráficos de funções polinomiais Comportamento dasfunções polinomiais nos entremos do domínio Raízes das funções polinomiais Divisão longa e o algoritmo da divisão Teorema do resto e Teorema de DAlembert Divisão de polinómios pelo método de Briot Rufam Teorema das raízes racionais Limites superior e inferior das raízes de uma função polinomial Esses tópicos são importantes quando fazemos modelagem de problemas e podem ser usados para melhorar as aproximações de funções mais complicadas Gráficos de funções polinomiais Já vimos que uma função polinomial de grau zero é uma função constante e o gráfico é uma reta horizontal paralela ao eixo x Uma função polinomial de grau l é uma função do primeiro grau seu gráfico é uma reta inclinada Uma função polinomial de grau 2 é uma função do segun do grau seu gráfico é uma parábola Vamos considerar agora funções polinomiais de graus mais altos Estas incluem as funções cúbicas polinomiais de grau 3 e funções quárticas polinomiais de grau 4 Já vimos que uma função polinomial de grau n pode ser escri ta na forma f x a an xn a2x2 ax a0 com a O Eis algumas definições importantes associadas às fun ções polinomiais e a essa equação DEFINIÇÃO O vocabulário dos polinómios Cada monómio na soma an xn 1 a0 é um termo do polinómio Uma função polinomial escrita nesta forma com termos apresentando graus decrescentes está escrita na formapadrão As constantes a0 são os coeficientes do polinómio O termo aín é o termo principal e a0 é o termo constante No Exemplo l veremos que o termo constante a0 de uma função polinomial p é tanto o valor inicial da função p0 como o valor por onde o gráfico corta o eixo vertical y este último também é chamado de intercepto EXEMPLO 1 Transformações ao gráfico das funções monomiais Descreva como transformar o gráfico de uma função monomialx ac em um gráfico da fun ção dada Esboce o gráfico transformado e verifique a resposta se possível em calculadora com esse recurso Calcule a localização do intercepto valor por onde o gráfico passa no eixo vertical y até mesmo como forma de conferir o gráfico transformado 104 Précálculo a gx 4x l3 b hx x 24 5 SOLUÇÃO a Você pode obter o gráfico de gx 4x l 3 apenas transladando o gráfico de f x 4x3 uma unidade para a esquerda como mostrado na Figura 101a O intercepto do gráfico de g é gQ 40 l3 que coincide com o valor observado no gráfico transformado b Você pode obter o gráfico de hx x 24 5 apenas transladando o gráfico de fx x4 duas unidades para a direita e cinco unidades para cima como mostrado na Figura 101b O intercepto do gráfico de h é h0 O 24 5 16 5 11 que coincide com o valor observado no gráfico transformado Figura 101 a Os gráficos de g x 4x l3 e f x 4x3 b Os gráficos de h x x 24 5 e f x x4 O Exemplo 2 mostra o que pode acontecer quando funções monomiais são combinadas para obter funções polinomiais Os polinómios resultantes não são meras translações de funções mono miais EXEMPLO 2 Combinações de gráficos de funções monomiais Represente graficamente a função polinomial localize seus extremos e raízes e explique como está relacionada com as funções monomiais utilizadas para a sua construção a f x x3x b gx xx SOLUÇÃO a O gráfico de f x y x é demonstrado na Figura 102a A função fé crescente sobre 0 e não possui extremos nem valor máximo nem valor mínimo A função fatorada é f x xx2 1 e possui raiz em x 0 A fornia geral do gráfico é muito parecida com o gráfico de seu termo principal que é x3 mas próxima da origem a funçãose comporta como o outro termo dado por x como vemos na Figura 102b A funçãoé ímpar assim como cada parcela isto é cada monómio CAPÍTULO 10 Funções polinomiais 105 47 47 por 31 31 a 47 47 por 31 31 b Figura 102 O gráfico de f x x3 x a sozinha e b com a função y x b O gráfico de gx x x é demonstrado na Figura 103a A função g tem um máximo local dado por 038 quando x 058 e um mínimo local dado por 038 quando x 058 A função fatorada é gx xx lx 1 e tem raízes em lx 0ex 1 A forma geral do gráfico é muito parecida com o gráfico do seu termo principal que é x3 mas próxima da origem a função g se comporta como o outro termo dado por x como vemos na Figura 103b A função g é ímpar assim como cada parcela isto é cada monómio 47 por 31 31 a 47 47 por 31 31 b Figura 103 O gráfico de gx x3 x a sozinha e b com a função y x Toda função polinomial está definida e é contínua para todos os números reais Além de os grá ficos serem sem quebra pulo nem buraco eles também não têm bicos Gráficos típicos de fun ções cúbicas e quárticas são demonstrados nas Figuras 104 e 105 a 30 a b Figura 104 Gráficos de quatro funções cúbicas típicas a dois com coeficiente principal posi tivo e b dois com coeficiente principal negativo 106 Précálculo a b Figura 105 Gráficos de quatro funções quárticas típicas a dois com coeficiente principal positivo e b dois com coeficiente principal negativo Imagine retas horizontais passando através dos gráficos nas Figuras 104 e 105 como se fos sem o eixo horizontal x Cada intersecção corresponde a uma raiz da função Podemos concluir que funções cúbicas têm no máximo três raízes e as funções quárticas têm no máximo quatro raízes As funções cúbicas apresentam no máximo dois extremos locais e funções quárticas três extre mos locais Estas observações generalizam o resultado TEOREMA Extremos locais e raízes de funções polinomiais Uma função polinomial de grau n têm no máximo n l extremos locais e no máximo n raízes Comportamento das funções polinomiais nos extremos do domínio Uma característica importante das funções polinomiais é o seu comportamento nos extremos do domínio Esse comportamento está intimamente relacionado com o comportamento do termo prin cipal Analisaremos isso no Exemplo 3 EXEMPLO 3 Comparação dos gráficos de um polinómio tfo seu termo principal SÍAÍ Vamos comparar os gráficos das funções f x x3 4x2 5x 3 e g x x3 que estão no i mesmo plano cartesiano porém em escalas diferentes Podemos observálos a seguir L l 7 por 25 25 a 14 14 por 200 200 b 56 56 por 12800 12800 c Figura 106 Gráficos das funções f x x3 4X2 5x 3e gx x3 que estão no mesmo plano cartesiano e em escalas diferentes CAPÍTULO 10 Funções polinomiais 107 SOLUÇÃO A Figura 106 mostra os gráficos das funções citadas em dimensões cada vez maiores Percebemos que os gráficos vão ficando cada vez mais parecidos Logo as conclusões são lim f x lim gx e lim f x lim gx Esse Exemplo 3 mostra algo verdadeiro para todos os polinómios em escalas suficientemente grandes o gráfico de um polinómio e o gráfico do seu termo principal parecem ser idênticos Isto significa que o termo principal domina o comportamento do polinómio quando x o Baseados nesse fato existem quatro padrões possíveis nos extremos do domínio de uma função polinomial O expoente e o coeficiente do termo principal nos indicam qual padrão ocorre Teste do termo principal para comportamento das funções polinomiais nos extremos do domínio Para qualquer função polinomial f x anx an1jc1 lim f x e lim f x são determinados pelo grau n do polinómio e seu coeficiente principal On ax a0 os limites 1 1 1 f 1 v lim W 00 í 1 1 1 i 1 1 1 l l 1 1 1 v i limftx 00 lim x 00 t f i f i i i x an n ímpar k imfx 00 l I I I x 1 1 1 1 1 an par t lim W oo v 1 1 1 1 x ímpar oo f A par EKEMPLO 4 Análise das funções polinomiais nos extremos do domínio Descreva o comportamento das funções polinomiais nos extremos do domínio a f x x3 2x2llx 12 b gx 2x4 2x3 22x2 18 35 108 Précálculo 5 5 por 25 25 5 5 por 50 50 a b Figura 107 a fx x3 2x2 Ux 12 e b gx 2x4 2x3 22x2 lc 35 SOLUÇÃO a O gráfico de f x x3 2x2 l Ix 12 é demonstrado na Figura 107a A função tem dois extremos locais e três raízes que é o número máximo possível para esse polinómio Os limites são lim f x lim x3 e lim f x lim x3 X 00 X 00 X oo x oo b O gráfico de g x 2x4 2x3 22x2 18 35 é demonstrado na Figura 107b A fun ção g tem três extremos locais e quatro raízes que é o número máximo possível para esse poli nómio Os limites são lim g x lim 2x4 00 e lim g x lim 2x4 Raízes das funções polinomiais Sabemos que encontrar as raízes de uma funçãoé equivalente a encontrar os valores de x por onde o gráfico de y f x passa no eixo horizontal x que são as soluções da equação f x 0 Uma ideia é fatorar a função polinomial como veremos a seguir EXEMPLOS Raízes de uma função polinomial Encontre as raízes da função f x x3 x2 6x l SOLUÇÃO Solução algébrica Resolvemos a equaçãoc O fatorando x3x26x 0 xx2 x 6 O xx 3x 2 O jc 0 o u x 3 0 o u t 2 0 x O ou x 3 ou x 2 As raízes desão O 3 e 2 Solução gráfica Você pode usar uma calculadora com esse recurso ou esboçar manualmente Confira na Figura 108 CAPÍTULO 10 Funções polinomiais 109 5 5 por 15 15 Figura 108 O gráfico de y x7 x1 6x Do Exemplo 5 vemos que se uma função polinomial f é apresentada na forma fatorada cada fator x k corresponde a uma raiz x k e se k é um número real então o par ordenado k 0 é um ponto por onde o gráfico passa no eixo horizontal x Quando o fator é repetidç como na função f x x 23x l2 dizemos que a função poli nomial tem uma raiz repetida A função tem duas raízes repetidas Pelo fato de o fator x 2 ocor rer três vezes então 2 é uma raiz de multiplicidade 3 De maneira similar l é uma raiz de multi plicidade 2 A definição seguinte generaliza esse conceito DEFINIÇÃO Multiplicidade de urna raiz de uma função polinomial Seé uma função polinomial e x cm é um fator de mas x cml não é então c é uma raiz de multiplicidade m de Uma raiz de multiplicidade m 2 é uma raiz repetida Observe na Figura 109 que o gráfico de f x x 23c l2 encosta no eixo horizontal x no par ordenado l 0 e cruza o mesmo eixo no par ordenado 2 0 Isto também pode ser generalizado 4 4 por 10 10 Figura 109 O gráfico de f x x 2x l2 Raízes de multiplicidade ímpar e par Se uma função polinomial tem uma raiz real c de multiplicidade ímpar então o gráfico de cruza o eixo horizontal x em c 0 e o valor de muda de sinal em x c Se uma função polinomial tem uma raiz real c de multiplicidade par então o gráfico denão cruza o eixo horizontal x em c O e o valor de não muda de sinal em x c 110 Précálculo No Exemplo 5 nenhuma das raízes é repetida Em virtude disso cada raiz tem multiplicidade l que é ímpar o gráfico da função polinomial cruza o eixo horizontal x e tem mudança de sinal em todas as raízes Figura 108 Saber onde o gráfico cruza e onde ele não cruza o eixo horizontal x é importante no momento de esboçar gráficos e resolver inequações EXEMPLO 6 Esboço do gráfico de um polinómio fatorado Verifique o grau e relacione as raízes da função f x x 23x l2 Verifique a multiplicidade l de cada raiz e se o gráfico cruza o eixo horizontal x na raiz analisada Esboce o gráfico da função í SOLUÇÃO f O grau deé 5 e as raízes sãoc 2 e x l O gráfico cruza o eixo x em x 2 pois a multipli I cidade é 3 que é ímpar O gráfico não cruza o eixo x em x l pois a multiplicidade é 2 que é l par Observe que os valores de são positivos para x l como também para 2 x 1 agora j para x 2 os valores de são negativos Você pode conferir o esboço do gráfico na Figura 1010 5432J 4 6 10 1 2 3 4 5 Figura 1010 O gráfico de f x x 2x l2 O Teorema do valor intermediário nos diz que a mudança de sinal da função implica a existência de raiz real dessa função TEOREMA Teorema do valor intermediário Se a e b são números reais com a b e se fé contínua no intervalo a b entãoassume todos os valores reais entre f a efb Em outras palavras se y0 está entrea e então y0 f c para algum número c em a b Em particular se f a e f b têm sinais opostos isto é um é positivo e o outro é negativo então c O para algum número c em a b Veja a Figura 1011 CAPÍTULO 10 Funções polinomiais 111 Figura 1011 Se fa O fb então existe uma raiz x c entre a e b EXEMPLO 7 Uso do Teorema do valor intermediário Explique por que uma função polinomial de grau ímpar tem ao menos uma raiz real SOLUÇÃO Seja uma função polinomial de grau ímpar Como o grau é ímpar o teste do termo principal nos diz que lim f x lim f x Assim existem números reais a e b com a b e tais que fa e Xoo X f b têm sinais opostos Pelo fato de toda função polinomial ser definida e contínua para todos os números reais fé contínua também no intervalo a b Portanto pelo Teorema do valor interme diário c O para algum número c em a b e assim c é uma raiz real de Divisão longa e o algoritmo da divisão Ao fatorar um polinómio descobrimos suas raízes e características da representação gráfica Veremos uma maneira de fatorar polinómio utilizando a divisão de polinómios bastante semelhan te à divisão de números inteiros Observe os exemplos a seguir 3587 j 32 387 32 67 64 3 32 112 lx2 3x 2 3X3 5x2 3X5 2x2 3x2 f SÁ 7 8 7 2x 3x 2 x2 x 2 6x4 A divisão seja de um número inteiro ou de um polinómio envolve um dividendo dividido por um divisor para obter um quociente e um resto Podemos verificar e resumir nosso resultado com uma equação da forma Divisor Quociente Resto Dividendo Das divisões longas expostas são verdades 32 112 3 3587 3c 2x2 x 2 3 3x3 5x2 8x 7 Vejamos o algoritmo da divisão 112 Précálculo Algoritmo da divisão para polinómios Sejam f x e dx polinómios com o grau demaior ou igual ao grau de d com dx 0 Existem os únicos polinómios qx e rx os quais chamados de quociente e resto tais que f x dx qx rx onde ou rx O ou o grau de r é menor que o grau de d A função f x no algoritmo da divisão é o dividendo e dx é o divisor Se rx O então dizemos que dx divide exatamentez A equação dada no algoritmo da divisão pode ser escrita na forma defração como dx w dx pois dx qx rx fx EXEMPLO 8 Uso da divisão longa com polinómios Use a divisão longa para encontrar o quociente e o resto quando 2X4 jc3 2 é dividido por l 2x2 x l Escreva com a notação do algoritmo da divisão e na forma de fração l SOLUÇÃO l Vamos considerar 2x4 x3 2 como 2x4 jc3 Ox2 Ox 2 2x4 x3 Ox2 Ox2 2x 3 x2 2x3 x2 Ox2 x2 x 2xz x l O algoritmo da divisão produz a forma polinomial 2x4 x3 2 2x2 x x2 x x 2 Na forma de fração temos 2x4 x3 2 2 x2 2X2 f x i x x 2x2 x l Teorema do resto e Teorema de DAlembert Um importante caso especial do algoritmo da divisão ocorre quando o divisor é da forma dx x k onde k é um número real Pelo fato de o grau de dx x k ser l o resto é um número real Assim obtemos o resumo simplificado do algoritmo da divisão f x r Veja que se colocarmos k no lugar de x então f k k k qk r 0qk r 0 onde r é o resto CAPÍTULO 10 Funções polinomiais 113 TEOREMA Teorema do resto Se um polinómio f x é dividido por x k então o resto é r f k EXEMPLO 9 Uso do Teorema do resto Encontre o resto quando f x 3x2 l x 20 é dividido por a x 2 b x l c x 4 SOLUÇÃO a Podemos encontrar o resto sem usar a divisão longa mas sim o Teorema do resto com k 2 r 2 3 22 7 2 20 12 14 20 6 b r 3 12 7 120 3 7 20 24 c r 4 3 42 7 4 20 48 28 20 O INTERPRETAÇÃO DO CASO QUANDO O RESTO É ZERO Como em c o resto é O x 4 divide f x 3x2 l x 20 Dessa forma x 4 é um fator de x 3x2 l x 20 4 é uma solução de 3x2 l x 20 O e 4 é um valor do eixo hori zontal x por onde o gráfico de y 3x2 Ix 20 passa Podemos chegar a essa conclusão sem dividir fatorar ou esboçar o gráfico TEOREMA Teorema de DAlembert Uma função polinomial f x tem um fator x k se e somente se f k O é o mesmo que a divi são de f x por x k é exata se e somente se f k 0 Aplicando as ideias do Teorema de DAlembert no Exemplo 9 podemos fatorar f x 3x2 Ix 20 dividindo pelo fator x 4 Ix2 Ix 3xr 12x 5x 5 20 20 20 x 4 ov c Assim f x 3x2 Ix 20 x 43x 5 Resultados para funções polinomiais Para uma função polinomiale um número real k as afirmações são equivalentes 1 x k é uma solução da equação f x 0 2 k é uma raiz da função 3 k é um valor por onde o gráfico passa no eixo horizontal x 4 x k é um fator dejr 114 Précálculo Divisão de polinómios pelo método de Briot Ruffini Continuamos com o importante caso especial de divisão de polinómio com o divisor x k O Teorema do resto nos dá uma maneira de encontrar o resto sem a técnica da divisão longa Este méto do mais curto para a divisão de um polinómio pelo divisor x k é chamado método de Briot Ruffini Divisão longa Ir5 Sjt2 5x 12 Zx3 6X2 3JE2 5x 12 3z2 9x 4x 12 4x 12 x3 2X2 Briot Ruffini O esquema inicial é coeficientes do polinómio Repetimos o coeficientedo termo de maior grau embaixo dele mesmo Multiplicamos esse número pelo k e somamos com o próximo coeficiente da primeira linha o resultado fica embaixo desse próximo coeficiente Fazemos repetidamente isto até o final 2 3 5 12 O Observe que os coeficientes obtidos na segunda linha do esquema são os coeficientes da expressão do quociente obtida da divisão longa e o último algarismo na linha é o resto Logo 2jt3 3x2 5x 12 2jc2 3x 4x 3 Teorema das raízes racionais As raízes reais das funções polinomiais são raízes racionais raízes que são números racio nais ou raízes irracionais raízes que são números irracionais Por exemplo f x 4x29 2x 32x 3 tem as raízes racionais 32 e 32 Outro caso f x x22 x V2x V2 tem as raízes irracionais V2e V2 TEOREMA Teorema das raízes racionais Suponhauma função polinomial de grau w l da forma f x ac anlX OQ com todos os coeficientes como números inteiros e a0 0 Se x pq é uma raiz racional de onde p e q são primos entre si então p é um fator inteiro do termo independente a0 e q é um fator inteiro do coeficiente principal an CAPÍTULO 10 Funções polinomiais 115 EXEMPLO 10 Análise das raízes da função Encontre as raízes racionais de f x Jt3 3x2 1 SOLUÇÃO Como o coeficiente principal e o termo independente são ambos iguais a l de acordo com o Teorema das raízes racionais as raízes que pode ter são l e 1 Podemos verificar se são raízes de 13312 l l 0 13 3l2V l 30 Assim não tem raízes racionais Logo suas raízes caso existam são irracionais A Figura 1012 mostra que existem três raízes e a nossa conclusão é que elas são irracionais 47 47 por 31 31 Figura 1012 O gráfico da função f x x3 3x2 l Vimos no Exemplo 10 apenas dois valores candidatos a serem raízes racionais do polinómio Às vezes esse número é maior como veremos no Exemplo 11 EXEMPLO 11 Análise das raízes da função Encontre as raízes racionais de f x 3x3 4r2 5x 2 SOLUÇÃO Como o coeficiente principal é 3 e o termo independente é 2 pelo Teorema das raízes racionais temos vários candidatos para serem essas raízes Os candidatos são Fatoresde2 1 2 Fatoresde3 1 3 1 2 13 23 A Figura 1013 sugere entre todos os valores candidatos as raízes l 2 e possivelmente 13 l ou 23 116 Précálculo 47 47 por 10 10 Figura 1013 O gráfico da função f x 33 4x2 5x 2 Vejamos pelo método de Briot Ruffini se l é raiz de 3 4 5 2 l 7 O Como o último número na segunda linha é O então x l é um fator de f x e l e uma raiz de Pelo algoritmo da divisão e usando fatoração temos f x 3jc3 4x2 5x 2 x l3x2 Ix 2 x l3x lx 2 Assim as raízes racionais desão l 13 e 2 Limites superior e inferior das raízes de urna função polinomial Um número k é um limite superior para raízes reais de se f x nunca é zero quando x é maior que k De outra forma um número k é um limite inferior para raízes reais de se f x nunca é zero quando x é menor que k Assim se c é um limite inferior e d é um limite superior para as raízes reais de uma função então todas as raízes reais deprecisam estar no intervalo c d A Figura 1014 ilustra essa situação Figura 1014 c é um limite inferior e d é um limite superior para as raízes reais de CAPÍTULO 10 Funções polinomiais 117 Teste dos limites superior e inferior de raízes reais Seja uma função polinomial de grau n s l com um coeficiente principal positivo Suponha f x dividido por x k usando o método de Briot Ruffini Se k s O e todo número na segunda linha é não negativo positivo ou zero então k é um limi te superior para as raízes reais de Se k O e os números na segunda linha são alternadamente não negativos e não positivos então k é um limite infeTior para as raízes reais de EXEMPLO12 Verificação dos limites das raízes reais de uma função Prove que todas as raízes reais de f x 2x4 lx3 Sx2 I4x 8 pertencem ao intervalo í 2 5 l SOLUÇÃO i Precisamos provar que 5 é um limite superior e 2 é um limite inferior para as raízes reais de A função tem um coeficiente principal positivo assim podemos aplicar o Teste dos limites supe i rior e inferior de raízes reais e usar o método de Briot Ruffini 5 2 2 y 3 8 7 14 49 8 253 2 2 2 7 11 8 14 14 14 8 36 Como a segunda linha na primeira divisão consiste em todos os números não negativos então 5 é um limite superior Como a segunda linha na segunda divisão consiste em números alternando o sinal então 2 é um limite inferior Todas as raízes reais de precisam estar no intervalo fechado 2 5 Veremos a seguir quais são essas raízes EXEMPLO 13 Cálculo das raízes reais de uma função polinomial l Encontre todas as raízes reais det 2x4 7x3 8jc2 14jc 8 í SOLUÇÃO l Do Exemplo 12 sabemos que todas as raízes reais deestão no intervalo fechado 2 5 Usando o Teorema das raízes racionais temos l FatoresdeS 1 2 4 8 l 2 4 8 12 h Fatores de 2 l 2 l Podemos comparar esses valores que são candidatos com os valores do gráfico por onde a curva passa no eixo horizontal x Figura 1015 118 Précálculo 2 5 por 50 50 Figura 1015 O gráfico de f x 2x4 lx3 8x2 Í4x 8 Os valores que parecem ser raízes são 4 e 12 Aplicando o método de Briot Ruffini para 4 temos 4 2 2 7 1 8 4 14 2 8 0 Assim f x 2x4 lx3 Sx2 I4x 8 x 42x3 x2 4x 2 Vamos aplicar o método novamente para 12 12 2 2 1 0 4 4 2 0 Dessa forma f x x 42t3 x2 4x 2 x l 2x 4x x2 2 x 42x f224 x V2x V2 Assim as raízes de são os números racionais 4 e 12 e os números irracionais V2 e V2 Uma função polinomial não pode ter mais raízes reais que o seu grau mas pode ter menos Quando uma função polinomial tem menos raízes reais que seu grau o Teste dos limites superior e inferior de raízes reais nos auxilia para saber se encontramos todas elas EXEMPLO 14 Cálculo das raízes reais de tuna função polinomial Prove que todas as raízes reais det lCk5 3x2 x 6 pertencem ao intervalo O 1 SOLUÇÃO Precisamos provar que l é o limite superior e O é o limite inferior para todas as raízes reais de A função tem um coeficiente principal positivo e assim vamos usar a divisão pelo método de Briot Ruffini e o Teste dos limites superior e inferior de raízes reais CAPÍTULO 10 Funções polinomiais 119 1 10 10 0 10 0 10 3 7 1 8 6 2 0 10 10 0 0 0 0 3 3 1 6 1 6 Na primeira divisão a segunda linha tem somente números não negativos logo l é o limite supe rior das raízes Na segunda divisão a segunda linha tem números alternados positivos e negativos logo O é o limite inferior das raízes Todas as raízes reais depertencem ao intervalo fechado O 1 Pelo Teste das raízes racionais Fatoresde6 12 3 6 1 3 1 2 3 6 1 3 t 2 i 3 it 6 it it 2 2 5 5 5 5 1Q 10 FatoresdelO 1 2 5 10 Podemos comparar esses valores que são candidatos com os valores do gráfico por onde a curva passa no eixo horizontal x Figura 1016 O 1 por 8 4 Figura 1016 O gráfico de y IO5 3x2 x 6 A nossa conclusão é que não tem raízes racionais Podemos verificar também que muda de sinal sobre o intervalo 08 1 e isso mostra que existe uma raiz real nesse intervalo pelo Teorema do valor intermediário que no caso é uma raiz irracional REVISÃO RÁPIDA Nos exercícios l a 4 reescreva a expressão como um polinómio na formapadrão 1 4x2 Ix 3 x4 3x2 Ix5 2 4 5x2 6x 2x 6x4 x2 3x2 Nos exercícios 5 a 16 fatore o polinómio em fatores lineares 5 x3 4x 6 6x2 54 7 4x2 Sx 60 8 l S3 222 8 9 x3 2x2 x 2 10 x4 x3 92 9x 11 x2 x 12 12 x2 Ux 28 13 3x2 11 6 14 6x2 5x l 15 3x3 5x2 2x 16 63 222 I2x 120 Précálculo Nos exercícios 17a 20 escreva apenas a solução da equação você pode resolver sem escrever 17 xx 1 O 18 xx 2x 5 O 19 x 63 3 15 O 20 x 62x 44 53 O EXERCÍCIOS Nos exercícios l a 6 descreva como transformar o gráfico de uma função monomial x em um gráfico da função polinomial dada Você pode esbo çar o gráfico da função ou utilizar uma calculadora apropriada Verifique onde o gráfico passa no eixo vertical y o intercepto 1 g 2 33 2 gx x 53 3gx 12 x l3 2 4 gx 23 x 33 l 5 gx 2x 24 3 6 gx 3x l4 2 Nos exercícios 7 e 8 esboce o gráfico da função poli nomial e localize seus extremos locais e raízes 7 f x x4 2x 8 gx 24 5x2 Nos exercícios 9 a 12 associe a função polinomial a seu gráfico Explique a sua escolha 5 6 por 200 400 5 6 por 200 400 a b 5 6 por 200 400 c 5 6 por 200 400 d 9 f x 73 212 91 104 10U 93 21x2 54x 73 11 x5 S4 93 582 164 69 12 f x x5 3X4 163 22 95 44 Nos exercícios 13a 20 esboce o gráfico da função de modo que seja possível visualizar seus extremos e raí zes Descreva o comportamento da função nos extre mos do domínio 13 f x 1 2 3 14 2 34 1 15 3 42 31 70 16 f x 3 22 41 42 17 22l3 18 f x 2x l43 19U 2x4 53 172 14 41 20 f x S4 53 152 5 19 Nos exercícios 21a 24 descreva o comportamento da função polinomial nos extremos do domínio usando lim f x e lim f x AT 21 f x S4 52 3 22 f x x3 72 4 3 23 f x 723 34 24 3 4 32 2 7 Nos exercícios 25 a 28 associe a função polinomial a seu gráfico Dê o valor aproximado das raízes da função Use calculadora como recurso gráfico 44 por 200 200 a 4 4 por 200 200 b 2 2 por 10 50 c 4 4 por 50 50 d 25 f x 203 82 83 55 26 f x 353 1342 93 18 CAPÍTULO 10 Funções polinomiais 121 27 f x 44x4 6S3 x2 17 3 28 f x 44 83 192 23x 6 Nos exercícios 29 a 34 encontre as raízes da função algebricamente 29 f x 2 2 8 30 f x 32 44 31 9232 32 f x x3 25x 33 33 x22x 34 x 53 52 10 Nos exercícios 35 a 38 verifique o grau e as raízes da função polinomial Verifique a multiplicidade de cada raiz e se o gráfico cruza ou não o eixo x no valor analisado Você pode esboçar o gráfico da função polinomial 3532 36 f x x3x2 37 f x x 13 22 38 f x 7 32x 54 Nos exercícios 39 a 42 encontre as raízes da função algébrica ou graficamente com uma calculadora apropriada 39 f x 336 40 x3 2x2 109 110 41 W x3 7x2 49 55 4234244 96 Nos exercícios 43 a 46 encontre algebricamente uma função cúbica com as raízes dadas Você pode confe rir a função obtida esboçando o gráfico manualmente ou com uma calculadora apropriada 43 3 4 6 44 2 3 5 45 V3 Vã 4 46 l l V2 l V2 Nos exercícios 47 e 48 explique por que a função tem no mínimo uma raiz real 47 7 489 100 49 Economistas determinaram que as funções receita total e custo total referentes ao período de um ano de uma pequena empresa são dadas res pectivamente por R x 001252 412 e C x 12225 0001353 onde é o núme ro de clientes a Quantos clientes são necessários para que exista lucro na pequena empresa b Quantos clientes são necessários para que haja um lucro anual de R 6000000 50 Uma caixa sem tampa será feita apenas remo vendo um quadrado de tamanho dos cantos de uma peça de papelão com medidas 15 cm por 60 cm a Mostre que o volume da caixa é dado por V x x60 2 15 2 b Determine o valor de de modo que o volu me da caixa seja de no mínimo 450 cm3 1J 1 1 H i L i r 15 cm 1 51 Quadrados de tamanho são removidos de uma peça de papelão de 10 cm por 25 cm para obter uma caixa sem tampa Determine todos os valo res de tais que o volume da caixa resultante seja de no mínimo 175 cm3 52 A função V x 2666 2102 43 repre senta o volume de uma caixa que foi feita remo vendo quadrados de tamanho de cada canto de uma peça retangular Quais valores são possíveis para 53 Verdadeiro ou falso O gráfico de x1 x2 2 cruza o eixo horizontal entre l e 2 Justifique sua resposta 54 Verdadeiro ou falso Se o gráfico de g a2 é obtido transladando o gráfico de 2 para a direita então a precisa ser positivo Justifique sua resposta Nos exercícios 55 e 56 resolva o problema sem usar uma calculadora 55 Múltipla escolha Qual é o valor por onde o gráfico de 2 l3 5 passa no eixo vertical a 7 b 5 c 3 d 2 e l 56 Múltipla escolha Qual é a multiplicidade da raiz 2 em 22 23 37 a l b 2 c 3 d 5 e 7 122 Précálculo 57 Múltipla escolha O gráfico a seguir é de qual função a f x xx 22 x b f x xx 2x 2 c f x x2x 2x 2 d f x xx 22x 2 e f x xx 2x 22 58 Múltipla escolha O gráfico a seguir é de qual função iTN 2 a f x xx 2x 2 b xx 222 je c f x x2x 2x 2 d f x xx 2x 22 e f x x2x 2x 22 Nos exercícios 59 e 60 a mesma função é represen tada graficamente em escalas diferentes 59 Descreva por que cada representação da função f x x5 QxA 2t3 64x2 3 55 pode ser considerada inadequada 5 10 por 7500 7500 3 4 por 250 100 a b 60 Descreva por que cada representação da função f x IO4 19x3 1212 143 51 pode ser considerada inadequada 6 4 por 2000 2000 a 05 15 por 1 1 b Nos exercícios 61 a 66 divida f x por d x e escre va novamente a função como consequência do algo ritmo da divisão e também na forma de fração 61U x2 2x 3 d x x l 62U x3 l d x x l 63W 3 4x2 lx9 dx x 3 64W 4x3 82 2x dx 2 l 65W x4 2xi 3x2 4x 6 dx x2 2xl 66W x4 S3 62 3 5 dx x2l Nos exercícios 67 a 72 faça a divisão pelo método de Briot Ruffini e escreva a função na forma de fração 67 68 69 70 71 72 x3 5x2 3x 2 x l 3x x3 lx2 3x x 10 x3 4x2 9x 3 x 5 5x4 x 2 CAPÍTULO 10 Funções polinomiais 123 Nos exercícios 73 a 78 use o Teorema do resto para encontrar o valor do resto quando f x está dividido por x k 73 223 lJt 2 74 f x x4 5 k l 75 f x x3 x2 2x 1 k 3 76 f x x3 3x 4 k 2 77 f x 2x3 3x2 4xlk 2 78 f x x5 2x4 3x2 20x 3 k 1 Nos exercícios 79 a 84 use o Teorema de DAlem bert para determinar se o primeiro polinómio é um fator do segundo polinómio 79 x l3 x2 x l 80 x3 3 215 8123 3 4 82 x 2 x3 3x 2 83 x 2 4x3 9x2 3x 10 84 x 1 2x0 x9 x x7 2x63 Nos exercícios 85 e 86 use o gráfico para deduzir possíveis fatores lineares de f x Fatore a função com auxílio do método de Briot Ruffini 85 f x 5x3 l x2 49 51 5 5 por 75 100 86 f x S3 12x2 23 42 Nos exercícios 87 a 90 encontre a função polinomial com coeficiente principal 2 e com as raízes e grau dados 87 Grau 3 com 2 l e 4 como raízes 88 Grau 3 com l 3 e 5 como raízes 89 Grau 3 com 2 12 e 32 como raízes 90 Grau 4 com 3 l O e 52 como raízes Nos exercícios 91 e 92 usando somente métodos algé bricos encontre a função cúbica com os valores dados nas tabelas 91 W 92 fx 4 0 2 0 0 180 1 24 3 0 1 0 5 0 5 0 Nos exercícios 93 a 96 use o Teorema das raízes racio nais para escrever uma lista de todas as raízes racionais candidatas 93 f x 63 5 l 94 f x 3x3 lx2 6 14 95 f x 2x3 x2 9x 9 96 f x 6x4 xí6x2x2 Nos exercícios 97 a 100 use a divisão pelo método de Briot Ruffini para provar que k é um limite superior para as raízes reais da função 97 k 3fx 23 4x2 x 1 98 k 5W 23 5x2 5x l 99 k 2 f x x4 x3 x2 x 12 100 k 3 f x 4x4 6x3 lx2 9x 2 Nos exercícios 101 a 104 use a divisão pelo método de Briot Ruffini para provar que k é um limite infe rior para as raízes reais da função 101 k 3x3 4x2 x 3 102 k 3 f x 2x2 2x 5 5 5 por 75 75 103 k Q f x x3 4x2 l x 2 104 k 4 f x 3x3 x25x3 Nos exercícios 105 a 108 use o Teste dos limites superior e inferior das raízes para decidir se existem raízes reais para a função que estejam fora da região do gráfico que está exposta 124 Précálculo 105 f x 6x4 II3 lx2 8x 34 5 5 por 200 1000 106 f x x5 x4 2lx2 l9x3 5 5 por 1000 1000 107 f x x5 4x4 1293 396x2 8x 3 5 5 por 1000 1000 108 f x 2x5 5x4 1413 2l6x2 9lx 25 Nos exercícios 109 a 116 encontre todas as raízes reais da função e seus valores exatos se possível Analise cada raiz se é racional ou irracional 109 f x 2x3 3x24x 6 110 f x x3 3x2 3x 9 111 f x x3 x2 x 6 112 f x x3 6x2 lx 4 113 f x x4 33 6x2 6x 8 114 f x x4 x lx2 5x 10 115 f x 2x4 lx3 2x2lx4 116 f x 3x4 2x3 3x2 x 2 117 Encontre o resto quando x40 3 está dividido por x 1 118 Encontre o resto quando x63 17 está dividido por x l 119 SejaW x4 2x3 II2 13 38 a Use o teste dos limites superior e inferior das raízes para provar que todas as raízes reais depertencem ao intervalo 5 4 b Encontre todas as raízes racionais de c Fatore f x usando as raízes racionais encontradas em b d Aproxime todas as raízes irracionais de e Faça a divisão pelo método de Briot Ruffmi com as raízes irracionais do item d para continuar a fatoração de f x até ficar como em c 120 Verdadeiro ou falso A função polinomial f x tem um fator x 2 se e somente se 2 0 Justifique sua resposta 121 Verdadeiro ou falso Se f x x 1 2x2 x 1 3 então quando f x é dividi do por x l o resto é 3 Justifique sua resposta 122 Múltipla escolha Sejauma função polino mial com 3 0 Qual das seguintes afirma tivas não é verdadeira a x 3 é um fator de f x b x 3 é um fator de f x c x 3 é uma raiz de f x d 3 corta o eixo horizontal x em 3 e O resto quando f x é dividido por x 3 é zero 5 5 por 1000 1000 CAPÍTULO 10 Funções polinomiais 125 123 Múltipla escolha Seja f x 2x3 lx2 2x 3 Qual das seguintes alternativas não tem uma possível raiz racional de a 3 b l c l d 12 e 23 124 Múltipla escolha Seja f x x 2x2 x 1 3 Qual das seguintes alternativas não é verdadeira a Quandox é dividido por x 2 o resto é 3 b Quando f x é dividido por x 2 o resto é 3 c Quando f x é dividido por x2 x l o resto é 3 d x 2 não é um fator de f x e f x não é completamente divisível por x 2 125 Múltipla escolha Seja f x x2 lx 2 7 Qual das seguintes alternativas não é verdadeira a Quando f x é dividido por x2 l o resto é 7 b Quando f x é dividido por x 2 o resto é 7 c2 7 dO 5 e não tem uma raiz real Capítulo l l Funções exponenciais Objetivos de aprendizagem Gráficos de funções exponenciais A base da função dada pelo número e m Funções de crescimento e decaimento logístico Taxa percentual consttte e funções exponenciais Modelos de crescimento e decaimento exponencial Funções exponenciais modelam muitos padrões de crescimento inchando o crescimento de populações humanas Gráficos de funções exponenciais Cada uma das funções f x x2 e gx 2X envolve uma base e uma potência porém com características que destacaremos Para f x x2 a base é a variável x e o expoente é a cons tante 2é tanto uma função potência como uma função monomial conhecida Para gx 2 base é a constante 2 e o expoente é a variável x g é uma Junção exponencial Veja a Figura 111 43íl 1 2 3 4 Figura 111 Esboço de gx V DEFINIÇÃO Funções exponenciais Sejam a e b constantes reais uma função exponencial em x é uma função que pode ser escrita na forma f x abx onde a é diferente de zero b é positivo e b f 1 A constante aéo valor dequando x O e b é a base Funções exponenciais estão definidas e são contínuas para todos os números reais É importante reconhecer se uma função é de fato uma função exponencial EXEMPLO l Identificação de funções exponenciais a f x V é uma função exponencial com um valor a igual a l e base igual a 3 b gx 6x4 não é uma função exponencial porque a base x é uma variável e o expoente é uma constante g é uma função potência c hx 2 15 é uma função exponencial com um valor a igual a 2 e base igual a 15 d kx l 2x é uma função exponencial com um valor a igual a 7 e base igual a 12 pois 2 21Y 12 e qx 5 ó77 não é uma função exponencial porque o expoente TT é uma constante q é uma função constante 128 Précálculo EXEMPLO 2 Cálculo dos valores de uma função exponencial para alguns números racionais Para f x 2X temos a4 24 2 2 2 2 16 bO 2 l c 3 23 10125 d U 212 V2 14142 932 2 n 0 Não existe propriedade de pítfenciação para expressar o yalor de uma função exponencial quando o expoente é irracional Por exemplo se f x 2X então TT 217 porém o que 217 significa O que podemos fazer são apenas aproximações como mostra a Tabela 111 Tabela 111 Valores dejc 2 para números racionais aproximando ir por 314159265 314 3141 881 8821 31415 88244 314159 882496 EXEMPLO 3 Identificação da lei de uma função exponencial a partir de alguns valores tabelados Determine fórmulas para as funções exponenciais g e h cujos valores são dados na Tabela 112 Tabela 112 Alguns valores para duas funções exponenciais x 2 1 0 1 W 49 43 12 hx 128 x i j J 41 36 l CAPÍTULO 11 Funções exponenciais 129 SOLUÇÃO Como g é uma função exponencial então gx a bx Como g0 4 então o valor de a é igual a 4 Como gl 4 b1 12 então a base b é igual a 3 Assim gx 4 y Como h é uma função exponencial então hx a b Como i0 8 então o valor de a é igual a 8 Como hl 8 b1 2 então a base b é igual a 14 Assim A Figura 112 mostra os gráficos dessas funções e os pontos destacados são os pares ordenados mostrados na Tabela 112 25 25 por 10 50 a Figura 112 Gráficos de a gx 4 y e b hx 8 14 25 25 por 25 150 b Na Tabela 112 podemos verificar que os valores da função gx crescem com fator de multi plicação igual a 3 e os da função hx decrescem com fator de multiplicação igual a 14 Além disso a variação dos valores de x é de uma unidade e o fator de multiplicação é a base da função expo nencial Este padrão generaliza todas as funções exponenciais como vemos na Tabela 113 Tabela 113 Valores para urna função exponencial tv a b axb ab ab X b X f r ab X b 1 Na Tabela 113 vemos que quando x cresce uma unidade o valor da função é multiplicado pela base b Essa relação acarreta na seguinte fórmula recursiva 130 Précálculo Crescimento e decrescimento exponencial Para qualquer função exponencial a b e qualquer número real x Se a 0 e l então a funçãoé crescente e é uma função de crescimento exponencial A base b é o seu fator de crescimento Se a 0 e ô l então a função fé decrescente e é uma função de decaimento exponencial  base b é o seu fator dê decaimento No Exemplo 3 g é uma função de crescimento exponencial e h é uma função de decaimento exponencial Quando x cresce por l gx 43 cresce pelo fator 3 e hx 8 14 decresce pelo fator 14 A base de uma função exponencial nos diz se a função é crescente ou decrescente Vamos resumir o que aprendemos sobre funções exponenciais com um valor de a igual a l Funções exportenciais bx Domínio conjunto de todos os números reais Imagem 0 É contínua Não é simétrica não é função par não é função ímpar Limitada inferiormente mas não superiormente Não tem extremos locais Assíntota horizontal y O Não tem assíntotas verticais Se b l veja a Figura 113a então fé uma função crescente Um f x O e lim f x x aã Se O b í veja a Figura 1 1 3b então fé uma função decrescente Hm f x 00 e lim f x O a b Figura 113 Gráficos de fx V para a b l e b O b 1 CAPÍTULO 11 Funções exponenciais 131 Observe o que podemos fazer também com as funções exponenciais EXEMPLO 4 Transformação de funções exponenciais Descreva como transformar o gráfico de f x 2 no gráfico da função dada a g x 2x b h x T c kx 32 SOLUÇÃO a O gráfico de gx 2X é obtido transladando o gráfico de f x 2 uma unidade para a direita Figura 114a b Podemos obter o gráfico de hx 2x refletindo o gráfico de f x 2X com relação ao eixo vertical y Figura 114b Como 2x 2x 12 então podemos pensar em h como uma função exponencial com um valor de a igual a l e uma base igual a 12 c Podemos obter o gráfico de kÇx 3 2 esticando verticalmente o gráfico de f x 2X pelo fator 3 Figura 114c Jw 4 4 por 2 a 4 4 por 28 b 4 4 por 2 8 c Figura 114 O gráfico de fx 2X com a gx 2 hx 2 e c kx 32 A base da função dada pelo número e A função f x ex é uma função de crescimento exponencial Vamos fazer um resumo também para essa função exponencial Função exponencial fx e Domínio conjunto de todos os números reais Imagem 0 É contínua É crescente para todo valor de x do domínio Não é simétrica Limitada inferiormente mas não superiormente Não tem extremos locais Assíntota horizontal y O Não tem assíntotas verticais Comportamento nos extremos do domínio lim e O e lim e JC Ktoo 132 Précálculo 4 4 por 15 Figura 115 O gráfico de f x e Comot ex é crescente então é uma função de crescimento exponencial logo e 1 Mas o que é o número el A letra e é a inicial do último nome de Leonhard Euler 17071783 que foi quem introduziu a notação Como f x ex tem propriedades especiais de cálculo que simplificam muitas contas então e é a base natural da função exponencial que é chamada de função exponencial natural DEFINIÇÃO A base natural e e lim 11 x Não podemos calcular o número irracional e diretamente mas usando esta definição podemos obter sucessivamente aproximações cada vez melhores para e como mostrado na Tabela 114 Tabela 114 Aproximações para a base natural e x l 10 100 1000 10000 100000 l 1xY 2 25 270 2716 27181 271826 Em geral estamos mais interessados na função exponencial f x e e variações desta função do que no número irracional e De fato qualquer função exponencial pode ser expressa em termos da base natural e TEOREMA Funções exponenciais e a base e Qualquer função exponencial f x a b pode ser reescrita como f x aekx para uma constante k sendo um número real apropriadamente escolhido Se a O e k O então f x a ek é uma função de crescimento exponencial veja a Figura 116a Se a O e k O então f x a e é uma função de decaimento exponencial veja a Figura llób CAPÍTULO 11 Funções exponenciais 133 a b Figura 116 Gráficos de f x e para a k O e b k 0 EXEMPLO 5 Transformação de funções exponenciais Descreva como transformar o gráfico de f x ex no gráfico da função dada j a gx e2 b hx e c kx 3ex l SOLUÇÃO a O gráfico de g x e2 é obtido encolhendo horizontalmente o gráfico dejc ex por meio i do fator 2 Figura 117a l b Podemos obter o gráfico de hx ex refletindo o gráfico dejc ex com relação ao eixo i vertical y Figura 117b i c Podemos obter o gráfico de kx 3 ex esticando verticalmente o gráfico de f x ex pelo j fator 3 Figura 117c 4 4 por 2 8 a 4 4 por 2 8 b 4 4 por 2 8 c Figura 117 O gráfico deW e com a gx e2 b hx ex e c kx Se Funções de crescimento logístico Uma função de crescimento logístico mostra seu comportamento a uma taxa crescente e não é limitada superiormente A limitação acaba existindo por razões de capacidade física ou de volume máximo Com isso devido às situações reais a função de crescimento é limitada tanto inferior como superiormente por assíntotas horizontais 134 Précálculo DEFINIÇÃO Funções de crescimento logístico Sejam a b c e k constantes positivas com b 1 Uma função de crescimento logístico em x é uma função que pode ser escrita na forma l ab onde a constante c é o limite de crescimento ou f x l aekx Se b l ou k O então as fórmulas serão de funções de decaimento logístico As funções de crescimento logístico têm comportamento nos extremos do domínio conjunto dos números reais dado por lim f x O e lím f x c X X onde c é o limite de crescimento Taxa percentual constante e funções exponenciais Suponha que uma população está se modificando a uma taxa percentual constante r onde r é a taxa percentual da mudança em forma decimal A população então segue o padrão mostrado Tempo em anos População P0 PQ população inicial Pl P0 Por P0l r P2 Pl r2 P3P2rP0l rf Pt r Assim nesse caso a população é expressa como uma função exponencial do tempo Modelo de crescimento exponencial de uma população Se uma população P está se modificando a uma taxa percentual constante r a cada ano então Pt P0l r onde PO é a população inicial r é expresso como um número decimal e í é o tempo em anos Por um lado se r O então Pt é uma função de crescimento exponencial e seuaíor de cres cimento é a base da função exponencial dada por l r Por outro lado se r O então a base l r l Pt é uma função de decaimento exponen cial e l r é ofator de decaimento para a população EXEMPLO 8 Verificação das taxas de crescimento i l Conclua se o modelo da população é uma função de crescimento ou decaimento exponencial e encontre a taxa percentual constante de crescimento ou decaimento l a São José Pí 78224810136 CAPÍTULO 11 Funções exponenciais 135 b Detroit Pt 120336809858 SOLUÇÃO a Como l r 10136 então r 00136 0 Assim P é uma função de crescimento expo nencial com a taxa de crescimento de 136 b Como l r 09858 então r 00142 0 Assim P é uma função de decaimento expo nencial com a taxa de decaimento de 142 EXEMPLO 7 Identificação da lei de função exponencial Determine a função exponencial com valor inicial igual a 12 e taxa de crescimento de 8 ao ano SOLUÇÃO Como P0 12 e r 8 Oflg então a função P t 121 008 ou Pt 12108 Pode ríamos escrever esta função como f x 12108 onde x representa o tempo Modelos de crescimento e decaimento exponencial Os modelos de crescimento e decaimento exponencial são usados para populações por exem plo de animais bactérias e átomos radioativos Esses modelos se aplicam em qualquer situação na qual o crescimento ou decrescimento é proporcional ao tamanho atual da quantidade de interesse EXEMPLO 8 Modelagem do crescimento de bactérias Suponha uma cultura de 100 bactérias localizadas num objeto de modo que o número de bactérias dobra a cada hora Conclua quando esse número chegará em 350000 unidades SOLUÇÃO Modelo 200 1002 400 l 0022 800 100 23 Total de bactérias após l hora Total de bactérias após 2 horas Total de bactérias após 3 horas Pt 1002 Total de bactérias após r horas Assim a função Pt 1002 representa a população de bactérias t horas após a verificação ini cial no objeto Solução gráfica A Figura 118 mostra que a função da população intersecciona y 350000 quando t 1177 136 Précálculo Pesquisa bacteriológica Pt o IC3o C33 0 450000 300000 150000 1 ii f J í 5 0 5 10 15 Tempo Intersecção í 11773139 P 350000 í Figura 118 Crescimento exponencial de uma população de bactérias l INTERPRETAÇÃO j A população de bactérias será de 350000 em aproximadamente 11 horas e l 46 minutos As funções de decaimento exponencial modelam a quantidade de uma substância radioativa presente em uma amostra O número de átomos de um elemento específico que se modifica de um estado radioativo para um estado não radioativo é uma fração fixada por unidade de tempo 0 processo é chamado de decaimento radioativo e o tempo que ele leva para que metade da amos tra mude de estado é chamado de meiavida da substância radioativa EXEMPLO 9 Modelagem do decaimento radioativo Suponha que a meiavida de uma certa substância radioativa é de 20 dias e que existem 5 gramas 1 presentes inicialmente Encontre o tempo até existir l grama da substância i SOLUÇÃO l Modelo l Se í é o tempo em dias o tempo de meiasvidas será í20 l 5 Gramas após 20 dias i 5 Uo20 j 5 Gramas após 2 20 40 dias i i V2 l f t 5 l Gramas após t dias j Assim a funçãof 5 05í2 modela a massa em gramas da substância radioativa no tempo t í Solução gráfica f A Figura 119 mostra que o gráfico de f t 5 05í2 intersecciona y l quando í 4644 CAPÍTULO 11 Funções exponenciais 137 Decrescimento radioativo 20 20 40 60 80 Tempo Intersecção 46438562 y l Figura 119 Decaimento radioativo INTERPRETAÇÃO Existirá l grama da substância radioatiya após aproximadamente 4644 dias ou seja cerca de 46 dias e 11 horas REVISÃO RÁPIDA Nos exercícios l a 4 desenvolva a expressão sem usar a calculadora 1 216 2 3 2723 4 452 Nos exercícios 5 a 8 reescreva a expressão usando um único expoente positivo 5 234 6 342 7 a23 8 è35 Nos exercícios 9 e 10 converta a porcentagem para a forma decimal ou a decimal em uma porcentagem 9 15 10 004 11 Mostre como aumentar 23 em 7 usando uma simples multiplicação 12 Mostre como diminuir 52 em 4 usando uma simples multiplicação Nos exercícios 13 e 14 resolva a equação algebricamente 13 40 b2 160 14 243 b3 9 Nos exercícios 15 a 18 resolva a equação numericamente 15 782Z6 838 16 93b5 521 17 612b4 91 18 127o7 56 138 Précálculo EXERCÍCIOS Nos exercícios l a 6 identifique as funções expo nenciais Para aquelas que são funções exponen ciais da forma f x ab determine o valor de a e o valor da base b Para aquelas que não são expli que por que não 1 y x 2 y y 3 y 5X 4 y 42 5 y x Q y x13 Nos exercícios 7 a 10 calcule o valor exato da função para o valor de x dado 7 f x 35 para x Oc 8 f x 63 para x 2 9 23 para x 13 10 f x 4 para x 32 Nos exercícios 11 e 12 determine uma fórmula para a função exponencial cujos valores são dados na Tabela 115 11 12 gx Tabela 115 Valores para duas funções exponenciais x 2 1 0 1 2 fx 6 3 32 34 38 Sx 108 36 12 4 43 Nos exercícios 13 e 14 determine uma fórmula para a função exponencial cujo gráfico é demonstrado na figura 13 14 gx Nos exercícios 15 a 24 descreva como transformar o gráfico deno gráfico de g 15 f x 2 gx 23 16 f x y gx 34 17 f x 4 gx 4 18 f x 2 gx 25 19 f x 05 gx 3 05 4 20 c 06 gM 2063 21 f x e e2 22 f x e e3 23 f x ex gx 2e33 24 f x e lê1 l Nos exercícios 25 a 30 a associe a função dada a seu gráfico b explique como fazer a escolha 25 y y 26y 2 27 y 2 28 y 05 29 y 3 2 30 y 15 2 I a b c d e f CAPÍTULO 11 Funções exponenciais 139 Nos exercícios 31a 34 verifique se a função é de crescimento ou de decaimento exponencial descreva o comportamento de cada função nos extremos do domínio aqui usamos limite de função 31 W 32 33 W 05 34 W 075 Nos exercícios 35 a 38 resolva cada desigualdade graficamente 35 9 4 36 6x 8 i r 1 H T Nos exercícios 39 e 40 use as propriedades de poten ciação para provar que duas das três funções expo nenciais dadas são idênticas 39 a y 324 b v2 32 4 C yj 92 40 a y 432 b v2 2232 c y3 231 Nos exercícios 41 a 44 você pode usar uma calcula dora como suporte para fazer gráficos Encontre o valor por onde o gráfico passa no eixo vertical y e as assíntotas horizontais 12 41 42 43 44 l 208 18 l 502A 16 l 2e Nos exercícios 45 a 50 esboce o gráfico da função e analise domínio imagem continuidade crescimen todecrescimento extremos assíntotas e comporta mento nos extremos do domínio 45jt 32 46W 405c 47 f x 4 e3 48 f x 5e 50 l 2e Tabela 116 População de duas cidades norteamericanas Cidade População em 1990 População em 2000 Austin Texas Columbus Ohio 465622 632910 656562 711265 Fonte World Almanac and Book of Facts 2005 51 A população de Ohio pode ser modelada por Pí 12791 2402 g00309 Qnde p é a população em milhões de pessoas e f é o número de anos desde 1900 Baseado nesse modelo quan do a população de Ohio foi de 10 milhões 52 A população de Nova York pode ser modelada por Pt 19875 l 57993 onde P é a população em milhões de pessoas e f ê o número de anos desde 1800 Baseado nesse modelo a Qual foi a população de Nova York em 1850 b Qual será a população em 2010 c Qual é a população máxima sustentável de Nova York limite para crescimento 53 O número B de bactérias num dado local após t horas é dada por B 100 e693í a Qual foi o número inicial de bactérias pre sentes b Quantas bactérias estão presentes após 6 horas 54 Verdadeiro ou falso Toda função exponencial é estritamente crescente Justifique sua resposta 55 Múltipla escolha Qual das seguintes funções é exponencial a f x a2 bfxx3 d f x f x 8 140 Précálculo 56 Múltipla escolha Qual é o ponto que todas as funções da formaW b b 0 têm em comum a l 1 b l 0 c O 1 d O 0 e 57 Múltipla escolha O fator de crescimento para f x 43 é a 3 b 4 c 12 d 64 e 81 58 Múltipla escolha Para x O qual das seguin tes alternativas é verdadeira a V 4 b T 5 c 16 12 d 9x 8 e 017 032 Nos exercícios 59 a 64 verifique se a função é de crescimento ou decaimento exponencial e encontre a taxa percentual constante de crescimento ou decaimento 59 Pt 35 109 60 Pt 43 1018 61 f x 78963 0968 62 f x 5607 09968 63 gt 247 2 64 gt 43 005 Nos exercícios 65 a 76 determine a função exponen cial que satisfaz as condições dadas 65 Valor inicial igual a 5 crescente com taxa de 17 ao ano 66 Valor inicial igual a 52 crescente com taxa de 23 ao dia 67 Valor inicial igual a 16 decrescente com taxa de 50 ao mês 68 Valor inicial igual a 5 decrescente com taxa de 059 por semana 69 Valor inicial da população igual a 28900 decres cente com taxa de 26 ao ano 70 Valor inicial da população igual a 502000 cres cente com taxa de 17 ao ano 71 Valor inicial do comprimento igual a 18 cm cres cendo a uma taxa de 52 por semana 72 Valor inicial da massa igual a 15 gramas decres cente a uma taxa de 46 ao dia 73 Valor inicial da massa igual a 06 grama dobran do a cada 3 dias 74 Valor inicial da população igual a 250 dobrando a cada 75 horas 75 Valor inicial da massa igual a 592 gramas cain do pela metade a cada 6 anos 76 Valor inicial da massa igual a 17 gramas caindo pela metade a cada 32 horas Nos exercícios 77 e 78 determine uma fórmula para a função exponencial cujos valores são dados na Tabela 117 77 fx 78 gx Tabela 117 Valores para duas funções x 2 l 0 1 2 exponenciais to 1472 184 23 2875 359375 gx 90625 725 58 464 37123 Nos exercícios 79 e 80 determine uma fórmula para a função exponencial cujo gráfico é demonstrado na figura Nos exercícios 81a 84 encontre a função logística que satisfaz as condições dadas 81O 10 limite para crescimento igual a 40 passando através de l 20 82O 12 limite para crescimento igual a 60 passando através de l 24 83O 16 população máxima sustentável igual a 128 passando através de 5 32 84 O 5 limite para altura igual a 30 passando através de 3 15 CAPÍTULO 11 Funções exponenciais 141 Nos exercícios 85 e 86 determine uma função para a função logística cujo gráfico é mostrado na figura 85 86 87 Em 2000 a população de Jacksonville era de 736000 e crescia a uma taxa de 149 ao ano A essa taxa quando a população será de l milhão 88 Em 2000 a população de Lãs Vegas era de 478000 e está crescendo a uma taxa de 628 ao ano A essa taxa quando a população será de l milhão 89 A população de Smallville no ano de 1890 era igual a 6250 Suponha que a população cresceu a uma taxa de 275 ao ano a Estime a população em 1915 e 1940 b Estime quando a população alcançará 50000 90 A população de River City no ano de 1910 era igual a 4200 Suponha que a população cresce a uma taxa de 225 ao ano a Estime a população em 1930 e 1945 b Estime quando a população alcançará 20000 91 A meiavida de uma certa substância radioativa é igual a 14 dias Existem 66 gramas presentes ini cialmente a Expresse a quantia da substância remanescente como uma função do tempo t b Quando existirá menos de l grama 92 A meiavida de uma certa substância radioativa é igual a 65 dias Existem 35 gramas presentes ini cialmente a Expresse a quantia da substância remanes cente como uma função do tempo t b Quando existirá menos de l grama 93 O número B de bactérias em um local após t horas é dado por B 100 e693 Quando o número de bactérias será 200 Estime o tempo para dobrar a quantia de bactérias 94 Verdadeiro ou falso Se a taxa percentual cons tante de uma função exponencial é negativa então a base da função é negativa Justifique a sua resposta 95 Múltipla escolha Qual é a taxa percentual de crescimento constante de Pt 123 1049 a 49 b 23 c 49 d 23 e 123 96 Múltipla escolha Qual é a taxa percentual de decaimento constante de Pt 227 0834 a 227 b 166 c 834 d 227 e 0834 97 Múltipla escolha Uma única célula de ameba duplica a cada 4 horas Quanto tempo uma célu la de ameba levará para produzir uma população de 1000 a 10 dias d 40 dias b 20 dias e 50 dias c 30 dias Capítulo 12 Funções logarítmicas Objetivos de aprendizagem Inversas das funções exponenciais Logaritmos com base 10 Logaritmos com bae e Propriedade dos logaritmos Mudança de base Gráficos de funções logarítmicas Resolução de equações expo nenciais Resolução de equações logarítmicas Ordens de grandeza ou magni tude e modelos logarítmicos Funções logarítmicas são usadas em muitas aplicações por isso iniciamos com toda a parte de fundamentação além de aplicações de logaritmos que são baseadas também nas propriedades Inversas das funções exponenciais Apesarde as funções inversas serem objetos de estudo do Capítulo 11 podemos compreender as primeiras ideias por meio das funções logarítmicas Uma função exponencialjc tf tem uma inversa que também é função Essa inversa é a função logarítmica de base b denotada por logx isto é se f x bx com b O e b f l entãoflx ogbx Veja a Figura 121 Figura 121 A função exponencial e sua inversa que é a função logarítmica no caso de função crescente Esta transformação nos diz que um logaritmo está vinculado a uma potência ou seja é um expoente da potência Com isso podemos desenvolver expressões logarítmicas usando nossos conhe cimentos sobre potenciação Transformação entre a forma logarítmica e a forma exponencial O e O i f c lentão y logx se e somente se by x EXEMPLO l Cálculo dê logaritmos 3 a Iog2 8 3 porque 23 8 b Iog2 VJ 12 porque 312 V3 j c Iog5 125 2 porque 52 144 Précálculo d Iog4 l O porque 4 l e Iog7 7 1 porque 71 7 Podemos generalizar os resultados observados no Exemplo l Propriedades básicas de logaritmos Para JE O b O b l ey um número real qualquer logj 1 0 porque b l logj l porque1 b logj by y porque b b i fe8 x porque logj x logfe jt f Vale observar que em geral nas situações práticas as bases dos logaritmos são quase sempre maiores que 1 Essas propriedades nos dão suporte para calcular logaritmos e algumas expressões exponen ciais Temos a seguir exemplos que já apareceram no Exemplo l mas agora com destaque para algumas das propriedades listadas anteriormente EXEMPLO 2 Cálculo de logaritmos a Iog2 8 Iog2 23 3 j b Iog3 V3 Iog3 312 12 Como já citamos as funções logarítmicas são inversas das funções exponenciais Com as propriedades citadas podemos mais tranquilamente compreender os cálculos apresentados na Tabela 121 tanto para a JE 2 como para flx Iog2x Tabela 121 Uma função exponencial e sua inversa x 3 2 1 0 1 2 3 v 18 14 12 1 2 4 8 x 18 14 12 1 2 4 8 f 1 x loB2x 3 2 1 0 1 2 3 CAPÍTULO 12 Funções logarítmicas 145 Logaritmos com base 10 Quando a base do logaritmo é 10 não precisamos escrever o número e denotamos a função logarítmica porjc logJt Lembrese de que essa função é a inversa da função exponencial f x 10 Assim y log x se e somente se I0y x Podemos obter resultados para logaritmos com base 10 Propriedades básicaspara logaritmos com base 10 Sejam x e y números reais sendo que x é maior que 0 log l O porque10 l m log 10 l porque IO1 10 log 10 y porque 10 10 x porque log x log x Com mais essas propriedades podemos calcular outros logaritmos e expressões exponenciais com base 10 EXEMPLOS Cálculo de logaritmos com base 10 a log 100 Iog10 100 2 porque IO2 100 l b log VTÕ log 10I5 Y d 10los6 Transformar uma forma logarítmica em uma forma exponencial muitas vezes já é suficiente para resolver uma equação envolvendo funções logarítmicas EXEMPLO 4 Resolução de equações logarítmicas Resolva cada equação transformando para a forma exponencial a logx 3 b Iog2 5 l SOLUÇÃO j a Transformando para a forma exponencial temos x IO3 1000 j b Transformando para a forma exponencial temos x 25 32 146 Précálculo Logaritmos com base e Logaritmos com base e são chamados de logaritmos naturais Muitas vezes utilizamos ape nas a notação In para denotar o logaritmo natural Assim a função logarítmica natural é f x loge x In x Essa função é a inversa da função exponencial x ex Assim y In x se e somente se ey x Podemos obter resultados para logaritmos com base e Propriedades básicas para logaritmos com base e logaritmos naturais Sejam x e y números reais sendo que x é maior que 0 In l 0 porque e l In e l porque e1 In e7 y porque ey èf Inx Usando a definição de logaritmo natural ou essas propriedades podemos calcular expressões envolvendo a base natural e j EXEMPLO 5 jCálcukrde logaritmos com base e J a In Vê loge Vê 12 porque e112 Vê j b In e5 loge e5 5 l cen4 4 Propriedades dos logaritmos As propriedades são muito úteis tanto na resolução de equações logarítmicas como para modelagem de problemas Propriedades dos logaritmos Sejam bReS números reffis positivos com b l e c um numero real qualquer Regra do produto logô RS Iog6 R logb S o Regra do quociente logj logè R logj S Regra da potência logé c Iog6 R A propriedade de mudança de base será tratada na próxima seção As propriedades de potenciação listadas a seguir são fundamentais para essas três pro priedades de logaritmos Por enquanto a primeira propriedade de potenciação é a que dá suporte para a regra do produto que provaremos a seguir CAPÍTULO 12 Funções logarítmicas 147 Sejam 6 x e y números reais com b 0 lbxb bx y 2 by EXEMPLO 6 Demonstração da regra do produto para logaritmos Provar que ogb RS ogh R ogh S SOLUÇÃO Sejam x logh R e y ogb S As respectivas expressões com potenciação são b R e by S Portanto logh RS x y fofo R logb S Quando resolvemos equações que envolvem logaritmos muitas vezes precisamos reescrever expressões usando suas propriedades Algumas vezes precisamos expandir em outras condensar até onde for possível Os próximos exemplos mostram como as propriedades de logaritmos podem ser usadas para mudar a forma das expressões envolvendo logaritmos EXEMPLO 7 Expansão do logaritmo de um produto Supondo que x e y são positivos use as propriedades de logaritmos para escrever log xy4 como l uma soma de logaritmos ou múltiplo de logaritmos j SOLUÇÃO i log 8xy4 log 8 log x log y4 l Iog23 log log y4 J 3 log 2 log x 4 log y EXEMPLO 8 Expansão do logaritmo de um quociente Supondo que x é positivo use as propriedades de logaritmos para escrever In v x2 5x como uma soma ou diferença de logaritmos ou mesmo como um múltiplo de logaritmos SOLUÇÃO In In 12 In x In x2 5 In x2 5 In x 148 Précálculo EXEMPLO 9 Notação de logaritmo Supondo que x e y são positivos escreva In x5 2 In xy como um único logaritmo SOLUÇÃO In x5 2 In xy In x5 In xy2 lnx5 x2y2 x5 lnrr In Mudança de base Quando trabalhamos com uma expressão logarítmica com uma base que não seja adequada para o momento é possível odificar a expressão em um quociente de logaritmos com uma base diferente Por exemplo é difícil desenvolver Iog4 7 porque 7 não é uma potência de 4 e não existe a tecla com Iog4 na calculadora Podemos trabalhar com este problema da seguipte forma y Iog4 7 4 l In 4 In 7 yln 4 In 7 In 7 y In 4 In 7 Para finalizar podemos utilizar uma calculadora e assim Iog4 7 14037 In 4 Podemos generalizar o resultado obtido após aplicar o logaritmo em ambos os lados da expres são como a fórmula de mudança de base Fórmula de mudança de base para logaritmos Para números reais positivos abex com a l e b l temos As calculadoras têm em geral duas teclas para logaritmo que são LOG e LN as quais cor respondem às bases 10 e e respectivamente Assim utilizamos a fórmula de mudança de base com uma das formas logx U In x EXEMPLO 10 Desenvolvimento do logaritmo por melo da mudança de base a Iog3 16 j 2523 252 CAPÍTULO 12 Funções logarítmicas 149 D 10g6 1U c log12 2 logo In 2 In 12 log 6 In 2 In 1 In 2 In 2 In 2 11 Gráficos de funções logarítmicas Vamos listar agora as propriedades da função logarítmica natural f x In x Domínio 0 o Imagem IR É contínua em 0 É crescente em 0 Não é simétrica Não é limitada nem inferior nem superiormente Não tem extremos locais Não tem assíntotas horizontais Assíntota vertical é em x O Comportamento no extremo do domínio lim In x X o Qualquer função logarítmica f x logfc x com b l tem o mesmo domínio imagem con tinuidade comportamento crescente ausência de simetria e outras características como vimos na função f x In x O gráfico e comportamento de f x In x é típico das funções logarítmicas mais usadas A Figura 122a a seguir mostra que os gráficos dey lnxsy ex são simétricos com relação à reta y x A Figura 122b mostra que os gráficos de y log x e y l F também são simétricos com relação à mesma reta y x Figura 122 Funções logarítmicas e exponenciais como funções inversas A Figura 123 mostra a comparação entre os gráficos de y log x e y In x 150 Précálculo y In x 1 5 por 2 2 Figura 123 Os gráficos de y logx e y In x Vejamos agora alguns casos de transformações geométricas das funções logarítmicas EXEMPLO 11 Transformação dos gráficos de funções logarítmicas i Descreva como transformar o gráfico de y In x ou y log x em um gráfico da função dada j a gx In x 2 b hx In 3 x l c gx 3 log x d hx l log x l SOLUÇÃO 3 6 por 3 3 a 3 6 por 3 3 b 3 6 por 3 3 c Figura 124 IT i 3 6 por 3 3 d a O gráfico de gx In x 2 é obtido transladando o gráfico de y In x duas unidades para a esquerda Veja a Figura 124a CAPÍTULO 12 Funções logarítmicas 151 b hx In 3 x In x 3 Assim obtemos o gráfico de hx In 3 x do gráfico de j In jc aplicando nessa ordem uma reflexão com relação ao eixo vertical y seguida de uma transladação de três unidades para a direita Veja a Figura 124b c O gráfico de gx 3 log x é obtido esticando verticalmente o gráfico dejc log x pela mul tiplicação dos valores de y pelo fator 3 Veja a Figura 124c d Podemos obter o gráfico de hx l log x do gráfico de f x log x transladando uma unidade para cima Veja a Figura 124d Usando a fórmula de mudança de base podemos reescrever qualquer função logarítmica g x logb x como l In In b In b In jc Assim toda função logarítmica é uma constante multiplicada pela função logaritmo natural dada porjc In x Se a base é b l então o gráfico de gx logb x é obtido esticando ou encolhendo o gráfico de f x In jc com a multiplicação pelo fator 1ln b Se O b l é necessário também uma reflexão do gráfico com relação ao eixo jc EXEMPLO 12 Esboço do gráfico das funções logarítmicas Descreva como transformar o gráfico de f x In jc em um gráfico da função dada Você pode esboçar o gráfico ou conferir com uma calculadora com esse recurso a gx logj x b hx log14 x SOLUÇÃO In jc a Como g x Iog5 x então o gráfico é obtido esticando verticalmente o gráfico In 5 l dejc In jc por meio do fator Injc b hx ogl4 x In 5 In jc s 062 Veja a Figura 125a Injc l In 14 In l I n 4 In 4 In 4 In jc Assim podemos obter o gráfico de h do gráfico de f x In jc aplicando na ordem uma reflexão com relação ao eixo jc e esticando verticalmente pelo fator 1ln 4 072 Veja a Figura 125b 152 Précálculo 3 6 por 3 3 a 3 6 por 3 3 b Figura 125 Podemos generalizar o Exemplo 12b da seguinte maneira se b l então O lb l e Encerramos esta seção analisando a função logarítmica f x logb x com b l Já falamos sobre essa função quando analisamos a função f x In x no início desta seção Figura 126 f x logb x com b 1 Domínio 0 o Imagem IR É contínua em 0 É crescente em 0 Não é simétrica não é uma função par nem ímpar Não é limitada nem inferior nem superiormente Não tem extremos locais Não tem assíntotas horizontais Assíntota vertical é em x O Comportamento no extremo do domínio lim logbx 00 Resolução de equações exponenciais As propriedades descritas a seguir partindo das funções exponencial e logarítmica são muito úteis para resolver equações CAPÍTULO 12 Funções logarítmicas 153 Propriedades Para qualquer função exponencial f x b V então w v Para qualquer função logarítrnicaCr log x Se logfc logj v então u v Os exemplos a seguir mostram a utilização dessas propriedades EXEMPLO 13 Resolução algébrica de uma equação exponencial Resolva 20l23 5 SOLUÇÃO l W3 i 5 2 4 1 2 Resolução de equações logarítmicas Quando as equações logarítmicas são resolvidas algebricamente é importante verificar o domínio de cada expressão na equação para que não haja perda nem acréscimo de soluções no desenvolvimento EXEMPLO 14 Resolução de uma equação logarítmica Resolva log x2 2 SOLUÇÃO Podemos usar a propriedade citada anteriormente log x2 2 Iogjc2 log IO2 x2 IO2 x2 100 x 10 ou x 10 154 Précálculo Podemos mudar a equação da forma logarítmica para a forma exponencial log x2 2 x2 IO2 x2 100 jt 10 ou x 10 Observe que usando a propriedade da potência acabamos concluindo um resultado incorreto log x2 2 2 log 2 log x l x 10 Vendo a Figura 127 é verdade que os gráficos de f x log x2 e y 2 se interseccionam quan do x 10 e quando x 40 rnterseção X10 I Y2 15 15 por 3 3 Figura 127 Gráficos de f x log x2 e y 2 Os métodos l e 2 estão corretos O método 3 falhou porque o domínio de log x2 é o conjunto de todos os números reais diferentes de zero mas o domínio de log é o conjunto dos números reais positivos diferentes de zero A solução correia inclui 10 e 10 na resposta pois os dois valores j fazem a equação original ser verdadeira O método 3 violou um detalhe da regra da potência para logaritmos pois logfc R c ogb R somente quando R é positivç Na expressão log x2 vemos que x pode ser positivo ou negativo Devido à manipulação algébrica de uma equação logarítmica podemos obter expressões com dife rentes domínios e é por isso que a resolução gráfica está menos sujeita a erros Ordens de grandeza ou magnitude e modelos logarítmicos O logaritmo na base 10 de uma quantidade positiva é sua ordem de grandeza ou ordem de magnitude Ordens de grandeza ou ordens de magnitude podem ser usadas para comparar quaisquer quantidades CAPÍTULO 12 Funções logarítmicas 155 Um quilómetro é 3 ordens de grandeza maior que um metro Um cavalo pesando 400 kg é 4 ordens de grandeza mais pesado que um rato pesando 40 g Ordens de grandeza são usadas para comparar por exemplo a força dos terremotos e a acidez de um líquido como veremos a seguir A grandeza R de um terremoto medido pela escala Richter é R log B onde a é a amplitude em micrômetros AHI do movimento vertical do solo que é informado num sismógrafo T é o período do abalo sísmico em segundos e B é a amplitude do abalo sísmico com distância cres cente partindo do epicentro do terremoto EXEMPLO 15 Comparação das intensidades de terremotos Quanto mais forte foi o terremoto de 2001 em Gujarat na índia Ri 79 com relação ao de 1999 em Atenas na Grécia R2 591 SOLUÇÃO Sejam GJ a amplitude do terremoto de Gujarat e a2 a amplitude do terremoto de Atenas Assim 108 19 R2 log B 59 g log 79 59 L 102 100 a2 Podemos concluir que o terremoto de Gujarat foi 100 vezes mais forte que o de Atenas Em Química a acidez de uma solução líquida é medida pela concentração de íons de hidrogénio na solução a unidade de medida a título de informação é de moles por litro A con centração de hidrogénio é denotada por H Como tais concentrações geralmente envolvem expoentes negativos de 10 ordens de grandeza negativas são usadas para comparar níveis de acidez A medida de acidez usada é pH e é o oposto do logaritmo na base 10 da concentração de hidrogénio PH log H Soluções mais ácidas têm concentrações de íons de hidrogénio mais altos e valores de pH mais baixos 156 Précálculo EXEMPLO 16 Comparação da acidez química Temos vinagres com pH de 24 e recipientes com bicarbonato de sódio cujo pH é 84 f a Quais são as concentrações de íons de hidrogénio b Quantas vezes a concentração de íons de hidrogénio do vinagre é maior que do bicarbonato de j sódio c Que ordem de grandeza difere um produto do outro j SOLUÇÃO j a Vinagre log H 24 f log H 24 j H 1T24 398 X IO3 moles por litro j Bicarbonato de sódio log H 84 j logH84 j H KT84 398 X 109 moles por litro l b H de bicarbonato de sódio 1084 c A concentração de íons de hidrogénio do vinagre tem sua ordem de grandeza 6 vezes maior que a do bicarbonato de sódio exatamente a diferença entre os níveis de pH REVISÃO RÁPIDA Nos exercícios l a 10 calcule o valor da expressão sem usar a calculadora 1 52 2 IO3 R C 228 278 7 log IO2 8 In e3 9 In e2 10 log 103 Nos exercícios 11 a 14 reescrevaa expressão como uma potência com expoente racional 11 V5 12 10 J l 13 VJ 14T vê Nos exercícios 15 a 20 simplifique a expressão r XO Jf y w2v2 17 jcv12 18 8v1234 1Q v OC i L j 276v 6 6 l 3 9 7 CAPÍTULO 12 Funções logarítmicas 157 Nos exercícios 21 e 22 escreva o número em notação científica potência de base 10 21 A distância média de Júpiter até o Sol é aproximadamente 778300000 quilómetros 22 Um núcleo atómico tem um diâmetro de aproximadamente 0000000000000001 metro Nos exercícios 23 e 24 escreva o número na forma original 23 O número de Avogadro é aproximadamente 602 X IO23 24 A massa atómica é aproximadamente 166 X 1027 quilos Nos exercícios 25 e 26 use a notação científica para simplificar a expressão deixe sua resposta em notação científica 00000008 25 l8600031000000 EXERCÍCIOS 26 0000005 Nos exercícios 1 a 1 8 calcule os logaritmos sem usar calculadora pl 1 Iog4 4 2 Iog6 1 3 Iog232 4 Iog381 1 og 5vD b l oS6V36 7 log IO3 8 log 10000 9 log 100000 10 log 104 13 In e3 14 In e4 15 In 16 In 1 e 1 7 In ã 1 W In Vê7 Nos exercícios 19 a 24 calcule o valor exato da expressão sem usar calculadora 19 7lo87 3 2Q 5lo85 8 21 1 Vê 22 10s4 Sós exercícios 33 a 36 resolva a equação modificar doa para uma forma exponencial 33 log x 2 34 log x 4 35 logtl 36 log x 3 Sós exercícios 37 a 40 associe a função a seu grafia 37 loglx 3S logjrl 39 f x In x 3 40 x ln4jt í J fi b j 23 el 24 eln15 c d Nos exercícios 25 a 32 use uma calculadora para Nos exercícios 41 a 46 descreva como transformar o resolver o logaritmo caso ele esteja definido e faça a conferência usando expressão exponencial 25 log 943 26 log 0908 27 log 14 28 log 514 29 In 405 30 In 0733 31 In 049 32 In 33 gráfico de y In x no gráfico da função dada Você pode fazer o esboço do gráfico ou utilizar uma calcu ladora com esse recurso 41 lnx 45jt 42 f x In x 2 46 f x In 5 x 158 Précálculo Nos exercícios 47 a 52 descreva como transformar o gráfico de y log x no gráfico da função dada Você pode fazer o esboço do gráfico ou utilizar uma calcu ladora com esse recurso 47to l log to 48 to log x 3 49to 2 log x 60to 3 log He 51to 2 log 3 x l 52to 3 log l x l Nos exercícios 53 a 58 esboce o gráfico da função e analise seu domínio sua imagem a continuidade o comportamento de crescimentodecrescimento se é limitada se tem extremos assimetria as assíntotas e o comportamento nos extremos do domínio 53W logje2 54 f x In x 1 55to In x 1 56 fx log x 2 57to 3 log to l 58x 5 In 2x3 59 Múltipla escolha Qual é o valor aproximado do logaritmo de 2 a 010523 b 020000 c 030103 d 069315 e 332193 60 Múltipla escolha Qual afirmativa é falsa a log 5 25 log 2 b log 5 l log 2 c log 5 log 2 d log 5 log 10 e log 5 log 10 log 2 61 Múltipla escolha Qual afirmativa é falsa sobre y In xl a É crescente sobre o seu domínio b É simétrica com relação à origem c E contínua sobre o seu domínio d É limitada e Tem uma assíntota vertical 62 Múltipla escolha Qual das seguintes funções é a inversa de f x 2 3 Estudaremos mais sobre isso no Capítulo 14 aW Iog3 x2 bto Iog2 x3 c to 2 Iog3 to d to 3 Iog2 to Nos exercícios 63 e 64 descreva para cada função o domínio a imagem o valor do intercepto valor onde o gráfico passa no eixo vertical além de uma análi se a respeito da existência de assíntota 63 to Iog3 x 64 to log 13 x 65 Encontre o número b l de modo que os gráfi cos deto b e sua inversato logt x tenham exatamente um ponto de intersecção Qual é o ponto que é comum aos dois gráficos 66 Descreva como transformar o gráfico de f x In x no gráfico de g to logie x 67 Descreva como transformar o gráfico deto log x no gráfico de g to logoi x Nos exercícios 68 a 79 assumindo que x e y são números positivos use as propriedades de logaritmos para escrever a expressão como uma soma ou diferen ça de logaritmos ou como um múltiplo de logaritmos 68 In 8jc 69 In 9y 70 log 72 Iog2 y5 74 log x3y2 76 In r 78 log 71 log 73 Iog22 75 logxy3 77 log 10004 79 Nos exercícios 80 a 89 assumindo que x y e z são nú meros positivos use as propriedades de logaritmos pa ra escrever a expressão como um único logaritmo 80 log x log y 81 log x log 5 82 In y In 3 83 In xIn y 84 log x 85 log z 86 2 In x 3 In y 87 4 log y log z 88 4 log xy 3 log yz 89 3 In U3y 2 In yz2 Nos exercícios 90 a 95 use a fórmula de mudança de base e sua calculadora para encontrar o valor de cada logaritmo 90 Iog2 7 92 Iog8 175 94 Iog05 12 91 Iog5 19 93 log2259 95 logo2 29 CAPÍTULO 12 Funções logarítmicas 159 Nos exercícios 96 a 99 escreva a expressão usando somente logaritmos naturais 96 Iog3 x 97 Iog7 x 98 Iog2 a b 99 Iog5 c d Nos exercícios 100 a 103 escreva a expressão usan do somente logaritmo de base 10 100 Iog2 x 101 Iog4 x 102 log12 x y 103 logl3 x y 104 Prove a regra do quociente dos logaritmos 105 Prove a regra do produto dos logaritmos Nos exercícios 106 a 109 descreva como transformar o gráfico de gx In x no gráfico da função dada Você pode fazer o esboço do gráfico ou utilizar uma calculadora com esserecurso 106 f x Iog4 x 107 f x Iog7 x 108 f x logl3 x 109 f x logl5 x Nos exercícios 110 a 113 associe cada função a seu gráfico 110 f x Iog4 2x 111 f x Iog6 x 3 112 f x logo5 x 2 113 f x logo7 3 x b T c d Nos exercícios 114 a 117 esboce o gráfico da função e analise seu domínio sua imagem a continuidade o comportamento de crescimentodecrescimento as assíntotas e o comportamento nos extremos do domínio 114 f x Iog2 8 115 f x log3 9 116 f x log x2 117 f x In x3 118 Verdadeiro ou falso O logaritmo do produ to de dois números positivos é a soma dos loga ritmos dos números Justifique sua resposta 119 Verdadeiro ou falso O logaritmo de um nú mero positivo é positivo Justifique sua resposta 120 Múltipla escolha log 12 a 3 log 4 b log 3 log 4 c 4 log 3 d log 3 log 4 e 2 log 6 121 Múltipla escolha Iog9 64 a 5 Iog3 2 b Iog3 82 c In 64ln 9 d 2 Iog9 32 e log 649 122 Múltipla escolha In x5 a 5 In x b 2 In x3 c In 5 d 3 In x2 e In x2 In x3 123 Múltipla escolha log2 x2 a21og2x b21og2 c051og2x d051og2jc e 21og2 U 124 Sejam a log 2 e b log 3 É verdade que log 6 a b Liste os logaritmos na base 10 de todos os números inteiros positivos menores que 100 que podem ser expressos em termos de a e b escrevendo equações tais como log 6 a b para cada caso 125 Resolva In x x 126 Resolva 12 Iog12 x 127 Compare os domínios das funções presentes em cada item a seguir a f x 2 In M 3 e b f x In x 5 In x 5 e x5 ln 71 c f x log x 32 e gx 2 log x 3 128 Prove a fórmula de mudança de base dos loga ritmos 129 Use uma calculadora para resolver os logarit mos pode deixar com cinco casas após a vír gula onde alguns itens exemplificam as pro priedades citadas 160 Précálculo a log 24 log 2 log 4 b log l y l log 8 log 2 c log 23 3 log 2 d log 5 use o fato de que 5 102 e log 16 use 16 como potência de base 2 f log 40 130 Das oito expressões a seguir verifique quais são verdadeiras e quais são falsas a In x 2 In x In 2 b Iog37jc 71og3jc c Iog2 5x Iog2 5 log 2 x d In mIn 5 5 f x log x e1g4 loi4 f Iog4 x3 3 Iog4 x g Iog5 x2 Iog5 log5 x h log 4x log 4 log x é Nos exercícios 131 a 140 encontre algebricamente a solução exata e verifique o resultado substituindo na equação original l ys 131361 4 133 2 5M 250 135 21 T73 20 137 log x 4 11 W3 132 32 4 2 4 134 3 42 96 136 35x4 15 138 Iog2x 5 139 log4jc5 l 140 Iog4 l x l Nos exercícios 141 a 148 resolva cada equação alge bricamente Você pode obter uma aproximação para a solução e checar pela substituição na equação original 141 106 41 142 098 16 143 SOe0035 200 144 SOe0045 240 145 3 2e 6 146 7 3e 1 147 31nx3 4 5 148 3 log x 2 Nos exercícios 149 a 154 verifique o domínio de cada função Depois associe cada uma a seu gráfico 149 log 150 gx log x log x 1 151 f x In 152 gx xlnx 1 153 f x 2 In x 154 gx In x2 a b c d I e f Nos exercícios 155 a 167 resolva cada equação 155 log x2 6 157 log x4 2 V 2x 158 156 In x2 4 4 159 3 160 162 2 500 4 161 2e2j 5ex 3 O l 25e3j l 200 163 400 l 95e06 150 x l 164 4 In 3 In x O 165 log y log x 4 l 166 In x 3 In x 4 3 In 2 167 log x2 log jc 5 2 log 3 Nos exercícios 168 a 171 determine quantas ordens de grandeza uma quantidade difere da outra 168 R 10000000000000 e R 010 169 Um canário pesando 20 gramas e uma galinha pesando 2 quilos CAPÍTULO 12 Funções logarítmicas 161 170 Um terremoto com 7 pontos na escala Richter e outro com 55 pontos 171 Um suco de limão com pH 23 e uma cerve ja com pH 41 172 Quantas vezes o terremoto da Cidade do México em 1978 R 79 foi mais forte que o terremo to de Los Angeles em 1994 R 66 173 Quantas vezes o terremoto de Kobe Japão em 1995 R 72 foi mais forte que o terremoto de Los Angeles em 1994 R 66 174 O pH da água com gás é 39 e o pH do amonía co é 119 a Quais são as concentrações de íons de hidrogénio b Quantas vezes a concentrarão de íons de hidrogénio da água com gás é maior que a do amoníaco c Que ordem de grandeza difere um produto do outro 175 O pH do ácido do estômago é aproximada mente 2 e o pH do sangue é 74 a Quais são as concentrações de íons de hidrogénio b Quantas vezes a concentração de íons de hidrogénio do ácido do estômago é maior que a do sangue c Que ordem de grandeza difere um produto do outro 176 Verdadeiro ou falso A ordem de grandeza de um número positivo é seu logaritmo natural Justifique sua resposta 177 Múltipla escolha Resolva 23jr 32 a x l b x 2 c x 4 áx 11 ex 13 178 Múltipla escolha Resolva In x 1 atl b x le cxl d x e e Não há solução possível 179 Múltipla escolha Quantas vezes foi mais forte o terremoto em Arequipa Peru em 2001 81 na escala Richter com relação ao terremo to na Província Takhar Afeganistão em 1998 61 na escala Richter a 2 b 6 l c 8 l d 142 e 100 180 Prove que se uv 10 para u O e v O então log u log v n Explique como este resultado relaciona a potência de 10 com a ordem de grandeza Nos exercícios 181 a 186 resolva a equação ou a ine quação 181 e x 5 182 e2 8 l O 183 e 5 In x 184 In e2x 3 185 2 log x 4 log 3 O 186 2 log x 1 2 log 6 O Nos exercícios 187 a seguir vamos utilizar o con ceito M C l i onde C é o capital represen ta o valor inicial M é o montante representa o valor futuro i é a taxa de juros no período de interesse e n é a quantidade de períodos referentes à taxa de juros que ocorrem no prazo de uma aplicação financeira vamos supor que a capitalização em um período seja calculada a partir do valor obtido no período imedia lamente anterior 187 Um valor inicial de RS 50000 será aplicado a uma taxa de juros anual de 7 Qual será o investimento dez anos mais tarde 188 Um valor inicial de R 50000 será aplicado a uma taxa de juros anual Qual deve ser a taxa de juros para que o valor inicial dobre em dez anos 189 Um investimento de R 230000 ocorre a uma taxa de juros de 9 ao trimestre Qual deve ser o prazo da aplicação para que esse investimen to atinja o valor de R 415000 190 Um valor inicial de RS 125000 será aplicado a uma taxa de juros bimestral de 25 Qual será o investimento um ano e meio mais tarde 191 Qual valor deve ser investido a uma taxa de juros de 12 ao mês para obter ao final de um semestre e meio o montante de R 350000 192 Um valor inicial de R 235000 será aplicado a uma taxa de juros semestral Qual deve ser a taxa de juros para que o valor inicial atinja R 320000 em dois anos 193 Um investimento de R 870000 ocorre a uma taxa de juros de 3 ao mês Qual deve ser o prazo da aplicação para que esse investimento atinja o valor de R 1100000 Capítulo 13 Funções compostas Objetivos de aprendizagem OperaÇÕ6S COm funÇÕGS Operações com funções Composição de funções Relações e funções definidas implicitamente Muitas funções que estudamos e trabalhamos nas aplicações podem ser criadas modificando ou combinando outras funções Uma maneira de construir novas funções é aplicar as operações usuais adição subtração multiplicação e divi são usando a seguinte definição DEFINIÇÃO Soma diferença produto e quociente de funções Sejame g duas funções com domínios que possuem valores comuns Então para todos os valo res de x na intersecção desses domínios as combinações algébricas de f e g são definidas pelas seguintes regras Soma Diferença Produto Quociente f g x f x g x fgxfxgx fg x fxgx f x desde que g x O Em cada caso o domínio da nova função consiste em todos os números que pertencem ao domí nio de e ao domínio de g Como vemos as raízes da função do denominador são excluídas do domínio do quociente EXEMPLO l Definições algébricas de novas funções Sejam f x x2 e g x V x l Encontre fórmulas para as funções gf g f g f g gg Descreva o domínio de cada uma SOLUÇÃO O domínio de é o conjunto de todos os números reais e o domínio de g pode ser representado pelo intervalo l Como eles se sobrepõem então a intersecção desses conjuntos resulta no con junto dado pelo intervalo l Assim gx f x g x x2 Vx l com domínio gx f x g x x2 v x l com domínio a intersecção desses conjuntos resulta no con 164 Précálculo f g x f x g x x com domínio l com domínio l com domínio 1 o Note que podemos expressar ggx simplesmente por xl Essa simplificação não muda o fato de que o domínio de ggx é o intervalo l A função xl fora desse contexto tem como domínio o conjunto dos números reais Sob essas circunstâncias a função ggx é o produ to de duas funções com domínio restrito Composição de funções Existem situações em que uma função não é construída combinando operações entre duas fun ções uma função pode ser construída aplicando as leis envolvidas primeiro uma e depois a outra Esta operação para combinar funções que não está baseada nas operações numéricas é chamada de composição de função DEFINIÇÃO Composição de funções Sejame g duas funções tais que o domínio de intersecciona com a imagem de g A compo siçãode g denotada poro g é definida pela regra g W O domínio de o g consiste em todos os valores de x que estão no domínio de g e cujo valor gx encontrase no domínio de Veja a Figura 131 x precisa estar no domínio de g gx precisa estar no domínio de Figura 131 Na composição f o g primeiro é aplicada a função g e depois a A composição g de denotada por g o é definida de maneira similar Em muitos casos fog e g o são funções diferentes Na linguagem técnica dizemos que a composição de funções não é comutativa CAPÍTULO 13 Funções compostas 165 EXEMPLO 2 Composição de funções Sejam f x e e gx Vx Encontre as funções o gx e g o Verifique se essas funções não são as mesmas SOLUÇÃO g W Uma forma de verificar que essas funções não são as mesmas é concluindo que não têm domínios iguais f o g é definida somente para x s O enquanto g o f é definida para todos os números reais Podenamos também considerar seus gráficos Figura 132 que interseccionam apenas em x O e JC 4 2 6 por 1 15 Figura 132 Os gráficos de y ev e y Vex não são os mesmos Para finalizar os gráficos sugerem uma verificação numérica vamos citar um valor de x para o qual e gfx têm valores diferentes Podemos verificar isso por exemplo para x 1 e e Vê O gráfico nos ajuda a fazer a escolha adequada de x pois escolher jc O e x 4 levaria à conclusão que elas são iguais EXEMPLO 3 Verificação do domínio de funções compostas Sejam f x x2 l e gx Vx Encontre os domínios das funções compostas a g o f bog SOLUÇÃO a Comporemos as funções na ordem especificada Para estar no domínio de g o f primeiro devese analisar a função f x x2 l Neste caso x pode ser qualquer número real Como depois é calculada a raiz quadrada desse resultado então x2 l pode ter apenas valores não negativos Portanto o domínio de g o consiste em todos os números reais para os quais x2 l O isto é o conjunto 1 U l b Novamente comporemos as funções na ordem especificada f o g x fgx Vx2 l Para x estar no domínio deo g primeiro devese analisar a função gx v x Neste caso x deve 166 Précálculo ser qualquer número real não negativo Como depois é calculado o quadrado desse resultado e subtraído o valor l então o próprio resultado de v x pode ser qualquer número real Portanto o domínio do g consiste em todos os números do conjunto O Nos exemplos 2 e 3 vimos que duas funções foram compostas para formar uma nova função Existem momentos em que precisamos do processo inverso Isso significa que podemos ter a necessidade de partindo de uma função encontrar aquelas que ao serem compostas resultam na que temos EXEMPLO 4 Decomposição de funções v Para cada função h encontre as funçõese g tais que hx fgx a hx x l2 3x 1 4 b hx Vx3 l SOLUÇÃO a Podemos observar que h é uma função quadrática em função de x l As funções procuradas são f x x2 3x 4 e gx x 1 Conferindo hx fgx f x 1 x l2 3 1 4 b Podemos observar que h é a raiz quadrada da função Jt3 1 As funções procuradas são f x vx e gx x3 1 Conferindo hx fgx 3 1 Muitas vezes existe mais de uma maneira para decompor uma função Por exemplo uma alter nativa para decompor hx Vx3 l no Exemplo 4b é fazerjc V l e gx x3 De fato hx fgx t3 Vx3 l Relações e funções definidas implicitamente O termo geral que relaciona as variáveis dos pares ordenados x y é uma relação Se ocorrer de existir um único valor de y para cada valor de x então a relação também é uma função e seu grá fico satisfaz o teste da linha vertical Capítulo 7 No caso da equação de um círculo definida por exemplo por x2 y2 4 os pares ordenados O 2 e O 2 satisfazem a lei da relação assim y não é uma função de x EXEMPLOS Verificação de pares ordenados de uma relação Determine quais dos pares ordenados dados por 2 5 l 3 e 2 1 estão na relação definida por x2y y2 5 A relação é uma função SOLUÇÃO Nós simplesmente substituímos os valores das coordenadas x e y dos pares ordenados em x2y y2 e vemos se o resultado é 5 CAPÍTULO 13 Funções compostas 167 2 5 13 2 1 225 52 5 123 32 12 5 221 l2 5 Assim 2 5 e 2 1 estão na relação mas 13 não está Como a relação está satisfeita para pares ordenados com diferentes valores de y porém para o mesmo valor de x a relação não pode ser uma função Seja novamente a equação do círculo dada por x2 y2 4 Essa equação não define uma fun ção porém podemos reescrever e finalizar em duas equações de modo que cada uma delas seja uma função x2 y2 4 y2 4 x2 y í A4 x2 ou y A4 x2 Os gráficos dessas duas funções são respectivamente os semicírculos superior e inferior do círculo da Figura 133 Eles são mostrados na Figura 134 Desde que os pares ordenados des sas funções satisfaçam a equação x2 y2 4 dizemos que a relação dada pela equação define duas funções implicitamente 3 Figura 133 Círculo de raio 2 centralizado na origem 00 com equação x2 y2 4 3 x 1 i i i r i 5432Ij 2 3 3 1 1 1 1 1 x 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 543 l 3 1 1 1 1 1 1 J 3 4 5 S a b Figura 134 Os gráficos de a y V4 x2 e b y V4 x2 168 Précálculo Uso das funções definidas implicitamente Descreva o gráfico da relação x2 2xy y2 l SOLUÇÃO Observe que a expressão do lado esquerdo da equação pode ser fatorada Isto permite que a equa ção seja escrita como duas funções definidas implicitamente como se seguem x2 2xy y2 l x y2 l x y l x y l ou x y l y x l ou y x l O gráfico consiste em duasfetas paralelas Figura 135 cada um referente a uma função defini da implicitamente 5432rjs 2 3 4 Figura 135 O gráfico da relação x2 2xy y2 1 l l l l REVISÃO RÁPIDA Nos exercícios l a 10 encontre o domínio de cada função e o expresse com a notação de intervalo x2 3 f t 5fx x 3 2 gx lnx 1 3 4 gx 2x l 6 hx Vi x2 9 8 gí ln 10 gx 2 CAPÍTULO 13 Funções compostas 169 EXERCÍCIOS Nos exercícios l a 3 encontre as fórmulas para as funções gfg e f g Dê o domínio de cada uma delas 1 fx 2x 1 gx x2 2 f x x l2 gx 3 x 3 f x V7T5 gx 3s exercícios 4 a 9 encontre as fórmulas para as funções f g e gf Dê o domínio de cada uma delas 5 f x V 2 g W V 4 Bfxx2gx i Nos exercícios 10 a 13 encontre g3 e 10 f x 2x 3 gx x l 11 fx x2 1 gx 2x 3 12 f x x2 4 gx VTTT 13 f x l x 9 x2 Nos exercícios 14 a 21 encontre fgx e gfx Verifique o domínio de cada função 14 f x 3x 2 gx xl 15 fxx2 lgx 16 f x x22 gx l x l 18 S f x x2 e gx lx são mostradas no gráfico a seguir Esboce o gráfico da soma gx manualmente ou com uma calculadora que tenha esse recurso 20 19 21 0w jc l x l Nos exercícios 22 a 26 encontrejt e g de modo que a função possa ser escrita como y fgx po de existir mais de uma maneira de decomposição da função 22 y V2 5 23 y x3 l2 0 5 por O 5 26 y x 35 2 9 f x x2 e gx 4 3x são mostradas no 27 Quais pares ordenados entre l 1 4 2 e gráfico a seguir Esboce o gráfico da diferença f g x manualmente ou com uma calcula dora que tenha esse recurso 5 5 por 10 25 3 1 satisfazem a relação dada por 3x 4y 5 28 Quais pares ordenados entre 51 34 e O 5 satisfazem a relação dada por z2 y2 25 Nos exercícios 29 a 36 encontre duas funções defini das implicitamente partindo da relação dada 29 x2 y2 25 30 x y2 25 31 x2 y2 25 32 32 y2 25 33 x y xy y2 x2 36 y2 x 37 Verdadeiro ou falso O domínio da função quociente fgx que significa fxgx con siste em todos os números que pertencem aos dois domínios que são os de e de g Justifique sua resposta 170 Précálculo 38 Verdadeiro ou falso O domínio da função produto fgx que significa fxgx consiste em todos os números que pertencem ao domínio de ou ao de g Justifique sua resposta 39 Múltipla escolha Suponha e g funções que possuem como domínio o conjunto de todos os números reais Qual das seguintes alternativas não é necessariamente verdadeira a bfgx cfgx d f g x g e f o g x f g x 40 Múltipla escolha Se fác x l e gx V4 x então qual é o domínio da função g aoo4 b oo 4 c4 d 4 e 4 7 U 7 oo 41 Múltipla escolha Se f x jc2 l então o x a 2x2 2 b 2x2 x4 2x2l e x4 2x2 c x4 l 42 Múltipla escolha Qual das seguintes relações define a função y x ay x b y2 x2 c y3 x3 d x2 y2 l e x y 43 Associe cada funçãoa uma função g como tam bém a um domínio D tal que tenhamos o gx x2 com domínio D x2 x2 x 7 x x f 22 22 1 D 2 2x 1 1 l X j g V2 x x 1 2 In x 1 x 1 Vx 2 x 1 x D 0U0 oo 1U1 oo 0 oo 2 oo oo 44 Seja f x x2 1 Encontre uma função g tal que a fgx x4l b gx 3x2 c fgx l dg 9x4 l e gfx 9x4 l Capítulo 14 Funções inversas Objetivos de aprendizagem Relações definidas parametri camente Relações inversas e funções inversas Algumas funções e gráficos podem ser definidos parametrica mente enquanto alguns rfEjpros podem ser entendidos como inversas das funções que já conhecemos Relações definidas parametricamente Uma maneira de definir funções ou de forma mais generalizada relações é definir os dois elementos do par ordenado x y em termos de outra variável t chamada de parâmetro Ilustraremos com um exemplo EXEMPLO l Definição de uma função parametricamente Considere o conjunto de todos os pares ordenados x y l definidos pelas equações onde t é um número real qualquer a Encontre os pontos determinados por t 3 2 10 I2e3 b Encontre uma relação algébrica entre x e y isto é chamado muitas vezes de eliminação do parâmetro Temos y como uma função de x c Esboce o gráfico da relação no plano cartesiano SOLUÇÃO a Substitua cada valor de nas fórmulas que definem x e y para encontrar o ponto que esse valor de t determina parametricamente t Q 2 1 0 1 2 3 x t 1 2 1 0 1 2 3 4 y t2 2t 3 0 1 0 3 8 15 x y 2 3 1 o o D 00 23 38 4 15 b Podemos encontrar a relação entre x e y algebricamente pelo método da substituição Podemos começar com t em termos de x para obtermos t x 1 Substituir na expressão y t2 2t 172 Précálculo y t2 2t y x l2 2x 1 x2 2x l 2x 2 Isso é consistente com os pares ordenados que já havíamos encontrado na tabela Como í varia em todo o conjunto dos números reais obteremos todos os pares ordenados da relação y x2 l o que faz de fato y ser definido como função de x c Desde que a relação definida parametricamente consista em todos os pares ordenados na rela ção podemos obter o gráfico esboçando a parábola como na Figura 141 í 3 Figura 141 Gráfico de y x2 1 EXEMPLO 2 Definição de uma função parametricamente Considere o conjunto de todos os pares ordenados x y definidos pelas equações x t2 2t y t l onde t é um número real qualquer a Encontre os pontos determinados por t 3 2 10 l 2 e 3 b Esboce o gráfico da relação no plano cartesiano c y é uma função de xl d Encontre uma relação algébrica entre x e y SOLUÇÃO a Substitua cada valor de í nas fórmulas que definem x e y para encontrar o ponto que esse valor de í determina parametricamente t 3 2 l O l 2 3 x y 3 2 OD 10 01 32 83 154 CAPÍTULO 14 Funções inversas 173 b Podemos obter o gráfico manualmente ou conferilo na Figura 142 5 5 por 3 3 Figura 142 Gráfico de uma parábola no modo paramétrico c y não é uma função de x No item a já vemos que existem pares ordenados diferentes com valores de x iguais além disso no item b vemos que o gráfico falha no teste da linha ver tical como vimos no Capítulo 7 d De forma análoga ao que foi feito no Exemplo l temos x y2 1 Relações inversas e funções inversas O que acontece quando invertemos as coordenadas de todos os pares ordenados na relação Obviamente obtemos outra relação já que existe um outro conjunto de pares ordenados mas qual semelhança observamos com a relação original Se a relação original é uma função a nova relação também será uma função Podemos ter ideia do que ocorre analisando os exemplos l e 2 Os pares ordenados no Exemplo 2 podem ser obtidos simplesmente invertendo as coordenadas dos pares ordenados no Exemplo l isso porque as definições de x e y estão trocadas nos dois exemplos Dizemos que a relação no Exemplo 2 é a relação inversa da relação no Exemplo l DEFINIÇÃO Relação inversa O par ordenado a b pertence a uma relação se e somente se o par ordenado b a está na rela ção inversa Estudaremos a conexão entre uma relação e sua inversa Teremos interesse em analisar relações inversas e o que ocorrepara serem funções Observe que o gráfico da relação inver sa no Exemplo 2 falha no teste da linha vertical visto no Capítulo 7 e portanto não é o grá fico de uma função A questão que temos é podemos predizer esta falha apenas considerando o gráfico da relação original A Figura 143 sugere que sim O gráfico da inversa na Figura 143b falha no teste da linha vertical porque temos dois valo res diferentes de y para o mesmo valor de x Isto é uma consequência direta do fato de que a rela ção original na Figura 143a possui dois valores diferentes de x com o mesmo valor de y O gráfi co da inversa falha no teste da linha vertical precisamente porque o gráfico original falha no teste da linha horizontal apesar de esse teste não ter sido citado anteriormente ele tem as mesmas ideias do teste da linha vertical do qual falaremos a respeito logo a seguir Isto nos dá um teste para relações cujas inversas são funções 174 Précálculo 1 54321l 2 3 d 1 1 2 3 4 5 a Figura 143 a Relação original e o teste da linha horizontal b Relação inversa e o teste da linha vertical Teste da linHa horizontal A inversa de uma relação é uma função se e somente se cada linha horizontal intersecciona o gráfico da relação original no máximo em um ponto EXEMPLOS Aplicação dd teste da linha horizontal Quais dos gráficos de 1 a 4 na Figura 144 são gráficos de f a relações que são funções l b relações que têm inversas que são funções í SOLUÇÃO l a Os gráficos 1 e 4 são gráficos de funções porque satisfazem o teste da linha vertical Já os l gráficos 2 e 3 não são gráficos de funções porque falham no teste da linha vertical l b Os gráficos 1 e 2 são gráficos de relações cujas inversas são funções porque satisfazem o teste da linha horizontal Os gráficos 3 e 4 falham no teste da linha horizontal assim suas l relações inversas não são funções J L 5432Jj l l l 4 2 3 4 5 2 Figura 144 Gráficos do Exemplo 3 CAPÍTULO 14 Funções inversas 175 Figura 144 Gráficos do Exemplo 3 Uma função cuja inversa é uma função tem o gráfico que satisfaz tanto o teste da linha hori zontal como o teste da linha vertical tal como o Gráfico 1 do Exemplo 3 Tal função é bijetora desde que todo x seja a primeira coordenada de um único y e todo y seja a única segunda coordenada de um único x DEFINIÇÃO Função inversa Se fé uma função bijetora com domínio A e imagem B então a função inversa de denotada por1 é a função com domínio B e imagem A definida por a se e somente se f á b CUIDADO SOBRE A NOTAÇÃO DE FUNÇÃO O símbolo1 deve ser lido corno função inversa e jamais deve ser confundido com a recíproca de f Se f é uma função o símbolo1 pode somente significar a inversa de A recíproca de f deve ser escrita como l O que é uma função bijetora Para definirmos isso daremos outras definições antes Uma funçãode A em B é injetora se quaisquer dois elementos distintos do domínio de que é o conjunto A possuem imagens diferentes em B Uma função de A em B é sobrejetora se seu con junto imagem for igual ao seu contradomínio isto é se seu conjunto imagem resultar em todo o conjunto B B é o contradomínio Uma funçãode A em B é bijetora se for injetora e sobrejetora EXEMPLO 4 Verificação da função inversa algebrícamente Encontre uma equação para se f x xx 1 SOLUÇÃO O gráfico dena Figura 145 sugere queseja bijetora A função original satisfaz a equação y xx 1 Se de fatoé bijetora então a inversa1 irá satisfazer a equação x yy 1 observe que apenas trocamos x por y e y por x Se resolvermos esta nova equação escrevendo y em função de x então teremos uma fórmula para W x y xy yl v 176 Précálculo xy x y xyy x yx 1 x y y x l JC l x Portanto xl x 47 47 por 5 5 Figura 145 O gráfico de f x xx 1 Muitas funções não são bijetoras e assim não têm funções inversas O último exemplo mos trou uma maneira de encontrar a função inversa porém dependendo do caso o desenvolvimento algébrico pode tornarse difícil O que ocorre é que acabamos encontrando poucas inversas dessa forma É possível usar o gráfico depara produzir um gráfico de1 sem nenhum desenvolvimento algébrico bastando utilizar a seguinte propriedade geométrica os pontos a b e b á são simétri cos no plano cartesiano com relação à reta y x Os pontos a b e b a são reflexões um do outro com relação à reta y x EXEMPLO 5 Verificação da função inversa graficamente l O gráfico de uma função y fx é demonstrado na Figura 146 Esboce o gráfico da função y f x Podemos dizer queé uma função bijetora SOLUÇÃO l Observe que não precisamos encontrar uma fórmula parax Tudo o que precisamos para fazer isso é encontrar a reflexão do gráfico dado com relação à reta y x Isso pode ser feito geo metricamente í Imagine um espelho ao longo da reta y x e desenhe a reflexão do gráfico dado no espelho veja l a Figura 147 S Uma outra maneira para visualizar esse processo é imaginar o gráfico desenhado numa janela de vidro Imagine esse vidro girando ao redor da reta y x de modo que os valores positivos de x ocupem os lugares dos valores positivos de y O gráfico de então passará a ser o gráfico de Desde que a inversa detenha um gráfico que satisfaça os testes da linha vertical e da linha hori zontal fé uma função bijetora CAPÍTULO 14 Funções inversas 177 Figura 146 O gráfico de uma função bijetora O gráfico de O espelho y x A reflexão O gráfico de Figura 147 Reflexão do gráfico com relação à reta y x Existe uma conexão natural entre inversas e composição de funções e isso dá uma ideia do que uma inversa faz desfaz a ação da função original A regra da composição para função inversa Uma funçãoé bijetora com função inversa g se e somente se fgx x para todo x no domínio da função g e x para todo x no domínio de EXEMPLO 6 Verificação de funções inversas Mostre algebricamente que f x x3 l e gx V x l são funções inversas SOLUÇÃO Vamos usar a regra citada anteriormente 178 Précálculo fgx gfx Desde que essas equações sejam verdadeiras para todo x a regra garante que e g são inversas Saiba que essas funções têm como gráficos os utilizados no Exemplo 5 Algumas funções são importantes de modo que precisamos estudar suas inversas mesmo não sendo funções bijetoras Um bom exemplo é a função da raiz quadrada que é a inversa da função quadrática A inversa não dá a função quadrática completa pois se for dessa forma ela falha no teste da linha horizontal A Figura 148 mostra que a função y Vx é realmente a inversa de y x2 com um domínio restrito isto é definida somente para x 0 2h O gráfico de y x2 não é bijetora 54321 A relação inversa de y x2 não é uma função i i i i i 54321 1 2 3 4 5 6 54321 1 2 3 4 5 6 O gráfico da função cuja inversa é y v x O gráfico de y V é uma função Figura 148 A função y x1 com domínio não restrito e também restrito A questão do domínio adiciona um refinamento para o método algébrico que está resumido a seguir Como encontrar uma função inversa algebricamente pila uma fórmula para uma função proceda da seguinte maneira para encontrála lDetermine ipe existe ama função1 verificando que fé bijetora Estabeleça restrições sobre o domínio de de modo que ela seja bijetora i3pBkpe Jt e y na formula y Si Êèsolya isolando y para obter y fl x Veja que o domínio de f é uma conseqiiên jjrimeiro procedimento CAPÍTULO 14 Funções inversas 179 EXEMPLO Verificação de uma função inversa V Mostre que x V 3 tem uma função inversa e encontre uma regra para f l x Estabeleça quaisquer restrições sobre os domínios de e de f1 SOLUÇÃO O gráfico de satisfaz o teste da linha horizontal assimtem uma função inversa Figura 149 Observe que tem domínio 3 e imagem O Para encontrar escrevemos y v x 3 onde jt s 3 v O x Vy 3 onde y a 3 x a O x2 y 3 onde y 3 x0 y x2 3 onde y 3 x O Assim f l x x1 3 com um domínio restrito dado por IR x G IR x 0 foi herdado da imagem da função A Figura 149 mostra as duas funções 47 47 por 31 31 Figura 149 O gráfico de fx V 3 e sua inversa REVISÃO RÁPIDA Nos exercícios l a 10 resolva a equação para y lx 3y6 3x y2 4 y2 y 3 2y l y4 9x V y 3 y 3 2 x 05 l 4 x y2 6 6 x 8x y 2 3yl 180 Précálculo EXERCÍCIOS Nos exercícios l a 4 encontre o par x y para o valor do parâmetro 1 x 3í e y t2 5 para í 2 2 x St l e y 17 3 para í 2 3 t í3 4í e j Vf l para í 3 4 jc í 3 e y lí para f 8 Nos exercícios 5 a 8 a Encontre os pontos determinados por t 3 2 10 l 2 e 3 b Encontre uma relação algébrica entre x e y e determine se as equações paramétricas determi nam y como uma função de x c Esboce o gráfico no plano cartesiano 5 x 2t e y 3í l 6 t l e t2 2t 7 x t2ey t2 Vt e 8 2t 5 Nos exercícios 9 a 12 são mostrados os gráficos de relações a A relação é uma função b A relação tem uma inversa que é uma função 11 Nos exercícios 13 a 22 encontre uma fórmula para flx Dê o domínio de incluindo todas as res trições herdadas de 13 f x 3 6 WTff Nos exercícios 23 a 26 determine se a função é bije tora Se for esboce o gráfico da função inversa 23 CAPÍTULO 14 Funções inversas 181 24 25 26 Nos exercícios 27 a 32 confirme que e g são inver sas mostrando quegx jt e gfx x 27 28 29 3x 2 e e gjc 4 3 x3 l e gx 30 f x e g JC 31 W 32 f x l x 1 z l 2 3 x l 33 A fórmula para converter a temperatura Celsius x em temperatura Kelvin é kx x 27316 A fórmula para converter a temperatura Fahrenheit 5 32 x em temperatura Celsius é cx a Encontre uma fórmula para clx Para que é usada essa fórmula b Encontre k cx Para que é usada essa fórmula 34 Verdadeiro ou falso Se fé uma função bije tora com domínio A e imagem B então é uma função bijetora com domínio B e imagem A Justifique sua resposta 35 Múltipla escolha Qual par ordenado está na inversa da relação dada por x2y 5y 9 a 21 b 21 c 12 d21 e l2 36 Múltipla escolha Qual par ordenado não está na inversa da relação dada por xy1 3x 12 aO4 b 41 c 3 2 d 2 12 e l 6 37 Múltipla escolha Qual função é a inversa da função f x 3x 2 a gx 2 b gx 23 x 2 3 j ç 3 c g d gx Z e gx 38 Múltipla escolha Qual função é a inversa da função 3 l a gW b gx c gx é d gW e gW l iííS1 JP v M t Õ Hs Capítulo l 5 Derivada e integral de uma função Objetivos de aprendizagem Velocidade média e velocidade instantânea Ratas tangentes a um gráfico A derivada Regras de derivação Introduçãooà integral de uma função A integral definida e indefinida Regras de integração A derivada de uma função nos permite analisar taxas de varia ção as quais são fundamentais para entender conceitos em áreas como física economia engenharia A integral de uma função nos permite fazer muitas aplicações em várias áreas da ciência Daremos uma noção bas tante introdutória para esse assunto muito importante Velocidade média e velocidade instantânea Velocidade média é o valor da variação da posição de um objeto ou dizemos variação do espaço percorrido divi dido pelo valor da variação do tempo como podemos ver no Exemplo 1 EXEMPLO l Cálculo da velocidade média Um automóvel viaja 200 quilómetros em 2 horas e 30 minutos Qual é a velocidade média desse automóvel após transcorrido esse tempo SOLUÇÃO A velocidade média é o valor da variação da posição 200 quilómetros dividido pelo valor da variação do tempo 25 horas Se denotarmos a posição por s e o tempo por temos Velocidade média As 200 quilómetros Aí 25 horas 80 quilómetros por hora Note que a velocidade média não nos diz o quão rápido o automóvel está viajando em um momento qualquer durante o intervalo de tempo Ele poderia ter caminhado a uma velocidade cons tante de 80 quilómetros por hora durante todo o tempo ou poderia ter aumentado a velocidade como também ter diminuído ou até parado momentaneamente várias vezes durante a viagem Veremos a seguir o conceito de velocidade instantânea EXEMPLO 2 Cálculo da velocidade instantânea Uma bola desce uma rampa tal que sua distância í do topo da rampa após t segundos é exatamen te t2 centímetros Qual é sua velocidade instantânea após t segundos SOLUÇÃO Poderíamos tentar responder essa questão calculando a velocidade média sobre intervalos de tempo cada vez menores Sobre o intervalo 3 31 As Aí 32 061 31 3 01 61 centímetros por segundo 186 Précálculo Sobre o intervalo 3 305 As 3052 32 03025 At 305 3 005 605 centímetros por segundo Continuando esse processo poderíamos eventualmente concluir que a velocidade instantânea é de 6 centímetros por segundo Portanto podemos ver diretamente o que está acontecendo com o quociente que resulta na velo cidade média por meio do que chamamos de limite da velocidade média sobre o intervalo 3 t quando t se aproxima de 3 esse limite estuda a tendência da velocidade média na medida que t se aproxima de 3 r As r 23 2 hm hm r3 Aí r3 f 3 t 3 lim 3 í3 6 Desde que temos t 3 então r 3 l Note que t não é igual a 3 mas está se aproximando de 3 como um limite o que nos permite fazer o cancelamento no Exemplo 2 Se t fosse igual a 3 o desenvolvimento feito nos levaria a uma conclusão incorreta que é a de que 00 6 A diferença entre igualar a 3 e se aproximar de 3 como um limite é sutil mas faz toda a diferença algebricamente Não é simples a definição algébrica formal de um limite Temos utilizado a ideia intuitiva desde o Capítulo 7 e podemos usar o seguinte resultado digamos informal DEFINIÇÃO Limite em a Quando escrevemos lim f x L temos de fato quejc se aproxima de L na medida em que x se aproxima de a Retas tangentes a um gráfico Observe a Figura 151 a seguir Se ligarmos os pontos 11 e 24 com uma reta construire mos então uma reta secante ao gráfico Podemos encontrar a tangente do ângulo que essa reta forma com o eixo horizontal x ou seja podemos encontrar a inclinação da reta esse ângulo é definido da reta no sentido horário até o eixo horizontal x Observe que essa conta pode ser feita com o cál culo da velocidade média da bola no intervalo de tempo 12 CAPÍTULO 15 Derivada e integral de uma função 187 Figura 151 O gráfico de s t2 mostra a distância s percorrida pela bola na rampa como no Exemplo 2 como uma função do tempo transcorrido t Essa conclusão é importante Se as a e bs b são dois pontos do gráfico então a veloci dade média sobre o intervalo ab pode ser interpretada como a inclinação da reta contendo esses dois pontos De fato designamosas quantidades com os símbolos AíAí EXEMPLO 3 Cálculo da inclinação de uma reta tangente Use limites para encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico de í í2 no ponto 11 Figura 152 A reta tangente ao gráfico de s t2 no ponto 11 SOLUÇÃO Usaremos as mesmas ideias já utilizadas no Exemplo 2 r Aí r í1 hm hm Aí I1 t l t l limí rl lim í 1 ri 2 t l Desde que temos t i l então f l l Se compararmos os exemplos 2 e 3 veremos que os métodos tanto para resolver o problema da reta tangente como para resolver o problema da velocidade instantânea são os mesmos 188 Précálculo A derivada Se y f x é uma função qualquer então podemos dizer como y varia quando x varia DEFINIÇÃO Taxa média de variação Se y f x então a taxa média de variação de y com relação a x sobre o intervalo a b é Ay f b f à A è a Geometricamente esta é a inclinação da reta secante que passa pelos pontos a f a e b f b Usando limites podemos desenvolver a definição para a taxa instantânea de 3 com relação a x no valor de x a Esta taxa de variação instantânea é chamada de derivada ou seja derivada da função y f x quando x a DEFINIÇÃO Derivada em um ponto A derivada da funçãoem a denotada pora lêse linha de a pode ser definida através do limite limM ia x a desde que o limite exista Geometricamente representa a inclinação da reta tangente ao gráfico dee que passa pelo ponto a f a Se considerarmos x a h então fazer x se aproximar de a é o mesmo que fazer h tender a 0 DEFINIÇÃO Derivada em um ponto A derivada da funçãoem x a denotada pora lêse linha de a é desde que o limite exista Pelo fato de a derivada de uma função em um ponto poder ser vista geometricamente como a inclinação da reta tangente à curva y f x passando pelo próprio ponto a derivada pode não exis tir uma vez que essa reta tangente pode não estar bem definida A Figura 153 mostra três casos para os quais0 existe mas0 não 47 47 por 31 31 a CO t tem um gráfico com inclinação não definida em jc 0 47 47 por 31 31 b f x x tem um gráfico com uma reta tangente vertical em x 0 47 47 por 31 31 c í JT l para O fx l paraxaO Figura 153 Exemplos de funções definidas em x O mas sem a derivada em x 0 CAPÍTULO 15 Derivada e integral de uma função 189 Encontrar4 se f x 2x2 3 SOLUÇÃO lim h0 24 h2 3 2 42 3 216 8z h2 32 lim hm 16z 2h2 i0 lim 16 2z A0 16 l desdei É O n A derivada também pode ser definida como uma função de x Essa função chamada função derivada tem como o domínio o conjunto de todos os valores do domínio de para os quais tem derivada isto é f é diferenciável A função pode ser definida adaptando a definição que já vimos para x a DEFINIÇÃO Derivada de uma f unçãox Se y f x então a derivada da funçãocom relação a x é a função cujo valor em x é para todos os valores de x onde o limite existe O Exemplo 5 nos informa sobre a notação que podemos encontrar quando o assunto é a deri vada de uma função EXEMPLO 5 Cálculo da derivada de uma função com apresentação de outra notação V a Encontre x se x x2 isto é encontrar se y x2 dx b Encontre f x se f x isto é encontrar se y X uX X SOLUÇÃO W Z M x h2 x2 lim AO h lim hM x2 2xh h2 x2 190 Précálculo 2xh h2 hm Hm 2x h y 1 desde que h O A0 h 4 Assim f x 2x isto é 2x dx lim A0 Z l J x h x lim lim x x h h h l x h h l xx h 1 l x2 l l dy l i Assim f x 5 isto é 5 dc x Regras de derivação Já estudamos como funciona a derivada de uma função pela definição No entanto vale informar que existem regras de derivação de função cujo objetivo é tornar mais fácil todo o procedimento desenvolvido aqui Todos os resultados podem ser demonstrados porém citaremos somente algu mas funções seguidas das respectivas derivadas Função constante Função diferença f x vjc W f x ux vx f x O Função produto Função potência f jc u vjc x e uma constante W W v W vx f x ajc1 x11 3 Função produto com um dos fatores constante dizemos constante Função soma multiplicada por função fxux vx f x kvx f x ux vx f x k vx CAPÍTULO 15 Derivada e integral de uma função 191 Função quociente ux f x y vx O vx ux vx ux vx Função exponencial f x ajtíElR a Oea l f x aIn a Função logarítmica f x logaxx e 0 a O e a f x x In a Introdução à integral de uma função Com as informações da velocidade de um objeto e do tempo transcorrido podemos calcular a distância percorrida Os exemplos a seguir mostram isso EXEMPLOS Cálculo da distância poieorrida rom uma velocidade constante l Um automóvel viaja a uma vetocidade constante de 80 krnh durante 2 horas e 30 minutos Qual i é a distância percorrida pelo automóvel SOLUÇÃO Distância Velocidade tempo 80 25 200 quilómetros LO7 Cálculo da distância percorrida com uma velocidade média Um automóvel viaja a uma velocidade média de 80 kmh durante 2 horas e 30 minutos Qual é a distância percorrida pelo automóvel SOLUÇÃO AÍ Velocidade média Aí 80 25 200 quilómetros Vemos que dada a velocidade média sobre um intervalo de tempo podemos facilmente encon trar a distância percorrida Mas suponha que temos uma função velocidade v f que nos fornece a velocidade instantânea como uma função variando com relação ao tempo como podemos usar a função que dá a velocidade instantânea para encontrar a distância percorrida no intervalo de tempo Observe a Figura 154 Vemos que a área do retângulo sombreado resulta no mesmo valor obti do com a multiplicação entre a distância percorrida e o tempo transcorrido Velocidade km 80 25 Tempo h Figura 154 Velocidade constante do Exemplo l em função do tempo 192 Précálculo Agora suponha que a função velocidade varia constantemente como uma função do tempo como mostrado na Figura 155 Velocidade Velocidade Tempo Tempo Figura 155 Velocidade variando no intervalo de tempo a b Figura 156 A região sob a curva partida em fatias De modo análogo seria a área sob a curva entre os valores a e b o valor da distância percor rida A resposta é sim A ideia dessa definição é partir o intervalo de tempo em muitos pequenos intervalos cada um com uma velocidade praticamente constante de tão estreito que é esse inter valo Cada fatia por ser estreita parece um retângulo Veja a Figura 156 A soma das áreas desses retângulos apresentada na Figura 156 resulta então num valor apro ximado da área sob a curva eácima do eixo horizontal Vejamos o Exemplo 8 EXEMPLO 8 Cálculo aproximado da área com Use os seis retângulos na Figura 157 para aproximar a área da região sob o gráfico de f x x2 Í sobre o intervalo 03 SOLUÇÃO LH7 y 1 2 3 Figura 157 Parte do gráfico de f x x2 com a área sob a curva partida em aproximada mente seis retângulos A base de cada retângulo é 12 A altura é determinada pela função aplicada no valor do extremo direito de cada intervalo no eixo x As áreas dos seis retângulos e a área total estão calculadas na tabela a seguir CAPÍTULO 15 Derivada e integral de uma função 193 Subintervalo 0 12 12 1 1 32 32 2 2 52 52 3 Base do retângulo 12 12 12 12 12 12 Altura do retângulo 12 122 O U2 1 f 32 322 f 2 22 4 52 522 3 32 9 Área do retângulo 14 U2X14 U20 94 l294 l24 254 l2254 U2X9 Área total 0125 0500 1125 2000 3125 4500 11375 Os seis retangulos resultam em aproximadamente 11375 unidades quadradas para a área sob a curva de O até 3 jt Vale observar que pelo fato de termos considerado o valor de x que está no extremo direito de cada subintervalo então superestimamos a área sob a curva citada Se tivéssemos considerado o valor de x que está no extremo esquerdo de cada subintervalo então teríamos subestimado esse valor de área como vemos na Figura 158 Figura 158 As alturas dos retangulos são determinadas pela função aplicada nos valores extremos à esquerda de cada subintervalo Nesse caso a área resulta em aproximadamente 6875 unidades quadradas A média entre as duas aproximações é de 9 125 unidades quadradas que é uma boa estimativa para a verdadeira área de 9 uni dades quadradas esse resultado j é obtido com ferramentas do próprio cálculo diferencial e integral Se continuássemos nesse processo de partir em retangulos cada vez mais estreitos poderíamos passar de um número finito de retangulos cuja soma das áreas resulta num valor aproximado da área sob a curva para infinitos retangulos cuja soma das áreas resulta no valor exato da área sob a curva Isto dá o suporte para a definição da integral de uma função A integral definida e indefinida Seja uma função contínua y f x no intervalo a b Divida o intervalo a b em n subinter valos de comprimento Ax b dn Escolha um valor qualquer xo primeiro subintervalo x2 no segundo e assim por diante Caículefxfx2fx3 multiplique cada valor por Ax e faça a soma dos produtos A notação da soma dos produtos é 194 Précálculo O limite dessa soma quando n tende para é a solução do problema da área e também a solu ção para o problema da distância percorrida Esse limite caso exista é chamado de integral definida OBSERVAÇÃO A soma da forma onde xá no primeiro subintervalo 2 está no segundo e assim por diante é chamada soma de Riemann em homenagem a Georg Riemman 18261866 que determinou as funções para as quais tais somas têm limite quando n tende para DEFINIÇÃO Integral definida Sejauma função definida sobre o intervalo ab e seja x A como definida anterior rfeí1 mente A integral definidadesobre ab denotada por l f x dx é dada por fb n a dx lim Ax Ja n 00 desde que o limite exista Se o limite existe então dizemos que fé integrável sobre a b SOBRE A NOTAÇÃO DA INTEGRAL DEFINIDA A notação se iguala com a notação sigma da soma para a qual o limite é aplicado O 2 no limite se transforma no estilizado S para soma O Ax tornase dx e x tornase simples mente fx afinal estamos somando todos os valores fx pertencentes ao intervalo sendo desnecessários então os subscritos Uma definição informal para limite no infinito é DEFINIÇÃO Limite no infinito Quando escrevemos lim f x L isso significa queX fica cada vez mais próximo de L na xoo medida em que x assume valores arbitrariamente grandes Os exemplos a seguir utilizarão recursos da geometria para cálculo das áreas de figuras geométricas EXEMPLOS Cálculo de uma integral Calcule f5 2x dx I SOLUÇÃO l Essa integral será a área sob a reta que é o gráfico de y 2x sobre o intervalo l 5 Q gráfico na Figura 159 mostra que esta é a área de um trapézio Assim 2xdx 4 24 CAPÍTULO 15 Derivada e integral de uma função 195 EXEMPLO 10 Cálculo de uma integral Suponha uma bola rolando e descendo uma rampa tal que sua velocidade após t segundos é sem pre 2t centímetros por segundo Qual a distância que ela percorrerá nos três primeiros segundos SOLUÇÃO A distância percorrida será a mesma que a área sob o gráfico da velocidade v í 2í sobre o intervalo 03 O gráfico é mostrado na Figura 1510 Desde que a região seja triangular podemos encontrar a área i to é de nove centímetros base altura 3 6 A distância percorrida nos três primeiros segundos portan Figura 159 y 2 l l l Figura 1510 Podemos definir a integral de uma função f x sem especificar qual é o intervalo de x que estamos considerando O resultado disso é uma função chamada primitiva adicionada de uma constante C DEFINIÇÃO Integral indefinida Sejauma função A integral indefinida dedenotada por l f x dx é dada por fxdx Fx C de modo que a derivada de Fx C seja f x Regras de integração Já vimos como funciona a integral de uma função pela definição No entanto vale informar que existem regras de integração de função cujo objetivo é tornar mais fácil todo o procedimento desenvolvido aqui o intuito é o mesmo das regras de derivação Todos os resultados podem ser demonstrados porém citaremos somente alguns casos de integral de função seguidos dos respecti vos resultados Observe que todas as regras aparecem com uma parcela C do lado direito essa par cela representa uma constante qualquer cuja derivada é 0 196 Précálculo Iniciaremos citando as propriedades de integrais indefinidas ou seja propriedades das inte grais sem determinação do intervalo real que esteja fazendo referência f x dx fxdx gx dx f x gx dx x dx gx dx Algumas regras f x d x dx C para n l n l kdx kX C x x dx dx In x C x exdx e C a dx 1 C com a O e a In a REVISÃO RÁPIDA Nos exercícios l e 2 encontre a inclinação da reta determinada pelos pontos 1 2 3 51 2 31 33 Nos exercícios 3 a 5 escreva uma equação para a reta especificada 3 Passa por 2 3 com inclinação 32 4 Passa por l 6 e 4 1 5 Passa por l 4 e é paralela a y 34t 2 Nos exercícios 6 a 9 simplifique a expressão supondo que h seja diferente de 0 6 2 h2 4 h 7 3 h2 3 h 12 h 8 l2 h 12 9 x h lx h CAPÍTULO 15 Derivada e integral de uma função 197 Nos exercícios 10 e 11 liste os elementos da sequência 11 V 10 ak ka Jt l 2 3 4 9 10 11 2 2 2 fc para k l 2 3 4 9 10 Nos exercícios 12 a 15 encontre a soma 12 1 13 X 1 10 14 16 Um caminhão viaja a uma velocidade média de 85 quilómetros por hora durante 4 horas Qual a distân cia percorrida 17 Uma bomba de água funciona durante duas horas e sua vazão tem capacidade para encher 5 galões por minuto Quantos galões elajjonsegue encher após o período de duas horas 18 Um país tem uma densidade populacional de 560 pessoas por quilómetro quadrado em uma área de 90000 quilómetros quadrados Qual é a população do país EXERCÍCIOS 1 Uma ciclista viaja 21 quilómetros ejn 1 hora e 45 minutos Qual é a velocidade média dessa ciclis ta durante todo esse intervalo de tempo 2 Um automóvel viaja 540 quilómetros em 4 horas e 30 minutos Qual é a velocidade média desse automóvel durante todo esse intervalo de tempo Nos exercícios 3 a 6 a posição de um objeto no 9 x 2 10 x 4 y y 3 2 0 i i A T 4 l 1 2 o t é dada por í f Encontre a velocidade instan tânea no valor indicado de t 3 4 5 6 st 3í 5 em t 4 st em t 2 st at2 5 em í 2 st V l em í l Nos exercícios 7 a 10 use o gráfico para estimar a inclinação da reta tangente ao gráfico caso ela exis ta no ponto com valor x dado 7 x O 8 x l J 4 2 2 2 4 4 Nos exercícios 11 a 14 use a definição com limite para encontrar a a inclinação da reta que tangencia o gráfico da função no ponto com o valor de x dado b a equação da reta tangente que passa pelo ponto c o esboço do gráfico da curva próximo ao ponto dado llfx 2x2 em x l 12fx 2xx2 em x 2 13fx 2x2lx 3 em x 2 14 f x em x l x 2 Nos exercícios 15 a 20 encontre a derivada caso ela exista da função no valor de x especificado 15W l Jt2 em x 2 16fx 2x l2x2 em x 2 17W 3x2 2 em x 2 18W x2 3x l em jt l 198 Précálculo 19U 21 em x 2 l 20 36 Derive as funções a seguir pelas regras de deriva ção x 2 em Nos exercícios 21a 24 encontre a derivada de 21W 23 22 23x 3x2 2x l 24 Nos exercícios 25 a 28 esboce um possível gráfico para uma função que tem as propriedades descritas 25 O domínio deé 05 e a derivada em 2 é 3 26 O domínio de fé 05 e a derivada é O em x 2 éx 4 27 O domínio deé 05 e a derivada em 2 não está definida 28 O domínio de é 05 não é decrescente em 05 e a derivada em x 2 éQf 29 Explique por que você pode encontrar a derivada dex ax b sem fazer cálculo algum Qual éax 30 Use a primeira definição de derivada em um ponto para expressar a derivada dex xm x O como um limite Então explique por que o limite não existe 31 Verdadeiro ou falso Se a derivada da função existe em a então a derivada é igual à incli nação da reta tangente em x a Justifique sua resposta 32 Múltipla escolha Se f x x2 3x 4 então encontrex a x2 3 b x2 4 c 2x l d 2x 3 e 2x 3 33 Múltipla escolha Se f x 5x 3x2 então encontre x a 56 b 5 3 c 5x 6 d 10 3 e 5 6x2 34 Múltipla escolha Se x3 então encon tre a derivada deem 2 a 3 b 6 c 12 d 18 e Não existe então 361 362 x5 de 2 1 3x2 2 36 36 13 5 1 gráfico es c sn c cni 2 X 2 tas é 3 o Z não 36 36 7 9 A V V 1 W x 5Vx 5 A 36 36 36 36 4 6 8 10 A A A flY Vx 3 32 4 3611 3612 3613 fx 3614 IO4 5x2 Vx 3615 4x3 5 3616 fx 43 6 1000 3617 3618 3619 f x 3 x 4 3620 x2 j x 3621 c r3 3622 f x 4x3 5x4 6 3623 f x Tx 5jc4 6 3624 fx 4x3 5x2 6 3625 x x x3 x 3626 O x 11 x 3627 3628 f 35 Múltipla escolha Se fx x 3 encontre a derivada deem x 1 a b c d e Não existe 10 2x 3629 fíx 3630 fíx 3631 fx 3633 x 4 x 12 6 4 3 3632 3634 x 10 x l x l 10 2 x CAPÍTULO 15 Derivada e integral de urna função 199 Nos exercícios 37 a 41 explique como representar o problema como uma questão de cálculo de área e então resolvao 37 Um trem viaja a 120 quilómetros por hora duran te 3 horas Qual a distância percorrida 38 Uma bomba de água funciona durante uma hora e meia e sua vazão tem capacidade para encher 15 galões por minuto Quantos galões ela conse gue encher após o período de uma hora e meia 39 Uma cidade tem uma densidade populacional de 650 pessoas por quilómetro quadrado em uma área de 49 quilómetros quadrados Qual é a população da cidade 40 Um avião viaja a uma velocidade média de 640 quilómetros por hora durante 3 horase 24 minu tos Qual a distância percorrida pelo avião 41 Um trem viaja a uma velocidade média de 38 quilómetros por hora durante 4 horas e 50 minu tos Qual a distância percorrida pelo trem Nos exercícios 42 a 45 estime a área da região acima do eixo horizontal x e sob o gráfico da função de x O até x 5 4 4 2 5 í O O l Nos exercícios 46 e 47 use os 8 retangulos mostra dos para aproximar a área da região abaixo do gráfi co de f x 10 x2 sobre o intervalo 13 l 2 3 200 Précálculo Nos exercícios 48 a 51 divida o intervalo dado no número indicado de subintervalos 48 O 2 4 49 O 2 8 50 14 6 51 15 8 Nos exercícios 52 a 57 encontre a integral definida através do cálculo da área 52 l 5 dx 53 í 6 dx 4 r 56 í jc 3 dx Ji 54 3xdx s í 05 h f4 3 2 dx h 5xdx 58 Suponha que uma bola é lançada do alto de uma torre e sua velocidade apqfr t segundos é sempre 32f centímetros por segundo Qual a distância que ela cairá nos primeiros 2 segundos 59 Verdadeiro ou falso A afirmação lim fx L JC4 significa que assume valores arbitrariamente grandes quando x se aproxima de L Pode ser mostrado que a área daíegião limitada pela curva y vx o eixq i e a retax 9 é 18 Use este fato nos exercícios 60 a 63 para escolher a resposta correia Não use calculadora 60 Múltipla escolha f9 2V dx Jo a 36 b 27 c 18 d 9 e 6 9 61 Múltipla escolha í Vx 5 dx Jo a 14 b 23 c 33 d 45 e 63 f 1 4 Múltipla escolha V x 5 d x J5 V a 9 b 13 c 18 d 23 e 28 63 Múltipla escolha J Vlx dx a 54 b 18 c 9 d 6 e 3 64 Seja l se x 2 xsex2 a Esboce o gráfico de Determine seu domí nio e sua imagem b Você poderia definir a área sobde x O até x 4 Faz diferença se a função não tem valor em x 2 65 Integre as funções a seguir pelas regras à í 2x3 dx b í 4x2 3x 5 dx c d l x5 2x dx e 7 x dx f 2t3 5x2 6x 7 dx h x3dx g Vxdx i 5x Vx dx j 46 x 3 dx k 4dx 1 yedx Apêndice Sistemas e matrizes Objetivos de aprendizagem Sistemas de duas equações solução pelo método da substi tuição O método da adição ou do cancelamento Caso de aplicação Matrizes m Soma e subtração de matrizes Multiplicação de matrizes Matriz identidade e matriz inversa Determinante de uma matriS quadrada t Muitas aplicações em negócios e ciências podem ser modeladas usando sistemas de equações  álgebra de matrizes fornece uma poderosa técnica para manipular grandes conjuntos de dados e resolver problemas relacionados à modelagem por matrizes método da substituição para ver que 3 Sistemas de duas equações solução pelo método da substituição Vejamos um exemplo de um sistema de duas equações lineares com duas variáveis x e y 2xyQ 3x 2y l Uma solução de um sistema de duas equações com duas variáveis é um par ordenado de números reais que satisfaz cada uma das equações Por exemplo o par orde nado 3 4 é uma solução do sistema acima Subs tituindo x 3 ey 4 em cada equação obtemos 2xy 23 4 6 4 10 3x 2y 33 24 9 8 1 Assim ambas as equações estão satisfeitas Resolvemos o sistema de equações quando encontra mos todas as suas soluções No Exemplo l usamos o 4 é a única solução deste sistema EXEMPLO 1 Método da substituição Resolva o sistema 2x y 10 3x 2y l SOLUÇÃO Solução algébrica Podemos escolher uma das equações e em seguida uma das variáveis para isolar Segue uma sugestão que é o isolamento de y na primeira equação y 2x 10 Aplicamos essa expressão então na segunda equação 202 Précálculo 3x 2y l 3 22x 10 l 3x 4x 20 l 7 21 jc 3 Substituindo x 3 na primeira equação que ficou com o y isolado temos y 2x 10 2 3 10 4 Suporte gráfico Vejamos o gráfico Intersecção X3 f 5 10 por 20 20 Figura Al Intersecção das retas y 2x 10 e y 15 05 no ponto 3 4 Como primeira equação é 2x y 10 então podemos considerar y 2x 10 no caso da segun da a equação é de 3x 2y l e isolando y temos y l5x 05 O gráfico de cada equação é uma reta A Figura Al mostra que as duas retas se interseccionam no ponto 3 4 Interpretação A solução do sistema éx 3 e y 4 ou o par ordenado 3 4 Algumas vezes o método da substituição pode ser aplicado quando as equações no sistema não são lineares corno ilustrado no Exemplo 2 EXEMPLO 2 Resolução de um sistema nãolinear pelo método da substituição s Encontre as dimensões de um jardim retangular que tem perímetro 100 metros e área de 300 m2 SOLUÇÃO Solução algébrica Temos a seguir o modelo matemático l Sejam x e y os comprimentos dos lados adjacentes do jardim São verdadeiras as equações 2x 2y 100 xy 300 Podemos resolver a primeira equação isolando y isto é fazendo y 50 x Ao substituir essa í expressão na segunda equação APÊNDICE A Sistemas e matrizes 203 xy 300 x50 x 300 50 x2 300 x2 50x 300 O 50 V502 4300 j x 6972 ou x 43027 Ao substituir os valores de x na primeira equação que ficou com o y isolado temos y 50 x 43027 ou y 50 x 6972 respectivamente Suporte gráfico Vejamos o gráficcrr Intersecção x X69722M36 YM302775B O 60 por 20 60 Figura A2 Gráficos áey 50 xey 300x no primeiro quadrante afinal x e y são comprimentos A Figura A2 mostra que os gráficos de y 50 x e y 300x têm dois pontos de interseção Interpretação Os dois pares ordenados 6972 43027 e 43027 6972 produzem o mesmo retângulo cujas dimensões são aproximadamente 7 m por 43 m EXEMPLO 3 Resoluçãoalgébrica de um sistema nãolinear Resolva o sistema y jc3 6x y 3x Se você quiser pode verificar a solução graficamente SOLUÇÃO Substituindo o valor de y da primeira equação na segunda temos x3 6x 3x x3 9x O 204 Précálculo xx 3 3 O x O x 3 x 3 Ao substituir os valores de x em uma das equações por exemplo na segunda temos y O y 9 y 9 Suporte gráfico Vejamos o gráfico 5 5 por 15 15 Figura A3 Os gráficos de y x3 6x e y 3x possuem três pontos de intersecção O gráfico das duas equações na Figura A3 sugere que as três soluções encontradas algebricamen te estão correias O sistema de equações possui trçs soluções 3 9 O 0 e 3 9 O método da adição ou do cancelamento Considere um sistema de duas equações lineares em x e y Para resolvêlas por cancelamento devemos reescrever as duas equações como duas equações equivalentes tal que uma das variáveis tenha coeficientes com sinais opostos O próximo passo é somar as duas equações para eliminar esta variável EXEMPLO 4 Método da adição ou do cancelamento l Resolva o sistema j 2x 3y 5 l 3x 5y 21 j SOLUÇÃO l Solução algébrica i Multiplique a primeira equação por 3 e a segunda por 2 i 6x 9y 15 l 6x Wy 42 Então some as duas equações para eliminar a variável x f 19 57 l Substitua y 3 em qualquer uma das duas equações originais para encontrar que í x 2 c A solução do sistema original é 2 3 APÊNDICE A Sistemas e matrizes 205 EXEMPLO 5 Caso sem solução Resolva o sistema x 3y 2 2x 6y 4 SOLUÇÃO Solução algébrica Podemos usar o método da adição cancelamento Multiplique a primeira equação por 2 2x 6y 4 Some com a segunda equação 2x 6y 4 O resultado é O 8 Essa expressão não é verdadeira quaisquer que sejam os valores de x e y Logo o sistema não tem solução Suporte gráfico 2 j j 1 2 Da primeira equação y x da segunda y x Vejamos o gráfico 47 47 por 31 31 Figura A4 Gráficos de y x e y x A Figura A4 sugere que as duas retas que são os gráficos das duas equações no sistema são para lelas As duas retas possuem o mesmo coeficiente angular e são portanto paralelas Uma maneira fácil para determinar o número de soluções de um sistema de duas equações lineares com duas variáveis é olhar para os gráficos das duas retas Existem três possibilidades as duas retas podem ter intersecção num único ponto produzindo exatamente uma solução como nos exemplos l e 4 as duas retas podem ser paralelas não tendo solução como no Exemplo 5 as duas retas podem ser as mesmas produzindo infinitas soluções como ilustrado no Exemplo 6 EXEMPLOS Caso com infinitas soluções Resolva o sistema 4x 5y 2 Ux I5y 6 SOLUÇÃO Multiplique a primeira equação por 3 12 15y 6 Some com a segunda equação I2x I5y 6 206 Précálculo O resultado é O O A última equação é verdadeira para todos os valores de x e y Portanto todo par ordenado que satisfaça uma das equações satisfaz então a outra equação também Assim o sistema tem infini tas soluções Outra forma de verificar que existem infinitas soluções é resolver cada equação isolando y Assim ambas as equações resultam em 4 2 Numa representação gráfica concluímos que as duas retas são as mesmas Caso de aplicação Em geral a quantidade x de oferta de uma produção aumenta se for possível aumentar o preço p de cada produto Assim quando uma variável aumenta então a outra também aumenta Na economia é comum colocar osvalores de x no eixo horizontal e p no eixo vertical De acordo com essa prática escreveremos p f x para a função oferta Porém a quantidade x da demanda de um produto diminui quando o preço p de cada produto aumenta Assim quando uma variável aumenta então a outra diminui Novamente economistas assumem x demanda no eixo horizontal e p preço no eixo vertical embora seja possível p ser a variável dependente De acordo com essa prática escreveremos p gx para a função demanda Finalmente um ponto onde a curva da oferta e a curva da demanda se interseccionam é um ponto de equilíbrio O preço correspondente é o preço de equilíbrio Uma empresa de calçados determinou que a produção e o preço de um novo ténis devem ser obtidos j do ponto de equilíbrio do sistema de equações Demanda p 160 5x l Oferta p 35 20x l O valor de x pode ser interpretado como milhões de pares de ténis Encontre o ponto de equilíbrio l SOLUÇÃO l l Usaremos o método da substituição para resolver o sistema i 160 5x 35 2Qx l 25x 125 Substitua este valor de x na função demanda por exemplo e encontre p p 160 5x p 160 55 135 O ponto de equilíbrio é 5135 O preço de equilíbrio é de 135 unidades monetárias ou seja o preço para o qual oferta e demanda serão iguais a 5 milhões de pares de ténis APÊNDICE A Sistemas e matrizes 207 Matrizes Uma matriz é uma tabela retangular de números As matrizes fornecem uma forma eficiente tanto para resolver sistemas de equações lineares como para armazenar dados DEFINIÇÃO Matriz Sejam m e n números inteiros positivos Uma matriz m x n lêse matriz m por n é uma tabe la retangular de m linhas e n colunas de números reais n 12 i a2l a22 a2n ml m2 am Usaremos também notação compacta a y para representar toda esta matriz Cada elemento ou entrada a y da matriz usa a notação de duplo índice O da linha é o primei ro índice i e o da coluna é o segundo índice j O elemento a está na iésima linha e jésima colu na Em geral a ordem de uma matrizm é simplesmente definida por mxnSem na matriz é uma matriz quadrada Além disso duas matrizes são iguais se possuem a mesma ordem e os mesmos elementos correspondentes EXEMPLOS Determinação da ordem de uma matriz l 2 3 i a A matriz O 4 tem ordem 2 X 3 b A matriz c A matriz l o 2 3 1 4 7 2 5 8 r 4 1 2 3 6 9 tem ordem 4 X 2 tem ordem 3 X 3 e é uma matriz quadrada Soma e subtração de matrizes Somamos ou subtraímos duas matrizes de mesma ordem pela soma ou subtração de seus ele mentos correspondentes Matrizes de ordens diferentes não podem ser somadas ou subtraídas DEFINIÇÃO Soma e subtração de matrizes Sejam A a e B bí matrizes de ordem m X n 1 A soma A B é a matriz m X n dada por A B aí b 2 A subtração A B é a matriz m X n dada por A B atj btj 208 Précálculo Sejam as matrizes A SOLUÇÃO fl 2 31 r 2 2 4l izes A e B 2 O 4j Ll l O J Encontre A B e A fl 2 31 r 2 2 4 3 O l A B L2 O 4J Ll l O J Li l 4 2 2 O l 4 Quando trabalhamos com matrizes os números reais são chamados de escalares O produto de um número real k e uma matriz m X n dada por n A a é a matriz m X n jf J kA Bj A matriz é um múltiplo escalar de A EXEMPLO 10 Multiplicação de tuna matriz por um escalar fj Seja a matriz 4 1 2 3l l e k 3 Encontre M 2 O 4 6 9 O 12 As matrizes possuem muitas propriedades inerentes aos números reais Seja A a uma matriz m X n qualquer A matriz m X n dada por O 0 consistindo inteiramente em zeros é a matriz nula porque A O A Em outras palavras O é a matriz identidade aditiva para o con junto de todas as matrizes m X n A matriz mxn dada por B ay é formada pelos valores opos tos dos elementos de A e é denominada matriz oposta de A pois A B O A matriz oposta tam bém pode ser escrita como B A Tal como com números reais AB au bj aij bij flí bij A 5 Multiplicação de matrizes Para fazer o produto AB de duas matrizes o número de colunas da matriz A que é a primeira deve ser igual ao número de linhas da matriz B que é a segunda Cada elemento cij do produto é obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma linha i de A pelo correspondente elemento de uma coluna y de B APÊNDICE A Sistemas e matrizes 209 DEFINIÇÃO Multiplicação de matrizes Seja A d y uma matriz de ordem m X r e B O produto AB ctj é a matriz m X n onde ij uma matriz de ordem r X n air brj A forma para entender como encontrar o produto de duas matrizes quaisquer é primeiro consi derar o produto de uma matriz A a de ordem l X r com uma matriz B bje ordem r X l De acordo com a definição AB cn é uma matriz 1 X 1 onde c au bn al2 b2 aír brl Por exemplo o produto AB de uma matriz A de ordem l X 3 e uma matriz B de ordem 3X1 onde ABl 2 3 A l 2 3 e B 14 25 36 32 Então o íésimo elemento do produto AB de uma matriz m X r com uma matriz r X néo pro duto da íésima linha de A considerada uma matriz l X r com a jésima coluna de B considerada uma matriz r X l como ilustrado no Exemplo 11 Encontre se possível o produto AB onde a A 2 1 0 1 2 1 1 J 31 1 4 0 2 1 0 3 4 O l l SOLUÇÃO a Como o número de colunas de A é 3 e o número de linhas de B é 3 então o produto AB está definido O produto AB ciy é uma matriz 2 X 2 onde cn 2 3 c12 3 21 10 31 l 24 12 3O 6 210 Précálculo c22 l 6 2 2 l O l 4 01 10 2 1 2 04 12 20 2 Então AB b Como o número de colunas de A é 3 e o número de linhas de B é 2 então o produto AB não está definido Matriz identidade e matriz inversa A matriz n X n dada por formada com l na diagonal principal mais alta na esquerda e mais baixa na direita e O nos demais elementos é a matriz identidade de ordem n x n l O O O l O O O l 0 0 0 o Por exemplo i o O l 1 0 0 0 1 0 0 0 1 e 74 l 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Se A a é uma matriz n X n qualquer podemos provar nos exercícios finais que AIn InAA isto é é a identidade multiplicativa para o conjunto de matrizes n X n Se a é um número raal diferente de O então a1 la é a inversa multiplicativa de a ou seja aa ad 1 A definição de inversa multiplicativa de uma matriz quadrada é similar DEFINIÇÃO Inversa de uma matriz quadrada Seja A a uma matriz n X n Se existe uma matriz B tal que AB BA então B é a inversa da matriz A Escrevemos B A lêse inversa de A Veremos agora que nem toda matriz quadrada Exemplo 13 tem uma inversa Se uma matriz quadrada A tem uma inversa então A é nãosingular Se A não tem inversa então A é singular APÊNDICE A Sistemas e matrizes 211 EXEMPLO 12 Verificação de matrizes inversas Prove que A 21 e são matrizes inversas SOLUÇÃO Observe que Assim B A1 e A Bl l l 2 l 3 2ir3 21 ri ái i Ho EXEMPLO 13 Caso deuma matriz que não tem inversa Prove que a matriz A é singular isto é que não tem inversa SOLUÇÃO Suponha que A tenha uma inversa dada por 6 l M Então AB 72 1 w AB 6 3 2 l l O O l 4 R r 6 3z 6y 3w l O A 2x z 2y wO Igualando as duas matrizes obtemos 6x 3z l 6y 3w O 2x z O 2y w l Multiplicando ambos os lados da equação 2x z O por 3 teremos 6x 3z 0 Não existem valores para x e z para o qual o valor de 6x 3z seja ao mesmo tempo O e 1 Isso é uma contra dição Logo a conclusão é que A não tem inversa Determinante de uma matriz quadrada O número ad bc é o determinante da matriz A e é denotado por detA a b c d ad bc Para o cálculo desse determinante basta multiplicar os números da diagonal principal e sub trair a multiplicação dos números da diagonal secundária aquela que a parte mais alta está no lado direito e a mais baixa no esquerdo Para definir o determinante de uma matriz quadrada de ordem superior precisamos introduzir o conceito de menor complementar e de cofatores associados aos elementos de uma matriz qua 212 Précálculo drada Seja A a uma matriz n X n O menor complementar Mtj correspondente ao elemento y é o determinante da matriz n l X n 1 obtido da retirada da linha e coluna contendo a O cofator correspondente a atj é Atj líjMjj DEFINIÇÃO Determinante de uma matriz quadrada Seja A ay uma matriz de ordem n X n n 2 O determinante de A denotado por det A ou A é a soma dos elementos de uma linha qualquer ou de uma coluna qualquer multiplicados pelos seus respectivos cofatores Por exemplo expandindo para a ésima linha temos det A A aiAn ai2Aí2 ainAin Costumamos considerar i l ou seja fazer os cálculos a partir dos elementos da primeira linha Mas isso não é regra Veja que a seguir partiremos da segunda linha Se A ay é uma matriz 3 X 3 então usando a definição de determinante aplicado por exem plo à segunda linha obtemos n 12 21 22 13 23 31 32 33 2121 2222 2323 113 12 13 32 33 15 l 4 22 11 12 31 32 11 31 13 33 í2l1233 1332 221133 a23ana32 i23i j O determinante de uma matriz 3 X 3 envolve três determinantes de matrizes 2 X 2 o determi j nante de uma matriz 4 X 4 envolve quatro determinantes de matrizes 3 X 3 e assim por diante TEOREMA Inversa de matrizes n x n Uma matriz A n X n tem na inversa se e somente se5detA 90 Existe uma maneira simples de determinar se uma matriz 2 X 2 tem uma inversa Inversa de uma matriz 2x2 Se ad bc O então a EM l f d bl c d j adbcc j Existem fórmulas complicadas para encontrar inversas de matrizes nãosingulares de ordem 3 X 3 ou superior Para o caso da matriz 3 X 3 basta encontrar a matriz dos cofatores e construir a matriz trans posta dessa dos cofatores Para isso a primeira linha da matriz dos cofatores passa a ser a primeira coluna da matriz transposta a segunda linha da matriz dos cofatores passa a ser a segunda coluna da matriz transposta e assim por diante APÊNDICE A Sistemas e matrizes 213 Uma matriz AT é a transposta de A se a primeira linha de A é a primeira linha de AT a segun da linha de A é a segunda linha de AT e assim por diante EXEMPLO 14 Encontrando inversa de matrizes Determine se as matrizes abaixo têm uma inversa Se existir encontrea aA i 2 r 2 1 3 l O l SOLUÇÃO a Vejamos que det A ad bc 3 2 l 4 2 0 e portanto concluímos que A tem uma inversa Usando a fórmula para a inversa de uma matriz 2 X 2 obtemos l ad d b bcc a l 2 l 4 l 05 15 Você pode verificar que Aà A 1A I2 b Você pode verificar que det B lOO B 01 02 05 05 O 05 01 02 05 Logo 3 Listaremos agora algumas propriedades importantes de matrizes Propriedades de matrizes Sejam A B e C matrizes que possuem ordens tais que as operações soma diferença e produto pos sam ser definidas 1 Propriedade comutativa Adição ABBA Multiplicação Em geral não é verdade 3 Propriedade do elemento neutro Adição A O A Multiplicação ordem de A n X n e a identidade é multiplicativa 2 Propriedade associativa Adição A B 4 C A B C Multiplicação ABC ABC 4 Propriedade do elemento oposto Adição A A O Multiplicação ordem de A é n X n AÃ1 A1A AQ 5 Propriedade distributiva Multiplicação com relação à adição AB C AB AC A BC AC AB Multiplicação com relação à subtração AB C AB AC A BC AC AB 214 Précálculo EXERCÍCIOS Nos exercícios l e 2 resolva a equação para que y fique escrita em termos de x l 2x 3y 5 2 xy x 4 Nos exercícios 3 a 6 resolva a equação algebricamente 3 32 x 2 O 4 2x2 5 10 O 5 3 4x x3 x2 6x 7 Escreva uma equação para a reta que passa pelo par ordenado 1 2 e que seja paralela à reta 4x 5y 2 8 Escreva uma equação equivalente a 2x 3y 5 com coeficiente de x igual a 4 9 Encontre graficamente os pontos de intersecção dos gráficos de y 3x rfm 3 6x Nos exercícios 10 e 11 determine se o par ordenado é uma solução do sistema 10 5 1y 8 2x 3y l a O 4 b 2 1 c 2 9 11 y x2 6x 5 y 2xl a 2 3 b l 5 c 6 5 Nos exercícios 12 a 21 resolva o sistema pelo método da substituição 13 x 3 x y 20 12 x 2y 5 y 2 14 3x y 20 x 2y 10 16 2x 3y 7 4x 5y 8 18 x 3y 6 2x 6y 4 20 y x2 y9 0 15 2x 3y 23 jc y O 17 3c 2y 5 25 16 19 3x y 2 9jc 3 6 21 y2 Nos exercícios 22 a 27 resolva o sistema algebrica mente O resultado pode ser verificado graficamente 22 y 6x2 7x y 3 24 y x3 x2 y 2x2 26 x2 y2 9 x 3y 1 23 y 2x2 x 2x y 20 25 y x3 x2 27 jc2 y2 16 4x 7y 13 Nos exercícios 28 a 35 resolva o sistema pelo méto do da adição cancelamento 28x y 10 x y 6 29 2x y 10 x 2y 5 30 3 2y 8 5 4 28 31 4x5y 23 3x 4y 6 32 2x4y 10 3x 6y 21 33 2x 4y 8 rX 2y 4 34 2x3v 5 6x 9 15 35 2x y 3 4x 2y 5 Nos exercícios 36 a 39 use o gráfico para encontrar as soluções do sistema 36 y l 2x x2 37 6x 2y l y l x 2x y 4 3 5 por 3 3 38 x 2y O 05 y 2 3 5 por 3 3 39 x2 y2 16 y 4 x2 94 94 por 62 62 Nos exercícios 40 a 43 use gráficos que você pode esboçar para determinar o número de soluções que o sistema possui 40 3x 5y l 4x2y 3 APÊNDICE A Sistemas e matrizes 215 41 3x 9y 6 2x 6y l 42 2x 4y 6 3 6y 9 43 ly 9 3x 4y l Nos exercícios 44 e 45 encontre o ponto de equilí brio para as funções de demanda e oferta 44 p 200 15jc p 50 25 7 45 p 15 100 3 100 46 Encontre as dimensões deíjn retângulo com um perímetro de 200 metros e uma área de 500 m2 47 Determine a e b tal que o gráfico de y axb contém os pontos 14 e 26 48 Determine a e b tal que o gráfico de ax by 8 contém os pontos 2 1 e 4 6 49 Uma vendedora possui dois possíveis planos para pagamento Plano A 300 unidades monetárias por semana mais 5 do valor das vendas Plano B 600 unidades monetárias por semana mais 1 do valor das vendas Qual o valor das vendas que resulta na mesma quantia total nos dois planos 50 Verdadeiro ou falso Sejam a e b números reais O seguinte sistema tem exatamente duas soluções 2x 5y a 3x4y b Justifique sua resposta Nos exercícios 51a 54 resolvam problema sem usar calculadora 51 Múltipla escolha Qual das seguintes alterna tivas é a solução do sistema 2x 3y 12 x 2y 1 a 31 b 10 c 32 d 3 2 e 6 0 52 Múltipla escolha Qual das seguintes alterna tivas não pode ser o número de soluções de um sistema de duas equações com duas variáveis cujos gráficos são um círculo e uma parábola a O b l c 2 d 3 e 5 53 Qual das seguintes alternativas não pode ser o número de soluções de um sistema de duas equa ções com duas variáveis cujos gráficos são pará bolas a l b 2 c 4 d 5 e Infinitas 54 Qual das seguintes alternativas é o número de soluções de um sistema de duas equações linea res com duas variáveis se a equação resultante após usar a eliminação corretamente é 4 4 a O b l c 2 d 3 e Infinitas Nos exercícios 55 a 60 determine a ordem da matriz e indique se é uma matriz quadrada 55 57 59 2 3 1 l O 5 56 l 3 l 2 58 1 O 6 60 O Nos exercícios 61 a 64 identifique os elementos especificados na seguinte matriz 33 61 13 62 24 63 32 64 a33 Nos exercícios 65 a 70 encontre a A B b A B c 3A e d 2A 3B 1 66 A 67 A 68 A B 2 l O 1 0 2 4 3 l B 4 O 2 l 3 l 5 2 3 1 1 0 2 2 216 Précálculo 2 3 1 0 B 4 0 1 2 L J 2 rn 69 A 1 5 0 l Oj L 4 1 3 80 A 1 0 3 1 o o r 81 A 0 1 0 5 70 A 1 2 0 3 e 5 1 2 2 0 i Q 0 Nos exercícios 71a 76 use a definição de mi cão de matrizes para encontrar a A5 b Bi f 2 3 1 3l 71 A 1 5 2 4 T0 Q 0 1 82A 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 9 5 6 3 2 0 1 1 3 4j 1 2 3 4 o 1 r B 2 1 0 1 3 2 1 3 4 0 2 1 Nos exercícios 83 a 86 encontre a e b 7 2 A 1 4 5 í 5 1 3l 5 3l 2 6 j 2 32 o n r j f i 4 L 4 JJ L 0 2 r 5 74A Í1 31 B Ó 2 1 4 ij 1 l 4 1 0 2 2 1 75 A 4 1 1 5 0 2 0 ij 4 3 2 3 0 4 1 76 A 1 2 4 5 0 2 3 2 1J 1 3 Nos exercícios 77 a 82 encontre a A5 e 1 responda que o produto não está definido 5 77 A 2 1 3 5 4 L 2J 2 78 A 3 5 l 2 4 4J 1 2l 79A 13 3 5 B J4 2 J 4 1 1 0 1 8a 2 ij 3 Y 2 a n r 1 85 2 3 b 2 1 2 3 2J ra 3 2 r4 86 0 5 0 0 L J L 2 Nos exercícios 87 e 88 b 1 è 0 2 l iJ 2 3 2 3 1 2J 2 1 è 1j verifique se as matrizes sã 1 inversas uma com relação a outra 1 i r2 i 3 BAou 88 A 1 2 2 0 1 1 08 02 06 04j 0 1 2 B 025 05 025 025 05 125 Nos exercícios 89 a 92 encontre a inversa da matn se existir ou responda que a inversa não existe i 2 r 91 2 1 3 3 1 2 U 1 2 3 1 9 2 1 0 4 0 1 1 Nos exercícios 93 e 94 use a definição para calcular o determinante da matriz APÊNDICE A Sistemas e matrizes 217 94 l 0 2 0 0 1 2 3 1 1 0 2 1 0 0 3 Nos exercícios 95 e 96 encontre a matriz X 1 l 4 95 3X A B onde A B 96 2X A B onde A l 2 O 3 eB l 4 l l 97 Uma empresa possui duas fábricas que produzem três artigos O número de unidades do artigo j produzido na fábrica j em uma semana é repre sentado por Uy na matriz 7 110 160 80 Se a produção cresce 10 escreva a nova produ ção na matriz B Como B está relacionado com A 98 Uma empresa vende quatro modelos de um pro duto em três lojas O estoque da loja i para o modelo j é a matriz 16 10 8 12 S 12 O 10 4 L 4 12 O 8 O preço no atacado do modelo iépt o preço no varejo do modelo i é pí2 dados na matriz 180 26999 275 39999 355 49999 590 79999 a Determine o produto SP b O que a matriz SP representa 99 Uma empresa vende quatro produtos O preço do produto tipo y está representado por a y na matriz A 398 598 798 998 O número de produtos vendidos tipo j está repre sentado por bj na matriz B 35 25 20 10 O custo para produzir o produto tipo y está repre sentado por c y na matriz C 199 268 500 670 a Escreva uma matrizproduto que forneça a receita total obtida com as vendas dos produtos b Escreva uma expressão usando matrizes que forneça o lucro obtido com as vendas dos produtos 100 Sejam A B e C matrizes que possuem ordens tais que a soma a diferença e o produto possam ser definidos Prove que as seguintes proprieda des são verdadeiras a A B B A b A B C A B C cAB C AB AC d A BC AC BC 101 Sejam A e B matrizes m X n s c s d escalares Prove que as seguintes propriedades são verda deiras a c A B cA cB b c dA cA dA c cdA cdA d l A A 102 Seja A aí uma matriz n X n Prove que AIn InAA Nos exercícios 103 a 106 resolva o problema sem usar a calculadora 103 Múltipla escolha Qual das seguintes alter nativas é igual ao determinante de A a 4 b4 c 10 d10 e14 104 Múltipla escolha Seja A uma matriz de ordem 3 X 2 e B uma matriz de ordem 2 x 4 Qual das seguintes alternativas fornece a ordem do produto AB a 2 X 2 b 3 X 4 c 4 X 3 d 6 X 8 e O produto não está definido 218 Précálculo 105 Múltipla escolha Qual das seguintes alter 106 Múltipla escolha Qual das seguintes alternati nativas é a inversa da matriz a c e 4 7 1 2 2 l 7 4 4 7 l 2 b d 2 7 l 4 4 l 7 2 vás é o valor de 13 na matriz a l 2 3 4 5 6 7 8 9 a 7 b 7 c 3 d 3 e 10 Apêndice Análise combinatória e teorema binomial Objetivos de aprendizagem Características do discreto g do continuo A importância da contagem Princípio da multiplicação tm princípio fundamental da contagem Permutações Combinações Quantidade de subconjuntos de um conjunto Coeficiente binomial Ittânguto de scáL O teorema binomial Técnicas de contagem são úteis e facilitam as contas por meio das fórmulas O teorema binomial é uma maneira de estudai as com binações que podem ser aplica das em outras áreas do conheci mento Características do discreto e do contínuo Um ponto não tem comprimento nem largura Porém um intervalo de números na reta real que representa o conjunto dos números reais já possui comprimento e uma infinidade de números reais Essas características já dis tinguem o que é discreto do que é contínuo Estudaremos técnicas de contagem para o caso discreto A importância da contagem Vamos iniciar com um exemplo De quantas maneiras diferentes podemos organizar três objetos distintos em ordem SOLUÇÃO Não é difícil listar todas as possibilidades Se chamarmos os objetos por A B e C então as diferentes ordens são ABC ACB BAC BCA CAB e CBA Uma boa maneira de visuali zar essas seis maneiras é com um diagrama em árvore como na Figura Bl Podemos observar partindo da esquerda que temos 3 X 2 X 1 6 galhos ou seis caminhos levando para resultados com ordens diferentes das letras c Figura Bl Um diagrama em árvore para ordenar as letras A B e C 220 Précálculo Princípio da multiplicação ou princípio fundamental da contagem Das ideias do diagrama em árvore citado anteriormente imagine como ficaria um diagrama nara as letras ABCDE Não é necessário ver o diagrama para concluir que ele terá 5 X 4 x j x 2 x l 120 caminhos ou galhos O diagrama em árvore é uma visualização geométrica de um princípio fundamental da contagem conhecido também como princípio da multiplicação lijiSôISfilSRFfÍjliiv então o de maneiras que o iawiiiirosg l As placas dos veículos possuem três letras e quatro dígitos Encontre o número possível de placas l que podemos formar j a caso não haja restrição alguma quanto ao uso das letras e números l b caso letras e números não possam ser repetidos I SOLUÇÃO I a Como não há restrição alguma quanto ao uso das letras e números então temos 26 possi I veTLras para cada uma das três escolhas além de 10 possíveis dígUos para cada uma I Tas quttío posições numéricas Pelo princípio da multiplicação podemos obter placas de Í 26 X 26 X 26 X 10 X 10 X 10 X 10 175760000 maneiras b Caso letras e números não possam ser repetidos então temos 26 possíveis primeira letra 25 para a segunda e 24 possíveis escolhas para a terceira letra alem de 10 posáveis escolhas para0 primeiro dígito 9 para o segundo 8 para o terceiro e 7 possíveis escolías para o quarto dígito Pelo princípio da multiplicação podemos obter placas de 2 6 X 2 5 X 2 4 X 1 0 X 9 X 8 X 7 78624000 maneiras Permutações Uma importante aplicação do princípio da multiplicação é contar o número de maneiras que um conTunto de n objetos pode ser organizado em ordem Cada resultado é chamado de uma per mTção do conjunto O Exemplo l mostrou que existem 3 6 permutações de um conjunto de três elementos distintos APÊNDICE B Análise combinatória e teorema binomial 221 FATORIAIS Se é um número inteiro positivo entãoosímbolo 7èn fatonal representa o produto nn 2 2 l Também definimos O i Existem s m l não tenha sentido I a DRAGONFLY b BUTTERFLY c BUMBLEBEE j SOLUÇÃO j aCadapemulaçaoda59erastoraauraapalavradlferentt a 91 pemutações mas nire caso a palavra formada 1 Existem 10080 permutações distintas das lettas da palavra BUMBLEBEE i duas eze ExlsKra psitenÍi fa í VJ3T rI Tiiypm S06wjpiBaeW dwfe Aínenae4cwi elementos de um r r c h a s em r a r ou simplesmente arranjos de PermutaÇõ d objetos tomados O primeiro espaço tem n maneiras o segundo tem l man résimo espaço que tem n r n maneiras e assim Pr diante até o l D maneiras Pelo pnncipio da multiplicação podemos preencher 222 Précálculo os r espaços de nn 2n r 1 maneiras Essa expressão pode ser escrita de forma mais compacta como n r n ra para contagem das permutações ou fórmula ao arranjo O número de permutações de n objetos tomados r a r é denotado por Ar ou e é dado por 4 faty Ira O s f s Sern entioABr 0 Note que nPn nln rí nlO n1 n que coincide com o que já vimos com rela ção ao número de permutações de um conjunto completo de n objetos Esta é a razão de definirmos O por 1 lttÍÍÉMijÍ vl Calcule cada expressão sem usar calculadora I a 6P4 b HP3 c nP3 SOLUÇÃO a Pela fórmula 6P4 676 4 62 6 5 4 3 22 6 5 4 3 360 b Podemos aplicar o princípio da multiplicação diretamente como temos 11 objetos e 3 espaços para preencher então UP3 11109 990 c Podemos aplicar novamente o princípio da multiplicação como temos n objetos e 3 espaços para preencher então assumindo n 3 nP3 nn 2 Combinações Quando contamos as permutações de n objetos tomados r ar consideramos diferentes ordena ções de um mesmo conjunto de r objetos selecionados como sendo diferentes permutações Em muitas aplicações estamos interessados nas maneiras de selecionar os r objetos independen temente da ordem em que estão organizados Essas seleções em que a ordem não é importante são chamadas de combinações de n objetos tomados r a r Fórmula para contagem das combinações K f J eéj uauu pui C ss para O â r n r rn r Se r n então HCr O APÊNDICE B Análise combinatória e teorema binomial 223 Podemos verificar a fórmula nCr e o princípio da multiplicação Desde que toda permutação possa ser pensada como uma seleção desordenada de r objetos seguidos de uma ordem particular dos objetos selecionados o princípio da multiplicação resulta em nPr nCr r Portanto c Pr r r n n r ro entre combinações e penautações Em cada uma dessas situações concluise que estão sendo descritas permutações ordenadas ou simplesmente descritos arranjos ou combinações desordenadas a Um presidente um vicepresidente e um secretário são escolhidos dentre 25 pessoas b Uma cozinheira escolhe 5 batatas de uma sacola com 12 para preparar uma salada de batatas c Um professor organiza seus 22 alunos numa sala com 30 lugares SOLUÇÃO a Permutação A ordem é importante devido ao cargo de cada pessoa b Combinação A salada é a mesma não importando a ordem em que as batatas são escolhidas c Permutação Uma ordem diferente dos estudantes nos mesmos assentos resulta numa diferen te organização na sala Sabemos o que está sendo contado Os números das possíveis escolhas das situações anteriores são a 25P3 13800 b 12C5 792 c 30P22 65787 X IO27 Quantidade de subconjuntos de um conjunto Iniciaremos com um exemplo Uma pizzaria possui 10 tipos de ingredientes para montar pizzas Quantas pizzas diferentes podem ser montadas em cada caso a Podemos escolher quaisquer 3 tipos de ingredientes b Podemos escolher qualquer quantidade de ingredientes SOLUÇÃO f a Como a ordem dos ingredientes não é importante afinal são 3 ingredientes e qualquer que seja a ordem em que são colocados a pizza é a mesma então o número de possíveis pizzas é r t3 io3 b Uma primeira ideia é somar todos os valores obtidos a partir de wCr l para r de l até 10 Outra ideia é pensar que podemos colocar os 10 ingredientes numa sequência e para cada um optar entre sim colocar na pizza ou não não colocar na pizza isto é cada ingrediente tem dois possíveis resultados Pelo princípio da multiplicação o número de tais sequências diferentes é 2222222222 1024 possíveis pizzas 224 Précálculo Fórmula para contagem da Quantidade de subconjuntos de um conjunto Existem 2 subconjuntos de um conjunto com n objetos incluindo o conjunto vazio e o conjun to com todos os objetos Uma lanchonete divulga que possui 256 maneiras de montar sanduíches com os ingredientes que o cliente preferir Quantos ingredientes existem disponíveis SOLUÇÃO Precisamos resolver a equação 2 256 e descobrir o n Usaremos logaritmo 2 256 log 2 log 256 n log 2 log 256 log 256 Existem portanto 8 ingredientes possíveis para escolha Coeficiente binomial Se você expandir a bn para n O l 2 3 4 e 5 aqui estão os resultados a b l a b1 lalb labl a b2 Ia2b 2albl la2 a b3 Ia3b 3a2bl 3alb2 lab3 a b4 laV 4a3è1 6a2b2 4alb3 lab4 a b5 lasb 5a4bl I0a3b2 10a2b3 Sa14 lab5 Você pode observar os padrões e predizer qual a expansão de a b6l Você pode predizer o seguinte 1 Os expoentes de a decrescerão de 6 até O diminuindo de um em um 2 Os expoentes de b crescerão de O até 6 aumentando de um em um 3 Os primeiros dois coeficientes serão l e 6 4 Os dois últimos coeficientes serão 6 e l Os coeficientes binomiais na expansão de a b são os valores de nCr Cnr para r O l 2 3 4 n A expansão de a b a ba ba b a b n fatores APÊNDICE B Análise combinatória e teorema binomial 225 consiste em todos os possíveis produtos que podemos formar com as letras no caso a e b O núme ro de maneiras para formar o produto arbnr é exatamente o mesmo número de maneiras para esco lher r fatores para serem expoentes de a e consequentemente complementálo com relação a n para serem os expoentes de b Esse número de maneiras é nCr Cn r in J A expansão de a b será definida quando tratarmos de teorema binomial DEFINIÇÃO Coeficiente binomial O coeficiente binomial que aparece na expansão de a b são os valores de nCr Cnj parar O 12 3 4 n A notação clássica para nCr Cnr especialmente nocontexto de coeficiente binomial é Triângulo de Pascal Observe o desenvolvimento que fizemos no início colocando as expansões de a bn para n O l 2 3 4 e 5 Se eliminarmos os símbolos da adição e as potências das variáveis a e b na forma triangular deixando apenas os coeficientes é possível montar l l l l 2 l l 3 3 1 1 4 6 4 1 l 5 10 10 5 l É chamado de triângulo de Pascal em homenagem a Blaise Pascal 16231662 que o usou em seu trabalho mas não foi quem o descobriu Esse resultado já havia aparecido em textos chi neses no século XIV Mostre como a linha 5 do triângulo de Pascal pode ser usada para obter a linha 6 e usar a infor mação para escrever a expansão de x y6 SOLUÇÃO Os números nas extremidades são iguais a 1 Cada número entre eles é a soma dos dois números acima Assim a linha 6 pode ser obtida da linha 5 como segue Linha 5 10 10 vvvvv Linha 6 1 6 15 20 15 6 l Estes são os coeficientes binomiais para x y6 e assim x y6 x6 6x5y I5x4y2 2Qx3y3 15x2 6xy5 y6 226 Précálculo EXEMPLO 9 Cálculo dos coelicientes binomiais Encontre o coeficiente de x10 na expansão de x 215 SOLUÇÃO O termo da expansão necessário é 15C101025 isto é 15 1015 O coeficiente de xw é 96096 25 xw 3003 32 xw 96096 x10 O teorema binomial O teorema binomial Para qualquer inteiro positivo a b onde U r rn r nr Hnr Esse resultado também é conhecido como binómio de Newton EXEMPLO 10 Expansão de um binómio l Expanda 2x y2 SOLUÇÃO Usamos o teorema binomial para expandir a b4 onde a 2x e b y2 a b4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4 2x y24 2xf 42xfy2 62xfy22 42xy2f y24 I6x4 32x3y2 24x2y4 EXERCÍCIOS Nos exercícios l a 4 conte o número de maneiras que 5 Existem 3 rodovias da cidade A até a cidade B e cada procedimento pode ser feito 4 rodovias da cidade B até a cidade C Quantos caminhos diferentes existem da cidade A até C passando por BI 1 Alinhar 3 pessoas para uma fotografia 2 Priorizar 4 tarefas pendentes do mais ao menos importante 3 Organizar 5 livros da esquerda para a direita em uma estante 4 Premiar do primeiro ao quinto lugar os cinco pri meiros cachorros de um concurso Desenvolva cada expressão dos exercícios 6 a 11 64 8 10C7 109P2 7 6P2 9 30 11 10C3 APÊNDICE B Análise combinatória e teorema binomial 227 12 Suponha que dois dados um vermelho e um verde são jogados Quantos resultados possíveis existem para esse par de dados 13 Quantas sequências diferentes de caras e coroas existem se uma moeda é lançada 10 vezes 14 Uma pessoa tem dinheiro para comprar apenas 3 dos 48 CDs disponíveis para compra De quan tas maneiras diferentes essa pessoa pode fazer sua escolha 15 Uma moeda é lançada 20 vezes e as sequências de caras e coroas são registradas De todas as possíveis sequências quantas têm exatamente 7 caras 16 Uma pessoa entrevistou 8 pessoas para 3 funções idênticas Quantos grupos diferentes de 3 funcio nários essa pessoaconsegue montar jf 17 Um professor aplica 20 questões para seus alu nos das quais poderão selecionar 8 para serem respondidas De quantas maneiras o aluno pode selecionar as questões 18 Uma cliente pretende comer um prato com sala da Se existem 9 ingredientes para compor uma salada quantos pratos essa cliente consegue montar 19 O dono de uma pizzaria pretende divulgar que possui mais de 4000 diferentes tipos de pizzas com ingredientes a escolher Qual o número míni mo de ingredientes que esse dono precisa ter disponível 20 Um subconjunto do conjunto A é chamado pró prio se não é o vazio nem ele todo Quantos sub conjuntos próprios um conjunto com n elemen tos possui 21 Quantos gabaritos diferentes são possíveis para 10 questões do tipo Verdadeiro ou Falso 22 Quantos gabaritos diferentes são possíveis de 10 questões de múltipla escolha com cinco alterna tivas cada 23 Verdadeiro ou falso Se a e b são números inteiros positivos tais que a b n então l l Justifique sua resposta 24 Verdadeiro ou falso Se a b e n são números ln inteiros tais que a b n então l J l Justifique sua resposta 25 Uma opção de refeição é composta de uma entra da duas saladas e uma sobremesa Se existem disponíveis quatro entradas seis saladas e seis sobremesas então de quantas maneiras diferen tes podemos compor uma refeição a 16 b 25 c 144 d 360 e 720 26 Supondo que r e n são números inteiros positivos com r n qual dos seguintes números não é igual a l a n n nPn C HCn ln e n n r Nos exercícios 27 a 36 use a propriedade distributiva para expandir o binómio 27 x y2 28 a b2 29 5 y2 30 a 3b2 31 3s 2í2 32 3p 4q2 33 u v3 34 b c3 35 2x 3y3 36 4m 3n3 Nos exercícios 37 a 44 expanda o binómio usando o triângulo de Pascal para encontrar os coeficientes 37 a b4 38 a b6 39 x y7 40 x y10 41 x y3 42 x y5 43 p q 44 p q9 Nos exercícios 45 a 48 desenvolva a expressão pela definição 45 47 166 166 46 48 15 11 166 O 228 Précálculo Nos exercícios 49 a 52 encontre o coeficiente do termo dado na expansão binomial 49 termo x1 y3 x y14 50 termo xsyB x yn 51 termo x4 x 212 52 termo7 x 3 Nos exercícios 53 a 56 use o teorema binomial para encontrar a expansão polinomial para a função 53U x 25 54 gx x 36 55 hx 2x l7 56 f x 3x 45 Nos exercícios 57 a 62 use o teorema binomial para expandir cada expressão 57 2x y4 58 2y 3x5 59 VJc Vy6 0 Vx 34 61 x2 35 62 a b1 63 Prove que l l l l n para todos os intei ros n 1 64 Prove que para todos os inteiros rj r n r 0 rr para provar que rn r Use a fórmula l r rl 66 Encontre um contraexemplo para mostrar que cada resultado a seguir é falso a n m n m nm nm ln In l 67 Prove que l nL para todos os 21 inteiros n s 2 69 Verdadeiro ou falso Os coeficientes na expansão polinomial de x y50 alternam de sinal Justifique sua resposta 70 Verdadeiro ou falso A soma de qualquer linha do triângulo de Pascal é um número par e inteiro Justifique sua resposta 71 Múltipla escolha Qual é o coeficiente de x4 na expansão de 2x l8 a 16 b 256 c 1120 d 1680 e 26680 72 Múltipla escolha Qual dos seguintes números não aparece na linha 10 do triângulo de Pascal a l b 5 c 10 d 120 e 252 73 Múltipla escolha A soma dos coeficientes de 3 2y10 é a l b 1024 c 58025 d 59049 e 9765625 74 Múltipla escolha x y3 x y3 a O 68 Prove que T para todos os ll inteiros n a 2 c d e 2y3 6xy2 2y3 Apêndice Noções de trigonometria e funções trigonométricas Objctivos cte npi idía Graus e radianos Algumas medidas trigonomé trica Q Graus e radianos O grau é representado pelo símbolo e é o ângulo cuja medida é igual a 1180 de um ângulo raso O radiano é um ângulo central quando um arco de comprimento r tem a mesma medida do raio do círculo no qual está inserido Algumas funções trigínomé tricas Os ângulos são os elementos do domínio das funções trigonométri cas Daremos B noções essen ciais para possíveis aplicações a Quantos radianos existem em 90 graus b Quantos graus existem em 773 radianos c Encontrar o comprimento de um arco interceptado por um ângulo central de 12 radiano em um círculo com raio de 5 polegadas d Encontre a medida eai radianos de um ângulo central que intercepta um arco de comprimen to s em um círculo de raio r SOLUÇÃO a Desde que 77 radianos e 180 representam o mesmo ângulo podemos usar o fator de conver são 77 radianos180 l para converter graus em radianos 90 TT radianos 7 77 180 radianos radianos 2 180 b Nesse caso usamos o fator de conversão 18077 radianos l para converter radianos em graus 180 r 6QO radianos 3 radianos c Um ângulo central de l radiano intercepta um arco de comprimento de um raio que é de 5 pole gadas Portanto o ângulo central de 12 radiano intercepta um arco de comprimento de 12 raio isto é de 25 polegadas d Podemos resolver esse problema com raios x radianos l radiano unidades unidades xr s s x r 230 Précálculo Conversão de grauradiano Para converter radianos em graus multiplicamos por Para converter graus em radianos multiplicamos por 180 ir radianos g radianos 180 Comprimento de arco Como um ângulo central de um radiano sempre intercepta um arco de comprimento um radiano é verdade que um ângulo central de radianos em urn círculo de raio r intercepta um arco de com primento Or Fórmula do comprimento do arco medida em radimaos Se 0 é um Ingukfcentral emum círculo de raio r e se 6 é medido em radianos então o compri mento s do arco interceptado dado por s r Fórmula do comprimento do arco medida em grana Se 8 é m ângulo central em um cfjeulo de raio r e se 9 é medido em paus então o comprimen to s do arco interceptado é dado por s irr0 180 EXEMPLO 2 Perímetro de uma fatia de Encontre o perímetro de uma fatia de pizza de ângulo central igual a 60 sendo que a pizza tem l raio de 7 polegadas SOLUÇÃO O perímetro é 7 polegadas 7 polegadas s polegadas como se vê na Figura Cl em que s é o comprimento do arco da pizza Pela fórmula de comprimento do arco 77760 777 s 180 O perímetro é de aproximadamente 21 polegadas 7pol spol 7pol Figura Cl O pedaço de pizza do exemplo Algumas medidas trigonométricas Seja o triângulo retângulo pois a medida entre os catetos é de 90 determinado pelos vértices ABC como na Figura C2 APÊNDICE C Noções de trigonometria e funções trigonométricas 231 medida do lado ou cateto oposto seno 6 sen 6 cosseno 6 cos B tangente e tg e medida da hipotenusa medida do lado ou cateto adjacente medida da hipotenusa medida do lado ou cateto oposto medida do lado ou cateto adjacente A adjacente C Figura C2 Triâríguio de vértices ABC e medidas trigonométricas do ângulo 6 EXEMPLO 3 Cálculo de medidas trigonométricas para ângulo de 45 Encontre os valores do seno cosseno e tangente do ângulo de 45 SOLUÇÃO Suponha um triângulo com dois dostrês lados iguais triângulo isósceles com dois ângulos inter nos de 45 e um com 90 a C3 Triângulo retângulo isósceles Aplicando as definições temos medida do lado ou cateto oposto l sen 45 cos 45 medida da hipotenusa 2 2 medida do lado ou cateto adjacente l 2 medida da hipotenusa V2 2 medida do lado ou cateto oposto l tg 45 i l medida do lado ou cateto adjacente l EXEMPLO 4 Cálculo de medidas trigonométricas para ângulo de 30 Encontre os valores do seno do cosseno e da tangente do ângulo de 30 SOLUÇÃO Suponha um triângulo retângulo com ângulos internos com valores de 30 60 e 90 232 Précálculo Figura C4 Triângulo obtido de um triângulo equilátero de lado 2 Aplicando as definições temos medida do lado ou cateto oposto l medida da hipotenusa 2 sen 30 cos 30 tg 30 medida do lado ou cateto adjacente 3 medida da hipotenusa 2 medida do lado ou cateto oposto l medida do lado ou cateto adjacente 3 3 EKEMPEÍOSAplicação Y Um triângulo retângulo com hipotenusa de medida 8 possui um ângulo interno de 37 Encontre as medidas dos outros dois ângulos e dos outros dois lados SOLUÇÃO Desde que o triângulo é retângulo então um dos outros dois ângulos é de 90 e o outro é de 180 90 37 53 sen 37 O a 8 sen 37 a 481 cos 37 8 b 8 cos 37 b 639 DEFINIÇÃO Funções trigonométricas de qualquer ângulo Seja 9 um ângulo qualquer na posição padrão determinado do eixo horizontal x no sentido anti horário e seja Px y um ponto qualquer sobre o lado que determina a abertura do ângulo que não seja a origem Se r denota a distância de Px y até a origem isto é r V2 y2 então sen 6 r cos o r APÊNDICE C Noções de trigonometria e funções trigonométricas 233 Calcule os valores do seno do cosseno e da tangente do ângulo de 315 SOLUÇÃO Supondo que o ângulo está na sua posição padrão um par ordenado que está no segmento que o limita é l 1 Logo sex l ey l então r X2 é sen 315 l V2 cos 315 2 2 Aqui utilizamos o fato de que se um triângulo retângulo tem medida dos catetos dados por a e b e a medida da hipotenusa igual a c então é verdade quê a2 b2 c1 conhecido como Teorema de Pitágoras O círculo trigonométrico Temos a seguir o círculo de raio 1 o eixo horizontal x fornece a medida do seno do ângulo for mado partindo do O no sentido antihorário e o eixo vertical y fornece a medida do cosseno do mesmo ângulo É verdade que sen2 9 cos2 6 l2 l consequência do Teorema de Pitágoras Algumas funções trigonométricas A função seno Figura C5 f x sen x Domínio conjunto de todos os números reais Imagem l 1 234 Précálculo A função é contínua É alternadamente crescente e decrescente É periódica de período 277 o comportamento da função é repetitivo para cada intervalo de comprimento 2ir no eixo horizontal É simétrica com relação à origem é uma função ímpar É limitada O máximo absoluto é l O mínimo absoluto é l Não tem assíntotas horizontais Não tem assíntotas verticais Comportamento nos extremos do domínio lim sen x e lim sen x não existem Os valores da fun ção oscilam de l até l 2n 2n por 4 4 Figura C5 A função cosseno Figura C6 f x cos x Domínio conjunto de todos os números reais Imagem l 1 A função é contínua É alternadamente crescente e decrescente É periódica de período 2rr o comportamento da função é repetitivo para cada intervalo de comprimento 2r no eixo horizontal É simétrica com relação ao eixo vertical y é uma função par É limitada O máximo absoluto é l O mínimo absoluto é 1 Não tem assíntotas horizontais Não tem assíntotas verticais Comportamento nos extremos do domínio lim cos x e lim cos x não existem Os valores da fun JC o X çao oscilam de l ate l APÊNDICE C Noções de trigonometria e funções trigonométricas 235 In 2n por M 4 Figura C6 A função tangente Figura C7 f x sen x cos x Domínio conjunto dos númefg reais sem os múltiplos ímpares de 172 Imagem conjunto de todos os números reais A função é contínua sobre o seu domínio É crescente em cada intervalo do domínio É simétrica com relação à origem é uma função ímpar Não é limitada superior nem inferiormente Não tem extremos locais Não tem assíntotas horizontais As assíntotas verticais são da forma x k 772 para todo k ímpar Comportamento nos extremos do domínio lim tg x e lim tg x não existem Os valores da fun ção oscilam no intervalo 3w2 3712 por 4 4 Figura C7 EXERCÍCIOS Nos exercícios l a 8 converta de radianos para graus 1176 2174 31710 43i75 57179 6 131720 72 8 13 Nos exercícios 9 a 12 use as fórmulas para cálculo do comprimento do arco para completar com as informa ções que estão faltando s r 0 9 l cm 70 rad 1025 cm 173 rad 236 Précálculo 113 m l m 1240 cm 20 13 Múltipla escolha Qual é a medida em radia nos de um ângulo de x graus a me b x180 c m180 d ISQxir e 180X7T 14 Múltipla escolha Se o perímetro de um setor é 4 vezes seu raio então a medida em radianos do ângulo central do setor é a 2 bH C 27T d 4TT e impossível determinar sem saber o raio O Teorema de Pitágoras diz que em um triângulo retângulo o quadrado da medidala hipotenusa é a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados Entendese hipotenusa como o lado oposto ao ângulo de 90 Nos exercícios 15 a 18 use esse teo rema para encontrar x 21 15 16 12 18 Nos exercícios 19 a 26 encontre o valor do seno do cosseno e da tangente do ângulo 0 20 22 12 17 15 25 Nos exercícios 27 a 32 encontre as outras medidas dos ângulos que faltam sabemos calcular seno cos seno e tangente 27 sen 6 29 cos 6 31tg0 28 sen B 30 cos 6 o 12 32 tg 6 13 Nos exercícios 33 a 38 encontre o valor da variável indicada 33 15 34 34 39 23 APÊNDICE C Noções de trigonometria e funções trigonométricas 237 35 36 32 46 37 35 38 50 661 5 Nos exercícios 47 a 52 o ponto P está na reta que Nos exercícios 39 a 42 dê o valor de ângulo 6 em determina a abertura do ângulo Encontre o seno o graus 39 0 410 2577 40 e 420 577 6 1677 3 Nos exercícios 43 a 46 calcule o seno o cosseno e a tangente do ângulo 43 l 2 44 P4 3 45 cosseno e a tangente do ângulo 0 47 P34 48 P46 49 P05 50 P30 51 P52 52 P2222 Nos exercícios 53 a 58 encontre sen 0 cos 0 e tg 0 para o i 53 450 55777 57 777 2 54 270 58 477 59 Encontre cos d se sen 6 e tg B 0 2 60 Encontre tg 6 se sen 0 e cos 9 0 61 Verdadeiro ou falso Se 6 é um ângulo na posiçãopadrão determinado pelo ponto 86 então sen d 06 Justifique sua resposta 62 Múltipla escolha Se cos 9 e tg O O então sen 6 Y1 3Í3 b12 5 12 d Nos exercícios 63 a 68 identifique os valores máxi mos e mínimos e as raízes da função no intervalo 277 277 63 y 2 sen x 65 y cos 2x 67 y cos 2x 64 y 3 cos 66 y sen x 68 y 2 sen x 238 Précálculo No Exercício 69 identifique o gráfico de cada função 69 Gráficos de dois períodos de 05 tg x e 5 tg x são mostrados 2 y No Exercício 70 analise a função quanto ao domínio imagem continuidade comportamento crescente ou decrescente se é limitada se é simétrica analise extremos assíntotas e comportamento nos extremos do domínio 70 Apêndice Secções cónicas Objetivos de aprendizagem Secções cónicas Geometria de uma parábola Translações de parábolas Geometria de uma elipse Translações de elipses Geometria de uma hipérbole Translações de hipérboles Vale observar que secções cónicas regem percursos de objetos movendo em um campo gravitacio nal Elipses são os caminhos de planetas e cometas ao redor do sol ou de luas ao redor dos planetas As hipérboles são as cónicas menos conhecidas mas são usadas em astronomia ética e navegação Secções cónicas Imagine duas retas que não são perpendiculares inter seccionando no ponto V Se fixarmos uma das retas como um eixo e fizermos uma rotação com a outra ao redor desse eixo então podemos obter um cone circular reto com vér tice V como ilustrado na Figura Dl Note que V divide o cone em duas partes chamadas folhas Eixo Gerador Folha superior Folha inferior Figura Dl Um cone circular reto com duas folhas Uma seccção cónica ou cónica é a intersecção de um plano com um cone circular reto As três secções cónicas básicas são a parábola a elipse e a hipérbole Figura D2a Algumas secções cónicas atípicas conhecidas como secções cónicas degeneradas são mos tradas na Figura D2b As secções cónicas podem ser definidas algebricamente como gráficos de equações do segun do grau quadráticas em duas variáveis isto é equações da forma Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F O onde A B e C não são todos iguais a 0 240 Précálculo Elipse Parábola a Hipérbole Ponto plano através da vértice do cone Reta o plano é tangente ao cone b Intersecionando com retas Figura D2 a Três tipos de secções cónicas e b três secções cónicas degeneradas Vale lembrar que a distância entre os pontos xi y e x2 y2 no plano é dada por V x22 y22 Usaremos esse conceito durante este capítulo Geometria de urna parábola Já estudamos que o gráfico de uma função do segundo grau quadrática é uma parábola de concavidade para cima ou para baixo Vamos investigar as propriedades geométricas de parábolas DEFINIÇÃO Parábola Uma parábola é o conjunto de todos os pontos em um plano que são equidistantes de uma reta fixa a diretriz e um ponto fixo o foco no plano Figura D3 APÊNDICE D Secções cónicas 241 Distância até a diretriz Ponto sobre a parábola a até foco Eixo Figura D3 Estrutura de uma parábola Podemos mostrar que uma equação para a parábola com foco O p e diretriz y p é x2 4py veja a Figura D4 O vértice está situadoentre a diretriz e o foco a b Figura D4 Gráficos de x2 4py com a p O e b p 0 Precisamos mostrar que o ponto Px y que é equidistante de F0 p e da reta y p satis faz a equação x2 4py e também mostrar que um ponto que satisfaz x2 4py é equidistante de F0 p e a reta y p Seja Px y um ponto equidistante de F0 p e a reta y p Note que Vjc O2 y p2 distância de Px y até F0 p e Vjc x2 y p2 distância de Px y até y p 242 Précálculo p2 Igualando essas distâncias e extraindo a raiz quadrada x O2 y p2 x x2 y x2 yp2 Q y p2 x2 y2 2py p2 y2 2py p2 x2 4py Percorrendo os passos anteriores ao contrário vemos que uma solução x y de x2 4py é equidistante de F0 p e a reta y p A equação x2 4py está na forma padrão da equação que descreve uma parábola de conca vidade para cima ou para baixo com vértice na origem Se p O então a parábola tem concavida de para cima se p O então tem concavidade para baixo Uma forma algébrica alternativa de tal parábola é y ax2 onde a l4p Assim o gráfico de x2 4py é também o gráfico da função quadráticajc ax2 Quando a equação de uma parábola de concavidade para cima ou para baixo é escrita como x2 4py então ovalor p é interpretado como o comprimento do foco da parábola a distância direta do vértice ao foco da parábola O valor 1 4p a largura do foco da parábola o compri mento do segmento com extremos na parábola que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo Parábolas com concavidade para a direita ou para a esquerda são relações inversas de parábo las com concavidade para cima ou para baixo Assim equações de parábolas com vértice O 0 que se abrem para a direita ou para a esquerda têm a forma padrão y2 4px Se p O então a parábo la se abre para a direita e se p O então a parábola se abre para a esquerda veja a Figura D 6 Diretriz x p Vértice y 4px Foco Fp0 Diretriz x p Vértice a b Figura D5 Gráficos de y2 4px com a p O e b p 0 Parábolas com vértice O O Equaçãopadrão Concavidade Foco Diretriz Eixo Comprimento do foco Largura do foco x2 4py para cima ou para baixo O p y p eixo y P Í4p y2 para a direita ou para a esquerda 00 x p eixo x P APÊNDICE D Secções cónicas 243 EXEMPLO l Verificação do f ocoa diretriz e a largura do f oco Encontre o foco a diretriz e a largura do foco da parábola y x22 SOLUÇÃO Multiplicando ambos os lados da equação por 2 temos a formapadrão x2 te de y é 4p 2 e p 12 Assim o foco é O p O 12 Como p então a diretriz é a retay 12 A largura do foco é 4 2 2 2y O coeficien 12 12 EXEMPLO 2 Verificação da equação de uma parábola Encontre uma equação na formapadrão para a parábola cuja diretriz é a reta x 2 e cujo foco é i o ponto 2 0 j SOLUÇÃO Como a diretriz é x 2 e o foco é 2 0 então o comprimento do foco é p 2 e a parábola l tem concavidade para a esquerda A equação da parábola na formapadrão é y2 4px ou mais i especificamente y2 8x Translações de parábolas Quando a parábola com a equação c2 4py ou y2 4px é transladada horizontalmente por h unidades e verticalmente por k unidades então o vértice da parábola se move do ponto O 0 para o ponto h k veja a Figura D6 Tal translação não muda o comprimento nem a largura do foco e o tipo de concavidade da parábola a b Figura D6 Parábolas com vértice h k e foco sobre a xh e b y k Parábolas com vértice h k Equaçãopadrão Concavidade Foco Diretriz Eixo Comprimento do foco Largura do foco x h2 4py k para cima ou para baixo P 4pl y k2 4px h para a direita ou para a esquerda h pk x h p y k P 244 Précálculo parábola Encontrar a formapadrão da equação para a parábola com vértice 3 4 e foco 5 4 SOLUÇÃO O eixo da parábola é a reta passando pelo vértice 3 4 e o foco 5 4 Esta é a reta y 4 Assim a equação tem a forma y k2 4PX h Como o vértice h k 3 4 h 3 e 4 A distância direta do vértice 3 4 ao foco 5 4 ép 5 3 2 assim 4p 8 A equação é y 42 8 3 EXEMPLO 4 A formapadrão de uma parábola e pontos importantes i Prove que o gráfico de y2 6x 2y 13 O é uma parábola e encontre o vértice o foco e a diretriz SOLUÇÃO Como esta equação é quadrática para a variável y completamos o quadrado com relação a y para obter a formapadrão y26t 2y 13 0 y2 2y l 6x 13 l y l2 6x 12 y l2 6x 2 Esta equação está na formapadrão y k2 4px h onde h 2 k l e p 64 15 Assim o vértice h k é 2 1 J o foco h p k é 35 1 72 1 f a diretriz x h p é x 05 ou x 12 Elipses Geometria de uma elipse Quando um plano intersecciona uma folha de um cilindro reto e forma uma curva fechada a curva é uma elipse DEFINIÇÃO Elipse Uma elipse é o conjunto de todos os pontos em um plano cujas distâncias de dois pontos fixados no plano têm uma soma com resultado constante Os pontos fixados são os focos da elipse A reta que passa pelos focos é o eixo focal O ponto localizado no eixo focal que é o ponto médio entre os focos é o centro Os pontos onde a elipse intersecciona seus eixos são os vértices da elipse veja a Figura D7 APÊNDICE D Secções cónicas 245 Vértice Foco Centro Foco Wértice Figura D7 Pontos sobre o eixo focal de uma elipse A Figura D8 mostra um ponto Px y de uma elipse Os pontos fixados FI e F2 são os focos da elipse e as distâncias cuja soma é constante são d d2 d constante Figura D8 Estrutura de uma elipse Podemos usar a definição para concluir uma equação para uma elipse Para algumas constan tes a e c com a c O seja Fc 0 e F2c 0 sendo os focos veja a Figura D9 Então uma elipse é definida pelo conjunto de pontos Px y tais que PFl PF2 2a Figura D9 A elipse definida por PF PF2 2a que é o gráfico de x2a2 y2b2 1 246 Précálculo Usando a fórmula da distância a equação é V x c2 y O2 Vjc c2 y O2 2a Vx c2 y2 2a V x c2 y2 x2 2cjc c2 y2 4a2 4aVjc c2 y2 2 2cx c2 y2 áx c2 y2 a2 cx a2x2 2cx c2 y2 a4 2a2ct c2jc2 a2 c22 a2y2 fl2a2 c2 Considerando b2 a2 c2 temos b2x2 a2y2 a2b2 que é usualmente escjita como x2 y2 Um ponto Px y satisfaz a última equação se e somente se o ponto pertence a uma elipse defi nida por PF PF2 2a desde que a c O e b2 a2 c2 A equação x2a2 y2b2 l é a formapadrão da equação de uma elipse centralizada na ori gem dos eixos e com o eixo horizontal x como o eixo focal Uma elipse centralizada na origem com o eixo vertical y como seu eixo focal ê a inversa de jc2a2 y2b2 l e assim tem uma equação da forma b2 1 O comprimento do eixo maior é 2a e O do eixo menor é 2b O número m comentário sobre a palavra eixo o eixo focal é G é O semieixo maior da elipse e b é j uma reta agora semieixo menor ou semieixo o semieixo menor da elipse maior são números Elipses com centro em O 0 T2 yZ y2 jçZ Equaçãopadrão T TJI z i Eixo focal eixo horizontal x eixo vertical y Focos c 0 O c Vértices a 0 O a Semieixo maior a a Semieixo menor b b Teorema de Htágoras a2 b2 c2 a2 b2 c2 Veja a Figura D 10 APÊNDICE D Secções cónicas 247 O b a b Figura D10 Elipses centralizadas na origem com focos no a eixo x e no b eixo y EXEMPLO 5 Verificação dos Tértices e dos focos de uma elipse Encontre os vértices e os focos da elipse 4x2 9y2 36 SOLUÇÃO Dividindo ambos os lados da equação por 36 temos a formapadrão x29 y24 1 Como o maior número está no denominador de x2 então o eixo focal é o eixo horizontal x Assim a2 9 b2 4 e c2 a2 b2 9 4 5 Assim os vértices são 3 0 e os focos são VF 0 Uma elipse centralizada na origem com seu eixo focal sobre um dos eixos x ou y é simétrica com relação à origem em ambos os eixos Tanto é que ela pode ser esboçada desenhando um retân gulo como guia centralizado na origem e com os lados paralelos aos eixos Logo a elipse pode ser desenhada dentro do retângulo como temos a seguir Para esboçar a elipse x2a2 y2b2 l 1 Encontre os valores a no eixo x e os valores b no eixo y e faça o desenho do retângulo 2 Insira uma elipse que tangencia o retângulo nos pares a 0 e O b Translações de elipses Quando uma elipse com centro O 0 é transladada horizontalmente por h unidades e vertical mente por k unidades o seu centro move de 00 para h k como mostra a Figura D 11 Tal trans lação não modifica o comprimento dos eixos tanto o maior como o menor 248 Précálculo Elipses com centro em A k h2 y Equação padrão Eixo focal Focos Vértices Semieixo maior Semieixo menor h c k h a k a b Teorema de Pitágoras á1 b2 c2 VejaaFiguraDil r A kc hka a b a2 b2 c2 l h c k h a k h a k h k c h ka a b Figura D11 Elipses com centro em h k e focos sobre a yk e b xh EXEMPLO 6 Verificação da equação de uma elipse i li Encontre a formapadrão da equação para a elipse cujo eixo maior tem os extremos com coorde 1 nadas 2 1 e 8 1 e cujo eixo menor tem comprimento 8 l SOLUÇÃO j A Figura D 12 mostra os extremos do eixo maior o eixo menor e o centro da elipse A equação 1 padrão desta elipse tem a forma í X h2 y k2 b2 l f onde o centro h k está no par ordenado 3 1 do eixo maior O semieixo maior e o semieixo l menor são respectivamente l 8 2 8 l a 1 5 e b 4 APÊNDICE D Secções cónicas 249 Assim a equação que procuramos é x 32 yl2 H l 52 42 l 25 16 6 2D 10 iiiiiii Figura D12 Dados do Exemplo 6 EXEMPLO 7 A formapadrão de uma elipse e pontos importantes Encontre o centro os vértices è os focos da elipse x 22 i y 52 i 9 49 SOLUÇÃO A equaçãopadrão desta elipse tem a forma ív 52 x 22 V y i VA i 49 9 O centro i fc é 2 5 Como o semieixo maior a V49 7 então os vértices h k a são i k a 2 5 7 2 12 e í k a 2 5 7 2 2 Como c Vá2 b2 V49 9 V4Õ então os focos h k c são 2 5 VÃO ou aproximadamente 2 11 32 e 2 l 32 DEFINIÇÃO Excentricidade de uma elipse A excentricidade de uma elipse é onde aéo semieixo maior b é o semieixo menor e c é a distância do centro da elipse até seus focos Essa medida verifica o grau de achatamento de uma elipse 250 Précálculo Hipérboles Geometria de uma hipérbole Quando um plano intersecciona as duas folhas de um cilindro reto a intersecção é uma hipérbole DEFINIÇÃO Hipérbole Uma hipérbole é o conjunto de todos os pontos em um plano cujas distâncias de dois pontos fixa dos no plano têm uma diferença com resultado constante Os pontos fixados são os focos da hipér bole A reta que passa pelos fecos é o eixo focal O ponto localizado no eixo focal que é o ponto médio entre os focos é o centro Os pontos onde a hipérbole intersecciona seus eixo focal são os vértices da hipérbole veja a Figura D 13 Foco l Vértice Vértice Foco Figura D 13 Pontos sobre o eixo focal de uma hipérbole Figura D14 Estrutura de uma hipérbole A Figura D 14 mostra uma hipérbole centralizada na origem com seu eixo focal sobre o eixo horizontal x Os vértices estão em a 0 e a 0 onde a é alguma constante positiva Os pontos fixados FIC 0 e F2c 0 são os focos da hipérbole com c a Note que a hipérbole tem duas curvas separadas que podemos chamar de braços Para um ponto Px y sobre um dos lados da hipérbole no caso direito temos PFt PF2 2a Sobre o lado esquerdo temos PF2 PF Ia Combinando essas duas equações temos P F PF7 2a APÊNDICE D Secções cónicas 251 Usando a fórmula da distância a equação é V c2 y O2 V x c2 y O2 2a c2 4 y2 2a V c2 2c c2 y2 4a2 4a Vx c2 y2 jc2 2cc c2 y aVx c2 y2 a2 cx a2x2 2cx c2 y2 a4 2a2cx c22 c2 a22 a2y2 a2c2 a2 Fazendo b2 c2 a2 temos I o qual é usualmente escrito como f x2 y2 a2b2 l Como esses passos podem ser revertidos um ponto Px y satisfaz essa última equação se e somente se o ponto pertence a uma hipérbole definida por PF PF2 2a isso desde que c a O e b2 c2 a2 A equação x2a2 y2b2 l é a formapadrão da equação de uma hipérbole centralizada na origem com o eixo horizontais como seu eixo focal Uma hipérbole centralizada na origem com o eixo vertical y como seu eixo focal é a relação inversa de x2a2 y2b2 l e tem uma equa ção da forma Õ2 b2 l Como com outras cónicas um segmento de reta com extremos na hipérbole é um raio da hipér bole O raio pertencente ao eixo focal conectando os vértices é o eixo transverso da hipérbole O comprimento do eixo transverso é 2a O segmento de reta de comprimento 2b que é perpendicular ao eixo focal e que tem o centro da hipérbole como seu ponto médio é o eixo não transverso da hipérbole O número a é o semieixo transverso e fc é o semieixo não transverso A hipérbole x2y2 a2 b2 tem duas assíntotas Essas assíntotas são retas inclinadas que podem ser encontradas trocando o valor l no lado direito por 0 x2 y2 x2 y2 b a2 b2 a2 b2 y a hipérbole trocar l por O assíntotas Uma hipérbole centralizada na origem com seu eixo focal sendo um dos eixos coordenados é simétrica com relação à origem e aos dois eixos coordenados Tal hipérbole pode ser esboçada dese nhando um retângulo centralizado na origem com seus lados paralelos aos eixos coordenados seguido pelos desenhos das assíntotas pelos seus cantos opostos e finalmente esboçando a hipérbo le usando o retângulo central e as assíntotas como guias Logo a hipérbole pode ser desenhada den tro do retângulo como temos a seguir 252 Précálculo b b Para esboçar a hipérbole x2la2 y2b2 l 1 Esboce os segmentos de reta em x aey b e complete o retângulo que esses segmen tos determinam 2 Esboce as assíntotas fazendo as diagonais do retângulo 3 Use o retângulo e as assíntotas para guiar seu desenho b2 Hipérboles com centro em O O Equaçãopadrão Eixo focal Focos Vértices Semieixo transverso Semieixo não transverso Teorema de Pitágoras Assíntotas Veja a Figura D 15 b2 eixo horizontal x fc 0 0 0 a b c2 a2 b2 eixo vertical y 0 c 0 fl a b c2 a2 b2 y f v y bx a b Figura D 15 Hipérboles centralizadas na origem com focos sobre o a eixo horizontal x e o b eixo vertical y APÊNDICE D Secções cónicas 253 EXEMPLO 8 Verificação dos vértices e dos focos de uma hipérbole Encontre os vértices e os focos da hipérbole 4x2 9y2 36 SOLUÇÃO Dividindo ambos os lados da equação por 36 temos a formapadrão x29 y24 1 Assim a2 9 b2 4 e c2 a2 b2 9 4 13 Assim os vértices são 3 0 e os focos são VTIo Translações de hipérboles Quando uma hipérbole com centro O 0 é transladada horizontalmente por h unidades e ver ticalmente por k unidades o centro da hipérbole move de 0 0 para h k como mostrado na Figura D 1 6 Tal translação não modifica o comprimento dos eixos transverso e não transverso Hipérboles com centro ef h k Equaçãopadrão Eixo focal Focos Vértices Semieixo transverso Semieixo não transverso Teorema de Pitágoras Assíntotas Veja a Figura D 1 6 xh2 yfc2 a2 è2 eixo horizontal x h ç k a k a b c2 á1 b2 y k2 x h2 a2 b2 eixo vertical y h kc h ka a b h y T n r K a b Figura D16 Hipérboles com centro em h k e focos sobre a y k e b x h 254 Précálculo EXEMPLO 9 Varmcação da juação de uma hipérbole 1 Encontre a formapadrão da equação para a hipérbole cujo eixo transverso tem os extremos com coordenadas 2 1 e 8 1 e cujo eixo não transverso tem comprimento 8 SOLUÇÃO A Figura D 1 7 mostra os extremos do eixo transverso o eixo não transverso e o centro da hipér bole A equaçãopadrão desta hipérbole tem a forma x h2 y k2 2 2 l onde o centro h k está no par ordenado 3 1 do eixo transverso O semieixo transverso e o semieixo não transverso são respectivamente 8 2 a 5 e b 4 Assim a equaçãe que procuramos é jc32 yl2 52 42 x 32 y l2 25 16 i y 6 H h 10 1 lX 8D Figura D17 Dados do Exemplo 9 EXEMPLO 10 A formapadrão de uma hipérbole e pontos importante Encontrar o centro os vértices e os focos da hipérbole x 22 y 52 9 49 l SOLUÇÃO O centro h k é 2 5 Como o semieixo transverso a V9 3 então os vértices são A 23 5 5 5 Como c Vá2 b2 V9 49 V58 então os focos h c k são 2 V58 5 ou aproximadamente 562 5 e 9 62 5 APÊNDICE D Secções cónicas 255 DEFINIÇÃO Excentricidade de uma hipérbole A excentricidade de uma hipérbole é onde a é o semieixo transverso b é o semieixo não transverso e c é a distância do centro da hipér bole até seus focos REVISÃO RÁPIDA Nos exercícios l a 6 encontre a distância entre os pontos dados 3 e 2 5 2 2 3 e a b 3 3 2 e 2 4 5 4 3 e 7 8 4 3 4 e a l 6 a 3 e b c Nos exercícios 7 a 12 resolva para que v fique em função de x 7 2y2 8 8 3y2 15 V2 y2 r V2 9 i 10 2 r 9 4 3 6 2 5 y2 Jt2 x2 y2 nT6T 1 1 236T 1 Nos exercícios 13 e 14 complete o quadrado para reescrever a equação na forma padrão 13 y x2 2x l 14 y 22 6 5 Nos exercícios 15 e 16 encontre o vértice e o eixo de simetria do gráfico de 15 3 l2 5 16 f x 2x2 12 l Nos exercícios 17 e 18 escreva uma equação para a função do segundo grau ou quadrática cujo gráfico tem os pontos a seguir 17 Vértice 1 3 e ponto O 1 18 Vértice 2 5 e ponto 513 Nos exercícios 19a 26 encontre o valor de algebricamente 19 V3x 12 V3x 8 10 20 Vó 12 V4x 9 l 21 V62 12 V62 1 11 22 V22 8 V32 4 8 23 3x 12 V3 8 10 24 V4x 12 V x 8 l 25 Vfa2 12 Vfo2 1 1 26 V22 12 V32 4 8 Nos exercícios 27 e 28 encontre as soluções exatas completando o quadrado 27 22 6x 3 O 28 22 4x 5 O Nos exercícios 29 e 30 resolva o sistema de equações 29 c a 2 e c2 a2 16a3 30 c a l e c2 a2 25a12 256 Précálculo EXERCÍCIOS Nos exercícios l a 6 encontre vértice foco diretriz e largura focal da parábola 1 x1 6y 2 y2 8 3 y 22 4x 3 4 x 42 6y 1 5 3x2 4y 6 5y2 I6x Nos exercícios 7 a 10 relacione o gráfico com sua equação y a y b y c 7 x2 3y 9 y2 5x d 8 x2 4y 10 y2 10 Nos exercícios 11 a 30 encontre uma equação na formapadrão para a parábola que satisfaz as condi ções dadas 11 Vértice O 0 foco 3 0 12 Vértice O 0 foco O 2 13 Vértice O 0 diretriz y 4 14 Vértice O 0 diretriz x 2 15 Foco O 5 diretriz y 5 16 Foco 4 0 diretriz x 4 17 Vértice O 0 concavidade para a direita lar gura focal 8 18 Vértice O 0 concavidade para a esquerda largura focal 12 19 Vértice O 0 concavidade para baixo largura focal 6 20 Vértice O 0 concavidade para cima largura focal 3 21 Foco 2 4 vértice 4 4 22 Foco 5 3 vértice 56 23 Foco 3 4 diretriz y l 24 Foco 2 3 diretriz x 5 25 Vértice 4 3 diretriz x 6 26 Vértice 3 5 diretriz y l 27 Vértice 2 1 concavidade para cima lar gura focal 16 2T5 Vértice 3 3 concavidade para baixo largura focal 20 29 Vértice l 4 concavidade para a esquer da largura focal 10 30 Vértice 2 3 concavidade para a direita lar gura focal 5 Nos exercícios 31 a 36 esboce o gráfico de cada parábola 3ly2 4x 32x2 8y 33 x 42 12v 1 34 y 22 I6x 3 35 y l2 8 3 36 x 52 20 2 Nos exercícios 37 a 48 esboce o gráfico de cada parábola manualmente ou não l 38 y x2 37 y 42 398v 2 40 2y2 41 I2y 32 42 63 3 x l2 43 2 v 16U 32 44 x 42 6y 1 45 y 32 2x 2 46 y l2 4x 5 47 y 22 8x 1 48 y 62 I6x 4 Nos exercícios 49 a 52 prove que o gráfico da equa ção é uma parábola e encontre vértice foco e diretriz 49 x2 2x y 3 O 50 32 6x 6y 10 O 51 y2 4y Sx 20 O 52 y2 2y 4x 12 O Nos exercícios 53 a 56 escreva uma equação para a parábola 53 O 2 i i i APÊNDICE D Secções cónicas 257 54 1550 K13 55 O 2 2D 57 Múltipla escolha Qual ponto todas as cónicas da forma x2 4py têm em comum a 11 b 10 c 01 d 00 e 11 58 Múltipla escolha O foco de y1 12 é a 3 3 b 3 0 c O 3 d O 0 e 3 3 59 Múltipla escolha O vértice de y 32 8x 2é a 3 2 b 3 2 c 3 2 d 2 3 e 2 3 Nos exercícios 60 a 65 encontre os vértices e os focos da elipse 64 12 65 9c2 4y2 36 Nos exercícios 66 a 69 relacione o gráfico com sua equação a y b y c d 2 2 16 4 11 Nos exercícios 70 a 75 esboce o gráfico da elipse Y2 2 r2 2 64 36 i 72 r l 81 25 73 H 1 49 25 74Mi1 75çz 1 1 6 4 2 4 Nos exercícios 76 a 91 encontre uma equação na formapadrão para a elipse que satisfaz as condições dadas 76 O eixo maior tem comprimento 6 sobre o eixo y e o eixo menor tem comprimento 4 77 O eixo maior tem comprimento 14 sobre o eixo x e o eixo menor tem comprimento 10 78 Os focos são 2 0 e o eixo maior tem com primento 10 79 Os focos são O 3 e o eixo maior tem com primento 10 80 Os pontos nos extremos dos eixos são 4 0 e O 5 258 Précálculo 81 Os pontos nos extremos dos eixos são 7 0 e O 4 82 Os pontos nos extremos do eixo maior são O 6 e o eixo menor tem comprimento 8 83 Os pontos nos extremos do eixo maior são 5 0 e o eixo menor tem comprimento 4 84 Os pontos nos extremos do eixo menor são O 4 e o eixo maior tem comprimento 10 85 Os pontos nos extremos do eixo menor são 12 0 e o eixo maior tem comprimento 26 86 O eixo maior tem extremos l 4 e l 8 e o eixo menor tem comprimento 8 87 O eixo maior tem extrerrts 2 3 e 2 7 e o eixo menor tem comprimento 4 88 Os focos são l 4 e 5 4 os extremos do eixo maior são O 4 e 6 4 89 Os focos são 2 1 e 2 5 os extremos do eixo maior são 2 1 e 27 90 Os pontos nos extremos do eixo menor são 3 7 e 3 3 o eixo menor tem comprimento 6 91 Os pontos nos extremos do eixo menor são 5 2 e 3 2 o eixo menor tem comprimento 6 Nos exercícios 92 a 95 encontre o centro os vértices e os focos da elipse 92 D2 y22 25 16 Nos exercícios 96 a 99 prove que o gráfico da equa ção é uma elipse e encontre os vértices os focos e a excentricidade 96 9x2 4y2 18 8j 23 O 97 3x2 5v2 I2x 30y 42 O 98 9x2 Í6y2 54 32y 47 O 99 4x2 y2 32x I6y 124 O Nos exercícios 100 e 101 escreva uma equação para a elipse 63 101 Nos exercícios 102 e 103 resolva o sistema de equações algebricamente e dê suporte a sua resposta graficamente x2 y2 4 103 y2 l x 3y 3 104 Verdadeiro ou falso A distância dos focos de uma elipse até o vértice mais próximo é ale onde a é o semieixo maior e e é excentricidade Justifique sua resposta 105 Verdadeiro ou falso A distância dos focos de uma elipse até os extremos do menor eixo é metade do comprimento do maior eixo Justifique sua resposta 106 Múltipla escolha Um foco de x2 4y2 4 é a 4 0 b 2 0 c V3 0 d VI 0 e l 0 107 Múltipla escolha O eixo focal de 16 a y l b y 2 d y 4 e y 5 c y 3 108 Múltipla escolha O centro de 9x2 4y2 12x 24y 144 O é a 4 2 b 4 3 c 4 4 d 4 5 e 4 6 APÊNDICE D Secções cónicas 259 109 Múltipla escolha O perímetro de um triângulo com um vértice sobre a elipse x2a2 y2b2 l e os outros dois vértices sobre os focos da elip se deveria ser a a b b 2a 2b c 2a 2c d2b 2c ea b c Nos exercícios 110 a 115 encontre os vértices e os focos da hipérbole 116 EL 11 l 25 16 r2 v2 0T6f 1 v2 x2 25 21 iis y 22 32 i 4 16 119 22 y D2 i 9 Nos exercícios 120 a 125 esboce o gráfico da hipér bole 2 2 114 3x2 4y2 12 115 9x2 4v2 36 Nos exercícios 116 a 119 relacione o gráfico com sua equação f 123 2 2 169 144 x 32 y l2 124 l 16 4 12 D2 y 32 lb 2 4 l Nos exercícios 126 a 141 encontre uma equação na forma padrão para a hipérbole que satisfaz as condi ções dadas 126 Os focos são 3 0 e o eixo transverso tem comprimento 4 127 Os focos são O 3 e o eixo transverso tem comprimento 4 128 Os focos são O 15 e o eixo transverso tem comprimento 8 129 Os focos são 5 0 e o eixo transverso tem comprimento 3 130 Centro em O 0 a 5 e 2 e o eixo focal é o horizontal 131 Centro em O 0 a 4 e 32 e o eixo focal é o vertical 132 Centro em O 0 b 5 e 1312 e o eixo focal é o vertical 133 Centro em O 0 c 6 e 2 e o eixo focal é o horizontal 260 Prócálculo 134 Os pontos nos extremos do eixo transverso são 2 3 e 2 1 e o comprimento do eixo transverso é 6 135 Os pontos nos extremos do eixo transverso são 5 3 e 7 3 e o comprimento do eixo transverso é 10 136 Os pontos nos extremos do eixo transverso são 1 3 e 5 3 e a inclinação de uma assinto ta é 43 137 Os pontos nos extremos do eixo transverso são 2 2 e 2 7 a inclinação de uma assíntota é 43 138 Os focos são 4 2 e 2 2 os extremos do eixo transvefso são 32 e l 2 139 Os focos são 3 1 1 e 3 0 os extremos do eixo transverso são 3 9 e 3 2 140 Centro em 3 6 a 5 e 2 e o eixo focal é o vertical 141 Centro em l 4 c 6e 2 e o eixo focal é o horizontal Nos exercícios 142 a 145 encontre o centro os vér tices e os focos da hipérbole 150 142 143 144 25 x 42 y 62 12 13 Nos exercícios 146 a 149 esboce o gráfico da hipér bole e encontre seus vértices focos e excentricidade 146 4y l2 9x 32 36 147 4x 22 9y 42 l 148 9x2 4y2 36x Sy 4 O 149 25y2 9x2 50y 54x 281 O Nos exercícios 150 e 151 escreva uma equação para a hipérbole 151 Nos exercícios 152 e 153 resolva o sistema de equa ções algebricamente e dê suporte à sua resposta gra ficamente 152 4 9 2V3 V 153 y2 l 4 x2 y2 9 154 Verdadeiro ou falso A distância dos focos de uma hipérbole até o vértice mais próximo é ae 1 onde a é o semieixo transverso e e é a excentricidade Justifique sua resposta 155 Verdadeiro ou falso O Teorema de Pitágoras a2 b2 c2 se aplica na hipérbole Justifique sua resposta 156 Múltipla escolha Um foco de x2 4y2 4 é a 4 0 b VJ 0 c 2 0 d Vã 0 e l 0 157 Múltipla escolha O eixo focal de OL6Llé a y 2 b y 3 c y 4 d y 5 e v 6 158 Múltipla escolha O centro de 42 12v2 16 72 44 O é a 2 2 b 2 3 c 2 4 d 2 5 e 2 6 159 Múltipla escolha As inclinações das assín x2 y2 totas da hipérbole l são al d 23 b 32 e 43 c Vã2 Respostas selecionadas CAPÍTULO l Revisão rápida 1 123456 2 2 10 123456 3 3 2 4 1234 5 a 1 1 8775 b 472 6 a 2065 bjD10 7 23 22 l 3 153 215 l 1375 8 32 32 22 7 Exercícios 1 4625 finitas 2 0T5 infinitas 3 215 infinitas 4 0135 infinitas 5 I l l i l H 6 54321 O l 2 3 4 5 todos os números reais menores ou iguais a 2 4321 O l 2 3 4 5 6 todos os números reais entre 2 e 5 inclusive 2 e excluído 5 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 todos os números reais menores que 7 8 ii l i i i i ii 54321 O l 2 3 4 5 todos os números reais entre 3 e 3 incluindo 3 e 3 9 i i i i i i Oliili 5 4321 O l 2 3 4 5 todos os números reais menores que 0 10 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 todos os números reais entre 2 e 6 incluindo 2 e 6 11 l x 1 todos os números entre l e l incluindo l e excluindo l 12 x s 4 ou x 4 todos os números meno res ou iguais a 4 13 x 5 ou x 5 todos os números menores que 5 14 2 s x 2 todos os números entre 2 e 2 incluindo 2 e excluindo 2 15 l x 2 todos os números entre l e 2 excluindo l e 2 16 5 s x o ou x S 5 todos os números maiores ou iguais a 5 17 3 todos os números maiores que 3 18 7 2 todos os números entre 7 e 2 excluindo 7 e 2 19 2 1 todos os números entre 2 e l excluindo 2 e 1 20 l f todos os números maiores ou iguais a 1 21 3 4 todos os números entre 3 e 4 excluindo 3 e incluindo 4 22 0 todos os números maiores que 0 23 Os números reais maiores que 4 e menores ou iguais a 9 24 Os números reais maiores ou iguais a 1 ou os números reais que são pelo menos 1 25 Os números reais maiores ou iguais a 3 ou os números reais que são pelo menos 3 26 Os números reais entre 5 e 7 ou os números reais maiores que 5 e menores que 7 27 Os números reais maiores que l 28 Os números reais entre 3 e O inclusive ou maiores ou iguais a 3 e menores ou iguais a 0 29 3 x 4 extremos 3 e 4 limitado aberto à esquerda e fechado à direita 30 3 x 1 extremos 3 e 1 limitado aberto 31 x 5 extremo 5 não limitado aberto 32 x 6 extremo 6 não limitado fechado 33 A idade de Bill deve ser maior ou igual a 29 x 29 ou 29 x idade de Bill 34 Preço entre O e 2 inclusive O jc s 2 ou O 2 x preço de um item 35 Os preços estão entre R 220 e R 290 inclu sive 220 x 290 ou 220 290 x R por litro de gasolina 36 A taxa ficará entre 002 e 0065 002 x 0065 ou 02 065 x taxa de juros 37 ax2 b a x2 a b ax2 ab 38 y z3c y c z3 c yc z3c 262 Précálculo 39 ax2 dx2 a x2 d x2 a dx2 40 a3z a3w a3 z a3 w a3z w 41 A inversa de 6 TT ou 6 TT 6 ir 7T6 42 A inversa de 7 ou 7 7 43 Em 52 a base é 5 44 Em 27 a base é 2 45 í 46 3y2 47 4x2 2 J 16 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 xy t 2 xy x y4 4aV 3 2A2a2b2 12a 78 X IO8 16 X IO19 0000 000 033 3 673000000000 9500000000000 0000 000 000 000 000 000 000 001 674 7 23 zeros entre o ponto decimal e 1 135241 X 107 8 32535 X IO1 58 59 125 X 10 32535 125 3743 x 1T76 125 X IO9 x IO19 26028 x IO8 1591 X IO1 25 x IO7 1591 25 25 x IO7 IO17 6364 X 108 a Quando n O a equação ama am torna se ama am0 isto é ama am Como a 1 O podemos dividir os dois lados da equação por am portanto a 1 b Quando n m a equação ama am tornase amam am m isto é amm a Sabemos por a que a l Como a O podemos dividir os dois lados da equação amam J por am portanto gm F am 60 Falso 61 Falso 62 O intervalo 2 1 corresponde a 2 s x l A resposta é E 63 24 2222 16 A resposta é A 64 Em 72 72 a base é 7 A resposta é B 65 j 2 4 A resposta é D 66 Os números reais com magnitude menor que 7 são representados pelo intervalo 7 7 67 Os números naturais com magnitude menor que 7 são O 123456 68 Os números inteiros com magnitude menor que 7 são 6 5 4 3 2 l O l 2 3 4 5 6 CAPÍTULO 2 Exercícios 1 81 9 ou 9 pois 81 92 2 XsT 3 ou 3 pois 81 34 3 V64 4 pois 64 43 4 243 3 pois 243 35 5 I6 Vl6 4 16 ou pois 3 3 F 9 l 2 pois 27 3V 2 7 VÍ44 12 pois 12 12 144 8 Nenhum número real multiplicado por ele mesmo resulta em 16 9 V216 6 pois 63 216 10 216 6 pois 63 216 64 4 4 64 li V 27 POIS 3 v 3 27 64 8 12 J pois 82 64e52 25 V 25 5 v 134 145 15 ou 25 16 ou 35 Respostas selecionadas 263 17 729 1832 19 ou 025 4 20 ou 0012345679 81 212 22 ou 08 23 X288 Vl22 2 X122 2 12X2 24 V500 25 y250 V 53 2 26 27 V2Í5 Vxy22 2x Vxy22 2x xy2V2x 28 27x3y Í 3xy23 3xy2 x2yíy2 30 31 32 y42 3y 6x2y4 33 34 4 ià 44 l 5 5 5 25 5 35 X r 37J 39 a 2fc213 a 2è23 40V15 V15 41 34 44jc2V3 45 x yv5 46 ry34 Y3 47 48 49 50 1212 2X14 ab1213 ab16 y 2 2 3 m 23 116 52 a2a23 a 53 a35a13íT32 a35 3 32 a1730 a730 54 víy V5 iVl y2 55 a53 è343a13 b54 3 a 53a13 è34 è 54 56 264 Précálculo 8x 323 57 23 8A323 82V2V 8211233 64134y2 4x4y2 58 pq2 i 3qp2 3p y Y P3y 61 V3 A y2 J y2312 6 3y2 64 A5 66 Í 67 3V423 2Vó23 3 4 V5 2 12V5 123 O 68 2 V52 7 4 V22 7 25V7 427 10V7 8V7 27 2y V x 2yVx x 2yVx como a raiz quadrada é indefinida quando x 0 70 V32 2y Vy2 2y 3xV2y yV2y 3x yV2y 3x yÍ2y como a raiz quadrada é indefinida quando y 0 71 V2 6 V2 Vó 2828 3863 72 V4 V9 V4 9 5 3605 73 32123 742313 2 2 75 V24 22 2 76 23 2 77 2 334 1587 2279 78 423 334 0396 0438 79 í 045 V5ÕÕ 45 V2 636 s CAPÍTULO 3 Exercícios 1 32 1x 1 grau 2 2 2x3 x2 2x 1 grau 3 3 x1 1 grau 7 4 í4 x2 x 3 grau 4 5 Não não pode haver um expoente negativo como1 6 Não não pode haver uma variável no denomi nador 7 Sim 8 Sim 9 x2 3x 7 3X2 5x 3 x2 3x2 3x 5x 7 3 4x2 2x 4 10 32 5 x2 l x 12 S2 x2 l x 51 4x2lxll 11 4x3x2 3x x3 2x 3 4x3x3x2 3x 12 3 S3 x2 9x 3 Respostas selecionadas 265 12 13 14 15 16 17 18 y2 ly 3 5y2 3y 4 y2 5y2 2y 3y 3 4 4y2 y l 22 2 23 2x3 22 6x y2y2 y23y y4 2y4 3y3 4y2 3H4w 3il 12w2 3u 4v2 4v3v3 8 v 12v4 12v4 8v 25 x5x 325 lOx 5x2 153 153 5x2 10 12 22 2x3 2x 2x 23 19X 5 2x 5 2 25 x2 5 2x 10 3 10 20 24 1 34 1 24 21 34c 31 82 2 12 3 82 14 3 21 3 2 5 2 3 32 5 52 32 6 5 10 32 10 22 22 32 4x2 9 23 32 y2 92 y2 24 32 235 52 9 30 252 252 30 9 32 23x4y 4y2 9x2 24xy 6y2 3 321 312 l3 3 32 3 l 25 26 27 2w3 322v 32v2 v3 28 29 30 31 32 3v42 6uv2 v3 8w3 12w2v 6uv2 v3 w3 3M23v 33v2 3v3 w3 9w2v 3u9v2 27v3 u3 9u2v 21uv2 27v3 232 3y2 46 9y2 532 2531 l2 256 IO3 l 2 4 2 4 3 4 x2x 24 2 24 3 34 x3 4x2 2x2 8 3 12 x3 22 5 12 33 22 1 2 1 32 OX2 2 21 xx2 32 3 31 4 3 2 32 32 3 3 4 23 2 2 3 34 222 2 32 2 12 2 222 22 222 32 3 32 12 12 24234233 326 2 2 24 S3 82 7 2 35 2 V22 2 2 36 l22 O122 xy O e O 37 Vw2 Vi2 u vu0ev0 38 22 V32 43 39 2 2 4 22 2 4 2 2 4 22 22 24 x3 2x2 4x 2x2 4x 8 3 8 40 2 1 12 1 2 12 11 3 x2 2 l 3 l 41 5 3 42 524 43 yzz2 3z 2 44 32 5 2 3 3 3 2 3 x2 23 3 3 3 2 23 x3 3x2 3x2 9 2 6 x3 1 1 6 46 3y242 3y 43y 4 47 82 5y2 8 508 5y 48 42 22 4 24 2 6 2 49 y2 2y4 42 y 42 50 6y2 2601 l2 6 l2 51 2z2 22zl l2 2z l2 523z223z4 42 3z42 53 y3 23 y 2y2 002 22 y 2y2 266 Précálculo 54 z3 43 z 4z2 z4 42 z 4z2 4z 16 55 3y3 23 3y 23y2 3y2 22 3y 29y2 6y 4 56 4z3 33 4z 34z2 4z3 32 4z 316z212z 9 57 l3 x3 l 12 x2 l xx x2 xl x x2 58 33 y3 3 y32 300 y2 3 9 3y 59 x 2jt 7 60 y 5y 6 61 z 8z 3 62 2íl3íl 63 2ií57i l 64 2v 35v 4 65 3 54x 3 66xy2xy 67 2x 5y3x 2y 68 3x ly5x 2y 69 3 4x2 5x 20 xx 4 5x 4 77 2y9y2 24y 16 2y3y2 23y4 2y3y 42 78 2x2 8 7 2xx x 7 79 X16 y2 y42 y2 y4 y4 y 42 70 2x3 32 2x 3 22 3 l2x 3 2x 3x2 1 71 x6 3X4 x2 3 A2 3 12 3 x2 3x4 1 72 jc6 2x4 x2 2 fV 2 lx2 2 c2 24 1 73 2ac 6ad bc 3bd 2ac 3d fcc 3d c 3d2a è 74 3ww 12z 2vw 8vz 3uw 12z 2vw 4z w4z3w 2v 75 X2 1 76 XV 20y 25 y2y2 225 52 y2y 52 80 33 8 3xx3 23 3xx 2x2 22 3xx 2x2 2x 4 81 y5 3y 2y2 yl y5 2y 82 zl 8z3 zl3 2z3 zl 2zl2 2z2 zl 2zl 2z 4z2 83 25x l2 9 25x 12 32 25x 5jr 1 3 25 45jc 2 1 3 84 52jc 32 4 52x 32 22 52x 3 2 85 262 l Ix 10 22 53x 2 86 x 5y3x 2y 87 2ac 4ad 2bd bc 2ac 2d b2d c c 2d2a b 2c bc 2d 88 6ac 4bc 2bd 3ad 2c3a 2b d2b 3a 3a 2b2a d 89 x3 SJT 4x 12 x2x 3 4x 3 jc3 90 xx3 4X2 x 4 xx l X2 3x 4 xx l xlx 4 91 2ac bc 2ad bd c2a b d2a b c d2a b Nenhum dos agrupamentos 2ac bd e 2ad bc tem um fator comum para remover CAPÍTULO 4 Exercícios 5 10 510 15 5 9 9 9 9 3 17 9 179 8 32 32 32 32 4 20 9 209 180 30 4 21 22 2122 462 77 33 20 3320 660 12 25 77 2577 1925 35 Respostas selecionadas 267 2 4 2 5 25 3 5 3 4 3 4 K 5 1 2 6 92 4 10 4 2 43 43 12 2 7 O mínimo múltiplo comum dos denominadores é 2 7 3 5 210 L 56 50 3 210 210 15 5650 21 l 210 14 15 21 210 10 lh 6 35 8 O mínimo múltiplo comum dos denominadores é 2 3 5 7 210 6 4 35 36 56 15 210 210 210 35 3656 15 l 210 210 14 9 Nenhum valor é restrito assim o domínio são todos números reais 10 Nenhum valor é restrito assim o domínio são todos números reais 11 O valor sob o radical deve ser nãonegativo assim x 4 O ou seja x 4 domínio é 4 12 O valor sob o radical deve ser positivo assim x 3 O ou seja x 3 domínio é 3 13 O denominador não pode ser O assim x2 3x O ou xx 3 0 Então xQex 3Q ou seja x O e x 3 14 O denominador não pode ser O assim x2 4 O ou x 2x 20 Entãox 2Oex20 ou seja x 2 e x 2 15 O denominador não pode ser O assim x l Q ou x l Então x2exl 16 O denominador não pode ser O assim x 2 O ou í 2 Então x 2 e x 0 17 jc1 lx e o denominador não pôde ser O assim x 0 18 l2 e o denominador não x l2 pode ser O assim x l2 O ou x l O ou seja x 19 O denominador é Yix 3t4x2 assim o novo numerador é 24x2 8x2 20 O numerador é I5y 53y assim o novo denominador é 2y3y 6y2 21 O numerador é x2 4x x 4x assim o novo denominador é xx x2 22 O denominador é x2 4 x 2x 2 assim o novo numerador é xx 2 x2 2x 23 O denominador é x2 2x 8 x 4 x 2 assim o novo numerador é x 3x 4 x2 7x 12 24 O numerador é x2 x 12 x 4x 3 assim o novo denominador é x 5x 3 x2 Sx 15 25 O numerador é x2 3x xx 3 assim o novo denominador é xx2 2x ou x3 2x2 26 O denominador é x2 9 x 3x 3 assim o novo numerador ê x 3x2 x 6 xx2 x 6 32 x 6 x3 x2 6x 3x2 3x 18 x3 4x2 3x 18 27 x 2x 7 cancela durante a simplificação a restrição indica que os valores 2 e 7 não são válidos na expressão original 28 x lx 2 cancela durante a simplificação a restrição indica que os valores l e 2 não são válidos na expressão original 29 Nenhum fator foi removido da expressão podemos ver pela inspeção que 23 e 5 não são válidos 30 x cancela durante a simplificação a restrição indica que O não era válido na expressão original 31 x 3 termina no numerador da expressão sim plificada a restrição lembra que começa no denominador assim 3 não é permitido 32 Quando a b na origem dividimos por 0 isso não é aparente na expressão simplificada pois cancelamos um fator de b a 34 3x5 5 3y225 25 3y23y2 3y2 xx2 x2 35 x0 xx 2 x 2 v 36 y y f 3 7 38 40 3 2 3 z3 z z 3 x 32 x 3 z 3 3x 4 x 4x 3 268 Précálculo 40 y 5Q 6 y 5 O 30 6 y 3 yO2 4y 21 y 1 6 y 70 7 yQ 7Q 3 yy 3 7 y 7 y l 41 2z3l3 z 32zl 2zl2z2 42 43 z 32z 1 4z2 2z l z 3 Z 2 2zz2 3z 9 z 33 3 2zz2 3z 9 z 3z2 z3 2zz2 3z 9 z 3z2 3z 9 z 3 O3 2x2 3x 6 2O 2 x2x 2 30 2 O 202 3 2z 20 2 x2x 2 x í 2 x 44 yÇy 3 y3 3y2 5y 15 yO 3 yy 3 y2y 3 50 3 y 3y2 5 y y 1 3 i Q 10 l x l 45 X l x l 3 x 3 14 7 20 3 lx x 3 Ql l 47 r r r x l e x l 0 303 12y 0 12 1 20 1 50 2x2 yy2 2y 4 x2 x 1 202 i O 2 0 202 2y 4 2 e y 2 Q 52y 1 y5 l 51 y 5 y 5 O 50 5 y2y 1 y l 52 42 3y 201 y 4 y 4 2 2 x 1 AT 4j r r 54 x 5t 0 2 cO 3 3y2 3O 3 55 2 xyey0 14v 2xy 28 56 140y x y e y O 8 y É 4 e 3 58 0 32 8xy 4x 3 0 y0 y 4x2y 59 60 2xy O xy x c l 3 2x 2 x 5 x 5 3 x l x 4 x0ey0 2xxQ x 2 x 2 Respostas selecionadas 269 2x0 4 13x 3 xx 3 x 0 30 3 30 3 IO 30 3 xx 30 3 xx 30 3 fr Í3x 9 x2 9 6x xx 30 3 xx 30 3 x 3x xx 3 xx 30 3 xx 30 3 1 1 x 3 3 x r 5 2 i 4 5O 2 2JfX 20 3 x 20 3x2 x 2x 3x2 40 3 x 2x 3x 2 5x 10 2x2 lOx 12 4x 12 0 20 30 2 2x x 10 x 2x 3x 2 2x 5x 2 x 2x 3x 2 2x 5 x 2x 3 2x 5 v J 9 x2 5x 6 x3 y 3 y 2 y3 y x2 y2 x22 x2 y2 x2y2 0 y02 xy y2 x2 xy y2 0 yx y x y yx xy y x x2y2 4 4 2 2 2 2 65 2x0 4 x 3 x 4 2x2 5x 3 x 4 x 4 2x2 7x 3 2x lx 3 2x 10 3 x 3 1 v V 9 2O 5 13 x 5 2x 3 x 3 x3 20 3 3 x 5 2x3 x 5 x 3 x 3 e x J x2 0 h2 x2x h2 x2 x2 2xh h2 1 h xx h2 h 2xh h2 h2x h 2x h hx2x h2 hx2x h2 xx h2 O hx 2 xx h 2 x h 2x 2 C8 h x2 2x hx 2h x2 hx 2x 1 0 h 20 2 h 2h 2 hx h 20 2 O h 20 2 è2 a2 ab b ab a ab b a ab b a ab b a ab b a ab 1 b2 a2 ab b ab a b a ab y x0 y y x 270 Précálculo xy Jx y J xy 72 x y xy x y y xy xy l l 74 l x y xy y x CAPÍTULO 5 Revisão rápida 1 2x 5x l y 3x 4y 2 2x 5x 3x y 4y 7 2 4x 5y 9 5x 2y 3z z 42 x ly4z 2 3 32x y 4y x x y 6x 3y 4y 4x x y 3x 2y 4 52 y 1 4y 3x 2 l 10 5y 5y 5 4y I2x 8 l 2x 9y 4 y y y y2 y l y2 yly2 3y 1 y iy 2 y 2 3y 3 4y 5 y ly 2 y ly 2 l 2x l 2x l 7 2 X X X X l l y x x2y 8 H x y x x2y x y xy xy xy x 4 3x l 5x 4 23x 1 9 2 5 10 10 5 20 62 11 18 x x 4x 3x 7x 10 3 4 12 12 12 11 3x 42 9x2l2xl2x6 9x2 24x 16 12 2x 32 4x2 6x 6x 9 4x2 I2x 9 14 3y l5y 4 152 12y 5y 4 I5y2 ly4 15 25x2 20x 4 5x 25x 2 5 22 16 153 222 8 x5x2 22x 8 x5x 43x 2 17 S3 x2l5x5 x3x 1 53 1 18 13y2 36 y2 4y2 9 y 2 y 2y 3y 3 19 xx 3 20 2x l x 3 2x lx 3 22 1 x2 3x 4x 2 2x lx 3 2x lx 3 x2 x 2 x 2x 1 2x IX 3 2x lx 3 l 3 11 x l x2 5 6 x2 x 6 x 3x 2 3 11 x lx 2 x 3x 2 x 3x 2x 2 3x llx 2 x 3x 2x 2 x2 3x 2 3x2 5x 22 A 3x 2x 2 2x2 2x 24 x 3x 2x 2 2x2 x 12 x 3x 2x 2 2x 4x 3 x 3x 2x 2 2x 4 10 10 x 2x 2 se x 3 Respostas selecionadas 271 Exercícios 1 a e c 232 53 29 15 18 15 3 e 2l22 512 214 l 52 12 52 62 3 Substituir 12 resulta 2 e não 3 2 a 12 16 36 16 26 13 e 13 13 Ou multiplicando os dois lados por 6 62 616 63 assim 3 l 2 Subtraia 2 dos dois lados l 0 Subtraia l dos dois lados 1 3 b Vi O2 2 V T 2 l2 3 Substituir 2 ou 2 resulta Vi 4 2 V3 2 que é indefinido 4 c 10 213 813 2 Substituir 6 resulta 2 e não 2 substituir resulta 613 182 e não 2 5 Sim 3 5 0 6 Não Não há variável na equação 7 Não Subtrair dos dois lados resulta 3 5 que é falso e não contém a variável 8 Não A maior potência de é 2 assim a equa ção é quadrática e não linear 9 Não A equação tem V assim não é linear 10 Não A equação tem lx xl assim não é linear 11 3 24 8 12 4 16 4 13 3t 12 t 4 142 12 t 6 15 2 3 4 5 2 4 2 2 2 l 16 4 2 3 6 2 3 10 5 10 2 17 4 3y 2y 8 3y 2y 4 5y 4 4 18 4y 5 i y 8 y 8 192 2 175 4 20 3 3 T 2 f 10 jc 12 21 2 T 223 3 4 225 4 23 6 8 lOz 15 z 17 18z9 z17 18z z8 19z 8 24 15z 9 8z 4 5z 2 7z13 5z2 7z 5zll 2 z l l 25 4 43 2 3 20 12 2 17 12 17 10 17 10 272 Précálculo 26 324 3 6x 12 4x 5 6x 4x l 2x l 4 5 2724 V 5 í 2 3í 512f2 3f 1512 9f 39 8 9f 31 31 í 2812 f l í 5 3 4 4íl 3í 5 4 4 3í 15 6 7í 11 6 33 3c 5 2x l Subtraindo 5 de cada lado resulta 3 2x 4 A resposta é E 344 1 0 x 0outl0 x l A resposta é A 2x l x l 35 3 2 4 3 Multiplicando cada lado por 12 resulta 8x 6 34 A resposta é B 36 P 2b h Pbh 2Pbh 37 A 29 Multiplicar ambos os lados da primeira equação por 2 30 Divida ambos os lados da primeira equação por 2 31 a Não elas têm soluções diferentes 3 6 9 2 9 3x 9 x 9 x 3 x 9 b Sim a solução de ambas as equações é x 4 6x 2 4x 10 3x l 3x 5 6x 4x 8 3 2x 4 2x 8 x 4 2A h 38 V ir r3 47T 33V 32 a Sim a solução de ambas as equações é x 92 3x 2 5je 7 2x 2 7 3x 5 9 2x 9 2 9 9 b Não elas têm soluções diferentes 2x 5 x l 2x xl 2x xU x l 39 C F32 C F32 9 5 F C32 Respostas selecionadas 273 40 Y0 44 x 4 ou x 5 Os fatores do lado esquerdo para x 4x 5 0 x 4 O ou x 5 0 x 4 x 5 41 X3 YD 5 5 por 10 10 x 3 ou x 05 Os fatores do lado esquerdo para x 32x 1 0 x 3 3 ou 2 x l 0 x 3 2xl x 05 42 X5 Y0 3 31 por 2 2 05 ou t 15 Os fatores do lado esquerdo para 2x 1 2x 3 0 2 l O ou 2 3 O 2x l 2x 3 05 x 15 43 X3 YQ 6 6 por 4 4 x 3 ou 5 Reescreva como x2 x 15 0 os fatores do lado esquerdo para x 3 x 5 0 3 O ou x5 0 x 3 x5 X6666667 Y0 6 6 por 20 20 x 23 ou 3 Reescreva como 3c2 l x 6 0 os fatores do lado esquerdo para 3x 2 x 3 0 3x 2 0 ou x3 O 3 x 3 45 X5 10 10 por 30 30 x 5 ou x 43 Reescreva como 32 l Ix 20 0 os fatores do lado esquerdo para 3x 4 x 5 0 3x 4 O ou 4 x x 5 46 Reescreva como 2x2 52 então 2x 5 ou x 52 47 Divida ambos os lados por 2 para obter x 52 85 Então x 5 V5ex 5V85 48 Divida ambos os lados por 3 para obter x 42 õ fjT 83 Então x 4 J e x 4 J 49 Divida ambos os lados por 4 para obter u l2 45 Então u l V5 e u l V5 50 Adicionar 2y2 S a ambos os lados resulta 4y2 14 Divida ambos os lados por 4 para obter y2 72 assim y J 5l2x 3 13 assim jc 3 13 resulta x 8 ou x 5 52 x2 6x 32 7 32 x 32 16 x 3 VÍ6 jt 3 4 x 7 ou x l 274 Précálculo 53 x2 5x 9 x 252 9 625 4V 1 0 4 x x 3 3 4Y 10 16 x 3 3 9 x 25 Vl525 x 25 Vl525 641 ou x 25 Vl525 141 54 x2 1 4 X 4 í 7Y x 11 j Vn x 7VTi x VTT s 018 ou VÍ1 682 55 x2 6x 4 2 6 f6Y 4 Í6Y X 2 2 x 32 4 9 x 3 VÍ3 x 3 Víã x 3 VÍ3 661 ou x 3 Vl3 061 56 2x2 Ix 9 x2 2x 3 3x x28x 12 x 42 4 4 2 x 42 x 2 ou x 6 57 3jc ójt V x H 3x K x H 3 32 c 10 8 10 XL x 3 3 4 46 3 V 9 4 3 3 4 1 r x V46 093 ou x j V46 s 359 58a 1 b 8 e c 2 8 V82 4l2 8 V72 21 2 86V5 x 824 ou x 024 59 a 2 b 3 e c 1 3V3242l 3VT 3 1 22 4 4 4 x oux l 60 x2 3x 4 0 assim a 1 b 3 e c t 3V324l4 3V25 3 5 21 2 2 2 x 1 ou x 4 V3 VV2 4l5 21 V3 V23 I r I r V J v 2J 2 2 2 x 153 ou x 326 62 2 5x 12 0 assim ab 5ec 12 5 V52 4112 21 5 V73 5 V73 2 2 2 677 ou x 177 Respostas selecionadas 275 63 x2 4x 32 O assim alb 4c 32 4 V424l32 21 4 V144 2 6 2 x 4 ou x 8 64 Intercepta o eixo x 3 e o eixo y 2 65 Intercepta o eixo x l e 3 o eixo y 3 66 Intercepta o eixo x 2 O 2 e o eixo y 0 67 Não intercepta o eixo x nem o eixo y 68 Gráfico de y x 8 e y 2 com soluções t 6 ou í 10 69 Gráfico de y l y 4 com soluções x 5 ou x 3 70 Gráfico de y 2x 5 y 3 com soluções x l ou x 6 71 Gráfico de y 3 5x y 4 com soluções x 15 ou x 75 72 Gráfico de y 2x 3 y x2 com soluções x 3 ou x 1 73 Gráfico de y 1 e y 2x 3 com soluções x 4 74 a As duas funções são yl 3Vx 4 come çando no eixo x e y2 x2 l b Este é o gráfico de y 3Vx 4x2 1 c As coordenadas de x das intersecções na pri meira figura são as mesmas das coordenadas de x onde o segundo gráfico cruza o eixo x 75 Os fatores do lado esquerdo para x 2 0 x 2 0 ou x10 x 2 xl 76 O gráfico de y x2 18 intercepta o eixo x em x 424 ou x 424 Temos a contar x2 3x 12 3x 6 x2 18 O 77 2x l 5 ou 2x l 5 2x 6 2x 4 x 3 x 2 78x 2 2 V x 3 4x 3 x Vi oux 8 V8 é uma solução estranha x v8 283 79 Do gráfico de y x3 4x2 3x 2 as solu ções da equação que interceptam o x no gráfico são x 456 x 044 x 1 80 Do gráfico de y x3 4x 2 as soluções da equação que interceptam x no gráfico são x 221 x 054 x 168 81 x2 4x l 7 x2 4x 8 O x2 4x l 7 4 x 2 23 sem soluções reais para esta equação sem soluções reais para esta equação 82 Do gráfico de y 5 x 3 y O quando x l 83 Do gráfico de y 05x 3 e y x2 4 temos x 241 ou x 291 84 Do gráfico de y Vx 7 e y x2 5 temos x 164 ou x 145 85 a Existem duas raízes distintas pois b2 4ac O implica que b2 4ac são 2 números reais distintos b Existe exatamente uma raiz pois implica que b2 4ac O assim a raiz deve ser b x a c Não existe raiz real pois b2 4ac O implica que Vê2 4ac não são números reais 86 As respostas podem variar a x2 2x 3 tem discriminante 22 41 3 16 assim tem duas raízes distintas O gráfico ou fatoração mostra que as raízes estão em x 3 e x 1 b x2 2x l tem discriminante 22 411 O assim tem uma raiz O gráfico ou fato ração mostra que a raiz está em x l c x2 2x 2 tem discriminante 22 41 2 4 assim não tem raiz real O gráfico está totalmente acima do eixo x 87 Seja x a largura do campo em yd o comprimen to é x 30 Então a área do campo tem largura de 80 yd e 80 30 UOyd de comprimento 8800 xx 30 O x2308800 0 x 110x80 O x 110 ou 0 x80 x l 10 ou 80 276 Précálculo 88 Resolvendo x2 x 52 182 ou 2x2 Wx 299 O resulta x 998 ou x 1498 A escada está cerca de x 5 1498 de altura na parede 89 A área do quadrado ê x2 A área do semicírculo é 1277T2 l27rl22 como o raio do semicír culo é 12 Então 200 x2 l2TrU2x2 Resolvendo graficamente é mais fácil resulta x 1198 ft x deve ser positivo 90 Verdadeiro 91 Falso 92 A resposta é D 93 A resposta é B 94 A resposta é B 95 A resposta é E 96 a ax2 bx c O c c 5 x2 4 5 X2 4 5 ou X24 5 x2 9 x2 l x 3 sem solução 24 5 3 d c 1 O gráfico sugere y l não inter secciona y x2 4 Como o valor absoluto nunca é negativo x2 4 l não tem soluções e Não existem outros possíveis números de soluções desta equação Para qualquer a solução envolve duas equações quadráticas cada um pode ter nenhuma uma ou duas soluções s bVÕ bVÕ bx c b c a a 2 b i b c i 6Y a 2 a a 2 a j x f AY c a 2a a 4a2 f b V b x 1 x b2 r V 2aJ 4a2 4a2 í b Y b2 4ac V 2a 4a2 c r b Ib2 4ac 2a V 42 b Vb2 4ac 2a 2a b Vb2 4ac 2a 2a b Vb2 4ac 70 ai r 2a 2a 2bVDVD 2a 2b b 2a a fh b VD b VÕ t 1 2a 2a b2 VÕ2 4a2 b2 b2 4ac c 4a2 a 99 xi x2 5 Como a 2 isso significa a que b 10 jcj x x2 3 como a 2 isso significa que c 6 As soluções são 2a 97 a c 2 24 2 x2 4 2 ou x2 4 2 x2 6 x2 2 x Vó x V2 x24 2 V2 V6 b c 4 x24 4 x24 4 ou x2 8 2 que se reduz a 25 VÍ3 ou aproximadamente 0 697 e 4303 CAPÍTULO 6 Revisão rápida 1 7 2x 3 7 4 IT 10 2 x 5 Respostas selecionadas 277 2 5 2 l x 4 2x6 3 4 5 6 7 8 9 2 3 l ou x 5 4x29 2x 32 3 x1 4x xx2 4 xx 2x 2 9x2 Í6y2 3x 4y3x 4y z2 25 z 5z 5 z 5 z z5z 35 5 z x lx 5 x x2 IQx 25 z x l 5 5 5 x l 3x 4 3 4 1 10 4 13 4 4x2 4x l x 1X3 4 2x l 3 x 2 1 2 1 2 IX 3 1 x 2x lx 1 2x2 3x 1 x1 2x 3 3x2 5 2 x 2x 1 3 IX 2 x 2x lx 1 3 1 se x 2 x lx 1 Exercícios 1 a 20 3 O 3 3 7 No entanto substituindo x 5 resulta 7 não é menor que 7 substituindo x 6 resulta 9 2 b e c 33 4 94 5 5 e 34 4 124 8 5 3 b e c 42 l 8 l 7 e l 7 l l e também 43 l 12 l 11 e l 11 11 No entanto substituindo x O resulta l não é maior que 1 4 a b e c l 2l l 2 3 e 3 3 3 l 20 l0 l e 3 l 3 l 22 l 4 3 e 3 3 3 5 6 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 H 1 h I l l l l 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 H 1 1 l l l l l l l 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 2x l 4x 3 2 11 H 1 1 l l l 21 0 1 2 3 4 5 6 7 10 6x 6x 3 2 l 7 2 l l l l l l l l Ol 1 1 H 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 4x 5 5x 3x l 9 x 3x l 10 3x W2x 5 x x5 5 7 12 5 19 19 278 Précálculo 14 5l 32 5 3x 3 x l 15 34 3 5 12 2y 5 6 17 2y l 17 2 l l 2 17 3y 1 41 4 A 4l V 4 jr 4 3y l 4 5 3 3 y l 17 O 2z 5 8 5 2z 3 5 3 z 2 2 18 6 5f l O 5 5í l 21 10 3 1 52y 3 23y 1 lOy 10 Wy l5 6y 2 Wy 10 I6y 17 lOy 10 16y lOy 7 6yl 22 24 3 3 8 242 43 4 32y 3 48 24y 12 I6y 6y 948 24y 22y 21 48 24y 22 27 24y 2y 27 27 253 23 2x 4 jc 4 4jr 103 x 3x 4 30 10 3x 34 10 734 34 3x 5 43 2x 24 3x 15 12 8 24 5 3 24 x 21 24 6Íijt 3 2 41 6x 31 L J L í J 3 3 12 4 2x 3 3 9 12x482 6 15 39 2x 6 15 2 33 13 33 33 33 x 25 2 6 9 3x10x4 6 7x 56 lx 11 11 x 25 Falso 26 Verdadeiro 27 00 9 u l oo 4 5 ou 4 5 l 9 12108 6 4 2 0 2 4 6 8 Respostas selecionadas 279 28 13 u23 2x l 36 ou 2x l 36 2x 46 2x 26 l l iCHllK 54321 O l 2 3 4 5 29 1 5 2 j 3 2 l x 5 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 30 t8 2 5jc 35 8 x 2 Hl i i i i iii 1210864 2 0 2 4 6 8 4 3 6 4 3 t 6 10 32 10 2 3 3 54321 0 1 2 3 4 5 32 0u3 3 2x 3 3 2x3 ou 3 2x 3 2x O 2x 6 0 x3 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 33 11 u 7 x 2 x 2 3 ou 3 3 3 x 2 9 2 9 Y 11 x 7 1210864 2 0 2 4 6 8 34 1929 x 5 f6 6 24 x 5 24 35 2t217 21 O 2x 3x 7 O x ou x 7 O gráfico de y 2x2 lx 21 está abaixo do eixo c para 7 x 32 Portanto 7 32 é a solução pois os extremos estão incluídos 36 6x2 13x 6 0 2x 33c 2 O 2x 3 O ou 3x 2 O 3 2 x ou x 2 3 O gráfico de y 6x2 13 6 está acima do eixo x para x 23 e para x 32 Portanto 23 u 32 é a solução pois os extremos estão incluídos 37 2x2 Ix 15 O 2x 3x 5 O 5040302010 O O 10 20 30 40 50 x ou x 5 O gráfico de y 2x2 Ix 15 está acima do eixo x para 5 e para x 32 Portanto 5 u 32 é a solução 38 4x2 9x 2 O 4x íx 2 O 4x l 0 o u x 2 0 x ou x 2 4 O gráfico de y 4x2 9x 2 está abaixo do eixo x para 14 x 2 Portanto l4 2 é a solução 39 2 5 3x2 O 2l 3x O x 2oux O gráfico de y 2 5x 3x2 está abaixo do eixo x para x 2 e para x 13 Portanto o 2 u l3 é a solução 280 Précálculo 40 214 x2 O 7 jc3 x O 7 x 0 ou 3 O 7 ou 3 O gráfico de y 21 4x x2 está acima do eixo x para 3 x l Portanto 3 7 é a solu ção pois os extremos estão incluídos 41 3 x O X2 1 O 1 0 x 0outl0oují 10 x Qouxloux gráfico de y x3 x está acima do eixo x para x l e para l x 0 Portanto 1 0 u l é a solução pois os extremos estão incluí dos 42 x3 x2 30 0 xx2 x 30 O xx 6x 5 O 5 O gráfico de y x3 x2 30x está abaixo do eixo x para x 5 e para O x 6 Portanto 5 u O 6 é a solução pois os extremos estão incluídos 43 O gráfico de x2 4x l ê zero para x 024 e x 424 e está abaixo do eixo x para 024 x 424 Portanto 024 424 é a solução aproximada 44 O gráfico de y I2x2 25x 12 é zero para x 43 e x 34 e está acima do eixo x para x 34 e para x 43 Portanto 34 u 43 é a solução 45 6jc2 5x 4 O 3x 4 Q ou 2x l O 4 l JC OU X 3 2 O gráfico de y 6x2 5x 4 está acima do eixo x para x 12 e para x 43 Portanto 12 u 43 é a solução 46 4x2 l O 2x 2x 1 O 2xl0ou2x 1 0 l l X 2UX 2 O gráfico de y 4x2 l está abaixo do eixo x para 12 x 12 Portanto 12 12 é a solução pois os extremos estão incluídos 47 O gráfico de y 9x2 2x l parece ser zero para x 141 e x 008 e está acima do eixo x para x 141 e jc 008 Portanto o 141 u 008 é a solução aproxi mada e os extremos estão incluídos 48 O gráfico de y 4x2 2x l parece ser zero para x 079 e x 221 e está abaixo do eixo x para 079 x 221 Portanto 079 221 é a solução aproximada 49 4x2 4x l O 2x l2x 1 O 2x l2 O 2x l O X 2 O gráfico de v 4x2 4x l está totalmente acima do eixo x exceto em x 12 Portanto l2 u l2 é a solução estabelecida 50 x2 6x 9 O x 3x 3 O jc 32 O x3 0 x 3 O gráfico de v x2 6x 9 está totalmente acima do eixo x exceto em x 3 Portanto 3 é a solução estabelecida 51 z2 8 16 O x 4x 4 O x 42 O O gráfico de v x2 x 1 6 está totalmente acima do eixo x exceto em x 4 Portanto não há solução isto é a solução é dada por j 52 9212x 4 0 23jc 2 O 3x 22 O 3x 2 O O gráfico de y 9x2 12x 4 está totalmente acima do eixo x exceto em x 23 Portanto todo número real satisfaz a inequação A solução é oo oo 53 O gráfico de y 3x3 12x 2 é zero para x 208 x 017 e x 191 e está acima do eixo x para 208 x 017 e x 191 Portanto 208 017 u 191 é a solu ção aproximada Respostas selecionadas 281 54 O gráfico de y 8x 2x3 l é zero para x 206 x 013 e x 193 e está abaixo do eixo x para 206 x 013 e x 193 Portanto 206 013 u 193 é a solu ção aproximada 55 2X3 2x 5 é equivalente a23 250 O gráfico de j 2x 2x 5 é zero para x 111 e está acima do eixo x para x 111 Assim 111 é a solução aproximada 56 4 2x3 8 é equivalente a 2e3 8 4 0 O gráfico dey 2x 8x 4 é zero para x 047 e está acima do eixo x para x 047 Assim 047 é a solução aproximada 57 As respostas podem variar Algumas possibilida des são a x2 O b x2 K O c x2 O d x 2jc 5 O e x 4 O f xx 4 O 58 Seja a velocidade média então 105 2x Re solvendo a equação resulta x 525 assim a menor velocidade média é 525 kmh 59 a Seja x O a largura de um retângulo então a altura é 2x 2 e o perímetro é P 2x 2x 2 Resolvendo P 2 0 0 e 2 x 2 0 resulta l cm x 34 cm 2x 2 2 200 23x 2 200 6x 4 200 6x 204 2x 2 O 2 2 x A área é A x2x 2 Já sabemos que x l da parte a Resolver A 1200 x2x 2 1200 2x2 2x 1200 O jc2 x 600 O x 25x 24 O x 25 O ou x 24 O x 25 ou x 24 O gráfico de y 2x2 2x 1200 está abai xo do eixo x para l x 25 Assim A s 1200 quando x está no intervalo 1 25 60 Substitua 20 e 40 na equação P 400V para encontrar a imagem PP 40020 e P 40040 10 A pressão pode variar de 10 a 20 ou 10 s P 20 De maneira alternativa resolva graficamente gráfico y 400x em 20 40 X O 30 e observe que todos os valores de y estão entre 10 e 20 61 Falso 62 Verdadeiro 63 x 2 3 3 x 2 3 l x5 l5 A resposta é E 64 O gráfico de y x2 2x 2 está totalmente acima do eixo x assim x2 2x 2 O para todos os números reais de x A resposta é D 65 x2 x é verdadeira para todo x negativo ou para x 1 Assim a solução é 0 u 1 A resposta é A 66 x2 s l implica l s x s l assim a solução é 1 1 A resposta é D 67 a Os comprimentos dos lados da caixa são x 12 2x e 15 2x assim o volume é jc12 2x 15 2x Resolver jc12 2x15 2x 125 gráfico y x2 2jc15 2x e y 125 e encontrar onde os gráficos se interseccionam x 094 polegadas ou x 378 polegadas b O gráfico de y X12 2jc15 2x está acima do gráfico de y 125 para 094 y 378 aproximadamente Assim esco lhendo x no intervalo 094 378 resultará em uma caixa com o volume maior que 125 centímetros cúbicos 68 2x2 Ix 15 10 ou 2x2 l x 15 10 2x2 lx25 0 2x2 lx5 0 O gráfico de y 2x2 O gráfico de y 2x2 Ix 25 parece Ix 5 parece ser ser zero para x zero para x 411 569 e x 219 e x 061 Olhe para os gráficos de y 2x2 l x 15 e y 10 O gráfico de y 2x2 Ix 15 está abaixo do gráfico de y 10 quando 569 x 411 e quando 061 x 219 Portanto 569 411 u 061 219 é a solução aproximada 282 Précálculo 691x2 3x 20 10 ou 2x2 3x 20 10 2x2 3x 30 O 2x2 3x 10 O O gráfico de y 2x2 O gráfico de y 2x2 3x 30 parece 3x 10 parece ser zero para x ser zero para x 469 ex 319 311 ex 161 Olhe para os gráficos de y 2x2 3x 20 e y 10 O gráfico de y 2x2 l x 20 está acima do gráfico de y 10 quando x 469 311 x 161 e x 319 Portanto oo 469 u 311 161 u 319 é a solução aproximada com os extremos incluídos CAPÍTULO 7 Revisão rápida 1 x2 16 O 16 x 4 2 9 x2 O 9 x2 3 x 3x 10 O x 10 4 5 x O x 5 5 5 Como vimos o denominador de uma função não pode ser zero Veremos quando isso ocorre x 16 O 16 6x2 16 0 x2 16 x 4 7x 16 O x 16 8 t2 l O x2 l x l 9 3 O e x 2 O 3 x jc 2 2 e x 3 10 A2 4 0 x2 4 x 2 Exercícios 1 Sim y Vx 4 é uma função de x pois quando o número é substituído por jc há no máximo um valor produzido para V 4 2 Não y x2 3 não é uma função de x pois quando o número é substituído por x y pode ser tanto 3 maior ou 3 menor que x2 3 Não x 2y2 não determina y como uma função de x pois quando um número positivo é substi IX X tuído por x y pode ser ou J 4 Sim x 12 y determina y como uma função de x pois quando um número é substituído por x há exatamente um número y que produz x quando subtraído por 12 5 Sim 6 Não 7 Não 8 Sim 9 Domínio 5 5 por 5 15 10 Precisamos x 3 0 Domínio 3 u 3 5 15 por 10 10 11 Precisamos t 30ec l 0 Domínio 3 u 3 1 u 1 10 10 por 10 10 12 Precisamos xO ex 30 Domínio 0 u 0 3 u 3 Respostas selecionadas 283 10 10 por 10 10 13 Note que gx x2 5x xx 5 Como resultado x 5 O e 0 Domínio 0 u 0 5 u 5 10 10 por 55 14 Precisamos j c 3 0 e 4 x2 s 0 Isso signi fica que x 3 e x2 4 esta última implica que 2 s s 2 assim o domínio é 2 2 3 3 por 2 2 15 Precisamos x l O x2 1 0 e 4 j t s O O primeiro requisito significa x l o segun do é verdadeiro para todo x e o último significa x 4 O domínio é 1 u l 4 NI 5 5 por 5 5 y I6x2 O 16 O 16 Precisamos x2 O ou x2 16 O 2 16 O ou jc s 4 x 4 Domínio 4 u 0 u 4 5 5 por O 16 17jc 10 x2 pode tomar qualquer valor negati vo pois x2 é nãonegativo f x não pode ser maior que 10 A variação é 10 18 gx 5 V4 x pode tomar qualquer valor a 5 mas como V4 x é nãonegativo gx não pode ser menor que 5 A variação é 5 00 19 A variação de uma função é encontrada mais facilmente pelo seu gráfico Como mostra nosso gráfico a variação de f x é 1 u O 10 10 por 10 10 20 Como mostra nosso gráfico a variação de gjt é lu075 10 10 por 1010 21 Sim é não removível 10 10 por 10 10 284 Précálculo 22 Sim é removível 5 5 por 10 10 23 Sim é não removível 40 10 por 2 2 24 Sim é não removível 55por55 25 Máximo local em 1 4 e 5 5 mínimo local em 2 2 Função crescente em 1 decrescente em l 2 crescente em 2 5 e decrescente em 5 26 Mínimo local em l 2 3 3 não é nenhum dos dois casos e 5 7 é um máximo local Função decrescente em 1 crescente em l 5 e decrescente em 5 27 l 3 e 3 3 são nenhum dos dois casos 1 5 é o máximo local e 5 1 é um mínimo local Função crescente em 1 decrescente em l 5 e crescente em 5 28 l 1 e 3 1 são mínimos locais enquanto l 6 e 5 4 são máximos locais Função decrescente em 1 crescente em l 1 decrescente em 1 3 e crescente em 3 5 e decrescente em 5 29 Função decrescente em 2 crescente em 2 co 30 Função decrescente em 1 constante em 1 1 crescente em l 10 10 por 2 18 31 Função decrescente em 2 constante em 2 1 crescente em l 10 10 por O 20 32 Função decrescente em 2 crescente em 2 7 3 por 2 13 33 Função crescente em 2 decrescente em l 4 6 por 25 25 34 Função crescente em 05 decrescente em 05 12 crescente em 12 Os valores médios são aproximados de fato estão entre 0549 e 1215 Os valores dados podem ser observados na janela decimal 10 10 por 2 18 2 3 por 31 Respostas selecionadas 285 35 Funções constantes são sempre limitadas 36 x2 O x20 2x22 y é limitada superiormente por y 2 37 2 O para todo x assim y limitada inferiormente por y 0 38 2x 121 para todo x assim y é limitada infe riormente por y 0 39 Como y Vi x2 é sempre positivo sabe mos s O para todo x Precisamos verificar para uma função limitada superiormente Assim y é limitada por y l 40 Não há restrições em x nem em x3 assim y não é limitada superior nem inferiormente 41tem um mínimo local quando x 05 e y 375 Não tem máximo 5 5 por O 36 42 Máximo local y 408 em x 115 Mínimo local y 208 em x 115 5 5 por 50 50 43 Mínimo local y 409 em x 082 Máximo local v 191 em x 082 44 Máximo local y 948 em x 167 Mínimo local y O quando x 1 5 5 por 50 50 45 Máximo local y 9168 em x 320 Mínimo local y O em x O e y O em 4 5 5 por O 80 46 Máximo local y O em x 25 Mínimo local y 313 em x 125 5 5 por 10 10 47 A função é parfx 2x4 2x4 fx 48 A função é ímpar gx xf x3 gx 49 A função é par V2 2 2 fx 50 A função é par gx l x2 l x2 5 5 por 50 50 51 Nenhum dos dois casos f x x2 003 x 5 x2 003 5 que não é nem f x nem fx 52 Nenhum dos dois casos f x x3 004 x2 3 jc3 004x2 3 que não é nem f x nem f x 286 Précálculo 53 A função é ímpar gx 2x3 3x 2x3 3x gx 54 A função é ímpar hx hx 55 O quociente é indefinido em x indi x l cando que x l é uma assíntota vertical De ma neira similar lim r 1 hm l jt X l X indicando uma assíntota horizontal em v l O gráfico confirma essas assíntotas 10 10 por 10 10 56 O quociente é indefinido em x O indi cando uma possível assíntota vertical em x 0 De maneira similar lim x l lim x l l indicando uma possível assíntota horizontal em y 1 O gráfico confirma essas assíntotas 10 10por1010 x 2 57 O quociente é indefinido em x 3 indi 3 x cando uma possível assíntota vertical em x 3 De maneira similar x 2 x 2 hm lim l 3 x 3 x indicando uma possível assíntota horizontal em y 1 O gráfico confirma essas assíntotas 8 12 por 10 10 58 Como gx é contínua em x não esperamos uma assíntota vertical Entretando lim 15 lim 15 lim 0 oo r o o 15 assim esperamos uma assíntota horizontal em y 0 O gráfico confirma esta assíntota 10 10 por 10 10 59 O quociente x2 l é indefinido em x l e x 1 Esperamos duas assíntotas verticais De x2 2 x2 2 maneira similar hm hm l X l ATo X l assim esperamos uma assíntota horizontal em v 1 O gráfico confirma essas assíntotas 10 por 10 10 60 Notamos que x2 l O para x assim não esperamos uma assíntota vertical 4 4 Entretanto lim lim O x1 l x l assim esperamos uma assíntota horizontal em y 0 O gráfico confirma essa assíntota 5 5 por O 5 Respostas selecionadas 287 4x 4 61 O quociente não existe em x 2 espera mos uma assíntota vertical De maneira similar 4x 4 4x 4 hm lim O assim xi 8 x3 8 esperamos uma assíntota horizontal em y 0 O gráfico confirma essas assíntotas 62 O quociente 4 6 por 5 5 2x 4 2Jtx 2 x2 4 20 2 x 2 Como x 2 é uma descontinuidade removível esperamos uma assíntota vertical apenas em x 2 De maneira similar 2 2 lim lim O x 2 x 2 assim esperamos uma assíntota horizontal em y 0 O gráfico confirma essas assíntotas 64 por 1010 63 O denominador é zero quando x 12 assim há uma assíntota vertical em x 12 Quando tende a ou a x 2 se comporta 2x l x l mais como assim ha uma assíntota 2x 2 horizontal em y 12 O gráfico correspondente é b 64 O denominador é zero quando x 12 assim há uma assíntota vertical em x 12 Quando tende a ou a 2x l se comporta mais X X como assim y x2 e uma assíntota 2x 2 y inclinada O gráfico correspondente é c 65 O denominador não é zero qualquer que seja o valor real de x assim não há uma assíntota ver x 2 tical Quando x e muito maior r se com porta mais como r F 2x2 2x l que para x tendendo a ou a está perto de zero Assim há assíntota horizontal em y 0 O gráfico correspondente é a 66 O denominador não é zero qualquer que seja o valor real de x assim não há uma assíntota ver tical Quando x tende a ou a 2x2 l se comporta mais como r assim v 2x2 2 y x2 é uma assíntota inclinada O gráfico cor respondente é d 67 a Como lim lim o x2 l x esperamos uma assíntota horizontal em y 0 Para encontrar onde a função cruza y O resolvemos a equação com x t l r O x2 l x O x2 1 x 0 O gráfico confirma que f x intersecciona a assíntota horizontal em 0 0 b Como lim 10 10 por 10 10 x x lim l xXZ l esperamos uma assíntota horizontal em y 0 Para encontrar onde a função inter secciona y O resolvemos a equação x O x2 l x O x2 1 288 Précálculo O gráfico confirma que gx intersecciona a assíntota horizontal em O 0 10 10 por 5 5 c Como lim lim 1 x3 1 esperamos uma assíntota horizontal em y 0 Para encontrar onde hx cruza y O resolvemos a equação com x l 777 e x2 Q x3 1 O gráfico confirma que hx intersecciona a assíntota horizontal em 0 0 5 5 por 5 5 68 Encontramos que a e c têm gráficos com mais de uma assíntota horizontal como se segue a Para encontrar assíntotas horizontais verifi camos os limites para x e x Sabemos também que o numerador 3 11 é positivo para todo x e que o denominador 8 y é positivo para x 2 e negativo para x 2 Considerando essas duas afirmações encontramos rhm l e lim l O gráfico confirma que temos assíntotas hori zontais em y l e v l b Novamente vemos que o numerador l positivo para todo x O denominador x2 4 pode ser negativo somente quando 2 x 2 se x 2 ou x 2 x2 4 será positi vo Como o denominador tem grau maior que o numerador lim x lim O dando apenas M x2 4 x2 4 uma assíntota horizontal em y 0 O gráfico confirma essa assíntota 5 5 por 5 15 c Como já demonstramos precisamos de x2 4 O do contrário a função não está definida dentro dos números reais Como resultado sabemos que o denominador r2 4 é sempre positivo e que hx está definido apenas no domínio 2 u2 o Verificando os limites encontramos x x l e lim l X 4 Jr Vx 4 O gráfico confirma que temos assíntotas hori zontais em v l e y l 10 10 por 10 10 69 a A assíntota vertical é em x O e essa função é indefinida em x O pois o denominador não pode ser zero b 10 10 por 5 5 10 10 por 10 10 Acrescentar o ponto O 0 c Sim Respostas selecionadas 289 70 As assíntotas horizontais são determinadas por dois limites lim fx e lim fx Há no x xoo máximo dois números diferentes 71 Verdadeiro 72 Verdadeiro 73 A resposta é B 74 A resposta é C 75 A resposta é C 76 A resposta é E 77 a b 3 3 por 2 2 x O lx2 Mas o discriminante de x2 x l ê negativo 3 assim o gráfico nunca cruza o eixo x no intervalo 0 c l d O Mas o discriminante de x2 x lê negativo 3 assim o gráfico nunca cruza o eixo x no intervalo 0 78 Crescente 79 Um gráfico possível 80 Um gráfico possível 5 81 Um gráfico possível 82 a x2 O 08x2 O 2 08t2 2 f x é limitada superiormente por y 2 Para determinar se y 1 está no intervalo devemos resolver a equação para x 2 2 08t2 Comojt existe em x O então y 2 está na imagem da função b lim lim r lim 3 3 3 x2 Assim gx é limitada por y 3 No entan to quando resolvemos para x temos o 3x2 33 x2 3x2 9 32 32 9 0 Como 9 0 então y 3 não está na imagem da função gx c hx não é limitada superiormente pois lim hx lim hx d lim 4x 2x l lim 4x O 290 Précálculo Assim gx é limitado por y O quando x vai para e e Sabemos que x l2 O para todo x t 1 4x Assim para x O temos v x2 2x l e para x O e x 1 temos 4x O x2 2x l O Essa segunda conclusão pode ser ignorada pois estamos interessados no limite superior de qx Examinando o gráfico vemos que qx tem um limite superior em y l que ocorre quando x 1 O menor dos limites superio res de qx e l e está na imagem 83 Como o gráfico desce continuamente do ponto l 5 para o ponto 1 5 ele deve cruzar o eixo x em algum ponto no caminho O ponto de intersecção de x será uma raiz da função no intervalo 1 1 84 Comoé ímpar f x f x para todo x Em particularO O Isto equivale a dizer queO O e o único número igual a seu oposto é 0 PortantoO O que significa que o gráfico deve passar pela origem 85 6 6 por 2 2 a y 15 c l 3x2 l 2x2 l 32l O l s 25 2x2 l O 22 l 32 l 52 25 O 52 52 25 Verdadeiro para todo CAPITULO 8 Revisão rápida 1 y 8 36 2 y 182 3 y 4 x 2 ou y 06 28 4 y 5 1 ou y 5 32 jc 3 3 x2 3 3 9 x2 6 9 6 42 4 4 x2 4x 4 16 jc2 8 16 7 3 62 3x 6x 6 3 18 6 Ix2 18 18 108 32 36 108 8 3 72 3 7 7 3 21 7 32 21 21 147 32 42 147 9 22 4 2 22 2 1 2 1 1 2 l2 10 32 12 12 32 4 4 3 2 2 3 22 Exercícios 1 Não é uma função polinomial devido ao expoente 5 2 Polinomial de grau l com coeficiente principal 2 3 Polinomial de grau 5 com coeficiente principal 2 Respostas selecionadas 291 4 Polinomial de grau O com coeficiente princi pal 13 5 Não é uma função polinomial devido à raiz cúbica 6 Polinomial de grau 2 com coeficiente princi pal 5 5 5 7 m então y 4 x 2 51 7 7 8 m então y 5 x 3 2 4 51 24 9 m então y 6 x 3 3 10 J 4 10 10 TO então y 2 z 1 4 4 5 3 x x 4 4 5 ÍÊ 53 11 m l entãoy 3 lx 0 x 3 15 K15 12 TO então y 2 x 0 2 2V 15 13 a o vértice está em l 3 no quadrante III eliminando tudo menos a e d Como J0 l deve ser a 14 d o vértice está em 2 7 no quadrante III eliminando tudo menos a e d Como frO5 deve ser d 292 Précálculo 15 b o vértice está no quadrante I em 14 significando que deve ser ou b ou f Como 0 1 não pode ser f se o vértice em f é l 4 então a intersecção com o eixo y seria entre O 3 Deve ser b 16 f o vértice está no quadrante I em l 12 significando que deve ser ou b ou f Como O 10 não pode ser b se o vértice em b é l 12 então a intersecção com o eixo y ocorre consideravelmente abaixo de O 10 Deve ser f 17 e o vértice está em l 3 no quadrante IV assim deve ser e 18 c o vértice está em l 12 no quadrante II e a parábola com concavidade para baixo assim deve serc 19 Translade o gráfico de f x x2 três unidades para a direita para obter o gráfico de hx x 32 e translade este gráfico duas unidades para baixo para obter o gráfico de gxx 32 2 20 Encolha verticalmente o gráfico defx x2 com o fator para obter o gráfico de 4 gx x2 e translade este gráfico uma unidade abaixo para obter o gráfico de hx x2 1 21 Translade o gráfico dex x2 duas unidades para a esquerda para obter o gráfico de hx x 22 encolha verticalmente este gráfico com o fator para obter o gráfico de kx x 22 translade este gráfico três unidades para baixo para obter o gráfico de gx x 22 3 10 22 Estique verticalmente o gráfico de f x x2 com o fator 3 para obter o gráfico de gx 3x2 considere o simétrico com relação ao eixo x para obter o gráfico de kx 3x2 e translade este gráfico 2 unidades para cima para obter o gráfico de hx 3x2 2 23 Vértice l 5 eixo x 1 24 Vértice 2 1 eixo x 2 25 Vértice l 7 eixo x 1 26 Vértice V3 4 eixo x Vs 5 3 27 x 4 5 25 6 X 36 5 Y 73 3 x 6J 12 25 4 12 Respostas selecionadas 293 v Vértice i eixo x 1 6 12 6 28 fx 2x2 x 3 7 49 9 2 x1 2x 3 4 16 8 25 725 Vértice eixo x 29fx x2 83 x2 2 4x 16 3 16 x 42 19 Vértice 4 19 eixo x 4 30 4X 16 4x2x 6 33 fx x2 4x 4 6 4 jc 22 2 Vértice 2 2 eixo jc 2 concavidade para cima não intersecciona o eixo x 46 por O 20 34 gx x2 6x 9 12 9 x 32 3 Vértice 3 3 eixo x 3 concavidade para cima não intersecciona o eixo x 4 6 por O 20 Vértice l l eixo x 4 4 J 4 31 gx 5x2 xj4 5x223x 4 9 V 5 25 J 5 2 V 5J 5 3 m 3 Vértice 5 J eixo x 5 32 hx 2 x2 x 4 2 7 49 9 2x 4 4 167 8 7 17 2 U 4 8 w 7 17A 7 Vértice eixo x 4 8 4 35 x2 I6x 10 x2 I6x 64 10 64 x 82 74 Vértice 8 74 eixo x 8 concavidade para baixo intersecciona o eixo x entre 16602 e 0602 8 V74 20 5 por 100 100 36 hx x2 2x 8 x2 2x 1 H 8 l x l2 9 Vértice l 9 eixo x 1 concavidade para baixo intersecciona o eixo x em 2 e 4 9 11 por 100 10 294 Précálculo 37 i 2x2 3x 1 2 xi 3x 7 4j 2 Vértice l l eixo z concavidade V 22 2 para cima não intersecciona o eixo x e é esti cada verticalmente pelo fator 2 37 1 por 2 51 38 gx 5x2 5x 12 5 x 5x 25 5 12 5 27 4 Vértice l l eixo x concavidade 2 4 J 2 para cima intersecciona o eixo x entre 5 i 8 e 4462 ou V385 e é esti cada 2 10 J verticalmente pelo fator 5 9 11 por 100 10 39 h l e Jt 3 assim j ax l2 3 Agora substitua x l y 5 para obter 5 4a 3 assim a 2 A equação é y 2c l2 3 40 h 2 e k 7 assim j a 22 7 Agora substitua x O y 5 para obter 5 4a 7 assim a 3 A equação é y 3x 22 7 41 z l e k 11 assim y l2 11 Agora substitua x 4 y l para obter 7 9a 11 assim a 2 A equação é y 2 l2 11 42 i l e 5 assim y ax l2 5 Agora substitua x 2 y 13 para obter 13 9a 5 assim a 2 A equação é y 2x l2 5 43 h l e k 3 assim y ax l2 3 Agora substitua x O y 5 para obter 5 a 3 assim a 2 A equação é y 2x l2 3 44 h 2ek 5 assim y ajc 22 5 Agora substitua x 4y 27 para obter 27 4a 5 assim a A equação é y y 2 25 45 Seja o número de bonecas produzidas sema nalmente e v o custo médio semanal Então m 470 e b 350 assim y 470 350 para que tenhamos 500 470 350 então x 32 32 bonecas são produzidas por semana 46 Se o comprimento é x então a largura é 50 x assim Ax 50 x a área máxima de 625 metros quadrados é obtida quando x 25 as dimensões são 25 metros X 25 metros 47 a O 100 por O 1000 é uma possibilidade b Quando x 107335 ou x 372665 ou seja aproximadamente 107335 unidades ou 372665 unidades 48 a Rx 800 20300 5 b O 25 por 200000 260000 é uma possibilidade mostrada O 25 por 20000 260000 Respostas selecionadas 295 c A receita mensal máxima R 250000 é atingida quando x 10 correspondendo ao aluguel de R 250 por mês 49 A função identidade f x x 47 47 por 31 31 Domínio Imagem Continuidade a função é contínua neste domínio Comportamento crescentedecrescente E crescente para todo x Simetria é simétrica perto da origem Limite não é limitada Extremo local nenhum Assíntotas horizontais nenhuma Assíntotas verticais nenhuma Comportamento nos extremos do domínio lim fx oo e lim fx 50 A função do segundo grau f x x2 47 47 por 15 Domínio J00 Imagem O o Continuidade a função é contínua neste domínio Comportamento crescentedecrescente É crescente em O decrescente em 0 Simetria é simétrica perto do eixo y Limite é limitada inferiormente mas não superiormente Extremo local valor mínimo de O em x O Assíntotas horizontais nenhuma Assíntotas verticais nenhuma Comportamento nos extremos do domínio lim fx lim JToo X 51 Falso Para f x 3x2 2x 3 o valor inicial éO 3 52 Verdadeiro Completando o quadrado podemos reescreverx de modo que 2 3 4 Como s então fx O para todo x 53 m 13 2 4 2 T A resposta é E 54 mx b 3 2 2 7 b 3 3 3 A resposta é C 55 O eixo de simetria ocorre verticalmente pelo vértice quando 3 A resposta é B 56 O vértice é h k 3 5 A resposta é E 57 a Os gráficos i iii e iv v e vi sendo que iv e vi são gráficos de funções constantes b As que citamos no item anterior c ii não é uma função pois um único valor de x por exemplo x 2 resulta em muitos valores de y De fato há infinitos valores de y que são válidos para a equação x 2 c 5 2 3 c fa c2 q2 c fl c a c ac a c c a 296 Précálculo g3 gl 115 60 fx xaxbx2bxaxab 31 2 g4 gl 145 C 4 1 3 gc ga 3c 2 3a 2 í c a c a 3c 3a 3 c a f x hcha 7c37a3 g c a c a 7c 7a 7 c a fcc a me è ma è l V n c a c a me ma c a c a c3 a3 2b b b l c a c a 2a a a c ac2 ac a2 c c a c a 59 a Se ax2 bx c 0 então b Vb2 4ac 2a F b Vb2 4ac 2a b Vb2 4ac 2 2a e A x2 b Vb2 4ac b Vb2 4ac 2a 2b b b 2a a a b De maneira similar f b Vb2 4ac 2 b Vb2 4ac 2a b2 b2 4ac 4ac c x2abxab Se usarm tice da função quadrática temi l 2 2 n j ab O eixo e x h CAPÍTULO 9 Revisão Rápida 2 Vi5 3 d2 1 5 6 Vm3 7 3xm 8 2X53 9 lxw 10 071 m Exercícios 1 potência 5 constante 2 potência constante 9 3 não é uma função potência 4 potência 0 constante 13 5 potência 1 constante c2 k 6 potência 5 constante g 7 potência 2 constante 8 potência 3 constante 9 potência 2 constante k 10 potência 1 constante m 4a2 4a2 a 11 grau 0 coeficiente 4 Respostas selecionadas 297 12 não é uma função monomial expoente negativo 13 grau 7 coeficiente 6 14 não é uma função monomial a variável está no expoente 15 grau 2 coeficiente 4n 16 grau l coeficiente 17Afcs2 18 Vkr2 Í9IVR 20 VkT 21 Emcl 22p V2 23 O peso w de um objeto varia diretamente com sua massa m com a constante variação g 24 A circunferência C de um círculo é propor cional ao seu diâmetro D com a constante de variação ir 25 A distância d percorrida de um objeto lançado em queda livre varia diretamente com o quadrado de sua velocidade p com a constante de variação 27 V 26 55 por 149 potência 4 constante 2 Domínio Imagem O Continuidade a função é contínua Comportamento crescentedecrescente É decres cente em t 0 Crescente em 0 Simetria par É simétrica com relação ao eixo y Limite é limitada inferiormente mas não superior mente Extremo local valor mínimo é y O em x O Assíntotas nenhuma Comportamento nos extremos do domínio lim 2x4 Hm 2x4 55 por 2020 potência 3 constante 3 Domínio Imagem Continuidade a função é contínua Comportamento crescentedecrescente é decres cente para todo x Simetria ímpar É simétrica com relação à origem Limite não é limitada inferiormente nem superior mente Extremo local nenhum Assíntotas nenhuma Comportamento nos extremos do domínio lim 3x3 Xo lim 28 199 por 14 l l potência constante F 4 2 Domínio O Imagem O Continuidade a função é contínua Comportamento crescentedecrescente é crescente em O Limite é limitada inferiormente Simetria nem par nem ímpar Extremo local mínimo local em O 0 Assíntotas nenhuma Comportamento nos extremos do domínio lim vx 00 298 Précálculo 29 55 por 55 potência 3 constante 2 Domínio 0 U 0 Imagem 0 U 0 Continuidade a função é descontínua em x O Comportamento crescentedecrescente é crescente em 0 É crescente em 0 Simetria ímpar jí simétrica com relação à origem Limite não é limitada superifvrmente nem inferior mente Extremo local nenhum Assíntotas emx 0ey 0 Comportamento nos extremos do domínio lim 2x3 O lim 2T3 O 30 Encolher y x4 verticalmente através do 2 2 2 fator Como f x x x4 x4 3 J 3 3 então fé par 55 por 119 31 Esticar y x3 verticalmente através do fator 5 Comox 5Jt3 53 fx então é ímpar 55 por 2020 32 Esticar y x5 verticalmente através do fator 15 Encontrar o gráfico simétrico com relação ao eixo x Comojc 5x5 lSjc5 fx então fé ímpar 55 por 2020 33 Esticar v x6 verticalmente através do fator 2 Encontrar o gráfico simétrico com relação ao eixo x Comofx 2x6 2x6 fx então fé par 55 por 191 34 Encolher y Jc8 verticalmente através do fator Como f x xf x8 f x 4 4 4 então fé par 55 por 149 35 Encolher y x7 verticalmente através do fator Como fx x1 x1 fx então fé ímpar 55 por 5050 Respostas selecionadas 299 36 g 37 a 38 d 39 g 40 h 41 d l 42 k 3 a No primeiro quadrante a função é crescente e com a concavidade para baixo A função é indefinida para x 0 é crescente e com a concavidade para cima A função é indefinida para x 0 2 8 por 119 46 k a 3 No primeiro quadrante a função é decrescente e com a concavidade para cima l99porl 10 X assim fé ímpar 43 k 4 a No quarto quadrante a função é decrescente e com a concavidade para cima assim é par 10 10 por 29 1 4 44 k 2 a No quarto quadrante a função é decrescente e com a concavidade para baixo fx assimé par F10 lOlDorí29 11 45 k a No primeiro quadrante a função 5 5 por 20 20 47 k l a 4 No quarto quadrante a função é crescente e com a concavidade para baixo 4 f assimé par 5 5 por 191 48 y potência 2 constante 8 49 y 2Vx potência constante 2 300 Précálculo 50 Dado que w é um número inteiro n l Se n é ímpar então x xn x f x e assim f x é ímpar Se K é par então f x x x f x e assim f x é par 51 Verdadeiro Porque fx x2p 52 Falso fx 13 Ol3 O e assim a função é ímpar Ela é simétrica com relação à origem e não com relação ao eixo y U12 V4 2 L 3 3 3 é indefinido Vejamosl 3l13 3l 3 l 3l3 31 3 e3 3313 s 208 A resposta é E 55JC M x213 x21 x2 fx A função é par A resposta é B 56 fx x3K Vx é definida para 0 A resposta ê B 57 Se fé par então A resposta é A f x x portanto fx fxQ Como gx gx então fx f x g também é par Se g é par então gx gx l portanto gx gx fx fx Como então fx fx e f x f x também é par Se fé ímpar então fx fx portanto fx 0 fx fx Como gx gx então g também é ímpar Se g é ímpar então gx gx portanto g Como então f x f x e fé ímpar 58 Seja gx xa efx Xa Então gx lfx O exercício 57 mostra que g x lf x é par se e somente se f x é par e gx lf x é ímpar se e somente se f x é ímpar Portanto gx Xa é par se e somente se f x Xa é par e gx x é ímpar se e somente se f x Xa é ímpar CAPÍTULO 10 Revisão rápida 1 x2 4x 7 2 x2 x 3 3 7x3 x2 3 5 xx2 4 xx2 22 xx 2x 2 6 6x2 9 6x2 32 6x 3x 3 7 4x2 2x 15 4x 5x 3 8 x5x2 22x 8 x3x 25x 4 9 x3 2x2 x 2 x2x 2 lx 2 22 1 x 2x x 1 10 xx3 x2 9x 9 xx3 x2 9x 9 xxx 1 9 1 x lx2 9 jc lx2 32 XX lx 3x 3 Respostas selecionadas 301 Exercícios 1 A partir de y r3 translade para a direita em 3 unidades e então estique verticalmente pelo fator 2 Intersecção com o eixo y O 54 2 A partir de y x3 translade para a esquerda em 5 unidades e entãff encontre Ojgráfico simétrico com relação ao eixo x Intersecção com o eixo y O125 3 A partir de y y translade para a esquerda em l unidade encolha verticalmente pelo fator encontre o gráfico simétrico com relação ao eixo x e então translade verticalmente para cima em 2 unidades Intersecção com o eixo v í O 4 A partir de y 3 translade para a direita em 3 unidades encolha verticalmente pelo fator translade verticalmente para cima em l unidade Intersecção com o eixo y O 17 20 r 10 5 A partir de y x4 translade para a esquerda em 2 unidades estique verticalmente pelo fator 2 e encontre o gráfico simétrico com relação ao eixo x e então translade verticalmente para baixo em 3 unidades Intersecção com o eixo y O 35 6 A partir de y x4 translade para a direita em l unidade estique verticalmente em 3 unidades e translade verticalmente para baixo em 2 unidades Intersecção com o eixo y O 1 7 Máximo local 079 1119 raízes x O e x 126 5 5 por 5 2 8 Máximo local em O 0 mínimo local em 112 313 e 112 313 raízes x O e x 158 158 302 Précálculo 5 5 por 5 15 9 Função cúbica coeficiente principal positivo A resposta é c 10 Função cúbica coeficiente principal negativo A resposta é b 11 Maior do que cúbica coeficiente principal posi tivo A resposta é a 12 Maior do que cúbica coeficiente principal negativo A resposta é d 13 5 3 por 8 3 limx 00 lim fx 14 lim fx lim f x 00 5 5 por 15 15 15 8 10 por 120 100 lim f x oo Xoo lim fx 00 16 10 10 por 100 130 lim fx oo lim fx 17 5 5 por 14 6 lim f x x lim f x 00 18 2 6 por 100 25 lim fx 00 lim fx 00 19 3 5 por 50 50 Respostas selecionadas 303 lim fx 00 lim f x 00 Xoo 20 V 4 3 por 20 90 lim fx lim fx oo X oo s J Para os números de 21 a 24 o comportamento nos extremos de um polinómio é regido pelo termo de grau mais elevado 21 lim fx 00 lim fx 00 x x 22 lim fx oo lim x 00 X co 23 lim x oo lim fx 00 X oo X 24 lim t oo lim f x oo x oo j oo 25 a Há 3 raízes 25 l e 11 26 b Há 3 raízes 04 aproximadamente 0429 de fato 37 e 3 27 c Há 3 raízes aproximadamente 0273 de fato 311 025 e 1 28 d Há 3 raízes 2 05 e 3 29 4 e 2 30 2 e 23 31 23 e13 32 O 5 e 5 33 O 23 e l 340 l e 2 35 Grau 3 raízes x O multiplicidade l gráfico intercepta o eixo xx 3 multiplicidade 2 gráfico é uma tangente isto é apenas encosta em um ponto de com x 3 10 36 Grau 4 raízes x O multiplicidade 3 gráfico intercepta o eixo x x 2 multiplicidade l gráfico intercepta o eixo x y 5 37 Grau 5 raízes x l multiplicidade 3 gráfico intercepta o eixo x x 2 multiplicidade 2 gráfico é uma tangente 10 5 38 Grau 6 raízes x 3 multiplicidade 2 gráfico é uma tangente x 5 multiplicidade 4 grá fico é uma tangente 10 39 O 6 e 6 Algebricamente fatorar x primeiro 40 11 l e 10 Graficamente Equações cúbicas podem ser resolvidas algebricamente mas os métodos são mais complicados do que com a fórmula quadrática 304 Précálculo 15 15 por 800 800 41 5 l e 11 Graficamente 10 15 por 300450 42 6 2 e 8 Graficamente 10 15 por 500 500 43 x x 30 40 6 x3 5x2 lc 72 44 x x 20 3x 5 x3 4x2 llx 30 45 O x V30 30 4 x2 30 4 x3 4x2 3x 12 46 O O 10 l V20 l VS O 10 l2 2 x3 3x2 x l 47 O í7 x 100 tem termo principal ímpar o que significa que em seu comportamento de extremos ele tende para em um extremo e para em outro Assim o gráfico deve inter ceptar o eixo x pelo menos uma vez isto é f x assume ambos os valores positivos e negativos e pelo Teorema do Valor IntermediárioO O para algum x 48 O x9 x 50 tem termo principal ímpar o que significa que em seu comportamento de extremos ele tende para em um extremo e para em outro Assim o gráfico deve inter ceptar o eixo x pelo menos uma vez isto é f x assume ambos os valores positivos e negativos e pelo Teorema do Valor Intermediário f x O para algum x 49 a Lx Rx Cx é positivo se 2973 x 54174 aprox assim são necessaários entre 30 e 541 clientes b LO 60000 quando x 20049 ou x 42973 O número de 201 ou 429 clientes é necessário para um lucro anual um pouco acima de R 60000 200 ou 430 clientes para um rendimento um pouco menor que R 60000 50 a A altura da caixa será x a largura será 15 2x e o comprimento será 60 2x b Qualquer valor de x entre aproximadamente 0550 e 6786 cm O 8 por O 1500 51 O volume é Vx x0 2x25 2x use qualquer x com O x 0929 ou 3644 x 5 O 5 por O 300 52 A função é positiva para O x 215 As dimensões dos lados do retângulo são de 43 e 62 unidades O 25 por O 12000 Respostas selecionadas 305 53 Verdadeiro Como fé contínua l l3 l2 2 2 O e 2 23 22 2 2 O o Teorema do Valor Intermediário garante que o gráfico de intercepta o eixo em algum ponto entre x l e x 2 54 Falso Se a O o gráfico de f x x a2 é obtido ao transferir o gráfico dex x2 para a esquerda em a unidades A transferência para direita corresponde a a 0 55 Quando x Ox 2x l3 5 2l3 5 3 A resposta é C 56 Em fx x 22x 23x 37 o fator x 2 ocorre duas vezes Assim x 2 é uma raiz de multiplicidade 2 e a resposta é B 57 O gráfico indica 3 raízes cad uma de multipli cidade 1 x 2 x 0 e x 2 O comporta mento no extremo indica um coeficiente princi pal negativo Assimx xx 2x 2 e a resposta é B 58 O gráfico indica 4 raízes x 2 multiplici dade 2 x O multiplicidade 1 e x 2 multi plicidade 2 O comportamento no extremo indi ca um coeficiente principal positivo Assimx xx 22x 2 e a resposta é A 59 A representação a mostra o comportamento no extremo da função mas não mostra o fato de que há 2 máximos locais e l mínimo local e 4 intersecções no eixo x entre 3 e 4 Eles são visíveis na representação b mas está faltando o mínimo próximo a x 7 além da intersecção no eixo x próximo a x 9 A representação b sugere um grau polinomial 4 e não 5 60 O comportamento no extremo é visível na repre sentação a mas não os detalhes do comporta mento próximo a x l A representação b mostra esses detalhes mas há perda da infor mação do comportamento nos extremos ff YJ 61 x x l2 2 x l x l x l 62 x x2 x lx 1 2 x l x x l x l 63 fx x2 x 4x 3 21 C x 3 x2 x 4 21 x 3 64 fx 2x25x 2x 2 7 92 2x 5x H 2 2x l 65 x x2 2 2 l 2x 1 32x 18 x1 2x l x 4x 12 x2 2x l 66 x x2 3x 5x2 1 67 x2 l x3 5x2 3x 2 11 x2 6x 9 70 68 69 x l 5x3 7x2 3x x 3 x l 2xJ x1 lOx 27 82 x 3 3x 9670 9x2 97x 967 71 x 10 3x4 x3 4x2 9x 3 x 5 3x3 14x2 66x 321 3x A 10 1602 x 5 72 4 x 5x3 20x2 80x 317 l 1269 4 x x 2 x7 2x6 255 16x3 32x2 64x 128 x 2 73 O resto é 2 3 74 O resto é l 4 75 O resto é3 43 76 O resto ê 2 2 77 O resto é2 5 78 Orestoél 23 306 Précálculo 79 Sim l é um zero do segundo polinómio 80 Sim 3 é um zero do segundo polinómio 81 Não quando x 2 o segundo polinómio resulta em 10 82 Sim 2 é um zero do segundo polinómio 83 Sim 2 é um zero do segundo polinómio 84 Não quando x l o segundo polinómio resulta em 2 85 A partir do gráfico parece que x 3 e x 1 são fatores O x 30 l5x 17 86 A partir do gráfico parece que x 2 e x 3 são fatores O X 2x 3Sx 7 87 2x 2x 10 4 23 6x2 12 16 88 2x 10 30 5 23 6x2 26x 30 89 2x3 8x2 3 94 Raízes racionais possíveis 1 2 7 14 90 20 3x 10 U xx 30 l2x 5 2x4 3x3 14x2 I5x 91 Como4 3 5 O então x 4 x 3 e x 5 são fatores de Assim f x kx 40 30 5 para alguma constante k Como O 180 devemos ter k 3 Assim O 30 40 30 5 92 Como2 5 O então x 2 x 1 e O 5 são fatores de Assim f x kx 20 1O 5 para alguma cons tante L Como l 24 devemos ter k 2 assim O 2O 20 10 5 93 Raízes racionais possíveis 1 ou seja 1 2 3 6 1 3 ou seja l 2 7 l 2 7 14 H l H 3 3 3 3 95 Raízes racionais possíveis 1 3 9 K 1 2 1 3 9 ou seja 1 3 9 2 2 2 96 Raízes racionais possíveis 1 2 3 4 6 12 1 2 3 6 ou seja 1 2 3 4 6 12 3 1 2 4 1 J f 2 3 3 3 6 97 Última linha 2 2 7 19 Como todos os números na última linha são s O então 3 é um limite superior para raízes de 98 Última linha 2 5 20 99 Como todos os números na última linha são a O então 5 é um limite superior para raízes âefix 9 9 Última linha 1 1 3 7 2 Como todos os números na última linha são s O então 2 é um limite superior para raízes de 100 Última linha 4 6 11 42 128 Como todos os números na última linha são O então 3 é um limite superior para raízes de 101 Última linha 3 7 8 5 Como todos os números na última linha alter nam os sinais então l é um limite inferior para raízes de 102 Última linha l l 5 10 Como todos os números na última linha alter nam os sinais então 3 é um limite inferior para raízes de 103 Última linha l 4 7 2 Como todos os números na última linha alter nam os sinais então O é um limite inferior para raízes de Respostas selecionadas 307 104 Última linha 3 213 47 2191 Como todos os números na última linha alter nam os sinais então 4 é um limite inferior para raízes de 105 Pelo Teste dos limites superior e inferior das raízes 5 é um limite inferior e 5 é um limite superior Para 5 a última linha é Para 5a última linha é 6 41 198 982 4876 Para 5 a última linha é 6 19 88 448 2206 106 Pelo Teste dos limites superior e inferior das raízes 5 é um limite inferior e 5 é um limite superior Para 5a últimainha é 6 30 129 664 3323 Para 5 a última linha é l 6 30 429 664 3324 107 Há raízes que não são mostradas aprox 11002 e 12003 pois 5 e 5 não são limites para raízes de Para 5 a última linha é l 9 84 816 4088 20443 Para 5 a última linha é l l 124 224 1128 5637 108 Há raízes que não são mostradas aprox 8036 e 9038 pois 5 e 5 não são limites para raízes de Para 5a última linha é 215 66 546 2821 14130 Para 5 a última linha é 2 5 116 364 1911 9530 109 Raízes racionais possíveis 1 2 3 6 1 2 ou 1 3 l 2 3 6 A única raiz 2 2 racional é As raízes racionais são V2 Pois para x 32 a última linha por Briot Ruffini é 2 0 4 0 110 Raízes racionais possíveis 1 3 9 A única raiz racional é 3 As raízes irracionais são N3 Pois para x 3 a última linha por Briot Ruffmi é 1 0 3 0 111 Raiz racional3 Raízes irracionais l V5 Para x 3 a última linha por Briot Ruffini é 1 2 1 0 112 Raiz racional 4 Raízes irracionais l V2 Para x 4 a última linha por Briot Ruffini é 1 2 1 0 113 Raízes racionais l e 4 Raízes irracionais V2 Para x l a última linha por Briot Ruffini é 1 4 2 8 0 Para x 4 a última linha por Briot Ruffini é 1 0 2 0 114 Raízes racionais l e 2 Raízes irracionais V5 Para x 1 a última linha por Briot Ruffini é l 2 5 10 O Para x 2 a última linha por Briot Ruffini é 1 0 5 0 115 Raízes racionais e 4 Raiz irracional nenhuma Para x 4 e x 12 as últimas linhas por Briot Ruffini são respectivamente 2 1 2 1 0 e 2 0 2 0 2 116 Raiz racional Raiz irracional 3 aproximadamente 06823 Para x 23 a última linha por Briot Ruffini é 3 0 3 3 0 117 140 3 2 118 l63 17 16 119 a Limite inferior para x 5 a última linha por Briot Ruffini é l 3 4 33 203 308 Précálculo Limite superior para x 4 a última linha por Briot Ruffini é l 6 13 39 194 O Teste dos limites superior e inferior das raízes é provado assim todas as raízes reais de pertencem ao intervalo 5 4 b Raízes racionais depossíveis Fatoresde38 1 2 19 38 Fatores de l 1 O gráfico mostra que 2 é mais promissor assim verificamos por Briot Ruffini e obtemos na última linha l 4 Usando o resto 2 20 O l 39 O l 17 O 3 19 O 38 1960040 38 2178540 19 112917 19 139859 Como todas as raízes racionais possíveis além de 2 resultam em valores de função não zero não há outras raízes racionais 5 4 por 149 cto jc 2 Oc3 4x2 3x 19 d A partir do gráfico descobrimos que uma raiz irracional de x é x 204 e fíx x 2x 204x2 604 93216 120 Falso x a é um fator se e somente se a O Assim x 2 é um fator se e somente se 2 0 121 Verdadeiro Pelo teorema do resto quando f x é dividido por xí o resto é l que é igual a 3 122 A afirmação 3 O significa que x 3 é uma raiz de fx e que 3 é onde corta o eixo x do gráfico de f x Assim x 3 é um fator de fx e quando fx é dividido por x 3 o resto é zero A resposta é A 123 Cada possível raiz racional cada possível raiz racional deto deve ser um dos valores 1 3 A resposta é E 2 2 F 124 fx x 2x2 x 1 3 resulta em um resto de 3 quando é dividida por x 2 ou x2 x l Segue que jc 2 não é um fator de fx e que fx não é completamente divisível por x 2 A resposta é B 125 As respostas A a D podem ser verificadas como verdadeiras Como fx é uma função polinomial de grau ímpar seu gráfico deve cruzar o eixo x em algum lugar A resposta é E CAPÍTULO 11 Revisão rápida 1 216 6 pois 63 216 2 7 pois 53 125 e 23 8 V 8 2 3 27M 33M 32 9 4 452 2252 25 32 54 3S J 8 b15 9 015 10 4 11 10723 12 09652 13 b2 4 portanto b V4 2 40 P Respostas selecionadas 309 9 9 14 b3 portanto b 3 16 141 18 6 89 Exercícios 1 Não é uma função exponenciaj pois a base é variável e o expoente é constante É uma função potência 2 Função exponencial com valor de a igual a l e valor da base igual a 3 3 Função exponencial com valor de a igual a l e valor da base igual a 5 4 Não é uma função exponencial pois o expoente é constante É uma função constante 5 Não é uma função exponencial pois a base é variável 6 Não é uma função exponencial pois a base é variável É uma função potência 7 O 3 5 3 1 3 9 2313 i 12 gx 13 f x 3 V2 3212 15 Translade f x 2 por 3 unidades para a direita De maneira alternativa gx 23 23 2 2 Pode ser obtida deW 8 8 encolhendo verticalmente pelo fator 3 7 por 2 8 16 Translade f x 3 por 4 unidades para a esquer da De maneira alternativa gx 34 34 3 81 3 81 Pode ser obtida esticando verticalmente f x pelo fator 81 7 3 por 2 8 17 O gráfico de gx é o simétrico dejc 4 com relação ao eixo y 2 2 por 19 18 O gráfico de gx é o simétrico de f x 2xcom relação ao eixo y e transladado 5 unidades para a direita 3 7 por 5 45 310 Précálculo 19 Estique verticalmente 05 por um fator de 3 e translade 4 unidades para cima 5 5 por 2 18 20 Estique verticalmente f x 06 por um fator de 2 e encolha horizontalmente por um fator de 3 2 3 por 14 21 O gráfico de gx é o simétrico dex e com relação ao eixo y e encolhido horizontalmente por um fator de 2 2 2 por 15 22 O gráfico de gx é o simétrico de f x e com relação aos eixos x e y e encolhido horizontal mente por um fator de 3 3 3 por 5 5 23 O gráfico de gx é o simétrico det e com relação ao eixo y e encolhido horizontalmente por um fator de 3 translade l unidade para a direi ta e estique verticalmente por um fator de 2 2 3 por 14 24 Encolha horizontalmente e por um fator de 2 estique verticalmente por um fator de 3 e translade para baixo l unidade 3 3 por 2 8 25 O gráfico a é o único gráfico formado e posi cionado como o gráfico de y b b 1 26 O gráfico d é o simétrico de y 2 com relação ao eixo y 27 O gráfico c é o simétrico de y 2 com relação ao eixo x 28 O gráfico e é o simétrico de y 05 com relação ao eixo x 29 O gráfico b é o gráfico de y 3 transladado para baixo em 2 unidades 30 O gráfico é o gráfico de y 15 transladado para baixo em 2 unidades 31 Decaimento exponencial Hm f x 0 lim f x 32 Decaimento exponencial lim f x 0 lim f x X 33 Decaimento exponencial lim x 0 lim 34 Crescimento exponencial lim f x 00 lim f x O X o 35 x O Respostas selecionadas 311 2 2 por 02 3 36 x O 025 025 por 015 37 x O 025 025 por 075 125 38 x O 025 025 por 075 125 39 y y3 como 34 322 322 92 40 y2 y3 como 2 2312 223j2 213j2 231 41 Passa no eixo vertical y no par O 4 Assíntotas horizontais y O y 12 42 Passa no eixo vertical y no par O 3 Assíntotas horizontais y O y 18 5 10 por 5 20 43 Passa no eixo vertical y no par O 4 Assíntotas horizontais y O y 16 5 10 por 5 20 44 Passa no eixo vertical y no par O 3 Assíntotas horizontais y O y 9 510 por 5 10 45 10 20 por 5 15 3 3 por 2 8 Domínio oo Imagem 0 Continuidade a função é contínua Comportamento crescentedecrescente sempre cres cente Simetria não é simétrica Limite limitada inferiormente por y O que é tam bém a única assíntota Extremo local nenhum 312 Précálculo Assíntotas y O Comportamento nos extremos do domínio 48 lim fx lim fx O 46 3 3 por 2 18 Domínio Imagem 0 oo Continuidade a função é contínua Comportamento crescentedecrescente sempre decrescente Simetria não é simétrica Limite limitada inferiormente por y O que é tam bém a única assíntota Extremo local nenhum Assíntotas y O Comportamento nos extremos do domínio lim f x O lim f x 47 2 2 por 19 Domínio oo Imagem 0 Continuidade a função é contínua Comportamento crescentedecrescente sempre cres cente Simetria não é simétrica Limite limitada inferiormente por y O que é tam bém a única assíntota Extremo local nenhum Assíntotas y O Comportamento nos extremos do domínio lim f x lim f x O 2 2 por 19 Domínio oo Imagem 0 Continuidade a função é contínua Comportamento crescentedecrescente sempre decrescente Simetria não é simétrica Limite limitada inferiormente por y O que é tam bém a única assíntota Extremo local nenhum Assíntotas y O Comportamento nos extremos do domínio lim f x O lim f x 49 3 4 por 17 Domínio Imagem 0 5 Continuidade a função é contínua Comportamento crescentedecrescente sempre cres cente Simetria com relação ao par 069 25 Limite limitada inferiormente por y O e superior mente por y 5 ambas são assíntotas Extremo local nenhum Assíntotas y O e y 5 Comportamento nos extremos do domínio lim f x 5 lim f x O 50 3 7 por 2 8 Respostas selecionadas 313 Domínio Imagem 0 6 Continuidade a função é contínua Comportamento crescentedecrescente sempre cres cente Simetria com relação ao par 069 3 Limite limitada inferiormente por y O e superior mente por y 6 ambas são assíntotas Extremo local nenhum Assíntotas y O e y 6 Comportamento nos extremos do domínio lim f x 6 lim f x O X co JC oo 51 Resolvendo graficamente encontramos que a 1279 curva y l 2402e03092 mtersecciona a linha y 10 quando í 6967 A população de Ohio foi de 10 milhões em 1969 52 a f50 19875 1 5 7 993e 003500550 ou 1794558 pessoas 19875 1794558 b P210 l 19161673 ou 19161673 pessoas c lim Pt 19875 ou 19875000 pessoas X 53 a Quando t O B 100 b Quando t 6 B 6394 54 Falso 55 Apenas S tem a forma a V A resposta é E 56 Para t 00 fe 1 A resposta é C 57 O fator de crescimento dec a V é a base b A resposta é A 58 Com AT O ax b requer a b independen temente se x l ou jc 1A resposta é B 59 r 009 assim Pt é uma função de cresci mento exponencial de 9 60 r 0018 assim Pt é uma função de cresci mento exponencial de 18 61 r 0032 assim f x é uma função de decai mento exponencial de 32 62 r 00032 assim f x é uma função de decai mento exponencial de 032 63 r l assim gf é uma função de crescimento exponencial de 100 64 r 095 assim gf é uma função de decai mento exponencial de 95 65 fx 5 l 017 5 117 anos 66 W 52 l 0023 52 1023 x dias 67 W 16 l 05 16 05 meses 68 W 5 l 00059 5 09941 x semanas 69 W 28900 l 0026 28900 0974 x anos 70 W 502000 l 0017 502000 1017 x anos 71 W 18 l 0052 18 1052 x semanas 72 15 l 0046 15 0954 dias 73 f x 06 2 dias 74 W 250 275 250 215 x horas 75 f x 592 2 anos 76 f x 17 23 horas 77 O 23 7 07 125 r l assim f x 23 125 modelo de crescimento 464 78 g0 58 08 r l assim 58 gx 58 08 modelo de decrescimento 79 O 4 assim x 4 R Como5 4 è5 805 805 4 V 4 fx 4 1 15 80 O 3 assim jc 3 V Como4 3 b4 3 3 084 f x 3 084 40 81 c 40 a 3 assiml 20 l 3b 20 60b 40 60b 20 b assim 40 i V 314 Précálculo 82 c 60 a 4 assiml 60 24 96b 96b 36 60 60 146 2 4 assim 8 90 O modelo é Pt 420010225 a Em 1930 cerca de P20 6554 Em 1945 cerca de P35 s 9151 b Pt20000 quando f 7014 anos após 1910 em 1980 83 c 128 a 7 assim5 128 3 2 91 a y 66 1 J onde í é o tempo em dias b Após 381 1 dias iV65 128 32 224b5 224b5 96 96 L 5f9 224 224 0844 assim 128 70844 84 c 30 a 5 assim3 30 15 75è3 30 l 5Í3 15 15 b 3 0585 assim 75 5 V 5 30 l 5 0585X 20 J 1 3b2 20 10 30b2 30b2 10 b2 3 T 20 V 3 1 3058 oo c oJ a j assim o g JU i 60 30 90bs 90è8 30 bs 3 a T 60 V 3 J 1 3087 S7Pt 73600010149 Pf 1000000 quando t 2073 anos ou o ano de 2020 88Pr 47800010628 Pt 1000000 quando 1212 anos ou o ano de 2012 89 0 modelo ê Pt 625010275 a Em 1915 cerca de P25 12315 Em 1940 cerca de P50 24265 b Pt 50000 quando í 7665 anos após 1980 em 1966 Revisão rápida l 25 1 004 2 looo UUV1 3 1 02 4 05 2 233 5 6 T 324 7 log 8 In e 9 In e 10 log 25 32 32 9 IO2 2 3 3 2 2 IO3 3 92 a y 351 j onde f é o tempo em dias b Após 11748 dias 93 Quando t l B 200 a população duplica a cada hora 94 Falso 95 A base é 1049 l 0049 assim a taxa percentual de crescimento constante é 0049 49 A resposta é C 96 A base é 0834 l 0166 assim a taxa percentual de decrescimento constante é 0166 166 A resposta é B 97 O crescimento pode ser modelado como Pt l 24 Resolva Pi 1000 para encontra t 3986 A resposta é D CAPÍTULO 12 Respostas selecionadas 315 11 512 12 IO13 1V2 6 Iog6 77 porque 6 25 13 3 is 16 v u n y2i2 6VV212 is xy234 or83v234 19 27ií6v613 3u2v 20 21 7783 x IO8 km 22 l x 1015m 23602000000000000000000000 24 0000 000 000 000 000 000 000 000 001 66 25 186 x 10531 X IO7 18631 X 1057 5766 x IO12 26 x 1076 16 x IO1 5 x IO6 5 Exercícios 1 Iog44 l porque 41 4 2 Iog61 0 porque 6 l 3 Iog232 5 porque 25 32 4 Iog381 4 porque 34 81 5 porque 523 736 5 7 log IO3 3 8 log 10000 log IO4 4 9 log 100000 log IO5 5 10 log IO4 4 11 log10 log 1013 12 log 625 1000 13 In e3 3 14 In e4 4 15 ln In e1 l e 16 In l In e O 17 In fe In e14 4 18 In In e72 19 3 porque 103 3 para qualquer b 0 20 8 porque 6log8 8 para qualquer 6 0 21 iolog05 iolog05 05 22 10log14 10log14 14 23 eln6 elog6 6 24 elnl5 glofcl5 1 5 25 log 943 09745 0975 e IO009745 943 26 log 0908 0042 e 10042 0908 27 log14 é indefinido porque 14 O 28 log514 é indefinido porque 514 O 29 In 405 1399 e e1399 405 30 In 0733 0311 e e311 0733 316 Précálculo 31 In 049 é indefinido porque 049 O 32 In 33 é indefinido porque 33 O 33 x IO2 100 34 x IO4 10000 35 x IO1 01 36 x 103 10 1000 0001 37 fx é indefinida para x 1 A resposta é d 38 f x é indefinida para x 1 a resposta é b 39 fx é indefinida para x 3 A resposta é a 4 40 fx é indefinida para x 4 A resposta é c 41 Começar de y In x translade à esquerda 3 unidades 55 por 3 3 42 Começar de y In x translade para cima 2 unidades 5 5 por 3 4 43 Começar de y In x ache o gráfico simétrico com relação ao eixo y e translade para cima 3 unidades 44 Começar de y In x ache o gráfico simétrico com relação ao eixo y e translade à esquerda 2 unidades 41 por 51 45 Começar de y In x ache o gráfico simétrico com relação ao eixo y e translade à direita 2 unidades 7 3 por 3 3 46 Começar de v In x ache o gráfico simétrico com relação ao eixo y e translade à direita 5 unidades 6 6 por 4 4 47 Começar de y log x translade para baixo l unidade 5 15 por 3 3 48 Começar de y log x translade à direita 3 unidades 41 por 3 5 5 15 por 3 3 Respostas selecionadas 317 49 Começar de y log x ache o gráfico simétrico com relação aos eixos e estique verticalmente utilizando o fator 2 53 81 por 2 3 50 Começar de y log x ache o gráfico simétrico com relação aos eixos e estique verticalmente utilizando o fator 3 8 7 por 3 3 51 Começar de y log x ache o gráfico simétrico com relação ao eixo y translade à direita 3 unidades estique verticalmente utilizando o fator 2 translade para baixo l unidade 5 5 por 4 2 52 Começar de y log x ache o gráfico simétrico com relação aos eixos translade à direita l unidade estique verticalmente utilizando o fator 3 translade para cima l unidade 6 2 por 2 3 f 19 por 3 3 Domínio 2 Imagem Continuidade a função é contínua Comportamento crescentedecrescente sempre crescente Simetria não é simétrica Limite não é limitada Extremo local nenhum Assíntotas em x 2 Comportamento nos extremos do domínio lim fx 00 54 2 8 por 3 3 Domínio l Imagem Continuidade a função é contínua Comportamento crescentedecrescente sempre crescente Simetria não é simétrica Limite não é limitada Extremo local nenhum Assíntotas em x l Comportamento nos extremos do domínio lim fx 00 55 2 8 por 3 3 Domínio 1 Imagem 318 Précálculo Continuidade a função ê contínua Comportamento crescentedecrescente decres cente neste domínio Simetria não é simétrica Limite não é limitada Extremo local nenhum Assíntotas em x l Comportamento nos extremos do domínio lim fx oo 58 56 3 7 por 2 2 Domínio 2 Imagem Continuidade a função é contínua Comportamento crescentedecrescente decres cente neste domínio Simetria não é simétrica Limite não é limitada Extremo local nenhum Assíntotas em x 2 Comportamento nos extremos do domínio lim f x oo 7 31 por 10 102 Domínio 1 Imagem Continuidade a função é contínua Comportamento crescentedecrescente decres cente neste domínio Simetria não é simétrica Limite não é limitada Extremo local nenhum Assíntotas em x 2 Comportamento nos extremos do domínio lim fx 00 59 log 2 030103 A resposta é C 60 log 5 0699 mas 25 log 2 0753 A respos ta é A 61 O gráfico de f x x está inteiramente à direi ta da origem A resposta é B 62 Para f x 2 y flx log3x2 Porque flfx og32y2 57 3 7 por 3 3 Domínio 0 Imagem Continuidade a função é contínua Comportamento crescentedecrescente Crescente neste domínio Simetria não é simétrica Limite não é limitada Extremo local nenhum Assíntotas em x O Comportamento nos extremos do domínio lim f x oo x A resposta é A 63 W Domínio Imagem Intercepto Assíntotas 3 oo oo 0 o 0 1 y 0 logsr 0 10 0 l 6 6 por 4 4 Respostas selecionadas 319 64 W Domínio Imagem Intercepto Assíntotas 5 0 0 1 y 0 lgs 0 oo oo 10 0 6 6 por 4 9 65 b vê O ponto que é comum a ambos os gráficos é e e 66 Basta refletir com relação ao eixo x 67 Basta refletir com relação ao eixo x 68 In8x In 8 Inx 31n2 f Inx 69 In9y In 9 Iny 21n3 Iny 70 log log 3 log x 71 log log 2 log y 72 Iog2y5 5 Iog2y 73 Iog2 x2 2 Iog2 x 74 log x3y2 log x3 log y2 3 log x 2 log y 75 log xy3 log x log y3 log x 3 log y 76 Inr Inx2 Iny3 2 Inx 3 Iny y 77 log lOOOx4 log 1000 log x4 3 4 log x 78 log y log x log y log x log y 79 In Inx Iny Inx Iny Vy 3 3 3 80 log x log y log xy 81 log x log 5 log 5x 82 Iny In3 In y3 83 Inx Iny In xy 84 log x log x13 log Vx log z log z15 log Vz 85 86 2Inx 3 Iny Inx2 Iny3 Inx2y3 87 88 4 log y log z log y4 log z log l l 4 log xy 3 log yz log x4y4 log z3 89 90 91 92 93 94 95 4 4 l x y 108lJlog 31nx3y 21nyz2 Inx9y3 Iny2z4 lnx9y5z4 In 7 28074 18295 In 2 In 19 IriT In 175 In 8 In 259 In 12 In 12 In 12 In 05 In 2 In 29 In 29 In 02 In 5 Inx 24837 22362 s 35850 20922 96 Iog3x 97 In 3 Inx 98 Iog2a b 99 Iog5c d In a b In c d In 5 320 Précálculo 100 Iog2j 101 Iog4x Iog2 log Iog4 102 log12 y 103 logl3 y log x y log x y 12V logl2 log x y logl3 log 2 log x y log 3 R logt logjfr1 y x y ogbR 105 Seja x log R Então V R assim 106 Começar de gx In x encolhe vertical mente por um fator 1ln 4 072 1 10 por 2 2 107 Começar de gjc In encolha vertical mente por um fator 1ln 7 051 110 por 2 2 108 Começar de gx In x ache o simétrico com relação ao eixo x encolha verticalmente por um fator 1ln 3 091 Começar de gx In x encolha vertical mente por um fator 1ln 5 062 1 10 por 2 2 110 b 111 c 112 d 113 a 114 19 por 17 Domínio 0 Imagem Continuidade a função é contínua Comportamento crescentedecrescente sempre crescente Assíntotas em x O Comportamento nos extremos do domínio lim fx log28x In 8x In 2 115 19 por 5 2 Domínio 0 Imagem Continuidade a função é contínua Comportamento crescentedecrescente sempre decrescente Assíntotas em x O 110 por 2 2 Respostas selecionadas 321 Comportamento nos extremos do domínio lim f x oo log139x In 9x 116 10 10 por 2 3 Domínio 0 u 0 Imagem oo Continuidade a função é descontínua em x 0 Comportamento crescentedecrescente decres cente no intervalo 0 crescente no inter valo 0 c Assíntotas em x O Comportamento nos extremos do domínio lim fx oo lim fx oo 117 1 10 por 2 2 Domínio 0 Imagem Continuidade a função é contínua Comportamento crescentedecrescente sempre crescente Assíntotas em x O Comportamento nos extremos do domínio lim f x 00 118 Verdadeiro 119 Falso 120 log 12 log 3 4 log 3 log 4 pela regra do produto A resposta é B 121 Iog9 64 In 64 In 9 pela fórmula da mudança de base A resposta é C 122 Inx5 5 In x pela regra da potência A resposta é A 123 2 In 2 In 12 In 2 In l In 2 In j In 2 21og2x A resposta é E 124 log 4 log 22 2 log 2 log 6 log 2 log 3 log 8 log 23 3 log 2 log 9 log 32 2 log 3 log 12 log 3 log 4 log 3 2 log 2 log 16 log 24 4 log 2 log 18 log 2 log 9 log 2 2 log 3 log 24 log 2 log 12 3 log 2 log 3 log 27 log 33 3 log 3 log 32 log 25 5 log 2 log 36 log 6 log 6 2 log 2 2 log 3 log 48 log 4 log 12 4 log 2 log 3 log 54 log 2 log 27 log 2 3 log 3 log 72 log 8 log 9 3 log 2 2 log 3 log 81 log 34 4 log 3 log 96 log 3 32 log 3 log 32 log 3 5 log 2 322 Précálculo 125 s 641 x 9335 126 126 x s 1477 127 a O 20 por 2 8 Domínio dee g 3 b O 20 por 2 8 Domínio dee g 5 c V 7 3 por 5 5 Domínio de 3 U 3 Domínio de g 3 128 Lembre que y logfl x pode ser escrito como x a y iog0 b a b log av log b y log a log b log 6 Iog0 b log a 129 a log 2 4 090309 log 2 log 4 030103 060206 090309 8 log l j 060206 log 8 log 2 090309 030103 060206 c log 23 090309 3 log 2 s 3030103 090309 d log 5 log l l loglO log 2 l 030103 069897 e log 16 log 24 4 log 2 120412 f log 40 log 4 10 log 4 log 10 160206 130 a Falso b Falso Iog3 7x Iog3 7 Iog3 x c Verdadeiro d Verdadeiro e Falso log x log 4 4 f Verdadeiro g Falso Iog5 x2 Iog5 x Iog5 x 2 Iog5 x h Verdadeiro 131 36l 4 í x 10 132 32 2 U IY3 J 4 16 IV3 A2 47 Uy Respostas selecionadas 323 133 2 54 250 5X4 125 54 53 x 3 4 x 12 134 3 42 96 42 32 42 452 x 5 2 2 Jt 5 135 10í3 10 assim x3 l e portanto x 3 136 5x4 5 assim x4 l e portanto x 4 137 10 10000 138 x 25 32 139 x 5 4 x 5 41 525 140 l x 41 assim x 3 142 x logo98 16 232644 143 e0035 4 assim 0035 In 4 e portanto x In 4 s 396084 0035 144 e0045 3 assim 0045 In 3 e portanto x In 3 244136 0045 145 e assim x In e portanto x In 04055 146 e assim x In e portanto x In 05108 147 In x 3 assim x 3 e13 e portanto x 3 e13 43956 148 logjt 2 2 assim 2 102 e portanto x 2 102 199 149 Devemos ter xx 1 O assim l o u x 0 Domínio 1 U 0 o gráfico e 150 Devemos t e r 0 e x l 0 assim x 0 Domínio 0 gráfico f 151 Devemos ter x l x l ou 0 O assim Domínio 1 U 0 o gráfico d 152 Devemos t e r 0 e e l 0 assim x 0 Domínio 0 gráfico c 153 Devemos ter x O Domínio 0 grá fico a 154 Devemos ter x2 O assim x O Domínio IR 0 Gráfico b 155 Escreva ambos os lados como potências de 10 deixando Wls2 IO6 ou x2 1000000 Então x 1000 ou x 1000 156 Escreva ambos os lados como potências de e deixando e1 e4 ou x2 e4 Então x e2 7389 ou x e2 7389 157 Escreva ambos os lados como potências de 10 deixando IO1084 IO2 ou x4 100 Então x2 10 e x VTÕ 324 Précálculo 158 Multiplique ambos os lados por 3 1 deixando 212 l 12 2 ou 2xf 12 2 l O Esta é quadrática em 2 deixando para Apenas 6 V37 é positivo assim a única In 6 V37 resposta é x In 2 Iog26 V37 35949 159 Multiplique ambos os lados por 2 2 deixan do 22 l 6 2 ou 22 6 2 l O Esfgé quadrática em 2 assim 2 6 V36 4 3 2V5 Então x In 3 2 V2 In 2 Iog23 2V2 25431 160 Multiplique ambos os lados por 2e deixando e2 l 8e ou e2 Se l O Esta é quadrática em e assim ó4 4 e 4 VÍ5 Então x In 4 VÍ5 20634 161 Esta é quadrática em e deixando para 5 V25 24 5 7 ex 5 7 l Desses dois números apenas e H 4 2 positiva assim x In 06931 162 l 25e3 assim e 006 200 50 e portanto x In 006 93780 v 03 163 400 150 l 95e 06 assim e l l e portanto x In 67384 164 Multiplique por 2 então combine os logaritmos x 3 para obter In r O Então e l assim x 3 x2 As soluções nesta equação quadrática são l 71 12 l l r x V13 23028 165 Multiplique por 2 então combine os logaritmos para obter log x 4 2 Então x 4 IO2 100 assim x2 1000 4 As soluções nesta equação quadrática são 100 VlOOOO 1600 x 50 10V29 A equação original requer x O assim 50 10V29 não é válida a única solução atual é x 50 1029 103852 166 lnjc 3x 4 3 In 2 assim x 3x 4 8 ou seja x2 x20 0 Fatorando x 4x 5 O assim x 4 urna solução real ou x 5 não válida visto que x 3 e x 4 devem ser positivos 167 logx 2x 5 2 log 3 assim x 2 x 5 9 ou x2 3x 19 0 3 V9 76 3 l Então x V 85 2 2 2 A solução real é x V85 31098 2 2 visto que x 2 deve ser positivo a outra solução 85 é estranha algébrica x 168 R 10000000000000 é igual a 01 IO12 Os valores diferem por uma ordem de magnitude igual a 12 169 Uma galinha pesando 2 quilos pesa 2000 ou 2 IO3 gramas enquanto um canário pesando 20 gramas pesa 210 gramas Eles diferem por uma ordem de magnitude de 2 Respostas selecionadas 325 170 7 55 15 Eles diferem por um ordem de magnitude de 15 171 41 23 18 Eles diferem por um ordem de magnitude de 18 172 Supondo que T e B são os mesmos para os dois terremotos temos que 79 log a log T B e 66 log a2 log T B assim 79 66 13 Iogcza2 Então aia2 IO13 assim a 1995a2 a amplitude na Cidade do México foi quase 20 vezes maior 173 Se T e B são os mesmos temos que 72 log al log T B e 66 log a2 log T B assim 72 66 06 Iogaa2 Então aia2 IO06 assim ai 398a2 a amplitude em Kobe foi quase 4 vezes maior 174 O pH da água com gás é 39 e o pH do amoníaco é 119 a Água com gás logH 39 logH 39 H IO39 126 X104 Amoníaco logH 119 logH 119 H IO119 126 X 1012 H da água com gás io39 g b H do amoníaco IO119 10 c Eles diferem por um ordem de magnitude de 8 175 O pH do ácido do estômago é aproximada mente 2 e o pH do sangue é 74 a Ácido do estômago logH 20 logH 20 b H ácido do estômago io 251 X IO5 10 X 10 Sangue log H 74 logH 74 H 1074 398 X 10 H sangue IO74 c Eles diferem por um ordem de magnitude de 54 176 Falso 177 231 32 23i 25 3x l 5 x 2 A resposta é B 178 Inx l A resposta é B 179 R log fi 81 R2 log B 61 Procuramos a relação amplitudes alai logy B log B Ri R2 a a log é log é 81 61 log 2 2 1 IO2 100 2 A resposta é E 180 Seja 10 M v O v log log 10 log u log v n 326 Précálculo Para que a expressão inicial seja verdadeira tanto u quanto v devem ser potências de 10 ou são escritas com a mesma constante a multiplicada pelas potên cias de 10 ie ou u 10 e v 10m ou u a 10 e v a 10m onde a k e m são constantes Como resultado u e v variam por uma ordem de magnitude n isto é u é n ordens de magnitude maior que v 181 x 13066 Intersecção 1 X13D655B6 Y5 15 por 6 182 x 04073 ou x 09333 O 2 por 11 183 O x 17115 Intersecção X171152S Y5537333 12 por 2 8 184 x 200855 185 log x 2 log 3 O assim log x9 O Y Então 10 l assim x 9 186 logO 1 log 6 O assim log O 6 X l n Então 10 l assim x l 6 6 ou x 5 CAPÍTULO 13 Revisão rápida 1 3u3 2 1 3o5 4 12 5 1 6 ll 7 oo oo 8 oo 0u0 9l 1 10 Exercícios f g x 2x l x2 fgx 2x 12 2x X2 Não há restrições em qualquer dos domínios assim todos os 3 domínios são dados por 2 f 8x x l2 3 x2 2x l 3 x x2 3x 4 f g x x 123 x2 2x l 3 x x2 x 2 fgx x 123 x2 2x 13 x 3x2 x3 6x 2x2 3 x x3 5x2 Ix 3 Não há restrições em qualquer dos domínios assim todos os 3 domínios são 3fgx fgx V 5 x 3 Todas as 3 expressões contêm x 5 Devemos ter x 5 a O isto é e x 5 todos os 3 domínios são 5 Para x 3 não exis tem restrições pois o valor de x pode ser qualquer número real 4 flgx o domínio é 3 0 u 0 0 assim V x 3 o domínio é 3 x 3 O assim Respostas selecionadas 327 5 g Devemos ter 4 4 O assim x s 2 e x 4 ou seja o domínio é 2 4 IYT gW Devemos ter A 2 V x 2 4 O e j t 2 0 assim x 4 e x 2 ou seja o domínio é 2 O denominador não pode 6 flgx VI ser zero e o termo dentro da raiz quadrada deve ser positivo assim l x2 0 Portanto x2 l o que significa que l x l O domínio é gfx O termo soí a raiz quadra da deve ser não negativo assim l x2 s O ou x2 s 1 O denominador não pode ser zero assim x 0 Portanto l j i O o u O l O domínioél0u0 1 7 7g O denominador não pode ser zero assim l x3 Oeí 3 1 Isso significa que x l Não há restrições em no numerador O domínio é 1 U 1 oo gfx x v 3 O denominador não pode ser zero assm x O e x 0 Não há restrições em x no numerador O domínio é 0 u 0 8 O 5 por O 5 9 g o2 gf2 g7 6 g 2 g2 g3 3 12 f g3 g3 V3 1 2 22 4 8 g 2 g2 g22 4 g8 V8 l 3 13 f g3 g3 9 32 0 0 0 0 1 g 2 g2 g 2 g2 92 2 5 V 2 y 14gO 3 1 2 3 3 2 3cl Como tantoquanto g têm domínios o domínio deg é o gfx 3jc 2 l 3x l novamente o domínio é 15gW 1 Y O domínio de g é l u 1 enquanto o domínio deé o domínio de 5 5 por 10 25 5UW x 21l 2 2 O domínio deé enquanto o domínio g é 1 u 1 assim fgx requer jc 1 Isso significa que x2 l l ou t2 2 assim o domínio de gfx oo V2u V2 V2 u V2 oo 16gW VTTT2 2 xl2 x O domínio de g é l enquanto o domínio deé o domínio degX é 1 oo gfix Vx2 2 l V2 l O domínio deé enquanto o domínio de g é 1 assim gfx requer jc 1 Isso significa que x2 2 a l ou x2 s l que significa que x s 1 ou x 1 Portanto o domínio de g0t é 1 u l 328 Précálculo 17gx p O domínio de g é O Vx l enquanto o domínio deé 1 u 1 assim fgx requer x a O e gx l isto é x O e x 1 O domínio degx é O lul O domínio de f é x l Vx l 0 1 u 1 enquanto o domínio g é O assim gfx requer x l ex O l ou seja l e x l a O Este último ocorre se x l O assim o domínio de gfx é 1 oo l x2 o domínio é l 1 o domínio é 1 1 19gx VI x3 VI x33 l o domínio é gfx gx3 V x33 VI x 9 o domínio é oo l 3x 20gx j ZTI V3x 213 23x 2 o domínio é 0 u 0 l 1 2 312 32x 3 o domínio é 0 u 0 2lfgx f x l x l l x lx 1 xx 1 o domínio são todos os reais exceto O e l ou seja 0 u 0 1 u 1 x l l x lxl xx 1 x o domínio são todos os reais exceto O e l ou seja H 0 u 0 lul 22 Uma possibilidadex Vx e gx x2 5x 23 Uma possibilidadex x l2 e gx x3 24 Uma possibilidadex x e gx 3x 2 25 Uma possibilidade f x lx e gx x3 5x 3 26 Uma possibilidadex x5 2 e gx x 3 27 31 41 3 4 75 34 42 128 45 33 4l 9 4 5 A resposta é 3 1 28 52 l2 25 l 2625 32 42 9 16 25 O2 52 O 25 25 A resposta é 34 e 05 29 y2 25 x2 y V25 x2 e y V25 x2 30 y2 25 x y V25 x e y V25 x 2 J 31 y2 x2 25 y y VV 25 e 33 x y l y x l y x l ou y x l 34 x y l y x l y x l ou y x í xly x l ê y l x 35 y 2 x ou j x e 36 y2 x y Vx e y Vx 37 Falso 38 Falso 39 A composição das funções não é necessaria mente comutativa A resposta é C 40 gx V4 x não pode ser igual a zero e o termo dentro da raiz quadrada deve ser positivo assim x pode ser qualquer número real menor que 4 A resposta é A 41 ffx x2 1 x2 l2 l x4 2x2 1 l x4 2x2 2 A resposta ê E 42 y x y x y x x y ou x y x2 y2 A resposta é B Respostas selecionadas 329 43 Se f x e e gx 2 In x então fgx f 2 In jc e2 ln eín 2 x2 O domínio é 0 SeW x2 22 e gx Vx então x 2 22 x2 O domínio é 2 Se x x2 22 e gX V2 x então 2 x 22 x2 O domínio é 2 l 1 entãog W e gx x l l l 2 x l x l y x O domínio é 0 u 0 SeW 2 2x l e gx x l então l2 2x 1 l x 1 l2 O domínio é f x 1 l SeW e g W 77 então X x l x l l N x l O domínio é 1 u 1 e x 22 x1 22 1 í12 x2 2x 1 iV 1 J í 2 In A V2 V2c A 1 J E 1 1 1 D 0 2 2 oo 1 oo H I I 11 ool 44 a gW x4 l x2 x2 1 f x x2 1 portanto gx x2 1 b f gW 32 3x2 x2 1 22 l gx c gW l g Portanto gW dg W 9x l eW x2 1 Se g W S2 entãog W 32 S22 l 9x4 1 e gW 94 l eW x2 1 Então gx2 1 9X4 l 92 1 l2 l portanto g W 9x l2 1 CAPÍTULO 14 Revisão rápida x 6 l 1 3y x 6 assim y x 2 2 05y x í assim y x l 2 2 05 3 y2 x 4 assim y V 4 4 y2 jc 6 assim y vx 6 5 xy 3 y 2 ry 3jc y 2 cy y 3 2 y 1 3 2 3 2 3 2 x l l x 6 y 2 3y l ry 2x 3y l xy 3y 2x l X 3 2 1 2 l 2x l í 3 3 í 7 xy 4 2y l xy 4x 2y l xy 2y 4x l yx 2 4x l 4x l 330 Précálculo 8x3y 1 4y 3 3xy x 4y 3 3xy 4y x 3 y3x 4 x 3 x 3 J 3 4 9 jc V y 3 y 3 e jc s 0 6 a y x2 3 y 3 e x 0 10 x V y 2 y 2 e x 0 x2 y 2 y2 e O y x2 2 y 2 e jc 0 Exercícios 1 jc 32 6 22 5 9 A resposta é 6 9 2x 52 7 17 17 32 23 A resposta é 17 23 3 x 33 43 15 y VTT 2 A resposta é 15 2 4 A 8 3 5 y A resposta ê t 0 2 1 0 1 2 3 t lf 2 20 2 1 0 1 2 3 4 15 8 3 0 1 0 3 b x l y A l2 2x 1 x2 2x l 2x 2 x2 4x 3 Essa é uma função c 15 por 2 6 7 a 5 a t 3 2 1 0 1 2 3 U y 2í 3 1 6 10 4 7 2 4 0 1 22 45 68 t 3 2 1 0 1 2 3 U í2 r 2 9 5 4 4 1 3 0 2 1 1 40 91 bt y função c 22 Essa não é uma x l x b í y 3 l l l Essaé 15 por 51 uma função 8 a c 5 5 por 4 3 t 3 2 1 0 1 2 3 v y Vfi 2í 5 V 3 não está definida V2 não está definida vl não está definida 0 5 1 3 V2 1 V 1 Respostas selecionadas 331 b t x2 y 2x2 5 Essa é uma função c 2 4 por 6 4 9 a Pelo teste da linha vertical a uma função b Pelo teste da linha horizontal relação é uma função 10 a Pelo teste da linha vertical a função b Pelo teste da linha horizontal relação não é uma função 11 a Pelo teste da linha vertical a função b Pelo teste da linha horizontal relação é uma função 12 a Pelo teste da linha vertical a uma função b Pelo teste da linha horizontal relação é uma função 13 y 3 6 x 3y 6 3y x 6 relação não é a inversa da relação é uma a inversa da relação é uma a inversa da relação não é a inversa da I J l j r 14 y 2x 5 x 2y 5 2y x 5 f x y x 4oo 2x 3 2y 3 15 y l 4y 1 2y 3 y x 2y 3 xy 2y x 3 X 2 CE t 3 16 y x 2 2 3 y 3 x2 X y2 xy 2 y 3 xy 2x y 3 xy y 2x 3 oo 2 u 2 u 17 y Vx3x3y0 x Vy 3 x O y 3 2 y 3 O y 3 18 y V x 2 2 y O x Vy 2 c 0 y 2 x2 y 2 x O y 2 19 y 3 JE y3 20 y x3 5 y3 5 5 y3 21 y Vx 5 x Vy 5 x3 y 5 22 y 2 í x Vy 2 x3 y 2 W y x3 2 o o 23 Bijetora 24 Não é bijetora 25 Bijetora 332 Précálculo 26 Não é bijetora 27 feto 3x 2 2x 22x 3 2 2 3 28 feto 4 3 3 4 x gflx 4 x 3 3 jc 3 3 r 29 feto KJC l33 l l1 l x l l x gto O3 1 l3 33 x1 x 30feto Y7 x 7 V v l 31feto l x l 1 v 1 j l T A l A w 1 L x l x l 2x 3 32feto x l 3 2 3 z l 2 3 x l 2 3 1 x l 2 3 l x l 2x 3 3x 1 5x 2x 3 2x 1 5 x 3 x 2 l x 2 3 3 l 2 2 z 2 3 3jt 2 5 x 3 x 2 33 a 9cto 5Ar 32 9 JT 32 32 x Nesse caso cx tornase x e e c1 to 9 para a inversa Assim clx x 32 Isto converte a temperatura Celsius para tem peratura Fahrenheit b k cx kcx k x 32 x 32 27316 25538 Isso converte a temperatura Fahrenheit para temperatura Kelvin 34 Verdadeiro 35 A inversa da relação dada por x2y 5v 9 é a relação dada por y2x 5x 9 122 52 2 10 12 9 l22 52 2 10 12 9 22l 5l 45 99 122 52 2 10129 221 51 4 5 9 A resposta é E 36 A inversa da relação dada por xy2 3x 12 é a relação dada por yx2 3y 12 402 34 O 12 12 14231 163 1312 232 32 18 6 12 1222 312 48 36 12 Respostas selecionadas 333 612 36 6 18 12 A resposta é B Ylflx 3x 2 y 3x2 A inversa da relação é x 3y 2 x 2 3y x 2 y x 2 A resposta é C 38 fx x3 l A inversa da relação é x y3 l x l y3 y x l y A resposta ê A CAPÍTULO 15 Revisão rápida l 1 m 13 4 2 m 5Í2 7 3 1 4 3 3 6 16 7 5 y 4 X 1 4 4h h2 4 4h h2 6 h 4 9 6h h2 3 h 12 z2 7i 7 h 7 8 2 h 2 2 2 i l h 22 h h h l l 9 x h x x x h h xx h h h l l h xx h xx h Q t f Z 81 25 121 9 169 49 225 289 81 6416 64 4 64 16 64 64 16 12 2 3 4 5 6 65 7 8 9 10 11 Z 13 2 3 4 M n 1 n 1 n ra 1 3 2 n 3 n 3 n 3 n 3 n 3 Portanto 2 A 1 nn 3 e si V f c l iiw 3 14 i 4 9 121 2 L J 2 15 l 4 9 n l2 n2 lwn l2n 11 nn l2n 1 2 6 12 16 85 4 h 340 km h 5gal 120mi 600 galões V mi J 18 560 pessoasX í 90000 km2 50400000 pessoas V km2 Exercícios A5 21 km 1 vm m M 175 horas 12 kmh 22 z 2h 2 AÍ 2 vm 540 km 120 km por hora At 45 horas 334 Précálculo 54 h 54 3 54 hm io h 3h 4 5 7 lim lim 3 3 52 i 52 4 52 lim h 2 l 3 lim A0 6 2i 3 l lim ho 3h 3 h 2h l lim lim o h 3h 3 j A o 3h 3 9 í2 h s2 5 í2 lim o h ah 22 5 4a 5 lim AO h ah2 4ah hm A0 Z lim ah 4a 4a h0 51 51 6 51 Hm lim 2 lim h 2 V2 Vi 2 V2 VA 2 V2 lim 2 2 2 V 2 l h hm oli y h 2 V2 l 2 V2 lO 3 2 7 l a 1 0 l 12 2 1 l 9 Não ê tangente 10 Não é tangente n l hfl 11 a m hm hm hm 22 h ho h lim 2i 4 4 b Como 12 a equação da reta tangente ê y 2 4x 1 ou y 4x 2 c 12 a m hm hf2 2h 2 h 22 O lim lim 0 2 lim 2 b Como 22 20 a equação da reta tan gente é y 2x 2 c y 2V2 2 h f2 13 m hm h0 h hm 2h 22 7z 2 3 3 lim 22 8í 8 7fc 14 6 h lim 2i 1 l Respostas selecionadas 335 hm h2 4h 4 4 io z lim 4 4 16 hm lim 22 h 2 h2 4 2 b Como 22 2 3 a equação da reta tangente éy 3 íx 2 ou y x 5 14 a m liml l l lim 4 2i A2 2i 2 6 2 4 4 17 hm 3 i 22 2 14 lim hm 12i 1212 lim 3i 12 12 h l 2 3 hm 3 i 3 l lim lim 3h 3 lim o h 3h 3 AO 3i 3 9 b Como 11 l 13 a equação da reta tangente é y 13 l9x 1 l JQ l 18 hm h l2 3h 1 l 1 lim hm i l i2 2i l 3h 3 2 hm h 1 C y 3 1C 15 hm r hm P fe2 l 4 h f2 h f2 li2 2 1 O f A l 1 19 hm hm 11 í lim Quando h O 1 enquanto para i O l h 20 hm io l l limh 336 Précálculo l h 1 i h i hm hm h l h ho h h l lim l ha h l 2 3x h 2 3x 21 f x lim i J L 23x3h2 3x 3h hm hm 3 0 h h0 k 2 3x h2 2 3x2 22 f x lim 2 3x2 6xh 3h2 2 3x2 lim lim 6xh 3h2 lim 6x 3h 6x 23 f x 10 l 10 26 As respostas variarão Uma possibilidade 10 l 10 3xh2 lim lim lim 6xh 3h2 2h h lim 6x 3h 2 6x 2 x h2 x2 24 f x lim x2X h x h 2x 2 h A h x h 2x 2 l l limòx h 2x 2 x 22 25 As respostas variarão Uma possibilidade 27 As respostas variarão Uma possibilidade 10 10 28 As respostas variarão Uma possibilidade 10 l 5 Respostas selecionadas 337 29 Como x ax b é uma função linear a taxa de mudança de qualquer x é exatamente a incli nação da reta Não ê necessário cálculo visto que é conhecido que a inclinação a f x fx O xj 0 x A0 X 0 I0 X h0 X Olhando para as retas secantes vemos que esse limite não existe Se a reta secante é para a esquerda de x 0 ela terá a inclinação m 1 enquanto se é à direita de x 0 terá a inclinação m 1 Em x 0 o gráfico da função não tem uma inclinação definida x fa 11 AWHl IIn1 ji verdadeiro um ho x a 32 x 2x 3 A respostaD 33 x 5 6x A resposta é A 34 2 3 22 12 A resposta é C Iff f 1 r í A 35 1 A resposta e A 361 x 1 362 x 5x4 1 fW 2VÍ 14 Vr 3 JO4 X 4 4Vx 1 óvx3 3 366 f x r 1 x4 367 x X 368 f x 6x 5 o i A áOV x 3610 x 3611 x 3612 IA 11 JOlJ 3614 3615 3616 3617 3618 3619 3620 3621 3622 3623 3624 3625 3626 3627 3628 3629 ar IA JOjif 3631 3632 3633 3634 x 38x6 4 5í x 40x9 lOx x 12x2 5 x 12x2 6 x x2 12x x x 8 W 20 x 2x j 15 x 3x 7 X x 140x6 72x2 45x3 3 f L f x 2 Vx fv 9Ov4 1 77r2 1 0v y IA f ZJJL i A L JJÍ Xxfx2 x 2x x4 6x2 2 x22 04 1 Q2 J jX i JX X f X 3x2 l2 10 x 42 20 x IO2 í 2 1 2x 2 x l2 24 f X 4x 32 10 2 2 x2 338 Précálculo 47 210 ii 975 10 975 9775 6375 105 285 unidades quadráticas 37 Seja a reta y 120 representando a situação A área sob a reta é a distância percorrida a área de um retângulo dada por 1203 360 quilómetros 38 Seja a reta y 15 representando a situação A área sob a reta é a quantidade de galões a área de um retângulo dada por 15 90 1350 galões 39 Seja a reta y 650 representando a situação A área sob a reta é a população total a área de um 11 l 11 l 3 3 retângulo dada por 650 49 31850 pessoas 4jl42ll24 14 40 Seja a reta y 640 A área sob a reta é a distân 5 f 5 3 l 3 7 j í 7 cia percorrida é a área do retângulo dada por L 4 Jl42 Jl24 J14 64034 2176 km 50 l 2 2 L 33 L 41 Seja a reta y 38 A área sob a reta é a distância l 2 J L 2 L 2 J L 2 J L 2J 2 percorrida é a área do retânijo dada por f 3 i r 3 l L 5 i r 5 l L 7 i r 7 38Í4 116 km V 6 7 52 5 20 Retângulo com base 4 e altura 5 42 2 l C1 2 3 4 5 3 K l 1 1 1 3 3 4 3 l O 13 2 4 2 4 43 2 l l 2 3 4 5 1 l 1 3 4 4 0 12 2 2 44 05l52535 KI 45 35 525 275 025 125 13 as respostas variarão 1 10 por 17 53 r4 6 dx 30 Retângulo com base 5 e altura 6 i 45 05 l 5 25 35 45 3 15 175 325 5 145 as respostas variarão 2 10 por 1 7 54 3xdx 375 Triângulo com base 5 e altura 15 46 9 975 10 975 9 775 6 37505 325 unidades quadráticas 16 por 120 Respostas selecionadas 339 55 05 dx 12 Trapézio com bases de 05 e 35 e altura 6 H 8 por 15 56 x 3dx 165 Trapézio com bases 4 e 7 altura 3 57 í4 3x 2dx 165 Trapézio com bases l e 10 e altura 3 16 por R 12 58 A distância percorrida será a mesma que a área sob o gráfico da velocidade ví 32f sobre o intervalo O 2 A região triangular tem uma área de A l2264 64 A bola cairá a 64 centímetros nos primeiros 2 segundos 59 Falso lim fx L 60 Como y 2vx representa uma extensão verti cal por um fator de 2 a área sob a curva entre x O e x 9 é duplicada A resposta é A 61 Como y Vx 5 representa uma extensão vertical por 5 unidades para cima a área é aumentada pela contribuição de um retângulo 9 por 5 uma área de 45 unidades quadráticas A resposta é E 62 y v x 5 ê mudado 5 unidades à direita comparado com y Vx mas os limites da integração são mudados 5 unidades à direita também assim a área não muda A resposta é C 63 y v3x representa um encolhimento horizontal por um fator de e o intervalo de integração é encolhido da mesma maneira Assim a nova área é da área antiga A resposta é D 64 a Domínio 2 U 2 Imagem 1 U 2 b A área sobde x O para x 4 é um retân gulo de comprimento 2 e altura l e um trapezóide com bases 4 e 2 e altura 2 Não faz qualquer diferença que a função não tenha valor em x 2 65 a c 43 3x2 b 5 c c 5 In pé d x2 c e Ix c x f 3x2 Ix c g xVx c 340 Précálculo 5x2 2 r 2 3 j 4e 3x c 4 k r c In 4 D e c In 3 APÊNDICE A Exercícios 13y 52x y x 3 3 2xyí y l x 3 3x 2x 1 O 3x 2 0 ou l O 3x 2 x x 5 V5 5 V105 5 V105 5 V105 x ou 5 x3 4x O xx2 4 O xx 2jc 2 O x O x 2 x 2 6 x3 x2 6x O xx2 x 6 O xx 3x 2 O x O x 3 x 2 7 m y 2 x l 4 4 2 4x 6 8 22 3 25 4jt6y 10 9 Intersecção X3 Y9 4 4 por 15 12 10 a Não 50 24 8 b Sim 52 21 8 e 22 31 l c Não 22 39 l 11 a Sim 3 22 62 5 e 3 22 7 b Não 5 l2 61 5 c Sim 5 62 66 5 e 5 26 7 12 x y 9 2 como y 2 temos x 4 5 portanto x 9 13 x y 3 17 como x 3 temos 3 y 20 portanto y 17 14 x y í j 20 3x assim jc 220 3x 10 7 50 Respostas selecionadas 341 15 ff l 3V89 3 V89 23 assim 2x 3 23 ou x 16 x y 2 x 3y 112 assim 23 7 5y 8 l 22 assim y 2 17 3 3 2 5y 162 assim l55y 16 2y 5 95y 19 assim y 2 18 Sem solução x 3y 6 assim 23y 6 6y 4 ou 12 4 Isso não é verdadeiro 19 Há infinitas soluções y 3x 2 assim 9x 33 2 6 6 6 que é sempre verdadeiro 20 x y 3 9 a segunda equação resulta y 9 assim jc2 9 ou 3 21 x y O 3 ou x y 4 1 Como x y 3 temos y 3 y2 3y ou y2 2y 3 0 Portanto y 3 ou y 1 22 yf 6x2 l x 3 O 3 l 00 Substitua esses valores em y 6x2 23 x y 428 ou x y l15 l 2x2 3x 20 O x 4 ou x 2 Substitua esses valores em y 2x2 x 24 x y O 0 ou x y 3 18 32 x3 x O ou x 3 Substitua esses valores em y 2x2 25 x y O 0 ou x y 2 4 x3 22 O x O ou x 2 Substitua esses valores em y x2 10 l 3 8 9 3 89 10 10 10 x 3y l x 3y 1 Substitua 3y l em x2 y2 9 3y l2 y2 9 10y2 6y 8 0 Usando a fórmula quadrática 3 V89 encontramos que y 27 x y 10 52 7V871 91 4V871 65 398 042 ou 65 52 7V871 91 4V871 65 65 238 322 13 7y2 y 2 16 16 65y2 182y 87 0 91 4V871 Substitua em x 13 7y para obter x 52 7V871 65 28 x y 8 2 somando as equações obtemos 2x 16 assim x 8 Substituir esse valor em qualquer equação para achar y 29 x y 3 4 somando a primeira equação multiplicada por 2 com a segunda obtemos 5 15 assim x 3 Substituir esse valor em qualquer equação para achar y 30 x y 4 2 somando a primeira equação multiplicada por 2 com a segunda obtemos l íx 44 assim x 44 Substituir esse valor em qualquer equação para achar y 31 x y 2 3 somando a primeira equação multiplicada por 4 com a segunda multiplicada por 5 obtemos 31 62 assim 2 Substituir esse valor em qualquer equação para achar y 342 Précálculo 32 Sem solução somando a primeira equação mul tiplicada por 3 com a segunda multiplicada por 2 obtemos O 12 o que é falso 33 Há infinitas soluções qualquer par 42 Infinitas soluções Ao somar a primeira equação com a segunda multiplicada por 2 obtemos 0 0 que sempre é verdadeiro Enquanto x y satisfaz uma equação também satisfaz a outra 34 Há infinitas soluções qualquer par 2 5 x x 3 3 Somando a primeira equação multiplicada por 3 com a segunda obtemos 0 0 que sempre é verdadeiro Enquanto x y satisfaz um equação também satisfaz a outra 35 Sem solução somando a primeira equação multiplicada por 2 com a segunda obtemos O 11 o que é falso 36 x y O 1 ou x y 3 2 37 x y 15 1 38 Sem solução 39 xy O 4 ou xy V73 2653 40 Uma solução 5 5 por 5 5 41 Sem solução 5 5 por 5 5 43 Uma solução 5 5 por 5 5 4J 47 por 3l 31 44 x p 375 14375 200 15 x 50 25 assim 40 x 150 ou seja x 375 Substituir esse valor em qualquer das duas equações para achar p 45 x p 130 59 15 007 2 003 assim 010 13 ou seja x 130 Substituir esse valor em qualquer das duas equações para achar p 46 200 2x y e 500 xy Então y 100 x assim 500 X100 x portanto x 50 20 V5 ey 50 2oVs Ambas as respostas correspondem a um retângulo com dimensões aproximadas de 528 m X 9472 m 47 4 a b e 6 2a b assim b a 4 e 2 14 6 3a 4 Então a e b 48 2a b 8 e 4a 6b 8 assim b 2a 8 e 8 4a 62a 8 16a 48 40 5 Então a e fc 3 16 2 49 Seja Sx a renda da vendedora e x o total de unidades monetárias vendidas por semana Plano A Sx 300 005 Plano B S 600 001 Resolvendo essa equação temos 300 005 600 001 004 300 7500 Respostas selecionadas 343 50 Falso 51 Usando x y 3 2 23 32 12 3 22 l A resposta ê C c 3 12 6 6 3 3J d 2A 3fi 52 Uma parábola e um círculo podem intersec 1 0 21 2 1 0 cionar em pelo menos 4 lugares A resposta é E 2 4 1 1 3 1 0 2 53 Duas parábolas podem interseccionar em 0 1 L 2 0 iJ L 4 3 1 2 3 ou 4 lugares ou infinitos lugares se as parábolas coincidem completamente A resposta 2 0 41 r 6 3 0 é D 8 2 2 3 0 6 54 Quando o processo de solução leva a uma iden 40 2 1 2 9 3 tidade uma equação que é verdadeira para todo x y o sistema original tem infinitas soluções r R A resposta é E 1 1 Z o 55 2 X 3 não ê quadrada 8 9 5 56 2 X 2 quadrada 57 3 X 2 não é quadrada 11 58 1 X 3 não é quadrada 67 a 20 59 3 X 1 não é quadrada 60 1 X 1 quadrada 61 a13 3 62 fl24 1 63 32 4 64a33 1 S a 3 i a c 6 d 2A 3B 2 2 r 4 6i r 7 1 b 22 5 2 9 3 c 03 6 3 3 11 4 0 á2A3B 2 01 3 2 1 2 iJ L 31 6 21 T 12 0 T12 2 02 6 3 65 31 3 l 3 L 4 2J L93J L 13 5 52 4 3 91 Tl 151 P 1 4 11 2 loH6 1 2 j U 22J W L 3 0 1 oj 1 1 2 66 a 3 1 1 6 3 0 3 1 2 b 5 1 3 2 3 2 f 7 52 11 bi5 0 3 4 15 69 3 C3 0 6 6 J 344 Précálculo d 2A 3B 2 3 l 2 3 1 0 2 2 O 4 0 1 2 10 4 6 2 2 0 4 4 6 9 3 O 12 O 3 6 16 13 3 3B 2 4 2 0 2 1 0 3 0 12 3 r 0 4 r 2 12 14 0 71 2 10 69 a b c 3l 4J 6 3 OJ 70 a O O 2 3 b 2 4 2 3 c 3 6 O 9 d 2A 3B 2l 2 O 3 31 2 2 0 2 4 O 6 3 6 6 0 5 10 6 6 71 a AB 21 32 23 34 ll 52 1X3 54 3 34 1 3 54J 4 18 ll 17 b BA í 12 31 13 35 l 5 12 L22 4l 23 45J Lo 26 72 a AB b BA J 73 a AB b BA 74 a AB Tl5 L25 15 42 11 43 13 13 2 16 7 141 36J 8 loJ f 21 03 10 22 01 l2 51 12 54 16 1 12 21 10 24 11 23 1 í 2 21 J 11 12 4 8 5 4 2 8 5 6 6 r 19 1 L 2 10 Respostas selecionadas 345 b BA 3 4 5 L8 75 a AB 14 16 8 2 14 6 O 10 lf4J b BA 2 3 U 11J 2 5 L18 1 3 0 0 3 10 76 a AB 34 20 1 0X3 22 33 0 1 43 12 23 4 1 3 1 22 13 32 23 1 1 0 7 11 4 11J b BA 3 1 8 2 11 2 11 2 11 llJ 346 Précálculo 77 a AB 2 b BA 2 8 23J 78 a AB 44J 10 5 15 8 4 1 2 4 2 6 J 12 4 8 16J b BA l2 23 44 8 79 a AB não é possível b BA 3X1 3 32 54 18 14 80 a AB L35 l2 3É b BA não é possível 81 a AB 1 15 2 3 5 6 L17 15 L 34 20 1 1 3 1 22 13 32 23 1 1 J l 2 l 1 0 2 L4 3 U b BA 40J l l i4 2 l O 2 3 U 82 a AB 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0 L 0 0 0 4 0 0 0 1 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 3 0 0 1 0 0 4000 0001 Q 2 1 4 2 1 2 0 1 0 3 2 3 1 4 1 Respostas selecionadas 347 b 83 o 84 a 85 fl 86 a BA 0 0 3 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 5 b 2 3b l 2b 0 lb 6 1 0 0 0 0 0 041 f3 2 2 0 0 0 0 0 0 1 0 1 3 0 0 0 0 0 0 3 1 2 4 0 0 0 0 0 0lJ 2 0 1 2 3 4 87 Afí F082 L022 308 06 06 2 02 1041 3 02 404J BA 043 044 assim A e B são inversas 88 Afi 2025 3025 2025 305 22 205 2025 2l 00 l O O 0 1 0 LO O 1J BA 0 0252 0252 0250 052 052 0253 0253 1 O O 0 1 0 0 0 l J 89 2 3 2 2 assim A e B são inversas 2 3 2 2 i r 2 2L2 90 Não existe inversa o determinante é 65 103 0 91 Não existe inversa o determinante encontrado com calculadora é 0 92 Usando calculadora 2 3 1 0 0 1 1 025 025 IV 1 4 1 1 05 05 3 175 075 Para confirmar faça a multiplicação 348 Précálculo 93 Use a linha 2 ou coluna 2 como possuem os 97 iiidivjic iiumciub uc cius LJsaiiuu 2 1 1 1 1 0 211 3 1 3 1 2 1 0 1 1 1 3 1 2 0 34 1 1 0 1 5 14 a uuiuua z r 2 5 B 1 2 1 1 2 98 a SP 94 Use a linha 1 ou 4 ou coluna 2 ou 3 como pos suem os maiores números de zeros coluna 3 1 0 2 0 j 0 í 1 0 2 C1 1 1 1 0 2 1 0 0 3 1 0 0 2l5 1 1 2 0 0 1 0 3 r 1 3 L 0 3 2ll2 1 0 OJ L 0 3 o a 1 3 1 2 b Os 11120 1170 11150 11110 1180 11160 1 132 77 165 121 L 88 176 IA 16 10 8 12 12 0 10 14 4 12 0 8 180 26999 275 39999 355 49999 590 79999 15550 2191954 13970 1143974 8740 1227976 valores no atacado e no varejo de todo o Q T estoque na loja i estão representados por a ai2 respectivamente na matriz SP 99 a Receita total soma de preço cobradonúmero vendido ABT ou BAT b Lucro receita total custo total 4 ABTCBT 1 2 J A QB 100 Respostas variarão Uma resposta possível é dada 3 0 23 5 23 4 6 10 95 3X B A B A X 96 2X B A 1 y A 12 2l B A 1 M 2 2 V l l 21 4 j 1 4i ri J L o i 2 a A B a bij by ciij B A b A B C Oy by C ay by Cy aj b Cy A bijCij A B Q c A B Q A by cy 2 aikbkj ckj seguindo as regras da multiplicação de matriz Z aikbkj aikckj Respostas selecionadas 349 d A BC atj bijC 2 fljt bik cki ikCki bíkcki 2 cijifft 2 bíkckí k k k k 101 Respostas variarão Uma resposta possível é dada a cA B cíoy btj catj cby cA cB b c fífA c day cay daj cA íA c cdA cíddij cdatj cdaij cdA d l A l flj Oy 102 AL 11 12 21 22 I n l f l O O l LO o an 0íz12 O aln 0fljj al2 O fli3 02 O 22 O 2n O U21 022 O fl23 Lanl O an2 O O anl an2 O an3 n 12 21 22 O o l J Ofl n 0fl 1 2 in O a21 O a22 o2n 0a n l 02 A Podemos fazer o mesmo para 4A A 103 2l 34 10 A resposta é C 104 A matriz AB tem o mesmo número de linhas que A e o mesmo número de colunas que B A resposta é B 2 7 1 105 P 7lLf 4 71 r 4 7 Li 4j 24l7Ll 2l 2 A resposta é E 106 O valor na linha l coluna 3 é 3 A resposta é D 350 Précálculo APÊNDICE B Exercícios 1 Há 3 possibilidades para quem fica à esquerda e 2 possibilidades restantes para quem fica no meio e uma possibilidade restante para quem fica à direita 3 2 1 6 2 Qualquer uma das 4 tarefas pode ser priorizada como a mais importante e qualquer das 3 tarefas restantes pode ser como a menos continuando com essa ideia 4321 24 3 Qualquer um dos 5 livros pode ser colocado à esquerda e qualquer dos 4 livros restantes pode ser próximo a ele continuando com essa ideia 54321 120 4 Qualquer um dos 5 cachorros pode receber o primeiro prémio e qualquer dos 4 cachorros restantes pode receber o segundo lugar 5 4 3 21 120 5 Há 34 12 possibilidades de caminhos Nos 3 diagramas BI representa a primeira rodovia da cidade A para a cidade B etc 6 4321 24 6 654 7 8 62 10 30 4 10987 7107 7321 9 32 6 9 987 120 10 92 7 72 11 10 10987 1098 3 2 1 120 3103 37 12 Há 6 possibilidades para o dado vermelho e 6 para o dado verde 66 36 13 Há 2 possibilidades para cada vez que a moeda for lançada 210 1024 48 14 48C3 48 31483 345 15 Escolhidas 7 sequências de 20 20 20 17296 7207 713 77520 16 C 8 8 383 35 56 17 18 19 20 20 125970 20 21 22 23 24 zu 8208 812 29 l 511 excluímos aqui o resultado pos sível de um conjunto vazio Como cada ingrediente pode ser incluído ou não o número total de possibilidades com n ingredientes é 2 Como 211 2048 é menor que 4000 mas 212 4096 é maior que 4000 o dono da pizzaria oferece pelo menos 12 ingre dientes Há 2 subconjunto dos quais 2 2 são sub conjuntos próprios 210 1024 510 9765625 Verdadeiro Falso 25 Há l 15 combinações diferentes de vegetais O número total é 4 15 6 360 A resposta é D 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 P nnl nl A resPsta é B x2 2xy y2 a2 2ab b2 25x2 IQxy y2 a2 6ab 9b2 9 s2 I2st 4t2 9p2 24pq I6q2 u3 3u2v 3uv2 v3 b3 3b2c 3bc2 c3 8x3 36x2y 54xy2 21y3 64m3 44m2n lOSmn2 27n3 37 a b4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4 38 a í6 a3b3 í6 a2b4 í6 3 4 5 a 6 a6 6ab5 b6 Í5a4b2 20a3b3 15a2b4 Respostas selecionadas 351 39 y 49 34 xy y í7 W W x1 76y 21y 35V 353y4 212y5 7y6 y7 40 x y10 Wxloy Ix9yl íO 0 2y8 0x9y 45xsy2 252xsy5 20x4y6 I20x3y7 45y lOxy9 j10 41 Use as entradas na linha 3 como coeficientes x y3 x3 3x2y 3xy2 y3 42 Use as entradas na linha 5 como coeficientes x y5 x5 5x4y IO3 Wx2y3 5xy4 y5 43 Use as entradas na linha 8 como coeficientes p í8 p8 8p7q 28pV 56V 7QpV 56y 28p2 q6 8pq7 qs 44 Use as entradas na linha 9 como coeficientes p qf p9 9pBq 36y 84y 45n 936 2j 27 21 t 15 15141312 46 1365 47 48 li 114 4 3 2 1 l 166 1660 O 01166 l 1287 51 52 S4 126720 26730 53 W jc 25 jc5 5x2 10322 10223 5x24 25 x5 IO4 40x3 802 80 32 54 gx x 36 x6 6x53 l5x432 20x333 l5x234 6x35 36 x6 185 ISSjc4 5403 12152 1458 729 55 h 2x l7 27 726l 212512 3524l3 3523l4 212215 72l6 17 1287 4486 Ó725 5604 2803 842 14 l 56ftx 3 45 35 5344 103342 103243 53 44 45 2435 16204 43203 57602 3840 1024 57 2 y4 24 423y 622y2 42xy3 y4 164 323y 24y 8xy3 y4 58 2y 35 2y5 52y43x 102332 102y233 52y34 35 32y5 240 72032 lOSOy23 810y4 2435 59 VVy6 V6 6V5 Vy 15Vx4 Vy2 20V3Vy3 Vy6 3 652y12 152y 2032y32 15v2 6l2y52 y3 352 Précálculo 60 Vx Vã4 Vx4 4 Vt3 Vã 6Võ2 Vã2 4V0V33 Vã4 x2 4xV3x lc 12V3Í 9 61 A2 35 x25 5x24 3 10r23 32 10r22 33 5x2 34 35 x10 158 90x6 270r 405x2 243 62 a b31 a1 7a62r3 21a5Hr32 35a4Hr33 35a3r34 21a235 7a2r36 r37 64 n r rnr 65 r r rnl rnl nllnl rnr rnr nrnl n r rnf 66 a Qualquer par n m de inteiros nãonegativos com exceção de l 1 fornece um con traexemplo Por exemplo n 2 e m 3 2 3 5 120 mas 2 3 2 6 8 b Qualquer par n m de inteiros nãonegativos com exceção de O 0 ou qualquer par l m ou n 1 fornece um contraexem ple Por exemplo n 2 e m 3 23 6 720 mas 2 3 2 6 12 n 1 n 67 2j n n 68 1 n 1 n2 2 n1 2 nn n ln n n n n n 2 69 Verdadeiro 70 Verdadeiro 8 O quinto termo da expansão l J2jcl 1120x4 A resposta é C 72 Os dois menores números na linha 10 são l e 10 A resposta é B 73 A soma dos coeficientes de 3jc 2yw é a mesma que o valor de íx 2ylquando x l ey l A resposta é A 74 Os termos pares nas duas expressões são com sinais contrários e cancelados enquanto os ter mos ímpares são idênticos e são somados A resposta é D APÊNDICE C Exercícios 1 ir 180 30 6 17 2 17 180 45 4 n Respostas selecionadas 353 77 180 1 1 Cn 10 77 377 180 4 108 5 77 777 180 9 77 1377 180 20 77 7 2 180 s 11459 77 180 77 9 5 70 cm 10 r 75Jt cm 11 6 3 radianos 12 r 360 cm 77 180V 180 F 14 Se o perímetro é 4 vezes o raio então o compri mento do arco ê de 2 raios o que implica um ângulo de 2 radianos A resposta é A 15 x V52 52 VSÕ 52 16 x V82 122 V2Õ8 413 17 x Vl0282 6 18 x V42 22 V12 2 V3 4 3 4 19 sen 0 cos0 tg 0 8 7 8 V113 V113 7 91 A 12 A 5 t 12 21 sen 6 i cos0 tg0 y O 1 C Q 22 sen 0 cos0 tg0 23 O comprimento da hipotenusa é V72 II2 VÍTÕ logo 24 O comprimento do lado adjacente é 8262 V28 2 V7 logo 3 V7 3 sen 0 cos0 te0 4 4 7 25 O comprimento do lado oposto é Vll282 V57 logo V57 8 V5T sen u cosi tgu 11 11 o 26 O comprimento do lado adjacente é Vl3292 V88 2 V22 logo 9 2V22 9 13 13 2V22 27 O triângulo retângulo tem hipotenusa com medida 7 e cateto oposto ao ângulo 0 com medida 3 Assim o cateto adjacente é v 72 32 v 40 210 As outras medidas são 2VTÕ 3 cos 0 c ts 0 7 2VTÕ 28 O triângulo retângulo tem hipotenusa com medida 3 e cateto oposto ao ângulo 0 com medida 2 Assim o cateto adjacente é V3222 5 As outras medidas são V5 2 cosO c tg0 3 V5 29 O triângulo retângulo tem hipotenusa com medida l i e cateto adjacente ao ângulo 0 com medida 5 Assim o cateto oposto é Vll252 V96 4 Vó As outras medidas 4V6 4V6 11 5 5 30 O triângulo retângulo tem hipotenusa com medida 8 e cateto adjacente ao ângulo 0 com medida 5 Assim o cateto oposto é V8252 39 As outras medidas são V39 39 cr fí f tírfl 170 170 354 Précálculo 31 O triângulo retângulo tem cateto oposto ao ângulo 9 igual a 5 e cateto adjacente igual a 9 Assim a medida da hipotenusa ê V52 92 Vi06 As outras medidas são sen O e cos0 106 106 32 O triângulo retângulo tem cateto oposto ao ângulo d igual a 12 e cateto adjacente igual a 13 Assim a medida da hipotenusa é 132 V313 As outras medidas são sen 6 12 e cos0 13 313 313 33 x 34 z 35 y 15 sen 34 23 cos 39C 32 2682 2960 2078 tg57 36 x 14 sen 43 955 37 y 6sen 35 1046 38 x 50 cos 66 2034 39 30 40 150 41 45 42 240 43 r Vl2 22 V5 2 l sen 9 coso 7 Vs tg9 2 44 r V42 32 5 sen 9 4 3 tg0 45 r Vl2 12 V2 sen d p cos 9 p V2 V2 46 r 32 52 V34 sen 9 p cos0 l V34 34 4 3 4 sen 9 cos9 te9 5 5 5 3 48 r V42 62 V52 2Vl3 3 2 3 sen 9 p cos9 7 tg V13 V13 2 49 r Vo2 52 5 sen 9 1 cos 9 0 tg 9 indefinido pois x 0 50 r V32 O2 3 sen S O cos 9 l tg 0 O 51 r V52 22 V29 2 5 2 sen 9 p cos d p tg 9 V29 V29 5 52 r V222 222 22V2 sen 9 p cos 0 p tg 0 l V2 VT 53 O lado que determina a abertura do ângulo de 450 é o mesmo do ângulo de 270 sen 9 1 cos 9 O tg 9 indefinida 54 O lado que determina a abertura de 270 é o mesmo do ângulo de 90 sen 9 l cos 9 O tg 9 indefinida 55 O lado que determina a abertura do ângulo de 7t é o mesmo do ângulo TC sen 9 O cos 9 1 56 O lado que determina a abertura do ângulo de l lTt2 é o mesmo do ângulo 3712 sen 9 1 cos 9 O tg 9 indefinida 57 O lado que determina a abertura do ângulo 77t2 é o mesmo do ângulo Tl2 sen 9 l cos 9 O tg 9 indefinida Respostas selecionadas 355 58 O lado que determina a abertura do ângulo 4n é o mesmo do ângulo O radianos sen 6 O cos 0 l tg0 0 59 Como tg 6 O sen 6 e cos 6 têm sinais contrários Assim cos 6 Vlsen20 60 cos e Assim tg 9 61 Verdadeiro 15 sen 6 cos 9 V21 62 sen Q Vi cos26 porque tg 6 sen 0cos 0 0 Logo 25 12 sen W A 1 A resposta e A V 169 13 F 63 Máximo 2 em 2 e 2 77 377 Mínimo 2 em e V 2 2 Raízes O 71 2n 64 Máximo 3 em 0 mínimo 3 em 2ic Raízes n 65 Máximo l em O 71 2rc 77 377 Mínimo l em e 2 2 TT 3TT 5ir ITT Raízes 4 4 4 4 66 Máximo f em e j Mínimo 2 Raízes O TC 27t 67 Máximo 11 em e j Mínimo l em O jt 27t TT 3T7 5ir ITT Raízes 4 4 4 4 68 Máximo 2 l em l 1 2 2 l 37T 77 Mínimo 2 l em Raízes O TC 27t 69 O gráfico de y 5 tg x deve ser estendido verticalmente por 10 em comparação com y 05 tg x assim yl 5 tg x e y2 05 tg x 70 Domínio todos os números reais exceto múlti plos ímpares de TC Imagem Continuidade a função ê contínua neste domínio Comportamento crescentedecrescente é cres cente em cada intervalo neste domínio Simetria é simétrica com relação à origem ímpar Limite não é limitada superiormente nem infe riormente Extremo local nenhum Assíntotas horizontais nenhuma Assíntotas verticais x kn para todos os inteiros ímpares k Comportamento nos extremos do domínio não existe APÊNDICE D Revisão rápida 1 V2 12 5 32 V9 4 VÍ3 2 Vo 22 b 32 3 V232 422 V52 62 X61 4 b Va 32 b 42 5 V7 42 8 3 Vll2 52 Vl46 6 V6 a2 c 32 7 2 4x y 2Vx 356 Précálculo 10 25x2 36y2 900 36y2 900 25x2 11 9y2 16x2 144 9y2 144 I6x2 12 4X2 36y2 144 36y2 4x2 144 13 y 7 x2 2x y l l x l2 y 6 x l2 14 y 5 2x2 3x y 5 2x 2 19 15 Vértice l 5 Eixo de simetria 1 16 Vértice 3 19 poisc 2x 32 19 Eixo de simetria x 3 17 ax l2 3 logo l a 3 a 2fx 2x l2 3 18 fx ax 22 5 logo 13 9a 5 a 2 fx 2x 22 5 19 3x 12 10 V3x 82 3x 12 100 20V3x 8 3x 8 20 6x 12 l V4 9 6x 12 l 2V4x 9 4x 9 2 2V4x 9 A l V4x 9 2x l 4x 9 x2 2x 8 O x 4x 2 O 21 6x2 12 11 V6x2 l2 12 121 22V6xz l 110 22V62 l O T 16V3x 4 60 x2 60 16V32 42 x 120xz 3600 2563zz 4 x4 648x2 2576 O l 23 V3x 12 10 V3x 8 3x 12 100 20 3 8 3x 8 80 2oV3x 8 4 V3j 8 sem solução 80 20V3 8 Respostas selecionadas 357 24 V4x 12 l Vx 8 4x 12 l 2 V 8 x 3x 3 2Vx 8 9x2 lc 9 32 9x2 14x 23 O 14 Vl96 4923 18 14 32 18 23 x l ou x 23 Quando x 16 49 4 7 V 9 V 9 3 3 A única solução é x l 25 Vóx2 12 l Vóx2 l 6x2 12 l 2V6x2 l 6x2 l 10 2 Voz2 l 25 6x2 l 6x2 24 O x2 4 O x 2 x 2 26 V2X2 12 8 V3x2 4 2x2 12 64 16V3x2 4 3x2 4 x2 56 16V3x2 4 x4 112x2 3136 76c2 1024 x4 656x2 2112 O x 2555 x 2555 as outras soluções são estranhas 27 2Íx 15 O assim x 3 V15 28 2x l2 7 O assim x l 29 c a 2 a 22 a2 16a 16a a2 4a 4 a2 4a 12 a 3 c 5 30 c a l 25a a 1 2 a 2 a2 2a l a2 a 12 c 13 25a 12 Exercícios Vértice O 0 6 3 4 2 diretriz y largura focal 4p 4 6 2k 0h Qp 2 4 Vértice O 0 foco 2 0 diretriz x 2 largura focal 4p 42 8 3 k 2 3 p l Vértice 3 2 foco 2 2 diretriz x 3 l 4 largura focal 4p 41 4 358 Précálculo 4Jfc li 4 4 2 Vértice 4 1 5 foco l 4 diretriz y l l l y 2 J 2 largura focal 4p 5 k O O 4p assim F 3 Vértice O 0 focooi 4 diretriz y l l 4 largura focal 4p 11 6 À O A O 4p assim P 5 Vértice O 0 foco 0h j diretriz x largura focal 4p 16 5 7 c 8 b 9 a 10 d 11 p 3 e a parábola aberta para a esquerda assim y2 12t 12 p 2 e a parábola é de concavidade para cima assim x2 8y 13 p 4 assim p 4 e a parábola é de con cavidade para baixo assim x2 6y 14 p 2 assim p 2 e a parábola se abre para a direita assim y2 Sx 15 p 5 e a parábola de concavidade para cima assim x2 20y 16 p 4 e a parábola aberta para a esquerda assim y2 16 I7h 0k O 4p 8 ou seja p 2 Como abre para a direita y O2 8jc 0 e y2 8 18 h O jfc O 4p 12 ou seja p 3 Como abre para a esquerda y O2 2x 0 e 12 Í9h 0k O 4p 6 ou seja p como a concavidade é para baixo x O2 60 0 e x2 6y 20h O 4p 3 ou seja p Como a concavidade é para cima x O2 3y 0 e x2 3y 21 h 4 k 4 2 4 p assim p 2 Como a parábola se abre para a direita então y 42 8 4 22 h 5 k 6 6 p 3 assim p 3 Como a parábola é de concavidade para baixo então 23 A parábola de concavidade para cima e o vértice está na metade entre o foco e a diretriz em x eixo h Assim h 3 e 4 l 5 k 2 2 l p assim P 2 24 A parábola abre para a esquerda e o vértice está na metade entre o foco e a diretriz em y eixo k assim k 3 e 2 5 7 z 2 2 7 5 p assim 3 P y 32 Respostas selecionadas 359 25 h 4 k 3 6 4 p assim p 2 A parábola se abre para a esquerda y 32 8jc 4 26h 3k 5 l 5p assim p 2 A parábola de concavi dade para baixo 32 8y 5 27 h 2 k l 4p 16 Assim p 4 Como a concavidade é para cima x 22 lóy 1 28 h 3 k 3 4p 20 ou seja p 5 Como a concavidade é para baixo x 32 20y 3 29 fc 4 4p 10 ou seja p Como a parábola se abre para esqueftia y 42 10 1 30 h 2 k 3 4p 5 ou seja p 4 Como a parábola se abre para a direita y 32 5x 2 31 v 34 32 33 36 37 38 y 10 2 44 por 218 1010 por 82 360 Précálculo 39 82 por 22 40 28 por 33 41 1015 por 37 42 12 8 por 213 43 26 por 405 44 15 5 por 15 5 45 22 26 por 19 13 46 17 7 por 7 9 47 13 11 por 10 6 48 20 28 por 10 22 49 Completando o quadrado produz y 2 x l2 O vértice é h k 1 2 O foco é A diretriz é y kp 2 4 4 50 Completando o quadrado produz Respostas selecionadas 361 O vértice é h k l O foco é 76 A diretriz é y k p 3 51 Completando o quadrado produz 8jc 2 y 22 O vértice é z Jt 2 2 O foco é h p k 2 2 2 4 2 A diretriz éx 7zp 22 0 52 Completando o quadrado produz 13 4 y l2 O vértice é A K 134 10 foco é 13 17 A diretriz éx hp l 4 4 53 O fc 2 e a parábola se abre para a esquer da Assim v 22 4px Usando 6 4 encontramos 4 22 4p 6 ou seja 36 4p A equação para a parábola é y 22 6x 54 h l k 3 e a parábola se abre para a direita Assim y 32 4pjc 1 Usando í O J encontramos O 32 4p í l J ou seja A equação para a parábola é y 32 2x 1 55 h 2 k 1 e a parábola é de concavidade para baixo Assim x Tf 4py 1 Usando O 2 encontramos O 22 4p2 l assim 4 4p e p l A equação para a parábola é x 22 4y 1 56 z l J k 3 e a parábola é de concavidade para cima Assim x 12 4py 3 Usando 3 5 encontramos 3 l2 4p5 3 assim 16 8pep 2 A equação para a parábola é x l2 8y 3 57 O2 4p0 é verdade qualquer que seja p A resposta é D 58 O foco de y2 4px é p 0 Aqui p 3 assim a resposta ê B 59 O vértice da parábola com equação y k2 4px h é h k Aqui k 3 e h 2 A resposta é D 60 i O k O a 4 6 V assim c Vl6 7 3 Vértices 4 0 4 0 focos 3 0 3 0 61 h O k O a 5 è Vãl assim c V25 21 2 Vértices O 5 O 5 focos O 2 O 2 62 h 0k 0a 6b 3 Vã assim c V36 27 3 Vértices O 6 O 6 focos O 3 O 3 63 h 0k 0a VTT 6 V assimc Vil 7 2 Vértices Vil 0 VTT 0 focos 20 20 x2 y2 r 64 O fc O a 2 b V3 assim 4 3 c V4 3 l Vértices 20 20 focos 10 10 y2 2 65 l h O k O a 3b 2 assim 9 4 c V9 4 5 Vértices O 3 O3 focos O VÍ O V5 362 Précálculo 75 71 72 73 74 2 4 9 x2 y2 77 l 49 25 10 78 c 2 e a 5 assim b W c2 V 21 25 21 79 c 3 e 6 5 assim a V62 c2 V16 4 7 2 16 25 1 2 2 49 16 82 6 4 x2 y2 16 36 83 6 2 25 4 84 6 5 25 16 Respostas selecionadas 363 85 a 13 x 144 169 l 86 O centro h k é l 2 o ponto médio dos eixos a e b representam metade dos compri mentos dos eixos 4 e 6 respectivamente x l2 y22 16 36 87 O centro h k é 2 2 o ponto médio dos eixos a t b representam metade dos compri mentos dos eixos 2 e 5 respectivamente x 22 y 22 i 88 O centro i é 3 4 o ponto médio do eixo maior a 3 metade do comprimento do eixo maior Como c 2 metade da distância entre os focos então x 32 y 42 l l 93 Centro 3 5 vértices 3 Vil 5 632 5 032 5 focos 3 25 5 5 l 5 94 Centro 73 vértices 7 3 9 7 6 7 12 focos 7 3 VÍ7 7 112 7 712 95 Centro 2 1 vértices 2 l 5 2 4 2 6 focos 2 l 3 2 2 2 4 96 9t2 4 l x 8v 23 O pode ser reescrita como 9x2 2x 4y2 2y 23 Isto equivale a 9x2 2x 1 4y2 2y 1 23 9 4 ou 9x l2 4y l2 36 Dividir ambos os lados por 36 para obter x i2 Vértices l 4 e l 2 focos l l V5 v excentricidade i2 1 89 O centro h k é 2 3 o ponto médio do eixo maior b 4 metade do comprimento do eixo maior Como c 2 metade da distância entre os focos então a b2 c2 Vl2 x 22 y 32 12 16 90 O centro h k é 3 2 o ponto médio do eixo maior a e b representam metade dos compri mentos dos eixos 3 e 5 respectivamente então x 32 y 22 25 l 91 O centro h k é 1 2 o ponto médio do eixo maior a e b representam metade dos compri mentos dos eixos 4 e 3 respectivamente então x l2 y 22 16 l 92 Centro 12 vértices 1 52 62 4 2 focos 1 3 2 4 2 2 2 5 3 Vértices 2 VI 3 focos 2 V2 3 J V2 2 excentricidade V5 V 5 32 l 2 1 16 9 Vértices 71 e 11 focos 3 V7 1 excentricidade 99 x 42 y l Vértices 4 10 e 4 6 focos 4 8 V3 excentricidade 364 Précálculo 100 O centro h k é 2 3 dados a e b represen tam metade dos comprimentos dos eixos 4 e 3 respectivamente x 22 y 32 16 l 101 O centro h k é 24 2 dados a e b repre sentam metade dos comprimentos dos eixos 4 e 3 respectivamente x 42 y 22 16 9 102 Substituir y2 4 x2 na primeira equação l 44 x2 36 4 9x2 5x2 20 x2 4 x 2 y O Solução 2 0 2 0 103 Substituir x 3y 3 na primeira equação v2 l 3y 32 y2 2y l y2 l 2y2 2y O 20 1 O y O ou y l x 3 x O Solução 3 0 O 1 104 Falso 105 Verdadeiro x2 y2 106 1 l assim 4 l c Vá2 b2 V22 l2 V3 A resposta é C 107 O eixo focal é horizontal e passa por 2 3 A resposta é C 108 Completando o quadrado produz x 42 y 32 i 4 9 A resposta é B 109 Os dois focos têm a distância 2c a soma das distâncias de cada foco a um ponto na elipse é 2a A resposta ê C 110 a 4 6 V7 c Vl6 7 V23 Vértices 40 focos V230 111 a 5 b V21 c V25 21 V46 Vértices O 5 focos O V46 112 a 6 b V13 c V 36 13 7 Vértices O 6 focos O 7 113 a 3 b 4 c Vértices 3 0 focos 50 114 4 3 3 c V Vértices 20 focos V7 0 115 l 4 9 a 2 ò 3 c V13 Vértices 20 focos V130 116 c 117 b 118 a 119 d 120 Eixo transversal de 7 0 a 7 0 assíntotas Respostas selecionadas 365 121 Eixo transversal de O 8 a O 8 assíntotas y V2 25 122 Eixo transversal de O 5 a O 5 assíntotas y 7 y Vx2 16 4 15 20 123 Eixo transversal de 13 0 a 13 0 assíntotas 15 124 O centro h k é 3 1 Como a2 16 e b2 4 temos a 4 e b 2 Os vértices são 34 lou7 lel 1 125 O centro h k é l 3 Como a2 2 e b2 4 temos a 2 e b 2 Os vértices são l V23 126 c 3 e a 2 assim b 1 4 5 127 c 3 e b 2 assim V5 a Vc2 b2 V5 1 4 5 128 c 15 e b 4 assim o Vc2 62 V2Õ9 Z 16 209 l 366 Précálculo 129 c 5 e a assim 4 4 130 a 5 e c ea 10 assim 25 75 131 a 4ec ea 6 assim b V36 16 2V5 t l 5 137 O centro h k é l 2 l a metade do comprimento do eixo transverso Como 4 27 fl6 então b l 81 4 729 64 138 O centro h k é 12 a 2 metade do comprimento do eixo transverso A distância do centro ao foco é c 3 assim x l2 y 22 16 20 132 b 5 a Vc2 b2 Vl69 25 12 144 25 139 O centro h k é 3 J b metade do comprimento do eixo transverso A distân cia do centro ao foco é c assim 133 c 6 a 3 e b Vc2 a2 V36 9 3Vã 9 27 134 O centro A fc é 2 1 a 2 metade do com primento do eixo transverso E b 3 metade do eixo não transverso y l2 x 22 135 O centro h K é 1 3 a 6 metade do comprimento do eixo transverso E b 5 metade do eixo não transverso x l2 y 32 36 25 l 136 O centro h k é 2 3 a 3 metade do com primento do eixo transverso 4 Como ba então b 4 22 y 32 16 l y 552 49 4 18 l 140 O centro h k é 3 6 a 5 metade do com primento do eixo transverso A distância do centro ao foco éc z 2 5 10 assim b y 62 x 32 25 75 l 141 O centro h k é 1 4 c 6 a distância do centro ao foco é b c2 a2 V36 9 x l2 y 42 27 27 142 Centro 1 2 vértices 1 12 2 11 2 13 2 focos 1 13 2 12 2 14 2 Respostas selecionadas 367 143 Centro 4 6 vértices 4 V12 6 focos 4 5 6 l 6 9 6 144 Centro 2 3 vértices 2 3 8 2 5 2 11 focos 23 Vl45 145 Centro 5 1 vértices 5 l 5 5 4 5 6 focos 5 l 6 5 5 5 7 146 94 94 por 52 72 Dividir toda a equação por 36 Vértices 3 2 e 3 4 t focos 3 l Vl3 13 147 28 68 por 71 0 Vértices 4j e 4 focos í 2 4 J 148 94 por 62 62 9x2 4v2 36 8v 4 O pode ser reescrita como 9x2 4x 4v2 2v 4 É equivalente a 92 4x 4 4y2 1y 1 4 36 4 ou 9jc 22 40 l2 36 Dividir ambos os lados da equação por 36 para obter x 22 y l2 4 9 Vértices O 1 e 4 1 focos 2 VÍ31 i 149 124 64 por 52 72 y l2 x 32 9 25 Vértices 3 2 e 3 4 focos 3 l V34 e V34 150 a 2 h k O 0 e a hipérbole abre para a x2 y2 esquerda e para a direita Assim l Usando 3 2 4 1 4 6 9Z216 42 5b2 16 è2 Assim 16 151 a 2 h k O 0 e a hipérbole tem concavidade para cima e para baixo A 1 Assim r l 2 í2 Usando 2 2 4 4 368 Précálculo b2 4 Assim l 2 4 153 Adicionar x 4 y2 9 5x2 10 4 v2 y2 152 y l 2V3 y 2 Resolva a segunda equação para x e substitua na primeira equação 23 v 2 ifzVa i y z i i 4 J 9 II 43 83 2V3 3 Vã 94 94 por 62 62 Soluções 2 0 4 33 x 2V2 2 y2 9 8 y2 9 y 1 94 94 por 62 62 Há 4 soluções 2V2 1 154 Verdadeiro A distância é c a aca 1 ae 1 155 Verdadeiro Para uma elipse b2 c2 a2 y y2 156 l assim c V4 l e os focos 4 l estão V5 unidades distante horizontalmente de O 0 A resposta é B 157 Os eixos focais passam horizontalmente pelo centro 5 6 A resposta é E 158 Completando o quadrado duas vezes e dividin do para obter l no lado direito a equação fica assim y 32 x 22 12 l A resposta é B 159 a 2 b Vs e as inclinações são ba A resposta é C índice remissivo A A base natural e definição 132 A regra da composição para função inversa 177 Algoritmo da divisão para polinómios 112 dividendo 112 divisor 112 quociente 112 resto 112 Algumas funções trigonométricas 233235 função cosseno 234235 função seno 233234 função tangente 235 Algumas medidas trigonométricas 230231 cosseno 231 seno 231 tangente 231 Alguns produtos notáveis 2425 Análise das funções polinomiais nos extremos do domínio 107108 Análise das raízes da função 115 Análise de formas decimais de números racionais 3 Análise de funções pela simetria 75 Análise do comportamento de uma função crescentedecrescente 69 Assíntotas 7678 horizontais 77 identificação em um gráfico 78 verticais 77 definição 78 B Base da função dada pelo número e 131 função exponencial f x ex 131132 Calculando as permutações dos arranjos 222 Cálculo aproximado da área com retângulos 192 Cálculo da derivada de uma função com apresentação de outra notação 189190 Cálculo da distância percorrida com uma velocidade constante 191 Cálculo da distância percorrida com uma velocidade média 191 Cálculo da função derivada em um ponto 189 Cálculo da inclinação de uma reta tangente 187 Cálculo das raízes reais de uma função polinomial 117 Cálculo de logaritmos 144 145 Cálculo de medidas trigonométricas para ângulo de 30 231232 triângulo equilátero de lado 2 232 Cálculo de medidas trigonométricas para ângulo de 45 231 triângulo retângulo isósceles 231 Cálculo de uma integral 194 195 Cálculo do preço de equilíbrio 206 Cálculo do seno do cosseno e da tangente para 315 233 Cálculo dos valores de uma função exponencial para alguns números racionais 128 370 Précálculo Características do discreto e do contínuo 219 Caso de aplicação 206 função oferta 206 função demanda 206 preço de equilíbrio 206 Caso de uma matriz que não tem inversa 211 Coeficiente binomial 224225 cálculo do 226 definição 225 coeficientes 103 Colocação de três objetos em ordem 219 Colocação dos fatores comuns em evidência 25 Combinações de gráficos de funções monomiais 104105 Combinações 222 de n objetos tomados r a r 222 distinção entre combinações de permutações 223 fórmula para contagem das 222223 Como encontrar uma função inversa algebricamente 175176 Comparação da acidez química 156 Comparação das intensidades de terremotos 155 Completar o quadrado resolução 41 Comportamento da função nas extremidades do eixo horizontal 79 análise de funções por meio do 79 Comportamento das funções polinomiais nos extremos do domínio 106108 teste do termo principal para 107 Composição de funções 164166 Comprimento de arco 230233 fórmula do medida em radianos 230 Conjunto domínio ou simplesmente domínio 61 definição de 61 Conjunto imagem ou simplesmente imagem 61 definição de 61 Conjunto dos números naturais 3 dos números inteiros 3 números racionais 3 números irracionais 3 Continuidade de uma função 6567 descontinuidade de pulo 66 descontinuidade infinita 67 descontinuidade removível 66 Conversão da notação científica 10 Conversão de grauradiano 230 Conversão de radicais para potências e viceversa 19 Coordenada do ponto 4 Crescimento e descrescimento exponencial 130 fator de crescimento 130 fator de decaimento 130 função de crescimento 130 função de decaimento exponencial 130 de um conjunto com n elementos 221 distintas 221 fatoriais 220 fórmula para contagem ou fórmula do arranjo 221 D Decomposição de funções 166 Definição e propriedades de equações 37 adição 37 multiplicação 37 reflexiva 37 simétrica 37 transitiva 37 índice remissivo 371 Definições algébricas de novas funções 163164 Derivada de uma função f x definição 189 Derivada em um ponto definição 188 derivada da funçãoem x a 188 Desenvolvimento do logaritmo por meio da mudança de base 148149 Desigualdade descrição 5 Determinação da ordem de uma matriz 207 Determinante de uma matriz quadrada 211 definição 212 Diferença de funções definição 163 Divisão longa e o algoritmo da divisão 111112 Domínio de uma expressão algébrica 31 expressão racional 31 expressão fracionária 31 Domínio 6364 valores no eixo horizontal x 64 E Eixo 246 focal 246 251 coordenado 251 não transverso 251 transverso 251 geometria de 250 raio 251 semieixo não tansverso 251 semieixo transverso 251 translações de 253 Elipse 244 definição de 244 formapadrão da equação de 246 geometria de 244 semieixo menor 246 semieixo maior 246 translações de 247 Elipses com centro em O 0 246 equaçãopadrão 246 eixo focal 246 focos 246 semieixo maior 246 semieixo menor 246 teorema de Pitágoras 246 Elipses com centro em h k 248 equação padrão 248 eixo focal 248 focos 248 semieixo maior 248 semieixo menor 248 teorema de pitágoras 248 vértices 248 Encontrando inversa de matrizes 213 Encontrando uma função inversa algebricamente 175176 Equação linear em x definição 38 Equação quadrática em x definição 41 Equações do segundo grau em duas variáveis 239 Equações equivalentes 38 operações para 38 Equações acordo sobre soluções aproximadas 43 pontos de interseção 44 resolução pelo encontro das interseções em gráficos 44 soluções aproximadas por meio de gráfico 4344 equivalentes 49 Esboço do gráfico das funções logarítmicas 151152 372 Précálculo Esboço do gráfico de um polinómio fatorado 110 Escalares 208 Excentricidade de um hipérbole definição 255 Excentricidade de uma hipérbole definição 249 Expansão de um binómio 226 Expansão do logaritmo de um produto 147 Expansão do logaritmo de um quociente 147 Expoente de potência 143 Expoente irracional 128 Expoentes racionais definição 19 Expressões racionais compostas 3435 simplificação de uma fração composta 34 simplificação de outra fração composta 3435 extremos de cada 6 fechado à esquerda e aberto à direita 6 notação de 6 notação de intervalo com 6 conversão entre intervalos e desigualdades 67 Extremos locais e raízes de funções polinomiais teorema 106 Extremos local e absoluto 7172 definição de 72 identificação de 72 Fatoração da diferrença de dois quadrados 25 Fatoração da soma e diferença de dois cubos 26 Fatoração de polinómios orientações 28 usando produtos notáveis 2526 Fatoração de trinômios em x e y 27 Fatoração de trinômios usando quadrados perfeitos 26 Fatoração de trinômios 2627 Fatoração de um trinômio com coeficiente principal diferente de l 27 Fatoração de um trinômio com coeficiente principal igual a l 2627 Fatoração por agrupamento 28 exemplo 28 Formapadrão de equação 242 comprimento do foco 242 largura do foco 242 Formapadrão de uma elipse e pontos importantes 249 formapadrão 103 Forma quadrática padrão 89 Fórmula do medida em graus 230 Fórmula para contagem da quantidade de subconjuntos de um conjunto 224 Fórmula quadrática ou Fórmula de Bhaskara 42 resolução algébrica de equações quadráticas 43 Fórmula recursiva 129 Fórmulas importantes da álgebra 28 potências 28 produtos notáveis e fatoração de polinómios 28 radicais e expoentes racionais 28 Frações complexa ou composta 34 Função bijetora 175 Função do primeiro grau 86 características 87 gráficos 87 reta inclinada 86 verificação da lei de uma 86 Função exponencial natural 132 Funçãolimitada inferiormente definição 70 índice remissivo 373 Funçãolimitada superiormente definição 70 Função injetora 175 Função inversa definição 175 Função polinomial de grau n 85 coeficiente principal 85 Função potência 95102 análise de 96 definição 97 gráficos 98 variação direta 95 variação inversa 95 4 Função quadrática completa 178 Função sobrejetora 175 Função definição de 61 Funções de crescimento logístico 133134 definição 134 funções de decaimento logístico 134 Funções do segundo grau 8891 características de uma 87 eixo de simetria 88 forma canónica 89 gráficos 88 verificação do vértice e do eixo de simetria de uma 90 Funções exponenciais e a base e teorema 132 Funções exponenciais bx 130 Funções exponenciais definição 127 Funções ímpares 74 Funções monomiais e seus gráficos 9798 definição 97 representação gráfica 99 Funções pares 73 Funções polinomiais de grau indefinido ou de grau baixo 86 Funções polinomiais 103125 funções cúbicas 103 funções quárticas 103 Funções trigonométricas de qualquer ângulo 232 Funções constantes 69 crescentes 69 decrescentes 69 definição de 69 limitadas 7071 Funções operações com 163164 geometria de uma 240243 definição 240 Gráfico de uma parábola no modo paramétrico 173 Gráficos de exponenciais 127131 função exponencial 127 função potência 127 Gráficos de funções logarítmicas 149152 gráficos de 103106 Graus e radianos 229 exemplo 229 H Hipérbole assíntotas 251 centralizada na origem 251 definição 250 formapadrão da equação de uma 251 formapadrão de uma e pontos importantes 254 Hipérboles com centro em O 0 252 assíntotas 252 equaçãopadrão 252 eixo focal 252 focos 252 374 Précálculo semieixo não transverso 252 semieixo transverso 252 teorema de Pitágoras 252 vértices 252 verificação dos vértices e dos focos de uma 253 Identidade aditiva 208 Identificação da lei de uma função exponencial a partir de alguns valores tabelados 128129 Identificação de funções exponenciais 127 Imagem 6465 valores no eixo vertical y 64 Importância da contagem 219 Inequação dupla 51 Inequação linear em x 49 definição 49 Inequação quadrática sem solução 55 Inequações equivalentes 49 Inequações 4957 duplas 51 Inequações lineares com uma variável 4951 Integral definida e indefinida 193195 Integral definida definição 194 Integral indefinida definição 195 Interpretação das desigualdades 5 Intervalo aberto 6 aberto à esquerda e fechado à direita 6 Intervalos de números reais 5 fechados 5 limitados de números reais 5 não limitados de números reais 6 Introdução à integral de uma função 191195 Inversa de matrizes n X n 212 teorema 212 Inversa de uma matriz 2 X 2 211 212 Inversa de uma matriz quadrada 210 definição 210 Inversas das funções exponenciais 143144 função logarítmica de base b 143 Lei da Tricotomia 4 Limitação da função para x em um intervalo 70 Limite em a definição 186 Limite no infinito definição 194 Limites superior e inferior das raízes de uma função polinomial 116119 limite superior para raízes reais 116 limite inferior para raízes reais 116 teste dos 117 Logaritmos com base 10 145 cálculo de 145 propriedades básicas para 145 Logaritmos com base e 146 cálculo de logaritmos 146 logaritmos naturais 146 propriedades básicas para 146 M Matriz identidade e matria inversa 210 identidade multiplicativa 210 Matriz nula 208 Matriz oposta 208 Matrizes 207 definição 207 elemento ou entrada 207 linha 207 coluna 207 ordem de uma matriz m X n 207 índice remissivo 375 quadrada 207 iguais 207 Método da adição ou do cancelamento 204206 exemplo 204 caso sem solução 205 caso com infinitas soluções 205206 Método da substituição 201204 Mínimo múltiplo comum 33 Modelagem do crescimento de bactérias 135136 Modelagem do decréscimo radioativo 136137 Modelo de crescimento exponencial de uma população 134 Modelos de crescimento e decaimento exponencial 135137 Mudança de base 148149 fórmula para logaritmos 148 Multiplicação de matrizes 208210 produto 209 Multiplicação de uma matriz por um escalar 208 Multiplicidade de uma raiz de uma função polinomial definição 109 N Notação científica 1011 identificação da base 9 Notação da integral definida 194 Notação de função de Euler 61 Notação de logaritmo 148 Números negativos 4 55 Números positivos 418 Números reais intervalos limitados 5 intervalos não limitados 6 representação 15 O círculo trigonométrico 233 eixo horizontal x 233 eixo vertical y 233 Operações com expressões racionais 3234 Operações com frações 32 multiplicação e divisão de 3233 soma 33 Ordem dos números reais 4 Ordens de grandeza ou magnitude e modelos logarítmicos 154156 Origem 4 P Parábola equação de uma 242 estrutura de uma 241 formapadrão 244 Parábolas com vértice O 0 comprimento do foco 242 concavidade 242 diretriz 242 equaçãopadrão 242 eixo 242 foco 242 largura do foco 242 Parábolas com vértice h k 243 concavidade 243 comprimento do foco 243 diretriz 243 eixo 243 equaçãopadrão 243 largura do foco 243 Perímetro de uma fatia de pizza 230 Permutações 220 arranjos 221 com elementos repetidos 221 com n elementos 221 376 Précálculo Polinómios adição e subtração de 23 expandir o produto de dois 23 fatoração usando produtos notáveis 2526 grau dos 23 multiplicação na forma vertical 24 termos semelhantes 23 Polinómios divisão pelo método de Briot Ruffini 114 Polinómios vocabulário dos 103 Potenciação com expoentes inteiros 910 Potenciação 9 propriedades 9 Princípio da multiplicação ou princípio fundamental da contagem 220 Problema de contagem 220 Produto de funções definição 163 Propriedade do fator zero 40 Propriedades básicas da álgebra 78 Propriedades básicas da álgebra 78 associativa 8 comutativa 8 distributiva 8 elemento neutro 8 elemento inverso 8 inversa aditiva 8 propriedades 8 Propriedades básicas de logaritmos 144 Propriedades das inequações 49 adição 49 multiplicação 49 transitiva 49 Propriedades de matrizes 213 associativa 213 comutativa 213 distributiva 213 elemento neutro 213 elemento oposto 213 Propriedades de potenciação 9 Propriedades dos logaritmos 146 regra da potência 146 regra do produto 146 regra do quociente 146 demonstração da regra do produto para logaritmos 147 Propriedades dos radicais 18 Quantidade de subconjuntos de um conjunto 223224 aplicação 223 Quociente de funções definição 163 Racionalização 1819 exemplo 19 Radicais 1718 raiz quadrada 17 Raiz nésima de um número real definição 17 Raízes das funções polinomiais exemplo 108109 Raízes de multiplicidade ímpar e par 109 Redução ao menor denominador 3334 Regras de derivação 190191 função constante 190 função diferença 190 função exponencial 191 função logarítmica 191 função potência 190 função produto 190 função produto com um dos fatores constante 190 função quociente 191 função soma 190 índice remissivo 377 Regras de integração 195196 Relações definidas parametricamente 171173 definição de uma função parametricamente 171 172 Relações e funções definidas implicitamente 166168 Relações inversas e funções inversas 173179 definição de relação inversa 173 Resolução somente gráfica de uma inequação quadrática 55 Resolução algébrica de um sistema nãolinear 203 204 Resolução de equações x exponenciais 152153 Resolução de equações logarítmicas 145 153154 Resolução de equações por meio de gráficos 3944 Resolução de equações quadráticas 40 Resolução de um sistema nãolinear pelo método de substituição 202203 Resolução de uma equação linear 38 Resolução de uma inequação cúbica 56 Resolução de uma inequação linear e representação gráfica de conjunto solução 50 Resolução de uma inequação linear 50 Retas tangentes a um gráfico 186187 Seções cónicas 239 degeneradas 239 elipse 240 hipérbole 240 parábola 240 Símbolos de desigualdade 4 Simetria 7276 análise de funções pela 7576 com relação à origem 74 com relação ao eixo vertical y 73 com relação ao eixo horizontal x 73 Simplificação de expressões com radicais 18 remoção de fatores dos radicandos 18 Simplificação de expressões com potências 20 Simplificação de expressões com radicais 20 Simplificação de expressões racionais 3132 expressões racionais equivalentes 32 forma reduzida 31 Sistemas de equações solução de um sistema 195196 Solução de inequações com valor absoluto 5153 Solução de inequações quadráticas 5355 Solução de uma equação em x 37 Solução de uma inequação em x 49 conjunto solução 49 Soma de funções definição 163 Soma de Riemann 194 Soma e subtração de matrizes 207 208 definição 207208 Taxa média de variação definição 188 Taxa média de variação de uma função y x l 87 Taxa percentual constante e funções exponenciais 134135 taxa percentual constante r 134 Teorema binomial 226 Teorema DAlembert 113 resultados para funções polinomiais 113 Teorema das raízes racionais 114116 Teorema do resto 112113 uso do 113 378 Précálculo Teorema do valor intermediário 110 uso do 111 termo principal 104 Teste da linha horizontal 174 aplicação do 174 Teste da linha vertical 63 Transformação de funções exponenciais 131 133 Transformação entre a forma logarítmica e a forma exponencial 143 Transformações dos gráficos de funções logarítmicas 150151 Transformações no gráfico das funções monomiais 103104 Translações de parábolas 243 Triângulo de Pascal 225226 U União de dois conjuntos A e B 53 Uso da divisão longa com polinómios 112 Uso da notação científica 1011 Uso das funções definidas implicitamente 168 Uso dos produtos notáveis 24 V Variável dependente 61 Variável independente 61 Velocidade instantânea cálculo 185 Velocidade média cálculo 185 da equação de uma parábola 243 244 da imagem de uma função 6465 das raízes nésimas principais 17 de funções inversas 178 179 de matrizes inversas 211 de pares ordenados de uma relação 166167 de pontos de descontinudade 67 de uma função inversa graficamente 176 do domínio de expressões algébricas 31 do domínio de funções compostas 165166 do domínio de uma função 6364 do foco diretriz e largura do foco 243 do limite de função 7071 dos limites das raízes reais de uma função 117 dos vértices e dos focos de uma elipse 247 se as funções são polinomiais 85 Verficação da equação de uma elipse 248 das taxas de crescimento e decaimento 134135 se é ou não uma função 62 Sobre os autores Franklin D Demana Franklin D Demana tem mestrado em matemática e PhD pela Michigan State University Atualmente ele é professor emérito de matemática na The Ohio State University Como um ativo defensor da utilização da tecnologia para ensinar e aprender matemática ele é cofundador do progra ma de desenvolvimento profissional Teachers Teaching with Technology T3 Ele foi o responsável e coresponsável por mais de US 10 milhões de financiamento das National Science Foundation NSF e por atividades de doação da fundação Ele é atualmente um dos principais pesquisadores aluando com uma doação de US 3 milhões do US Department of Education Mathematics and Science Educational Research a unrprograma da The Ohio State University Além de apresentações frequen tes em encontros profissionais ele publicou uma série de artigos nas áreas de ensino de matemática com o apoio de calculadora e computador O Dr Demana também é cofundador com Bert Waits da International Conference on Technology in Collegiate Mathematics ICTCM Ele foi um dos agracia dos em 1997 com o prémio Glenn Gilbert National Leadership Award da National Council of Su pervisors of Mathematics e foi um dos ganhadores em 1998 do prémio ChristoffersonFawcett Mathematics Education Award da Ohio Council of Teachers of Mathematics O Dr Demana é coautor de Calculas graphical numerical algebraic Essential álgebra a calculator approach Transition to college mathematics College álgebra and trigonometry a graphing approach College álgebra a graphing approach Precalculus functions and graphs e Intermediate álgebra a graphing approach Bert K Waits Bert Waits tem PhD pela The Ohio State University e é atualmente professor emérito de matemática naquela instituição O Dr Waits é cofundador do programa nacional de desenvolvi mento profissional Teachers Teaching with Technology T3 e tem atuado como coresponsável ou principal pesquisador de vários grandes projetos da National Science Foundation O Dr Waits publi cou artigos em mais de 50 periódicos profissionais reconhecidos nacionalmente nos Estados Unidos Ele é frequentemente convidado para conduzir palestras workshops e minicursos em encontros nacionais da MAA e do National Council of Teachers of Mathematics NCTM sobre como utilizar a tecnologia da computação para melhorar o ensino e o aprendizado da matemática Ele foi convidado para conduzir apresentações no International Congress on Mathematical Education ICME6 7 e 8 em Budapeste 1988 Quebec 1992 e Sevilha 1996 O Dr Waits foi um dos agraciados em 1997 com o prémio Glenn Gilbert National Leadership Award concedi do pelo National Council of Supervisors of Mathematics e é cofundador com Frank Demana da ICTCM Ele também foi um dos ganhadores do prémio ChristoffersonFawcett Mathematics Education Award apresentado em 1998 pelo Ohio Council of Teachers of Mathematics O Dr Waits é coautor de Calculus graphical numerical algebraic College álgebra and trigonometry a graphing approach College álgebra a graphing approach Precalculus functions and graphs e Intermediate álgebra a graphing approach 380 Précálculo Gregory D Foley Greg Foley se formou e tem mestrado em matemática e é PhD ensino de matemática pela The University of Texas em Austin Ele é diretor da Liberal Arts and Science Academy of Austin o pro grama académico avançado de ensino médio da Austin Independent School District no Texas O Dr Foley lecionou aritmética básica em cursos de matemática no nível de graduação além de dar aulas de ensino de matemática no nível de graduação e pósgraduação De 1977 a 2004 ele manteve car gos em período integral no corpo docente da North Harris County College Austin Community College The Ohio State University Sam Houston State University e Appalachian State University onde foi professor eminente de ensino de matemática no Departamento de Ciências Matemática e dirigiu o programa Mathematics Education Leadership Training MELT O Dr Foley apresentou mais de 200 palestras workshops e institutos nos Estados Unidos e internacionalmente dirigiu uma série de projetos financiados e publicou artigos em vários periódicos profissionais Ativo em várias sociedades académicas ele é membro do Committee on the Mathematical Education of Teachers da Mathematical Association of America MAA Em 1998 o Dr Foley recebeu o prémio bienal Award for Mathematics Excellence da American Mathematical Association of TwoYear Colleges AMATYC e em 2005 recebeu o prémio anual Leadership Award da Teachers Teaching with Technology T3 Daniel Kennedy Dan Kennedy se formou na College of the Holy Cross e tem mestrado e é PhD em matemá tica pela University of North Carolina em Chapei Hill Desde 1973 ele leciona matemática na Baylor School em Chattanooga Tennessee onde detém a cátedra de professor eminente Cartter Lupton O Dr Kennedy se tornou um leiturista do Advanced Placement Calculus em 1978 o que o levou a um maior envolvimento no programa como consultor de workshops líder de apresenta ções e líder exames Ele se uniu ao Advanced Placement Calculus Test Development Committee em 1986 e em 1990 se tornou o primeiro professor de ensino médio em 35 anos a presidir o comité Foi durante seu exercício do cargo de presidente que o programa passou a requerer calculadoras grá ficas e estabeleceu as primeiras bases para a reforma de 1998 do currículo do Advanced Placement Calculus Autor do Teachers guideAP calculus de 1997 o Dr Kennedy conduziu mais de 50 workshops e institutos para professores de cálculo de ensino médio Seus artigos sobre ensino da matemática foram publicados na Mathematics Teacher e American Mathematical Monthly e ele é um requisitado palestrante sobre reforma educacional em encontros profissionais e comunitários O Dr Kennedy foi nomeado um Tandy Technology Scholar em 1992 e recebeu o prémio Presidential Award em 1995 O Dr Kennedy é coautor de Calculus graphical numerical algebraic Prentice Hall álge bra I Prentice Hall geometry e Prentice Hall álgebra 2