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Engenharia Ambiental ·
Geometria Analítica
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25092023 2021 aboutblank aboutblank 11 Avaliação Final Discursiva Individual Cod887408 Código da prova 70818020 Disciplina Geometria Analítica e Álgebra Vetorial EMC02 Período para responder 21092023 06102023 Peso 400 1 Duas circunferências podem assumir as seguintes posições relativas secantes tangentes externas ou internas Qual a posição relativa entre as circunferências representadas pelas equações a seguir x² y² 4x 6y 3 0 x² y² 8x 4y 5 0 É necessário apresentar todos os cálculos para justificar a resposta 2 Os sistemas lineares têm larga aplicação em problemas práticos especialmente na área de Engenharia Por exemplo a obtenção da frequência natural do eixo traseiro de um automóvel por envolver grande número de variáveis a serem testadas e analisadas acarreta um alto custo financeiro portanto fazse necessária a utilização de métodos numéricos simples e precisos como o Método das Matrizes de Transferência na qual se utilizam sistemas lineares Para resolver um sistema linear podemos utilizar a Regra de Cramer Resolva o sistema linear a seguir utilizando a Regra de Cramer apresentar os cálculos para justificar a resposta 25092023 2022 aboutblank aboutblank 13 Avaliação II Individual Cod887407 Código da prova 70818019 Disciplina Geometria Analítica e Álgebra Vetorial EMC02 Período para responder 21092023 06102023 Peso 150 1 Uma transformação linear é um tipo de função que opera vetores de diferentes espaços vetoriais Em especial para poder afirmar que uma transformação é linear temos que verificar se ela preserva as operações de soma e multiplicação por um escalar Considerando a imagem do vetor 1 2 4 quando aplicado na transformação a seguir classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas A F V F F B F F V F C F F F V D V F F F 2 A noção comum de vetores como objetos com tamanho direção e sentido com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial Deste ponto de partida então para definirmos um espaço vetorial precisamos de um conjunto uma operação de adição de elementos deste conjunto e uma operação de multiplicação de escalares por exemplo números reais por elementos deste conjunto A respeito das propriedades dos espaços vetoriais classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas Os espaços vetoriais preservam as operações de soma e multiplicação por escalar Os espaços vetoriais podem ser imaginados como domínio de contradomínio de operações lineares A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA A F V V F B V V F V C V V F F D V F V V 25092023 2022 aboutblank aboutblank 23 3 A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do vetor analisado Fisicamente o módulo do vetor informa qual a intensidade da grandeza física envolvida em um dado problema Sendo assim assinale a alternativa CORRETA que apresenta a norma ou módulo do vetor z 34 A Raiz de 5 B 3 C 5 D Raiz de 10 4 Os problemas ligados ao conceito de autovalores vistos em Álgebra Linear permeiam muito mais do que estamos acostumados a verificar Não são apenas as raízes do polinômio característico de uma transformação linear mas sim o problema clássico de autovalores que é absolutamente essencial para a compreensão e a análise de estruturas simples tais como treliças vigas pórticos placas etc como também de sistemas estruturais mais complexos dentre os quais podem ser citados os seguintes pontes rodoviárias e ferroviárias torres de aço de telecomunicações e de transmissão de energia estádios de futebol passarelas de pedestres edificações residenciais edifícios altos plataformas offshore etc Sobre a soma dos autovalores da transformação apresentada a seguir classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas e em seguida assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA A V F F F B F F V F C V V F V D F V F F 5 Seja F uma função que transforma vetores do R² em vetores do R³ dada pela fórmula Fxy x y x y² x² O vetor v 1 1 de R² terá que coordenadas em R³ A As coordenadas são 2 4 0 B As coordenadas são 0 4 1 C As coordenadas são 2 4 1 D As coordenadas são 2 4 1 6 Com relação às transformações lineares é importante determinar corretamente conceitos de núcleo imagem juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema encontrado Baseado nisto considere T um operador linear de R³ em R³ Txyz z x y z Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta uma base para a imagem deste operador A 010101 B 100 110101 C 010101 D 010 010101 7 O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento no eletromagnetismo mecânica de corpos rígidos e dos fluidos Na matemática o produto vetorial aplicase a vetores em R³ resolvendo problemas na geometria no qual o produto entre dois vetores tem como solução um novo vetor simultaneamente ortogonal aos outros dois Baseado nisto quanto ao produto vetorial u x v 25092023 2022 aboutblank aboutblank 33 entre os vetores u 112 e v 312 analise as opções a seguir I u x v 184 II u x v 084 III u x v 084 IV u x v 084 Assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção III está correta B Somente a opção I está correta C Somente a opção IV está correta D Somente a opção II está correta 8 A matriz a seguir permite que sejam calculados autovalores a partir de uma Transformação Linear Assinale a alternativa CORRETA que apresenta os autovalores desta matriz 2x2 A Não há autovalores reais associados a essa Transformação Linear B Os autovalores associados são 1 e 1 C Os autovalores associados são 5 e 3 D Os autovalores associados são 0 e 2 9 Em matemática o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor ao invés de um escalar Seu principal uso baseiase no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais Quanto ao resultado do produto escalar entre u 104 e v 110 classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas u x v 1 u x v 1 u x v 4 u x v 4 Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA A F F V F B V F F F C F F F V D F V F F 10 Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de área Por exemplo temos a área do paralelogramo formada pela unificação de dois vetores que é o módulo ou norma do produto vetorial entre os dois Já para o caso da área do triângulo bastaria dividir este resultado por dois pois a área do triângulo é a metade da área do paralelogramo Baseado nisso determine a área do triângulo formado pelos vetores u 221 e v 112 analise as opções a seguir e assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção II está correta B Somente a opção IV está correta C Somente a opção III está correta D Somente a opção I está correta Www Geogebra Calculator Suite Graphing eq1 x² y² 4x 6y 3 0 eq2 x² y² 8x 4y 5 0 Algebra Tools Table Input eq1 eq2 1 T124 1 22 21 4 32 A Lista I 2 V preservam sim como o próprio texto explica V os espaços vetoriais nada mais são que operações lineares F a base precisa ser LI porque se fosse LD teriam infinitas soluções para um mesmo sistema de operações V B 3 z 3² 4² 9 16 5 C 4 Para achar os autovalores 4 λ 2 2 1 λ 0 sendo λ os autovalores 4 λ 2 2 1 λ 4 λ1 λ 4 0 4 4λ λ λ² 4 0 λ² 5λ 0 λ₁0 λ₂5 soma λ₁ λ₂ 5 B 5 F11 1 1 1 1² 1² 041 B 6 Primeiro pegamos a base canônica para o R³ 100 010 001 Depois aplicamos T nestes pontos T100 010 T010 010 T001 101 D 7 u v 112 312 i j k 1 1 2 3 1 2 2c 6j k 3k 2c 2j 8j 4k u v 0 8 4 A 8 1 λ 1 1 λ1 λ 1 0 1 λ λ λ² 1 0 1 1 λ λ² 2λ 0 λ₁ 0 λ₂ 2 2 x 2y z 3 Fazendo pela regra de Cramer 2x 4 3z 9 Δ i 2 1 1 position 2 3 1 1 5 Δ 5 6 2 1 3 20 35 Δx 3 2 1 9 1 3 8 1 5 15 48 9 8 9 90 35 Δy 1 3 1 2 9 3 1 8 5 45 9 16 9 24 30 35 Δz 1 2 3 2 1 9 1 1 8 8 18 6 3 9 32 70 x Δx Δ 35 35 1 y Δy Δ 35 35 1 z Δz Δ 70 35 2 i x² y² 4x 6y 3 0 x 2² 4 y 3² 9 3 0 x 2² y 3² 16 Circunferência centrada em 23 com raio 16 4 ii x² y² 8x 4y 5 0 x 4² 16 y 2² 4 5 0 x 4² y 2² 25 Circunferência centrada em 4 2 com raio 25 5 Desenhando i Pelo desenho elas são secantes Também dá pra fazer pela distância dos centros d 2 4² 3 2² 36 1 37 distância entre os centros R₁ R₂ 4 5 9 Como R₁ R₂ d secantes
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25092023 2021 aboutblank aboutblank 11 Avaliação Final Discursiva Individual Cod887408 Código da prova 70818020 Disciplina Geometria Analítica e Álgebra Vetorial EMC02 Período para responder 21092023 06102023 Peso 400 1 Duas circunferências podem assumir as seguintes posições relativas secantes tangentes externas ou internas Qual a posição relativa entre as circunferências representadas pelas equações a seguir x² y² 4x 6y 3 0 x² y² 8x 4y 5 0 É necessário apresentar todos os cálculos para justificar a resposta 2 Os sistemas lineares têm larga aplicação em problemas práticos especialmente na área de Engenharia Por exemplo a obtenção da frequência natural do eixo traseiro de um automóvel por envolver grande número de variáveis a serem testadas e analisadas acarreta um alto custo financeiro portanto fazse necessária a utilização de métodos numéricos simples e precisos como o Método das Matrizes de Transferência na qual se utilizam sistemas lineares Para resolver um sistema linear podemos utilizar a Regra de Cramer Resolva o sistema linear a seguir utilizando a Regra de Cramer apresentar os cálculos para justificar a resposta 25092023 2022 aboutblank aboutblank 13 Avaliação II Individual Cod887407 Código da prova 70818019 Disciplina Geometria Analítica e Álgebra Vetorial EMC02 Período para responder 21092023 06102023 Peso 150 1 Uma transformação linear é um tipo de função que opera vetores de diferentes espaços vetoriais Em especial para poder afirmar que uma transformação é linear temos que verificar se ela preserva as operações de soma e multiplicação por um escalar Considerando a imagem do vetor 1 2 4 quando aplicado na transformação a seguir classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas A F V F F B F F V F C F F F V D V F F F 2 A noção comum de vetores como objetos com tamanho direção e sentido com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial Deste ponto de partida então para definirmos um espaço vetorial precisamos de um conjunto uma operação de adição de elementos deste conjunto e uma operação de multiplicação de escalares por exemplo números reais por elementos deste conjunto A respeito das propriedades dos espaços vetoriais classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas Os espaços vetoriais preservam as operações de soma e multiplicação por escalar Os espaços vetoriais podem ser imaginados como domínio de contradomínio de operações lineares A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA A F V V F B V V F V C V V F F D V F V V 25092023 2022 aboutblank aboutblank 23 3 A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do vetor analisado Fisicamente o módulo do vetor informa qual a intensidade da grandeza física envolvida em um dado problema Sendo assim assinale a alternativa CORRETA que apresenta a norma ou módulo do vetor z 34 A Raiz de 5 B 3 C 5 D Raiz de 10 4 Os problemas ligados ao conceito de autovalores vistos em Álgebra Linear permeiam muito mais do que estamos acostumados a verificar Não são apenas as raízes do polinômio característico de uma transformação linear mas sim o problema clássico de autovalores que é absolutamente essencial para a compreensão e a análise de estruturas simples tais como treliças vigas pórticos placas etc como também de sistemas estruturais mais complexos dentre os quais podem ser citados os seguintes pontes rodoviárias e ferroviárias torres de aço de telecomunicações e de transmissão de energia estádios de futebol passarelas de pedestres edificações residenciais edifícios altos plataformas offshore etc Sobre a soma dos autovalores da transformação apresentada a seguir classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas e em seguida assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA A V F F F B F F V F C V V F V D F V F F 5 Seja F uma função que transforma vetores do R² em vetores do R³ dada pela fórmula Fxy x y x y² x² O vetor v 1 1 de R² terá que coordenadas em R³ A As coordenadas são 2 4 0 B As coordenadas são 0 4 1 C As coordenadas são 2 4 1 D As coordenadas são 2 4 1 6 Com relação às transformações lineares é importante determinar corretamente conceitos de núcleo imagem juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema encontrado Baseado nisto considere T um operador linear de R³ em R³ Txyz z x y z Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta uma base para a imagem deste operador A 010101 B 100 110101 C 010101 D 010 010101 7 O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento no eletromagnetismo mecânica de corpos rígidos e dos fluidos Na matemática o produto vetorial aplicase a vetores em R³ resolvendo problemas na geometria no qual o produto entre dois vetores tem como solução um novo vetor simultaneamente ortogonal aos outros dois Baseado nisto quanto ao produto vetorial u x v 25092023 2022 aboutblank aboutblank 33 entre os vetores u 112 e v 312 analise as opções a seguir I u x v 184 II u x v 084 III u x v 084 IV u x v 084 Assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção III está correta B Somente a opção I está correta C Somente a opção IV está correta D Somente a opção II está correta 8 A matriz a seguir permite que sejam calculados autovalores a partir de uma Transformação Linear Assinale a alternativa CORRETA que apresenta os autovalores desta matriz 2x2 A Não há autovalores reais associados a essa Transformação Linear B Os autovalores associados são 1 e 1 C Os autovalores associados são 5 e 3 D Os autovalores associados são 0 e 2 9 Em matemática o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor ao invés de um escalar Seu principal uso baseiase no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais Quanto ao resultado do produto escalar entre u 104 e v 110 classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas u x v 1 u x v 1 u x v 4 u x v 4 Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA A F F V F B V F F F C F F F V D F V F F 10 Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de área Por exemplo temos a área do paralelogramo formada pela unificação de dois vetores que é o módulo ou norma do produto vetorial entre os dois Já para o caso da área do triângulo bastaria dividir este resultado por dois pois a área do triângulo é a metade da área do paralelogramo Baseado nisso determine a área do triângulo formado pelos vetores u 221 e v 112 analise as opções a seguir e assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção II está correta B Somente a opção IV está correta C Somente a opção III está correta D Somente a opção I está correta Www Geogebra Calculator Suite Graphing eq1 x² y² 4x 6y 3 0 eq2 x² y² 8x 4y 5 0 Algebra Tools Table Input eq1 eq2 1 T124 1 22 21 4 32 A Lista I 2 V preservam sim como o próprio texto explica V os espaços vetoriais nada mais são que operações lineares F a base precisa ser LI porque se fosse LD teriam infinitas soluções para um mesmo sistema de operações V B 3 z 3² 4² 9 16 5 C 4 Para achar os autovalores 4 λ 2 2 1 λ 0 sendo λ os autovalores 4 λ 2 2 1 λ 4 λ1 λ 4 0 4 4λ λ λ² 4 0 λ² 5λ 0 λ₁0 λ₂5 soma λ₁ λ₂ 5 B 5 F11 1 1 1 1² 1² 041 B 6 Primeiro pegamos a base canônica para o R³ 100 010 001 Depois aplicamos T nestes pontos T100 010 T010 010 T001 101 D 7 u v 112 312 i j k 1 1 2 3 1 2 2c 6j k 3k 2c 2j 8j 4k u v 0 8 4 A 8 1 λ 1 1 λ1 λ 1 0 1 λ λ λ² 1 0 1 1 λ λ² 2λ 0 λ₁ 0 λ₂ 2 2 x 2y z 3 Fazendo pela regra de Cramer 2x 4 3z 9 Δ i 2 1 1 position 2 3 1 1 5 Δ 5 6 2 1 3 20 35 Δx 3 2 1 9 1 3 8 1 5 15 48 9 8 9 90 35 Δy 1 3 1 2 9 3 1 8 5 45 9 16 9 24 30 35 Δz 1 2 3 2 1 9 1 1 8 8 18 6 3 9 32 70 x Δx Δ 35 35 1 y Δy Δ 35 35 1 z Δz Δ 70 35 2 i x² y² 4x 6y 3 0 x 2² 4 y 3² 9 3 0 x 2² y 3² 16 Circunferência centrada em 23 com raio 16 4 ii x² y² 8x 4y 5 0 x 4² 16 y 2² 4 5 0 x 4² y 2² 25 Circunferência centrada em 4 2 com raio 25 5 Desenhando i Pelo desenho elas são secantes Também dá pra fazer pela distância dos centros d 2 4² 3 2² 36 1 37 distância entre os centros R₁ R₂ 4 5 9 Como R₁ R₂ d secantes