Cálculo Diferencial e Integral III

Indaial 2019 CálCulo DiferenCial e integral iii Profa Jaqueline Luiza Horbach Prof Leonardo Garcia Santos 1a Edição Copyright UNIASSELVI 2019 Elaboração Profa Jaqueline Luiza Horbach Prof Leonardo Garcia Santos Revisão Diagramação e Produção Centro Universitário Leonardo da Vinci UNIASSELVI Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri UNIASSELVI Indaial Impresso por H811c Horbach Jaqueline Luiza Cálculo diferencial e integral III Jaqueline Luiza Horbach Leonardo Garcia Santos Indaial UNIASSELVI 2019 211 p il ISBN 9788551503478 1 Cálculo diferencial Brasil 2 Cálculo integral Brasil I Santos Leonardo Garcia II Centro Universitário Leonardo Da Vinci CDD 5153 III apresentação Prezado acadêmico Seja bemvindo à disciplina de Cálculo Diferencial e Integral III Neste livro continuaremos o estudo iniciado nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral I e II No momento adentraremos em um estudo com qual não estávamos acostumados Deixaremos muitas vezes de trabalhar com o plano e estaremos voltados às discussões de funções no espaço assim como explorado na última unidade do Cálculo Diferencial e Integral II Outro ponto bastante peculiar desta disciplina serão as aplicações existentes no campo da física como base fundamental Em diversos momentos verificaremos que antes do conceito físico a ser explorado haverá uma contextualização e justificativa física para o conceito algo que até então não era praticado nas disciplinas teóricas da matemática Por exemplo ao verificar o fluxo de um fluído escoando em um espaço limitado poderemos conhecer dado um ponto a quantidade deste fluído que escoa por unidade de tempo Para tal iniciaremos compreendendo as influências da densidade e da velocidade do fluído para apenas na sequência enunciarmos o conceito de divergente de um campo vetorial Conceito este riquíssimo em aplicações práticas e que possui uma matemática extremamente rigorosa por detrás Este material fala mais especificadamente do Cálculo Vetorial e está dividido em três unidades Na primeira unidade definiremos integral para funções de mais de uma variável Em especial as integrais duplas e triplas e suas respectivas mudanças de coordenada Na Unidade 2 teremos uma introdução importantíssima para o estudo posterior do cálculo vetorial Neste ponto abordaremos os conceitos básicos de curvas no plano e espaço e enunciaremos os principais campos vetoriais e escalares que serão necessários para os importantes teoremas que trataremos na Unidade 3 Unidade esta que trabalhará com aplicações do Cálculo na Área da Física e em especial nos casos em que as grandezas a serem estudadas sejam representadas por vetores Sabemos acadêmico que para ter sucesso nesta disciplina é preciso disciplina organização e um horário de estudos prédefinido Em sua caminhada acadêmica você é quem faz a diferença Como todo texto matemático por vezes denso você necessitará de papel lápis borracha calculadora muita concentração e dedicação Aproveitando esta motivação iniciemos a leitura desde livro A melhoria constante deve ser o objetivo de todo acadêmico IV Você já me conhece das outras disciplinas Não É calouro Enfim tanto para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano há novidades em nosso material Na Educação a Distância o livro impresso entregue a todos os acadêmicos desde 2005 é o material base da disciplina A partir de 2017 nossos livros estão de visual novo com um formato mais prático que cabe na bolsa e facilita a leitura O conteúdo continua na íntegra mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação no texto aproveitando ao máximo o espaço da página o que também contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel por exemplo Assim a UNIASSELVI preocupandose com o impacto de nossas ações sobre o ambiente apresenta também este livro no formato digital Assim você acadêmico tem a possibilidade de estudálo com versatilidade nas telas do celular tablet ou computador Eu mesmo UNI ganhei um novo layout você me verá frequentemente e surgirei para apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto em questão Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos para que você nossa maior prioridade possa continuar seus estudos com um material de qualidade Aproveito o momento para convidálo para um batepapo sobre o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes ENADE Bons estudos NOTA Esperamos que ao final deste estudo você consiga notar a evolução do seu entendimento matemático e consiga aplicar estes conhecimentos na sua área de atuação Desta forma a disciplina pretende oportunizar a compreensão da construção dos conhecimentos aqui trabalhados e servir de subsídio para os conhecimentos subsequentes Bons estudos Profa Dra Jaqueline Luiza Horbach Prof Me Leonardo Garcia Santos V Olá acadêmico Para melhorar a qualidade dos materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais os seus estudos a Uniasselvi disponibiliza materiais que possuem o código QR Code que é um código que permite que você acesse um conteúdo interativo relacionado ao tema que você está estudando Para utilizar essa ferramenta acesse as lojas de aplicativos e baixe um leitor de QR Code Depois é só aproveitar mais essa facilidade para aprimorar seus estudos UNI Olá acadêmico Você já ouviu falar sobre o ENADE Se ainda não ouviu falar nada sobre o ENADE agora você receberá algumas informações sobre o tema Ouviu falar Ótimo este informativo reforçará o que você já sabe e poderá te trazer novidades Vamos lá Qual é o significado da expressão ENADE EXAME NACIONAL DE DESEMPENHO DOS ESTUDANTES Em algum momento de sua vida acadêmica você precisará fazer a prova ENADE Que prova é essa é obrigatória organizada pelo INEP Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira Quem determina que esta prova é obrigatória O MEC Ministério da Educação O objetivo do MEC com esta prova é o de avaliar seu desempenho acadêmico assim como a qualidade do seu curso Fique atento Quem não participa da prova fica impedido de se formar e não pode retirar o diploma de conclusão do curso até regularizar sua situação junto ao MEC Não se preocupe porque a partir de hoje nós estaremos auxiliando você nesta caminhada Você receberá outros informativos como este complementando as orientações e esclarecendo suas dúvidas Você tem uma trilha de aprendizagem do ENADE receberá emails SMS seu tutor e os profissionais do polo também estarão orientados Participar de webconferências entre outras tantas atividades para que esteja preparado para mandar bem na prova ENADE Nós aqui no NEAD e também a equipe no polo estamos com você para vencermos este desafio Conte sempre com a gente para juntos mandarmos bem no ENADE VII UNIDADE 1 INTEGRAIS MULTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 1 TÓPICO 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 3 1 INTRODUÇÃO 3 2 INTEGRAIS DUPLAS 4 21 INTEGRAIS DUPLAS SOBRE RETÂNGULOS 5 22 INTEGRAL DUPLA DE REGIÕES NÃO RETANGULARES 11 3 INTEGRAL TRIPLA 20 31 INTEGRAL TRIPLA EM UMA REGIÃO COM FORMATO DE UM PARALELEPÍPEDO 21 RESUMO DO TÓPICO 1 23 AUTOATIVIDADE 25 TÓPICO 2 MUDANÇA DE VARIÁVEIS NAS INTEGRAIS MÚLTIPLAS 29 1 INTRODUÇÃO 29 2 MUDANÇA DE VARIÁVEL NA INTEGRAL DUPLA 30 21 COORDENADAS POLARES 31 3 MUDANÇA DE VARIÁVEIS NA INTEGRAL TRIPLA 36 31 INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS CILÍNDRICAS 37 32 INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS ESFÉRICAS 41 RESUMO DO TÓPICO 2 47 AUTOATIVIDADE 49 TÓPICO 3 APLICAÇÕES 51 1 INTRODUÇÃO 51 2 MASSA DE UM CORPO 51 3 CARGA ELÉTRICA 54 4 CENTRO DE MASSA 56 5 MOMENTO DE INÉRCIA 61 LEITURA COMPLEMENTAR 66 RESUMO DO TÓPICO 3 70 AUTOATIVIDADE 71 UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO VETORIAL 73 TÓPICO 1 FUNÇÕES VETORIAIS E CURVAS 75 1 INTRODUÇÃO 75 2 FUNÇÕES VETORIAIS 75 3 CURVAS 79 31 CURVAS PARAMÉTRICAS EM 2 E EM 3 84 4 DERIVADA E INTEGRAL DE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL 89 41 RETA TANGENTE 93 42 COMPRIMENTO DE ARCO 95 RESUMO DO TÓPICO 1 99 AUTOATIVIDADE 101 sumário VIII TÓPICO 2 CAMPOS VETORIAIS 107 1 INTRODUÇÃO 107 2 CAMPO VETORIAL 107 3 GRADIENTE 111 4 ROTACIONAL 114 5 DIVERGENTE 118 RESUMO DO TÓPICO 2121 AUTOATIVIDADE 123 TÓPICO 3 INTEGRAIS DE LINHA127 1 INTRODUÇÃO 127 2 INTEGRAL DE LINHA DE CAMPOS ESCALARES 127 3 INTEGRAL DE LINHA DE CAMPOS VETORIAIS 132 LEITURA COMPLEMENTAR 139 RESUMO DO TÓPICO 3147 AUTOATIVIDADE 148 UNIDADE 3 TEOREMAS DO CÁLCULO VETORIAL 151 TÓPICO 1 TEOREMA DE GREEN 153 1 INTRODUÇÃO 153 2 TEOREMA DE GREEN 154 3 TEOREMA DA DIVERGÊNCIA 161 RESUMO DO TÓPICO 1165 AUTOATIVIDADE 166 TÓPICO 2 TEOREMA DE GAUSS 169 1 INTRODUÇÃO 169 2 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE DE UM CAMPO ESCALAR 172 3 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE DE UM CAMPO VETORIAL 173 4 TEOREMA DE GAUSS176 RESUMO DO TÓPICO 2183 AUTOATIVIDADE 184 TÓPICO 3 TEOREMA DE STOKES 187 1 INTRODUÇÃO 187 2 TEOREMA DE STOKES 188 LEITURA COMPLEMENTAR 198 RESUMO DO TÓPICO 3208 AUTOATIVIDADE 209 REFERÊNCIAS 211 1 UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM PLANO DE ESTUDOS A partir do estudo desta unidade você deverá ser capaz de definir integral de múltiplas variáveis e funções vetoriais apresentar técnicas de mudança de variáveis conhecer as principais propriedades de funções vetoriais parametrizar curvas definidas por funções vetoriais calcular o gradiente de capôs escalares calcular o divergente rotacional de campos vetoriais entender a motivação física de divergente e rotacional definir e calcular integral de linha de campos vetoriais conhecer os Teoremas de Green e Stokes e suas aplicações Esta unidade está dividida em três tópicos No decorrer da unidade você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado TÓPICO 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS TÓPICO 2 MUDANÇA DE VARIÁVEIS NAS INTEGRAIS MÚLTIPLAS TÓPICO 3 APLICAÇÕES 3 TÓPICO 1 UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 1 INTRODUÇÃO Ao longo da construção do conhecimento matemático já era conhecido que problemas que envolviam medidas ou ainda comprimentos áreas e volumes vieram se aperfeiçoando ao longo dos anos Vimos anteriormente que as integrais possibilitam um avanço substancial nestes casos em que por exemplo calculamos áreas abaixo de curvas e volumes de superfícies de revolução Já no Egito antigo já se fazia necessário o cálculo de área de campos e volume de grãos Porém a ideia de integrais duplas e triplas começou a ser desenvolvida quando Gilles Personne de Roberval 16021675 usando o princípio de Cavalieri tentou calcular a área sob um arco da cicloide Esse estudo de integrais duplas e triplas só foi aprofundado por Blaise Pascal 16231662 que calculou aproximações por somas triangulares no caso de integral dupla e piramidais no caso de integrais triplas Agora no Cálculo III após conhecer os conceitos de derivadas parciais de funções de mais de uma variável real em que podemos fixar uma das variáveis e realizar o processo de derivação em relação a uma delas apenas por vez estenderemos este conceito de modo análogo para integrais indefinidas em que a integração pode ser realizada em cada variável de modo específico Por exemplo 4 3 2 2 3 2 4 x x y dx y x dx y C Note que consideramos os valores de y como constantes e realizamos a integração em torno apenas da variável x Este será o ponto central destes nossos primeiros conceitos UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 4 em que fx é uma função contínua e não negativa no intervalo fechado a b é definida como sendo a área limitada abaixo da função fx acima do eixo X e lateralmente pelas retas x a e x b O que será realizado é a extensão deste conceito para uma função de duas variáveis 2 INTEGRAIS DUPLAS Sabemos que o cálculo das integrais de uma variável é simbolicamente dado por b a f x dx 2 f D contínuas na região D compacta como por exemplo em nossas primeiras análises no retângulo 2 e Dxy x y a x b c y d GRÁFICO 1 RETÂNGULO FONTE Os autores Nas duas próximas subseções estudaremos como calcular integral dupla e tripla de funções e algumas propriedades importantes sobre o assunto x y TÓPICO 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 5 21 INTEGRAIS DUPLAS SOBRE RETÂNGULOS Vamos iniciar o estudo de integrais duplas sobre retângulos considere então uma função de duas variáveis z fx y contínua e com domínio na região retangular compacta 2 e Dxy a b c d x y a x b c y d Suponha ainda que f é não negativa ou seja a superfície gerada por f está acima do plano XY Definiremos integral dupla em alguns passos para facilitar o entendimento porém na prática prezado acadêmico você deve imaginarse calculando o volume que está acima do plano XY e abaixo da superfície descrita por z fx y Inicialmente devemos particionar a região do domínio retangular D na direção do eixo X e do eixo Y conforme descrito a seguir 0 1 1 0 1 1 e m m n n a x x x x b c y y y y d respectivos aos intervalos a b e c d Em seguida o processo é formar retângulos xi xi1 x yj yj1 a partir das partições formando uma quantidade de m n retângulos de lados iguais a 1 1 e i i j j b a d c x x x y y y m n Retomando o conceito de limites sabemos que quando as quantidades m e n aumentam os lados dos retângulos tendem a zero Após este fato tomaremos um ponto interno de cada um destes retângulos e calcularemos o valor da função z fx y ou seja calcularemos zij f ui vj Como ui e vj representam conjuntamente um retângulo e o valor da função zij a altura da superfície em questão podemos imaginar o produto zij f ui vj como sendo o volume de uma pequena fatia abaixo da superfície conforme apresenta o gráfico a seguir UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 6 GRÁFICO 2 REPRESENTAÇÃO DA INTEPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DUPLA FONTE Os autores O próximo passo é recorrer ao mesmo processo que utilizamos na interpretação da integral simples o das somas de Riemann Aqui cada parcela f ui vj xy ao serem somadas geram 0 0 n m m n i j i j S f u v x y Esta soma de Riemann tratase de uma aproximação por falta ou por excesso do volume do sólido de base D retângulo e superfície descrita pela função fx y Ao realizarmos o limite desta soma teremos o volume real deste sólido e teremos definido este fato como sendo a integral dupla da função fx y sobre o retângulo de área D como mostrado a seguir Sendo que o produto dxdy dA é a área infinitesimal 0 0 0 lim n m i j m n i j D f u v x y f x y dxdy A integral dupla reza as mesmas propriedades da integral simples Dentre elas podemos destacar as propriedades de linearidade aditividade e valor médio NOTA TÓPICO 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 7 Obviamente para calcular uma integral dupla volume abaixo de uma superfície não teremos que recorrer sempre ao processo das somas de Riemann Desta forma para este fim verificaremos agora o dispositivo de cálculo necessário para esta resolução o Teorema de Fubini Teorema de Fubini Seja uma função f de duas variáveis contínua no domínio retangular então em que 2 e Dxy x y a x b c y d d b D c a f x y dxdy f x y dxdy d b d b b d c a c a a c f x y dxdy f x y dx dy f x y dy dx Note que a ordem em que a integral é calculada não modifica o resultado alcançado Por este modo o Teorema de Fubini é conhecido como o teorema das integrais iteradas Neste processo por exemplo resolvemos a integral b a f x y dx mantendo temporariamente a variável y constante e em seguida integramos o resultado alcançado com relação a variável y no intervalo c d Vamos analisar o cálculo de uma integral dupla resolvendo alguns exemplos Exemplo calcular a integral dupla sobre o retângulo 01 x 01 e abaixo da superfície 2 f x y xy UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 8 Resolução verificando o enunciado para este exemplo temos que a integral dupla a ser resolvida será 1 1 0 0 ² xy dxdy Como a primeira integral a ser resolvida é com relação à variável x iremos momentaneamente admitir a variável y como sendo uma constante e assim sendo teremos 1 1 2 0 0 y x dx dy ou seja primeiro resolveremos a integral interna aos colchetes do modo já verificado para as integrais simples 1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 1 0 2 2 2 x y dy y dy 1 2 0 2 y dy Agora a integral só depende de y e resolvemos normalmente 1 1 2 0 0 1 1 ³ 1 2 2 3 6 y y dy Procure calcular a integral invertendo a ordem da integração realizando Note que este fato só é possível com esta naturalidade sem demais preocupações pois a região do domínio de integração é um retângulo IMPORTANTE 1 1 0 0 ² xy dydx TÓPICO 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 9 Exemplo calcular o volume do sólido S acima da região retangular 01 x 01 e abaixo da superfície plana x y z 2 Resolução observe antes de resolvermos o exemplo em questão o fato que estamos calculando um volume antes complicado de ser resolvido de um modo mais tranquilo através da integração dupla Observe o gráfico a seguir que mostra graficamente a situação apresentada no exemplo GRÁFICO 3 REPRESENTAÇÃO DO VOLUME DESCRITO NO EXEMPLO FONTE Os autores A integral dupla para o caso é construída da seguinte forma 1 1 0 0 2 x ydxdy Para a sua resolução utilizando o Teorema de Fubini teremos 1 1 0 0 2 x ydx dy Lembrando que devemos manter a variável y como constante e integrando em relação a x na primeira integral a ser resolvida assim 1 1 1 2 0 0 0 3 2 2 2 x x xy dy ydy UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 10 Agora a função dentro da integral só depende de y e integramos normalmente 1 1 2 0 0 3 3 3 1 1 2 2 2 2 2 y y ydy Exemplo determinar o volume do sólido R sobre o retângulo 11 x 01 e abaixo da superfície cilíndrica z 1 x2 Resolução para ilustrar analisemos o gráfico GRÁFICO 4 REPRESENTAÇÃO DO VOLUME DESCRITO NO EXEMPLO FONTE Os autores Usando a definição de integral dupla e iniciando a integração pela variável y temos que o volume é 1 1 2 10 1 V x dydx 1 1 1 0 1 ² x dy dx 1 2 1 1 0 y x y dx 1 2 1 1 x dx TÓPICO 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 11 Integrando com relação a x teremos 1 2 1 1 V x dx 1 3 1 3 x x 1 3 1 4 1 1 3 3 3 22 INTEGRAL DUPLA DE REGIÕES NÃO RETANGULARES O próximo passo acadêmico é pensar em regiões que não são retangulares como calculamos a integral dupla nesse caso A ideia é recorrer à mesma teoria vista para as regiões retangulares Deveremos tomar como base o fato de que a região D não retangular estará totalmente inscrita em um retângulo conforme mostra o gráfico seguir GRÁFICO 5 REPRESENTAÇÃO DA INTEGRAL DUPLA EM UMA REGIÃO NÃO RETANGULAR FONTE Os autores Por este motivo podemos tratar este tipo de integral do mesmo modo da integral dupla vista anteriormente Da mesma maneira utilizaremos o Teorema de Fubini para o cálculo destas integrais é claro que em uma visão um pouco mais geral e sendo a região D uma região dita simples ou seja com uma das direções do domínio fixada em valores fixos e a outra direção podendo variar ao longo de uma função Serão dois casos importantes UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 12 Região vertical simples Neste caso inicial teremos uma região do domínio do tipo 2 2 1 e Rx x y a x b g x y g x em que g1 g2 são funções contínuas O gráfico a seguir representa uma região vertical simples Temos variação fixa em intervalo no eixo X e funções delimitando a variação no eixo Y GRÁFICO 6 REPRESENTAÇÃO DE UMA REGIÃO VERTICAL SIMPLES FONTE Os autores A integral a ser resolvida fica da forma 1 2 x g x b R a g x f x y dxdy f x y dy dx Vamos entender como trabalhar com esse caso através de exemplos Exemplo calcular a integral dupla sobre a função 2 f x y xy em que o domínio é o quarto de círculo no primeiro quadrante 2 0 1 e 0 1 ² D x y x y x TÓPICO 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 13 Resolução utilizando o Teorema de Fubini sobre a região vertical simples originada teremos 2 2 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 x x xy dy dx x y dy dx 2 1 1 3 0 0 3 x y x dx 1 3 2 2 0 1 1 3 x x dx Observe que para realizar a integral devemos utilizar o método da substituição Considere u 1 x2 e assim sendo du 2x dx ou seja 1 1 3 3 2 2 2 0 0 1 1 1 3 6 x x dx u du 1 5 2 0 1 2 6 5 u 1 5 2 2 0 1 2 1 1 6 5 15 x Exemplo calcular a integral dupla 3 3 D x y dA em que D é a região limitada pelas curvas y x2 e y 2x Resolução quando a região não está delimitada devemos analisar o gráfico observe que o gráfico é apresentado no gráfico a seguir UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 14 GRÁFICO 7 REPRESENTAÇÃO DO DOMÍNIO D FONTE Os autores Em seguida apesar de já estar claro na figura devemos saber quais os pontos de intersecção das duas curvas e para isso basta resolver a equação x2 2x nesse caso encontramos os valores x 0 e x 2 Portanto a região pode ser vista como vertical simples cujo domínio será 2 0 2 e ² 2 D x y x x y x Com o Teorema de Fubini temos 2 2 2 2 2 2 2 3 3 0 0 3 3 2 x x x x y x y dy dx x y dx 2 2 2 2 3 3 2 0 3 3 2 2 2 2 x x x x x x dx 2 4 4 2 5 0 3 2 6 2 x x x x dx 2 5 4 2 0 1 2 12 2 x x x dx 2 6 5 3 0 1 2 12 2 6 5 3 x x x 6 5 3 1 2 2 2 12 2 2 6 5 3 1 64 32 128 32 2 3 5 15 TÓPICO 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 15 Exemplo área a partir de uma integral dupla calcular por integral dupla a área da região compreendida entre as curvas 2 2 16 2 4 x y e x y Resolução incialmente devemos fazer a seguinte análise a fim de compreender o dispositivo de cálculo que será utilizado neste exemplo imaginemos uma função fx y 1 que se trata de uma superfície de altura constante igual a 1 Ora todo prisma de altura igual é 1 possui volume numericamente igual a área da base isto é 1 D A D dA Agora com este conhecimento determinaremos os limites para o domínio indicado Para encontrar a região indicada primeiro isolando o y nas duas equações temos e 2 2 16 8 2 2 x x y 4 2 2 2 x x y agora encontramos os pontos de intersecção resolvendo a equação 2 16 4 x x 2 12 0 x x por Bhaskara encontramos as seguintes soluções x 3 e x 4 podemos observar isso no gráfico a seguir UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 16 GRÁFICO 8 REPRESENTAÇÃO DA REGIÃO DO EXEMPLO FONTE Os autores Portanto a região D pode ser descrita por 2 2 3 4 e 2 8 2 2 x x D x y x y e pelo Teorema de Fubini temos que a área é 2 2 8 4 4 2 3 3 2 2 8 2 1 2 2 x x x dy dx y dx x 4 2 3 8 2 2 2 x x dx 4 2 3 6 2 2 x x dx 4 3 1 343 12 ² 2 12 x x dx TÓPICO 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 17 Exemplo calcular a área via integral dupla da região D entre as curvas y x2 e x y2 Resolução verificamos que as funções dadas não estão com a mesma variável como independente Logo a função x y2 será reescrita como y x Os pontos de intersecção são x 0 e x 1 Desta forma o Teorema de Fubini para o cálculo desta área fica escrito como 2 1 1 2 0 0 1 x x dy dx x x dx 1 3 3 2 0 2 1 3 3 3 x x Região horizontal simples Neste caso teremos uma região do domínio do tipo 2 1 2 e Rx x y h y x h y c y d em que h1 h2 são funções contínuas O gráfico a seguir representa uma região horizontal simples Temos variação fixa em intervalo no eixo Y e funções delimitando a variação no eixo X GRÁFICO 9 REPRESENTAÇÃO DE UMA REGIÃO HORIZONTAL SIMPLES FONTE Os autores A integral a ser resolvida fica da forma 2 1 x h x d R c h x f x y dxdy f x y dx dy UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 18 Vamos entender como trabalhar com esse caso através de exemplos Exemplo calcular a integral dupla 3 3 D x y dA em que D é a região limitada pelas curvas y x2 e y 2x Resolução sabemos que o gráfico dessa região é GRÁFICO 10 REPRESENTAÇÃO DO DOMÍNIO D FONTE Os autores Podemos escrever o domínio da região acima isolando o x e nesse caso encontramos 2 e 0 4 2 y D x y x y y Com o Teorema de Fubini temos TÓPICO 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 19 4 4 4 3 0 0 2 2 3 3 4 y y y y x x y dx dy yx dy 4 4 4 0 2 3 3 4 4 2 y y y y y y dy 4 3 2 4 2 2 0 3 3 4 64 2 y y y y dy 4 3 2 4 2 0 5 3 4 64 y y y dy 4 5 3 5 2 0 5 6 12 5 320 y y y 5 3 5 2 5 4 6 4 4 12 5 320 80 192 16 128 3 5 5 15 2 1 1 2 0 0 1 y y dx dy y y dy 1 3 3 2 0 2 1 3 3 3 y y Observe que encontramos o mesmo resultado mesmo com métodos diferentes Exemplo calcular a área via integral dupla da região D entre as curvas y x2 e x y2 Resolução verificamos que as funções dadas não estão com a mesma variável como independente Em vez de isolar o y como fizemos no caso anterior aqui isolaremos o x logo a função y x2 será reescrita como x y e os pontos de intersecção são y 0 e y 1 Pelo Teorema de Fubini a área é UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 20 Podemos supor ainda que a região D pode ser decomposta em duas ou mais regiões simples Do tipo vertical ou horizontal Após isto a integral dupla é calculada pela propriedade aditiva das integrais NOTA 1 2 D D D f x y dA f x y dA f x y dA 3 INTEGRAL TRIPLA Para o estudo da integração tripla para fins de simplificação tomaremos como compreendidas as mesmas construções definições e propriedades da integral dupla Assim temos por definição que a integral tripla de f sobre uma região espacial R é dada por R f x y z dV em que dV dx dy dz é uma unidade infinitesimal de volume Caso tenhamos f x y z 1 estamos calculando o volume da região espacial R assim como similarmente tinhamos uma propriedade para a integral dupla NOTA TÓPICO 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 21 31 INTEGRAL TRIPLA EM UMA REGIÃO COM FORMATO DE UM PARALELEPÍPEDO Dada uma função 3 f R contínua e compacta seguindo os seguintes pontos 3 R x y z a x b c y d e z f então a integral tripla de f sobre R é dada por f b d a c e f x y z dz dy dx e ainda de modo idêntico o Teorema de Fubini se aplica podendose permutar a ordem de integração Exemplo calcular a integral tripla da função f x y z xyz em que a região de domínio é dada por 3 1 2 0 1 1 2 R x y z x y z Resolução a partir da região mostrada no exemplo podemos afirmar que ela se trata de um paralelepípedo retoretângulo que pode ser notado como 1 2 x 0 1 x 1 2 logo 2 1 2 1 0 1 xyz dx dy dz 2 2 1 2 1 2 1 0 1 0 1 3 2 2 x yz dy dz yz dy dz 1 2 2 2 1 1 0 3 3 9 2 2 4 8 y z dz z dz Assim como nas integrais duplas é possível também termos o cálculo de integrais triplas com regiões não retangulares em que neste caso as duas integrais calculadas incialmente possuem variação de acordo com funções de duas e uma variável respectivamente e a última integral a ser calculada varia entre intervalo fixo UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 22 Exemplo calcular a integral tripla 2 2 2 R x y z dV em que R é delimitada pelos planos x y z 2 x 0 y 0 e z 0 Resolução para iniciar a resolução desta questão vamos analisar o gráfico a seguir que exemplifica o caso GRÁFICO 11 REPRESENTAÇÃO DO EXEMPLO FONTE Os autores Analisando os limites da região dada verificamos que 3 0 2 0 2 0 2 R x y z x y x z x y o que resulta na integral tripla a seguir cujo resultado será obtido pelo Teorema de Fubini 2 2 2 2 2 2 0 0 0 x y x x y z dz dy dx 2 2 2 2 0 0 1 2 3 3 2 ² 3 x x y x y x y dy dx 2 2 2 0 1 8 2 2 1 3 5 x x x dx 23 Neste tópico você aprendeu que Uma integral dupla é uma extensão do conceito da integração simples e ainda Para integrais duplas de regiões não retangulares podemos analisar o domínio segundo Região vertical simples Uma integral dupla além do cálculo do volume abaixo de uma superfície o cálculo de área de uma região D domínio através de Região horizontal simples A resolução de uma integral dupla é feita a partir do Teorema de Fubini RESUMO DO TÓPICO 1 d b D c a f x y dxdy f x y dxdy d b d b b d c a c a a c f x y dxdy f x y dx dy f x y dy dx 1 2 x g x b R a g x f x y dxdy f x y dy dx 2 1 y h x d R c h x f x y dxdy f x y dx dy 1 D A D dA 24 Uma integral tripla tem a forma E é calculada por R f x y z dV f b d a c e f x y z dz dy dx 25 Acadêmico um dos princípios da UNIASSELVI é Não basta saber é preciso saber fazer Agora chegou a sua vez de colocar em prática os conceitos sobre matrizes estudados neste tópico 1 Calcular as integrais duplas a 2 Um dos primeiros princípios e utilizações para as integrais múltiplas é o cálculo de áreas e volumes de figuras eou sólidos os quais não possuem formatos usuais Isso pode estar fortemente ligado à elaboração de uma peça em um processo produtivo ao qual necessitamos saber qual é a quantidade de material utilizado ou qual o espaço exato que esta peça ocupará dentro de um componente Considere a região delimitada por x 2 x 8 y 2x 2 y 2x Faça o que se pede a Construa no sistema cartesiano de coordenadas a região correspondente b Se esta região representa a área de uma peça de viscose talhada calcule esta área por meio de uma integral dupla 3 Assinale a opção que delimita o volume do tetraedro dado pela intersecção do plano x y z 1 e o primeiro octante b AUTOATIVIDADE 3 2 2 0 2 6xy dydx 3 4 1 2 40 2xy dydx 26 a 16 b 12 c 13 d 14 e 15 4 Definese o valor médio de uma função sobre uma região R no espaço por Maria afirma que a integral para o caso é m R V F F dV 05 2 4 0 0 8 2 4 x x ydydx 2 4 2 0 0 8 2 4 y x ydxdy Considerando a função Fx y z x y z o valor médio de F sobre o cubo limitado pelos planos x 4 y 4 e z 4 no primeiro octante é igual a a 512 b 643 c 64 d 8 5 Por integração dupla a área da região limitada por y x2 e y x em unidades de área é igual a a 13 b 23 c 56 d 76 6 Maria e José estão discutindo a lista de exercícios de integrais duplas e triplas para calcular o volume do sólido S obtido a partir da intersecção das superfícies 2x 4y z 8 z 0 y 0 e x 0 José afirma que a integral para resolver o caso é 27 Em relação às soluções propostas por Maria e José julgue a verdadeira a Maria está incorreta e José correto b Maria está correta e José incorreto c Ambos estão corretos d Ambos estão incorretos 7 Considere a função fx y e a região D no plano delimitada pelas retas x 0 x 6 y e a parábola y x2 com x 0 Assinale a opção que calcula o volume abaixo da superfície de fx y e acima da região D a b c d 2 2 0 6 x x f x y dxdy 2 2 6 3 x x f x y dydx 2 2 6 0 x x f x y dydx 2 ² 36 x x f x y dydx 29 TÓPICO 2 MUDANÇA DE VARIÁVEIS NAS INTEGRAIS MÚLTIPLAS UNIDADE 1 1 INTRODUÇÃO Acadêmico você já estudou algumas técnicas de resolução de integrais no tópico anterior porém existem integrais que precisam de técnicas mais elaboradas O objetivo deste tópico é abordar a técnica de substituição de variáveis para resolver integrais duplas e triplas dependendo das funções que estamos integrando vamos usar uma substituição adequada Quando estudamos a técnica de integrais simples por substituição o que estamos realizando é uma mudança de variáveis para conseguir utilizar uma integral da tabela de primitivas O que fazemos é tomar uma função f a b contínua e g c d derivável sendo que g é integrável e ainda gc a e gd b para obter g d d g c c f x dx f g u g u du Para relembrar o processo vamos utilizar o seguinte exemplo Calcular a integral Logo 1 0 1 x² dx Para resolver tal integral devemos lembrar que se tomarmos fx 1 x2 0 x 1 com a substituição x gu senu obtemos 1 ² cos e ainda cos com 0 2 π f g u sen u u g u u u 1 2 2 0 0 1 ² x dx cos u du π UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 30 agora sabendo que 2 1 cos 1 cos 2 2 u u concluímos que 1 2 2 0 0 1 1 1 cos 2 2 x dx u du π 2 1 2 2 2 4 0 π π sen u u O próximo passo é deduzir o processo de mudança de variável para integrais com mais de uma variável 2 MUDANÇA DE VARIÁVEL NA INTEGRAL DUPLA Nesta seção a ideia é resolver as integrais duplas usando mudanças de variável no primeiro momento entenderemos como realizar o processo de mudança de variáveis na integração dupla de funções de várias variáveis Em geral trabalharemos com duas variáveis f fx y Para funções de várias variáveis devemos recorrer a uma transformação do tipo 2 ² T tal qual x x u v T y y u v sendo que as funções que chamaremos de funções coordenadas xu v e yu v possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas Além desta suposição inicial deveremos considerar o Jacobiano que é definido pelo determinante das derivadas parciais de x e y em relação às novas variáveis u e v ou seja u v u v x x J T y y TÓPICO 2 MUDANÇA DE VARIÁVEIS 31 Visto isto definiremos para a mudança de variável de uma função com duas variáveis a seguinte expressão xy uv R R f x y dxdy f x u v y u v J T dudv Esta fórmula representa a mudança de variáveis neste caso das coordenadas cartesianas x e y para qualquer outro referencial de coordenadas u e v Sabemos também que isto permitenos uma série de tipos de troca de variável porém em algumas situações não teremos grandes aplicações práticas deste processo o que não é o objetivo deste material Assim exemplificaremos para este item inicialmente um tipo de troca de variáveis bastante útil em diversos casos que é a mudança para coordenadas polares 21 COORDENADAS POLARES Antes de iniciarmos o processo de cálculo em si para a troca de coordenadas devemos imaginar a seguinte questão Estamos bastante acostumados até o momento a identificar um ponto no plano cartesiano através de suas coordenadas vertical e horizontal No entanto será que existe outra forma de conseguirmos localizar este ponto além dessa A resposta é sim Para tal devemos informar a distância que este ponto se encontra da origem do sistema e ainda qual o ângulo formado entre o segmento de reta que liga este ponto à origem com o eixo das abscissas eixo X Note que o ponto localizado com um par r θ ou seja distância e ângulo é único e assim sendo conseguimos tal localização Analisando o gráfico a seguir podemos notar que existe uma relação transformação para cada x e y utilizandose de novas variáveis r θ conforme reza a regra que vimos anteriormente para a troca de variáveis GRÁFICO 12 REPRESENTAÇÃO DE COORDENADAS POLARES FONTE Os autores UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 32 Note que a transformação que devemos considerar já que podemos usar as formas trigonométricas do triângulo retângulo é cos sen θ θ x r T y r A transformação inversa é dada por r2 x2 y2 e y tg x θ E para a transformação T temos o seguinte Jacobiano cos sen sen cos r J T r θ θ θ θ 2 2 r cos r sen r θ θ Deste modo sempre que utilizarmos a mudança de variável de coordenadas retangulares padrão para coordenadas polares teremos que substituir a área elementar dxdy por J T drd r drd θ θ assim como visto na fórmula para mudança de variáveis Por fim indicase que esta mudança de variáveis é bastante útil para áreas e domínios que possuem similaridade com circunferências A equação de uma circunferência é dada por x2 y2 r2 Acadêmico não se esqueça da equação da circunferência ela será muito útil nos cálculos em que utilizaremos a mudança para coordenadas polares NOTA Exemplo calcular a integral dupla 2 2 log Rxy x y dA TÓPICO 2 MUDANÇA DE VARIÁVEIS 33 em que Rxy é a região delimitada pelos círculos x2 y2 1 e x2 y2 4 Resolução percebemos que esta integral dupla é uma séria candidata a utilização de coordenadas polares Vejamos no gráfico a seguir a representação da região Rxy indicada GRÁFICO 13 REPRESENTAÇÃO DA REGIÃO Rxy FONTE Os autores Perceba que a faixa que estamos interessados em analisar possui raio variando entre 1 e 2 e por ser uma região do primeiro quadrante o ângulo variando entre 0 e π2 Sendo assim a região Rxy quando transformada na região já para coordenadas polares Rrθ passa a ser 2 1 2 0 2 Rr r r θ π θ θ Logo lembrando que x2 y2 r2 e a área elementar dA r drdθ teremos uma nova visão da integral dupla agora em coordenadas polares 2 2 2 2 2 0 1 log log Rxy x y dA r r drd π θ 2 2 2 0 1 log r r dr d π θ Agora para a resolução desta integral interna devemos lembrar o processo de cálculo por substituição simples visto na disciplina de Cálculo II Ou seja UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 34 ² u r 2 2 du du r dr r dr Assim sendo 2 4 2 1 1 1 log log 2 r r dr u du 4 1 log 1 2 u u 4 1 log 4 1 log 1 1 2 2 1 3 2log 4 2 0 2log 4 2 2 Finalizando o cálculo da integral dupla 2 0 3 3 3 2log 4 2log 4 log 4 2 2 2 4 0 π π π θ θ π d Caro acadêmico você já percebeu que vamos utilizar muito o conceito de integração que estudamos na disciplina Calculo Diferencial e Integral I UNI Exemplo calcular a integral dupla 2 14 ² Rxy x y dA em que Rxy é a região delimitada pelos círculos 4 x2 y2 9 TÓPICO 2 MUDANÇA DE VARIÁVEIS 35 Resolução observando que esta integral possui domínio delimitado por círculos é interessante realizar a troca de variáveis para coordenadas polares com raio variando entre 2 e 3 e ângulo de volta completa ou seja de zero a 2π Devemos lembrar que x2 y2 r2 Então 2 3 2 0 2 14 ² 14 ² π θ Rxy x y dA r r drd Que resolvendo temos 3 2 3 2 2 4 3 0 2 0 2 14 14 2 4 r r r r drd d π π θ θ 2 4 4 2 2 0 3 2 7 3 7 2 4 4 d π θ 2 0 81 63 28 4 4 d π θ 2 2 0 0 81 81 81 4 4 2 π π π θ θ d Exemplo calcular a integral dupla 2 2 Rxy x x y dxdy em que Rxy é a região do primeiro quadrante delimitada pelos círculos 1 x2 y2 4 Solução observe que nesse caso o raio está variando entre 1 e 2 e o ângulo é um quarto de volta ou seja de zero a 2 π Devemos lembrar que x2 y2 r2 e que x rcosθ então 2 2 2 2 2 0 1 π θ θ Rxy x x y dxdy r cos r r drd UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 36 Que resolvendo temos 2 4 2 2 3 0 1 0 2 cos cos 4 1 r r drd d π π θ θ θ θ 4 2 0 2 1 cos 4 4 d π θ θ 2 0 15 15 cos 2 4 4 0 π π θ θ θ d sen 15 15 15 0 4 2 4 4 sen sen π Acadêmico preste muito atenção na mudança de coordenadas cartesianas para polares para não perder informação Sempre que possível desenhe o gráfico da região em que você estiver integrado usando algum software como o Geogebra ou WolframAlpha 3 MUDANÇA DE VARIÁVEIS NA INTEGRAL TRIPLA No caso de integrais triplas a função a ser integrada é uma função de três variáveis e da mesma forma que na seção anterior fazer uma mudança de variável é essencial para conseguimos calcular mais facilmente algumas integrais triplas Nessa seção estudaremos como fazer a mudança de variável para as integrais triplas Para realizar o processo de mudança de variáveis na integração tripa devemos recorrer a uma transformação do tipo 3 3 T de uma forma totalmente análoga a mudança de variável na integral dupla tal qual x x u v w T y y u v w z z u v w TÓPICO 2 MUDANÇA DE VARIÁVEIS 37 sendo que as funções que chamaremos de funções coordenadas xu v w yu v w e zu v w possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas Além desta suposição inicial deveremos considerar o seguinte Jacobiano nova definição u v w u v w u v w x x x J T y y y z z z Visto isto definiremos para a mudança de variável de uma função com três variáveis a seguinte expressão xyz uvw R R f x y z dxdydz f x u v w y u v w z u v w J T dudvdw A ideia é modificar a integral de forma que essa nova integral seja mais simples de ser calculada quando estamos em três dimensões uma das mudanças de variáveis mais eficaz é a mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas 31 INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS CILÍNDRICAS Para este tipo de mudança de variáveis vamos considerar no plano a mudança de variável para coordenadas polares já estamos em duas dimensões e a altura z envolvida permanece inalterada Desta forma teremos a seguinte transformação para a mudança de coordenadas cilíndricas θ θ θ T r z rcos rsen z Lembrese de que a transformação inversa é e 2 2 2 r x y y tg x θ Quanto ao Jacobiano ele será exatamente o mesmo das coordenadas polares dado por r e desta forma uma integral tripla do tipo R f x y z dV UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 38 será calculada por θ θ θ θ xyz r z R R f x y z dV f rcos rsen z r dzdrd ou seja em coordenadas cilíndricas o volume elementar dV será dado por r dzdrdθ Acadêmico lembrese de que a integral tripla da função constante 1 é o volume do sólido ou seja NOTA D Volume dV Exemplo calcular utilizando integral tripla o volume de um cilindro de raio R e altura h Resolução seguindo o conceito visto para coordenadas cilíndricas teremos extremos de integração para a integral tripla 0 2 0 0 Rr z r R z h θ θ π E assim 2 2 0 0 0 0 0 0 R h R h r dzdrd r z drd π π θ θ 2 0 0 R h r drd π θ 2 2 0 0 2 R h r d π θ 2 2 2 2 R h R h π π TÓPICO 2 MUDANÇA DE VARIÁVEIS 39 Exemplo utilize coordenadas cilíndricas para determinar a integral tripla D xydV em que a região D é limitada por x2 y2 1 e 0 z 1 Resolução observando que a expressão x2 y2 1 é a região interna de um cilindro de raio 1 e tomando a altura variando de 0 até 1 temos a integral escrita em coordenadas cilíndricas como sendo 2 1 1 0 0 0 D xydV rcos rsen r dzdrd π θ θ θ lembrese de que x rcosθ e y rsenθ logo 2 1 1 2 0 0 0 cos D xydV r sen dzdrd π θ θ θ 2 1 2 0 0 1 cos 0 r sen z drd π θ θ θ 2 1 2 0 0 cos r sen drd π θ θ θ 1 2 3 0 0 3 cos r sen d π θ θ θ 2 0 1 cos 3 sen d π θ θ θ para calcularmos essa última integral devemos usar a mudança de variável u cosθ e como du senθdθ temos que 2 0 1 3 D xydV u du π 2 2 2 2 1 1 cos 3 2 6 0 0 u π π θ 2 2 1 1 cos 2 cos 0 0 6 6 π UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 40 Nesse caso a integral tripla pode ser igual a zero pois não estamos falando de volume e sim simplesmente de integração Exemplo calcule a integral tripla D dxdydz com D o conjunto x2 y2 z 2 x2 y2 Resolução observe que nesse caso a limitação de z também vai precisar ser modificada já que não temos constantes mas sim funções que limitam z Primeiro fazemos a integração em relação a z 2 2 2 2 2 xy x y x y D D dxdydz dz dxdy 2 2 2 2 2 xy D x y z dx dy x y 2 2 2 2 2 Dxy x y dxdy Vamos considerar 2 2 2 r x y cos x r θ y r sen θ observe também que x2 y2 2 x2 y2 é uma circunferência de raio 1 e centro 0 0 concluímos assim que o raio varia de 0 até 1 e que o ângulo varia de 0 até 2π Assim a integral tripla após a mudança de coordenadas cartesianas para cilíndricas fica 2 1 2 0 0 2 2 π θ D dxdydz r rdrd 2 1 3 0 0 2 2 π θ r r drd 4 2 2 2 0 0 1 1 2 0 2 π π θ θ r r d d 2 1 0 2 π θ π TÓPICO 2 MUDANÇA DE VARIÁVEIS 41 Lembrese acadêmico de que a mudança de variável é uma técnica de integração você vai ter que decidir qual é a melhor técnica a ser usado para cada uma das integrais quando temos um domínio que é uma circunferência ou parte a técnica de mudança de variável cartesiana para cilíndrica é muito recomendada 32 INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS ESFÉRICAS Outra técnica usada para integrais triplas é a mudança de coordenadas cartesianas para a esférica Nesse caso a transformação usada é cos cos ρ θ φ ρ φ θ ρ θ φ ρ φ T sen sen sen ou seja x ρ senϕ cosθ y ρ senθ senϕ z ρ cosϕ ou ainda 2 2 2 x y z ρ y arctg x θ 2 2 2 arccos z x y z φ e cuja interpretação geométrica é dada no gráfico a seguir GRÁFICO 14 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA MUDANÇA DE VARIÁVEL CARTESIANA PARA ESFÉRICA FONTE Os autores UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 42 O Jacobiano dessa transformação é dado por 2 cos cos cos cos cos cos 0 φ θ ρ φ θ ρ φ θ φ θ ρ φ θ ρ φ θ ρ φ φ ρ φ sen sen sen J T sen sen sen sen sen sen Ou seja em coordenadas esféricas a transformação se reduz 2 cos cos ρθφ ρ φ θ ρ θ φ ρ φ ρ φ ρ φ θ Rxyz R f x y z dV f sen sen sen sen d d d Vamos resolver algumas integrais triplas usando a mudança de variável cartesiana para esférica nos exemplos a seguir Exemplo STEWART Calcule a integral 2 2 2 32 x y z D e dxdydz com D a bola unitária 3 2 2 2 1 D x y z x y z Resolução como estamos trabalhando com uma esfera teremos 0 1 ρ 0 2 θ π 0 φ π 2 2 2 2 x y z ρ GRÁFICO 15 GRÁFICO ESFERA DE RAIO 1 FONTE Os autores 1 1 1 x y z TÓPICO 2 MUDANÇA DE VARIÁVEIS 43 Então a integral fica 2 2 2 32 3 2 1 2 0 0 0 π π ρ ρ φ ρ φ θ x y z D e dxdydz e sen d d d 3 2 1 2 0 0 0 sen e d d d π π ρ φ ρ ρ φ θ Para resolvermos a primeira integral vamos usar a mudança de variável u ρ3 logo du 3ρ2dρ portanto 3 1 1 2 0 0 1 3 u e d e du ρ ρ ρ 1 1 1 1 3 3 0 ue e Assim 2 2 2 32 2 0 0 1 1 3 π π φ φ θ x y z D e dxdydz e sen d d 2 0 1 1 cos 3 0 e d π π φ θ 2 0 2 3 e 1 d π θ 2 2 4 1 1 3 3 0 e e π π θ Exemplo STEWART Determinar o volume do sólido que é interior à esfera x2 y2 z2 z e ao cone 2 3 ² z x y Resolução para idealizar qual o volume estamos lidando vamos inicialmente analisar o gráfico a seguir UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 44 GRÁFICO 16 REPRESENTAÇÃO DO SÓLIDO DESCRITO NO EXEMPLO FONTE Os autores Note que os dois sólidos se interceptam quando 2 2 2 2 3 ² 3 ² x y x y x y 2 2 2 4 3 ² x y x y 2 2 2 2 2 16 3 x y x y ou seja quando x y 0 0 ou quando 2 2 3 16 x y uma circunferência de centro 0 0 e raio 3 4 nesse caso como estamos trabalhando com uma circunferência temos que θ varia de 0 até 2π Falta determinar a variação de ρ e ϕ como 2 2 2 x y z z fazendo a mudança de variável temos 2 cos ρ ρ φ ou seja cos ρ φ TÓPICO 2 MUDANÇA DE VARIÁVEIS 45 concluímos assim que ρ varia de 0 até cosϕ E por último temos que 2 2 3 z x y 2 2 2 2 2 2 cos 3 cos 2 3 2 ρ φ ρ φ π ρ π φ sen sen sen 2 2 cos 3 sen ρ φ ρ φ cos 3 sen ρ φ ρ φ 1 6 3 tg π φ φ Desta forma a integral tripla fica descrita como cos 2 2 3 6 6 2 0 0 0 0 0 cos 3 0 sen d d d sen d d π π φ π π φ ρ ρ φ ρ φ θ φ φ θ 3 2 6 0 0 cos 3 sen d d π π φ φ φ θ Note que para resolvermos a integral 3 6 0 cos 3 sen d π φ φ φ precisamos utilizar a substituição de variável considere u cosϕ logo du senϕdϕ e temos 3 3 6 6 0 0 cos 3 3 u sen d du π π φ φ φ 4 4 cos 6 12 12 0 π φ u UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 46 4 4 4 cos cos 0 1 3 1 6 12 12 12 2 12 π 9 1 7 192 12 192 Concluímos que o volume do sólido é cos 2 2 6 2 0 0 0 0 7 192 sen d d d d d π φ π π ρ φ ρ φ θ φ θ 2 7 7 192 96 0 π π θ Acadêmico a determinação dos limites de integração é de fundamental importância cada sólido tem seus limites preste muito atenção na hora de encontrálos NOTA 47 RESUMO DO TÓPICO 2 Neste tópico você aprendeu que A forma geral para a mudança de variáveis na integral dupla é dada por Para escrever uma integral dupla em coordenadas polares Teremos Para a mudança de variáveis na integral tripla devemos utilizar Nas coordenadas esféricas utilizamos Nas coordenadas cilíndricas utilizamos xy uv R R f x y dxdy f x u v y u v J T dudv 2 2 2 θ θ θ x r cos y T ou r x y e tg y r sen x Cujo Jacobiano é cos sen sen cos r J T r r θ θ θ θ xyz uv R R f x y z dxdydz f x u v w y u v w z u v w J T dudvdw θ θ θ θ xyz r z R R f x y z dV f rcos rsen z r dzdrd 2 ρθφ ρ φ θ ρ θ φ ρ φ ρ φ ρ φ θ Rxyz R f x y z dV f sen cos sen sen cos sen d d d 48 em que ou ainda e cos x ρ sen φ θ ρ θ φ y sen sen cos z ρ φ e 2 2 2 x y z ρ y arctg x θ 2 2 2 arccos z x y z φ 49 Prezado acadêmico chegou a hora de você testar seus conhecimentos sobre o cálculo dos determinantes e suas propriedades Lápis e borracha em mãos e boa atividade 1 Calcule as integrais duplas a seguir a 2 Calcule as integrais triplas a seguir usando coordenadas cilíndricas 4 Escreva uma integral dupla em coordenadas polares para calcular a área da região formada por x 2 x 2 y 0 e x2 y2 4 5 Calcular a área da região delimitada pelas curvas x2 y2 9 e x2 y2 1 3 Calcule as integrais triplas a seguir usando coordenadas esféricas b a a b b AUTOATIVIDADE 2 2 2 2 2 0 0 x x y dydx 2 1 1 0 0 x xdydx 2 2 2 2 4 2 2 2 0 0 x x y x y dz dydx 2 1 1 2 2 1 0 0 y x x y dz dxdy 2 2 2 em que é o conjunto 0 4 D xdxdydz D x x y z 2 2 2 em que é o conjunto1 4 e 0 D z dxdydz D x y z z 50 6 Calcular o volume dado pela integral 7 Calcule o volume do sólido limitado pelo plano z 0 e pelo paraboloide z 1 x2 y2 Em seguida assinale a opção que apresenta este valor a π b 4 π c 2π d 2 π e 4π 8 O sistema de coordenadas cilíndricas é muito importante ele pode ser usado para simplificar os nossos estudos sobre integração múltipla Este sistema foi concebido a partir da definição das coordenadas polares em segunda instância podese pensar nele como uma evolução do modelo polar adaptado para o espaço tridimensional Efetuando a mudança para coordenadas cilíndricas ou esféricas faça o que se pede a Calcule o volume gerado pelo sólido limitado pelos planos z 4 x2 y2 e z 5 b Calcule o volume gerado pelo sólido limitado pelos planos z2 3 x2 y2 e z 2 c Calcule o volume gerado pelo sólido limitado pelos planos z2 8 x2 y2 e z 2 2 2 2 2 4 0 0 x x y e dydx z y x 0 0 1 0 D 51 TÓPICO 3 APLICAÇÕES UNIDADE 1 1 INTRODUÇÃO Além de determinarmos os procedimentos de cálculo necessários para se trabalhar com as integrais múltiplas duplas e triplas um aspecto importante é o fato de trabalharmos com as aplicações possíveis para estes dispositivos de cálculo e análise Neste tópico verificaremos algumas dessas aplicações Um ponto importante a ser dito aqui logo no início é que focaremos nas aplicações das integrais duplas tomando como conhecido que para integrais triplas os processos são análogos porém para aplicações que em alguns casos são mais trabalhosas de se representarem Dentre as aplicações que estudaremos teremos cálculo da massa de um corpo e sua respectiva densidade se necessário centro de massa momento de inércia e cargas elétricas 2 MASSA DE UM CORPO Vamos supor uma chapa lâmina acondicionada em uma região D do plano cartesiano com densidade conhecida em qualquer um de seus pontos A densidade será dada pela função δx y em que garantese que ela seja contínua e integrável no intervalo considerado Desta forma definiremos a massa elementar por unidade de área calculada por integração dupla como sendo δx ydxdy sendo a massa total do corpo dada por δ D m x y dxdy Utilizando este procedimento conseguimos determinar a massa de quaisquer chapas lâmina no plano A única premissa inicial é o fato de possuirmos a função densidade do corpo antecipadamente 52 UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS Exemplo dada uma chapa de vértices situados no plano XY nos pontos 0 0 4 0 0 2 e 4 2 formando um retângulo Calcule a massa da chapa em gramas sabendo que a função densidade de massa por área em qualquer ponto P é δxy 3xy Resolução a fim de calcular a massa desta chapa utilizaremos o conceito de integração dupla e a fórmula vista anteriormente Como o gráfico é um retângulo podemos facilmente desenhar esta região GRÁFICO 17 REPRESENTAÇÃO DA CHAPA DADA NO EXEMPLO FONTE Os autores Assim temos que o conjunto D é dado por 2 0 4 e 0 2 D x y x y e a massa total é 3 δ D D m x y dxdy xydxdy 2 4 2 4 0 0 0 0 3 3 xydx dy y xdx dy 2 2 2 0 0 4 3 24 2 0 y x dy ydy 2 2 24 48 2 0 y TÓPICO 3 APLICAÇÕES 53 Assim temos que a massa total da chapa é de 48 gramas Exemplo GUIDORRIZI Calcule a massa de um semicírculo de raio R sendo a densidade superficial no ponto P proporcional à distância do ponto ao centro do círculo Resolução sabemos que a distância do ponto P x y ao centro da circunferência podemos supor que o centro está sobre o ponto 0 0 é dado por R R x y 2 2 d x y assim a densidade superficial é 2 2 x y k x y δ com k a constante de proporcionalidade Portanto a massa é 2 2 δ D D m x y dxdy k x y dxdy vamos usar a mudança de variável polar r2 x2 y2 como estamos trabalhando com um semicírculo temos que 0 θ π e 0 r R logo 2 0 0 R m kr dr d π θ 3 3 0 0 3 3 0 R r kR k d d π π θ θ 3 3 3 3 0 kR k R π π θ 54 UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS Observe que no primeiro exemplo não usamos a mudança de variável cartesiana para polar pois a integração segue de maneira simples já no segundo exemplo fezse necessário 3 CARGA ELÉTRICA De modo análogo ao conceito anterior vamos supor uma região D do plano cartesiano com densidade agora de carga elétrica conhecida em qualquer um de seus pontos A densidade de carga será dada pela função δx y em que garantese também que ela seja contínua e integrável no intervalo considerado Desta forma definiremos a carga elementar por unidade de área calculada por integração dupla como sendo δx ydxdy sendo a carga total do corpo como sendo δ D q x y dxdy Exemplo sabendo que a carga elétrica distribuída sobre uma região D situada no retângulo de vértices 32 02 30 e 00 está associada a uma função densidade de carga definida por δxy x2y em coulomb por metro quadrado Cm² Calcule a carga total desenvolvida nesta região Resolução para calcular a carga total sabemos que se deve analisar graficamente a região considerada GRÁFICO 18 REPRESENTAÇÃO DA REGIÃO DADA NO EXEMPLO FONTE Os autores Sendo assim temos que a região D é dada por 2 0 3 e 0 2 D x y x y TÓPICO 3 APLICAÇÕES 55 e a carga total é 2 δ D D q x y dxdy x ydxdy 2 3 2 3 2 2 0 0 0 0 x ydx dy y x dx dy 2 2 3 0 0 3 9 3 0 y x dy ydy 2 2 9 9 2 18 2 0 y Logo a carga total na região D é de 18 coulombs Exemplo sabendo que a carga elétrica distribuída sobre uma região triangular de vértices 00 11 e 10 está associada a uma função densidade de carga definida por δx y x x2y y2 em coulomb por centímetro quadrado C cm² Calcule a carga total desenvolvida nesta região Resolução segundo os dados retirados do problema temos que a região é 2 0 1 e 0 D x y x y x e a carga total é 1 2 2 0 0 δ x D q x y dxdy x x y y dydx 1 2 2 0 0 x x x y y dy dx 1 2 3 2 0 2 3 0 x y y x x dx 1 2 3 2 0 2 3 x x x x dx 1 3 4 5 0 5 2 6 3 x x x dx 56 UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 4 5 6 1 1 1 1 8 6 18 8 6 18 0 x x x 9 12 4 1 72 72 Logo a carga total na região D é de 1 72 coulombs 4 CENTRO DE MASSA Através dos conceitos de resistência de materiais sabemos que simbolicamente o centro de massa de um corpo é um ponto xy que centraliza teoricamente a massa de um corpo nele Através de integração dupla definimos centro de massa como sendo δ δ y D D x x y dxdy M x m x y dxdy e δ δ x D D y x y dxdy M y m x y dxdy Nesta relação temos m a massa total do corpo que já vimos o seu procedimento de cálculo anteriormente e Mx e My são os momentos do corpo com relação a cada um dos eixos orientados x e y Isso quer dizer estamos respeitando o conceito físico que indica o fato de ser o centro de massa calculado pelo produto da massa pela distância em que esta massa está localizada Neste centro de massa teremos o ponto referência de equilíbrio do corpo Teoricamente seria como se toda a massa do corpo estivesse concentrada nele Exemplo inicialmente calcule a massa e em seguida o centro de massa de uma chapa triangular de vértices 00 02 e 10 em que sua função densidade é δxy 1 3x y Resolução representando o gráfico temos TÓPICO 3 APLICAÇÕES 57 GRÁFICO 19 REPRESENTAÇÃO DA REGIÃO DADA NO EXEMPLO FONTE Os autores Assim notamos realizando a equação da reta y 2 2x que a região é delimitada por x 0 y 0 e y 2 2x Logo a região a ser integrada é dada por 2 0 1 e 0 2 2 D x y x y x Deste modo para a massa 1 3 δ D D m x y dxdy x y dxdy 1 2 2 0 0 1 3 x x ydy dx 1 2 0 2 2 3 2 0 x y y xy dx 2 1 0 2 2 2 2 3 2 2 2 x x x x dx 1 3 2 0 1 4 4 4 4 3 0 x x dx x 4 8 4 3 3 58 UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS Para os momentos temos 2 3 δ x D D M x y dxdy y xy y dxdy 1 2 2 2 0 0 3 x y xy y dy dx 1 2 2 3 0 2 2 3 2 2 3 0 x y xy y dx 2 2 3 1 0 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 x x x x dx 1 3 2 2 2 3 0 8 24 24 8 2 4 2 6 12 6 3 x x x x x x x x dx 1 3 2 0 14 10 6 2 3 3 x x x dx 3 4 2 1 14 2 5 3 3 3 6 0 x x x x 14 2 5 11 3 3 3 6 6 2 3 δ y D D M x y dxdy x x xydxdy 1 2 2 2 0 0 3 x x x xydy dx 1 2 2 0 2 2 3 2 0 x xy xy x y dx 2 1 2 0 2 2 2 2 3 2 2 2 x x x x x x dx 1 2 2 3 2 3 0 2 2 6 6 2 4 2 x x x x x x x dx 1 3 4 2 0 1 4 4 2 0 x xdx x x TÓPICO 3 APLICAÇÕES 59 1 2 1 Assim segue que e 11 e 1 6 x y M M Em que finalmente para o centro de massa teremos 1 3 8 8 3 M y x m 11 11 6 8 16 3 Mx y m Finalizando com o centro de massa no ponto 3 11 8 16 x y como mostra o gráfico a seguir GRÁFICO 20 REPRESENTAÇÃO DO CENTRO DE MASSA RESULTANTE FONTE Os autores 3 11 8 16 x y 3 11 8 16 x y 60 UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS Exemplo GUIDORRIZI Calcule o centro de massa de um semicírculo de raio R sendo a densidade superficial no ponto P proporcional à distância do ponto ao centro do círculo Resolução já sabemos que a densidade superficial é dada pela função e 2 2 x y k x y δ com k a constante de proporcionalidade e a massa é igual a 3 3 k R π Para determinar o centro de massa precisamos calcular Mx e My para isso vamos usar novamente a mudança de variável cartesiana para polar x rcosθ e y rsenθ com 0 θ π e 0 r R 3 0 0 π δ θ θ R x D M y x y dxdy k r sen dr d 4 0 4 0 R k r sen d π θ θ 4 4 0 k R sen d π θ θ 4 4 cos 4 2 0 R kR k π θ 3 0 0 π δ θ θ R y D M x x y dxdy k r cos dr d 4 0 4 0 R k r cos d π θ θ 4 4 0 kR cos d π θ θ 4 sen 0 4 0 k R π θ TÓPICO 3 APLICAÇÕES 61 e Portanto o centro de massa é 3 0 0 3 M y x k R m π 4 3 3 2 2 3 x kR M R y k R m π π 5 MOMENTO DE INÉRCIA Sabemos do conceito físico de momento de inércia de uma partícula de massa m que ele é definido por mr2 em que r é a distância da partícula até o eixo de rotação desta partícula Porém este conceito é restrito para distribuições discretas de massa Ao estender este conceito para uma distribuição contínua como por exemplo o momento de inércia de uma barra uma chapa ou uma esfera devemos conhecer a função que descreve a densidade do corpo δxy que deve ser contínua no intervalo considerado região D do plano XY e aplicando o conceito teórico de integração dupla conforme veremos agora e trataremos como momento de inércia para uma distribuição contínua de massa O momento de inércia em torno do eixo x será determinado por O momento de inércia em torno do eixo y será determinado por 2 δ x D I y x y dxdy 2 δ y D I x x y dxdy Se tratarmos do momento de inércia em torno da origem que por vários autores é chamado de momento de inércia polar ou do eixo z teremos 62 UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 0 x y I I I 2 2 δ δ D D x x y dxdy y x y dxdy 2 2 δ D x y x y dxdy Exemplo calcular os momentos de inércia em x y e z referentes ao disco maciço D com densidade constante δxy k com centro na origem e raio de valor a Resolução teremos como delimitação para a região D O círculo x2 y2 a2 que em coordenadas polares teremos que D é descrito por 2 0 e 0 2 θ θ π D r r a Calculando Ix temos 2 2 2 0 0 π δ θ θ a x D I y x y dxdy k r sen r drd se considerarmos a mudança de variável cartesiana para polar y r senθ logo 2 4 2 0 4 0 x a r I k sen d π θ θ 4 2 2 0 4 ka sen d π θ θ como 2 sen2θ 1 cos2θ temos que 2 4 0 1 cos 2 8 x ka I d π θ θ 4 2 2 8 2 0 sen ka π θ θ 4 4 2 8 4 ka k a π π TÓPICO 3 APLICAÇÕES 63 Assim o momento de inércia em torno do eixo x é 4 4 x k a I π Vamos calcular agora o momento de inércia em torno de y Iy temos 2 2 2 0 0 π δ θ θ a y D I x x y dxdy k r cos r drd se considerarmos a mudança de variável cartesiana para polar y r cosθ logo 2 4 2 0 cos 4 0 y a r I k d π θ θ 4 2 2 0 cos 4 ka d π θ θ como 2 cos2θ 1 cos2θ temos que 2 4 0 1 cos 2 8 y ka I d π θ θ 4 2 2 8 2 0 sen ka π θ θ 4 4 2 8 4 ka k a π π Assim o momento de inércia em torno do eixo y também é 4 4 y k a I π O fato que Ix Iy é consequência da simetria de um disco e ainda pelo fato de que a densidade distribuída é constante Como já possuímos Ix e Iy para calcular o momento de inércia polar basta somar estes resultados então 4 4 4 0 4 4 2 x y k a k a k a I I I π π π 64 UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS GRÁFICO 21 REGIÃO DELIMITADA POR y2 4x x 4 E y 0 FONTE Os autores Vamos agora calcular os momentos de inércia 4 2 2 2 0 0 δ x x D I y x y dxdy y dydx 4 4 3 3 2 0 0 2 8 3 3 0 x y dx x dx 5 5 2 2 4 8 16 512 4 3 5 15 15 0 2 x Portanto o momento polar é 4 0 2 k a I π Exemplo determine o momento de inércia Ix Iy e I0 da região limitada pelas curvas y2 4x x 4 e y 0 considerando a densidade igual a 1 Resolução note que a região pode ser expressa como 0 x 4 e 0 y 2x e é dada pelo gráfico a seguir TÓPICO 3 APLICAÇÕES 65 e 4 2 2 2 0 0 δ x y D I x x y dxdy x dydx 4 4 5 2 2 0 0 2 2 0 x x y dx x dx 7 7 2 2 4 4 512 2 4 7 7 7 0 2 x Como já possuímos Ix e Iy para calcular o momento de inércia polar basta somar estes resultados então 0 512 512 11264 15 7 105 x y I I I 66 UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS LEITURA COMPLEMENTAR APLICAÇÃO PRÁTICA DE CÁLCULO INTEGRAL E DIFERENCIAL EM UM BALÃO DE AR QUENTE Para realizar um estudo sobre o Cálculo necessitaríamos de uma pesquisa muito extensa cujo resultado seria sem dúvida um texto longo que estaria além do propósito deste trabalho O nosso intuito é o de apresentar um estudo que possa fazer com que o Cálculo seja melhor compreendido dentro do nosso cotidiano e para isso nos aprofundamos em sua aplicação dentro de um dos interesses mais antigos do homem o voo Desde a mitologia grega até os tempos atuais o voo é um fascínio do homem A história nos apresenta um astrônomo e matemático grego Archytas de Tarentum quem construiu o primeiro dispositivo capaz de voar semelhante à asa de um pássaro porém o dispositivo não se mantinha muito tempo no ar devido a ter apenas um impulso para alçar voo e permanecia planando no ar por um longo tempo Esses voos proporcionaram muitas descobertas nos estudos realizados e então podemos acompanhar o filósofo matemático físico e inventor grego Arquimedes de Siracusa 287 aC 212 aC em seu livro intitulado Sobre o Equilíbrio dos Corpos Flutuantes que diz Quando um corpo flutua em um fluido líquido ou gás seu peso é igual ao do fluido deslocado e quando submerso seu peso diminui daquela quantidade Após isso esse princípio passou a ser conhecido como o Princípio de Arquimedes PA Apesar de muito empenho naquela época nenhum dispositivo que fosse capaz de transportar as pessoas no ar foi capaz de levantar voo A primeira máquina voadora que alçou voo foi construída pelo cientista e inventor brasileiro o padre secular Bartolomeu Lourenço de Gusmão 1685 1724 que também precisou de uma longa jornada de tentativa e erro para que apenas em 03 de outubro de 1709 na ponte da Casa da Índia fizesse uma nova experiência conseguindo elevar um balão maior que os demais utilizados em outras ocasiões porém ainda incapaz de carregar uma pessoa e que flutuou por um tempo e pousou suavemente O primeiro balão tripulado foi construído pelos irmãos Montgolfier Joseph Michel 17401810 e Jaques Étienne 17451799 Em 5 de junho de 1783 eles exibiram um balão que tinha 32 m de circunferência feito de linho e que foi cheio com fumaça de uma fogueira de palha seca subindo cerca de 300 m voou durante cerca de 10 minutos e pousou depois de percorrer uma distância em torno de 3 km Como todas as descobertas da ciência após as primeiras tentativas bem sucedidas pôde ser aprimorada e adaptada à várias situações hoje encontramos lugares em que os passeios de balão acontecem e são perfeitamente dominados TÓPICO 3 APLICAÇÕES 67 Para compreender o desenvolvimento desta experiência é preciso se aprofundar nos estudos de Cálculo Integral porém é difícil descrever com precisão onde este se originou muitos matemáticos contribuíram para o desenvolvimento das técnicas e estudo das aplicações alguns até não tão estruturados quanto outros A conciliação das partes conhecidas e utilizadas aliada ao desenvolvimento e aperfeiçoamento das técnicas aconteceu com Newton e Leibniz que deram origem aos fundamentos mais importantes do Cálculo as Derivadas e as Integrais Na Grécia havia um problema chamado quadraturas A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas eram as de figuras curvilíneas como o círculo ou figuras limitadas por arcos de outras curvas nesse contexto Arquimedes é novamente uma figura importante para solucionar essa questão sendo uma das maiores contribuições para o Cálculo surgiu por volta do ano 225 aC tratase de um teorema para a quadratura da parábola Outras integrações foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o volume da esfera e a área da superfície esférica o volume do cone e a área da superfície cônica a área da região limitada por uma elipse o volume de um paraboloide de revolução e o volume de um hiperboloide de revolução Neste caso utilizaremos as integrações para encontrar o volume O Cálculo Integral é o estudo das definições propriedades e aplicações de dois conceitos relacionados as integrais indefinidas e as integrais definidas O processo de encontrar o valor de uma integral é chamado integração Temos então dois tipos de integral Indefinida e Definida Nosso estudo permeia a integral definida que se insere uma função e extrai um número o qual fornece a área entre o gráfico da função e o eixo do x A definição técnica da integral definida é o limite da soma das áreas dos retângulos chamada Soma de Riemann A noção de integral definida pode ser estendida para funções de duas ou mais variáveis Para o desenvolvimento dos cálculos aplicáveis ao exemplo do voo do balão a integral dupla que é a extensão para a função de duas variáveis será fundamental Instigados por esse interesse comum no voo do balão desenvolvemos os cálculos que nos apresentam como é possível que um objeto flutue no ar apresentando as forças atuantes e as teorias envolvidas Partimos da teoria do Empuxo que representa a força resultante exercida pelo fluido sobre um corpo Arquimedes descobriu que todo o corpo imerso em um fluido em equilíbrio dentro de um campo gravitacional fica sob a ação de uma força vertical com sentido oposto a este campo aplicada pelo fluido cuja intensidade é igual a intensidade do Peso do fluido que é ocupado pelo corpo 68 UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS A Hidrostática é a parte da Física que estuda os fluídos tanto líquidos como os gasosos em repouso ou seja que não estejam em escoamento movimento Para aplicarmos a teoria de Arquimedes precisaremos definir a massa específica do ar e a massa específica do gás dentro do balão A equação que define a massa específica do ar Onde P pressão Pa M Massa Molar KG KMOL R Constante universal do gás perfeito 831JmolK T Temperatura K Definimos então o empuxo a partir da equação Nessa equação precisaremos do volume que será definido a partir da integral dupla Considerando os três eixos x y e z o volume do círculo será dado a partir da equação 2 2 2 2 z R x y 2 2 2 z R x y 2 2 2 z f x y R x y TÓPICO 3 APLICAÇÕES 69 Integraremos apenas metade do volume do círculo 2 2 0 R R r r dr 2 2 2 0 2 2 2 R u R r u du du rdr du rdr 2 0 1 2 R u du 2 3 1 2 3 0 R u 3 2 3 2 1 1 3 3 R R 2 3 0 1 2 3 V R d π θ 3 2 1 2 3 0 V R π θ 3 1 2 2 3 V R π 3 4 3 V π R Esse volume que pode ser encontrado na equação do Empuxo de Arquimedes pode então ser também definido por integral Finalizamos com a equação abaixo que compõe todas as equações encontradas Massa ρ ar frio ρ gás FONTE CASTRO Fernando Andrade CASTRO Karine Oliveira VILELA Luana Cruz Aplicação prática de cálculo integral e diferencial em um balão de ar quente Curitiba UNIBRASIL 2016 70 RESUMO DO TÓPICO 3 Neste tópico você estudou que A massa de um corpo é calculada por A carga elétrica é calculada por O ponto que caracteriza o centro de massa de um corpo pode ser calculado por O momento de inércia de um corpo em torno do eixo x é dado por Podemos também determinar o momento de inércia em torno da origem também chamado de momento polar de inércia ou momento de inércia em torno do eixo Z Da mesma forma o momento de inércia em torno do eixo y é dado por e δ D m x y dxdy δ D q x y dxdy δ δ y D D x x y dxdy M x m x y dxdy δ δ y D D x x y dxdy M x m x y dxdy 2 δ x D I y x y dxdy 2 δ y D I x x y dxdy 2 2 0 δ x y D I I I x y x y dxdy y y 71 Acadêmico o processo de resolução de sistemas lineares pode parecer complicado no começo no entanto não desista É normal escolhermos caminhos que não nos levem à resposta esperada nas primeiras tentativas mas o importante é reconhecer que a escolha foi errada e recomeçar outra vez Lápis borracha e mãos à obra 1 Em engenharia é costumeiro não nos depararmos com superfícies com densidades regulares Existe para isto uma função fxy 0 em que podemos calcular a densidade de um corpo em qualquer ponto chamada de função densidade Isso auxilia muito na análise do centro de massa de um corpo que é amplamente necessário no equilíbrio estático dos corpos na engenharia como um todo Sendo assim a Calcule as coordenadas do centro de massa de um corpo que possui a forma de uma lâmina triangular limitada por x 0 y 4 e 2x y 0 e que possui função densidade fxy 2xy b Calcular a massa total e o centro de massa de uma chapa que tem a forma de uma região D limitada pela parábola y x2 pelas retas x 4 e y 0 e tem densidade δxy x c Sendo a densidade constante e igual a 4 calcule os momentos de inércia Ix Iy e I0 para a lâmina limitada por x y 2 x 0 e y 0 d Calcule a massa e o centro de massa quando δxy y na região 0 x 1 e 0 y 1 e Calcule a massa e o centro de massa do conjunto de todos os pontos tais que 1 x2 y2 4 e y 0 sabendo que a densidade é proporcional à distância do ponto a origem f Sabendo que a carga elétrica distribuída sobre uma região D situada no retângulo de vértices 42 02 40 e 00 está associada a uma função densidade de carga definida por δxy xy em coulomb por metro quadrado Cm² calcule a carga total desenvolvida nesta região AUTOATIVIDADE UNIDADE2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO VETORIAL OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM A partir do estudo desta unidade você será capaz de definir curvas em ℝ² e ℝ³ calcular o vetor tangente de uma função vetorial calcular a derivada direcional gradiente divergência rotacional definir campo escalar e vetorial definir e calcular integrais de linha PLANO DE ESTUDOS Esta unidade está dividida em três tópicos No decorrer da unidade você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado TÓPICO 1 FUNÇÕES VETORIAIS E CURVAS TÓPICO 2 CAMPOS VETORIAIS TÓPICO 3 INTEGRAIS DE LINHA 75 TÓPICO 1 FUNÇÕES VETORIAIS E CURVAS UNIDADE 2 1 INTRODUÇÃO A principal motivação para definirmos curvas foi observando como as partículas se moviam ou seja os pesquisadores queriam determinar a trajetória que a partícula descrevia no plano descrever sua posição em cada instante de tempo Para isso em cada instante de tempo t foi associado a um vetor que depende de t esse vetor representa a posição da partícula no instante de tempo t Iniciaremos o estudo de curvas com as curvas em duas dimensões 2 para então estender o conceito para curvas em 3 É importante ressaltar que o foco principal desta unidade é o estudo das integrais de linhas porém sem o conceito de curvas isso se torna praticamente impossível O estudo de campos vetoriais e principalmente de integrais de linha se deu no início do século XIX para resolver problemas que envolviam o escoamento de fluidos que é umas das principais aplicações desse assunto Outros exemplos de aplicações podem ser quando trabalhamos com forças elasticidade e magnetismos 2 FUNÇÕES VETORIAIS Iniciando nosso estudo vamos definindo o que são funções vetoriais Até agora já estudamos funções reais que são funções que associam uma variável real a outra variável real e as funções de várias variáveis reais que são as funções que associam várias variáveis reais a uma variável real Nos dois casos de funções estudadas o contradomínio das funções sempre estava contido em as funções vetoriais estendem esse contradomínio podendo ser n para qualquer n 1 Em geral as funções vetoriais mais utilizadas são as que têm contradomínio contido em 2 e 3 também estudaremos as funções vetoriais que têm apenas uma variável real Definição uma função vetorial de uma variável real t com t I e I um intervalo é uma função que associa a variável t a um vetor de n ou seja 1 2 n f t f t f t f t UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO 76 em que f1 f2 fn são funções de uma variável real Para denotar que estamos trabalhando com uma função vetorial geralmente usamos a seta sobre a função f Quando o contradomínio da função está contido no conjunto 2 podemos usar a seguinte notação com i e j a base canônica de 2 i 1 0 e j 01 com i j e k a base canônica de 3 i 1 0 0 j 01 0 e k 0 01 1 2 f t f t i f t j E quando o contradomínio estiver contido em 3 podemos usar a notação 1 2 3 f t f t i f t j f t k São exemplos de funções vetoriais 2 3 1 f t t t 3 3 2 2 f t i t j t k Aqui também podemos operar com as funções vetoriais porém precisamos ficar atentos acadêmico na operação de soma subtração precisamos trabalhar com funções em que os contradomínios sejam iguais Considere as funções vetoriais 1 2 1 2 e n n f t f t f t f t g t g t g t g t e a função real ht então a Somasubtração somamos subtraímos cada coordenada separadamente 1 1 n n f t g t f t g t f t g t TÓPICO 1 FUNÇÕES VETORIAIS E CURVAS 77 b Multiplicação por uma função real 1 n h t f t h t f t h t f t Exemplo sejam 3 3 2 2 f t i t j t k 2 2 g t ti t j t k e 2 2 h t t Calcule as operações a seguir a f t g t Resolução basta somarmos cada uma das coordenadas b f t g t c f t h t d f t g t 3 2 3 2 2 2 f t g t i t j t k ti t j t k 2 3 3 2 2 2 t i t t j t t k 2 2 3 2 2 1 t i t t j t t k Resolução basta subtrairmos cada uma das coordenadas 3 2 3 2 2 2 f t g t i t j t k ti t j t k 2 3 3 2 2 2 t i t t j t t k 2 2 3 2 2 1 t i t t j t t k Resolução aqui devemos calcular cada coordenada de f por h 3 2 3 2 2 2 f t h t i t j t k t 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 t i t t j t t k 2 3 2 3 5 3 6 2 4 2 4 2 t i t t t j t t k 2 3 2 5 3 3 6 2 2 4 2 4 t i t t t j t t k UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO 78 Resolução esta situação só ocorre quando trabalhamos com funções vetoriais que têm contradomínio em 3 produto vetorial nesse caso calculamos o determinante das coordenadas das funções de f e g como a seguir 3 2 3 2 2 2 i j k f t g t t t t t t 3 2 3 2 2 2 2 3 2 3 2 2 i t t j t t k t i t t j t k t t 2 4 2 5 2 4 2 2 3 2 6 2 t t i t j t k t i t j t t k 5 2 4 2 2 2 4 2 6 2 2 t t t i t t j t t k Naturalmente acadêmico aqui também introduziremos o conceito de limite de funções vetoriais e como a definição de funções vetoriais é uma composição de funções reais a definição de limite também segue o mesmo padrão ou seja calcular o limite de uma função vetorial é o mesmo que calcular o limite em cada uma das suas coordenadas 0 0 0 1 lim lim lim n t t t t t t f t f t f t Exemplo calcule o limite 2 2 2 2 lim 4 4 t t t t t Resolução para calcular o limite vamos trabalhar com cada coordenada separadamente já que 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lim 4 lim lim 4 lim 4 4 t t t t t t t t t t t t Como 2 2 2 lim 1 2 t t 2 lim 4 4 2 8 t t TÓPICO 1 FUNÇÕES VETORIAIS E CURVAS 79 2 2 2 2 2 2 1 1 1 lim lim lim 4 2 2 2 2 2 4 t t t t t t t t t concluímos que 2 2 2 2 1 lim 4 1 8 4 4 t t t t t Tendo a definição de limite de funções vetoriais podemos estender a definição de continuidade para funções vetoriais Dizemos que uma função vetorial é contínua no ponto t0 se todas as suas componentes são contínuas em t0 ou seja se está definido existe 0 i f t 0 i f t 0 lim t t ii f t 0 lim t t ii f t 0 0 lim t t iii f t f t 0 0 lim t t iii f t f t A função vetorial do exemplo anterior não é contínua em t0 2 pois f 2 não está definido Porém ela é contínua em t0 1 pois 2 1 2 1 1 4 1 2 4 1 1 4 3 i f 2 1 2 2 1 lim 4 2 4 4 3 t t ii t t t 1 lim 1 iii t f t f Se uma função vetorial é contínua em todos os pontos do seu domínio dizemos que a função é contínua 3 CURVAS Se uma função vetorial f t é contínua para todo t I então chamamos de curva o lugar geométrico formado pelos pontos de n que tem como vetor posição a função f t No caso de uma função cujo contradomínio é 3 temos a seguinte representação de curva UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO 80 GRÁFICO 1 REPRESENTAÇÃO DE CURVA FONTE Flemming e Gonçalves 2007 p 104 z y x C ft Exemplo esboce a curva dada pela função vetorial 2 3 f t ti j no intervalo de 1 t 2 Resolução nesse caso o contradomínio está contido em logo a curva está em 2 vamos determinar alguns pontos dessa curva t xy 0 03 1 23 2 43 1 23 f t 0 0 3 f i j 1 2 3 f i j 2 4 3 f i j 1 2 3 f i j TÓPICO 1 FUNÇÕES VETORIAIS E CURVAS 81 GRÁFICO 2 REPRESENTAÇÃO DA CURVA FONTE Os autores Observe que não estamos considerando x como variável independente mas sim t o plano cartesiano xy ajuda na representação gráfica da curva Outra observação importante é que a representação paramétrica dessa curva é dada por 2 para todo 1 2 3 x t t y As equações x 2t e y 3 são chamadas de equações paramétricas da curva e t é chamado de parâmetro Para curvas em 3 dada pela função vetorial f t x t i y t j z t k t a b as equações paramétricas são x x t y y t z z t com parâmetro t I e I a b um intervalo de UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO 82 Exemplo alguns exemplos de curvas em 3 a f t t t t para 0 t 2 A curva é uma reta b cos f t t sen t t para 0 t 2π Essa curva é chamada de hélice circular 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 0 0 1 2 2 2 3 3 3 4 4 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 0 0 0 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 6 TÓPICO 1 FUNÇÕES VETORIAIS E CURVAS 83 c cos f t t sen t t para 2π t 2π d cos sen f t t sen t t para 0 t 2π A partes pontilhadas das curvas significam que elas estão abaixo do plano São muitas as curvas já estudadas pelos matemáticos o site httpswww matematicaptutilcurvasphp fez uma compilação das curvas em 2 mais famosas já estudadas DICAS 1 1 1 1 0 0 0 2 2 2 3 4 3 4 1 1 2 2 2 3 3 4 4 1 1 1 1 1 0 0 0 2 2 2 3 3 4 2 2 2 3 3 4 UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO 84 Podemos classificar as curvas em 3 como sendo planas ou reversas quando a curva é plana significa que ela está contida sobre um plano no espaço como as curvas a e d do exemplo anterior já as curvas b e c são reversas pois não estão contidas em um plano Nas duas próximas subseções parametrizaremos algumas curvas iniciaremos parametrizando curvas em 2 e então curvas em 3 31 CURVAS PARAMÉTRICAS EM E EM As curvas em 2 são funções vetoriais com duas componentes Já as curvas em 3 são funções vetoriais com três componentes Apresentaremos a parametrização de algumas curvas nesses dois espaços Para parametrizar uma reta tanto em 2 quanto em 3 precisamos ter um ponto da reta P0 e o vetor direção da reta v então a equação paramétrica da reta é 0 r t P vt Exemplo dados os pontos A 111 e B 123 da reta r determine sua equação paramétrica Resolução neste exemplo o ponto P0 pode ser tanto A quando B vamos escolher P0 A mas não temos o vetor direção v porém o vetor direção é o vetor que liga os pontos A a B e esse vetor é calculado como a diferença entre os pontos 123 111 012 v B A assim a equação paramétrica da reta que passa pelos pontos P e P0 é 111 012 r t t ou ainda 1 1 1 2 x t r t y t t z t t 2 3 TÓPICO 1 FUNÇÕES VETORIAIS E CURVAS 85 GRÁFICO 3 RETA QUE PASSA PELOS PONTOS A E B FONTE Os autores A mesmo ideia é usada para determinar a equação paramétrica de uma reta em 2 Avançando o nosso estudo de curvas paramétricas vamos considerar agora uma elipse em 2 dada pela equação reduzida 2 2 2 1 1 4 9 x y Observe que a elipse tem centro no ponto 2 1 seu eixo maior mede 3 e o eixo menor mede 2 Reescrevendo a equação anterior temos 2 2 2 1 1 2 3 x y A equação anterior lembra muito a identidade trigonométrica 2 2 cos 1 t sen t 1 1 1 1 0 0 0 1 2 3 4 1 2 2 3 3 2 2 3 2 3 UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO 86 assim se igualarmos 2 cos 2 x t 1 3 y sen t temos 2 2cos 1 3 x t t r t y t sen t Como o período das funções seno e cosseno é igual a 2π podemos impor que o parâmetro t esteja no intervalo de 0 até 2π 0 t 2π No caso geral se o centro da elipse é x0y0 e a medida dos eixos são a e b então a equação paramétrica é dada por 0 0 cos x t x a t r t y t y bsen t para todo 0 t 2π Quando trabalhamos com uma elipse no espaço que for paralela ao plano xy basta determinar um valor constante para z Porém quando a elipse não é paralela ao plano xy temos que utilizar outro artifício Para as elipses que são paralelas ao plano xy a parametrização da elipse centrada em x0y0z0 e com a medida dos eixos iguais a a e b é dada por 0 0 0 cos x t x a t r t y t y bsen t z t z para todo 0 t 2π TÓPICO 1 FUNÇÕES VETORIAIS E CURVAS 87 para todo 0 t 2π As observações acima são feitas para uma elipse paralela ao plano xy os mesmos argumentos podem ser utilizados para elipse paralela ao plano xy ou yz nesses casos vamos considerar o valor constante como sendo y ou x respectivamente Uma outra observação importante é que a dedução feita anteriormente vale para elipse mas como as circunferências são casos particulares de elipses podemos usar a mesma parametrização apenas considerando a b Exemplo determine a equação paramétrica da circunferência formada pela interseção do plano x 2 com o sólido y2 z2 16 Resolução note que aqui a equação y2 z2 16 só depende de y e z então sua parametrização no plano yz é 4cos 4 y t t r t z t sen t para todo 0 t 2π já que a equação é uma circunferência de centro 00 e a medida do raio eixos é 4 Como a curva está no plano x 2 temos que a equação paramétrica da curva é 2 4cos 4 x t r t y t t z t sen t GRÁFICO 4 CIRCUNFERÊNCIA NO ESPAÇO FONTE Os autores 2 2 2 2 4 4 4 6 0 0 0 2 2 4 4 4 6 6 UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO 88 Lembrese de que uma circunferência é um caso particular de elipse já que na circunferência a b NOTA Quando a curva paramétrica tem o mesmo valor para o ponto inicial e final de t como no caso da circunferência 0 2 r r π dizemos que a curva é fechada se só existirem esses dois parâmetros onde a curva é igual então dizemos que a curva é simples Seguindo o mesmo raciocínio para parametrizar uma elipse no espaço apenas tornando o valor de z ou x ou y não mais constante mas sim dependendo de t encontramos curvas totalmente diferentes Note que nos dois exemplos estudados anteriormente as curvas eram planas pois estavam sobre um plano Quando trocamos adequadamente o valor de z ou x ou y para algo que dependa de t encontramos curvas reversas como é o caso da curva chamada de hélice circular Exemplo considere a curva dada pela parametrização 2 4cos 4 t x t r t y t t z t sen t para 2π t 6π Resolução neste exemplo aumentamos o intervalo de t no outro exemplo aumentar o intervalo de t não interfere na curva pois ela fica sobre ela mesma mas aqui não como podemos ver no gráfico a seguir TÓPICO 1 FUNÇÕES VETORIAIS E CURVAS 89 GRÁFICO 5 HÉLICE CIRCULAR FONTE Os autores AUTOATIVIDADE Usando o software Geogebra ou outro de sua preferência construa gráficos de curvas apenas alterando o valor de x no exemplo anterior 4 DERIVADA E INTEGRAL DE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL Como você já deve imaginar acadêmico no caso de derivadas procedemos de maneira análoga ao que fizemos para calcular o limite calculamos a derivada de uma função vetorial calculando as derivadas das componentes Dada uma função vetorial 1 2 n f t f t f t f t a sua derivada em relação à t é 1 2 n f t f t f t f t Aqui reforçamos a seguinte observação a função é vetorial porém só tem uma variável independente 6 4 2 2 0 0 0 2 2 2 2 4 4 6 6 8 8 10 4 4 6 6 8 8 10 10 12 14 8 UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO 90 Exemplo calcule a derivada da função vetorial 2 2 4 f t t i tj k Resolução temos que trabalhar com as componentes separadamente 2 1 1 2 4 f t t f t t 2 2 1 f t t f t 3 3 4 0 f t f t Portanto a derivada da função vetorial é 4 0 f t ti j k Se quisermos saber a derivada em um ponto t0 basta aplicarmos esse valor na derivada Considere t0 3 então 3 12 0 f i j k Aqui também valem as seguintes regras de derivação i ii iii com c uma constante iv f t g t f t g t cf t c f t f t h t f t h t f t h t f h t f h t h t Quando a curva ft tem derivada primeira e a sua derivada é contínua e diferente de zero dizemos que a curva é suave No Tópico 3 trabalharemos com as integrais de linha para isso utilizaremos sempre as curvas que são suaves A integração de uma função vetorial também vai ser feita componente a componente ou seja dada uma função vetorial 1 2 n f t f t f t f t TÓPICO 1 FUNÇÕES VETORIAIS E CURVAS 91 a sua integral em relação à t é 1 2 n f t dt f t dt f t dt f t dt Exemplo calcule a integral da função vetorial 24cos 4 f t t sen t Resolução note que esta função vetorial é uma circunferência de raio igual a 4 e paralela ao plano yz essa curva já foi estudada em um exemplo anterior Sua integral é 2 4cos 4 f t dt dt t dt sen t dt Como as integrais das componentes da função são 1 2 2 dt t c 2 4cos 4 t dt sen t c 3 4 4cos sen t dt t c temos que 1 2 3 2 4 4cos f t dt t c sen t c t c A integração também pode ser definida vamos integrar a função no intervalo de 0 até 2π 2 2 2 2 0 0 0 0 2 4cos 4sen f t dt dt t dt t dt π π π π UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO 92 como 2 0 2 2 2 2 2 2 0 4 0 dt t π π π π 2 0 2 4cos 4 4 2 4 0 0 0 t dt sen t sen sen π π π 2 0 2 4sen 4cos 4cos 2 4cos 0 0 0 π π π t dt t temos 2 0 4 0 0 π π f t dt Exemplo suponha que uma partícula está se movendo com a seguinte aceleração at 4t6t1 e sabendo que sua velocidade inicial era v0 111 determine a velocidade da partícula no tempo t Resolução lembrese de que a aceleração é a derivada da velocidade a t v t logo a velocidade é 4 6 1 v t a t dt tdt tdt dt 2 2 1 2 3 4 6 2 2 t t c c t c Para determinar as constantes c1 c2 e c3 vamos utilizar a velocidade inicial 1 2 3 1 11 0 v c c c TÓPICO 1 FUNÇÕES VETORIAIS E CURVAS 93 Portanto a velocidade é 2 2 4 1 6 1 1 2 2 t t v t t 41RETA TANGENTE Quando trabalhamos com uma função de uma variável real fx sabemos que a equação da reta tangente ao gráfico no ponto x0 é dada pela equação 0 0 0 y f x f x x x e também aprendemos na seção anterior que a equação paramétrica de uma reta é dada por 0 r t P vt com P0 um ponto da reta e v um vetor direção da reta Veja que há muita semelhança entre as duas equações Suponha que queremos saber a reta tangente a curva g t quando t t0 nesse caso se avaliarmos g t no ponto t0 sabemos que g t0 é um ponto da curva mas também pertence à reta então será o nosso P0 além disso o vetor direção da reta tangente é dado pela derivada da curva avaliada no ponto t0 0 v g t portanto a reta tangente a uma curva g t no ponto t0 é 0 0 r t g t g t t O vetor tangente unitário de uma curva g t é dado pela fórmula g t T t g t Já o vetor normal unitário a uma curva é dado pela fórmula N t T t Para estudar o movimento de uma partícula em geral decompomos a aceleração dessa partícula em duas componentes uma na direção da tangente e outra na direção normal UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO 94 Exemplo uma partícula está se movendo segundo a função velocidade vt 2t t2 Determine vetor normal e vetor tangente da velocidade no instante t 1 Resolução vamos derivar a função velocidade em relação a t 2 2 v t t e a norma desse vetor é 2 2 2 2 2 2 4 4 2 1 v t t t t logo o vetor tangente unitário é 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 t t T t t t t Já o vetor normal unitário é 2 3 2 3 2 2 1 1 1 1 t t N t T t t t t Portanto os vetores tangente unitário e normal no instante t 1 são 1 1 1 1 1 e 1 2 2 2 2 2 2 T N Veja a representação desses vetores no gráfico a seguir TÓPICO 1 FUNÇÕES VETORIAIS E CURVAS 95 GRÁFICO 6 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS VETORES TANGENTE E NORMAL FONTE Os autores 42 COMPRIMENTO DE ARCO Quando temos uma curva f t definimos o comprimento desse arco como b a C f t dt como a e b o ponto inicial e final da curva No caso de duas dimensões temos f t x t y t então o comprimento de arco é dado pela expressão 2 2 b a C x t y t dt Já no caso de três dimensões temos f t x t y t z t então o comprimento de arco é dado pela expressão 2 2 2 b a C x t y t z t dt UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO 96 Vejamos um exemplo de arco sabemos que o comprimento de uma circunferência é C 2πr com r o raio da circunferência Vamos verificar que essa expressão é verdadeira utilizando a fórmula anterior sabemos que a curva que parametriza uma circunferência em 2 é com r o raio da circunferência então a derivada de f t é f t r cos t r sen t cos f t r sen t r t para 0 t 2π então o comprimento de arco é 2 2 2 0 cos π C r sen t r t dt 2 2 2 2 0 cos r sen t t dt π como sen2t cos2t 1 concluímos que o comprimento da circunferência é 2 0 2 2 0 2 0 C r dt rt r r r π π π π Quando trabalhamos com uma circunferência em 3 o comprimento deve ser igual a 2πr em que r é o raio da circunferência Verifique que vale a igualdade NOTA TÓPICO 1 FUNÇÕES VETORIAIS E CURVAS 97 Vejamos mais um exemplo de comprimento de arco Exemplo calcule o comprimento da hélice circular 2 4cos 4 t x t r t y t t z t sen t para 2π t 6π Resolução temos que encontrar a derivada das componentes da curva logo e o comprimento da hélice circular é 1 2 x t 4 y t sen t 4 z t cos t 2 6 2 2 2 1 4 4cos 2 π π C sen t t dt 6 2 2 2 1 16 cos 4 sen t t dt π π 6 6 2 2 1 65 16 4 2 dt dt π π π π 6 65 65 65 6 2 2 65 2 2 2 2 t π π π π π Outra informação que podemos retirar das curvas é sua curvatura a curvatura indica quanto a curva muda de direção para calcular a curvatura de uma curva f t usamos a seguinte fórmula κ T t t f t UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO 98 em que Tt é o vetor tangente unitário Exemplo calcule a curvatura de uma circunferência de raio r que pertence ao plano z 1 Resolução sabemos que a parametrização em 3 é 1 f t r cos t r sen t Vamos calcular a derivada da curva 0 f t r sen t r cos t e sua norma é 2 2 2 0 f t r sen t r cos t r Agora vamos calcular o vetor tangente unitário 0 0 r sen t r cos t f t T t sen t cos t r f t e a norma da derivada do vetor tangente unitário é 2 2 cos sen 1 T t t t Portanto a curvatura da circunferência é 1 κ T t t r f t A curvatura de qualquer circunferência de raio r é sempre igual a 1 r mesmo que esta pertença a 3 ou 2 NOTA cos 0 T t t sen t 99 RESUMO DO TÓPICO 1 Neste tópico você aprendeu que Uma função vetorial de uma variável real t com t I e I um intervalo é uma função que associa a variável t a um vetor de n ou seja Dadas as funções 1 2 n f t f t f t f t 1 2 n g t g t g t g t e ht podemos calcular O limite de uma função vetorial é o mesmo que calcular o limite em cada uma das suas componentes Uma função vetorial f t é contínua se todas as suas componentes também forem Uma curva é a representação gráfica de uma função vetorial Quando a derivada de uma curva é contínua e diferente de zero dizemos que essa curva é suave A equação paramétrica da reta é 0 r t P vt A equação paramétrica da elipse no plano é em que f1 f2 fn são funções de uma variável real 1 2 n f t f t f t f t 1 1 n n f t g t f t g t f t g t 1 n h t f t h t f t h t f t 0 0 0 1 lim lim lim n t t t t t t f t f t f t 0 0 cos x t x a t r t y t y bsen t para todo 0 t 2π em que x0 y0 é centro da elipse e a e b são as medidas dos eixos 100 A equação paramétrica da elipse no espaço é para todo 0 t 2π em que x0 y0 z0 é centro da elipse e a e b são as medidas dos eixos Dada uma função vetorial 1 2 n f t f t f t f t a sua derivada em relação a t é a derivada em relação a t das suas componentes Dada uma função vetorial 1 2 n f t f t f t f t a sua integral em relação a t é igual à integral das suas componentes A reta tangente a uma curva g t no ponto t0 é 0 0 r t g t g t t O vetor tangente unitário de uma curva g t é dado pela fórmula Quando temos uma curva f t no intervalo a t b definimos o comprimento desse arco como Para calcular a curvatura de uma curva f t usamos a seguinte fórmula em que Tt é o vetor tangente unitário O vetor normal unitário a uma curva g t é dado pela fórmula 0 0 0 cos x t x a t r t y t y bsen t z t z 1 2 n f t f t f t f t 1 2 n f t dt f t dt f t dt f t dt g t T t g t N t T t b a C f t dt κ T t t f t 101 AUTOATIVIDADE Acadêmico o processo de entendimento total do conteúdo finaliza aqui Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explorados neste tópico Bom estudo 1 Dadas as funções vetoriais 2 4 f t t i tj 2 2 g t sen t i t j e 3 2 3 h t t t calcule o que se pede a f t g t b f t g t c f t h t d h t g t e 1 1 f t g t 2 Esboce a curva formada pela função vetorial a 2 4 f t t i tj b 2 2 1 f t ti t j c 3cos 3 f t t sen t para 02 t π 3 O movimento de um besouro que desliza sobre a superfície de uma lagoa pode ser expresso pela função em que m é a massa do besouro A posição do besouro no instante de tempo t π é a 1 2 2 m 1 m π b 1 0 2 m 1 m π c 1 2 2 m 1 m π d 1 0 2 m 1 m π 1 cos 2 t t sen t g t i t j m m 102 4 Calcule o limite a seguir a 2 0 lim t sen t t t b 2 3 2 0 lim cos 2 t t t e t sen t c 2 1 lim 8 cos 2 1 t t t t t t d 3 3 1 lim 2 1 t t t t te tsen t t 5 Calcule a derivadas das funções vetoriais a seguir a 2 3 2 3 1 2 f t t sen t b 4 cos 3 f t t sen t c 4 t f t i j e k d 2 ln 1 3 t f t e i j t k e 2 1 f t t i t t j tsen πt k 6 Encontre a equação paramétrica da reta tangente no ponto f t0 das funções a seguir a 2 0 2 4 0 2 f t t t t t b 2 2 0 2 3 4 1 5 2 f t t t t t c 0 4 3 0 3 f t sen t sen t t t π π 7 Uma curva é o lugar geométrico de uma função vetorial em que essa função vetorial representa o vetor posição Suponha que dois carros estão se movendo segundo os vetores posição 2 1 2 2 2 t r t t 2 7 8 7 1 2 r t t i t j 103 Sabendo o vetor posição em relação ao tempo dos dois carros determine se é possível os dois carros se chocarem a Sim quando t 10 b Sim quando t 127 c Sim quando t 1000 d Não 8 Calcule a integral das funções vetoriais a seguir a 2 2 f t t sen t t tcos t b 4 cos 3 f t t sen t c 3 5 3 f t ti t j t k d 2 1 f t t i t t j tsen πt k 9 Determine o vetor tangente unitário e o vetor normal unitário das curvas a seguir no ponto dado a cos 3 f t t t sen t t π b 2 2 2 3 4 2 f t t t t c 4 3 2 f t sen t sen t t π 10 Determine o comprimento de curva e a curvatura das curvas a seguir a 2 2 2 3 4 1 5 b f t t t t b 4 3 0 f t sen t sen t t π 104 11 A curva a seguir nos mostra a famosa representação gráfica da helicoidal Sua representação é dada pela seguinte parametrização 9 t sen t cos t γ Sendo que se trata de uma parametrização em ³ Pensando agora nas parametrizações em ³ analise as sentenças a seguir e as classifique em V para as verdadeiras e F para as falsas Em seguida assinale a opção correta A parametrização tt2 referese à curva gerada pela parábola y x2 A parametrização 2sent2cost referese à curva gerada pela circunferência x2 y2 2 A curva x y2 1 do ponto 21 até 103 tem com parametrização t2 1t com 2 t 10 A parametrização da curva y x3 pode ser vista como t3t3 A sequência CORRETA é a V V V F b V F V F c V F F F d F V F V 12 A função vetor tangente a uma curva tratase de um conjunto de vetores que indicam os sentidos que a curva toma ao longo de seu percurso A imagem a seguir lida com esta definição fazendo uma associação com o vetor velocidade 2 P0 xy P0 tv v 105 É de conhecimento também que a norma do vetor tangente mede a intensidade comprimento do vetor tangente Desta forma dada a parametrização sent cost t com 0 t 1 assinale a opção que apresenta corretamente o comprimento de seu vetor tangente a 1 b 2 c ½ d 2 107 TÓPICO 2 CAMPOS VETORIAIS UNIDADE 2 1 INTRODUÇÃO No tópico anterior iniciamos o estudo das funções vetoriais porém apenas estudamos as funções vetoriais que têm o domínio como sendo um subconjunto dos números reais neste tópico estenderemos o conceito de funções vetoriais estendendo o domínio ou seja agora teremos uma função cujo domínio está contido em n para todo n 1 estudaremos funções da forma n n f 1 1 1 1 n n n n f x x f x x f x x com n número natural As propriedades estudadas anteriormente continuam valendo para essas novas funções mas aqui também estudaremos outras propriedades como campos vetoriais e escalares Em relação às derivadas serão introduzidos outros conceitos como divergente e rotacional 2 CAMPO VETORIAL O estudo dos campos vetoriais vai muito além de apenas um conceito matemático No dia 22022019 o meteorologista Leandro Puchalski em sua página na internet disponível em httpswwwnsctotalcombrcolunistaspuchalski umfimdesemanadepraiaemuitocalor Acesso em 17 maio 2019 divulgou uma matéria prevendo que no final de semana o estado de Santa Catarina teria altas temperatura em sua matéria ele escreveu os seguintes parágrafos A presença de ventos em altitude que trazem ar quente do Centro Norte do Brasil colabora para termos um fim de semana de altas temperaturas Além disso um ar quente que antecede uma frente fria sistema de chuva também irá colaborar para um domingo muito quente Previsão de temperaturas durante as tardes dos dois dias entre 35 e 37ºC em muitas cidades com picos um pouco acima disso em cidades do Sul Vale do Itajaí e Norte UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO 108 Para justificar o que ele estava prevendo foi inserida na matéria a figura a seguir que mostra como o ar está se deslocando sobre a América do Sul principalmente no Brasil Ele afirma que os ventos trariam o ar quente que está no Centro do Brasil para o Sul e isso é possível ver na figura já que as setinhas brancas que estão sobre o Centro do Brasil estão direcionadas para o Sul FIGURA 1 IMAGEM DAS CORRETES DE AR DO DIA 22022019 FONTE httpsfilesnsctotalcombrs3fspublicstylesteaserimagepublicgraphqlupload filesSem20tC3ADtulo80jpg2b6UgGH2wi6fNjmYSAIZNi5gEZHlhMTitokApMs73Mb Acesso em 17 maio 2019 Outros exemplos de aplicações de campo vetorial são correntes marítimas forças magnéticas As aplicações podem aparecer em diversas áreas como na física engenharias meteorologia Para representar os campos vetoriais usamos funções vetoriais cujo domínio está contido em n para n 1 e a imagem também está contida em n Quando n 2 um campo vetorial é definido por 2 2 F A F x y P x y i Q x y j como P e Q funções reais imagem está contida em e i 1 0 e j 01 a base canônica de 2 Este campo é chamado de campo vetorial bidimensional Quando n 3 temos um campo vetorial tridimensional e é definido por 3 3 F A F x y z P x y z i Q x y z j R x y z k TÓPICO 2 CAMPOS VETORIAIS 109 como P Q e 3 R e i 1 0 0 j 01 0 e k 0 01 a base canônica de 3 Observe que não podemos representar graficamente uma função cujo domínio é 2 e imagem em 2 pois precisaríamos de quatro dimensões e sabemos que não existe representação disso Para representar graficamente a função colocamos tanto o domínio quanto a imagem no mesmo plano o domínio será representado por pontos e a imagem será representada por vetores O mesmo acontece com um campo vetorial em 3 Exemplo represente graficamente o campo vetorial F x y j Resolução observe que para qualquer valor de x e y temos que Fxy 01 ou seja é constante por exemplo se xy 00 temos que F00 01 marcamos o ponto xy 00 e o vetor que sai do ponto 00 e tem sentido e direção do vetor 01 GRÁFICO 7 CAMPO VETORIAL DE F x y j FONTE Os autores Agora vamos considerar o ponto xy 11 temos que F11 01 então marcamos o ponto 11 e o vetor que sai do ponto 11 e tem sentido e direção do vetor 01 Não importa o ponto xy em 2 que escolhermos o vetor sairá desse ponto e terá sentido e direção do vetor 01 UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO 110 GRÁFICO 8 CAMPO VETORIAL DE F x y j FONTE Os autores FONTE Os autores Exemplo represente graficamente o campo vetorial Fxy yx Resolução primeiro precisamos considerar alguns valores xy Fxy 00 00 10 01 10 01 01 10 01 10 GRÁFICO 9 CAMPO VETORIAL DE Fxy yx TÓPICO 2 CAMPOS VETORIAIS 111 Nem sempre é tão simples construir o campo de vetores para isso podemos usar o software GeoGebra para representar campos vetoriais disponível em httpswwwgeogebraorgmZGgddgVD O campo de vetores do exemplo é dado pelo gráfico a seguir GRÁFICO 10 CAMPO VETORIAL DE Fxy yx FONTE Os autores 3 GRADIENTE Lembrese de que no curso de Cálculo Diferencial e Integral 2 estudamos as funções que tinham mais de uma variável real mas que seu contradomínio era o conjunto dos números reais essas funções também são chamadas de campos vetoriais e são funções da forma n f 1 1 n n x x f x x Também aprendemos várias propriedades envolvendo essas funções e uma delas é como calcular as derivadas parciais de funções com várias variáveis caso você não se lembre como fazer as derivadas parciais sugerimos acadêmico que você volte ao livro de Cálculo Diferencial e Integral 2 e revise esse assunto UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO 112 2 3 4 f x y y x y Exemplo calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função Resolução as derivadas parciais dessa função são 3 2 f x y xy x 2 2 4 3 f x y x y y Definimos o gradiente da função 2 3 4 f x y y x y como sendo o vetor 3 2 2 2 4 3 f x y xy x y O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais da função Dada uma função fx1 xn como as derivadas parciais 1 n f f x x então o gradiente é dado por 1 1 n n f f f x x x x Quando n 2 temos a função fxy e as derivadas parciais f x e f y então o gradiente é f f f x y x y Quando n 3 temos a função fxyz e as derivadas parciais f x f y e f z então o gradiente é f f f f x y z x y z TÓPICO 2 CAMPOS VETORIAIS 113 Note que o gradiente de um campo escalar é um campo vetorial por isso muitas vezes é chamado de campo gradiente Uma propriedade interessante de gradiente é que ele é perpendicular as curvas de nível da função e aponta para a direção e sentido de maior variação A seguir apresentamos uma aplicação de gradiente Exemplo considere a função de duas variáveis reais fxy x2 y2 determine o gradiente dessa função Resolução note que o gradiente é 2 2 f f f x y x y x y Sabemos também que as curvas de nível são círculos centradas na origem a seguir apresentamos a representação gráfica das curvas de nível e campo gradiente da função observe que o gradiente é sempre perpendicular às curvas de nível e aponta no sentido de maior variação GRÁFICO 11 CURVAS DE NÍVEL E GRADIENTE DA FUNÇÃO fxy x2 y2 FONTE Os autores UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO 114 4 ROTACIONAL Agora que temos a definição de campo vetorial definiremos operações essenciais quando trabalhamos com aplicações A primeira operação que estudaremos é a rotacional de um campo vetorial esse conceito mostra o quanto os vetores do campo vetorial se aproximam ou se afastam de um vetor normal a essa superfície uma aplicação desse conceito é um campo de velocidades de um corpo em rotação se o rotacional de um campo é diferente de zero então o campo é chamado de vórtice por exemplo um tornado o rotacional mede a capacidade de giro do campo vetorial Suponha que você encheu a pia de água e que o ralo esteja exatamente no centro da pia Quando você abre o ralo e deixa escoar a água você cria um campo vetorial vamos imaginar que seja Fxy yx como estudamos na seção anterior sabemos que seu campo é representado por GRÁFICO 12 CAMPO VETORIAL DE Fxy yx FONTE Os autores Agora se colocarmos uma moeda dentro da água esta vai se deslocar conforme o campo vetorial da água porém ela também vai girar no seu próprio eixo A capacidade de a moeda girar em seu próprio eixo é medida pelo rotacional do campo vetorial TÓPICO 2 CAMPOS VETORIAIS 115 GRÁFICO 13 CAMPO VETORIAL QUANDO O ROTACIONAL É MAIOR QUE ZERO FONTE Os autores Todavia como calculamos o rotacional de um campo vetorial Vamos começar estudando o rotacional de um campo vetorial bidimensional Definição considere um campo vetorial bidimensional Fxy PxyQxy dizemos que o rotacional de F é 0 0 Q P rot F x y Q P rot F k x y com k 0 01 Observe que o rotacional também é um campo vetorial mas nesse caso ele é um campo vetorial tridimensional No caso do campo vetorial Fxy yx do exemplo anterior o seu rotacional é 1 1 2 0 0 2 rot F k k x y UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO 116 GRÁFICO 14 CAMPO VETORIAL GERADO PELO ROTACIONAL DE Fxy yx CRIADO COM A AJUDA DO SOFTWARE GEOGEBRA FONTE Os Autores 3 2 0 1 1 0 1 3 3 2 1 1 2 3 4 4 2 Quando estamos trabalhando com campos vetoriais tridimensionais o rotacional também é um campo vetorial tridimensional Definição considere um campo vetorial tridimensional Fxyz Pxyz Qxyz Rxyz dizemos que o rotacional de F é R Q P R Q P rot F y z z x x y R Q P R Q P rot F i j k y z z x x y com i j e k a base canônica de 3 Exemplo calcule o rotacional do campo vetorial Fxyz xyxyzy2 Resolução para encontrar o rotacional temos que calcular as derivadas parciais de Pxyz xy Qxyz xyz e Rxyz y2 que são 2 R y y 0 R x Q xy z Q yz x 0 P z P x y TÓPICO 2 CAMPOS VETORIAIS 117 Assim o rotacional de F é R Q P R Q P rot F i j k y z z x x y 2 0 0 y xy i j yz x k 2 0 y x yz x Quando o rotacional de um campo vetorial for igual a zero dizemos que o campo vetorial é conservativo Quando o rotacional de um campo vetorial é igual a zero também dizemos que ele é irrotacional ou seja ele não tem rotação no caso da moeda que vimos no início da seção se o rotacional do campo vetorial for zero a moeda não vai girar em seu eixo GRÁFICO 15 CAMPO VETORIAL QUANDO O ROTACIONAL É ZERO FONTE Os autores Exemplo mostre que o campo vetorial 2 3 3 2 2 2 3 F x y z y z i xyz j xy z k é conservativo Resolução temos que calcular o seu rotacional Como Pxyz y2z3 Qxyz 2xyz3 e Rxyz 3xy2z2 e as suas derivadas parciais são x y UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO 118 2 6 R xyz y 2 2 3 R y z x 2 6 Q xyz z 3 2 Q yz x 2 2 3 P y z z 3 2 P yz y Assim o rotacional de F é R Q P R Q P rot F i j k y z z x x y 2 2 2 2 2 2 3 3 6 6 3 3 2 2 xyz xyz i y z y z j yz yz k 0 0 0 Portanto o campo vetorial F é conservativo 5 DIVERGENTE O divergente de um campo vetorial é usado para calcular como os vetores de um campo vetorial se dispersam divergência dos vetores Estudaremos o conceito de divergência no âmbito matemático e depois utilizar desse conceito em aplicações Considere um campo vetorial F F1x1 xn Fnx1 xn o divergente do campo vetorial F é o campo escalar definido n div F e dado por 1 1 n n F F div F x x Ou seja o divergente é a soma das derivadas parciais das componentes da F em relação à variável da entrada equivalente Quando n 2 temos um campo vetorial Fxy Pxy Qxy então o divergente desse campo é dado por TÓPICO 2 CAMPOS VETORIAIS 119 P Q div F x y x y x y Quando n 3 temos um campo vetorial Fxyz Pxyz Qxyz Rxyz então o divergente desse campo é dado por P Q R div F x y z x y z x y z x y z Uma outra notação para divergente que também é muito usada acadêmico é o produto escalar do gradiente com a funções vetorial div F F Exemplo calcule o rotacional do campo vetorial 2 F x y z xy xyz y Resolução como as derivadas parciais das componentes são P x y z y x Q x y z xz y 0 R x y z z temos que o divergente da função vetorial é div F y xz Observe acadêmico que o rotacional é um campo vetorial já o divergente é um escalar Na seção anterior calculamos o rotacional da função vetorial Fxyz xyxyzy2 e encontramos rot F yx 20yz x UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO 120 O que acontece se calcularmos o divergente deste campo divergente do rotF Note que o divergente de rotF é 2 0 div rot F y x yz x x y z 0 0 y y O que acabamos de verificar sempre acontece ou seja para todo campo vetorial em 3 dado por Fxyz PxyzQxyzRxyz em que as componentes têm derivadas parciais de segunda ordem satisfaz a equação divrotF 0 Note que o contrário não pode ser calculado rotdivF pois o divF é um escalar e o rotacional só pode ser calculado de um campo vetorial Quando temos um campo escalar por exemplo fxy 4y x2y3 sabemos que o gradiente desse campo escalar é 3 2 2 2 4 3 f x y xy x y Agora se calcularmos o divergente desse campo encontramos 3 2 2 2 4 3 div f x y xy x y x y 3 2 2 6 y x y O divergente do gradiente de um campo escalar é chamado de Laplaciano e também é representado pelo símbolo Δ delta e é calculado da seguinte maneira 2 2 1 1 1 1 2 2 1 n n n n n f f f x x div f x x x x x x x x O Laplaciano é a soma das segundas derivadas parciais da função escalar Os conceitos de gradiente e Laplaciano são muito usados em equações diferencias parciais Apresentaremos mais exemplos e aplicações de divergente rotacional e gradiente na próxima unidade na qual estudaremos os principais Teoremas de cálculo diferencial 121 RESUMO DO TÓPICO 2 Neste tópico você aprendeu que Um campo vetorial são funções vetoriais cujo domínio está contido em n para n 1 e a imagem também está contida em n Quando n 2 temos um campo vetorial bidimensional e é definido por 2 2 F A F x y P x y i Q x y j como P e Q funções reais Quando n 3 temos um campo vetorial tridimensional e é definido por 3 3 F A F x y z P x y z i Q x y z j R x y z k como P Q e 3 R O gradiente de um campo escalar fxy é Quando n 3 o gradiente de fxyz é O rotacional de um campo vetorial bidimensional Fxy PxyQxy é da forma f f f x y x y f f f f x y z x y z 0 0 Q P Q P rot F k x y x y 122 O rotacional de um campo vetorial tridimensional Fxyz PxyzQxyzRxyz é da forma Quando o rotacional é igual a zero dizemos que o campo vetorial é conservativo O divergente do campo vetorial F F1x1 xn Fnx1xn é dado por O divergente do rotacional de um campo vetorial é sempre 0 O Laplaciano de uma função escalar é calculado por R Q P R Q P R Q P R Q P rot F i j k y z z x x y y z z x x y 1 1 n n F F div F x x 2 2 1 1 1 1 2 2 1 n n n n n f f f x x div f x x x x x x x x 123 AUTOATIVIDADE Acadêmico o processo de entendimento total do conteúdo finaliza aqui Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explorados neste tópico Bom estudo 1 Represente graficamente os campos vetoriais a seguir a Fxy xy b Fxy 01 c Fxy x20 2 Calcule o gradiente e o laplaciano dos campos escalares a seguir a fxy x3y3 xy b fxy x2 xy y2 3y c fxy e2xy 2x 2y d fxyz x2 3y2 4z2 e fxyz zexy z3 f fxy cosxy ex 3 Encontre a função fxy cujo gradiente é 2 3 f x y x y 4 Calcule o rotacional e o divergente dos campos vetoriais a seguir a F x y z y x z b 2 2 F x y x i y j c 2 F x y xy x d F x y z yzi xzj xyk e 2 2 2 2 y x F x y i j x y x y f 1 F x y z sen z ycos z g yz yz yz F x y z e xze xye 5 Um dos campos mais utilizados é campo radial Fxy xy ou Fxyz xyz calcule o divergente e o rotacional desses campos 6 Quais dos campos vetoriais da Questão 4 são conservativos 7 Verifique que dados dois campos vetoriais F e G então vale que 124 rotF G rotF rotG e divF G divF divG 8 Os campos vetoriais são altamente utilizados no estudo do comportamento de forças em um espaço O campo vetorial a seguir é dado pela função F x y yi xj Acerca deste campo vetorial podemos afirmar que a O campo rotacional gerado por ele é nulo b Seu divergente é nulo c Ele pode ser chamado de campo radial d Possui gradiente igual à própria característica do vetor 9 No cálculo vetorial o gradiente ou vetor gradiente é um vetor que indica o sentido e a direção na qual por deslocamento a partir do ponto especificado obtémse o maior incremento possível no valor de uma grandeza a partir da qual se define um campo escalar para o espaço em consideração Em particular podese descrever um campo de temperaturas conforme o GRADIENTE DE TEMPERATURAS 125 Assim dado o campo escalar Txyz x2y y3z analise as sentenças e assinale a opção CORRETA I O gradiente de temperatura aponta para a direção de maior taxa de variação da temperatura II O gradiente de temperatura é a função 2 2 2 3 ³ T xy i x y z j y k III O gradiente aplicado no ponto P121 é o vetor 432 IV O gradiente aplicado no ponto P121 é o vetor 4138 a I e II estão corretas b II e III estão corretas c I II e IV estão corretas d III e IV estão corretas 10 Em matemática um campo vetorial ou campo de vetores é uma construção em cálculo vetorial que associa um vetor a todo ponto de uma variedade diferenciável como um subconjunto do espaço euclidiano por exemplo Isso é um campo de vetores é uma função vetorial que associa um vetor a cada ponto Pxyz do espaço xyz Sabemos que existem campos especiais que podem ser calculados a partir de um campo vetorial que é o divergente e o rotacional Sendo assim analise as sentenças como V verdadeiro ou F falso e em seguida assinale a opção CORRETA CAMPO VETORIAL 2 3 ² F x y i y zx j z k O rotacional deste campo é dado por xi z x2k O rotacional indica que um corpo que entra neste campo não possui rotação em torno do próprio eixo na direção de jeixo y O rotacional deste campo aplicado no ponto 122 é rotF 1i 3k O rotacional determina o fluxo pontual deste campo em uma unidade de volume a V V F V b V F V F c F F V V d V V V V 127 TÓPICO 3 INTEGRAIS DE LINHA UNIDADE 2 1 INTRODUÇÃO A integral de linha ou integral curvilínea é uma integral que se assemelha muito com a integral definida que estudamos até o momento a principal diferença é que em vez de integrarmos sobre um intervalo ab integramos sobre uma curva e por isso o melhor nome seria integral de curvas Como já comentamos anteriormente o estudo de integrais de linha teve início no século XIX no estudo de escoamento de fluídos Começamos o estudo com as integrais sobre campos escalares mostrando que a definição de integrais de linhas sobre campos escalares é motivado por um problema físico que é encontrar a massa sobre uma curva A definição de integral de linha de campos vetoriais também é motivada por um problema físico que é encontrar o trabalho que um campo de força realiza ao movimentar uma partícula sobre uma curva 2 INTEGRAL DE LINHA DE CAMPOS ESCALARES Vamos iniciar o estudo das integrais de linha com uma função escalar de duas variáveis reais considere a função escalar f 2 x y f x y e a curva γt xt yt suave Suponha que fxy é a função densidade no ponto xy e que você quer saber qual é a densidade em todos os pontos da curva γt ou seja qual vai ser a massa nessa curva Como faríamos para encontrar essa massa Vamos considerar a função fxy 2 x2y e a curva parametrizada cos x t t t y t sen t γ para todo 0 t π Lembrese de que o gráfico da curva acima é da forma trigonométrica 128 UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO GRÁFICO 16 CURVA PARAMÉTRICA γt FONTE Os autores 1 0 y x 1 Agora fazemos uma partição do intervalo 0 π Vamos fazer uma partição com n intervalos e Δti ti ti1 como mostra o gráfico a seguir GRÁFICO 17 PARTIÇÃO DO INTERVALO 0π FONTE Os autores Cada ti para todo i 1 n gera um ponto na curva e a curva fica dividida em pequenos elementos de curvas Se esse pedaço de curva for suficientemente pequeno podemos dizer que a massa nesse pedaço é igual a fxtiyti vezes o comprimento do arco que chamamos de ds Para finalizar somamos todos esses pedacinhos e encontramos a aproximação para a massa em toda a curva ou seja 0 n i i i i massa f x t y t ds t0 t1 ti1 ti tn TÓPICO 3 INTEGRAIS DE LINHA 129 GRÁFICO 18 PARTIÇÃO DO INTERVALO 0π FONTE Os autores FONTE Os autores Porém temos um problema como encontrar o comprimento desse arco A princípio não conseguimos relacionar o vetor tangente ao comprimento de arco no item a do gráfico a seguir marcamos o vetor tangente da curva no ponto ti ou seja marcamos γti GRÁFICO 19 VETOR TANGENTE E COMPRIMENTO DE ARCO No item b do gráfico anterior marcamos o vetor tangente da curva vezes o valor de Δti ou seja o vetor γti Δti Agora fica visível que esse vetor é muito parecido com o arco que liga os pontos γti até γti1 E com isso podemos aproximar o comprimente desse pedacinho de arco pelo módulo do vetor γti Δti dSi γtiΔti 1 0 y x γt0 γtn γti1 γti 1 1 1 0 1 1 y x γti1 γti γti a b 1 1 0 y x γ ti1 γ ti γti ti 1 130 UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO Portanto a aproximação para a massa em toda a curva é 0 n i i i i i massa f x t y t t t γ Se fizermos uma partição cada vez mais refinada ou seja fazer n tender para infinito temos a massa exata em toda a curva 0 lim n i i i i n i massa f x t y t t t γ essa ideia é a mesma que usamos para definir integrais lá da disciplina de Cálculo Diferencial Integral II portanto concluímos que 2 0 massa f t t dt π γ γ Então para determinar a massa basta resolvermos a integral acima note que a derivada da curva é sen t t cos t γ logo a norma da derivada de γ é 2 2 cos 1 t sen t t γ assim a massa é 2 2 0 2 massa cos t sen t dt π 2 2 2 0 0 2 dt cos t sen t dt π π TÓPICO 3 INTEGRAIS DE LINHA 131 Como as integrais são 2 0 2 2 2 4 0 dt t π π π e usando mudança de variável temos 3 2 3 2 2 0 2 cos 1 1 0 3 3 3 3 0 π π t u cos t sen t dt u du com u cost e du sent Portanto concluímos que a massa é m 4π Essa massa é definida como a integral de linha de uma função escalar sobre uma curva γ e é denotada por b a f x y ds f t t dt γ γ γ em que 2 2 t x t y t γ em que 2 2 1 n t x t x t γ A mesma ideia pode ser usada para calcular a integral de linha de uma curva qualquer se fx1xn uma função escalar e γt uma curva parametrizada no intervalo ab Dizemos que a integral de linha da função f sobre a curva γ é Quando fx1 xn então a integral de linha dessa função sobre uma curva nos fornece o comprimento da curva 1 b a C Comprimentode ds t dt γ γ γ γ 1 b n y a f x x ds f y t y t dt 132 UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO Exemplo calcule o comprimento da hélice circular γt cost sent t para 0 t 4π Resolução como já temos a curva parametrizada vamos calcular a sua derivada que é γt sentcost1 e seu módulo é 2 2 2 cos 1 2 t sen t t γ já que sen2t cos2t 1 Portanto o comprimento de arco é 4 0 2 2 2 2 2 0 t C dt t γ π π 3 INTEGRAL DE LINHA DE CAMPOS VETORIAIS A integral de linha de campos escalares é motivada pelo cálculo de massas para campos vetoriais a integral de linha será motivada pelo cálculo do trabalho realizado pelo campo de forças sobre um movimento Suponha que uma partícula esteja se movendo ao longo de uma trajetória γ uma curva suave a ideia é calcular o trabalho exercido pelo campo de forças F e o movimento de uma partícula ao longo da trajetória Lembrese de que em física quando uma força produz um deslocamento em um corpo objeto isso é chamado de Trabalho τ A unidade de medida usada para o trabalho é Joule j Quando τ 0 a força tem a mesma direção do movimento Quanto τ 0 a força tem direção contrária ao movimento Quando o deslocamento é paralelo a força aplicada para mover o objeto calculamos o trabalho da seguinte forma τ F Δs em que F é a força e Δs é o deslocamento feito pela partícula NOTA O gráfico a seguir é a representação gráfica de um campo de forças Fxyz e o movimento de uma partícula ao longo da trajetória γt xtytzt com a t b TÓPICO 3 INTEGRAIS DE LINHA 133 GRÁFICO 20 CAMPO DE VETORES AGINDO SOBRE UMA CURVA FONTE Os autores FONTE Os autores Fazendo uma partição na curva temos n pedacinhos de curva e cada pedacinho tem comprimento dSi que podemos estimar por dSi γtiΔti Note que também que se multiplicarmos o campo de forças pelo vetor tangente unitário encontramos a componente tangencial da força i t F t t γ γ γ e fisicamente quem realiza o trabalho é a componente tangencial do campo de forças GRÁFICO 21 COMPORTAMENTO TANGENCIAL DO CAMPO DE FORÇAS x γa γb γt y z x γb y z γa 134 UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO Portanto concluímos que o trabalho feito pela força F para mover a partícula do ponto γti até γti1 é aproximadamente i i i i i i t F t t t F t t t t γ γ γ γ γ γ já que os dois são paralelos Fazendo a partição cada vez mais refinada concluímos que o trabalho é dado pela integral b a F t t dt τ γ γ Usando a ideia anterior definimos a integral de linha de um campo vetorial F sobre uma curva suave γ como sendo a b a Fd F t t dt γ γ γ γ Note que essa definição vale para qualquer campo vetorial em n inclusive para n 2 e 3 Exemplo calcule a integral de linha do campo vetorial 2 F x y z z xy y ao longo da curva 2 t t t t γ para 0 t 1 Resolução primeiro precisamos determinar a derivada da curva 2 1 1 2 t t t γ TÓPICO 3 INTEGRAIS DE LINHA 135 Portanto a integral de linha fica 1 3 2 0 1 2 1 2 Fd t t t t dt t γ γ 1 2 3 0 2 2 t t t t dt t 1 1 3 3 3 3 3 2 2 2 0 0 1 3 2 2 2 t t t dt t t dt 5 4 2 1 3 1 3 2 5 4 2 4 2 5 0 2 t t 1 3 17 4 5 20 Podemos calcular o trabalho que um campo de forças faz ao realizar a movimentação de um objeto de um ponto A γa até o ponto B γb através de uma integral de linha Considere γt uma curva parametrizada que liga os pontos A γa e B γb e o campo de forças Fxyz então o trabalho realizado para movimentar o objeto é γ τ γ γ γ b a Fd F t t dt Exemplo encontre o trabalho realizado pelo campo de forças F x y z x y z na movimentação de um objeto ao longo da curva parametrizada 2 cos t t t sen t γ π π para 0 t 1 136 UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO Resolução vamos primeiro calcular a derivada da curva 2 cos t sen t t t γ π π π π então o trabalho é 1 2 0 cos 2 τ π π π π π π t t sen t sen t t cos t dt 1 3 0 cos 2 cos t sen t t sen t t dt π π π π π π 1 4 3 0 1 2 2 1 2 4 4 2 0 t t dt Outra situação que podemos utilizar a integral de linha é para escoamento de fluidos seja F um campo de velocidades de um fluido escoando por uma região como podemos ver na figura a seguir FIGURA 2 ESCOAMENTO DE UM FLUIDO FONTE Os autores Exemplo encontre o escoamento ao longo da curva γt cost sentt para 0 t 2π do campo de velocidades Fxyz xyz Resolução vamos primeiro calcular a derivada da curva γt sent cost 1 então o escoamento é 2 0 cos cos 1 Escoamento t sen t t sen t t dt π 2 0 cos cos t sen t sen t t tdt π 2 2 2 2 0 2 4 2 2 2 0 t tdt π π π π TÓPICO 3 INTEGRAIS DE LINHA 137 Sobre uma curva parametrizada γt com a t b definimos o escoamento ao longo dessa curva como a integral de linha do campo de velocidades sobre a curva Se γ1t γ2t então a integral de linha sobre γ1t de um campo vetorial é 1 2 1 2 Fd Fd γ γ γ γ Exemplo considere as curvas γ1t cost sent com 0 t π e γ2S cosπ s senπ s com π s 2π Mostre que 1 2 1 2 Fd Fd γ γ γ γ para Fxy 21 Resolução primeiro vamos mostrar que γ2t γ1t Usando as propriedades de seno e cosseno temos cosπ s cosπcoss senπsens coss coss pois cosseno é uma função par e cos cos sen s sen s sen s π π π sen s sen s pois seno é uma função ímpar Assim 2 cos t t sen t γ π π 1 cos t sen t t γ 138 UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO Portanto γ2t γ1t vamos verificar agora que as integrais são iguais Para γ1 temos que logo 1 cos γ t sen t t 1 1 0 21 cos Fd sen t t dt π γ γ 0 2 cos sen t t dt π 2cos 0 t sen t π 2cos 2cos 0 0 sen sen π π 2 2 0 0 4 Para γ2 temos que 2 cos γ π π s sen s s logo 2 2 2 21 cos Fd sen s s ds π γ π γ π π 2 2 cos sen s s ds π π π π 2 2cos s sen s π π π π 2cos 2 2cos 2 sen sen π π π π π π π π 2 2 0 0 4 Portanto concluímos que vale a igualdade 1 2 1 2 Fd Fd γ γ γ γ TÓPICO 3 INTEGRAIS DE LINHA 139 LEITURA COMPLEMENTAR ANÁLISE MATEMÁTICA DA ORIGEM FORMAÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DOS VENTOS UMA APLICAÇÃO DOS OPERADORES DIFERENCIAIS José Vicente Cardoso Santos Melina Silva de Lima RESUMO Descrevese aqui os aspectos matemáticos das leis que mais contribuem para a formação dos ventos e dos fenômenos meteorológicos a eles associados Objetivase à demonstração para os estudantes dos cursos de áreas correlatas às matemáticas uma aplicação prática e intuitiva dos operadores diferenciais e suas aplicações ao cotidiano Como objetivos específicos temse apresentar a evidência intuitiva de termos cotidianos que refletem os itens firmados pelos próprios operadores e a evidência de aspectos matemáticos na formação dos ventos trazendo resultados de uma revisão de literatura na área Para tal relatase as equações que regem estes fenômenos e evidenciase a ordem de grandeza de suas contribuições sobre a origem e classificação dos ventos de forma isomórfica à formação e escrita dos respectivos operadores diferenciais a citar divergente rotacional gradiente e o laplaciano Evidenciase em especial a correlação de cada tipo de vento com as condições de contorno de cada equação de formação além da aplicabilidade dos operadores diferenciais não só na origem como também na classificação dos tipos de ventos Demonstrase a necessidade do conhecimento matemático dos operadores diferenciais para os profissionais que trabalham com a previsibilidade de condições meteorológicas tais como meteorologistas navegadores pilotos de aviões e helicópteros etc Por fim os autores proporcionam um exemplo de aplicação e entendimento do uso destes operadores Palavraschave Operador diferencial Meteorologia Classificação dos ventos INTRODUÇÃO O planeta terra é um sistema termodinâmico aberto e por esta razão recebe de forma ininterrupta energia externa sob forma de massa luz e calor oriundos do sol além disto a forma de distribuição de toda esta energia é completamente aleatória e por esta razão perturba todo o sistema de distribuição de massa do planeta Esta perturbação ocorre em diversas escalas e com diversas ordens de importância que variam de acordo com o tipo da massa sólido líquido e gás Os sólidos e os líquidos são regidos em primeira ordem pelas forças gravitacionais e em segunda e terceira ordem pelas forças térmicas Já os gases atmosfera são regidos em primeira instância pelas leis físicas da termodinâmica RUBENS 2013 140 UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO Ainda segundo Rubens 2013 neste cenário a análise da formação classificação e entendimento dos processos e desdobramentos dos ventos e fenômenos análogos perpassa pelo entendimento dos significados físicos análogos dos operadores diferenciais e suas formas de aplicação Objetivase esta analogia e uma demonstração para os estudantes dos cursos de áreas correlatas à matemática visando uma aplicação prática e intuitiva dos operadores diferenciais e suas aplicações a fenômenos cotidianos Buscase ainda a evidência intuitiva de termos cotidianos que refletem os itens firmados pelos próprios operadores além da evidência de aspectos matemáticos na origem formação e classificação dos ventos Utilizase uma metodologia de revisão de literatura nas áreas de meteorologia e matemática diferencial relatandose as equações que regem estes fenômenos e evidenciandose a ordem de grandeza da contribuição das equações sobre a origem e classificação dos ventos de forma isomórfica à formação e escrita dos respectivos operadores diferenciais a citar divergente rotacional gradiente e o laplaciano Demonstrase a necessidade do conhecimento matemático dos operadores diferenciais para os profissionais que trabalham com a previsibilidade de condições meteorológicas tais como meteorologistas navegadores pilotos de avião e helicóptero etc FENÔMENOS RELACIONADOS COM A ORIGEM E FORMAÇÃO DOS VENTOS A ORIGEM DOS VENTOS O estudo da origem dos ventos nos reporta à análise de montagem de equações matemáticas associadas às leis físicas da mecânica termodinâmica e áreas correlatas Quaisquer tipos de movimentos do ar atmosférico na superfície ou a grandes alturas podem ser designados genericamente de ventos SONNEMAKER 2012 Assim ainda segundo o mesmo autor a grande dificuldade na análise da origem e mensuração dos ventos é o fato de tanto o planeta quanto a atmosfera estarem constantemente em movimento pois o planeta tem no mínimo movimentos de rotação e translação e a atmosfera ao sofrer o movimento associado de rotação e também por não ser sólida sofre movimentos secundários de forças de rotação e torção gerando diversos outros tipos de movimento FENÔMENOS BÁSICOS DE FORMAÇÃO DOS VENTOS Conforme preconiza Sonnemaker 2012 a análise dos fenômenos eou leis básicas que regem esta situação nos permite elencar a velocidade angular do planeta é um fato relevante no movimento relativo de toda a atmosfera Ela gera movimento interno dos sólidos líquidos e principalmente os gases atmosféricos TÓPICO 3 INTEGRAIS DE LINHA 141 o aparecimento da força centrípeta e da força centrífuga associadas é fato também relevante para o equilíbrio do sistema pois em consonância gera movimentos curvos de vento a conservação do momento angular torna o equilíbrio das velocidades de rotação de cada parte constituinte da atmosfera algo fundamental para a sua movimentação tanto na horizontal quanto na vertical a força gravitacional e a massa do ar atmosférico criam uma distribuição heterogênea da massa de ar e consequentemente uma distribuição também heterogênea de pressão as forças de fricção das massas de ar proporcionam um movimento horizontal das mesmas a velocidade de rotação da Terra em combinação vetorial com velocidades horizontais e verticais de movimentos de massas de ar gera o que se denomina de força de coriolis Esta força proporciona acelerações destas massas no sentido nortesul eou sulnorte do planeta Estas acelerações são as responsáveis em grande parte pela geração de ventos redemoinhos ciclones entre outros DESCRIÇÃO MATEMÁTICA Para expressar todos estes fenômenos recorrese às seguintes equações matemáticas Equação de estado dos gases Equação do equilíbrio hidrostático Equação geral do movimento para corpos em rotação Equação da continuidade 1 PV NRT Eq 2 dP g Eq dz ρ 1 2 3 T dV V g F Eq dt ρ ρ Ω 0 4 V Eq t ρ ρ 142 UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO em que P pressão V Volume N Número de moléculas T Temperatura I altura p densidade g aceleração da gravidade Ω Velocidade Angular g Aceleração da gravidade rF Força resultante Observase que as equações principalmente as diferenciais descritas ainda não podem ser resolvidas de forma completa pois não existem soluções analíticas e simples para todas elas mesmo com a oferta de condições de contorno e outros elementos simplificadores COURANT 2000 A equação geral do movimento por exemplo é bastante complicada por tratarse de uma equação diferencial em quatro dimensões três espaciais com o operador nabla associado e uma temporal Como resolver estas equações de forma concomitante e com isto obter respostas fisicamente aceitáveis para os movimentos de massas de ar Como fazer isto de forma rápida e providencial do ponto de vista meteorológico Estas e outras questões são de fundamental importância para a área pois a busca de solução implicará em uma capacidade de previsibilidade com brevidade do comportamento do tempo e esta informação além de ser estratégica sempre foi o principal objetivo da meteorologia As formas atuais de solução são as técnicas numéricas utilizando se a ciência da computação e seus processos algoritmizados e automatizados Entretanto podemos associar algumas características das classes ou tipos de ventos com características das equações de contorno para a sua montagem ou seja podemos explicar as origens e também classificar os tipos de vento de acordo com o comportamento da atuação dos operadores diferenciais sobre as funções incógnitas destas equações FLEMMING 2007 Para tal ainda segundo Sonnemaker 2012 vale descrever algumas das propriedades observadas de forma empírica e fenomenológica sobre os ventos a citar as razões entre as velocidades horizontais e verticais são de 10³ ou seja o vento praticamente só sopra na horizontal a equação da continuidade deixa claro através do uso do operador divergente que quando entra mais massa por unidade de volume do que sai é porque existe uma convergência do fluxo de ventos no volume considerado ou seja é como se houvesse um sumidouro de correntes de ar na região a equação também permite situações inversas ou seja quando sai mais massa por unidade de volume está havendo a divergência do fluxo de calor isto é é como se houvesse um gerador de correntes de ar na região Sabese entretanto que não existem sumidouros nem geradores de correntes de ar Tratase da resultante da combinação de forças tais como as de rotação centrífuga centrípeta que proporcionam o deslocamento eou compressão destas massas de ar na região de estudo TÓPICO 3 INTEGRAIS DE LINHA 143 CLASSIFICAÇÃO DOS VENTOS Ainda segundo Sonnemaker 1999 para estudar e classificar os movimentos das massas atmosféricas devemos considerar ao menos duas camadas distintas em que os possíveis escoamentos possuam características próprias uma é identificada como camadalimiteplanetária e a outra como atmosferalivre A primeira estende se até no máximo dois ou três quilômetros do solo e a segunda como o próprio nome indica é livre até os limites superiores da atmosfera Em função destas duas camadas e do comportamento delas sob ação dos operadores nas equações de composição temos os seguintes tipos de ventos previamente classificados Vento Geostrófico Tratase de um escoamento horizontal uniforme paralelo às isóbaras Ocorre nos níveis superiores da atmosfera atmosfera livre onde os efeitos de fricção são desprezíveis No caso deste tipo de vento alguns componentes destas equações tornamse desprezíveis a ponto de simplificálas bastante e proporcionar escoamentos paralelos às isóbaras e com velocidades constantes Assim como este tipo de vento é sempre paralelo às isóbaras no hemisfério norte as baixas pressões estarão sempre à esquerda do vento neste hemisfério e no hemisfério sul à sua direita lei de BuysBallot Veja figura 1 Este tipo de vento só tem componentes de força horizontais e a sua velocidade será sempre em função do gradiente de pressão segundo a equação 4 Nas regiões do equador ocorrem turbulências e as simplificações das equações deixam de ser válidas 144 UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO Vento gradiente Tratase de um escoamento horizontal paralelo às isóbaras as quais são curvas e ocorre nos níveis superiores da atmosfera atmosfera livre onde os efeitos de fricção são desprezíveis sendo constante o módulo do vetor velocidade Este tipo de vento é caracterizado pelos ciclones e anticiclones Os ciclones e anticiclones são escoamentos curvos fechados em torno dos centros de baixa pressão Veja figura 2 A figura 2 mostra uma circulação anticiclônica sentido antihorário sobre a América do Sul Nela temse um escoamento divergente a partir do centro de alta pressão os ventos são relativamente fracos e as isóbaras encontramse relativamente distantes uma da outra o que indica um menor gradiente de pressão TÓPICO 3 INTEGRAIS DE LINHA 145 A Figura 3 mostra linhas isóbaras unem pontos de igual pressão Nela a intensidade do vento é diretamente proporcional ao aperto isobárico ou seja onde as linhas encontramse menos afastadas Isto é o maior gradiente de pressão nos dá uma maior intensidade do vento Ainda na mesma figura vêse que o gradiente é maior no ponto 2 sendo a intensidade do vento maior Se apenas o gradiente de pressão fosse o responsável pela direção e intensidade do vento este sopraria sempre dos pontos de alta pressão para os de mais baixa já que este seria o caminho natural Vento Ciclostrófico Tratase de um escoamento atmosférico curvo em relação à superfície do solo de escala horizontal suficientemente pequena como nos tornados e redemoinhos em que a força de coriólis pode ser desprezada quando comparada com a força do gradiente de pressão Este tipo de vento só ocorre em um centro de baixa pressão Tratase de um caso particular do escoamento gradiente pois tratase dos ventos fortes e rápidos ou até de pequenos tornados Classificação Segundo Observações Locais Embora os ventos sejam simplesmente representados pelo seu vetor velocidade em algumas regiões recebem nomes especiais É o caso do Bora do Adriático Mistral do vale do Ródano Foehn da Suíça Vento Leste do litoral brasileiro etc Desta forma podemos classificálos também com a seguinte denominação Brisa de terra e de mar São brisas de dias quentes que cruzam a linha da costa Brisa de montanha e de vale São brisas que ocorrem devido ao aumento de temperatura dos picos de montanhas e o seu gradiente de temperatura provoca correntes de convecção locais FIGURA 3 800 mb 900 mb 1000 mb 146 UNIDADE 2 INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO Ventos drenados São bolsões de ar frio acumulados em regiões montanhosas que são desagregados devido ao gradiente de temperatura local Vento Foehn ou Chinook São ventos fortes secos e quentes que sopram encostas abaixo devido ao preenchimento diferencial do gradiente de temperatura da montanha Ventos locais São ventos com características específicas e com denominação local Os nomes são típicos mas não demostram singularidades diferenciadas das anteriormente citadas COMENTÁRIOS FINAIS Apesar destas classificações empíricas verificase a existência de diversos tipos de ventos com características singulares que estão relacionadas diretamente com as particularidades da resolução das equações de estado para o mesmo no seu ambiente de aplicação Neste sentido é evidente a associação entre as propriedades dos operadores diferenciais nabla divergente rotacional gradiente e laplaciano e os comportamentos de escoamento velocidade temperatura e pressão da atmosfera através do perfil dos ventos no nosso planeta quiçá outros Desta forma para o matemático o estabelecimento da correlação entre as propriedades matemáticas dos operadores e os possíveis significados dos mesmos é de extrema importância para a formação da sua heurística e do seu estilo de uso prático e didático da matemática FONTE httprevistaadmmadeestaciobrindexphpcienciaincenabahiaarticleviewFile23751166 Acesso em 17 maio 2019 147 RESUMO DO TÓPICO 3 Neste tópico você aprendeu que A integral de linha de uma função escalar sobre uma curva γ e é denotada por Se fx1 xn 1 então a integral de linha dessa função sobre uma curva nos fornece o comprimento da curva A integral de linha de um campo vetorial F sobre uma curva suave γ como sendo a Se γ1t γ2t então a integral de linha de um campo vetorial é em que 2 2 1 n t x t x t γ 1 b n a f x x ds f t t dt γ γ γ 1 b a Comprimentode ds t dt γ γ γ b a Fd F t t dt γ γ γ γ 1 2 1 2 Fd Fd γ γ γ γ 148 Acadêmico o processo de entendimento total do conteúdo finaliza aqui Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explorados neste tópico Bom estudo 1 Calcule as integrais de linha das funções escalares a seguir a 3 3 0 2 x t t y ds com t para t y t t γ γ 2 Um aro circular de raio 1 rola sem deslizar ao longo de uma linha reta Calcule o comprimento da trajetória descrita por um ponto do aro entre dois contatos consecutivos com o solo Note que a curva que parametriza esse caminho é γt sentcost com 0 t 2π 3 Calcule a massa de uma bobina de mola descrita por γt cost sentt com 0 t 2π cuja densidade no ponto xyz é x2 y2 z2 4 Calcule a massa de um fio com forma de uma hélice com equações paramétricas x 3cost y 3sent e z 4t com 0 t 2 π sendo a função de densidade AUTOATIVIDADE 2 2 2 b 2 1 x yds com ametadesuperior docirculounitário x y γ γ 2 1 x F x y z y 149 5 Calcule a integral de linha sobre o caminho γt ttt para 0 t 1 dos campos vetoriais a seguir 7 Encontre o trabalho realizado pela força Fxy xyy x sobre o segmento de reta que liga os pontos 11 e 2 3 8 Encontre o escoamento do campo de velocidade Fxy x y x2 y2 ao longo do segmento de reta que liga os pontos 10 e 10 9 Um arame tem a forma curva dada pela curva parametrizada para 0 t π Sabendo que a densidade em cada ponto do arame é dada por fxyz xy Podemos afirmar que a massa total do arame é a 2 um b 4 um c 6 um d 8 um 6 Calcule a integral de linha a seguir a a b c b c d e 3 2 4 F x y z y x z 2 1 0 10 F x y z x 2 F x y z z x y F x y z xy yz xz 2 3 3 3 1 F x y z x x z 2 4 8 2 1 0 2 F x y z xy y e t t t com t γ 2 2 0 3 4 0 1 F x y z x yz y e t t t com t γ 0 cos 0 0 F x y z x y x e t t sen t com t γ π 1 cos 2 1 cos t t sen t t γ 150 10 Calcule o trabalho realizado pela partícula na trajetória indicada onde γ é o segmento de reta que liga 12 até 48 Podemos afirmar que a massa total do arame é a 12 b 45 c 69 d 99 2 y dx xdy γ 151 UNIDADE 3 TEOREMAS DO CÁLCULO VETORIAL OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM PLANO DE ESTUDOS A partir do estudo desta unidade você deverá ser capaz de conhecer o Teorema de Green e utilizálo em aplicações conhecer o Teorema de Gauss e utilizálo em aplicações conhecer o Teorema de Stokes e utilizálo em aplicações diferenciar os Teoremas de Green Gauss e Stokes Esta unidade está dividida em três tópicos No decorrer do texto você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado TÓPICO 1 TEOREMA DE GREEN TÓPICO 2 TEOREMA DE GAUSS TÓPICO 3 TEOREMA DE STOKES 153 TÓPICO 1 TEOREMA DE GREEN UNIDADE 3 1 INTRODUÇÃO Acadêmico lembrese de que na Unidade 1 estudamos as integrais duplas cuja principal aplicação era o cálculo do volume sobre uma superfície já na Unidade 2 estudamos as integrais de linha sobre um campo vetorial cuja principal aplicação é o cálculo do Trabalho Neste tópico nós estudaremos o Teorema de Green que faz uma conexão entre as integrais duplas e as integrais de linha Essa conexão pode até parecer estranha já que estamos conectando volume com Trabalho porém você perceberá que o Teorema de Green tem muitas aplicações e ajuda muito no cálculo de certas integrais O principal personagem deste tópico é George Green matemático e físico inglês que viveu de 1793 até 1841 No livro intitulado Cálculo II os autores Haword Anton Irl Bivens e Stephen Davis apresentam a seguinte biografia desse importante matemático BIOGRAFIA DE GEORGE GREEN George Green 17931841 matemático e físico inglês Green abandonou a escola com pouca idade para trabalhar na padaria de seu pai e consequentemente teve pouca educação básica formal Quando seu pai abriu um moinho o rapaz usava o aposento superior como sala de estudos onde aprendeu Física e Matemática sozinho usando livros de biblioteca Em 1828 Green publicou seu trabalho mais importante Na Essay on the Aplication of Mathematical Analysis to the Theories of Eletricity and Magnetism Um Ensaio sobre a Aplicação da Análise Matemática às Teorias de Eletricidade e Magnetismo Apesar do Teorema de Green ter aparecido naquele trabalho o resultado passou virtualmente despercebido devido à pequena tiragem e à distribuição local Após a morte de seu pai em 1829 Green foi instigado por amigos a procurar a educação superior Em 1833 após quatro anos de estudos autodidáticos para cobrir as lacunas de sua educação elementar Green foi admitido na Universidade Caius em Cambridge Formouse quatro anos mais tarde mas com desempenho desapontador em seus exames finais possivelmente porque estava mais interessado em sua própria pesquisa Depois de uma secessão de trabalhos sobre luz e som foi nomeado Membro Perse da Universidade de Caius Dois anos mais tarde ele morreu Em 1845 quatro anos após sua morte seu trabalho de 1828 foi publicado e as teorias nele desenvolvidas por esse obscuro autodidata filho de padeiro ajudaram a desbravar o caminho das teorias modernas da eletricidade e magnetismo FONTE ANTON Howard BIVENS Irl DAVIS Stephen Cálculo II 8 ed v 2 Porto Alegre Bookman 2007 Por ter sido uma pessoa muito simples e sem condição não existe retrato desse matemático Como estaremos trabalhando com integrais duplas e integrais de linha é importante que estes dois conceitos estejam bem entendidos Caso você tenha alguma dúvida sugerimos que volte às unidades anteriores e reforce o estudo nos conceitos de integrais duplas integrais de linha e curvas 2 TEOREMA DE GREEN O Teorema de Green conecta as integrais duplas com integrais de linha de um campo vetorial esse campo vetorial é um campo vetorial no plano por isso vamos considerar o seguinte campo vetorial em R2 vecFxyPxyhatiQxyhatjPxyQxy Também precisamos considerar um campo bem regular e um domínio também bem regular a seguir apresentamos o enunciado do Teorema de Green Teorema Green dada uma região fechada D sendo ela limitada em R2 e com a fronteira partial D orientada positivamente sentido antihorário formada por um conjunto finito de curvas simples fechadas temos que se uma função vetorial respeita estas condições a integral de linha a seguir pode ser calculada por intpartial D vecFcdot dvecr iintD left fracpartial Qpartial x fracpartial Ppartial y right d extx dy ou ainda intpartial D Pcdot dx Q dy iintD left fracpartial Qpartial x fracpartial Ppartial y right dx dy Geralmente utilizamos o Teorema de Green nos casos em que a integral de linha original é difícil de ser resolvida e a saída mais fácil é através de uma integração dupla O procedimento é realizar a integral dupla da diferença das derivadas parciais das parcelas Q e P da função vetorial dada TÓPICO 1 TEOREMA DE GREEN 155 Veja um exemplo de região que satisfaz as hipóteses do teorema GRÁFICO 1 CURVA QUE SATISFAZ AS HIPÓTESES DO TEOREMA FONTE Os autores y x D D A região é fechada A fronteira é orientada positivamente pois as flechas estão no sentido antihorário e é fechada pois inicia e termina no mesmo ponto Também é uma curva simples pois a curva não intercepta ela mesma em nenhum ponto Outro ponto importante a se ressaltar acadêmico é que trocamos uma integral de linha sobre uma curva curva D para uma integral dupla sobre uma região região D Ou seja o trabalho realizado sobre a curva D é igual à integral dupla sobre a região D Vamos resolver alguns exemplos para entender melhor como o Teorema de Green se comporta Exemplo considere a função vetorial 2 3 4 F x y x y i y x j Calcule a integral de linha para a região determinada pelo triângulo de vértices 00 10 e 01 GRÁFICO 2 REPRESENTAÇÃO DA REGIÃO DADA NO EXEMPLO FONTE Os autores Resolução pela figura temos que a região é dada pela interseção AO AB BO Vamos calcular a integral de linha pelo método tradicional e na sequência comparar com a utilização do Teorema de Green Usando a Integral de Linha Como são três curvas vamos estudar uma de cada vez Parte 1 o segmento AO é dado por y00x1 Portanto dy0 Então intAO vecFcdot dvecr int01 Px0dx left x2 right01 1 Parte 2 o segmento AB é dado por x1y 0y1 Portanto dxdy intAB vecFcdot dvecr int01 P1yydyQ1yy dy int01 21yy dy 3y 41y dy int01 2 2y y 3y 4 4y dy int01 2 dy 2 Parte 3 o segmento BO é dado por x0 0y1 Portanto dx0 Então intBO vecFcdot dvecr int01 Q0ydy int01 3y dy frac3y22 left right01 frac32 Para finalizar sabemos que precisamos realizar a soma das três partes para fechar a integral de linha Logo Usando o Teorema de Green se utilizarmos o Teorema de Green para este caso notando que ele só pode ser utilizado pelo fato de que a curva considerada no exemplo é fechada e simples o processo se torna muito mais simples e rápido iintD vecFcdot dvecr 1 2 frac32 frac32 iintD left fracpartial Qpartial x fracpartial Ppartial y rightdxdy iintD 41dxdy já que fracpartial Qpartial x fracpartialpartial x3y 4x 4 e fracpartial Ppartial y fracpartialpartial y2x y 1 assim iintD left fracpartial Qpartial x fracpartial Ppartial y right dxdy iintD 3dxdy int01 int0y 3dx dy int01 3y dy frac3y22 left right01 frac32 Exemplos considere o campo vetorial overrightarrowFxyx2ymathbfixy2mathbfj em que a região de integração é o disco centrado na origem e raio 1 Calcule a integral de linha desta função vetorial orientada no sentido antihorário GRÁFICO 3 REPRESENTAÇÃO DA REGIÃO DADA NO EXEMPLO FONTE Os autores Resolução percebemos agora que o resultado se torna bastante simples através do Teorema de Green Como as derivadas parciais são fracpartial Qpartial xfracpartialpartial xxy2y2 e fracpartial Ppartial yfracpartialpartial yx2yx2 pelo Teorema de Green temos ointpartial D overrightarrowFcdot doverrightarrowriintDleftfracpartial Qpartial xfracpartial Ppartial yrightdxdyiintDy2x2dxdy Notamos agora que para a resolução desta integral dupla pelo fato de que a região é um disco e a função no integrando tratase de algo muito similar à equação de uma circunferência o caminho mais tranquilo é a aplicação da transformação para Coordenadas Polares Onde D heta left0leq r leq 1 0leq heta leq 2pi right Sabendo também que x2y2r2 temos ointpartial DoverrightarrowFcdot doverrightarrowriintD heta r2cdot r drd heta iintD hetar3d hetaint02pid heta dr 2piint01r3dr2pifracr44Big01fracpi2 Lembrese acadêmico de que para resolver as integrais duplas temos várias técnicas umas delas é a que usamos no exemplo anterior mudança de coordenadas cartesianas para polares Exemplo Dada a função vetorial overrightarrowFxyleftfracyx2y2rightmathbfileftfracxx2y2rightmathbfj Sendo D a região formada por todos os pontos do plano internos a curva exceto a origem calcular a integral de linha sobre a curva fechada C x2y2a2 com a0 GRÁFICO 4 REPRESENTAÇÃO DA REGIÃO DADA NO EXEMPLO FONTE Os autores Resolução este exemplo foi aqui citado pelo fato de que a região citada no exemplo não está definida em todos os valores necessários e se torna um caso em que não é possível utilizar o Teorema de Green Note que 00 pertence à região da curva C porém 00 otin D Neste caso teremos que aplicar o processo de parametrização da curva dada xacdot cost quad e quad yacdot sent extcom 0leq tleq 2pi Assim temos que dxacdot sentdt quad e quad dyacdot costdt Então ointCoverrightarrowFcdot doverrightarrowrint02pi fracacdot senta2acdot sentdtfracacdot costa2acdot costdtint02pisen2tcos2tdtint02pidt2pi 3 TEOREMA DA DIVERGÊNCIA O Teorema da Divergência é uma extensão do Teorema de Green e tratase de uma forma que pode ser vista como a forma vetorial do Teorema de Green Em que para obtêlo temos que na prática aplicar o Teorema de Green no campo G Qx y i Px y j em vez de aplicar no campo F Como em geral o divergente é mais usado para campos em ℝ³ esse Teorema tem uma generalização quando estamos em três dimensões que estudaremos no próximo tópico o Teorema de Gauss Veremos a seguir o enunciado do Teorema de Divergência para campos vetoriais em duas dimensões e apenas um exemplo pois o estudo do Teorema da Divergência será aprofundado no próximo tópico Teorema Divergência dada uma região fechada D sendo ela limitada em ℝ² e com a fronteira D formada por uma quantidade finita de curvas simples fechadas temos que se uma função vetorial Fx y Px y i Qx y j respeita estas condições e n o vetor normal unitário que se direciona para o exterior de D a integral de linha a seguir pode ser calculada por D F n ds D divF dxdy lembrese também de que o divergente de um campo vetorial de duas dimensões é divF x Px y y Qx y Exemplo utilizando o teorema da divergência calcule a integral de linha F n ds onde Fx y x 2xy ey² i x y j e C C₁C₂ com C₁ sendo o semicírculo de raio 2 centrado na origem e contido no semiplano y 0 sentido antihorário e C₂ o segmento de reta que une os pontos 20 até 00 e o vetor normal n aponta sempre para fora do semidisco 0 x² y² 4 y 0 Resolução aplicaremos o teorema da divergência no semidisco descrito no exemplo notando que as curvas C₁ e C₂ constituem parte da fronteira deste Note também que teremos que determinar uma terceira curva C₃ que une a origem a 20 para que a curva se torne fechada GRÁFICO 5 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA REGIÃO FONTE Os autores Temos que a integral de linha sobre a região D é reescrito como D F n ds C F n ds C₃ F n ds Note que para calcularmos a F n ds C F n ds A integral de linha sobre a fronteira de D pode ser calculada usando o teorema da divergência Calculando o divergente do campo vetorial temos que divF x x 2xy ey² y x y 1 2y 1 2y Portanto a integral de linha sobre a curva D usando o Teorema da divergência é F n ds D divF dxdy π0 2 0 r²senθ dr dθ π0 2r³3 0 senθdθ π0 24 senθdθ 16 3 cosθπ0 32 3 Note que na integração anterior usamos a mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares para resolver Agora vamos calcular a integral de linha sobre a curva C₃ O vetor normal exterior a D na curva C₃ é dado por 01 Logo na componente da curva C₃ teremos que F n x 0 0 1 x e assim sendo C F n ds 20 x dx x²20 2 Conseguimos assim finalizar o que se pede no enunciado C F n ds D F n ds C F n ds 323 2 383 RESUMO DO TÓPICO 1 Neste tópico você aprendeu que O teorema de Green só pode ser aplicado nas integrais de linha de curva fechada e simples O teorema de Green transforma uma integral de linha difícil de ser calculada em uma integral dupla sobre a diferença das derivadas parciais das parcelas da função vetorial dada sendo DF dr D P dx Q dy D Qx Py dx dy O teorema da divergência é uma extensão do teorema de Green sendo visto como sua versão vetorial e é dado pela expressão DF n ds D div F dx dy AUTOATIVIDADE Acadêmico o processo de entendimento total do conteúdo finaliza aqui Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explorados neste tópico Bom estudo 1 Calcule a integral de linha C x dx y² dy Pelo método direto e depois compare com a utilização do Teorema de Green sabendo que C é o caminho fechado formado pelas curvas y x² e y x no sentido antihorário 2 Usando o Teorema de Green determine I C x²y 1 x² dx arctgx dy onde C é a curva fechada formada por y 0 x 1 y 1 e x 0 no sentido antihorário 3 Podemos utilizar o Teorema de Green para calcular C y x² y² dx x x² y² dy onde C é a circunferência x² y² 1 no sentido antihorário Utilize a forma parametrizada para calcular este caso 4 Sabemos que o trabalho realizado por um campo de forças sobre uma partícula é dado pela integral de linha sobre uma curva parametrizada Podemos então afirmar que o trabalho realizado pelo campo de forças Fxy ex y³ i cosy x³ j em uma partícula que percorre uma vez o círculo x² y² 1 no sentido antihorário é 167 a 2 π a 250 3 c 151 2 b 3 2 π b 87 d 3 2 d 127 c π 5 Usando o Teorema de Green podemos determinar o trabalho realizado pelo campo de forças F em uma partícula que se move ao longo do caminho especificado Se e a partícula começa em 5 0 percorre o semicírculo superior x2 y2 25 e retorna ao seu ponto de partida ao longo do eixo x então o trabalho realizado pelo campo de forças é 1 2 2 F x y xy x xy 169 TÓPICO 2 TEOREMA DE GAUSS UNIDADE 3 1 INTRODUÇÃO Nas unidades anteriores estudamos o conceito de fluxos de campos vetoriais através de superfícies que sejam fechadas a ideia que o Teorema de Gauss traz é poder resolver as integrais de linhas sobre essas superfícies de uma maneira mais simples associando com integrais triplas O foco principal desse tópico é estudar o Teorema de Gauss Gauss é um dos maiores matemáticos da era moderna Carl Friedrich Gauss viveu de 1777 até 1855 Os autores Haword Anton Irl Bivens e Stephen Davis no livro intitulado Cálculo II apresentam a seguinte biografia de Gauss BIOGRAFIA DE CARL FRIEDRICH GAUSS Carl Friedrich Gauss 17771855 Matemático e cientista alemão Chamado algumas vezes de príncipe dos matemáticos Gauss é classificado juntamente com Newton e Arquimedes como um dos três maiores matemáticos da história Seu pai um trabalhador era um homem rude mas honesto que teria preferido que Gauss abraçasse a profissão como jardineiro ou pedreiro mas o gênio do rapaz na matemática não poderia ser negado Em toda a história da matemática nunca houve uma criança tão precoce como Gauss por sua própria iniciativa trabalhou os rudimentos da aritmética antes de poder falar Um dia antes que tivesse completado três anos seu gênio tornouse aparente para seus pais de um modo muito contundente Seu pai estava preparando a folha de pagamento semanal dos trabalhadores sob sua reponsabilidade enquanto o garoto observava calmamente de um canto No fim dos cálculos longos e cansativos Gauss disse a seu pai que havia um erro no resultado e deu a resposta que ele obteve de cabeça Para grande surpresa de seus pais a verificação dos cálculos mostrou que Gauss estava certo Para sua educação elementar Gauss foi matriculado numa escola fraca dirigida por um homem chamado Büttner cuja principal técnica de ensino era o espancamento Büttner tinha por hábito passar longos problemas de adição que desconhecidos de seus alunos eram progressão aritméticas que ele resolvia usando fórmulas No primeiro dia que Gauss entrou na aula de 170 UNIDADE 3 TEOREMAS DO CÁLCULO VETORIAL Aritmética foi pedido aos alunos que somassem os números de 1 a 100 Mas nem bem Büttner havia terminado de enunciar o problema Gauss mostrou sua lousa e exclamou em seu dialeto camponês Ligget se Aqui está Por quase uma hora Büttner fitou Gauss que ficou sentado com os dedos entrelaçados enquanto seus colegas se esfalfavam Quando Büttner examinou as lousas no fim da aula a lousa de Gauss continha um único número 5050 a única solução correta na classe Para seu crédito Büttner reconheceu o gênio de Gauss e com a ajuda de seu assistente John Bartels levouo ao conhecimento de Karl Wilhelm Ferdinand Duque de Brunswick O rapaz tímido e desajeitado que tinha então quatorze anos cativou de tal maneira o Duque que ele subsidiou seus estudos preparatórios universitários e o início de sua carreira De 1795 a 1798 Gauss estudou matemática na Universidade de Göttingen recebendo seu diploma in absentia da Universidade de Helmstadt Em sua dissertação fez a primeira demonstração completa do teorema fundamental da álgebra que diz que cada polinômio tem tantas soluções quanto seu grau Com a idade de 19 anos resolveu o problema que aturdiu Euclides inscrevendo em polígono regular de 17 lados num círculo usando a régua e compasso e em 1801 com a idade de 24 anos publicou sua primeira obraprima Disquisitiones Arithmeticae considerado por muitos como uma das mais brilhantes realizações na Matemática Neste livro Gauss sistematizou o estudo da teoria dos números propriedades dos inteiros e formulou os conceitos básicos que constituem o fundamento desse assunto No mesmo ano em que Disquisitiones foi publicado Gauss aplicou de novo sua fundamental habilidade de cálculo de maneira contundente O astrônomo Giuseppi Piazzi tinha observado o asteroide Ceres ao longo de 140 de sua órbita mas perdeuo no sol Usando somente três observações e o método dos mínimos quadráticos que tinha desenvolvido em 1795 Gauss calculou a órbita com tal precisão que os astrônomos não tiveram qualquer dificuldade em reencontrálo no ano seguinte Essa realização trouxelhe reconhecimento imediato como o principal matemático da Europa e em 1807 foi nomeado Professor de Astronomia e chefe do observatório astronômico de Göttingen Nos anos que se seguiram Gauss revolucionou a matemática introduzindo padrões de precisão e rigor nunca imaginados por seus predecessores Ele tinha paixão pela perfeição que o levou a polir e trabalhar seus escritos em vez de publicar trabalhos menos elaborados em maior quantidade seu lema favorito era Pauca sed matura Pouco mas maduro Como resultado muitas das suas descobertas importantes ficaram escondidas em diários que permaneceram sem publicações durante anos após sua morte Entre a miríade de suas realizações Gauss descobriu a curva de Gauss ou curva em forma de sino fundamental na probabilidade fez a primeira interpretação geométrica dos números complexos e estabeleceu seu papel fundamental na matemática desenvolveu métodos de caracterização de TÓPICO 2 TEOREMA DE GAUSS 171 superfícies intrinsicamente por meio das curvas que elas contêm desenvolveu a teoria das aplicações conformes que preservam ângulo e descobriu a Geometria nãoeuclidiana 30 anos antes que as ideias fossem publicadas por outros Na física fez contribuições relevantes na teoria das lentes e ações capilar e com Wilhelm Weber realizou trabalho fundamental em eletromagnetismo Gauss inventou o heliotrópio o magnetômetro bifilar e um eletrotelégrafo Gauss era profundamente religioso e aristocrata na conduta Dominava línguas estrangeiras com facilidade lia extensivamente e gostava de Mineralogia e Botânica como hobby Detestava lecionar e usualmente era frio e desencorajador com outros matemáticos possivelmente porque já havia antecipado o trabalho deles Já foi dito que se Gauss tivesse publicado todas as suas descobertas o estado atual da matemática estaria avançado em 50 anos Ele foi sem dúvida o maior matemático da era moderna FONTE ANTON Howard BIVENS Irl DAVIS Stephen Cálculo II 8 ed v 2 Porto Alegre Bookman 2007 FIGURA 1 CARL FRIEDRICH GAUSS FONTE httpsptwikipediaorgwikiCarlFriedrichGauss Acesso em 13 maio 2019 Acadêmico você percebeu que Gauss foi um matemático excepcional e suas contribuições para a matemática e para a física são inúmeras esperamos que a breve apresentação biográfica que apresentamos a você sobre Gauss motive ainda mais o estudo do teorema que leva o nome dele Como iremos associar as integrais de linha com integrais triplas lembramos aqui que é de fundamental importância que as técnicas de integrações triplas estejam bem compreendidas por você 172 UNIDADE 3 TEOREMAS DO CÁLCULO VETORIAL 2 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE DE UM CAMPO ESCALAR Ao adentrar no estudo do Teorema de Gauss antecipadamente necessitamos compreender o conceito de integral de superfície de campo escalar Pelo fato deste conceito ser apenas um prérequisito para o estudo do Teorema de Gauss iremos abordálo apenas de modo matemático sem nos preocuparmos aqui com suas aplicações práticas Definição uma integral de superfície de um campo escalar fxyz contínuo sobre uma superfície S que possui uma parametrização dada por φuv onde u v D é dada por onde ϕ ϕ ϕ S S D dS fdS f x y z dS f u v dudv u v dS dudv u v ϕ ϕ é o elemento de área Vamos agora compreender este conceito com a resolução de um exemplo Exemplo calcule a integral de superfície do campo escalar fxy xy ou seja calcule S xy dS onde S é parametrizada por φuv u vu v2u v 1 e ainda u v D é dada por 0 u 1 e 0 v u Resolução inicialmente calculamos as derivadas parciais de φ com relação a u e v logo 112 e 111 ϕ ϕ u v TÓPICO 2 TEOREMA DE GAUSS 173 Na sequência realizando o produto vetorial das derivadas parciais 1 1 2 1 3 2 1 1 1 i j k u v ϕ ϕ Calculando a norma encontramos 1 9 4 14 u v ϕ ϕ ou seja o elemento de área é 14 dS du dv Aplicando na expressão da integral de superfície 2 2 1 2 2 0 0 3 1 2 0 1 3 0 4 14 14 14 14 0 3 2 14 3 1 2 14 14 0 3 4 6 S S D u xy dS u v u v du dv u v du dv u v dvdu v u u v du u du u 3 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE DE UM CAMPO VETORIAL Assim como realizamos o estudo das integrais de superfície de campos escalares como prérequisito para o estudo do Teorema de Gauss iremos abordar do mesmo modo as integrais de superfície de campos vetoriais Lembramos que quando vimos as integrais de linha para campos vetoriais vimos que a definição dependia da orientação da curva ou seja 174 UNIDADE 3 TEOREMAS DO CÁLCULO VETORIAL C C F d r F d r Aqui para o estudo da integral de superfície que pode ser vista como a integral que calcula o fluxo do campo vetorial através desta superfície a definição também irá depender da orientação dentro para fora ou fora para dentro Definição dada uma superfície S orientável onde o vetor normal n representa esta orientação Seja ainda um campo vetorial contínuo F temos que a integral de superfície fluxo φ através de S é dada pela integral de superfície do campo escalar de F n Φ S F n dS Definição 2 orientação sendo S uma superfície orientada por n Dizemos que o bordo de S descrito por S está orientado positivamente se tivermos S sempre a nossa esquerda FIGURA 2 SUPERFÍCIE ORIENTADA POSITIVAMENTE FONTE Os autores Lembrese acadêmico de que a normal é calculada usando a fórmula a seguir NOTA ϕ ϕ ϕ ϕ u v u v n TÓPICO 2 TEOREMA DE GAUSS 175 Exemplo calcule o Fluxo do campo 2 2 F x y z xi x y j xyk através da superfície e 2 2 1 S u v u v u v ϕ com 0 1 u v D u e 0 v 1 Resolução calculando as derivadas parciais temos 1 0 2 u u ϕ 01 2 v v ϕ Assim o produto escalar das derivadas é 1 0 2 2 2 1 0 1 2 ϕ ϕ u v u u v v i j k E então o fluxo de F é dado por 2 2 2 2 1 1 2 2 0 0 1 3 1 2 0 0 2 2 2 2 2 1 4 2 2 2 4 2 4 2 4 2 3 4 2 3 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ u v u v u v S D u v D D D D F n dS F u v dudv F u v dudv u u v uv u v dudv u uv v uv dudv u v dudv u v dudv u uv dv v 1 0 1 3 0 4 2 3 3 4 2 3 3 2 dv v v 176 UNIDADE 3 TEOREMAS DO CÁLCULO VETORIAL 2 2 2 2 1 1 2 2 0 0 1 3 1 2 0 0 2 2 2 2 2 1 4 2 2 2 4 2 4 2 4 2 3 4 2 3 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ u v u v u v S D u v D D D D F n dS F u v dudv F u v dudv u u v uv u v dudv u uv v uv dudv u v dudv u v dudv u uv dv v 1 0 1 3 0 4 2 3 3 4 2 3 3 2 dv v v 4 TEOREMA DE GAUSS Enunciaremos portanto e finalmente o Teorema de Gauss Por vezes ele pode ser chamado de Teorema da Divergência e estabelece uma relação entre uma integral tripla sobre um sólido W com uma integral de superfície em sua fronteira Este teorema é um dispositivo de cálculo poderoso para modelos físicos tais como o fluxo de fluidos fluxos de campos elétricos ou magnéticos calor etc Teorema Gauss Dado ³ W um sólido com fronteira W orientado de modo positivo e n exterior a W Seja ainda F x y z contendo W então S W W F n dS div F dxdy dz Prezado acadêmico você deve revisitar o conceito de divergente visto na Unidade 2 deste material Sabemos que se F P Q R NOTA P Q R div F x y z TÓPICO 2 TEOREMA DE GAUSS 177 Vamos verificar que vale o Teorema de Gauss calculando a integral de superfície e a integral tripla Exemplo verifique o Teorema de Gauss quando o campo vetorial é F x y z x y x y z e a superfície é a esfera 2 2 2 1 x y z Resolução vamos iniciar calculando a integral de superfície Lembrese de que a normal exterior a uma esfera de raio 1 é n x y z então 2 2 2 2 2 2 4 π S S S S S F n dS x y x y z x y z dS x xy xy y z dS x y z dS dS Área S Note que o fato de a superfície ser uma esfera nos ajudou no cálculo da integral de superfície além disso é preciso sempre calcular o vetor normal à superfície Calcularemos agora o outro lado da igualdade do Teorema de Gauss usando integrais triplas Note que o divergente do campo é 1 1 1 3 div F Portanto temos que 3 3 W dxdydz V W o cálculo dessa integral já foi feito na Unidade 1 deste livro e como o volume de uma esfera é 3 4 4 3 3 r V W π π 178 UNIDADE 3 TEOREMAS DO CÁLCULO VETORIAL concluímos que 3 4 4 3 π π S F n dS Portanto concluímos que vale o Teorema de Gauss já que a integral de superfície do campo é igual à integral tripla do divergente Acadêmico é importante que você perceba que muitas vezes é mais fácil calcular a integral tripla do divergente do que calcular a integral dupla do campo vetorial Porém fazer a integral tripla requer na maioria das vezes fazer a mudança de variável de coordenadas cartesianas para esféricas ou cilíndricas Acadêmico lembrese de que já associamos as integrais triplas com o volume de um sólido e associamos as integrais duplas com a área de uma superfície UNI Vejamos mais alguns exemplos em que a utilização do Teorema de Gauss facilita o cálculo da integral de superfície de um campo vetorial Exemplo Calcule a integral a seguir S F n dS onde 2 Z x y F x y z x ye y ze z xe e S é a fronteira do sólido dado pelo interior do cilindro x2 y2 1 entre os planos x 0 e z x 2 Resolução para compreender melhor o exemplo verifique a figura que apresenta a representação gráfica do sólido apresentado no enunciado TÓPICO 2 TEOREMA DE GAUSS 179 GRÁFICO 6 REPRESENTAÇÃO DA SUPERFÍCIE FONTE Os autores z n n n y 2 1 1 1 y x 1 1 1 Note que o divergente de F é 1 1 2 2 2 div F z z Pela definição do Teorema de Gauss vista teremos 2 2 S W W W F n dS div F dxdy dz z dxdy dz aplicando os limites de integração temos 2 0 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 6 8 x S W D D D D F n dS z dz dxdy x z z dxdy x x dxdy x x dxdy 180 UNIDADE 3 TEOREMAS DO CÁLCULO VETORIAL usando a mudança de coordenadas cartesianas para polares temos logo e x r cos y r sen θ θ 2 1 2 2 0 0 2 1 3 2 2 0 0 2 4 3 2 2 0 2 0 cos 6 cos 8 cos 6 cos 8 1 6 8 cos cos 0 4 3 2 1 cos2 2cos 4 4 π π π π θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ S W F n dS r r rdr d r r r dr d r r r d d Vamos calcular cada uma das integrais separadamente e 2 2 0 2 1 1 2 cos 0 4 4 2 4 4 π π θ θ π θ θ sen d 2 0 2 2cos 4 2 4 8 0 π π θ θ θ θ π d sen Portanto concluímos que 33 8 4 4 π π π S W F n dS Assim como comentamos no tópico anterior o site Khan Academy pode ajudar você a estudar o Teorema de Gauss acesse o link a seguir e veja os conteúdos sobre o Teorema de Gauss httpsptkhanacademyorgmathmultivariablecalculusgreenstheoremand stokestheoremdivergencetheorem Acesso em 23 maio 2019 DICAS TÓPICO 2 TEOREMA DE GAUSS 181 Exemplo usando o Teorema da divergência calcule o fluxo de saída do campo vetorial 2 2 2 4 F x y z x i y j y xk através de uma superfície compreendida pelo cilindro circular x2 y2 9 e os planos z 0 e z 2 Resolução graficamente a superfície que vamos estudar é dada pelo gráfico a seguir GRÁFICO 7 REPRESENTAÇÃO DA SUPERFÍCIE FONTE Os autores Para usar o Teorema da Divergência precisamos calcular o divergente do campo vetorial 2 2 2 4 2 8 div F x y y x x y z x y portanto 2 8 S W W W F n dS div F dxdy dz x y dxdy dz 0 y z x 182 UNIDADE 3 TEOREMAS DO CÁLCULO VETORIAL Fazendo a mudança de coordenadas cartesianas para cilíndricas x rcosθ y rsenθ e z z temos 2 3 2 0 0 0 2 3 2 2 0 0 3 3 2 0 2 0 2 cos 8 2 2 cos 8 0 3 4 16 cos 0 3 3 102cos 144 2 102 144cos 0 0 π π π π θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ π θ θ S W F n dS r rsen r dz dr d r r sen z dr d r r sen d sen d sen Portanto concluímos que o fluxo de saída é nulo 0 S W F n dS 183 RESUMO DO TÓPICO 2 Neste tópico você aprendeu que Uma integral de superfície de um campo escalar fxyz contínuo sobre uma superfície S que possui uma parametrização dada por φuv em que u v D é dada por Dada uma superfície S orientável em que o vetor normal n representa esta orientação Seja ainda um campo vetorial contínuo temos que a integral de superfície fluxo φ através de S é dada pela integral de superfície do campo escalar de F n Sendo S uma superfície orientada por n dizemos que o bordo de S descrito por S está orientado positivamente se tivermos S sempre a nossa esquerda Dado ³ W um sólido com fronteira W orientado de modo positivo e n exterior a W Seja ainda F x y z contendo W então Onde ϕ ϕ ϕ S S D dS fdS f x y z dS f u v dudv u v dS dudv u v ϕ ϕ Φ S F n dS div S W W F n dS F dxdydz 184 AUTOATIVIDADE Acadêmico o processo de entendimento total do conteúdo finaliza aqui Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explorados neste tópico Bom estudo 1 Verifique que o Teorema de Gauss do campo vetorial vale para o sólido limitado pelas superfícies z x2 y2 z 4 e normal exterior a W Utilize algum recurso para plotar o gráfico desse sólido 2 Calcule o fluxo exterior do campo vetorial através da superfície formada pelos planos x 0 x 1 y 0 y 1 z 0 e z 1 3 Utilize o Teorema de Gauss para calcular o fluxo exterior de um campo vetorial através da região limitada pelos planos x 1 x 1 y 1 y 1 z 1 e z 1 4 Utilize o Teorema de Gauss para calcular o fluxo exterior de um campo vetorial através da região limitada pelo cilindro x2 y2 4 e os planos z 0 e z 1 5 Utilize o Teorema de Gauss para calcular o fluxo exterior de um campo vetorial através da região limitada pela esfera x2 y2 z2 4 F x y z x y z F x y z x y z F y x z y y x 2 2 2 F x y z 2 3 F x xz z 185 6 Usando o Teorema da divergência calcule o fluxo de saída do campo vetorial através de uma superfície compreendida pelo cilindro circular x2 y2 9 e os planos z 0 e z 2 7 Usando o Teorema da divergência calcule o fluxo de saída do campo vetorial através do cubo unitário cujos vértices são 000 100 010 110 001 101 011 e 111 3 3 2 F x y z x i y j z k 2 2 3 F x y z xi yj z k 187 TÓPICO 3 TEOREMA DE STOKES UNIDADE 3 1 INTRODUÇÃO Para finalizar o estudo das integrais de campos vetoriais estudaremos o Teorema de Stokes que assim como os Teoremas de Green e Gauss generaliza os teoremas fundamentais do cálculo para o espaço O Teorema de Stokes é uma generalização do Teorema de Green para superfícies em três dimensões Neste associamos uma integral de linha de um campo vetorial com a integral de superfície do rotacional do campo vetorial Como nos tópicos anteriores aqui estudaremos a história de George Gabriel Stokes Stokes era um matemático e físico irlandês que viveu de 1819 até 1903 No livro intitulado Cálculo II dos autores Haword Anton Irl Bivens e Stephen Davis temos a seguinte biografia de Stokes BIOGRAFIA DE GEORGE GABRIEL STOKES George Gabriel Stokes 18191903 Matemático e físico irlandês Nascido em Skreen Irlanda Stokes veio de uma família de raízes profundas na Igreja da Irlanda Seu pai era pároco sua mãe era filha de um pároco e três de seus irmãos receberam ordens sagradas Recebeu sua educação elementar de seu pai e de um escritório paroquial local Em 1837 entrou na Universidade de Pembroke e depois de formarse com honrarias aceitou um cargo na faculdade Em 1847 foi nomeado professor lucasiano de Matemática em Cambridge posição que já havia sido ocupada por Isaac Newton mas que havia perdido seu prestígio ao longo dos anos Em virtude de suas realizações Stokes acabou restaurando a posição à eminência que teve um dia Infelizmente o cargo pagava muito pouco e Stokes viuse forçado a lecionar na Escola de Minas do Governo durante a década de 1850 para solucionar a receita Stokes foi um dos muitos cientistas de destaque do século XIX que ajudou a voltar as ciências físicas para uma direção mais empírica Estudou sistematicamente hidrodinâmica elasticidade dos sólidos e comportamento das ondas em sólidos elásticos e difração da luz Para Stokes a matemática era uma ferramenta para seus estudos físicos Escreveu artigos clássicos sobre o movimento de fluidos viscosos que abriram as fundações de hidrodinâmica moderna aperfeiçoou a teoria das ondas de luz e escreveu artigos sobre variação gravitacional que estabelecem como um fundador da Geodésia moderna UNIDADE 3 TEOREMAS DO CÁLCULO VETORIAL 188 Stokes foi homenageado nos seus últimos anos com graus medalhas e participações em sociedades estrangeiras Em 1889 recebeu o título de nobre Durante toda a sua vida ele dedicou generosamente seu tempo para as sociedades eruditas e auxiliava imediatamente aqueles que procuravam sua ajuda para resolver problemas Era profundamente religioso e preocupado com a relação entre a ciência e religião FONTE ANTON Howard BIVENS Irl DAVIS Stephen Cálculo II 8 ed v 2 Porto Alegre Bookman 2007 FIGURA 3 GEORGE GABRIEL STOKES FONTE httpsptwikipediaorgwikiGeorgeGabrielStokes Acesso em 13 maio 2019 2 TEOREMA DE STOKES Para enunciar o Teorema de Stokes e sabendo que ele é uma generalização do Teorema de Green precisamos do conceito de fronteira de uma superfície que é chamado de bordo e o que seria a orientação positiva Considere uma superfície no espaço tridimensional como no gráfico a seguir TÓPICO 3 TEOREMA DE STOKES 189 GRÁFICO 8 SUPERFÍCIE EM TRÊS DIMENSÕES GRÁFICO 9 SUPERFÍCIE EM TRÊS DIMENSÕES FONTE Os autores FONTE Os autores Observe que a superfície tem dimensão dois e a parte onde ela termina que chamamos de bordo tem dimensão um o bordo é uma curva em 3 Caso a superfície seja fechada como por exemplo uma esfera bordo é um conjunto vazio já que não existe borda para a esfera Já bordo de uma semiesfera é uma circunferência Olhando para o bordo da superfície como uma curva podemos orientá la no sentido horário e antihorário Já a orientação da superfície será orientada pelo vetor unitário para o bordo e a superfície terem uma orientação coerente e para isso devemos usar a regra da mão direita em que o dedo polegar representa o vetor normal e os dedos palmares devem seguir a orientação do bordo como mostra o gráfico a seguir y z x y z x Vamos agora enunciar o Teorema de Stokes Teorema Stokes Seja U um conjunto aberto de R³ e F PQR um campo vetorial Seja S uma superfície regular orientada pelo vetor unitário n Logo se notarmos S ao bordo de S então S rotFn dS S Fdr Lembrese de que se Fxyz PxyzQxyzRxyz temos que o rotacional desse campo é calculado como a seguir rotF i j k x y z P Q R Ry Qz i Pz Rx j Qx Py k Observe que agora relacionamos a integral de linha de um campo vetorial com a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial Estudamos o conceito de rotacional na Unidade 2 deste livro caso você tenha alguma dúvida é importante que reveja a unidade anterior Vamos ver alguns exemplos sobre o Teorema de Stokes Exemplo verifique que vale o Teorema de Stokes para o campo vetorial Fxyz3z4xy considerando o paraboloide z 4 x² y² com z 0 a superfície orientada para cima Resolução note que a superfície é dada da seguinte forma GRÁFICO 10 PARABOLOIDE z 4 x² y² FONTE Os autores Observe que S é a superfície C é o círculo e D é a região dentro do círculo C Observe que o bordo dessa superfície é uma circunferência de raio igual a 2 e sabemos que a parametrização de uma circunferência em três dimensões é da forma x 2cost y 2sent e z 0 para 0 t 2π Usando a regra da mão direita como a norma aponta para cima da superfície temos que o bordo tem orientação no sentido antihorário Usando a integral de linha temos F d r 2π 0 3z dx 4x dy y dz 2π 0 3 0 2sentdt 42 cost2cost 2costdt 2sent 0 já que dx 2sentdt dy 2costdt e dz 0 D rotF n dS D 134 2x 2y 1 d x d y D 2x 6y 4 dx dy usando a mudança de coordenadas cartesianas para polares x r cosθ e y r senθ temos D rotF n dS 2π 0 2 0 2r cosθ 6r senθ 4r dr dθ 2π 0 2 0 2r² cosθ 6r² senθ 4r dr dθ 2π 0 2r³ 3 cosθ 2r³ senθ 2r² 2 0 dθ 2π 0 16 3 cosθ 16senθ 8 dθ 16 3 senθ 16 cosθ 8 2π 0 0 0 16 16 16π 0 16π TÓPICO 3 TEOREMA DE STOKES 193 Acadêmico lembrese de que a norma sempre aponta para a direção do vetor gradiente no caso de uma superfície z zxz a normal é dada por a Se a orientação é para cima temos 1 z z n x y b Se a orientação é para baixo temos 1 z z n x y UNI Exemplo calcule a circulação do campo ² F x y z yi xzj z k ao redor da curva C que é o bordo do triângulo definido pelo plano x y z 1 no primeiro octante no sentido antihorário Resolução o gráfico que necessitamos analisar está descrito a seguir GRÁFICO 11 REPRESENTAÇÃO DA CURVA DO EXEMPLO FONTE Os autores x y z 1 1 1 C A integral de linha pelo Teorema de Stokes será delimitada pela superfície S grifada pela parte do plano indicado neste exemplo com fronteira C assim como mostra o gráfico GRÁFICO 12 REPRESENTAÇÃO DA SUPERFÍCIE DO EXEMPLO FONTE Os autores A superfície indicada S é z 1 x y com x y D sabendo que D é a projeção no plano XY conforme o gráfico GRÁFICO 13 REPRESENTAÇÃO DA PROJEÇÃO D Sendo N 111 apontando para cima pelo sentido antihorário E normalizando N teremos n 111 e dS d x d y Pelo teorema de Stokes temos C F d r D rotF n dS onde o rotacional do campo vetorial é rot F i j k x y z x0z1 y xy z² concluímos assim que C F dr D rotF n dS D x0z1 111 dx dy D x z 1 dx dy como x y z 1 temos que z 1 x y e portanto C F dr D x x y dx dy 01 01x 2x y dy dx 01 2xy y²2 1x 0 dx 01 2x1x 1x²2 dx 01 2x 2x² 12 x x²2 dx 01 3x²2 x 12 dx x³2 x²2 1 0 12 12 12 Resolução vamos primeiro verificar graficamente qual a superfície GRÁFICO 14 REPRESENTAÇÃO DO RETÂNGULO C Para usar o Teorema de Stokes primeiro temos que calcular o rotacional do campo rot F i j k x y z 2xy y² 4y³ x² 4xz y²x e que a normal unitária é n zx zy 1 111 concluímos assim que o trabalho é C F dr D rotF n dS D 2xy y² 4y³ 111 dx dy D 2xy y² 4y³ dx dy Como o retângulo é limitado pelos planos x 0 x 1 y 0 e y 2 temos C F dr 02 01 2xy y² 4y³ dy dx 01 xy² y³3 y⁴2 dx 01 4x 83 16 dx 01 563 4x dx 56x3 2x² 1 0 563 2 503 UNIDADE 3 TEOREMAS DO CÁLCULO VETORIAL 198 LEITURA COMPLEMENTAR GEORGE GREEN O HOMEM E O TEOREMA Heloisa B Medeiros Lucia M Menezes e Denise Oliveira Pinto 1 HOMEM George Green é um nome bastante familiar para os matemáticos de hoje e seus resultados especialmente o famoso Teorema de Green e as funções de Green são amplamente conhecidos Todavia não é muito claro mesmo para os seus biógrafos mais dedicados em que fontes ou conhecimentos poderia ter se baseado para desenvolver seus trabalhos as evidências sugerem a obra de um gênio autodidata muito mais do que o esforço e a interlocução de um grupo de cientistas Ele próprio no prefácio de seu primeiro e mais importante trabalho An Essay on the Application of Mathematical Analysis tothe Theories of Electricity and Magnetism relata peculiaridades que provavelmente constituem os aspectos mais marcantes de sua biografia a ausência de intimidade com o meio acadêmico a escassa oportunidade de um estudo mais formal e a pouca disponibilidade de tempo para o aprofundamento de suas ideias Should the present Essay tend in any way to facilitate the application of analysis to one of the moreinteresting of the physical sciences the author willdeem himself amply repaid for any labour he mayhave bestowed upon it and it is hoped the difficulty of the subject will incline mathematicians to read the work with indulgence more particularly when they are informed that it was written by a young man who has been obliged to obtain the little knowledge he possesses at such intervals and by suchmeans as other indispensable avocations which offer few opportunities of mental improvement afforded17 8 1Se este estudo de algum modo facilitar o uso da análise matemática em algum dos problemas mais interessantes das ciências da natureza o autor se sentirá amplamente recompensado pelo esforço a ele dedicado esperase que a dificuldade do tema leve os matemáticos a ler o trabalho com benevolência particularmente quando informados que foi escrito por um jovem obrigado a obter o pouco conhecimento que possui em condições de tempo e recursos limitadas por outras atribuições indispensáveis que possibilitam poucas oportunidades de desenvolvimento intelectual 2 O TEOREMA Na ocasião em que Green publicou seu Essay o resultado que hoje conhecemos como Teorema de Green foi escrito com uma notação quase incompreensível para os matemáticos atuais Uma formulação moderna do Teorema bem como sua demonstração pode ser vista em qualquer livro de cálculo ou análise de várias variáveis como por exemplo 9 TÓPICO 3 TEOREMA DE STOKES 199 O teorema se refere a uma região fechada e limitada do plano Em linhas gerais afirma a igualdade entre a integral de linha de um campo vetorial na fronteira desta região e a integral dupla no interior da região de determinada expressão envolvendo derivadas parciais do campo No enunciado que usamos aqui bem conhecido dos cursos de cálculo aparece o conceito de região simples Lembramos que uma região de 2 é dita simples se a interseção de sua fronteira com qualquer reta paralela a um dos eixos coordenados ocorre no máximo duas vezes Em todo caso o Teorema se refere à união finita de regiões simples o que é bem pouco restritivo Teorema 1 Seja D uma região limitada no plano formada pela união finita de regiões simples cujos bordos são curvas seccionalmente suaves isto é de classe C1 por partes Seja σ uma parametrização orientada positivamente de D bordo de D e 2 G D D um campo vetorial de classe C1 Então 2 1 σ D G G dxdy G x y dr x y 21 onde Gxy G1xyG2xy A demonstração do Teorema é bastante técnica e transcende o escopo deste trabalho Todavia já foi comentado pode ser encontrada com facilidade em livros de cálculo ou análise Nossa intenção é ilustrar ouso do Teorema em alguma aplicação Embora originalmente proposto no contexto da teoria de eletromagnetismo o Teorema de Green pode ser empregado em inúmeras outras situações Escolhemos uma delas que nos pareceu interessante a mensuração de áreas através de um instrumento conhecido como planímetro polar muito usado por cartógrafos e outros profissionais A necessidade de medir áreas planas é um problema que se apresenta de maneira natural e inúmeras soluções têm sido propostas desde a Antiguidade Em1854 Amsler construiu o planímetro polar instrumento muito bem recebido por engenheiros e cartógrafos para calcular a área de uma região limitada por uma curva fechada A Figura 1 gentilmente cedida por 5 mostra uma foto do instrumento enquanto na Figura 2 temos sua representação esquemática Um planímetro é composto essencialmente por dois braços unidos por uma articulação O primeiro conhecido como braço fixo tem uma de suas extremidades presa ao papel como a ponta seca de um compasso enquanto a outra se move para permitir o deslocamento do segundo braço conhecido como braço móvel Preso ao braço móvel e perpendicular a ele existe um disco que encosta no papel e pode girar livremente Pela posição desse disco ele é arrastado em movimentos paralelos ao braço móvel e rola sem escorregar em movimentos perpendiculares ao braço A consequência disso havendo condições razoáveis de atrito é que esse disco captura apenas a componente perpendicular ao braço do movimento descrito por seu centro UNIDADE 3 TEOREMAS DO CÁLCULO VETORIAL 200 A posição exata do disco neste braço varia dependendo do planímetro específico que se esteja usando Vamos supor aqui que o disco se localiza exatamente na extremidade livre do braço móvel De fato essa situação não é prática porque essa ponta deve estar desimpedida para o usuário do planímetro seguir a curva mas facilita nossa exposição Comentaremos no final por que não é difícil obter resultados semelhantes em outras posições Para medir uma área devese fixar a ponta do primeiro braço no papel e fazer o disco no segundo braço percorrer a fronteira da região saindo de um ponto e caminhando sempre em uma mesma direção até retornar ao ponto inicial Alguns sítios da web como 11 e 12 apresentam simuladores do processo Ao final do percurso um contador informa o número não necessariamente inteiro de voltas que o disco efetuou e a partir deste número é possível calcular a área da região É importante que o percurso da fronteira seja sempre seguido na mesma direção e vamos admitir que é feito na direção positiva mantendo a região à esquerda TÓPICO 3 TEOREMA DE STOKES 201 Em um primeiro momento a relação entre o número de voltas do disco e a área a ser calculada não é evidente e não se sabe ao certo que raciocínio teria levado Amsler a conceber seu planímetro Fato é que sua publicação a respeito do assunto Über das Planimeter não menciona os resultados de Green embora Amsler e Green tenham sido contemporâneos e segue uma linha de raciocínio mais própria da geometria plana 5 De qualquer forma nossa intenção aqui é entender o funcionamento deste instrumento de medição a partir do Teorema de Green e é nessa direção que vamos argumentar Na Figura 3 um esquema é colocado no plano cartesiano A origem representa o ponto em que está fixado o primeiro braço a b é o ponto de articulação entre os dois braços e x y é um ponto da fronteira da região Vale observar que a b depende de x y Para desenvolver nosso raciocínio supomos que o ponto fixo está fora da região isto é a origem não pertence à região cuja área se quer medir Pelas convenções e nomenclatura que aqui utilizamos ab R ou seja a distância entre um valor possível de a b e a origem é exatamente igual ao tamanho do braço fixo ver Figura 4 Além disso para cada a b o braço móvel pode percorrer um círculo de raio r que é o seu comprimento em torno de a b Tomando a envoltória destes círculos como fronteira definimos um anel em torno da origem como A x y R r x y R r e verificamos que para que um ponto seja alcançado pela extremidade do braço móvel ele deve pertencer à região A Todavia se admitirmos que algum ponto da fronteira de D pertence ao bordo no anel isto é x y D e xy R r ou xy R estaremos admitindo a possibilidade de que durante o percurso da fronteira os dois braços se alinhem Essa possibilidade deve ser evitada Na verdade para cada x y D existem duas posições possíveis para a b Passar continuamente de uma a outra implicaria em alinhar os dois braços ao longo do processo Uma consequência negativa desta possibilidade seria permitir que saíssemos de um ponto com uma das determinações de a b percorrêssemos a fronteira continuamente e retornássemos ao mesmo ponto com outra determinação Como a b deve ser função de x y evitamos esta dupla possibilidade exigindo que D esteja contido no interior de A Isto é admitindo que D é um conjunto fechado contém seu fecho queremos que x y D R r x y R r Se o braço móvel se desloca ao longo da sua própria direção o disco não gira apenas translada Como queremos entender o significado do número de rotações estamos interessados em analisar o movimento que ocorre na direção perpendicular ao braço móvel pois é este o deslocamento que provoca a rotação O número de rotações é evidentemente proporcional à distância percorrido pelo disco no sentido perpendicular ao braço móvel UNIDADE 3 TEOREMAS DO CÁLCULO VETORIAL 202 Chamamos de D a região e de D a sua fronteira que parametrizamos com orientação positiva por uma função t x t y t t σ α β Como σ descreve posição σt descreve a velocidade do disco Para determinar a componente da velocidade perpendicular ao braço móvel verificamos que este braço tem a direção de x ay b e sua direção perpendicular no sentido anti horário é G x y y b x a Portanto se r é o comprimento do braço móvel concluímos que 1 F x y y b x a r é um vetor unitário na direção perpendicular ao braço móvel se a extremidade livre desse braço está em x y A componente da velocidade na direção ortogonal ao braço móvel será portanto vt Fσt σt onde denota o produto escalar A velocidade angular ω do disco é então obtida pela expressão v t ω t ρ onde ρ é o raio do disco Integrando a velocidade angular obtemos t dt β Ω α ω Sendo Ω a integral da velocidade dividida por ρ ela mede a distância percorrida pelo disco no movimento de rotação dividida por ρ e portanto Ω 2πn₀ onde n₀ é o número de voltas observe que n₀ não é necessariamente um número inteiro Conclusimos pois que Ω βα ωtdt 1ρ βα Fσtσtdt 1ρ βα Gσtσtdt 2πn₀ A última integral de 22 é a integral de linha de G ao longo de σ e sabemos pelo Teorema de Green que σ Gdr DG₂x G₁ydxdy Restanos apenas calcular essa integral dupla Da expressão de G calculamos G₂x G₁y 2 aₓ bᵧ 2 Divab UNIDADE 3 TEOREMAS DO CÁLCULO VETORIAL 204 Para obter Divab observamos a Figura 4 para escrever as equações 2 2 2 2 2 2 a b R x a y b r 24 25 Nas equações acima podemos confirmar aquilo que a intuição nos diz sobre a posição do ponto de articulação a b para cada x y fixo qual seja poderiam existir dois valores de a b para cada ponto na curva Todavia considerando as hipóteses explicitadas anteriormente apenas um ponto é possível e prosseguimos sem culpa assumindo que a b é função de x y Derivando 24 em x temos que 2 2 0 2 1 2 0 x x x x aa bb x a a y b b Assim 1 0 x x x x aa b b x a a y b b Logo 1 0 x x aa x a a y b b e portanto 0 x a y b a x a x a b isto é x ay a x x a b e por conseguinte x b x a a xb ya TÓPICO 3 TEOREMA DE STOKES 205 26 27 Vamos repetir esse processo derivando agora as equações 24 em y 2 2 0 2 2 1 0 y y y y aa bb x a a y b b Assim 1 0 y y y y bb a a x a a y b b Logo 1 0 y y bb x a y b b a e portanto 0 y b b x a y b y b a isto é y xb b y y b a e por conseguinte y a y b b xb ya Finalmente somando 25 com 26 temos que x y Div a b a b b x a a y b xb ya xb ya 1 bx ay xb ya Concluímos então que Divab 1 e portanto G₂x G₁y 1 Pelo Teorema de Green sabemos que DG₂x G₁ydxdy Gxydr Ora o lado esquerdo de 28 é exatamente a área da região envolvida enquanto o lado direito vale 2πρ r n₀ Obtemos assim uma associação entre a área da região e o número de voltas dadas pelo disco Considerando que q e r precisariam ser medidos a constante 2πpr poderia introduzir um erro grande no cálculo da área Para minimizar este problema costumase estimar seu valor procedendo de forma experimental Isto é utilizase o planímetro para medir uma área conhecida por exemplo um quadrado e com este resultado podese determinar um valor com boa aproximação para 2πpr TÓPICO 3 TEOREMA DE STOKES 207 A primeira integral é a mesma que já calculamos usando o Teorema de Green e vale a área da figura contornada Vamos mostrar que as outras duas integrais são nulas concluindo assim que a posição do disco não altera o resultado da integral de linha Como Gσt tem norma constante e igual a r a imagem da curva t Gσt está contida no círculo de raio r e centro na origem Portanto sua derivada é sempre ou nula ou ortogonal à posição e assim o produto escalar da terceira integral é zero Em seguida escrevemos cos a t t r t sen t σ σ θ θ Logo Gσt rsenθt cosθt e o segundo integrando fica igual a θt A integral t dt β α θ poderia dar qualquer múltiplo de 2π mas dá zero se o número de voltas líquidas do braço móvel for zero Ora mas isso segue do fato de que o número de voltas líquidas do braço fixo é zero e também do fato de que o ângulo entre os dois braços na articulação só varia num intervalo de tamanho π FONTE httpsrmusbmorgbrwpcontentuploadssites27201803n50n51Artigo02pdf Acesso em 9 jul 2019 RESUMO DO TÓPICO 3 Neste tópico você estudou que O bordo de uma superfície tem dimensão um e é a borda da superfície onde a superfície acaba A orientação da superfície é dada pela orientação da normal e deve estar coerente com a orientação do bordo seguindo a regra da mão direita Seja U um conjunto aberto de ℝ³ e F PQR um campo vetorial Seja S uma superfície regular orientada pelo vetor unitário n Logo se notarmos S ao bordo de S então S rot Fn dS Fdr O rotacional do campo vetorial Fxyz PxyzQxyzRxyz é calculado da seguinte forma rotF Ry Qz i Pz Rx j Qx Py k AUTOATIVIDADE Acadêmico o processo de entendimento total do conteúdo finaliza aqui Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explorados neste tópico Bom estudo 1 Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial F x y z 3z 4x y considerando o parabolóide z 4 x² y² com z 0 a superfície orientada para baixo 2 Calcule a integral de linha C F d r usando o Teorema de Stokes quando F x y z xy yz zx e C é o triângulo no plano x y z 1 de vértices 1 0 0 0 1 0 e 0 0 1 com orientação antihorária 3 Utilizando o Teorema de Stokes calcule o trabalho τ C F d r realizado pelo campo vetorial F x y z x² i 4xy j³ y² x k numa partícula que percorre o retângulo C limitado pelos planos x 0 x 1 y 0 e y 2 no plano z x y com orientação horária 4 Utilizando o Teorema de Stokes calcule o trabalho τ C F d r realizado pelo campo vetorial F x y z xy i x² j z² k numa partícula que percorre o círculo C x² y² 1 com orientação horária 5 Utilizando o Teorema de Stokes calcule o trabalho τ C F d r realizado pelo campo vetorial F x y z xy i x² j z² k numa partícula que percorre o círculo C x² y² 1 com orientação antihorária 211 REFERÊNCIAS ANDRADE A A DA SILVA W M Aplicações de limites de funções na físicoquímica 5ª Jornada de Iniciação Científica e Extensão IFT 2014 ANTON H BIVENS I DAVIS S Cálculo II 8 ed v 2 Porto Alegre Bookman 2007 BASSALO J M F Uma breve história da aviação sd Disponível em http wwwsearadacienciaufcbrfolclorefolclore291htm Acesso em 15 jan 2019 BATISTA Roberto Junior Uma breve introdução à história do cálculo diferencial e integral Curitiba Colégio Militar de Curitiba 2010 CASTELLAN G W Fundamentos de físicoquímica Rio de Janeiro Editora LTC 2010 CASTRO Fernando Andrade CASTRO Karine Oliveira VILELA Luana Cruz Aplicação prática de cálculo integral e diferencial em um balão de ar quente Curitiba UNIBRASIL 2016 FLEMMING D GONÇALVES M Cálculo A B 2 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2007 GUIDORIZZI H L Um curso de Cálculo 5 ed v 1 2 3 e 4 Livros Técnicos e Científicos Ed Ltda 2001 GUIDORIZZI H L Um curso de cálculo v 3 5 ed Rio de Janeiro LTC 2001 HOFFMANN L D BRADLEY G L Cálculo um curso moderno e suas aplicações 7 ed Rio de Janeiro LTC Editora Ltda 2002 311 p MESQUITA FILHO A Introdução à físicoquímica das soluções Disponível em httpecientificoculturalcomECC3solu03htm Acesso em 3 jul 2014 STEWART J Cálculo v 1 5 ed São Paulo Thomson 2008 STEWART J Cálculo 5 ed São Paulo Pioneira 2005 THOMAS G B Cálculo v 1 e 2 10 ed Boston Addison Wesley 2003 WHITE F M Mecânica dos fluidos 6 ed Porto Alegre ARTMED 2011 101 p