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Manoel Henrique Campos Botelho é engenheiro civil formado em 1965 pela Escola Politécnica da USP Conhecido autor de livros de engenharia possui mais de quinze títulos publicados sendo seu maior sucesso a obra Concreto Armado Eu Te Amo Este livro é dirigido a estudantes e profissionais de engenharia de todas as especialidades alunos dos cursos de arquitetura e técnicos em geral Atende os programas curriculares das escolas de nível técnico e superior A disciplina Resistência dos Materiais é considerada uma das mais importantes na história da tecnologia Analisando o tema de forma direta e objetiva esta obra trata das estruturas mais simples às mais complexas A obra é resultado do esforço em tentar fazer do aprendizado desta matéria complexa algo compreensível e prazeroso Sumário Ofertas 9 Apresentação 11 Capítulo 1 O que é a Resistência dos Materiais 13 Capítulo 2 O equilíbrio das estruturas e as estruturas que não devem estar em equilíbrio 16 Capítulo 3 Os tipos de esforços nas estruturas 26 Capítulo 4 Tensões coeficientes de segurança e tensões admissíveis dimensionamento das estruturas 34 Capítulo 5 Todas as estruturas se deformam lei de Hooke e módulo de Poisson 42 Capítulo 6 Quando as estruturas se apoiam entendendo os vários tipos de apoio 53 Capítulo 7 Estruturas isostáticas hiperstáticas e hipostáticas 56 Capítulo 8 Estudando os vários tipos de feixes simples composta normal oblíqua 66 Capítulo 9 Introdução aos conceitos de momento estático momento de inércia módulo resistente e raio de rotação 66 Capítulo 10 Estudando a flexão normal nas vigas isostáticas diagramas de momentos fletores forças cortantes e forças normais 70 Capítulo 11 Exemplos de cálculo de vigas com diagramas de momento fletor e força cortante 86 Capítulo 12 Explicando a viga Gerber uma viga de vão calibrável 101 Capítulo 13 Tensões normais em vigas a flexão normal 107 Capítulo 14 A flexão oblíqua nas vigas 127 Capítulo 15 Tensões tangenciais cisalhamento em vigas 136 Capítulo 16 Como as vigas se deformam linhas elásticas 145 Capítulo 17 Estudando as vigas hiperstáticas equação dos três momentos e método de Cross 152 Capítulo 18 Flambagem ou o mal características das peças comprimidas 161 Capítulo 19 Estruturas e materiais não resistentes à tração 171 Capítulo 20 Estruturas de resposta linear e de resposta nãolinear Validade do processo de superposição 182 Capítulo 21 Em cada ponto de uma estrutura há vários esforços 190 Capítulo 22 Ligando duas peças cálculo de rebites e soldas 192 Os conceitos de momento de inércia momento estático momento polar raio de giro e eixos principais de inércia 265 O que é a Resistência dos Materiais A Resistência dos Materiais nos limites deste livro procurará estudar Estruturas que possuam ser associadas a barras de eixos retinóeos Capítulo 2 O equilíbrio das estruturas e as estruturas que não devem estar em equilíbrio Uma estrutura ou está em equilíbrio ou em movimento Nós estudaremos principalmente as estruturas em equilíbrio ou seja as que estão estáticas melhor dizendo em equilíbrio estático Para que uma estrutura esteja em equilíbrio estático deve obedecer às seguintes leis da Estática FH0 FV0 MT0 MF0 FH Força horizontal FV Força vertical MT Momento de torção MF Momento de flexão As quatro famosas condições dos esforços externos Sejam as seguintes estruturas e vejamos as suas condições de equilíbrio Uma pessoa está apoiada no chão Se o chão puder reagir com uma reação igual ao peso a pessoa estará em equilíbrio Se o chão for um charco um local onde não reagirá ao peso e a pessoa afundará Temos agora uma pessoa empurrando para baixo um trampolim Seguramente o trampolim se deformará mas estará em equilíbrio se o gancho trampolimestrutura puder reagir à força e ao momento F L criado Estruturas que obedeçam a uma lei segundo a qual se uma barra for submetida a uma carga e ela se deformar de x e se a carga for 2q a deformação deverá ser 2x A importância dessa lei chamada Lei de Hooke será mostrada ao longo do livro Temos agora um parafuso preso numa madeira com uma ferramenta apoiada nessa madeira tentamos torcêlo Se o momento de torção que causamos for suficiente o parafuso girará Se for fraco então as resistências de atrito serão suficientes para reagir com um momento torsor real do modo igual e de sentido contrário desse modo o parafuso fica em equilíbrio e não gira Notas 1 Até agora vimos estruturas que procuraram o equilíbrio Há estruturas que procuram dentro de critérios o nãoequilíbrio Bicicletas patins pranchas de windsurf estruturas transportadoras e rodasgigantes são exemplos disso 2 Note que não se obtém as condições de equilíbrio com ações e reações externas ao corpo Nada falamos dos esforços que esses forças e momentos externos causam nos corpos Não mencionamos por exemplo o que ocorrem da pessoa puxando uma corda sendo também só força a corda aguentar A existência de ações externas mesmo que equilibrados com reações também externas geram esforços internos que não precisam estar nítidos Situações de pequenas deformações Não confunda equilíbrio com deformações Um coqueiro que se dobra ante o vento e vem estar em equilíbrio enquanto não sai do local Uma estrutura em equilíbrio pode ser enorme Uma estrutura em equilíbrio pode ter enormes deformações como o caso da polim que se verga ao peso e ao impulso dinâmico de um banhista 22 Reconhecendo as estruturas do diaadia Tente o caro leitor abrir uma garrafa de refrigerante com rosca interna com uma só mão em cima de um piso liso Você não vai conseguir por falta de apoio e reação os efeitos do seu esforço serão nulos Agora segure a base da garrafa com uma mão e gire a tampa com a outra Ela girará e sairá Você sentirá então que foram criados dois momentos de torção um negativo e outro positivo A sua mão sobre a tampa gerará um momento de torção sobre a estrutura que não girará pois seria uma perda do equilíbrio devido ao momento torcer reativo criado pela outra mão Vamos agora fazer alguns exercícios para fixar os conceitos Estruturas que não obedeçam a qualquer uma dessas três condições placas por exemplo deverão ser estudadas por outras teorias estruturais como a da Resistência dos Materiais análoga à Elasticidade que é muito útil em estruturas de mais de uma dimensão Primeira condição FH 0 F1 HC 0 3 HC 0 HC 3 tf Segunda condição FV 0 4 tf 42 x 36 RC 0 RB RC 1912 tf Terceira condição MF 0 Vamos aplicar esta condição para o ponto C Substituiremos a carga distribuída pela sua resultante de intensidade 42 x 36 e situada no ponto médio entre B e C Para o ponto C 04 08 36 RB x 36 42 x 36 x 362 0 RB 125 tf RB RC 1912 tf RC 1912 125 662 tf RC 662 tf Estão definidas as reações na viga Note que não pusemos no apoio C as reações compatíveis com o apoio que é uma articulação portanto as reações são forças A Resistência dos Materiais estudada neste livro fornecerá os fundamentos para a compreensão e estudo das seguintes estruturas Exercício 3 Calcule as reações da viga As três famosas condições são FH 0 FV 0 e MF 0 Convenções FH 0 16 x cos 45 HA 0 HA 16 x 07 112 tf FV 0 16 x cos 45 80 RA RB 0 RA RB 192 tf MF 0 Seja o ponto B RA x 06 04 04 16 cos 45 04 04 8 x 04 0 RA 87 tf RB 105 tf Notas didáticas a Consideramos a espessura da viga de pequeno valor portanto desprezamos o momento fletor causado pelas forças horizontais b Nos exercícios 1 e 3 as forças ativas não causaram momentos fletores externos nas vigas do diaadia Capítulo 3 Os tipos de esforços nas estruturas Devido aos esforços ativos e reativos a estrutura está em equilíbrio ou seja não se movimenta Apesar de a estrutura estar em equilíbrio ela poderá até se romper se os efeitos dos esforços ativos e reativos levarem à sua desintegração material A desintegração da estrutura ocorrerá se algumas partes constituintes da estrutura sofrerem valores extremos em face de tensão de compressão tensão de tração tensão de cisalhamento torção Para chegarmos às tensões que levam ou não ao colapso das estruturas tem que haver um efeito intermediário causado pelos esforços ativos e reativos Esses esforços internos solicitantes gerarão no final tensões de tração compressão e cisalhamento da natureza Os esforços internos solicitantes gerados pelos esforços externos ativos e reativos causarão no final a seguinte estrutura tensão pressão de compressão tensão pressão de tração tensão pressão de cisalhamento deslizamento O quadro a seguir mostra esses conceitos Esforços ativos forças e momentos fletores e de torção Esforços reativos Força normal de compressão à seção Força normal de tração à seção Força tangencial à seção corte Momentos fletores Momentos de torção Esforços internos solicitantes Esforços internos resistentes Tensão de compressão Tensão de tração Tensão de cisalhamento Conhecidas as tensões podemse usar os critérios de resistência para estimar como a estrutura se comportará veja anexo 4 neste livro de pedra de taipa e de alvenaria Exemplos de como os esforços solicitantes e resistentes atuam em estruturas Parthenon em cada coluna há forças normais e tensão de compressão Mulher no trampolim há momento fletor no trampolim Bexiga inflada há forças normais à seção gerando tensões de tração Tubo enterrado de esgoto sem pressão interna há forças normais a cada ponto do círculo gerando tensões de compressão de madeira Mola helicoidal a força F é tangencial ao plano da seção normal da mola Essa força causa torção na mola devido ao braço de alavanca a Garrafa de refrigerante a força F é o esforço ativo e o reativo é causado por algum suporte da garrafa A força F causa um momento torçor que cria uma tensão de cisalhamento na relação tampagargalo da garrafa Deslizamento de terreno a cunha indicada no terreno só ficará estável se a coesão interna do terreno resistir à tensão de cisalhamento Terrenos argilosos barrentos têm razoável coesão interna Terrenos algo arenosos têm menos coesão interna Suponha como recurso didático que quiséssemos fazer uma pilha de bolinhas de gude bolas de vidro A total falta de coesão entre as bolinhas impede por completo a existência de uma pilha que ficasse de pé Há a necessidade de uma parede de contenção de aço de alumínio etc Capítulo 4 Tension coefficients of safety and admissible stresses dimensioning of structures Imagine que temos de suspender uma peça industrial de 755 tf por uma cordoalha de aço cuja resistência média de ruptura é de 1490 kgfcm² Vamos verificar a espessura necessária da cordoalha Fórmula geral σ FS F 7550 kgf σ 1490 kgfcm² S Fσ 75501490 506 cm² Vamos escolher o diâmetro da cordoalha que tenha essa área Se adotarmos o diâmetro de 1 estaremos atendendo ao projeto pois essa bitola de cordoalha tem área de 506 cm² todavia com o tempo a cordoalha pode perder resistência podendo desfiar em alguns casos a resistência média da cordoalha pode variar de lote para lote e talvez tenhamos o azar de ter esse um mau lote a carga a suspender pode ser algo maior que 7550 kgf Nasce intuitivamente a noção do coeficiente de segurança dotar o sistema de uma capacidade adicional que funciona como reserva estratégica e que não é para ser usada Essa segurança se espelha em um número que pode ser considerado um acréscimo à carga de 7550 kgf Admitindo que escolhemos o coeficiente de segurança k 15 temos σadm σlimitek FkS S 15Fσ 1575501490 760 cm² de concreto simples e armado 41 Coeficientes de segurança na tecnologia mecânica Dados de um catálogo de um fabricante de correntes Corrente de aço d mm carga de trabalho kgf 1 carga de teste kgf 2 carga de ruptura kgf 3 10 3125 8000 12500 18 10000 25000 40000 1 Por experiência do fabricante e atendendo às normas é fixada a carga de trabalho 2 Todas as peças são verificadas em teste com essa carga 3 Pequena parte da produção é verificada em teste que leva até a ruptura Uma razão possível para a utilização de grandes coeficientes de segurança como 4 é o fato de no teste a prova ser estática e de no uso diário existirem forças dinâmicas que aumentam momentaneamente as tensões Para uma visão inicial dos valores aproximados das tensões admissíveis dos vários materiais vejamos a tabela a seguir Tensões admissíveis materiais tração kgfcm² σt compressão kgfcm² σc cisalhamento kgfcm² τr aço 1500 1500 800 ferro fundido 300 900 300 concreto 5 50 5 granito 20 200 de equipamentos 43 Exercícios numéricos Exercício 1 Uma peça que pesa 123000 kgf apoiase sobre quatro peças de aço de baixa estatura como indicado no desenho ao lado Identifique as dimensões que a peça deve ter Peças de apoio a x 5a É um problema de dimensionamento à compressão σc 1000 kgfcm² Tensão admissível do aço já incorpora o coeficiente de segurança Fórmula geral σc FS S Fσc 1230001000 123 cm² São quatro peças de apoio portanto 4 5 x a² 123 cm² a 12320 25 cm Logo a peça de apoio deve ter as dimensões mínimas de 25 x 125 cm O peso próprio da estrutura deve ser considerado nos cálculos quando seu valor for significativo situação que não ocorre neste caso outras 1 254 cm S1 π D24 π 25424 506 cm2 Observe o equilíbrio das cargas e dos cabos 2 F1 cos 45 P F1 P cos 45 P14 F2 F1 Em cada cabo inclinado atua uma força P14 e no cabo vertical atua a força P Logo o cabo mais esforçado é o cabo vertical Vamos verificar o máximo P σ FS F σ S 1500 506 7590 kgf F 76 tf Note que se o ângulo fosse maior que 60 cos α 05 a parte mais exigida do cabo seria a sua parte inclinada essa seria porém uma má solução construtiva pois os cabos não devem sustentar forças com ângulos muito inclinados uma vez que a força nesse cabo aumenta muito Nota sobre o sistema de unidades Capítulo 5 Todas as estruturas se deformam lei de Hooke e módulo de Poisson Nota 1 Experiência num material que visualmente apresenta resultados Pegue um elástico de borracha desses elásticos comprados em papelaria e faça esta experiência Corteo com um comprimento de 10 cm e faça várias experiências de tração mas sem esforçolo muito Depois disso meçao outra vez A nova medida deverá ser muito próxima dos 10 cm iniciais Isso indica que estivemos fazendo experiências dentro do campo elástico terminando o esforço termina a deformação na peça e ela volta a ser o que era Com cuidado para não romperlo procure esforçolo mais até sentir que está quase rompendo Meça o novo comprimento Você notará que mesmo não estando distendido o elástico tem agora quase 11 cm Ocorreru uma deformação permanente plástica no valor de 1 cm Nota 2 Para estudar as deformações nas estruturas Eis as razões Ter critérios para limitar as deformações nas estruturas em trabalho Daria para acertar uma trave de gol que flecha barriga no seu ponto médio de 20 cm Desenvolver testes para resolver estruturas sem esse recurso apenas Optouse por usar neste livro a expressão kgf como unidade de peso em vez da unidade Newton Devese isso a uma maior familiaridade do autor com a unidade clássica Cremos que a maioria dos leitores também prefere essa opção 51 A lei de Hooke 511 Primeira consideração Pegue dois elásticos um com 2 cm de comprimento e outro com 10 cm e traçãoos com a mesma força Para isso basta prendêlos nas suas extremidades e colocar pesos pendurados Você poderá medir as deformações e notar que o de maior comprimento terá um alongamento cinco vezes maior que o menor Observe Se L2 n L1 então ΔL2 n ΔL1 Concluímos que a deformação x1 não é característica do material Para os dois elásticos divida agora cada deformação pelo seu comprimento original e verifique que um mesmo número será alcançado Portanto para uma dada força F a relação xL é uma característica do material elástico Chamaremos xL de e e daremos a ele o nome de deformação unitária 512 Segunda consideração Pegue agora dois elásticos de mesmo comprimento e mesmo material mas com espessuras diferentes um mais grosso seção S1 e outro mais fino seção S2 e aplique uma mesma força F aos dois materiais Vea a transformação prática Vamos ver na prática como as coisas acontecem Volte a fazer a experiência com uma peça o elástico que tenha 10 cm de comprimento Faça com que a força F cresça e vá medindo os ΔL Enquanto o esforço é baixo cessada a força a peça volta a ter o comprimento original de 10 cm Tal situação é denominada situação elástica 10 N 1 kgf aproximadamente Vamos admitir uma lei absolutamente genérica e válida para todos os materiais existentes no mundo uma lei mais prática do que real O gráfico a seguir mostra a hipótese admitida 10 kgfcm² 1 MPa Os estiradores são usados para fios de aço de diâmetro reduzido Se tivermos que tracionar fios de aço de maior diâmetro devese utilizar um equipamento industrial chamado TIFOR guincho de alavanca No romance Grandes Sertões veredas de Guimarães Rosa o personagem Diadorim oculta por um certo tempo o fato de ser do sexo feminino Isso só foi possível por usar roupa de couro O leitor concordará que se usasse roupa com material de mais baixo E seria quase impossível esconder tal fato Articulação pino não permite que os apoios se afastem na horizontal tampouco na vertical mas permite um giro do apoio A peça dobrada de uma porta ou armário é um excelente exemplo A relação bielamanivela se dá através de um pino Quando uma estrutura tem um número de vínculos tal que possam ser resolvidos pela Estática as famosas quatro condições ela é uma estrutura isostática Se o número de vínculos de uma estrutura cresce então não bastam as quatro equações da Estática Para determinar seus esforços temos que usar outras teorias por exemplo o estudo das deformações a fim de descobrir os valores das reações nos apoios São as estruturas hiperestáticas 72 Casos de estruturas hiperestáticas Um banco de igreja de cinco pés Uma ponte rolante apoiada sobre dois apoios é uma estrutura hipostática apoiada em uma estrutura isostática Uma viga de três apoios sendo transportada em um caminhão é uma estrutura hiperestática sobre uma estrutura hipostática As estruturas a seguir são também hiperestáticas ou seja não podem ser resolvidas utilizandose somente as equações de equilíbrio da Estática a Dois corpos A e B de materiais diferentes e com diferentes E Quanto de carga F vai para A e B b Duas vigas de mesmo material mas em alturas diferentes Como a carga P se distribui pelas duas vigas c Arco articulado com carga centrada Quais as reações HA e HB Ao longo deste livro essas estruturas serão estudadas e descobriremos as reações que atuam sobre elas podendo então calcular tensões e deformações Capítulo 8 Estudando os vários tipos de flexão simples composta normal oblíqua 81 Definição Imagine uma viga biarticulada de ponte e de seção retangular que suporta carga distribuída Vejamos como atua o momento fletor a que ela está submetida Como esforços ativos e reativos só temos forças pois as articulações A e B não suportam momentos fletores Como esforços internos solicitantes ocorrerão forças tangenciais às seções da viga e momentos fletores O momento fletor em cada seção Z assim atua Nesse caso em que as cargas estão distribuídas ao longo do eixo da viga os momentos fletores atuarão perpendicularmente à direção XX e paralelamente à direção YY Esses eixos XX e YY são os eixos de simetria da seção Esse tipo de flexão é a flexão normal também conhecida como flexão reta Imagine agora um outro tipo de viga que recebe as cargas verticais do peso de telhas No caso as cargas peso são verticais e gerarão momentos fletores num plano vertical que encontrará a seção da viga em eixos inclinados em relação aos eixos de simetria da seção É a chamada flexão oblíqua ou flexão desviada A divisão entre flexão normal ou flexão oblíqua é estabelecida levando em conta a posição do plano de momento em relação aos eixos de simetria da peça Se usássemos viga peças de seção circular não haveria distinções entre os dois tipos de flexão uma vez que seções circulares não têm eixos de simetria ou se quisermos todos os eixos passando pelo centro do círculo são eixos de simetria Há casos de estruturas que usam barras e vigas cuja seção não tem eixo de simetria Para essas seções utilizase um conceito que é uma evolução do conceito de eixos de simetria Esses novos eixos denominamse eixos principais de inércia são dois eixos ortogonais entre si passando pelo centro da gravidade da figura para um máximo o momento de inércia é mínimo Para seções como estas o momento de inércia é mínimo Para seções com eixos simétricos as seções conhecem os eixos principais de inércia 811 Exemplo de flexão normal Uma viga de madeira servindo de suporte a um tablado em uma estrutura sobre um rio A viga sofre flexão normal composta Se essa estrutura suporta o empuxo lateral do terreno a viga sofre compressão Temos aí um caso de flexão normal composta 812 Exemplo de flexão oblíqua A terça de um telhado suportando seu peso próprio e o peso de telhas Esse é um caso de flexão oblíqua 8121 Exemplo de flexão oblíqua composta Mesa de quatro pés nas mesas de quatro pés chegam duas traves vigas e a esses pés elas são pregadas Cada trava transporta ao pé da mesa um momento fletor A soma dos dois momentos gera um momento fletor oblíquo Veja Nota Deformabilidade na flexão As peças sofrendo flexão podem apresentar grandes deformações A forma de formada da viga chamase linha elástica deformada e ela será calculada a partir do estudo do E do material determinado num ensaio de traçãocom pressão Veja O estudo da linha elástica deformada levará em conta o tipo de flexão o tipo e o valor da carga o vão a forma da viga retangular em perfil T por exemplo e suas dimensões altura largura da seção a característica do material da viga ou seja o seu módulo de elasticidade E os pontos de apoio Capítulo 9 Introdução aos conceitos de momento estático momento de inércia módulo resistente e raio de gir ação 91 Definições 911 Momento estático Momento estático é o produto de um elemento de área ds por sua distância a um eixo considerado 9111 Características do momento estático Sua unidade é dimensão ao cubo Ms 0 se x passa pelo centro de gravidade da figura 912 Momento de inércia O produto de um elemento de área pelo quadrado de sua distância a um eixo considerado é o que chamamos de momento de inércia 9121 Características do momento de inércia Sua unidade é dimensão à quarta É sempre positivo 913 Raio de gir ação Tratase do resultado do cálculo i JS e tem como característica uma dimensão linear 914 Módulo resistente Ao longo do texto mostraremos o uso de módulo resistente 92 Tabela dos valores de cada conceito para as figuras mais comuns 1 Momento estático 2 Momento de inércia 3 Módulo resistente 4 Raio de gir ação Capítulo 10 Estudando a flexão normal nas vigas isostáticas diagramas de momentos fletores forças cortantes e forças normais Vamos resolver várias vigas isostáticas e traçar seus diagramas de momentos fletores MF forças tangenciais Q e forças normais N determinando assim os esforços internos solicitantes ponto a ponto Em capítulo posterior serão calculados os esforços internos resistentes O traçado de diagramas como mostrado aqui pode ser feito também para estruturas hiperestáticas após determinação das reações nos apoios O acompanhamento dos exemplos numéricos ajudará a entender os conceitos Exercício 1 Determine reações e diagramas da viga a seguir F11 0 não aplicável pois não há forças horizontais Nota Não ocorrem momentos fletores externos FV 0 RA RB 380 kgf RA RB 380 kgf Notas 1 A maior força cortante na viga é de 285 kgf e não 380 kgf que é a carga externa 2 No ponto C há duas forças cortantes à esquerda 95 kgf e à direita 285 kgf Se usarmos a força cortante no dimensionalização de forças em C o valor será o maior 285 valor em módulo 3 No ponto C a força cortante passa de valores positivos para negativos Nesse ponto ocorre o maior momento fletor Vamos voltar a discutir o exercício 1 Vejamos a peça em perspectiva Exercício 2 Resolva a viga a seguir FF 0 RA RB 86 64 55 tf M 0 MA 0 A resultante da carga distribuída vale 86 640 55 tf e está no meio do vão C Onde Q 0 o momento fletor é máximo ou mínimo FV 0 RA RB 12 x 430 9 x 1 615 tf MB 0 RA 1055 245 RA 245 tf RB 615 245 RB 37 tf Vamos calcular MB momentos fletores internos à esquerda de B MB 245 x 430 12 x 430 x 215 559 tfm À direita de B acontece o momento fletor interno valendo 559 tfm Para calcular T onde Q 0 Qr 245 12x 0 x 245 12 205 m QA 245 tf QL 0 Qesquerda 245 12 x 430 271 99 tf Para calcular o máximo momento fletor positivo MFT 245 x 205 12 x 205 2501 tfm MB 245 x 430 12 x 430 x 430 2 559 tfm Notas 1 No ponto T onde Q 0 o diagrama de M apresenta um ponto de máximo positivo 2 A maior força cortante da viga vale 271 que é o valor à esquerda de B Exercício 4 Resolve a viga a seguir Verifique que M0 vindo da direita deve resultar em 289 tfm MD 38 x 04 x 02 304 A diferença está no arredondamento de valores Tudo ok Exercício 5 Resolve a viga a seguir Viga biapoida com três tramos FV 0 RB RC 103 x 09 118 x 34 84 x 07 RB 5527 tf MC 0 103 x 09 090 2 34 RB x 34 118 x 34 x 34 2 84 x 07 x 07 2 0 RB 30 tf RC 5527 30 RC 2527 tf Para calcular as forças cortantes QA 0 QB esquerda 103 x 09 927 tf QB direita 927 30 203 tf Qc esquerda 2073 118 x 34 1939 tf Qc direita 1939 2527 588 tf O ponto Z é o ponto de maior momento fletor positivo Em várias situações o momento nos apoios negativo é maior em módulo que o momento positivo Lembrese o que interessa é sempre o maior momento em módulo valor sem sinal e é esse maior módulo de momento fletor que usaremos no dimensionamento da viga Note que nos pontos onde o diagrama de Q se anula B Z e C o momento fletor passa por um valor máximo em módulo Para calcular MF em vários pontos MC 0 MFB 04 x 140 2 06 x 140 03 x 370 0122 tfm MFA 04 x 14 x 140 2 06 x 14 03 x 370 0122 tfm Nota Como vimos os diagramas de Q MF e N mostram os esforços internos São calculados a partir de um ponto extremo C por exemplo e vindo para a esquerda Exemplo de cálculo de vigas com diagramas de momento fletor e força cortante RA pL 6 406 x 380 257 tf RB pL 3 406 x 380 3 514 tf Podese provar matematicamente que o máximo momento fletor ocorre no ponto Z 0577 L e vale Mmax pL² 6 406 x 382 1559 376 tfm Diagrama de Q Exercício 3 Quais os máximos esforços que a carga P causa na viga a seguir Exercício 4 Calcule a viga a seguir que tem um dispositivo que causa momento fletor sem transmitir força externa Em Estática procurase sempre a resultante das forças E na Resistência dos Materiais Como veremos com os dados deste exercício a resultante das ações tem que estar na mesma vertical da resultante das reações e ser de mesmo valor para que a viga esteja em equilíbrio Veja Vamos decompor a força F em duas componentes uma ortogonal perpendicular ao eixo da viga e outra paralela ao eixo A viga AB pelos seus apoios A e B reagirá Em B que por ser rolete reage perpendicularmente a CB e RB Em A a reação está decomposta em F1 no eixo da viga e em F2 perpendicular Condições de equilíbrio Pelo eixo u F1 580 kgf Ft F1 com sentido oposto a Fv Pelo eixo t RA RB FU 360 kgf Aplicando ΣMB 0 RA 460 FU 270 RA 360 270 46 RA 211 kgf RB 360 211 149 kgf Fv 580 kgf Ft 580 kgf A viga AB pelos seus apoios A e B reagirá HA 4 tf VA 85 tf MFz PL2 2 17 4 2 34 tfm Para entender que só há esforço normal de A até C façamos uma analogia com uma mola que é comprimida em parte do seu comprimento Na prática a criação da articulação em D faz com que tenhamos funcionalmente duas vigas a viga BD apoiada em B e no outro extremo apoiada na viga AD No apoio D não se transmite momento só força O exemplo numérico a seguir torna a explicação extremamente clara Pronto As condições do problema estão expostas e vamos estudar as soluções tendo agora como alternativa adicional a solução Gerber Também para facilitar a resolução vamos apresentar na página 105 uma Tabela de vigas hiperestáticas de um só tramo Analisemos as quatro alternativas resolvidas e vejamos suas vantagens e desvantagens Alternativa 1 ver página 106 É uma estrutura hiperestática portanto muito sensível a recalques diferenciais Alternativa 2 viga em apoio em B ver página 106 É uma estrutura hiperestática das alternativas Não usa o apoio D para recalcar Alternativa 3 viga biapoiada ver página 106 Constutivamente seria É uma estrutura isostática portanto mais adaptável não sensível a recalques diferenciais Tem como desvantagem o fato de transferir metade da carga para o pilar B Alternativa 4 viga com apoio Gerber ver página 106 É uma estrutura isostática Escolhemos arbitrariamente um ponto D para criar o dente Gerber que é uma articulação Logo o trecho DB transferirá a carga à viga AD no ponto D somente carga O momento máximo ocorre no apoio A é maior que os momentos da alternativa 2 e alternativa 3 mas leva menos momento fletor em A e a carga no apoio B diminui suas tensões não se alteram para recalque A alternativa 4 é entendida como solução final Nota É possível colocar o dente Gerber onde quisermos Quanto mais para a direita o pusermos menor será a carga em B em compensação será maior o momento em A e viceversa Podemos pois alterar a solução Gerber para calibrar alterar o vão de uma viga conforme o nosso interesse Veja Em pontes é comum usarse uma viga Gerber no caso de alguns pilares podem sofrer recalques diferentemente do restante da estrutura Nota Esta tabela é útil para o estudo de uma viga Gerber Note que somente a parte AC se comprime A parte CB fica sem deformação Intervalo didático Até este ponto do livro nós determinamos nas vigas a variação seção por seção do seu momento fletor a força cortante o momento torçor e a força normal Nos capítulos seguintes determinaremos as consequências desses esforços ou seja as tensões de compressão de tração e de cisalhamento Capítulo 12 Explicando a viga Gerber uma viga de vão calibrável 121 Definição Suponha que tivéssemos de vencer o vão AB com um perfil metálico e quisermos como é rotina econômica usar o menor perfil metálico Vamos estudar só os momentos fletores A solução que resultar com o menor momento fletor será por hipótese a mais econômica Temos porém um complicado Um dos apoios da viga B é uma coluna que pode recalcar introduzindo o chamado recalque diferencial que é o caso de um ponto recalcar ou não As estruturas hiperestáticas são em princípio não recomendáveis para esses casos pois recalques diferenciais provocam nessas estruturas significativos aumentos de tensões Este é o vão a vencer e suas características Admitamos que podemos se quisermos engastar o perfil no apoio A Para ter outras opções de solução vamos introduzir como mais uma alternativa o uso da solução Gerber viga Gerber dente Gerber que nada mais é do que criar uma articulação em uma viga hiperestática de um tramo tornandoa isostática Vejamos como fazer isso Capítulo 13 Tensões normais em vigas a flexão normal Uma estrutura sofrendo flexão se deformará e nas suas seções transversais e em cada ponto das seções sofrerá tensões pressões normais de compressão tensões pressões normais de tração tensões pressões tangenciais de cisalhamento deslizamento O conceito corrente de pressão força dividida por área referese na linguagem comum a situações de compressão Vamos aqui ampliar também para situações de tração e cisalhamento Vejamos estas duas vigas As tensões de tração de compressão e de cisalhamento variam de seção para seção e em uma seção de ponto a ponto Para facilitar o entendimento o estudo será dividido em tensões normais e tangenciais Neste capítulo abordaremos as tensões normais No próximo capítulo as tensões tangenciais de cisalhamento 131 Tensões normais de compressão e tração Partindo de um caso simples de uma viga de seção retangular vamos generalizar para outras seções 1311 Exercícios numéricos Exercício 1 Seja uma prancha de aço de 10 x 30 cm apoiada sobre duas colunas e sujeita a uma carga concentrada de 92 t situada no meio do vão Por ser pequeno o peso próprio da viga será desprezado RA RB 46 tf Mmax F x L 4 92 x 48 4 1104 tfm Analisando a deformação da viga numa seção vêse que as partes superiores da viga sofrem um processo de encurtamento compressão e as partes inferiores estiramento tracionamento Seja agora uma seção transversal ao eixo no ponto C Nos pontos da borda superior da seção C acontecem as máximas tensões de compressão que irão decair conforme nos aproximamos do eixo Nesse eixo as tensões de compressão deixam de existir e nos primeiros pontos abaixo do eixo começam a ocorrer tensões de tração que serão máximas na borda inferior da seção Como são as tensões numa seção no ponto D distante 18 m de A σM 49 x 49 49 x 15 735 kgfcm2 compressão σA 49 x 49 582 kgfcm2 compressão σ0 0 nen tração não compressão σZ 49 x 49 490 kgfcm2 tração σN 49 x 49 715 kgfcm2 tração Basta calcular inicialmente MD MD RA x 180 46 x 18 828 tfm 828000 kgfcm As tensões máximas são σc σt M J x h 10 2 828000 10 x 30 303 12 552 kgfcm2 Para determinar as tensões em vários pontos do eixo de tensão σc σt M J x a 828000 225500 x a 368 a Exercício 3 Análise a tensão máxima em um poste de concreto simples encravado na base e sofrendo no seu topo uma força de 1300 kgf σLímite 15 kgfcm² na tração e compressão Exercício 4 Uma viga de seção circular d 40 cm será usada como estrutura de uma viga Analise as consequências em vários pontos da viga O maior momento fletor na viga é MC 41513 kgfm Exercício 5 Temos que vencer uma flexão causada por três cargas F cada uma valendo 42 tf igualmente espaçadas a 17 m O material da viga resiste melhor na tração que na compressão σz 1428000 41813 10 341 kgfcm² compressão σc 98800 250 395 kgfcm² P1 502 P2 P P1 1750 502 1152 kgf 1 Material com módulo de elasticidade E1 2 Material com módulo de elasticidade E2 A divisão de força P para cada pranchas deve ser feita pelo critério de deformabilidade O índice para medir essa deformabilidade chamase módulo de deformabilidade calculado pelo produto E x J Assim neste caso temos dois módulos E1 x J1 e E2 x J2 P1 P2 J1 x E1 P1 P2 P Essa fórmula também pode ser usada no caso a seguir 135 Reconheça as estruturas do diaadia O hábito de projetar estruturas convencionais pode levar o iniciante no estudo das estruturas a considerar ler procurar sempre obter nas estruturas as mínimas tensões e as mínimas deformações Há casos entretanto em que isso não é desejado Ao estruturar vigas de seção retangular normalmente as colocamos de pé ou seja com a maior dimensão da seção na vertical e por consequência a menor dimensão na horizontal Isso gerará as menores tensões e as menores deformações levando a uma maximização do uso do material 1411 Exemplo de cálculo de flexão oblíqua Seja a coluna de seção retangular podese desprezar a flambagem com uma carga F que deslocaremos normalmente à seção transversal da peça Para ficar bem claro o estudo de flexão oblíqua em seção com eixos de simetria admitimos que a força F esteja atuando Caso a Fora do centro mas em um eixo de simetria Caso b Fora dos dois eixos de simetria M Mx My n 10 m 3 F 540 tf Assim a tensão no ponto A será σZ F S σMx σMy O cálculo de σMx e σnx seguirá a metodologia utilizada no caso a flexão normal com dois momentos fletores 1412 Exemplo numérico de viga com eixos de simetria Mx F x n 540 x 10 5400 tfcm My F x m 540 x 3 1620 tfcm Calcularemos W nas direções x e y W bh² 6 Wx 30 x 40² 6 8000 cm³ Wy 30 x 40 6 6000 cm³ Analisando cada um dos pontos A B C e D temos σA F S My Wy Mx Wx 540 6 1620 30 x 40 8000 σB F S My Wy Mx Wx 540 6 1620 30 x 40 8000 σC 0045 tfcm² σD F S My Wy 540 6 1620 8000 O problema está resolvido 142 Flexão oblíqua em vigas sem eixos de simetria Em 141 estudamos a flexão oblíqua no caso de a seção transversal da viga possuir dois eixos de simetria Neste caso estudaremos a flexão oblíqua em vigas sem eixos de simetria Sejam as seções de vigas como a seguir Podemos definir para qualquer seção o conceito de eixos principais de inércia EPI São eixos ortogonais entre si que passam pelo centro de gravidade da área Para esses eixos são máximos e mínimos os momentos de inércia da seção Para seções que tenham eixos de simetria o eixo de simetria é um dos eixos principais de inércia No caso de perfis metálicos os perfis já fornecem para os usuários o posicionamento dos eixos principais de inércia Seja por exemplo o perfil cantoneira perfil L de abas seguintes Elementos para projeto 1421 Exemplo de flexão oblíqua em vigas sem eixo de simetria Seja um momento fletor cujo valor é de 190 kgfcm² 19000 kgfcm² atuando sobre um perfil de aço de abas desiguais de 4x3x516 Sabese que o plano do momento fletor coincide com a direção Y paralela às abas e passando pelo centro de gravidade Vamos determinar as tensões de tração e compressão máximas que ocorrem na peça Vejamse a seção transversal e a perspectiva da peça em trabalho tg α 0554 α 29 J1 176 cm⁴ J2 37 cm⁴ Jtotal 213 cm⁴ Note que em qualquer perfil Jx Jy J1 J2 J1 eixo do momento J da figura passando pelo centro de gravidade J2 eixo do momento J da figura passando pelo centro de gravidade Capítulo 15 Tensões tangenciais cisalhamento em vigas Já vimos que ocorrem nas seções de estruturas que sofrem flexão tensões de compressão e de tração variando de ponto a ponto de cada seção Essas tensões são máximas nas bordas e nulas na metade da seção Nesta estrutura que sofre flexão ocorrem tensões de cisalhamento seção por seção e os seus valores dependem da seção e de cada ponto nessa seção Tais tensões variar inversamente da compressão e tração Quanto às tensões de cisalhamento tangenciais são máximas no centro da seção e nulas nas bordas da seção As tensões de cisalhamento em vigas são chamadas de tensões de cisalhamento na flexão para serem diferenciadas das tensões de cisalhamento puro como as tensões de cisalhamento nos rebites A fórmula que correlaciona o valor da força cortante em uma seção e a tensão em um ponto dessa seção é τ₁ QMs bJ Q força cortante na seção Ms momento estático da área acima de x₁ b largura da seção em x₁ J momento de inércia da seção Para a seção retangular τₓ Q 2J h² 4 y² y 0 τ 0 y h τ 0 se y h τ τmax 3Q 2bh Ms momento estático da parte hachurada t tensão de cisalhamento Q força cortante na seção h altura da seção b largura da seção O maior momento fletor é no meio do vão e seu valor é Mc pl² 8 19 48² 8 54 tfm Q pl 2 19 48 456 tf e 4560 kgf nos apoios τ Q b d e d é a espessura da alma do perfil Ao usar essa fórmula estamos admitindo que só a alma do perfil resistirá como seção resistente ao cisalhamento Interpretemos τₐ 0 a tensão de cisalhamento é nula nas bordas τᵇ 0 a tensão de cisalhamento vai crescendo de A para B e as tensões no trecho são baixas pois há bastante área área de aba para resistir τ𝓏 Há um aumento de tensão pois diminui a área a resistir e a partir daí a área da alma é que resiste τᵈ No eixo de simetria ocorre a maior tensão de cisalhamento Quadro comparativo
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Manoel Henrique Campos Botelho é engenheiro civil formado em 1965 pela Escola Politécnica da USP Conhecido autor de livros de engenharia possui mais de quinze títulos publicados sendo seu maior sucesso a obra Concreto Armado Eu Te Amo Este livro é dirigido a estudantes e profissionais de engenharia de todas as especialidades alunos dos cursos de arquitetura e técnicos em geral Atende os programas curriculares das escolas de nível técnico e superior A disciplina Resistência dos Materiais é considerada uma das mais importantes na história da tecnologia Analisando o tema de forma direta e objetiva esta obra trata das estruturas mais simples às mais complexas A obra é resultado do esforço em tentar fazer do aprendizado desta matéria complexa algo compreensível e prazeroso Sumário Ofertas 9 Apresentação 11 Capítulo 1 O que é a Resistência dos Materiais 13 Capítulo 2 O equilíbrio das estruturas e as estruturas que não devem estar em equilíbrio 16 Capítulo 3 Os tipos de esforços nas estruturas 26 Capítulo 4 Tensões coeficientes de segurança e tensões admissíveis dimensionamento das estruturas 34 Capítulo 5 Todas as estruturas se deformam lei de Hooke e módulo de Poisson 42 Capítulo 6 Quando as estruturas se apoiam entendendo os vários tipos de apoio 53 Capítulo 7 Estruturas isostáticas hiperstáticas e hipostáticas 56 Capítulo 8 Estudando os vários tipos de feixes simples composta normal oblíqua 66 Capítulo 9 Introdução aos conceitos de momento estático momento de inércia módulo resistente e raio de rotação 66 Capítulo 10 Estudando a flexão normal nas vigas isostáticas diagramas de momentos fletores forças cortantes e forças normais 70 Capítulo 11 Exemplos de cálculo de vigas com diagramas de momento fletor e força cortante 86 Capítulo 12 Explicando a viga Gerber uma viga de vão calibrável 101 Capítulo 13 Tensões normais em vigas a flexão normal 107 Capítulo 14 A flexão oblíqua nas vigas 127 Capítulo 15 Tensões tangenciais cisalhamento em vigas 136 Capítulo 16 Como as vigas se deformam linhas elásticas 145 Capítulo 17 Estudando as vigas hiperstáticas equação dos três momentos e método de Cross 152 Capítulo 18 Flambagem ou o mal características das peças comprimidas 161 Capítulo 19 Estruturas e materiais não resistentes à tração 171 Capítulo 20 Estruturas de resposta linear e de resposta nãolinear Validade do processo de superposição 182 Capítulo 21 Em cada ponto de uma estrutura há vários esforços 190 Capítulo 22 Ligando duas peças cálculo de rebites e soldas 192 Os conceitos de momento de inércia momento estático momento polar raio de giro e eixos principais de inércia 265 O que é a Resistência dos Materiais A Resistência dos Materiais nos limites deste livro procurará estudar Estruturas que possuam ser associadas a barras de eixos retinóeos Capítulo 2 O equilíbrio das estruturas e as estruturas que não devem estar em equilíbrio Uma estrutura ou está em equilíbrio ou em movimento Nós estudaremos principalmente as estruturas em equilíbrio ou seja as que estão estáticas melhor dizendo em equilíbrio estático Para que uma estrutura esteja em equilíbrio estático deve obedecer às seguintes leis da Estática FH0 FV0 MT0 MF0 FH Força horizontal FV Força vertical MT Momento de torção MF Momento de flexão As quatro famosas condições dos esforços externos Sejam as seguintes estruturas e vejamos as suas condições de equilíbrio Uma pessoa está apoiada no chão Se o chão puder reagir com uma reação igual ao peso a pessoa estará em equilíbrio Se o chão for um charco um local onde não reagirá ao peso e a pessoa afundará Temos agora uma pessoa empurrando para baixo um trampolim Seguramente o trampolim se deformará mas estará em equilíbrio se o gancho trampolimestrutura puder reagir à força e ao momento F L criado Estruturas que obedeçam a uma lei segundo a qual se uma barra for submetida a uma carga e ela se deformar de x e se a carga for 2q a deformação deverá ser 2x A importância dessa lei chamada Lei de Hooke será mostrada ao longo do livro Temos agora um parafuso preso numa madeira com uma ferramenta apoiada nessa madeira tentamos torcêlo Se o momento de torção que causamos for suficiente o parafuso girará Se for fraco então as resistências de atrito serão suficientes para reagir com um momento torsor real do modo igual e de sentido contrário desse modo o parafuso fica em equilíbrio e não gira Notas 1 Até agora vimos estruturas que procuraram o equilíbrio Há estruturas que procuram dentro de critérios o nãoequilíbrio Bicicletas patins pranchas de windsurf estruturas transportadoras e rodasgigantes são exemplos disso 2 Note que não se obtém as condições de equilíbrio com ações e reações externas ao corpo Nada falamos dos esforços que esses forças e momentos externos causam nos corpos Não mencionamos por exemplo o que ocorrem da pessoa puxando uma corda sendo também só força a corda aguentar A existência de ações externas mesmo que equilibrados com reações também externas geram esforços internos que não precisam estar nítidos Situações de pequenas deformações Não confunda equilíbrio com deformações Um coqueiro que se dobra ante o vento e vem estar em equilíbrio enquanto não sai do local Uma estrutura em equilíbrio pode ser enorme Uma estrutura em equilíbrio pode ter enormes deformações como o caso da polim que se verga ao peso e ao impulso dinâmico de um banhista 22 Reconhecendo as estruturas do diaadia Tente o caro leitor abrir uma garrafa de refrigerante com rosca interna com uma só mão em cima de um piso liso Você não vai conseguir por falta de apoio e reação os efeitos do seu esforço serão nulos Agora segure a base da garrafa com uma mão e gire a tampa com a outra Ela girará e sairá Você sentirá então que foram criados dois momentos de torção um negativo e outro positivo A sua mão sobre a tampa gerará um momento de torção sobre a estrutura que não girará pois seria uma perda do equilíbrio devido ao momento torcer reativo criado pela outra mão Vamos agora fazer alguns exercícios para fixar os conceitos Estruturas que não obedeçam a qualquer uma dessas três condições placas por exemplo deverão ser estudadas por outras teorias estruturais como a da Resistência dos Materiais análoga à Elasticidade que é muito útil em estruturas de mais de uma dimensão Primeira condição FH 0 F1 HC 0 3 HC 0 HC 3 tf Segunda condição FV 0 4 tf 42 x 36 RC 0 RB RC 1912 tf Terceira condição MF 0 Vamos aplicar esta condição para o ponto C Substituiremos a carga distribuída pela sua resultante de intensidade 42 x 36 e situada no ponto médio entre B e C Para o ponto C 04 08 36 RB x 36 42 x 36 x 362 0 RB 125 tf RB RC 1912 tf RC 1912 125 662 tf RC 662 tf Estão definidas as reações na viga Note que não pusemos no apoio C as reações compatíveis com o apoio que é uma articulação portanto as reações são forças A Resistência dos Materiais estudada neste livro fornecerá os fundamentos para a compreensão e estudo das seguintes estruturas Exercício 3 Calcule as reações da viga As três famosas condições são FH 0 FV 0 e MF 0 Convenções FH 0 16 x cos 45 HA 0 HA 16 x 07 112 tf FV 0 16 x cos 45 80 RA RB 0 RA RB 192 tf MF 0 Seja o ponto B RA x 06 04 04 16 cos 45 04 04 8 x 04 0 RA 87 tf RB 105 tf Notas didáticas a Consideramos a espessura da viga de pequeno valor portanto desprezamos o momento fletor causado pelas forças horizontais b Nos exercícios 1 e 3 as forças ativas não causaram momentos fletores externos nas vigas do diaadia Capítulo 3 Os tipos de esforços nas estruturas Devido aos esforços ativos e reativos a estrutura está em equilíbrio ou seja não se movimenta Apesar de a estrutura estar em equilíbrio ela poderá até se romper se os efeitos dos esforços ativos e reativos levarem à sua desintegração material A desintegração da estrutura ocorrerá se algumas partes constituintes da estrutura sofrerem valores extremos em face de tensão de compressão tensão de tração tensão de cisalhamento torção Para chegarmos às tensões que levam ou não ao colapso das estruturas tem que haver um efeito intermediário causado pelos esforços ativos e reativos Esses esforços internos solicitantes gerarão no final tensões de tração compressão e cisalhamento da natureza Os esforços internos solicitantes gerados pelos esforços externos ativos e reativos causarão no final a seguinte estrutura tensão pressão de compressão tensão pressão de tração tensão pressão de cisalhamento deslizamento O quadro a seguir mostra esses conceitos Esforços ativos forças e momentos fletores e de torção Esforços reativos Força normal de compressão à seção Força normal de tração à seção Força tangencial à seção corte Momentos fletores Momentos de torção Esforços internos solicitantes Esforços internos resistentes Tensão de compressão Tensão de tração Tensão de cisalhamento Conhecidas as tensões podemse usar os critérios de resistência para estimar como a estrutura se comportará veja anexo 4 neste livro de pedra de taipa e de alvenaria Exemplos de como os esforços solicitantes e resistentes atuam em estruturas Parthenon em cada coluna há forças normais e tensão de compressão Mulher no trampolim há momento fletor no trampolim Bexiga inflada há forças normais à seção gerando tensões de tração Tubo enterrado de esgoto sem pressão interna há forças normais a cada ponto do círculo gerando tensões de compressão de madeira Mola helicoidal a força F é tangencial ao plano da seção normal da mola Essa força causa torção na mola devido ao braço de alavanca a Garrafa de refrigerante a força F é o esforço ativo e o reativo é causado por algum suporte da garrafa A força F causa um momento torçor que cria uma tensão de cisalhamento na relação tampagargalo da garrafa Deslizamento de terreno a cunha indicada no terreno só ficará estável se a coesão interna do terreno resistir à tensão de cisalhamento Terrenos argilosos barrentos têm razoável coesão interna Terrenos algo arenosos têm menos coesão interna Suponha como recurso didático que quiséssemos fazer uma pilha de bolinhas de gude bolas de vidro A total falta de coesão entre as bolinhas impede por completo a existência de uma pilha que ficasse de pé Há a necessidade de uma parede de contenção de aço de alumínio etc Capítulo 4 Tension coefficients of safety and admissible stresses dimensioning of structures Imagine que temos de suspender uma peça industrial de 755 tf por uma cordoalha de aço cuja resistência média de ruptura é de 1490 kgfcm² Vamos verificar a espessura necessária da cordoalha Fórmula geral σ FS F 7550 kgf σ 1490 kgfcm² S Fσ 75501490 506 cm² Vamos escolher o diâmetro da cordoalha que tenha essa área Se adotarmos o diâmetro de 1 estaremos atendendo ao projeto pois essa bitola de cordoalha tem área de 506 cm² todavia com o tempo a cordoalha pode perder resistência podendo desfiar em alguns casos a resistência média da cordoalha pode variar de lote para lote e talvez tenhamos o azar de ter esse um mau lote a carga a suspender pode ser algo maior que 7550 kgf Nasce intuitivamente a noção do coeficiente de segurança dotar o sistema de uma capacidade adicional que funciona como reserva estratégica e que não é para ser usada Essa segurança se espelha em um número que pode ser considerado um acréscimo à carga de 7550 kgf Admitindo que escolhemos o coeficiente de segurança k 15 temos σadm σlimitek FkS S 15Fσ 1575501490 760 cm² de concreto simples e armado 41 Coeficientes de segurança na tecnologia mecânica Dados de um catálogo de um fabricante de correntes Corrente de aço d mm carga de trabalho kgf 1 carga de teste kgf 2 carga de ruptura kgf 3 10 3125 8000 12500 18 10000 25000 40000 1 Por experiência do fabricante e atendendo às normas é fixada a carga de trabalho 2 Todas as peças são verificadas em teste com essa carga 3 Pequena parte da produção é verificada em teste que leva até a ruptura Uma razão possível para a utilização de grandes coeficientes de segurança como 4 é o fato de no teste a prova ser estática e de no uso diário existirem forças dinâmicas que aumentam momentaneamente as tensões Para uma visão inicial dos valores aproximados das tensões admissíveis dos vários materiais vejamos a tabela a seguir Tensões admissíveis materiais tração kgfcm² σt compressão kgfcm² σc cisalhamento kgfcm² τr aço 1500 1500 800 ferro fundido 300 900 300 concreto 5 50 5 granito 20 200 de equipamentos 43 Exercícios numéricos Exercício 1 Uma peça que pesa 123000 kgf apoiase sobre quatro peças de aço de baixa estatura como indicado no desenho ao lado Identifique as dimensões que a peça deve ter Peças de apoio a x 5a É um problema de dimensionamento à compressão σc 1000 kgfcm² Tensão admissível do aço já incorpora o coeficiente de segurança Fórmula geral σc FS S Fσc 1230001000 123 cm² São quatro peças de apoio portanto 4 5 x a² 123 cm² a 12320 25 cm Logo a peça de apoio deve ter as dimensões mínimas de 25 x 125 cm O peso próprio da estrutura deve ser considerado nos cálculos quando seu valor for significativo situação que não ocorre neste caso outras 1 254 cm S1 π D24 π 25424 506 cm2 Observe o equilíbrio das cargas e dos cabos 2 F1 cos 45 P F1 P cos 45 P14 F2 F1 Em cada cabo inclinado atua uma força P14 e no cabo vertical atua a força P Logo o cabo mais esforçado é o cabo vertical Vamos verificar o máximo P σ FS F σ S 1500 506 7590 kgf F 76 tf Note que se o ângulo fosse maior que 60 cos α 05 a parte mais exigida do cabo seria a sua parte inclinada essa seria porém uma má solução construtiva pois os cabos não devem sustentar forças com ângulos muito inclinados uma vez que a força nesse cabo aumenta muito Nota sobre o sistema de unidades Capítulo 5 Todas as estruturas se deformam lei de Hooke e módulo de Poisson Nota 1 Experiência num material que visualmente apresenta resultados Pegue um elástico de borracha desses elásticos comprados em papelaria e faça esta experiência Corteo com um comprimento de 10 cm e faça várias experiências de tração mas sem esforçolo muito Depois disso meçao outra vez A nova medida deverá ser muito próxima dos 10 cm iniciais Isso indica que estivemos fazendo experiências dentro do campo elástico terminando o esforço termina a deformação na peça e ela volta a ser o que era Com cuidado para não romperlo procure esforçolo mais até sentir que está quase rompendo Meça o novo comprimento Você notará que mesmo não estando distendido o elástico tem agora quase 11 cm Ocorreru uma deformação permanente plástica no valor de 1 cm Nota 2 Para estudar as deformações nas estruturas Eis as razões Ter critérios para limitar as deformações nas estruturas em trabalho Daria para acertar uma trave de gol que flecha barriga no seu ponto médio de 20 cm Desenvolver testes para resolver estruturas sem esse recurso apenas Optouse por usar neste livro a expressão kgf como unidade de peso em vez da unidade Newton Devese isso a uma maior familiaridade do autor com a unidade clássica Cremos que a maioria dos leitores também prefere essa opção 51 A lei de Hooke 511 Primeira consideração Pegue dois elásticos um com 2 cm de comprimento e outro com 10 cm e traçãoos com a mesma força Para isso basta prendêlos nas suas extremidades e colocar pesos pendurados Você poderá medir as deformações e notar que o de maior comprimento terá um alongamento cinco vezes maior que o menor Observe Se L2 n L1 então ΔL2 n ΔL1 Concluímos que a deformação x1 não é característica do material Para os dois elásticos divida agora cada deformação pelo seu comprimento original e verifique que um mesmo número será alcançado Portanto para uma dada força F a relação xL é uma característica do material elástico Chamaremos xL de e e daremos a ele o nome de deformação unitária 512 Segunda consideração Pegue agora dois elásticos de mesmo comprimento e mesmo material mas com espessuras diferentes um mais grosso seção S1 e outro mais fino seção S2 e aplique uma mesma força F aos dois materiais Vea a transformação prática Vamos ver na prática como as coisas acontecem Volte a fazer a experiência com uma peça o elástico que tenha 10 cm de comprimento Faça com que a força F cresça e vá medindo os ΔL Enquanto o esforço é baixo cessada a força a peça volta a ter o comprimento original de 10 cm Tal situação é denominada situação elástica 10 N 1 kgf aproximadamente Vamos admitir uma lei absolutamente genérica e válida para todos os materiais existentes no mundo uma lei mais prática do que real O gráfico a seguir mostra a hipótese admitida 10 kgfcm² 1 MPa Os estiradores são usados para fios de aço de diâmetro reduzido Se tivermos que tracionar fios de aço de maior diâmetro devese utilizar um equipamento industrial chamado TIFOR guincho de alavanca No romance Grandes Sertões veredas de Guimarães Rosa o personagem Diadorim oculta por um certo tempo o fato de ser do sexo feminino Isso só foi possível por usar roupa de couro O leitor concordará que se usasse roupa com material de mais baixo E seria quase impossível esconder tal fato Articulação pino não permite que os apoios se afastem na horizontal tampouco na vertical mas permite um giro do apoio A peça dobrada de uma porta ou armário é um excelente exemplo A relação bielamanivela se dá através de um pino Quando uma estrutura tem um número de vínculos tal que possam ser resolvidos pela Estática as famosas quatro condições ela é uma estrutura isostática Se o número de vínculos de uma estrutura cresce então não bastam as quatro equações da Estática Para determinar seus esforços temos que usar outras teorias por exemplo o estudo das deformações a fim de descobrir os valores das reações nos apoios São as estruturas hiperestáticas 72 Casos de estruturas hiperestáticas Um banco de igreja de cinco pés Uma ponte rolante apoiada sobre dois apoios é uma estrutura hipostática apoiada em uma estrutura isostática Uma viga de três apoios sendo transportada em um caminhão é uma estrutura hiperestática sobre uma estrutura hipostática As estruturas a seguir são também hiperestáticas ou seja não podem ser resolvidas utilizandose somente as equações de equilíbrio da Estática a Dois corpos A e B de materiais diferentes e com diferentes E Quanto de carga F vai para A e B b Duas vigas de mesmo material mas em alturas diferentes Como a carga P se distribui pelas duas vigas c Arco articulado com carga centrada Quais as reações HA e HB Ao longo deste livro essas estruturas serão estudadas e descobriremos as reações que atuam sobre elas podendo então calcular tensões e deformações Capítulo 8 Estudando os vários tipos de flexão simples composta normal oblíqua 81 Definição Imagine uma viga biarticulada de ponte e de seção retangular que suporta carga distribuída Vejamos como atua o momento fletor a que ela está submetida Como esforços ativos e reativos só temos forças pois as articulações A e B não suportam momentos fletores Como esforços internos solicitantes ocorrerão forças tangenciais às seções da viga e momentos fletores O momento fletor em cada seção Z assim atua Nesse caso em que as cargas estão distribuídas ao longo do eixo da viga os momentos fletores atuarão perpendicularmente à direção XX e paralelamente à direção YY Esses eixos XX e YY são os eixos de simetria da seção Esse tipo de flexão é a flexão normal também conhecida como flexão reta Imagine agora um outro tipo de viga que recebe as cargas verticais do peso de telhas No caso as cargas peso são verticais e gerarão momentos fletores num plano vertical que encontrará a seção da viga em eixos inclinados em relação aos eixos de simetria da seção É a chamada flexão oblíqua ou flexão desviada A divisão entre flexão normal ou flexão oblíqua é estabelecida levando em conta a posição do plano de momento em relação aos eixos de simetria da peça Se usássemos viga peças de seção circular não haveria distinções entre os dois tipos de flexão uma vez que seções circulares não têm eixos de simetria ou se quisermos todos os eixos passando pelo centro do círculo são eixos de simetria Há casos de estruturas que usam barras e vigas cuja seção não tem eixo de simetria Para essas seções utilizase um conceito que é uma evolução do conceito de eixos de simetria Esses novos eixos denominamse eixos principais de inércia são dois eixos ortogonais entre si passando pelo centro da gravidade da figura para um máximo o momento de inércia é mínimo Para seções como estas o momento de inércia é mínimo Para seções com eixos simétricos as seções conhecem os eixos principais de inércia 811 Exemplo de flexão normal Uma viga de madeira servindo de suporte a um tablado em uma estrutura sobre um rio A viga sofre flexão normal composta Se essa estrutura suporta o empuxo lateral do terreno a viga sofre compressão Temos aí um caso de flexão normal composta 812 Exemplo de flexão oblíqua A terça de um telhado suportando seu peso próprio e o peso de telhas Esse é um caso de flexão oblíqua 8121 Exemplo de flexão oblíqua composta Mesa de quatro pés nas mesas de quatro pés chegam duas traves vigas e a esses pés elas são pregadas Cada trava transporta ao pé da mesa um momento fletor A soma dos dois momentos gera um momento fletor oblíquo Veja Nota Deformabilidade na flexão As peças sofrendo flexão podem apresentar grandes deformações A forma de formada da viga chamase linha elástica deformada e ela será calculada a partir do estudo do E do material determinado num ensaio de traçãocom pressão Veja O estudo da linha elástica deformada levará em conta o tipo de flexão o tipo e o valor da carga o vão a forma da viga retangular em perfil T por exemplo e suas dimensões altura largura da seção a característica do material da viga ou seja o seu módulo de elasticidade E os pontos de apoio Capítulo 9 Introdução aos conceitos de momento estático momento de inércia módulo resistente e raio de gir ação 91 Definições 911 Momento estático Momento estático é o produto de um elemento de área ds por sua distância a um eixo considerado 9111 Características do momento estático Sua unidade é dimensão ao cubo Ms 0 se x passa pelo centro de gravidade da figura 912 Momento de inércia O produto de um elemento de área pelo quadrado de sua distância a um eixo considerado é o que chamamos de momento de inércia 9121 Características do momento de inércia Sua unidade é dimensão à quarta É sempre positivo 913 Raio de gir ação Tratase do resultado do cálculo i JS e tem como característica uma dimensão linear 914 Módulo resistente Ao longo do texto mostraremos o uso de módulo resistente 92 Tabela dos valores de cada conceito para as figuras mais comuns 1 Momento estático 2 Momento de inércia 3 Módulo resistente 4 Raio de gir ação Capítulo 10 Estudando a flexão normal nas vigas isostáticas diagramas de momentos fletores forças cortantes e forças normais Vamos resolver várias vigas isostáticas e traçar seus diagramas de momentos fletores MF forças tangenciais Q e forças normais N determinando assim os esforços internos solicitantes ponto a ponto Em capítulo posterior serão calculados os esforços internos resistentes O traçado de diagramas como mostrado aqui pode ser feito também para estruturas hiperestáticas após determinação das reações nos apoios O acompanhamento dos exemplos numéricos ajudará a entender os conceitos Exercício 1 Determine reações e diagramas da viga a seguir F11 0 não aplicável pois não há forças horizontais Nota Não ocorrem momentos fletores externos FV 0 RA RB 380 kgf RA RB 380 kgf Notas 1 A maior força cortante na viga é de 285 kgf e não 380 kgf que é a carga externa 2 No ponto C há duas forças cortantes à esquerda 95 kgf e à direita 285 kgf Se usarmos a força cortante no dimensionalização de forças em C o valor será o maior 285 valor em módulo 3 No ponto C a força cortante passa de valores positivos para negativos Nesse ponto ocorre o maior momento fletor Vamos voltar a discutir o exercício 1 Vejamos a peça em perspectiva Exercício 2 Resolva a viga a seguir FF 0 RA RB 86 64 55 tf M 0 MA 0 A resultante da carga distribuída vale 86 640 55 tf e está no meio do vão C Onde Q 0 o momento fletor é máximo ou mínimo FV 0 RA RB 12 x 430 9 x 1 615 tf MB 0 RA 1055 245 RA 245 tf RB 615 245 RB 37 tf Vamos calcular MB momentos fletores internos à esquerda de B MB 245 x 430 12 x 430 x 215 559 tfm À direita de B acontece o momento fletor interno valendo 559 tfm Para calcular T onde Q 0 Qr 245 12x 0 x 245 12 205 m QA 245 tf QL 0 Qesquerda 245 12 x 430 271 99 tf Para calcular o máximo momento fletor positivo MFT 245 x 205 12 x 205 2501 tfm MB 245 x 430 12 x 430 x 430 2 559 tfm Notas 1 No ponto T onde Q 0 o diagrama de M apresenta um ponto de máximo positivo 2 A maior força cortante da viga vale 271 que é o valor à esquerda de B Exercício 4 Resolve a viga a seguir Verifique que M0 vindo da direita deve resultar em 289 tfm MD 38 x 04 x 02 304 A diferença está no arredondamento de valores Tudo ok Exercício 5 Resolve a viga a seguir Viga biapoida com três tramos FV 0 RB RC 103 x 09 118 x 34 84 x 07 RB 5527 tf MC 0 103 x 09 090 2 34 RB x 34 118 x 34 x 34 2 84 x 07 x 07 2 0 RB 30 tf RC 5527 30 RC 2527 tf Para calcular as forças cortantes QA 0 QB esquerda 103 x 09 927 tf QB direita 927 30 203 tf Qc esquerda 2073 118 x 34 1939 tf Qc direita 1939 2527 588 tf O ponto Z é o ponto de maior momento fletor positivo Em várias situações o momento nos apoios negativo é maior em módulo que o momento positivo Lembrese o que interessa é sempre o maior momento em módulo valor sem sinal e é esse maior módulo de momento fletor que usaremos no dimensionamento da viga Note que nos pontos onde o diagrama de Q se anula B Z e C o momento fletor passa por um valor máximo em módulo Para calcular MF em vários pontos MC 0 MFB 04 x 140 2 06 x 140 03 x 370 0122 tfm MFA 04 x 14 x 140 2 06 x 14 03 x 370 0122 tfm Nota Como vimos os diagramas de Q MF e N mostram os esforços internos São calculados a partir de um ponto extremo C por exemplo e vindo para a esquerda Exemplo de cálculo de vigas com diagramas de momento fletor e força cortante RA pL 6 406 x 380 257 tf RB pL 3 406 x 380 3 514 tf Podese provar matematicamente que o máximo momento fletor ocorre no ponto Z 0577 L e vale Mmax pL² 6 406 x 382 1559 376 tfm Diagrama de Q Exercício 3 Quais os máximos esforços que a carga P causa na viga a seguir Exercício 4 Calcule a viga a seguir que tem um dispositivo que causa momento fletor sem transmitir força externa Em Estática procurase sempre a resultante das forças E na Resistência dos Materiais Como veremos com os dados deste exercício a resultante das ações tem que estar na mesma vertical da resultante das reações e ser de mesmo valor para que a viga esteja em equilíbrio Veja Vamos decompor a força F em duas componentes uma ortogonal perpendicular ao eixo da viga e outra paralela ao eixo A viga AB pelos seus apoios A e B reagirá Em B que por ser rolete reage perpendicularmente a CB e RB Em A a reação está decomposta em F1 no eixo da viga e em F2 perpendicular Condições de equilíbrio Pelo eixo u F1 580 kgf Ft F1 com sentido oposto a Fv Pelo eixo t RA RB FU 360 kgf Aplicando ΣMB 0 RA 460 FU 270 RA 360 270 46 RA 211 kgf RB 360 211 149 kgf Fv 580 kgf Ft 580 kgf A viga AB pelos seus apoios A e B reagirá HA 4 tf VA 85 tf MFz PL2 2 17 4 2 34 tfm Para entender que só há esforço normal de A até C façamos uma analogia com uma mola que é comprimida em parte do seu comprimento Na prática a criação da articulação em D faz com que tenhamos funcionalmente duas vigas a viga BD apoiada em B e no outro extremo apoiada na viga AD No apoio D não se transmite momento só força O exemplo numérico a seguir torna a explicação extremamente clara Pronto As condições do problema estão expostas e vamos estudar as soluções tendo agora como alternativa adicional a solução Gerber Também para facilitar a resolução vamos apresentar na página 105 uma Tabela de vigas hiperestáticas de um só tramo Analisemos as quatro alternativas resolvidas e vejamos suas vantagens e desvantagens Alternativa 1 ver página 106 É uma estrutura hiperestática portanto muito sensível a recalques diferenciais Alternativa 2 viga em apoio em B ver página 106 É uma estrutura hiperestática das alternativas Não usa o apoio D para recalcar Alternativa 3 viga biapoiada ver página 106 Constutivamente seria É uma estrutura isostática portanto mais adaptável não sensível a recalques diferenciais Tem como desvantagem o fato de transferir metade da carga para o pilar B Alternativa 4 viga com apoio Gerber ver página 106 É uma estrutura isostática Escolhemos arbitrariamente um ponto D para criar o dente Gerber que é uma articulação Logo o trecho DB transferirá a carga à viga AD no ponto D somente carga O momento máximo ocorre no apoio A é maior que os momentos da alternativa 2 e alternativa 3 mas leva menos momento fletor em A e a carga no apoio B diminui suas tensões não se alteram para recalque A alternativa 4 é entendida como solução final Nota É possível colocar o dente Gerber onde quisermos Quanto mais para a direita o pusermos menor será a carga em B em compensação será maior o momento em A e viceversa Podemos pois alterar a solução Gerber para calibrar alterar o vão de uma viga conforme o nosso interesse Veja Em pontes é comum usarse uma viga Gerber no caso de alguns pilares podem sofrer recalques diferentemente do restante da estrutura Nota Esta tabela é útil para o estudo de uma viga Gerber Note que somente a parte AC se comprime A parte CB fica sem deformação Intervalo didático Até este ponto do livro nós determinamos nas vigas a variação seção por seção do seu momento fletor a força cortante o momento torçor e a força normal Nos capítulos seguintes determinaremos as consequências desses esforços ou seja as tensões de compressão de tração e de cisalhamento Capítulo 12 Explicando a viga Gerber uma viga de vão calibrável 121 Definição Suponha que tivéssemos de vencer o vão AB com um perfil metálico e quisermos como é rotina econômica usar o menor perfil metálico Vamos estudar só os momentos fletores A solução que resultar com o menor momento fletor será por hipótese a mais econômica Temos porém um complicado Um dos apoios da viga B é uma coluna que pode recalcar introduzindo o chamado recalque diferencial que é o caso de um ponto recalcar ou não As estruturas hiperestáticas são em princípio não recomendáveis para esses casos pois recalques diferenciais provocam nessas estruturas significativos aumentos de tensões Este é o vão a vencer e suas características Admitamos que podemos se quisermos engastar o perfil no apoio A Para ter outras opções de solução vamos introduzir como mais uma alternativa o uso da solução Gerber viga Gerber dente Gerber que nada mais é do que criar uma articulação em uma viga hiperestática de um tramo tornandoa isostática Vejamos como fazer isso Capítulo 13 Tensões normais em vigas a flexão normal Uma estrutura sofrendo flexão se deformará e nas suas seções transversais e em cada ponto das seções sofrerá tensões pressões normais de compressão tensões pressões normais de tração tensões pressões tangenciais de cisalhamento deslizamento O conceito corrente de pressão força dividida por área referese na linguagem comum a situações de compressão Vamos aqui ampliar também para situações de tração e cisalhamento Vejamos estas duas vigas As tensões de tração de compressão e de cisalhamento variam de seção para seção e em uma seção de ponto a ponto Para facilitar o entendimento o estudo será dividido em tensões normais e tangenciais Neste capítulo abordaremos as tensões normais No próximo capítulo as tensões tangenciais de cisalhamento 131 Tensões normais de compressão e tração Partindo de um caso simples de uma viga de seção retangular vamos generalizar para outras seções 1311 Exercícios numéricos Exercício 1 Seja uma prancha de aço de 10 x 30 cm apoiada sobre duas colunas e sujeita a uma carga concentrada de 92 t situada no meio do vão Por ser pequeno o peso próprio da viga será desprezado RA RB 46 tf Mmax F x L 4 92 x 48 4 1104 tfm Analisando a deformação da viga numa seção vêse que as partes superiores da viga sofrem um processo de encurtamento compressão e as partes inferiores estiramento tracionamento Seja agora uma seção transversal ao eixo no ponto C Nos pontos da borda superior da seção C acontecem as máximas tensões de compressão que irão decair conforme nos aproximamos do eixo Nesse eixo as tensões de compressão deixam de existir e nos primeiros pontos abaixo do eixo começam a ocorrer tensões de tração que serão máximas na borda inferior da seção Como são as tensões numa seção no ponto D distante 18 m de A σM 49 x 49 49 x 15 735 kgfcm2 compressão σA 49 x 49 582 kgfcm2 compressão σ0 0 nen tração não compressão σZ 49 x 49 490 kgfcm2 tração σN 49 x 49 715 kgfcm2 tração Basta calcular inicialmente MD MD RA x 180 46 x 18 828 tfm 828000 kgfcm As tensões máximas são σc σt M J x h 10 2 828000 10 x 30 303 12 552 kgfcm2 Para determinar as tensões em vários pontos do eixo de tensão σc σt M J x a 828000 225500 x a 368 a Exercício 3 Análise a tensão máxima em um poste de concreto simples encravado na base e sofrendo no seu topo uma força de 1300 kgf σLímite 15 kgfcm² na tração e compressão Exercício 4 Uma viga de seção circular d 40 cm será usada como estrutura de uma viga Analise as consequências em vários pontos da viga O maior momento fletor na viga é MC 41513 kgfm Exercício 5 Temos que vencer uma flexão causada por três cargas F cada uma valendo 42 tf igualmente espaçadas a 17 m O material da viga resiste melhor na tração que na compressão σz 1428000 41813 10 341 kgfcm² compressão σc 98800 250 395 kgfcm² P1 502 P2 P P1 1750 502 1152 kgf 1 Material com módulo de elasticidade E1 2 Material com módulo de elasticidade E2 A divisão de força P para cada pranchas deve ser feita pelo critério de deformabilidade O índice para medir essa deformabilidade chamase módulo de deformabilidade calculado pelo produto E x J Assim neste caso temos dois módulos E1 x J1 e E2 x J2 P1 P2 J1 x E1 P1 P2 P Essa fórmula também pode ser usada no caso a seguir 135 Reconheça as estruturas do diaadia O hábito de projetar estruturas convencionais pode levar o iniciante no estudo das estruturas a considerar ler procurar sempre obter nas estruturas as mínimas tensões e as mínimas deformações Há casos entretanto em que isso não é desejado Ao estruturar vigas de seção retangular normalmente as colocamos de pé ou seja com a maior dimensão da seção na vertical e por consequência a menor dimensão na horizontal Isso gerará as menores tensões e as menores deformações levando a uma maximização do uso do material 1411 Exemplo de cálculo de flexão oblíqua Seja a coluna de seção retangular podese desprezar a flambagem com uma carga F que deslocaremos normalmente à seção transversal da peça Para ficar bem claro o estudo de flexão oblíqua em seção com eixos de simetria admitimos que a força F esteja atuando Caso a Fora do centro mas em um eixo de simetria Caso b Fora dos dois eixos de simetria M Mx My n 10 m 3 F 540 tf Assim a tensão no ponto A será σZ F S σMx σMy O cálculo de σMx e σnx seguirá a metodologia utilizada no caso a flexão normal com dois momentos fletores 1412 Exemplo numérico de viga com eixos de simetria Mx F x n 540 x 10 5400 tfcm My F x m 540 x 3 1620 tfcm Calcularemos W nas direções x e y W bh² 6 Wx 30 x 40² 6 8000 cm³ Wy 30 x 40 6 6000 cm³ Analisando cada um dos pontos A B C e D temos σA F S My Wy Mx Wx 540 6 1620 30 x 40 8000 σB F S My Wy Mx Wx 540 6 1620 30 x 40 8000 σC 0045 tfcm² σD F S My Wy 540 6 1620 8000 O problema está resolvido 142 Flexão oblíqua em vigas sem eixos de simetria Em 141 estudamos a flexão oblíqua no caso de a seção transversal da viga possuir dois eixos de simetria Neste caso estudaremos a flexão oblíqua em vigas sem eixos de simetria Sejam as seções de vigas como a seguir Podemos definir para qualquer seção o conceito de eixos principais de inércia EPI São eixos ortogonais entre si que passam pelo centro de gravidade da área Para esses eixos são máximos e mínimos os momentos de inércia da seção Para seções que tenham eixos de simetria o eixo de simetria é um dos eixos principais de inércia No caso de perfis metálicos os perfis já fornecem para os usuários o posicionamento dos eixos principais de inércia Seja por exemplo o perfil cantoneira perfil L de abas seguintes Elementos para projeto 1421 Exemplo de flexão oblíqua em vigas sem eixo de simetria Seja um momento fletor cujo valor é de 190 kgfcm² 19000 kgfcm² atuando sobre um perfil de aço de abas desiguais de 4x3x516 Sabese que o plano do momento fletor coincide com a direção Y paralela às abas e passando pelo centro de gravidade Vamos determinar as tensões de tração e compressão máximas que ocorrem na peça Vejamse a seção transversal e a perspectiva da peça em trabalho tg α 0554 α 29 J1 176 cm⁴ J2 37 cm⁴ Jtotal 213 cm⁴ Note que em qualquer perfil Jx Jy J1 J2 J1 eixo do momento J da figura passando pelo centro de gravidade J2 eixo do momento J da figura passando pelo centro de gravidade Capítulo 15 Tensões tangenciais cisalhamento em vigas Já vimos que ocorrem nas seções de estruturas que sofrem flexão tensões de compressão e de tração variando de ponto a ponto de cada seção Essas tensões são máximas nas bordas e nulas na metade da seção Nesta estrutura que sofre flexão ocorrem tensões de cisalhamento seção por seção e os seus valores dependem da seção e de cada ponto nessa seção Tais tensões variar inversamente da compressão e tração Quanto às tensões de cisalhamento tangenciais são máximas no centro da seção e nulas nas bordas da seção As tensões de cisalhamento em vigas são chamadas de tensões de cisalhamento na flexão para serem diferenciadas das tensões de cisalhamento puro como as tensões de cisalhamento nos rebites A fórmula que correlaciona o valor da força cortante em uma seção e a tensão em um ponto dessa seção é τ₁ QMs bJ Q força cortante na seção Ms momento estático da área acima de x₁ b largura da seção em x₁ J momento de inércia da seção Para a seção retangular τₓ Q 2J h² 4 y² y 0 τ 0 y h τ 0 se y h τ τmax 3Q 2bh Ms momento estático da parte hachurada t tensão de cisalhamento Q força cortante na seção h altura da seção b largura da seção O maior momento fletor é no meio do vão e seu valor é Mc pl² 8 19 48² 8 54 tfm Q pl 2 19 48 456 tf e 4560 kgf nos apoios τ Q b d e d é a espessura da alma do perfil Ao usar essa fórmula estamos admitindo que só a alma do perfil resistirá como seção resistente ao cisalhamento Interpretemos τₐ 0 a tensão de cisalhamento é nula nas bordas τᵇ 0 a tensão de cisalhamento vai crescendo de A para B e as tensões no trecho são baixas pois há bastante área área de aba para resistir τ𝓏 Há um aumento de tensão pois diminui a área a resistir e a partir daí a área da alma é que resiste τᵈ No eixo de simetria ocorre a maior tensão de cisalhamento Quadro comparativo