Eletricidade e Magnetismo: Conceitos e Interações

ELETRICIDADE E MAGNETISMO ELETRICIDADE E MAGNETISMO Eletricidade e Magnetismo Juliana Ikebe Otomo Juliana Ikebe Otomo GRUPO SER EDUCACIONAL gente criando o futuro Ao mencionar o termo eletricidade imediatamente pensamos nos equipamentos ele trônicos presentes em nosso dia a dia como celular computador geladeira fogão en tre outros Você já parou para pensar como é gerada a energia elétrica que faz funcio nar esses equipamentos Como acontece a interação entre as cargas elétricas para que todos esses equipamentos funcionem Você sabia que a eletricidade existia antes da energia elétrica ser descoberta por Benjamin Franklin O termo eletricidade é empregado para designar o movimento de elétrons produzido a partir de um objeto condutor Toda matéria existente é dotada de cargas elétricas os prótons e os elétrons que em grande parte do tempo são mantidas neutralizadas umas pelas outras O movimento dos elétrons para gerar a eletricidade necessita de um desequilíbrio entre essas cargas É neste momento que introduzimos o segundo termo o magnetismo O magnetismo é uma propriedade de determinados metais e ímãs e a distribuição dos prótons e elétrons nesses materiais não ocorre de maneira uniforme formando polos negativos e positivos induzindo o movimento de elétrons em outros materiais As propriedades das cargas elétricas e as interações que ocorrem entre elas para gerar energia será explorada neste conteúdo SERENGELELEMAGNECAPAindd 13 05122019 135413 Ser Educacional 2019 Rua Treze de Maio nº 254 Santo Amaro RecifePE CEP 50100160 Todos os gráficos tabelas e esquemas são creditados à autoria salvo quando indicada a referência Informamos que é de inteira responsabilidade da autoria a emissão de conceitos Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem autorização A violação dos direitos autorais é crime estabelecido pela Lei nº 961098 e punido pelo artigo 184 do Código Penal Imagens de íconescapa Shutterstock Presidente do Conselho de Administração Diretorpresidente Diretoria Executiva de Ensino Diretoria Executiva de Serviços Corporativos Diretoria de Ensino a Distância Autoria Projeto Gráfico e Capa Janguiê Diniz Jânyo Diniz Adriano Azevedo Joaldo Diniz Enzo Moreira Juliana Ikebe Otomo DP Content DADOS DO FORNECEDOR Análise de Qualidade Edição de Texto Design Instrucional Edição de Arte Diagramação Design Gráfico e Revisão SERENGELELEMAGNEUNID1indd 2 05122019 125317 Boxes ASSISTA Indicação de filmes vídeos ou similares que trazem informações comple mentares ou aprofundadas sobre o conteúdo estudado CITANDO Dados essenciais e pertinentes sobre a vida de uma determinada pessoa relevante para o estudo do conteúdo abordado CONTEXTUALIZANDO Dados que retratam onde e quando aconteceu determinado fato demonstrase a situação histórica do assunto CURIOSIDADE Informação que revela algo desconhecido e interessante sobre o assunto tratado DICA Um detalhe específico da informação um breve conselho um alerta uma informação privilegiada sobre o conteúdo trabalhado EXEMPLIFICANDO Informação que retrata de forma objetiva determinado assunto EXPLICANDO Explicação elucidação sobre uma palavra ou expressão específica da área de conhecimento trabalhada SERENGELELEMAGNEUNID1indd 3 05122019 125317 Unidade 1 Cargas e forças elétricas Objetivos da unidade 12 Cargas elétricas13 Definição de átomo 13 Carga elétrica conservada 18 Carga elétrica quantizada 21 Condutores e isolantes 24 Carga por indução 25 Forças elétricas 27 Lei de Coulomb 27 Força elétrica no hidrogênio 30 Superposição das forças 31 Comparativo entre força elétrica e força gravitacional 37 Sintetizando 40 Referências bibliográficas 41 Sumário SERENGELELEMAGNEUNID1indd 4 05122019 125317 Sumário Unidade 2 Campos elétricos e capacitância Objetivos da unidade 44 Campos elétricos 44 Campo elétrico produzido por uma partícula 46 Campo elétrico produzido por um dipolo elétrico 50 Fluxo elétrico 51 Lei de Gauss 54 Potencial elétrico 57 Capacitância 63 Capacitores de placas paralelas 65 Capacitores em série e em paralelo 66 Energia armazenada em um campo elétrico 71 Capacitor com um dielétrico 71 Sintetizando 73 Referências bibliográficas 75 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 5 05122019 125317 Sumário Unidade 3 Correntes e resistências elétricas Objetivos da unidade 77 Correntes elétricas78 Geração da corrente elétrica 78 Densidade de corrente 80 Velocidade de deriva 81 Resistências elétricas 83 Lei de Ohm 91 Força eletromotriz 93 Semicondutores e supercondutores 100 Sintetizando 103 Referências bibliográficas 104 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 6 05122019 125317 Sumário Unidade 4 Circuitos elétricos magnetismo e campos magnéticos Objetivos da unidade 106 Circuitos elétricos 107 Circuito de resistores em série e paralelo 107 Circuitos com mais de uma malha 112 Amperímetro e voltímetro 116 Circuitos RC 119 Magnetismo e campos magnéticos 122 Definição de campo magnético 123 Definição de força magnética 125 Lei de BiotSavart 130 Sintetizando 133 Referências bibliográficas 135 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 7 05122019 125317 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 8 05122019 125317 Olá alunoa Seja bemvindoa à nossa disciplina Você está a poucas pági nas de conhecer uma nova forma de ver os objetos ao seu redor Ao mencionar o termo eletricidade imediatamente pensamos nos equipamen tos eletrônicos presentes em nosso dia a dia como celular computador geladeira fogão entre outros Você já parou para pensar como é gerada a energia elétrica que faz funcionar esses equipamentos Como acontece a interação entre as car gas elétricas para que todos esses equipamentos funcionem Você sabia que a ele tricidade existia antes da energia elétrica ser descoberta por Benjamin Franklin O termo eletricidade é empregado para designar o movimento de elétrons produzido a partir de um objeto condutor Toda matéria existente é dotada de cargas elétricas os prótons e os elétrons que em grande parte do tempo são mantidas neutralizadas umas pelas outras O movimento dos elétrons para gerar a eletricidade necessita de um desequilíbrio entre essas cargas É neste momento que introduzimos o segundo termo o magnetismo O magnetismo é uma propriedade de determinados metais e ímãs e a distribuição dos prótons e elétrons nesses materiais não ocorre de maneira uniforme formando polos negativos e positivos induzindo o movimento de elétrons em outros materiais As propriedades das cargas elétricas e as interações que ocorrem entre elas para gerar energia será explorada neste conteúdo ELETRICIDADE E MAGNETISMO 9 Apresentação SERENGELELEMAGNEUNID1indd 9 05122019 125318 Eu dedico este livro aos meus pais por me proporcionarem uma formação pessoal e acadêmica de qualidade mesmo com todas as difi culdades Dedico à minha orientadora acadêmica sempre presente me apoiando e me incentivando em minhas atividades Por fi m dedico ao meu marido pela compreensão e apoio A professora Juliana Ikebe Otomo é doutora em Tecnologia Nuclear Mate riais pelo Instituto de Pesquisas Energé ticas e Nucleares IPEN em 2015 mestra em Tecnologia Nuclear pela Universida de de São Paulo 2010 e graduada em Engenharia Ambiental 2007 pela Fa culdade Oswaldo Cruz Trabalha des de 2016 como professora do curso de Engenharia Civil lecionando disciplinas de Hidráulica Saneamento Fenômenos de Transporte Instalações Hidráulicas Prediais Cinemática e Dinâmica Cálculo Diferencial e Integral Currículo Lattes httplattescnpqbr1635328092311925 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 10 A autora SERENGELELEMAGNEUNID1indd 10 05122019 125318 CARGAS E FORÇAS ELÉTRICAS 1 UNIDADE SERENGELELEMAGNEUNID1indd 11 05122019 125327 Objetivos da unidade Tópicos de estudo Descoberta da estrutura do átomo Definir o átomo e seus componentes Definir o que são cargas elétricas Apresentar características importantes das cargas elétricas Definir condutores e isolantes Conceituar o termo força elétrica Apresentar a lei de Coulomb Apresentar como ocorre a interação de forças entre duas cargas Apresentar o princípio da superposição das forças Apresentar como ocorre a interação das forças em um conjunto de cargas Resolver exemplos práticos Cargas elétricas Definição de átomo Carga elétrica conservada Carga elétrica quantizada Condutores e isolantes Carga por indução Forças elétricas Lei de Coulomb Força elétrica no hidrogênio Superposição das forças Comparativo entre força elétri ca e força gravitacional ELETRICIDADE E MAGNETISMO 12 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 12 05122019 125327 Cargas elétricas Um clássico experimento no estudo de cargas elétricas consiste em utilizar dois bastões de vidro igualmente atritados com um pedaço de seda O primeiro bastão é suspenso por um barbante e ao aproximarmos o segundo bastão do bastão suspenso observase que o primeiro se afasta Figura 1 mesmo sem haver contato entre os dois Na segunda parte do experimento substituímos o segundo bastão de vidro por um bastão de plástico e o esfregamos com um pedaço de lã Aproximase o bastão de plástico do bastão suspenso mas agora o bastão de vidro irá se aproximar do bastão de plástico Figura 1 Neste tópico vamos descobrir porque e como isso ocorre Figura 1 Interação entre bastões Fonte HALLIDAY RESNICK 2016 p 30 Adaptado F F Vidro Vidro a Vidro Plástico F F b Definição de átomo O estudo sobre cargas elétricas será iniciado pela defi nição de átomo O átomo ao longo dos séculos XIX e XX recebeu diferentes propostas para seu modelo até alcançar sua defi nição atual Defi nese matéria como todo corpo dotado de massa que ocupa um lugar A partir deste conhecimento no ano 450 aC os fi lósofos Demócritos e Leucipo ELETRICIDADE E MAGNETISMO 13 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 13 05122019 125327 na Grécia Antiga imaginaram que toda matéria existente poderia ser dividida até determinado ponto no qual se chegaria a uma fração indivisível A essa fração foi dada o nome de átomo que em grego signifi ca indivisível Iniciase então o desenvolvimento de diversas teorias e modelos a fi m de decifrar a estrutura de uma partícula que até então era desconhecida Dentre os modelos mais conhecidos estão o modelo de Dalton Thomson Rutherford e Bohr e Schrödinger A Figura 2 apresenta as defi nições dos modelos atômicos propostos por diferentes estudiosos em diferentes períodos Figura 2 Defi nição do modelo atômico em diferentes períodos Fonte Shutterstock Acesso em 08112019 Adaptado O átomo é uma esfera maciça indivisível e indestrutível Um elemento químico é composto por átomos de mesmo tamanho e massa Átomos de diferentes ele mentos químicos apresentam dife rentes propriedades Os átomos se diferenciam pelo seu peso Átomos possuem forma esférica não maciça O átomo é neutro formado por uma massa de cargas positivas por onde os elé trons se distribuem e podem ser transferidos a outros átomos O átomo possui um núcleo e os elétrons orbitam ao seu redor Os elétrons possuem 7 níveis de energia Os átomos entendem ou absorvem luz quando um elétron salta de um nível de energia para outro O elétron se comporta como uma onda Defi niu o orbital das cama das de energia o que permitiu defi nir a geometria molecular das substâncias químicas e assim deduzir suas propriedades físicas e químicas Dalton 1803 Thomson 1904 Rutherford e Bohr 1913 Schrödinger 1926 Bola de bilhar Pudim de passas Modelo solar Modelo de orbitais atômicos Em 1803 o químico John Dalton propôs o primeiro modelo atômico basea do em dados experimentais Entretanto sua proposta conforme mostra a Fi gura 2 não apresentava com clareza a estrutura do átomo e sua comprovação experimental era falha Passado um século Joseph John Thomson físico inglês introduziu o con ceito de partículas subatômicas de carga negativa conceituada por Benjamin Franklin no século XVIII após descobertas feitas por Geissler e Crookes em experimentos com tubo de raios catódicos Assim contrariando a ideia do pri meiro modelo de átomo proposto por Dalton Thomson descreveu o átomo ELETRICIDADE E MAGNETISMO 14 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 14 05122019 125357 como uma esfera não maciça afirmando que o átomo é neutro e que possui partículas subatômicas positivas uma vez que se comprovou a existência de partículas subatômicas negativas Essas partículas podiam ser transferidas a outro átomo em condições favoráveis CURIOSIDADE Geissler e Crookes em experimentos complementares utilizaram uma ampola de vidro preenchida com gás sob baixa pressão Um eletrodo com carga positiva era mantido em uma extremidade e outro eletrodo de carga negativa era mantido na outra extremidade gerando uma descarga elétri ca no gás O resultado dessa descarga foi um raio luminoso concentrado na extremidade oposto ao elétrodo negativo Deduziram então que o gás possuía uma partícula de carga negativa que posteriormente foi denomina da elétron A reprodução deste resultado com diferentes tipos de gases fez com que concluíssem que todos os gases são constituídos por elétrons Alguns anos depois em 1913 Ernest Rutherford e Niels Bohr postularam um modelo atômico constituído por uma massa central chamada núcleo com órbitas de elétrons ao seu redor Bohr dividiu os elétrons entre as órbitas cha mandoas de camada de energia sendo que cada camada possuía capacidade limitada para armazenar elétrons que representavam a quantidade de energia da camada Portanto as camadas possuíam quantidades diferentes de energia O grande diferencial entre os modelos apresentados foi a possibilidade de transferência de elétrons entre as camadas de energia Bohr determinou que os elétrons podiam transitar de uma camada para outra absorvendo luz ao passar de uma camada menos energética para outra mais energética Na si tuação inversa quando voltavam da camada mais energética para a de menos energia emitiam luz As camadas de energia e o número de elétrons que as constituem pela definição de Bohr são relacionados da seguinte forma 1 Camada K comporta até 2 elétrons 2 Camada L comporta até 8 elétrons 3 Camada M comporta até 18 elétrons 4 Camada N comporta até 32 elétrons 5 Camada O comporta até 32 elétrons 6 Camada P comporta até 18 elétrons 7 Camada Q comporta até 2 elétrons ELETRICIDADE E MAGNETISMO 15 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 15 05122019 125358 Neste modelo de camadas a camada denominada K está mais próxima do núcleo e a Q está mais afastada Os elétrons existentes na camada Q camada de valência podem ser transferidos a outros átomos resultando nas ligações químicas que formam moléculas e substâncias Por fim o modelo de Schrödinger acrescentou ao modelo de Bohr a dis tribuição dos elétrons em subcamadas ou subníveis de energia auxiliando na definição da geometria molecular das substâncias químicas e permitindo prever suas propriedades físicas e químicas Sumariamente o átomo é constituído por um núcleo formado por nêutrons partículas sem carga prótons partículas de cargas positivas e elétrons que orbitam o átomo A Figura 3 apresenta o modelo atômico mais popular e utilizado Dizse que um átomo é neutro quando a quantidade de prótons é igual a de elétrons sendo o número total de prótons em um átomo uma característica de cada elemento químico Assim cada elemento químico tem um número de prótons que é definido como seu número atômico e é representado pela letra Z Figura 3 Estrutura do átomo de Rutherford e Bohr Fonte Shutterstock Acesso em 01112019 ÁTOMO PRÓTON NÊUTRON NÚCLEO ELÉTRON Sendo que os valores aproximados são Próton tem carga positiva e massa em repouso de 1673 1027 kg Nêutron tem carga neutra e massa em repouso de 1675 1027 kg Elétron tem carga negativa e massa em repouso de 9109 1031 kg ELETRICIDADE E MAGNETISMO 16 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 16 05122019 125358 CURIOSIDADE Os nêutrons N e prótons P são formados por um conjunto de três quarks Os quarks são partículas carregadas eletricamente que se diferenciam em seis tipos up down strange charm bottom e top Os quarks que compõem os N e P são do tipo up e down de carga elétrica 2 3 e 1 3 respectivamen te A composição dos N é de 2 quarks down e 1 up enquanto o P é formado por 2 quarks up e 1 down A força de atração entre esses quarks mantém os P e N ligados formando o núcleo do átomo Essa força de atração é denomi nada Força Nuclear Forte FNF Os elétrons se distribuem pelas camadas de energia que são atraídas pelo núcleo do átomo pois carga negativa atrai carga positiva As camadas mais próximas são mais fortemente atraídas enquanto as camadas mais externas são atraídas com menor intensidade Por essa razão a camada de valência pode receber elétrons de outros átomos bem como transferir elétrons Nas duas situações o átomo tornase um íon podendo ser um íon positivo se per der elétrons ou seja perde carga negativa ou um íon negativo se receber elé trons ou seja recebe carga negativa Essa transferência de elétrons recebe o nome de ionização O conceito das cargas elétricas foi de extrema importância para o desen volvimento de diversas áreas do conhecimento Você já pensou no quanto de Física existe dentro de uma impressora a laser por exemplo O cilindro de impressão de uma impressora a laser é um objeto fotossensí vel sensível à radiação da luz carregado positivamente Ao iniciar o processo de impressão o cilindro começa a girar e o raio laser ilumina as áreas selecio nadas carregandoas negativamente O toner de impressão é constituído por um pó de carga positiva que é atraído pela carga oposta da área iluminada pelo laser Ao colocar um papel sobre o cilindro de impressão o pó adere a essa superfície reproduzindo a imagem ou o texto Outro exemplo de cargas elétricas muito interessante é sua aplicação em equipamentos que visam identificar uma ou mais moléculas ou átomos pre sentes em uma substância ou solução de diferentes compostos químicos Es ses equipamentos são chamados de espectrômetro de massas e são empre gados para solucionar casos da área forense realizar análise de doping em jogos esportivos na indústria farmacêutica e clínica em análises químicas e ELETRICIDADE E MAGNETISMO 17 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 17 05122019 125358 ambientais entre outras Além disso esse foi um dos equipamentos utilizados para descobrir se existe água em Marte CURIOSIDADE O espectrômetro de massas foi projetado pelo químico Joseph John Thom son Seu princípio básico é ionizar uma molécula e direcionála para dentro de um analisador de massas que irá fi ltrar relações de massacarga mz específi cas selecionadas de acordo com o objetivo da análise No analisa dor de massa é mantido um alto vácuo para que somente a força de carga elétrica estabelecida atue na repulsão de mz indesejáveis Desse modo a mz desejada permanece livre de interação de outras cargas e pode alcan çar o detector que transforma o sinal recebido em um gráfi co chamado espectro de massas Carga elétrica conservada Agora que já sabemos que toda matéria é constituída por átomos possui dores de cargas positivas e negativas que naturalmente se mantêm equilibra das permanecendo em equilíbrio estático ou neutras é importante saber que quando um objeto perde elétrons ele tende a recebêlos de outro material para retornar ao estado de equilíbrio Por outro lado se um objeto recebe elétrons ele tende a transferir es ses elétrons em excesso para outro material a fi m de retornar ao estado de equilíbrio Dessa forma o atrito altera a temperatura do material causan do uma alteração na distribuição de energia dos elétrons e possibilitando sua transferência para outro A partir desse ponto sabemos também que os elétrons podem ser trans feridos de um átomo para outro Analogamente podese considerar que os elétrons são transferidos de uma substância para outra ou de um objeto para outro quando colocados em contato Isso ocorre porque alguns corpos pos suem maior afi nidade por elétrons do que outros Mesmo que um corpo receba uma carga de elétrons extra ele se torna mo mentaneamente carregado negativamente Da mesma forma os que perdem elétrons tornamse momentaneamente carregados positivamente e buscam recuperar os elétrons perdidos ou ceder os elétrons recebidos para voltar ao seu estado neutro ELETRICIDADE E MAGNETISMO 18 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 18 05122019 125358 Assim pode ser apresentado o princípio da conservação da carga elé trica De acordo com Young e Freedman autores do livro Física III Eletromag netismo publicado em 2009 a soma algébrica de todas as cargas elétricas existentes em um sistema isolado permanece sempre constante p 4 Podemos entender esse princípio utilizando o experimento dos bastões mostrado na Figura 1 Na primeira parte do experimento foram utilizados dois bastões de vidro um barbante e um pedaço de seda Esses quatro materiais compõem o sistema para a realização do experimento Inicialmente todos os materiais estão neutros a quantidade de carga positiva é igual à quantidade de carga negativa em cada material e considerase a soma de todas as cargas positivas e negativas como a carga total do sistema Ao atritar a seda nos dois bastões de vidro notase que ela está retirando os elétrons do bastão Assim os dois bastões ficam carregados positivamente e a seda fica carregada negativamente como mostra a Figura 4 O total de elétrons que foram removidos dos bastões é igual ao total de elétrons que per manecem na seda Desse modo a somatória das cargas no sistema dos quatro materiais não muda Nenhuma carga é perdida criada ou destruída o que ocor re é a transferência de carga entre os materiais que compõem o mesmo sistema É importante salientar que são os elétrons que são removidos ou adicionados ao objeto os prótons são cargas fixas que permanecem presas ao núcleo do átomo Figura 4 Experimento de transferência de carga dentro de um sistema Fonte Shutterstock Acesso em 01112019 Antes de atritar Antes de atritar Depois de atritar Depois de atritar Bastão de vidro neutro Bastão de vidro carregado Bastão de plástico neutro Bastão de plástico Pano de seda neutro Pano de lã neutro Pano de seda carregado Pano de lã ELETRICIDADE E MAGNETISMO 19 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 19 05122019 125358 Com o experimento dos bastões podemos concluir que materiais iguais ao serem ionizados são igualmente carregados por cargas negativas ou positivas o que faz com que ambos se afastem Por outro lado quando se ioniza materiais diferentes um dos materiais adquire carga positiva enquanto o outro adquire carga negativa fazendo com que se atraiam quando aproximados um do outro Por esta razão que como visto na segunda parte da experiência mostrada pela Figura 4 o bastão de plástico quando atritado pelo pano de lã recebe os elétrons do pano de lã ficando carregado negativamente Assim ao aproximar o bastão de plástico do bastão de vidro que está carregado positivamente ambos se atraem A partir deste experimento Benjamin Franklin definiu cargas positivas e cargas negativas Além disso estabeleceu uma série triboelétrica do grego fricção apresentada no Quadro 1 QUADRO 1 SÉRIE TRIBOELÉTRICA DE ALGUNS MATERIAIS Fonte TIPLER 2015 p 3 Adaptado Menor afinidade com e Amianto Vidro Náilon Lã Chumbo Seda Alumínio Papel Algodão Aço Plástico ebonite Níquel e cobre Latão e prata Borracha sintética Orlom fibra têxtil sintética Saran tipo de plástico Polietileno Teflon Maior afinidade com e Borracha de silicone ELETRICIDADE E MAGNETISMO 20 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 20 05122019 125359 A afi nidade desses materiais por elétron é representada de forma crescente de cima para baixo ou seja a borracha de silicone possui mais afi nidade por elétrons do que o amianto Por exemplo escolhemos dois materiais da série a seda e o alumínio Ao fric cionarmos esses dois materiais transferimos elétrons da seda para o alumínio pois o alumínio está abaixo da seda nessa relação de materiais triboelétricos Portanto o alumínio possui maior afi nidade em receber elétrons do que a seda Considere outro sistema composto por uma pessoa calçando um sapato de borracha sobre um carpete de lã em um ambiente de baixa umidade do ar Ao caminhar sobre o carpete o atrito entre a borracha e a lã faz com que os elétrons do carpete sejam transferidos para o sapato pois a borracha tem maior afi nida de em receber elétrons do que a lã como visto da série triboelétrica da Tabela 1 Assim o sapato e consequentemente a pessoa que o calça fi cam carre gados negativamente Ao entrar em contato com a maçaneta da porta esses elétrons em excesso são descarregados na maçaneta criando uma centelha elétrica e causando um pequeno choque Em ambientes com umidade do ar mais alta difi cilmente irá acontecer essa sobrecarga negativa no sapato e na pessoa que o calça pois as moléculas de água presentes no vapor dágua neu tralizam os elétrons evitando que se acumulem excessivamente Agora que sabemos como ocorre a transferência de elétrons entre os mate riais podemos entender o que exatamente acontece na Figura 4 o bastão de vidro perde elétrons para seda pois se encontra acima dela na série triboelé trica fi cando positivamente carregando O contrário acontece entre o plástico e a lã por ter menor afi nidade por elétrons do que o plástico ela fi ca positiva mente carregada ao atritálo Carga elétrica quantizada Além do princípio de conservação das cargas é importante que você conheça o princípio da carga elétrica quantizada Esse princípio estabelece uma rela ção fundamental entre a carga elétrica total de diferentes objetos com uma car ga única a carga do elétron Ou seja a carga elétrica de qualquer material repre senta um múltiplo inteiro da carga elétrica de um elétron ou próton pois ambos possuem mesmo módulo que é defi nida como uma unidade de carga natural ELETRICIDADE E MAGNETISMO 21 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 21 05122019 125359 Esse princípio propõe que nenhuma carga elétrica pode ser dividida a uma quantidade menor do que a unidade da carga natural A carga observável de qualquer objeto é expressa a seguir Q N e Sendo N quantidade de elétrons representada por um número inteiro e carga natural carga elétrica de 1 elétron ou próton sinal indica se a carga está relacionada ao elétron ou ao próton Para explicar melhor o princípio da quantização vamos fazer uma analogia com o dinheiro Supondo que um objeto custe R 10000 e você deseje parcelar esse valor no máximo de parcelas possíveis Assim o menor valor que se pode pagar em cada parcela é o de R 001 1 centavo e você terá 10000 parcelas Ou seja o valor total de R 100 é um múltiplo inteiro de R 001 100 10000 001 Desse modo assim como R 001 é o menor múltiplo para quantizar o dinhei ro a carga do elétron é empregada na quantização da carga elétrica de qualquer matéria pois não pode ser dividida a uma partícula menor do que ela mesma Para termos uma ideia da quantização com um exemplo prático quando transferimos os elétrons de um pedaço de lã para um tubo de plástico o tubo de plástico passa a ter 1010 elétrons a mais do que a lã A medição da carga elétrica é feita pela unidade de coulomb no Sistema Inter nacional SI estabelecendo uma relação com a carga natural mostrada a seguir e 1602177 1019C 160 1019C Exemplo 1 Quantização da carga Em um laboratório é possível produzir uma carga de 50 nC lêse nano coulombs n 109 ao atritarse um objeto com outro Qual é a quantidade de elétrons transferidos para produzir essa carga Resolução Se a carga elétrica de um corpo é dada por Q N e Em que N quantidade de elétrons representada por um número inteiro e carga natural 160 1019C Q 50nC 50 109C ELETRICIDADE E MAGNETISMO 22 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 22 05122019 125359 Têmse Q N e 50 109C N 160 1019C 50 109C N 160 1019C 312500000000 elétrons N 312500000000 elétrons Exemplo 2 Quantidade de carga Qual é a carga elétrica de uma moeda de cobre número atômico Z 29 de massa de 310 g Resolução Sabemos que a carga total de um objeto resulta da multiplicação da quanti dade de elétrons pela carga natural carga do elétron O número de elétrons de um elemento ou átomo corresponde a seu número atômico aquele que vemos na tabela periódica portanto o átomo de cobre possui um total de 29 elétrons Entretanto uma moeda de cobre é formada por mais de um átomo Assim é necessário determinar quantos átomos de cobre compõem uma moeda de massa igual a 310 gramas Para determinar a quantidade de átomos de determinado elemento em um material devemos utilizar o número de Avogadro que corresponde a 602 1023 átomos ou moléculas ou partículas ou íons presentes em 1 mol do elemento Outra informação do elemento que precisa ser conhecida é sua massa que também é encontrada na tabela periódica e representa a massa que constitui 1 mol daquele elemento A massa do cobre é de 635 gmol Portanto há 635 g de cobre em 1 mol deste elemento Sendo assim para determinar a quantidade de elétrons presentes em 31 gramas de uma moeda de cobre precisamos saber quantos átomos de cobre estão presentes nessa massa de moeda Sabendo que 1 mol de cobre possui 635 gramas e 602 1023 átomos quan tos átomos de Cobre temos em 31 g Faremos uma simples regra de três 635 g 602 1023 átomos 31 g x 31 602 1023 635 x 294 1022 átomos de cobre ELETRICIDADE E MAGNETISMO 23 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 23 05122019 125359 Determinouse então que a moeda possui 294 1022 átomos de cobre Agora podemos determinar a quantidade de elétrons existentes nesse total de átomos que compõem a moeda por meio de outra regra de três 1 átomo de cobre 29 elétrons 294 1022 átomos de cobre y 294 1022 29 1 y 8526 1022 elétrons Por fi m é possível determinar a carga total da moeda pela equação Q N e 8526 1022 160 1019C136 105C Condutores e isolantes A matéria é formada por um conjunto de átomos que por sua vez são cons tituídos de nêutrons prótons e elétrons Em seu estado natural a matéria man témse em equilíbrio eletrostático ou carga nula pois a quantidade de prótons é igual à quantidade de elétrons No entanto os elétrons podem ser transferidos de uma matéria para outra quando há atrito entre dois corpos Contudo enquan to alguns materiais ao serem eletrizados permitem a troca de elétrons com ou tro material outros mantêm a carga seja positiva ou negativa para si Devido a essa propriedade os materiais podem ser classifi cados de acordo com sua capacidade de transferir ou não elétrons desse modo materiais condutores são aqueles que permitem o livre fl uxo de elétrons por meio de seus corpos ou seja recebem elétrons de um material e transferem para um terceiro Por exemplo o cobre que constitui os fi os elétricos a água de torneira e o corpo humano materiais isolantes não permitem que haja transferência de elétrons para outros materiais Eles são capazes somente de perder ou receber elétrons para o mesmo material sem haver transferência para um terceiro Exemplo a borra cha o plástico que envolve o fi o de cobre o vidro entre outros materiais semicondutores são aqueles que não conduzem elétrons tão bem quanto os condutores mas conduzem melhor que os isolantes O germânio e o silício são exemplos desse tipo de material materiais supercondutores são os condutores perfeitos em que as cargas são facilmente transferidas de um material para outro ELETRICIDADE E MAGNETISMO 24 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 24 05122019 125359 Por exemplo uma pessoa andando sobre um carpete de lã está atritando seu pé Nessa interação o carpete transfere seus elétrons para o pé da pes soa que passa a fi car carregada negativamente Se a pessoa encostar em uma maçaneta de metal material condutor haverá uma descarga de elétrons da pessoa para esse material provocando um choque Em contrapartida se essa pessoa colocar uma luva de borracha e segurar na maçaneta não haverá cho que pois a borracha da luva é um material isolante e impedirá a transferência de elétrons entre a pessoa e a maçaneta metálica Grande parte dos materiais metálicos são considerados bons conduto res pois grande parte dos elétrons fi cam livres para se mover pelo material Por outro lado em materiais não metálicos não há elétrons livres impe dindo que haja movimento de elétrons no material Sendo assim eles são considerados isolantes Carga por indução A carga ou eletrização dos materiais pode ser produzida de três maneiras por indução por contato e por atrito Tendo isso em mente iremos discorrer principalmente sobre carregar eletricamente um objeto por indução pois é de maior interesse para nosso estudo EXPLICANDO A eletrização por contato ocorre pela transferência de elétrons de um corpo carregado negativamente que em contato com outro objeto ime diatamente transfere essa carga negativa para o segundo deixandoo carregado com excesso de elétrons Alexandre Volta foi quem associou a transferência de elétrons entre dois metais diferentes com o surgimento de um potencial elétrico que podia ser determinando ao se conhecer o potencial químico do metal envolvido na troca Criado por Alexandre Volta e aprimorado por Enrico Fermi estabeleceuse um ordenamento de dife rentes metais pelos seus níveis de energia A eletrização por indução de um material ocorre quando aproximamos sem que haja contato direto um objeto eletricamente carregado indutor de um objeto neutro induzido Em seguida conectase o objeto induzido ao solo por meio de um fi o condutor A Terra é utilizada como um condutor recebe e ELETRICIDADE E MAGNETISMO 25 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 25 05122019 125400 cede elétrons pois possui uma quantidade infinitamente grande de cargas A Figura 5 apresenta as etapas que ocorrem na eletrização por indução Figura 5 Etapas de eletrização por indução de um objeto neutro Fonte YOUNG FREEDMAN 2009 p 6 Adaptado Esfera metálica Suporte isolante Fio Solo Deficiência de elétrons Bastão com carga negativa Carga negativa no solo Geração de elétrons Considere que o indutor é um bastão de plástico carregado negativamente e se aproxima de uma esfera metálica neutra pelo seu lado esquerdo A carga negativa do bastão irá repelir as cargas negativas da esfera fazendo com que elas se movam para o lado direito Na extremidade esquerda restam portanto as cargas positivas que não se movem Em seguida colocase um fio condutor na extremidade direita da esfe ra conectandoo ao solo esfera aterrada Por meio desse fio as cargas nega tivas da esfera serão transferidas para o solo até que a esfera fique totalmente positiva Ainda com o bastão próximo à esfera desconectase o fio do solo e de pois disso o bastão é afastado Obtemos uma esfera carregada positivamente e o bastão de plástico mantémse inalterado carregado negativamente A esfera metálica poderia ser igualmente carregada negativamente ao uti lizarmos um bastão carregado positivamente fazendo com que a esfera rece besse uma quantidade elevada de carga negativas ao ser aterrada uma vez que as cargas positivas não podem ser extraídas da matéria Outra forma de carga por indução pode ser feita ao aproximar um bastão carregado positivamente de duas esferas metálicas neutras dispostas uma ao lado da outra conforme mostra a Figu ra 6 A aproximação do bastão carregado positiva mente atrai as cargas negativas de ambas esferas para a esfera mais próxima do bastão confor me mostrado na Figura 6 a Mantendo o bastão próximo à esfera da es querda afastamos a da direita que está carrega ELETRICIDADE E MAGNETISMO 26 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 26 05122019 125401 Figura 6 Eletrização por indução de duas esferas metálicas Fonte TIPLER MOSCA 2009 p 5 Adaptado c a b da positivamente conforme mostrado na Figura 6 b Podemos então tirar o bastão de perto da esfera resultando em uma esfera de carga positiva e outra esfera de carga negativa também conforme a Figura 6 c Forças elétricas Sabemos que toda matéria que conhecemos é constituída por cargas positi vas e negativas Essas cargas de sinais opostos interagem entre si estando pre sentes em um mesmo material ou em outros materiais iguais ou diferentes Tendo isso em mente iremos utilizar o termo força para explicar a repulsão entre cargas de mesmo sinal positivas ou negativas e a atração entre cargas de sinais opostos positivas e negativas Vimos que a força de atração e repulsão não age somente entre objetos eletrica mente carregados Essas forças também atuam em objetos eletricamente neutros Ao aproximarmos por exemplo uma bexiga atritada contra um tapete de lã e em seguida segurarmos essa bexiga contra o teto a bexiga fi cará fi xa no teto mesmo que ele esteja eletricamente neutro O que ocorre é que mesmo per manecendo neutras as cargas elétricas de um objeto podem se deslocar por diferentes partes desse objeto e manter forças de atração com o objeto eletri camente carregado sem que haja transferência de carga A esse efeito dáse o nome de polarização Lei de Coulomb A força de interação entre partículas positivas e negativas foi estudada em 1784 por Charles Augustin de Coulomb Ele utilizou um aparato construído por ele mesmo e denominado balança de torção conforme apresentado na Figu ELETRICIDADE E MAGNETISMO 27 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 27 05122019 125403 ra 7 A balança consiste em um fi o suspendendo uma haste que possui uma esfera em uma extremidade e uma agulha na outra Uma segunda esfera é presa por uma haste de posição fi xa em relação à haste suspensa se movendo apenas na vertical Figura 7 Balança de torção criada por Coulomb Fonte Shutterstock Acesso em 01112019 Adaptado ASSISTA Em 1777 Charles Augustin Coulomb construiu a balança de torção que foi fundamental para que anos depois enun ciasse a lei que leva seu nome e que possibilita determinar a intensidade da força de atração ou repulsão existente entre duas partículas Para entender melhor como funcio na esse experimento confi ra o vídeo Tema 01 A Carga Elétrica e o Spin Experimentos lei de Coulomb ELETRICIDADE E MAGNETISMO 28 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 28 05122019 125405 O experimento se inicia pela eletrização das esferas Ao aproximar a se gunda esfera da haste fixa à esfera na haste suspensa ela começa a girar no eixo do fio provocando uma torção nele A agulha na outra extremidade ao se mover junto com a esfera gira sobre um disco que contém uma escala medida em graus de modo que a torção causada no fio pode ser medida Isso ocorre devido às forças de interação entre as esferas carregadas Essa força de repulsão ou atração entre as esferas é determinada pela medição do ângu lo de torção do fio Após repetir diversas vezes este experimento Coulomb concluiu que a força elétrica gerada é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre as duas esferas 1 F r2 Coulomb concluiu também que a força elétrica gerada é proporcional ao produto das cargas elétricas das duas esferas apro ximadas F q1 q2 em que q representa a carga Definiuse então a lei de Coulomb da seguinte forma o módulo da for ça elétrica entre duas cargas puntiformes é diretamente proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas Assim a seguinte equação foi estabelecida como a equação da força elé trica resultante da interação entre duas esferas carregadas q1 q2 r2 F k Sendo F força elétrica em coulomb k constante eletrostática que depende do sistema de unidade adotado q1 e q2 cargas elétricas das esfera r distância mantida entre as esferas Considerase o módulo do produto das cargas pois independentemente das cargas serem positivas ou negativas a força resultante sempre será positiva A constante de proporcionalidade k no sistema internacional SI é dada pela equação 4πϵ0 1 k Sendo ϵ0 8854 1012C2N m2 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 29 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 29 05122019 125406 Portanto k 1 4πϵ0 1 4π 8854 1012 k 8998 109N m2C2 Para você visualizar melhor essa relação de forças e cargas vamos imaginar duas cargas de 1C distantes entre si a uma distância de 1m Qual será a intensi dade da força de interação entre essas duas cargas Lembrese que a carga de um objeto corresponde ao produto entre quantidade de elétrons que formam o objeto pela carga natural ou seja Q Ne sendo que e 16 1019C Aplicando a equação de Coulomb F 1 4πϵ0 q1 q2 r2 F 1 4π 8854 1012 1 1 12 F 9 109N Ou seja uma força de quase 1 milhão de tonelada Força elétrica no hidrogênio Vamos aproveitar a lei de Coulomb para mais uma aplicação analisando a força de atração entre o próton e o elétron no hidrogênio Escolhemos este ele mento porque ele é o menor elemento da tabela periódica e portanto a força de atração entre o próton e o elétron é a mais forte entre as forças de interação de todos os elementos da tabela periódica Considere que no átomo de hidrogênio a distância que separa o pró ton e o elétron é de aproximadamente 53 1011m a carga elétrica do pró ton é de 16 1019C e a carga do elétron é igual à carga do próton porém de sinal oposto Calculando a força eletrostática desta interação temos F 1 4πϵ0 q1 q2 r2 F 1 4π 8854 1012 16 1019C2 53 10112 F 82 108N ELETRICIDADE E MAGNETISMO 30 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 30 05122019 125406 A força de atração entre o próton e o elétron do átomo de hidrogênio tem intensidade de 82 108 N Superposição das forças O enunciado da lei de Coulomb descreve a interação entre duas cargas puntiformes Entretanto em muitas ocasiões percebese a interação de duas cargas sobre uma terceira Em casos como esse foi demonstrado que a força exercida sobre a terceira carga corresponde à soma vetorial das forças exerci das pelas duas cargas separadamente Essa propriedade foi denominada como princípio da superposição das forças e pode ser aplicada em qualquer conjunto de cargas A interação entre duas cargas resulta em um par conjugado de forças Quando há mais de duas cargas na interação um conjunto de forças passa a atuar sobre a carga de interesse e consequentemente essa carga terá a dire ção e intensidade da força resultante desse conjunto Considerando o conjunto de cargas da Figura 8 têmse quatro cargas F1 é negativa F2 F3 e F4 são positivas cada qual com uma intensidade diferente Figura 8 Representação do Princípio da superposição das cargas Fonte BARUM 2019 p 50 Adaptado F4 F4 F1 F1 F3 F3 F2 F2 Q Q q Q Q Figura 9 Representação da soma vetorial para superposição das cargas Fonte BARUM 2019 p 50 Adaptado F4 F4 F1 F1 F3 F3 F2 F23 F2F3 F23 F234 F23F4 F234 F1234 Resultante F234F1 F2 q ELETRICIDADE E MAGNETISMO 31 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 31 05122019 125407 A partir do conjunto de cargas deve ser identificado a carga que será analisada Pela representação da Figura 8 é possível ver que a carga de interesse é a q Em se guida fazemos a soma vetorial desenhando um diagrama de corpo livre seguindo a orientação das cargas As etapas de soma vetorial podem ser observadas na Figura 9 Considerando o princípio da superposição para determinação da força elétrica resultante no conjunto de cargas que define a força resultante como a somatória das forças que surgem entre cada carga do conjunto podemos escrever a seguinte equação Fn F1234 F1 F2 F3 F4 F1234 n 1Σ 4 Sendo F1234 forças resultantes da interação entre as quatro cargas F1 F2 F3 F4 força exercida individualmente Substituindo pela equação de força elétrica equação de Coulomb temos a mesma equação escrita da seguinte forma F1234 k q1q5 r2 15 k q2q5 r2 25 k q3q5 r2 35 k q4q5 r2 45 Evidenciando a constante k e a carga de referência q5 F1234 k q1q5 r2 15 q2q5 r2 25 q3q5 r2 35 q4q5 r2 45 F1234 kq5 q1 r2 15 q2 r2 25 q3 r2 35 q4 r2 45 A fim de generalizar a equação substituímos 1 2 3 e 4 por j e 5 por i As sim teremos n j j i Σ n qj r2 ji FR kqi Por fim substituímos a constante k pela sua equação Temse a equação para determinação da força resultante que age sobre a carga qi FR q1 4πϵ0 i j j i Σ n qj r2 ji Para você não se assustar vamos demonstrar como aplicar a equação do princípio da superposição Exemplo 3 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 32 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 32 05122019 125409 Forças elétricas colineares No lado positivo do eixo Ox de um sistema de coordenadas encontramse duas cargas puntiformes A carga q1 10 nC está a 20 cm da origem e q2 30 nC está a 40 cm da origem Desejase saber qual é a força exercida por essas duas cargas sobre uma terceira carga q3 localizada na origem de carga 50 nC As forças gravitacionais são desprezíveis Resolução Primeiramente devemos identificar no plano de coordenadas a localiza ção de cada carga de acordo com o que foi informado no enunciado como mostra na Figura 10 Figura 10 a Localização das cargas no plano cartesiano b Diagrama da força resultante em q3 Fonte YOUNG FREED MAN 2009 p 11 Adaptado Em seguida convertemos a distância para metros e calculamos a força de q1 e q2 sobre q3 separadamente Força de q1 F1em3 112 104N 112μN F1em3 1 4π 8854 1012C2N m2 1 109C 5 109C 002m2 F1em3 1 4πϵ0 q1 q3 r2 Essa força é direcionada para o lado negativo do eixo x pois a carga q3 é repelida pela carga q1 Força de q2 F2em3 84 105N 84μN F2em3 1 4π 8854 1012C2N m2 3 109C 5 109C 004m2 F2em3 1 4πϵ0 q2 q3 r2 q3 5 nC y x q1 1 nC 2 cm 4 cm q2 3 nC a y q3 b ELETRICIDADE E MAGNETISMO 33 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 33 05122019 125410 Essa força é direcionada para o lado positivo do eixo x pois a carga q3 é atraída pela carga q2 A soma dessas duas forças é dada por FR 112μN 84μN 28μN Observação lembrese que em soma vetorial devemos considerar o sinal para indicar o sentido Resposta a força resultante que atua em q3 é direcionada para o lado nega tivo do eixo x e possui módulo igual a 28 105 C O diagrama da soma vetorial diagrama do corpo livre encontrase repre sentado na Figura 10 b Exemplo 4 Forças elétricas em um plano Considere duas cargas puntiformes de mesma carga q1 q2 20µC que se encontram em 0 0 3 e 0 0 3 respectivamente Determine módulo direção e sentido da força elétrica resultante que essas cargas exercem sobre uma car ga q3 de carga q 4µC e encontrase em 0 4 0 A Figura 11 apresenta a locali zação dessas cargas em um plano cartesiano Figura 11 Localização das cargas no plano cartesiano Fonte YOUNG FREEDMAN 2009 p 11 Adaptado q1 x y 04 m 03 m 03 m q2 q3 Resolução Devemos novamente calcular a força que q1 e q2 exercem separadamente em q3 Força de q1 em q3 F1em3 029N F1em3 1 4πϵ0 q1 q3 r2 F1em3 2 106C 4 106C 05m2 1 4π 8854 1012C2 N m2 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 34 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 34 05122019 125410 DIAGRAMA 1 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE DO CONJUNTO DE CARGAS Fonte YOUNG FREEDMAN 2009 p 11 Adaptado A força resultante de q1 sobre q3 corresponde a 029 N Força de q2 em q3 F2em3 029N F2em3 1 4πϵ0 q2 q3 r2 F2em3 2 106C 4 106C 05m2 1 4π 8854 1012C2 N m2 A força resultante de q2 sobre q3 também corresponde a 029 N pois ambas possuem mesma carga e estão igualmente distanciadas de q3 No entanto o sentido da força de q1 é oposto ao sentido da força de q2 A força calculada de 029 N é a força resultante individual de q1 em q3 que é igual à força resultante individual de q2 em q3 Para determinar a força resultan te das duas cargas q1 e q2 sobre q3 devemos aplicar conceito de trigonometria e obter a força componente em x e em y da força resultante de q1 e posterior mente para q2 como mostra o Diagrama 1 Para q1 o ângulo α está abaixo do eixo Ox de modo que os componentes dessa força são dados por q1 x y q2 q3 α α Fx FR Fy Fy cos α FR Fy sen α FR cos α cateto adjacente hipotenusa Fy FR sen α cateto oposto hipotenusa Fx FR ELETRICIDADE E MAGNETISMO 35 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 35 05122019 125411 Figura 12 Força resultante que atua na carga q3 Fonte YOUNG FREEDMAN 2009 p 11 Adaptado Resposta a força resultante em q3 encontrase na direção do eixo Ox para o sentido positivo de x e possui módulo igual a 046 N q1 Fy13 Fx23 Fx13 Fy23 q3 y x q2 F1em3x F1em3cosα 029N 04m 05m 023N F1em3y F1em3cosα 029N 03m 05m 017N A carga inferior q2 exerce uma força de mesmo módulo formando um ân gulo α que está acima do eixo Ox Usando um raciocínio de simetria vemos que a força componente em x da q2 é a mesma que a da q1 portanto as duas se somam No entanto a força componente em y possui sentido contrário ao da q1 e se subtraem como apresentado na Figura 12 Logo os componentes da força total Fy sobre q3 são dados por Fx 023N 023N 046N Fy 017N 017N 0 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 36 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 36 05122019 125412 Comparativo entre força elétrica e força gravitacional Ao introduzirmos a lei de Coulomb e a decorrente equação para determinar a força de interação entre as cargas você deve ter se lembrado de uma equação mui to parecida que é a equação de Newton para força gravitacional entre dois corpos F G m1 m2 r2 r Sendo G constante gravitacional m1 e m2 massa de duas partículas distintas Apesar das equações serem muito parecidas o conceito por trás delas é bastante diferente A equação de Coulomb por exemplo pode apresentar força de atração ou de repulsão dependendo do sentido da força resultante dessa interação entre as duas partículas A equação de Newton para força gra vitacional sempre resulta em força de atração Isso ocorre porque as cargas das partículas na equação de Coulomb podem ser positivas ou negativas e a massa da partícula da segunda equação sempre será positiva Outra diferença signifi cativa entre as duas equações é que a força de in teração elétrica não é capaz de produzir uma concentração muito grande de cargas pois como as cargas possuem sinal positivo e negativo elas acabam também se repelindo Isso não ocorre com a força gravitacional Como a massa possui somente sinal positivo é possível produzir um grande acúmulo de ma téria pela força de atração entre elas Além disso a intensidade da força elétrica entre duas partículas é muito maior do que a intensidade de força gravitacional como pode ser entendido pela demonstração dos exemplos a seguir Exemplo 5 Razão entre força elétrica e força gravitacional entre o próton e o elé tron do hidrogênio Vamos calcular a razão entre as forças elétricas e força gravitacional exerci das por um próton em um elétron de um átomo de hidrogênio H Resolução Inicialmente devemos coletar as informações sobre a carga e a massa do elétron e do próton Sabemos que a carga do próton qp e do elétron qe são ELETRICIDADE E MAGNETISMO 37 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 37 05122019 125412 iguais em módulos mudando apenas no sinal Portanto no caso do hidrogê nio podemos considerar o produto de qp e qe igual a q2 A massa do próton mp é igual a 167 1027 kg e a massa do elétron me é igual a 911 x 1031 kg Fazendo a relação proposta entre a força elétrica e a força gravitacional Fe Fg e conhecendo bem cada uma das equações Fe k q2 r2 e Fg G m1 m2 r2 temos k q2 r2 q2 r2 k G m1 m2 r2 Fe Fg r2 G m1 m2 Podese observar que a distância entre as partículas é cancelada na equa ção resultando em Fe Fg k q2 G m1 m2 Substituindo pelos valores conhecidos têmse Fe Fg 9 109N m2C2 16 1019C2 667 1011N m2kg2 167 1027kg 911 1031 kg 227 1039 ou Fe 227 1039 Fg Fe Fg Resposta a razão entre força elétrica e força gravitacional é de 227 1039 ou seja a força elétrica de interação entre o próton e o elétron do hidrogênio é 227 1039 vezes maior do que a força gravitacional exercida sobre eles Exemplo 6 Razão entre força elétrica e força gravitacional entre dois átomos de hélio Vamos analisar a mesma razão Fe Fg entre dois átomos de hélio de número atômico Z 2 e massa m 664 1027kg cada O átomo de hélio possui 2 prótons e 2 elétrons Portanto a carga elétrica do hélio será dada por QN e 2 16 1019C 32 1019C Fazendo a razão entre as duas forças temos Fe Fg k q2 G m1 m2 Como são dois átomos iguais m1 m2 o produto das massas pode ser substituído por m2 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 38 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 38 05122019 125414 Substituindo os valores com a carga e massa do hélio temos Fe Fg 9 109N m2C2 32 1019C2 667 1011N m2kg2 664 1027 kg2 31 1031 ou Fe 31 1031 Fg Fe Fg Resposta assim como o hidrogênio a razão entre força elétrica e força gravitacional entre dois átomos de hélio é incrivelmente grande Portanto podemos dizer que a força gravitacional é desprezível quando se consideram interações atômicas e mo leculares pois suas massas são extremamente pequenas ELETRICIDADE E MAGNETISMO 39 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 39 05122019 125414 Sintetizando Nesta unidade apresentamos a composição da matéria mostrando os mo delos atômicos propostos por diferentes estudiosos A partir do modelo proposto por Bohr no qual os elétrons se distribuíam em camadas de energia ao redor do núcleo do átomo e que podiam migrar de uma camada para outra foi possível explicar como é possível carregar eletrica mente um objeto com cargas positivas ou negativas Considerando um sistema de dois objetos um carregado negativamente e outro positivamente a soma total de elétrons e prótons será mantida mesmo após o objeto carregado negativamente transferir sua carga em ex cesso para o outro objeto Ambos estarão equilibrados eletricamente e a quantidade total de elétrons e prótons não se alterará Desse modo nenhum elétron foi perdido pelo sistema ele apenas foi transferido para outro objeto que também faz parte do sistema Vimos também que carga elétrica de um átomo molécula ou objeto pode ser quantizada a partir de uma carga natural de referência a carga do elétron e 16 1019C que corresponde também à carga do próton e 16 1019C Além disso foi evidenciado que alguns materiais em sua maioria metais têm facilidade em receber elétrons de um objeto e transferilos para outro Diferentemente objetos de materiais não metálicos não apresentam essa fa cilidade Dessa forma classificouse como condutores a maioria dos metais e como isolantes os materiais não metálicos Ainda a capacidade que esses objetos possuem em transferir elétrons foi me dida e estabelecida como força elétrica A lei de Coulomb estabelece essa relação entre a quantidade de elétrons disponíveis para interação e a distância entre os objetos para estabelecer essa troca determinando a força elétrica existente Entretanto na natureza há interação simultânea entre diversas partículas e não somente entre duas conforme avaliado no experimento de Coulomb Assim para medir a força elétrica de interação entre várias cargas devemos utilizar a soma vetorial para determinar a força resultante de cada partícula Por fim a força elétrica sobre essa partícula de interesse será a soma de todas as forças individuais considerando o sentido de cada uma delas ELETRICIDADE E MAGNETISMO 40 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 40 05122019 125414 Referências bibliográficas A CARGA ELÉTRICA E O SPIN EXPERIMENTOS LEI DE COULOMB Postado por Física Universitária 1 min 54 s port color son Disponível em https wwwyoutubecomwatchvT41VKdFa3eU Acesso em 13 out 2019 BARUM A Eletricidade e magnetismo Rio Grande do Sul Ministério da Edu cação 2019 Disponível em httpswpufpeledubrengenhariageologica files201903LIVRODEELETRICIDADEEMAGNETISMOLIVRO1pdf Acesso em 11 nov 2019 HALLIDAY D RESNICK R WALKER J Fundamentos de física Eletromagne tismo 10 ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 2016 v 3 TIPLER P A MOSCA G Física para cientistas e engenheiros 6 ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 2009 v 3 YOUNG H D FREEDMAN R A Física III Eletromagnetismo 12 ed São Pau lo Pearson Education do Brasil 2009 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 41 SERENGELELEMAGNEUNID1indd 41 05122019 125414 CAMPOS ELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA 2 UNIDADE SERENGELELEMAGNEUNID2indd 42 05122019 131132 Objetivos da unidade Tópicos de estudo Definir e calcular o campo elétrico Discutir o efeito do campo elétrico sobre partículas carregadas Definir fluxo elétrico Estabelecer a relação entre força elétrica e campo elétrico Lei de Gauss Definir e calcular o potencial elétrico Definir e calcular capacitância Entender os capacitores e suas associações Campos elétricos Campo elétrico produzido por uma partícula Campo elétrico produzido por um dipolo elétrico Fluxo elétrico Lei de Gauss Potencial elétrico Capacitância Capacitores de placas paralelas Capacitores em série e em paralelo Energia armazenada em um campo elétrico Capacitor com um dielétrico ELETRICIDADE E MAGNETISMO 43 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 43 05122019 131132 Campos elétricos Forças de campo são forças que atuam sobre objetos sem que haja con tato entre eles São exemplos de forças de campo a força gravitacional força magnética e força elétrica O conceito de campo elétrico é fundamental para estudarmos as ondas eletromagnéticas O desenvolvimento das tecnologias sem fi o tais como wifi bluetooth infravermelho e ondas de rádio foi possível devido à correta compreensão do campo elétrico Um corpo eletricamente carregado gera em todos os pontos do espaço que o circunda um campo elétrico que é expresso por um vetor que possui módulo direção e sentido A fi m de comprovar a existência desse campo elétrico é colocada uma partícula carregada eletricamente de carga positi va ou negativa dentro dele O corpo que gera o campo elétrico será chama do de carga pontual enquanto a carga introduzida no campo será chamada de carga de prova Quando a carga de prova é colocada dentro do campo elétrico de uma car ga pontual é gerada uma força elétrica sobre a carga de prova possibilitando medir o vetor campo elétrico E Essa força elétrica F como já visto é uma grandeza vetorial pois possui intensidade que depende do valor da carga e da distância entre as partículas possui uma direção que depende da localização de uma partícula em relação a outra e possui um sentido que depende do sinal da carga dessas partículas A carga de prova pode ser colocada em qualquer ponto dentro do campo elétrico tornando possível defi nir a distribuição de forças elétricas por ele De vemos enfatizar que o campo elétrico existe para qualquer partícula ou corpo eletricamente carregado independentemente de haver uma carga de prova em algum ponto deste campo A carga de prova é necessária para medir o vetor campo elétrico devido à força gerada sobre ela O módulo da força elétrica é calculado pela equação de Coulomb 1 4πϵ0 F q q0 r2 O vetor campo E é obtido pela seguinte equação E F q0 Newton Coulomb N C Substituindo a força elétrica pela equação de Coulomb teremos a equação do campo elétrico como ELETRICIDADE E MAGNETISMO 44 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 44 05122019 131132 1 4πϵ0 q q0 r2 q0 E F q0 1 4πϵ0 q q0 r2 1 q0 1 4πϵ0 q r2 E NC O campo elétrico é representado por linhas de força ou linhas de campo elétrico ao redor do objeto ou partícula carregada eletricamente Michael Faraday foi o introdutor do conceito de campo elétrico e da forma de repre sentação por meio de linhas Em um corpo eletricamente carregado onde as cargas se distribuem unifor memente por sua superfície as linhas de força podem ser desenhadas como mostra a Figura 1 Nessa situação o vetor campo elétrico estará tangenciando a linha de força e ambos estarão na mesma direção com o vetor campo E no sentido da carga pontual se esta for negativa ou com o vetor campo E se afas tando da carga pontual se esta for positiva Figura 1 Representação das linhas de forças ou linhas de campo elétrico com o vetor campo elétrico E representado pelas setas Fonte Adobe Stock Acesso em 25102019 A quantidade de linhas de força também representa a intensidade do campo Quanto maior a quantidade de linhas maior o módulo do campo elétrico e quan to mais espaçadas as linhas estiverem menor será o módulo do campo elétrico ELETRICIDADE E MAGNETISMO 45 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 45 05122019 131133 EXPLICANDO Devemos saber a defi nição de campo elétrico e força elétrica A princi pal diferença entre elas é que o campo elétrico sempre existirá enquan to possuir uma carga positiva ou negativa enquanto a força elétrica se manifestará quando tivermos duas cargas próximas umas das outras Não podemos confundir também o campo elétrico com o vetor campo elétrico O campo elétrico é a modifi cação do espaço ao redor da carga carregada sendo representado pelas linhas de força que se distribuem radialmente quando a carga está em distribuição uniforme o vetor cam po elétrico ou vetor campo é expresso como E e deve ser representa do com módulo direção e sentido Quando temos um corpo isolado é fácil compreender essas linhas En tretanto quando temos dois corpos eletricamente carregados próximos o sufi ciente de modo que o campo elétrico de um corpo interfi ra no campo elétrico do outro as linhas de força são curvas porém nunca se cruzam A regra se mantém o vetor campo elétrico será tangente à linha e terá o mes mo sentido que ela A seguir veremos como avaliar o vetor campo em um campo elétrico pro duzido por uma partícula eletricamente carregada por um dipolo elétrico e por uma linha de carga Campo elétrico produzido por uma partícula Como foi apresentado o campo elétrico é gerado por qualquer corpo ob jeto ou partícula que esteja eletricamente carregado Além disso as cargas po dem estar distribuídas de forma uniforme ou não fatores que determinam o formato das linhas de força Para determinar o vetor campo a uma determinada distância da carga pon tual q é necessário inserir no campo elétrico uma carga de prova q0 na dis tância que se deseja obter este vetor campo O sentido do vetor será o mesmo da força elétrica que age sobre a carga de prova para perto da carga pontual se a mesma for negativa ou para longe se for positiva Exemplo 1 campo elétrico de uma carga puntiforme isolada Desejase saber o módulo do vetor campo E de uma carga puntiforme q 40 nC em um ponto P que se encontra a 2 m de distância da carga ELETRICIDADE E MAGNETISMO 46 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 46 05122019 131133 Resolução Para determinar o modulo do vetor utilizamos a equação 1 4πϵ0 q r2 E subs tituindo a distância r 2 m e a carga q 4 nC temos 1 4πϵ0 1012C2N m2 E 4 109C 22 9NC O módulo do vetor é 9 NC a direção é tangente à linha de força e o sentido é para fora da partícula Em situações reais encontramos em um determinado ponto vários cam pos elétricos criados por diversas partículas eletricamente carregadas Para determinar o campo elétrico total colocase a carga de prova no ponto deter minado calculase separadamente o vetor campo produzido por cada partí cula e por fim somase vetorialmente todos os campos Assim como a força elétrica o vetor campo também obedece ao princípio da superposição Exemplo 2 campo elétrico de duas cargas puntiformes A distância entre duas cargas puntiformes q1 12 nC e q2 12 nC é igual a 010 m Determine o campo elétrico E1 o campo elétrico E2 e o campo elétrico resultante no ponto a b e c como mostra o sistema de coordenadas da Figura 2 Figura 2 Representação das cargas q1 e q2 em um plano cartesiano Fonte YOUNG FREEDMAN 2009 p 19 130 cm α α α α c b Eb 40 cm 40 cm 60 cm E2 E1 q1 q2 Eα x Ec 130 cm y ELETRICIDADE E MAGNETISMO 47 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 47 05122019 131133 Resolução Inicialmente vamos calcular o campo elétrico total em a utilizando o princí pio da superposição assim calculase o campo gerado em cada partícula 1 4πϵ0 q1 r2 1 4π885 1012C2N m2 E1 12 109C 0062 30000 NC 1 4πϵ0 1 4π885 1012C2N m2 E2 12 109C 0042 67500 NC q1 r2 Pode ser observado que E1 e E2 estão na mesma direção no eixo x O vetor E1 aponta no sentido positivo de Ox q1 a pois a carga q1 é positiva O vetor E2 também aponta para o sentido positivo de Ox a q2 pois a carga q2 é negativa e o ponto a está a sua esquerda O campo elétrico em a não possui compo nente em y pois as cargas e o ponto a estão localizados no eixo x portanto a resultante do campo elétrico em a será a soma vetorial de E1 e E2 ERa E1 E2 30000 NC 67500 NC ERa 97500 NC ἲ direção do eixo x sentido positivo Agora calcularemos o campo elétrico total em b seguindo o mesmo raciocí nio da resolução anterior 1 4πϵ0 q1 r2 1 4π885 1012C2N m2 E1 12 x 109C 0042 67500 NC 1 4πϵ0 1 4π885 1012C2N m2 E2 12 x 109C 0142 5510 NC q1 r2 Nesta segunda situação E1 e E2 continuam na mesma direção no eixo x porém o vetor E1 aponta no sentido negativo de Ox q1 b pois a carga q1 é positiva e o ponto b está a sua esquerda enquanto o vetor E2 continua apontando para o sentido positivo de Ox b q2 pois a carga q2 é negativa e o ponto b também está à sua esquerda Em b também não haverá vetores componentes no eixo y pela mesma razão que a assim o campo elétrico re sultante em b será dado por ERb E1 E2 67500 NC 5510 NC ERb 61990 NC ἲ direção do eixo x sentido positivo Por fim o campo elétrico total em c segue o mesmo passo a passo das re soluções anteriores porém devemos nos atentar que o ponto c não está sobre o eixo x e nem y portanto devemos avaliar as componentes em x e em y dos vetores E1 e E2 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 48 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 48 05122019 131134 Individualmente temos pela Figura 2 que o ponto c está a uma distância de 13 cm tanto de q1 quanto de q2 portanto os módulos E1 e E E2 serão iguais 1 4πϵ0 q1 r2 1 4π885 1012C2N m2 E1 12 109C 0132 E2 E1 6390 NC na direção diagonal E2 Para determinar as componentes desses vetores utilizaremos trigonometria Os componentes em x E1x cos a E1 005 013 6390 2458 NC ἲ direção do eixo x sentido positivo E2x cos a E2 005 013 6390 2458 NC ἲ direção do eixo x sentido positivo Os componentes em y E1y cos a E1 012 013 6390 5898 NC ἲ direção do eixo y sentido positivo E2y cos a E2 012 013 6390 5898 NC ἲ direção do eixo x sentido negativo Fazendo a soma vetorial para obter o campo elétrico total temos que os com ponentes em y possuem mesmo módulo porém sentidos opostos portanto se anulam A resultante então será dada pela soma dos vetores componentes em x ERc E1x E2x 2458 NC 2458 NC ERb 4916 NCἲ direção do eixo x sentido positivo Exemplo 3 campo elétrico de três cargas puntiformes Vamos analisar uma situação onde desejase determinar o campo elétrico total sobre uma carga de prova localizada na origem de um plano cartesiano O campo elétrico é produzido por 3 partículas eletricamente carregadas da se guinte maneira q1 2Qq2 2Q e q3 4Q distanciadas igualmente da origem de um plano cartesiano como mostra a Figura 3 a Figura 3 a Campo elétrico na origem produzido por três cargas puntiformes b Diagrama de corpo livre dos vetores resultantes q1 q3 q2 E1 E2 E3 30 30 a X y 30 q1 q3 q2 ExR12 EyR12 Ey3 Ex3 ER12 E3 30 30 b X y 30 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 49 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 49 05122019 131136 Resolução Devemos inicialmente determinar o campo elétrico de cada partícula sobre a carga de prova utilizando a equação do campo elétrico Para q1 E1 2Q 4πϵ0r2 na direção da linha e se aproximando da carga de prova Para q2 E2 2Q 4πϵ0r2 na direção da linha e se afastando da carga de prova Para q3 E3 4Q 4πϵ0r2 na direção da linha e se afastando da carga de prova Os vetores campo E1 e E2 possuem mesma direção e sentido portanto po demos somálos resultando em ER12 E1 E2 2Q 4πϵ0r2 2Q 4πϵ0r2 4 Q 4πϵ0r2 Para so mar este vetor resultante com o vetor campo E3 usamos trigonometria Na Fi gura 3 b podemos observar que os componentes em y dos vetores de campo elétrico se anulam pois são opostos portanto o vetor de campo resultante na origem será a soma das componentes em x de ambos os vetores NC ER12 E3 cos 30º cos 30º ER0 r2 Q 1 4πϵ0 4 r2 Q 1 4πϵ0 4 693 Q 4πϵ0r2 O campo elétrico resultante tem módulo do campo elétrico depende da car ga Q e da distância r a direção é no eixo x no sentido positivo Campo elétrico produzido por um dipolo elétrico Um dipolo elétrico é um par de cargas puntiformes separadas por uma dis tância d As duas cargas são de mesmo módulo porém possuem sinais opostos Uma reta que passa pelo centro das duas cargas é denominada eixo do dipolo e representa o eixo de simetria do campo elétrico gerado pelas duas cargas EXPLICANDO O dipolo elétrico pode ser melhor entendido quando analisamos uma molécula de água H2O considerada uma molécula neutra pois a quantidade de elétrons e prótons no hidrogênio e oxigênio juntos é igual A distribuição dessas cargas forma uma extremidade com maior concentração de partículas negativas e ou tra com partículas positivas Essa diferença na distribuição das cargas faz com que a água seja um excelente solvente de substâncias iônicas como o cloreto de sódio sal de cozinha que ao entrar em contato com a água rapidamente se dissocia em íons Na e Cl os quais são atraídos pela extremidade negativa e positiva respectivamente da água mantendoos separados ELETRICIDADE E MAGNETISMO 50 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 50 05122019 131137 O módulo do campo elétrico formado por um dipolo em um ponto distante do seu eixo é dado por 1 2πϵ0 p z3 E onde p é o momento dipolar elétrico do dipolo tem módulo q d onde q é a carga e d a distância entre as duas cargas que formam o di polo e z é a distância entre o ponto onde o campo foi calculado e o centro do dipolo Fluxo elétrico O fl uxo elétrico é na realidade uma descrição sobre a orientação do campo elé trico pois não há um fl uxo real o campo elétrico não escoa Considerando como exemplo um objeto de carga positiva o fl uxo elétrico orientase do objeto para fora Se fosse um objeto de carga negativa esse fl uxo estaria orientado de fora para den tro do objeto A intensidade desse fl uxo será diretamente proporcional à carga dele Para facilitar o entendimento vamos utilizar a Figura 4 que apresenta uma superfície plana de área A situada dentro de um campo elétrico uniforme E com o vetor campo atravessando perpendicularmente a placa O fl uxo elétrico é calculado pela equação φFi E cos θ A Sendo φ fl uxo eletrico N m2C E campo eletrico NC θ ângulo formado entre o vetor campo e a orientação da superfície A área da superfície plana m2 Figura 4 Superfície plana em um campo elétrico de distribuição uniforme Fonte YOUNG FREEDMAN 2009 p 45 Com relação ao fl uxo do vetor campo temos 3 situações possíveis como mostra a Figura 4 O campo elétrico pode estar apontando para fora para den tro ou estar paralelo à superfície sendo E E A A A Ø 0 Ø 90º Ø Ø A A A A1 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 51 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 51 05122019 131137 a O vetor campo E aponta de dentro para fora da superfície E e A terão mesma direção e sentido formando um ângulo de 0º entre eles sendo cos 0 1 O produto escalar entre E e A será positivo b O vetor campo E aponta de fora para dentro da superfície E e A terão mesma direção e sentido oposto formando um ângulo de 180º entre eles sen do cos180 1 portanto o produto escalar entre E e A será negativo c O vetor campo E na mesma direção da superfície são paralelos E e A terão perpendiculares formando um ângulo de 90º entre eles sendo cos 90 0 Neste caso o produto escalar entre E e A será nulo consequentemente o fluxo será zero Essa relação pode ser aplicada somente em campos elétricos uniformes e superfícies planas Em determinadas situações não teremos uma área plana ou um campo elétrico com distribuição uniforme Para esses casos dividimos a área em pequenas frações que possam ser consideradas planas que serão denominadas área elementar dA como ilustra a Figura 5 Em cada uma dessas pequenas áreas atravessará um vetor campo possibilitando a medição do fluxo Figura 5 Superfície de forma arbitraria em um campo elétrico Fonte HALLIDAY RESNIK 2014 p 142 O fluxo total será calculado pela integração dos fluxos individuais que pas sam através de cada área elementar dA que compõe a superfície total como mostra a equação a seguir ELETRICIDADE E MAGNETISMO 52 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 52 05122019 131139 φ E d A N m2C O círculo no sinal da integral indica que o cálculo se aplica a toda superfície fechada Devemos observar que o fluxo pode ter sentido diferente em cada parte da superfície em algumas partes pode estar no sentido de dentro para fora e em outras o contrário Exemplo 4 determinar o fluxo elétrico em um campo não uniforme Queremos determinar a carga elétrica que está situada dentro de um cubo gaussiano submetido a um campo elétrico não uniforme dado por E 30xἲ 40 j com E em NC e x em metros Qual o fluxo elétrico nas quatro faces do cubo da Figura 6 Figura 6 Cubo por onde passa um fluxo elétrico Resolução Podemos calcular o fluxo elétrico através de uma superfície integrando o produto escalar E d A ao longo da superfície O vetor A é sempre perpendicu lar à superfície e aponta para fora Começaremos pela face direita O vetor d A aponta no sentido positivo de x φ E d A 30xἲ 40 j d A ἲ φ 30xdAἲ ἲ 40dA j ἲ φ 30xdA 0 30 xdA Z y dA dA dA dA dA dA ELETRICIDADE E MAGNETISMO 53 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 53 05122019 131139 Deveríamos calcular essa integral para a face direita mas observamos que x tem o mesmo valor 30 m em todos os pontos da face portanto podemos substituir x por esse valor Assim temos φ 3030dA 90NC dA A integral dA nos dá simplesmente a área A 40 m2 da face direita assim φ 9NC 40m2 36N m2C Na face esquerda podemos usar o mesmo método descrito para a face di reita porém o que muda é o sentido do vetor d A que agora está apontando para o lado negativo do eixo x Além disso o valor da constante x agora é igual a 10 m Assim o fl uxo da face esquerda é dado por φ E d A 10xἲ 40 j d Aj φ 30dA 3NC 4m2 12N m2C Na face superior agora o vetor d A aponta para o sentido positivo de y o fl uxo é dado por φ E d A 30xἲ 40 j d Aἲ φ 30xdAἲ j 40dA j j φ 0 4dA 40xdA φ 4NC 4m2 16N m2C Na face inferior obedece ao mesmo procedimento da face superior entre tanto o sentido do vetor d A é para o lado negativo de y Assim φ 16N m2C Na face dianteira e traseira quando calculamos o produto escalar do campo elétrico E 30xἲ 40j por esses vetores área o resultado é zero portanto o fl uxo elétrico através das duas faces é nulo φ φd φe φs φi φf φt φ 36 12 16 16 0 0 24N m2C O fl uxo total através das seis faces é igual a 24 Nm2C Lei de Gauss Carl Friedrich Gauss foi quem descobriu a existência da relação entre carga elétrica e campo elétrico possibilitando calcular o campo elétrico produzido por objetos maiores pois até então estávamos tratando apenas de partículas punti formes A lei de Gauss nos ajuda a compreender como ocorre a distribuição das ELETRICIDADE E MAGNETISMO 54 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 54 05122019 131140 cargas elétricas em qualquer corpo que possua carga Para isso desenhamos uma superfície imaginária que engloba essas cargas A esse desenho se dá o nome de superfície gaussiana A lei de Gauss é mais útil nas situações em que a distribuição de carga possui simetria esférica ou cilíndrica e se as cargas estão uniformemente distribuídas A lei de Gauss estabelece a relação entre os campos elétricos nos pontos de uma superfície gaussiana fechada e a carga total envolvida qenv pela superfície em for ma de equação ϵ0 φ qenv Substituindo o fluxo total pela sua equação temos ϵ0 E d A qenv E d A qenv ϵ0 Os vetores da área elementar d A sempre apontam para fora do objeto as sim o fluxo elétrico será positivo nas áreas onde o campo elétrico apontar para fora carga positiva e negativo nas áreas onde o campo elétrico apontar para dentro carga negativa da superfície gaussiana A carga total envolvida qenv pode representar tanto uma carga puntiforme quanto a soma algébrica de todas as cargas positivas e negativas envolvidas pela superfície gaussiana Analogamente o campo elétrico também represen ta o vetor campo de uma carga puntiforme ou o vetor campo resultante da ação de cada carga individual em um ponto de uma área elementar d A Assim a lei de Gauss pode ser utilizada para determinar o fluxo elétrico para qualquer distribuição de carga em qualquer superfície fechada Entretan to devemos conhecer a distribuição das cargas na superfície fechada e a inte gral deve possuir simetria suficiente para determinar o campo elétrico Ou se conhecermos o campo elétrico conseguimos definir a distribuição de cargas pela superfície fechada Veremos dois exemplos de situações típicas onde utilizamos a lei de Gauss no primeiro exemplo vamos determinar o campo elétrico produzido por uma distribuição de cargas em um condutor e o outro exemplo será para determi nar a distribuição de cargas a partir de um campo elétrico conhecido Exemplo 5 determinação do campo de uma esfera carregada Temos uma esfera de plástico oca de raio R 10 cm e espessura desprezível com carga q1 16e distribuída de forma uniforme No centro da esfera há uma partícula de carga q2 5e Qual é o vetor campo E em um ponto P1 a 6 cm de dis tância do centro da esfera e em um ponto P2 localizado a 12 cm do centro da esfera ELETRICIDADE E MAGNETISMO 55 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 55 05122019 131140 A Figura 7 a ilustra o que foi descrito no enunciado Figura 7 a casca de plástico carregada com uma partícula carregada no centro b superfície gaussiana para deter minar o campo elétrico em P1 c superfície gaussiana para determinar o campo elétrico em P2 Resolução Vamos iniciar determinando o campo no ponto P1 Para isso vamos conside rar uma esfera gaussiana com P1 na superfície assim a esfera gaussiana tem r 6 cm Figura 7 b Nessa primeira situação temos apenas a carga q2 na esfera gaussiana e por ela ser positiva o campo elétrico através da superfície é posi tivo portanto aponta para fora da esfera Consequentemente o fluxo elétrico será de dentro para fora Além disso devido à simetria esférica o vetor campo é perpendicular à superfície Utilizaremos a lei de Gauss E d A qenv ϵ0 Porém como a distribuição do campo é uniforme podemos dispensar a integral e fazer por E E 4πr2 q2 ϵ0 E q2 4πr2 ϵ0 5 16 x 1019C 4π006m 2 885 1012C2N m2 E 20 106NC Para determinar o vetor campo em P2 fazemos o mesmo processo dese nhamos uma esfera gaussiana de r 12 cm Figura 7 c Agora a carga envolvi da será q1 q2 portanto qenv q1 q2 16 16 1019 5 16 1019 176 1018C q1 P1 P2 r1 r2 q2 P1 r1 E dA P2 r2 E dA a b c ELETRICIDADE E MAGNETISMO 56 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 56 05122019 131141 Como a carga total é negativa o vetor campo atravessa a superfície gaus siana de fora para dentro formando um ângulo de 180º com o vetor dA Subs tituindo esses valores na lei de Gauss temos E 17 1018C 4π012m2 885 1012C2N m2 E 11 106NC Exemplo 6 determinar a carga elétrica do cubo gaussiano do exemplo 4 Resolução Conforme foi obtido no Exemplo 4 o fl uxo total do cubo gaussiano é igual a φ 24N m2C portanto a carga no interior do cubo qenv será qenv ϵ0 φ 885 1012C2N m2 24N m2C2 qenv 21 1010NC Potencial elétrico No tópico anterior vimos que toda partícula ou objeto que esteja eletrica mente carregado gera um campo elétrico ao seu redor Ao colocarmos uma car ga puntiforme neste campo elétrico este irá gerar uma força sobre a carga que irá deslocála através do campo elétrico Ao se mover a carga converte a energia potencial elétrica U do sistema em energia cinética devido à velocidade gerada ao movimentarse Assim podemos dizer que a força elétrica é conservativa pois transforma energia potencial elétrica em energia cinética A energia poten cial elétrica de um campo elétrico é dada pela equação U 1 4πϵ0 q1 q0 r A energia cinética é gerada pela energia potencial elétrica que por sua vez é gerada pelo potencial elétrico produzido por uma carga elétrica introduzida em um campo elétrico Potencial elétrico V é constituído pela energia potencial elétrica dividido pela carga de prova e escrito pela equação V U q0 Joule Coulomb Volt Substituindo a equação da energia potencial elétrica teremos V U q0 q0 1 4πϵ0 q1 q0 r 1 4πϵ0 q1 r ELETRICIDADE E MAGNETISMO 57 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 57 05122019 131141 O potencial elétrico é uma grandeza escalar por isso as cargas não estão em módulo assim o potencial elétrico pode ter sinal positivo ou negativo de pendendo do sinal da carga que gera o campo elétrico Chamamos também de potencial elétrico ou simplesmente potencial em um circuito a diferença de potencial recebe o nome de voltagem Esse conceito possui muitas aplicações como em feixes de elétrons utilizados em radiotera pia em aceleradores de partículas e muitos outros dispositivos Vamos analisar o que acontece com uma carga de prova ao ser colocada entre duas placas eletricamente carregadas gerando um campo elétrico uni forme como mostra a Figura 8 O campo elétrico irá gerar uma força sobre a carga de prova com a mesma orientação do campo elétrico de cima para baixo fazendo com que ela se desloque de a para b O trabalho realizado pelo campo elétrico sobre a carga para movêla de um ponto a outro é dado pelo produto do módulo da força pelo deslocamento como mostra a equação Wab F d q0 E d Sendo Wab trabalho realizado de a para b q0 cara de prova C E campo elétrico NC d deslocamento m Figura 8 Carga positiva se deslocando por um campo elétrico Fonte YOUNG FREEDMAN 2009 p 72 α E E F q0 yα y yb b 0 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 58 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 58 05122019 131141 Como a força elétrica é uma força conservativa o trabalho realizado pela força elétrica pode ser expresso em função da energia potencial elétrica Ou seja quan do a partícula se move do ponto a onde possui uma quantidade de energia poten cial Ua para o ponto b onde possui uma quantidade de energia Ub O trabalho pode ser dado por Wab Ua Ub A partir dessa relação observamos que o trabalho W é positivo quando a energia potencial da partícula diminui no deslocamento por outro lado o W será negativo quando U aumentar no deslocamento Voltando para o exemplo da Figura 8 podemos então escrever a equação para o trabalho realizado pela força elétrica no deslocamento de a para b da seguinte forma Wab q0 U q0 Ub q0 Ua q0 Vb Va Vab Va Vb Assim o trabalho realizado por unidade de carga pela força elétrica quando a carga se desloca de a até b é igual ao potencial no ponto a menos o potencial no ponto b Denominase diferença de potencial de a em relação a b A seguir vamos ver alguns exemplos de como determinar o potencial elétri co em cargas puntiformes e em uma superfície equipotencial Potencial elétrico gerado por uma única carga puntiforme Para medir o potencial elétrico de uma única carga puntiforme utilizamos a equação V U q0 1 4πϵ0 q r Sendo r a distância entre a carga e o ponto onde o potencial está sendo calcu lado Se q for positiva o potencial será positivo em todos os pontos do espaço se q for negativa o potencial será negativo em qualquer ponto do espaço Nas duas situações V será nulo quando a distância entre a carga e o ponto é infinita r As sim como para o capo elétrico o potencial não depende do valor da carga de prova Potencial elétrico gerado por várias cargas puntiformes Para determinar o potencial elétrico de várias cargas puntiformes é dado pela soma escalar dos potenciais produzidos pelas cargas individuais como apresentado na equação a seguir V U q0 1 4πϵ0 qi ri ELETRICIDADE E MAGNETISMO 59 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 59 05122019 131142 Sendo ri a distância entra a iésima carga qi e o ponto em que o potencial está sendo calculado Potencial elétrico ao longo de uma linha sobre uma superfície ou através de um volume Neste caso dividimos as cargas em elemento de carga d q e a soma de todos os elementos se transforma em uma integral V 1 4πϵ0 dq r Sendo r a distância entre o elemento de carga d q e o ponto em que o po tencial está sendo calculado A seguir veremos alguns exemplos das situações mais comuns de se encontrar Exemplo 7 força elétrica e potencial elétrico Um próton se move ao longo de uma linha reta de um ponto a até um ponto b no interior de um acelerador linear sendo d 050 m a distância percorrida O campo elétrico é uniforme ao longo dessa linha e possui módulo E 15 107 Vm ou NC no sentido de a para b Determine a força do próton o trabalho realizado sobre ele pelo campo elétrico e a diferença de potencial entre a e b Resolução A força elétrica pode ser obtida pelo produto entre a carga do próton e o campo elétrico F q E 16 1019C 15 107NC 24 1012N Como foi dito que o acelerador é linear temos que o campo elétrico é uni forme portanto a força elétrica é constante Assim para calcular o trabalho realizado sobre o próton utilizamos a equação Wab F d 24 1012C 050 m 12 1012J Por fim a diferença de potencial é dada pelo trabalho dividido pela carga do próton Va Vb Wab q 12 1012j 16 1019C 75 106jC ou 75 MV Mega Volts Exemplificando potencial produzido por duas cargas puntiformes Um dipolo elétrico é constituído por duas cargas puntiformes q1 12 nC e q2 12 nC sendo a distância entre elas igual a 10 cm Pedese para calcular os potenciais nos pontos a b e c somando os potenciais produzidos pelas cargas individuais calculados por ELETRICIDADE E MAGNETISMO 60 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 60 05122019 131142 V U q0 k qi ri No ponto a o potencial produzido pela carga q1 é Vq1 1800 N mC 1800 JC 1800 V 9 109 N m2C2 Vq1 U k q0 q1 r1 12 109 C 006 m O potencial por q2 em a Vq2 2700 N mC 2700 JC 2700 V 9 109 N m2C2 Vq2 U k q0 q1 r1 12 109 C 004 m O potencial total será a soma do potencial das duas cargas Va Vq1 Vq2 1800 2700 900V Repetindo o procedimento no ponto b temos Vb Vq1 Vq2 2700 771 1929 V Vq1 9 109 N m2C2 12 109 C 2700 V 004 m Vq2 9 109 N m2C2 12 109 C 771 V 014 m No ponto c temos Vc Vq1 V Vq2 830 830 0 V Vq1 9 109 N m2C2 830 V 12 109 C 013 m Vq2 9 109 N m2C2 830 V 12 109 C 013 m O potencial será igual a zero em todos os pontos situados r Exemplificando potencial de um condutor carregado Considere uma esfera maciça sem buracos possui um raio R e uma carga total q Determine o potencial em todos os pontos do exterior e do interior da esfera Para determinar o potencial elétrico precisamos primeiro saber o cam po elétrico dentro e fora da esfera Primeiramente a esfera deve ser simétrica para que possamos calcular o campo elétrico com a lei de Gauss Vamos iniciar com o cálculo do campo fora do condutor definindo a superfície gaussiana com um raio r maior que o raio R da esfera condutora assim todas as cargas estão dentro da superfície fechada A área da superfície da esfera é calculada por 4πr2 e E é uniforme e perpen dicular à superfície em todos os seus pontos dispensando a necessidade de ELETRICIDADE E MAGNETISMO 61 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 61 05122019 131143 se fazer integral Assim o campo elétrico fora da esfera calculado pela lei de Gauss é dado por E4πr2 4πr2 0 q q 0 E O campo elétrico sobre a superfície da esfera é dado por E4πR2 4πR2 0 q q 0 E Onde R é o raio da esfera O campo elétrico no interior da esfera será nulo pois se a esfera é um con dutor suas cargas estarão distribuídas em sua superfície Assim ao delimitar mos uma superfície gaussiana com raio menor que o raio da própria esfera não haverá carga no interior dela e portanto não haverá campo elétrico Uma vez que determinamos o campo elétrico conseguimos calcular o po tencial elétrico no exterior da esfera em função de r utilizando a equação V U q0 4π0 1 r q1 q0 q0 q1 π0r No interior da esfera vimos que não há campo elétrico portanto o poten cial elétrico será constante ou seja se uma carga de prova fosse deslocada de um ponto para outra no interior da esfera não haveria trabalho O valor do potencial dentro da esfera será V q1 π0r Assim o potencial no exterior da esfera será considerado constante Exemplificando potencial produzido por um dipolo elétrico Vamos determinar o potencial em um ponto arbitrário P a uma distância r de um dipolo elétrico A partícula positiva do dipolo produz um potencial V e a partí cula negativa produz um potencial V O potencial no ponto P é dado pela equação VV 1 4π0 q r q r q 4π0 r r r r Os dipolos que ocorrem naturalmente têm dimensões muito pequenas Isso significa que os pontos de interesse estão muito distantes do dipolo que podem ser representados por rd em que r é a distância entre o ponto P e o centro do dipolo e d é a distância entre as cargas Em outras palavras podese considerar que os segmentos de reta entre as cargas e o ponto P são pratica mente paralelos e que a diferença de comprimento entre esses segmentos de ELETRICIDADE E MAGNETISMO 62 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 62 05122019 131144 reta é um dos catetos de um triângulo retângulo e d é a hipotenusa Além disso a diferença é tão pequena que o produto dos comprimentos é aproximada mente r2 Dessa forma a equação pode ser reescrita como V q 4π0 1 4π0 d cos θ r2 p cos θ r2 Sendo θ o ângulo medido em relação ao eixo do dipolo e p é o módulo do momento dipolar elétrico que corresponde a q d além de ser uma grandeza vetorial que indica a orientação do dipolo elétrico Capacitância Vimos até o momento como as cargas elétricas interagem entre si gerando energia elétrica Neste tópico veremos como armazenar essa energia gerada Capacitância representa a quantidade de energia elétrica que um dispositivo consegue armazenar Por essa razão são chamados de capacitores Um capacitor pode ter diferentes formatos geométricos e possui dois con dutores denominados placas separados por uma distância d O símbolo utili zado para representar um capacitor é Quando um capacitor está carrega do as placas estão carregadas com cargas de mesmo módulo porém de sinais opostos q e q Os capacitores são fabricados com um material condutor assim as placas são superfícies equipotenciais ou seja todas os pontos da placa desse con dutor possuem o mesmo potencial elétrico Entre as duas placas existe uma diferença de potencial representada pela letra V que é proporcional a carga q do condutor como apresentado na equação abaixo q C V Onde C é uma constante de proporcionalidade chamada capacitância A capacitância depende da geometria das placas e mede a quantidade de carga que deve ser acumulada nas placas para obter a diferença de poten cial desejada Essa constante não depende da carga q e nem da diferença de potencial V Por ser uma constante de proporcionalidade a relação apre sentada pela equação estabelece que quanto maior a capacitância maior o a carga q necessária C 1 farad 1F 1C V ELETRICIDADE E MAGNETISMO 63 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 63 05122019 131144 Para carregar um capacitor é necessário conectálo a um dispositivo que mantém uma diferença de potencial entre dois terminais um positivo e um negativo A conexão entre o capacitor e o dispositivo forma um circuito fechado por onde passará uma corrente elétrica A Figura 9 a apresenta esse sistema onde o dispositivo que mantém a diferença de potencial é representado por uma bateria B e duas placas que representam o capacitor C A bateria está conectada às placas do capacitor por um fio de material condutor que possui uma chave S responsável por manter o circuito aberto ou fechado Figura 9 a circuito formado por uma bateria e capacitor b diagrama esquemático do circuito Fonte HALLIDAY RESNIK 2014 p 266 a b B S a b C B S V a Terminal Terminal b C Quando a chave está aberta o circuito está interrompido as placas do ca pacitor estão descarregadas não existe diferença de potencial entre elas e não há corrente elétrica no fio Por enquanto somente a bateria mantém uma dife rença de potencial V entre os terminais positivo maior potencial e negativo menor potencial porém não há ligação entre os terminais Quando a chave S está fechada o circuito se completa estabelecendo uma ligação entre os terminais e Os elétrons irão se mover devido ao campo elé trico produzido pela bateria fazendo com que os elétrons do capacitor da pla ca a se movam para o terminal da bateria tornando a placa a positivamente carregada Por outro lado o mesmo campo elétrico faz com que os elétrons do terminal negativo da bateria se movam para a placa b do capacitor tornando essa placa negativamente carregada Entre as placas a e b começa a ser criado uma diferença de potencial que ao se igualar a diferença de potencial da bateria cessa o movimento de elétrons entre as placas e a bateria Ao adquirir o mesmo ELETRICIDADE E MAGNETISMO 64 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 64 05122019 131144 potencial que a bateria tanto a placa a com o terminal e a placa b com o termi nal não se tem mais o campo elétrico e portanto não haverá mais movimento de elétrons Nessa situação dizse que o capacitor está totalmente carregado Capacitores de placas paralelas Os capacitores de placas paralelas são os mais comuns de se encontrar e são simplesmente formados por duas placas condutoras dispostas em parale lo Na prática são fi nas folhas metálicas separadas por um isolante de material plástico Esse conjunto é enrolado permitindo maior área de contato As placas são carregadas com cargas opostas que se distribuem uniformemente nas su perfícies internas do material ASSISTA Os capacitores são dispositivos de ampla utilização em equi pamentos eletrônicos e tem a função principal de armazenar energia Existem disponíveis no mercado uma grande varieda de de capacitores em diferentes formatos e tamanhos O vídeo O que é um capacitor Para que serve Do canal Brincando com Ideias apresenta o funcionamento do capacitor em um sistema elétrico e as principais propriedades deste dispositivo Por estarem muito próximas o campo elétrico entre as placas é uniforme e tem módulo E σ0 Como E é uniforme entre as placas a diferença de potencial entre elas é igual à magnitude do campo elétrico e multiplicada pela separação entre as placas d V E d σ 0 q d 0 A d Substituindo V na equação da capacitância temos a equação para capaci tância de capacitor de placas paralelas C q v d 0 A q q d 0 A Por essa equação observamos que para capacitores de placas paralelas a capacitância não depende da carga q e nem do potencial V Nesses capacitores ELETRICIDADE E MAGNETISMO 65 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 65 05122019 131145 a capacitância é proporcional à área das placas e é inversamente proporcional ao espaçamento entre elas A capacitância depende do tamanho da forma e do arranjo geométrico dos condutores além de depender do meio isolante entre os condutores O cálculo da capacitância de um capacitor depende da sua forma geométrica Porém em linhas gerais podemos estabelecer um passo a passo para este cálculo 1 Supomos que as placas do capacitor estão carregadas com uma carga q 2 Calculamos o campo elétrico entre as placas em função dessa carga uti lizando a lei de Gauss 3 Calculamos a diferença de potencial a partir do campo elétrico com a equação Vf Vi i f E ds 4 Calculamos a capacitância C pela equação q C V Exemplo 8 Capacitância de um capacitor de placas paralelas Temos um capacitor de placas metálicas quadradas dispostas uma paralela a ou tra Os lados dessas placas medem 10 cm de comprimento e estão separadas por um espaço de 1 mm Desejase calcular a capacitância deste dispositivo e quanta carga é transferida de uma placa para outra quando carregarmos esse dispositivo com 12 V Resolução A capacitância é determinada pela área e pela distância entre as placas da seguinte forma Q C V 885pF 12V 106 109C 106nC A carga transferida é determinada pela equação Q C V 885 pF 12 V 106 109C 106nC Capacitores em série e em paralelo Em algumas situações fazse necessária a utilização de mais de um capa citor Nesses casos os capacitores podem ser substituídos por um capacitor equivalente nos cálculos Existem duas maneiras de se combinar os capacito res em série ou em paralelo Na combinação de capacitores em paralelo um capacitor está diretamente ligado a outro capacitor por uma de suas placas como mostra a Figura 10 A diferença de potencial será a mesma em todos os capacitores em paralelo e a carga q total armazenada é igual a soma das cargas q em cada capacitor A ELETRICIDADE E MAGNETISMO 66 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 66 05122019 131145 bateria está ligada diretamente a cada um dos capacitores Desta forma capa citores ligados em paralelo podem ser substituídos por um equivalente com a mesma carga total e a mesma diferença de potencial que os capacitores indivi duais como demonstrado na sequência de equações a seguir q1 C1 V q2 C2 V e q3 C3 V sendo q q1 q2 q3 e V igual para todos q C1 C2 C3 V q v C1 C2 C3 portanto Ceq C1 C2 C3 Essa equação é válida para todos os capacitores em paralelo que tivermos Assim a capacitância equivalente corresponde à somatória das capacitâncias individuais de quantos capacitores em paralelo tivermos no sistema Em combinações de capacitores em série Figura 10 os dispositivos estão arranjados em sequência onde uma diferença de potencial é aplicada às extre midades do conjunto fazendo com que todos os capacitores armazenem a mes ma quantidade de carga q Diferentemente dos capacitores em paralelo cada capacitor gera uma diferença de potencial sendo a diferença de potencial total do sistema igual a somatória das diferenças de potencial de cada capacitor q C1 V1 q C2 V2 e q C3 V3 sendo V V1 V2 V3 e q igual para todos Sendo q C V isolando o V temos V q c 1 C1 1 Ceq 1 C2 1 C3 portanto 1 C1 1 C2 1 C3 V V1 V2 V3 q C2 q C q q C3 q C1 q C Figura 10 Esquema de apresentação de capacitores em paralelo e em série 120V Capacitores em paralelo Capacitores em série 120V 60 μF 60 μF 120 μF 120 μF a a b b A carga transferida entre capacitores em série terá um único percurso para a carga da bateria para um capacitor e para outro Dessa forma podemos di ELETRICIDADE E MAGNETISMO 67 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 67 05122019 131146 zer também que a bateria irá transmitir carga somente para os capacitores aos quais ela está diretamente ligada A seguir serão resolvidos exemplos de capacitores associados em paralelo e associados em série como mostra a Figura 11 Figura 11 Combinação de capacitores em paralelo e em série C112μF C153μF C12173μF C12173μF q12446μC V12258V C112μF V3258V q131μC C145μF q3446μC V3992V C153μF V2258V q2137μC C145μF q3446μC V3992V C12337μF V123125μV q123446μC V125V V125V V125V C145μF v a a C145μF v a 1 4 5 2 3 a a b b b b Exemplo 9 capacitores em paralelo Um circuito consiste em dois capacitores de 60 µF e 120 µF uma bateria de 120 V e um interruptor Inicialmente o interruptor está aberto e os capa citores descarregados Ao fechar o interruptor os capacitores são carrega dos Quando eles estiverem completamente carregados até que a tensão de circuito aberto da bateria seja estabelecida determine o potencial de cada condutor no circuito a carga de cada capacitor e o valor da carga total que passa pela bateria Resolução Quando dizemos que uma bateria tem potencial elétrico de 120 V estamos dizendo que essa é a diferença de potencial entre o polo positivo e o polo nega ELETRICIDADE E MAGNETISMO 68 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 68 05122019 131148 tivo portanto em outras palavras a bateria possui um potencial Va 120 V no condutor positivo e Vb 0 V no condutor negativo Lembrando que capacitores em paralelo estão sujeitos ao mesmo poten cial podemos calcular a carga de cada capacitor pois conhecemos a capacitân cia de cada capacitor Capacitor 1 q1 CV 60 106F 120V 72 106C Capacitor 2 q2 CV 120 106F 120V 144 106C A carga total que passa pela bateria é a soma das cargas que cada capa citor recebe qtotal q1 q2 72 106C 144 106C 216 106C ou 216 μC Exemplo 10 capacitores em série Os dois capacitores do circuito anterior são dispostos em série com a mes ma bateria de 120 V Empregando as mesmas considerações do sistema ante rior vamos determinar o potencial de cada condutor a carga em cada placa do capacitor e o valor de carga total que passa pela bateria Resolução Para o circuito de capacitores ligados em série o conceito de potencial elétrico nos condutores é o mesmo portanto o potencial no condutor positivo é Va 120V e no conduto negativo é Vb 0V Entretanto temos um trecho condutor entre os capacitores 1 e 2 que terá um potencial elétrico diferente V12 desconhecido A diferença de potencial e a carga em cada capacitor pode ser represen tada assim V1 Va V12 e q1 C1 V1 C1 Va V12 V2 V12 Vb e q2 C2 V2 C1 V12 Vb Isolando a equação de carga de cada capacitor no termo em comum das duas temos q2 C2 q1 C1 Va Vb sabendo que Va Vb 12 e q1 q2 Va q1 C1 q2 C2 q1 C1 q2 C2 V12 e Vb V12 Va Vb 12 q q 1 60 10 6F 1 120 10 6F 1 C2 q1 C1 q 48 μC 12 1 60 106F 1 120 106F ELETRICIDADE E MAGNETISMO 69 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 69 05122019 131148 Podemos determinar a diferença de potencial entre os dois capacitores determi nando o potencial elétrico em cada um V1 q1 C1 q2 C2 48 μC 60 μC 48 μC 120 μF 4 V 8 V e V2 Assim V1 V2 8 4 4V Exemplo 11 combinação de capacitores em paralelo e em série Na Figura 11 foi mostrada uma combinação de capacitores em paralelo e em série Sabendo a capacitância de cada capacitor e a diferença de potencial aplicada aos terminais dos condutores como mostrado na situação 1 da Figura 11 vamos determinar a capacitância equivalente do sistema e em seguida de terminar o potencial elétrico e a carga de cada capacitor Resolução Inicialmente faremos a capacitância equivalente entre os capacitores em paralelo obtendo dois capacitores em série Depois faremos a capacitância equivalente dos dois capacitores em série situação 2 da Figura 11 resultando em um capacitor que equivale aos três anteriores situação 3 da figura 11 Na equivalência de capacitores em paralelo fazemos a soma algébrica da capacitância C12 12 53 173μF situação 2 da figura Na equivalência de capacitores em série fazemos a soma algébrica do in verso da capacitância 1 C123 1 C3 1 173 1 45 q1 C12 357 μF situação 3 da figura 12 Com o potencial elétrico V 125V vamos definir a carga equivalente aos três capacitores qeq C123 Vtotal 357μF 125V 446μC situação 3 da figura 12 Capacitores em série possuem a mesma carga que o capacitor equiva lente assim q3 q12 446µC porém o potencial elétrico será corresponden te à capacitância q12 C12 q3 C3 446μC 173μF 446μC 45μF V12 992V situação 4 da figura 12 258 V e V12 Capacitores em paralelo por sua vez possuem o mesmo potencial elétrico Assim determinamos a carga de cada um q1 C1 V1 12μF 258V 31μC e q2 C2 V2 53μF 258V 137μC Dessa forma conseguimos determinar a carga e o potencial elétrico de cada capacitor como mostra o resultado final na situação 5 da figura ELETRICIDADE E MAGNETISMO 70 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 70 05122019 131149 Energia armazenada em um campo elétrico Ao carregar um capacitor haverá transferência dos elétrons do condutor positivo para o condutor negativo deixando o primeiro com uma defi ciência de elétrons e o segundo com um excesso de elétrons Para que essa transferência ocorra é realizado trabalho W sendo parte dele armazenado como energia potencial eletrostática Inicialmente temos dois condutores mantidos afastados e descarrega dos A carga positiva q é a carga transferida no início do processo de carga A diferença de potencial será V qC Se uma pequena quantidade de carga positiva adicional d q é transferida do condutor negativo para o positivo através de um aumento de potencial V a energia potencial elétrica da carga e do capacitor aumenta dU V dq q dq C O aumento total na energia potencial U é a integral dU quando q aumenta de zero até seu valor fi nal Q como mostra a equação abaixo U dU dq q dq Q 0 q C 1 C 1 2 Q2 C Q 0 Essa energia potencial é a energia armazenada no capacitor Usando a de fi nição de capacitância C QV podemos expressar esta energia em termos de Q e V C e V ou Q e C U Q V C V2 1 2 1 2 1 2 Q2 C Capacitor com um dielétrico Dielétrico é um material isolante como o plástico ou óleo mineral que é utilizado entre as placas de um capacitor Em casos onde o espaço vazio entre as placas de um capacitor é preenchido com um material dielétrico a sua capa citância é aumentada Dessa forma capacitores que possuem material isolante entre as placas carregadas devem multiplicar a capacitância por um fator k chamada constante dielétrica O Quadro 1 apresenta a constante dielétrica de alguns materiais isolantes ELETRICIDADE E MAGNETISMO 71 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 71 05122019 131150 MATERIAL K MATERIAL K Ar 1 atm 100054 Porcelana 65 Poliestireno 26 Silício 12 Papel 35 Germânio 16 Óleo de transformador 45 Etanol 25 Pirex 47 Água 20ºC 804 Mica rubi 54 Água 25ºC 785 Fonte HALLIDAY RESNIK 2014 p 287 O material dielétrico possui uma rigidez elétrica que representa o máximo de campo elétrico que o dielétrico tolera Se esse valor é ultrapassado ele sofre uma ruptura e passa a transferir carga de uma placa para outra Podemos dizer então que o dielétrico limita a diferença de potencial que pode ser aplicada entre as placas do capacitor Assim a equação para capacitância de um capacitor que entre as placas con dutoras possui um material dielétrico passa a ser escrita da seguinte maneira C k Car Sendo Car a capacitância do capacitor se ele estivesse preenchido somente com ar e k a constate dielétrica do material isolante utilizado entre as placas QUADRO 1 CONSTANTE DIELÉTRICA K DE ALGUNS MATERIAIS ELÉTRICOS ELETRICIDADE E MAGNETISMO 72 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 72 05122019 131150 Sintetizando Nesta unidade apresentamos que um corpo eletricamente carregado for ma um campo elétrico ao seu redor e que é possível medilo quando coloca mos uma carga de prova na região do campo A forma como medimos esse campo elétrico depende do formato do objeto e se as cargas estão distribuídas de forma uniforme ou não Além disso avaliamos como a direção e o sentido do vetor campo E dependem do sinal da carga em questão Vimos também como medir o fluxo elétrico do vetor campo que atravessa uma superfície plana Quando a superfície não for plana podemos dividir a área dessa superfície irregular em pequenas áreas elementares calculando o fluxo sobre cada área elementar e somando através de uma integral para obter o fluxo total do campo elétrico que a travessa a superfície irregular Aprendemos que a lei de Gauss faz uma relação do fluxo elétrico com a carga elétrica envolvida por uma superfície fechada que é denominada superfície gaussiana Se a carga envolvida pela superfície possui sinal po sitivo as linhas de força apontam para fora e o sinal do fluxo elétrico é positivo Se a carga for negativa as linhas de força apontam para dentro e o fluxo é negativo Por lógica se não houver carga envolvida ou se as cargas na superfície forem positivas e negativas com mesmo módulo não haverá fluxo elétrico Outro tópico desta unidade apresentou que a força elétrica gerada em uma carga de prova é conservada em forma de energia potencial elétrica U que por consequência atribui a essa carga um potencial elétrico que é proporcional ao valor da carga Quando uma carga se encontra em um campo elétrico que possui dois potenciais elétricos diferentes a carga será deslocada de um ponto para outro dizse que o campo elétrico realizou trabalho sobre essa carga O deslocamento da carga devido a potenciais elétricos diferentes em um mesmo campo elétrico é fundamental para o entendimento do funcio namento dos capacitores O capacitor é um dispositivo formado por duas placas paralelas que funciona pela diferença de potencial elétrico entre dois condutores possibilitando a transferência e armazenamento de car ga nessas placas ELETRICIDADE E MAGNETISMO 73 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 73 05122019 131150 A capacitância é uma importante propriedade do capacitor pois represen ta o quanto de carga elétrica o capacitor consegue armazenar Aprendemos a calcular a capacitância dos capacitores quando estão isolados associados em série em paralelo ou em série e paralelo em um mesmo sistema ELETRICIDADE E MAGNETISMO 74 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 74 05122019 131150 Referências bibliográficas HALLIDAY D RESNICK R WALKER J Fundamentos de física Eletromagne tismo 10 ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 2016 O QUE É CAPACITOR Para o que serve Postado por Brincando com ideias 11min 06s Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvypmOV0tK qos Acesso em 26 out 2019 TIPLER P A MOSCA G Física para cientistas e engenheiros 6 ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 2016 YOUNG H D FREEDMAN R A Física III Eletromagnetismo 12 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2009 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 75 SERENGELELEMAGNEUNID2indd 75 05122019 131151 CORRENTES E RESISTÊNCIAS ELÉTRICAS 3 UNIDADE SERENGELELEMAGNEUNID3indd 76 05122019 133831 Objetivos da unidade Tópicos de estudo Introduzir o conceito de circuito elétrico Aprender como uma corrente elétrica é gerada Conhecer os parâmetros que definem a corrente elétrica Calcular a corrente elétrica em um circuito fechado Apresentar a lei de Ohm Apresentar a capacidade dos materiais em se opor à passagem da corrente Apresentar a influência que a temperatura tem na passagem da corrente em um condutor Apresentar o que é força eletromotriz Mostrar que as fontes de energia também possuem uma resistência à passagem da corrente Correntes elétricas Geração da corrente elétrica Densidade de corrente Velocidade de deriva Resistências elétricas Lei de Ohm Força eletromotriz Semicondutores e supercon dutores ELETRICIDADE E MAGNETISMO 77 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 77 05122019 133831 Correntes elétricas Os conceitos de carga elétrica força elétrica campo elétrico e potencial consideram que a carga é estática ou seja não se move Em outras palavras esses conceitos consideram a carga como um ponto fi xo Tendo isso em mente iniciaremos a partir dessa Unidade o estudo do mo vimento da carga elétrica denominado corrente elétrica que é utilizado para as mais diferentes aplicações além da elétrica como a área de Biologia Meteo rologia Fisiologia entre outros O caminho da corrente elétrica ao longo de uma trajetória forma um circui to fechado denominado circuito elétrico cuja função básica é transferir energia de um local para outro A energia potencial elétrica das cargas carregadas é transferida de uma fonte uma bateria até um dispositivo sendo armazena da ou convertida em outra forma de energia energia sonora energia térmica energia luminosa entre outras Geração da corrente elétrica A corrente elétrica é defi nida como o movimento de cargas elétricas Entre tanto nem todas as cargas que se encontram em movimento podem gerar uma corrente elétrica Para que ela exista deve haver um fl uxo líquido de cargas que atravessam uma superfície Para entender melhor lembrese do conceito de materiais condutores em que os elétrons permanecem livres na superfície do material Em um fi o condutor esses elétrons se movimentam de um sentido para outro No entanto o campo elétrico é nulo os vetores campo se anulam e o potencial elétrico é o mesmo em qualquer ponto do fi o ou seja não gera diferença de potencial e consequente mente não há corrente elétrica Se as duas extremidades desse fi o condutor forem conectadas a uma bateria uma diferença de potencial é gerada o campo elétrico não é mais nulo e conse quentemente gera uma força sobre os elétrons livres no fi o fazendo com que eles se movimentem Todavia com a diferença de potencial esse movimento dos elé trons se dá preferencialmente em um sentido produzindo uma corrente elétrica O movimento orientado dos elétrons recebe o nome de fl uxo líquido de cargas ELETRICIDADE E MAGNETISMO 78 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 78 05122019 133831 A Figura 1 mostra a corrente elétrica atravessando um conduto retilíneo Em diferentes partes desse conduto estão representados três cortes transversais aa bb e cc A corrente elétrica é uma relação entre a carga dq que passa em cada seção em um intervalo de tempo dt a a b b C C i i Figura 1 Corrente elétrica atravessando um conduto Fonte HALLIDAY 2016 p 322 Adaptado ampere i dq dt C s Sendo i corrente elétrica A dq carga C dt tempo s Em um sistema fechado após iniciada a corrente elétrica o movimento de elé trons atinge um valor constante deixando de variar com o tempo O nome disso é corrente estacionária Assim em qualquer seção do conduto como apresentado na Figura 1 a corrente será a mesma demonstrando que a carga é conservada A Figura 2 mostra dois condutores por onde passa uma corrente i0 Ao chegar na bifurcação a corrente se divide em i1 e i2 de modo que a relação entre essas correntes é i0 i1 i2 A bifurcação é chamada de nó e as setas representam ape nas o sentido do fluxo líquido das cargas A corrente elétrica por sua vez é uma grandeza escalar e não vetorial Devido a diferentes materiais condutores as partículas que se movem podem ser positivas ou negativas Nos metais material sólido as cargas que se movem são os elétrons Nos gases ou em soluções iônicas as cargas podem ser positivas ou negativas ELETRICIDADE E MAGNETISMO 79 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 79 05122019 133831 Por convenção o movimento da corrente elétrica indicado por cargas que par tem do terminal positivo se deslocam para o terminal negativo Por mais que já saibamos que são as cargas negativas elétrons que se movem e que os prótons permanecem fi xos fazendo mais sentido ter o movimento da corrente elétrica do terminal negativo para o positivo a corrente elétrica será representada partindo do terminal positivo para o negativo i0 i1 i2 i0 i1 i2 Figura 2 Corrente elétrica percorrendo um condutor mantendo a carga conservada Fonte HALLIDAY 2016 p 322 Adaptado Densidade de corrente A corrente elétrica pode ser explorada de duas formas a primeira é pela determinação da corrente total i que passa por um condutor A segunda mais específi ca é a determinação do fl uxo de carga por meio de uma seção reta específi ca de um material Esse fl uxo de carga é denominado densidade de corrente e pode ser representado por J que é uma grandeza vetorial com dire ção e sentido igual à velocidade das cargas que constituem a corrente se essas cargas forem positivas Se as cargas foram negativas todavia o vetor densida de de corrente terá direção e sentido contrário ao da velocidade A parte específi ca de um material cuja densidade de corrente se deseja de terminar será chamada de elemento da seção reta O módulo J da densidade de corrente é defi nido como a corrente elétrica dividida pela área do elemento da seção reta que é o vetor da área perpendicular ao elemento Essa relação é apresentada pela seguinte equação ELETRICIDADE E MAGNETISMO 80 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 80 05122019 133831 J ou i J A i dA Se a corrente for uniforme em toda a seção reta e paralela a dA J também será uniforme e paralela a dA Assim a integral pode ser dispensada e o módu lo da densidade será dado por J i A A m2 A densidade de corrente pode ser representada grafi camente por um con junto de linhas de corrente como as linhas de força que representam o campo elétrico R Figura 3 Linhas de corrente Fonte HALLIDAY 2016 p 326 Adaptado A Figura 3 mostra as linhas de corrente atravessando um conduto com se ções de tamanhos diferentes Como a corrente em si é conservada a mesma quantidade de corrente que passa na seção de maior área passará na seção de menor área resultando na variação da densidade O espaço entre as linhas de corrente é inversamente proporcional à densidade ou seja quanto maior o espaço entre as linhas menor será a densidade e viceversa Velocidade de deriva Os elétrons livres de uma superfície com potencial elétrico constante se mo vem aleatoriamente sem produzir corrente elétrica Quando é estabelecida uma diferença de potencial esses elétrons irão se mover com uma velocidade deno minada velocidade de deriva ou velocidade de arraste vd que terá sentido ELETRICIDADE E MAGNETISMO 81 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 81 05122019 133831 contrário ao campo elétrico e valor muito pequeno em relação à velocidade dos elétrons no movimento aleatório Para se ter uma noção da magnitude dessas velocidades em um fio de cobre a velocidade de deriva dos elétrons é da ordem de 107 ms e a velocidade aleatória é de ordem de 106 ms A velocidade de deriva é uma grandeza vetorial v d de mesma direção e senti do que o campo elétrico E e a densidade de corrente J se a carga for positiva Por outro lado se a carga for negativa v d possui sentido oposto a E e J Supondo que a velocidade de deriva a densidade de corrente e a área da seção sejam todas constantes a quantidade de cargas q em um pedaço de fio de tamanho L será igual ao produto desses três elementos em que n representa o número de portadores por unidade de volume A L Considerando que cada portador possui carga e a carga total é dada pela equação q n A L e Essa carga atravessa o fio em um intervalo de tempo dado por t L vd Dessa forma temos i q t J n e n A vd e vd n A L e L vd i n A e Em forma vetorial J n e vd Exemplo 1 Um fio de cobre possui diâmetro de 1024 mm geralmente nos fios que ligam lâmpadas calibre 18 e uma lâmpada de 200 W está conectada a esse fio que conduz uma corrente de 167 A A densidade de elétrons livres é igual a 85 1028 elétrons por m3 Desejase determinar a densidade de corrente e a velocidade de deriva O que acontece com a densidade de corrente e a velocidade de deriva se o fio tiver calibre 12 D 2053 mm Resolução Conhecendo a corrente e o diâmetro do fio podemos calcular a velocidade de deriva com a equação vd i n A e ELETRICIDADE E MAGNETISMO 82 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 82 05122019 133832 Em que A π D2 4 Portanto vd 15 104 ms 015 mms vd i n π D2 4 n e 167 Cs 85 1028 em3 π 0001024 m2 4 n 16 1019C Logo a densidade de corrente pode ser obtida pela equação 167 A π 0001024 m2 4 206 106 Am2 i A J Agora se o diâmetro do fi o dobra de tamanho sendo 204 mm ou 000204 m a vd é vd 167 Cs 85 1028 em3 π 0001024 m2 4 n 16 1019C 371 105 ms E a densidade de corrente passa a ser 167 A π 0001024 m2 4 505 105 Am2 J Para um fi o de calibre 18 com uma corrente elétrica de 167 A a velocidade de deriva é de 015 mms e a densidade de corrente é de 206 106 Am2 Quando o diâmetro do fi o aumenta para um calibre 12 a velocidade de deriva e a densidade de corrente fi cam respectivamen te no valor de 0037 mms e 505 105 Am2 Ou seja a velo cidade e a densidade de corrente diminuem pois é a mes ma quantidade de carga atravessando uma seção maior Resistências elétricas Os materiais condutores são aqueles capazes de conduzir elétrons por sua superfície Quando estabelecida uma diferença de potencial é possível ob ter uma corrente elétrica No entanto dependendo do tipo de material que ELETRICIDADE E MAGNETISMO 83 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 83 05122019 133832 compõe esse condutor ele terá uma maior ou menor capacidade de se opor à passagem da corrente elétrica Devido a isso todos os materiais possuem resistividade elétrica Por exemplo temse duas barras uma de cobre e outra de vidro É aplicada em ambas as barras a mesma diferença de potencial O resultado observado será completamente diferente pois a resistividade do cobre é de 169 108 Ω m e o vidro possui resistividade de 1010 Ω m Georg Simon Ohm foi um físico e matemático alemão que estabeleceu uma relação entre corrente elétrica tensão elétrica e resistência dos ma teriais passando a ser conhecida como a lei de Ohm Todos os materiais que apresentam essa proporcionalidade são denominados materiais ôhmicos A lei de Ohm fornece um modelo idealizado que descreve muito bem o comportamento para alguns materiais No entanto essa lei não pode ser generalizada e aplicada sendo análoga às leis de Hooke e dos gases ideais A resistência elétrica R de um sistema condutor é calculada pela medição da corrente elétrica i resultante da aplicação de uma diferença de potencial V fazendo a relação entre as duas grandezas conforme mostra a equação R Ω ohm V i V A Ao explicitarmos a corrente na equação anterior temos i V R ficando mais evidente a relação entre diferença de potencial e resistência Sendo assim quanto maior a resistência menor a corrente elétrica De maneira inversa quanto menor a resistência elétrica maior a corrente Ao delimitar a diferença de potencial em um ponto específico do campo elétrico analisamos a densidade de corrente e não mais na corrente elétrica do condutor Assim a relação que se estabelece é do campo elétrico pela den sidade de corrente que representa a resistividade do material ρ pela seguinte equação ρ E J m ou Ω m V A Vm Am2 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 84 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 84 05122019 133832 EXPLICANDO A densidade da corrente é uma grandeza vetorial representada por J e a corrente elétrica é uma grandeza escalar representada pela letra i ou I A diferença entre as duas definições é que a densidade da corrente descreve o fluxo das cargas em determinado ponto informando o sentido e a direção além do seu módulo e a corrente elétrica descreve como as cargas fluem por um objeto estendido e sua intensidade representa o valor da corrente elétrica que será o mesmo em qualquer ponto deste objeto Em contrapartida o módulo da densidade de corrente será diferente em cada ponto Em forma vetorial a equação anterior pode ser escrita como E ρ J As duas equações são aplicáveis somente em materiais isotrópicos ou seja materiais que possuem a mesma propriedade em todas as direções Outro termo muito utilizado na definição de materiais condutores de cor rente elétrica é a condutividade σ que se trata de uma relação da resistivida de interpretada pela seguinte fórmula σ Ω m1 1 ρ Na forma vetorial podemos escrever J σ E Dessa forma é possível dizer que um condutor perfeito tem resistência igual a zero e um isolante perfeito tem resistência infinita A Tabela 1 apresenta a resistividade de alguns materiais TABELA 1 RESISTIVIDADE DE MATERIAIS CONDUTORES SEMICONDUTORES E ISOLANTES Material Resistividade ρ Ω m Condutores Prata 162 108 Cobre 168 108 Ouro 235 108 Alumínio 275 108 Manganina 482 108 Tungstênio 525 108 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 85 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 85 05122019 133832 Ferro 968 108 Platina 106 108 Chumbo 22 108 Mercúrio 96 108 Semicondutores Carbono puro 35 105 Germânio puro 06 Silício puro 23 103 Silício tipo n 87 104 Silício tipo p 28 103 Isolantes Vidro 1010 1014 Quartzo fundido 75 1016 Âmbar 5 1014 Lucita 1013 Mica 1011 1015 Enxofre 1015 Tetrafluoretileno 1013 Madeira 108 1011 Fonte HALLIDAY 2016 p 336 YOUNG FREEDMAN 2009 p 140 TIPLER 2009 p 152 Adaptado A resistência de um sistema condutor pode ser obtida a partir dos valores conhecidos da resistividade dos materiais Considerando que o sistema condu tor é formado por uma seção reta a densidade da corrente será uniforme e consequentemente o campo elétrico será o mesmo em qualquer ponto dessa seção podendo estabelecer as relações das equações a seguir E V L J i A São substituídos na equação da resistividade ρ E J resultando em V L i A ρ V L i A ELETRICIDADE E MAGNETISMO 86 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 86 05122019 133832 Sabendo da resistência R i v a equação fica R ρ L A Essa equação pode ser aplicada somente em condutores isotrópicos ho mogêneos de seção reta uniforme cuja diferença de potencial aplicada tem distribuição uniforme nas extremidades CURIOSIDADE A lâmpada de uma residência acende devido à corrente elétrica transmitida pelos fios elétricos O fio de cobre é comumente utilizado para essa função Considere um fio de cobre com comprimento de 100 m e resistência de 05 Ω Uma lâmpada de 100 W para 120 V possui uma resistência de 140 Ω Sabendo que a resistência faz uma relação entre diferença de potencial e corrente elétrica R v i e que a corrente elétrica que passa pelo fio é a mesma que chega à lâmpada se a resistência da lâmpada é muito maior do que a resistência do fio a diferença de potencial será muito maior V i R O excesso de energia potencial elétrica que chega na lâmpada é convertido em energia luminosa Devido à resistência do fio ser bem pequena a dife rença de potencial no fio será muito baixa e portanto o fio não se iluminará Exemplo 2 Qual é o comprimento necessário de um fio elétrico cujo material é níquel e cromo para se obter uma resistência de 2 Ω Sabese que esse material possui resistividade de ρ 110 108 Ωm e diâmetro de 13 mm Resolução Para determinar o comprimento L do fio usaremos a equação R ρ L A Com o L explicitado L ρ R π D2 4 110 108 Ω m 2 Ω π 00013 m2 4 24 m R A ρ Para obter uma resistência de 2 Ω em um fio de cobre de diâmetro 13 mm calibre 16 ele deve ter comprimento de 24 m Podemos observar que os metais são os materiais com menor resistivida de sendo portanto bons condutores de corrente elétrica Por outro lado os ELETRICIDADE E MAGNETISMO 87 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 87 05122019 133832 isolantes apresentam resistividade extremamente elevada e assim são consi derados mau condutores de corrente elétrica Além disso pode ser feita uma analogia entre condutividade elétrica com a condutividade térmica ou seja geralmente um bom condutor elétrico também é um bom condutor térmico e um mau condutor elétrico se apresenta como um mau condutor de calor A resistividade dos materiais é uma grandeza física que varia com a temperatu ra e a relação dessa variação é quase linear para todos os metais A equação a se guir é uma equação empírica que pode ser utilizada para a maioria das aplicações ρ ρ0 ρ0 α T T0 Sendo T0 temperatura de referência 293 Kelvin ou 20 C ρ0 resistividade do material na temperatura de referência T0 α coeficiente de temperatura da resistividade tabelada para determinados materiais T temperatura que pode ser maior ou menor do que T0 ρ resistividade do material na temperatura T A Tabela 2 apresenta os valores de coeficiente de temperatura da resistividade para alguns materiais condutores TABELA 2 COEFICIENTE DE TEMPERATURA DA RESISTIVIDADE PARA ALGUNS MATERIAIS CONDUTORES Material Coeficiente de temperatura da resistividade α K1 Condutores Prata 41 103 Cobre 43 103 Ouro t40 103 Alumínio 44 103 Manganina 0002 103 Tungstênio 45 103 Ferro 65 103 Platina 39 103 Chumbo 43 103 Mercúrio 088 103 Fonte YOUNG FREEDMAN 2009 p 141 Adaptado ELETRICIDADE E MAGNETISMO 88 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 88 05122019 133832 Se a resistividade varia com a temperatura a resistência também irá variar de modo que a temperatura não fique muito elevada A relação gera uma equação análoga à anterior R R0 R0 α T T0 Sendo T0 temperatura de referência 293 Kelvin ou 20 C R0 resistividade do material na temperatura de referência T0 α coeficiente de temperatura da resistividade tabelada para determinados materiais T temperatura que pode ser maior ou menor do que T0 R resistividade do material na temperatura T Em algumas situações um condutor é inserido em um circuito com a finalidade de introduzir uma resistência à corrente elétrica situação em que é chamado de re sistor Definese como resistor um componente que possui uma determinada capa cidade de resistência em suas extremidades que não depende da diferença de po tencial a ele aplicado Podem ser encontrados comercialmente em lojas de material elétrico possuem formato cilíndrico de tamanho pequeno dimensão de diâmetro e comprimento de alguns milímetros com fios que saem de suas extremidades Sua resistência é marcada por um código de cores conforme apresentado na Tabela 3 TABELA 3 RELAÇÃO DE CORES E VALOR DE RESISTÊNCIA DE UM RESISTOR Cor Valor do dígito Valor multiplicador Tolerância Preta 0 1 Marrom 1 Marrom 1 10 Vermelho 2 Vermelha 2 102 Dourado 5 Laranja 3 103 Prateado 10 Amarela 4 104 Nenhum 20 Verde 5 105 Azul 6 106 Violeta 7 107 Cinza 8 108 Branca 9 109 Fonte YOUNG FREEDMAN 2009 p 143 Adaptado ELETRICIDADE E MAGNETISMO 89 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 89 05122019 133832 Figura 4 Resistor com faixas de cores indicando sua capacidade Fonte Shutterstock Acesso em 25112019 Um resistor pode apresentar três ou quatro faixas de cores As faixas represen tam a capacidade em ohms desse resistor e a faixa mais espaçada representa sua tolerância A leitura deve ser feita da seguinte maneira as duas ou três primeiras faixas representam os dígitos e variam de 1 a 99 ou 1 a 999 a terceira ou quarta faixa representa o fator de multiplicação em potência de 10 a 109 Por fim a última faixa mais afastada das outras representa a tolerância que o resistor suporta A Figura 4 apresenta dois exemplos de como é feita essa leitura As cores verde e azul mostram os dígitos da capacidade 56 a faixa vermelha mostra o fator multiplicador 102 e a faixa dourada mais afastada mostra a tole rância de 5 Sendo assim a capacidade é 56 102 Ω e a tolerância é de 5 Exemplo 3 O fio de cobre de calibre 12 D 2053 mm conduz uma corrente i 2 A Para essa situação qual será o campo elétrico E no fio a diferença de potencial V entre dois pontos do fio a uma distância de 50 m um do outro e a resistência R de um segmen to do fio de comprimento L 50 m Resolução Devemos primeiro calcular a densidade de corrente pois ela possui relação com o campo elétrico J i π D2 4 2 A π 0002053 m2 4 604 105 Am2 i A Pela Tabela 1 sabemos que a resistividade do cobre é ρ 168 10 8 Ωm Logo o campo elétrico é calculado por E ρ J 168 108 Ω m 604 105 Am2 001 Vm A diferença de potencial é obtida pela equação V E L 001 50 05 V ELETRICIDADE E MAGNETISMO 90 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 90 05122019 133838 Por fi m a resistência no fi o será dada por R 0255 Ω V i 05 2 Ou 50 331 106 m2 025 Ω R ρ 168 10 8 Ωm L A O campo elétrico no fi o será de 001 Vm a diferença de potencial para 50 m de fi o será de 05 V e a resistência de 50 m de fi o de cobre será de 025 Ω Lei de ohm O resistor foi apresentado como um componente que tem capacidade de oferecer resistência à passagem da corrente elétrica não dependendo da dife rença de potencial aplicada Existem outros componentes que podem também oferecer uma resistência à passagem da corrente elétrica No entanto o valor dessa resistência pode variar com a diferença de potencial aplicada Um componente de teste mostrado na Figura 5 a é submetido a uma diferença de potencial aplicada em seus dois terminais sendo que a corrente elétrica gerada é medida de acordo com as diferentes variações A Figura 5 b mostra o gráfi co com os resultados obtidos para um determinado componen te podendo ser observada uma linha reta que passa pela origem e mostrando que a razão de iV é a mesma para qualquer valor de V Isso signifi ca que a resistência desse componente R V i não varia com o valor da diferença de potencial O gráfi co da Figura 5 c apresenta os resultados do mesmo teste realizado em outro componente Nesse gráfi co observase uma curva na qual a corrente se mantém igual a zero até um determinado valor de diferença de potencial A partir desse valor de aproximadamente 15 V uma corrente elétrica é gerada Entretanto observase também que na faixa em que a diferença de potencial gera uma corrente elétrica a razão entre ambos não é uniforme ocorrendo uma dependência da corrente pela diferença de potencial A partir desse teste podese concluir que existe uma dife rença importante entre componentes no que diz respeito à geração de corrente elétrica ELETRICIDADE E MAGNETISMO 91 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 91 05122019 133838 a b c V i i 2 2 4 0 2 2 0 4 Corrente mA Diferença de potencial V 4 2 0 2 Corrente mA Diferença de potencial V 2 4 2 0 4 Figura 5 a teste de aplicação de diferença de potencial a um componente b razão linear em diferença de potencial e corrente elétrica c razão não constante entre variação da diferença de potencial e corrente elétrica gerada Fonte HALLIDAY 2016 p 340 Adaptado ELETRICIDADE E MAGNETISMO 92 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 92 05122019 133838 Segundo a defi nição da lei de Ohm a corrente elétrica que atravessa um condutor varia linearmente com a diferença de potencial aplicada ao compo nente para qualquer valor da diferença Assim o componente que gerou os re sultados em b obedece à lei de Ohm enquanto que o componente que gerou os resultados em c não a obedece Para componentes que obedecem à lei de Ohm pode ser utilizada a relação R Vi Entretanto a resistência de um componente que não obedece à lei de Ohm também pode ser calculada por essa relação quando a diferença de po tencial e a corrente elétrica são medidas Portanto a defi nição da lei de Ohm pode ser considerada correta para todos os componentes de forma geral quan do se considera que em determinada faixa de variação do potencial pode ser gerada uma corrente elétrica com uma razão linear entre ambos Por esta razão a lei de Ohm é mais correta quando consideramos os ma teriais em vez de componentes Desse modo exploramos a relação do campo elétrico com a densidade elétrica E ρ J para resistividade do material e R Vi para resistência de um componente Força eletromotriz Em um sistema fechado conseguimos produzir uma corrente estacionária devido ao fornecimento constante de carga Em um sistema isolado ou aber to por sua vez não é possível obter corrente elétrica constante pois ao ser aplicado um campo elétrico em um ponto do sistema a força gerada nas car gas faz com que haja uma corrente elétrica que acumulará cargas positivas em uma extremidade e cargas negativas na outra A concentração dessas cargas nas extremidades do sistema forma um campo elétrico no sentido oposto ao campo elétrico inicial Após determinado tempo esses campos se anulam e consequentemente fazem cessar a corrente elétrica Entretanto em um circuito fechado quando o campo elétrico é formado a força elétrica gera um fl uxo de cargas de um terminal para outro Para haver corrente elétrica esse potencial elétrico nas extremidades deve ser diferente Isso é conseguido quando um dispositivo é colocado no sistema para manter a diferença de potencial e consequentemente uma corrente elétrica contínua é mantida ELETRICIDADE E MAGNETISMO 93 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 93 05122019 133839 Esse dispositivo é chamado de fonte de força eletromotriz FEM embora não seja uma força e sim uma grandeza com dimensão de energia por unidade de carga Para FEM a unidade no SI é o volt como o potencial e é representa do pela letra ε Por exemplo uma lanterna acende devido a uma pilha de FEM igual a 15 V Isso quer dizer que a pilha realiza um trabalho de 15 J sobre cada coulomb de carga que passa por ela Dessa forma para possuir uma corrente elétrica estacionária o circuito necessita de um dispositivo que forneça uma FEM tais como pilhas baterias geradores elétricos células solares termopares células de combustível etc Esses dispositivos convertem energia mecânica química térmica e outras em energia potencial elétrica que é transferida para o circuito no qual o dispositi vo está contido Um dispositivo que fornece uma FEM mantém uma diferença de potencial constante entre os condutores a ela conectados chamados de terminais da fonte Cada terminal deve possuir um potencial elétrico diferente sendo um maior do que o outro para que um campo elétrico seja formado em torno desses terminais e no interior do dis positivo Dentro do dispositivo esse campo elétrico faz com que as cargas sejam submetidas à força elétrica Além dessa força o dispositivo forne ce outra força adicional que arrasta as cargas no sentido contrário à força elétrica e que será responsável por manter a diferença de potencial entre os terminais denominada força não eletrostática Fn Sem essa força extra Fn do dispositivo o potencial de energia elétrica entre os terminais se iguala diminuindo a diferença de potencial a ponto de se tornar zero A geração dessa força adicional no dispositivo depende do tipo de fonte podendo ser gerada por forças magnéticas pela variação de concentrações eletrolíticas por reações químicas por correias que se movem entre outros A Figura 6 mostra de forma esquemática o funcionamento de um circuito conec tado a uma fonte de FEM ideal ELETRICIDADE E MAGNETISMO 94 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 94 05122019 133844 Fonte de FEM ideal Va Vb Vab ε Terminal a em potencial mais elevado Terminal b em potencial mais elevado Força não eletrostática tendendo a mover a carga para um potencial mais elevado Força em função do campo elétrico E E E E Fe q E Fn i i i Figura 6 Esquema de uma fonte de FEM Fonte YOUNG FREEDMAN 2009 p 147 Adaptado A Figura 6 mostra uma carga positiva na qual uma força elétrica Fe atua para que ela se mova do terminal positivo para o terminal negativo A força não ele trostática Fn gerada pelo dispositivo faz com que a carga se mova no sentido contrário do terminal negativo para o positivo e do terminal positivo para a ne gativo pelo conduto que liga os dois terminais A diferença de potencial entre as extremidades do fio é dada por Vab i R e a diferença de potencial da fonte de FEM é dada por ε Vab Em uma fonte de FEM real a diferença de potencial nos fios Vab não é exa tamente igual à diferença de potencial dentro da FEM ε devido à resistência interna da fonte r a qual a carga fica submetida Se essa resistência seguir a lei de Ohm ela deverá ser constante e independente da corrente i Ao passo que a corrente passa por essa resistência interna da fonte a FEM terá uma queda de potencial da ordem de i r como mostra a equação Vab ε i r Dessa forma a voltagem nos terminais diferença de potencial nos termi nais será menor do que a diferença de potencial dentro da fonte FEM devido à perda de energia potencial elétrica na resistência interna Assim a corrente elétrica é dada pela equação ELETRICIDADE E MAGNETISMO 95 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 95 05122019 133844 ε i r i R i ε R r Para entendermos o conceito de corrente elétrica resistência e força eletro motriz vamos ver muitos exemplos de circuitos Portanto é importante que sai bamos o significado dos símbolos que aparecem nessa representação A Figura 7 mostra o significado dos símbolos comumente utilizados em circuitos elétricos Condutor com resistência desprezível Resistor Fonte de FEM potencial positivo representa o potencial mais elevado Fonte de FEM com resistência interna r pode ser colocada de qualquer lado Voltímetro mede uma diferença de potencial entre seus terminais Amperímetro mede uma corrente elétrica que passa por ele ou ε ε ε V A Figura 7 Símbolos utilizados na representação de circuitos elétricos Fonte YOUNG FREEDMAN 2009 p 149 Adaptado Exemplo 4 A uma bateria cuja FEM é de 15 V é adicionado um resistor de 4 Ω para formar o circuito completo representado na Figura Qual deverá ser a leitura indicada pelo voltímetro e pelo amperímetro ELETRICIDADE E MAGNETISMO 96 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 96 05122019 133844 Vab Vab a a b b r 2Ω ε 15V R 4Ω i i A V Figura 8 Fonte de FEM em circuito fechado Fonte YOUNG FREEDMAN 2009 p 149 Adaptado Resolução A bateria possui uma força eletromotriz de ε 15 V e resistência interna de r 2 Ω enquanto o resistor no circuito possui resistência de 4 Ω Com essas informações conseguimos definir a corrente elétrica medida pelo amperímetro com a equação Obs Considerase que o amperímetro não causa nenhuma resistência à passagem da corrente 15 V 4Ω 2Ω 25 A i ε R r Nesse circuito é considerado que o condutor não oferece resistência à passa gem da corrente Assim não há diferença de potencial entre as seções a e a e nem entre b e b ou seja Vab Vab Assim a diferença de potencial é dada por Vab i R 25 A 4Ω 10 V O amperímetro indica uma corrente de 25 A e o voltímetro mede uma voltagem de 10 V Exemplo 5 Utilizando uma bateria de 15 V e resistência interna de 2 Ω ligada a um condutor de resistência igual a zero em um circuito fechado qual será a leitura de voltagem e corrente deste circuito Resolução Como não há resistência no condutor a diferença de potencial será zero Pela equação da diferença de potencial de uma FEM temos ELETRICIDADE E MAGNETISMO 97 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 97 05122019 133844 Vab ε i r 0 ε i r i ε r A corrente será igual a FEM dividida por sua resistência interna 75 A i 15 2 O amperímetro mede uma corrente de 75 A e o voltímetro mede uma diferença de potencial igual a zero O que pode ser observado com esses dois exemplos é que uma bateria não gera a mesma corrente em todas as situações Sendo assim o valor da corrente depende da resistência do circuito externo ao qual a bateria está ligada Um curtocircuito em um sistema ocorre quando a FEM dividida pela resistência interna é igual à corren te elétrica do sistema como no Exemplo 6 Uma bateria de carro ou a tomada de nossas casas possui resistência interna muito menor do que a da bateria apresen tada no exemplo Dessa forma em um curtocircuito a corrente gerada pode ser suficiente para causar a explosão da bateria ou do fio podendo ser muito perigoso Vimos que a geração da corrente elétrica é possível quando uma diferença de potencial é mantida por uma bateria ou outra fonte em um circuito fe chado Essa corrente corresponde à quantidade de carga dq que atravessa o circuito em um intervalo de tempo dt A carga sai por um terminal e ao chegar no outro terminal tem seu po tencial elétrico reduzido Consequentemente ocorre a redu ção da quantidade de energia potencial elétrica que pode ser calculada pela equação dU dq V i dt V Pela lei de conservação de energia a redução da energia potencial da carga é convertida em outra forma de energia durante o percurso de um terminal para ou tro A potência associada a essa conversão é a taxa de transferência de energia dU dt que pode ser escrita como P i V A V W watts Nesse caso da bateria essa taxa P representa a taxa na qual a energia da bateria é transferida para o componente que pode ser um motor uma bateria recarregável ou um resistor que transforma a energia em trabalho energia química armazenada ou energia térmica ELETRICIDADE E MAGNETISMO 98 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 98 05122019 133844 Em casos específicos como a conversão da energia de uma bateria em energia térmica de um resistor ela é dissipada e não pode ser revertida como ocorre com os outros tipos de conversão de energia Assim para esses casos temse as seguintes equações P i2 R e P V2 R em que R é a resistência do componente CURIOSIDADE Quando uma corrente elétrica passa por um resistor a energia recebida é convertida em energia térmica resultando no seu aquecimento Essa observação é conhecida como efeito Joule pois foi ele quem determinou de forma quantitativa o calor produzido por um resistor Esse efeito ocor re devido à colisão dos elétrons com átomos que compõem a estrutura cristalina do condutor gerando energia em forma de calor Desse modo a bateria é uma fonte com FEM igual a ε e a resistência interna r está ligada por condutores ideais sem resistência a um circuito externo qualquer a ba teria de um carro ligada ao farol do mesmo por exemplo como mostra a Figura 9 i i i i a a a a a b b b b b Circuito externo Fonte FEM com resistência interna Fonte FEM pequena Fonte FEM grande v v Fn Fn Fe Fe Figura 9 Representação esquemática de a transferência de energia de uma fonte FEM para um circuito externo e b absorção de energia por uma fonte FEM pequena de uma fonte FEM maior Fonte YOUNG FREEDMAN 2009 p 153 Adaptado ELETRICIDADE E MAGNETISMO 99 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 99 05122019 133844 A Figura 9a mostra uma corrente elétrica saindo de uma fonte FEM pela extre midade positiva a de potencial mais elevado do que b A energia está sendo trans ferida para um circuito externo cuja taxa de transferência dada por P Vab i No entanto como já uma fonte FEM com resistência interna tem seu potencial igual a Vab ε i r Dessa forma a taxa fi cará como mostra a equação a seguir P ε i r i ε i i2 r Outra situação possível ocorre quando se tem duas fontes FEM ligadas uma à outra Conforme mostra a Figura 9b em que ε será maior na fonte FEM gran de resultando em um sentido de corrente contrário ao da Figura 9a cuja carga sai do potencial negativo para o positivo Essa segunda aplicação pode repre sentar uma bateria de um carro sendo carregada por seu alternador Assim a equação da diferença de potencial da fonte FEM será Vab ε i r Consequentemente a taxa de transferência será P ε i i2 r Na primeira situação apresentada a energia não elétrica da FEM é converti da em energia elétrica Na segunda situação a energia elétrica é convertida em energia não elétrica Podese dizer então que no primeiro caso a energia é for necida pela FEM e no segundo a caso a energia é absorvida pela FEM pequena Semicondutores e supercondutores A evolução da microeletrônica foi possível devido ao desenvolvimento dos semicondutores Um semicondutor típico é o silício e quando comparado ao cobre condutor metálico típico possui um número muito menor de portado res de carga ou seja possui resistividade maior Além disso o coefi ciente de temperatura da resistividade do silício mostra que ela diminui com o aumento da temperatura Para o cobre no entanto a resistividade aumenta com o au mento da temperatura O silício puro apresenta resistividade a ponto de poder ser classifi cado como isolante não tendo portanto muita utilidade em sistemas eletrônicos Essa resistividade do silício pode ser reduzida por meio de um processo chama do dopagem no qual algumas impurezas são adicionadas de forma controlada ao silício puro ELETRICIDADE E MAGNETISMO 100 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 100 05122019 133844 A diferença de resistividade entre os materiais condutores metálicos semi condutores e isolantes pode ser explicada em termos de energia dos elétrons Em um fio de cobre condutor metálico praticamente todos os elétrons estão presos ao átomo da rede cristalina que forma o material Para que esses elé trons se soltem e façam parte do fluxo de carga líquida que forma a corrente elétrica é necessária uma energia muito grande A pequena parcela de elé trons que está ligada ao átomo pode ser libertada da rede cristalina por ener gia térmica ou energia de um campo elétrico aplicado ao condutor O campo elétrico como vimos não apenas liberta esses elétrons da rede cristalina como também gera uma força sobre eles fazendo com que se movi mentem ao longo do fio Desse modo podemos concluir que o campo elétrico produz uma corrente em materiais condutores Nos materiais isolantes os elétrons estão presos ao átomo e formam uma rede cristalina Entretanto para libertar esses elétrons a energia necessária é muito maior sendo a energia térmica e a energia de um campo elétrico insufi cientes Portanto não há elétrons livres e o material não pode conduzir corren te elétrica mesmo na presença de um campo elétrico Os semicondutores têm as mesmas características que o isolantes mas a energia necessária para remoção dos elétrons é menor Com a dopagem uma maior quantidade de elétrons se torna disponível para ser carregada fazendo com que o material conduza corrente elétrica facilmente A dopagem ocorre de forma controlada pela concentração da quantidade de portadores de carga Quase todos os transistores e diodos são produzidos pela dopagem de diferen tes regiões de um substrato de silício com diferentes tipos de impureza Os supercondutores são materiais nos quais a resistividade pode chegar a zero devido à variação da temperatura O físico holandês Kamerlingh Onnes foi quem descobriu em 1911 que o mercúrio tem sua resisti vidade reduzida a zero quando é resfriado a uma temperatura me nor do que 4 K 269 ºC Isso significa que as cargas podem circular em uma corrente elétrica sem per der energia Dessa forma corrente criada por uma energia inicial em anéis supercondutores pode ser mantida por anos mesmo após a fonte inicial ser removida ELETRICIDADE E MAGNETISMO 101 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 101 05122019 133844 Até 1986 a aplicação dos supercondutores estava limitada à geração de temperaturas tão baixas Entretanto no ano mencionado foram descobertos materiais cerâmicos que se comportam como supercondutores em temperatu ras maiores do que 269 ºC e abaixo da temperatura ambiente Seguindo o raciocínio do comportamento dos elétrons para explicar a condutividade nos supercondutores os elé trons responsáveis pela corrente se movem em pares Um dos elétrons distorce a rede cristalina formando uma concentração temporária de cargas positivas nessa região que atrai outro par de elétrons e forma uma reação em cadeia de distorção da rede cristalina ELETRICIDADE E MAGNETISMO 102 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 102 05122019 133844 Sintetizando Nessa Unidade definimos a corrente elétrica como o fluxo líquido de cargas que atravessa uma superfície devido à manutenção de uma diferença de po tencial que gera um campo elétrico fazendo com que a força elétrica oriente o movimento em um circuito fechado A corrente elétrica foi analisada pela corrente total gerada em um circuito e pela densidade da corrente em uma determinada seção de um conduto A densidade da corrente pode ser representada de forma semelhante às linhas de força do campo elétrico A corrente elétrica é conservada e dessa forma a densidade da corrente varia com a seção por onde passa juntamente com outro parâmetro deno minado velocidade de deriva que representa a velocidade com que as cargas fluem pelo condutor Em contrapartida ao movimento da corrente elétrica vimos que os mate riais oferecem uma resistência à passagem da corrente elétrica Um circuito composto por uma bateria e fios condutores apresenta resistência à corrente elétrica Um material específico por sua vez possui uma resistividade tabelada Essa resistividade pode ser variável com a temperatura para alguns materiais A lei de Ohm estabelece a relação entre a variação da diferença de potencial com a corrente elétrica de modo que a resistência é constante para materiais considerados ôhmicos Vimos também que essa relação pode ser relativa pois qualquer material pode apresentar constância mesmo que seja em um inter valo limitado de diferença de potencial Dessa forma é mais prático considerar a resistividade dos materiais em vez de considerar a resistência de um circuito Para que haja uma corrente elétrica estacionária é necessário que os dis positivos forneçam uma quantidade de energia às cargas transferidas ao longo do condutor de modo que o potencial elétrico entre os terminais seja sempre mantido em valores diferentes Esses dispositivos são conhecidos como fontes de força eletromotriz Por fim foi apresentada a interação dos elétrons nos materiais isolantes semicondutores e supercondutores a fim de esclarecer como a corrente elétri ca é produzida nesses diferentes materiais ELETRICIDADE E MAGNETISMO 103 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 103 05122019 133844 Referências bibliográficas HALLIDAY D RESNICK R WALKER J Fundamentos de Física Eletromagne tismo 10 ed Rio de Janeiro LTC 2016 v 3 TIPLER P A MOSCA G Física para cientistas e engenheiros 6 ed Rio de Janeiro LTC 2009 v 3 YOUNG H D FREEDMAN R A Física III Eletromagnetismo 12 ed São Pau lo Pearson Education do Brasil 2009 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 104 SERENGELELEMAGNEUNID3indd 104 05122019 133844 CIRCUITOS ELÉTRICOS MAGNETISMO E CAMPOS MAGNÉTICOS 4 UNIDADE SERENGELELEMAGNEUNID4indd 105 05122019 134505 Objetivos da unidade Tópicos de estudo Identificar os componentes de circuitos elétricos Identificar resistores conectados em série e paralelo Conseguir determinar a corrente elétrica diferença de potencial e resistores equivalentes de associações em série e paralelo Conseguir aplicar as leis de Kirchhoff Conhecer os equipamentos para medir grandezas elétricas Avaliar correntes elétricas que variam com o tempo em um circuito Apresentar o conceito de magnetismo Definir campo magnético Definir força magnética Calcular força e campo magnético Circuitos elétricos Circuito de resistores em série e paralelo Circuitos com mais de uma malha Amperímetro e voltímetro Circuitos RC Magnetismo e campos magné ticos Definição de campo magnético Definição de força magnética Lei de BiotSavart ELETRICIDADE E MAGNETISMO 106 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 106 05122019 134505 Circuitos elétricos Atualmente vemonos dependentes de aparelhos elétricos que fazem uso dos conceitos vistos nesta disciplina para seu funcionamento Entretanto esses conceitos não se restringem a aparelhos mas também a transmissão de dados e mensa gens pela internet como por exemplo arquivos digitais que lemos pelos nossos computadores e celulares além de muitas outras funcionalidades Já introduzimos o conceito de circuito elétrico simples para estudar a cor rente elétrica e nesta unidade veremos mais profundamente como esses cir cuitos funcionam além de avaliar exemplos mais complexos que incluem di versas fontes resistores capacitores transformadores entre outros Circuito de resistores em série e paralelo Os resistores existem em diversos tipos de circuitos que por sua vez pos suem muitos resistores associados das mais diferentes formas A Figura 1 apre senta alguns tipos de associações de resistores R1 R1 R1 R1 α α α α A C B D i i i i i i i i b b b b R2 R2 R2 R2 R3 R3 R3 R3 Figura 1 A representação de uma ligação de resistores em série B uma ligação de resistores em paralelo C resistor em série com uma combinação em paralelo D resistor em paralelo com uma combinação em série Fonte YOUG FREEDMAN 2009 p 169 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 107 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 107 05122019 134505 Os resistores são ditos em série quando estão ligados um em sequência ao outro com a corrente elétrica possuindo apenas um caminho a percor rer sendo a mesma em cada resistor A diferença de potencial entre os ter minais de cada resistor não será a mesma a não ser que a resistência seja a mesma Já a ligação em paralelo oferece um caminho alternativo para a corrente e a diferença de potencial será a mesma nos terminais que divi dem e unem esses resistores Em qualquer uma das associações podemos substituir o conjunto de resistores por um único resistor equivalente com uma corrente i e uma tensão V As resistências em série presentes em um circuito podem ser substituídas por uma equivalente que possui a mesma corrente das resistências individuais e diferença de potencial igual à somatória das diferenças de potencial de cada resistência Para obter a resistência equivalente aplicase a lei das malhas como mostra a equação a seguir ε iR1 iR2 iR3 0 ε iRequivalente 0 i i ε R1 R2 R3 ε Requivalente Igualando as duas equações acima temse Requivalente R1 R2 R3 A diferença de potencial ou tensão entre dois pontos em um circuito é ob tida de duas formas se atravessarmos o circuito pela fonte de energia ou pelo resistor Veja Atravessando pela fonte V ε ir V V V ε ir Atravessando pelo resistor V iR V V V iR Nas duas situações se substituirmos a corrente elétrica por i ε R r teremos V V R ε R r portanto o sentido escolhido para determinar a di ferença de potencial em uma malha é indiferente Resistores dispostos em paralelo cada resistor é ligado a outro pelas suas extremidades e consequentemente está sujeito à mesma diferen ça de potencial aplicada pela fonte Nessa associação em cada resistor passa uma corrente elétrica podendo ser substituída por uma resistência ELETRICIDADE E MAGNETISMO 108 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 108 05122019 134505 equivalente com uma diferença de potencial e uma corrente definida pela equação i i1 i2 i3 V 1 R1 1 Requivalente 1 R2 1 R3 V A relação 1 R1 1 Requivalente 1 R2 1 R3 também é válida A combinação dessas ligações de resistores em circuitos fechados é de finida como circuito de uma malha que é composto por vários componen tes elétricos como uma fonte de energia condutos resistores medidores de corrente e tensão Um circuito elétrico simples é composto por apenas uma malha como mostrado na Figura 2 que consiste em uma fonte de força eletromotriz FEM que fornece a energia necessária para que os portadores de carga cargas positivas ou negativas se movam de um terminal ao outro dentro da fonte gerando uma diferença de potencial capaz de manter uma corrente elétrica estacionária dentro de um circuito elétrico onde também há um resistor que irá dissipar consumir uma parte dessa energia a i i b i i i i i i R1 R3 R4 R2 Nó2 Nó1 R6 R5 Figura 2 a circuito elétrico simples com uma malha composto por uma fonte e um resistor b circuito elétrico com posto por três malhas uma fonte e seis resistores Fonte YOUNG FREEDMAN 2009 p 170 Para solucionar questões de circuitos mais complexos em que não é pos sível simplesmente substituir os resistores por um equivalente são usadas as leis de Kirchhoff dos nós e a lei das malhas Gustav Robert Kirchhoff foi o físico alemão que se baseou no princípio de conservação de carga e de energia para definir as leis que receberam seu nome ELETRICIDADE E MAGNETISMO 109 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 109 05122019 134506 A 1ª lei de Kirchhoff ou lei das malhas define que a somatória das dife renças de potencial no circuito fechado deve ser nula Ou seja ao percorrer um circuito fechado partindo do terminal negativo da fonte FEM a diferença de potencial será positiva ε ε ε ε Seguindo esse sentido chega remos ao terminal do resistor em que o potencial elétrico será maior que a outra extremidade do resistor dessa forma a diferença de potencial será negativa V V V V A resistência do fio é desprezível por isso se consi dera somente a variação de potencial elétrico na fonte e no resistor A 2ª lei de Kirchhoff ou lei dos nós leva em consideração que a corrente elétrica é conservada ou seja a somatória de toda corrente que entra no nó deve ser igual àquela sai Em outras palavras por essa lei podemos entender que nenhuma carga é acumulada no nó elétrico sendo o nó definido como um ponto do circuito elétrico em que três ou mais componentes elétricos se juntam Na Figura 2 por exemplo temos três possíveis malhas uma formada pelas fontes V R1 R2 e R6 a segunda formada somente pelos resistores R2 R3 R4 e R5 e a terceira que é formada pela fonte e pelos seis resistores R1 R2 R3 R4 R5 e R6 associados em série e em paralelo O nó um é o ponto de encontro dos resisto res R1 R2 e R3 e dele sai a mesma quantidade de corrente que entrou Exemplo 1 calcule a resistência equivalente do circuito indicado na Figura 3 e encontre a corrente que passa em cada resistor A fonte de FEM possui re sistência interna desprezível E 18 V r 0 a c b 4 Ω 6 Ω 3 Ω Figura 3 Circuito fechado alimentado por uma fonte FEM Fonte YOUG FREEDMAN 2009 p 171 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 110 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 110 05122019 134506 Resolução inicialmente calculase a resistência equivalente dos resis tores que se encontram em paralelo o de 3 Ω e 6 Ω da seguinte forma 1 Req 1 6 Ω 1 3 Ω 1 2 Ω sendo que o resistor equivalente possui resistência de 2 Ω e agora se encontra em série com o resistor de 4 Ω Assim faz se novamente a resistência equivalente porém em série com a seguinte equação Req 4 Ω 2 Ω 6 Ω assim os três resistores existentes no circuito equi valem a um resistor de resistência igual a 6 Ω Para determinar a corrente elétrica em cada resistor primeiramente deve ser obtida a corrente total do circuito pois temos a tensão gerada pela FEM e a resistência equivalente Desta forma a corrente é obtida por i Vfem Req 18 V 6 Ω 3 A Por definição a corrente elétrica que passa por resistores em série é a mesma enquanto que a corrente que pas sa em resistores em paralelo é diferente em cada um e definida pela lei dos nós Assim a corrente que passa pelo resistor de 2 Ω e de 4 Ω também é de 3 A A diferença de potencial que passa pelo resistor equivalente de 2 Ω é calculada por Vac i R 3 A 4 Ω 12 V Vcb i Req 3 A 2 Ω 6 V A diferença de potencial Vcb corresponde aos resistores que se encontram em paralelo Por definição eles possuem a mesma diferença de potencial e correntes elétricas diferentes portanto a corrente elétrica em cada resistência pode ser calculada da seguinte forma i Vcb R 6 V 6 Ω 1 A i Vcb R 6 V 3 Ω 2 A Pode ser observado que a lei dos nós é verdadeira pois no nó C entra uma corrente de 3 A que se divide em duas correntes uma de 1 A e outra de 2 A Outra observação a ser feita é que a corrente maior atravessa o resistor de resistência menor e viceversa ELETRICIDADE E MAGNETISMO 111 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 111 05122019 134506 Circuitos com mais de uma malha O circuito composto por mais de uma malha foi mostrado na Figura 1 sendo que cada malha é ligada a outra por nós A corrente do circuito ou a corrente em cada resistor será defi nida pela lei dos nós e pela lei das malhas A corrente que sai do resistor seis será igual à soma da corrente nos resistores dois e cin co assim como a corrente que chega no resistor 1 será a soma das correntes dos resistores dois e três Determinado o sentido da corrente consideramos a malha formada pela fonte R1 R2 e R6 e a outra malha que é formada somente pelos resistores R2 R3 R4 e R5 Na primeira malha a diferença de potencial será dada por ε i1R1 i2R2 i6R6 0 na segunda V i2R2 i3R3 i4R4 i5R5 0 Ao aplicarmos a lei em um circuito com n malhas são escolhidos n1 nós e malhas de forma arbitrária Da mesma forma escolhese arbitrariamente o sentido da corrente e o sentido em que a malha é percorrida O ponto de par tida no circuito também pode ser escolhido aleatoriamente devendo sempre levar em consideração todos os elementos no circuito ou malha Com isso con vencionouse a adoção de sinais para a aplicação das equações Ao iniciar a análise de uma malha escolhemos um sentido para percorrer o circuito que pode ser horário ou antihorário Quando o resistor é atravessa do no mesmo sentido que aquele escolhido para a corrente o sinal de iR será negativo se o resistor é atravessado no sentido oposto ao escolhido para a corrente o sinal de iR será positivo A convenção de sinal também foi adotada para a diferença de potencial da FEM quando a fonte é atravessada do termi nal negativo para o positivo a tensão será considerada positiva e se a tensão atravessar do terminal positivo para o negativo a tensão será considerada ne gativa Ao fi nal da análise se for obtida uma corrente com sinal negati vo signifi ca que o sentido correto é o contrário ao escolhido ini cialmente Exemplo 2 a Figura 4 mostra um circuito cujos elementos possuem os seguintes valores ε1 30 V ε2 60 V R1 20 Ω R2 40 Ω As três fontes são ideais Determine o valor absoluto e o sentido da corrente nos três ramos ELETRICIDADE E MAGNETISMO 112 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 112 05122019 134506 R1 R1 R1 R2 i3 a b R1 i1 i2 Ԑ2 Ԑ2 Ԑ1 i2 i1 Figura 4 Circuito fechado composto por três malhas Fonte HALLIDAY 2015 p 398 Resolução neste circuito não existem resistores em paralelo portanto não é possível simplificar o sistema fazendo a equivalência Nessa situação iremos aplicar de imediato as leis dos nós e das malhas O sentido da corrente mostrado na Figura 3 foi escolhido de forma arbitrá ria Aplicando a lei dos nós nos nós a e b temos a mesma equação i3 i1 i2 A regra das malhas é aplicada em duas das três malhas existentes no circui to Escolhendo incialmente a malha da esquerda e considerando o percurso no sentido horário do R1 para a seguindo para R2 b ε1 chegando novamente em R1 considerando que o percurso da malha está no mesmo sentido que a cor rente temse iR negativo em todos os resistores Na fonte de FEM 1 o percurso da malha passa do terminal negativo para o positivo portanto a tensão nessa fonte será positiva já na fonte de FEM 2 o percurso da malha é do terminal po sitivo para o negativo portanto a tensão será negativa Assim podemos fazer a seguinte relação i1R1 ε1 i1R1 i1 i2R2 ε2 0 Substituindo os valores dados no enunciado temos 2i12 3 i1 i2 4 6 0 4i1 3 4i1 4i2 0 8i1 4i2 30 V Aplicando a lei das malhas para a malha da direita e agora escolhendo o percur so no sentido antihorário e respeitando a convenção de sinais temos ELETRICIDADE E MAGNETISMO 113 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 113 05122019 134506 i2R1 i1 i2 R2 ε2 i1R1 ε2 0 Novamente substituindo os valores dados 2i22 i1 i2 4 3 3 0 4i2 4i1 4i2 0 8i2 4i1 0 Como temos duas equações e duas incógnitas isolamos uma incógnita em uma das equações e substituímos na outra Escolhendo a equação final da malha da di reita e isolando o termo i1 teremos 8i2 4i1 i1 2i2 Substituindo na equação da malha esquerda 8i1 4i2 30 V temos 82i2 4i2 30 V 16i2 4i2 30 V 12i2 30 V i2 025 A Voltando para determinar i1 i1 2 025 050 A O sinal negativo de i1 indica que o sentido escolhido inicialmente para a corrente está errado porém a correção deve ser feita somente no final A corrente i3 ainda precisa ser determinada i3 i1 i2 050 025 025 A Assim o sentido da corrente i3 também foi definida de forma equivocada Por isso invertemos o sentido da corrente no circuito como mostra a Figura 5 R1 R1 R1 ε2 ε2 ε1 R2 i2 i3 i1 b i1 i2 a R1 Figura 5 Circuito de três malhas com sentido da corrente ajustado após verificação Fonte HALLIDAY 2015 p 398 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 114 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 114 05122019 134506 Exemplo 3 a Figura 6 apresenta um circuito ponte e calcula a corrente que circunda em cada resistor além da resistência equivalente do circuito com os cinco resistores i1 1 Ω a 13 V C d i1 i2 b 1 Ω 1 Ω 1 Ω 2 Ω i3 i1 i3 i2 i3 i2 Figura 6 Circuito com vários resistores em série e paralelo Fonte YOUNG FREEDMAN 2009 p 177 Resolução novamente esse tipo de circuito não pode ser simplificado a uma resistência equivalente Dessa forma serão aplicadas as leis de Kirchhoff para obter as correntes em cada resistor Utilizando a lei dos nós entre a e b reduzimos a quantidade de incógnitas de cinco para três correntes i1 i2 e i3 sendo que a relação entre elas é mostrada na Figura 6 Definimos três malhas a primeira percorre no sentido horário da fonte passando pelo nó c a e d retornando para a fonte A malha dois percorre todo o circuito externo no sentido horário saindo da fonte passando pelo nó c b e d retornando para a fonte A malha três percorre na parte interna entre os nós c b e a Dessa forma teremos três equações para as três incógnitas de corrente Equação da malha 1 ε i1R i1 i3 R 0 13 i11 i1 i3 1 0 2i1 i3 13 Equação da malha 2 ε i2R i2 i3 R 0 13 i21 i2 i3 2 0 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 115 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 115 05122019 134506 3i2 2i3 13 Equação da malha 3 i1R i3R i2R 0 i1 i3 i2 0 Explicitando i2 da equação 3 temos i2 i1 i3 Substituindo i2 na equação 2 temos 3i2 2i3 13 3i1 i3 2i3 13 3i1 5i3 13 3i1 5i3 13 Explicitamos i3 na equação 1 2i1 13 i3 2i1 13 i3 Substituímos a equação 1 na equação 2 i1 78 13 6 A 13i1 13 65 3i1 10i1 65 13 3i1 5 2i1 13 13 Substituindo i1 na equação 2 i3 5 5 1A 5i3 13 18 3 6 A 5i3 13 Por fi m substituindo i1 e i3 na equação 3 temos i2 i1 i3 6A 1 A 5 A Observase que somente a corrente de i3 resultou em um valor negativo assim o sentido escolhido está errado devendo ser invertido de b para a A corrente total no circuito corresponde à soma de i1 e i2 sendo igual a 11 A A resistência equivalente é obtida da seguinte equação Req V itotal 13 11 12 Ω Amperímetro e voltímetro Utilizamos muito os termos corrente elétrica diferença de potencial e resistência mas como chegamos a esses valores Para a medida dessas grandezas são utilizados dispositivos chamados multímetros Em especí ELETRICIDADE E MAGNETISMO 116 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 116 05122019 134506 fico chamase amperímetro o dispositivo usado para medir a corrente e voltímetro o que é usado para medir a tensão ou diferença de potencial EXPLICANDO Os multímetros são aparelhos muito utilizados por profissionais de elétrica Eles medem corrente elétrica diferença de potencial e resistência elé trica fazendo uma simples troca da chave seletora podendo ser digitais ou analógicos O aparelho usado para medir a resistência é chamado de ohmímetro e consiste na aplicação de uma tensão na resistência que se deseja medir dessa forma uma corrente elétrica é forçada a passar e a resistência é medida Esses equipamentos consistem em dois terminais que são ligados ao circuito que se quer medir Para que não haja interfe rência desses aparelhos na leitura realizada no circuito o voltímetro deve ser ligado em paralelo com o resistor enquanto o amperímetro deve ser ligado em série O amperímetro mede a corrente elétrica que passa através dele devendo portanto ser instalado no mesmo fio condutor Podemos considerar um ampe rímetro ideal aquele que oferece a menor resistência possível à passagem da corrente O voltímetro mede a diferença de potencial entre dois pontos por tanto deve ter seus terminais instalados entre eles O voltímetro ideal é aquele que possui resistência maior que qualquer componente no circuito para não ser uma alternativa de caminho para a corrente elétrica Ambos amperímetro e voltímetro são mostrados na Figura 7 ε a R1 d c R2 b i i r A V Figura 7 Conexão de amperímetro e voltímetro em um circuito elétrico Fonte HALLIDAY 2015 p 400 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 117 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 117 05122019 134506 Exemplo 4 no circuito ilustrado na Figura 8 desejase medir a resistên cia desconhecida R e a potência dissipada pelo resistor situado no circuito O voltímetro marca uma tensão de 12 V e possui resistência de Rv 10000 Ω O amperímetro mede uma corrente de 01 A e possui resistência de RA 20 Ω R R A B Rv Rv Ra i i A A V V a a b b c c Figura 8 Circuito com dispositivos de medida de grandezas elétricas amperímetro e voltímetro Fonte YOUNG FREED MAN 2009 p 180 Resolução no circuito A da Figura 8 os terminais do voltímetro estão ligados aos pontos a e c este situado logo após o amperímetro Dessa forma a diferença de potencial obtida no voltímetro é referente às tensões entre os pontos ab mais a tensão entre bc Uma vez que temos a corrente e a resistência do amperímetro conseguimos determinar a voltagem pela lei de Ohm Vbc R i 2 01 02 V Vv Vab Vbc Vab 12 V 02 V 118 V Sabendo que a corrente medida pelo amperímetro se refere à corrente que passa pelo resistor e que a tensão no mesmo é de 118 V calculase a resistência R Vab i 118 V 01 A 118 Ω A potência dissipada é dada pela equação apresentada anteriormente P Vab i 118 V 01 A 118 W No circuito B da Figura 8 os terminais do voltímetro estão ligados ao ponto a e b este situado antes da passagem da corrente pelo amperíme tro Dessa forma a diferença de potencial obtida no voltímetro é referente somente à tensão entre os pontos ab Entretanto a corrente medida pelo ELETRICIDADE E MAGNETISMO 118 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 118 05122019 134507 amperímetro se refere à corrente medida após ter passado pela resistência do voltímetro e pelo resistor Assim calculase a corrente que passa pelo voltímetro para depois calcular a resistência do resistor com a corrente que passa por ele R Vab i 12 V 00988 A 1215 Ω Rv V iV V RV 12V 10000 Ω iV 00012 A itotal iR iV iR itotal iV 01 00012 00988 A A potência dissipada é dada pela equação P Vab iR 12V 00988 A 119 W Circuitos RC Até o momento foi considerado que a fonte de energia a corrente e a diferen ça de potencial eram mantidas constantes por isso são chamadas de corrente contínua cc Entretanto em muitos dispositivos não é o que ocorre semáforos piscapiscas de carro e outros dispositivos fazem uso de circuitos que possuem capacitores que se carregam e descarregam alternadamente Dáse o nome de circuito RC àqueles que possuem um capacitor em série com o resistor como mostra a Figura 9 a ε Chave aberta a b c c q 0 i 0 R b i a R c q q i Chave fechada c ε b Figura 9 Circuito RC simples composto por uma fonte de FEM ideal uma chave liga e desliga um resistor e um capaci tor Fonte YOUNG FREEDMAN 2009 p 182 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 119 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 119 05122019 134507 O capacitor A da Figura 9 está descarregado o circuito não está fechado e portanto não há corrente elétrica No instante t 0 a chave é fechada ca pacitor B iniciando a passagem da corrente o que permite que o capacitor seja carregado Em qualquer ponto do circuito a corrente elétrica se inicia no mesmo instante em que a chave é fechada e seu valor será o mesmo em todos os pontos A diferença de potencial quando o capacitor está descarregado é zero mes mo no instante t 0 a tensão no capacitor é nula Assim quando a chave é fe chada a tensão que passa pelo resistor é igual à tensão da FEM ideal presente no circuito Podese dizer então que a corrente elétrica i0 que passa pelo resis tor em t 0 é dada pela lei de Ohm i0 ε R A diferença de potencial de cada elemento do circuito é dada pelas equações Diferença de potencial no resistor Vab 0 i0R Diferença de potencial no capacitor Vbc 0 q0 C A relação entre as tensões seguindo a lei de Kirchhoff percorrendo a malha no sentido antihorário é ε iR q0 C 0 Conforme o capacitor começa a ser carregado sua carga q0 aumenta e con sequentemente a tensão nele aumenta Vbc 0 q0 C e no resistor diminui Quando a carga do capacitor atinge seu valor máximo qf a corrente di minui até cessar Nesse momento com a corrente elétrica nula temos qf qf ε C RC ε R As equações são deduzidas quando o capacitor está descarregado e quan do ele está totalmente carregado Nessas duas situações temos o capacitor sendo carregado com a corrente elétrica carga e a diferença de potencial va riando em função do tempo como mostra a equação i dq dt ELETRICIDADE E MAGNETISMO 120 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 120 05122019 134507 Substituindo essa equação naquela obtida pela lei de Kirchhoff temos iR q0 ε iR q0 C C ε R dq q0 dt C Explicitando q Cε dq 1 dt RC ou dq q Cε dt RC integrando as duas funções da seguinte forma q 0 dq q Cε t 0 dt RC Teremos In q Cε t Cε RC simplificando a função exponencial na base do número neperiano Temos q Cε etRC Cε Explicitando a carga q q Cε1 etRC qf1 etRC A corrente instantânea é dada pela derivada da equação anterior i ε etRC i0 etRC R O produto de RC se denomina constante de tempo ou tempo de relaxação τ que representa o tempo em segundos de carga ou descarga de um capaci tor Se τ é pequeno o capacitor consegue se carregar rapidamente se τ é maior o capacitor levará um pouco mais de tempo O processo de descarregar um capacitor se inicia quando a fonte de energia é removida do circuito RC e no lugar é colocada uma chave aberta Ao ligar a chave em t 0 a carga do capacitor é q0 e começa a se descarregar até que a carga do capacitor seja nula A corrente que atravessa o circuito quando não temos mais a fonte de FEM é dada por i q0 RC A corrente é negativa pois a carga positiva está diminuindo A carga em função do tempo também terá sua equação deduzida a partir da integral em função do tempo resultando em ELETRICIDADE E MAGNETISMO 121 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 121 05122019 134507 q q0 et RC E a corrente instantânea é a derivada desta equação resultando em i q0 etRC i0 etRC RC Magnetismo e campos magnéticos Os efeitos do magnetismo foram descobertos na antiguidade pelos gregos na cidade de Magnésia Foram observados fragmentos de minério que pos suíam a propriedade de atrair e repelir certos tipos de materiais Esses minérios são os ímãs permanentes que possuem forças utilizadas em uma infi nidade de aparelhos elétricos como motores elétricos forno microondas televisão im pressoras entre outros Um ímã permanente exerce uma força sobre outro ímã ou sobre um pedaço de ferro não imantado mas se permanecer em contato com um ímã natural pode se tornar imantado Inicialmente essas forças eram justifi cadas pelos chamados polos magnéticos que se distinguiam em polo norte N e polo sul S Um ímã em forma de barra possui em uma de suas extremidades um polo norte e na outra o polo sul sendo que extremidades de mesmo polo se repe lem e polos opostos se atraem Quando um ímã se aproxima de um objeto constituído por ferro não imantan do exerce uma força de atração por qualquer um dos polos isso é o que ocorre por exemplo entre um ímã e a porta de uma geladeira Essa interação pode ser comparada com as forças elétricas geradas pelo campo ao redor de uma carga carregada A agulha de uma bússola é orientada pelo campo magnético da Terra CURIOSIDADE A bússola foi criada pelos chineses em 850 dC para ser utilizada na orientação geográfi ca dos navegadores A agulha dela se alinha ao campo magnético do local onde se encontra Isso acontece porque a Terra pode ser considerada um grande ímã pois produz um campo magnético no seu interior O polo norte da Terra está próximo ao polo sul magnético isso acontece porque o eixo de simetria do campo magnético da Terra não é paralelo ao seu eixo de rotação Por esta razão a ponta da agulha de uma bússola aponta para o norte da Terra pois polos opostos se atraem Linhas de alta tensão interferem no funcionamento preciso da bússola ELETRICIDADE E MAGNETISMO 122 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 122 05122019 134507 Os polos magnéticos estão sempre associados em pares uma barra de ímã por exemplo ao ser dividida ao meio resultará em duas barras com um polo norte e um polo sul cada uma não uma barra formada somente por polo norte e outra metade somente por polo sul Hans Christian Oersted foi um dinamarquês que pela primeira vez em 1819 observou a interação entre campo magnético e a corrente elétrica ao analisar que a agulha de uma bússola se desviava ao se aproximar de um fi o por onde estava passando corrente elétrica A partir dessa descoberta outros cientistas passaram a investigar essa relação André Ampère França Michael Faraday Inglaterra e Joseph Henry Estados Unidos eles descobri ram outra relação na qual é possível gerar corrente elétrica ao se estabelecer um campo magnético nas vizinhanças de uma espira ou bobina Definição de campo magnético Sabemos que uma carga carregada produz um campo elétrico ao seu re dor gerando uma força elétrica que movimenta as cargas elétricas o que resulta na corrente elétrica Nas vizinhanças das cargas em movimento a corrente elétrica cria um campo magnético Esse campo magnético gera uma força magnética FB sobre qualquer outra corrente ou carga que se mova den tro deste campo O campo magnético é uma grandeza vetorial que será representada pela letra B ou melhor B por se tratar de um vetor A direção do vetor campo mag nético coincide com a direção da agulha de uma bússola e o sentido será o que aponta para o norte da agulha Seu módulo é dado pela equação B T Fb qv A unidade do campo magnético no Sistema Internacional SI é o Tesla T uma homenagem a Nikola Tesla que teve grandes contribuições na área do eletromagnetismo e representa a força aplicada a uma carga em movimento A magnitude de 1 T é muito elevada em relação à magnitude dos campos magné ticos encontrados usualmente O campo magnético da Terra por exemplo é de 5105 T já o de um pequeno ímã é de 0001 T Por esta razão convencionouse adotar uma medida relativa que é o Gauss G sendo que 104 G representa 1 T ELETRICIDADE E MAGNETISMO 123 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 123 05122019 134508 O campo magnético pode ser representado por linhas similares àquelas de força do campo elétrico A direção do campo será indicada pelas linhas e o mó dulo é indicado pela densidade delas naturalmente as linhas se agrupam em regiões onde o campo magnético é mais forte As linhas de campo magnético formam um ciclo fechado saindo do material e continuando no seu interior A direção vai do polo norte para o polo sul do ímã Porém diferentemente das linhas de força do campo elétrico as linhas do campo magnético são perpendi culares à força magnética sobre uma carga em movimento A Figura 10 mostra a representação das linhas de campo magnético em ímãs Campo magnético Barra magnética Ímã de ferradura Atração improvável dos polos Polos que se repelem Figura 10 Representação das linhas magnéticas Fonte Shutterstock Acesso em 25112019 Uma carga puntiforme que se move gera em torno de si um campo magné tico que segue a relação apresentada na equação B qv r μ0 r2 4π ELETRICIDADE E MAGNETISMO 124 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 124 05122019 134508 Sendo r o vetor unitário que indica para o ponto de campo P formado pela carga e µ0 é uma constante de proporcionalidade denominada constante mag nética ou permeabilidade do espaço livre Essa constante tem valor exato μ0 4π 107T mA Exemplo 5 uma partícula puntiforme com carga q 45 µC está se movendo com velocidade v 30 ms i ao longo da linha y 30 m no plano z 0 Determine o campo magnético na origem produzido por esta carga quando ela está no ponto x 40 m y 30 m Resolução para calcular o campo magnético é necessário calcular o vetor individual r r 402 302 05 m r 40 m i 30 m j 40 m i 30 m j 080 i 060 j 5 r r r Assim o campo magnético pode ser calculado pela equação B qv r μ0 μ0 r2 r2 4π 4π qvi r B 107T mA 45 106 C 30 ms 060 50 m2 32 1014 Tk B 4π 107 T mA 45 106 C 30 ms 060 vk 4π 50 m2 O campo magnético tem intensidade de 321014 T no eixo z sentido ne gativo Definição de força magnética A força FB poderia ser explicada de forma análoga à força elétrica se não fosse pelo fato de que os polos magnéticos não existem isolada mente como as cargas positivas e negativas Dessa forma a força magnética é gerada somente sobre uma partícula eletricamente carregada e em movimento A força FB é medida sobre cargas carregadas que passam com dife rentes velocidades v e direções em determinado ponto do ELETRICIDADE E MAGNETISMO 125 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 125 05122019 134508 campo magnético sendo proporcional a v sen θ em que θ é o ângulo entre a direção do campo magnético e a direção de v A equação a seguir repre senta a força magnética FB q v B Forma vetorial O módulo da força é obtido por FB qv sen θ B Pela equação apresentada para determinação da força magnética pode mos concluir que o módulo da força é proporcional ao módulo da carga em questão ao módulo do campo magnético e ao módulo da velocidade Além disso a força magnética será zero se a carga da partícula for nula se estiver em repouso ou se v e B se encontrarem em paralelo ou antiparalelo pois formarão um ângulo de 0º e 180º respectivamente Por outro lado a força magnética será máxima se v e B forem mutuamente perpendiculares A orientação da força magnética é obtida pela chamada regra da mão direita que consiste em colocar o polegar representando a direção da força magnética o indicador como a direção do campo magnético e o dedo médio como a direção da velocidade v B B B q B v v v F qv B Figura 11 Orientação da força magnética utilizando a regra da mão direita Fonte TIPLER 2009 p 192 Exemplo 6 a intensidade do campo magnético da Terra é medida em um ponto na superfície tem o valor de aproximadamente 06 Gauss e está inclina da para baixo no hemisfério norte fazendo um ângulo de aproximadamente 70º com a horizontal como mostra a Figura 12 Um próton está se movendo horizontalmente em direção ao norte com velocidade v 10 107 ms Calcule a força magnética no próton ELETRICIDADE E MAGNETISMO 126 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 126 05122019 134508 Em cima Embaixo z y N x E W F B B cos 70O j B sen 70O k v 107 ms j q S Figura 12 Orientação dos vetores de força magnética velocidade e campo elétrico Fonte TIPLER 2009 p 193 Resolução calculase a força magnética pela equação FB qv sen θ B FB 16 1019C1 107 mssen 7006 104 T FB 90 1017N A orientação vetorial de FB temse v vyj e B Byj Bzk FB q v B qvyj Byj Bzk FB qvyBy j j qvyBz j k qvyBzi FB qvBsenθ i FB 16 1019C107 ms06 104Tsen 70i FB 90 1017Ni A força magnética se encontra na direção do eixo x no sentido negativo a partir da origem de módulo 90 1017N Quando um fio que conduz corrente elétrica se encontra numa região em que existe um campo magnético é gerada sobre o fio uma força corresponden ELETRICIDADE E MAGNETISMO 127 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 127 05122019 134508 te à soma das forças magnéticas sobre cada um dos portadores de carga no fio A força magnética nessa situação será a soma da força magnética em cada carga em que v a velocidade deriva dos portadores de carga Assim a equação resulta na seguinte FB q vd B nAL Dessa forma a corrente no fio é dada por i n q vd A Portanto a força magnética em um fio condutor é obtida por FB i L B sendo que L é o vetor que possui mesma a direção e sentido da corrente e o módulo é o comprimento do segmento retilíneo de um fio Essa equação pode ser generalizada para um fio não retilíneo mas de for mato arbitrário Para isso é necessário considerar no lugar de L um segmento de fio curto cujo comprimento seja dl assim a força obtida será dF i dl B sendo B o campo magnético no segmento definido Exemplo 7 um segmento de fio de 30 mm de comprimento conduz uma corrente de 30 A na direção x Este segmento está em um campo magnético de magnitude 0020 T que está no plano xy e faz um ângulo de 30º com a dire ção x Qual é a força magnética exercida no segmento de fio Resolução a força magnética por definição encontrase simultaneamente perpendicular ao campo e à corrente Dessa forma podemos deduzir pela re gra da mão direita que a força está na direção do eixo z e o sentido deverá ser determinado pela equação FB i L B FB 30 A 0003 m 0020T sen 30k FB 90 105 Nk A força magnética está no sentido positivo do eixo z Vimos que a força magnética sobre uma partícula carregada que se move por um cam po magnético será perpendicular à velocida de dessa partícula A força magnética pode variar a direção da velocidade entretanto não irá mudar o módulo ou seja a força magné tica não realiza trabalho sobre as partículas ELETRICIDADE E MAGNETISMO 128 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 128 05122019 134515 Em situações em que a direção da velocidade de uma partícula se en contra perpendicular a um campo magnético uniforme a força magnética gera uma força centrípeta sobre a carga fazendo com que a mesma rea lize movimentos circulares Utilizando a segunda lei de Newton podemos relacionar o raio do círculo formado ao campo magnético e à velocidade da partícula Como a velocidade e o campo magnético são perpendiculares sen 901 a força magnética é obtida por F q v B Com a segunda lei de Newton F m a igualando as duas equações temse que q v B m a q v B m v2 r mv qB r Sendo m a massa da partícula O período do movimento circular corresponde ao tempo necessário para a partícula completar uma volta pela circunferência O período está relacionado à velocidade por 2π r v T Substituindo r pela equação desenvolvida anteriormente temos 2π mv 2π mv v qB qB T Essa equação representa o período da órbita circular da partícula que é chamado período de cíclotron A partir do inverso dessa equação é obtida a frequência do cíclotron como é mostrado a seguir f 1 T qB 2πm Pode ser observado que em ambas as equações o período e a frequência do cí clotron dependem da relação qm não da velocidade e do raio da circunferência Esse movimento circular das partículas tem importante aplicação para o espectrô metro de massas e o cíclotron ELETRICIDADE E MAGNETISMO 129 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 129 05122019 134515 ASSISTA O cíclotron é um acelerador de partículas criado em 1934 pelos físicos ame ricanos Lawrence e Livingston que consegue alcançar valores altíssimos de energia cinética Essas partículas aceleradas têm a função de bombardear núcleos atômicos a fi m de compreender intimamente a composição da maté ria além de serem usados para a produção de material radioativo de aplica ções médicas Com o desenvolvimento e tecnologia o cíclotron foi aprimorado para o síncrotron no qual um feixe de partículas é acelerado por um caminho fechado O Brasil possui um dos mais modernos laboratórios de síncrotron do mundo o Sirius que se encontra na cidade de Campinas Assista ao vídeo Sirius maior e mais complexo laboratório brasileiro e conheça Lei de BiotSavart A lei de BiotSavart faz uma relação entre a intensidade do campo magnético com a distância de determinado ponto do campo com a fonte geradora que no caso é a carga que se movimenta Análoga à lei de Cou lomb para campo elétrico de uma carga puntiforme a lei de BiotSavart estabelece a seguinte relação entre um elemento de corrente dl e o campo que ele gera dB μ0 4π i dl i R2 Sendo que r é a direção do elemento de corrente que é perpendicular ao campo magnético e à velocidade v O campo magnético devido à corrente total no circuito pode ser calculado pela integração dos campos gerados por cada elemento de corrente obtido pela lei de BioSavart Esse cálculo pode se tornar complexo dependendo da geometria do circuito Veremos algumas mais usuais Em um anel de corrente de raio R um elemento gera um campo magnético no centro do anel na direção do eixo e de módulo dB μ0 4π i dl sen θ R2 Considere θ o ângulo formado entre r e o elemento de corrente que é de 90º O campo magnético total de um anel de corrente será obtido pela integra ção da equação anterior B μ0 4π i R2 dl ELETRICIDADE E MAGNETISMO 130 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 130 05122019 134516 Considerando que a integral de dl ao longo do anel equivale ao comprimen to total da circunferência do anel ou seja 2πR a equação fica mais simples μ0 2 i R B μ0 4π i R2 2πR Muitas vezes o interesse maior é determinar o campo elétrico em um ponto mais distante que o centro do anel de corrente Dessa forma a equação mais adequada seria dB μ0 4π μ0 4π i dl r R2 i dl z2 R2 Sendo z a distância a partir do centro do anel em que o campo está sen do medido As somas das componentes de dB em x e y se anulam portanto o campo magnético de um elemento de corrente é calculado sobre a com ponente em z μ0 4π μ0 4π i dl R z2R232 i dl z2 R2 dBz dB sen θ R z2 R2 μ0 4π i R z2R232 Bz dl μ0 4π μ0 4π i R z2 R232 Bz 2πR i R2 2π z2R232 Em situações que em z é muito maior que o raio do anel de corrente pode mos simplificar a equação para μ0 4π i R2 2π z3 Bz Exemplo 8 uma bobina circular de 12 voltas e raio igual a 50 cm está no plano z e centrada na origem Ela conduz uma corrente de 40 A e o momento magnético da bobina está na direção z Deseja determinar o campo magnético nas distâncias z 0 z 15 cm e z 30 m Resolução o campo magnético em uma bobina de N voltas equivale ao campo magnético de uma volta multiplicado pela quantidade de voltas Para z 0 12 μ0 4π 4π107T mA 603 104T 2 Bz N 40 A 005 m ELETRICIDADE E MAGNETISMO 131 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 131 05122019 134516 Para z 150 cm o ponto a ser medido está localizado no eixo z Bz 191 105T Bz N 12 μ0 4π i R2 2π z2R232 4π 107T mA 40 A 005 m2 2π 2 0152 005232 Para z 30 m o ponto a ser medido está localizado no eixo z Bz 279 109T Bz N 12 μ0 4π i R2 2π z2R232 4π 107T mA 40 A 005 m2 2π 32 005232 4π Comparando com o resultado obtido pela equação Bz μ0 4π i R2 2π z3 Bz 279 109T Bz 12 4π 4π 107T mA 40 A 005 m2 2π 30m3 Chegamos ao mesmo resultado pelas duas equações pois a distância z é muito maior que o raio da bobina Exemplo 9 foi informado no exemplo anterior que a corrente na bobina é de 40 A Considerando uma velocidade de deriva de 14104 ms determine a quantidade de carga que se move pelo fio Resolução a quantidade de carga em movimento resulta da multiplicação da corrente pelo tempo que o portador de carga leva para percorrer um fio de comprimento L e velocidade vd Sendo L a circunferência da bobina vezes o número de voltas L N 2πR 12 2π 005 377 m t 26928 s L vd 377 m 14 104 ms Assim Q i t 40 A 26928 s 107712 C 108 105C ELETRICIDADE E MAGNETISMO 132 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 132 05122019 134516 Sintetizando Nesta unidade foram vinculados os conceitos apresentados para a disciplina como um todo Tendo o conhecimento base da composição da matéria e interação entre cargas carregadas chegamos ao conceito de cor rente elétrica e os dispositivos presentes no funcionamento de inúmeros equipamentos eletrônicos Um simples equipamento eletrônico pode possuir dos mais complexos circuitos com dezenas de resistores fontes e medidores de corrente e ten são dispostos das mais variadas formas As leis de Kirchhoff são muito uti lizadas para definir de forma prática os elementos que compõe o circuito como a corrente as resistências dos resistores e as fontes de energia Para definir os elementos de uma malha devemos escolher o senti do de passagem da corrente elétrica e o sentido pelo qual a malha será percorrida para considerar tais elementos em uma equação Ambos são escolhidos de forma aleatória Para montar a equação devemos adotar uma convenção de sinais para obter resultados corretos Ao percorrer a malha no sentido escolhido a tensão da fonte de energia será positiva se o terminal negativo estiver antes do terminal positivo a tensão será nega tiva se o terminal positivo estiver antes do terminal negativo Com relação ao produto iR este será negativo se a corrente e o sentido da malha forem iguais e positivo se forem contrários Equipamentos de medidas também fazem parte de um circuito elétrico sendo de extrema importância considerar sua localização em relação ao que se está sendo medido para se obter a medida real que se deseja Fo ram introduzidos nos circuitos em diferentes posições o amperímetro e o voltímetro demonstrando os cálculos para cada situação Apresentamos um circuito especial em que se encontra um capacitor além dos resistores são os chamados circuitos RC resistor capacitor Nesses circuitos a corrente elétrica não é contínua pois os capacitores descarregam e carregam na ausência e presença de uma fonte de energia Dessa forma enquanto o capacitor se carrega ou descarrega a corrente irá variar por todo o circuito e consequentemente a tensão no capacitor e na fonte também varia ELETRICIDADE E MAGNETISMO 133 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 133 05122019 134516 Esta unidade finaliza com uma ideia geral sobre magnetismo e algu mas de suas propriedades Muitas relações podem ser feitas entre campo magnético e campo elétrico assim como entre força magnética e força elétrica Entretanto algumas diferenças devem ser destacadas O campo magnético é formado por cargas elétricas em movimento gerando forças magnéticas que se encontram perpendiculares ao campo e à velocidade da corrente Vimos como determinar o campo magnético e a força magnética em diferentes situações sobre cargas puntiformes linhas de corrente e anel de corrente ELETRICIDADE E MAGNETISMO 134 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 134 05122019 134516 Referências bibliográficas HALLIDAY D RESNICK R WALKER J Fundamentos de física eletromagne tismo 10 ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 2016 v 3 SIRIUS o maior e mais complexo laboratório brasileiro Postado por Pesqui sa Fapesp 13 min 34 s Disponível em httpswwwyoutubecomwatch vlbxOSSUkgv0 Acesso em 25 nov 2019 TIPLER P A MOSCA G Física para cientistas e engenheiros 6 ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 2009 v 3 YOUNG H D FREEDMAN R A Física III eletromagnetismo 12 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2009 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 135 SERENGELELEMAGNEUNID4indd 135 05122019 134516