Transferência de Massa: Fundamentos e Modelagem de Processos

Edição de agosto de 2005 Universidade Federal da Bahia Samuel Luporini Transferência de Massa OBJETIVOS 1 Conhecimento básico das leis de transferência de massa indispensável a uma formulação correta dos problemas correntes de engenharia química 2 Desenvolvimento da capacidade para modelar matematicamente simular e avaliar processos de transferência de massa com ênfase em equipamentos de contato direto TRANSFERÊNCIA DE MASSA 1 Fundamentos da transferência de massa 11 Transferência de massa molecular 12 O coeficiente de difusão 13 Transferência de massa convectiva 2 Equações diferenciais de transferência de massa 21 A equação diferencial de transferência de massa 22 Formas especiais da equação de transferência de massa 23 Condições de contorno 24 Modelagem de processos envolvendo difusão molecular 3 Difusão molecular no estado estacionário 31 Transferência de massa independente de reação química 32 Sistemas associados com reação química 33 Sistemas de duas e três dimensões 34 Transferências simultâneas de momento calor e massa 4 Difusão molecular no estado transiente 41 Difusão transiente e a segunda lei de Fick 42 Difusão transiente em meio semiinfinito 43 Difusão transiente em um meio finito sob condições de resistência de superfície desprezível 44 Cartas de concentração tempo para formas geométricas simples 5 Transferência de massa convectiva 51 Considerações fundamentais em transferência de massa convectiva 52 Parâmetros significantes em transferência de massa convectiva 53 Analise dimensional 54 Análise exata da camada limite de concentração laminar 55 Análise aproximada da camada limite de concentração 56 Analogias entre transferência de massa calor e momento 57 Modelos para coeficientes de transferência de massa convectiva 6 Transferência de massa convectiva entre fases 61 Equilíbrio 62 Teoria das duas resistências 7 Correlações para transferência de massa convectiva 71 Transferência de massa para placas esferas e cilindros 72 Transferência de massa envolvendo escoamento através de tubos 73 Transferência de massa em colunas de parede molhada 74 Transferência de massa em leitos fixo e fluidizado 75 Transferência de massa gáslíquido em tanques agitados 76 Coeficientes de capacidade para torres de recheio 77 Modelagem para processos de transferência de massa envolvendo convecção 8 Equipamentos de transferência de massa 81 Tipos de equipamentos de transferência de massa 82 Operações de transferência de massa gáslíquido em tanques de mistura perfeita 83 Balanços de massa para torres de contatos contínuos 84 Balanço de entalpia para torres de contatos contínuos 85 Coeficientes de capacidade para transferência de massa 86 Analises de equipamentos de contatos contínuos Bibliografia WELTY JR WICKS CE WILSON RE RORRER G Fundamentals of Momentum Heat and Mass Transfer 4th Edition John Wiley Sons Inc 2001 WELTY JR WICKS CE WILSON RE Fundamentals of Momentum Heat and Mass Transfer 3th Edition John Wiley Sons Inc 1984 BIRD RB STEWART WE LIGTHFOOT EN Fenômenos de Transporte 2a edição LTC EDITORA 2004 CREMASCO MA Fundamentos de Transferência de Massa 2ª Edição revista Editora UNICAMP 2002 GEANKOPLIS CJ Mass Transfer Phenomena Holt Rineart and Winston Inc 1972 MILLS AF Mass Transfer Prentice Hall 2001 CUTLIP MB SHACHAM M Problem Solving in Chemical Engineering with Numerical Methods Prentice Hall PTR Chapter 7 Mass Transfer 1999 Fundamentos de Transferência de Massa 11 Samuel LuporiniDEQUFBA 1 FUNDAMENTOS DA TRANSFERÊNCIA DE MASSA o Quando um sistema dois ou mais componentes na qual as concentrações variam de ponto a ponto há uma tendência natural da massa ser transferida minimizando as diferenças de concentração entre os sistemas o O transporte de um constituinte de uma região de alta concentração para aquela de menor concentração é chamado de transferência de massa o Exemplos o A remoção de poluente a partir de uma corrente de descarga por absorção Stripping de gases por lavagem de água o Difusão de nêutron em um reator nuclear o A difusão de substâncias adsorventes dentro de poros de carbono ativado o A taxa de catalise química e reações biológicas o A transferência de massa pode ocorrer pelo movimento molecular ao acaso em fluidos estagnados ou podem ser transferidos a partir de uma superfície para um liquido em movimento adicionado pelas características dinâmicas do escoamento o Dois modos distintos de transporte molecular convectivo simultâneos 11 TRANSFERÊNCIA DE MASSA MOLECULAR 1815 Panot observou quantitativamente que uma mistura de gases contendo duas ou mais espécies moleculares na qual as concentrações relativas variam de um ponto ao outro um processo natural resulta em diminuir a desigualdade da composição chamando de difusão molecular O fluxo líquido de cada espécie molecular ocorre na direção de um gradiente de concentração negativo Teoria cinética dos gases A transferência de massa ou difusão ocorre somente em misturas Fundamentos de Transferência de Massa 12 Samuel LuporiniDEQUFBA CONCENTRAÇÕES concentração mássica total ou densidade concentração mássica da espécie A volume da mistura massa de A A ρ ρ 11 1 13 w 12 mássica w Fração n i 1 i A n i 1 i A A ρ ρ ρ ρ n número de espécie da mistura A concentração molar da espécie A cA é o número de moles de A presentes por unidade de volume da mistura 1 mol de A massa equivalente ao seu peso molecular M c A A A ρ 14 MA peso molecular de A Pela lei dos gases ideais pAV nART logo RT p V n c A A A 15 Onde PA pressão parcial da espécie A na mistura nA número de moles da espécie A V volume do gás Moléculas de espécie A Moléculas de espécie A Fundamentos de Transferência de Massa 13 Samuel LuporiniDEQUFBA T temperatura absoluta R constante dos gases A concentração molar total c é o mole total da mistura por unidade de volume RT P V n c c n 1 i total i 16 P pressão total Fração molar de líquidos e sólidos xA cAc Gases yA cAc 17 Para uma mistura que obedece a lei dos gases ideais 1 19 y 1 e x 18 Lei de Dalton P p RT P RT p c c y n i 1 i n i 1 i A A A A Tabela 241 Concentrações em uma mistura binária com A e B Welty Exemplo 1 A composição do ar é muitas vezes dada em termos das duas espécies principais na mistura de gases 079 y N 021 y O 2 2 N 2 O 2 Determinar a fração mássica de O2 e N2 e o peso molecular médio do ar a 25o C e 1atm Velocidades Num sistema multicomponentes as varias espécies n moverá normalmente a diferentes velocidades A velocidade de mistura será a media das velocidades da cada espécie presente Fundamentos de Transferência de Massa 14 Samuel LuporiniDEQUFBA V velocidad e de difusão de i relativa a velocidad e molar média v v velocidad e de difusão de i relativa a velocidad e mássica média v 111 velocidade média molar c v c V velocidade absoluta de i para um eixo estacionário v 110 velocidade média mássica v v v i i n i 1 i i i n i 1 i i n i 1 i n i 1 i i ρ ρ ρ ρ r r r r r r r r r r De acordo com a lei de Fick um componente pode ter uma velocidade relativa para a velocidade média molar ou mássica somente se existir gradientes de concentração Exemplo 2 Sabendo que as velocidades absolutas das espécies químicas presentes na mistura gasosa são 11 cms 19 cms v 13 cms v 10 cms v v z N H Oz Oz COz 2 2 Determinar a velocidade média molar da mistura b velocidade média mássica da mistura c velocidade de difusão de O2 na mistura relativa a velocidade média molar da mistura d velocidade de difusão de O2 na mistura relativa a velocidade média mássica da mistura Fluxos É um vetor quantitativo atribuído a quantidade da espécie particular em unidade mássica ou molar que passa em um incremento de tempo através de uma área normal ao vetor Podem ser definidos com referência a coordenadas fixas no espaço coordenadas que movem com a velocidade média mássica ou molar O fluxo molar na direção z Fundamentos de Transferência de Massa 15 Samuel LuporiniDEQUFBA d z dc D J A AB A z 1ª Lei de Fick 112 DAB difusividade mássica ou coeficiente de difusão do componente A difundindo em B dcAdz gradiente de concentração na direção z z d d y cD J A AB A z 113 O fluxo mássico na direção z z d d w D j A AB A z ρ 114 z d d D j A AB z A ρ 115 Para um sistema binário com uma velocidade média constante na direção z o fluxo molar relativo a velocidade média molar é V c J z A z A A z ϑ 116 Igualando 113 com 116 temos B z B A z A A z A B z B A z A z z A A AB A z A A AB z A z A z A c c y V ou c c c c 1 V sendo V c dz dy cD c Portanto dz dy cD V c J ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ Fundamentos de Transferência de Massa 16 Samuel LuporiniDEQUFBA que temos c e N c N fluxos dos componente s A e B relativo ao eixo estacionário são Os c c y dz dy cD c Logo B B B A A A B z B A z A A A AB A z A ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ r r r r da solução global do movimento resultante fluxo difusiva da contribuição resultante fluxo eixo z ao c referência de A fluxo N N y dz dy cD N B z A z A A AB z A mesma forma temos Da coeficient e de difusão de A na mistura D N 118 y y cD N uma mistura multicomponente para 117 N N y y cD N M A n i 1 i A A AM A B A A A AB A r r r r r Bz Az A A AB Az Bz Az A A AB Az n n w dz dw D n para liquidos N N x dz dx cD N ρ Fundamentos de Transferência de Massa 17 Samuel LuporiniDEQUFBA Exemplo 3 Sabendo que a mistura gasosa tem as velocidades relativas 11 cms 19 cms 13 cms 10 cms z N H O z z O CO z 2 2 2 ϑ ϑ ϑ ϑ Determine para a temperatura de 105º C e 1 atm a Fluxo difusivo molar de O2 na mistura b Contribuição do fluxo convectivo de O2 na mistura c Fluxo molar total com referência ao eixo estacionário 2 COEFICIENTE DE DIFUSÃO Lei de Fick a constante de proporcionalidade é conhecida como coeficiente de difusão f PT w D t L 1 L L M 1 t L M dz dc J D AB 2 3 2 A A z AB Idêntico as dimensões fundamentais de outras propriedades de transporte Viscosidade cinemática ν Difusividade térmica α kρcp Difusividade mássica de gases mistura gasosa de baixa densidade teoria cinética dos gases Aumenta a mobilidade da molécula Gases 5 x 106 a 105 m2s líquidos 1010 a 109 m2s sólidos 1014 a 1010 m2s DAB diminui Fundamentos de Transferência de Massa 18 Samuel LuporiniDEQUFBA Figura 12 Movimento molecular para a superfície de um volume de controle Transferência de massa caminho livre médio d N 2 1 velocidad e molecular ao acaso m 8kT C 3 C 1 D y 3 C 1 j 2 AA A y A π λ π λ λ ρ k constante de Boltzmann N concentração molecular m massa de uma molécula 4 NC Z 1 d diâmetro da molécula esférica Z freqüência em que as moléculas alcançam a área x z 0 estacionário 0 dv t n dA CV CS ρ ρ ϑ r r Fluxo para frente fluxo para trás y x x y ρA ρAy Fundamentos de Transferência de Massa 19 Samuel LuporiniDEQUFBA Ex A e seu isótopo A Coeficient e de difusão de uma mistura de moléculas similares m T k d P 3 2 D P cRT NkT um gás ideal Para m kT d N 3 2 D Logo 1 2 3 3 2 3 2 AA 2 1 2 3 2 AA π π A equação de ChapmanEnkosg D 2 AB 2 1 B A 3 2 3 AB P M 1 M 1 T 858 x 10 1 D Ω σ onde DAB cm2s MA e MB pesos moleculares P pressão absoluta atm σAB diâmetro de colisão parâmetro de LeonardJones Å ΩD integral de colisão É válida para um par de gases apolares e moléculas não reagentes ε Ω AB kT f TABELA K1 WELTY onde k constane de Boltzmann 138 x 1016 ergK εA energia de interação molecular ergs Os parâmetros de LeonardJones σ e εAB TABELA K2 WELTY Na ausência de dados experimentais Fundamentos de Transferência de Massa 110 Samuel LuporiniDEQUFBA b A c A 3 1 c c 1 3 c 1 3 b 1 15T k 077T k P 44 T 2 841V 0 18V 1 ε ε σ σ σ Vb volume molar para o ponto normal de ebulição cm3gmol TABELA 244 WELTY Vc volume molar crítico cm3gmol Tc temperatura crítica K Tb temperatura de ebulição normal K Pc pressão crítica em atm Para pares de moléculas apolares temse B A AB B A AB 2 ε ε ε σ σ σ Para moléculas polarpolar e polarapolar são discutidas por Bird e Cremasco Predição de DAB variando com a P e T 2 1 1 1 2 2 T D DT 2 3 1 2 2 1 ABT P P ABT T T P P D D Ω Ω Apêndice J1 de Welty Exemplo 4 Avaliar o coeficiente de difusão para o CO2 no ar a 20ºC e 1 atm Comparar com os dados experimentais Fundamentos de Transferência de Massa 111 Samuel LuporiniDEQUFBA Quando os parâmetros de LennardJones não são disponíveis podese utilizar a equação de Fuller 2 1 3 B 1 3 A 2 1 B A 1 75 3 AB P M 1 M 1 T 10 D ϑ ϑ ϑ TABELA 243 WELTY Exercicio 5 2412 itens a b e Determinar os valores da difusividade dos seguintes gases a CO2ar 310 K e 15 x 105 Pa b Etanolar 325 K e 20 x 105 Pa e SO2ar 300 K e 15 x 105 Pa Exemplo 6 Reavaliar o coeficiente de difusão do dióxido de carbono em ar a 20º C e 1 atm utilizando a equação de Fuller Schettler e Giddings e comparar o novo valor com o obtido no exemplo 4 Para compostos polares temse a equação de Hirschfelder com a integral de colisão avaliada por ponto normal de ebulição K T gmol volume molar do líquido no ponto de ebulição cm V momento dipolo debyes T V 94x10 1 onde T 169 0 b 3 b p b b p 3 1 2 B A AB 2 AB Do D µ µ δ δ δ δ δ Ω Ω Fundamentos de Transferência de Massa 112 Samuel LuporiniDEQUFBA exp HT G exp FT E exp DT C T A T 1 3 1 18 1 k k k k kT T B Do b 2 1 2 B A AB AB Ω δ ε ε ε ε ε A 106036 E 103587 B 015610 F 152996 C 019300 G 176474 D 047635 H 389411 3 1 2 b 1 2 B A AB AB 1 3 1 585V 1 de colisão diâmetro δ σ σ σ σ σ Mistura de gases WILKE y y y y y y molar livre de 1 Fração D y D y D y 1 D n 4 3 2 2 2 n1 n 3 1 3 2 1 2 mistura 1 L L Fundamentos de Transferência de Massa 113 Samuel LuporiniDEQUFBA Exemplo 7 Determinar a difusividade do monóxido de carbono através de uma mistura de gases na qual a fração molar de cada componente são 010 070 y 02 y y CO N O 2 2 O gás esta a 298 K e 2 atm de pressão total Exemplo 8 2414 WELTY Determinar a difusividade do dióxido de carbono em uma mistura de gases com as seguinte Composição O2 7 CO 10 CO2 15 e N2 68 T 273 K e P 15 x 105 Pa DIFUSIVIDADE MÁSSICA EM LÍQUIDOS Equação de StokeEinsteim da teoria hidrodinâmica B AB 6 kT D πµ Solução diluída de não eletrólitos É uma equação pouco precisa Em geral f V kT D AB Função do volume molar Equação de WilkeChang para não eletrólitos 06 A 1 2 B B 8 AB B V M 4x10 7 T D φ µ Onde µB viscosidade da solução de não eletrólitos cP VA volume molar no ponto normal de ebulição TABELAS 244 E 245 WELTY φB parâmetro de associação para o solvente B complemento da TABELA 245 WELTY Deduções de compostos com anel complemento da TABELA 245 WELTY Exemplo 9 Estimar o coeficiente de difusão em liquido do etanol C2H5OH em solução diluída de água a 10oC O volume molecular do etanol pode ser avaliado usando valores da tabela 245 Hayduk e Laudie propuseram a equação 0589 A 1 14 B 5 AB V 1326x10 D µ Com resultados semelhantes a equação WilkeChang Fundamentos de Transferência de Massa 114 Samuel LuporiniDEQUFBA O coeficiente de difusão de um sal univalente em soluções diluídas pode ser calculado utilizando a equação de Nernst de Faraday 96500 Coulumbsg equivalente constante 110 CREMASCO Tabela cm equivalente g cm condutânci a iônica a concentração zero Amp volt 8 316 J Kgmol R 1 1 2RT D 3 3 o o 2 o o AB ℑ λ λ ℑ λ λ Substituindo 2 por 1n 1n onde n e n são as valências do cátion e anion Para temperaturas diferentes de 25oC estes parâmetros podem ser estimados a partir da seguinte correlação 3 2 C iT 25 C iT 25 cT 25 bT 25 aT o o λ λ Tabela 111 CREMASCO Exemplo 10 Estimar o coeficiente de difusão em solução diluída do cloreto de potássio a 30o C Comparar com o valor experimental de 2233 x 105 cm2s Fundamentos de Transferência de Massa 115 Samuel LuporiniDEQUFBA DIFUSÃO EM SÓLIDOS CRISTALINOS Fundamentos de Transferência de Massa 116 Samuel LuporiniDEQUFBA Arranjos nas estruturas cristalina cúbica CCC CFC Movimento do soluto ocupar vazios falhas na estrutura cristalina ou nos interstícios entre os átomos da matriz cristalina A energia de vibração do átomo deve ser alta o suficiente para vencer a barreira energética Q determinada pela energia de ativação Exercício 11 Estime a difusividade do carbono em Fe CCC e em Fe CFC a 1000º C Analise os resultados Q difusão z Energia Q RT o AB D e D Q energia de ativação difusional calmol R 1987 calmol K Do coeficiente de difusão sem que houvesse a necessidade de salto energético Q e Do TABELA 113 CREMASCO Fundamentos de Transferência de Massa 117 Samuel LuporiniDEQUFBA DIFUSÃO EM SÓLIDOS POROSOS a Difusão de Fick ou ordinária b Difusão de Knudsen c Difusão configuracional Difusão ordinária Poros maiores que o livre caminho médio das moléculas difundentes dz dC D J A ef A z 1ª Lei de Fick Def coeficiente efetivo aparece em razão da natureza tortuosa do sólido poroso Fundamentos de Transferência de Massa 118 Samuel LuporiniDEQUFBA τ ε p AB ef D D εp porosidade τ tortuosidade TABELA 114 CREMASCO τ 40 εp 05 Na ausência de dados tabelados Difusão de Knudsen Poros estreitos da ordem de tamanho do livre caminho médio do difundente ocorre colisões com as paredes dos poros p k d 3 1 D Ω dp diâmetro médio dos poros cm Ω velocidade média molecular cms cm S V 2 S 2 r s cm M T 97x10 r D p B p p 2 2 1 A p 3 k ρ ε Fundamentos de Transferência de Massa 119 Samuel LuporiniDEQUFBA Onde εp porosidade do sólido S área da matriz porosa ρB massa especifica aparente do sólido Vp volume especifico do poro da partícula sólida Quando a tortuosidade do poro é considerada efetuar a correção τ ε p K Kef D D Devido a estrutura do sólido poroso um soluto gasoso ao se difundir pode deparar com vários tamanhos de poros ocorrendo a difusão ordinária e a de Knudsen logo 3 2 1 3 2 1 Knudsen Kef Lei de Fick 1 segue a ordinária ef efetivo Aef D 1 D 1 D 1 a Exemplo 112 Determine o coeficiente efetivo de difusão do dióxido de carbono em partícula catalítica esférica de alumina a 30º C Difusão configuracional Ocorre em matrizes porosas zeólitas Macro e microporos Arranjo tipo colméia peneira molecular A difusão ocorre devido a saltos energéticos do solutos pelos microporos RT Q exp D D o A zeo TABELA 116 CREMASCO Fundamentos de Transferência de Massa 120 Samuel LuporiniDEQUFBA Difusão em membranas Osmose inversa Ultrafiltração Diálise Perevaporação Perpetração Podem ser de materiais cerâmicos inorgânicos ou materiais poliméricos orgânicos A difusão do soluto em polímeros ocorre por um processo de estado ativado via saltos energéticos ocupando vazios na estrutura polimérica RT Q exp D D o a me TABELA 117 CREMASCO Fundamentos de Transferência de Massa 121 Samuel LuporiniDEQUFBA Exemplo 113 Estime a difusividade do CO2 a 30º C para as seguintes situações a difusão em um membrana de borracha butilica b difusão em uma membrana de polibutadieno c difusão em uma membrana de polidimetil butadieno Fundamentos de Transferência de Massa 122 Samuel LuporiniDEQUFBA TRANSFERÊNCIA DE MASSA CONVECTIVA o Envolve um fluido em movimento e uma superfície ou entre dois fluidos em movimento relativamente imiscíveis o Depende das propriedades de transporte e das características dinâmicas do fluido em escoamento o Quando bombas ou outros equipamentos similares externos causam o movimento no fluido convecção forçada o Movimento do fluido causado pela diferença de densidade a qual é conseqüência da diferença de concentração ou temperatura convecção natural A c A c k N Equação da taxa de transferência de massa convectiva generalizada de uma maneira análoga a lei de resfriamento de Newton NA Transferência de massa molar cA diferença entre a concentração da superfície e a concentração média da corrente de fluido da espécie A se difundindo kc coeficiente de transferência de massa convectivo o Transferência de massa molecular a transferência de massa convectiva ocorre na direção do decréscimo de concentração o kc inclui as características de escoamento laminar e turbulento o kc é uma função da geometria propriedades do fluido e escoamento cA o Similaridades entre kc e h técnicas desenvolvidas para avaliar h pode ser reaplicadas para kc Equações diferenciais em transferência de massa 21 Samuel LuporiniDEQUFBA CAPITULO 2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EM TRANSFERÊNCIA DE MASSA O balanço material para uma dada espécie química A através de um volume de controle apropriado é de controle massa no volume de de acúmulo Taxa de controle massa no volume de de produção Taxa de controle sai no volume que de massa Taxa controle no volume de entra de massa que Taxa 21 A transferência de massa através da área yz para x será A A A x A x A ou n y z ρ ϑ ϑ ρ r O fluxo líquido entradasaída do constituinte A será z Az z z z A y Ay y y y A x Ax x x x A x y n x y n a direção z n e x z n x z n a direção y n y z n y z a direção x n n A taxa de acúmulo de A no volume de controle será y y x y z x z Equações diferenciais em transferência de massa 22 Samuel LuporiniDEQUFBA x y z t A ρ Se A é produzido no interior do volume de controle por uma reação química a uma taxa rA massa de A produzidavolumetempo a taxa de produção de A é rA x y z Substituindo cada termo na equação 21 temos 0 r t z n n y n n x n n cancelando os termos e z pelo volume x y Dividindo 0 x y z r x y z t x y n x y n x z n x z n y z n y z n A A Az z z Az z Ay y y Ay y Ax x x x x A A A z z A z z Az y Ay y y Ay x Ax x x x A ρ ρ 0 23 r t n equação da continuidade para o componente A A 0 22 r t z n y n x n o limite com x y e z tendendo a zero temos Avaliando A A A A A A z Ay x A ρ ρ r Uma equação da continuidade similar pode ser desenvolvida para o componente B 0 r t n B B B ρ r 24 Adicionando os dois componentes nós obtemos Operador divergente Equações diferenciais em transferência de massa 23 Samuel LuporiniDEQUFBA 0 r r t n n B A B A B A ρ ρ r r Para uma mistura binária vale ρϑ ρ ϑ ϑ ρ r r r r r n n B B A A B A ρ ρ ρ B A r r B A Logo 0 t ρϑ ρ r 25 Da definição de derivada substantiva ϑ r t Dt D Figura 32 Cremasco Logo 0 Dt D ρ ρϑ r em termos de fração molar Equações diferenciais em transferência de massa 24 Samuel LuporiniDEQUFBA 0 r J Dt Dw A A A ρ r 0 r J w t w A A A A ρϑ ρ r r Em termos de unidades molares 0 R t c N A A A r Componente A 0 R t c N B B B r Componente B e a mistura 0 R R t c c N N B A c A B A A r r ϑ ϑ ϑ r r r r r c c c N N B B A A B A c c c B A Não se pode tomar RA RB 0 salvo para cada mol de A produzido desaparece o mesmo tanto de B ou viceversa A B em geral 0 R R t c c B A ϑ r B A R R c c t c ϑ ϑ r r Equações diferenciais em transferência de massa 25 Samuel LuporiniDEQUFBA FORMAS ESPECIAIS DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA Temos a equação para o componente A A A A R t c N r Como B A A A AB A N N y y cD N r r r e seus equivalentes ϑ r r A A AB A c y cD N e B A A A AB A n n w w D n r r r ρ e seu equivalente ρ ϑ ρ r r A A AB A w D n nós obtemos 0 r t w D A A A A AB ρ ϑ ρ ρ r 26 0 R t c c y cD A A A A AB ϑ r 27 SIMPLIFICAÇÕES a Se a densidade da mistura ρ e o coeficiente de difusão DAB são assumidos constantes a equação 26 tornase 0 r t D A A A equação da continuidade 0 A A 2 AB ρ ϑρ ϑ ρ ρ r r Equações diferenciais em transferência de massa 26 Samuel LuporiniDEQUFBA Dividindo cada termo pelo peso molecular geração difusiva contribuição acúmulo convectiva ão contribuiç R c D t c c A A 2 AB A A ϑ r 28 b RA 0 sem reação química ρ e DAB constantes A 2 AB A A c D t c c ϑ r ou A 2 AB A c D Dt Dc c ϑ 0 r RA 0 sem reação química ρ e DAB constantes A 2 AB A c D t c 2ª Lei de Fick da difusão Líquidos estagnados Sólidos d As equações dos itens a b e c podem ser simplificadas se o processo esta em estado estacionário isto é 0 t c A Se 0 c A 2 temos a equação de Laplace Laplaciano 2 coordenadas retangulares cilíndricas e esféricas 2ª Lei de Fick 2 A 2 2 A 2 2 A 2 AB A z c y c x c D t c Coordenadas retangulares Equações diferenciais em transferência de massa 27 Samuel LuporiniDEQUFBA θ 2 A 2 2 A 2 2 A 2 A 2 AB A z c c r 1 r c r 1 r c D t c Coordenadas cilíndricas φ θ θ θ θ θ 2 A 2 2 A 2 A 2 2 AB A c sen r 1 c sen sen r 1 r c r r r 1 D t c Coordenadas esféricas A equação diferencial geral para transferência de massa do componente A ou a equação da continuidade de A são descritas nas 3 coordenadas como A A z A y A x A R z N y N x N t c A A z A A r A R z N N r 1 r r N r 1 t c θ θ A A A A r 2 2 A R N rsen 1 sen N rsen 1 r r N r 1 t c φ θ θ θ θ φ θ CONDIÇÕES DE CONTORNO E INICIAL MAIS COMUM As condições de contorno e inicial utilizadas são muito similares à aquelas de transferência de calor Condições iniciais Para t 0 cA cA0 unidades molares Para t 0 ρA ρA0 unidades mássicas As condições de contorno geralmente encontradas são a A concentração na superfície pode ser especificada cA cA1 frações molares yA yA1 gases Equações diferenciais em transferência de massa 28 Samuel LuporiniDEQUFBA xA xA1 líquidos e sólidos ρA ρA1 concentração mássica wA wA1 fração mássica Quando o sistema é um gás podese utilizar a pressão parcial pela lei Dalton pA pA1 yA1P Para casos específicos de difusão de um líquido dentro de uma fase gasosa podese utilizar a equação da lei de Rault pA1 xAPA onde xA fração molar da fase líquida PA pressão de vapor de A na transferência ao líquido b O fluxo mássico para a superfície pode ser especificado como por exemplo jA jA1 ou NA NA1 O fluxo na superfície pode ser 0 z A AB A z dz dw D j ρ Em superfícies impenetráveis jAz 0 c A taxa de reação química pode ser especificada A1 1 A1 k c N reação de 1ª ordem sendo k1 a constante da taxa Equações diferenciais em transferência de massa 29 Samuel LuporiniDEQUFBA d Quando o fluido esta escoando sobre uma fase a espécie pode ser perdida a partir da fase de interesse por transferência de massa convectiva A A1 c A1 c c k N cA concentração de A na corrente de fluido cA1 concentração de A no fluido adjacente a superfície kc coeficiente de transferência de massa convectivo EXEMPLO 21 Num cilindro de combustível nuclear com material fissionável a taxa de produção de nêutrons é proporcional a concentração de nêutrons Use a equação diferencial de transferência de massa para escrever a equação diferencial que descreve o processo de transferência de massa Liste suas condições de contorno EXEMPLO 22 Numa câmara de combustão o oxigênio difunde através de um filme de ar para a superfície de carbono onde ele reage de acordo com a seguinte equação 2 2 CO 2CO 2O 3C a Escreva a equação diferencial especifica para este processo em estado estacionário para o componente O2 b Escreva a lei de Fick para o componente oxigênio z 0 O2 CO CO2 z δ Difusão em regime permanente 31 Samuel LuporiniDEQUFBA CAPÍTULO 3 DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE Temos a equação diferencial de transferência de massa 0 R t c N A A A r RA taxa de produção química do componente A dentro da fase através da qual a massa esta sendo transferida t c A acumulo de A dentro da fase NA taxa líquida de fluxo mássico do componente A t c A 0 no estado estacionário ou seja a concentração de A não varia com o tempo TRANSFERÊNCIA DE MASSA UNIDIMENCIONAL INDEPENDENTE DE REAÇÃO QUÍMICA Num sistema binário o componente z deste fluxo é expresso por B z A z A A AB A z N N y dz dy cD N 31 DIFUSÃO ATRAVÉS DE UM FILME GASOSO INERTE E ESTAGNADO Encontrar o fluxo molar da difusão através de um filme gasoso inerte e estagnado Hipóteses T e P constantes B é quimicamente inerte a A Solubilidade de B em A é desprezível Difusao em regime permanente 32 Gas B escoando Z Zp t Nazlesaz Az t Nal SY ZZ Liquido puro A Figura 31 Célula de difusao de Arnold cD Solucio Nq Pas Yai7ya2 B1 ZyZ YBIn po n P PA co Para um gas ideal ce yy substituindo em 31 temos V RT P Ny PD ap pai Par 32 RTz z Pain As equagoes 31 e 32 correspondente a difusio em estado estaciondrio de um gas através de um segundo gas estagnado Um difunde e 0 outro nao absorcao e umidificacao A equagao 32 tem sido usada para descrever 0 coeficiente de transferéncia de massa convectivo pela teoria do filme Corrente de gas principal z P z0 Na Filme de gés movendo lentamente a Liquido A Escoamento ar OS de gas B Coen Figura 32 Modelo do filme para a transferéncia de massa do componente A movendo para a corrente gasosa Samuel LuporiniDEQUFBA Difusão em regime permanente 33 Samuel LuporiniDEQUFBA Neste caso z2 z1 δ logo a equação 32 fica ln B A 2 A1 AB A z p p p RT PD N δ Pela definição de convecção temos A 2 A1 c A z c c k N ou A 2 A1 c A z RT k N ρ ρ Por comparação o coeficiente de transferência de massa convectivo é δ ln B AB c p P D k Modelo do filme sugere que AB c D k Outros modelos capítulo 28 Welty onde n 05 1 a D k n AB c Determine o perfil de concentração para a difusão através de um filme gasoso inerte estagnado e também sua concentração media Solução 1 2 1 z z z z 1 B 2 B 1 B B y y y y Perfil de concentração Bln b1 2 B B1 B2 B y y ln y y y y Concentração média Difusão em regime permanente 34 Samuel LuporiniDEQUFBA Exercício 31 Através de uma abertura acidental de uma válvula água foi espalhada no chão de uma planta industrial em uma área remota de difícil acesso Estimar o tempo necessário para evaporar a água nas vizinhanças que esta estagnada A camada de água é de 004 que pode ser assumida constante a temperatura de 75º F O ar esta a 75º F e 1 atm com uma umidade absoluta de 0002 lb de águalb ar seco A evaporação é assumida constante e ocorre por difusão molecular através do filme de gás de espessura 020 in Resposta 273 hrs 32 DIFUSÃO PSEUDOESTACIONÁRIA NUM FILME GASOSO ESTAGNADO Um dos contornos move com o tempo Após um intervalo de tempo longo notase a variação no nível do líquido a partir do topo do capilar Figura 33 Célula de difusão de Arnold com liquido se movendo na superfície Sobre um intervalo de tempo considerável somente uma pequena fração de difusão t1 t0 longo tempo O fluxo molar na fase gasosa estagnada é z z onde z y y y z cD N 1 2 ln B A 2 A1 AB A z 321 z z z1 para t0 zto z z1 para t1 zt Líquido puro A NAzz NAzzz Gás B escoando Difusão em regime permanente 35 Samuel LuporiniDEQUFBA O fluxo molar NAz esta relacionado com a quantidade de A deixando o liquido por densidade molar de A na fase líquida dt onde M dz M N A L A A AL A z ρ ρ 322 Em condições pseudoestacionária igualamse 321 e 322 ln B A 2 A1 AB A AL y y y z cD dt dz M ρ 323 Integrando ρ t 0 t z z A 2 A1 AB A Bln AL t 0 zdz y y cD M y dt Rearranjando temos ρ 2 z z t y y c M y D 2 t 2 t A 2 1 A A Bln AL AB 0 324 A equação 324 é utilizada para determinação do coeficiente de difusão do gás a partir dos dados experimentais da célula de Arnold Exemplo 32 E M Larson usando uma célula de Arnold mediu a difusividade do clorofórmio no ar a 25º C e 1 atm de pressão A densidade do clorofórmio líquido a 25º C é 1485 gcm3 e sua pressão de vapor a 25º C é 200 mmHg No tempo tempo t 0 a superfície do liquido de clorofórmio era 740 cm a partir do topo do tubo e após 10 hrs a superfície do líquido caiu de 044 cm Se a concentração do clorofórmio é zero no topo do tubo qual seria o coeficiente de difusão do gás clorofórmio no ar Resposta 93 x 106 m2s Difusão em regime permanente 36 Samuel LuporiniDEQUFBA 33 CONTRADIFUSÃO EQUIMOLAR Destilação de 2 constituintes quando os calores latentes de vaporização são iguais Fluxos iguais em direções opostas B z A z N N N A 0 Considerando somente a direção z 0 dz N d A z Lei de Fick 444 3 4 44 2 1 4243 1 bulk B z A z A difusão A AB A z N N y dz dc D N Como B z A z N N logo dz dc D N A AB A z 331 Condições de contorno Para z z1 temos cA cA1 Para z z2 temos cA cA2 Integrando a equação 331 com as cc temos A 2 A1 1 2 AB A z c c z z D N 332 Pela lei dos gases ideais ee 0 sem reação 0 0 R t c N A A A r Difusão em regime permanente 37 Samuel LuporiniDEQUFBA RT p V n c A A A substituindo fica A 2 A1 1 2 AB A z p p z RT z D N 333 As equações 332 e 333 são comumente referidas como equações da contradifusão equimolar no estado estacionário Obter o perfil de concentração para contradifusão equimolar no estado estacionário Resposta 2 1 1 A 2 1 A A1 A z z z z c c c c Por comparação δ δ AB o A 2 A1 o A 2 A1 AB z A D k Logo c c k c c D N para a contradifusão equimolar Exemplo 33 Calcule o fluxo molar da amônia gasosa sabendose que ela se difunde num capilar de 10 cm de comprimento com 2 reservatórios contendo nitrogênio O sistema esta a 25º C e 1 atm A pressão parcial da amônia em um dos reservatórios é 90 mmHg e no outro 10 mmHg Resposta 107 x 107 gmolscm2 NAz pA2 90 mmHg pA1 10 mmHg z A amônia B Nitrogênio Difusão em regime permanente 38 Samuel LuporiniDEQUFBA 34 SISTEMAS ASSOCIADOS COM REAÇÕES QUÍMICAS Quando ocorre uniformemente através de uma fase reação homogênea Acontece em todos os pontos do elemento de volume Aparece diretamente na equação da continuidade do soluto Toma lugar numa região restrita no contorno da fase reação heterogênea 0 R t c N da espécie A homogênea de aparecimento taxa A A A r 341 Numa reação heterogênea a taxa de aparecimento de A não aparece na equação diferencial desde que a reação não ocorra dentro do volume de controle ao invés disto ela entra na analise como uma condição de contorno A 0 s z A z A k c N R δ A reação heterogênea as vezes aparece na equação da continuidade de A sistemas pseudo homogêneo 341 DIFUSÃO SIMULTÂNEA E HETEROGÊNEA REAÇÃO QUÍMICA DE 1ª ORDEM DIFUSÃO COM VARIAÇÃO DE ÁREA Quando a taxa de reação é instantânea em relação a taxa de difusão processo com difusão controlada Quando a taxa de reação para o componente transferido nos limites da superfície limita a taxa de transferência de massa processo com reação controlada Difusão em regime permanente 39 Samuel LuporiniDEQUFBA Exemplo Partícula de carvão pulverizada dentro de uma câmara de combustão em leito fluidizado difusão controlada Moles de oxigênio transferido pelo tempo Figura Difusão através de um filme esférico CO g g 2CO g 25O 3C s 2 2 Equação geral de transferência de massa em coordenadas esféricas A unidirecional em r difusão 0 A A A r 2 2 estacionário estado 0 A R N rsen 1 sen N rsen 1 r r N r 1 t c φ θ θ θ θ φ θ 4444444 3 4 444444 2 1 3 2 1 RA 0 se A O2 nenhuma reação homogênea ocorre ao longo do caminho da difusão R r O 2 r r O 2 r O 2 r O 2 2 2 2 2 R N cte ou r N r N 0 r r N quadro C R r r NCO2r NO2r NCOr Ar nas vizinhanças Difusão em regime permanente 310 Samuel LuporiniDEQUFBA Equação da Lei de Fick para o O2 fica dr dy 02y 1 cD N 2 2 2 2 O O mis O z O Condições de contorno r R yO2 0 reação instantânea r yO2 021 Solução 1 042 1 ln 2 0 cD R 1 N r mis O z O 2 2 2 Como O r 2 2 O 2 2 r N 4 Moles de O transferido pelo tempo W π 1 042 ln 2 0 cD 4 R W mis O O 2 2 π A esfera de carvão oxida com o tempo diminuição da esfera pseudoestacionário Tempo para esfera de carbono encolher de um raio inicial para um final Balanço material para o carbono dt dR 4 R M dt dV M onde dt dV M w 0 C C C 2 C C C C C C C acumulado sai entra π ρ ρ ρ quadro 1 042 ln cD 12 R R M t mis O 2 f 2 i C C 2 ρ Difusão em regime permanente 311 Samuel LuporiniDEQUFBA PRODUÇÃO DE DIOXIDO DE CARBONO SOMENTE g CO g O C s 2 2 quadro Equação da Lei de Fick para o O2 fica dr dy cD N 2 2 2 O mis O r O Condições de contorno r R Reação de 1a ordem não instantânea k c N O s s r R O 2 2 r yO2 yO2 Solução O s O mis O r O 2 2 2 2 2 y y cD R 1 r N Como O r 2 2 O 2 2 r N 4 Moles de O transferido pelo tempo W π O s O mis O O 2 2 2 2 y y 4 RcD W π C R r r NCO2r NO2r Ar nas vizinhanças Difusão em regime permanente 312 Samuel LuporiniDEQUFBA quadro c k N c c y s O R O s O s 2 2 2 logo R k D 1 y 4 RcD W s mis O O mis O O 2 2 2 2 π Se mis O s D 2 k π 2 2 2 O mis O O y 4 RcD W EXEMPLO 3 Um reator de leito fluidizado de carvão tem sido proposto para uma nova planta Se operar a 1145 K o processo será limitado pela difusão de oxigênio em contracorrente com dióxido de carbono formado na superfície da partícula Assumir que o carvão é carbono puro sólido com densidade de 128 x 103 kgm3 e que a partícula é esférica com diâmetro inicial de 15 x 104 m Ar 21 O2 e 79 N2 existe a vários diâmetros da esfera Sob as condições de combustão a difusividade do O2 na mistura é 13 x 104 m2s a 1145 K Se o processo esta em estado estacionário calcular o tempo necessário para reduzir o diâmetro da partícula de carbono a 5 x 105 m O ar nas vizinhanças é uma fonte infinita de transferência de O2 onde a oxidação do carbono na superfície da partícula é diminuída pela transferência de O2 A reação na superfície é g CO g O C s 2 2 Resposta t 092 s Difusão em regime permanente 313 Samuel LuporiniDEQUFBA 342 DIFUSÃO COM UMA REAÇÃO QUÍMICA DE 1ª ORDEM HOMOGÊNEA Operações unitárias um constituinte de uma mistura gasosa é preferencialmente dissolvido em contato com um liquido Dependendo da natureza química das moléculas envolvida a absorção pode envolver reação química Condições de contorno Em z 0 cA cA0 Em z δ cAs 0 Figura Absorção com reação química homogênea Fluxo molar 444 3 4 44 2 1 4243 1 filme é muito pequena dentro do 0 a concentração de A bulk B z A z A difusão A AB A z N N y dz dc D N 3421 Equação diferencial de transferência de massa no estado estacionário considerando apenas a direção z 0 R dz dN da espécie A homogênea de desaparecimento taxa A A z 3422 1 A A k c R Taxa de desaparecimento de A reação química de 1ª ordem 3423 Substituindo 3423 e 3421 em 3422 temos z z 0 z z δ NAzz NAzzz Líquido B Superfície do líquido Mistura gasosa A e gás inerte Difusão em regime permanente 314 Samuel LuporiniDEQUFBA 0 k c dz dc D dz d A 1 A AB com DAB constante fica 0 k c dz d c D A 1 2 A 2 AB 3424 A solução geral da equação 3424 é z D k c senh z D k c cosh c AB 1 2 AB 1 1 A As condições de contorno permitem calcular c1 e c2 quadro e o perfil de concentração fica δ AB 1 AB 1 0 A AB 1 A 0 A D k tgh z D k senh c z D k cosh c c 3424 Fluxo molar dz dc D N A AB A z Solução δ δ δ AB 1 AB 1 A 0 AB z 0 z A D k tgh D k c D N 3425 Se não houver reação química δ A 0 AB A z c D N Numero adimensional de Hatta δ δ AB 1 AB 1 D k tgh D k mostra a influencia da reação química Difusão em regime permanente 315 Samuel LuporiniDEQUFBA Se a taxa da reação química aumenta k1 aumenta o fator δ AB 1 D k tgh se aproxima de 1 e 0 c k D N A 0 1 AB z 0 A z Por comparação com a equação da convecção A 2 A1 c a z c c k N temos que AB c D k Teoria da penetração Se AB c D k Teoria do filme EXEMPLO 4 Considerando um processo unitário com um disco rotativo para o tratamento de fenol espécie A em água O biofilme contém um microrganismo em enzima peroxidase que degrada o fenol A concentração de A dentro do biofilme diminuirá à medida que o penetra ou seja A é degradado Não há resistência convectiva entre o fluido e a superfície do biofilme Figura Tratamento de água de lavagem por biofilme É desejável tratar 01 m3h de água contendo 01 molm3 de fenol Se a espessura do biofilme é 2 x 103 m qual é a área do biofilme necessária para obter uma concentração de saída de 002 molm3 A taxa de degradação é descrita pela cinética de MichalesMenten A A A Amax A c k c R R onde RAmax 57 x 103 molm3 kA 03 molm3 e DAB 2 x 1010 m2s a T 25º C Solução S 57 m2 Corrente de alimentação da água de lavagem CAi molesm3 Biofilme Água de lavagem tratada CAO Mistura perfeita Seção transversal do biofilme CAO CAz biofilme Superfície Sólida inerte z 0 z δ dcAdz 0 Capítulo 28 Welty Difusão em regime permanente 316 Samuel LuporiniDEQUFBA 343 DIFUSÃO INTRAPARTICULAR COM REAÇÃO QUÍMICA Cremasco Quando um sólido poroso apresenta sua área interna maior 30 m2g ou maior ou da mesma magnitude do que a sua superfície externa considerase o soluto depois de atingir a superfície da partícula difunda no interior desta para depois ser absorvido e sofrer transformação por reação química nas paredes dos sítios ativos do catalisador conforme mostra a figura Figura Difusão com reação química heterogênea no interior de um sólido poroso Termo reacional aRA onde a superfície do porounidade de volume da matriz porosa sistema pseudohomogêneo Equação geral para espécie A A unidirecional em r difusão 0 A A A r 2 2 estacionário estado 0 A aR N rsen 1 sen N rsen 1 r r N r 1 t c φ θ θ θ θ φ θ 4444444 3 4 444444 2 1 3 2 1 A A r 2 2 aR r r N r 1 3431 Sendo a reação de desaparecimento do soluto A escrita como A s A k C R 3432 RA sólido poro A B CAs Difusão em regime permanente 317 Samuel LuporiniDEQUFBA O fluxo de A no interior da matriz porosa será dado por dr dC D N A ef A r 3433 Supondo temperatura e pressão constantes e substituindo 3432 e 3433 em 3431 A ef s 2 A 2 C D k a r dr dC dr r d 3434 Denominando ef s 2 D λ k a A equação 3434 fica na forma 0 C dr dC r 2 dr C d A 2 A 2 A 2 λ 3435 a qual esta sujeita as seguintes condições de contorno CC1 em r R CA CAs CC2 em r 0 valor finito 0 ou lim C dr dC A 0 r A simetria da partícula Chamando rCA ψ A equação 3435 fica 0 dr d 2 2 2 ψ λ ψ 3436 A solução geral da eq 3436 é r C senh r cosh C 2 1 λ λ ψ ou r C senh r r C cosh 1 C 2 1 A λ λ 3437 A determinação das constantes parte da aplicação das condições de contorno CC1 e CC2 ficando Difusão em regime permanente 318 Samuel LuporiniDEQUFBA R senh r senh r R C C As A λ λ 3438 A eq 3438 fornece o perfil de concentração de A no interior da matriz porosa em função da relação entre as resistências a difusão e a reação química irreversível de 1ª ordem que se processa nos sítios internos da partícula O fator de efetividade O fator de efetividade representa o efeito que a taxa da matéria exerce na taxa de reação numa partícula sendo definido como a razão entre a taxa real de reação química Rsg e a taxa da reação baseada nas condições de superfície externa da partícula como se toda a superfície ativa dos poros estivesse exposta nas mesmas condições da superfície R sg Assim sg sg R R ηε com R r A ef 2 AR 2 sg dr dC 4 R D 4 R N R π π representado todo o soluto consumido na superfície externa da partícula transportado para dentro dessa partícula Substituindo a eq 3438 e efetuando a derivação temos R R coth 1 C 4 RD R As ef sg λ λ π Caso ocorra somente reação química irreversível de 1ª ordem a taxa é As s 3 A 3 sg 3 R ak C 4 3 R R 4 R π π Logo 2 R 1 R R coth 3 λ λ λ ηε O parâmetro λ pode ser reformulado da seguinte maneira λ φ R ne que é o modulo de Thiele indica a relação entre a taxa de reação química de 1ª ordem e a taxa de difusão E Rne VpSm um raio generalizado que depende da geometria da partícula Pa esfera perfeita Vp 4πR33 e Sm 4πR2 logo λR 3φ Difusão em regime permanente 319 Samuel LuporiniDEQUFBA O perfil de concentração do soluto e o fator de efetividade em função do modulo de Thiele no interior do catalisador esférico são fornecidos por φ φ senh 3 senh 3 r R r R C C As A 2 3 1 coth 3 3 φ φ φ ηε Para catalisadores muito ativos ks elevado φ elevado baixos valores de ηε Para catalisadores pouco ativos altos valores de ηε utilizam quase toda a área interna do catalisador Exemplo No craqueamento catalítico do petróleo utilizaramse microesferas de sílicaalumina de diâmetro igual a 18 mm e de área especifica dos poros de 32 cm2cm3 Estime o valor do fator de efetividade considerando que a reação química catalítica cuja velocidade é 69 cms é irreversível e de 1ª ordem O coeficiente efetivo de difusão é 80 x 104 cm2s Resposta ηε 0187 Difusão em regime permanente 320 Samuel LuporiniDEQUFBA 35 SISTEMAS DE DUAS E TRÊS DIMENSÕES A transferência de condução de calor é análoga a transferência de massa molecular as soluções analíticas analógicas e numéricas são similares cap 17 Welty JCrank The Mathematics of Diffusion Oxford University Press London1957 Exemplo Considerar uma placa plana retangular fina largura W e comprimento L O topo é imerso em inseticida y L Figura 351 Modelo de três dimensões para o transporte de inseticida A equação geral de transferência de massa fica 0 R t c N A A A r ou 0 R t c z N y N x N química reação sem 0 A estacionário estado 0 A 0 Az Ay Ax 3 2 1 3 2 1 351 444 3 4 44 2 1 bulk 0 termo Bx Ax A A AB Ax N N y dx dC D N 352 x y CA 0 CA Cx CA 0 CA 0 L 0 W Difusão em regime permanente 321 Samuel LuporiniDEQUFBA 4 44 3 4 44 2 1 bulk 0 termo By Ay A A AB Ay N N y dy dC D N 353 Substituindo 353 e 352 em 351 0 y C x C 2 A 2 2 A 2 354 que é uma equação diferencial parcial linear e homogênea com solução da forma X x Y y C A xy 355 Substituindo 355 em 354 temos 2 2 2 2 y d d Y y 1 x d d X x 1 Ambos os lados são constantes logo 0 X x d X d 2 2 2 λ 356 0 Y y d Y d 2 2 2 λ 357 A eq 356 tem a solução geral da forma Bsen x Acos x X λ λ 358 A eq 357 tem a solução geral da forma y y Ee De Y λ λ 359 A eq 355 fica y y A Ee De Bsen x Acos x xy C λ λ λ λ 3510 Difusão em regime permanente 322 Samuel LuporiniDEQUFBA Onde A B C e D são constantes avaliadas pelas condições de contorno x 0 CA 0 x W CA 0 y 0 CA 0 y L CA Cx Utilizando as três primeiras condições de contorno a solução é W W senh n y A sen n x xy C n 1 n A π π 3511 Utilizando a ultima condição de contorno W W senh n L A sen n x x C n 1 n A π π 3512 A avaliação de An é mostrada por Cremasco a solução final é dx W x sen n x C W n x sen W n L senh W n y senh W 2 xy C W 0 A n 1 A π π π π 3513 A equação 3513 é resolvida após se conhecer a função CAx Exemplo Considere a situação na qual ocorra o fluxo mássico de A através da superfície de um catalisador Ao entrar em contato com o catalisador o soluto A se difunde nas direções x e y Atingindo três das quatro superfícies a espécie A reage instantaneamente Em y L para qualquer x a sua concentração mantémse constante em um valor β Considerando a existência da contradifusão equimolar entre produto e reagente pedese a a distribuição mássica do soluto A Difusão em regime permanente 323 Samuel LuporiniDEQUFBA 36 TRANSFERÊNCIA SIMULTÂNEA DE MOMENTO CALOR E MASSA Exemplo Secagem de uma superfície molhada pelo calor de um gás quente e seco energia transferida a para superfície fria por convecção e radiação transferência de massa associada a entalpia na corrente gasosa se movendo Os processos de transporte simultâneos são mais complexos requerendo o tratamento simultâneo de cada fenômeno de transporte envolvido 361 Transferência simultânea de calor e massa Condições isotérmicas n i 1 i i D N H A q r r 3611 entalpia molar parcial de i numa mistura H fluxo de calor por difusão mássica A q i D r Condições não isotérmicas diferenças de temperatura n i 1 i i convectivo condutivo D N H h T k T A q r r 3612 Difusão em regime permanente 324 Samuel LuporiniDEQUFBA Exemplo Condensação de vapor em uma superfície fria A condensação de um filme liquido escoando para baixo em uma superfície fria e um filme de gás na qual o condensado é transferido por difusão molecular Figura Condensação de vapor em uma superfície fria z1 yA1 conhecido por psicometria T1 conhecido T3 conhecida temperatura na superfície Na fase gasosa ocorre convecção natural onde h é estimado pela equação 16 4 9 9 1 4 L L 0492 Pr 1 0670Ra 068 Nu A equação diferencial que descreve a transferência de massa na fase gasosa é 0 dz N d A z fluxo mássico é constante na direção z Se o componente A esta se difundindo através do gás estagnado o fluxo é descrito pela seguinte forma da lei de Fick dz dy y 1 cD N A A AB A z Se o perfil de temperatura é conhecido Filme líquido condensado Contorno do filme gasoso T1 T2 T3 T Tz yA1 yA2 yA yAz z3 z2 z1 Difusão em regime permanente 325 Samuel LuporiniDEQUFBA n 1 1 z z T T Podemos estimar o coeficiente de difusão que varia com a temperatura n 2 3 1 T AB 2 3 1 AB T AB z z D T T D D 1 1 A concentração também varia com a temperatura z z1 n R P RT P c A equação de fluxo tornase dz dy z z y 1 RT PD N A 2 n 1 A 1 AB T A z 1 Para uma pequena faixa de temperatura podese aproximar para uma equação dz dy y 1 cD N A A médio AB A z Com as condições de contorno Para z z1 yA yA1 Para z z2 yA yA2 PAP Lei de Dalton Integrando a equação temos Bln 1 2 A 2 A1 médio AB A z y z z y y cD N O fluxo de energia total é 2 1 A A z 2 1 C 3 2 L z H H M N T T h T T h A q Difusão em regime permanente 326 Samuel LuporiniDEQUFBA Entalpia no plano de líquido 2 H Entalpia no plano de vapor 1 H Massa molecular de A M Coeficient e convectivo de transferência de calor natural no filme gasoso h Coeficient e convectivo de transferência de calor no filme líquido h 2 1 A C L Para resolver a equação de fluxo de energia utilizase a técnica de tentativa e erro Assume o valor da temperatura da superfície liquida T2 Calcula hC e cDABmédio Calcula yA2 PAP com PA pressão de vapor acima do liquido a T2 e P pressão total do sistema Quando os lados esquerdo e direito se satisfazerem o chute de T2 esta correto Exemplo Uma mistura de vapor etanolágua esta sendo destilada pelo contato da solução liquida etanolágua O etanol é transferido a partir do líquido para a fase vapor e a água é transferida na direção oposta A condensação de vapor de água fornece a energia para a vaporização do etanol Ambos os componentes estão se difundindo através do filme de gás de 01 mm de espessura A temperatura é 368 K e a pressão é 1013 x 105 Pa Para estas condições a entalpia de vaporização dos componentes puros do etanol e água são 840 e 2300 kJkg respectivamente aDesenvolver a equação de fluxo para o vapor de etanol b Desenvolver a equação de fluxo assumindo que os componentes tem calores equimolares de vaporização Figura Retificação adiabática de uma mistura etanolágua Assumir uma direção Processo de transferência de massa molecular adiabático Espessura do filme δ Parede adiabática Mistura liquida saturada de etanolágua Filme gasoso δ Vapor etanolágua NEtOH vapor NH2O condensado Difusão em regime permanente 327 Samuel LuporiniDEQUFBA 362 Transferência simultânea de momento e massa Absorção A dissolução seletiva de um dos componentes de uma mistura gasosa por um líquido coluna de parede molhada Escoamento de um filme ao longo de uma parede na qual esta em contato com uma mistura de gás Suposições 1 O comprimento para contato entre as duas fases é curto portanto uma pequena quantidade de massa é absorvida propriedades do liquido são inalteradas 2 A velocidade do filme não afetara o processo de difusão Balanço de momento na direção x x 0 zx yx 0 xx 0 x 0 z x 0 y cte 0 x x estado estacionário 0 x g z y x x P z y x t x ρ τ τ τ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ρ ϑ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Logo g y yx ρ τ 3621 As condições de contorno que devem ser satisfeitas CC1 para y 0 ϑx 0 CC2 para y δ ϑxy 0 contato do liquido com o gás Difusão em regime permanente 328 Samuel LuporiniDEQUFBA Fluido newtoniano dy d x xy µ ϑ τ Substituindo em 1 temos 2 1 2 x 1 x 2 x 2 c c y 2 g y c g y y g y µ ρ ϑ µ ρ ρ ϑ ϑ µ 3622 Pela CC1 c2 0 Pela CC2 c1 ρgδµ Substituindo e após um rearranjo temos δ δ µ δ ρ ϑ 2 2 x y 2 1 y g 3623 2 x y max 2 g δ µ ρ ϑ ϑ δ 3624 Logo δ δ ϑ ϑ 2 max x y 2 1 y 2 perfil de velocidade 3625 Equação diferencial de transferência de massa 0 R t c N química reação sem 0 A estacionário estado 0 A A 3 2 1 r nas direções x e y apenas 0 y N x N A y A x 3626 Os fluxos molares são definidos pela Lei de Fick como Difusão em regime permanente 329 Samuel LuporiniDEQUFBA 444 3 4 44 2 1 4243 1 x A c B x A x A curto do vapor com o liquido é muito o tempo de contato desprezar A AB A x N N x dx dc D N ϑ 3627 444 3 4 44 2 1 a solubilidade de A em B muito baixa desprezar B y A y A A AB Ay N N x dy dc D N 3628 Direção y A é transportado principalmente por difusão Direção x A é transportado principalmente por convecção Substituindo 3627 e 3628 em 3626 temos é dependente de y apenas logo 0 como y c D x c x 2 A 2 AB x A ϑ ϑ 0 y c D x c 2 A 2 AB A x ϑ 3629 Sendo ϑx dado pela equação 3625 0 y c D x c y 2 1 y 2 2 A 2 AB A 2 max δ δ ϑ 3629 As condições de contorno para a película deslizando são CC1 para x 0 cA 0 CC2 para y 0 0 y c A parede CC3 para y δ cA cA0 contato com o gás A qual pode ser resolvida numericamente pelo método das diferenças finitas Johnstone Pigford 1942 resolveram a equação 3269 analiticamente e obtiveram a concentração adimensional no fundo da colunaTrans AICHE 38 25 1942 Difusão em regime permanente 330 Samuel LuporiniDEQUFBA L δ δ 75n 204 10564 n 39318n 1213n 5 A y x 0 A A y x L A 01811e 0 003500e 01001e 07857e c c c c 32610 Onde coeficient e de difusão do soluto no líquido D velocidad e máxima do filme localizada na superfície espessura da película altura da coluna L concentração do soluto no topo da coluna c concentração do soluto na interface gás liquido c concentração do soluto no fundo da coluna c L D n AB max x 0 A x A x L A max 2 AB ϑ δ δ ϑ δ Teoria da penetração modelo desenvolvido por Higbie Trans AICHE 31 368389 1935 Um soluto é transferido dentro de uma película em y δ O efeito da película deslizando sobre a espécie difundindo é tal que a velocidade do escoamento do fluido pode ser considerada uniforme e igual a ϑmax O soluto A não será afetado pela presença da parede então o fluido pode ser considerado de profundidade infinita Profundidade da penetração Difusão em regime permanente 331 Samuel LuporiniDEQUFBA Com estas simplificações a equação 3268 fica 2 A 2 AB A max y c D x c ϑ com as condições de contorno CC1 para x 0 cA 0 CC3 para y δ cA cA0 contato com o gás CC3 para y cA 0 Fazendo ξ δ y temos 2 A 2 AB A max c D x c ξ ϑ e as condições de contorno ficam CC1 para x 0 cA 0 CC2 para ξ 0 cA cA0 contato com o gás CC3 para ξ cA 0 Aplicando a Transformada de Laplace na direcao x na equação acima temos 2 A 2 AB A max s c D 0 sc ξ ξ ϑ no domínio de Laplace rearranjando 0 D sc s c AB A max 2 A 2 ϑ ξ ξ Esta equação diferencial ordinária de 2ª ordem possui a solução geral de ξ ϑ ξ ϑ ξ AB max 1 AB max 1 A D s B exp D s A exp s c As constantes A1 e B1 são avaliadas utilizando as condições de contorno transformada para o domínio de Laplace CC1 para ξ 0 s c 0 s c A 0 A contato com o gás Difusão em regime permanente 332 Samuel LuporiniDEQUFBA CC2 para ξ 0 s cA Produzindo a solução ξ ϑ ξ AB max A 0 A D s exp s c s c Aplicando a inversa da transformada de Laplace temos ϑ ξ ξ max AB A 0 A x 4D erf 1 c x c ou ξ ξ AB exp A 0 A t 4D erf 1 c x c onde o tempo de exposição é definido como texp xϑmax A função erro erf apêndice L de Welty Fluxo π π δ δ ξ 0 2 A c A1 exp AB exp AB A 0 y A AB y A y 0 A y c c t D t D c y c D N N 0 A Por comparação com a equação de convecção A 2 A1 c A y c c k N 1 2 AB c exp AB c D ou k t D k π Teoria da penetração Difusão molecular no estado transiente 41 Samuel LuporiniDEQUFBA CAPÍTULO 4 DIFUSÃO MOLECULAR NO ESTADO TRANSIENTE 2 variáveis independentes posição e tempo Grandes quantidades de problemas de difusão podem ser resolvidos simplesmente olhando as soluções do problema análogo à condução de calor Quando a equação diferencial e a condição inicial e de contorno do processo de difusão são exatamente da mesma forma daqueles do processo de condução de calor então a solução pode ser tomada com as mudanças apropriadas na notação Muitas soluções analíticas em o Carslaw Jaeger Heat conduction in solids Oxford University Press 1959 2ª edição o J Crank The mathematics of diffusion Oxford University Press London 1958 São peculiares apenas para transferência de massa o Difusão com reações químicas o Difusão com velocidade media molar diferente de zero o Difusão com mais de 2 componentes o Convecção forçada com taxas de transferência de massa elevada Processos transientes o O processo na qual esta em estado não estacionário somente em sua partida inicial o O processo na qual é uma batelada descontínuo ou operações em sistemas fechados do começo ao fim de sua duração SOLUÇÃO ANALÍTICA A segunda lei de Fick descreve uma situação onde Não ocorre nenhuma contribuição ao movimento bulk isto é ϑ 0 r Nenhuma reação química isto é RA 0 Logo 0 R t c N química sem reação 0 A A A r 1 Difusão molecular no estado transiente 42 Samuel LuporiniDEQUFBA 4 4 4 3 4 2 1 r r r 0 c B A A A AB A z N N x x cD N ϑ 1ª Lei de Fick logo A AB A z c D N 2 Introduzindo 2 em 1 temos A 2 AB A c D t c 2ª Lei de Fick 3 Útil para Difusão em sólidos líquidos estacionários ou em sistemas em contradifusão equimolar Devido a taxa de difusão extremamente lenta em líquidos a contribuição do movimento bulk da 1ª lei de Fick isto é i A N x r aproxima de zero para soluções diluídas portanto satisfaz a 2ª lei de Fick 41 DIFUSÃO TRANSIENTE EM UM MEIO SEMI INFINITO Transferência de massa unidirecional dentro de um meio estacionário semiinfinito com uma concentração superficial fixa Absorção de O2 a partir do ar na aeração de um lago Processo de difusão na fase sólida envolvendo a dureza do aço em atmosfera rica em carbono A equação diferencial a ser resolvida é 2 A 2 AB A z c D t c e as condições inicial e de contornos são CI A 0 A c c para t 0 para todo z CC1 As A c c para z 0 para todo t CC2 A 0 A c c para z para todo t o soluto penetra uma distância muito pequena durante o tempo finito de exposição em relação a profundidade do meio Difusão molecular no estado transiente 43 Samuel LuporiniDEQUFBA usando a transformação A 0 A c c θ 2 2 AB z D t θ θ 2 e as condições inicial e de contornos são CI 0 z 0 θ CC1 A 0 As c c 0 t θ CC2 0 t θ Pela transformada de Laplace da eq 2 temos 2 2 AB z D 0 s θ θ ou 0 D s z AB 2 2 θ θ 3 E as condições de contorno na TL CC1 s c c 0 s As A 0 θ z CA0 CAs z t aumenta CA0 CAs Difusão molecular no estado transiente 44 Samuel LuporiniDEQUFBA CC2 0 s θ A solução geral de 3 é z s D z s D AB AB Be Ae θ Pelas condições de contorno z A 0 z 0 B cAscA0s Logo z s D A 0 As AB e s c c θ 4 A inversa da TL da eq 4 fica θ t D 2 z erfc c c AB A 0 As ou t D 2 z erf 1 c c c c AB A 0 As A 0 A perfil de concentração 5 erf função erro apêndice L de Welty ou no Excel O fluxo unidirecional de A na placa semiinfinita na superfície do meio é A 0 As AB 0 z A AB A z 0 c c t D dz dc D N π 6 42 DIFUSÃO TRANSIENTE EM UM MEIO DIMENSIONAL FINITO SOB CONDIÇÕES DE RESISTÊNCIA DE SUPERFÍCIE DESPREZIVEL Um corpo é submetido a uma mudança subta nas vizinhanças a qual influencia sua concentração na superfície cAs Consideramos uma lamina larga de madeira a qual possui uma espessura uniforme L A distribuição de concentração inicial é uma função de z ou seja cA0z Difusão molecular no estado transiente 45 Samuel LuporiniDEQUFBA Condições CI z c c A A 0 para t 0 para todo 0 z L CC1 As A c c para z 0 para t 0 CC2 As A c c para z L para t 0 A equação da 2ª lei de Fick com a concentração adimensional As 0 A As A c c c c Y na direção z fica 2 2 AB z Y D t Y 1 Com as condições inicial e de contorno adimensionais CI z Y Y 0 para t 0 para todo 0 z L CC1 Y 0 para z 0 para t 0 CC2 Y 0 para z L para t 0 0 dz L 2 t dY devido a simetria no meio da placa Resolvendo a equação 1 pelo método de separação de variáveis Welty leva a seguinte solucao produto t D 2 1 AB 2 C sen x e C cos x Y λ λ λ z 0 CAs CAs z L Difusão molecular no estado transiente 46 Samuel LuporiniDEQUFBA As constantes C1 e C2 e o parâmetro λ são obtidos da CI e das CC1 e CC2 obtendo dz L z sen n z Y e L sen n z L 2 c c c c Y L 0 0 X 2 n n 1 As 0 A As A 2 D π π π 2 onde 1 3 5 L n compriment o caracteristico de L2 x razão de tempo relativo x D X 1 1 AB D Se a lamina tem uma concentração uniforme no instante inicial isto é Y0z Y0 então a eq 2 fica 2 2 XD n n 1 As 0 A As A e L n sen n z 1 4 c c c c Y π π π 3 onde n 1 3 5 O fluxo mássico para algum plano da placa de madeira pode ser avaliado por z c D N A AB A z 2 2 XD n n 1 A 0 As AB A z e L cos n z c c L 4D N π π onde n 1 3 5 No centro da placa z L2 NA 0 pois 0 L 2 t dz dc A Difusão molecular no estado transiente 47 Samuel LuporiniDEQUFBA Exemplo Considerando a dopagem do fósforo no silício cristalino semicondutor tipo n a 1100º C uma temperatura capaz de promover a difusão do fósforo A concentração da superfície do fósforo cAs no silício é 25 x 1020 atomos de Pcm3 de Si sólido que é relativamente diluído desde que o silício contem 5 x 1022 atomos de Sicm3 de sólido A cobertura rica de fósforo é considerada como uma fonte infinita para a quantidade de átomos de P transferido de maneira que cAs é constante Predizer a profundidade do filme SiP após 1 h se a concentração é de 1 na superfície 25 x 1018 atomos de Pcm3 de silício sólido Resposta 176 µm z 0 Sis 2POCl3g SiO2s 3Cl2 2Ps P POCl3 Cl2 Vapor de POCl3 Cobertura de SiO2s 2Ps Placa de Si Fonte rica de P P Si cAs Difusão molecular no estado transiente 48 Samuel LuporiniDEQUFBA 43 GRÁFICOS CONCENTRAÇÃOTEMPO PARA FORMAS GEOMÉTRICAS SIMPLES Gráficos de GurneyLurie apresentam soluções para placa plana esfera e cilindros longos Equação diferencial para condução de calor análoga a equação diferencial para difusão molecular estes gráficos podem ser utilizados para ambos os fenômenos de transportes Para difusão molecular temos Y mudança na concentração adimensional A 0 As A As c c c c XD tempo relativo 2 1 AB x t D n posição relativa x1 x m resistência relativa 1 c AB k x D a de transferência de massa molecular interna resistênci resistênci a de transferência de massa convectiva x1 comprimento característico é a distância do ponto médio para a posição de interesse Condições a Assumir a 2ª lei de Fick isto é ϑ 0 nenhum termo de produção RA 0 e difusividade constante b O corpo tem um concentração inicial uniforme cA0 c O contorno esta sujeito a uma nova condição que permaneça constante com o tempo 1 Para formas onde o transporte ocorre em somente uma das faces a razões adimensionais são calculadas como se a espessura fosse duas vezes o valor verdadeiro Difusão molecular no estado transiente 49 Samuel LuporiniDEQUFBA 1 Transporte em uma barra retangular com extremidades seladas Ybar YaYb Ya avaliação com a largura x1 a Yb avaliação com a espessura x1 b 2 Paralelepípedo retangular Ypar YaYbYc Ya avaliação com a largura x1 a Yb avaliação com a espessura x1 b Yc avaliação com a espessura x1 c a a b b c c a a b b selada selada Difusão molecular no estado transiente 410 Samuel LuporiniDEQUFBA 3 Cilindros incluindo ambas as extremidades Ycil YcilindroYa Ycilindro avaliado em coordenada radial x1 R Ya avaliado para placa plana de espessura x1 a axial Exemplo Uma placa de madeira 12 in por 12 in por 1 in é exposta ao ar seco As extremidades são inicialmente seladas para limitar o processo de secagem para as faces planas mais largas da placa O liquido interno difunde para a superfície onde é evaporada pela passagem da corrente de ar O conteúdo de umidade sobre a superfície permanece constante a 15 em peso Após 10 hr de secagem o conteúdo de umidade do centro diminui de 50 para 32 em peso Se o coeficiente de transferência de massa convectivo pode ser considerado suficientemente elevado a resistência relativa m é aproximada para zero calcule a O coeficiente de difusão efetiva b O conteúdo de umidade se as seis faces são usadas para o mesmo período de secagem c O tempo necessário para diminuir o conteúdo de umidade do centro de um cubo de 1 ft de aresta feito com a mesma madeira de 50 para 32 em peso se todas as 6 faces são usadas Assumir que o coeficiente de difusão efetiva calculado em a é constante através do cubo Resposta a 885 x 105 ft2h b 0471 lbm de águalbm de madeira seca c650 h a a R R Difusão molecular no estado transiente 411 Samuel LuporiniDEQUFBA 44 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ANÁLISE DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA TRANSIENTE Enunciado Uma placa de material com uma espessura de 0004 m tem uma superfície subitamente exposta a uma solução do componente A com CA0 6 x 103 kgmolm3 enquanto que a outra superfície é suportada sólido isolado permitindo nenhuma transferência de massa Há um perfil de concentração inicial linear para o componente A dentro da placa a partir de CA 1 x 103 kgmolm3 para um lado e CA 2 x 103 kgmolm3 para o lado sólido A difusividade DAB 1x 109 m2s O coeficiente de distribuição O coeficiente de distribuição entre a concentração na solução adjacente a placa CALi e a concentração na placa sólida para a superfície CAi é definida por K CAliCAi onde K 15 O coeficiente de transferência de massa para a superfície da placa pode ser considerado infinito x 0004 m CA3 CA5 CA7 CA1 CA2 CA4 CA6 CA8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x dx 00005 m CA9 Superfície exposta Condições de contorno CA1 é mantido a um valor constante Figura 1 Transferência de massa transiente em uma placa unidimensional A equação diferencial parcial 2 A 2 AB A x C D t C 2ª Lei de Fick Condições iniciais CA para t 0 perfil linear de 1 x 103 a 2 x 103 Difusão molecular no estado transiente 412 Samuel LuporiniDEQUFBA Condições de contorno Como a equação diferencial é de 2ª ordem são necessárias duas condições de contorno CC1 k C C A 0 Ai x 0 onde k 15 CC2 0 x C 0004 x A condição de fluxo difusional para o contorno isolado a Calcular as concentrações dentro da placa até 2500 s Utilize o método numérico em x com intervalo entre nodos de 00005 m ver fig 1 correspondente a 9 nodos b Fazer o gráfico da concentração versus tempo ate 2500 s Método numérico O método de linhas MOL method of lines o tempo é resolvido como equações diferenciais ordinárias método de Euler ou Runge Kutta por exemplo O espaço é discretizado por diferenças finitas Neste exemplo o espaço é dividido em N 8 intervalos envolvendo N 1 9 nodos figura 1 Utilizando a fórmula da diferença central para a 2ª derivada equação A9 deixando o tempo como uma derivada ordinária temos n 1 n n 1 A A A 2 AB A C 2C C x D dt dC para 2 n 8 Condições de contorno Superfície exposta Neste exemplo em x 0 0 x A AB A1 A 0 c x C D KC C k CA1 x 0 CA0 Difusão molecular no estado transiente 413 Samuel LuporiniDEQUFBA Usando a formula das diferenças A5 para o derivativo do lado direito desta equação temos 2 x 3C 4C C x C A1 A 2 3 A 0 x A Logo x 2 3C 4C C D KC C k A1 A 2 A3 AB A1 A 0 c Isolando CA1 que nos interessa temos 2k K x D 3 C 4D C D x 2k C C c AB A 2 AB A3 AB A 0 c A1 no nosso exemplo temos que kc logo K C C A 0 A1 onde K 15 Superfície isolada Neste exemplo em x L 0 x C 0004 x A Utilizando a formula da diferença finita A7 para este derivativo temos 0 x 2 C 4C C 3 dx dC A 7 A8 A9 A9 Isolando CA9 que nos interessa temos 3 C 4C C A 7 A8 9 A CA9 x 0 isolante x L 0004m Difusão molecular no estado transiente 414 Samuel LuporiniDEQUFBA Condição inicial Perfil de concentração inicial neste exemplo é lineal de 1 x 103 a 2 x 103 ficando x em m CA x 103 Nodo n 0 1 1 00005 1125 2 0001 125 3 00015 1375 4 0002 15 5 00025 1625 6 0003 175 7 00035 1825 8 0004 2 9 dx 00005 Equações discretizadas 2 A 7 A8 A9 AB A8 8 2 A 6 A 7 A8 AB A 7 7 2 A5 A 6 A 7 AB A 6 6 2 A 4 A5 A 6 AB A5 5 2 A3 A 4 A5 AB A 4 4 2 A 2 A3 A 4 AB A3 3 2 A1 A 2 A3 AB A 2 2 dx C 2C C D dt dC f dx C 2C C D dt dC f dx C 2C C D dt dC f dx C 2C C D dt dC f dx C 2C C D dt dC f dx C 2C C D dt dC f dx C 2C C D dt dC f CA9 e CA1 são diferentes devido as condições de contorno logo K C C 3 C 4C C A 0 1 A A 7 A8 9 A Difusão molecular no estado transiente 415 Samuel LuporiniDEQUFBA onde CA0 6 x 103 e K 15 Neste exemplo usaremos o método de Euler para discretizar o tempo A 2 j 2 2 j 1 A A 2 j A 2 j 1 2 A 2 2 C t f C t C C f dt dC f Neste exemplo t 1 s e j é o numero de tempos Difusão molecular no estado transiente 416 Samuel LuporiniDEQUFBA Fluxograma Dados Condições iniciais J 0 a 2500 2 A 7 A8 A 9 AB 8 2 A 6 A 7 A8 AB 7 2 A5 A 6 A 7 AB 6 2 A 4 A5 A 6 AB 5 2 A3 A 4 A5 AB 4 2 A 2 A3 A 4 AB 3 2 A1 A 2 A3 AB 2 dx j C j 2C j C D f dx j C j 2C j C D f dx j C j 2C j C D f dx j C j 2C j C D f dx j C j 2C j C D f dx j C j 2C j C D f dx j C j 2C j C D f dt t j 1 j t 3 1 j C 1 j 4C 1 j C f dt j C 1 j C f dt j C 1 j C f dt j C 1 j C f dt j C 1 j C f dt j C 1 j C f dt j C 1 j C f dt j C 1 j C K C 1 j C A 7 A8 9 A 2 A8 8 A 2 A 7 7 A 2 A 6 6 A 5 A 5 5 A 4 A 4 4 A 3 A3 3 A 2 A 2 2 A A 0 1 A Impressão Difusão molecular no estado transiente 417 Samuel LuporiniDEQUFBA Módulo em VBA aplicado ao EXCEL Public Sub Ptran Dim t3000 As Double Dim CA13000 As Double Dim CA23000 As Double Dim CA33000 As Double Dim CA43000 As Double Dim CA53000 As Double Dim CA63000 As Double Dim CA73000 As Double Dim CA83000 As Double Dim CA93000 As Double Dados dx 00005 CA0 0006 K 15 DAB 0000000001 tf 2500 Cells12 1 dx Cells12 2 dx Cells13 1 CA0 Cells13 2 CA0 Cells14 1 K Cells14 2 K Cells15 1 DAB Cells15 2 DAB Condições iniciais t0 0 CA10 0001 CA20 0001125 CA30 000125 CA40 0001375 CA50 00015 CA60 0001625 CA70 000175 Difusão molecular no estado transiente 418 Samuel LuporiniDEQUFBA CA80 0001825 CA90 0002 dt 1 Solução numérica For j 0 To 2500 f2 DAB CA3j 2 CA2j CA1j dx 2 f3 DAB CA4j 2 CA3j CA2j dx 2 f4 DAB CA5j 2 CA4j CA3j dx 2 f5 DAB CA6j 2 CA5j CA4j dx 2 f6 DAB CA7j 2 CA6j CA5j dx 2 f7 DAB CA8j 2 CA7j CA6j dx 2 f8 DAB CA9j 2 CA8j CA7j dx 2 CA1j 1 CA0 K CA2j 1 CA2j f2 dt CA3j 1 CA3j f3 dt CA4j 1 CA4j f4 dt CA5j 1 CA5j f5 dt CA6j 1 CA6j f6 dt CA7j 1 CA7j f7 dt CA8j 1 CA8j f8 dt CA9j 1 4 CA8j 1 CA7j 1 3 tj 1 tj dt Next j impressão na planilha For i 0 To 8 Cells18 5 i i dx te 50 Next i For j 0 To 2500 Step te Cells20 j te 4 tj Cells20 j te 5 CA1j Cells20 j te 6 CA2j Cells20 j te 7 CA3j Cells20 j te 8 CA4j Cells20 j te 9 CA5j Cells20 j te 10 CA6j Difusão molecular no estado transiente 419 Samuel LuporiniDEQUFBA Cells20 j te 11 CA7j Cells20 j te 12 CA8j Cells20 j te 13 CA9j Next j End Sub Planilha Placatransiente713xls do EXCEL Próxima pagina Difusão molecular no estado transiente 420 Samuel LuporiniDEQUFBA dx 000050 CA0 000600 K 150000 DAB 100000E09 distância x 0 00005 0001 00015 0002 00025 0003 00035 0004 tempo s CA1 CA2 CA3 CA4 CA5 CA6 CA7 CA8 CA9 0 0001 0001125 000125 0001375 00015 0001625 000175 0001825 0002 50 0004 0001616 0001294 0001378 00015 0001624 0001741 0001816 000184 100 0004 0001965 0001394 0001392 0001501 0001622 0001733 0001806 000183 150 0004 0002217 0001514 0001421 0001505 000162 0001726 0001796 000182 200 0004 0002406 0001635 0001462 0001514 0001619 0001719 0001787 000181 250 0004 0002553 0001751 000151 0001527 0001618 0001713 0001778 00018 300 0004 0002669 0001859 0001564 0001544 000162 0001707 000177 000179 350 0004 0002764 0001957 000162 0001565 0001623 0001703 0001761 0001781 400 0004 0002843 0002047 0001676 0001589 0001628 0001699 0001754 0001772 450 0004 000291 0002128 0001732 0001615 0001635 0001696 0001747 0001764 500 0004 0002967 0002202 0001787 0001643 0001644 0001695 000174 0001756 550 0004 0003017 0002269 0001841 0001673 0001655 0001694 0001735 0001748 600 0004 0003061 000233 0001892 0001703 0001667 0001695 000173 0001741 650 0004 0003101 0002386 0001941 0001734 0001681 0001697 0001725 0001735 700 0004 0003136 0002438 0001987 0001765 0001695 00017 0001722 0001729 750 0004 0003167 0002485 0002032 0001795 000171 0001704 000172 0001725 Difusão molecular no estado transiente 421 Samuel LuporiniDEQUFBA 800 0004 0003196 0002529 0002074 0001825 0001726 0001709 0001718 0001721 850 0004 0003222 000257 0002114 0001855 0001743 0001715 0001717 0001718 900 0004 0003246 0002608 0002153 0001884 000176 0001721 0001717 0001716 950 0004 0003269 0002643 0002189 0001913 0001777 0001728 0001718 0001715 1000 0004 0003289 0002677 0002224 000194 0001795 0001736 000172 0001714 1050 0004 0003308 0002708 0002257 0001968 0001812 0001745 0001723 0001715 1100 0004 0003326 0002737 0002288 0001994 000183 0001754 0001726 0001716 1150 0004 0003342 0002764 0002319 000202 0001848 0001764 000173 0001719 1200 0004 0003358 000279 0002347 0002045 0001865 0001774 0001735 0001722 1250 0004 0003372 0002814 0002375 0002069 0001883 0001785 000174 0001726 1300 0004 0003386 0002837 0002401 0002093 00019 0001796 0001747 000173 1350 0004 0003398 0002859 0002426 0002115 0001918 0001807 0001753 0001736 1400 0004 0003411 000288 000245 0002138 0001935 0001819 0001761 0001742 1450 0004 0003422 0002899 0002473 0002159 0001952 000183 0001769 0001748 1500 0004 0003433 0002918 0002495 000218 0001969 0001843 0001777 0001756 1550 0004 0003443 0002936 0002516 0002201 0001986 0001855 0001786 0001763 1600 0004 0003453 0002953 0002537 0002221 0002003 0001868 0001796 0001772 1650 0004 0003462 0002969 0002556 000224 0002019 000188 0001805 000178 1700 0004 0003471 0002985 0002575 0002259 0002035 0001893 0001816 000179 1750 0004 0003479 0003 0002594 0002277 0002052 0001906 0001826 0001799 1800 0004 0003487 0003014 0002611 0002295 0002068 0001919 0001837 0001809 1850 0004 0003495 0003028 0002628 0002313 0002083 0001933 0001848 000182 1900 0004 0003503 0003041 0002645 000233 0002099 0001946 0001859 0001831 1950 0004 000351 0003054 0002661 0002346 0002114 0001959 0001871 0001842 2000 0004 0003516 0003066 0002676 0002363 000213 0001973 0001883 0001853 2050 0004 0003523 0003078 0002691 0002379 0002145 0001986 0001895 0001865 Difusão molecular no estado transiente 422 Samuel LuporiniDEQUFBA 2100 0004 0003529 000309 0002706 0002394 000216 0002 0001907 0001876 2150 0004 0003535 0003101 000272 000241 0002175 0002013 000192 0001888 2200 0004 0003541 0003111 0002734 0002425 0002189 0002027 0001932 0001901 2250 0004 0003547 0003122 0002747 0002439 0002204 000204 0001945 0001913 2300 0004 0003552 0003132 000276 0002454 0002218 0002054 0001958 0001926 2350 0004 0003558 0003141 0002773 0002468 0002232 0002068 0001971 0001938 2400 0004 0003563 0003151 0002786 0002482 0002246 0002081 0001983 0001951 2450 0004 0003568 000316 0002798 0002495 000226 0002095 0001997 0001964 2500 0004 0003573 0003169 000281 0002509 0002274 0002108 000201 0001977 Difusão molecular no estado transiente 423 Samuel LuporiniDEQUFBA 00010 00015 00020 00025 00030 00035 00040 00045 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 tempo s CA kgmolm3 CA1 CA2 CA3 CA4 CA5 CA6 CA7 CA8 CA9 Difusão molecular no estado transiente 424 Samuel LuporiniDEQUFBA Aproximações por diferenças finitas úteis Transferência de massa por convecção 51 Samuel LuporiniDEQUFBA CAPÍTULO 5 TRANSFERÊNCIA DE MASSA POR CONVECÇÃO Envolve o transporte de material entre uma superfície de contorno e um fluido escoando ou entre dois fluidos relativamente imiscíveis em escoamento concentração de diferença A convectivo de massa transferência e de coeficient c concentração do decréscimo de ocorre na direção de massa Fluxo A c k N função das propriendades do fluido caracteristicas dinâmicas e geometria do sistema h k c é análogo a h T A q da transferência de calor Considerações fundamentais em transferência de massa Camada extremamente fina junto à superfície escoamento laminar Escoamento laminar o transporte entre a superfície do fluido escoando é por meio molecular Escoamento turbulento movimento físico de volume de material através de linhas de corrente transportada por turbilhões Altas taxas de transferência de massa ou transferência de calor estão associadas ao escoamento turbulento A As c A c c k N Onde composicão para algum ponto dentro da fase fluido c equilíbrio com o sólido para a temperatura e pressão do sistema composição do fluido em a é concentração do soluto no fluido na interface c tempo x área interfacial moles do soluto A deixando a interface N A As A Há quatro métodos de avaliação do coeficiente de transferência de massa convectivo que serão discutidos neste capítulo Estes são Transferência de massa por convecção 52 Samuel LuporiniDEQUFBA 1 Análise dimensional ligada a experimentos 2 Análise exata da camada limite 3 Análise aproximada da camada limite 4 Analogia entre momento energia e transferência de massa EXEMPLO 1 O ar escoa sobre uma placa sólida de dióxido de carbono congelado gelo seco com uma área superficial exposta de 1 x 103 m2 O CO2 sublima com uma corrente escoando a 2 ms e taxa de liberação de 229 x 104 mols O ar está a 293 K e 1013 x 105 Pa s m 1 5x10 D 2 5 CO2 ar e νar 155x105 m2s Determine o coeficiente de transferência de massa do CO2 sublimando sobre o ar escoando Resp 0118 ms 52 PARÂMETROS SIGNIFICANTES A difusividade molecular para cada fenômeno de transporte são ρ α ρ µ ν t L difusividade mássica D c difusividade térmica k difusividade de momento 2 AB p Número de Schmidt Sc difusividade mássica difusividade de momento D D Sc AB AB ρ µ ν Sc TM é análogo ao Pr TC Número de Lewis Le difusividade mássica difusividade térmica c D k D Le AB p AB ρ α Le é importante quando o processo envolve transferência de massa de energia simultaneamente Transferência de massa por convecção 53 Samuel LuporiniDEQUFBA Figura 51 Perfil de velocidade e concentração para um fluido escoando numa superfície sólida Na interface mesmo fluxo do componente A deixando a superfície do fluido A As c A c c k N deixando a superfície por convecção 0 y As A AB A dy c d c D N Entrando no fluido por difusão melecular Logo 0 y As A AB A As c dy c d c D c c k Rearranjando e multiplicando por L ambos os lados temos L c c dy c d c D L k A As 0 y As A AB c gradiente de concentração global gradiente de concentração para a superfície resistênci a de transferência de massa convectiva do fluido resistênci a de transferência de massa molecular Sh ou Nu D L k AB AB c NuAB número de Nusselt para transferência de massa Sh número de Sherwood ϑ ϑy ϑ cAs cA cAs cA cAs cAy x y cAs na interface Transferência de massa por convecção 54 Samuel LuporiniDEQUFBA EXEMPLO 2 Determine o número de Schmidt para o metanol em ar a 298 K e 1013 x 103 Pa e em água líquida a 298 K 53 ANÁLISE DIMENSIONAL DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA CONVECTIVA Transferência em uma corrente escoando sob convecção forçada Considerando a transferência de massa da parede de um tubo para o fluido escoando através do conduite força direcional cAs cA Variável Símbolo Dimensões Diâmetro do tubo D L Densidade do fluido ρ ML3 Viscosidade do fluido µ MLt Velocidade do fluido ϑ Lt Difusividade do fluido DAB L2t Coeficiente de transferência de massa kc Lt D ρ µ ϑ DAB kc M 0 1 1 1 0 1 L 1 3 1 0 2 0 t 0 0 1 1 1 1 Várias combinações de matriz 3 x 3 Variáveis incluem sistema geométrico o escoamento props do fluido kc tem o interesse principal rank 3 r de uma matriz significa o numero de coluna do maior determinante diferente de zero que se pode formar a partir dela i no de variareis rank 6 3 3 grupos adimensionais DAB ρ e D variáveis central núcleo pode conter qualquer das variáveis que entre elas incluem todas as dimensões básicas MLt Transferência de massa por convecção 55 Samuel LuporiniDEQUFBA µ ρ π ϑ ρ π ρ π i h g AB 3 f e d AB 2 c c b a AB 1 D D D D D k D Escrevendo π1 na forma adimensional t L L L M t L 1 c b a 2 Equacionando os expoentes temos 1 c 0 b 1 a b M 0 1 a 0 t 1 c 3b 2a 0 L de Sherwood no de massa para transferência de Nusselt no AB AB c 1 Sh ou Nu D k D 3 2 1 π Os outros 2 grupos são determinados da mesma maneira produzindo no de Schimidt AB 3 AB 2 Sc D e D D ρ µ π ϑ π Dividindo π2 por π3 de Reynolds no AB AB 3 2 Re D D D D µ ϑρ µ ρ ϑ π π Portanto uma correlação poderia ser feita da forma Sh NuAB fRe Sc Que é análoga a correlação de transferência de calor Transferência de massa por convecção 56 Samuel LuporiniDEQUFBA Nu fRe Pr Transferência dentro de uma fase na qual o movimento é devido a convecção natural Correntes de convecção natural desenvolvera se existir variação de densidade na fase líquida ou gasosa Ex parede plana vertical com um fluido adjacente As variáveis importantes seus símbolos e representações adimensionais são Variável Símbolo Dimensões Comprimento característico L L Difusividade do fluido DAB L2t Densidade do fluido ρ ML3 Viscosidade do fluido µ MLt Força de empuxo g ρA ML2t2 Coeficiente de transferência de massa kc Lt L DAB ρ µ g ρA kc L 1 2 1 1 1 0 M 0 0 3 1 2 1 t 0 1 0 1 2 1 DAB L e µ variáveis central núcleo pode conter qualquer das variáveis que entre elas incluem todas as dimensões básicas MLt Matriz 3 x 3 maior det 0 portanto o rank 3 i no de variareis rank 6 3 3 grupos adimensionais A i h g AB 3 f e d AB 2 c c b a AB 1 g L D L D k L D ρ µ π µ ρ π µ π Resolvendo os 3 grupos adimensionais obtemos AB A 3 3 AB 2 AB AB c 1 D L g Sc 1 D Nu D L k µ ρ π µ ρ π π Transferência de massa por convecção 57 Samuel LuporiniDEQUFBA Multiplicando π2 e π3 3 2 1 de Grashof no AB 2 A 3 AB A 3 AB 2 3 Gr g L D L g D ρν ρ µ ρ µ ρ π π Portanto sugere uma correlação da forma Sh fGrAB Sc para convecção natural As correlações de dados experimentais pode ser feita em termos de 3 variáveis ao invés de 6 originais tanto para convecção forçada como para natural Correlações equações empíricas capitulo 30 do Welty 7 deste apontamento 54 ANÁLISE EXATA DA CAMADA LIMITE LAMINAR DA CONCENTRAÇÃO Extensão da solução exata desenvolvida por Blasius para a camada limite hidrodinâmica Figura Camada limite de concentração para escoamento laminar em uma placa plana A equação da continuidade em coordenadas retangulares componentes A ρ e DAB constantes de A produção nenhuma 0 A f x y c 0 2 A 2 2 A 2 y c 2 A 2 AB A 0 z A y A x estacionário estado 0 A R z c y c x c D z c y c x c t c A 2 2 A ϑ ϑ ϑ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x y Extremidade da CL de concentração cA cAs cA cAy Transferência de massa por convecção 58 Samuel LuporiniDEQUFBA logo temos 2 A 2 AB A y A x y c D y c x c ϑ ϑ 13 Equação similar as equações desenvolvidas a partir das equações de momento e energia para a solução da camada limite hidrodinâmica e a camada limite térmica portanto terá solução análoga as estes fenômenos de transporte pois as condições de contorno são análogas Condições de contorno 1 D Sc y para 1 c c c c 0e y para 0 c c c c AB As A As A As A As A ν As A As A s x x s x x c c c 2 c 2 2 f ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ 14 e Rex 2x y x 2x y x 2 y ν ϑ ν ϑ η 15 ϑ ν ψ η x xy f 16 η ϑ ψ ϑ f 2 y x 17 f f x 2 1 x y η νϑ ψ ϑ 18 Introduzindo as equações 14 a 18 na 13 obtemos 0 ff f com as condições de contorno Transferência de massa por convecção 59 Samuel LuporiniDEQUFBA η η p 2 f 0 p 0 f f A solução análoga a transferência de momento sugere que 328 1 Re 2x y d c c c 2 c d 0 f d f d y 0 x As A As A η 19 A equação 19 pode ser rearranjada para obter uma expressão para o gradiente de concentração na interface x As A 0 y As Re x 0332 c c dy dc 20 Eq 20 a taxa na qual a massa entra ou deixa a superfície da camada limite é tão pequena que não altera o perfil de velocidade predito pela solução de Blasius onde ϑy não é envolvido Se ϑ 0 y y 0 contribuição bulk para a 1ª lei de Fick na direção y é zero logo 0 y A AB A y y c D N 21 Substituindo 21 em 20 temos A As x AB A y c c Re x 0332 D N 22 O fluxo de massa do componente A se difundindo é definido como A As c A y c c k N 23 igualando as equações 22 e 23 temos Transferência de massa por convecção 510 Samuel LuporiniDEQUFBA x AB AB c Re 0332 Nu D k x 24 onde Sc 1 e a transferência de massa entre a placa plana e a camada limite é baixa equação 19 a inclinação é 0332 taxa de transferência de massa não tem nenhum efeito sobre o perfil de velocidade e em y 0 Re transferência de massa a partir do fluido para a placa 0 Re transferência de massa a partir da placa para dentro da camada limite 0 Re 1 2 x ys 1 2 x ys 1 2 x ys ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ Em muitas operações físicas envolvendo transferência de massa 1 2 ys Rex ϑ ϑ é desprezível valendo a equação 24 Vaporização de um material volátil dentro de uma corrente gasosa escoando a baixa pressão a suposição de baixa transferência de massa não pode ser feita Transferência de massa por convecção 511 Samuel LuporiniDEQUFBA 3 1 c Sc δ δ Solução de Pohlhausen δ espessura da camada limite hidrodinâmica δc espessura da camada limite da concentração Para y 0 temos 3 x As A 0 y As Sc Re x 0332 c c dy dc Conduzindo a 3 x x AB c Sc Re 0332 Sh D k x 25 Coeficiente de transferência de massa médio para uma placa plana largura W e comprimento L µ ϑ ρ µ ρ ϑ L 0 1 2 1 2 1 3 AB c L 0 3 1 2 1 AB L 0 1 3 1 2 x AB L 0 L 0 c c dx x Sc 0332D L k L dx Sc x x 332D 0 L dx Sc x Re 332D 0 dx W k dx W k Inclinação 0332 ϑys 0 1 3 1 2 x ys Sc Re ϑ ϑ A As A As c c c c Transferência de massa por convecção 512 Samuel LuporiniDEQUFBA Resolvendo e rearranjando temos 1 3 1 2 L L AB c Sc 0664Re Sh D k L 28 O numero de Sherwood local para uma distancia x esta relacionado com o numero de Sherwood médio para uma placa plana pela relação ShL 2 ShxxL O parâmetro do limite da superfície 0 Re 1 2 x ys ϑ ϑ aumenta quando a inclinação da curva decresce ver gráfico Como a magnitude do coeficiente de transferência de massa esta relacionado com a inclinacao pela relação 0 y A As A As c dy c c c c d k o decréscimo na inclinação o sistema com valores elevados no limite da superfície terá um menor coeficiente de transferência de massa Escoamento turbulento A mesma expressão encontrada para transferência de calor na camada limite laminar térmica é encontrada para a camada limite laminar para a concentração utilizando a equação integral de von Kármán onde o perfil de concentração é dado por 1 7 A A y c c η ξ obtendo 4 5 x x 00292Re Sh para Sc 1 e aplicando a solução de Pohlhausen extendese para 1 3 4 5 x x Sc 00292Re Sh para Rex 3 x 105 29 Transferência de massa por convecção 513 Samuel LuporiniDEQUFBA EXEMPLO 3 O coeficiente de transferência de massa para uma camada limite turbulenta formado sobre uma placa plana tem sido correlacionado em termos de um número de Sherwood local por 1 3 4 5 x AB cturb x Sc 00292Re D x k Sh onde x é a distancia a partir do começo de turbulência da placa plana A transição do escoamento laminar para turbulento ocorre para Rex 2 x 105 a Desenvolver a expressão para o coeficiente de transferência de massa médio para uma placa plana de comprimento L b Um vasilhame contendo acetona foi acidentalmente derrubado cobrindo uma superfície plana do laboratório O exaustor produz uma velocidade de ar de 6 ms paralelo a superfície da bancada de 1 m de largura O ar foi mantido a 298 K e 1013 x 105 Pa A pressão de vapor da acetona a 298 K é 3066 x 104 Pa 1 Determinar o coeficiente de transferência de massa a 05 m do ponto inicial da bancada 2 Determinar a quantidade de acetona evaporada por m2 de superfície a cada segundo A 298 K a viscosidade cinemática do ar é 155 x 105 m2s e a difusividade mássica da acetona em ar é 093 x 105 m2s 55 ANALOGIAS ENTRE TRANSFERÊNCIAS DE MOMENTO CALOR E MASSA Fenômenos de transferência similaridades de mecanismos As analogias são úteis para o entendimento do fenômeno de transferência e como um meio satisfatório para predizer o comportamento dos sistemas na qual são disponíveis uma quantidade limitada de dados quantitativos Condições 1 As propriedades físicas são constantes 2 Não há produção de energia ou massa não ocorre nenhuma reação química 3 Não há emissão ou absorção de energia radiante 4 Não há dissipação viscosa 5 O perfil de velocidade não é afetado pela transferência de massa então há uma baixa transferência de massa Analogia de Reynolds Extensão da teoria de Reynolds incluindo o mecanismo de transferência de massa se o no de Schimidt Sc é igual a 1 Transferência de massa por convecção 514 Samuel LuporiniDEQUFBA Placa plana com Sc 1 Os perfis de concentração e velocidade dentro da camada limite estão relacionados por 0 y x y 0 As A As A y c c c c y ϑ ϑ 30 O contorno próximo da placa onde y 0 é A As c y 0 As A AB A y c c k c y c D N 31 DAB µρ pois Sc 1 32 De 31 y 0 A As As A AB c c c c c y D k Substituindo 32 em 30 temos 0 y x c y k ϑ ρϑ µ 33 A definição do coeficiente de fricção Cf é 0 y x 2 0 f y 2 2 C ϑ ρϑ µ ρϑ τ 34 Substituindo 33 em 34 temos 2 C k f c ϑ 35 que é a analogia de Reynolds para transferência de massa para Sc 1 A eq 35 é análoga a analogia de Reynolds para transferência de calor com Pr 1 2 C c h f p ϑ ρ analogia de Reynolds para transferência de calor para Pr 1 A equação 35 não pode ser utilizada se o sistema envolver forma de arraste Transferência de massa por convecção 515 Samuel LuporiniDEQUFBA Considerações sobre escoamento turbulento Na maioria das aplicações praticas o escoamento na corrente principal é turbulento Hipótese do comprimento de mistura de Prandt alguma velocidade de flutuação x ϑ é devido ao momento na direção y de um turbilhão através de uma distancia igual ao comprimento de mistura L O turbilhão de fluido possui uma velocidade media ϑx y e é deslocado dentro de uma corrente onde o fluido adjacente tem uma velocidade media x y L ϑ A velocidade de flutuação esta relacionada com o gradiente de velocidade media por dy d L x x y x y L x ϑ ϑ ϑ ϑ 1 a tensão de cisalhamento total é definida por y x x dy d ρϑ ϑ τ µ ϑ 2 Substituindo 1 em 2 temos dy d ou dy d L x M x y ϑ τ ρ ν ε ϑ τ ρ ν ϑ 3 Onde difusividade turbilhonar de momento analoga a difusividade molecular de momento L y M ν ϑ ε De maneira similar é analisado o escoamento turbulento em transferência de massa Transferência de massa por convecção 516 Samuel LuporiniDEQUFBA Figura 56 Perfil da porção turbulenta de concentração mostrando o comprimento de mistura de Prandt A taxa de transferência instantânea do componente A na direção y é y A A y c N ϑ 4 onde do componente A da concentração flutuação A média temporal ão concentraç A A c c c dy L dc c c c A y A y L A A 5 Substituindo 5 em 4 temos dy L dc N A y A y ϑ taxa de transferência de massa instantânea devido a turbulência dy dc D dy L dc dy dc D N A D AB turbulento A y laminar A AB A y ε ϑ 4243 1 4243 1 6 onde y D Lϑ ε é a difusividade mássica turbilhonar L cA y L cA y dy dc L A y ξA Transferência de massa por convecção 517 Samuel LuporiniDEQUFBA A eq 6 é similar a dy dT c A q turbilhonar térmica de difusivida H térmica molecular difusividade p y ε α ρ Região turbulenta transporte rápido redução no gradiente de concentração Região laminar difusão molecular maior resistência a transferência de massa na camada limite próxima a superfície o gradiente de concentração é mais excessivo As analogias de Prandtl e von Kármán Analogia de Prandtl Considerações dos efeitos na região turbulenta e na subcamada laminar Subcamada laminar Difusividade turbilhonar de momento e massa são desprezíveis τs tensão de cisalhamento na superfície constante NAys fluxo de massa na superfície cte ρν τ ξ ϑ ρν τ ϑ ξ ξ ϑ ξ s x 0 0 s x ou dy d x 7 onde ξ é a espessura da subcamada laminar A porção laminar da equação 6 AB Ay s A As 0 AB Ay s c c A D N c c ou dy D N dc A As ξ ξ ξ ξ 8 Eliminando ξ das equações 7 e 8 temos ξ ξ τ ϑ ρν A As s Ay AB s x c c N D 9 Transferência de massa por convecção 518 Samuel LuporiniDEQUFBA Região turbulenta Aplicase a analogia de Reynolds 2 s f c 2 C k ρϑ τ ϑ de y ξ a y condições bulk O fluxo mássico na região turbulenta tornáse ξ ξ ξ ϑ ϑ ρν τ A A x s A A c Ay c c c c k N 10 União das regiões laminar e turbulenta Eliminando cA ξ entre as equações 9 e 10 temos ν ϑ ϑ τ ρ ξ 1 D N c c AB x s Ay A As 11 Substituindo as definições AB A As A c 2 s f D Sc c c N k 2 C ν ϑ ρ τ na eq 11 e rearranjando temos Sc 1 1 2 C k x f c ϑ ϑ ϑ ξ 12 Na subcamada laminar é definido que ϑ y 5 portanto 2 C 5 ou 5 2 C f x f x ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ξ ξ 13 Substituindo 13 em 12 obtemos Transferência de massa por convecção 519 Samuel LuporiniDEQUFBA 1 Sc 2 C 5 1 2 C k f f c ϑ 14 multiplicando ambos os lados de 14 por ϑ L DAB onde L é o comprimento característico Sc 1 2 C 5 1 2 ReSc C Sh f f 15 As equações 13 e 14 são análogas a analogia de Prandtl para momento e energia Elas reduzem a analogia de Reynolds quando Sc 1 Analogia de von Kármán Von Kármán extendeu a analogia de Prandtl considerando a zona de transição em adição a subcamada laminar e o núcleo turbulento obtendo 6 5Sc ln 1 Sc 1 2 C 5 1 2 ReSc C Sh f f 16 ou 6 5Sc ln 1 Sc 1 2 C 5 1 2 C ReSc Sh k f f c ϑ 17 ϑ 4 4444 3 4 4444 2 1 para a analogia de Reynolds correção f c complexos de termos grupo 2 C ReSc Sh k resultados de muitas analogias Analogia de ChiltonColburn Utilizando dados experimentais 2 3 c D Sc k j ϑ fator j para transferência de massa Transferência de massa por convecção 520 Samuel LuporiniDEQUFBA Baseado em dados coletados para escoamentos em regime laminar e turbulento encontraram 2 C Sc k j f 2 3 c D ϑ 18 Válida para gases e líquidos na faixa 06 Sc 2500 A equação 18 satisfaz a solução exata para escoamento laminar sobre uma placa plana 1 3 1 2 x x Sc 0332Re Sh Se ambos os lados são divididos por RexSc13 temos 1 2 x 1 3 x x Re 332 0 Sc Re Sh 19 ϑ µ ρ ϑ ρ µ 2 3 c 2 3 AB AB c x 2 3 x 1 3 x x k Sc Sc D x D x k Sc Re Sc Sh Sc Re Sh 20 Das equações 19 20 e 18 temos 2 C Re 0332 k Sc f 1 2 x 2 3 c ϑ 21 A analogia de ChiltonColburn relaciona os 3 fenômenos de transporte 2 C j j f D H 22 A equação 22 é válida quando não tem nenhuma forma de arraste presente Porem quando a forma de arraste esta presente temos D H j j 23 ou ϑ ρϑ 2 3 c 3 2 p k Sc Pr c h 24 Transferência de massa por convecção 521 Samuel LuporiniDEQUFBA A equação 24 é uma relação entre transferência de massa e calor convectivos válida para 06 Sc 2500 e 06 Pr 100 A equação 24 é válida para muitas geometrias diferentes como escoamento em placas planas escoamento em tubos e escoamento ao redor de cilindros EXEMPLO 4 Utilizando o enunciado e o coeficiente de transferência de massa do exemplo 1 determinar o valor do coeficiente de transferência de calor h para a corrente de ar EXEMPLO 5 O ar seco sob pressão de 1013 x 105 Pa sopra o termômetro na qual o bulbo foi coberto com um pano úmido A clássica temperatura do bulbo úmido indica que a temperatura no estado estacionário foi alcançado por uma pequena quantidade de água evaporando num grande reservatório de mistura de gás e vapor insaturado A leitura no termômetro é 290 K Propriedades do ar e água PA pressão de vapor da água 194 x 103 Pa ρ densidade do ar 1219 kgm3 λTs calor latente de vaporização da água 2461 kJkg Pr 071 Sc 061 cp calor especifico do ar 1006 JkgK Qual é a temperatura do ar seco Resp 3221 K 56 MODELOS PARA O COEFICIENTE DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA CONVECTIVO Em muitos casos kc é empírico determinado por experimentos A explicação teórica requer um melhor entendimento do mecanismo da turbulência características dinâmicas do escoamento Teoria do filme é baseada na presença de um filme fictício de fluido onde se admite existir toda a resistência e transferência de massa na qual o transporte é inteiramente por difusão molecular A espessura do filme δ é estendida alem da subcamada laminar para incluir uma resistência equivalente encontrada com a mudança de concentração dentro da região de transição e do núcleo turbulento Transferência de massa por convecção 522 Samuel LuporiniDEQUFBA Fluido estagnante célula de difusão de Arnold δ δ ln B AB c A 2 A1 c A 2 A1 ln B AB Az p P D k p RT p k p p RTp P D N Contradifusão equimolar NAz NBz δ δ AB 0 c A 2 A1 c Az 1 2 A 2 A1 1 2 AB Az z z c c A AB Az 0 Bz Az A A AB Az D k c c k como N z z c c z z D N dc D dz N N N x dz dc D N 2 1 2 A 1 A 4 4 4 3 4 2 1 O superescristo 0 não há uma transferência molar liquida dentro do filme devido a contradifusão equimolar Na teoria do filme kc esta relacionado com DAB e δ é fictício portanto nunca será medido Teoria da penetração originalmente proposta por Higbie em 1935 para explicar a transferência de massa na fase liquida durante a absorção do gás Aplicada para escoamento turbulento por Danckwerts Ind Eng Chem 43 146067 1951 quando o componente que difunde apenas penetra uma curta distancia dentro de uma fase de interesse devido ao seu rápido desaparecimento através da reação química ou seu tempo relativamente curto de contato Higbie considerou a transferência de massa para dentro da fase liquida como um transporte molecular no estado não estacionário encontrando π A As exp AB Ay c c t D N Danckwertz aplicou este conceito de estudo não estacionário para a absorção do componente A numa corrente liquida turbulenta Seu modelo assume que o movimento do liquido é constantemente levado por turbilhões de liquido fresco do interior até a superfície onde estes substituem os elementos do liquido anteriormente sobre a superfície Enquanto que sobre a superfície cada elemento do liquido tornase exposto a uma segunda fase e a massa é Transferência de massa por convecção 523 Samuel LuporiniDEQUFBA transferida para dentro do liquido apesar dela ser estagnante e de profundidade infinita A total penetração do soluto no turbilhão num tempo de exposição é 1 2 AB exp A As t 0 1 2 A As AB t 0 A t D c 2 c dt t c c D dt N exp exp π π 1 2 AB exp A As durante o t de transferência média taxa A t D c 2 c N exp π Danckwertz modificou a suposição de período de exposição constante propondo uma faixa infinita de idades para os elementos de superfície probabilidade de um elemento de superfície ser substituído por um novo turbilhão A taxa de transferência de massa com a renovação da superfície ao acaso é A As AB A c s c D N onde s fator de renovação da superfície experimental O conceito de renovação da superfície de renovação tem sido bem sucedido em o Reações químicas na fase líquida o É valida somente se a superfície de renovação é relativamente rápida Teoria entre a do filme e a da penetração AB 05 AB c D a D k Modelo da camada limite 3 2 1 AB D 1 3 1 2 L AB c Sc Re L 0664 D k ν logo 2 3 AB c D k Sublimação de um sólido dentro de um gás Dissolução de um sólido por um líquido Transferência de massa convectivo entre fases 61 Samuel LuporiniDEQUFBA CAPÍTULO 6 TRANSFERÊNCIA DE MASSA CONVECTIVO ENTRE FASES Até agora vimos a transferência de massa dentro de uma única fase Transferência entre 2 fases de contato exemplos o Corrente gasosa em contato com líquido o Dois líquidos imiscíveis o Fluido escoando sobre um sólido A transferência entre duas fases requer o desvio do equilíbrio a qual pode existir entre a concentração media bulk dentro de cada fase desvio do equilíbrio fornece o gradiente de concentração dentro de uma fase 61 EQUILÍBRIO Equilíbrio dinâmico é indicado por uma concentração constante do soluto na fase líquida solvente e uma concentração constante ou pressão parcial do soluto na fase gasosa Exemplo inicialmente ar e amônia na fase gasosa e água pura na fase líquida quando em contato a amônia é transferida para dentro da água a qual é solúvel e a água é vaporizada dentro da fase gasosa um equilíbrio dinâmico entre as duas fases eventualmente será estabelecido Figura 61 Distribuição de equilíbrio do soluto A entre uma fase gasosa e uma líquida à temperatura controlada Adicionando mais soluto concentração de A ao sistema isobárico e isotérmico um novo equilíbrio é alcançado Pressão parcial de A no gás PA Concentração de A no líquido cA Transferência de massa convectivo entre fases 62 Samuel LuporiniDEQUFBA Equações relacionadas a equilíbrio nas duas fases livros de termodinâmica Gases reais e fases líquidas equações complexas Fase líquida ideal Lei de Raoult A A A P x p 1 Onde pressão de vapor de A puro para a temperatura de equilíbrio P fração molar de A na fase líquida x pressão parcial de equilíbrio do componente A na fase vapor acima da fase líquida p A A A Fase gasosa ideal Lei de Dalton P y p A A 2 Onde pressão total do sistema P fração molar de A na fase gasosa y A Duas fases ideais Lei de equilíbrio RaoultDalton A A A P x P y 3 Soluções diluídas Lei de Henry A A Hc p 4 Onde H constante de Henry cA composição de A no equilíbrio na fase líquida Lei da distribuição dois líquidos imiscíveis Alíquido2 Alíquido1 Kc c 5 Onde cA concentração do soluto A na fase líquida especificada K coeficiente de distribuição Transferência de massa convectivo entre fases 63 Samuel LuporiniDEQUFBA Conceitos básicos para todos os sistemas envolvendo a distribuição de um componente entre duas fases 1 Para condições fixas de temperatura e pressão a regra das fases de Gibbs estabelece que existe relações de equilíbrio a qual pode ser apresentada na forma de curva de distribuição de equilíbrio 2 Quando o sistema esta em equilíbrio não há transferência de massa liquida entre as fases 3 Quando o sistema não esta em equilíbrio componente ou componentes do sistema serão transportados de tal maneira que cause a composição do sistema um retorno ao equilíbrio num tempo suficiente EXEMPLO 1 Uma corrente de exaustão a partir de uma unidade de fabricação de um semicondutor contem 3 mol de acetona e 97 mol de ar Para eliminar alguma possível poluição ambiental esta corrente de acetonaar alimenta uma coluna de transferência de massa na qual a acetona será eliminada por contracorrente de água a 293 K A torre opera a uma pressão total de 1013 x 105 Pa Se a relação de equilíbrio RaoultDalton pode ser usada para determinar a distribuição acetona entre o ar e a fase aquosa determinar a A fração molar da acetona dentro da fase aquosa a qual estaria em equilíbrio com 3 mol de acetona na mistura gasosa b A fração molar da acetona na fase gasosa a qual estaria em equilíbrio com 20 ppm de acetona na fase aquosa A 293 K a pressão de vapor da acetona é 564 x 104 Pa EXEMPLO 2 A constante da lei de Henry para o oxigênio dissolvido em água é 406 x 109 Pamol de O2 por mol da solução total a 293 K Determine a concentração da solução de oxigênio na água que é exposta ao ar seco a 1013 x 105 Pa e 293 K A lei de Henry pode ser expressada em termos de unidade de fração molar por A A H x p onde H é 406 x 109 Pamol de O2mol da solução total Transferência de massa convectivo entre fases 64 Samuel LuporiniDEQUFBA 62 TEORIA DAS DUAS RESISTÊNCIAS Envolvem 3 etapas 1 Transferência de massa do meio bulk de uma fase para a superfície interfacial 2 Transferência através da interface para a segunda fase 3 Transferência para o meio bulk da segunda fase Figura 62 Absorção de um gás com um soluto A transferido da fase gasosa para a fase líquida A teoria das duas resistências foi inicialmente sugerida por Whitman Chem Met Engr 29 4 147 1923 esta possuía duas suposições principais 1 A taxa de transferência de massa entre as duas fases é controlada pela taxa de difusão através das fases sobre cada lado da interface 2 Nenhuma resistência é oferecida na transferência do componente difundindo na interface Interface gáslíquido NA Filme gasoso Filme líquido Transferência de massa convectivo entre fases 65 Samuel LuporiniDEQUFBA Figura 63 Gradientes de concentração entre duas fases em contato onde o soluto é transferido do gás para o líquido Na fig 63 o gradiente de pressão parcial pAG até a composição do gás interfacial pAi e o gradiente de concentração da fase líquida cAi na interface até a concentração bulk da fase líquida cAL Se não existe nenhuma resistência a transferência de massa na interface pAi e cAi são concentrações de equilíbrio PAi pode ser menor maior ou igual a cAi de acordo com as condições da temperatura e pressão do sistema Se ocorrer transferência de massa da fase liquida para a gasosa cAL cAi e pAi pAG como mostram as figuras abaixo pAG pAi cAi cAL δG δL Distância z Concentração de A se difundindo Interface se H 10 pAG pAi cAi cAL δG δL Distância z Concentração de A se difundindo Interface se H 10 Fase gás Fase líquida Fase líquida Fase gás Transferência de massa convectivo entre fases 66 Samuel LuporiniDEQUFBA Figura 64 Desorção stripping do liquido com o soluto A transferido do líquido para o gás Figura 65 Gradiente de concentração entre duas fases em contato quando o soluto é transferido do líquido para o gás Coeficientes de transferência de massa individuais Taxa de difusão na direção z sobre cada lado da interface Ai AG G Az p p k N 6 AL Ai L Az c c k N 7 pAG pAi cAi cAL δG δL Distância z Concentração de A se difundindo Interface Fase gás Fase líquida Interface gáslíquido NA Filme gasoso Filme líquido Transferência de massa convectivo entre fases 67 Samuel LuporiniDEQUFBA Onde força direcional necessária para continuar a transferir o componente A para a fase líquida c c para a interface separando as duas fases força direcional necessária para transferir o componente A das condições do meio gasoso p p coeficient e de transferência de massa convectivo na fase líquida k unidades de concentraçãol tempo x área interfacia x moles de A transferido coeficient e de transferência de massa convectivo na fase gasosa k AL Ai Ai AG L A G ρ Em regime no estado estacionário o fluxo de massa de uma fase é igual ao fluxo de massa na segunda fase portanto Ai AL L Ai AG G Az c c k p p k N 8 e Ai AL Ai AG G L c c p p k k 9 Figura 66 Composições interfacial predita pela teoria das duas resistências 0 condições do meio bulk em um plano de transferência de massa As condições em outro plano poderiam ser diferentes A tabela 291 WELTY apresenta os coeficientes de transferência de massa individual encontrados com mais freqüência bem como a interrelações entre eles 0 Inclinação kLkG Curva de equilíbrio pAG pAi cAL cAi Pressão parcial de A na fase gasosa Composição de A na fase líquida Transferência de massa convectivo entre fases 68 Samuel LuporiniDEQUFBA Transferência de massa convectivo entre fases 69 Samuel LuporiniDEQUFBA Coeficientes de transferência de massa global É muito difícil medir fisicamente a pressão parcial e a concentração na interface É conveniente empregar os coeficientes global baseado na força direcional global entre as composições do meio bulk pAG e cAL A AG G A p p K N 10 Onde AL A AG G G pressão parcial de A em equilíbrio com a composição bulk da fase líquida de A c p composição bulk da fase gasosa p tempo x área interfacial x pressão moles de A transferico K coeficient e de transferência de massa global baseado na força direcional da pressão parcial K AL A L A c c K N Onde AL A AL L L concentração de A em equilíbrio com p c composição bulk da fase líquida c tempo x área interfacial x molesvolume moles de A transferico K concentração na fase líquida da coeficient e de transferência de massa global baseado na força direcional K Transferência de massa convectivo entre fases 610 Samuel LuporiniDEQUFBA Figura 67 Forças direcionais de concentrações para a teoria das duas resistências A figura 67 ilustra as forças direcionais associadas a cada fase e as forças direcionais global G G total A Afilme gás K 1 k 1 p p resistência total em ambas as fases resistênci a na fase gasosa L L total A Afilme líquido K 1 k 1 c c resistência total em ambas as fases resistênci a na fase líquida Relação entre os coeficientes global e os coeficientes da fase individual Ai para baixas concentrações da lei de Henry H constante Ai c m p 12 utilizando a equação 12 Transferência de massa convectivo entre fases 611 Samuel LuporiniDEQUFBA Ai Ai AL A A AG mc p mc p mc p Pela equação 10 rearranjada Az A Ai Az Ai AG Az A AG G N p p N p p N p p K 1 Substituindo pela Lei de Henry Az AL Ai Az Ai AG Az A AG G N c m c N p p N p p K 1 Substituindo 6 e 7 temos L G G k m k 1 K 1 13 Pode ser encontrada uma expressão similar para KL como segue Az AL Ai Az Ai AG Az AL A L N c c mN p p N c c K 1 ou L G L k 1 mk 1 K 1 14 Se m é pequeno KG kG fase gasosa controlada Se m é grande KL kL fase gasosa pode ser desprezada fase líquida controlada Transferência de massa convectivo entre fases 612 Samuel LuporiniDEQUFBA EXEMPLO 3 Num estudo experimental de absorção de amônia em água numa coluna de parede molhada o coeficiente global de transferência de massa KG foi encontrado no valor de 274 x 109 kg molm2sPa Para um ponto na coluna a fase gasosa contem 8 mol de amônia e a concentração na fase líquida foi de 0064 kg mol de amôniam3 de solução A torre opera a 293 K e 1013 x 105 Pa Para esta temperatura a constante da lei de Henry é 1358 x 103 Pakg molm3 Se 85 da resistência total para transferência de massa é encontrada na fase gasosa determine os coeficientes individuais de massa do filme e as composições interfaciais EXEMPLO 4 Uma corrente de água para lavagem é introduzida no topo de uma torre de transferência de massa onde uma corrente de ar escoa em contracorrente Para um ponto na torre a corrente de água contem 1 x 103 g mol de Am3 e o ar é essencialmente livre de A Para as condições de operação da torre os coeficientes de transferência de massa do filme são kL 5 x 104 kgmolm2skg molm3 e kG 001 kg molm2satm As concentrações esta na região da lei de Henry onde pAi HcAi com H 10 atmkg molm3 Determine a O fluxo de massa global de A b O coeficiente de transferência de massa global KL e KG Correlações para transferência de massa convectiva 71 Samuel LuporiniDEQUFBA CAPÍTULO 7 CORRELAÇÕES PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA CONVECTIVA Correlações para transferência de massa baseada em dados experimentais e quando possível teórico TABELA 71 Números adimensionais em correlação para dados de transferência de massa Correlações para transferência de massa convectiva 72 Samuel LuporiniDEQUFBA 71 TRANSFERÊNCIA DE MASSA PARA PLACAS ESFERAS E CILINDROS Técnicas empregadas para obter o coeficiente de transferência de massa entre o fluido em movimento e certas formas o Sublimação de um sólido o Vaporização de um líquido no ar o Dissolução de um sólido na água PLACA PLANA 1 3 1 2 L AB c L Sc 0664Re D k L Sh Laminar ReL 2 x 105 1 1 3 08 L AB c L Sc 00365Re D k L Sh Turbulento ReL 2 x 105 2 onde µ ρϑ L Re L Para uma distancia x a partir do inicio da placa plana temos 1 3 1 2 x AB c L Sc 0332Re D k x Sh Laminar 3 onde µ ρϑ x Re x As equações também podem ser escritas em termos se fator j como 1 3 L L 3 2 AB AB AB c 2 3 c D Sc Re Sh D D L D k L Sc k j ρ µ µ ρ ϑ ρ µ ϑ logo 1 2 L D 0664Re j laminar Re 2 x 105 4 0 2 L D 00365Re j turbulento Re 2 x 105 5 Estas equações podem ser usadas com 06 Sc 2500 Correlações para transferência de massa convectiva 73 Samuel LuporiniDEQUFBA Em muitas situações a camada limite da concentração começa após a camada limite hidrodinâmica conseqüentemente a camada limite hidrodinâmica começa a se desenvolver antes da camada limite da concentração Figura Escoamento laminar sobre uma placa plana com inicio da camada limite hidrodinamica antes da camada limite de concentração Condições de contorno 0 x X cA cA X x cA cAs E o numero de Sherwood local fica 3 1 3 4 1 2 x x x X 1 Sc 0332Re Sh CA 0 p parede Parede inerte Parede fonte de A x 0 x x x X x 0 cAs NA cA ϑ δc δ Correlações para transferência de massa convectiva 74 Samuel LuporiniDEQUFBA Exemplo 71 Reator horizontal de deposição química CVD crescimento de um filme de arsenito de gálio GaAs Reações simplificadas que ocorrem na superfície de silício g 6CH 2Ga s g 3H g Ga CH 2 g 3H 2As s g A H 2 4 2 3 3 2 3 s No presente processo a placa de silício de 10 cm é posicionada a 4 cm a partir da placa quente A temperatura do processo é 800 K e a pressão total do sistema é 1013 KPa 1 atm Considerando o caso limitante onde o escoamento do gás rico em H2 esta a uma velocidade media de 100 cms GaCH33 diluído Determinar o coeficiente de transferência de massa global kc para o trimetil gálio em H2 no centro da placa de silício usando a A teoria da camada limite b A teoria do filme DAB 155 cm2s a 800 K e 1 atm A trimetil gálio e B H2 Distribuidor de gás Alimentação de gás Gás de alimentação H2 GaCH33 AsH3 Placa de silício de 10 cm Placa aquecida susceptor x 0 cm x 4 cm x 9 cm Correlações para transferência de massa convectiva 75 Samuel LuporiniDEQUFBA ESFERA ÚNICA Forma geral 4 4 43 42 1 forçada convecção 1 3 m molecular difusão AB c Sc CRe 2 D k D Sh C e m são constantes da correlação µ ρϑ D Re Onde D diâmetro da esfera ϑ velocidade do fluido bulk ρ µ densidade e viscosidade da mistura de fluidos respectivamente Transferência de massa dentro de uma corrente líquida 2 3 1 2 AB AB L 1 21Pe 4 D k D Sh Brian and Hales 1 PeAB número de Peclet ReSc 10000 1 3 Sh 1 01PeAB Levick para PeAB 10000 2 Transferência de massa numa corrente gasosa 1 3 2 1 AB c Sc 0552Re 2 D k D Sh Fröessling 3 válida para 2 Re 800 e 06 Sc 27 A equação 1 a 3 são válidas quando a convecção natural é desprezível e a convecção forçada é predominante isto é quando 1 6 2 04Gr1 Sc Re 4 Correlações para transferência de massa convectiva 76 Samuel LuporiniDEQUFBA A seguinte correlação é recomendada quando ocorre transferência na presença de convecção natural 062 1 2 o 0347 ReSc Sh Sh Steinberger and Treybal 5 onde Sho é dependente de Gr e Sc 0 25 o 0569 GrSc 2 Sh para GrSc 108 6 0 244 1 3 o Sc 00254 GrSc 2 Sh para GrSc 108 6 válidas para 2 Re 3 x 104 e 06 Sc 3200 Onde Gr número de Grashof definido como 2 D3 g Gr µ ρ ρ 7 ρ e µ são tomados nas condições bulk do fluido em escoamento ρ diferença de densidade entre as duas fases em contato Correlações para transferência de massa convectiva 77 Samuel LuporiniDEQUFBA EXEMPLO 72 Estimar a distância de percurso de uma gota esférica de água em escoamento originalmente 10 mm em diâmetro em ar seco imóvel a 323 K de modo a reduzir seu volume em 50 Assumir que a velocidade da gota é sua velocidade terminal avaliada no diâmetro médio e que a água permaneça a 293 K Avaliar as propriedades do gás para a temperatura média do filme gasoso de 308 K O sistema físico requer uma analise combinada de transporte de momento e massa A gota de água líquida é a fonte de transferência de massa o ar das vizinhanças serve como meio infinito e o vapor de água A é transferido A taxa de evaporação é pequena de maneira que a gota de água é considerada isotérmica a 293 K senão o transporte de calor também deveria ser combinado Considerando um balanço de força na partícula esférica no meio fluido nós podemos mostrar que a velocidade terminal da partícula é ar D ar água p o C 3 g d 4 ρ ρ ρ ϑ Onde dp diâmetro da partícula g aceleração da gravidade CD coeficiente de arraste função de Reynolds e da esfericidade que neste caso é 1 por ser considerada partícula esférica Resp 566m CILINDROS ÚNICOS Sublimação do cilindro sólido em ar escoando normal ao seu eixo 04 D M 056 G 0281 Re G PSc k válida para 400 ReD 25000 e 06 Sc 26 Onde P pressão total do sistema GM velocidade superficial molar do gás kgmolm2s ReD número de Reynolds em termos do diâmetro do cilindro Para outras faixa se Re e Sc podese utilizar analogia de ChiltonColburn jD jH Correlações para transferência de massa convectiva 78 Samuel LuporiniDEQUFBA EXEMPLO 73 Em um aparelho de umidificação a água líquida escoa em filme estreito sobre um cilindro vertical Ar seco a 310 K e 1013 x 105 Pa escoa em ângulo reto alinhado verticalmente ao cilindro de 0076 m de diâmetro e 122 m de comprimento a uma velocidade de 46 ms A temperatura do filme líquido é 290 K Calcular a taxa na qual o líquido deve ser suprido ao topo do cilindro se a superfície total do cilindro é usada para o processo de evaporação e nenhuma água deve escorrer a partir do fundo do cilindro O filme líquido do lado externo do cilindro representa a fonte de transferência de massa e a corrente de ar escoando normal ao cilindro representa o meio infinito As propriedades da corrente de ar são avaliadas para a temperatura média do filme de 300 K ρ 11769 kgm3 ν 15689 x 10 5 m2s Resp 114 x 104 kgs TRANSFERÊNCIA DE MASSA ENVOLVENDO ESCOAMENTO TURBULENTO ATRAVÉS DE CANOS 0 44 083 ln b AB c Sc 0023Re P p D k D para 2000 Re 35000 e 06 Sc 25 Gilliland and Sherwood 1 onde D é o diâmetro interno do cano pBln é a composição média logarítmica do gás de arraste avaliado entre a composição da superfície e a corrente bulk P é a pressão total DAB é a difusividade mássica do componente A se difundindo no gás de arraste B Re e Sc são avaliados nas condições bulk da corrente de escoamento 1 3 83 0 AB L Sc 0023Re D k D para 2000 Re 35000 e 1000 Sc 2260 Gilliland Sherwood e Linton2 TRANSFERÊNCIA DE MASSA EM COLUNAS DE PAREDE MOLHADA O coeficiente de transferência de massa convectivo para a corrente gasosa utiliza a equação 1 anterior O coeficiente para o filme líquido segue a correlação 0 4 L 6 1 2 3 2 2 1 AB L Re gz 0433 Sc D k z µ ρ Vivian and Peaceman 3 Correlações para transferência de massa convectiva 79 Samuel LuporiniDEQUFBA Onde z comprimento de contato DB difusividade mássica de A se difundindo em B ρ densidade do líquido B µ viscosidade do líquido B Sc número de Schmidt para o soluto dissolvido no líquido na temperatura do filme líquido µ π µ Γ D 4w 4 Re L w vazão mássica do líquido D diâmetro interno da coluna Γ vazão mássica do liquido por unidade de perímetro molhado da coluna EXEMPLO 74 Uma coluna de parede molhada de 2 esta sendo utilizada para absorver CO2 a partir de uma solução aquosa por uma corrente de ar escoando a 25 fts Para um ponto da coluna a concentração de CO2 na corrente de ar é 1 mol Para o mesmo ponto da coluna a concentração de CO2 na água é 05 mol Determinar o coeficiente de transferência de massa na fase gasosa e o fluxo mássico para o ponto da coluna A coluna é operada a 10 atm e 25º C TRANSFERÊNCIA DE MASSA EM LEITOS FIXO E FLUIDIZADO Adsorção troca íons cromatografia reações gasosas catalisadas em superfícies sólidas Equação de Sherwood Pigford e Wilke para leito fixo 415 0 D 1 17Re j 10 Re 2500 onde µ ρ dpu ave Re uave velocidade superficial do fluido dp diâmetro da esfera que tem a mesma superfície ou volume como a partícula Correlações para transferência de massa convectiva 710 Samuel LuporiniDEQUFBA Transferência de massa entre líquidos e leitos de esferas equação de Wilson e Geankoplis e R 1 09 jD ε para 00016 e R 55 165 Sc 70600 e 035 ε 075 031 D e R 025 j ε para 55 e R 1500 165 Sc 10690 e R é definido em termos do diâmetro da partícula velocidade mássica superficial do fluido G massa por unidade de tempo por unidade da seção transversal da torre sem recheio ε é a fração de vazios volume total do espaço vazio mais as partículas sólidas volume do espaço vazio entre as partículas sólidas ε Correlação de Gupta e Thodos para gases e leito de esferas 0575 D e R 206 j ε para 90 e R 4000 Correlação de Gupta e Thodos para gases e líquidos em leito de esferas fluidizado 0483 e R 0863 0010 j 058 D ε Mais detalhes sobre transferências de massa calor e momento em leitos fluidizados se encontra no livro de Kunii Levenspiel Fluidization Engineering Wiley New York 1969 Correlações para transferência de massa convectiva 711 Samuel LuporiniDEQUFBA EXEMPLO 75 Para realizar ensaios de transferência de massa construíse uma coluna que se comportasse como leito fixo e fluidizado dependendo da velocidade de injeção do fluido de trabalho na base do equipamento Para proceder a experimentação esferas de naftaleno de 29 mm de diâmetro e massa especifica igual a 1145 gcm3 foram eleitas como material de teste Utilizando ar seco como fluido de trabalho a 25º C e 1 atm Sc 245 e DAB 00611 cm2s determine a O valor de Sherwood da partícula quando o ar é injetado a 1491 cms na base da coluna Nessa condição observouse que o leito comportarase como fixo de porosidade 049 Utilize a correlação apresentada neste tópico e compare os resultados obtidos com o experimental que é 1295 b Mantendose a carga de partículas presentes no item anterior estime o valor do ShP para o caso da velocidade do ar ser duplicada Nesse caso assumese que o leito comportase como fluidizado com porosidade igual a 069 uo Correlações para transferência de massa convectiva 712 Samuel LuporiniDEQUFBA ENXAME DE BOLHAS ESFÉRICAS Introdução do gás em líquidos através de orifícios gerando o enxame de bolhas Comportamento diferente aos de esferas rígidas Calderbank e MôoYoung transferência de um soluto A do gás para o solvente liquido B através de grande quantidade de bolhas contendo o gás A 1 3 3 1 AB L b Sc 031Gr D k d Sh para db 25 mm 1 2 3 1 AB L b Sc 042Gr D k d Sh para db 25 mm 2 L L 3 b g d Gr µ ρ ρ ρ diferença de densidade do líquido e a densidade do gás no interior da bolha ρL e µL avaliados nas propriedades bulk da mistura Para relacionar o fluxo NA com a taxa de transferência a razão hold updo gás deve ser conhecida φg V V Volume do líquido Volume das bolhas de gás g g φ A área da interface de transferência de massa por unidade de volume para bolha é b 3 b 2 b b g g i d 6 d 6 d Volume da bolha da bolha área pois d 6 Volume da bolha área da bolha V V V A π π φ φg 02 para muitos casos e t g ϑ ϑ φ com a agitação mecânica do líquido Correlações para transferência de massa convectiva 713 Samuel LuporiniDEQUFBA Para transferência de massa de gases a líquidos em tanques agitados por impulsor Devido as colisões continuas das bolhas de gás borbulhando e a agitação mecânica do impulsor a área interfase para transferência de massa é impossível de ser medida Nestes casos a medida do coeficiente de transferência de massa para tanques agitados são colocadas na forma de coeficiente de capacidade por exemplo kLa O parâmetro a é definido como Volume do líquido área disponivel para transferência de massa interfase V A a i Conversão de unidades 1 3 2 i L s m m s m V A k a k L A A L i A A c k a V c V V A N w Equações de Vant Riet para transferência de O2 em água com bolhas de ar coalescendo 05 gs 0 4 g 2 O L u V P 216x10 a k 2 para V 26 cm3 de líquido e Transferência de O2 em água com bolhas de ar que não coalescem 02 gs 07 g 3 O L u V P 2x10 a k 2 para V 26 cm3 de líquido Ambas valendo para 500 V Pg 10000 wm3 3 g m W Volume líquido poência de consumo da aeração V P ugs velocidade superficial do gás escoando através do recipiente vazio ms vazão volumétrica do gásárea da seção transversal Correlações para transferência de massa convectiva 714 Samuel LuporiniDEQUFBA EXEMPLO 76 Num projeto de remediação airada para tratamento de água contaminada com tricloroetileno TCE a uma concentração de 50 mgL A trincheira é um duto aberto de 1 m de largura W e profundidade de 2 m H e a vazão volumétrica da água de lavagem adicionada a trincheira é 01 m3s O ar é borbulhado no fundo do duto a uma taxa que fornece um hold up de gás de 002 m3 de gás por 1 m3 de água e o diâmetro médio das bolhas é 001 m Determine o comprimento da trincheira necessária para reduzir a concentração do efluente TCE para 005 mgL A temperatura do processo é 293 K e a pressão do sistema é 1 atm Estado estacionário Processo contínuo onde TCE é transferido da água de lavagem para o gás de aeração Variação do perfil apenas na direção axial boa mistura Ar Solo Forro z z z NAAi Atmosfera W 1 m H 2 m Equipamentos de transferência de massa 81 Samuel LuporiniDEQUFBA CAPÍTULO 8 EQUIPAMENTOS DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA Exemplos típicos de equipamentos de transferência de massa incluem 1 Transferência do soluto de uma fase gasosa para uma fase líquida absorção desudimificação e destilação 2 Transferência do soluto de uma fase líquida para uma fase gasosa desorção ou stripping e umidificação 3 Transferência de um soluto da fase líquida para uma segunda fase líquida imiscível ex fase aquosa para hidrocarboneto extração líquidolíquido 4 Transferência de um soluto a partir de um sólido para uma fase fluido secagem e lavagem leaching 5 Transferência de um soluto a partir de um fluido para a superfície de um sólido adsorção coluna troca íons Torres e tanques contato íntimo as duas fases 81 TIPOS DE EQUIPAMENTOS DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA Classificação em 4 tipos gerais de acordo com o método usado para produzir contato entre as duas fases TORRES DE BOLHAS Consiste de uma câmara aberta na qual a fase líquida escoa e a fase gasosa é dispersa no líquido na forma de pequenas bolhas As bolhas fornecem a área de contato desejada A fase líquida normalmente controla a taxa de transferência de massa Ex absorção de gases parcialmente insolúveis como a oxidação pelo ar na água O tempo de contato e a área de contato determinam a quantidade de massa transferida entre as fases Operações de tratament o de água tanque de mistura aeróbios Oxidação biológica Equipamentos de transferência de massa 82 Samuel LuporiniDEQUFBA Figura 1 torre de bolhas TORRES DE SPRAY O gás escoa para cima numa câmara aberta e a fase líquida é introduzida na parte superior por atomização na forma de pequenas gotas em contracorrente a fase gasosa As pequenas gotas garantem uma grande área de contato entre as duas fases Gases altamente solúveis A resistência da fase gasosa normalmente controla a taxa de transferência de massa Figura 2 torres spray Saída do líquido Entrada do líquido Entrada do gás Saída do gás Z Saída do líquido Entrada do líquido Entrada do gás Saída do gás Z Equipamentos de transferência de massa 83 Samuel LuporiniDEQUFBA TORRES DE RECHEIO Envolve o contato contracorrente continuo entre duas fases imiscíveis As torres são colunas verticais preenchidas com recheio ver figura Uma variedade de materiais para recheios é usada como cerâmicas e plásticos A proposta do recheio é fornecer uma grande área de contato entre as duas fases imiscíveis O líquido é distribuído sobre o leito e escoa sobre a superfície do recheio com um filme líquido O gás geralmente escoa para cima em contracorrente ao líquido Sistemas gáslíquido na qual as resistências de ambas as fases controlam a taxa de transferência de massa ambas são importantes Ex torre de resfriamento onde a água é recirculada como meio de transferência de calor condicionador de ar natural Anéis de Raschig Selas de Berl Anéis de Lessing Anéis de Pall Figura 3 Recheios comuns na industria Figura 4 torre de recheio Saída do líquido Entrada do líquido Entrada do gás Saída do gás Z Equipamentos de transferência de massa 84 Samuel LuporiniDEQUFBA TORRES DE PRATOS São as torres mais comumente utilizadas nas industrias Mecanismo combinado torre de bolhas com torre spray Em cada prato as bolhas de gás são formadas a partir do fundo do liquido pobre forçando o gás através de pequenos orifícios no prato ou sobre válvulas imersas no liquido A transferência de massa interfase ocorre durante a formação das bolhas e quando as bolhas aumentam em dímetro através do liquido agitado Os pratos são arranjados um em cima do outro em uma torre cilíndrica fig5 O líquido escoa cruzando o primeiro prato superior e então os pratos abaixo O vapor aumenta através de cada prato Torres de pratos não podem ser projetadas por equações obtidas por integração sobre uma área continua de contato interfase São projetadas por cálculos para cada estágio ou prato Figura 5 Torre de pratos Equipamentos de transferência de massa 85 Samuel LuporiniDEQUFBA 82 OPERAÇÕES DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA GÁSLÍQUIDO EM TANQUES BEM AGITADOS A aeração é uma operação de contato gáslíquido onde o ar comprimido é introduzido no fundo de um tanque de água liquida através de pequenos orifícios dispersos como tubos perfurados tubo ou placas porosas O agitador turbina quebra as bolhas e dispersa através do líquido ocorre um processo de absorção ou stripping Figura 6 Tanque agitado airado Absorção O soluto no gás de aeração é transferido para o líquido Muitas vezes o soluto é o oxigênio gasoso presente no ar a qual é poupadamente solúvel em água A absorção de oxigênio na água é muito importante em muitos processos de engenharia química Stripping O soluto volátil dissolvido é transferido do líquido para o gás de aeração importante em processos de tratamento de água em engenharia ambiental Quando o gás está disperso em uma fase continua líquida a fase líquida controla a taxa de transferência de massa portanto o balanço de massa para transferência de massa do soluto é feito para a fase líquida Equipamentos de transferência de massa 86 Samuel LuporiniDEQUFBA A transferência de massa do soluto A nos filmes gás e liquido baseado no coeficiente global de transferência de massa é ver cap 6 A A L A c c K N 1 A taxa de transferência de massa é A A L A A i L A c K aV c c c V V A K W 2 onde H p c A A Lei de Henry pA pressão parcial de A na fase bulk KLa coeficiente de capacidade pois o área de interface de TM por unidade de volume é difícil de se medir O processo da figura 6 é continuo se for batelada eliminase a corrente de entrada e saída e o balanço de massa no estado transiente para o soluto A na fase liquida fica dt V d c V R A N c c A homogenea não há reação 0 A i A 0 A 0 0 A 0 ϑ ϑ 3 2 1 43 42 1 3 Como V constante portanto dt V dc c aV c K A A A L cA constante logo t 0 L c c A A A dt K a c c dc A A 0 4 ficando a t K A 0 A A A L e c c c c 5 se t c c A A Para processo continuo no estado estacionário temos Equipamentos de transferência de massa 87 Samuel LuporiniDEQUFBA 4243 1 3 2 1 43 42 1 estacionário estado 0 A homogenea não há reação 0 A i A saída A entrada 0 A 0 dt V d c V R A N c c ϑ ϑ 6 Para processos com soluções diluídas as vazões volumétricas ϑ0 ϑ a equação 6 fica 0 c K a V c c c A A L A A 0 ϑ ou a K V K a c V c c L 0 A L A 0 0 A ϑ ϑ 7 EXEMPLO 81 O projeto de um sistema de aeração para processos de fermentação aeróbia é baseado na transferência de massa gáslíquido Microorganismos crescem numa suspensão líquida e são alimentados por nutrientes dissolvidos em glicose e sais minerais Microorganismos aeróbios em líquidos suspensos também requerem oxigênio para o seu crescimento Se o oxigênio não é suprido com uma taxa suficiente para suportar o crescimento da célula as células morrerão No presente processo Aerobacter aerogenes está sendo cultivado dentro de um fermentador continuo de 3 m3 de volume líquido V e o diâmetro do tanque dT de 15 m O meio nutriente fresco contem uma quantidade de traços de oxigênio dissolvido a uma concentração de 001 mol O2m3 entrando no fermentador a uma vazão de 18 m3h Para condições de estado estacionário o fermentador aeróbio opera a uma concentração celular cX de 5 kg de massa sêcam3 de cultura líquida A concentração celular é determinada por taxa de crescimento especifico dos organismos e a composição nutriente do meio líquido A suspensão celular líquida consome oxigênio proporcionalmente a concentração da célula de acordo com a equação da taxa X 0 A q c R onde q0 é a taxa de consumo de oxigênio especifico das células 20 mol O2kg de célulah que é assumido constante Determinar o valor de KLa necessário para assegurar que a concentração de oxigênio na cultura líquida cA é pelo menos 005 molm3 Determinar a potencia de entrada para 3 m3 do fermentador se a vazão de gás no fermentador é 1 m3 de armin para as condições do processo a 298 K e 1 atm Assumir que as bolhas não coalescem Para 298 K a constante da lei de Henry para o oxigênio dissolvido no meio nutriente líquido é 0826 atmm3mol Resp KLa 0136 s1 e Pg 4716 W Equipamentos de transferência de massa 88 Samuel LuporiniDEQUFBA Eckenfelder desenvolveu uma correlação geral par transferência de oxigênio de bolhas de ar para o liquido V h Q V A K 078 1 n g g L θ 8 onde θg constante de acordo com o tipo de dispersador Qg taxa de escoamento do gás ftmin n constante que depende do tamanho dos orifícios do dispersador h profundidade abaixo da superfície líquida para qual o ar é introduzido no tanque Um gráfico para a equação 8 é representado abaixo Figura 7 fator de transferência de oxigênio para um único dispersor num tanque de aeração EXEMPLO 82 Uma lagoa de aeração de 566 m3 é airada com 15 dispersores cada um usando ar comprimido a uma taxa de 708 x 103 m3s Os dispersores estão localizados a 457 m abaixo da superfície da lagoa Encontrar o tempo requerido para aumentar o oxigênio dissolvido de 2 mgL para 5 mgL se a temperatura da água é de 293 K Resp 1540 s Equipamentos de transferência de massa 89 Samuel LuporiniDEQUFBA 83 BALANÇO DE MASSA PARA TORRES DE CONTATO CONTÍNUO EQUAÇÕES PARA A LINHA DE OPERAÇÃO São quatro fundamentos importantes que constituem a base de projeto para equipamentos de contato contínuo 1 Balanço material e de entalpia envolvendo equações de conservação da massa e energia forma a expressão para avaliar a composição bulk das duas fases em contato em algum ponto da torre bem como a mudança nas composições bulk entre dois pontos da torre 2 Equilíbrio interfase leis termodinâmicas capítulo 6 3 Equações de transferência de massa desenvolvidas nas formas diferenciais combinadas com o balanço diferencial de massa e quando integrado sobre a área interfacial de contato fornece o comprimento requerido na troca de massa 4 Equações de transferência de momento importante para avaliar a queda de pressão no equipamento Escoamento contracorrente Considerando alguma operação no estado estacionário que envolve o contato contracorrente de duas fases insolúveis como mostra a fig 8 As duas fases insolúveis são identificadas como G e L Figura 8 Processo contracorrente no estado estacionário z z1 z z2 z G1 yA1 YA1 G2 yA2 YA2 Gz yAz YAz Lz xAz XAz L2 xA2 XA2 L1 xA1 XA1 Equipamentos de transferência de massa 810 Samuel LuporiniDEQUFBA Para o fundo da torre temos as definições G1 Vazão molar de entrada da fase G moles da fase Ghárea da seção transversal da torre L1 Vazão molar de entrada da fase L moles da fase Lhárea da seção transversal da torre yA1 fração molar de A na fase G moles de Amoles total na fase G xA1 fração molar de A na fase L moles de Amoles total na fase L As definições são similares para o topo da coluna no plano z2 O balanço global macroscópico de massa para o componente A no trocador de massa no estado estacionário na qual não ocorre produção química de A ou desaparecimento de A requer deixando na torre moles de A entrtando na torre moles de A ou A1 1 A 2 2 A 2 2 1 A1 L x G y L x G y 1 Um balanço de massa para o componente A no plano z z1 e um plano arbitrário z é A1 1 Az z Az z 1 A1 L x G y L x G y 2 As equações ficam mais fáceis de manipular se forem designadas concentrações por unidade de concentração livre de soluto como A A A y 1 y Y 3 A A A x 1 x X 4 Onde YA moles de A em G por mol livre de A em G XA moles de A em L por mol livre de A em L As taxas de escoamento usadas com unidades livres de soluto são LS moles da fase L sobre uma base livre de soluto GS moles da fase G sobre uma base livre de soluto A 2 2 A1 1 S A 2 2 A1 1 S y 1 G y 1 G G x 1 L x 1 L L Equipamentos de transferência de massa 811 Samuel LuporiniDEQUFBA O balanço global de A pode ser escrito em termos livre de soluto A1 S A 2 S A 2 S A1 S L X G Y L X G Y ou A 2 A1 S A 2 A1 S X X L Y Y G 5 Logo A 2 1 A A 2 1 A S S X X Y Y G L 6 Equação 6 equação de uma reta que passa por XA1YA1 e XA2YA2 com inclinação LSGS Um balanço de massa em A no plano z1 e o plano arbitrário z em termos livre de soluto A1 S Az S Az S A1 S L X G Y L X G Y ou Az A1 S Az A1 S X X L Y Y G 7 Logo Az 1 A Az 1 A S S X X Y Y G L 8 Equação 7 equação de uma reta que passa por XA1YA1 e XAzYAz com inclinação LSGS Equação 5 Equação 7 A equação 7 é uma expressão geral relacionando as composições bulks das duas fases para algum ponto do trocador de massa Esta define as condições operacionais dentro do equipamento é linha de operação para operações contracorrente Figura 9 Ilustra a localização da linha de operação relativa a linha de equilíbrio para transferência de soluto da fase G para a fase Labsorção O equilíbrio bulk localizado sobre a linha de operação deve ser maior do que a concentração de equilíbrio para fornecer uma força direcional Ai AG Y Y ou seu equivalente Ai AG p p ou A AG Y Y ou seu equivalente A AG p p necessária para transferir a partir da fase G para fase L Equipamentos de transferência de massa 812 Samuel LuporiniDEQUFBA Figura 9 Processo contracorrente no estado estacionário transferência a partir da fase G para a L Figura 10 Processo contracorrente no estado estacionário transferência a partir da fase L para a G Figura 10 Ilustra a localização da linha de operação relativa a linha de equilíbrio para transferência de soluto da fase L para a fase Gstripping A localização da linha de operação abaixo da curva de equilíbrio assegura uma força direcional AL Ai x x ou seu equivalente AL Ai c c ou AL A x x ou seu equivalente AL A c c necessária para transferir a partir da fase L para fase G YA YA1 YA2 XA2 XA1 S S G L inclinação Linha de operação Curva de equilíbrio YAi versus XAi YA YA1 YA2 XA2 XA1 XA S S G L inclinação Linha de operação Curva de equilíbrio YAi versus XAi XA Equipamentos de transferência de massa 813 Samuel LuporiniDEQUFBA O balanço de massa para o componente A sobre o comprimento diferencial dz é facilmente obtido pela diferenciação da equação 7 Esta equação diferencial A S A S G dY L dX relaciona a transferência molar em operações contracorrente pelo tempo e pela área da seção transversal disponível no comprimento dz No projeto de equipamentos de transferência de massa a vazão de pelo menos uma fase e três das 4 composições de entrada e saída devem ser fixadas pelo requisito do processo A necessidade da vazão da segunda fase é muitas vezes a variável projetada Três possíveis linhas de operação são mostradas na figura 11 A inclinação decresce quando o valor da vazão LS decresce O mínimo LS que deve ser usado corresponde a linha de operação que toca a linha de equilíbrio Para o ponto de tangencia a força direcional é zero e a transferência de massa entre as duas fases não ocorre Isto representa a condição limite a razão mínima LSGS para transferência de massa Figura 11 Localização da linha de operação YA YA1 YA2 XA2 XA inclinações Curva de equilíbrio LSGS1 LSGS2 LSGS3 P1 P2 P3 Equipamentos de transferência de massa 814 Samuel LuporiniDEQUFBA EXEMPLO 83 A amônia deve ser absorvida a partir de uma mistura com ar a 293 K e 1013 x 105 Pa de pressão numa torre de recheio contracorrente usando água a 293 K como absorvente A vazão do gás de entrada é 121 x 102 m3s e uma corrente de água sem amônia de 946 x 103 kgs será utilizada Se a concentração da amônia NH3 é reduzida de 352 129 por volume determine a razão S min S real S S G L G L Os dados de equilíbrio para o sistema a 293 K e 1013 x 105 Pa são os seguintes mol de H O kg kg mol de NH X 2 3 00164 00252 00349 00455 00722 mol de H O kg kg mol de NH Y 2 3 0021 0032 042 0053 008 Resp 138 Equilíbrio X Y kg mol de NH3 kg mol de NH3 kg mol de H2O kg mol de H2O 0 0 00164 00210 00252 00320 00349 00420 00455 00530 00722 00800 linha de operação 0 00131 00215 00365 Equipamentos de transferência de massa 815 Samuel LuporiniDEQUFBA 0 00131 00215 00365 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 000 001 002 003 004 005 006 007 008 XA moles de NH3mol de água YA mol de NH3mol de ar Curva de equiíbrio Linha de operação LsGsmin 00296 Escoamento cocorrente Para operações e transferência de massa no estado estacionário envolvendo contato cocorrente de duas fases imiscíveis mostrada na figura 14 o balanço de massa global para o componente A com base livre de soluto é Figura 14 Processo cocorrente no estado estacionário z z1 z z2 z G1 GS yA1 YA1 G2GS yA2 YA2 Gz GS yAz YAz LzLS xAz XAz L2LS xA2 XA2 L1 LS xA1 XA1 Equipamentos de transferência de massa 816 Samuel LuporiniDEQUFBA A1 S A1 S A 2 S A 2 S L X G Y L X G Y ou A1 A 2 S A 2 A1 S X X L Y Y G 1 Logo A 2 1 A A 2 1 A S S X X Y Y G L Equação 1 equação de uma reta que passa por XA1YA1 e XA2YA2 com inclinação LSGS Um balanço de massa em A no plano z1 e o plano arbitrário z em termos livre de soluto A1 S A1 S Az S Az S L X G Y L X G Y ou A1 Az S Az A1 S X X L Y Y G 2 Logo Az 1 A Az 1 A S S X X Y Y G L Equação 1 e equação 2 ambas são equações de uma reta que passa por um ponto comumXA1YA1 com a mesma inclinação LSGS A equação 2 é uma expressão geral que relaciona a composição das duas fases em contato para algum ponto do equipamento É designada como equação da linha de operação para operações cocorrente As figuras 15 e 16 ilustram a localização do linha de operação relativa a curva de equilíbrio Figura 15 Processo cocorrente no estado estacionário transferência a partir da fase G para a L YA YA1 YA2 XA2 XA1 XA S S G L inclinação Linha de operação Curva de equilíbrio YAi versus XAi Equipamentos de transferência de massa 817 Samuel LuporiniDEQUFBA Figura 16 Processo contracorrente no estado estacionário transferência a partir da fase L para a G Um balanço de massa para o componente A sobre o comprimento diferencial dz para escoamento cocorrente A S A S G dY L dX que verifica a inclinação para a linha de operação em operação cocorrente de LSGS EXEMPLO 84 Uma corrente de aramônia descrita no exemplo 3 é alimentada cocorrentemente com uma corrente de água sem amônia A concentração da amônia deve ser reduzida de 352 para 129 por volume usando uma corrente de água 137 vezes a mínima Determine a a razão mínima LSGS b vazão real de água e c concentração na corrente aquosa de saída YA YA1 YA2 XA2 XA1 S S G L inclinação Linha de operação Curva de equilíbrio YAi versus XAi XA Equipamentos de transferência de massa 818 Samuel LuporiniDEQUFBA Equilíbrio X Y kg mol de NH3 kg mol de NH3 kg mol de H2O kg mol de H2O 0 0 00164 00210 00252 00320 00349 00420 00455 00530 00722 00800 linha de operação 0 00365 00072 00131 0 00365 00072 00131 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 000 001 002 003 004 005 006 007 008 XA moles de NH3mol de água YA mol de NH3mol de ar Curva de equiíbrio Linha de operação LsGsmin Equipamentos de transferência de massa 819 Samuel LuporiniDEQUFBA 84 BALANÇO DE ENTALPIA PARA TORRES DE CONTATO CONTÍNUO Muitas operações de transferência de massa são isotérmicas principalmente quando envolve misturas diluídas No entanto quando grandes quantidades de soluto são transferidas o calor de mistura pode produzir um aumento de temperatura na fase receptora Se a temperatura da fase muda a solubilidade no equilíbrio do soluto será alterada e a força de difusão também se alterará Considerando um processo contracorrente como da figura 8 um balanço entalpico no plano z z2 e um plano arbitrário z temos L G 2 2 G L 2 2 LH G H GH L H 1 Onde H entalpia molar da corrente em sua temperatura particular pressão e concentração As entalpias são normalmente baseadas sobre uma referencia de solvente livre de soluto e soluto puro para uma temperatura base escolhida T0 A entalpia normal de uma mistura líquida é avaliada sobre uma temperatura base pela relação S avg 0 L pL L H M T T c H 2 Onde HL entalpia da corrente liquida kJmol cpL capacidade calorífica da mistura sobre uma base mássica kJkgK TL temperatura da mistura K Mavg massa molecular media da mistura HS calor integral da solução em T0 e para a concentração da mistura kJmol A entalpia molar para a mistura gasosa com a mesma temperatura base e estado padrão do soluto é soluto f g soluto soluto 0 G livresolutoda faseG pG livresolutofaseG soluto soluto pG soluto soluto G M h y T T M c y 1 M c y H Onde HG entalpia da corrente gasosa kJmol cpG capacidade calorífica na fase gas kJkgK TG temperatura da mistura gasosa K hfg soluto calor de vaporização do soluto kJkg Equipamentos de transferência de massa 820 Samuel LuporiniDEQUFBA 85 COEFICIENTES DE CAPACIDADE PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Coeficiente individual de transferência de massa kG foi definido pela expressão A i AG G A p p k N 1 Coeficiente global de transferência de massa KG foi definido pela expressão A AG G A p p K N 2 Para coluna de parede molhada as equações 1 e 2 são convenientes pois possui a área da superfície interfacial definida Outros equipamentos de transferência de massa são impossíveis de se medir a área da superfície interfacial por esta razão a é introduzido como área da superfície interfacialvolume área da seção transversal tempo de A transferido moles dz comprimento volume a área interfacial área interfacial tempo moles de A transferido N A ou dz p a p k a dz N A i AG G A 3 e dz p a p K a dz N A AG G A 4 Onde kGa coeficiente de capacidade de transferência de massa individual KGa coeficiente de capacidade de transferência de massa global São combinados como um produto Pa m s gmol de A pressão volume tempo de A transferido moles volume área interfacial pressão área interfacial tempo moles de A transferido a k 3 G Na fase líquida L temos Equipamentos de transferência de massa 821 Samuel LuporiniDEQUFBA dz c a c k a dz N AL A i L A 5 e dz c a c K a dz N AL A L A 6 de solução m gmol de A m s gmol de A a k 3 3 L 86 ANÁLISES DE EQUIPAMENTOS DE CONTATO CONTÍNUOS Coeficiente de capacidade global constante Hipóteses isotérmico contracorrente KYa constante O balanço de massa do componente A sobre o comprimento diferencial dz é descrito como A S A S G dY L dX área da seção transversal tempo moles de A transferido 1 A transferência de massa do componente A no comprimento diferencial dz é definido por dz Y a Y K adz N área da seção transversal tempo moles de A transferido A A Y A 2 A transferência de A a partir da fase gasosa G para a fase líquida L fica dz Y a Y K dY G A A Y esta perdendo A fase G a A S 4243 1 ou A A A Y S Y Y dY a K G dz Equipamentos de transferência de massa 822 Samuel LuporiniDEQUFBA 2 A 1 A 2 1 Y Y A A A Y S z z Y Y dY a K G dz 3 4 Pela curva de equilíbrio e a linha de operação fig 19 podemos avaliar A A Y Y e calcular o recíproco A A Y 1 Y plotando contra YA fig 20 e encontrando a área sob a curva Figura 19 Avaliação de A A Y Y a força direcional global YA YA1 YA2 XA2 XA1 XA Linha de operação Curva de equilíbrio YA A Y 4 4 4 3 4 2 1 gráfica ou numérica integração Y Y A A A Y S 1 2 de troca de massa o compriment 1 A A 2 Y Y dY a K G z z z Equipamentos de transferência de massa 823 Samuel LuporiniDEQUFBA Figura 20 Avaliação da integral 1 A 2 A Y Y A A A Y Y dY Após obter a área sob a curva da figura 20 podemos avaliar o comprimento do trocador de massa pela equação 4 Para transferência da fase L para a fase G desorção ou stripping temos dz Y a Y K dY G A A Y esta ganhando A fase G a A S 4243 1 44 3 44 2 1 4 4 4 3 4 2 1 gráfica ou numérica integração Y Y A AG A Y S gráfica ou numérica integração Y Y A A A Y S 1 2 de troca de massa o compriment 1 A 2 A 1 A A 2 p p dY a K G Y Y dY a K G z z z 5 Em termos da fase líquida para a transferência de massa de A a partir da fase G para a fase L temos dz X a X K L dX A A X esta ganhando A fase L a A S 43 42 1 A A Y Y 1 YA2 YA1 YA 1 A 2 A Y Y A A A Y Y dY Área Equipamentos de transferência de massa 824 Samuel LuporiniDEQUFBA 44 3 44 2 1 gráfica ou numérica integração X X A A A X S 1 2 de troca de massa o compriment 1 A A 2 X X dX a K L z z z 7 z é avaliado com o mesmo procedimento da fase G Coeficiente de capacidade global variável O coeficiente de capacidade global variável quando a inclinação da linha de equilíbrio varia dentro da região que incluem as concentrações bulk e interfacial No caso se as linhas de equilíbrio tiver curvatura pronunciada o cálculo exato é baseado sobre um dos coeficientes de capacidade individual O balanço de massa para A sobre um comprimento diferencial dz é A S A S G dY L dX 1 YA moles de A por mol livre de A ambos na fase G ou seja A A A y 1 y Y que diferenciando fica 2 A A A y 1 dy dY Substituindo em 1 2 A A S A S A y 1 dy G L dX adz N 2 Sabemos que dz p a p k a dz N A i AG G A 3 Combinando 2 com 3 AG 2 Ai AG G AG S y 1 p a p k G dy dz ou Equipamentos de transferência de massa 825 Samuel LuporiniDEQUFBA AG 2 Ai AG G AG S y 1 y aP y k G dy dz A composição interfacial yAi e xAi pode ser encontrada para cada ponto da linha de operação dirigindo uma reta até tocar a linha de equilíbrio As inclinações destas retas são G L k k para gráfico pA contra cA ou G L Pk ck para gráfico yA contra xA ver figuras 21 Figura 21 Determinação da composição interfacial para transferência a partir da fase G para a fase L Força direcional média logarítmica Hipóteses Para correntes relativamente diluídas Curva de equilíbrio e linha de operação linear em termos de frações molares na faixa de concentração envolvida G1 G2 G e L1 L2 L Logo o balanço de massa aproximado A Ai A Ai y G y x L x 1 ou A A Gdy Ldx 2 dz y aP y K adz N A A G A 3 Definindo A A y y Equipamentos de transferência de massa 826 Samuel LuporiniDEQUFBA A 2 1 A 2 1 A y y dy d Como A G A A A G dy aP K G y y dy aP K G dz Ou d y y aP K G dz 2 1 A 2 1 A G Integrando e rearranjando A ln A A 2 1 A G y y y y aP K G z 4 onde 2 A A 1 A A 2 A A 1 A A ln A A y y y y ln y y y y y y 5 Similarmente em termos de coeficiente de capacidade global para a fase líquida temos A ln A A 2 1 A L x x x x ac K L z 6 onde 2 A A 1 A A 2 A A 1 A A ln A A x x x x ln x x x x x x 7 EXEMPLO 85 A amônia é absorvida a partir do ar a 293 K e 1013 x 105 Pa de pressão em uma torre de recheio contracorrente de 05 m de diâmetro utilizando água livre de amônia como absorvente A vazão do gás de entrada é 02 m3s e a vazão da água de entrada 203 kgs Sob estas condições o coeficiente de capacidade global KYa pode ser assumido para ser A 3 Y s m mol 80 A fração molar da amônia será reduzida de 00825 para 0003 A torre será resfriada operação ocorrera a 293 K os dados de equilíbrio do exemplo 3 poder ser usado Determinar o comprimento do trocador de massa Equipamentos de transferência de massa 827 Samuel LuporiniDEQUFBA X Y kg mol de NH3 kg mol de NH3 kg mol de H2O kg mol de H2O 00164 00210 00252 00320 00349 00420 00455 00530 00722 00800 y 2839x2 13098x R2 09993 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 000 002 004 006 008 X Y Dados de equilíbrio Polinômio Dados de equilíbrio Equipamentos de transferência de massa 828 Samuel LuporiniDEQUFBA YA XA YA Y Y 1Y Y 1Y Ymédo YA 1Y YmédoYA 0003 000003 000004 000296 3376823 2996194894 0007 2097336426 001 000477 000618 000382 2615567 2255574282 001 2255574282 002 001153 001472 000528 1895582 1663360319 001 1663360319 003 001830 002301 000699 1431139 1273647849 001 1273647849 004 002506 003104 000896 1116157 1004864383 001 1004864383 005 003183 003881 001119 8935719 8122129633 001 0812212963 006 003859 004632 001368 730854 6696731932 001 0669673193 007 004536 005357 001643 6084924 5613770455 001 0561377045 008 005212 006055 001945 5142617 4772352068 001 0477235207 009 005889 006728 002272 4402087 Área total 1081528167 y 721827x 3 150572x 2 11309x 36543 R2 09986 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 002 004 006 008 01 Y 1YY