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1 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 41 Definição e conceitos básicos Definição 11 Uma equação diferencial ordinária é uma equação da forma 0 n n dx d y dx f x y dy ou 0 y n f x y y envolvendo uma função incógnita y y x e algumas das suas derivadas em ordem a x Exemplos 12 1 dx xy 0 dy 2 x y y 3 0 2 2 y dy x dx y x Definição 13 Chamase ordem da equação diferencial à maior das ordens das derivadas que nela aparecem Por exemplo a equação diferencial ex x y é de primeira ordem a equação diferencial 2 9 x xy y é de nona ordem a equação diferencial 2 2 2 2 3 t s dt ds dt d s é de segunda ordem Resolver a equação diferencial consiste em encontrar funções y y x que a satisfaçam 2 Definição 14 Chamase solução de uma equação diferencial de ordem n no intervalo I a uma função y g x definida nesse intervalo juntamente com as suas derivadas até à ordem n que satisfaz a equação diferencial ou seja I x x g f x g x g x n 0 Exemplo 15 Mostre que y Cex é uma solução da equação 0 y y Resolução De y Cex resulta que y Cex Substituindo na equação dada as expressões de y e y obtémse 0 x x Ce Ce pelo que a função y Cex satisfaz a equação diferencial dada qualquer que seja o valor da constante arbitrária C Exemplo 16 Mostre que a função 2 2 2 1 0 x x t x C e e dt e y é solução da equação 1 2 y xy Resolução De 2 2 2 1 0 x x t x C e e dt e y resulta que x C e e e e dt xe y x x x x t x 2 2 2 2 2 2 2 1 0 isto é 2 2 2 1 0 1 2 2 x x t x xC e e dt xe y Substituindo as expressões y e y no 1º membro da equação diferencial obteremos 1 3 Definição 17 Chamase solução geral ou integral geral de uma equação diferencial ordinária a toda a solução que envolva uma ou mais constantes arbitrárias Definição 18 Chamase solução particular ou integral particular de uma equação diferencial ordinária a toda a solução obtida atribuindo valores às constantes arbitrárias da solução geral Exemplo 19 A taxa de desintegração perda de massa de uma substância radioactiva é proporcional à massa que fica Isto é se x t representa a massa existente num instante t temse kx dt dx sendo k uma constante positiva característica da substância Determine a massa existente num instante t Resolução Vamos resolver a equação diferencial kx dt dx isto é kx x Sendo x 0 vem ln 1 C e x e e x C kt x kdt x dt x k x x kt C kt Esta solução t x vem afectada duma constante arbitrária 1 C representando assim uma família de funções soluções ou seja C1 e x t kt é a solução geral da equação diferencial 4 Se x 0 2 temse 2 0 1 1 0 C C e x k Logo e kt x t 2 é uma solução particular pois já não envolve nenhuma constante arbitrária Definição 110 Chamamse condições iniciais as condições relativas à função incógnita e suas derivadas dadas para o mesmo valor da variável independente Definição 111 Chamamse condições de fronteira as condições relativas à função incógnita e suas derivadas dadas para valores distintos da variável independente Nota A constante C devese à primitivação que foi necessário fazer É evidente que se a equação envolvesse derivadas até uma certa ordem n seria necessário primitivar n vezes logo a solução geral envolveria n constantes arbitrárias Neste caso para obter uma solução particular seria necessário conhecer n condições Exemplo 112 Resolva a equação diferencial 0 2 y e indique a solução da equação que satisfaz as condições y 1 0 e 2 0 y Resolução 2 1 2 1 2 2 0 2 C C x x y C x y y y 5 y vem afectada de duas constantes arbitrárias representando por isso uma família de funções soluções Dizse por isso que 2 1 2 C C x x y x é a solução geral da equação diferencial y 1 0 0 1 2 1 C C Como 1 2 C x y x 2 0 y C1 2 Logo 3 2 2 x x y x é a solução particular desejada 42 Equações diferenciais de variáveis separadas e separáveis Definição 21 Uma equação diferencial de variáveis separadas é uma equação do tipo f x dx g y dy MÉTODO DE RESOLUÇÃO A solução geral da equação diferencial de variáveis separadas obtémse por primitivação de ambos os membros da equação ou seja C f x dx g y dy Definição 22 Chamase equação de variáveis separáveis a uma equação do tipo dy y x h f x h y dx f 2 2 1 1 na qual o coeficiente associado a cada diferencial se pode factorizar em funções dependentes só de x ou só de y 6 MÉTODO DE RESOLUÇÃO Dividindo ambos os membros pelo produto x h y f 1 2 a equação fica com as variáveis separadas dy h y y h x dx f x f 1 2 2 1 O integral geral desta equação tem a forma C h y dy y h x dx f f x 1 2 2 1 Exercícios 23 Determine a solução geral das equações i 2 4 3 1 2 2 x x y y ii 0 1 y dx x dy Exercício 24 Calcule a solução particular da equação x x e yy e 1 que satisfaz a condição inicial y 0 1 43 Equações diferenciais totais exactas factor integrante Definição 31 A equação diferencial 0 N x y dy M x y dx dizse total exacta se existir uma função g com derivadas parciais de 1ª ordem contínuas tal que M x y x x y g e N x y y x y g 7 Teorema 32 Se M e N são funções contínuas com derivadas parciais contínuas numa bola aberta do plano xOy então a equação diferencial 0 N x y dy M x y dx é total exacta se e só se x y y M x x y N Nota O teorema anterior permite concluir que se x y y M x x y N então a equação 0 N x y dy M x y dx não é total exacta MÉTODO DE RESOLUÇÃO Para resolver a equação diferencial total exacta 0 N x y dy M x y dx devemos determinar a função g que satisfaça as equações M x y x x y g e N x y y x y g A solução da equação diferencial é dada por C g x y Nota Em geral a equação diferencial 0 N x y dy M x y dx não é total exacta Mas por vezes é possível transformála numa equação diferencial total exacta mediante a multiplicação por um factor adequado Definição 33 Uma função I x y é um factor integrante da equação diferencial 0 N x y dy M x y dx se a equação diferencial 0 N x y dy M x y dx I x y for total exacta 44 Equacoes diferenciais lineares de 1 ordem Definicao 41 Chamase equacao diferencial linear de 1 ordem a uma equacio da forma yPxy Qx onde Pe Q sao funcdes continuas de x num certo dominio Dc JR E usual designar por equacdo completa aquela em que Ox 0 enquanto que a equacdo se chama homogénea se Qx 0 A resolugéo destas equagdes pode enquadrarse em casos ja estudados Se Ox0 a equaciio é de variaveis separaveis Se Qx0 a equacdo admite um factor integrante funcio sé de x Ixye METODO DE RESOLUCAO 1 Determinar o factor integrante x y e Pxde 2 Multiplicar a equacao diferencial por este factor integrante isto é Pxdx Pxdx lO ys pxly el Oa 1 3 Notar que o 1 membro da equacao é igual a elton dx 4 Integrar ambos os membros em ordem a x ou seja vel Peas faxyel dx 8 9 Exercício 42 Determine a solução geral das equações 1 2 3 2 x x y dx dy 2 0 1 3 2 x dx x xy x dy 45 Transformadas de Laplace Definição e propriedades Definição 51 Seja f uma função real de variável real tal que f t 0 se t 0 Se existir o integral impróprio dt e st f t 0 onde s é um número real a este integral chamamos transformada de Laplace de f e representase por L f t Exemplo 52 Use a definição para calcule L 1 e L te Nota 1 A transformada de Laplace L f t de f é uma função de s ou seja L f t dt e st f t 0 F s 2 A transformada de Laplace L f t existe se o integral impróprio dt e st f t 0 for convergente Definicao 53 Uma funcao f real de varidvel real dizse seccionalmente continua no intervalo ab se for definida em ab excepto possivelmente num numero finito de pontos x i1n com axX x x x b f continua em cada subintervalo da forma ax xxxb e se sao finitos os limites laterais em cada ponto x i1n Definicao 54 Uma funcao f real de varidvel real dizse seccionalmente continua em 000 se for seccionalmente continua em 0 b para todo b0 O teorema seguinte estabelece condigdes suficientes para a existéncia da transformada de Laplace Teorema 55 Seja f uma funcao real seccionalmente continua em 090 Se existirem ntimeros reais c Me fy tais que fr Me para f f entdo Li ft existe para sc Daqui para a frente consideraremos sempre fungdes que verificam as condicgdes do teorema anterior Teorema 56 Propriedade de linearidade Sejam abeJR Se Lf t e Lgt existirem entao L af tbgr também existe etemse L af tbgtaL ft bL gt 10 11 Exemplo 57 Calcule 5 2 te L Definição 58 Seja a IR Chamase função de Heaviside ou função degrau unitário a função a t se a t se U a t 1 0 Teorema 59 Sejam IR a b Se b t se t g b t a se t g a t se g t t f 3 2 1 0 então g t U t t U t g t U t U g t f t b b a a 3 2 1 1 Exemplo 510 Calcule usando a tabela à seguir as seguintes transformadas de Laplace 1 2 L 1 2 L 2t3 3 t L sen 2 4 1 2 cos 4 t L 5 t L e t 6 te L t 2 Exemplo 511 Considere a função 1 1 0 t se e t se t f t t Calcule L f t TABELA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE 1 ae s gt senkt k s0 seer coskt S s0 ee t ft n123 a 1 Fs ds fM n 123 sFs5 1 f0 f 0 TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA Dada uma funcdo f de dominio JR a sua transformada de Laplace como vimos uma funcao F de varidvel s Pode agora colocarse 0 problema inverso Dada Fs existiraé uma fundo ft tal que FsLif 12 13 A função f se existir é chamada transformada de Laplace inversa de F e escrevese F s L f t 1 Nota 1 A transformada de Laplace inversa nem sempre existe e caso exista ela pode não ser única 2 Do teorema 56 decorre de imediato que G s bL F s aL bG s aF s L 1 1 1 com IR a b 3 A tabela de transformadas de Laplace também pode servir para calcular L 1 F s Exemplo 512 1 1 1 1 s L 2 t s L s L 2 1 2 2 2 1 2 1 3 tU t s e L s 1 2 1 1 1 A transformada de Laplace é muito útil na resolução de equações diferenciais lineares sujeitas a condições iniciais 46 Resolucao de equacoes diferenciais lineares de ordem n usando transformadas de Laplace Sejam dy dd parametros reais Consideremos a seguinte equacaodiferencial linear de ordem nn com coeficientes constantes ay a yr aytayy gt te1CIR 1 sujeita as condig6es iniciais em tOe y0 yo yO yy s Y PO yn O nosso objectivo é obter a solucao yt da equacao diferencial METODO DE RESOLUCAO Aplicando a transformada de Laplace em ambos os membros de 1 e usando a propriedade de linearidade obtemos aLiy a Ly aLfyagLy Lie Q Pelo formulario 2 equivale a a sss1y0 yY0 a sssy0 y0apsGs B sendo sLyt e Gs Lgt Mas 3 pode escreverse na forma as 4184 ay Ys a sy peep Yn ay1 s7y feet Yq He Gs 4 que é uma equacao algébrica em Y s 14 15 A transformada de Laplace inverse aplicada à solução Y s da equação 4 dános a solução Y s L y t 1 da equação diferencial 1 sujeita às condições iniciais dadas Exemplo 61 Recorrendo ao método da transformada de Laplace determine a solução da seguinte equação diferencial sujeitas às condições iniciais dadas te t y y 1 2 2 2 y 0 1 e 2 y 0 1
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1 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 41 Definição e conceitos básicos Definição 11 Uma equação diferencial ordinária é uma equação da forma 0 n n dx d y dx f x y dy ou 0 y n f x y y envolvendo uma função incógnita y y x e algumas das suas derivadas em ordem a x Exemplos 12 1 dx xy 0 dy 2 x y y 3 0 2 2 y dy x dx y x Definição 13 Chamase ordem da equação diferencial à maior das ordens das derivadas que nela aparecem Por exemplo a equação diferencial ex x y é de primeira ordem a equação diferencial 2 9 x xy y é de nona ordem a equação diferencial 2 2 2 2 3 t s dt ds dt d s é de segunda ordem Resolver a equação diferencial consiste em encontrar funções y y x que a satisfaçam 2 Definição 14 Chamase solução de uma equação diferencial de ordem n no intervalo I a uma função y g x definida nesse intervalo juntamente com as suas derivadas até à ordem n que satisfaz a equação diferencial ou seja I x x g f x g x g x n 0 Exemplo 15 Mostre que y Cex é uma solução da equação 0 y y Resolução De y Cex resulta que y Cex Substituindo na equação dada as expressões de y e y obtémse 0 x x Ce Ce pelo que a função y Cex satisfaz a equação diferencial dada qualquer que seja o valor da constante arbitrária C Exemplo 16 Mostre que a função 2 2 2 1 0 x x t x C e e dt e y é solução da equação 1 2 y xy Resolução De 2 2 2 1 0 x x t x C e e dt e y resulta que x C e e e e dt xe y x x x x t x 2 2 2 2 2 2 2 1 0 isto é 2 2 2 1 0 1 2 2 x x t x xC e e dt xe y Substituindo as expressões y e y no 1º membro da equação diferencial obteremos 1 3 Definição 17 Chamase solução geral ou integral geral de uma equação diferencial ordinária a toda a solução que envolva uma ou mais constantes arbitrárias Definição 18 Chamase solução particular ou integral particular de uma equação diferencial ordinária a toda a solução obtida atribuindo valores às constantes arbitrárias da solução geral Exemplo 19 A taxa de desintegração perda de massa de uma substância radioactiva é proporcional à massa que fica Isto é se x t representa a massa existente num instante t temse kx dt dx sendo k uma constante positiva característica da substância Determine a massa existente num instante t Resolução Vamos resolver a equação diferencial kx dt dx isto é kx x Sendo x 0 vem ln 1 C e x e e x C kt x kdt x dt x k x x kt C kt Esta solução t x vem afectada duma constante arbitrária 1 C representando assim uma família de funções soluções ou seja C1 e x t kt é a solução geral da equação diferencial 4 Se x 0 2 temse 2 0 1 1 0 C C e x k Logo e kt x t 2 é uma solução particular pois já não envolve nenhuma constante arbitrária Definição 110 Chamamse condições iniciais as condições relativas à função incógnita e suas derivadas dadas para o mesmo valor da variável independente Definição 111 Chamamse condições de fronteira as condições relativas à função incógnita e suas derivadas dadas para valores distintos da variável independente Nota A constante C devese à primitivação que foi necessário fazer É evidente que se a equação envolvesse derivadas até uma certa ordem n seria necessário primitivar n vezes logo a solução geral envolveria n constantes arbitrárias Neste caso para obter uma solução particular seria necessário conhecer n condições Exemplo 112 Resolva a equação diferencial 0 2 y e indique a solução da equação que satisfaz as condições y 1 0 e 2 0 y Resolução 2 1 2 1 2 2 0 2 C C x x y C x y y y 5 y vem afectada de duas constantes arbitrárias representando por isso uma família de funções soluções Dizse por isso que 2 1 2 C C x x y x é a solução geral da equação diferencial y 1 0 0 1 2 1 C C Como 1 2 C x y x 2 0 y C1 2 Logo 3 2 2 x x y x é a solução particular desejada 42 Equações diferenciais de variáveis separadas e separáveis Definição 21 Uma equação diferencial de variáveis separadas é uma equação do tipo f x dx g y dy MÉTODO DE RESOLUÇÃO A solução geral da equação diferencial de variáveis separadas obtémse por primitivação de ambos os membros da equação ou seja C f x dx g y dy Definição 22 Chamase equação de variáveis separáveis a uma equação do tipo dy y x h f x h y dx f 2 2 1 1 na qual o coeficiente associado a cada diferencial se pode factorizar em funções dependentes só de x ou só de y 6 MÉTODO DE RESOLUÇÃO Dividindo ambos os membros pelo produto x h y f 1 2 a equação fica com as variáveis separadas dy h y y h x dx f x f 1 2 2 1 O integral geral desta equação tem a forma C h y dy y h x dx f f x 1 2 2 1 Exercícios 23 Determine a solução geral das equações i 2 4 3 1 2 2 x x y y ii 0 1 y dx x dy Exercício 24 Calcule a solução particular da equação x x e yy e 1 que satisfaz a condição inicial y 0 1 43 Equações diferenciais totais exactas factor integrante Definição 31 A equação diferencial 0 N x y dy M x y dx dizse total exacta se existir uma função g com derivadas parciais de 1ª ordem contínuas tal que M x y x x y g e N x y y x y g 7 Teorema 32 Se M e N são funções contínuas com derivadas parciais contínuas numa bola aberta do plano xOy então a equação diferencial 0 N x y dy M x y dx é total exacta se e só se x y y M x x y N Nota O teorema anterior permite concluir que se x y y M x x y N então a equação 0 N x y dy M x y dx não é total exacta MÉTODO DE RESOLUÇÃO Para resolver a equação diferencial total exacta 0 N x y dy M x y dx devemos determinar a função g que satisfaça as equações M x y x x y g e N x y y x y g A solução da equação diferencial é dada por C g x y Nota Em geral a equação diferencial 0 N x y dy M x y dx não é total exacta Mas por vezes é possível transformála numa equação diferencial total exacta mediante a multiplicação por um factor adequado Definição 33 Uma função I x y é um factor integrante da equação diferencial 0 N x y dy M x y dx se a equação diferencial 0 N x y dy M x y dx I x y for total exacta 44 Equacoes diferenciais lineares de 1 ordem Definicao 41 Chamase equacao diferencial linear de 1 ordem a uma equacio da forma yPxy Qx onde Pe Q sao funcdes continuas de x num certo dominio Dc JR E usual designar por equacdo completa aquela em que Ox 0 enquanto que a equacdo se chama homogénea se Qx 0 A resolugéo destas equagdes pode enquadrarse em casos ja estudados Se Ox0 a equaciio é de variaveis separaveis Se Qx0 a equacdo admite um factor integrante funcio sé de x Ixye METODO DE RESOLUCAO 1 Determinar o factor integrante x y e Pxde 2 Multiplicar a equacao diferencial por este factor integrante isto é Pxdx Pxdx lO ys pxly el Oa 1 3 Notar que o 1 membro da equacao é igual a elton dx 4 Integrar ambos os membros em ordem a x ou seja vel Peas faxyel dx 8 9 Exercício 42 Determine a solução geral das equações 1 2 3 2 x x y dx dy 2 0 1 3 2 x dx x xy x dy 45 Transformadas de Laplace Definição e propriedades Definição 51 Seja f uma função real de variável real tal que f t 0 se t 0 Se existir o integral impróprio dt e st f t 0 onde s é um número real a este integral chamamos transformada de Laplace de f e representase por L f t Exemplo 52 Use a definição para calcule L 1 e L te Nota 1 A transformada de Laplace L f t de f é uma função de s ou seja L f t dt e st f t 0 F s 2 A transformada de Laplace L f t existe se o integral impróprio dt e st f t 0 for convergente Definicao 53 Uma funcao f real de varidvel real dizse seccionalmente continua no intervalo ab se for definida em ab excepto possivelmente num numero finito de pontos x i1n com axX x x x b f continua em cada subintervalo da forma ax xxxb e se sao finitos os limites laterais em cada ponto x i1n Definicao 54 Uma funcao f real de varidvel real dizse seccionalmente continua em 000 se for seccionalmente continua em 0 b para todo b0 O teorema seguinte estabelece condigdes suficientes para a existéncia da transformada de Laplace Teorema 55 Seja f uma funcao real seccionalmente continua em 090 Se existirem ntimeros reais c Me fy tais que fr Me para f f entdo Li ft existe para sc Daqui para a frente consideraremos sempre fungdes que verificam as condicgdes do teorema anterior Teorema 56 Propriedade de linearidade Sejam abeJR Se Lf t e Lgt existirem entao L af tbgr também existe etemse L af tbgtaL ft bL gt 10 11 Exemplo 57 Calcule 5 2 te L Definição 58 Seja a IR Chamase função de Heaviside ou função degrau unitário a função a t se a t se U a t 1 0 Teorema 59 Sejam IR a b Se b t se t g b t a se t g a t se g t t f 3 2 1 0 então g t U t t U t g t U t U g t f t b b a a 3 2 1 1 Exemplo 510 Calcule usando a tabela à seguir as seguintes transformadas de Laplace 1 2 L 1 2 L 2t3 3 t L sen 2 4 1 2 cos 4 t L 5 t L e t 6 te L t 2 Exemplo 511 Considere a função 1 1 0 t se e t se t f t t Calcule L f t TABELA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE 1 ae s gt senkt k s0 seer coskt S s0 ee t ft n123 a 1 Fs ds fM n 123 sFs5 1 f0 f 0 TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA Dada uma funcdo f de dominio JR a sua transformada de Laplace como vimos uma funcao F de varidvel s Pode agora colocarse 0 problema inverso Dada Fs existiraé uma fundo ft tal que FsLif 12 13 A função f se existir é chamada transformada de Laplace inversa de F e escrevese F s L f t 1 Nota 1 A transformada de Laplace inversa nem sempre existe e caso exista ela pode não ser única 2 Do teorema 56 decorre de imediato que G s bL F s aL bG s aF s L 1 1 1 com IR a b 3 A tabela de transformadas de Laplace também pode servir para calcular L 1 F s Exemplo 512 1 1 1 1 s L 2 t s L s L 2 1 2 2 2 1 2 1 3 tU t s e L s 1 2 1 1 1 A transformada de Laplace é muito útil na resolução de equações diferenciais lineares sujeitas a condições iniciais 46 Resolucao de equacoes diferenciais lineares de ordem n usando transformadas de Laplace Sejam dy dd parametros reais Consideremos a seguinte equacaodiferencial linear de ordem nn com coeficientes constantes ay a yr aytayy gt te1CIR 1 sujeita as condig6es iniciais em tOe y0 yo yO yy s Y PO yn O nosso objectivo é obter a solucao yt da equacao diferencial METODO DE RESOLUCAO Aplicando a transformada de Laplace em ambos os membros de 1 e usando a propriedade de linearidade obtemos aLiy a Ly aLfyagLy Lie Q Pelo formulario 2 equivale a a sss1y0 yY0 a sssy0 y0apsGs B sendo sLyt e Gs Lgt Mas 3 pode escreverse na forma as 4184 ay Ys a sy peep Yn ay1 s7y feet Yq He Gs 4 que é uma equacao algébrica em Y s 14 15 A transformada de Laplace inverse aplicada à solução Y s da equação 4 dános a solução Y s L y t 1 da equação diferencial 1 sujeita às condições iniciais dadas Exemplo 61 Recorrendo ao método da transformada de Laplace determine a solução da seguinte equação diferencial sujeitas às condições iniciais dadas te t y y 1 2 2 2 y 0 1 e 2 y 0 1