Pesquisa Operacional I - Multivix

PESQUISA OPERACIONAL I A Faculdade Multivix está presente de norte a sul do Estado do Espírito Santo com unidades presenciais em Cachoeiro de Itapemirim Cariacica Castelo Nova Venécia São Mateus Serra Vila Velha e Vitória e com a Educação a Distância presente em todo estado do Espírito Santo e com polos distribuídos por todo o país Desde 1999 atua no mercado capixaba destacandose pela oferta de cursos de graduação técnico pósgraduação e extensão com qualidade nas quatro áreas do conhecimento Agrárias Exatas Humanas e Saúde sempre primando pela qualidade de seu ensino e pela formação de profissionais com consciência cidadã para o mercado de trabalho Atualmente a Multivix está entre o seleto grupo de Instituições de Ensino Superior que possuem conceito de excelência junto ao Ministério da Educação MEC Das 2109 instituições avaliadas no Brasil apenas 15 conquistaram notas 4 e 5 que são consideradas conceitos de excelência em ensino Estes resultados acadêmicos colocam todas as unidades da Multivix entre as melhores do Estado do Espírito Santo e entre as 50 melhores do país MISSÃO Formar profissionais com consciência cidadã para o mercado de trabalho com elevado padrão de quali dade sempre mantendo a credibilidade segurança e modernidade visando à satisfação dos clientes e colaboradores VISÃO Ser uma Instituição de Ensino Superior reconhecida nacionalmente como referência em qualidade educacional R E I T O R GRUPO MULTIVIX R E I 2 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 3 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 BIBLIOTECA MULTIVIX Dados de publicação na fonte Drª Daisy Assmann Lima Pesquisa Operacional I Lima DA Multivix 2021 Catalogação Biblioteca Central Multivix 2021 Proibida a reprodução total ou parcial Os infratores serão processados na forma da lei 4 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 LISTA DE QUADROS UNIDADE 1 Exemplos de Aplicações de Pesquisa Operacional 21 UNIDADE 2 Variação em X e Y de uma dada função 46 Tabela com valores de x1 e de x2 para a inequação 07x1 04x2 1000 61 UNIDADE 3 Modelo geral de programação linear na forma tabular 75 Tabela sobre os Componentes dos tipo de cimento CP320 e AF250 78 TModelo de tabela para a tabulação do uso do método simplex 81 Quadro de cálculos 84 Quadro de cálculos da 1ª operação 85 Quadro de cálculos da 2ª operação 85 Quadro da 1ª operação 87 Quadro da 3ª operação 87 Procedimento passo a passo do Método simplex 90 UNIDADE 4 Resumo dos efeitos na função objetivo 104 Tabela com as características por método de irrigação 110 Tabela com culturas produção margem e consumo de água 111 5 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 LISTA DE QUADROS UNIDADE 5 Softwares para uso em programação em fluxo de rede 125 Regra do fluxo balanceado 134 Fórmulas utilizadas nas restrições do problema de redes de distribuição 139 Fórmulas utilizadas nas restrições do problema de redes de distribuição 2ª alternativa 144 UNIDADE 6 Escore dos auditores 167 6 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 LISTA DE FIGURAS UNIDADE 1 As operações de guerra estimularam o desenvolvimento da Pesquisa Operacional 16 Acessibilidade aos computadores pessoais 19 tapas para um processo decisório eficaz 25 Processo de Tomada de Decisão 26 Esquema de tomada de decisão 27 Estruturação de um modelo em Pesquisa Operacional 29 Diversidade de Métodos 30 Processo de definição do problema 31 Otimização 33 Modelos Matemáticos 35 Etapas de Implementação do Modelo 37 UNIDADE 2 A importância das soluções gráficas 42 A programação linear como um modelo linear 43 Modelos não lineares 45 Complexidade dos modelos de programação linear 49 A importância de respeitar as restrições do problema 50 Gráfico com a solução do problema 53 Plano cartesiano 54 Representação gráfica da restrição 07x1 04x2 1000 55 Modelos de otimização 56 Otimização 59 Escolha de sapatos e sandálias para produção 60 Representação gráfica da restrição 07x1 04x2 1000 62 7 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 LISTA DE FIGURAS UNIDADE 3 George Dantzig em premiação em 1976 66 Conjunto convexo com a indicação dos possíveis locais com solução factível 69 A busca pela solução ótima 70 Representação de dois conjuntos o primeiro convexo e segundo não convexo 71 Representação de um polígono em R2 e em R3 72 Nem sempre problemas podem ser resolvidos com modelos lineares 73 Problemas de logística podem ser solucionados com método simplex 77 Processo simplificado de fabricação de cimento 78 Maximização vs minimização 82 Representação gráfica do problema 88 UNIDADE 4 Análise de sensiblidade 96 Modelos de otimização no dia a dia da empresa 97 O impacto no modelo de uma alteração nos coeficientes 98 Decisões futuras e não concretizadas 100 Modelos são simplificações da realidade 102 Alterações dos parâmetros para se alcançar o melhor resultado 103 Representação do problema primal e do problema dual 106 Correspondência entre os parâmetros do problema primal e dual 107 Modelo implantado no Excel 115 8 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 LISTA DE FIGURAS UNIDADE 5 Modelos de fluxos de redes 121 Modelos de redes aplicados à eletricidade 122 O impacto no modelo de uma alteração nos coeficientes 123 Alterações dos parâmetros para se alcançar o melhor resultado 126 Mapa com o problema de rede de distribuição 131 Diagrama da rede do caso LCL Carros Brasil 133 Diagrama de rede do caso LCL Carros Brasil 1a alternativa 135 Modelagem da rede do caso LCL Carros Brasil do primeiro método no Excel 138 Condições do Solver para o caso LCL Carros Brasil 1 alternativa 140 Solução ótima para o caso LCL Carros Brasil 1 alternativa 141 Modelagem do caso LCL Carros Brasil 2a alternativa 144 Condições do solver para o caso LCL Carros Brasil 2ª alternativa 146 Solução ótima para o caso LCL Carros Brasil 2ª alternativa 147 UNIDADE 6 Modelos de transporte 150 Modelos de transporte 151 Problema típico de transporte 153 Modelagem pode auxiliar em problemas aparentemente sem solução 155 Modelo de transporte com duas fontes e três destinos 156 Representação inicial do problema 157 Solução básica inicial obtida com o método do canto noroeste 160 Solução encontrada 162 9 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 LISTA DE FIGURAS Ajuste de solução 163 Modelagem de designação 165 Custos de transporte 170 Designar nos zeros de linhas ou colunas 171 Cobrir os zeros da tabela 172 Tabela com a subtração do 2 172 Tabela com nova designação 173 10 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 1 UNIDADE 2 UNIDADE 3 UNIDADE 4 UNIDADE 5 UNIDADE 6 UNIDADE SUMÁRIO APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA 8 1 INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL 11 11 INTRODUÇÃO 11 12 INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL 11 13 CONCEITOS DE MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO 27 2 MODELOS LINEARES 37 21 INTRODUÇÃO 37 22 CONCEITOS EM MODELOS LINEARES 37 23 APLICAÇÃO DE MODELOS LINEARES 52 3 MÉTODO SIMPLEX 61 31 INTRODUÇÃO 61 32 INTRODUÇÃO AO MÉTODO SIMPLEX 61 33 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO MÉTODO SIMPLEX 72 4 MÉTODO SIMPLEX 91 41 INTRODUÇÃO 91 42 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE SENSIBILIDADE 91 43 CONCEITOS DE MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO EM ANÁLISE DE SENSIBILIDADE E PROBLEMA DUAL 101 5 MODELOS DE FLUXOS EM REDE 115 51 INTRODUÇÃO 115 52 INTRODUÇÃO AO MODELO DE FLUXOS EM REDE 116 53 CONCEITOS USADOS EM MODELOS DE PROGRAMAÇÃO EM REDE 123 6 MODELOS DE TRANSPORTE E MODELOS DE DESIGNAÇÃO 145 61 INTRODUÇÃO 145 62 MODELO DE TRANSPORTE 145 63 MODELOS DE DESIGNAÇÃO 160 11 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 ATENÇÃO PARA SABER SAIBA MAIS ONDE PESQUISAR DICAS LEITURA COMPLEMENTAR GLOSSÁRIO ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM CURIOSIDADES QUESTÕES ÁUDIOS MÍDIAS INTEGRADAS ANOTAÇÕES EXEMPLOS CITAÇÕES DOWNLOADS ICONOGRAFIA 12 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA A disciplina Pesquisa Operacional I tem o objetivo de demonstrar as origens a evolução e a aplicação da pesquisa operacional em diferentes contextos A primeira vez que a pesquisa operacional foi usada foi durante a Segunda Guerra Mundial para solucionar problemas de operações militares Por ser uma área de influência na tomada de decisão é necessário conhecer a base da pesquisa operacional bem como as variáveis que deverão ser usadas entender o problema que será resolvido Ademais é de extrema relevância saber escolher qual modelo se adéqua ao seu problema Devido às influências e às interações proporcionadas pela pesquisa operacio nal é necessário entender como se realizam as operações Para isso devemos conhecer a estrutura e a sistemática dos problemas de pesquisa operacional É um campo do conhecimento interdisciplinar com multiplicidade de apli cações que envolvam a tomada de decisão Um fator relevante para a disse minação do seu uso foi o desenvolvimento do uso dos computadores pes soais que aumentaram significantemente a velocidade de processamento das informações 13 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I OBJETIVO Ao final desta unidade esperamos que possa 14 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I UNIDADE 1 definir pesquisa operacional descrever as etapas de definição do problema 15 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I 1 INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL 11 INTRODUÇÃO Esta unidade traz uma abordagem introdutória da pesquisa operacional des tacando temas relevantes no âmbito do conhecimento desse tema Essa parte da disciplina também versa sobre a origem e evolução da pesqui sa operacional trazendo para a discussão questões relacionadas à tomada de decisão Para melhor caracterizar a essa inserção além de fazermos uma retrospectiva histórica pesquisa operacional destacaremos alguns dos prin cipais modelos e métodos Veremos como definir um problema montar o modelo matemático e abordaremos também algumas soluções com base no que foi estruturado Antes de conhecer o problema é importante que as etapas de definição estejam bem claras Desse modo esta unidade tem a intenção de proporcionar uma visão intro dutória sobre a pesquisa operacional e os seus principais campos de utiliza ção É bem diversa a sua aplicabilidade e isso se deve em parte ao fato de querermos com frequência otimizar os recursos que temos disponíveis para utilização Essa é basicamente a pergunta que o campo da pesquisa ope racional vai responder como otimizar os recursos os processos e assim por diante Portanto podemos dizer que a pesquisa operacional é um meio de se alcançar um objetivo a depender das restrições impostas 12 INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL A Pesquisa Operacional é uma evolução do método de tomada de decisão usado pelas das práticas relacionais pelos militares A estratégia adequada ao problema vai nos proporcionar a melhor resposta Acontece que esse campo do conhecimento é relevante não só no meio militar mas também nas enge nharias na economia na administração na contabilidade e assim por diante Podemos dizer que onde há um problema a ser solucionado é natural que seja usado metodologias de Pesquisa Operacional para alcançar o melhor re sultado possível 16 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 121 ORIGEM DA PESQUISA OPERACIONAL A pesquisa operacional como mencionamos anteriormente começou a ser usada na Segunda Guerra Mundial para analisar e solucionar problemas de operações de guerra militares E essa receita deu tão certo que essa técnica passou a ser usada em problemas de economia engenharia e administração ANDRADE 2015 AS OPERAÇÕES DE GUERRA ESTIMULARAM O DESENVOLVIMENTO DA PESQUISA OPERACIONAL Fonte Plataforma Deduca 2021 PraCegoVer Foto de tanques de guerra para simbolizar que foi na Segunda Guerra Mundial que a Pesquisa Operacional passou a ter destaque Assim podemos perceber uma característica típica da pesquisa operacional a interdisciplinaridade A ideia de otimizar os recursos escassos não é privi légio da economia Esse objetivo atraiu diferentes áreas do conhecimento a explorar os potenciais da pesquisa operacional Assim as operações passam a ganhar outro rumo por meio da programação otimizada dos recursos em 17 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I pregados para a produção Se podemos empregar em diferentes áreas do conhecimento então também devemos sistematizar o conhecimento da to mada de decisão por meio do uso de modelos Para saber mais sobre a Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional acesso o site disponível neste link Segundo Andrade 2015 p 1 as principais características dos processos deci sórios que se baseiam na capacidade analítica são O processo é difícil de copiar como o processo depende da capacidade de análise individual das pessoas e do suporte da tecnologia da informação criado pela empresa a duplicação exata é praticamente impossível O processo é único cada companhia desenvolve seu próprio modelo de análise em função das características das pessoas de seus recursos e de sua cultura O processo é adaptável uma vez criada internamente a competência analítica a companhia pode aplicála a situações cada vez mais inovadoras O processo é renovável como as condições externas de competição estão sempre em mudança e a tecnologia da informação em contínua evolução o processo decisório analítico também deve ser renovado continuamente 18 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Na época da Segunda Guerra Mundial os esforços feitos por cientistas para administrar as operações militares de comboio e de submarinos foram essen ciais para a vitória da Batalha do Atlântico Norte bem como na Campanha Britânica do Pacífico Esses feitos foram fundamentais para que a pesquisa operacional ganhasse espaço em diversas áreas que não fosse a militar Basi camente podemos dizer que a pesquisa operacional quer escolher o melhor caminho para solucionar o problema Segundo Hillier 2010 uma forma de pensar no nome e associar ao seu objetivo é observar que eram feitas pesquisas sobre operações que eram militares daí o nome pesquisa operacional Também é comumente chamada pela sigla PO Outro ponto que contribuiu para o sucesso da PO foi que a complexidade do comércio no período pósguerra aumentou consideravelmente de volume e com isso tivemos o aumento também da complexidade dos problemas de otimização de produção Segundo Hillier 2010 tiveram dois fatores que contribuíram fundamental mente para o sucesso da PO no pósguerra Um aspecto foi a questão do avanço das técnicas empregadas na PO Como a guerra estimulou o seu uso então houve um ambiente profícuo para o desenvolvimento das mais varia das técnicas de otimização Assim as pesquisas desenvolvidas contribuíram para o aprimoramento da técnica Para Hillier 2010 p 2 Um exemplo essencial e o metodo simplex para solucao de problemas com programacao linear desenvolvido por George Dantzig em 1947 Varias ferramentas padrao da PO como programacao linear programacao dinamica teoria das filas e teoria do inventario atingiram um estado relativamente bem desenvolvido antes do final dos anos 1950 O outro fator foi o aprimoramento e maior acessibilidade na área computa cional Foi essencial para o desenvolvimento com complexidade dos proble mas uma vez que eles requerem um esforço computacional robusto Não podemos esquecer que o surgimento dos computadores pessoais é recente década de 1980 e pouco antes disso havia centrais computacionais que já facilitavam o desenvolvimento de cálculos de grande complexidade 19 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I ACESSIBILIDADE AOS COMPUTADORES PESSOAIS Fonte Plataforma Deduca 2021 PraCegoVer Foto que mostra várias pessoas com computador pessoal nas estações de trabalho e isso representa o aumento da acessibilidade a essa ferramenta de trabalho Então um aspecto que já podemos identificar em PO é que a natureza das operações é um aspecto secundário O que é relevante é a forma de coorde nação e de condução das operações Esse aspecto permite que seja aplicado nos mais variados campos desde o ambiente militar de construção civil de telecomunicações de logística de planejamento financeiro até a área médica HILLIER 2010 Assim a PO busca eleger a melhor solução Isso não significa que a solução seja única mas sim a mais apropriada dadas as condições existentes Em ou tras palavras queremos a solução ótima Vamos ver um caso prático da área da economia Digo isso pois toda a teoria do consumidor está baseada no processo de otimização Queremos obter a melhor cesta de consumo certo Então queremos otimizála Porém não é uma otimização incondicional Essa cesta que você quer e que é a melhor que você pode querer afinal sempre queremos o melhor para nós mesmos não é verdade 20 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Nesse processo de otimização estamos invariavelmente condicionados ao nosso salário aos recursos que entram todo mês como fonte de receita Isso significa em termos da teoria do consumidor que o que desejamos para com por a nossa cesta de bens está restrita a uma renda Chamaremos esta restri ção de restrição orçamentária Então agora iremos estudar o modelo que ex plica esse processo de tomada de decisão do consumidor escolher a melhor cesta de consumo dada a restrição orçamentária Veja que o princípio de equilíbrio vai interferir naquilo que o mercado pode ofertar e indiretamente isso vai afetar a escolha da cesta de bens Veja o trecho a seguir de Wells e Krugman 2015 p 228 sobre a saciedade do consumidor Ocasionalmente os restaurantes oferecem o sistema de bufê a preço fixo para atrair clientes saladas almoco e jantares com mexilhões fritos à vontade Mas como pode um dono de restaurante oferecer esse sistema e ter certeza de que nao vai ter prejuízo no negócio Se cobrar 1299 por jantar com mexilhao frito sem limite de quantidade o que impede que o cliente medio devore 30 em mexilhão A resposta e que embora de vez em quando alguem se aproveite da oferta colocando em um prato 30 ou 40 mexilhões fritos essa é uma ocorrência rara E mesmo quem gosta de mexilhão frito fica meio horrorizado ao ver uma situação dessas De 5 a 10 mexilhões fritos pode ser um prazer mas 30 chega a ser absurdo Qualquer um que pague por esse tipo de refeicao quer tirar o melhor proveito mas uma pessoa sensata sabe quando um mexilhao a mais e demais Observe essa última sentenca Dissemos que os clientes em um restaurante querem aproveitar ao maximo a refeição Soa como se quisesse maximizar algo E dissemos tambem que ele vai parar quando o consumo de um mexilhao a mais for um erro Soa como se estivesse tomando uma decisao marginal A resposta e sim e uma questao de gosto e os economistas nao conhecem muito sobre de onde vêm os gostos Mas os economistas podem dizer muito sobre como um indivíduo racional satisfaz seus gostos E essa e de fato a maneira que os economistas pensam sobre a escolha do consumidor Eles trabalham com um modelo de consumidor racional um consumidor que sabe o que quer e faz o melhor das oportunidades disponíveis Para melhor compreender o que é a Pesquisa Operacional assista ao vídeo disponível neste link 21 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I Como acabamos de perceber a PO tem como um dos seus campos de estu do a busca pela otimalidade Assim a questão não é somente melhorar uma situação que já está dada mas sim de encontrar a forma mais eficiente de se achar esse caminho Um dos problemas típicos da PO é o de definir quais ro tas uma frota deve percorrer dada a capacidade de cada caminhão por exem plo Perceba que fatores como o consumo de combustível a capacidade de transporte da carga vai influenciar no resultado Veja na tabela a seguir temos exemplos variados de aplicações da pesquisa operacional EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE PESQUISA OPERACIONAL Organização Natureza da aplicação Seção Economia anual US Federal Express Planejamento logístico de despachos 13 Nao estimada Continental Airlines Otimizar a realocação de tripulações quando ocorrem desajustes nos horários de voo 22 40 milhões Swift Company Aumentar as vendas e me lhorar o desempenho na fabricação 31 12 milhões Momeorial Sloan Kettering Cancer Center Procedimentos de tratamentos radioterápicos 34 459 milhões United Airlines Programar turnos de trabalho nas centrais de reserva e nos balcões em aeroportos 34 6 milhões Welchs Otimizar o uso e a movimentação de matériaprima 35 150 mil Samsung Eletronics Desenvolver métodos de redução de tempo de fabricação e níveis de estoque 43 200 milhões mais receitas 22 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Organização Natureza da aplicação Seção Economia anual US Pacific Lumber Company Gestão de ecossistemas florestais a longo prazo 67 398 milhões VPL Procter Gamgle Redesenho do sistema de produção e distribuição 81 200 milhões Canadian Pacific Railway Planejamento de rotas para frete ferroviário 93 100 milhões United Airline Realocação de aeronaves quando ocorrem problemas 96 Não estimada US Military Planejamento logístico das Operações Tempestade no Deserto 103 Não estimada Air New Zealand Alocação de tripulação de voo 112 67 milhões Taco Bell Programar a escala de funcionários nas lojas da rede 115 13 milhões Waste Management Desenvolvimento de um sistema de gerenciamento de rotas para coleta e eliminação de lixo 117 100 milhões Bank Hapoalim Group Desenvolvimento de um sistema de apoio à tomada de decisão para analistas de investimentos 121 31 milhões mais receitas Sears Programação e rotas de veículos para as frotas de entrega e de atendimento domiciliar 132 42 milhões ConocoPhillips Avaliação de projetos de exploração petrolífera 152 Não estimada Workers Compensation Gestão de pedidos de benefícios por invalidez e reabilitação de alto risco 153 4 milhões 23 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I Organização Natureza da aplicação Seção Economia anual US Westinghouse Avaliar projetos de pesquisa e desenvolvimento 154 Não estimada Merrill Lynch Gestão de riscos de liquidez para linhas de crédito rotativo 162 4 bilhões mais liquidez PSA Peugeot Citroën Orientar o processo de projeto para plantas de montagem de veículos eficientes 168 130 milhões mais lucros Key Corp Aumentar a eficiência do serviço dos caixas de banco 176 20 milhões General Motors Aumentar a eficiência das linhas de produção 179 90 milhões Deere Company Controle de estoques por meio de uma cadeia de suprimentos 185 1 bilhão menos estoque Time Inc Gerenciamento dos canais de distribuição para revistas 187 35 milhões mais lucros Bank One Corporation Gestão de linhas de crédito e taxas de juros para cartões de crédito 192 75 milhões mais lucros Merrill Lynch Análise para estabelecimento de preços para o fornecimento de serviços financeiros 202 50 milhões mais receita ATT Projeto e operação de call centers 205 750 milhões mais lucros Fonte Hillier 2010 p 26 PraCegoVer A tabela possui 4 colunas sendo que na primeira há o nome organização como por exemplo Federal Express e Merrill Lynch na segunda coluna temos a natureza da aplicação na terceira coluna seção há uma numeração que varia entre 13 e 205 e na quarta e última coluna temos dados da economia anual US que varia de Não estimada a 1bilhão menos estoque 24 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Quer conhecer mais sobre a Pesquisa Operacional Pra que serve e alguns exemplos de aplicação no planejamento da produção e na logística Acesse o link e assista ao vídeo 122 A TOMADA DE DECISÃO NA PESQUISA OPERACIONAL A tomada de decisão é um dos aspectos fundamentais da pesquisa operacional Daí que vem a sua ampla gama de aplicabilidade como acabamos de ver Mas falar em tomada de decisão pode ser algo ainda muito vago e impreciso Por isso precisamos sistematizar o que seria a tomada de decisão Vamos começar com algumas definições Veja a sanfona a seguir conforme Longaray 2013 p 4 Decisão é um curso de ação escolhido pela pessoa para alcançar os objetivos pretendidos portanto para resolver os problemas que afligem a pessoa a organização Processo decisório processo que antecede a decisão e que gera as ações que podem promover a melhoria da situação problemática Pesquisa Operacional é a área da ciência que é voltada para a criação de modelos para auxiliar as empresas e os indivíduos nos processos de tomada de decisão 25 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I A nossa pretensão aqui é entender quais são as principais características do processo decisório e identificar como a Pesquisa Operacional é parte para que possamos encontrar a melhor solução Veja o esquema a seguir que ilus tra bem como o processo decisório na organização é fundamental para um ambiente imerso em dados TAPAS PARA UM PROCESSO DECISÓRIO EFICAZ Fonte Andrade 2015 p 3 PraCegoVer O esquema apresenta a composição do processo decisório eficaz composto por suas características transformações comportamentais capacitação na seleção e solução de problemas e expertise na tecnologia da informação Cabe destacar que o processo decisório somente é desenvolvido quando iden tificamos o que de fato precisa ser solucionado A ideia é que se há algo para ser solucionado então primeiramente vamos estruturar o problema e as suas variáveis para então haver um processo decisório sistematizado e eficaz 26 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PROCESSO DE TOMADA DE DECISÃO Fonte Plataforma Deduca 2021 PraCegoVer Na ilustração uma pessoa olha em direção a várias portas para representar o processo de tomada de decisão As organizações se estruturam para que o processo decisório seja natural e eficiente no dia a dia de trabalho Bem agora é importante caracterizar o pro cesso de tomada de decisão Segundo Andrade 2010 p 4 as principais características que constituem um processo decisório são o processo de tomada de decisão é sequencial é um processo complexo implica valores subjetivos é desenvolvido dentro de um ambiente institucional com regras mais ou menos definidas 27 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I A relação entre os sintomas e a identificação do problema vai alterar o proces so de tomada de decisão Acompanhe o esquema a seguir ESQUEMA DE TOMADA DE DECISÃO Fonte Elaborado pela autora 2021 PraCegoVer A tomada de decisão é composta por três etapas sendo elas sintomas identificação do problema e processo de tomada de decisão O Esquema demonstra a alteração pela relação entre os sintomas e a identificação do problema Agora que já entendemos o que é um processo decisório vamos estudar os modelos e métodos Vamos lá 123 MODELOS E MÉTODOS A resolução de problemas na pesquisa operacional requer uma sistematiza ção um método e aplicação de modelos Claro que existem fatores que vão interferir nesse processo Entre os fatores relevantes temos a importância do problema que vai relacionar o impacto que a tomada de decisão vai ter na empresa Temos também os agentes que vai variar de problema para pro blema e que vai dar o tom da complexidade do problema Temos ainda os riscos o ambiente e os conflitos que vão refletir as diferenças de interesses nas organizações Na pesquisa operacional o domínio sobre o problema é primordial Mas como isso pode ser percebido na prática pelo gestor 28 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Para facilitar esse processo precisamos identificar o modelo Longaray 2013 p 6 apresenta a seguinte definição de modelo Um modelo pode ser entendido como a representacao matematica simbólica ou descritiva de um conjunto de eventos físicos ou aspectos subjetivos considerados importantes para determinado decisor em um contexto especifico Os modelos concebidos matematicamente são os utilizados com mais frequência pelos praticantes das tecnicas da pesquisa operacional Em sua forma mais simplificada um modelo matematico é composto de variaveis restricões criterios e pelo menos um objetivo Assim a partir do modelo e da sua estruturação podemos identificar cada etapa de resolução do problema em pesquisa operacional 1 identificação do problema 2 construção do modelo 3 obtenção da solução 4 obtenção dos dados 5 resultados 6 teste do modelo e da solução 7 implementação da solução Acompanhe o esquema a seguir 29 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I ESTRUTURAÇÃO DE UM MODELO EM PESQUISA OPERACIONAL Fonte Rodrigues 2017 p 15 PraCegoVer O esquema estrutura modelos de pesquisa operacional Na parte superior do esquema temos uma espécie de fluxo que vai da letra A a E sendo A Identificação do Problema B Construção do Modelo C Obtenção da Solução na sequência temos Obtenção dos dados e Resultados e deste último sai a letra D Teste do Modelo e da Solução e E Implementação da Solução Abaixo disso têmse questões e itens possíveis de serem pensados em cada uma dessas etapas do fluxo Dentre os tipos de métodos usados em pesquisa operacional para solucionar problemas está a programação linear que é muito usada pela economia e pelas engenharias Temos também os modelos em redes que são aplicáveis em modelagem de transportes e logística em geral e há a teoria de filas que envolve problemas de tráfego que é importante para dimensionar operações de hospitais tráfegos e assim por diante 30 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 DIVERSIDADE DE MÉTODOS Fonte Plataforma Deduca 2021 PraCegoVer Ilustração de um caderno com folhas quadriculadas que traz o desenho de diferentes tipos de gráficos para simbolizar a existência de diversos métodos em pesquisa operacional Agora vamos estudar o próximo tópico que envolve a estruturação propria mente dita do problema de pesquisa operacional 31 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I 13 CONCEITOS DE MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO O processo de modelagem e de otimização é usado em diversas situações mas estamos focados na questão da tomada de decisão Isso quer dizer que queremos encontrar a melhor solução factível ao nosso problema proposto 131 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA A partir do modelo podemos formular melhor o plano de ação na estrutura ção do problema Primeiro identificamos o problema depois formulamos a nossa crença e por fim formulamos as nossas hipóteses que serão testadas conforme os resultados da aplicação do modelo Esquematicamente temos a seguinte situação PROCESSO DE DEFINIÇÃO DO PROBLEMA Fonte Andrade 2015 p 5 PraCegoVer No esquema há o processo de definição do problema Primeiro temos a evidência que é obtida a partir da observação tomada como verdadeira Depois temos a formulação da crença que seria uma relação subjetiva passível de quantificação que será a medida de probabilidade Logo em seguida temos a proposição ou hipótese que vai medir o grau da crença ou certeza sobre a hipótese Para melhor compreender o processo de tomada de decisão sugerese a leitura do artigo As dificuldades de negociação das equipes em ambientes simulados publicado em 2015 na Revista Lagos Acesso pelo link 32 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Quando formulamos o modelo precisamos identificar e qualificar as variáveis do problema Isso significa que existem mais de um tipo de variável aquelas que são controláveis e aquelas que não são controladas Parece não ser muito relevante porém é justamente nessas variáveis que está a ação do decisor Para Longaray 2013 as variáveis controladas são aquelas que o agente da decisão pode interferir Modelo é uma representação matemática de um evento específico em um momento específico para um contexto determinado Variáveis controláveis são aquelas variáveis nas quais o gestor da decisão pode interferir para alcançar o seu objetivo final Já as variáveis não controláveis são aquelas que o decisor não consegue alte rar É de extrema importância identificar esse tipo de variável para que não haja um desperdício de análise no processo Outro ponto a se identificar no modelo é o objetivo Qual é o propósito do modelo O que queremos alcan çar Essas perguntas devem ser respondidas pelo objetivo Ainda existem as restrições Praticamente nada é ilimitado na natureza E isso deve estar deli mitando o modelo para que não tenhamos resultados espúrios sem sentido lógico Continuando na estruturação do modelo precisamos de um critério que vai mostrar o desempenho de uma ação ou preferência dos agentes Quando unimos todos esses elementos temos um algoritmo que nada mais é do que uma estrutura lógica que vai expressar de forma matemática todos esses elementos do problema Função objetivo local do modelo em que evidenciamos o que pretendemos com a decisão do modelo 33 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I Maximização ou minimização maximização quando queremos chegar ao valor máximo possível e minimização é a situação contrária pois queremos alcançar o menor valor possível Restrição é a relação matemática que vai delimitar o espaço em que a função objetivo vai operar A partir disso podemos apresentar uma quantidade considerável de modelos que vão se usados conforme a situação de cada área de cada problema Po demos resumir em dois tipos de modelos os de otimização e os de simulação OTIMIZAÇÃO Fonte Plataforma Deduca 2021 PraCegoVer Ilustração de um alvo com uma seta para indicar que o objetivo da otimização é alcançar o melhor resultado possível 34 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Portanto podemos entender que a modelagem traz ganhos para as organi zações e empresas da sociedade Pode não ser trivial a incorporação da cul tura do processo analítico na tomada de decisão porém os ganhos de sua implementação são bem relevantes 132 MODELO MATEMÁTICO Os modelos matemáticos permitem o sucesso na condução do processo de cisório Porém qual modelo utilizar Para responder a essa questão é preciso compreender os dois tipos básicos que possuímos de modelagem otimiza ção e simulação Nos modelos de otimização a prioridade é alcançar o melhor resultado pos sível dadas as condições declaradas no modelo E as condições bem como o modelo são representações matemáticas Já nos modelos de simulação temos uma situação um pouco diferente pois o resultado que esse tipo de modelo propõe é um conjunto de alternativas As variáveis do modelo são al teradas para possibilitar diferentes soluções 35 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I MODELOS MATEMÁTICOS Fonte Plataforma Deduca 2021 PraCegoVer Ilustração que consiste na representação de vários símbolos matemáticos para indicar os diversos modelos matemáticos que há na pesquisa operacional 36 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 133 SOLUÇÕES COM BASE NO MODELO Tendo em vista a ampla gama de aplicabilidade da pesquisa operacional temos então a disposição uma série de metodologias para que a resposta ao modelo seja adequada De nada adianta nominar as variáveis adequada mente se o modelo não está correto Mesmo assim existe um roteiro básico a ser seguido conforme aponta Longaray 2013 p11 a determinacao do problema b elaboracao do modelo c resolucao do modelo d legitimacao do modelo e implementacao da solucao Ao finalizar esse procedimento você terá a base para encontrar a solução do modelo Na resolução do modelo você vai derivar as equações e geralmente com o auxílio de algum software Existem alguns à disposição Confira a seguir Podemos citar como exemplo um solver do Excel o LINDO Linear Discrete Optimizar wwwILOGcom o PROMODEL wwwbelgecombrprodutospromodelhtml o ARENA wwwparagoncombr Na etapa de resolução do modelo é que é resolvido o algoritmo e encontrada a solução ótima Aí depois disso é feita a análise de legitimação do modelo Nessa fase é preciso avaliar se os resultados e o próprio modelo de adéqua ao que foi desenhado inicialmente Caso seja identificado que não houve um bom ajuste ao modelo então é preciso revisar o modelo inicialmente propos to Podemos dizer nesse caso que os resultados foram rejeitados Isso pode ocorrer na etapa seguinte que é de implementação do modelo propriamente dito Essas etapas que acabamos de descrever podem ser observadas no flu xograma a seguir 37 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I ETAPAS DE IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO Fonte Longaray 2015 p13 PraCegoVer A primeira etapa é a de determinação do problema e depois a etapa 2 de elaboração do modelo Nessa etapa fazemos as seguintes perguntas Que modelo deve ser construído Se for de simulação então temos os métodos probabilísticos que podem ser a simulação de Monte Carlo ou a Teoria das Filas Se for de otimização então temos métodos determinísticos que podem ser de programação linear programação nãolinear programação inteira e de programação dinâmica Agora a próxima etapa 3 é a resolução do modelo e logo em seguida a 4 de legitimação do modelo Nesse momento deve ser questionado Atende aos objetivos do decisor Se sim então a solução avança para a etapa 5 e pode ser implementada Se não o modelo deve ser revisado com o retorno para a etapa 2 de elaboração do modelo Para saber mais sobre modelagem matemática usando otimização acesse este link 38 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CONCLUSÃO Esta unidade apresentou uma reflexão sobre a pesquisa operacional de modo a introduzir a utilidade e as principais aplicações desse tipo de modelagem Vimos que com o advento da popularização dos microcomputadores houve também o aumento no uso bem como no desenvolvimento de modelos de pesquisa operacional A praticidade de aplicação foi um dos motivadores para que isso ocorresse O processo de tomada de decisão que está inserido no dia a dia de muitos gestores pode ser amparado em modelos de otimização ou de simulação Assim as decisões baseadas em dados ficam muito mais rica e sedimentada para a empresa e seus acionistas É relevante que a escolha do modelo esteja de acordo com o tipo do problema que vai ser resolvido Para cada tipo de modelo existe uma análise diferente Por fim destacamos também que todo o processo de tomada de decisão resulta em algum valor E a avaliação sobre a adequação do resultado é fun damental para o processo como um todo E quem possui essa informação é quem possui o conhecimento específico 39 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I OBJETIVO Ao final desta unidade esperamos que possa 40 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I UNIDADE 2 definir programação linear descrever a representação da programação linear 41 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I 2 MODELOS LINEARES 21 INTRODUÇÃO As organizações na sociedade estão em busca constante por soluções ótimas O ponto de partida é o planejamento das operações e logo em seguida é a aplicação da solução ótima Nessa unidade você vai estudar a definição de programação linear que é um tipo de modelo linear Posteriormente você vai aprender a descrever a representação da programação linear por meio de soluções gráficas Daí será preciso saber interpretar as soluções gráficas e isso você vai aprender nessa unidade Essa parte da disciplina também versa sobre aplicações de modelos lineares É relevante para a pesquisa operacional compreender como cada problema pode ser solucionado Mais especificamente você precisa saber identificar qual tipo de modelo deve aplicar para cada tipo de problema Essa adequa ção é essencial para uma solução pertinente Vamos lá 22 CONCEITOS EM MODELOS LINEARES Ao aprofundarmos os estudos em Pesquisa Operacional vamos identificar classes de problemas e essas classes estão relacionadas com modelos diferen tes que são os mais apropriados Vamos começar com os modelos lineares O principal modelo nessa classe é o de programação linear Vamos estudálo agora Vamos lá 42 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 A IMPORTÂNCIA DAS SOLUÇÕES GRÁFICAS Fonte Plataforma Deduca 2021 PraCegoVer Foto de um tablet apresentando um gráfico com funções quadráticas em sua tela Na parte superior à esquerda do tablet também observase uma xícara com café 221 DEFINIÇÃO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR A pesquisa operacional possui como um de seus principais modelos o de pro gramação linear Um dos motivos para isso segundo Longaray 2013 é que estamos acostumados a tratar os problemas de forma linear Em linhas ge rais podemos dizer que os modelos de programação linear se aproximam bastante aos modelos de otimização inclusive em sua estrutura algébrica 43 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I A PROGRAMAÇÃO LINEAR COMO UM MODELO LINEAR Fonte Plataforma Deduca 2021 PraCegoVer A figura traz uma mulher de negócio escrevendo uma linha verde ascendente entre dois eixos Assim podemos perceber uma característica típica na programação linear é a principal escolha para a modelagem da maioria dos problemas Outra questão é que acabamos por deixar de lado outros modelos matemáticos que podem inclusive ser mais apropriados para a modelagem Por exemplo podemos citar como modelos não lineares as inversas as quadráticas ou lo garítmicas e assim por diante 44 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Para saber mais sobre modelos de programação linear e exemplos aplicados acesse o site disponível neste link Segundo Longaray 2013 p 59 a definição de programação linear é E a tecnica cuja estrutura algebrica e a que mais se aproxima da forma geral matematica que os modelos de otimizacao preconizam Isso significa que a estrutura algébrica é composta por sistemas de equações lineares e não lineares de forma a representar modelos que já existem e que já foram projetados como é o caso de problemas relacionados com a produção Nem sempre estamos acostumados a diferenciar problemas lineares de problemas não lineares Assim você já deve ter percebido que um ponto crucial é a compreensão do significado de linearidade nos modelos de pesquisa operacional Bom se es tamos em problemas de programação linear precisamos de modelos lineares 45 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I MODELOS NÃO LINEARES Fonte Plataforma Deduca 2021 PraCegoVer Foto que mostra uma mulher de negócio em uma apresentação dos ciclos econômicos por meio de um modelo não linear Mas como isso pode ser identificado nos modelos Linearidade segundo Longaray 2013 é um caso especial da relação YfX que pode ser lido como Y em função de X E essa relação é linear se temos uma mudança em X e o valor de Y se altera de forma constante Atentese no exemplo a seguir Considere o seguinte exemplo em que se tem a variável independente X a variável dependente Y e a variação em X e Y de uma dada função 46 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 VARIAÇÃO EM X E Y DE UMA DADA FUNÇÃO X Variação em X Y Variação em Y 2 4 Nao estimada 1 1 1 3 0 1 2 3 1 1 5 3 2 1 8 3 Fonte Longaray 2013 p 30 PraCegoVer Tabela com 4 colunas e ela ilustra um exemplo de variavel independente X variavel dependente Y e variacao em X e Y de uma dada funcao Ao observar as variações na tabela acima elas são constantes ou em outras palavras são sempre 1 em X e 3 em Y Isso significa que estamos diante de um modelo linear Ao avançar a análise da tabela acima vamos ver como fica a função 2 32 4 2 31 1 2 30 2 2 31 5 2 32 8 Essas relações acima podem ser expressas por meio da expressão Y23X Para melhor compreender como montar uma equação da reta assista ao vídeo disponível neste link 47 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I Como acabamos de perceber a equação linear que escrevemos é do tipo fX a bX que pode também ser escrita como Y a bX em que Y é a variável dependente e X é a variável independente a é uma constante numérica cha mada de intersecção e b é uma constante chamada de coeficiente angular LONGARAY 2013 Assim podemos dizer que o modelo será linear se assume o seguinte formato sendo que cj é uma constante conhecida no problema Quer conhecer mais sobre conceitos básicos de otimização que é estudado em programação linear Acesse o link e assista ao vídeo 222 APLICAÇÃO DA FUNÇÃO OBJETIVO E DAS RESTRIÇÕES Nos problemas de programação linear temos o uso do processo de otimi zação Esse tipo de problema quer maximizar ou minimizar a função e que denominaremos de função objetivo Essa função expressa o que queremos no nosso modelo Porém temos restrições Não podemos maximizar ou mi nimizar indefinidamente Daí porque falamos em um sistema de equações pois justamente vamos ter a equação da função objetivo e as equações das restrições que vão delimitar a área de atuação da função objetivo Vamos preferir usar modelos de otimização quando segundo Andrade 2015 48 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Muitas variáveis de decisão quando a variável de decisão puder assumir valores que vão poder variar consideravelmente então estamos é melhor um modelo de otimização no lugar de modelos de simulação Houver restrição se existir alguma restrição que tornar inviável o processo de escolha dos valores das variáveis Precisão os valores precisem ser calculados de modo preciso para integrar na resposta as variações no resultado A função objetivo vai mostrar qual o critério adotado para que as variáveis de decisão sejam otimizadas e isso deve estar expresso de forma matemática 49 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I COMPLEXIDADE DOS MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR Fonte Plataforma Deduca 2021 PraCegoVer Na ilustração uma pessoa olha em direção a vários painéis para representar a complexidade dos modelos de programação linear As restrições por sua vez vão representar as limitações inerentes ao problema em questão Deve ficar registrado que essas restrições igualmente devem ser representadas de forma matemática Um exemplo de restrição pode ser 24 ho ras se o problema levar em conta as horas Ou ainda a quantidade de horas de trabalho efetivo e aí não faz mais sentido considerar 24 horas mas sim 8 horas 50 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 A IMPORTÂNCIA DE RESPEITAR AS RESTRIÇÕES DO PROBLEMA Fonte Plataforma Deduca 2021 PraCegoVer Na ilustração a fita amarela e preta representa a ideia de delimitação que as restrições representam nos problemas de programação linear Outra situação segundo Andrade 2015 é que as restrições podem expressar a relação que define a capacidade de produção de uma máquina Ou ainda que a cada meio expediente é preciso considerar o custo da refeição Segundo Andrade 2015 p 19 analise as etapas de montagem de um proble ma de otimização Vamos supor que a empresa do exemplo anterior queira estudar sua políti ca de estocagem de modo a otimizar sua operação reduzindo os custos em que incorreu Após um levantamento muito cuidadoso o gerente teve condições de esti mar que o custo anual de manter um item do produto em estoque era de 50 Esse custo foi obtido considerandose o custo do capital investido o custo das instalações refrigeração limpeza e seguros durante um ano e dividindose pelo número estimado de itens que irão compor o estoque no mesmo perí odo Vamos considerar aqui que esse número seja constante e igual a 1000 por ano 51 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I Por outro lado consideremos que o suprimento do produto seja feito em quantidades constantes e intervalos regulares A colocação de cada encomenda tem um custo fixo de 1000 incluindo do cumentação despesas de pedido e transporte O objetivo do estudo é descobrir a quantidade de mercadoria que deve ser encomendada de cada vez de modo a minimizar o custo total de operação de estoque Como única restrição do problema vamos supor que o fornecedor pode en tregar no máximo 180 unidades do produto por vez IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS Vamos definir as seguintes variáveis para o modelo do problema A quantidade anual do produto que a empresa comercializa S custo de manutenção do estoque por unidade por ano P custo fixo de colocação da encomenda por pedido Q quantidade ordenada ao atacadista para suprimento EQUAÇÕES DO PROBLEMA Neste problema simples a montagem do modelo se resume a escrever ma tematicamente a função objetivo que pode ser assim formulada Minimizar Custo Total CT Custo de Manutenção do Estoque Custo de Colocação da Encomenda em que custo de Manutenção do Estoque nível médio custo unitário de manutenção custo de Colocação da Encomenda nº de pedidos custo de colocação do pedido 52 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Assim o modelo do problema é Nesse caso a maneira mais simples de resolver o problema é derivando a fun ção objetivo CT com relação à variável de decisão Q e igualando o resultado à zero Resolvendo Com Q quantidade a encomendar para mínimo custo anual total Usando os dados do problema obtemos Assim a encomenda que minimizaria o custo total da operação do estoque seria Q 200 unidades por vez Entretanto como existe a restrição de que o fornecedor pode entregar no máximo 180 unidades a encomenda mais econômica tornase obviamente Q 180 itens do produto por vez 53 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I O gráfico a seguir ilustra o processo de minimização do custo total sob essa res trição A região indicada pela seta corresponde ao conjunto de soluções viáveis Uma informação que o administrador da loja pode extrair imediatamente é a economia que ele faria em termos de custo de estocagem se o fornecedor relaxasse a restrição de 180 unidades por encomenda GRÁFICO COM A SOLUÇÃO DO PROBLEMA Fonte Andrade 2015 p 20 PraCegoVer Gráfico que apresenta os custos que estão no problema custo total que é uma parábola voltada para cima custo de manutenção que é uma reta ascendente e custo de colocação que é uma curva exponencial O ponto de equilíbrio é representado pela letra Q com um asterisco sobrescrito e possui o valor 200 Cada etapa do processo de modelagem da otimização é relevante para que se tenha ao final uma resposta condizente com o problema proposto Agora que já entendemos o que uma função objetivo e suas restrições vamos estudar a interpretação geométrica e a solução gráfica Vamos lá 54 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 223 INTERPRETAÇÃO GEOMETRICA E SOLUÇÃO GRÁFICA A resolução de problemas em programação linear pode ser feita de forma gráfica Antes de avançarmos a seguir acompanhe o gráfico como exemplo de plano cartesiano Na programação linear podemos obter soluções por meio de gráficos como neste exemplo PLANO CARTESIANO Fonte Anpoliello Wikimedia Commons 2009 PraCegoVer A figura ilustra um plano cartesiano disposto num fundo quadriculado Este plano é formado por um eixo x e um eixo y em ambos os sentidos positivo e negativo No ponto de intersecção dos eixos temos o ponto D 00 e temos outros pontos em destaque como A 53 B 65 e C 4535 55 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I Vamos agora fazer a representação gráfica de um modelo para ver como e possível obter a solução dessa maneira O exemplo que vamos usar é baseado em Rodrigues 2017 Vamos usar as seguintes equações de um modelo de sandálias e sapatos 07x1 04x2 1000 015x1 03 x2 600 x1700 Atentese às restrições no gráfico a seguir REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA RESTRIÇÃO 07X1 04X2 1000 Fonte Rodrigues 2017 p 42 PraCegoVer Representação gráfica que ilustra o espaço restrito para o modelo de otimização conforme a inequação de restrição 07x1 04x2 1000 Há uma área sombreada que é a área delimitada por essa inequação que forma um triângulo do ponto 00 ao valor 142857 do eixo x1 horizontal até o valor 2500 do eixo x2 vertical 56 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Agora vamos estudar o próximo tópico que envolve a estruturação de exem plos práticos do que vimos até agora sobre programação linear 23 APLICAÇÃO DE MODELOS LINEARES Os modelos lineares possuem uma diversidade de aplicações Perceba que é o tipo de modelo mais usado E um dos motivos é a simplicidade de sua aplicação Modelos por sua natureza são aplicações que tentam simplificar a realidade E modelos lineares em programação linear vão expressar essa pra ticidade em suas aplicações Vamos lá 231 INTRODUÇÃO A partir dos dados que temos sobre o sistema que será elaborado vamos che gar até o modelo de otimização propriamente dito Dele teremos a represen tação do sistema bem como o critério de decisão Daí vamos obter a solução ótima que será a base para a tomada de decisão Esquematicamente temos a seguinte situação MODELOS DE OTIMIZAÇÃO Fonte Andrade 2015 p 5 PraCegoVer No esquema há o processo de definição do problema de otimização Primeiro temos os dados e as informações do sistema Depois temos o modelo de otimização propriamente dito em que há a representação do sistema e o critério de seleção da alternativa Após então temos a solução ótima que será a base para a tomada de decisão por parte do gestor 57 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I Para melhor compreender a aplicação de modelos de programação linear sugerese a leitura do artigo Um modelo baseado em programação linear e programação de metas para análise de um sistema de produção e distribuição de suco concentrado congelado de laranja publicado em 2001 na Revista Gestão Produção Acesso pelo link Quando formulamos o modelo precisamos elaborar a função objetivo e logo em seguida as restrições do modelo Quando usamos o método gráfico isso se torna ainda mais relevante Por isso vamos ver cada uma dessas etapas aqui Maximizar é quando queremos o maior valor da função objetivo Minimizar é quando queremos o menor valor da função objetivo 232 EXEMPLOS DE RESTRIÇÕES As restrições ao modelo podem ser de diversas naturezas Vamos agora fazer um passo a passo de um modelo em que uma indústria de alimentos queria maximizar o seu lucro Para isso é preciso identificar as restrições disponibilidade de matériaprima capacidade da produção mãodeobra limitações no preço Rodrigues 2017 p 34 58 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Precisamos transformar essas restrições em equações no modelo para que ele fique com o formato a seguir Função objetivo local do modelo em que evidenciamos o que pretendemos com a decisão do modelo Maximização ou minimização maximização quando queremos chegar ao valor máximo possível e minimização é a situação contrária pois queremos alcançar o menor valor possível Restrição é a relação matemática que vai delimitar o espaço em que a função objetivo vai operar Agora queremos saber o que acontece caso a produção de calçados seja ven dida e a empresa consiga vender no máximo 700 sandálias por mês Como eu consigo determinar quantas sandálias de cada modelo para que eu tenha o maior lucro possível Bom para resolver essa questão precisamos montar o problema Vamos lá 59 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I OTIMIZAÇÃO Fonte Plataforma Deduca 2021 PraCegoVer Ilustração que mostra o dedo da mão esquerda apertando um botão para fazer menção às restrições do modelo que vão trazer maior precisão e segurança aos resultados Sabemos que x1 é a quantidade de sandálias e que x2 é a quantidade de sa patos Então queremos formular a restrição do modelo As restrições do mo delo são os fatores que vão limitar a produção No caso dos calçados o que vai delimitar a produção é a quantidade de couro e de borracha Então temos a seguinte equação Essa equação está demonstrando que para a construção de uma sandália precisamos de 700g de couro e para o sapato precisamos de 400g de couro Aí a quantidade máxima de couro disponível é de 1000 kg portanto 1 tonelada 60 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 ESCOLHA DE SAPATOS E SANDÁLIAS PARA PRODUÇÃO Fonte Plataforma Deduca 2021 PraCegoVer A foto apresenta vários modelos de sandálias e de sapatos para fazer menção ao que está sendo proposto como exemplo Agora vamos estudar a representação gráfica dessa restrição Vamos lá 233 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA RESTRIÇÃO Vamos representar graficamente a restrição que acabamos de mencionar Vamos precisar encontrar os pares ordenados para plotar no gráfico Para isso você vai atribuindo o valor zero para x1 para encontrar os valores de x2 e assim 61 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I por diante Outro ponto importante é encontrar onde fica o ponto 00 Vamos primeiramente atribuir o valor x1 0 E isso resulta em x2 2500 Depois vamos atribuir x2 0 e isso resulta em x1 142857 Agora você já pode montar a tabela com os valores de x1 e de x2 conforme a seguir TABELA COM VALORES DE X1 E DE X2 PARA A INEQUAÇÃO 07X1 04X2 1000 X1 X2 x1x2 0 2500 02500 142857 0 1428570 Fonte Rodrigues 2017 p 41 PraCegoVer A tabela apresenta os valores de x1 e de x2 para a inequacao 07x1 04x2 1000 Quando x1 e zero x2 tem valor 2500 que forma o par ordenado 02500 Na linha seguinte quando x2 e zero x1 tem valor 142857 que forma o par ordenado 1428570 Em problemas graficos de programacao linear a funcao objetivo e em uma perspectiva geometrica um vetor de R2 duas dimensoes e como tal possui modulo direcao e sentido Vamos utilizar essas propriedades para determinar o vertice do poligono de restricoes que contempla a solucao otima ou seja as coordenadas ordenada e abcissa do vetor LONGARAY 2013 p 89 Com essas informações podemos montar a representação da primeira res trição conforme já demostrado anteriormente 62 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA RESTRIÇÃO 07X1 04X2 1000 Fonte Rodrigues 2017 p 42 PraCegoVer Representação gráfica que ilustra o espaço restrito para o modelo de otimização conforme a inequação de restrição 07x1 04x2 1000 Há uma área sombreada que é a área delimitada por essa inequação que forma um triângulo do ponto 00 ao valor 142857 do eixo x1 horizontal até o valor 2500 do eixo x2 vertical Para melhor compreender a aplicação de modelos de programação linear sugerese a leitura do artigo utilização da programação linear para maximização dos lucros da produção de pães em uma empresa de panificação publicado em 2019 na Revista Brazilian Journal of Development Acesso pelo link 63 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I CONCLUSÃO Esta unidade apresentou uma introdução ao problema de programação line ar que é o tipo de modelo mais largamente utilizado Com diversas possibli dades de aplicação pode ser útil nos processos de tomada de decisão Por fim apresentamos algumas aplicações práticas para que você pudesse identificar situações e de maneira concreta visualizar outras formas de aplica ção conforme a sua área de especialidade OBJETIVO Ao final desta unidade esperamos que possa 64 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I UNIDADE 3 definir método simplex descrever as etapas de definição do problema no método simplex e aplicações 65 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I 3 MÉTODO SIMPLEX 31 INTRODUÇÃO As organizações na sociedade estão em busca constante por soluções ótimas O ponto de partida é o planejamento das operações e logo em seguida é a aplicação da solução ótima Nessa unidade você vai estudar a definição de programação linear que é um tipo de modelo linear Posteriormente você vai aprender a descrever a representação da programação linear por meio de soluções gráficas Daí será preciso saber interpretar as soluções gráficas e isso você vai aprender nessa unidade Essa parte da disciplina também versa sobre aplicações de modelos lineares É relevante para a pesquisa operacional compreender como cada problema pode ser solucionado Mais especificamente você precisa saber identificar qual tipo de modelo deve aplicar para cada tipo de problema Essa adequa ção é essencial para uma solução pertinente Vamos lá 32 INTRODUÇÃO AO MÉTODO SIMPLEX Ao dar continuidade aos estudos em Pesquisa Operacional vamos nos de parar com um método de solução de modelos em programação linear que é utilizado com muita frequência o método simplex Existem alguns motivos para isso O primeiro é que é um método em que a solução é encontrada ao seguir uma rotina de procedimentos que vão executar o cálculo do algorit mo de programação linear LONGARAY 2013 E o outro motivo é que essa metodologia facilita a implementação tanto manual quanto por softwares de programação linear Isso significa que na prática precisamos entender como funciona o método uma vez que a implementação poderá ser feita por meio de um software Vamos estudálo agora Vamos lá 66 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 321 ORIGEM DO MÉTODO SIMPLEX Segundo Longaray 2013 o método simplex que vamos tratar nesta unida de foi desenvolvido e aprimorado pelo matemático norte americano George Dantzig 19142005 Ele foi o responsável por apresentar para a comunidade científica em 1947 o algoritmo do simplex Justamente por esse motivo ficou conhecido como o pai da programação linear GEORGE DANTZIG EM PREMIAÇÃO EM 1976 Fonte Mdd Wikimedia Commons 2014 PraCegoVer Foto em preto e branco que retrata George Dantzig na cerimônia de premiação da medalhada nacional em 1976 Porém você pode estar se questionando por que esse nome simplex Essa palavra está presente nos estudos de Topologia que vamos encontrar em Ma temática E é usada para indicar uma generalização do conceito de triângulo e outras dimensões que existem na matemática Atentese para os conceitos a seguir conforme Longaray 2013 p 104 67 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I Simplex é uma região do Rn resultante da intersecção de semiespaços de n 1 vértices em N dimensões Isso significa que pode ser um segmento de linha sobre uma linha um triângulo sobre um plano um tetraedro em um espaço tridimensional e assim por diante Topologia ramo da Matemática que estuda a convergência a convexidade e a continuidade Dimensão uma dimensão é dada pelo seu espaço e pelo número de pontos que o determinam No campo da Matemática simplex é uma região do Rn que é resultado da intersecção de semiespaços em n 1 vértices em N dimensões Já o nome simplex segundo Longaray 2013 indica que vai representar sempre um po lígono mais simples de sua dimensão No caso de uma representação no espaço R2 o triângulo é o polígono com o menor número de arestas e de vértices No caso de uma representação no espaço em R3 o tetraedro é o polígono que possui o menor número de vértices arestas e faces Ao trazermos a ideia de Dantzig para a nossa realidade ele usou as proprie dades de um polígono do tipo simplex para desenvolver um método que vai resolver problemas de programação linear LONGARAY 2013 68 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 O método desenvolvido por Dantzig é tão conhecido que normalmente as pessoas tratam o nome do algoritmo simplex e não mais associado ao ramo da Topologia do qual Dantzig havia se inspirado Cada tipo de resolução de problemas de programação linear possui as suas limi tações Por exemplo o método gráfico é compatível com resoluções de até duas ou três variáveis de decisão Ao passo que vamos avançando com a complexida de a dificuldade para operar com o método aumenta consideravelmente Atentese no link a seguir que apresenta a biografia de George Dantizig que foi professor de pesquisa operacional e ciência da computação Acesso por aqui O método simplex é uma maneira de facilitar esse processo uma vez que ele resolver qualquer tipo de problema Atentese para o gráfico a seguir com os traços em azul para indicar as possibilidades de soluções nos vértices do conjunto convexo 69 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I CONJUNTO CONVEXO COM A INDICAÇÃO DOS POSSÍVEIS LOCAIS COM SOLUÇÃO FACTÍVEL Fonte Ribeiro e Karas 2013 p12 PraCegoVer A figura traz uma área em laranja para delimitar o conjunto factível e traz linhas arrocheadas para encontrar a solução ótima Belfiore e Fávero 2012 p 88 definem o método simplex conforme a seguir O método Simplex é um procedimento algébrico iterativo que parte de uma solução básica factível inicial e busca a cada iteração uma nova solução básica factível com melhor valor na função objetivo até que o valor ótimo seja atingido 70 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 322 DEFINIÇÕES DE VARIÁVEIS NO MÉTODO SIMPLEX Segundo Longaray 2013 o método simplex consiste em um conjunto de ações similar a um passo a passo para determinar o vértice ótimo do polígo no de soluções A BUSCA PELA SOLUÇÃO ÓTIMA Fonte Ribeiro e Karas 2013 p 16 PraCegoVer A figura traz um gráfico com círculos e retas que vão atingir o centro para simbolizar a busca pelo valor ótimo Antes de avançarmos é preciso conhecer alguns conceitos importantes sobre a teoria dos conjuntos convexos que é a base para o entendimento do modelo simplex e outros modelos de programação linear conforme Longaray 2013 71 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I Soluções viáveis são aquelas que possuem um espaço convexo Conjunto convexo é possível traçar uma reta ligando dois pontos dentro do espaço de solução Conjunto não convexo não é possível traçar uma reta sem sair do espaço convexo da solução Quando você identificar os conjuntos de soluções viáveis em um problema de programação linear você vai remeter à ideia de convexidade e ainda que a solução ótima está localizada em um local extremo do conjunto Na figura a seguir você poderá acompanhar a comparação entre um conjunto convexo e um conjunto não convexo REPRESENTAÇÃO DE DOIS CONJUNTOS O PRIMEIRO CONVEXO E SEGUNDO NÃO CONVEXO Fonte Ribeiro e Karas 2013 p 3 PraCegoVer A figura traz um conjunto convexo à esquerda onde a reta vermelha vai de x até y dentro do conjunto convexo e à direita temos outro conjunto porém não convexo onde a reta vermelha vai de x até y saindo da área do conjunto não convexo 72 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Outro conceito relevante é o de representação em R2 e em R3 Muitas vezes nos referimos a essas representações porém nem sempre vem à mente a repre sentação adequada Acompanhe a seguir um exemplo com a representação de um polígono nos espaços R2 e R3 REPRESENTAÇÃO DE UM POLÍGONO EM R2 E EM R3 Fonte Longaray 2013 p102 PraCegoVer A figura traz um polígono de três pontos em R2 à esquerda e um polígono de quatro pontos em R3 à direita Como conseguimos observar os vértices do polígono então a solução por meio do método gráfico é viável Já no polígono de quatro vértices esse tipo de solução fica comprometida uma vez que é preciso visualizar a intersecção da equação da funçãoobjetivo com os vértices do polígono E essa tarefa não é nada trivial Já o método algébrico como o do simplex viabiliza esse tipo de solução O método simplex vai determinar a solução ótima como já nos referimos aqui Perceba que ele é aplicável somente em problemas de programação linear e isso por si só já é uma limitação Nem todos os problemas podem ser formu lados em termos de funções lineares 73 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I NEM SEMPRE PROBLEMAS PODEM SER RESOLVIDOS COM MODELOS LINEARES Fonte Andrade 2015 p 20 PraCegoVer Ilustração de um protótipo de um produto por meio de desenhos e usando ferramentas como tesoura compasso e lápis para representar a complexidade da elaboração de modelos Vamos definir alguns tipos de variáveis que serão relevantes para a resolução do modelo por meio do método simplex As variáveis básicas e as variáveis não bá sicas As variáveis básicas são aquelas que vão compor a solução ótima do pro blema E já as variáveis que não são básicas são aquelas em que o valor é zero Temos ainda as variáveis de folga ou de excesso Essas variáveis são aquelas que vamos acrescentar ao problema para alcançar uma solução por meio do método simplex de modo que as inequações com menor ou igual se tornem igualdades 74 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 323 RECOMENDAÇÕES E MODELO DE TABELA Segundo Belfiore e Fávero 2012 p 112 a representação padrão de um mode lo geral de maximização de programação linear segue conforme a seguir em que n 1 2 3 m e m 1 2 3 n E ao mesmo tempo esse mesmo modelo pode ser representado no formato tabular conforme a seguir 75 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I MODELO GERAL DE PROGRAMAÇÃO LINEAR NA FORMA TABULAR nº da equação Coeficientes Constante Z x1 x2 xn 0 1 C1 C1 Cn 0 1 0 a11 a12 a1n b1 2 0 a21 a22 a2n b2 m 0 am1 am2 amn bm Fonte Belfiore e Fávero 2012 p 112 PraCegoVer Tabela com 3 colunas principais À esquerda temos o nº da equação no meio temos os Coeficientes composta por cinco coluna sendo a primeira para z e as demais para os valores de x e à direita são apresentadas as constantes demonstrando o modelo geral de programação linear na forma tabular Para compreender melhor como resolver um problema de programação linear pelo método simplex assista ao vídeo disponível neste link Mas como ocorre essa transição entre o modelo na forma padrão para o mo delo na forma tabular A função z de maximização na forma de tabela muda e é reescrita passando de z c1x1 c2x2 cnxn para z c1x1 c2x2 cnxn 0 Já no caso das colunas intermediárias elas vão conter os coeficientes das variáveis do lado esquerdo de cada equação acrescentando o coeficiente z E as cons tantes estão na última coluna denominada constante 76 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Quer saber mais sobre a resolução do método simplex Assista ao vídeo disponível neste link Agora que já avançamos podemos ir para a resolução do método propria mente dito Vamos lá 33 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO MÉTODO SIMPLEX As possibilidades de resolução de problemas reais com o método simplex são dos mais variados tipos Isso significa que podemos trazer problemas da vida real e transformar em problemas de programação linear Alguns exemplos em que isso pode ocorrer são formulação de misturas dieta nutricional cor te de barras e chapas logística transporte designação pessoas e tarefas análise de crédito diagnóstico de doenças reconhecimento de voz reconhe cimento de padrões 77 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I PROBLEMAS DE LOGÍSTICA PODEM SER SOLUCIONADOS COM MÉTODO SIMPLEX Fonte Plataforma Deduca 2021 PraCegoVer Foto de um centro de distribuição de logística na qual tem uma carreta estacionada nas docas de abastecimento Analise o exemplo de programação de cimento a seguir conforme Andrade 2015 p 2829 A FORMULAÇÃO DO PROBLEMA O processo de fabricação de cimento pode ser representado por um fluxo de materiais conforme Figura a seguir Repare que dois produtos são fabricados cimento portland 320 CP320 cimento altoforno 250 AF250 78 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PROCESSO SIMPLIFICADO DE FABRICAÇÃO DE CIMENTO Fonte Andrade 2015 p 29 PraCegoVer A figura traz o processo simplificado de fabricação de cimento Primeiro temos o britador logo em seguida temos o préhomogeneizador depois o moinho de cru de farinha depois o forno na sequência um depósito de clínquer mais adiante o moinho de cimento daí vai para o silo e ensacadeira E pode gerar o AF250 e o CP320 As fórmulas convencionais de fabricação dos dois tipos de cimento são mos tradas na Tabela a seguir TABELA SOBRE OS COMPONENTES DOS TIPO DE CIMENTO CP320 E AF250 Componentes CP320 AF250 Clínquer 85 50 Escória de AltoForno 7 45 Gesso 3 3 Aditivo 5 2 Fonte Andrade 2015 p 28 PraCegoVer A Tabela traz os percentuais que cada componente possui em cada tipo de cimento O cimento CP320 possui 85 de clínquer 7 de escória de altoforno 3 de gesso e 5 de aditivo O cimento AF250 possui 50 de clínquer 45 de escória de altoforno 3 de gesso e 2 de aditivo 79 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I A produção de clínquer é limitada a um máximo de 1100000 toneladas por ano capacidade do forno Da mesma forma a produção dos dois tipos de cimento também se limita a 1100000 toneladas por ano capacidade do moi nho São conhecidas as seguintes limitações adicionais venda de clínquer a outros fabricantes de cimento máximo de 200000 tano compra de escória de usinas siderúrgicas máximo de 180000 tano compra de gesso e aditivo cada um máximo de 50000 tano Por outro lado são conhecidos os seguintes dados de lucros e custos contribuição marginal do CP320 4100t contribuição marginal do AF250 3780t contribuição marginal do clínquer 3440t preço da escória de siderúrgica 2210t preço do gesso 3420t preço do aditivo 190t Para calcular a contribuição marginal tomase a receita líquida menos os cus tos fixos e os custos variáveis exceto escória gesso e aditivo O objetivo da em presa é calcular a produção total anual que maximiza o lucro total B DEFINIÇÃO DAS VARIÁVEIS Tal como fizemos no caso anterior vamos definir como variáveis as diversas produções colocadas à venda x1 quantidade de cimento CP320 x2 quantidade de cimento AF250 x3 quantidade de clínquer vendida 80 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 C RELAÇÕES MATEMÁTICAS As expressões matemáticas têm que representar as relações entre as diversas variáveis e suas limitações Assim temos 1 Limitações de produção cimentox1 x2 1100000 clínquer 085 x1 050 x2 x3 1100000 2 Limitação de venda de clínquer x3 200000 3 Limitações de utilização de escória 007 x1 045 x2 180000 gesso 003 x1 003 x2 50000 aditivo 005 x1 002 x2 50000 4 Função objetivo que deve representar o lucro líquido total calculado a par tir das contribuições marginais de cada produto deduzindose os custos dos insumos utilizados L 4100 x1 3780 x2 3400 x3 2210 007 x1 045 x2 3420 003 x1 003 x2 190 005 x1 002 x2 Resumindo o modelo de programação linear para o problema pode ser es crito como Achar x1 x2 e x3 de modo a Maximizar L 3833 x1 2679 x2 3440 x3 Sujeito a x1 x2 1100000 x3 200000 085 x1 050 x2 x3 1100000 007 x1 045 x2 180000 003 x1 003 x2 50000 005 x1 002 x2 50000 81 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I x1 0 x2 0 x3 0 331 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA COM BASE NO MÉTODO SIMPLEX A função objetivo no método simplex vai se transformar nos coeficientes da função objetivo e os termos independentes vão se transformar nos coeficien tes das restrições conforme tabela a seguir TMODELO DE TABELA PARA A TABULAÇÃO DO USO DO MÉTODO SIMPLEX Função objetivo Coeficiente da função objetivo Termos independentes Coeficiente das restrições Fonte Rodrigues 2017 p 44 PraCegoVer Figura que traz os elementos do modelo padrão e como serão nominados no método simplex Z 0 é uma equação denominada de funçãoobjetivo transformada Solução básica é dada por um dos pontos que pertence a um dos vértices externos do polígono 82 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Segundo Andrade 2015 p 36 um modelo de programação linear precisa responder aos seguintes questionamentos Qual sistema de equações deve ser resolvido O próximo sistema a ser resolvido fornecerá uma solução melhor que os anteriores Como identificar uma solução ótima uma vez que a tenhamos encontrado MAXIMIZAÇÃO VS MINIMIZAÇÃO Fonte Ribeiro e Karas 2013 p 24 PraCegoVer A figura traz uma linha que possui a concavidade virada para cima para representar que quero fazer uma minimização e uma linha tracejada que possui a concavidade voltada para baixo que indica que quero fazer uma maximização Outro ponto a ser destacado conforme apontado por Longaray 2013 é que para o sucesso na resolução pelo método simplex é preciso ter em mente que você vai transformar as inequações em equações para chegar à forma padrão Para se chegar a esse formato é necessário colocar as variáveis de folga nas inequações Uma variável de folga tem a função de equilibrar os dois lados da inequação de forma que fique uma equação LONGARAY 2013 83 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I Uma inequação é uma relação de desigualdade E no caso aplicado do mé todo simplex a inequação representa a relação entre determinado recurso e sua utilização Atentese a seguir as situações que você pode encontrar UTILIZAÇÃO DE RECURSO DISPONIBILIDADE DE RECURSO UTILIZAÇÃO DE RECURSO DISPONIBILIDADE DE RECURSO Ainda conforme Longaray 2013 p 107 podemos realizar transformações de modo que podemos ter as seguintes situações UTILIZAÇÃO VARIÁVEL DE FOLGA DISPONIBILIDADE UTILIZAÇÃO VARIÁVEL DE FOLGA DISPONIBILIDADE 332 MODELO MATEMÁTICO DO SIMPLEX Segundo Andrade 2015 p 3839 analise as etapas de montagem de um pro blema de maximização utilizando o algoritmo do Simplex 1ª ITERAÇÃO Passo 1 Introdução das variáveis de folga 84 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Passo 2 Montagem do quadro de cálculos QUADRO DE CÁLCULOS Base X1 X2 X3 X4 X5 b x3 1 0 1 0 0 4 x4 0 1 0 1 0 6 x5 3 2 0 0 1 18 Z 3 5 0 0 0 0 Passo 3 Escolha da solução básica viável inicial Variáveis não básicas x1 x2 0 Variáveis básicas 1ª linha x3 4 2ª linha x4 6 3ª linha x5 18 Função objetivo Z 0 Passo 4 Variável que deve entrar na base Essa variável será x2 pois tem o maior coeficiente na última linha maior con tribuição por unidade Passo 5 Variável que deve sair da base divisões 1ª linha não se efetua a divisão 2ª linha 6 1 6 3ª linha 18 2 9 Como o menor quociente ocorreu na segunda linha a variável que deve sair da base é x4 85 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I Passo 6 Transformação da matriz Deverão ser realizadas as operações com as linhas da matriz de modo que a coluna de x2 venha a se tornar um vetor identidade com o elemento 1 na segunda linha 1ª operação substituir a terceira linha pela soma da terceira linha anterior com a segunda linha multiplicada por 2 QUADRO DE CÁLCULOS DA 1ª OPERAÇÃO Base X1 X2 X3 X4 X5 b x3 1 0 1 0 0 4 x4 0 1 0 1 0 6 x5 3 2 0 2 1 6 Z 3 5 0 0 0 0 2ª operação substituir a 4ª linha do Quadro 1A por sua soma com a 2ª linha multiplicada por 5 QUADRO DE CÁLCULOS DA 2ª OPERAÇÃO Base X1 X2 X3 X4 X5 b x3 1 0 1 0 0 4 x4 0 1 0 1 0 6 x5 3 0 0 2 1 6 Z 3 0 0 5 0 30 86 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 A nova solução obtida é Variáveis não básicas x1 x4 0 Variáveis básicas 1ª linha x3 4 2ª linha x2 6 3ª linha x5 6 Valor da função objetivo Z 30 2ª ITERAÇÃO Passo 4 Nova variável a entrar na base A nova variável será a variável x1 por ser a única que tem coeficiente negativo na última linha Passo 5 Variável que deve sair da base Divisões 1ª linha 4 1 4 2ª linha não se efetua a divisão 3ª linha 6 3 2 Como o menor quociente ocorreu na terceira linha a variável que deve sair da base é x5 Passo 6 Transformação da matriz Devemos achar o vetor identidade para a variável x1 com o elemento 1 na terceira linha 1ª operação Dividir a terceira linha por 3 87 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I QUADRO DA 1ª OPERAÇÃO Base X1 X2 X3 X4 X5 b x3 1 0 1 0 0 4 x4 0 1 0 1 0 6 x5 1 0 0 2 3 1 3 2 Z 3 0 0 5 0 30 2ª operação Substituir a primeira linha pela soma dela mesma com a terceira linha multiplicada por 1 3ª operação Substituir a quarta linha pela soma dela mesma com a terceira linha multiplicada por 3 Obtemos assim o seguinte quadro QUADRO DA 3ª OPERAÇÃO Base X1 X2 X3 X4 X5 b x3 0 0 1 2 3 1 3 2 x4 0 1 0 1 0 6 x5 1 0 0 2 3 1 3 2 Z 0 0 0 3 1 36 Acompanhe o gráfico a seguir para compreender melhor como esses dados são representados ainda conforme Andrade 2015 p 39 É a representação gráfica do problema 88 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO PROBLEMA Fonte Andrade 2015 p 39 A nova solução é Variáveis não básicas x4 x5 0 Variáveis básicas 1ª linha x3 2 2ª linha x2 6 3ª linha x1 2 Valor da função objetivo Z 36 89 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I 3ª ITERAÇÃO Ainda de acordo com Andrade 2015 p 39 temos o Passo 4 Ao procurarmos a próxima variável que deve entrar na base verifi camos que todos os coeficientes da quarta linha são positivos ou nulos o que significa que qualquer aumento no valor das variáveis não básicas faria dimi nuir o valor de Z Logo concluímos que a solução encontrada é ótima Representação gráfica A figura anterior Representação gráfica do problema mostra uma representação gráfica da resolução desse problema É interessante notar que a solução ótima é obtida no menor número possível de iterações O critério que garante a ocorrência desse fato é a escolha da vari ável que deve entrar na base como sendo aquela que dá a maior contribuição positiva para o valor da função objetivo Pela figura é possível reparar que a escolha de x2 na Iteração 1 como a variá vel que deve entrar na base fez com que o processo de solução se limitasse a pesquisar os pontos A e B Se tivéssemos escolhido a variável x1 inicialmente teríamos sido obrigados a pesquisar os pontos D C e B o que evidentemen te alongaria o processo exigindo uma iteração a mais Isso em um problema maior pode significar um gasto adicional de tempo de grande monta 333 SOLUÇÕES COM BASE NO MODELO SIMPLEX A resolução de problemas em programação linear pode ser feita de forma al gébrica como acabamos de analisar Vamos analisar agora o passo a passo dos procedimentos do método simplex para problemas de maximização 90 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Na programação linear precisamos seguir um passo a passo conforme mostrado a seguir PROCEDIMENTO PASSO A PASSO DO MÉTODO SIMPLEX Passo 1 Introduzir as variáveis de folga uma para cada desigualdade Passo 2 Montar um quadro para os cálculos colocando os coeficientes de todas as variáveis com seus respectivos sinais e na última linha incluir os coeficientes da função objetivo transformada Passo 3 Estabelecer uma solução básica inicial usualmente atribuindo valor zero às variáveis originais e achando valores positivos para as variáveis de folga Passo 4 Como próxima variável a entrar na base escolher a variável não básica que fornece na última linha a maior contribuição para o aumento da função objetivo ou seja tem o maior valor negativo Se todas as variáveis que estão fora da base tiverem coeficientes nulos ou positivos nessa linha a solução atual é ótima Se alguma dessas variáveis tiver coeficiente nulo isto significa que ela pode ser introduzida na base sem aumentar o valor da função objetivo Isso quer dizer que temos outra solução ótima com o mesmo valor da função objetivo Passo 5 Para escolher a variável que deve deixar a base devese realizar o seguinte procedimento a Dividir os elementos da última coluna pelos correspondentes elementos positivos da coluna da variável que vai entrar na base Caso não haja elemento algum positivo nessa coluna o processo deve parar já que a solução seria ilimitada b O menor quociente indica a equação cuja respectiva variável básica deverá ser anulada tornandose variável não básica 91 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I Passo 6 Empregando operações cálidas com as linhas da matriz transformar o quadro de cálculos de modo a encontrar a nova solução básica A coluna da nova variável básica deverá se tornar um vetor identidade no qual o elemento 1 aparece na linha correspondente à variável que está sendo anulada Passo 7 Retornar ao Passo 4 para iniciar outra iteração Fonte Andrade 2015 p 37 PraCegoVer A figura traz o passo a passo do método simplex São sete passos sendo o primeiro para introduzir as variáveis de folga o segundo para montar um quadro para os cálculos o terceiro para estabelecer uma solução inicial o quarto para colocar outra variável na base o quinto para escolher a variável que deve deixar a base o sexto para empregar as operações válidas com as linhas da matriz o sétimo para retomar a próxima iteração do passo quatro O método simplex requer paciência e a adoção sistemática do passo a passo Por isso analise atentamente a cada etapa para que a solução seja obtida Ademais verifique se o seu problema é de maximização Caso seja de mini mização você deve se atentar para a variável que entra na base pois será a que tem o maior valor positivo na linha Z transformada Caso todas tenham coeficientes negativos ou nulos a solução obtida é ótima ANDRADE 2015 Para compreender melhor a aplicação de modelos de programação linear com a aplicação do método simplex sugerese a leitura do artigo Apoio à decisão de um microempreendedor individual por meio do método Simplex publicado em 2019 na Revista de Trabalhos Acadêmicos Lusófona Acesso pelo link 92 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CONCLUSÃO Esta unidade apresentou um panorama sobre o método de resolução de pro blemas de programação linear o método simplex Apresentamos as suas pecu liaridades e depois disso vimos um passo a passo do método Por fim vimos um esquema com um passo a passo a ser seguido em problemas de maximização O método simplex pode ser aplicado em uma diversidade de situações como vimos nesta unidade Então cabe ao leitor agora identificar em qual situação que pode aplicar o método Vale lembrar que é um método de programação linear e geralmente os problemas mais complexos requerem modelos de pro gramação não linear Ademais os problemas mais reais são os mais complexos 93 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I OBJETIVO Ao final desta unidade esperamos que possa 94 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I UNIDADE 4 definir análise de sensibilidade descrever as etapas de definição do problema de análise de sensibilidade e de problema dual 95 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I 4 MÉTODO SIMPLEX 41 INTRODUÇÃO As organizações na sociedade estão em busca constante por soluções ótimas O ponto de partida é o planejamento das operações e logo em seguida é a aplicação da solução ótima Nessa unidade você vai estudar a definição de programação linear que é um tipo de modelo linear Posteriormente você vai aprender a descrever a representação da programação linear por meio de soluções gráficas Daí será preciso saber interpretar as soluções gráficas e isso você vai aprender nessa unidade Essa parte da disciplina também versa sobre aplicações de modelos lineares É relevante para a pesquisa operacional compreender como cada problema pode ser solucionado Mais especificamente você precisa saber identificar qual tipo de modelo deve aplicar para cada tipo de problema Essa adequa ção é essencial para uma solução pertinente Vamos lá 42 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE SENSIBILIDADE Ao dar continuidade aos estudos em Pesquisa Operacional vamos sentir a necessidade de avaliar os resultados e refazer o problema por meio da subs tituição dos valores do problema proposto Após isso vamos comparar os re sultados obtidos com os anteriores Daí teremos a percepção sobre o efeito que essa variação tem sobre o modelo Em poucas palavras essa é a análise de sensibilidade Outra parte importante para esse estudo é a análise sobre o problema dual No desenvolvimento da programação linear percebeuse que o mesmo problema pode ser escrito de duas maneiras diferentes A forma padrão é o problema primal e a forma alternativa é o problema dual Para a análise de sensibilidade essa possibilidade de analisar o mesmo problema sob aspectos diferentes é muito relevante para a descoberta de insights para a solução Vamos estudála agora Vamos lá 96 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 421 ORIGEM DA ANÁLISE DE SENSIBILIDADE Segundo Longaray 2013 o que foi estudado até aqui foi para obter uma res posta nos problemas de otimização e como obter essa resposta Então pode mos dizer que o objetivo primordial era obter uma resposta E a ideia era que essa resposta fosse ótima para o modelo de programação linear ANÁLISE DE SENSIBLIDADE Fonte Plataforma Deduca 2021 PraCegoVer Imagem em preto e branco que representa a consolidação dos dados para fazer referência à fase de análise de sensibilidade que ocorre após o processo de otimização A parte da otimização vai se ocupar em obter um resultado Não nos preocu pamos até aqui em avaliar os impactos desses resultados E no cotidiano o tomador de decisão vai precisar lidar com diferentes opções para chegar ao mesmo resultado com o mesmo efeito para a empresa Atentese para a situ ação apresentada a seguir conforme Longaray 2013 p 157 97 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I no problema do gestor de PCP surjam novas possibilidades o Departamento de Matériasprimas pode informar que haverá um corte na quantidade de insumos em um dado dia da semana o Departamento de Recursos Humanos em função de um treinamento da Comissão Interna de Prevenção de Acidentes CIPA pode recrutar dois funcionários da produção pelo tempo de uma jornada inteira de trabalho pode ocorrer uma queda brusca no mercado pela procura dos produtos que a empresa fabrica etc Com esse exemplo já deu para perceber que você vai poder aplicar os mode los de otimização de programação linear no seu dia a dia da empresa MODELOS DE OTIMIZAÇÃO NO DIA A DIA DA EMPRESA Fonte Plataforma Deduca 2021 PraCegoVer Ilustração colorida de três executivos cada qual pensando em variáveis diferentes custo lucro prazo o que representa a diversidade de variáveis que o gestor se depara no dia a dia da empresa 98 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Esses problemas podem ser solucionados ou quase isso por diagnósticos e in terpretação desse tipo de modelagem A análise que vai ser feita após a obten ção dos resultados é a análise de pósotimização ou de análise de sensibilidade Você pode usar o método simplex para obter uma análise de sensibilidade Mas existem outras maneiras de se proceder uma análise de sensibilidade Segundo Longaray 2013 a análise de sensibilidade consiste em avaliar o im pacto que causa no resultado obtido do modelo uma variação nos coeficien tes das variáveis básicas e não básicas do modelo O IMPACTO NO MODELO DE UMA ALTERAÇÃO NOS COEFICIENTES Fonte Plataforma Deduca 2021 PraCegoVer Imagem de uma mão desenhando quatro cabeças com um giz num quadro negro Dentro das cabeças temos da esquerda para a direita um ponto de interrogação uma engrenagem uma lâmpada e um ponto de exclamação o que representa a alteração do resultado ao mudar os parâmetros do modelo 99 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I A avaliação de um modelo pode ocorrer em virtude da inclusão de uma nova variável ou pela inclusão de uma nova restrição Leia a seguir a definição de análise de sensibilidade segundo Longaray 2013 p 158 Definição da derivada parcial em que com exceção de uma única variável as demais são mantidas constantes Em economia essa análise costuma ser chamada de análise marginal As sim podemos descobrir o quanto uma alteração isolada de uma variável vai impactar nas demais variáveis do modelo Conheça alguns conceitos confor me Colin 2019 p 6 Modelo Modelo é uma representação simplificada da realidade expressa por equações matemáticas que serve para simulála Exemplo Modelo que representa a distribuição de refrigerantes a clientes de uma engarrafadora de bebidas Variáveis de decisão São as variáveis utilizadas no modelo que podem ser controladas pelo tomador de decisão A solução do problema é encontrada testando se diversos valores das variáveis de decisão Exemplo O número de caminhões que a engarrafadora deve despachar num determinado dia Parâmetros São variáveis utilizadas no modelo que não podem ser controladas pelo tomador de decisão A solução do problema é encontrada admitindo como fixos os valores dos parâmetros Exemplo A capacidade de cada caminhão que vai transportar o refrigerante Os caminhões têm uma capacidade especificada pelo fabricante e uma carga total transportada que é limitada pela legislação rodoviária 100 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 A análise de sensibilidade constitui em uma das análises mais importantes do modelo Você pode estar se questionando qual seria a razão para isso certo Acontece que quando elaboramos o problema de otimização usamos pa râmetros que são estimativas de condições futuras ainda não concretizadas DECISÕES FUTURAS E NÃO CONCRETIZADAS Fonte Plataforma Deduca 2021 PraCegoVer Imagem de uma mulher com olhar de dúvida para um painel interativo que representa a incerteza sobre o futuro Então a possibilidade de essas estimativas possuírem valores diferentes podem dar uma maior segurança para o processo de tomada de decisão e também para que tenhamos um resultado mais robusto Dependendo do problema que o gestor vai enfrentar o estudo da análise de sensibilidade pode ser o prin cipal ponto a ser investigado 101 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I A análise de sensibilidade possui diversos sinônimos análise econômica análise pósotimização interpretação econômica Todas essas expressões são para explicar o mesmo fenômeno A tomada de decisão é uma fase relevante para o gestor que pode estar ampara da em evidências e a ferramenta da análise de sensibilidade sobre os resultados obtidos em programação linear é uma boa aliada do gestor neste momento 422 A TOMADA DE DECISÃO NA ANÁLISE DE SENSIBILIDADE Um primeiro ponto que deve estar claro quando falamos em análise de sensibili dade para auxiliar a tomada de decisão é que os resultados e as análises são feitas em relação ao modelo e não em relação à realidade COLIN 2019 Parece trivial porém esse pensamento faz toda a diferença quando analisamos os resultados Para compreender melhor sobre a aplicação da análise de sensibilidade leia o artigo disponível neste link É um argumento muito comum para quem realiza análise de situações reais com auxílio de modelos O relevante é que esse fato não invalida o modelo O que importa são as bases pelos quais o modelo foi elaborado COLIN 2019 Você pode estar se questionando o que seria essa base certo São os principais elementos que devem constar no modelo 102 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 MODELOS SÃO SIMPLIFICAÇÕES DA REALIDADE Fonte Plataforma Deduca 2021 PraCegoVer Ilustração de um gráfico que representa a relação custo benefício na tomada de decisão Cada tipo de resolução de problemas de programação linear possui as suas limi tações Por exemplo o método gráfico é compatível com resoluções de até duas ou três variáveis de decisão Ao passo que vamos avançando com a complexida de a dificuldade para operar com o método aumenta consideravelmente Quer conhecer mais sobre a análise de sensibilidade de forma detalhada com todos os cálculos passo a passo Acesse o link 103 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I A análise de sensibilidade possui uma multiplicidade de aplicações E a ideia é justamente auxiliar o gestor na tomada de decisão Nem sempre os gesto res estão familiarizados com o potencial que essa ferramenta possui para a empresa E um dos motivos para essa situação é a falta de habilidade em se realizar uma análise de sensibilidade apropriada COLIN 2019 423 ALTERAÇÕES NOS COEFICIENTES DA FUNÇÃO OBJETIVO Hoje o que percebemos é que os programas computacionais facilitam a montagem e resolução de problemas de programação linear Podemos ter diversas maneiras para se alterar os coeficientes da função objetivo Podemos alterar as variáveis básicas as variáveis não básicas nas restrições introduzir ou retirar variáveis ou restrições COLIN 2019 ALTERAÇÕES DOS PARÂMETROS PARA SE ALCANÇAR O MELHOR RESULTADO Fonte Plataforma Deduca 2021 PraCegoVer Foto de um tabuleiro de xadrez com as peças sobre ele para representar as possiblidades que um analista possui ao realizar uma análise de sensibilidade 104 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 A facilidade computacional permite que façamos os mais variados testes para que o modelo fique o mais robusto possível e seja menos passível de questio namentos no futuro Um ponto relevante e que o analista deve observar é se as alterações que estão sendo feitas estão respeitando o intervalo de otimalidade Intervalo de otimalidade é o acréscimo mais o decréscimo permissível em que o coeficiente da função objetivo pode estar sem que a solução básica mude A definição considera que não haja nenhuma outra alteração nas variáveis e parâmetros da solução ótima COLIN 2019 p 79 Segundo Colin 2019 p 80 as alterações nas variáveis e o efeito que isso vai ge rar na função objetivo podem ser resumidos conforme a seguir RESUMO DOS EFEITOS NA FUNÇÃO OBJETIVO variáveis restrições Flexibilidade do modelo Introdução de Aumenta Diminui Retirada de Diminui Aumenta Valor da função objetivo Introdução de Se mantém ou melhora Se mantém ou piora Retirada de Se mantém ou piora Se mantém ou melhora Fonte Colin 2019 p 80 PraCegoVer A figura traz uma tabela com os efeitos que a alteração das variáveis vai trazer para o modelo Uma introdução de uma variável aumenta a flexibilidade do modelo e a introdução de uma variável reduz a flexibilidade do modelo 105 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I Antes de avançarmos é preciso conhecer alguns conceitos importantes sobre a teoria dos conjuntos convexos que é a base para o entendimento do modelo simplex e outros modelos de programação linear Conforme Colin 2019 p 77 as alterações no problema de programação linear podem ser Propositais como a variação da capacidade de produção de uma empresa em que a empresa toma conscientemente a decisão acerca de como sua capacidade será alterada Relacionadas à incerteza como por exemplo com relação a fatores externos e fora de controle em que a empresa não sabe com exatidão quantos automóveis serão vendidos no próximo mês a que preço a soja será negociada no mercado internacional o valor do frete rodoviário no primeiro trimestre ou se o relatório financeiro anual de uma empresa vai ter um resultado muito diferente do esperado por analistas Outro ponto chave para o estudo da programação linear é o entendimento sobre o problema dual Inclusive pode ser usado para facilitar e criar insights sobre a análise de sensibilidade São ferramentas que se unem para dar ro bustez ao resultado obtido Vamos lá 43 CONCEITOS DE MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO EM ANÁLISE DE SENSIBILIDADE E PROBLEMA DUAL Quando estamos analisando o problema dual queremos interpretar uma for ma alternativa dos valores envolvidos na análise por meio dos recursos em pregados Além disso queremos analisar a solução ótima e os custos das ati vidades LONGARAY 2013 106 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 REPRESENTAÇÃO DO PROBLEMA PRIMAL E DO PROBLEMA DUAL Fonte Hillier e Lieberman 2013 p 207 PraCegoVer A figura traz a representação algébrica de forma genérica do problema primal e do problema dual em programação linear Vamos agora caracterizar o problema do dual Vamos lá 431 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA DUAL A teoria da dualidade permite que haja uma correspondência de parâmetros en tre o problema primal e o problema dual Atentese para a tabela a seguir com um resumo dessa correspondência conforme Hillier e Lieberman 2013 p 209 107 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I CORRESPONDÊNCIA ENTRE OS PARÂMETROS DO PROBLEMA PRIMAL E DUAL Fonte Hillier e Lieberman 2013 p 209 PraCegoVer A tabela traz a correspondência entre o problema primal e do problema dual em programação linear A teoria da dualidade permite que haja essa correspondência porém isso não ocorre de maneira irrestrita mas sim sob certas condições Segundo Hillier e Lieberman 2013 p 213 as alterações no problema de pro gramação linear podem ser Soluções viáveis e uma função objetivo limitada Se um problema tiver soluções viáveis e uma função objetivo limitada e portanto tiver uma solução ótima então o mesmo acontece para o outro problema e assim tanto a versão fraca quanto a versão forte da teoria da dualidade são aplicáveis Soluções viáveis e uma função objetivo ilimitada Se um problema tiver soluções viáveis e uma função objetivo ilimitada e portanto nenhuma solução ótima então o outro não terá soluções viáveis 108 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Nenhuma solução viável Se um problema não tiver nenhuma solução viável então o outro também não terá nenhuma solução viável ou então uma função objetivo ilimitada Agora observe como há essa correspondência entre o problema primal e dual de forma algébrica e matricial conforme Hillier e Lieberman 2013 p 208 109 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I O modelo pode ser apresentado de diversas formas e isso vai permitir ao gestor uma avaliação mais cuidadosa e muito provavelmente vai permitir novas ideias uma vez que o mesmo problema está sendo observado sob aspectos diferentes Para compreender melhor como resolver um problema de programação linear pelo método dualsimplex assista ao vídeo disponível neste link Temos ainda o modelo matemático propriamente dito bem como aplica ções da propriedade do problema dual Vamos lá 432 MODELO MATEMÁTICO DA DUALIDADE E APLICAÇÕES Vamos analisar um exemplo de um problema de otimização em programa ção linear que contempla uma solução detalhada da análise de sensibilidade Esse exemplo foi extraído de Colin 2019 p 8182 PLANEJAMENTO REGIONAL PARA IRRIGAÇÃO NO AGRESTE ALAGOANO Descrição da Situação Desde a criação do Código das Águas brasileiro em 1934 a prioridade do uso dos recursos hídricos tem sido na obtenção de energia elétrica Ao mesmo tempo as obras de irrigação também se desenvolveram mas de uma forma muito lenta em razão da insuficiência de estímulos e recursos Mais recente mente inspirados na experiência americana do vale do rio Tennessee planos de aproveitamento múltiplo de recursos hídricos foram elaborados em São Paulo nas bacias dos rios Tietê e Paraíba do Sul e na região Nordeste no vale do rio São Francisco que é um dos poucos modelos de agricultura irrigada brasileira Juntamente com o estímulo governamental tem crescido a cons ciência dos proprietários de terra acerca da lucratividade de seus investimen tos O valor imobilizado na terra é independente da sua lucratividade quer o 110 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 agricultor irrigue ou não sua terra ganhando mais ou menos com a mesma terra o valor investido não muda substancialmente Com o intuito de melhorar a lucratividade a CAAA Cooperativa Agrícola do Agreste Alagoano está interessada em avaliar opções de sistemas de irriga ção e culturas a serem plantadas levando em conta o consumo de água e de energia entre outras características A Tabela a seguir apresenta as eficiências de dois métodos de irrigação em termos de uso de água e energia elétrica e o investimento necessário para cada um deles TABELA COM AS CARACTERÍSTICAS POR MÉTODO DE IRRIGAÇÃO Método de Irrigação Eficiência de Irrigação Uso de Energia Kwhm3 Investimento no sistema Rha Por aspersão 70 035 6000 Localizada 90 020 8000 Fonte Colin 2019 p80 PraCegoVer A figura traz as características conforme o método de irrigação adotado A cooperativa tem um capital de R20 milhões para investir no novo sistema de irrigação e gerencia uma área total de 3 mil hectares Atualmente o custo da energia é de R013kWh e o da água de R002m3 Para o próximo ano a cooperativa está avaliando o plantio de diversos produtos conforme a Tabela a seguir 111 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I TABELA COM CULTURAS PRODUÇÃO MARGEM E CONSUMO DE ÁGUA Culturas Referência Produção máxima ha Margem bruta Rha Consumo de água m3ha Algodão 1 2000 630 5208 Alho 2 300 6300 4870 Batata 3 800 2940 6176 Cebola 4 400 1140 5348 Feijão 5 1000 1030 4573 Melancia 6 600 1610 11729 Melão 7 500 7840 11896 Milho 8 2000 490 6057 Tomate 9 900 1000 5900 Fonte Colin 2019 p 81 PraCegoVer A figura traz as culturas a produção máxima a margem bruta e o consumo de água Continuando o exemplo foi extraído de Colin 2019 p 8182 Cada produto possui uma produção máxima que é estabelecida por condi ções mercadológicas Uma produção maior do que a máxima seria de difícil escoamento ou desestabilizaria os preços dos mercados atendidos A mar gem bruta leva em conta a receita esperada e todos os custos associados ao plantio excluindose os relacionados com a irrigação O consumo de água apresenta a expectativa em termos de irrigação por tipo de produto plantado Além das informações mencionadas a formulação deve levar em conta que a 112 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 disponibilidade de água é de 30 milhões de m3 representando aproximada mente 30 da demanda de água para irrigação em Alagoas Adicionalmente há disponibilidade de 5 milhões de MWh de energia para serem utilizados no próximo ano FORMULAÇÃO DO MODELO As variáveis de decisão do problema são a quantidade de hectares plantados por tipo de cultura e por sistema de irrigação Para cada uma das culturas chamaremos i 1 2 9 a quantidade de terra utilizada no plantio da cultura i usando o sistema de irrigação por aspersão e i 1 2 9 de quan tidade de terra utilizada no plantio da cultura i usando a irrigação localizada Sejam a margem financeira líquida para o plantio da cultura i pelo mé todo de aspersão pelo método localizado A margem líquida é definida como a margem bruta da cultura menos os custos de água e energia elétrica O modelo completo de acordo com Colin 2019 p 81 pode ser formulado da seguinte forma 113 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I A função objetivo maximiza a margem total da cooperativa A restrição terra estabelece que toda a terra utilizada deve ser menor do que a terra disponí vel A restrição da água estabelece que o consumo de água total das culturas deve ser menor do que a água disponível O parâmetro ci define o consumo de água da cultura i O termo define o consumo de água da cultura i usando o sistema de irrigação por aspersão Os outros termos são definidos analo gamente A restrição de eletricidade leva em conta o consumo de água e o multiplica pelo consumo de eletricidade em função do consumo de água conforme Tabela com culturas produção margem e consumo de água A inequação leva em conta o lado esquerdo da inequação da água e a multi plica por 035 kWhm3 para o caso da aspersão e por 02 para o caso da loca lizada A restrição de capital estabelece que o investimento na irrigação para a área irrigada para todos os produtos não pode exceder o capital disponível para investimento Finalmente as restrições de produção uma para cada um dos produtos estabelecem que a produção da cultura i não pode exceder a produção máxima estabelecida pelas condições comerciais 433 SOLUÇÕES COM BASE NO MODELO DE ANÁLISE DE SENSIBILIDADE Ainda continuando no exemplo que foi extraído de Colin 2019 p 8182 o re latório de sensibilidade da solução em termos de restrições é apresentado na Tabela com culturas produção margem e consumo de água Segue uma explicação detalhada dos resultados preçossombrase custos reduzidos Preço sombra ou utilidade marginal quantidade na qual o valor da função objetivo muda aumentando ou diminuindo de uma unidade a disponibilidade do recurso a que corresponde essa restrição LONGARAY 2013 p 161 114 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Restrição de terra A unidade dimensional do preçosombra é obtida pela definição do preçosombra variação no valor da função objetivo dividido por variação no lado direito da restrição Como a função objetivo é medida em R e o lado direito da restrição em hectares a unidade do preçosombra da restrição é dada em Rha No caso o valor é zero porque a restrição é inativa ou seja o modelo recomenda que se utilize menos terra do que a disponível Como no caso em consideração o modelo está avaliando as opções de irrigação poderíamos dizer que no mundo real a cooperativa deve plantar convencionalmente sem irrigação na área não utilizada que é de aproximadamente 449 hectares Observe que 449 ha é o valor do decréscimo permissível e indica em quanto a terra disponível poderia diminuir sem afetar a solução encontrada Por outro lado a terra poderia aumentar até o infinito sem que houvesse alteração na solução Esse valor é obtido no acréscimo permissível Na programação linear você vai precisar usar programas computacionais No vídeo a seguir há um passo a passo de como usar o solver no Excel Acesseo pelo link A seguir analise os resultados descritos e identifique nas duas tabelas obtidas por meio do solver do Excel 115 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I MODELO IMPLANTADO NO EXCEL Fonte Colin 2019 p 82 PraCegoVer Duas telas resultantes da aplicação do solver do Excel para programação linear em análise de sensibilidade O uso de ferramentas tecnológicas facilita o trabalho do analista que poderá se concentrar na análise de sensibilidade e contribuir de maneira mais eficaz sobre a produção 116 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CONCLUSÃO Esta unidade apresentou um panorama sobre a análise de sensibilidade e como funciona a lógica do problema primal e do problema dual Apresentamos as suas peculiaridades e depois disso vimos um exemplo detalhado do método A análise de sensibilidade se mostrou uma das partes mais relevantes para o analista que está trabalhando com a modelagem em programação linear Um ponto de destaque na aula foi que as análises devem levar em consideração que os resultados que foram apresentados são sobre o modelo e não sobre a realidade Isso requer do analista um pouco de conhecimento sobre a área de atuação do modelo para que a análise se torne mais eficiente 117 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I OBJETIVO Ao final desta unidade esperamos que possa 118 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I UNIDADE 5 definir modelo de fluxos em rede descrever as etapas do problema de rede 119 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I 5 MODELOS DE FLUXOS EM REDE 51 INTRODUÇÃO As organizações na sociedade estão em busca constante por soluções ótimas O ponto de partida é o planejamento das operações e logo em seguida é a aplicação da solução ótima Nessa unidade você vai estudar a definição de programação linear que é um tipo de modelo linear Posteriormente você vai aprender a descrever a representação da programação linear por meio de soluções gráficas Daí será preciso saber interpretar as soluções gráficas e isso você vai aprender nessa unidade Essa parte da disciplina também versa sobre aplicações de modelos lineares É relevante para a pesquisa operacional compreender como cada problema pode ser solucionado Mais especificamente você precisa saber identificar qual tipo de modelo deve aplicar para cada tipo de problema Essa adequa ção é essencial para uma solução pertinente Vamos lá 120 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 52 INTRODUÇÃO AO MODELO DE FLUXOS EM REDE Ao dar continuidade aos estudos em Pesquisa Operacional vamos identifi car a aplicação nas mais diferentes situações E um ponto crucial é identificar o tipo de problema que estamos enfrentando para então usar o algoritmo mais apropriado Os modelos de fluxos em rede ou modelos de otimização em redes podem ser usados para os mais variados tipos de problemas em áreas também muito diversificadas Por exemplo redes de transporte redes de co municação redes de energia redes de distribuição redes de planejamento fi nanceiro e assim por diante Os problemas de fluxos em rede são aqueles que possuem um conjunto de nós e queremos encontrar o melhor caminho e isso incluir por exemplo escolher o sentido de cada arco da rede Existem alguns problemas que são chave para esse algoritmo É o caso do caminho mínimo ou do caminho mais curto o problema da árvore de expansão mínima e o problema do fluxo máximo Vamos estudálos agora Vamos lá 521 ORIGEM DO MODELO DE FLUXOS EM REDE Segundo Hillier e Lieberman 2013 as redes surgiram nas mais diversas situa ções do nosso dia a dia Temos redes de transporte redes elétricas e redes de comunicação Por exemplo as redes sociais são um tipo presente de forma intensa no nosso dia a dia Mas não somente isso temos as redes na produ ção no planejamento no posicionamento das instalações na administração de recursos e até mesmo no planejamento financeiro 121 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I MODELOS DE FLUXOS DE REDES Fonte Plataforma Deduca 2021 PraCegoVer Imagem colorida em preto e azul que representa diversos bonecos interligados em redes O fundo é preenchido com números simbolizando algoritmos As aplicações dos problemas de redes são muito diversos em programação linear E o avanço nos estudos dos problemas em rede foram tão grandes de vido à sua utilidade que merecem um destaque especial nos nossos estudos E é muito interessante que esse desenvolvimento tenha ocorrido principal 122 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 mente nas últimas três décadas Isso significa que problemas que antes eram demorados ou até impossíveis de serem resolvidos passaram a ser soluciona dos por meio da metodologia de redes HILLIER LIEBERMAN 2013 Normalmente os problemas de rede são estudados separadamente em programação linear pois possuem algoritmos específicos e mais eficientes na modelagem E isso acontece tanto do ponto de vista teórico quanto do ponto de vista operacional COLIN 2019 Vamos estudar agora alguns conceitos que são específicos dos problemas dos problemas de fluxos em rede MODELOS DE REDES APLICADOS À ELETRICIDADE Fonte Plataforma Deduca 2021 PraCegoVer Foto que retrata duas torres de eletricidade em um local de campo aberto com vegetação ao redor para indicar uma aplicação de modelos de rede 123 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I Afinal de contas o que é uma rede Lachtermacher 2018 p 107 aponta que redes são diagramas compostos por uma coleção de vértices ou nós ligados entre si por um conjunto de arcos Esses nós são representados por meio de círculos que fazem a conexão com os arcos E já os arcos são as setas que vão conectar os nós e indicar a direção em que o fluxo está indo Atentese para a figura a seguir com a representação dos componentes de uma rede O IMPACTO NO MODELO DE UMA ALTERAÇÃO NOS COEFICIENTES Fonte Lachtermacher 2018 p107 PraCegoVer Ilustração que representa os componentes de uma rede com os nós e os arcos Os problemas de fluxos em rede possuem três problemas que são clássicos e vão tentar solucionar problemas que possuem algumas características pa drão que você pode analisar a seguir conforme Rodrigues 2017 p 76 Problema do caminho mínimo PCM qual é a melhor forma de percorrer uma rede indo de um dado ponto a outro com o menor custo possível 124 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Problema de fluxo máximo PFM é uma rede com arcos capacitados Como e qual é o máximo de fluxo possível de se enviar de um dado ponto a outro da rede respeitando a capacidade dos arcos Problema de fluxo com custo mínimo PFCM considerando um dado custo por unidade de fluxo em uma rede nos seus arcos com arcos capacitados e que precisamos enviar unidades de fluxo alocadas em determinados nós ofertaprodução para outros nós demandaconsumo como fazêlo com o menor custo possível Vamos agora analisar como os problemas de fluxos em rede podem ser úteis para a tomada de decisão Vamos lá 522 A TOMADA DE DECISÃO COM MODELOS DE FLUXOS EM REDE A modelagem de fluxos em rede facilita na tomada de decisão para o gestor Isso acontece pois os modelos facilitam a visualização das relações entre os itens do sistema Assim a contribuição para encontrar soluções viáveis fica mais real embora trate essencialmente de problemas abstratos para a maio ria dos gestores Para compreender melhor sobre a aplicação do modelo fluxos em rede em problemas de gestão de fluxo de caixa leia o artigo disponível neste link Os modelos de fluxo em rede podem ser usados em problemas de transpor te para encontrar a melhor rota de uma frota de caminhões em problemas de atribuição para encontrar por exemplo auditores em projetos problemas de baldeação para identificar os melhores pontos de mudança de transporte de carga Há também os problemas de fluxo máximo que podem auxiliar 125 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I no envio de carga entre dois nós porém com a limitação de carga entre es ses pontos Ou ainda em problemas de rota mínima em que o algoritmo vai identificar a rota que vai minimizar a distância entre dois nós COLIN 2019 Os modelos de programação em rede vão auxiliar na tomada de decisão po rém é preciso um meio que facilite o emprego desses métodos no dia a dia do gestor A seguir acompanhe uma tabela com os principais softwares bem como os fornecedores a capacidade se é possível usar para programação in teira e o formato da entrada dos dados conforme a seguir SOFTWARES PARA USO EM PROGRAMAÇÃO EM FLUXO DE REDE Software Fornecedor Capacidade Programação inteira Formato para entrada de dados Restrições Linhas Variáveis Colunas Binária ou 01 Geral MPS Planilha LP LINDOLINGO Lindo Sem limite Sem limite Sim Sim Sim Sim Sim Mpsx IBM 16 milhões 2 bilhões Sim Sim Sim Cplex Cplex 50000 100000 Sim Sim Sim Sim Osl IBM 16 milhões 2 bilhões Sim Sim Sim Sim SolverExcel Microsoft 100 200 Sim Sim Sim Solver Premium Sem limite 1000 Sim Sim Sim Fonte Prado 2016 p 35 PraCegoVer Tabela com os principais softwares bem como os fornecedores a capacidade se é possível usar para programação inteira e o formato da entrada dos dados 126 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Dessa forma o gestor poderá aplicar o método de programação em rede com mais facilidade no dia a dia da empresa Agora vamos estudar os modelos dos principais métodos de fluxos em rede Vamos lá 523 MODELOS E MÉTODOS Os modelos que temos em fluxos em rede são basicamente dois o problema do caminho mínimo e o problema do fluxo máximo O primeiro consiste em achar o menor caminho por isso falamos em caminho mínimo E o local em que vamos procurar é entre dois nós Já o problema do fluxo máximo consiste em procurar o local em que há o fluxo máximo Em cada um desses proble mas há restrições a serem consideradas a depender do contexto em que o problema está inserido ALTERAÇÕES DOS PARÂMETROS PARA SE ALCANÇAR O MELHOR RESULTADO Fonte Plataforma Deduca 2021 PraCegoVer Foto de um executivo analisando gráficos tabelas e dados que estão sobre a mesa 127 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I Outro ponto chave para o estudo da programação linear em modelos de pro gramação em rede é o aprofundamento nos conceitos que são usados nesse tipo de modelagem Já vimos alguns conceitos e agora vamos estudar mais alguns Vamos lá 53 CONCEITOS USADOS EM MODELOS DE PROGRAMAÇÃO EM REDE Quando estamos estudando situações em que pode ser aplicado o modelo de fluxo em rede queremos encontrar a solução ótima em problemas em que seja possível aplica essa modelagem específica A relevância de se saber quando apli car o modelo adequado é entender quando aplicar o modelo mais adequado O segredo para se obter uma solução ótima é o fato de os caminhos aumentados poderem cancelar parte dos fluxos previamente designados na rede original de maneira que uma seleção indiscriminada de caminhos para fluxos designados nao possa impedir o emprego de uma combinacao melhor de designacoes de fluxo HILLIER LIEBERMAN 2013 p 379 Vamos dar continuidade aos conceitos usados em programação em rede Vamos lá 531 DEFINIÇÃO DO MODELO DE PROGRAMAÇÃO EM REDE Vamos identificar a seguir como é estruturado o algoritmo do problema do caminho mínimo ou problema do caminho mais curto conforme Hillier e Lie berman 2013 p 368 Objetivo da nesima iteracao encontrar o nésimo nó mais próximo da origem a ser repetido para n 1 2 até o nésimo nó mais próximo ser o destino 128 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Entrada para a nesima iteracao n 1 nós mais próximos da origem resolvido nas iterações anteriores inclusive sua distância da origem e caminho mais curtos Esses nós além da origem serão chamados nós solucionados os demais serão os nós não solucionados Candidatos ao nesimo no mais proximo cada nó solucionado que é conectado diretamente por uma ligação a um ou mais nós não solucionados fornece um candidato o nó não solucionado com a ligação de conexão mais curta Empates fornecem candidatos adicionais Cálculo do nesimo no mais proximo para cada nó assim solucionado e seu candidato acrescente a distância entre eles e a distância do caminho mais curto da origem até esse nó solucionado O candidato com a menor distância total é o nésimo nó mais próximo empates fornecem nós solucionados adicionais e seu caminho mais curto é aquele gerando essa distância Segundo Hillier e Lieberman 2013 p 379 também podemos ter o problema do fluxo máximo Esse tipo de problema possui uma estrutura padrão que ex pressa por meio do algoritmo Acompanhe a estrutura do algoritmo do proble ma do fluxo máximo a seguir 129 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I 1 Identifique um caminho aumentado encontrando algum caminho direcionado da origem para o escoadouro na rede residual tal que cada arco desse caminho tenha capacidade residual estrita mente positiva Se não existir algum caminho aumentado os fluxos de rede já constituem um padrão de fluxo ótimo 2 Identifique a capacidade residual c desse caminho aumentado encontrando o mínimo das capacidades residuais dos arcos nesse caminho Aumente o fluxo nesse caminho de c 3 Diminua de c a capacidade residual de cada arco nesse caminho aumentado Aumente de c a capacidade residual de cada arco na direção oposta nesse caminho aumentado Retorne à etapa 1 Temos também o problema do fluxo de custo mínimo É um método que é um aperfeiçoamento do método simplex Isso significa que possui uma clas se de aplicações bem abrangente Pode considerar em sua formulação várias origens e destinos para o fluxo e com custos associados Acompanhe a seguir como o problema do custo mínimo é descrito conforme Hillier e Lieberman 2013 p 383 1 A rede é direcionada e conectada 2 Pelo menos um dos nós é de suprimento 130 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 3 Pelo menos um dos demais nós é um nó de demanda 4 Todos os nós remanescentes são nós de transbordo 5 O fluxo por um arco é permitido somente na direção indicada pela seta em que a sua quantidade máxima é fornecida pela capacidade desse arco Se puder ocorrer em ambas as direções isso seria representado por um par de arcos apontando em direções opostas 6 A rede tem arcos suficientes com capacidade suficiente para permitir que todo o fluxo gerado nos nós de suprimento atinjam todos os nós de demanda 7 O custo do fluxo através de cada arco é proporcional a quantidade desse fluxo no qual conhecese o custo por fluxo unitário 8 O objetivo é minimizar o custo total de enviar a provisão disponível pela rede a fim de satisfazer a demanda dada Um objetivo alternativo é maximizar o lucro total de se fazer isso 131 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I Temos ainda o modelo matemático propriamente dito bem como aplicações da propriedade do problema dual Vamos lá 532 MODELO MATEMÁTICO DE PROGRAMAÇÃO EM REDE Vamos analisar um exemplo de um problema de otimização de modelos de fluxos em rede O exemplo trata de redes de distribuição Esse exemplo foi ex traído de Lachtermacher 2018 p 123127 Com esse problema vamos analisar o problema matemático e a solução de forma conjunta e contextualizada Va mos lá O exemplo a seguir ilustra um típico caso de problema de rede de distribuição MAPA COM O PROBLEMA DE REDE DE DISTRIBUIÇÃO Fonte Lachtermacher 2018 p123 PraCegoVer A figura apresenta o mapa do Brasil subdividido em Estados com setas indicando o fluxo de uma rede de distribuição típica 132 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Agora acompanhe outro exemplo também com base em Lachtermacher 2018 p 123127 Caso LCL Carros Brasil Ltda A montadora de veículos LCL Carros Brasil Ltda está iniciando suas operações no país com duas fábricas uma na Bahia e outra em São Paulo A LCL está estudando uma forma de distribuição de seus carros para as diversas revendas localizadas nos estados de Goiás Rio de Janeiro Minas Gerais Paraná Santa Catarina e Rio Grande do Sul de modo a minimizar o custo total de distribuição As capacidades instaladas de cada uma das fábricas as demandas das revendas bem como os custos unitários de transporte entre fábricas e revendas são apresentados no diagrama a seguir Em uma primeira e rápida análise concluímos facilmente que as variáveis de decisão do modelo serão as quantidades de veículos enviadas de cada fábrica a cada distribuidor e a funçãoobjetivo será a minimização do custo total de transporte No entanto o problema apresenta dois detalhes especiais o número de carros demandados é maior do que a capacidade de produção da empresa e alguns distribuidores de Minas Gerais e de Santa Catarina também podem enviar carros que receberam das fábricas para outros distribuidores possivel mente suas filiais 133 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I DIAGRAMA DA REDE DO CASO LCL CARROS BRASIL Fonte Lachtermacher 2018 p 123 PraCegoVer A figura traz diagrama do caso LCL Carros Brasil Continuando o exemplo de Lachtermacher 2018 p 123127 existem duas ma neiras básicas de resolver esse tipo de problema A primeira consiste em inserir uma unidade dummy que iguale a oferta e a demanda totais Se a oferta for maior que a demanda a variável dummy será colocada como uma unidade de demanda ligada às unidades de oferta De forma inversa se a demanda for maior que a oferta a variável dummy representará um novo ponto de oferta para atender a demanda excedente Em ambos os casos todas as restrições serão consideradas igualdades 134 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Assista no vídeo a seguir uma aula sobre pesquisa operacional aplicada ao contexto de otimização em redes Acesseo pelo link Dando continuidade na resolução do exemplo de Lachtermacher 2018 p 123 127 a segunda forma de resolver problemas de distribuição é seguir a regra do fluxo balanceado para cada nó unidade da rede Por essa regra não há neces sidade da inserção de variáveis do tipo dummy o desequilíbrio entre a oferta total e a demanda total é tratado por meio de restrições de maior ou igual ou de menor ou igual A tabela a seguir resume a forma de aplicação da regra do fluxo balanceado REGRA DO FLUXO BALANCEADO Hipotese do problema Tipo de restricao para cada no Oferta Demanda Entradas Saídas Oferta ou demanda Oferta Demanda Entradas Saídas Oferta ou demanda Oferta Demanda Entradas Saídas Oferta ou demanda Fonte Lachtermacher 2018 p123 A tabela anterior mostra a diferença entre a capacidade de produção da em presa oferta e o número de carros requeridos pelos estados demanda Nes se caso há uma oferta de 1100 veículos e uma demanda de 1400 Vamos agora dar continuidade ao problema de rede de distribuição com foco em alcançar a solução ótima Vamos lá 135 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I 533 SOLUÇÕES COM BASE NO MODELO DE PROGRAMAÇÃO EM REDE Ainda Continuando o exemplo que foi extraído de Lachtermacher 2018 p 123127 A solução do modelo é apresenta por meio de duas soluções possí veis e cada uma delas será analisada a seguir E vamos resolver o caso da LCL Carros Brasil pelos dois métodos Assim o primeiro passo para resolver esse problema pela primeira alternativa é inserir uma unidade de oferta dummy com disponibilidade de 300 veículos e conec tada a todos os nós de demanda com custo zero de transporte A ilustração desse modelo para o primeiro passo pode ser observada conforme a seguir DIAGRAMA DE REDE DO CASO LCL CARROS BRASIL 1A ALTERNATIVA Fonte Lachtermacher 2018 p 124 PraCegoVer A figura traz a ilustração da rede do caso LCL Carros Brasil conforme a primeira alternativa de solução 136 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 De acordo com esse primeiro método de modelagem o problema que será inserido na planilha Excel tem os parâmetros a seguir Variáveis de decisao x13 número de carros enviados da BA para MG x14 número de carros enviados da BA para o RJ x15 número de carros enviados da BA para GO x23 número de carros enviados de SP para MG x24 número de carros enviados de SP para o RJ x26 número de carros enviados de SP para o PR x27 número de carros enviados de SP para SC x28 número de carros enviados de SP para o RS x34 número de carros enviados de MG para o RJ x35 número de carros enviados de MG para GO x78 número de carros enviados de SC para o RS x93 número de carros que MG deixará de receber x94 número de carros que o RJ deixará de receber x95 número de carros que GO deixará de receber x96 número de carros que o PR deixará de receber x97 número de carros que SC deixará de receber x98 número de carros que o RS deixará de receber Já a função objetivo do problema vai ter o formato a seguir Funcao objetivo Min 25x13 30x14 40x15 20x23 15x24 20x26 35x27 50x28 20x34 20x35 20x78 Montaremos as restrições conforme a seguinte lógica o número de carros que chegam ao nó menos o montante que sai deve ser igual à oferta negati va ou à demanda positiva do nó 137 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I Restricões de fluxo x13 x14 x15 500 nó 1 x23 x24 x26 x27 x28 600 nó 2 x13 x23 x93 x34 x35 200 nó 3 x14 x24 x34 x94 350 nó 4 x15 x35 x95 150 nó 5 x26 x96 300 nó 6 x27 x97 x78 150 nó 7 x28 x78 x98 250 nó 8 2x93 x94 x95 x96 x97 x98 300 nó 9 Continuando a análise do exemplo de Lachtermacher 2018 p 123127 a figu ra a seguir mostra uma das maneiras de o problema ser modelado no Excel Para inserir a condição de que o fluxo líquido de cada nó quantidade que chega menos quantidade que sai deve ser igual à respectiva demanda po sitiva ou oferta negativa utilizaremos a função SomaSe do Excel ou SumIf em inglês Essa função serve para somar as células especificadas por deter minado critério que pode ser um número uma expressão 100 por exem plo ou um texto No nosso problema a função SomaSe nos ajudará a calcular o fluxo líquido de cada nó com base em seus critérios de identificação 138 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 MODELAGEM DA REDE DO CASO LCL CARROS BRASIL DO PRIMEIRO MÉTODO NO EXCEL Fonte Lachtermacher 2018 p 124 PraCegoVer A figura traz a imagem de como deve ser configurado no excel o problema da modelagem de rede do caso LCL Carros LCL Na acima a célula I16 representa a funçãoobjetivo e as células E4 a E20 as va riáveis de decisão do modelo As células H4 a H12 representam os LHS das res trições de fluxo e as células I4 a I12 os RHS das células A tabela abaixo mostra as fórmulas utilizadas nas células que representam cada LHS das restrições e na célula que denota a funçãoobjetivo 139 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I FÓRMULAS UTILIZADAS NAS RESTRIÇÕES DO PROBLEMA DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO Funcaoobjetivo Celula Formula referente à funcao objetivo Min 25x13 30x14 40x15 20x23 15x24 20x26 35x27 50x28 20x34 20x35 20x78 I16 SOMARPRODUTOD4D14E14E14 Restricao Celula LHS da restricao x13 x14 x15 500 H4 SOMASEC4C20G4E4E20 SOMASEB4B20G4E4E20 x23 x24 x26 x27 x28 600 H5 SOMASEC4C20G5E4E20 SOMASEB4B20G5E4E20 x13 x23 x93 x34 x35 200 H6 SOMASEC4C20G6E4E20 SOMASEB4B20G6E4E20 x14 x24 x34 x94 350 H7 SOMASEC4C20G7E4E20 SOMASEB4B20G7E4E20 x15 x35 x95 150 H8 SOMASEC4C20G8E4E20 SOMASEB4B20G8E4E20 x26 x96 300 H9 SOMASEC4C20G9E4E20 SOMASEB4B20G9E4E20 x27 x97 x78 150 H10 SOMASEC4C20G10E4E20 SOMASEB4B20G10E4E20 x28 x78 x98 250 H11 SOMASEC4C20G11E4E20 SOMASEB4B20G11E4E20 x93 x94 x95 x96 x97 x98 300 H12 SOMASEC4C20G12E4E20 SOMASEB4B20G12E4E20 Fonte Lachtermacher 2018 p123 140 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Assista no vídeo a seguir uma aula sobre pesquisa operacional aplicada ao contexto de otimização em redes Acesseo pelo link Uma vez feita a modelagem devemos estabelecer os parâmetros e as opções do Solver conforme pode ser visto a seguir e otimizálo CONDIÇÕES DO SOLVER PARA O CASO LCL CARROS BRASIL 1 ALTERNATIVA Fonte Lachtermacher 2018 p 125 PraCegoVer A imagem representa os parâmetros do solver 141 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I Dando continuidade a análise do exemplo de Lachtermacher 2018 p 123127 a figura a seguir apresenta a solução ótima do problema Nela verificamos que a forma mais econômica de a LCL Carros Brasil atender a seus distribuidores é enviando 200 carros da fábrica da Bahia para Minas Gerais 150 da Bahia para o Rio de Janeiro 150 da Bahia para Goiás 200 de São Paulo para o Rio de Janeiro 300 de São Paulo para o Paraná e 100 de São Paulo para Santa Catarina SOLUÇÃO ÓTIMA PARA O CASO LCL CARROS BRASIL 1 ALTERNATIVA Fonte Lachtermacher 2018 p 125 PraCegoVer A imagem traz a solucao ótima do problema em rede que resultou da aplicacao do solver Como já sabíamos de antemão nem todos os distribuidores poderiam ter suas demandas completamente atendidas pois a demanda total é maior do que a capacidade de produção da companhia Os distribuidores que não de vem ter sua demanda total suprida de acordo com a solução ótima apresen tada pelo Solver são os dos estados de Santa Catarina e do Rio Grande do Sul Santa Catarina deixará de receber 50 carros e o Rio Grande do Sul 250 carros 142 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Leia o trecho a seguir sobre um modelo de fluxos e localização de terminais intermodais para o escoamento da soja brasileira destinada a exportação Leia as páginas 7 e 8 Acesso pelo link Continuando o exemplo de Lachtermacher 2018 p 123127 para resolver o problema da montadora de veículos LCL Carros Brasil pela outra forma sem inclusão de variáveis dummy modelaremos o problema tratando as restri ções como de menor ou igual já que a oferta total é menor do que a deman da total A modelagem do problema portanto será a seguinte Variáveis de decisao x13 número de carros enviados da BA para MG x14 número de carros enviados da BA para o RJ x15 número de carros enviados da BA para GO x23 número de carros enviados de SP para MG x24 número de carros enviados de SP para o RJ x26 número de carros enviados de SP para o PR x27 número de carros enviados de SP para SC x28 número de carros enviados de SP para o RS x34 número de carros enviados de MG para o RJ x35 número de carros enviados de MG para GO x78 número de carros enviados de SC para o RS Segue função objetivo ainda dando continuidade ao exemplo de Lachterma cher 2018 p 123127 143 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I Funcaoobjetivo Min 25x13 30x14 40x15 20x23 15x24 20x26 35x27 50x28 20x34 20x35 20x78 A montagem das restrições segue a lógica utilizada na modelagem anterior e elas serão do tipo menor ou igual representadas abaixo x13 x14 x15 500 nó 1 x23 x24 x26 x27 x28 600 nó 2 x13 x23 x34 x35 200 nó 3 x14 x24 x34 350 nó 4 x15 x35 150 nó 5 x26 300 nó 6 x27 x78 150 nó 7 x28 x78 250 nó 8 A figura a seguir mostra o problema de transporte da LCL Carros Brasil mode lado de acordo com a 2a alternativa A célula I16 representa a funçãoobjetivo e as células E4 a E14 as variáveis de decisão do modelo As células H4 a H11 re presentam os LHS das restrições de fluxo e as células I4 a I11 os RHS das células 144 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 MODELAGEM DO CASO LCL CARROS BRASIL 2A ALTERNATIVA Fonte Lachtermacher 2018 p 126 PraCegoVer A imagem traz a modelagem do caso LCL na forma da segunda alternativa de solucao A tabela a seguir mostra as fórmulas utilizadas nas células que representam os LHS das restrições e na célula que denota a funçãoobjetivo FÓRMULAS UTILIZADAS NAS RESTRIÇÕES DO PROBLEMA DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO 2A ALTERNATIVA Funcaoobjetivo Celula Formula referente à funcao objetivo Min 25x13 30x14 40x15 20x23 15x24 20x26 35x27 50x28 20x34 20x35 20x78 I16 SOMARPRODUTOD4D14E4E14 145 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I Restricao Celula Formula referente ao LHS da restricao x13 x14 x15 500 H4 SOMASEC4C14G4E4E14 SOMASEB4B14G4E4E14 x23 x24 x26 x27 x28 600 H5 SOMASEC4C14G5E4E14 SOMASEB4B14G5E4E14 x13 x23 x34 x35 200 H6 SOMASEC4C14G6E4E14 SOMASEB4B14G6E4E14 x14 x24 x34 350 H7 SOMASEC4C14G7E4E14 SOMASEB4B14G7E4E14 x15 x35 150 H8 SOMASEC4C14G8E4E14 SOMASEB4B14G8E4E14 x26 300 H9 SOMASEC4C14G9E4E14 SOMASEB4B14G9E4E14 x27 x78 150 H10 SOMASEC4C14G10E4E14 SOMASEB4B14G10E4E14 x28 x78 250 H11 SOMASEC4C14G11E4E14 SOMASEB4B14G11E4E14 Fonte Lachtermacher 2018 p126 A figura a seguir representa os parâmetros e as opções do Solver utilizados no problema 146 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CONDIÇÕES DO SOLVER PARA O CASO LCL CARROS BRASIL 2ª ALTERNATIVA Fonte Lachtermacher 2018 p 127 PraCegoVer A imagem traz as condicoes na tela do solver para resolver o problema da segunda alternativa Ainda referente a resolução do exemplo de Lachtermacher 2018 p 123127 ob servando a figura a seguir que mostra o resultado da otimização do problema notamos que a solução ótima apresentada pelo Solver nesse modelo é exata mente igual a solução da modelagem anterior que incluía a variável dummy 147 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I SOLUÇÃO ÓTIMA PARA O CASO LCL CARROS BRASIL 2ª ALTERNATIVA Fonte Lachtermacher 2018 p 128 PraCegoVer A imagem traz a solucao ótima para o caso LCL Carros Brasil da segunda alternativa CONCLUSÃO Esta unidade apresentou um panorama sobre os modelos de fluxos em rede e como pode ser aplicado Apresentamos as suas peculiaridades e depois dis so foi possível acompanhar um exemplo detalhado do método Além disso aprendemos também que os modelos de fluxos em rede são na realidade outra forma de modelar problemas de programação linear Cabe ao analista identificar qual é o algoritmo mais adequado ao problema que tiver que solucionar OBJETIVO Ao final desta unidade esperamos que possa 148 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I UNIDADE 6 definir os modelos de transporte e de designação descrever as etapas de definição do modelo de transporte e de designação 149 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I 6 MODELOS DE TRANSPORTE E MODELOS DE DESIGNAÇÃO 61 INTRODUÇÃO As organizações na sociedade estão em busca constante por soluções ótimas O ponto de partida é o planejamento das operações e logo em seguida é a aplicação da solução ótima Nessa unidade você vai estudar a definição de programação linear que é um tipo de modelo linear Posteriormente você vai aprender a descrever a representação da programação linear por meio de soluções gráficas Daí será preciso saber interpretar as soluções gráficas e isso você vai aprender nessa unidade Essa unidade também versa sobre aplicações de modelos lineares É relevan te para a pesquisa operacional compreender como cada problema pode ser solucionado Mais especificamente você precisa saber identificar qual tipo de modelo deve aplicar para cada tipo de problema Essa adequação é essencial para uma solução pertinente Vamos lá 62 MODELO DE TRANSPORTE Ao dar continuidade aos estudos em Pesquisa Operacional vamos identifi car a aplicação nas mais diferentes situações Em modelos de fluxos de rede temos muitas aplicações Algumas vimos na unidade anterior Esta unidade será uma continuidade e vamos tratar dos modelos de transporte nesta seção e na próxima vamos trabalhar com os modelos de designação ou atribuição A modelagem de transporte é relativamente fácil de se identificar e aplicar por isso é bastante utilizada Vamos estudálos agora Vamos lá 150 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 621ORIGEM DO MODELO DE TRANSPORTE Os modelos de transporte foram estudados pela primeira vez por Kantorovich e Koopmans em 1941 e em 1942 Por causa disso o problema do transporte ficou conhecido como Problemas de KantorovichKoopmans Na época os estudio sos usaram métodos geométricos relacionados com a teoria da convexidade MODELOS DE TRANSPORTE Fonte Plataforma Deduca 2021 PraCegoVer Foto de dois caminhões de transporte para fazer alusão As aplicações dos problemas de transporte possuem uma grande diversi dade Segundo Lachtermacher 2018 o modelo de transporte possui esse nome pois o método foi usado inicialmente para encontrar o menor custo de transporte entre muitas fábricas de um produto e outros tantos centros de consumidores Aqui vale considerar que Lachtermacher 2018 aponta que o método simplex pode ser usado para a resolução de problemas de transporte 151 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I Leia o artigo a seguir sobre uma aplicação do problema de transporte com o uso de programação linear Acesso pelo link Os modelos de transporte eram muito usados quando os computadores ain da não eram tão populares como hoje Os problemas ainda podem ser solu cionados com essa modelagem porém existem outras formar mais eficientes de se resolver os problemas Dado que é uma forma relativamente simples e popular é relevante ter em mente esse tipo de problema e solução Perce ba que Lachtermacher 2018 alerta que a forma como o problema pode ser equacionado permanece a mesma MODELOS DE TRANSPORTE Fonte Plataforma Deduca 2021 PraCegoVer Ilustração que retrata as diferentes formas de transporte que podem ser modeladas pelo uso do modelo em rede do tipo modelo em transporte 152 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Vamos agora analisar uma resolução de um problema completo com a me todologia do problema de transporte Vamos lá 622 MODELO MATEMÁTICO DO MODELO DE TRANSPORTE Segundo Colin 2019 nos problemas de transporte geralmente temos um conjunto de dados que são os pontos de oferta representados por si sendo que o i pode ir de um até S A representação fica si i 1 S e a demanda é representada por dj que pode vai iniciar em um e pode ir até D Nesse mode lo os bens são despachados e recebidos Para compreender melhor sobre a aplicação do modelo de transporte leia o artigo disponível neste link Cada envio de um ponto de oferta i para um ponto de destino j está associa do a um custo de transporte que denominaremos de cij e uma quantidade de bens enviados que denominaremos de xij Ainda conforme Colin 2019 o total de ofertas é igual ao total de demandas se Quando temos essa situação em que o total de ofertas é igual ao total de demandas então temos o problema de transporte Se o problema não for balanceado temos o problema de transporte com estoque uma vez que o di ferencial ofertademanda vai para o estoque A ideia é minimizar o custo total 153 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I PROBLEMA TÍPICO DE TRANSPORTE Fonte Andrade 2016 p 79 PraCegoVer Ilustração em preto e branco que representa os vários destinos de depósito que os produtos de uma fábrica pode possuir Assim a ideia de um modo geral é encontrar a programação que vai minimi zar o custo total calculando todas as rotas possíveis ANDRADE 2015 Conforme Andrade 2015 p 79 os problemas de transporte são capazes de formar soluções em problemas de 154 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 determinação dos fluxos de transportes em rotas que ligam várias fontes a vários destinos com ou sem transbordo com o objetivo de minimizar o custo total de transporte na rede designação de tarefas a vários equipamentos ou equipes de modo a minimizar o custo total de execução determinação de fluxos de transporte em redes nas quais as rotas têm capacidades limitadas de modo a maximizar o carregamento total da rede seleção ótima de rotas de transporte com o objetivo de minimizar o momento total de transporte t km Dessa forma o gestor poderá aplicar o método de programação de transpor te com mais facilidade no dia a dia da empresa Agora vamos estudar a solu ção do modelo de transporte Vamos lá 623 SOLUÇÕES COM BASE NO MODELO DE TRANSPORTE Os modelos de transporte são relevantes pois de nada adiante uma excelente produção se não há uma boa logística Podemos ter problemas de transporte em que o produto vai diretamente ao consumidor final que é o caso típico ou ainda ter o problema em que o produto vai para outros destinos antes de chegar ao consumidor final Esse é o modelo de transporte com transbordo 155 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I MODELAGEM PODE AUXILIAR EM PROBLEMAS APARENTEMENTE SEM SOLUÇÃO Fonte Plataforma Deduca 2021 PraCegoVer Foto de um executivo apreensivo analisando como resolver um problema aparentemente complicado Agora vamos estudar um exemplo clássico do problema de transporte base ado no exemplo de Andrade 2015 p 8082 a seguir Seja o sistema de duas fontes de capacidades de fornecimento a1 e a2 e três destinos com capacidades de absorção b1 b2 e b3 como mostra abaixo 156 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 MODELO DE TRANSPORTE COM DUAS FONTES E TRÊS DESTINOS Fonte Andrade 2015 p 80 PraCegoVer Esquema de representação de um problema de transporte com duas fontes e três destinos Os dados desse modelo são capacidades das fontes a1 15 e a2 25 demanda dos destinos b1 20 b2 10 e b3 10 custos de transporte das rotas c11 10 c12 3 c13 5 c1 12 c22 7 c23 9 O modelo matemático do problema é Minimizar Z 10 x11 3 x12 5 x13 12 x1 7 x22 9 x23 157 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I sujeito às restrições de capacidade das fontes x11 x12 x13 15 x21 x22 x23 25 de absorção pelos destinos x11 x21 20 x12 x22 10 x13 x23 10 com x11 x12 x13 x21 x22 x23 0 PROCEDIMENTO DE SOLUÇÃO A solução do problema tornase mais cômoda se os dados forem representa dos em um quadro como na figura a seguir REPRESENTAÇÃO INICIAL DO PROBLEMA Fonte Andrade 2015 p 80 PraCegoVer Representação inicial do problema de transporte 158 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Analisando o problema apresentado podemos observar que o problema de transporte é representado por um modelo de programação linear com m n equações e m n incógnitas mas com algumas características particula res como segue Conforme Andrade 2015 p 80 1 Todos os coeficientes das variáveis são iguais a 0 e 1 2 A matriz formada pelas restrições de absorção pelos destinos é a transposta da matriz formada pelas restrições das fontes 3 E principalmente como o modelo exige o equilíbrio entre fontes e destinos ai bj temos uma equação dependente que pode ser obtida em função das demais Com isso o modelo é formado por um sistema de m n 1 equações independentes Essa terceira característica determina que a base do problema de programa ção linear seja formada por m n 1 variáveis Assim nosso procedimento de solução é exatamente o mesmo do método Simplex com algumas simplificações oriundas das características citadas Os passos básicos conforme Andrade 2015 p 80 são 159 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I Passo 1 Determinação da solução básica inicial vamos estudar dois métodos canto noroeste e custo mínimo Passo 2 Determinação da variável não básica que deve entrar na base se a condição de otimalidade não estiver cumprida também vamos estudar dois métodos contribuição unitária para o custo total stepping stone e o método dos multiplicadores variáveis duais Passo 3 Determinação da variável básica que deve sair da base utilizando a condição de viabilidade PASSO 1 DETERMINAÇÃO DA SOLUÇÃO BÁSICA INICIAL A solução básica inicial é a primeira solução que satisfaz a todas as restrições tendo todas as variáveis xij com valores nulos ou positivos Vamos analisar os dois métodos citados Método do Canto Noroeste Alocar a maior quantidade possível respeitando capacidade fonte e destino à variável x11 no canto superior esquerdo noroeste A linha ou coluna satisfeita é bloqueada Com isso as demais variáveis dessa linha ou coluna serão iguais à zero Se uma linha e uma coluna são satisfeitas simultaneamente apenas uma qualquer uma deve ser bloqueada Essa condição garante que teremos variáveis básicas iguais à zero 160 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Na célula da variável x11 podemos alocar no máximo 15 unidades Com isso bloqueamos a primeira linha conforme mostra a figura a seguir SOLUÇÃO BÁSICA INICIAL OBTIDA COM O MÉTODO DO CANTO NOROESTE Fonte Andrade 2015 p 81 PraCegoVer Representação da solução básica inicial obtida por meio do método de transporte A seguir procuramos a célula adjacente em uma linha ou coluna não blo queada e alocamos a maior quantidade possível ou restante a ela No exem plo a variável x21 recebe a alocação de 5 unidades Finalmente completamos a matriz com os valores das variáveis x22 e x23 Variáveis básicas iniciais x11 15 x21 5 x22 10 x23 10 e Z 370 Variáveis não básicas x12 0 e x13 0 Método do Custo Mínimo O método utilizado para encontrar tal solução visa a procurar uma solução viável inicial de menor custo total possível nesta etapa do processo O proce dimento é o seguinte segundo Andrade 2015 p 81 161 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I Atribuir o máximo possível à variável que tenha o menor custo unitário e bloquear uma linha ou coluna satisfeita No exemplo fazse x12 10 já que c12 3 bloqueiase a segunda coluna que se encontra satisfeita Ajustar os elementos da linha ou coluna não ajustada a partir da variável que tem o menor custo Assim no exemplo temos que fazer x13 5 já que c13 5 o que satisfaz à primeira linha O processo é repetido para as variáveis não bloqueadas que tenham os menores custos em ordem crescente Assim sendo devemos fazer x23 5 c23 9 eliminando a terceira coluna e ajustando a segunda linha com o valor x21 20 o que completa o quadro Essas são as variáveis básicas que dão o valor da função objetivo igual a 10 3 6 5 5 9 20 12 340 Veja a figura a seguir com a solução encontrada 162 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 SOLUÇÃO ENCONTRADA Fonte Andrade 2015 p 81 PraCegoVer Representação da solução básica inicial obtida por meio do método de transporte com custo mínimo Variáveis básicas iniciais x12 10 x13 5 x21 20 x23 5 e Z 340 Variáveis não básicas x11 0 e x22 0 PASSO 2 TESTE DE OTIMIZAÇÃO E DETERMINAÇÃO DA VARIÁVEL QUE ENTRA NA BASE Análise de variação do custo total método Stepping Stone Ainda conforme Andrade 2015 p8082 para verificarmos se essa solução é ótima podemos fazer uma análise da variação do custo total causada por varia ções unitárias nas variáveis que estão fora da base O procedimento é o seguinte 1 Para cada variável não básica vamos identificar um ciclo fechado de varia ções nas variáveis básicas provocadas por uma variação unitária na variável não básica O ciclo fechado é formado da seguinte maneira a o anel começa e termina na variável não básica em teste 163 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I b consiste em segmentos conectados horizontais e verticais cujos pontos extremos são variáveis básicas exceto os segmentos que começam e terminam na variável em teste c cada vértice do segmento forma um ângulo reto contendo uma variável básica 2 É dado um aumento unitário na variável não básica e verificadas as varia ções positivas ou negativas nas variáveis básicas dos vértices Vamos aplicar as regras acima para a variável x11 dar um aumento unitário à variável x11 ou seja fazer x11 passar de 0 para 1 para manter o ajuste da solução diminuir x12 em 1 aumentar x22 em 1 e diminuir x1 também em 1 A figura a seguir mostra essas variações AJUSTE DE SOLUÇÃO Fonte Andrade 2015 p 81 PraCegoVer Representação o ajuste da solução para a variação em x11 Em função dessas variações calcular a variação no custo total do transporte ΔZx11 10 3 7 12 2 Logo como a variação no custo total causada pela variação unitária em x11 foi positiva não será compensador transportar o produto por essa rota já que o custo final aumentaria Para a variável x22 teríamos a seguinte situação mos 164 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 trada na figura intitulada Ajuste de solução ΔZx22 7 3 5 9 0 Conclusão nesse caso a variação no custo total foi nula o que significa que a solução obtida é ótima já que tínhamos obtido uma variação em Z positiva para x11 No entanto como a variação para x22 é igual à zero temos outra solu ção básica com x22 na base 63 MODELOS DE DESIGNAÇÃO Quando estamos estudando situações em que pode ser aplicado o modelo de atribuição queremos encontrar a solução ótima em problemas em que seja possível aplicar essa modelagem específica Nos problemas de atribui ção temos um conjunto de trabalhadores e queremos atribuir tarefas por meio da minimização dos custos totais COLIN 2019 Leia o artigo a seguir sobre um modelo de programação linear para a designação de árbitros para partidas em campeonatos de futebol Acesso pelo link Vamos dar continuidade aos estudos de modelos em rede mas agora com modelos de designação Vamos lá 631 ORIGEM DO MODELO DE DESIGNAÇÃO O problema de atribuição ou de designação é um problema em que os re cursos são alocados para as atividades considerando um para um Aqui cada atividade é distribuída a um único recurso COLIN 2019 165 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I MODELAGEM DE DESIGNAÇÃO Fonte Plataforma Deduca 2021 PraCegoVer Foto de um executivo que precisa eleger qual a decisão correta Você pode pensar em um modelo em que quer alocar empregados de um turno para fazer o trabalho alocar ordens de serviço para empregados e as sim por diante Podemos dizer que os modelos de atribuição são um caso dos modelos de transporte portanto a sua origem é a mesma Vamos identificar a seguir como é estruturado o modelo do problema de designação Vamos lá 632 MODELO MATEMÁTICO DO MODELO DE DESIGNAÇÃO O modelo matemático dos problemas de atribuição possui o formato gené rico a seguir 166 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Nesse tipo de problema vamos ter um conjunto de trabalhadores que será representado por i que pode variar de 1 a T e ordens de trabalho que serão representados por j sendo que esse j pode variar de 1 a O Quando o tra balhador i faz a ordem de serviço j a alocação vai ser xij que será igual a 1 e a empresa terá o custo cij Cada trabalhador terá apenas uma ordem associada E o objetivo é minimizar os custos totais COLIN 2019 Agora vamos resolver um exemplo de estruturação de um modelo conforme Colin 2019 p 121122 Alocação de auditores a projetos A BigConsulting uma das maiores empresas de auditoria atuando no Bra sil e com mais de 1500 auditores frequentemente encontra problemas para alocar auditores a projetos O tipo de projeto de que eles participam requer apenas um auditor além do sócio responsável para cada projeto A empre sa possui um sistema interno de avaliação de auditores de modo que para cada projeto há um escore para cada um dos auditores No escore são con templados experiência na indústria rapidez e confiabilidade na realização do trabalho e potencial de promoção do auditor dentre outras características O escore de cada consultor disponível para alocação aos projetos em um dado dia é oferecido na tabela a seguir 167 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I ESCORE DOS AUDITORES Projeto Escores Auditor 1 Auditor 2 Auditor 3 Auditor 4 1 11 4 3 9 2 3 7 2 3 3 4 9 6 5 4 5 4 7 7 Fonte Colin 2019 p 122 PraCegoVer Tabela formada por 5 colunas sendo a primeira de cada Projeto enumerados de 1 a 4 e as 4 colunas seguintes com os escores de cada Auditor sendo os Auditores também enumerados de 1 a 4 e os escores variando entre 2 e 11 Estamos interessados em avaliar como os auditores devem ser alocados aos projetos de modo que o escore total seja máximo Seja xij 1 se o auditor i i 1 2 3 4 é alocado ao projeto j Se xij 0 o auditor i não é alocado ao projeto j Seja sij o escore do auditor i quando ele é alocado ao projeto j O modelo completo pode ser formulado como max z 11x11 3x12 4x13 5x14 4x21 7x22 9x23 4x24 13x31 2x32 6x33 7x34 19x41 3x42 5x43 7x44 s a x11 x21 x31 x41 1 j 1 projeto 1 x12 x22 x32 x42 1 j 2 projeto 2 x13 x23 x33 x43 1 j 3 projeto 3 x14 x24 x34 x44 1 j 4 projeto 4 x11 x12 x13 x14 1 i 1 auditor 1 x21 x22 x23 x24 1 i 2 auditor 2 x31 x32 x33 x34 1 i 3 auditor 3 168 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 x41 x42 x43 x44 1 i 4 auditor 4 xij 0 1 i 1 4 j 1 4 ou de forma mais compacta como max z sujeito a Para Colin 2019 p 122 função objetivo maximiza o escore total As restrições de projeto garantem que cada projeto será feito por apenas um auditor As restrições de auditores garantem que cada auditor fará apenas um projeto Assista no vídeo a seguir uma aula sobre pesquisa operacional aplicada ao contexto do problema de designação Acesseo pelo link 633 SOLUÇÕES COM BASE NO MODELO DE DESIGNAÇÃO No exemplo anterior não chegamos a calcular a solução Então agora em um outro tipo de problema do tipo designação vamos encontrar a solução por meio de um problema completo baseado em Silva 2017 p 101103 169 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I Conforme Colin 2017 p 101 veja a descrição a seguir do algoritmo do proble ma de designação a Subtrair de cada linha seu menor valor Em seguida fazer o mesmo com as colunas Cada linha e cada coluna deverá então apresentar pelo menos um elemento nulo b Designar origens para destinos nas células em que aparece o elemento nulo Dar preferência a linhas ou colunas que tenham apenas um zero disponível Cada designação efetuada invalida os outros zeros na linha e na coluna da célula designada Se a designação se completa o problema está resolvido Se não c Cobrir os zeros da tabela com o menor número de linhas possível Isto pode ser feito da seguinte forma marcar as linhas sem designação marcar as colunas com zeros nas linhas marcadas marcar as linhas com designação nas colunas marcadas voltar a marcar as colunas com zeros nas linhas marcadas até que não seja possível marcar novas linhas ou colunas riscar as linhas não marcadas e as colunas marcadas d Subtrair o menor valor dentre os números não cobertos de todos os elementos da tabela A reposição necessária nas linhas e colunas com zeros para impedir o aparecimento de custos negativos na tabela resulta no quadro em que os elementos não cobertos ficam diminuídos deste número os elementos no cruzamento de coberturas ficam aumentados desse número os outros elementos permanecem iguais 170 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 e Retornar ao item b O quadro a seguir mostra os custos de transporte de uma máquina dos lo cais de depósito para as fábricas onde deverão ser instaladas O exemplo é extraído de Silva 2017 p 102 e tem por objetivo designar uma máquina para cada fábrica com o menor custo total possível no programa CUSTOS DE TRANSPORTE Fonte Silva 2017 p 102 PraCegoVer A tabela é formada por custos de transporte de quatro máquinas sendo que designa para cada máquina uma fábrica com o menor custo total possível no programa 171 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I Solução Fonte Silva 2017 p 102 PraCegoVer A tabela é formada por custos de transporte de quatro máquinas sendo que designa para cada máquina uma fábrica com o menor custo total possível no programa sendo resultado da subtração do menor número de cada linha e posteriormente a tabela seguinte possui o resultado da subtração do menor número de cada coluna Designar nos zeros de linhas ou colunas prefira linhas ou colunas com ape nas um zero Anule os outros zeros DESIGNAR NOS ZEROS DE LINHAS OU COLUNAS Fonte Silva 2017 p 102 PraCegoVer A tabela é formada por custos de transporte de quatro máquinas sendo que designa para cada máquina uma fábrica com o menor custo total possível no programa sendo resultado da designação nos zeros de linhas ou de colunas sendo os demais zeros anulados 172 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 A designação não se completou devido à origem 3 e ao destino 3 Cobrir com o menor número de linhas os zeros da tabela Seguir os passos do item c COBRIR OS ZEROS DA TABELA Fonte Silva 2017 p 102 PraCegoVer A tabela é formada por custos de transporte de quatro máquinas sendo que designa para cada máquina uma fábrica com o menor custo total possível no programa sendo resultado da cobertura dos zeros da tabela com riscos horizontais e verticais Subtrair 2 da tabela Seguir o item d TABELA COM A SUBTRAÇÃO DO 2 PraCegoVer A tabela é formada por custos de transporte de quatro máquinas sendo que designa para cada máquina uma fábrica com o menor custo total possível no programa sendo resultado da subtração do número dois da tabela 173 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I Fazer nova designação TABELA COM NOVA DESIGNAÇÃO Fonte Silva 2017 p 102 PraCegoVer A tabela é formada por custos de transporte de quatro máquinas sendo que designa para cada máquina uma fábrica com o menor custo total possível no programa sendo resultado da nova designação Solução Fonte Silva 2017 p 102 PraCegoVer A tabela é formada por custos de transporte de quatro máquinas sendo que designa para cada máquina uma fábrica com o menor custo total possível no programa sendo apresentada a solução do problema com as designações encontradas e o custo total 174 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Assista a videoaula a seguir sobre a resolução de um problema de designação Acesso pelo link CONCLUSÃO Esta unidade apresentou um panorama sobre os modelos de transporte e os modelos de designação Vimos também que esses modelos são desdo bramentos do modelo fluxo em rede Apresentamos as suas peculiaridades e depois disso foi possível acompanhar um exemplo detalhado do método Além disso aprendemos também que os modelos de designação são um tipo de problema de transporte Cabe ao analista identificar qual é o algo ritmo mais adequado ao problema que tiver que solucionar São problemas simples mas que a ideia ainda pode ser muito útil Vale considerar que a com plexidade computacional permite uma modelagem bem mais complexa nos dias de hoje 175 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 PESQUISA OPERACIONAL I 176 PESQUISA OPERACIONAL I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 REFERÊNCIAS AMARAL M do ALMEIDA M S MORABITO R Um modelo de fluxos e localização de terminais intermodais para escoamento 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